авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический ...»

-- [ Страница 2 ] --

Если а = 0, то момент называют начальным, если а = Мх или а = x r – центральным. Нечетные центральные моменты ука зывают на симметрию распределения относительно математиче ского ожидания. У всех симметричных распределений нечетные моменты относительно среднего значения равны нулю.

Первый начальный момент – математическое ожидание:

n M1 = M x = pi xi. (2.40) i = Второй центральный момент – стандартное отклонение :

n M 2 = pi ( xi M x ).

(2.41) i = Для более подробного описания распределения использу ются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент (М3) характеризует асим метрию распределения случайных погрешностей, т.е. скошен ность (рис. 2.15). Коэффициент асимметрии:

n p (x x ) i i M S k = 33 = i =. (2.42) у у Рис. 2.15. Асимметричные распределения случайных погрешностей Четвертый центральный момент (М4) характеризует форму (крутизну кривой), плосковершинность или островер шинность распределения случайных погрешностей (рис. 2.16) и описывается с помощью эксцесса:

n pi ( xi x ) M Ek = 44 3 = i =1 3. (2.43) у Число 3 вычитают потому, что для нормального распреде ления погрешностей M4 = 3, следовательно, Ek = 0, т.е. в каче стве кривой с нулевым эксцессом принята кривая нормального распределения.

Выражение 1 / Ek называется контрэксцессом. Если Ek 0, то говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения. Ес ли Ek 0 – имеется отрицательный эксцесс и вершина кривой на ходится ниже вершины кривой нормального распределения.

Рис. 2.16. Плосковершинность и островершинность распределения случайных погрешностей В случаях когда значения случайной величины xi заданы трех- и более значимыми числами и объем выборки N 25, расчет параметров целесообразно вести путем введения слу чайной величины xi x xi =, h где xi – новая случайная величина;

h – величина интервала;

х0 – некоторое начальное значение (обычно принимают середину средних значений xi).

2.6. Квантили распределения Пусть Х – непрерывный количественный случайный при знак с функцией распределения F(x) и плотностью распределе ния f(х).

Квантилью порядка Р или Р-квантилью распределения F(x) называется величина xP, являющаяся решением уравнения F(xР) = P, 0 P 1. (2.44) Поскольку для непрерыв ного признака ее функция рас пределения F(x) непрерывная и монотонно возрастающая, ре шение уравнения (2.44) – единственно (рис. 2.17).

Квантиль порядка Р = 0, называется медианой распре деления (рис. 2.18). Ордината Рис. 2.17. К определению квантиля медианы рассекает площадь между кривой плотности веро ятности и осью абсцисс попо лам. Для непрерывного при знака ее функция распределе ния имеет вид:

x F ( x) = f (x) dx, – где f (х) – плотность распреде- Рис. 2.18. Медиана распределения ления.

Квантиль xР удовлетворяет соотношению xР f (x) dx = Р.

– На рис. 2.19 площадь под заштрихованной фигурой рав на Р, а оставшаяся площадь Рис. 2.19. К определению под фигурой равна 1 Р. площади f(x) 2.7. Интервальные оценки истинного значения Рассмотренные ранее оценки результата измерения ( x, ), выраженного одним числом, называются точечными оценками. Более полным и надежным способом оценки слу чайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы интервала [x1, x2], называется доверительной вероят ностью, а сам интервал – доверительным:

= р(хн х хв) = 1–, (2.45) где хmin = х – х1, хmax = х + х2 – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х;

– уровень значимости ( = р(хн х хв) = = 1– ).

Доверительный интервал характеризует степень воспроизво димости результатов измерений, причем при большом довери тельном интервале наблюдается большая доверительная вероят ность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.

Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90;

0,95;

0,99 или уровни значимости соответственно 0,10;

0,05;

0,01. В технических измерениях ог раничиваются доверительной вероятностью = 0,95.

При нормальном законе распределения случайных по грешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3 до –3, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в сред нем из 370 случайных погрешностей только одна по абсолют ному значению будет больше 3.

Различного рода ошибки, влияющие на правильность при нятия решения о техническом состоянии объекта, неизбежно возникают в процессе диагностирования. Основные причины ошибок диагностирования:

• неточное измерение и преобразование контролируемого параметра;

• неточное сравнение измеренного значения параметра с нижним и верхним допустимыми пределами;

• ненадежное функционирование средств контроля в про цессе диагностирования.

При диагностировании могут возникнуть различные ошибки.

Будем считать состояние S1 исправным, а состояние S2 неисправ ным. Если при исправном состоянии объект диагностируется как неисправный, то это называется ошибкой первого рода (ложным отказом). Если неисправный объект при диагностике признан исправным, то это ошибка второго рода (пропуск дефекта).

В дальнейшем будем обозначать вероятность ошибки первого рода буквой 1, а вероятность ошибки второго рода – 2.

Ошибка, относящаяся к диагнозу S1 (принимается решение о наличии диагноза S2, когда в действительности объект при надлежит диагнозу S1), называется ошибкой первого рода.

Ошибка, относящаяся к диагнозу S2 (принимается решение в пользу диагноза S1, когда справедлив диагноз S2), называется ошибкой второго рода.

Поясним смысл вышеуказанных ошибок на конкретном примере. Пусть производится диагностирование объекта по одному параметру x. Задача состоит в выборе значения x0 па раметра x таким образом, что при x x0 следует принимать решение о снятии объекта с эксплуатации, а при x x0 – допус тить дальнейшую эксплуатацию.

С учетом ошибок диагностирования распределение значе ний параметра x для исправных и неисправных объектов пока зано на рис. 2.20. Из рисунка видно, что области исправного S и неисправного S2 состояний пересекаются, потому принципи ально невозможно выбрать значение x0, при котором в резуль тате технического диагностирования было бы принято без ошибочное решение. Заштрихованные на рис. 2.20 площади под кривыми f (x|S1) и f (x|S2) характеризуют вероятности оши бочных решений при диагностировании объекта.

Вероятность исправного состояния (ошибка первого рода 1):

p ( x x0 S1 ) = f ( x S ) dx =, (2.46) 1 x Рис. 2.20. Распределение плотности вероятности значений параметра x для исправного S1 и неисправного S2 состояний объекта Вероятность неисправного состояния (ошибка второго ро да 2):

x p ( x x0 S 2 ) = f ( x S ) dx =. (2.47) 2 Значения ошибок характеризуют качество процесса диагно стирования в целом, а это значит, что они должны учитываться при задании и определении показателей диагностирования. Это можно сделать следующим образом. Например, при измерении параметров во время диагностирования кривая рассеяния может занимать внутри поля допуска различные положения (рис. 2.21), и в этом случае нельзя определить, какому участку поля рассея ния они соответствуют. Так, например, точки А и В могут при надлежать кривым 1 и 2, расположение которых могут подтвер ждать годность объекта, но могут относиться к кривым 1а и 2а (ошибки второго рода), в значительной части выходящими за пределы допуска, показывая тем самым брак контролируемого объекта (заштрихованные участки).

Для исключения опасности появления ошибок второго ро да при контроле в случае, когда поле допуска превышает поле рассеяния, т.е., необходимо с помощью настройки обес печить расположение кривой фактического распределения раз меров внутри поля допуска с таким расчетом, чтобы ее центр группирования (математическое ожидание Мx) отстоял от пре дельных размеров не менее, чем на 3.

Рис. 2.21. Возможные положения кривых распределения размеров относительно поля допуска при Доверительная вероятность определяет область допусти мых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. вероятность того, что х выйдет за пределы [ x1, x2 ]. Выби раемое значение должно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была за бракована правильная оценка. С другой стороны, слишком ма лое значение может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 0,1.

2.8. Представление параметров распределения Множество однотипных объектов из генеральной совокуп ности значений случайной величины X (x1, x2, …, xn) на практи ке характеризуется и представляется:

• эмпирической функцией распределения;

• полигоном частот;

• гистограммой частот.

Эмпирической функцией распределения (функцией распре деления выборки) называют функцию FX(x), определяющую частоту того, что случайная величина X в результате испыта ния примет значение, меньшее x, т.е.

FX (x) = W (X x). (2.48) Таким образом, эмпирическая функция распределения вы борки неубывающая и служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Полигоном частот называю ломаную, отрезки которой со единяют точки (x1;

n1), (x2;

n2),…, (xk;

nk), где ni, i = 1,…, k – час тоты (число наблюдений), при которых отмечалось значение признака, равное xi. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответ ствующие им частоты ni. При этом сумма всех частот равна объему выборки.

Пример 1. Построить полигон частот (рис. 2.22) для сле дующего распределения:

xi 1 4 5 ni 20 10 14 Рис. 2.22. Полигон частот Для построения гистограммы интервал, в котором заклю чены все наблюдаемые значения непрерывного признака, раз бивают на несколько частичных интервалов длиной h и нахо дят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариантов, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую функцию, состоящую из прямоугольников, основанием которой служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

Площадь i-го частичного прямоугольника hni / h = ni, т.е.

сумме частот i-го интервала. Следовательно, площадь гистограм мы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Пример 2. Построить гистограмму частот (рис. 2.23) по рас пределению выборки объемом n = 100 в соответствии с таблицей:

Номер Частичный интервал Сумма Плотность частоты интервала частот xi–xi+1 ni/hi 1 1–5 10 2, 2 5–9 20 5, 3 9–13 50 12, 4 13–17 12 3, 5 17–21 8 2, Рис. 2.23. Гистограмма частот 2.9. Основы корреляционного и регрессионного анализа Целью моделирования любого технологического процесса является установление количественной зависимости выходного параметра от одного или группы входных параметров, которые могут изменяться случайно. В функциональной связи Y = f (X) каждому значению независимой переменной X отвечает одно вполне определенное значение зависимой переменной Y. Если независимой переменной соответствует несколько значений Y, то связь между переменными X и Y приобретает статистиче ский характер и называется корреляционной.

