авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический ...»

-- [ Страница 4 ] --

10) результаты группировки сводим в табл. 1.2.

Т а б л и ц а 1. j – номер ин- Значения x: Середины v1+…+vix F(n)(x) f (n)(x) тервала груп- cj–1 x cj vj интервалов x пирования j 4,97 x 5, 1 5,03 2 0 0,00 0, 5,08 x 5, 2 5,14 3 2 0,02 0, 5,19 x 5, 3 5,25 12 5 0,05 1, 5,30 x 5, 4 5,36 19 17 0,17 1, 5,41 x 5, 5 5,47 29 36 0,36 2, 5,52 x 5, 6 5,58 18 65 0,65 1, 5,63 x 5, 7 5,69 13 83 0,83 1, 5,74 x 5, 8 5,80 4 96 0,96 0, x 5,85 – 100 1,00 – 11) Строим гистограмму (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Гистограмма частот 12) Строим функцию распределения (рис. 1.3).

Рис. 1.3. График функции распределения Выполнение работы 1. Сформировать из табл. 1.1 массив случайных чисел, пользуясь для своего варианта данными поправок из табл. 1.3.

Поправку x прибавить к первым пяти строкам и вычесть из последних пяти строк табл. 1.1, например, для варианта 6 x = = ± 0,06.

Т а б л и ц а 1. № задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x102 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. Построить гистограмму частот.

3. Построить график функции распределения.

4. Найти для данного распределения моду, математическое ожидание и дисперсию.

Контрольные вопросы 1. Сформулируйте основные причины появления неопре деленностей. Какие из них являются субъективными, а какие – объективными?

2. Как описывается неопределенность математически?

3. Приведите примеры математического описания неопре деленностей в металлургии.

4. Когда в задаче математического моделирования приме няется стохастическое описание переменных?

5. Дайте определение функции и плотности распределения.

6. Меры положения и рассеяния кривой распределения.

Объясните различие между модой, медианой и математиче ским ожиданием.

Лабораторная работа № Метод наименьших квадратов для уравнения линейной регрессии Цель работы: ознакомиться с методами обработки масси ва случайных данных.

Приборы и принадлежности: калькулятор.

Сведения из теории Целью моделирования любого технологического процесса является установление количественной зависимости выходного параметра от одного или группы случайных входных парамет ров. В функциональной связи Y = f (X) каждому значению неза висимой переменной X отвечает одно или несколько вполне определенных значений зависимой переменной Y. В этом слу чае связь между переменными X и Y в отличие от функцио нальной приобретает статистический характер и называется корреляционной.

Простейшей и распространенной зависимостью между ве личинами X и Y является линейная регрессия (рис. 2.1). Оценка тесноты или силы связи между величинами X и Y осуществля ется методами корреляционного анализа.

При линейной регрессии от одного параметра для произ вольного фиксированного значения x может быть получено несколько значений y.

Рис. 2.1. Корреляционное поле зависимости y = f (x) Для линейной зависимости линия регрессии задается урав нением прямой:

y = kx + b, (2.1) неизвестные коэффициенты которой определяются по методу наименьших квадратов. В соответствии с этим методом квад рат расстояния по вертикали между опытными точками с коор динатами xi, yi и соответствующими точками на линии регрес сии должно быть минимальным:

n y ( kx + b ) = min.

(2.2) i i i = Из уравнений для определения неизвестных коэффициен тов k, b :

n n yi ( kx + b ) = yi ( kx + b ) = 0, 2 (2.3) k i =1 b i = следует:

n n ( y ( y kxi b ) xi = 0, kxi b ) = 0, (2.4) i i i =1 i = откуда n n n n n yi xi = k xi2 + b xi, yi = k xi + nb. (2.5) i =1 i =1 i =1 i =1 i = С учетом обозначений 1n 1n 1n 1n xi, y = n yi, x 2 = n xi2, xy = n xi yi x= n i =1 i =1 i =1 i = следует b = y kx, (2.6) 1 n n n n x y yi xi ( xi x )( yi y ) i i n i =1 i =1 i = k = i =1 =. (2.7) 2 n 1 n ( xi x ) n xi n xi i =1 i = i = Таким образом, уравнение линейной регрессии принимает вид:

y = kx + b = y + k ( x x ). (2.8) Выполнение работы 1. Построить для своего номера задания линейную зависи мость регрессии по семи экспериментальным точкам, задан ным в табл. 2.1., результаты промежуточных расчетов предста вить в форме табл. 2.2.

Т а б л и ц а 2. № xi = 1 2 3 4 5 6 задания 1 0,5 1,8 2,6 2,7 4,2 4,0 5, 2 0,6 1,9 2,7 2,8 4,3 4,1 6, 3 0,7 2,0 2,8 2,9 4,4 4,2 6, 4 0,7 2,1 2,9 3,0 4,5 4,3 6, 5 0,8 2,2 3,1 3,2 4,7 4,5 6, 6 0,9 2,3 3,2 3,3 4,8 4,7 6, 7 0,9 2,4 3,3 3,4 4,9 4,8 6, yi = 8 1,0 2,5 3,4 3,5 5,1 5,0 7, 9 1,0 2,6 3,5 3,7 5,3 5,2 7, 10 1,1 2,7 3,7 4,0 5,6 5,6 7, 11 1,2 2,9 3,7 4,1 5,4 5,6 7, 12 1,1 2,7 3,7 4,0 5,6 5,6 7, 13 1,1 2,8 3,9 4,3 5,9 6,0 8, 14 1,2 2,9 4,2 4,5 6,3 6,3 8, 15 1,2 3,0 4,4 4,7 6,6 6,6 8, Т а б л и ц а 2. xi x yi y (xi x )(yi y ) (xi x ) xi yi ( x ( y ( x x) = y) = x )( yi y ) = x= y= ( x x) = i i i i = = = = 2. Построить график y =f (x), на котором представить экс периментальные точки и линию линейной регрессии. Оценить максимальную относительную погрешность отклонения экспе риментальной точки от линии регрессии.

Контрольые вопросы 1. Что такое корреляционное поле, линии регрессии?

2. Метод наименьших квадратов для получения уравнения линейной регрессии.

3. Коэффициент корреляции, его смысл.

Лабораторная работа № Метод прогонки решения сеточных уравнений Цель работы: ознакомиться с прямым методом решения сеточных уравнений на компьютере.

Приборы и принадлежности: компьютер.

Сведения из теории Метод прогонки является модификацией метода исключе ния Гаусса. В соответствии с этим методом решение для сис темы линейных алгебраических уравнений ATi 1 + BTi + CTi +1 = Fi, i = 2, 3,..., N, (3.1) ищется в виде линейной функции Ti = i +1Ti +1 + zi +1, (3.2) неизвестные коэффициенты которой определяются из соотно шений:

Azi Fi C i +1 = zi +1 = ;

. (3.3) Ai + B Ai + B Формулы (3.1–3.3) дают процедуру решения. Сначала при i = 2, 3,..., N считаются прогоночные коэффициенты (3.3), при этом начальные значения прогоночных коэффициентов 2, z определяются из граничных условий на левой границе (i = 1). Эта операция называется прямой прогонкой. После определения всех i, zi в обратном направлении (i = N, N1,..., 2) с учетом значе ния параметра TN +1, найденных из граничного условия на правой границе (i = N + 1), по формуле (3.2) последовательно находятся неизвестные значения Ti в узловых точках сетки.

