авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический ...»

-- [ Страница 3 ] --

4 3.15. Экранирование как способ защиты от теплового излучения Экраном в теории теплообмена излучением называют тон кое непрозрачное для тепловых лучей тело с высокой отража тельной способностью, предназначенное для защиты от тепло вого излучения.

Рассмотрим две парал лельные изотермические пла стины с температурами Т1 T2, разделенные экраном, темпе ратура которого Тэ (рис. 3.37).

Степени черноты материала пластин и экрана обозначим соответственно 1, 2 и э.

Площади пластин и экрана равны S1 = S2 = Sэ = S.

Из уравнения (3.123) сле дует, что экран уменьшает Рис. 3.37. Плоский экран плотность теплового потока:

Cпр ( Cпр1 + Cпр2 ) q1 =, (3.127) Cпр1 Cпр q1 э где Спр, Спр1, Спр2 – приведённые коэффициенты излучения ме жду двумя пластинами, первой пластиной и экраном и второй пластиной и экраном соответственно.

Cпр1 = пр1 =, Cпр2 = пр2 =, 11 + 1 + 1 э 2 э Cпр = пр =.

+ 2 В частном случае, когда степени черноты материала пла стин и экрана равны 1 = 2 = э, будут равны и приведенные коэффициенты излучения Спр1 = Спр2 = Спр и отношение (3.127) становится равным двум, т.е. один экран уменьшает поток энергии излучения вдвое. Если между пластинами установить n одинаковых экранов при 1 = 2 = э, то поток энергии излуче ния уменьшится в (n + 1) раз.

Пример 6. Определить, во сколько раз уменьшается поток энергии излучения, если между серыми пластинами (1 = 2 = = = 0,8) установлен экран с более высокой отражающей способно стью (э = 0,2).

Решение. Вычислим приведенные коэффициенты излучения:

Cпр = = = ;

11 1 1, + 0, Cпр1 = Спр2 = = =.

11 1 1 5, + 1 + э 0,8 0, Из формулы (3.127) Cпр ( Cпр1 + Cпр2 ) 1,5 ( 2 5, 25 ) q1 = = = 7, ( 5, 25) Cпр1 Cпр2 q1 э т.е. один непрозрачный экран, отражающая способность кото рого (1–) в четыре раза больше отражающей способности пла стин, уменьшает поток энергии излучения в 7 раз.

3.16. Сложный (радиационно-конвективный) теплообмен При теплообмене между поверхностью тела и окружаю щей средой (рис. 3.38) разделение общего процесса переноса тепла на теплопроводность, конвекцию и тепловое излучение является условным. В действительности эти явления протека ют одновременно и влияют друг на друга: конвекция сопрово ждаетсятепловым излучением, а тепловое излучение – конвек цией.

Плотности теплового по тока при конвективном тепло обмене между поверхностью тела с температурой Тп и ок ружающей средой с темпера турой Tc определяется уравне Рис. 3.38. Расчетная схема нием теплоотдачи:

qк = ( tп tс ), [Вт/м2], (3.128) а при теплообмене излучением qи = Спр (Tп4 Tс4 ), [Вт/м2]. (3.129) Общая плотность теплового потока с учетом того, что ( tп tс ) = (Tп Tс ) :

q = qк + qи = (Tп Tс ) + Спр (Tп4 Tс4 ). (3.130) Расчет сложного теплообмена может проводиться по фор муле конвективного теплообмена (3.128):

q = qк + qи = (Tп Tс ) + Спр (Tп4 Tс4 ) = T 4 Tс (Tп Tс ) = к + Спр п Tп Tс или q = ( к + и )(Tп Tс ), и = Спр (Tп2 Tс2 ) (Tп Tс ), (3.131) где и – коэффициент теплоотдачи, учитывающий излучение;

к = – коэффициент теплоотдачи конвекцией.

Пример 7. Определить коэффициент теплоотдачи излуче нием с поверхности металлической отливки в открытом про странстве при температуре Тп = 1000 оС, степень черноты от ливки = 0,8, температура окружающей среды Тс = 20 оС.

Решение. По формуле (3.131) с учетом того, что Спр = пр =, и = (Tп2 + Tс2 ) (Tп + Tс ) = = 5,67 108 0,8 (1000 + 273) + ( 20 + 273) 2 (1000 + 273) + ( 20 + 273) = 121 Вт ( м 2 К ).

3.17. Вопросы для самоконтроля 1. Что называется конвективным тепломассообменом?

2. Плотность теплового потока при конвективном тепло массообмене. Теплоотдача, уравнение теплоотдачи Ньютона – Рихмана, физический смысл и размерность коэффициента теп лоотдачи.

3. Массоотдача, коэффициент диффузии, его смысл и раз мерность.

4. Дифференциальное уравнение неразрывности, уравне ние несжимаемости, их физический смысл.

5. Дифференциальное уравнение переноса энергии, его фи зический смысл.

6. Коэффициент температуропроводности, его размерность и физический смысл.

7. Дифференциального уравнения движения вязкого теп лоносителя, его физический смысл.

8. Коэффициенты динамической и кинематической вязко сти, их размерность и физический смысл.

9. Дифференциальное уравнение теплоотдачи в погра ничном слое.

10. Условия однозначности в задачах конвективного теп ломассообмена, виды граничных условий для скорости.

11. Коэффициент поверхностного натяжения, его размер ность и физический смысл. Условия возникновения конвекции Марангони.

12. Коэффициент объемного расширения теплоносителя.

Приближение Буссинеска в задачах тепловой конвекции, его физический смысл.

13. Какие уравнения включает постановка краевой задачи тепловой конвекции в динамических переменных?

14. Завихренность, функция тока теплоносителя, их раз мерности, физический смысл. Дифференциальное уравнение переноса завихренности.

15. Дифференциальное уравнение теплопроводности, его физический смысл.

16. Как учитываются в уравнении теплопроводности неод нородные свойства?

17. Как учитываются в уравнении теплопроводности ани зотропия свойств?

18. Как задаются граничные условия теплообмена первого, второго и третьего видов? Физический смысл коэффициента теплоотдачи.

19. Граничные условия контактного теплообмена (четвер того вида). Смысл и размерность теплового сопротивления контакта.

20. Теплопроводность плоского слоя, определение расхода тепла.

21. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопро водности. Числа Био и Фурье, их физический смысл.

22. Особенности теплопроводности при фазовых и струк турных переходах в металле.

23. Как определяется плотность теплового потока на гра нице фазового перехода?

24. Математическая формулировка задачи теплопроводно сти с подвижной границей фазового перехода.

25. Получите «закон квадратного корня» роста корки твер дой фазы при затвердевании слитка.

26. Какова методика сквозного счета в задачах теплопро водности со структурными и фазовыми переходами?

27. Вид функции относительного содержания твердой фа зы в задачах с фазовым переходом.

28. Способы вычисления эффективной и спектральной те плоемкостей.

29. Как приближенно учесть конвекцию жидкого ядра кри сталлизующегося слитка в задачах теплопроводности?

30. Характеристики теплового излучения.

31. Радиационные характеристики тел. Чем характеризу ются абсолютно белое, черное и прозрачное тела? Диффузное и зеркальное отражение, цветные тела.

32. Законы Планка, Вина, Стефана – Больцмана, Кирхгофа, Ламберта.

33. Определение эффективного излучения для прозрачных и непрозрачных тел.

34. Расчет теплообмена излучением между бесконечными пластинами. Приведенная степень черноты.

35. Теплообмен излучением между телами, когда одно те ло находится внутри другого.

36. Экранирование как способ защиты от теплового излу чения.

37. Что такое сложный (радиационно-конвективный) теп лообмен?

38. Как определяется коэффициент теплоотдачи, учиты вающий излучение?

4. Основы теории подобия и моделирования в металлургии 4.1. Подобие физических явлений Решение на основе математического моделирования за труднительно. Наиболее мощным средством решения реальных задач в металлургии, обобщения экспериментальных и расчет ных данных является теория подобия и моделирования.

Теория подобия (учение о подобных явлениях) дает общий метод преобразования выражений, содержащих дифференци альные операторы, к алгебраическим уравнениям.

Суть метода в том, что реальный процесс заменяется ус ловной схемой (моделью), в которой все дифференциальные операторы сохраняют постоянное значение в пространстве и во времени. Термин «подобие» заимствован из геометрии. Так, для подобных фигур (рис. 4.1) Рис. 4.1. Геометрически подобные области для объекта (слева) и модели l1 l2 l = = = Cl, (4.1) l1 l2 l где Сl – константа геометрического подобия, или коэффициент пересчета масштабов, зная который, можно получить любой размер в одной системе по сходственному размеру в другой.

Следствием геометрического подобия является соответствен ное выражение для площадей (S) и объемов (V):

S V = CS = Cl2 ;

= CV = Cl3. (4.2) S V На практике при геометрическом подобии используются не характеристики длин сторон многоугольника, а их коорди наты. Если ввести систему прямоугольных координат x, y, то при геометрическом подобии все координаты xi, yi первого треугольника (объекта) пропорциональны соответствующим координатам xi, yi второго треугольника (модели), т.е. вы полняются соотношения:

x y = Cx ;

= Cy. (4.3) y x Этот пример иллюстрирует дальнейшее развитие понятия подобие – аффинное подобие, при котором допускается нера венство масштабов по отдельным координатным осям. В этом случае геометрические фигуры или пространственные объекты как бы деформируются: круг превращается в эллипс, паралле лепипед с неравномерными ребрами – в куб и т.п. Переход к аффинному подобию возникает, например, при моделирова нии процессов в слоевых агрегатах, когда размер частицы слоя мал по сравнению с размерами аппарата.

Преобразующие функции (4.3), осуществляющие взаимо связь между координатами модели и объекта, могут быть и не линейными.

Для реализации подобия физических явлений геометриче ского подобия недостаточно, необходимо соблюдение подобия и по другим характеристикам, определяющим эти явления:

времени, скоростям, массам, силам, температурам, теплофизи ческим свойствам и т.д.

Приведем основные понятия подобных явлений.

Одноименными величинами называются такие, которые имеют одинаковые физический смысл и размерность (напри мер, температура объекта и модели).

Сходственными точками системы называются такие точ ки, координаты которых удовлетворяют условию геометриче ского подобия (1).