Простейшей и распространенной зависимостью между ве личинами X и Y является линейная регрессия. Оценка тесноты или силы связи между величинами X и Y осуществляется мето дами корреляционного анализа.

Рассмотрим линейную регрессию от одного параметра (рис. 2.24). Пусть для произвольного фиксированного значения x получено несколько значений Y. Предполагается, что величи на Y распределена нормально с математическим ожиданием My = kx+b (2.49) и дисперсией 2, не зависящей от X. Примем, что случайная y величина Y в среднем линейно зависит от фиксированного зна чения x, а параметры k, b и 2 являются неизвестными пара y метрами генеральной совокупности.

Рис. 2.24. Корреляционное поле зависимости Y = f (х) с эмпирической (1) и теоретической (2) линиями регрессии Для оценки этих неизвестных величин по выборке объе мом n сопряженных пар значений x1, y1;

x2, y2;

…;

xn, yn в декар товой системе координат можно построить корреляционное поле, содержащее n точек. Если нанести на поле средние значе ния yi, соответствующие всем значениям переменной xi, то зависимость y от x станет более очевидной.

Ломаная линия, соединяющая точки yi, отнесенные к се рединам интервалов xсрi, называется эмпирической линией рег рессии. С увеличением числа опытов ломаная линия сглажива ется и приближается к предельной линии – теоретической линии регрессии.

Метод наименьших квадратов Для линейной зависимости линия регрессии задается урав нением прямой:

y = kx + b, (2.50) неизвестные коэффициенты которой определяются по методу наименьших квадратов. В соответствии с этим методом квад рат расстояния по вертикали между опытными точками с коор динатами xi, yi и соответствующими точками на линии регрес сии должно быть минимальным:

n y ( kx + b ) = min.

(2.51) i i i = Из уравнений для определения неизвестных коэффициен тов k, b n n yi ( b + kx ) = 0, k yi ( b + kx ) = 0 (2.52) 2 b i =1 i = следует:

n n ( y ( y b kxi ) = 0, b kxi ) xi = 0, (2.53) i i i =1 i = откуда n n n n n yi = nb + k xi, yi xi = b xi + k xi2. (2.54) i =1 i =1 i =1 i =1 i = 1n 1n 1n xi, y = n yi, x 2 = n xi2, С учетом обозначений x = n i =1 i =1 i = 1n xi yi следует xy = n i = b = y kx, (2.55) n n n n xi yi yi xi n ( xi x )( yi y ) i =1 i =1 = i = k = i =1. (2.56) 2 n ( xi x ) n n xi xi n i =1 i = i = Таким образом, уравнение линейной регрессии принимает вид:

y = kx + b = y + k ( x x ). (2.57) Пример 1. Построить линейную зависимость регрессии по семи экспериментальным точкам:

Значения аргумента, i 1 2 3 4 5 6 Значения функции, y 2,35 2,41 2,60 2,73 2,90 3,11 3, Решение.

1n 17 1n 19, yi = 7 yi = 7 = 2,764 ;

x = n xi = 7 xi = 4.

y= n i =1 i =1 i =1 i = По формуле (2.56) n ( x ( x x )( yi y ) 4 )( yi 2,764 ) i i k= = = 0,157.

i =1 i = n ( x ( x x) 4) 2 i i i =1 i = По формуле (2.57) получаем искомую зависимость:

y = y + k ( x x ) = 2,764 + 0,157 ( x 4 ).

Выборочный коэффициент корреляции Коэффициент корреляции является количественной мерой, учитывающей стохастическую долю колебаний yi относитель но средней y под влиянием xi и вычисляется по формуле:

n ( x x )( yi y ) i r= i =, (2.58) ( n 1) x y где x и y – стандартные отклонения:

n n ( xi x ) ( y y) 2 i x =, y = i =1 i =. (2.59) n 1 n Коэффициент корреляции не может быть использован для оценки технологической важности фактора. Его величина ука зывает только на тесноту связи между переменными, а знак – на характер влияния. Значения коэффициента корреляции на ходятся в пределах 1 r 1 :

при r 0 – увеличение x вызывает уменьшение y;

при r 0 – увеличение x вызывает увеличение y;

при | r | = 1 – связь между x и y линейная функциональная;

при | r | = 0 – корреляционной связи между x и y нет, или она нелинейная.

Если выражение (2.58) преобразовать к виду:

n ( x x )( yi y ) = r x y ( n 1) (2.60) i i = и подставить в формулу (2.56), то получим n ( x x )( yi y ) r x y ( n 1) r x y y i k= = = =r i =. (2.61) x n n ( x ( x x) x) 2 x i i i =1 i = Отсюда видна непосредственная связь коэффициента кор реляции r и коэффициента k в уравнении линейной регрессии, их знаки всегда совпадают.

Выражения (2.58), (2.59) выражают тесноту и вид связи между переменными x и y.

2.10. Вопросы для самоконтроля 1. Сформулируйте основные причины появления неопре деленностей. Какие из них являются субъективными, а какие – объективными?

2. Как описывается неопределенность математически?

3. Приведите примеры математического описания неопре деленностей в металлургии.

4. Когда в задаче математического моделирования приме няется стохастическое описание переменных?

5. Дайте определение функции и плотности распределения.

6. Меры положения и рассеяния кривой распределения.

Объясните различие между модой, медианой и математиче ским ожиданием.

7. Что характеризуют дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент корреляции?

8. Дайте характеристики законам распределения: нормаль ному, экспоненциальному, равномерному.

9. Что характеризуют начальный и центральные моменты?

10. Квантили распределения.

11. Интервальные оценки, доверительные интервал и веро ятность.

12. Ошибки диагностирования первого и второго рода, их значение.

13. Способы представления параметров распределения: эм пирическая функция распределения, полигон частот, гисто грамма частот.

14. Что такое корреляционное поле, линии регрессии?

15. Метод наименьших квадратов для получения уравнения линейной регрессии.

16. Коэффициент корреляции, его смысл.

3. Математические модели теплофизики металлургических процессов с детерминированными структурами 3.1. Законы конвективного тепломассообмена Процессы конвективного тепло- и массообмена происхо дят в результате движения теплоносителя (жидкости или газа) и всегда тесно связаны с соответствующими процессами моле кулярного переноса (теплопроводностью и диффузией).

В зависимости от причины движения теплоносителя разли чают конвекцию вынужденную и свободную (естественную).

В первом случае движение теплоносителя обусловлено внешними причинами: насосом, вентилятором, компрессором и т.п. Во вто ром случае движение теплоносителя вызвано неоднородностью температур или концентраций компонент теплоносителя.

Конвективная теплоотдача играет важную роль при нагре ве металла в печах, при химико-термической обработке метал ла, формировании слитка. При этом, как правило, основную роль играет вынужденная конвекция, однако и свободно кон вективный теплообмен определяет теплоотдачу от нагретых поверхностей в окружающую среду.

При конвективном тепломассообмене перенос теплоты не разрывно связан с переносом массы. Если текучая среда плотно стью [кг/м3] движется в направлении оси x со скоростью ux [м/с], то ее массовая скорость характеризует массу среды, про ходящей в единицу времени через единичную площадку кг м кг u x 3 2. (3.1) м с м с Теплосодержание среды может быть выражено через удельную теплоемкость c Дж ( кг К ) и температуру Т:

Дж К Дж. (3.2) cT кг кг К Плотность теплового потока, определяемая конвекцией, равна произведению массовой скорости на теплосодержание:

кг Дж Вт qк = u x cT 2 2. (3.3) м с кг м Конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, по этому общая плотность теплового потока при конвективном тепломассообмене с учетом закона теплопроводности Фурье имеет вид:

q = qт + qк = T + cT u. (3.4) Конвективный теплообмен между потоком текучей среды и поверхностью соприкасающегося тела называется теплоот дачей (рис. 3.1). При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона – Рихмана:

dФ = (Tп Tc ) dS, [Вт], (3.5) в котором разность между температурой поверхности тела (Тп) и температурой окружающей среды (Тc) называют температур ным напором;

– коэффициент теплоотдачи;

Вт dФ dS =, м2 К. (3.6) Tп Tc Рис. 3.1. Схема теплоотдачи Коэффициент теплоотдачи характеризует плотность теп лового потока на границе текучей среды и соприкасающегося с ней тела, отнесенную к температурному напору.

Таким образом, плотность теплового потока при конвек тивном теплообмене между поверхностью тела и окружающей средой определяется уравнением теплоотдачи:

qк = (Tп Tc ), [Вт / м 2 ]. (3.7) Аналогичное уравнение описывает массоотдачу. При этом плотность потока массы i-го компонента смеси определяется суперпозицией концентрационной, термо- и бародиффузии:

C D T D p p qmi = D i + T +, (3.8) n T n p n где DT, D p – коэффициенты термо- и бародиффузии, DT = kT D, D p = k p D ;

kT, k p – термо- и бародиффузионные отношения, kT = DT D, k p = D p D.

Коэффициент пропорциональности D характеризует кон центрационную диффузию и называется коэффициентом кон центрационной диффузии кг м 4 м qmi D=.

,2 (3.9) Ci n м с кг с Коэффициент концентрационной диффузии (коэффициент диффузии) характеризует плотность потока массы i-го компо нента смеси при единичном градиенте концентрации примеси.

Термодиффузия происходит в смеси с неоднородной тем пературой: более тяжелые молекулы стремятся перейти в хо лодные области (эффект Соре).

Бародиффузия происходит в смеси с неоднородным давле нием: тяжелые молекулы стремятся перейти в область повы шенного давления.

При равенстве молекулярных масс компонентов смеси термо- и бародиффузия отсутствует, основную роль играет концентрационная диффузия, соотношение (3.8) переходит в закон Фика.