При решении задачи стационарной теплопроводности плоского слоя на поверхностях задаются граничные условия конвективного теплообмена:

T = (Tп Tc ), ± (3.4) x где – коэффициент теплопроводности;

– коэффициент теп лоотдачи;

Тп, Тс – соответственно температуры поверхности и окружающей среды;

знаки (+) и (–) соответственно для левой (i = 0) и правой (i = N) границ;

N – число разбиений сетки по толщине плоского слоя. Тогда начальные значения прогоноч ных коэффициентов принимают вид:

1 = h ;

Tc z1 =. (3.5) 1+ 1+ h h Значение температуры на правой границе;

z N + Tc TN = бh. (3.6) 1 + (1 в N ) бh Алгоритм метода прогонки:

1 = h ;

z1 = Tc ;

1+ 1+ h h Az Fi C i +1 = ;

zi +1 = i, Ai + B Ai + B i = 1, 2,..., N 1;

. (3.7) z N + Tc h TN = ;

(1 N ) 1+ h Ti = i +1Ti +1 + zi +1, i = N 1, N 1,..., 0. Пример Паскаль-программы, реализующей решение ста ционарного уравнения теплопроводности методом прогонки.

program Example_3;

const n = 10;

h = 1/n;

var T: array [0..n] of real;

beta,zeta : array [1..n] of real;

aa,bb,cc,ff : real;

T1,T2,alpha1,alpha2,lambda,lah : real;

i : integer;

begin {1. Ввод исходных данных} {температура левого конца} T1:= 100;

{температура правого конца} T2:= 200;

{большие коэффициенты теплоотдачи} alpha1:=10e10;

{обеспечат изотермические границы} alpha2:=10e10;

lambda:=20;

{2. Рабочий блок} aa := –1;

bb := 2;

cc := –1;

ff := 0;

{Прямой ход прогонки} lah:= lambda / alpha1 / h;

beta[1]:= lah/(1. + lah);

zeta[1]:= T1/(1. + lah);

for i:=1 to n-1 do begin beta[i+1]:= –cc/(aa*beta[i] + bb);

zeta[i+1]:= (ff-aa*zeta[i])/(aa*beta[i] + bb);

end;

{Обратный ход прогонки} lah:= lambda / alpha2 / h;

T[n]:= (lah*zeta[n] + T2)/(1. + lah*(1-beta[n]));

for i:=n-1 downto 0 do T[i]:=beta[i+1]*T[i+1]+ zeta[i+1];

{3. Вывод результата} i:=0;

repeat writeln(i,' ',T[i]:8:3);

i:=i+2;

until i n;

end.

В качестве теста для проверки программы предлагается за дача стационарной теплопроводности плоского слоя толщиной, на поверхностях которого x = 0 и x = поддерживаются тем пературы соответственно Тл и Тп, т.е. заданы граничные усло вия первого рода ( = ). Математическая формулировка крае вой задачи теплопроводности имеет вид d 2T = 0, T ( x = 0 ) = Tл, T ( x = ) = Tп. (3.8) dx Решением ее является линейное распределение температуры:

Tл Tп T = Tл x. (3.9) Точное значение температуры в центре слоя T ( x = 2 ) = = (Tл + Tп ) 2.

Решение задачи на регулярной сетке дает систему уравне ний с граничными условиями:

Ti 1 2Ti + Ti +1 = 0, i = 2, 3,..., N ;

. (3.10) T1 = Tл ;

TN +1 = Tп В этом случае при численном решении на регулярной сет ке с четным числом разбиений N точное значение температуры в центре слоя TN 2 +1 = (Т л + Т п ) 2, а приближенное значение отличается от точного из-за ошибок округления при вычисле нии прогоночных коэффициентов.

Алгоритм прогонки (3.7) реализуется для этой системы при N = 4, Тл = 100, Тп = 200, A = C = 1, B = 2 следующим образом:

Tc 1 = h = 0 ;

z1 = = 100;

1+ 1+ h h C 1 2 = = =;

A1 + B 1 0 2 Az1 F1 1 100 0 C 1 z2 = = = 50 ;

3 = = =;

A1 + B 1 0 2 A2 + B 1 1 2 2 Az2 F2 1 50 0 z3 = = = ;

A2 + B 3 2 C 1 4 = = =;

A3 + B 1 2 3 2 Az3 F3 1 100 3 z4 = = = 25 ;

A3 + B 1 2 3 z5 + Tc T4 = h = Tп = 200 ;

(1 5 ) 1+ h T3 = 4T4 + z4 = 200 + 25 = 175 ;

2 T2 = 3T3 + z3 = 175 + = 150 ;

3 T1 = 2T2 + z2 = 150 + 50 = 125 ;

T0 = Tл = 100.

Выполнение работы Ввести в программу исходные данные: Тл = 0 и Тп в соот ветствии с табл. 3. Т а б л и ц а 3. № задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tп 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 2. Проверить работоспособность алгоритма метода про гонки, т.е. просчитать «вручную» температуры в узловых точ ках сетки при N = 4.

3. Определить относительную погрешность в центральной точке слоя численного ТN/2+1 и аналитического T ( x = 2 ) = решений по формуле:

= (Tл + Tп ) 2 Т п TN 2+1 Tx = 2 2TN 2+ R= 100 % = 1 100 %.

Tx = 2 Tп 4. Провести вычислительный эксперимент на сгущающей ся сетке, построить график зависимости R(N) и определить, при каких числах разбиений N погрешность округления R вычис ления прогоночных коэффициентов начинает превышать 5 %.

5. Внести коррективы в программу, предусмотрев в ней расчет прогоночных коэффициентов (3.3) с двойной точно стью. Провести вычислительный эксперимент на сгущающейся сетке, построить график зависимости R(N) и убедиться на гра фике в эффективности этой коррективы.

Контрольные вопросы 1. Конечно-разностное представление первой и второй производных.

2. Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения теп лопроводности.

3. Оценка ошибок аппроксимации уравнения теплопро водности.

4. Соотношение между временным и пространственным шагами сетки, обеспечивающее минимальную ошибку аппрок симации уравнения теплопроводности.

5. Векторно-матричное представление сеточных уравнений.

6. Метод прогонки решения матричных уравнений и его реализация на компьютере.

7. Запись основных операторов программирования на язы ке Паскаль.

Лабораторная работа № Метод последовательной линейной верхней релаксации решения сеточных уравнений Цель работы: ознакомиться с итерационным методом ре шения сеточных уравнений на компьютере.

Приборы и принадлежности: компьютер.

Сведения из теории Итерационные методы дают решение сеточных уравнений в виде предела последовательности однообразных итераций.

Основное их преимущество перед прямыми методами заклю чается в самокорректирующемся решении, дающем минималь ные ошибки округления. Привлекает в них и простота вычис лительного алгоритма.

Решение системы линейных алгебраических уравнений ATi 1 + BTi + CTi +1 = Fi, i = 2, 3,..., N (4.1) в соответствии с итерационным методом последовательных смещений (методом Зейделя) определяется по итерационной процедуре:

( ) Ti ( q ) = Fi A Ti q ) C Ti (+q 1), ( 1 (4.2) B i = 2, 3, …, N, q = 1, 2, 3,..., где q – номер итерации. Расчет по формуле (4.2) продолжается до тех пор, пока искомое решение не будет удовлетворять тре буемой наперед заданной точности :

Ti ( q 1) 1. (4.3) Ti ( q ) max Недостатком метода Зейделя является медленная сходи мость, поэтому для ускорения сходимости метод последова тельной линейной верхней релаксации:

( ) Fi A Ti (q ) C Ti (+q 1) + (1 ) Ti ( q 1), Ti ( q ) = 1 B i = 1, … N–1, q = 1, 2, …, (4.4) где – параметр релаксации. При = 1 итерационные проце дуры (4.2) и (4.4) совпадают. Введение параметра верхней ре лаксации 1 2 позволяет ускорить сходимость итерацион ного процесса (4.4), причем наибольшая скорость сходимости имеет место при оптимальном значении параметра релаксации = опт. Последнее зависит от порядка системы и может быть вычислено в области с регулярной сеткой с числом разбиений N по формуле:

опт = (4.5), 1 + sin 2 sin 2N 2N где – требуемая точность.