Сходственные моменты времени наступают по истечении периодов времени и, имеющих общее начало отсчета и связанных между собой константой подобия C =.

Подобными называются физические явления, протекаю щие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отно шения одноименных величин есть постоянные числа. Эти по стоянные числа называются числами подобия.

Следует отметить, что подобными могут быть явления одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналити ческими зависимостями. Явления, описываемые одинаковыми уравнениями, но имеющие различную природу, называются аналогичными. Пример аналогичных явлений: теплопровод ность и диффузия, описываемые одинаковыми по внешнему виду уравнениями Фурье и Фика. Известны электротепловая, гидротепловая аналогии.

Получим числа подобия, предполагая, что объект и модель удовлетворяют второму закону Ньютона:

d2 x = Fx.

m (4.4) dt d 2 x = Fx Запишем этот закон для реального объекта m dt d 2 x = Fx.

и для модели m dt Введем константы подобия для входящих в уравнение (4.4) величин:

F m t x Cm =, Ct =, Cl =, C F = x, m t x Fx из которых найдем переменные для модели:

m = Cm m, t = Ct t, x = Cl x, Fx = CF Fx, подставим их в уравнение для модели:

C d 2 x d 2 x = Fx Cm m l2 2 = CF Fx m dt 2 Ct dt d 2 x CF Ct F.

m = dt 2 Cm Cl x Из тождественности уравнений для объекта и модели вы текает CF Ct =1. (4.5) Cm Cl CF Ct Выражение C = называется индикатором подобия, Cm Cl а вытекающее из (4.5) соотношение F t 2 F t = (4.6) mx mx называется условием подобия. Равенство (4.5) представляет со бой математическое выражение первой теоремы подобия, ко торая гласит: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице. Смысл равенства единице индикатора подобия за ключается в том, что существенное значение для динамическо го подобия процессов имеет не каждый из параметров, входя щих в закон Ньютона в отдельности (F, m, t, x), а вполне определенная их комбинация, называемая числом Ньютона:

Ft 2 Ft Ne = =. (4.7) ml mv Число Ньютона называется инвариантом подобия и харак теризует отношение изменения импульса (Ft) к импульсу (mv, v = l / t), оно одинаково для всех подобных между собой явле ний, и первая теорема подобия может быть сформулирована так: у подобных явлений числа подобия (K) тождественны:

Ft K = Ne = = idem. (4.8) ml Слово idem применяется для обозначения подобных про цессов. Для обобщения условия динамического подобия рас смотрим более сложный вариант, вытекающий из второго зако на Ньютона – одномерное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости под действием перепада давления со скоростью u вдоль оси х, при этом скорость из-за сил трения за висит от двух координат x и y. Соответствующее дифференци альное уравнение Навье – Стокса описывает перенос импульса под действием сил тяжести, внешнего давления и вязкого трения и имеет вид:

u 1 p 2u = g +v 2.

u (4.9) x x y Для записи этого уравнения в безразмерном виде выберем в качестве масштабов следующие характерные величины: l – характерный размер области;

р0 – давление;

u0 – скорость. То гда безразмерные переменные (они обозначены сверху чертой) примут вид:

x y p u x=, y=, p=, u=. (4.10) l l p0 u Отсюда получаются размерные переменные x = xl, y = yl, p = pp0, u = uu0 и их дифференциалы dx = l d x, dy = l d y, dp = p0 d p, du = u0 d u.

Подставим эти размерные переменные в уравнение Навье – Стокса (4.9) и вынесем постоянные масштабы за знаки частных производных u0 u 1 p0 p u0 2 u =g +v u0 u, 0 l x l x l y после умножения уравнения на l u0 получим:

u gl p p 2u = 2 02 + u. (4.11) x u0 0u0 x u0l y Уравнение (4.11) безразмерно, следовательно, каждый из трех комплексов в правой части уравнения безразмерен и явля ется инвариантом подобия:

p ul gl Fr =, Eu = 0 2, Re = 0.

0 u u0 v где Fr, Eu, Re – соответственно числа Фруда, Эйлера и Рей нольдса. Числа Фруда и Рейнольдса определяют геометрию и физические свойства системы и являются ее параметрами, так как могут измениться при переходе к другой системе. Эти числа подобия называются определяющими. Число Эйлера ха рактеризует безразмерный перепад давления, который подле жит определению и называется определяемым числом. С уче том чисел подобия уравнение Навье – Стокса принимает вид:

u p 1 2u = Fr Eu + u. (4.12) x y Re y Первая теорема подобия требует тождественности чисел подобия как необходимого условия подобия явлений.

Особый интерес представляют соотношения между числа ми подобия. Возможность представления решения как функ ции от чисел подобия в виде критериального уравнения и со ставляет содержание второй теоремы подобия (-теоремы):

любое уравнение, связывающее между собой N физических ве личин, из которых K величин обладают независимыми размер ностями, можно преобразовать к уравнению, связывающему N–K безразмерных критериев Смысл этой теоремы рассмотрим на примере уравнения Навье – Стокса (4.9), решение которого при соответствующих краевых условиях должно иметь следующий вид:

u = u ( x, y,, v, g, u0, l ). (4.13) p = p ( x, y,, v, g, u0, l ) Искомые величины – скорость и давление являются функ циями двух аргументов (координат x и y) и пяти параметров (плотности, кинематической вязкости, ускорения свободно го падения g, масштабов скорости u0 и длины l).

После приведения уравнения к безразмерному виду (4.12) имеем решение:

( ) u = u x, y, Re, Fr, (4.14) ( ) Eu = Eu x, y, Re, Fr при этом каждая искомая величина зависит уже от двух без размерных координат и двух параметров. В рассматриваемой задаче число параметров при переходе к безразмерным пере менным уменьшилось на три.

В решении (4.14) числа подобия, составленные из пара метров (Fr, Re), называются определяющими, а безразмерная скорость u и число Эйлера Eu – определяемыми.

Условия, достаточные для существования подобия физи ческих явлений (третья теорема подобия), были впервые сформулированы в 1930 г. Кирпичевым и Гухманом в виде трех положений:

1) подобные процессы должны быть качественно одинако выми, т.е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями;

2) условия однозначности (геометрические и физические параметры системы, начальные и граничные условия) подоб ных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме чис ленных значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях;

3) одноименные определяющие критерии подобных про цессов должны иметь одинаковые численные значения.

Отметим следствия теоремы:

1) если процессы А и В подобны, то любая физическая ве личина в данной точке процесса А пропорциональна соответ ствующей величине в сходственной точке процесса В;

2) подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных величин могут быть неодинаковыми.

Пример 1. При моделировании испытаний самолета в аэро динамической трубе изготовлена модель самолета, уменьшенная в 50 раз (рис. 4.2). Определяющим критерием является число Рейнольдса Re = u0l v, характеризующее режим обтекания. Пер вое условие теоремы Кирпичева – Гухмана выполнено, так как в модели и в реальных условиях одна и та же моделирующая сре да – воздух. Второе условие (однородность профиля скорости потока воздуха) выполняется не во всем объеме трубы, а только в её рабочей части за пределами гидродинамических погранслоёв толщиной. Третье условие – равенство чисел Рейнольдса – вы полняется, если в модели увеличить скорость в 50 раз или умень шить вязкость воздуха в 50 раз. Последнее нереально. Значитель ное увеличение скорости приводит к ионизации воздуха, при этом изменяется дифференциальное уравнение течения ионизирован ного воздуха и нарушается первое условие. Поэтому работа с мо делью самолета, уменьшенной в 50 раз, не отвечает условиям по добия. В аэродинамических трубах продувают самолеты нату ральных размеров.

Рис. 4.2. Схема моделирования самолета в аэродинамической трубе Функциональные зависимости (4.14) определяемых крите риев от определяющих описывают все подобные явления. Од нако определяющие критерии, характеризующие соотношение определенных физических факторов, могут принимать очень большие или очень малые значения и перестают оказывать влияние на протекание процесса. Это явление называется вы рождением критерия или автомодельностью процесса по от ношению к данному критерию. Смысл термина заключается в том, что при изменении вырожденного критерия безразмер ные характеристики процесса не изменяются, т.е. он остается подобным самому себе, моделирует сам себя. Например, в уравнениях (4.14) при течении вязкого газа влияние силы тя жести может быть пренебрежимо малым по сравнению с влия нием других сил, например сил инерции и сил вязкого трения.

В этих условиях вырожденным оказывается критерий Фруда, характеризующий соотношение сил инерции и гравитации, т.е.

поток является автомодельным по отношению к критерию Фруда.

4.2. Числа подобия в задачах тепломассопереноса При известном дифференциальном уравнении, описываю щем ход процесса, числа подобия можно получать путем ана лиза размерностей. Например, для уравнения второго закона число Ньютона может быть получено как отношение размер ности правой части уравнения (4), характеризующей внешние силы, к размерности левой части, характеризующей силы инерции:

d2 x = Fx ( 2) F Ft m Ne = = = dt 2. (4.15) (1) ml t ml (1) ( 2) Получим, таким образом, числа подобия из уравнений, описывающих тепломассообмен в жидких и газообразных (вязких) теплоносителях.

Теплоотдача между твердой поверхностью с температурой Тп и вязкой средой с температурой Тc (Тп Тc) и теплопровод ностью в приближении погранслоя описывается уравнением:

T = (Tп Tс ) n n = 0. (4.16) (1) ( 2) Безразмерное отношение правой части уравнения (4.16) к левой называется числом Нуссельта:

( 2 ) t l = = = Nu. (4.17) (1) t l Nu = ( l ) является определяемым Число Нуссельта и характеризует безразмерный коэффициент теплоотдачи.

Уравнение (4.16) описывает и граничные условия теплооб мена при решении задачи теплопроводности в твердом теле.

В этом случае при известном коэффициенте теплоотдачи, тем пературном перепаде T n T l и температурном напоре Т = Тп – Тc безразмерное отношение называется числом Био:

( 2 ) T l = = = Bi, (4.17) (1) T l характеризующим отношение температурного перепада к тем пературному напору T T.

При внешней схожести чисел Нуссельта и Био между ними существует два различия:

1) в число Био входит коэффициент теплопроводности твердого тела, а в число Нуссельта – жидкости или газа в по граничном слое;

2) в число Био коэффициент теплоотдачи задан из гра ничных условий 3-го рода, в числе Нуссельта коэффициент теплоотдачи – величина искомая, поэтому само число Нуссель та является определяемой величиной.