3.2. Уравнения конвективного тепломассообмена Дифференциальное уравнение неразрывности Дифференциальное уравнение неразрывности (сплошно сти) вытекает из закона сохранения массы текучей среды и на кладывает, поэтому, ограничения на скорости течения. Этот закон постулирует следующее: изменение массы контрольного объема в некоторый промежуток времени течения среды должно компенсироваться изменением ее плотности за этот же промежуток времени. Вывод уравнения рассмотрим на примере одномерного течения в канале (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Расчетная схема к выводу уравнения неразрывности В некотором сечении канала x с площадью поперечного сечения f среда объемом fdx плотностью течет со скоростью u в направлении возрастания координаты x. Используя понятие массовой скорости u, кг/(м2с), запишем расход массы за вре мя d через левую и правую грани контрольного объема:

dmx = ( u ) x f d, dmx + dx = ( u ) x + dx f d.

Раскладывая массовую скорость в ряд Тейлора ( u ) x dx ( u ) x + dx = ( u ) x + +...

x 1!

и учитывая два члена разложения, можно получить возрас тание массы в контрольном объеме:

( u ) x dmx + dx dmx dx f d.

x Это возрастание массовой скорости в направлении коор динаты x должно компенсироваться убыванием массы кон трольного объема во времени:

( u ) x mx dx f d = d = f dx d.

x Отсюда ( u ) + =0. (3.10) x Полученное одномерное уравнение неразрывности распро страняется и на трехмерный случай, когда массовая скорость изменяется и в направлении двух других координат:

( u ) ( v ) ( w ) + + + =0, (3.11) x y z где u, v, w – проекции скорости соответственно на оси x, y, z.

В частном случае для среды с постоянной плотностью (не сжимаемой, = const) уравнение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости:

u v w ++ =0. (3.12) x y z При одномерном течении несжимаемой среды (v = w = 0) u =0, (3.13) x т.е. скорость в канале постоянного сечения не изменяется в на правлении течения.

Для произвольной системы координат уравнение нераз рывности (3.11) может быть записано в обозначениях теории поля:

() + div W = 0, (3.14) где W – вектор скорости;

div = i+ j + k – операция x y z дивергенции в прямоугольных декартовых координатах.

Из уравнения неразрывности (3.14) следует частный слу чай стационарного ( = 0 ) одномерного течения по оси x в канале переменного сечения:

( u ) G = 0, откуда u = const =, (3.15) x f где G, кг/c – массовый секундный расход в канале площадью поперечного сечения f. Из последнего уравнения следует по стоянство расхода при стационарном течении в канале:

u f = G = const, (3.16) а при течении несжимаемой среды ( = const) из уравнения (3.16) следует обратно пропорциональная зависимость между скоростью течения и площадью поперечного сечения канала:

скорость возрастает в сужающихся и падает в расширяющихся участках канала.

Дифференциальное уравнение переноса энергии Дифференциальное уравнение переноса энергии характе ризует зависимость между температурой, временем и коорди натами в дифференциальной форме и является частным случа ем первого закона термодинамики:

Q = dU + A, (3.17) в соответствии с которым подводимая теплота dQ расходуется на увеличение внутренней энергии dU и на работу расширения dA.

В результате для одномерного случая (рис. 3.3) из (3.17) можно получить следующее дифференциальное уравнение:

T T 2T q +u =a 2 + V, (3.18) x x c где а – коэффициент температуропроводности, определяе мый отношением коэффициента теплопроводности к плотно Вт м3 кг К м сти и теплоемкости, a = ;

qV – мощ c м К кг Дж с ность внутренних источников тепла, Вт/м3.

Рис. 3.3. Расчетная схема к выводу уравнения переноса энергии Физический смысл полученного уравнения заключается в следующем: тепловая энергия, подведенная к контрольному объему внутренними источниками заданной мощности, а также теплопроводностью и конвекцией, идет на изменение внутрен ней энергии этого объема. Коэффициент температуропровод ности характеризует скорость изменения температуры.

Производная T характеризует локальное или местное изменение температуры, а u T x – изменение температуры, связанное с переносом (конвекцией) контрольного объема со ско ростью u. Их сумма дает полное изменение внутренней энергии и называется полной или субстанциальной производной:

dT T T dx T T = + = +u.

d x d x Уравнение (3.18) можно обобщить на трехмерный случай:

q q dT dT = a 2T + V, = a div grad T + V. (3.19) d c d c В частности, в прямоугольной декартовой системе коорди нат полная производная, операторы Лапласа 2T и диверген ции div имеют вид:

dT T T T T = +u +v +w, d x y z 2t 2t 2t 2t = + +, div = + +.

x 2 y 2 z 2 x y z Приведем также выражение оператора Лапласа и дивер генции для цилиндрической системы координат 1 1 2T 1 T 1 2T 2T, div = + + + 2T = + +2 +.

r r r z r rr r z 2 2 Дифференциальное уравнение движения В уравнение переноса энергии входят компоненты скоро стей вязкой среды. Следовательно, для нахождения поля тем ператур необходимо знать поле скоростей. Такое поле описы вается уравнением движения, являющимся частным случаем второго закона Ньютона. Рассмотрим одномерное течение с изменением скорости в поперечном направлении. Для выде ленного на рис. 3.4 контрольного объема запишем второй за кон Ньютона:

du dm = df1 + df 2 + df 3, (3.20) d где df1, df2 и df3 – соответственно равнодействующие сил тяже сти, внешнего давления и вязкого трения.

Рис. 3.4. Расчетная схема В соответствии с гипотезой Ньютона касательное напря жение Sy, [Па] между слоями вязкой среды принимаем пропор циональным градиенту скорости в поперечном направлении:

u Sy = µ, (3.21) y где µ – коэффициент динамической вязкости, Sy с µ= Па м м Па с, u y он характеризует касательное напряжение при единичном гра диенте скорости. На практике применяют также коэффициент кинематической вязкости:

Па с м µ Нс м = 2 м, м Н с кг м с размерность которого совпадает с размерностью коэффициента температуропроводности.

После преобразований уравнение (3.20) принимает вид:

u u 1 p 2u +u =g + 2, (3.22) x x y в котором составляющие правой части характеризуют соответ ственно силы тяжести, внешнего давления и вязкого трения, а левой части – инерционные силы. Физический смысл полу ченного уравнения заключается в равновесии указанных сил для элементарного объема вязкой среды.

В трехмерном случае в левой части уравнения (3.22) появ ляются дополнительные конвективные члены, характеризую щие пространственный перенос среды, а также добавки к си лам трения, действующим по всем граням контрольного объема в форме параллелепипеда. В результате уравнение движения в проекции на ось x принимает следующий вид:

1 p du = gx + 2u, (3.23) d x 2u 2u 2u du u u u u = + u + + w, 2u = 2 + 2 + 2.

где d x y z x y z Аналогичный вид имеют проекции уравнения движения и на две другие оси y, z. Полученную систему трех уравнений движения, называемых уравнениями Навье – Стокса, можно представить в векторной форме:

dW = g p + 2W, (3.24) d где W ( u,, w ) – вектор скорости;

p – градиент давления.

Дифференциальное уравнение теплоотдачи в пограничном слое Теплоотдачей называется теплообмен между твердой по верхностью и вязкой средой, обтекающей эту поверхность.

Практика показывает, что плотность теплового потока при теп лоотдаче прямо пропорциональна разности температур вязкой среды Тc и поверхности твердого тела Тп, называемой темпера турным напором. Примем для определенности Тп Тc, тогда уравнение теплоотдачи (уравнение Ньютона) будет иметь вид:

q = (Tп Tс ), (3.25) где [Вт/(м2·К] – коэффициент теплоотдачи, равный плотности теплового потока на твердой границе при единичном темпера турном напоре. Коэффициент теплоотдачи может изменяться от нуля до бесконечности. Действительно, как следует из (3.25), при = 0 q = 0 (адиабатная поверхность), а при q/ = 0 и Тп = = Тс (изотермическая поверхность). Решить уравнение (3.25) от носительно неизвестного коэффициента теплоотдачи без прив лечения дополнительной гипотезы не удается, так как не известна плотность теплового потока у твердой границы.

Для формулировки этой гипотезы рассмотрим понятие гидродинамического пограничного слоя, введенное Л. Прандт лем в 1904 г., на примере обтекания плоской поверхности по током вязкой среды, движущейся с постоянной скоростью uc параллельно этой поверхности (рис. 3.5). Частицы среды у твердой поверхности тормозятся, что является причиной ис кажения профиля скорости. Это искажение можно характери зовать градиентом u y, который обращается в нуль на неко тором удалении от поверхности в невозмущенном потоке.

Динамическим пограничным слоем называется слой затормо женной вязкой среды толщиной д у твердой поверхности, в пределах которого u y 0.

Рис. 3.5. Схема к понятию динамического пограничного слоя Аналогично понятию динамического пограничного слоя Г. Кружилин в 1936 г. ввел понятие температурного погранич ного слоя. При движении у твердой поверхности частицы вяз кой среды, имеющие температуру Тc, при торможении у по верхности нагреваются до температуры этой поверхности Тп (рис. 3.6). Температурным пограничным слоем называется слой вязкой среды толщиной т у твердой поверхности, в пределах которого T y 0.

Рис. 3.6. Схема к понятию температурного пограничного слоя На практике толщины пограничных слоев определяют как расстояния от твердой стенки до поверхностей, на которых скорость и температура составляют 99 % от их значений в не возмущенной среде (uc, Тc).

Суть гипотезы пограничных слоев состоит в том, что сила вязкого трения S y = µ ( u y ) проявляется в пределах динами ческого пограничного слоя, а процесс теплоотдачи осуществ ляется в пределах температурного пограничного слоя и подчи няется закону теплопроводности Фурье q = ( T y ).

Подставляя эту плотность теплового потока из закона Фу рье в уравнение теплоотдачи (3.25), получаем уравнение теп лоотдачи в пограничном слое:

T y, = (3.26) Tп Tс коэффициент теплопроводности в котором относится к вяз кой среде в пограничном слое.