В качестве теста для проверки программы предлагается за дача стационарной теплопроводности плоского слоя толщиной, на поверхностях которого x = 0 и x = поддерживаются тем пературы соответственно Тл и Тп, т.е. заданы граничные усло вия первого рода ( = ). Математическая формулировка крае вой задачи теплопроводности имеет вид:

d 2T = 0, T ( x = 0 ) = Tл, T ( x = ) = Tп. (4.6) dx Решением ее является линейное распределение температуры:

Tл Tп T = Tл x. (4.7) Точное значение температуры в центре слоя T ( x = 2 ) = (Tл + Tп ) 2.

Решение задачи на регулярной сетке дает систему уравне ний с граничными условиями:

Ti 1 2Ti + Ti +1 = 0, i = 1, 2,..., N 1;

. (4.8) T1 = Tл ;

TN +1 = Tп В этом случае при численном решении на регулярной сет ке с четным числом разбиений N точное значение температуры в центре слоя TN 2 +1 = (Т л + Т п ) 2, а приближенное значение отличается от точного из-за ошибок округления.

В табл. 4.1 представлена реализация итерационного алго ритма при N = 4, Тл = 200, Тп = 100, A = C = 1, B = 2, = 1 для первых пяти итераций.

Т а б л и ц а 4. Значения переменных при решении задачи итерационным методом Номер Номер точки сетки i итерации 1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 200 100 50 75 2 200 125 100 100 3 200 150 125 112,5 4 200 162,5 137,5 118,75 5 200 168,75 143,75 121,875............

точное 200 175 150 125 решение Относительная ошибка в точке i = 2: 1 T1( 4) T1( 5) = 162,5 168,75 = 0,037, что составляет 3,7 %, это далеко от тре буемой точности, которую выбирают в пределах = 103...104, поэтому итерационный процесс необходимо продолжить.

Пример Паскаль-программы, реализующей метод последо вательной линейной верхней релаксации.

program Example_4;

const n = 4;

h = 1/n;

pi =3.141592654;

epsilon = 1e-3;

gamma = 2/(1+sqrt(sin(pi/2/n*(2-sin(pi/2/n)))));

var T,Tx: array [0..n] of real;

aa,bb,cc,ff,delta : real;

i,iter : integer;

begin {1. Ввод исходных данных} for i:=0 to n-1 do T[i]:= 100;

T[n]:= 200;

Tx[0]:=T[0];

Tx[n]:=T[n];

{2. Рабочий блок} aa := 1;

bb := –2;

cc := 1;

ff := 0;

{Релаксация} iter:=1;

repeat delta:=0;

for i:=1 to n-1 do begin Tx[i]:= gamma/bb*(ff-aa*Tx[i-1] cc*T[i+1])+(1-gamma)*T[i];

if abs(1-T[i]/Tx[i]) delta then delta:=abs(1-T[i]/Tx[i]);

end;

T := Tx;

iter := iter + until (delta epsilon) or (iter 100);

{3. Вывод результата} i:=0;

repeat writeln(i,' ',T[i]:8:3,T[i]:8:3);

i:=i+2;

until i n;

writeln(iter);

end.

Выполнение работы 1. Ввести в программу исходные данные: Тл = 0 и Тп в со ответствии с табл. 4. Т а б л и ц а 4. № задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tп 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 2. Проверить работоспособность алгоритма метода после довательной линейной верхней релаксации, т.е. просчитать «вручную» температуры в узловых точках сетки при N = 4 на первых пяти итерациях.

3. Определить относительную погрешность в центральной точке слоя численного ТN/2+1 и аналитического T ( x = 2 ) = решений по формуле:

= (Tл + Tп ) 2 Т п TN 2+1 Tx = 2 2TN 2+ R= 100 % = 1 100 %.

Tx = 2 Tп 4. Провести вычислительный эксперимент на сгущающей ся сетке при фиксированной погрешности = 10–3, построить график зависимости R(N).

5. При фиксированной сетке (N) и наперед заданной по грешности () провести расчеты с варьированием параметра релаксации в интервале 1 2, построить график зависимо сти q().

Контрольные вопросы 1. Оценка ошибок аппроксимации уравнения теплопро водности.

2. Соотношение между временным и пространственным шагами сетки, обеспечивающее минимальную ошибку аппрок симации уравнения теплопроводности.

3. Векторно-матричное представление сеточных уравнений.

4. Метод последовательной линейной верхней релаксации и его реализация на компьютере.

5. Запись основных операторов программирования на язы ке Паскаль.

Лабораторная работа № Расчет времени охлаждения плоского слоя Цель работы: ознакомиться с численным методом реше ния задач нестационарной теплопроводности.

Приборы и принадлежности: компьютер.

Сведения из теории При охлаждения плоского слоя толщиной 2 рассматрива ется половина слоя толщиной с адиабатной левой и охлаж даемой правой поверхностями. Математическая формулировка краевой задачи нестационарной теплопроводности имеет вид:

T 2T =a 2, (5.1) x T T T ( = 0 ) = T0, = (Tп Tс ), = 0, (5.2) x x x =0 x = где Т – температура;

– время;

а – коэффициент температуро проводности;

– коэффициент теплопроводности;

– коэффи циент теплоотдачи;

Тп, Тс – температуры поверхности и окру жающей среды.

В частном случае, в соответствии с методом регулярного теплового режима пренебрегают внутренним тепловым сопро тивлением по сравнению с внешним. Решение задачи (5.1–5.2) принимает вид = 0 e BiFo, (5.3) где = Т – Тс – избыточная температура;

Bi =, Fo = = a 2 – числа Био и Фурье. На практике решение (5.3) ис пользуется уже при Bi 0,1.

Для численного решения задачи на расчетную область на носится регулярная сетка с координатами узлов:

Hx xi = ihx;

i = 0, 1, 2,..., N ;

hx = ;

N k = kh ;

k = 1, 2, 3,..., (5.4) где N – число разбиений по толщине слоя ;

hx, h – соответст венно шаги пространственной (по x) и временной (по ) сеток;

i, k – номера узловых точек в направлении координат x,.

Уравнение теплопроводности (5.1) может быть представле но в дискретном виде по явной схеме, в соответствии с которой вторая производная по координате записывается на текущем k-м временном слое с известным распределением температуры (рис. 5.1). В результате из ап проксимации уравнения (5.1) Ti, k +1 Ti, k = h (5.5) Ti +1, k 2Ti, k + Ti 1, k Рис. 5.1. Сеточный шаблон =a, явной схемы 1-го порядка точности hx получается явная формула для температуры:

2ah ah Ti,k +1 = Ti, k 1 2 + 2 (Ti +1,k + Ti 1,k ) hx hx, (5.6) вычисления по которой устойчивы при следующем ограниче нии на шаг сетки по времени.

( 2a ).

h hx2 (5.7) При неявной схеме вторая производная по ко ординате записывается на «новом» k-м временном слое с неизвестным рас пределением температуры Рис. 5.2. Сеточный шаблон неявной схемы 1-го порядка точности (рис. 5.2):

Ti, k +1 Ti, k Ti +1, k +1 2Ti, k +1 + Ti 1, k + =a. (5.8) hx h В результате получаем систему уравнений (N–1)-го по рядка:

A Ti 1,k + B Ti,k + C Ti +1,k = Fi, i = 1, 2,..., N 1, (5.9) ah 2ah где A = C = ;

B =1+ 2 ;

Fi = Ti, k.

hx hx Схема абсолютно устойчива при больших, чем в ограниче нии (5.7), шагах по времени, однако с увеличением шага по времени возрастают ошибки аппроксимации.