Рассмотрим критерии подобия, вытекающие из уравнения переноса тепловой энергии. Для этого запишем одномерное уравнение переноса тепловой энергии без источников тепла:

T T 2T +u + x x 2. (4.18) (1) ( 2 ) ( 3) Оценим отношение второго члена уравнения, характеризую щего конвективный теплоперенос, к третьему члену, характери зующему теплопроводность. При этом будем пользоваться харак терными размерными величинами: скоростью u, температурой t, температуропроводностью а и линейным размером l:

at ul ut ( 2 ) ( 3) = =.

l2 a l Полученный критерий подобия называется числом Пекле ul Pe =, характеризующим относительную интенсивность a конвективного и диффузионного механизмов переноса тепло вой энергии. Так, при Pe 1 конвективный механизм переноса тепловой энергии преобладает над диффузионным механиз мом. Если задача решается с инженерной точностью 5 %, то при Ре 95 третьим членом в уравнении (4.18) можно пренеб речь по сравнению со вторым. Таким образом, в сравнении ин тенсивности процессов конвекции и диффузии тепла сущест венное значение имеют не три размерных параметра u, l, а в отдельности, а их вполне определенная комбинация, назы ваемая числом Пекле.

Отношения других членов уравнения (4.18):

aT T ( 3) (1) = =2, la l uT T ( 2 ) (1) = = lu l характеризуют безразмерное время процесса переноса тепла, причем l 2 a – характерное время процесса переноса тепла теп лопроводностью, l u – характерное время процесса переноса те пла конвекцией. Полученные критерии характеризуют безраз мерное время процесса переноса тепла и называются числами Фурье (Fo) и гомохронности (Ho – однородности по времени):

Fo =, Ho =.

la lu Рассмотрим критерии подобия, вытекающие из уравнения движения (переноса импульса):

u u 1 p 2u +u =g + x x y (4.19) (1) ( 2 ) ( 3) ( 4 ) ( 5) Уравнение представляет баланс сил инерции (1, 2), тяже сти (3), внешнего давления (4) и вязкого трения (5).

Отношение второго члена уравнения, характеризующего силы инерции при стационарном течении, к пятому, характери зующему силы вязкого трения, является важнейшим критерием подобия, называемым числом Рейнольдса:

u2 vu ul ul ( 2 ) ( 5) = = = Re Re =.

l l При малых значениях числа Рейнольдса ( Re 103 ) силы вяз кого трения преобладают над силами инерции, течение вязкой среды имеет слоистую, ламинарную структуру. При больших зна чениях числа Рейнольдса ( Re 104 ), когда инерционные силы преобладают над силами вязкого трения, циркуляция вязкой сре ды имеет турбулентную структуру. Поперечные пульсации ско рости и температуры при турбулентной конвекции приводят к возрастанию вязкости и температуропроводности.

Область изменения числа Рейнольдса 103 Re 104 харак теризует смешанный режим течения, при котором наблюдается примерное равенство сил инерции и вязкого трения и происхо дит смена ламинарного и турбулентного режимов течения.

Таким образом, число Рейнольдса, характеризующее от ношение сил инерции к силам вязкого трения, играет важную роль для определения структуры течения вязкого теплоносите ля при вынужденной конвекции.

Отношение третьего члена уравнения (4.19) ко второму да ет число Фруда:

u 2 gl gl ( 3) ( 2 ) = g = 2 = Fr Fr = 2, lu u характеризующее относительную по сравнению с инерционной силу тяжести.

Из сравнения сил внешнего давления с силами инерции в уравнении (4.19):

u 2 p p ( 4) ( 2) = = l l u p получается число Эйлера Eu =, характеризующее отно u шение перепада давления к удвоенному динамическому напору ( u 2 2 ), т.е. безразмерный перепад давления.

В критериях Рейнольдса, Пекле, Фруда, Эйлера содержится характерная скорость процесса, легко определяемая при вынуж денной конвекции, например при течении теплоносителя в кана лах, при заданном перепаде давления эта скорость определяется как отношение объемного секундного расхода теплоносителя к площади поперечного сечения канала. При свободной конвек ции выделение характерной скорости затруднительно. Поэтому представляет интерес получение критерия из комбинации полу ченных критериев, не содержащего характерную скорость про цесса. Такая комбинация, составленная из чисел Рейнольдса gl и Фруда, называется числом Галилея: Ga = Re 2 Fr = 2, харак теризующим соотношение сил тяжести и вязкого трения.

Умножая полученное число Галилея на другой безразмер ный комплекс – относительное изменение плотности вязкой gl среды, получаем число Архимеда: Ar = 2, характери зующее относительную подъемную силу в вязкой среде с неод нородной плотностью. Число Архимеда, например, пропор ционально интенсивности разделения смеси двух теплоносите лей с разными плотностями в поле сил тяжести.

В случае когда различие плотностей в однородной среде вызвано температурным полем:

0 0 0 (1 T ) = = = T, 0 gl число Архимеда переходит в число Грасгофа: Gr = T, v пропорциональное относительной подъемной силе, действую щей на частицу вязкого теплоносителя в неоднородном тем пературном поле.

Число Грасгофа, играющее большую роль в исследовании процессов свободной тепловой конвекции при заданном пере паде температур, также характеризует режим циркуляции теп лоносителя и связано, поэтому, с числом Рейнольдса. Для об наружения этой связи обратимся к уравнению движения в приближении Буссинеска:

u u 1 p 2u = (1 T ) g +u + 2.

x 0 x y Приравнивая масштабы инерционной и подъемной сил в этом уравнении (соответственно второй и третий члены уравнения), можно оценить характерную скорость свободной конвекции:

u = gT u = gl T. (4.20) l Если подставить это значение скорости в число Рейнольд са, то получим искомую связь:

gTl l gTl ul Re = = = = Gr.

v v v При данном соотношении между числом Рейнольдса, ха рактеризующим вынужденную конвекцию, и числом Грасгофа, характеризующим свободную конвекцию, отмечается одинако вый масштаб скорости и следует ожидать похожие режимы течения. Так, если турбулентный режим наступает в условиях вынужденной конвекции при Re 104, то в условиях свобод ной конвекции этот режим наступает при Gr 108. Из этой оценки также следует, что если Re = Gr 104, то в расчетах теплообмена необходимо учитывать как вынужденную, так и свободную конвекцию, т.е. рассматривать процессы смешан ного теплообмена.

Отношение чисел Пекле и Рейнольдса дает новый безразмер ный комплекс – число Прандтля, зависящее только от теплофи Pe v зических свойств среды: Pr = =. Это число представляет Re a собой отношение кинематической вязкости теплоносителя, про порциональной толщине динамического пограничного слоя, к температуропроводности, пропорциональной толщине темпера турного пограничного слоя (рис. 4.3). Таким образом, число Прандтля является непосредственной мерой отношения толщин динамического и температурного пограничных слоев.

В предельном случае, когда число Прандтля мало, толщи на динамического пограничного слоя много меньше толщины температурного пограничного слоя, д т Pe 1. Такой случай имеет место для жидких металлов. При больших числах Прандтля, наоборот, толщина динамического пограничного слоя больше, чем толщина температурного слоя, д т Pe 1. Это наблюдается в смолах, маслах и других вязких средах с малой температуропроводностью.

Рис. 4.3. Распределение скорости и температуры в пограничных слоях при малом (слева) и большом числах Прандтля 4.3. Теплообмен при вынужденном движении теплоносителя в каналах Вынужденным называется движение теплоносителя под действием внешней вынуждающей силы, например перепада давления.

При движении теплоносителя в трубах и каналах форми руются гидродинамический и температурный пограничные слои. В пределах участка гидродинамической стабилизации l эти слои смыкаются (рис. 4.4). Для круглой трубы диаметром d длина этого участка l0 50d.

В пределах участка гидродинамической стабилизации (при x l0) растет толщина пограничного слоя, из-за теплового со противления этого слоя уменьшается коэффициент тепло отдачи.

При x l0 режим течения зависит от критерия Рейнольдса (рис. 4.5). При Re 2·103 наблюдается ламинарное течение теп лоносителя, при Re 104 поток становится турбулентным. При Re = 2·103…104 наблюдается переходный режим течения и те плообмена.

Рис. 4.4. Схема теплоотдачи в трубе Рис. 4.5. Схемы течения теплоносителя при ламинарном и турбулентном режимах течения При турбулентном течении температура и скорость пуль сируют около их средних значений. Определим среднюю тем пературу потока в сечении канала. Через элементарную пло щадку dS в единицу времени поток теплоносителя переносит теплоту dQ = cTudS Q = cTudS S cTudS Q = Tср cudS Tср = S.

cudS S S Если пренебречь зависимостью плотности и теплоемко сти с от температуры, то последнее уравнение принимает вид:

T u dS Tср = S, (4.21) u dS S При развитом турбулентном течении скорость постоянна по сечению канала, в этом случае формула (4.21) принимает вид:

S Tcp = T dS. (4.22) S Температура потока изменяется не только по сечению, но и по длине трубы. Обозначим среднюю температуру стенки трубы tп, среднюю температуру теплоносителя у входа в трубу t', у выхода t", тогда усредненная температура теплоносителя по длине канала t может быть определена как среднеарифме тическая:

t' + t" t=. (4.23) Средняя скорость теплоносителя определяется через объем ный секундный расход и площадь сечения канала по формуле:

1 V u dS = S.

ucp = (4.24) SS При ламинарном неизотермическом течении теплоносителя возможны различные режимы теплообмена. В частности, при вяз костно-гравитационном режиме на вынужденное движение теп лоносителя влияет свободная конвекция, учитываемая числом Грасгофа, достаточно точное обобщение опытных данных дает формула для среднего числа Нуссельта в длинных трубах:

Nu пот = 0,15Re0,33 Prпот Grпот ( Prпот Prст ) 0, 0,43 0,. (4.25) пот Пример 1. Определить коэффициент теплоотдачи и количе ство передаваемой за единицу времени теплоты при течении во ды в горизонтальной трубе диаметром d = 8 мм и длиной l = 6 м, если скорость u = 0,1 м/с, температура воды Тпот = 80 оС, темпера тура стенки трубы Тст = 20 оС.