Условия однозначности Система дифференциальных уравнений конвективного теп лообмена описывает бесконечное множество процессов. Чтобы выделить конкретный процесс и определить его единственное решение, систему дифференциальных уравнений нужно замкнуть условиями однозначности, дающими математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого явления.

Различают следующие виды условий однозначности.

1. Геометрические условия, характеризующие форму и раз меры тела или системы, в которой протекает процесс.

2. Физические условия характеризуют физические свойства среды: плотность (t), теплопроводность (Т), вязкость µ(Т), теплоемкость с(Т) и др.

3. Временные, или начальные, условия характеризуют распре деление температуры и скорости в системе в начальный момент времени. Для стационарных задач эти условия отсутствуют.

4. Граничные условия характеризуют распределение тем ператур и скоростей на границе текучей (жидкой, газообраз ной) среды. Граничные условия для температуры включают в себя распределение температуры, тепловых потоков на гра нице расчетной области. Рассмотрим классификацию этих ус ловий. Остановимся на классификации граничных условий для скорости на границе вязкой среды.

Условие полного прилипания вяз кой среды к твердой поверхности (рис. 3.7) u y =0 = 0. (3.27) Это условие реализуется при бес конечно большой силе трения на гра Рис. 3.7. Схема течения нице вязкой среды с твердой поверх ностью.

Условие течения с проскальзыва нием вязкой среды у твердой поверх ности (рис. 3.8) u µ = Fтр. (3.28) y y = Рис. 3.8. Схема течения Это условие реализуется при на личии внешней силы трения Fтр на границе вязкой среды с твердой по верхностью.

Условие свободного течения вяз кой среды у твердой поверхности (рис. 3.9) u Рис. 3.9. Схема течения = 0. (3.29) y y = Это условие реализуется при отсутствии силы трения на поверхности вязкой среды, которую называют свободной.

Условие течения с поверхностным натяжением. На сво бодной поверхности жидкости, не контактирующей с твердой поверхностью, действует элементарная сила поверхностного натяжения:

dF = dx, (3.30) где, [Н/м] – коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

При постоянном коэффициенте поверхностного натяжения эта сила не является причиной движения жидкости, она лишь вызы вает дополнительное давление, изменяя уровень жидкости в ка налах малого диаметра (капиллярах), либо стремится придать ко нечному объему жидкости форму с наименьшей поверхностью.

Например, в условиях невесомости жидкость принимает форму шара. Однако при переменном коэффициенте поверхностного натяжения силы поверхностного натяжения не скомпенсированы, появляется причина движения, и граничные условия на свобод ной поверхности в этом случае принимают вид:

u µ =. (3.31) y x y = Коэффициент поверхностного натяжения зависит от тем пературы (T ) = 0 (T T0 ) = 0 + (T T0 ), (3.32) T где = T [Н/(м·К)]– температурный коэффициент по верхностного натяжения, отрицательное значение этого коэф фициента отражает тот факт, что сила поверхностного натяже ния уменьшается с увеличением температуры. С учетом линейной зависимости (3.32) d T T = = x dT x x и граничное условие (3.31) принимает вид:

u T µ =. (3.33) y x y = Явление движения жидкости, инициированное силами по верхностного натяжения при неоднородном распределении температуры, называют термокапиллярным эффектом, а воз никающую конвекцию – термокапиллярной конвекцией, или конвекцией Марангони.

Конвекция Марангони при водит к появлению дополнитель ных течений у поверхности жид кости. Например, при плавлении металла концентрированным пуч ком лазерной энергии пятно рас плава «расползается», увеличива Рис. 3.10. Схема конвекции ется в диаметре, превышая диа Марангони при плавлении метр пучка из-за термокапилляр металла лазером ной конвекции (рис. 3.10).

Система дифференциальных уравнений в совокупности с условиями однозначности дает математическую формули ровку краевой задачи конвективного теплообмена, имеющую единственное решение.

3.3. Приближение Буссинеска в задачах свободной тепловой конвекции Свободная конвекция жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых ее слоев. Уравнение Навье – Стокса в форме (3.22) получено без учета зависимости физиче ских свойств жидкости от температуры, в частности, в нем не учтена зависимость плотности от температуры.

Рассмотрим на примере уравнения Навье – Стокса прибли женный способ учета переменной плотности в неоднородном температурном поле, называемый приближением Буссинеска:

p 2u du = g +µ 2. (3.34) d x y Входящая в это уравнение плотность принимается в соот ветствии с уравнением состояния линейно зависящей от тем пературы:

= 0 1 (T T0 ) = 0 (1 T ), (3.35) где, [1/К] – коэффициент теплового (объемного) расширения.

После подстановки зависимости (3.35) в уравнение (3.34) по лучаем:

p 2u du 0 (1 T ) = 0 (1 T ) g +µ 2. (3.36) d x y Так как ускорение свободного падения значительно боль ше ускорения частиц жидкости при свободной конвекции ( g du d ), то изменением плотности в левой части уравне ния (3.36) можно пренебречь по сравнению с изменением ее в правой части уравнения, в результате получаем:

p 2u du = 0 (1 T ) g 0 +µ d x y или после деления на плотность 0:

1 p 2u du = (1 T ) g + 2. (3.37) d 0 x y Полученное одномерное уравнение описывает свободную тепловую конвекцию жидкости в приближении Буссинеска.

В общем трехмерном случае для вектора скорости W ( u, v, w ) уравнение движения в этом приближении принимает вид:

dW = (1 T ) g p + 2W. (3.38) d 3.4. Постановка задачи тепловой конвекции в динамических переменных Постановкой задачи называется система уравнений пере носа, замкнутая условиями однозначности.

Постановку краевой задачи тепловой конвекции рассмот рим на примере плоского движения несжимаемой вязкой жид кости с постоянными свойствами в горизонтальном канна ле прямоугольного сечения (рис. 3.11). Боковые стенки канала приняты изотермическими с температурами t1 и t2 (t1 t2), верхняя и нижняя стенки – адиа батными. Вязкая среда, нагрева ясь у левой стенки, поднимается вследствие уменьшения плотно сти вверх и опускается соответ ственно вниз при охлаждении у правой стенки. Образуется замкнутый контур циркуляции жидкости с пограничными сло Рис. 3.11. Расчетная схема ями у стенок канала.

Запишем систему уравнений тепловой конвекции. Уравне ние несжимаемости для компонент вектора скорости u и v со ответственно в проекциях на оси x и y в плоскости циркуляции жидкости принимает вид:

u v + = 0. (3.39) x y Уравнение переноса тепловой энергии:

T T T +u + = a 2T, (3.40) x y где оператор Лапласа в правой части уравнения имеет вид:

2 2 = + 2. (3.41) x y Запишем уравнения движения вязкой среды в приближе нии Буссинеска соответственно в проекциях на оси x и y:

u u u 1 p +u + = + 2u, (3.42) x y 0 x v v v 1 p + u + = g (1 T ) + 2 v. (3.43) x y 0 y Уравнение, описывающее распределение давления, можно получить, сложив уравнения движения (3.42) и (3.43), первое из которых предварительно продифференцировав по x, а вто рое – по y. После преобразований получим уравнение Пуассона для давления:

u v u v T 2 p = 0 g 20. (3.44) y y x x y Для замыкания системы дифференциальных уравнений за пишем краевые условия, включающие начальные температуру и поле скоростей, а также граничные температурные условия на изотермических и адиабатных границах и условия прилипа ния для скоростей:

T ( = 0 ) = T0, u ( = 0 ) = v ( = 0 ) = 0, T T ( x, 0 ) = ( x, H y ) = 0, (3.45) T ( 0, y ) = T1, T ( H x, y ) = T2, y y u ( 0, y ) = u ( H x, y ) = v ( x, 0 ) = v ( x, H y ) = 0. Пять дифференциальных уравнений (3.39, 3.40, 3.42, 3. и 3.44) вместе с краевыми условиями (3.45) образуют краевую задачу тепловой конвекции, граничные значения для давления в которой определяются приближенно из уравнения Пуассона (3.44). Переменные u–v–p–Т называют динамическими пере менными, а соответствующую краевую задачу – задачей в ди намических переменных.

Таким образом, в динамических переменных плоская зада ча тепловой конвекции сводится к системе пяти дифференци альных уравнений с соответствующими краевыми условиями.

3.5. Постановка задачи тепловой конвекции в переменных завихренность-функция тока Рассмотрим другую постановку этой же задачи, исклю чающую давление и уменьшающую тем самым число диффе ренциальных уравнений тепловой конвекции. Для этого вы чтем из уравнения (3.42) уравнение (3.43), предварительно продифференцировав первое из них по y, а второе – по x. В ре зультате получим:

u u u v v v + u x + y x + u x + y = y (3.46) T = 2u 2 v + g.

y x x Кроме того, вводим функцию тока, связанную с компо нентами скорости соотношениями:

= u, = (3.47) x y и удовлетворяющую уравнению несжимаемости (3.39). По фи зическому смыслу функция тока характеризует объемный рас ход вязкой среды в единицу времени. Действительно, из перво го уравнения (3.47) следует:

d = u dy, = u dy + C, м 2 с.

Подставляя соотношения (3.47) в уравнение (3.46) и обо значая u 2 = + = 2 =, (3.48) x y x 2 y где – завихренность, получим уравнение переноса завихрен ности T +u + = 2 + g. (3.49) x y x Сравнение полученного уравнения с уравнениями перено са энергии и движения (переноса импульса) позволяет сделать вывод о том, что эти уравнения совпадают по своей структуре.

Следовательно, перенос завихренности подчиняется тем же законам переноса, что и энергии и импульс.

Таким образом, формулировка задачи тепловой конвекции в ––t-переменных приводит к системе трех дифференциаль ных уравнений: переноса энергии (3.40), переноса завихренно сти (3.49) и Пуассона (3.48), в которых скорость связана с функцией тока соотношениями (3.47).