С применением формулы односторонней разности записы вается граничное условие (5.2) при x = :

TN TN = (TN TC ), (5.10) hx из которого определяется температура на поверхности тела:

TC + TN hx TN =, (5.11) 1+ hx а также граничное условие при x = T0 = T1. (5.12) Алгоритм решения задачи по явной схеме представлен на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Алгоритм решения задачи теплопроводности по явной схеме Пример Паскаль-программы, реализующей расчет времени охлаждения плоского слоя по явной схеме.

program Example_5_1;

const n = 10;

lx = 0.1;

hx = lx/n;

epsilon = 1e-6;

var T,TT: array [0..n] of real;

Tstart,Tc1,Tc2,a,lambda,rho,cp,delta,tau,htau,aht:real;

i : integer;

procedure PrintArray;

begin i:=0;

repeat writeln(i,' ',T[i]:8:3);

i:=i+2;

until i n;

end;

begin {1. Ввод исходных данных} Tc1:= 100;

Tc2:= 200;

Tstart :=100;

lambda:=20;

rho:=7800;

cp:=500;

a:=lambda/cp/rho;

for i:=0 to n do T[i]:= Tstart;

tau := 0;

htau := sqr(hx)/6/a;

aht:=a*htau/sqr(hx);

{2. Рабочий блок} TT[0]:=Tc1;

TT[n]:=Tc2;

repeat {2.1. Определение температуры на следующем временном слое} tau:=tau + htau;

for i:=1 to n-1 do TT[i]:=T[i]*(1-2*aht)+(T[i-1]+T[i+1])*aht;

{2.2 Определение различия решений на k-ом и k+1-ом временных слоях} delta := 0;

for i:=0 to n do if abs(T[i]-TT[i])delta then delta := abs(T[i]-TT[i]);

T := TT;

until delta = epsilon;

{3. Вывод результата} writeln('Время установления стационара:',tau);

writeln('Распределение температуры по слою');

PrintArray;

end.

Алгоритм решения задачи по неявной схеме представлен на рис. 5.4.

Пример Паскаль-программы, реализующей расчет времени охлаждения плоского слоя по неявной схеме.

program Example_5_2;

const n = 10;

hx = 0.1/n;

epsilon = 1e-6;

var T,TT: array [0..n] of real;

beta,zeta : array [1..n] of real;

aa,bb,cc,ff : real;

Tstart,Tc1,Tc2,alpha1,alpha2,lah : real;

a,lambda,rho,cp :real;

delta, tau, htau : real;

i : integer;

procedure PrintArray;

begin i:=0;

repeat writeln(i,' ',T[i]:8:3);

i:=i+2;

until i n;

end;

begin {1. Ввод исходных данных} Tc1:= 100;

Tc2:= 200;

Tstart :=100;

alpha1:=10e-10;

alpha2:=10e10;

lambda:=20;

rho:=7800;

cp:=500;

a:=lambda/cp/rho;

for i:=0 to n do TT[i]:= Tstart;

tau := 0;

htau := sqr(hx)/6/a;

{2. Рабочий блок} aa := –a*htau/sqr(hx);

bb := 1 + 2*a*htau/sqr(hx);

cc := –a*htau/sqr(hx);

repeat {2.1. Определение температуры на следующем временном слое} {Прямой ход прогонки} tau:=tau + htau;

lah:= lambda / alpha1 / hx;

beta[1]:= lah/(1. + lah);

zeta[1]:= Tc1/(1. + lah);

for i:=1 to n-1 do begin ff := TT[i];

beta[i+1]:= –cc/(aa*beta[i] + bb);

zeta[i+1]:= (ff aa*zeta[i])/(aa*beta[i]+bb);

end;

{Обратный ход прогонки} lah:= lambda / alpha2 / hx;

T[n]:= (lah*zeta[n] + Tc2)/(1. + lah*(1 beta[n]));

for i:=n-1 downto 0 do T[i]:= beta[i+1]*T[i+1] + zeta[i+1];

{2.2. Определение различия решений на k-ом и k+1-ом временных слоях} delta := 0;

for i:=0 to n do if abs(T[i]-TT[i])delta then delta := abs(T[i]-TT[i]);

for i:=0 to n do TT[i]:=T[i];

until delta = epsilon;

{3. Вывод результата} writeln('Результаты расчёта');

writeln('Время установления стационара:',tau);

writeln('Распределение температуры по слою');

PrintArray;

end.

Рис. 5.4. Алгоритм решения задачи теплопроводности по неявной схеме Выполнение работы 1. Составить Паскаль-программу расчета времени охлаж дения плоского слоя по явной и неявной схемам.

2. Ввести в программу исходные данные: полутолщину слоя = 2 см;

температуру окружающей среды Тс = 0 оС, теп лофизические свойства стали: коэффициент теплопроводности = 50 Вт/(м·К), коэффициент температуропроводности а = 1,4·10–5 м2/c, коэффициент теплоотдачи и начальную тем пературу слоя в соответствии с табл. 5. Т а б л и ц а 5. № задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ·10–1 Вт/(м2·К) 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Т0·10–1 оС 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 3. Определить по методу регулярного теплового режима время охлаждения слоя (к) до температуры, отличающейся от температуры окружающей среды на 1 %. Построить график зависимости Т() (аналитическое решение).

4. Провести вычислительный эксперимент по явной схеме на сгущающейся пространственной сетке (шаг временной сет ки выбирать равным h = 0,9 hx2 ( 2a ) ) и определить число разбиений N построением на графике зависимостей Т(0,) при различных числах N. Сравнить времена охлаждения, получен ные аналитическим и численным методами на различных сет ках. Построить (при выбранном N) график зависимости Т(x) для четырех-пяти моментов времени в интервале 0 к.

5. Вычислительным экспериментом при выбранном числе N провести сравнительный анализ эффективности явной и неявной схем (в неявной схеме шаг временной сетки увеличивать по срав нению с шагом в п. 4). Сравнение провести по времени счета од ного варианта, обеспечивающего примерно одинаковую погреш ность, оцениваемую по графику зависимости Т(0,).

Контрольные вопросы 1. Конечно-разностное представление первой и второй производных.

2. Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения теп лопроводности.

3. Оценка ошибок аппроксимации уравнения теплопро водности.

4. Соотношение между временным и пространственным шагами сетки, обеспечивающее минимальную ошибку аппрок симации уравнения теплопроводности.

5. Аппроксимация граничных условий теплообмена по формулам первого и второго порядков точности.

6. Векторно-матричное представление сеточных уравнений.

7. Запись основных операторов программирования на язы ке Паскаль.

Лабораторная работа № Расчет времени охлаждения блюмса Цель работы: ознакомиться с численным методом реше ния двумерных задач нестационарной теплопроводности.

Приборы и принадлежности: компьютер.

Сведения из теории Охлаждение бруса квад ратного сечения (блюмса) раз мерами 2·2 симметрично от носительно осей координат, выбранных в центре бруса. По этому рассматривается четверть сечения бруса с охлаждаемой поверхностью и адиабатными осями симметрии (рис. 6.1).

Математическая формулировка краевой задачи нестационарной теплопроводности в этом слу- Рис. 6.1. Разбиение расчетной области чае имеет вид:

2T 2T T =a 2 + 2, (6.1) x y T T T ( x, y, 0 ) = T0, = =0, x y x=0 y = (6.2) T T = (Tп Tс ), = x y x = y = где Т – температура;

– время;

а – коэффициент температуро проводности;

– коэффициент теплопроводности;

– коэффи циент теплоотдачи;

Тп, Тс – температуры поверхности и окру жающей среды.

В частном случае, в соответствии с методом регулярного теплового режима пренебрегают внутренним тепловым сопро тивлением по сравнению с внешним. Решение задачи (6.1–6.2) принимает вид:

= 0 e BiFo, (6.3) где = Т – Тс – избыточная температура;

Bi =, Fo = = a 2 – числа Био и Фурье. На практике решение (6.3) ис пользуется уже при Bi 0,1.