Решение. При Тпот = 80 оС свойства воды: пот = 0,675 Вт/(м·К), пот = 0,365·10–6 м2/c, = 6,32·10–4 К–1, Prпот = 2,21;

при Тст = 20 оС Prст = 7,02.

При этих свойствах вычисляем критерии Рейнольдса и Грасгофа:

0,1 0, ud Reпот = = = 2190 ;

0,365 gd 3 (Tпот Tст ) Grпот = = 9,81 0,0083 6,32 104 ( 80 20 ) = = 1,43 106, ( 0,365 10 )6 из полученных значений делаем вывод о вязкостно гравитационном режиме течения воды, применяя формулу (4.25), получаем:

Nu пот = 0,15Re0,33 Prпот Grпот ( Prпот Prст ) = 0, 0,43 0, пот = 0,15 21900,33 (1, 43 106 ) ( 2, 21 7,02 ) 0, = 8,56.

0, Средний коэффициент теплоотдачи пот Вт 0, = Nu пот = 8,56 = 724 2.

мК d 0, Количество переданной за единицу времени теплоты Q = d l (Tпот Tст ) = = 724 3,14 0,008 6 ( 80 20 ) = 6,55 кВт.

4.4. Теплообмен при свободной конвекции в неограниченном объеме Свободным (естественным) называется движение тепло носителя, обусловленное разностью плотностей нагретых и холодных его частиц при отсутствии сил внешнего давления.

Под неограниченным объемом понимается такой объем, размеры которого много больше толщины погранслоя, при этом тепловые возмущения от нагретого (охлажденного) тела не распространяются на весь объем, поэтому на некотором ко нечном удалении от тела теплоноситель можно считать невоз мущенным.

Рис. 4.6. Схема теплоотдачи у нагретой вертикальной стенки Рассмотрим свободный теплообмен вертикальной плиты или трубы (рис. 4.6). Характер движения теплоносителя зави сит в основном от температурного напора T = Tст Tпот, где Tст – температура нагретой поверхности (стенки);

Tпот – темпе ратура потока теплоносителя, неподвижного вдали от поверх ности. С увеличением температурного напора ламинарное движение теплоносителя вдоль стенки переходит в турбулент ное движение. В нижней части плиты с увеличением толщины ламинарного гидродинамического пограничного слоя теплоот дача падает, затем возрастает в переходной области и стабили зируется в области турбулентного течения теплоносителя.

Определяющую роль при свободной конвекции играет число Рэлея, равное произведению чисел Грасгофа и Прандтля Ra = Gr · Pr. Уравнение подобия, справедливое для различных форм поверхности теплообмена, имеет вид:

Nu пот = CRa пот, n (4.26) ( a) где Ra = gl 3T – число Рэлея.

Значения коэффициентов С и n в этом уравнении зависят от числа Рэлея и приведены ниже.

10–3…5·102 5·102…2·107 2·107… Ra C 1,18 0,54 0, n 1/8 1/4 1/ Например, средний коэффициент теплоотдачи при турбу лентном режиме свободной конвекции определяют из уравнения Nu пот = 0,135 ( Grпот Prпот ).

(4.27) В этих формулах за определяющую температуру принята температура теплоносителя вдали от нагретой поверхности.

Определяющий размер для вертикальных плит – их высота, отсчитываемая от начала теплообмена.

Запишем уравнение (4.27) в размерных переменных, при няв за масштаб длины высоту стенки h:

1 g h3t 3 g h3t h = 0,135 = 0,. (4.28) 2 a a Видно, что при турбулентном режиме средний коэффициент теп лоотдачи не зависит от характерного размера – высоты стенки, т.е. процесс теплоотдачи автомоделен к этому параметру.

Пример 2. Определить тепловой поток при свободной кон векции от голого вертикального трубопровода диаметром d = = 120 мм и высотой h = 6 м к воздуху. Температура стенки Тст = = 523 К, температура воздуха Тпот = 293 К.

Решение. При определяющей температуре Тпот = 293 К свой ства воздуха: кинематическая вязкость = 15,06·10–6 м2/c;

тепло проводность = 0,026 Вт/(м·К);

число Прандтля Pr = 0,703;

коэф фициент объемного расширения = 1/(Тпот + 273) = 1/293 К–1.

Числа Грасгофа и Рэлея:

g h3T 9,81 63 = = 7,34 1012 ;

Grпот 293 (15,06 10 ) 6 Ra пот = Grпот Prпот = 7,34 1012 0,703 = 5,16 1012.

При этих условиях движение воздуха турбулентно и теп лоотдача определяется уравнением (4.27):

= 0,135 ( 5,16 1012 ) Nu пот = 0,135 ( Grпот Prпот ) = 2088.

Отсюда коэффициент теплоотдачи Nu пот 2088 0,026 Вт = = = 9,0 2.

мК h Тепловой поток Q = d h ( tст tпот ) = = 9,0 3,14 0,12 6 230 = 4,68 кВт.

4.5. Теплообмен при свободной конвекции в ограниченном объеме В малом (ограниченном) пространстве размеры простран ства соизмеримы с толщиной погранслоя, и характер свобод ной конвекции определяется не только температурным состоя нием поверхностей, но и формой и размерами пространства.

В вертикальных щелях структура течения зависит от толщи ны щели (рис. 4.7). Если толщина щели достаточно велика, то на ее поверхностях образуются восходящий и нисходящий пото ки, которые движутся без взаимных помех. Формирование по гранслоев при этом происходит так же, как и в неограниченных объемах. В узких щелях погранслои из-за взаимных помех взаи модействуют, образуя несколько циркуляциион–ных контуров (вихрей) по высоте щели. Размеры этих вихрей зависят от толщи ны щели и температурного перепада Т = Т1 Т2.

Рис. 4.7. Схема теплоотдачи в вертикальной щели (Т1 Т2, 1 2) В расчетной практике сложный процесс переноса теплоты через щель принято заменять эквивалентным процессом теп лопроводности с плотностью теплового потока:

экв (T1 T2 ), q= (4.29) где л экв = ек л – эквивалентный коэффициент теплопроводности, учитывающий перенос теплоты как теплопроводностью, так и конвекцией;

коэффициент теплопроводности теплоноси теля;

ек коэффициент конвекции, зависящий от интенсивно сти движения теплоносителя, определяемой критерием Рэлея.

При Ra ек = 0,18 Ra 0,25. (4.30) При Ra 103 эквивалентный коэффициент теплопроводно сти практически равен коэффициент теплопроводности мате риала в щели экв. В этом уравнении принята в качестве оп ределяющего размера ширина щели, определяющая температура Tср = (T1 + T2 ) 2.

Пример 3. Определить эквивалентный коэффициент теп лопроводности и плотность теплового потока через вертикаль ную щель = 20 мм, заполненную воздухом. Температура го рячей поверхности Т1 = 200 oC, холодной – Т2 = 80 oC.

Решение. При определяющей температуре Tср = (T1 + T2 ) 2 = ( 200 + 80 ) 2 = 140 o C, свойства воздуха: кинематическая вязкость = 27,8·10–6 м2/c;

теплопроводность = 0,0349 Вт/(м·К);

число Прандтля Pr = = 0,684;

коэффициент объемного расширения = 1/(Тср + + 273) = 1/413 К–1. Вычислим коэффициент температуропро водности воздуха:

а = /Pr = 27,8·10–6/0,684=40,6·10–6 м2/c.

Вычислим по формуле (4.30) коэффициент конвекции:

g 3 (T1 T2 ) 0, ек = 0,18 Ra 0,25 = 0,18 a 0, 9,81 0,023 = 0,18 = 2,14.

413 27,8 10 40,6 Эквивалентная теплопроводность л экв = ек л = 2,14 0,0349 = 0,0747 Вт ( м К ).

Плотность теплового потока через воздушную прослойку по формуле (4.29):

экв Вт 0, (T1 T2 ) = q= 120 = 448 2.

м 0, 4.6. Вопросы для самоконтроля 1. Какие процессы называются подобными, чем они от личаются от аналогичных процессов?

2. Каково содержание трех теорем подобия?

3. Какой физический смысл имеет критерий Нуссельта, чем он отличается от критерия Био?

4. Получите критерий Пекле, каков его физический смысл?

5. Виды и структура движения теплоносителя, критерий Рейнольдса, его физический смысл.

6. Каков смысл критериев Фруда, Эйлера, Архимеда?

7. Физический смысл критерия Грасгофа, как по этому критерию определяют режим свободной конвекции теплоноси теля?

8. Число Прандтля, его физический смысл, диапазон из менения для различных теплоносителей.

9. Почему краевые задачи конвективного теплообмена формулируют в безразмерном виде?

10. Как определяются средние температура и скорость те плоносителя?

11. До какого числа Рейнольдса поток теплоносителя не может переходить из ламинарного в турбулентный режим?

12. Каковы закономерности теплоотдачи при свободном движении теплоносителя в неограниченном объеме?

13. Каковы закономерности теплоотдачи при свободном движении теплоносителя в ограниченном объеме? Вычисление коэффициента конвекции.

5. Вычислительный эксперимент в задачах тепломассопереноса 5.1. Основы метода сеток Решение краевых задач теплофизики в каждом конкретном случае – достаточно сложный процесс. Аналитическое реше ние даже одномерного уравнения теплопроводности, являюще гося дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа, трудноосуществимо, если иметь в виду зависимость теплофизических свойств от температуры, нели нейность граничных условий, т.е. зависимость их от темпера турного поля. Можно сказать, что аналитические методы ока зываются практически непригодными для нахождения двух и трехмерных температурных полей в областях сложной кон фигурации. От этих недостатков свободны численные методы, в которых дифференциальные операторы заменяются алгеб раическими, получающиеся матричные уравнения решаются на компьютерах с нахождением температурного поля в узловых точках конечно-разностной сетки.

Основная идея численных методов состоит в замене не прерывных функций и их производных по времени и координа там, а также в краевые условия их приближенными значения ми в отдельных точках (узлах) сетки. В результате такой замены дифференциальная краевая задача сводится к системе алгебраических (матричных) уравнений относительно искомых параметров в узлах и ячейках сетки.