Начальные краевые условия для завихренности и функции тока имеют вид:

( = 0) = 0, ( = 0) = 0.

Граничные значения функции тока следуют из отсутствия расхода вязкой среды через непроницаемые стенки канала.

Функция тока на стенках канала не должна изменяться, следо вательно, она должна быть постоянной, или, в частности, нуле вой:

( 0, y ) = ( H x, y ) = ( x, 0 ) = ( x, H y ) = 0.

Граничные значения завихренности определяются при ближенно из уравнения Пуассона (3.48).

Формулировка плоской задачи тепловой конвекции не сжимаемой жидкости в (––Т) переменных оказывается предпочтительнее формулировки ее в динамических (u–v–p–Т) переменных, так как понижает порядок системы дифференци альных уравнений с пяти до трех.

3.6. Постановка краевой задачи теплопроводности Краевая задача теплопроводности включает дифференци альное уравнение теплопроводности, имеющее единственное решение при заданном начальном распределении температуры и условиях теплообмена на границах расчетной области.

Дифференциальное уравнение теплопроводности Дифференциальное уравнение теплопроводности является частным случаем уравнения переноса энергии и связывает производные температуры по координате и времени:

T q = a 2T + V. (3.50) c Физический смысл уравнения: тепло от внутренних ис точников заданной мощности qV, а также тепло, подведенное к элементарному объему от соседних теплопроводностью a 2T, идет на увеличение внутренней энергии этого элемен тарного объема T.

Коэффициент пропорциональности а называется коэффи циентом температуропроводности:

Вт м3 кг К м a=.

(3.51) c м К кг Дж с Он характеризует скорость изменения температуры и яв ляется мерой теплоинерционных свойств тела. При прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.

Частные случаи уравнения теплопроводности:

T = a 2T – уравнение Фурье, описывает не 1) qV = стационарную теплопроводность в теле без источников (сто ков) тепла;

q 2) T = 0 2T + V = 0 – уравнение Пуассона, опи сывает стационарную теплопроводность в теле с источниками (стоками) тепла;

3) qV =0, T = 0 2T = 0 – уравнение Лапласа, опи сывает стационарную теплопроводность в теле без источников (стоков) тепла.

Уравнение теплопроводности при неоднородных свойствах Дифференциальное уравнение теплопроводности (3.50) было получено в предположении постоянной теплопроводно сти ( = const), в действительности теплопроводность зависит от температуры, = (Т), поэтому при выводе уравнения теп лопроводности нельзя выносить плотность теплового потока за знак дивергенции. В этом случае уравнение теплопроводности становится нелинейным, так как входящий в него коэффициент зависит от распределения температуры:

T = ( T ) + qV.

c (3.52) Нелинейное уравнение теплопроводности (3.52) можно привести формально к виду линейного уравнения (3.50), для этого преобразуем диффузионный член уравнения:

T ( T ) = 2T + T = 2T + 2 = эфф T T С введением понятий эффективных коэффициентов тепло проводности T эфф = + (3.53) 2T и температуропроводности эфф aэфф = (3.54) (T ) c (T ) дифференциальное уравнение теплопроводности принимает стандартный вид:

T q = aэфф 2T + V, (3.55) c удобный при численной реализации на компьютере.

Уравнение теплопроводности для анизотропных сред Анизотропной называется среда, в которой значение вели чины, определяющей свойства (в частности, теплопровод ность), зависит от направления.

В общем случае закон Фурье можно записать в тензорном виде:

qi = i, j jT, i = x, y, z.

Тензор теплопроводности i, j в прямоугольной системе коор динат имеет следующий вид:

xx xz xy i, j = yx yy yz.

zx zz zy Выбором системы координат тензор теплопроводности можно привести к виду:

xx = 0 0, i, j yy 0 zz уравнение теплопроводности имеет вид:

T T T T + qV c = xx + yy + zz x x y y z z T = xx T + yy T + zz T + qV.

2 2 2 c x xx y xx z c axx = xx ( c ), k y = yy xx, С учетом обозначений k z = zz xx уравнение теплопроводности принимает стандарт ный вид:

T q = a xx 1 T + V, (3.56) c 2T 2T 2T где 1 T = + k y 2 + kz 2.

x y z Таким образом, для анизотропной среды уравнение тепло проводности также приводится к стандартному виду, однако изменяется вид оператора Лапласа, в нем появляются коэффи циенты анизотропии ky, kz, корректирующие теплопроводность по направлениям.

Уравнение теплопроводности для высокоскоростных процессов Полученное ранее выражение закона Фурье q = gradT предполагает бесконечно большую скорость распространения теплоты в теле, при которой градиент температуры и плот ность теплового потока для любого момента времени соот ветствуют друг другу. Это подтверждается для стационарных и медленно протекающих нестационарных процессов.

Для высокоскоростных процессов в условиях резкого из менения теплового потока на поверхности тела перестройка температурного поля и изменение температурного градиента запаздывают вследствие тепловой инерции на время релакса ции r. Скорость распространения теплоты и время релаксации связаны соотношением a ur = =, (3.57) cr r из которого следует, что время релаксации увеличивается с увеличением тепловой инерции тела и уменьшается с увели чением скорости распространения теплоты ur. Например, для азота r = 10–9 с, а для алюминия r = 10–11 с.

С учетом скорости распространения теплоты (3.57) в зако не Фурье появляется дополнительный член:

q q = gradT r. (3.58) Рассмотрим с учетом (3.58) вывод одномерного уравнения теплопроводности, в котором отсутствуют внутренние источ ники тепла, теплопроводность и время релаксации постоянны.

Проекция плотности теплового потока (3.58) на ось x q T q = r x, (3.59) x подставив ее в уравнение теплопроводности q T c = x, (3.60) x получим 2 qx t 2t c = 2 + r. (3.61) x x Продифференцируем уравнение (3.60) по, получим:

2 qx 2T c =. (3.62) 2 x Подставим смешанную производную из (3.62) в уравнение (3.61) и поделим на с:

T 2T 2T + r 2 = a 2. (3.63) x В трехмерном случае при наличии источника тепла урав нение (3.63) принимает вид:

T 2T q + r 2 = a 2T + V (3.64) c Краевые условия Полученное дифференциальное уравнение теплопроводно сти относится к классу гиперболических уравнений, в частном случае при r = 0 из него получается стандартное уравнение теплопроводности (3.50).

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти единственное решение, характеризующее конкретный процесс, необходимо задать краевые условия.

Краевые условия включают в себя начальное (временное) и граничные (пространственные) условия.

Начальное краевое условие необходимо для нестационар ного процесса и характеризует распределение температуры в начальный момент времени:

T ( x, y, z, 0 ) = f ( x, y, z ), (3.65) часто его принимают однородным:

T ( = 0 ) = T0. (3.66) Граничные краевые условия характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида граничных краевых условий.

При граничных условиях 1-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается распределение температуры:

Tп = f ( xп, yп, zп, ). (3.67) В частном случае температура всей поверхности может поддерживаться постоянной во времени, такая граница называ ется изотермической:

Tп = const. (3.68) На рис. 3.12 показано распределение температуры в про цессе остывания тела с изотермической границей ( Tп = const ), при этом плотность теплового потока переменна ( tg ~q).

При граничных условиях 2-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается плотность теплового потока:

qп = f ( xп, yп, zп, ). (3.69) В частном случае плот ность теплового потока может поддерживаться постоянной во времени, например при нагре вании металла в высокотемпе ратурных печах:

qп = const. (3.70) На рис. 3.13 показано рас пределение температуры в процессе остывания тела при постоянной плотности тепло вого потока (q = const), при этом температура поверхности Рис. 3.12. Расчетная схема тела переменна. Частным слу к граничным условиям 1-го рода чаем граничного условия 2-го рода является адиабатная гра ница ( qп = 0 ), например ось симметрии тела.

При граничных условиях 3-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается температура окружа ющей среды и закон конвек тивного теплообмена между поверхностью тела и окру жающей средой:

qп = a (Tп Tс ), (3.71) где – коэффициент теплоот дачи, Рис. 3.13. Расчетная схема qп Вт = к граничным условиям 2-го рода, (3.72) Tп Tс м 2 К характеризующий плотность теплового потока при единичной разности температур между поверхностью тела и окружающей средой.


С учетом закона Фурье граничное условие 3-го рода имеет вид T = (Tп Tс ), (3.73) n отсюда T Tп Tс AB = =.

n AC На рис. 3.14 показано распределение температуры в про цессе остывания тела при граничном условии 3-го рода, при этом изменяются как температура поверхности тела (Тп), так и плотность теплового потока (q~tg ).

Отметим, что гранич ные условия 1-го и 2-го рода являются частными случая ми граничных условий кон вективного теплообмена:

T 1) = = n = (Tп Tс ) Tп = Tс – изо термическая граница;

2) = 0 qп = (Tп Tс ) qп = 0 адиабатная – граница. Рис. 3.14. Расчетная схема Граничные условия 4-го к граничным условиям 3-го рода рода описывают условия теплообмена на границе контакта двух тел (рис. 3.15):

T1 T T 1 = 2 2 =, (3.74) n n Rк где Rк [K·м2/Вт] – тепловое сопротивление контакта, зависящее от давления, чистоты поверхностей и других факторов. В част ном случае идеального контакта (Rк = 0) T1 T 1 = 2 2, (3.75) n n т.е. коэффициент теплопроводности и температурный градиент обратно пропорциональны: чем выше коэффициент теплопровод ности материала, тем меньше в нем температурный градиент.

Рис. 3.15. Расчетная схема к граничным условиям 4-го рода Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу теплопровод ности, имеющей единственное решение.