Для численного решения задачи на расчетную область на носится регулярная сетка с координатами узлов:

xi = ihx ;

i = 0, 1, 2,..., N ;

hx = N, y j = jhy ;

j = 0, 1, 2,..., M ;

hy = M, (6.4) k = kh ;

k = 1, 2, 3,..., где N, М – числа разбиений расчетной области соответственно в направлении координат x, y;

hx, hy, h – соответственно шаги пространственной (по x, y) и временной (по ) сеток;

i, j, k – номера узловых точек в направлении координат x, y,.

Уравнение теплопроводности (6.1) может быть представле но в дискретном виде по явной схеме, в соответствии с которой вторая производная по координатам записывается на текущем k м временном слое с известным распределением температуры (рис. 6.2). В результате аппроксимации уравнения (6.1) Рис. 6.2. Сеточный шаблон явной схемы Ti, j, k +1 Ti, j, k = h (6.5) Ti 1, j, k 2Ti, j, k + Ti +1, j, k Ti, j 1, k 2Ti, j, k + Ti, j +1, k = a + hx2 hy получается явная формула для температуры:

2ah 2ah ah Ti, j, k +1 = Ti, j, k 1 2 2 + 2 (Ti +1, j, k + Ti 1, j, k ) + hy hx hx + 2 (Ti, j +1, k + Ti, j 1, k ), ah hy (6.6) вычисления по которой устойчивы при следующем ограниче нии на шаг сетки по времени:

h hx2 hy 2a ( hx2 + hy ).

2 (6.7) С применением формул односторонней разности записы ваются граничные условия (2) на поверхностях блюмса:

TN, j TN 1, j = (TN, j Tс ), hx (6.8) Ti, M Ti, M = (Ti, M Tс ), hy из которых определяется температура на поверхностях блюмса:

Tc + TN 1, j hx TN, j =, j = 1,..., M 1;

1+ hx Tc + Ti, M hy Ti, M =, i = 0,..., N 1, (6.9) 1+ hy а также граничные условия на осях симметрии T0, j = T1, j, j = 1,..., M 1;

, Ti,0 = Ti,1, i = 1,..., N 1. (6.10) Угловые точки области (0,0;

0,М;

N,0;

N,M) в расчетах не уча ствуют. Для вычисления темпе ратур в угловых точках приме няют аппроксимацию ста ционарного уравнения тепло проводности (1). Например, для угловой точки (N, M, рис. 6.3) Рис. 6.3. Фрагмент разбиения это уравнение в конечных раз расчетной области ностях принимает вид:

TN 2, M 2TN 1, M + TN, M TN, M 2 2TN, M 1 + TN, M + =0, 2 h hy x из которого в частном случае при hx = hy получаем формулу аппроксимации:

TN, M = TN 1, M + TN, M 1 (TN 2, M + TN, M 2 ) 2. (6.11) Аналогично для других угловых точек T0,0 = T1,0 + T0,1 (T2,0 + T0,2 ) 2;

T0, M = T0, M 1 ;

TN,0 = TN 1,0. (6.12) Для вывода на экран (печать) массива поля температур Тi, j в плоскости 0xy в виде изотерм можно воспользоваться алго ритмом перевода цифрового массива в символьный. Для этого интервал температур T = T0 Tc делится на n подинтервалов, в каждом из которых записываются цифровые символы, разде ленные символами пробелов (рис. 6.4). Правые границы интер валов определяются по формуле:

Tl = Tc + T l n, l = 1, 2,..., n, где Тl – значение температуры на правой границе l-го подин тервала.

Рис. 6.4. Представление температурного поля в символьном виде Алгоритм решения задачи по явной схеме представлен на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Алгоритм решения нестационарной задачи теплопроводности для блюмса Выполнение работы 1. Составить Паскаль-программу расчета времени охлаж дения блюмса. Блок-схема программы приведена на рис. 6.5.

Ниже приведён пример Паскаль-программы, реализующей расчет времени охлаждения блюмса по явной схеме.

program Example_6;

const n = 9;

m = 9;

lx = 1;

ly = 0.01;

hx = lx/n;

hy = ly/m;

epsilon = 1e-6;

var T,TT : array [0..n,0..m] of real;

Tstart,Tc1,Tc2,alpha1,alpha2 : real;

a,lambda,rho,cp :real;

delta,tau,htau,ahxt,ahyt,lahx,lahy : real;

i,j : integer;

begin {1. Ввод исходных данных} Tc1:= 100;

Tc2:= 100;

alpha1:=0.1;

alpha2:=35;

Tstart :=500;

lambda:=45.5;

rho:=7900;

cp:=4600;

a:=lambda/cp/rho;

for i:=0 to n do for j:=0 to m do T[i,j]:= Tstart;

tau := 0;

htau := sqr(hx)*sqr(hy)/a/(sqr(hx)+sqr(hy))/6;

ahxt:=a*htau/sqr(hx);

ahyt:=a*htau/sqr(hy);

lahx:=lambda/alpha1/hx;

lahy:=lambda/alpha2/hy;

{2. Рабочий блок} repeat {2.1. Определение температуры на следующем временном слое} tau:=tau + htau;

{2.1.1. Расчёт температурного поля во внутренней области} for i:=1 to n-1 do for j:=1 to m-1 do TT[i,j]:= T[i,j]*(1-2*(ahxt+ahyt)) +(T[i-1,j]+T[i+1,j])*ahxt +(T[i,j-1]+T[i,j+1])*ahyt;

{2.1.2. Расчёт температур на внешних границах} for j:=1 to m-1 do begin TT[0,j]:= T[1,j];

TT[n,j]:= (Tc1 + T[n-1,j]*lahx)/(1+lahx);

end;

for i:=1 to n-1 do begin TT[i,0]:= T[i,1];

TT[i,m]:= (Tc2 + T[i,m-1]*lahy)/(1+lahy);

end;

{2.2 Определение различия решений на k-ом и k+1-ом временных слоях} delta := 0;

for i:=0 to n do for j:=0 to m do if abs(T[i,j]-TT[i,j])delta then delta := abs(T[i,j]-TT[i,j]);

T := TT;

until delta = epsilon;

{2.3. Расчёт температур в углах расчётной области} T[0,0]:=0.5*(T[1,0] + T[0,1]);

T[0,m]:=0.5*(T[1,m] + T[0,m-1]);

T[n,0]:=0.5*(T[n-1,0] + T[n,1]);

T[n,m]:=0.5*(T[n-1,m] + T[n,m-1]);

{3. Вывод результата} writeln('Результаты расчёта');

writeln('Время установления стационара:', tau:8:2, tau/htau:8:2);

writeln('Распределение температуры по слою');

for j:=m downto 0 do for i:=0 to n do write(T[i,j]:8:2);

writeln(tau*a/sqr(ly):8:2);

end.

2. Ввести в программу исходные данные: полутолщину блюмса = 10 см;

температуру окружающей среды Тс = 0 оС, теплофизические свойства стали: коэффициент теплопровод ности = 50 Вт/(м·К), коэффициент температуропроводности а = 1,4·10–5 м2/c, коэффициент теплоотдачи и начальную тем пературу слоя в соответствии с табл. 6. Т а б л и ц а 6. № задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ·10–1 Вт/(м2·К) 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Т0·10–1 оС 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 3. Определить по методу регулярного теплового режима время охлаждения блюмса (к) до температуры, отличающейся от температуры окружающей среды на 1 %. Построить график зависимости Т() (аналитическое решение).

4. Провести вычислительный эксперимент на сгущающей ся пространственной сетке (принять N = M, в этих условиях hx = hy = h, шаг временной сетки выбирать равным h = 0,9 h 2 ( 4a ) ) и определить необходимое число разбиений сетки построением на графике зависимостей Т(0, 0, ) при раз личных числах разбиений. Сравнить времена охлаждения, по лученные аналитическим и численным методами на различных сетках. Используя символьный метод вывода температурного поля, построить изотермы для трех-четырех моментов времени в интервале 0 к, при выбранном числе разбиений расчет ной области.