В общем случае расположение узлов сетки в исследуемой области может быть произвольным. Оно определяется особен ностями решаемой задачи. На практике часто применяют сет ку, равномерно покрывающую расчетную область. Такая сетка с заранее определёнными расстояниями между ближайшими узлами (шагами сетки) называется регулярной. Фрагмент такой сетки применительно к одномерной нестационарной задаче показан на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Фрагмент сетки Узлы этой сетки определяются координатами:

Hx xi = ihx;

i = 0, 1, 2,..., N ;

hx = (5.1) N k = kh ;

k = 0, 1, 2,..., где N – число разбиений по толщине слоя Hx;

hx, h – соответст венно шаги пространственной (по x) и временной (по ) сеток;

i, k – номера узловых точек в направлении координат x,.

Получим приближенные (аппроксимированные) формулы для первой и второй производных переносимой величины Т(, x), входящей в уравнение переноса. Для этого рассмотрим её разложение в ряд Тейлора в направлении координаты x в окре стности точки x0:

T (, x0 ) x x0 2T (, x0 ) ( x x0 ) T (, x ) = T (, x0 ) + + +... (5.2) x x 1! 2!

Ряд быстро убывает, и для нахождения приближенного значения первой производной можно ограничиться двумя чле нами разложения. Третий член разложения (5.2), являясь мак симальным из отброшенных, характеризует в этом случае ошибку аппроксимации или ограничения. С точностью до ошибки аппроксимации можно записать первую производную в конечных разностях:

T (, x ) T (, x ) T (, x0 ). (5.3) x x x Выбирая узловые точки справа и слева от рассматриваемой точки x0 на расстоянии шага hx (x = x0 + hx, x = x0 – hx), можно получить из (5.3) формулы право- и левосторонней разностей:

T (, x0 ) T (, x0 + hx ) T (, x0 ), (5.4) x hx п T (, x0 ) T (, x0 ) T (, x0 hx ).

x hx л Для нахождения ошибки аппроксимации полученных вы ражений воспользуемся рядом Тейлора (5.2), учитывая в нем три члена разложения. Подставим в этот ряд значения x = x и x = x0 + hx и вычтем из второго уравнения первое, в резуль тате получим:

T (, x0 ) T (, x0 + hx ) T (, x0 ) + O ( hx ), = (5.5) x hx п 2T (, x0 ) hx где O ( hx ) = – остаточный член ряда Тейлора, x 2 имеющий порядок шага сетки hx. В этом случае, имея в виду первую степень шага сетки в остаточном члене разложения, говорят, что формула (5.5) аппроксимации первой производной имеет первый порядок точности.

Используя нумерацию узловых точек, можно записать по лученные формулы односторонних разностей для i-й узловой точки на k-м слое по времени:

Ti +1, k Ti, k Ti, k Ti 1, k T T,. (5.6) x x hx hx п л Среднее арифметическое значение право- и левосторонних разностей дает формулу центральной разности:

Ti +1, k Ti 1, k T. (5.7) x 2hx ц Вторая производная может быть найдена формально как производная от производной с применением формул (5.6):

T T Ti +1, k 2Ti, k + Ti 1, k T T x x 2 = = п л. (5.8) x i, k x x i, k hx hx Последнее выражение может быть получено из ряда Тей лора с учетом пяти членов разложения. Действительно, под ставляя в этот укороченный ряд значения x = x0 + hx, x = x0 – hx и складывая полученные выражения, получим:

2T (, x ) T (, x0 + hx ) 2T (, x0 ) + T (, x0 hx ) + O ( hx2 ), (5.9) = x hx 4T (, x0 ) hx где O ( h ) =.

x x Вторая производная определена с точностью до квадрата шага сетки, т.е. имеет второй порядок точности. С таким же вторым порядком точности может быть получена формула первой производной. Для этого в разложении (5.2), записанном через узловые точки k-го слоя, учтем еще один член ряда T hx T hx T hx 2 2 Ti +1, k = Ti, k + + 2 + 3 +.... (5.10) x i, k 1! x i, k 2! x i, k 3!

Отсюда T Ti, k 2T hx 3T hx T i +1, k 2, x i, k x i, k 2 x i, k hx с учетом приближенного значения второй производной (5.8) получаем:

Ti +1, k Ti 1, k T O ( hx2 ), (5.11) x i, k 2hx 3T h где O ( hx2 ) = 3 x. Таким образом, формула центральной x i, k разности имеет второй порядок точности, т.е. она на порядок точней формул односторонних разностей (5.6).

5.2. Схемы аппроксимации уравнения теплопроводности От отдельных производных перейдем к дискретному пред ставлению всего уравнения теплопроводности:

T 2T =a 2. (5.12) x Существующие схемы аппроксимации делятся на явные, ко гда все производные по координате в уравнении переноса запи сываются на «старом» (k–1)-м временном слое с известным рас пределением переносимого параметра Т, и неявные, когда все производные по координате в этом уравнении записываются на «новом» k-м временном слое с известным распределением Т.

Используя формулу односторонней разности для произ водной по времени, а также формулу центральной разности для конвективного члена, запишем примеры схем аппроксимации – явной:

Ti, k +1 Ti, k Ti +1, k 2Ti, k + Ti 1, k =a (5.13) hx h и неявной Ti, k +1 Ti, k Ti +1, k +1 2Ti, k +1 + Ti 1, k + =a. (5.14) hx h Отметим, что полученные аналоги имеют второй порядок точности по пространственной переменной и лишь первый – по времени.

Найдем соотношение между шагами сетки для уравнения теплопроводности, обеспечивающее одинаковую точность ап проксимации его левой и правой частей. Производные по вре мени и координате в уравнении теплопроводности (5.12) име ют различные ошибки аппроксимации соответственно первого и второго порядков точности относительно шагов сетки. По грешность всего уравнения определяется максимальным зна чением этой ошибки. Возникает вопрос нахождения такого со отношения между шагами сетки hx и h, при котором ошибки аппроксимации левой и правой частей этого уравнения равны.

Имея в виду тот факт, что ошибки аппроксимации должны удовлетворять уравнению теплопроводности, запишем:

O ( h ) = a O ( hx2 ) (5.15) или с учетом (5.5), (5.9):

2T h 4T h =a 4 x. (5.16) 2 2 x Продифференцировав уравнение теплопроводности (5.12) по и дважды по x:

2T 3T 4T 1 3T =a 2, =, (5.17) 2 x x 4 a x и подставив полученные выражения в (5.16), получим искомую зависимость:

h = hx2 ( 6a ). (5.18) Полученное условие показывает, что для обеспечения ми нимальной погрешности аппроксимации уравнения теплопро водности сгущение пространственной сетки в 2, 3, 4 раза долж но вызывать соответствующее сгущение временной сетки в 4, 9, 16 раз.

Явная схема Самая простая схема аппроксимации уравнения (5.12) за ключается в замене его левой части односторонней разностью, имеющей первый порядок точности, и записи правой части в конечных разностях на временном слое k, где из вестно распределение па раметра Т (рис. 5.2, по схе ме 5.13), из которой получаем явную формулу Рис. 5.2. Сеточный шаблон явной схемы 1-го порядка точности для температуры:

2ah ah Ti, k +1 = Ti, k 1 2 + 2 (Ti +1, k + Ti 1, k ). (5.19) hx hx Вычисления по явной схеме первого порядка точности устой чивы, если коэффициент при Тi,k оказывается положительным:

2ah 1 0. (5.20) hx Это накладывает ограничение на выбор шага сетки по вре мени h h x. (5.21) 2a Условие устойчивости явной схемы является достаточно жестким. Так, при Hx = 0,01 м, а = 1,510–5 м2/c (сталь), N = 20, h 0,0083 c. Необходимость счета с мелким шагом по времени приводит к увеличению объема вычислений и является суще ственным недостатком, ограничивающим применение явной схемы первого порядка точности.

Неявная схема Лаасонена От этого недостатка свободна неявная схема первого по рядка точности (5.14) (схема Лаасонена, рис. 5.3), согласно ко торой правая часть уравнения (12) записывается на k + 1-м временном слое с неизвестными значениями Т. Она не дает явной формулы для определения неизвестных значений S в уз ловых точках k-го слоя, а дает лишь распределение:

A Ti 1, k +1 + B Ti, k +1 + C Ti +1, k +1 = Fi, i = 1, 2,..., N 1, (5.22) ah 2ah где A = C = ;

B =1+ 2 ;

Fi = Ti, k 1.

hx hx Соотношения (5.22) обра зуют для всех внутренних уз ловых точек k + 1-го слоя сис тему линейных алгебраичес ких уравнений (N–1)-го поряд ка. Так как схема абсолютно Рис. 5.3. Сеточный шаблон устойчива, то счет можно неявной схемы 1-го порядка точности вести с достаточно крупными шагами по времени. Это, однако, приводит к увеличению оши бок аппроксимации уравнения теплопроводности.

Неявная схема Кранка – Николсона Для уменьшения ошибок аппроксимации правую часть уравнения теплопроводности (5.12) усредняют по времени:

Ti, k +1 Ti, k = h (5.23) a T 2Ti, k + Ti 1, k Ti +1, k +1 2Ti, k +1 + Ti 1, k + = i +1, k +.

hx2 hx 2 Эта схема, называемая схемой Кранка – Николсона (рис. 5.4), также абсолютно устойчива, имеет второй по рядок точности и находит широкое применение в прак Рис. 5.4. Сеточный шаблон тических расчетах. Соотно- неявной схемы 2-го порядка точности шения (5.23) образуют для всех узловых точек k-го слоя систе му линейных алгебраических уравнений вида (5.22).

В рассмотренных схемах производная по времени аппрок симировалась односторонней разностью с использованием двух слоев сетки по времени. Такие схемы называются двух слойными.

Явная схема Дюфора – Франкеля Если производную по време ни в уравнении (5.12) заменить центральной разностью, имею щей второй порядок точности, а правую часть разнести по трем временным слоям, получим трех слойную схему. Примером ее Рис. 5.5. Сеточный шаблон явной схемы 2-го порядка точности может служить схема Дюфора – Франкеля (рис. 5.5):

Ti, k +1 Ti, k Ti +1, k (Ti, k +1 + Ti, k 1 ) + Ti 1, k.

a = (5.24) hx2 2h Из (5.24) можно получить явное выражение для неизвест ного значения Тi,k+1 в каждом узле сетки:


Ti, k 1 ( hx2 2ah ) + 2ah (Ti +1, k + Ti 1, k ) Ti, k +1 =. (5.25) hx2 + 2ah Полученное соотношение дает необычную для явных схем абсолютную устойчивость счета при любых шагах сетки hx и h.