3.7. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности Рассмотрим одномерную нестационарную задачу тепло проводности при граничных условиях 3-го рода, моделирую щую температурное поле в плоском слое (рис. 3.16). Для запи си краевой задачи теплопроводности T 2T = a 2, T ( = 0 ) = T0, x T = (Tп Tc ), (3.76) x x =l выберем безразмерные пе ременные: температуру =T T0 и координату X = x. Размерные пере менные T = T0 и x = X подставим в дифференци- Рис. 3.16. Температурное поле альное уравнение: плоского слоя T0 T 2 = a 20 2 =.

a X X a = Fo – число Фурье, характеризует безразмерное Здесь время процесса теплопроводности, его называют числом гомо хронности (однородности по времени). Если для двух систем характерная длительность 2 a имеет одно и то же значение, то гомохронность переходит в синхронность.

Итак, безразмерная форма дифференциального уравнения теплопроводности:

=. (3.77) Fo X Применим такое же обезразмеривание к граничным усло виям 3-го рода:

T T = (Tп Tc ) = T x x x = x = T0 l = T0 = X X x = x = = Bi, (3.78) X x = где Bi = – число Био, характеризующее отношение темпе ратурного перепада Т к температурному напору Т.

Действительно, T = (Tп Tc ) x x = T T = T = = Bi.

T При малых числах Био, когда температурный перепад меньше температурного напора (Т Т), в теплообмене большую роль играет условие теплообмена на границе, т.е.

внешнее тепловое сопротивление. При больших числах Био, когда температурный перепад больше температурного напора (Т Т), в теплообмене большую роль играет теплопровод ность, т.е. внутреннее тепловое сопротивление плоского слоя.

3.8. Стационарная теплопроводность плоского слоя В частном случае для плоского слоя толщиной, не со держащего внутренних источников тепла (qV = 0), на поверхно стях которого x = 0 и x = заданы граничные условия первого рода, т.е. поддерживаются температуры соответственно Т1 и Т2.

Математическая формулировка стационарной краевой задачи теплопроводности имеет вид:

d 2T = 0, (3.79) dx T ( x = 0 ) = T1, T ( x = ) = T2. (3.80) Общее решение уравнения теплопроводности (3.79) полу чается после двойного интегрирования:

dT dT = C dx = C1 dT = C1dx T = C1 x + C2. (3.81) dx Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся подстанов кой граничных условий (3.80) в общее решение (3.81):

T1 = C1 0 + C (3.82) T2 = C1 + C и имеют вид:

T1 T C1 = ;

C2 = T1. (3.83) В результате получается решение задачи:

T1 T T = T1 x, (3.84) дающее линейное распределение температуры по толщине слоя.

Плотность теплового потока определяется в соответствии с законом Фурье:

T T T T dT q = = 1 2 = 1 2 (3.85) dx и является постоянной, отношения и называются со ответственно тепловой проводимостью и тепловым сопротив лением плоского слоя.

Потери тепла через плоскую стенку:

T T T dS d = 1 2 S [ Дж ].

Q = (3.86) n S Пример 1. Определить потери тепла через кирпичную стенку ( л к = 0,3 Вт / (м К) ) площадью 35 м за сутки. Как из менится теплопроводность, если кирпичную стенку заменить деревянной (сосна поперек волокон, л д = 0,107 Вт / (м К) ).

Толщины стенок составляют к = д = 25 см, температуры на ружной и внутренней поверхностей стенки соответственно t1 = 20 oC, t2 = –20 oC. Определить стоимость потерь при цене 1 кВт·ч энергии 1 руб.

Решение. По формуле (3.86) определяем потери тепла че рез кирпичную стенку:

20 ( 20 ) T1 T Qк = S = 3 5 24 3600 = 62500 кДж, к к 0, 25 0, потери тепла через деревянную стенку:

20 ( 20 ) T T Qд = 1 2 S = 3 5 24 3600 = 22200 кДж.

д д 0, 25 0, Один кВт·ч тепловой энергии составляет 1·3600 = 3600 Дж, следовательно, стоимость потерь через кирпичную стенку состав ляет 62500/3600 = 17,4 руб., а через деревянную стенку – 22200 / 3600 = 6,2 руб., что почти в 3 раза меньше.

3.9. Метод регулярного теплового режима расчета нагрева (охлаждения) тел Нестационарными называются такие процессы, при кото рых температурное поле изменяется не только в пространстве, но и во времени.

Среди практических задач нестационарной теплопровод ности важнейшее значение имеют две группы процессов:

• температура тела претерпевает периодические изменения (температурное поле Земли, насадка регенераторов доменной печи и др.);

• температура изменяется монотонно (задачи нагрева ох лаждения тел).

Аналитическое решение задач нестационарной теплопро водности часто бывает затруднительным, поэтому в практике расчета времени нагрева (охлаждения) тел применяют при ближенный инженерный метод, в соответствии с которым пре небрегают внутренним тепловым сопротивлением тела по сравнению с внешним.

Из формулы теплового сопротивления плоского слоя / видно, что оно стремится к нулю в двух случаях:

1. 0 – тела имеют малый размер по одной из координат;

2. – тела являются хорошими проводниками тепла.

Таким образом, метод эффективен при расчетах нагрева охлаждения металлических листовых материалов. На практике метод используется уже при Bi 0,1.

В математической формулировке краевой задачи для пло ской стенки с адиабатной левой и охлаждаемой правой по верхностями:

2 ( = 0 ) = 0, = =0 = Bi, Fo X X X X =0 X = где – безразмерная температура, определяемая по формуле:

T TC =.

T0 TC Градиенты температуры отсутствуют, и уменьшение внут ренней энергии происходит за счет рассеяния тепла через ее поверхность:

d = Bi. (3.87) dFo Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение решим методом разделения переменных:

d = Bi dFo ln = Bi Fo + C. (3.88) Для нахождения постоянной интегрирования воспользуем ся начальным краевым условием ( Fo = 0 ) = 0.

Постоянная интегрирования C находится подстановкой начального условия = 0 при Fo = 0 в уравнение C = ln 0.

Таким образом, безразмерное отклонение температуры описывается уравнением:

ln = Bi Fo + ln 0.

Сгруппировав подобные и пропотенцировав последнее уравнение, получим более удобный вид этого уравнения:

= 0 e Bi Fo, (3.89) т.е. в соответствии с методом регулярного теплового режима безразмерная температура убывает по экспоненциальному закону.

На практике метод регулярного теплового режима приме няется и для расчета массивных тел сложной формы, для этого число Био, характеризующее темп охлаждения (нагревания) тела, определяют экспериментально (рис. 3.17) на участке ли нейной зависимости:

Рис. 3.17. Зависимость логарифма температуры от числа Фурье ln 1 = Bi Fo1 + C, ln 2 = Bi Fo2 + C.

Исключая постоянную С из системы уравнений, получаем:

ln Bi =.

Fo2 Fo Пример 2. Определить промежуток времени, по истечении которого лист стали, прогретый до температуры Т0 = 500 oC, будучи помещен в воздушную среду, температура которой Тс = 20 oC, примет температуру, отличающуюся не более, чем на 1 % от температуры окружающей среды.

Толщина листа 2 = 20 см, теплофизические свойства ста ли: коэффициент теплопроводности = 45,5 Вт/(мК);

тепло емкость с = 0,46 кДж/(кг·К);

плотность = 7900 кг/м3. Коэффи циент теплоотдачи от поверхности листа к окружающему воздуху = 35 Вт/(м2К).

Решение. Вычислим число Био:

35 0, Bi = = = 0,0077 0,1.

45, Так как Bi 0,1, температуру по сечению листа можно считать одинаковой во всех точках и воспользоваться форму лой (3.89) метода регулярного теплового режима:

= e BiFo = e 0,0077Fo T Tc 0,01 Tc 0,01 = 4, 2 104 ;

= = = T0 Tc T0 Tc 500 ln(4, 2 104 ) ln a Fo = = = 1010 ;

Fo = 2 = c 0,0077 0, Fo c2 1010,4 7900 0,46 103 0, = = = 45, = 8067 с 2 ч 15 мин.

3.10. Теплопроводность при плавлении-затвердевании металла Процесс переноса теплоты может сопровождаться измене нием агрегатного состояния вещества. В процессе перехода вещества из одного агрегатного состояния в другое выделяется либо поглощается большое количество теплоты. Процесс фазо вого перехода может локализоваться в объеме малой толщины, называемом фронтом фазового перехода.

В соответствии с балансом под вода и отвода теплоты фронт фазово го перехода будет перемещаться с определенной скоростью. К фрон тальным процессам относится и про цесс плавления-затвердевания метал ла. На рис. 3.18 показано темпера турное поле в отливке с плоским фронтом фазового перехода. При от воде тепла с поверхности отливки (x = 0) образуется корка твердой фазы (1) толщиной, которая растет по ме ре отвода тепла со скоростью.

Рис. 3.18. Температурное поле Температурное поле в твердой фазе при фазовом переходе подчиняется уравнению теплопро водности:


T = a1 2T1, (3.90) где а1 – коэффициент температуропроводности твердой фазы металла.

В жидкой фазе 2 температурное поле описывается систе мой дифференциальных уравнений переноса энергии:

T = a2 2T2, (3.91) движения вязкого расплава dW = g p + v 2 W (3.92) d и неразрывности ( ) + div 2 W = 0, (3.93) где W ( u, v, w ) – вектор скорости;

p – градиент давления;

а2, 2 – коэффициент температуропроводности плотность жидкой фазы металла.

На границе фазового перехода (на рис. 3.18 это граница x = ) плотности тепловых потоков в твердой и жидкой фазах равны и связаны со скоростью продвижения границы соотношением:

T1 T Вт qф = 1 = 2 2 = L, 2, (3.94) n n м где L – удельная теплота фазового перехода, Дж/кг;

плотность относится к исходной фазе: при затвердевании металла это плотность жидкой фазы, при плавлении – к твёрдой.