Контрольные вопросы 1. Конечно-разностное представление первой и второй производных.

2. Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения теп лопроводности.

3. Оценка ошибок аппроксимации уравнения теплопро водности.

4. Соотношение между временным и пространственным шагами сетки, обеспечивающее минимальную ошибку аппрок симации уравнения теплопроводности.

5. Аппроксимация граничных условий теплообмена по формулам первого и второго порядков точности.

6. Векторно-матричное представление сеточных уравнений.

7. Запись основных операторов программирования на язы ке Паскаль.

Лабораторная работа № Расчет времени затвердевания непрерывного плоского слитка (сляба) Цель работы: ознакомиться с численным методом реше ния одномерных задач затвердевания слитков.

Приборы и принадлежности: компьютер.

Сведения из теории Непрерывный плоский слиток (сляб) толщиной 2 вытягивается из неподвиж ного кристаллизатора с постоянной скоро стью u (рис. 7.1). При охлаждении на по верхностях сляба из жидкой фазы формируется корка затвердевшего метал ла толщиной. На глубине lк или в момент времени к = lк/u формирование сляба за вершается. Математическая формулиров ка задачи включает дифференциальное уравнение переноса энергии Т T 2T +u = aэфф 2, (7.1) y x которое в стационарном случае ( T = = 0 ) принимает вид:

Т 2T Рис. 7.1. Схема = aэфф 2, u (7.2) формирования сляба y x а с учетом кинематического соотношения (u = y/) T ( y u ) = = T имеем квазистационарное уравнение переноса энергии Т 2T = aэфф 2, (7.3) x где aэфф = ( cэфф ) – эффективная температуропроводность;

, – коэффициент теплопроводности и плотность;

эффективная теплоемкость скачком возрастает в интервале температур лик видуса (Tлик) и солидуса (Тсол) двухфазной зоны и учитывает выделение скрытой теплоты затвердевания (L) при T Tлик, T Tсол, c = cэфф L c + T T при Tсол T Tлик.

лик сол Начальная температура расплава в кристаллизаторе T ( = 0 ) = Tлик + Т, (7.4) граничные условия для расчетной области (0 x ) имеют вид:

T = 0, = Tп, (7.5) T x x = x = где Т – перегрев расплава над температурой ликвидуса;

Тп – температура поверхности слитка.

В частном случае, когда температура по толщине корки сляба изменяется по линейному закону, решение краевой зада чи (7.3–7.5) принимает вид:

(Tзат Tп ), = (7.6) L где Тзат – температура затвердевания, которая находится в ин тервале температур ликвидуса и солидуса и которая может быть вычислена по формуле Тзат = (Тлик + Тсол) / 2.

Для численного решения задачи на расчетную область на носится регулярная сетка с координатами узлов:

xi = ihx ;

i = 0, 1,..., N ;

hx = N, (7.7) k = kh ;

k = 1, 2,..., где N – число разбиений по толщине слоя ;

hx, h – соответст венно шаги пространственной (по x) и временной (по ) сеток;

i, k – номера узловых точек в направлении координат x,.

Уравнение переноса энергии (7.3) может быть представлено в дискретном виде по явной схеме, в соответствии с которой вторая производная по координате записывается на «старом»

k-м временном слое с известным распределением температуры (рис. 7.2). В результате из аппроксимации уравнения (7.3):

Ti, k +1 Ti, k = h (7.8) Ti +1, k 2Ti, k + Ti 1, k =a hx Рис. 7.2. Сеточный шаблон получается явная формула для явной схемы 1-го порядка точности температуры:

2ah ah Ti,k +1 = Ti, k 1 2 + 2 (Ti +1,k + Ti 1,k ) hx hx, (7.9) вычисления по которой устойчивы при следующем огра ничении на шаг сетки по времени:

( 2a ).

h hx2 (7.10) i, k max С применением формулы односторонней разности записы вается граничное условие на оси симметрии:

TN +1 = TN. (7.11) Текущая толщина твердой фазы может быть получена по формуле линейной интерполяции:

T T = hx i + зат i при Ti Tзат Ti +1, i = 0, 1,..., N 1. (7.12) Ti +1 Ti Алгоритм решения задачи представлен на рис. 7. Рис. 7.3. Алгоритм решения задачи затвердевания сляба Выполнение работы 1. Составить Паскаль-программу расчета затвердевания сляба. Блок-схема программы приведена на рис. 7.3. Ниже приведён пример Паскаль-программы, реализующей расчет времени охлаждения блюмса по явной схеме.

2. Ввести в программу исходные данные: полутолщину сля ба = 10 см;

температуру окружающей среды Тс = 0 оС, темпера туры ликвидуса Тлик = 1500 оС, солидуса Тсол = 1430 оС, перегрев расплава Т = 10 оС, теплофизические свойства стали: коэффи циент теплопроводности = 50 Вт/(м·К), коэффициент темпера туропроводности а = 1,4·10–5 м2/c, плотность = 7900 кг/м3;

скрытую теплоту затвердевания L = 270 кДж/кг, температуру поверхности сляба в соответствии с табл. 7. program Example_7;

const n = 100;

lx = 0.1;

hx = lx/n;

epsilon = 1e-6;

var T,TT,ae : array [0..n] of real;

Tstart,Tc1,alpha1 : real;

a0,a1,lambda,rho,cp,TS,TL,L :real;

delta,tau,htau,ahtx,lahx,htx : real;

i : integer;

begin {1. Ввод исходных данных} {1.1. Теплофизические свойства металла} lambda:=45.5;

rho:=7900;

cp:=4600;

TL:=1500;

TS:=1430;

L:=270e3;

a0:=lambda/cp/rho;

a1:=lambda/rho/(cp + L/(TL-TS));

{1.2. Параметры процесса} Tc1:= 100;

alpha1:=0.1;

Tstart:=1550;

{1.3. Параметры расчётного ядра} htau := sqr(hx)/a0/6;

htx:=htau/sqr(hx);

lahx:=lambda/alpha1/hx;

{2. Рабочий блок} for i:=0 to n do T[i]:= Tstart;

tau := 0;

repeat {2.1. Определение температуры на следующем временном слое} tau:=tau + htau;

{2.1.1. Расчёт температурного поля во внутренней области} for i:=0 to n do begin {Расчёт эффективной температуропроводности} if (T[i]=Ts) and (T[i]=TL) then ae[i]:=a else ae[i]:=a0;

ahtx:=ae[i]*htx;

TT[i]:= T[i]*(1-2*ahtx) + (T[i-1]+T[i+1])*ahtx;

end;

{2.1.2. Расчёт температур на внешних границах} TT[0]:= T[1];

TT[n]:= (Tc1 + T[n-1]*lahx)/(1+lahx);

{2.2 Определение различия решений на k+1-ом и k-ом временных слоях} delta := 0;

for i:=0 to n do if abs(T[i]-TT[i])delta then delta := abs(T[i]-TT[i]);

T := TT;

until delta = epsilon;

{3. Вывод результата} writeln('Результаты расчёта');

writeln('Время установления стационара:', tau:8:2, tau/htau:8:2);

writeln('Распределение температуры по слою');

for i:=0 to n do write(T[i]:8:2);

end.

Т а б л и ц а 7. № задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Тп·10–1 оС 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 3. Определить по формуле (7.6) время окончания затверде вания сляба (к) до. Построить график зависимости () (анали тическое решение).

4. Провести вычислительный эксперимент на сгущающей ся пространственной сетке (шаг временной сетки выбирать равным h = 0,9 hx2 ( 2amax ) ) и сравнить полученные решения на графике зависимости (). Сравнить на этом же графике численные решения с аналитическим.