Однако следует отметить, что при больших шагах по времени рассматриваемая схема приводит к колебаниям, хотя и не воз растающим. Причиной этого являются ошибки аппроксимации.

Поэтому при больших шагах по времени метод Дюфора – Фран келя неточен.

Существуют и другие явные и неявные методы разностной аппроксимации уравнения переноса.

5.3. Анализ ошибок Ошибки, связанные с дискретным представлением уравне ния переноса и проведением расчетов на компьютере, можно разделить на три вида: ошибки округления, ошибки аппрокси мации, схемные ошибки.

Ошибки округления Ошибки округления связаны с выполнением арифметиче ских операций, в котором числа представляются в экспоненци альной форме с ограниченным числом разрядов. Ошибки ок ругления можно уменьшить, изменяя метод решения мат ричных уравнений, последовательность арифметических опе раций и увеличивая число разрядов для записи чисел в компь ютере (например, применяя двойную точность).

Ошибки аппроксимации Ошибки аппроксимации обычно больше ошибок округле ния и связаны с дискретным представлением отдельных членов уравнения переноса, использованием разложения функции в укороченный ряд Тейлора. Порядок ошибки аппроксимации оценивается максимальным значением остаточного члена ряда Тейлора. Грубо ошибки аппроксимации можно оценить на сле дующем примере. При числе разбиений по толщине слоя N = = 10 шаг сетки hx 1/10, ошибка аппроксимации первой произ водной односторонними разностями равна О(hx) 1/10 10 %, второй производной – O ( hx2 ) 1 100 1 %. Более точно ошибки аппроксимации всего уравнения переноса можно оценить, на ходя решение на последовательности сгущающихся сеток.

На практике полезно строить график изменения функции в характерной точке при сгущении сетки. При этом схемы пер вого порядка точности в области достаточно густой сетки дают линейное приближение к точному решению, а схемы второго порядка точности – параболическое (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Стремление численных решений к точному решению со сгущением сетки при схемах аппроксимации первого (1) и второго (2) порядков точности Общим свойством ошибок аппроксимации является их ис чезновение при асимптотическом стремлении к нулю шагов сетки (сгущении сетки).

Схемная ошибка консервативности Схемные ошибки связаны со схемой конечно-разностного аналога всего уравнения переноса. В отличие от ошибок ап проксимации схемные ошибки не исчезают при асимптотиче ском уменьшении шагов сетки. Однако для уменьшения или исключения схемных ошибок совсем не обязательно устрем лять к нулю шаги сеток.

Примером схемной ошибки является ошибка, связанная с нарушением свойства консервативности (закона сохране ния) в конечно-разностном аналоге уравнения переноса энер гии только конвекцией:

T T +u =0. (5.26) x Явная схема аппроксимации этого уравнения имеет вид:

Ti, k +1 Ti, k Ti +1, k 2Ti, k + Ti 1, k =a. (5.27) hx h Получим это соотношение интегральным методом, интег рируя уравнение переноса по времени от до +h и по про странственной области Ф от x–hx/2 до x+hx/2 (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Область интегрирования Поскольку порядок интегрирования по времени и коорди нате несущественен, выберем его так, чтобы можно было про вести одно точное интегрирование, а именно:

T T x + hx 2 + h + h x + hx d dx + u dx d = 0.

x 2 x hx x hx Проинтегрируем выражения в квадратных скобках x + hx 2 + h ( uT ) ( uT ) x h 2 d = T+ h T dx + x + hx 2 x x hx 2 Остальные интегралы можно определить численно, ис пользуя теорему о среднем, взяв за средние значения цен тральную точку x области интегрирования Ф и нижний предел времени интегрирования. В итоге получим:

(T ) hx + ( uT ) x + h ( uT ) x h h = 0.

Tx, x, + h (5.28) 2, 2, x x Производные T x можно найти, используя формулы односторонних разностей:

Tx + hx, Tx, T Tx, Tx hx, T,. (5.29) x x + hx x x hx hx hx 2, 2, Значения конвективных членов uТ можно вычислить как средние арифметические, например:

( uT ) x + h ( uT ) x, + ( uT ) x + hx,.

= (5.30) 2 2, x Подставляя (5.29) и (5.30) в (5.28), получим:

(T ) Tx, hx + x, + h 1 1 1 + ( uT ) x, + ( uT ) x + h, ( uT ) x, ( uT ) x h, h = 0.

2 2 2 x x Поделим последнее уравнение на hhx и перейдем к ин дексным обозначениям, учитывая, что времени соответствует индекс k–1, а +h – индекс k, получим:

( uT )i +1,k 1 ( uT )i 1,k Ti, k Ti, k + =0 (5.31) h 2hx Отметим, что конечно-разностный аналог (5.31) уравнения переноса, полученный интегральным методом, отличается от соответствующего аналога (5.27), полученного применением приближенных конечно-разностных формул ряда Тейлора не посредственно к уравнению переноса, т.е. дифференциальным методом. Отличие касается аппроксимации конвективного члена уравнения.

Для того чтобы выявить это отличие, приведем получен ную интегральным методом аппроксимацию конвективного члена к виду уравнения (5.27). Для этого предположим, что скорость линейно возрастает в направлении координаты x.

Пользуясь формулой усреднения (индекс k–1 опускаем):

ui +1 + ui ui =, откуда ui +1 = 2ui ui 1 = ui + u, ui 1 = 2ui ui +1 = ui u где u = ui +1 ui = ui ui 1, преобразуем конвективный член уравнения (5.31):

( uT )i +1 ( uT )i 1 ( ui + u ) Ti +1 ( ui u ) Ti = = 2hx 2hx (5.32) T T T +T T T u Ti = ui i +1 i 1 + u i +1 i 1 = ui i +1 i 1 +.

2hx 2hx 2hx hx Указанное отличие, как видно из сравнения (5.32) с соот ветствующей аппроксимацией конвективного члена уравнения (5.27), составляет u Ti hx и исчезает, когда u = 0, т.е. при постоянной скорости. Это свидетельствует о том, что инте гральный и дифференциальный методы дают различные ко нечно-разностные аналоги дифференциального уравнения пе реноса, причем это различие увеличивается с возрастанием градиента скорости переноса. Интегральный метод позволил учесть закон сохранения в дискретном аналоге уравнения пе реноса. Следовательно, ошибку u Ti hx можно трактовать как нарушение закона сохранения переносимого параметра в дискретном аналоге уравнения переноса, полученном диффе ренциальным методом.

Заметим, что указанная схемная ошибка в отличие от оши бок аппроксимации при сгущении сетки ( hx 0 ) не только не стремится к нулю, но даже возрастает.

Другая схемная ошибка связана с неодинаковой точностью конечно-разностного представления отдельных членов уравне ния переноса. Поясним ее на следующем примере. Запишем стационарное уравнение переноса энергии:

2T ( uT ) = a 2. (5.33) x x Получим конечно-разностный аналог этого уравнения, применяя для аппроксимации правой части (диффузионного члена) формулу второго порядка точности, а для левой части (конвективного члена) – формулу правосторонней разности первого порядка точности:

2T ( uT ) + O ( hx ) = a 2 + O ( hx2 ). (5.34) x x i п Уравнение (5.34) имеет низший, первый порядок точности, поэтому погрешностью O ( hx2 ), имеющей более высокий вто рой порядок, можно пренебречь. Подставляя в (5.34) погреш ность O ( hx ) из (5.5), получим:

( uT ) 2 ( uT ) hx 2T = a 2.

(5.35) x x i 2 x i п Усредним скорость в пределах шага сетки u = u и объеди ним коэффициенты при вторых производных, в результате по лучим:

T 2T uhx = a 2.

u (5.36) x п x i Из последнего уравнения видно, что погрешность влияет на коэффициент при диффузионном члене уравнения переноса, поэтому ее называют схемной искусственной температуро проводностью (диффузией). Вынесем в уравнении (5.36) тем пературопроводность за скобку:

uhx uhx a = a 1. (5.37) 2 2a Введем сеточное число Пекле по локальной скорости и ха рактерной длине, равной шагу сетки:

uhx Pe h =. (5.38) a Тогда при переносе тепла получаем схемную температу ропроводность:

uh Pe h a 1 x = a 1.

2a Так как коэффициент а не может быть отрицательными, то Pe h 1 0, откуда uh Peh = x 2. (5.39) a Последнее соотношение является условием, при котором счетная температуропроводность не проявляется. Это соотно шение накладывает ограничение на шаг сетки:

2a hx. (5.40) u Однако в практических расчетах ограничение (5.40) оказы вается очень жестким, поэтому диффузия, которую мы будем в дальнейшем называть счетной диффузией, всегда присутст вует. С математической точки зрения счетная диффузия увели чивает физическую температуропроводность:

Pe a 1 h = a + ac, (5.41) где счетное значение температуропроводности Pe h ac = a. (5.42) Счетная диффузия проявляется в «размазывании» внешних возмущений, в стремлении сделать распределение переноси мых величин более однородным.

Отметим, что аппроксимация всех членов уравнения пере носа с одинаковым порядком точности, например вторым, при водит к исключению счетной диффузии, такие схемы называют бездиффузионными.

Схемная ошибка транспортивности Схемная ошибка транспортивности приводит к тому, внешнее возмущение переносится за счет конвекции не только в направлении, но и против скорости потока. Проиллюстриру ем её на уравнении переноса, учитывая в нем только нестацио нарный и конвективный члены:

T T = u. (5.43) x Конечно-разностный аналог этого уравнения запишем с помощью формул правосторонней и центральной разностей:

Ti, k +1 Ti, k Ti +1, k Ti 1, k = u. (5.44) h 2hx Рассмотрим некоторое возмущение Т = только в одной точке i = n, полагая u 0. Тогда в точке i = n+1 по потоку Tn +1, k +1 Tn +1, k 0 u = u =. (5.45) h 2hx 2hx В точке i = n 1 против потока Tn 1, k +1 Tn 1, k 0 u = u =. (5.46) h 2hx 2hx Таким образом, возмущение, которое должно переноситься только в направлении скорости, т.е. по потоку, при использова нии формулы центральной разности для конвективного члена пе реносится и против потока. Схема (5.44) не обладает, поэтому, свойством транспортивности, а (5.46) характеризует схемную ошибку в точке i = n 1, связанную с нарушением этого свойст ва. Нарушение свойства транспортивности эквивалентно возник новению фиктивных (счетных) источников (стоков) в конечно разностном аналоге уравнения переноса.