Таким образом, постановка задачи включает уравнение те плопроводности для твердой фазы (3.90), систему уравнений тепломассопереноса (3.91–3.93) в жидкой фазе и баланс тепло вых потоков на границе раздела фаз (3.94). Задача замыкается другими рассмотренными ранее краевыми условиями, вклю чающими начальное распределение температуры и поля скоро стей жидкой фазы, условия теплообмена на поверхности слит ка (x = 0) и на оси симметрии (x = ), условия «прилипания расплава» на границе фазового перехода.

Рассмотрим задачу затвердевания плоского слоя из непе регретого неподвижного расплава, имеющего постоянную тем пературу Тзат (рис. 3.19). Поскольку на левой поверхности слоя поддерживается постоянная температура Тп Тзат, происходит затвердевание расплава, т.е. формируется во времени корочка твердой фазы толщиной. При этом на подвижной границе затвердевания x = выделяется удельная теплота фазового пе рехода L [Дж/кг].

Математическая формули ровка задачи включает диффе ренциальное уравнение тепло проводности:

T 2T = a 2, 0 x, (3.95) x начальное условие Т(x, 0) = Тзат;

(0) = 0, (3.96) граничные условия Т(, ) = Тпл;

Т(0, ) = Тп, (3.97) а также условие выделения Рис. 3.19. Схема затвердевания тепла на границе фазового пе плоского слоя рехода T d = L. (3.98) x d Принимая линейный закон распределения температуры по толщине твердой фазы в любой момент времени, из условия (3.98) получаем:

T T d пл п = L.

d После разделения переменных и интегрирования получаем решение задачи:

(Tпл Tп ) (Tпл Tп ).

d = d = (3.99) L L 0 Решение (3.99) отражает «закон квадратного корня» роста корки твердой фазы при затвердевании слитка (рис. 3.20), в соответствии с которым скорость роста твердой фазы умень шается с течением времени. Это объясняется возрастающим тепловым сопротивлением растущей корки, через которую от водится теплота фазового перехода.

Пример 3. Непрерывный плоский стальной слиток (сляб) толщиной 2 = 20 см вытяги вается со скоростью 0,6 м/мин из неподвижного кристаллиза тора (рис. 3.21). Температура поверхности сляба поддержи- Рис. 3.20. Зависимость вается постоянной, Тп = 900 оС. толщины корки от времени Свойства стали: L = 275 кДж/кг;

= 7800 кг/м3;

= 45 Вт/(м·К);

Tпл = 1500 оС. Определить про тяженность двухфазной зоны l по длине слитка.

Рис. 3.21. Схема непрерывного слитка Решение. Из уравнения (3.99) определим время окончания затвердевания, за которое толщина корки достигнет половины толщины сляба ( = ):

2L 0,12 7800 275 = = = 397 с = 6,6 мин.

2 (Tпл Tп ) 2 45 (1500 900 ) Протяженность двухфазной зоны l = u = 0,6 6,6 = 4,0 м.

3.11. Метод сквозного счета в задачах теплопроводности при структурных и фазовых переходах Математическую формулировку задачи рассмотрим на примере затвердевания слитка. При отводе теплового потока с поверхности слитка происходит его затвердевание (рис. 3.22), при этом одновременно существуют твердая фаза, двухфазная зона, включающая растущие кристаллы, и жидкая фаза (ядро) слитка.

Температура, при кото рой происходит переход из твердого состояния в твердо жидкое (двухфазное), назы вается температурой соли дуса (Тсол), переход из двух фазного состояния в жидкое происходит при температу ре ликвидуса (Тлик). В интер вале температур двухфазной зоны (Тсол Т Тлик) проис Рис. 3.22. Схема формирования слитка. ходит выделение удельной 1 – твердая фаза;

2 – двухфазная зона;

теплоты фазового перехода 3 – жидкая фаза L, [Дж/(кг·К)]. При охлаж дении поверхности слитка двухфазная зона продвигается, при этом область выделения удельной теплоты фазового перехода заранее неизвестна. Та кая задача с подвижной границей фазового перехода называет ся задачей Стефана.

В основе с метода сквозного счета лежит решение уравне ния теплопроводности для всей расчетной области слитка, в пределах двухфазной зоны в уравнении учитывается источ ник теплоты фазового перехода. Это достигается введением функции относительного содержания твердой фазы в элементе объема (), изменяющейся только в пределах двухфазной зо ны, при этом уравнение теплопроводности имеет вид:

T ш с = 2T + L. (3.100) Функция относительного содержания твердой фазы зави сит только от температуры, = 1 при Т Тсол, = 0 при Т Тлик и изменяется 0 1 при Тсол Т Тлик, поэтому сделаем замену ш dш T =, dT после которой в уравнении теплопроводности T dш T с = 2T + L dT объединяем левую часть и источник тепла T dш c L = T.

dT Выражение в скобках является эффективной теплоемкостью dш cэф = c L. (3.101) dT С введением эффективной теплоемкости уравнение тепло проводности принимает стандартный вид без источника тепла T = aэф 2T, (3.102) где aэф = ( cэф ) – коэффициент эффективной температуро проводности.

В квазиравновесной модели кристаллизации принят линей ный закон выделения твердой фазы в двухфазной зоне (рис. 3.23), поэтому функция и ее производная принимают вид:

0 при T Tлик, T T ш = лик при Tсол T Tлик, Tлик Tсол 1 при T Tсол ;

0 при T Tлик, T Tсол, dш = dT при Tсол T Tлик.

Tлик Tсол Рис. 3.23. График функции относительного содержания твердой фазы Эффективная теплоемкость (3.101) в этих условиях скачком возрастает в интервале температур двухфазной зоны (рис. 3.24):

с ( T ) при T Tлик, T Tсол, cэф = L с ( T ) + T T при Tсол T Tлик.

лик сол Рис. 3.24. График функции эффективной теплоемкости Таким образом, выделение скрытой теплоты затвердевания учитывается за счет эквивалентного повышения теплоемкости в двухфазной зоне. При такой постановке задачи границами двухфазной зоны являются изотермы ликвидуса и солидуса.

При дальнейшем охлаждении слитка в твердой фазе проис ходят структурные переходы с выделением соответствующих теплот структурных переходов. Тепловые эффекты этих перехо дов можно учесть также эквивалентным повышением теплоемко сти при температурах Т, Т, Т с учетом удельных теплот этих переходов L, L, L. В результате на графике зависи мости теплоемкости от температуры (рис. 3.25) наблюдается спектр повышения теплоёмкости при температурах структурных и фазового переходов. Поэтому теплоёмкость, учитывающая фа зовые и структурные переходы в металле, называется спектраль ной теплоемкостью.

Рис. 3.25. График функции спектральной теплоемкости Уравнение теплопроводности (3.102), содержащее эффек тивную (или спектральную) теплоёмкость, зависящую от тем пературы, нелинейно, так как коэффициенты уравнения зави сят от его решения (распределения температуры). Поэтому решать такое уравнение следует на компьютере численно.

Сначала по заданному начальному распределению температу ры определяются эффективные (спектральные) теплоёмкости в расчётной области. Затем решается уравнение теплопровод ности с рассчитанными коэффициентами и находится некото рое распределение температуры. Далее уточняются значения коэффициентов и снова находится уточнённое распределение температуры. Такой итерационный процесс продолжается до достижения требуемой точности решения.

3.12. Приближенный учет конвекции жидкого ядра кристаллизующегося слитка В жидком ядре слитка тепло переносится не только тепло проводностью, но и конвекцией. Причинами этому могут быть естественная конвекция перегретого расплава, перемешивание расплава струей подаваемого жидкого металла, электромаг нитные и другие воздействия на жидкое ядро слитка. Конвек тивный теплоперенос в объеме жидкой фазы может быть учтен введением эквивалентной теплопроводности:

л экв = ек л ж, (3.103) где ек коэффициент конвекции, зависящий от интенсивности движения расплава. В частности, в условиях свободной кон векции он может быть больше единицы, и эквивалентная теп лопроводность жидкой фазы может значительно превышать теплопроводность твердой фазы слитка.

При затвердевании сплавов, температурный интервал двухфазной зоны которых заключен между значениями темпе ратур ликвидуса и солидуса, возникает необходимость интер поляции теплопроводности. На рис. 3.26 показан вариант ли нейной интерполяции теплопроводности в двухфазной зоне:

к ж T Tлик, при т (T ) = т + к ж (T Tсол ) при Tсол T Tлик, (3.104) Tлик Tсол т T Tсол.

при Рис. 3.26. Аппроксимация теплопроводности у фронта фазового перехода Возрастание эквивалентной теплопроводности в жидкой фазе при её перемешивании приводит к увеличению теплоот дачи на фронте фазового перехода, разогреву твердой фазы и соответственному увеличению теплоотдачи на поверхности слитка.

3.13. Законы теплообмена излучением Источником теплового излучения является нагретые тела.

Излучение в узком интервале длин волн от до +d называет ся монохроматическим, суммарное излучение во всем диапа зоне длин волн 0 называется интегральным. Состав ин тегрального излучения характеризуется спектром излучения, который может быть сплошным для твердых тел и селектив ным для газов.

Характеристики излучения 1. Поток поверхностного излучения – энергия, излучаемая поверхностью во всевозможных направлениях полупростран ства в единицу времени:

Дж dQ Ф= с Вт. (3.105) d 2. Плотность потока поверхностного излучения – это по ток поверхностного излучения с единичной поверхности тела:

Дж Вт d 2Q dФ q= = м2с м2.

, (3.106) dS d dS 3. Угловая плотность потока излучения – это энергия, ис пускаемая в направлении l под углом с нормалью к поверх ности единичной площадкой поверхности в единицу времени в пределах элементарного телесного угла d (рис. 3.27, а):

Вт d2Ф d 3Q dq I = = = м 2 рад.

, (3.107) d dS d d dS d 4. Интенсивность (яркость) излучения – это угловая плот ность излучения, отнесенная не ко всей элементарной площад ке, а к ее проекции на плоскость, ортогональную направлению излучения (рис. 3.27, б):

Вт d2Ф d2Ф I I= = = м 2 рад.