Контрольные вопросы 1. Конечно-разностное представление первой и второй производных.

2. Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения теп лопроводности.

3. Оценка ошибок аппроксимации уравнения теплопро водности.

4. Соотношение между временным и пространственным шагами сетки, обеспечивающее минимальную ошибку аппрок симации уравнения теплопроводности.

5. Аппроксимация граничных условий теплообмена по формулам первого и второго порядков точности.

6. Векторно-матричное представление сеточных уравнений.

7. Запись основных операторов программирования на язы ке Паскаль.

Лабораторная работа № Расчет времени затвердевания непрерывного слитка квадратного сечения (блюмса) Цель работы: ознакомиться с численным методом реше ния двумерных задач нестационарной теплопроводности.

Приборы и принадлежности: компьютер.

Сведения из теории Непрерывный слиток квадратного сечения 22 (блюмc) вытягивается из неподвижного кристаллизатора с постоянной скоростью u (рис. 8.1).

При охлаждении на поверхностях блюмcа из жидкой фазы формируется корка затвердевшего металла толщи ной. На глубине lк или в момент времени к = lк/u формирование блюм cа завершается. Математическая фор мулировка задачи по методу сквозно го счета включает дифференциальное уравнение переноса энергии:

2T 2T Т T +u = aэфф 2 + 2, (8.1) z x y которое в стационарном случае ( T = 0 ) принимает вид:

2T 2T T Рис. 8.1. Схема = aэфф 2 + 2, u (8.2) формирования блюмса z x y а с учетом кинематического соотношения (u = z/) T ( z u ) = = T имеем квазистационарное уравнение переноса энергии:

2T 2T Т = aэфф 2 + 2, (8.3) x y где aэфф = ( cэфф ) – эффективная температуропроводность;

, – коэффициент теплопроводности и плотность;

эффективная теплоемкость скачком возрастает в интервале температур лик видуса (Tлик) и солидуса (Тсол) двухфазной зоны и учитывает выделение скрытой теплоты затвердевания (L) при T Tлик, T Tсол, c = cэфф L c + T T при Tсол T Tлик.

лик сол Начальная температура расплава в кристаллизаторе T ( = 0 ) = Tлик + Т, (8.4) граничные условия для расчетной области (0 x, 0 y ) имеют вид:

T (, y ) = T ( x, ) = Tп, T ( x,0 ) y = T ( 0, y ) x = 0, (8.5) где Т – перегрев расплава над температурой ликвидуса;

Тп – температура поверхности слитка.

В частном случае, когда температура по толщине корки сляба изменяется по линейному закону, решение краевой зада чи (8.3–8.5) принимает вид:

(Tзат Tп ), = (8.6) L где Тзат – температура затвердевания, которая находится в ин тервале температур ликвидуса и солидуса и которая может быть вычислена по формуле Тзат = (Тлик + Тсол) / 2.

Для численного решения задачи на расчетную область на носится регулярная сетка с координатами узлов:

xi = ihx ;

i = 0, 1,..., N ;

hx = N, y j = jhy ;

j = 0, 1,..., M ;

hy = M, (8.7) k = kh ;

k = 1, 2,..., где N, М – числа разбиений расчетной области соответственно в направлении координат x, y;

hx, hy, h – соответственно шаги пространственной (по x, y) и временной (по ) сеток;

i, j, k – номе ра узловых точек в направлении координат x, y и времени. На рис. 8.2 заштриховано возможное положение двухфазной зоны.

Уравнение переноса энергии (8.3) может быть представлено в дискретном виде по явной схеме, в соответствии с которой вторая производная по координатам за писывается на «старом» (k–1)-м временном слое с известным распределением температуры.

Рис. 8.2. Расчетная область В результате аппроксимации с указананием положения уравнения (8.3) двухфазной зоны Ti, j,k +1 Ti, j,k = h (8.8) Ti 1, j,k 2Ti, j,k + Ti +1, j,k Ti, j 1,k 2Ti, j,k + Ti, j +1,k = ai, j + hx2 hy получается явная формула для температуры:

2ai, j h 2ai, j h Ti, j,k +1 = Ti, j,k 1 + hy hx2 + 2 (Ti +1, j,k + Ti 1, j,k ) + 2 (Ti, j +1, k + Ti, j 1,k ), ai, j h ai, j h hx hy (8.9) вычисления по которой устойчивы при следующем ограниче нии на шаг сетки по времени:

h hx2 hy 2amax ( hx2 + hy ).

2 (8.10) С применением формул односторонней разности записы ваются граничные условия (8.5) на поверхностях блюмса:

TN, j = Ti, M = Tп, i = 1, 2,..., N 1;

j = 1, 2,..., M 1, (8.11) а также граничные условия на осях симметрии:

T0, j = T1, j, Ti,0 = Ti,1, i = 1, 2,..., N 1;

j = 1, 2,..., M 1. (8.12) Угловые точки области (0, 0;

0, М;

N, 0;

N, M) в расче тах не участвуют. Для вычис ления температур в угловых точках применяют аппрокси мацию стационарного урав нения переноса энергии (8.3).

Например, для угловой точки (N, M) (рис. 8.3) это уравнение в конечных разностях прини- Рис. 8.3. Фрагмент разбиения расчетной области мает вид:

TN 2, M 2TN 1, M + TN, M TN, M 2 2TN, M 1 + TN, M + = 0, 2 h hy x из которого в частном случае при hx = hy получаем формулу аппроксимации:

TN, M = TN 1, M + TN, M 1 (TN 2, M + TN, M 2 ) 2. (8.13) Аналогично для других угловых точек:

T0,0 = T1,0 + T0,1 (T2,0 + T0,2 ) 2;

T0, M = T0, M 1 ;

TN,0 = TN 1,0. (8.14) Для вывода на экран (печать) массива поля температур Тi, j в плоскости 0xy в виде изотерм можно воспользоваться алго ритмом перевода цифрового массива в символьный. Для этого интервал температур T = Tсол Tп делится на n подинтерва лов, в каждом из которых записываются цифровые символы, разделенные символами пробелов (рис. 8.4). Правые границы интервалов определяются по формуле Tl = Tп + T l n, l = 1, 2,..., n, где Тl – значение температуры на правой грани це l-го подынтервала. Для интервала температур фазового пе рехода (Тлик–Тсол) рекомендуется применять буквенный символ «Ф», а для температур перегрева – символ пробела.

Рис. 8.4. Представление температурного поля в символьном виде Алгоритм решения задачи по явной схеме представлен на рис. 8.5.

Выполнение работы 1. Составить Паскаль-программу расчета затвердевания сляба. Блок-схема программы приведена на рис. 8.5. Ниже приведён пример Паскаль-программы, реализующей расчет времени охлаждения блюмса по явной схеме.

program Example_8;

uses graph;

const n = 50;

m = 50;

lx = 0.1;

ly = 0.1;

hx = lx/n;

hy = ly/m;

epsilon = 1e-6;

var T,TT,ae : array [0..n,0..m] of double;

Tstart,Tc1,Tc2,alpha1,alpha,a,lambda,rho,cp,L,af,TS,TL, delta,tau,htau,ahtx,ahty,htx,hty,lahx,lahy,tau1 : double;

i,j : integer;

f : text;

procedure gStart;

var mode,driver : smallint;

begin detectgraph(driver,mode);

initgraph(driver,mode,'');

setbkcolor(white);

cleardevice;

end;

Рис. 8.5. Алгоритм решения задачи затвердевания блюмса procedure gColorField;

var i,j : integer;

color : integer;

Tcol : array [1..10] of double = (200,400,600,800,1000,1200,1400,1430,1500,1600);

begin for i:=0 to n do for j:=0 to m do begin color:=1;

while(T[i,j]Tcol[color])and(color10) do begin color:= color +1;

end;

setfillstyle(SolidFill,Color);

bar(10+i*10,10+j*10,20+i*10,20+j*10);

end;

end;

begin {1. Ввод исходных данных} {1.1. Теплофизические свойства металла} lambda:=45.5;

rho:=7900;

cp:=4600;