Существуют и другие схемные ошибки, связанные глав ным образом с нестационарностью и многомерностью уравне ния переноса. Схемы аппроксимации уравнения переноса, сво бодные от схемных ошибок, называются нейтральными.

5.4. Способы аппроксимации конвективных членов Как мы уже убедились при анализе схемных ошибок, ап проксимация конвективного члена уравнения переноса играет важную роль в численном решении этого уравнения. Поэтому целесообразно провести сравнительный анализ нескольких наи более распространенных разностных схем на регулярной сетке.

Схема с центральными разностями u T u T ( uT ) i +1 i +1 i 1 i 1 (5.47) x 2hx консервативна, так как конвективный член записан в ди вергентной форме, имеет второй порядок точности, поэтому она свободна от счетной диффузии. Однако главным недостат ком этой схемы является, как мы уже убедились ранее, ее не транспортивность. Поэтому схема (5.47) применяется в расчет ной практике редко, в основном при малых числах Пекле.

В первой схеме с разностями против потока использу ются односторонние разности, а не центральная разность, при чем при положительной скорости потока используется форму ла лево-, а при отрицательной – правосторонней разности, т.е.

Ti +1 Ti ui h, ui 0, ( uT ) x (5.48) u Ti Ti 1, u 0.

x i hx i Зависимость односторонних разностей от знака скорости приводит в отличие от предыдущей схемы, к выполнению свойства транспортивности, при котором перенос возмущения обеспечивается всегда в направлении потока. Однако схема (5.48) не консервативна, имеет первый порядок точности, т.е.

обладает счетной диффузией, пропорциональной сеточному числу Пекле.

Вторая схема с разностями против потока известна как схема с донорными ячейками. В ней используются усреднен ные значения скоростей на границах ячейки, содержащей узло вую точку u T u T ( uT ) п п л л, (5.49) x hx где uп = ( ui +1 + ui ) 2, uл = ( ui 1 + ui ) 2, а значения Т выбирают ся в зависимости от знака усредненных скоростей:

Ti, uп 0, Ti 1, uл 0, Tп = Tл = Ti +1, uп 0. Ti, uл 0.

Схема с донорными ячейками обладает как свойством транспортивности, так и свойством консервативности. Фор мально она имеет первый порядок точности, однако усредне ние скоростей сохраняет в ней кое-что от второго порядка точ ности. Поэтому схема (5.49) имеет меньшую по сравнению со схемой (5.48) величину счетной диффузии.

Способы аппроксимации конвективных членов можно про должить. Однако уже рассмотренные способы достаточно иллю стрируют сложность проблемы устранения схемных ошибок и построения нейтральных разностных схем уравнений переноса.

5.5. Аппроксимация граничных условий Аппроксимацию граничных условий рассмотрим на при мере граничных условий теплообмена 3-го рода для правой границы (рис. 5.8) Рис. 5.8. Фрагмент сетки у правой границы T = (Tп Tc ).

n Применяя формулу односторонней разности, получим приближение:

TN TN = (TN TC ), hx из которого определяется температура на поверхности тела TC + TN hx TN =. (5.59) 1+ hx Полученную формулу, имеющую первый порядок точно сти, можно использовать для получения граничных значений температуры в сочетании со схемами аппроксимации уравне ния переноса энергии, имеющими такой же порядок точности.

При работе со схемами второго порядка точности (Кранка – Николсона и др.) необходимо использовать более точную ап проксимацию граничных условий. Для этого запишем разложе ние температуры в ряд Тейлора в окрестности границы i = N:

T 2T h TN 1 = TN hx + 2 x +.... (5.60) x x Учитывая три члена разложения, получим:

T TN TN 1 2T hx +2 +....

x x hx Запишем вторую производную в конечных разностях:

T TN TN 1 TN 2 2TN 1 + TN TN 2 4TN 1 + 3TN + =.

x 2hx2 2hx hx Полученное выражение имеет второй порядок точности, с его учетом из граничного условия:

TN 2 4TN 1 + 3TN = (TN TC ) 2hx получается более точное по сравнению с (5.59) значение температуры на границе:

Tc + ( 4TN TN 1 ) 2hx TN +1 = (5.61) 1+ 2hx Отметим нелинейность граничных условий для температу ры, т.е. зависимость ее на поверхности от значений во внут ренних узлах сетки. Это приводит к итерационному процессу удовлетворения граничным условиям, который заканчивается при достижении наперед заданной точности.

5.6. Методы решения сеточных уравнений Разностные уравнения, полученные из неявных и явно неявных схем, являются, как было показано, линейными алгеб раическими уравнениями. На фиксированном временном слое для всех внутренних узловых точек эти уравнения образуют систему:

ATi 1 + BTi + CTi +1 = Fi, i = 1, 2,..., N 1, (5.62) которую можно записать в векторно-матричном виде:

[ H ] { T } = { F } (5.63) или T1 F B C T F A B C 2 T3 F AB C =, (5.64) B C A A B TN 1 FN где [H] матрица коэффициентов;

{T} вектор-столбец неиз вестных значений искомого параметра Т в узловых точках;

{F} неизвестный вектор столбец, характеризующий краевые условия и распределение параметра Т на предыдущем времен ном слое.

Матрица [H] обладает рядом специальных свойств, кото рые необходимо использовать при решении системы уравне ний. Она имеет высокий порядок, зависящий от густоты сетки, которая может достигать для современных компьютеров не скольких десятков тысяч. Матрица является редко заполненной с размещением ненулевых элементов по диагонали в три ряда.

Такие матрицы называются ленточными трехдиагональными.

Важным свойством является симметрия матрицы относительно ее диагонали, вытекающая из равенства коэффициентов А и С.

Указанные свойства матрицы [H] позволяют занимать незначи тельное место для ее хранения в запоминающем устройстве компьютера, поэтому матрицу [H] называют порождающейся в отличие от хранящейся матрицы.

Перейдем к рассмотрению эффективных способов реше ния системы (5.62).

Метод прогонки Метод прогонки является модификацией метода исключе ния Гаусса, учитывающей свойства матрицы H. Решение сис темы (5.64) в узловой точке ищется в виде линейной функции.

В частности, для (i1)-ой точки эта функция имеет вид:

Ti 1 = iTi + zi, (5.65) где i, zi неизвестные пока вспомогательные коэффициен ты. Подставим (5.65) в (5.62):

A(iTi + zi ) + BTi + CTi +1 = Fi, (5.66) откуда находим:

Az Fi C Ti = Ti +1 i. (5.67) Ai + B Ai + B Полученное соотношение имеет ту же форму, что и функ ция (5.65), только для i-й точки Ti = i +1Ti +1 + zi +1, (5.68) откуда заключаем, что Azi Fi C i +1 = zi +1 = (5.69) ;

.

Ai + B Ai + B Полученные коэффициенты называются прогоночными коэффициентами, а формулы (5.68–5.69) дают процедуру ре шения.

Сначала при i = 1, 2,..., N–1 считаются прогоночные коэффи циенты (5.69), при этом начальные значения прогоночных коэф фициентов 1, z1 определяются из граничных условий на левой границе. Эта операция называется прямой прогонкой. После оп ределения всех i, zi в обратном направлении (i = N1,..., 1) с учетом значения параметра TN, найденных из граничного усло вия на правой границе, по формуле (5.68) последовательно нахо дятся неизвестные значения Ti в узловых точках сетки.

Определение начальных значений прогоночных коэффи циентов рассмотрим на примере граничных условий теплооб мена. На левой границе условие конвективного теплообмена:

T = (Tп Tc ) (5.70) x может быть представлено в конечно-разностном виде (рис. 5.9):

T1 T = (T0 Tc ).

(5.71) h Рис. 5.9. Фрагмент сетки у левой (а) и правой (б) границ Отсюда находим:

T0 = h T1 + Tc. (5.72) 1+ 1+ h h Сравнивая эту формулу с соотношением (5.68) для левой границы T0 = 1T1 + z1, (5.73) получаем начальные значения прогоночных коэффициентов:

1 = h ;

Tc z1 =. (5.74) 1+ 1+ h h Запишем условие теплообмена на правой границе:

T = (Tп Tc ), (5.75) x в конечных разностях:

TN TN = (TN Tc ).

(5.76) h Отсюда находим:

+ h TN = h TN +1 Tc. (5.77) h Запишем соотношение (5.68) для правой границы:

TN 1 = N TN + z N. (5.78) Приравнивая правые части (5.77), (5.78), получим искомое значение температуры на правой границе z N + Tc бh TN =. (5.79) 1 + (1 в N ) бh Запишем алгоритм метода прогонки:

h ;

z = Tc ;

1 = 1+ 1+ h h Az Fi C i +1 = ;

zi +1 = i, Ai + B Ai + B i = 2, 3,..., N ;

(5.80) z N + Tc TN = h ;

(1 N ) 1+ h Ti = i +1Ti +1 + zi +1, i = N 1,..., 0. Пример программы, реализующий алгоритм метода про гонки, приведён в лабораторной работе № 3.

Основным недостатком метода прогонки являются ошибки округления при вычислении прогоночных коэффициентов. Эти ошибки возрастают с увеличением порядка системы. Для уменьшения этих ошибок рекомендуется считать эти коэффи циенты с повышенной точностью.

Метод последовательной линейной верхней релаксации Наряду с прямыми методами для решения сеточных урав нений применяются итерационные методы, дающие решения в виде предела последовательности однообразных итераций.

Основное их преимущество перед прямыми методами заклю чается в самокорректирующемся решении, дающем минималь ные ошибки округления. Привлекает в них и простота вычис лительного алгоритма.