, (3.108) dS n d dSсosш dщ сos Рис. 3.27. Схемы к определению угловой плотности потока излучения (а) и интенсивности излучения (б) Энергию в пределах узкого интервала длин волн называют спектральной, например:

Вт 1 Вт dq q =, 2 3 – спектральная плотность по d м м м верхностного излучения;

Вт 1 Вт dI I = м 2 рад м м 3 рад – спектральная интен, d сивность излучения и т.д.

Спектральные и интегральные потоки энергии излучения связаны соотношениями:

= = Вт Вт м 2 ;

I = I d, q= q d, м 2 рад и т.д.

= 0 = Поток Ф0 падающего на тело излучения частично отража ется (ФR), поглощается (ФA) и пропускается (ФD) (рис. 3.28). Из закона сохранения энергии ФR Ф A ФD + + = Ф0 Ф0 Ф0 (3.109) = R + A + D = 1, где R, А, D – коэффициенты соответственно отражения, по глощения и пропускания. Ча стными случаями уравнения (3.109) являются при R = 1, D= = A = 0 абсолютно белое те Рис. 3.28. Схема потоков излучения ло ( R = f ( ) для цветного тела);

при А = 1, R = D = 0 абсолютно черное тело;

при D = 1, R = A = 0 абсолютно прозрачное (диатермичное) тело.

Законы теплообмена излучением Закон Планка устанавливает зависимость спектральной плотности поверхностного излучения от температуры и дли ны волны:

2hc 2 q,T = hc. (3.110) e kT Произведение q,T d равно энергии, излучаемой в диапа зоне длин волн d (рис. 3.29).

Рис. 3.29. Спектральная зависимость энергии излучения Зависимость q,T() при различных температурах показана на рис. 3.30. Видно, что при любой температуре наблюдаются максимумы энергии q,T, при этом с повышением температуры выделение максимальной энергии смещается в коротковолно вый диапазон.

Рис. 3.30. Температурная и спектральная зависимости энергии излучения. Выделена область видимого излучения Из закона Планка следует закон смещения Вина, установ ленный немецким физиком В. Вином в 1893 г.:

maxT = b, (3.111) где b постоянная Вина, b = 2,910–3 мK, т.е. длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энер гии излучения абсолютно черного тела, обратно пропорцио нальна абсолютной температуре этого тела, т.е. с увеличени ем температуры максимальное выделение энергии смещается в коротковолновый диапазон.

Закон Стефана – Больцмана установлен Д. Стефаном (1879 г.) из анализа экспериментальных данных, а затем Л. Больцманом (1884 г.) теоретическим путем и определяет интегральную энергию излучения абсолютно черного тела:

= qT = q,T d = T 4 qT = T 4, (3.112) = где постоянная Стефана – Больцмана, = 5,6710– Вт/(м2К4), т.е. плотность потока поверхностного излучения абсолютно черного тела пропорциональна его абсолютной температуре в четвертой степени.

Для применения закона Стефана – Больцмана к реальным телам вводится понятие серого тела.

Серым называется такое тело, которое, аналогично аб солютно черному телу, имеет сплошной спектр излучения, но плотность потока поверхност ного излучения этого тела для каждой длины волны меньше соответствующей энергии аб солютно черного тела. Степень черноты серого тела 1 и ха Рис. 3.31. Схема рактеризует отношение энергий к понятию серого тела излучения серого и абсолютно черного тела (рис. 3.31):

q =. (3.113) qT Используя зависимость между интегральным и спектраль ным потоками энергии = = Вт q q qT = q,T d = d =, м2, = 0 = а также понятие степени черноты, можно записать закон Сте фана – Больцмана для серого тела:

q = T4. (3.114) В табл. 3.1 приведены в качестве примера степени черноты некоторых материалов.

Таблица 3. Степень черноты различных материалов t, оC № Наименование материала пп Сталь окисленная при 600оС 1 200…600 0, Сталь листовая 2 25 0, Латунь прокатанная 3 22 0, Кирпич огнеупорный 4 1000 0,8…0, Вода 5 0…100 0,95…0, Лак черный матовый 6 40…95 0, Сажа 7 95…270 0, Закон Кирхгофа устанавливает зависимость между излу чением и поглощением тел. Для двух параллельных бесконеч ных поверхностей – абсолютно черной с температурой ТТ и серой с температурой Т из условия теплового равновесия серой поверхности (Т = ТТ) имеем (рис. 3.32):

q q = A qT = qT. (3.115) A Отношение спектральной излучательной способности те ла к его поглощательной спо собности одинаково для всех серых тел, находящихся при одинаковых температурах, и равно излучательной способно Рис. 3.32. Расчетная схема сти абсолютно черного тела при той же температуре.

Следствия из закона Кирхгофа:

1) тело, обладающее малой излучательной способностью, обладает и малой поглощательной способностью;

2) степень черноты серого тела численно равна коэффици енту поглощения этого тела:

q q = qT = T 4 A = =.

A qT Закон Ламберта определяет пространственное распреде ление энергии (рис. 3.33) I ш = I n сosш. (3.116) Угловая плотность пото ка излучения убывает прямо пропорционально косинусу угла между направлением излучения и нормалью к излучаемой пло щадке.

Закон Ламберта справедлив полностью для абсолютно чер ного тела, для большинства се Рис. 3.33. Расчетная схема рых тел наблюдается отклоне о ние от закона уже при 70.

Зависимость между энергией, излучаемой в направлении нормали, и энергией полусферического излучения определяет ся соотношением:

q I=, (3.117) энергия излучения в направлении нормали к поверхности в раз меньше энергии полусферического излучения, т.е. около 30 % всей энергии излучается в направлении нормали к поверхности тела.

3.14. Эффективное излучение Если серое тело участвует в теплообмене с другими телами, то на него падает со стороны других тел энергия qпад (рис. 3.34).

Кроме того, само тело излучает собственную энергию qсоб, опре деляемую законом Стефана – Больцмана. Сумма собственного и отраженного потоков энергии называется эффективным или фактическим излучением:

qэфф = qсоб + R qпад, (3.118) где R – коэффициент отражения.

Для непрозрачных тел ко эффициент пропускания D = 0, R + A = 1, R = 1 – A. Из закона Кирхгофа следует, что коэф фициент поглощения равен степени черноты серого тела A =, следовательно, R = 1 –.

Поэтому для непрозрачных тел эффективное излучение опре Рис. 3.34. Расчетная схема деляется по формуле:

qэфф = qсоб + (1 ) qпад. (3.119) С использованием понятия эффективного излучения рас смотрим задачу теплообмена между параллельными бес конечными пластинами (рис. 3.35). Такая задача возникает при расчете теплообмена в зазорах, толщина которых много мень ше продольного размера, например в усадочном зазоре между слитком и изложницей. В этом случае энергия излучения од ной пластины полностью попадает на другую. Принимая пла стины непрозрачными, а среду между ними диатермичной, за пишем плотности потоков эффективного излучения:

qэфф1 = qсоб1 + (1 1 ) qэфф. (3.120) qэфф2 = qсоб2 + (1 2 ) qэфф Рис. 3.35. Расчетная схема Энергия, которой обмениваются пластины, равна разности их эффективных потоков:

T14 T q12 = qэфф1 qэфф2 =.

+ 1 Введем обозначение приведенной степени черноты двух параллельных бесконечных пластин:

пр =, (3.121) + 1 а также приведенного коэффициента излучения:

Спр = пр, (3.122) в результате получаем расчетные формулы для плотности по тока излучения:

q12 = Cпр (T14 T24 ) (3.123) и с учетом площади пластин S для потока излучения Ф = q S, [Вт]. (3.124) Пример 4. Определить поток излучения в малом зазоре меж ду слитком и изложницей с площадью зазора S = 1 м2. Температу ры поверхности слитка Т1 = 1000 К, изложницы – Т2 = 800 К. Сте пень черноты материалов слитка и изложницы 1 = 2 = 0,8.

Решение. Приведенная степень черноты по формуле (3.121):

1 пр = = = 0,67 ;

11 1 + 1 + 1 2 0,8 0, приведенный коэффициент излучения по формуле (3.122):

Спр = пр = 5,67 108 0,67 = 3,80 108 Вт/(м2К4).

В результате поток излучения Ф = Спр (T14 T24 ) S = 3,80 108 (10004 8004 ) 1 = 22, 4 кВт.

При теплообмене излуче нием между телами, одно из которых заключено внутри другого, излучаемая энергия внутреннего тела полностью падает на внешнее тело, но из лучение внешней поверхности лишь частично падает на внут реннее тело, при этом внешняя поверхность самооблучается Рис. 3.36. Расчетная схема (рис. 3.36). Обозначим харак теристики внутреннего тела индексом 1, а внешнего – 2. Поверхности тел примем изотер мичными Т1 T2, площади тел не равны S1 S2. Пространство между телами диатермично.

В результате теплообмена поток излучения между телами Ф = пр (T14 S1 2 1T24 S 2 ), [Вт] (3.125) в котором приведенная степень черноты имеет вид:

пр =. (3.126) 1 S1 1 + 1 S 2 В случае излучения маленькой трубки в большой комнате (S1 S2) отношение S1 S 2 0 и пр = 1 т.е. приведенная сте пень черноты будет равна степени черноты самой трубки.

Пример 5. Определить поток излучения трубки диаметром d = 2 см и длиной l = 1м, нагретой до температуры 60 оС в большом помещении с температурой 20 оС. Степень черноты материала трубки = 0,2.

Решение. Приведенная степень черноты по формуле (22) пр = = 0, 2. Поток излучения по формуле (3.125) Ф = пр S1 (T14 T24 ) = dl (T14 T24 ) = = 5,67 108 0, 2 3,14 0,02 1 ( 273 + 60 ) ( 273 + 20 ) = 3,51 Вт.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.