Рассмотрим один из эффективных итерационных методов – метод последовательной линейной верхней релаксации, итера ционная процедура которого применительно к разностному уравнению (5.62) имеет вид ( Fi ATi q1 CTi +q11 ) + (1 ) Ti q 1, i = 1, 2, …, N 1, (5.82) Ti q = B где q – номер итерации;

– параметр релаксации. При = получаем процесс последовательных смещений, или процесс Зейделя. Введение параметра верхней релаксации 1 2 по зволяет ускорить сходимость итерационного процесса (21), причем наибольшая скорость сходимости имеет место при оп тимальном значении параметра релаксации = опт. Последнее зависит от порядка системы и может быть вычислено через число разбиений расчетной области:

опт = (5.83).

1 + sin 2 sin 2N 2N Эта формула применима для одномерной области с регу лярной сеткой. Расчет по формуле (5.82) с учетом (5.83) про должается до тех пор, пока искомое решение не будет удовле творять требуемой точности:

Ti q 1, (5.84) Ti q max где – требуемая точность.

5.7. Алгоритм решения сопряженных уравнений теплообмена Рассмотрим в общих чертах процедуру решения сопря женной задачи конвективного теплообмена, в которой совме стно решаются уравнения конвекции, например, в переменных завихренность и функция тока (–) и уравнение переноса энергии для температуры Т. Рассмотрим вычислительный цикл для нестационарных уравнений ––T-системы (рис. 5.10).

Исследуемая область покрывается конечно-разностной сеткой, в узлах которой определяется решение. Процедура сче та начинается с задания начальных условий для функций,, T, причем для нахождения стационарного решения вид началь ных условий несущественен.

Далее для некоторого приращения по времени вычис ляются завихренность и температура во внутренних узлах сет ки с помощью конечно-разностных аналогов соответствующих уравнений переноса. Затем решается конечно-разностный ана лог уравнения Пуассона для функции тока, в котором исполь зуются новые значения завихренности, вычисленные во внут ренних узловых точках. Отметим, что решение уравнения Пуассона включает в себя итерации, которые называются внутренними. В процессе внутренних итераций завихренность не изменяется. После выхода из внутренних итераций по напе ред заданной точности вычисляются компоненты скорости.

Рис. 5.10. Блок-схема решения задачи конвективного теплообмена Следующий шаг вычислительного цикла связан с уточне нием граничных условий для завихренности и температуры.

При этом используются новые (уже вычисленные) значения,, Т во внутренних приграничных точках области. Расчет – – Т-системы с уточнением граничных условий повторяют до достижения наперед заданной точности. Одновременно могут уточняться неоднородные свойства, например вязкость, темпе ратуропроводность и др. Эти повторения называются внешни ми итерациями (в отличие от внутренних итераций для уравне ния Пуассона).

При выходе из внешних итераций проводится расчет чисел Нуссельта (безразмерной теплоотдачи), и вычислительный цикл повторяется для нового слоя по времени. Если находится стацио нарное решение задачи, то необходимость во внешних итерациях отпадает, и расчет чисел Нуссельта откладывается до выхода ре шения на стационарное с заданной степенью точности.

Выход из внутреннего итерационного цикла осуществля ется по условию:

iq, j 1. (5.86) iq,+j max Выход из внешнего цикла определяется условиями:

ip, j 1, (5.87) ip, + j max Ti,pj 1 T, (5.88) Ti,pj+ max где р – номер внешней итерации. При значениях чисел Пран дтля, близких к единице, скорости сходимости итерационных процессов по температуре и завихренности примерно одинако вы. При числах Прандтля, меньших единицы, что соответству ет расплавленным металлам, сходимость по температуре мо жет достигаться медленнее, чем по завихренности. В этом слу чае «замораживание» температурного поля в течение несколь ких шагов по времени и расчет только завихренности может привести к экономии времени счета.

Общие затраты компьютерного времени зависят также от за даваемой точности внутренних и внешних итераций,, Т. Ре комендуется задавать = 0,005, = Т = 0,01. С уменьшением указанных значений допустимых погрешностей увеличиваются затраты компьютерного времени при практически неизменном решении, увеличение погрешностей приводит к колебаниям ре шения.

5.8. Вопросы для самоконтроля 1. Основы метода сеток. Запись первой и второй произ водных с первым и вторым порядками точности.

2. Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения пе реноса энергии.

3. Схемы аппроксимации первого и второго порядков точности для уравнения теплопроводности.

4. Сравнительная характеристика ошибок округления, ап проксимации и схемных ошибок в вычислительном экспери менте.

5. Как оценить погрешность в вычислительном экспери менте?

6. От чего зависит схемная ошибка консервативности в уравнении переноса?

7. Каковы условия существования схемной ошибки искус ственной диффузии, как она проявляется в численном решении?

8. Причины возникновения и проявление схемной ошиб ки транспортивности.

9. Способы аппроксимации конвективных членов уравне ния переноса. Понятие о нейтральных разностных схемах.

10. Формулы аппроксимации граничных условий конвек тивного теплообмена первого и второго порядков точности.

11. Векторно-матричное представление сеточных уравнений.

12. Метод прогонки решения матричных уравнений и его реализация на компьютере.

13. Итерационный метод последовательной линейной верх ней релаксации решения матричных уравнений и его реализация на компьютере.

14. Как организовать алгоритм решения сопряженных урав нений тепломассопереноса на компьютере?

ЧАСТЬ II ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Лабораторная работа № Статистическая обработка массива случайных данных Цель работы: ознакомиться с методами обработки масси ва случайных данных.

Приборы и принадлежности: калькулятор.

Сведения из теории Случайной величиной называют переменную величину, кото рая в результате опыта может принимать различные значения.

Случайные величины обычно обозначают большими буквами, например Х. Значения случайной величины, которые она прини мает в результате опыта, обозначают малыми буквами x1, x2,..., xn. При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величины x1, x2,..., xn может встретиться m1, m2, …, mn раз. Эти числа называют частотами. Весь набор значений случайной величины образует генеральную совокупность Nx. От сеянные из генеральной совокупности Nx значения грубых оши бок образуют выборку объемом N. Если всего было проведено Nx опытов, то в результате выборки получаем n, и отноше mi = N i = ние mi /N называют частостью или относительной частотой.

Распределение случайной величины X (рис. 1.1), опреде ляющей вероятность того, что эта величина примет значения, не превосходящие хi, т.е. попадет в интервал (, xi ), называ ется интегральной функцией распределения F(xi):

F(xi) = р(X xi). (1.1) Рис. 1.1. Плотность распределения случайной величины Плотность вероятности f (х) задает распределение случай ной величины и количественно оценивается вероятностью со бытия р(x1 X x2) = f(x)dx. Функция распределения F(x) яв ляется первообразной для плотности f(x), поэтому x p ( x1 x x2 ) = f ( x ) dx = F ( x ) = F ( x ) F ( x ), (1.2) 2 x f(x) называют также дифференциальной функцией распределения.

Распределение случайной величины представляют гисто граммой частот – ступенчатой функцией, состоящей из пря моугольников, основанием которой служат частичные интер валы длиной h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты). Площадь гистограммы частот равна сумме всех час тот, т.е. объему выборки.

Модой распределения (Mо) называется значение случайной величины X, при котором f(x) принимает максимальное (наи более вероятное) значение в окрестности какого-либо значения случайной величины х.

Математическим ожиданием дискретной случайной ве личины называется сумма произведений всех возможных зна чений случайной величины на вероятности этих значений:

n M x = xi pi. (1.3) i = Стандартное (или среднее квадратическое) отклонение служит мерой рассеяния случайной величины Х около ее мате матического ожидания:

1n ( xi M x ).

= (1.4) N i = Другая мера рассеяния – дисперсия Д x характеризует раз брос значений случайной величины относительно ее математи ческого ожидания и определяется по формуле Д x = 2.

В качестве примера в табл. 1.1 представлены результаты выборочного взвешивания отливок (xi, кг, i = 1, 2, …, n). Было взвешено 100 отливок, т.е. объем выборки n = 100. Требуется построить функцию распределения F(x) и плотность вероятно сти f(x), а также представить график функции распределения и гистограмму частот.

Т а б л и ц а 1. 5,56 5,45 5,48 5,45 5,39 5,37 5,46 5,59 5,61 5, 5,46 5,61 5,11 5,41 5,31 5,57 5,33 5,11 5,54 5, 5,34 5,53 5,46 5,41 5,48 5,39 5,11 5,42 5,48 5, 5,36 5,40 5,45 5,49 5,68 5,51 5,50 5,68 5,21 5, 5,58 5,47 5,46 5,19 5,60 5,63 5,48 5,27 5,22 5, 5,33 5,49 5,50 5,54 5,40 5,58 5,42 5,29 5,05 5, 5,79 5,65 5,70 5,71 5,85 5,44 5,47 5,48 5,47 5, 5,67 5,71 5,73 4,97 5,35 5,72 5,49 5,61 5,57 5, 5,54 5,39 5,32 5,21 5,73 5,59 5,38 5,25 5,26 5, 5,27 5,64 5,20 5,23 5,33 5,37 5,24 5,55 5,60 5, Алгоритм группировки выборки 1) Экстремальные значения веса отливок xmin = 4,97;

xmax = 5,85;

2) число интервалов группирования s = log 2 n + 1 = 7,62 8 ;

3) ширина интервала группирования h = ( xmax xmin ) s = ( 5,85 4,97 ) 8 = 0,11 ;

4) левый (сj–1) и правый (сj) концы j-го интервала:

c j 1 = xmin + ( j 1) h = 4,97 + ( j 1) 0,11;

c j = xmin + j h = 4,97 + j 0,11, j = 1, 2,..., s;

5) середины интервалов группирования x 0 = ( c j 1 + c j ) 2 ;

j 6) подсчитываем число выборочных данных vj, попавших в каждый (j-й) интервал группирования (j = 1, 2, …, s);

7) подсчитываем количество выборочных данных, попав ших в j-й интервал группирования h (v1 + … + vjx);

8) подсчитываем выборочную функцию распределения 1 + 2 +... + ix ( x) = F( n), n где ix – номер самого правого из интервалов группирования, правый конец которых не превосходит заданного значения x;

9) посчитываем выборочную функцию плотности:

k ( x ) ( x) = f( n), nh в которой k(x) – порядковый номер интервала группирования, накрывающего заданную точку x, а vk(x) – число выборочных данных, попавших в этот интервал;



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.