TS:=1430;

TL:=1500;

L:=270e3;

a:=lambda/cp/rho;

af:=lambda/rho/(cp + L/(TL-TS));

{1.2. Параметры процесса} Tc1:= 100;

Tc2:= 100;

alpha1:=200;

alpha2:=35;

Tstart:=1550;

for i:=0 to n do for j:=0 to m do T[i,j]:= Tstart;

tau := 0;

{1.3. Параметры расчётного ядра} tau1:=0;

htau := sqr(hx)*sqr(hy)/a/(sqr(hx)+sqr(hy))/6;

htx:=htau/sqr(hx);

hty:=htau/sqr(hy);

lahx:=lambda/alpha1/hx;

lahy:=lambda/alpha2/hy;

{2. Рабочий блок} gStart;

repeat {2.1. Определение температуры на следующем временном слое} tau:=tau + htau;


{2.1.1. Расчёт эффективной температуропроводности} for i:=0 to n do for j:=0 to m do begin if (T[i,j]Ts) and (T[i,j]TL) then ae[i,j]:= af else ae[i,j]:= a;

ahtx:= ae[i,j] * htx;

ahty:= ae[i,j] * hty;

end;

{2.1.2. Расчёт температурного поля во внутренней области} for i:=1 to n-1 do for j:=1 to m-1 do TT[i,j]:= T[i,j] * (1 – 2*(ahtx+ahty)) +(T[i-1,j] + T[i+1,j])*ahtx +(T[i,j-1] + T[i,j+1])*ahty;

{2.1.2. Расчёт температур на внешних границах} for j:=1 to m-1 do begin TT[0,j]:= T[1,j];

TT[n,j]:= (Tc1 + T[n-1,j]*lahx)/(1 + lahx);

end;

for i:=1 to n-1 do begin TT[i,0]:= T[i,1];

TT[i,m]:= (Tc2 + T[i,m-1]*lahy)/(1 + lahy);

end;

{2.1.3. Расчёт температур в углах расчётной области} TT[0,0]:=0.5*(T[1,0] + T[0,1]);

TT[0,m]:=0.5*(T[1,m] + T[0,m-1]);

TT[n,0]:=0.5*(T[n-1,0] + T[n,1]);

TT[n,m]:=0.5*(T[n-1,m] + T[n,m-1]);

{2.2 Определение различия решений на k-ом и k+1-ом временных слоях} delta := 0;

for i:=0 to n do for j:=0 to m do if abs(T[i,j]-TT[i,j])delta then delta := abs(T[i,j] TT[i,j]);

T := TT;

{2.3. Секция визуализации} if tau1 then begin gColorField;

write(T[i,j]:8:2);

tau1:= end else tau1:=tau1 + htau;

until delta = epsilon;

{3. Вывод результата} writeln('Результаты расчёта');

writeln('Время установления стационара:', tau:8:2, tau/htau:8:2);

writeln('Распределение температуры по слою');

for j:=m downto 0 do for i:=0 to n do write(T[i,j]:8:2);

end.

2. Ввести в программу исходные данные: полутолщину блюмса = 10 см, температуры ликвидуса Тлик = 1500 оС, солидуса Тсол = 1430 оС, перегрев расплава Т = 10 оС, теплофизические свойства стали: коэффициент теплопроводности = 50 Вт/(м·К), коэффициент температуропроводности а = 1,4·10–5 м2/c, скрытую теплоту затвердевания L = 270 кДж/кг, температуру поверхности блюмса в соответствии с табл. 8. 3. Определить по формуле (8.6) время окончания затверде вания блюмса (к).

Т а б л и ц а 8. № задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Тп·10–1 оС 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 4. Провести вычислительный эксперимент на сгущающей ся пространственной сетке при N = M (шаг временной сетки выбирать равным h = 0,9 hx2 ( 4amax ) ) и сравнить полученные решения на графике зависимости к(N). Построить (при вы бранном числе разбиений расчетной области) изотермы для трех – четырех моментов времени в интервале 0 к.

Контрольные вопросы 1. Конечно-разностное представление первой и второй производных.

2. Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения теп лопроводности.

3. Соотношение между временным и пространственным шагами сетки, обеспечивающее минимальную ошибку аппрок симации уравнения теплопроводности.

4. Чем объясняется рост корки слитка по закону квадрат ного корня?

5. Запись основных операторов программирования на язы ке Паскаль.

ЧАСТЬ III МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Методические указания для самостоятельного изучения курса Методика изучения дисциплины «Моделирование процессов и объектов в металлургии» на заочном отделении существенно отличается от методик для дневной формы обучения. Так, если на дневном отделении основной формой обучения являются лекции, практические и лабораторные занятия, где преподаватель излага ет программный материал, решает со студентами задачи, прово дит лабораторные занятия, проверяет знания студентов, то учеб ный процесс на заочном отделении связан с углубленной самостоятельной работой и предусматривает:

1) изучение материала программы по учебникам или учеб ным пособиям;

2) самостоятельное решение задач;

3) выполнение контрольных работ;

4) выполнение лабораторных работ;

5) сдачу зачета и экзаменов.

Для успешного овладения материалом и сдачи экзаменов по физике необходимо руководствоваться несколькими прави лами.

1. Следует изучать курс систематически в течение всего учебного года. Попытка изучить предмет в сжатые сроки перед экзаменом не даст глубоких, прочных знаний и приведет к не удаче.

2. Выбрав какое-либо учебное пособие в качестве основно го для определенной части курса, придерживайтесь данного пособия при изучении всей части или, по крайней мере, ее це лого раздела. Замена одного пособия другим в процессе изуче ния может привести к утрате логической связи между отдель ными вопросами. Но если выбранное пособие не дает полного или ясного ответа на некоторые вопросы программы, необхо димо обращаться к другим учебным пособиям.

3. При чтении учебного пособия составляйте конспект, в котором записывайте законы и формулы, выражающие эти за коны, определения физических величин и их единиц, делайте чертежи и решайте типовые задачи. При решении задач следу ет пользоваться Международной системой единиц (СИ).

4. Самостоятельную работу над курсом необходимо под вергать систематическому контролю. Для этого после изучения очередного раздела следует ставить вопросы и отвечать на них.

При этом надо использовать рабочую программу курса.

5. Очень полезно прослушать установочный курс лекций, организуемых для студентов-заочников, а также пользоваться очными консультациями преподавателей.

2. Методические указания к решению задач Решение задач по моделированию процессов и объектов в металлургии способствует более глубокому пониманию изу чаемого материала и помогает закреплению в памяти понятий, формулировок, определений, формул и физических законов, развивает у студентов логическое мышление, навык в приме нении полученных знаний для решения конкретных вопросов, имеющих практическое и познавательное значение. Поэтому в пособии приводится список тренировочных задач, работа над которыми закрепит знания и навыки студентов.

Задачи по дисциплине разнообразны, и дать единый «ре цепт» для их решения невозможно. Умение решать задачи приобретается в процессе систематических упражнений. Мож но лишь указать условия, соблюдение которых необходимо для успешного решения задач.

В основу каждой задачи положен тот или иной частный случай проявления общих законов моделирования. Поэтому без твердого знания теории нельзя рассчитывать на успешное решение и анализ даже самых простых задач.

При решении задач необходимо:

1. Хорошо вникнуть в условие задачи и установить, какие физические закономерности лежат в ее основе.

2. Записать все данные в задаче физические величины в одной системе единиц (в системе единиц СИ).

3. Если позволяет характер задачи, обязательно сделать схематический чертеж (эскиз), поясняющий ее сущность.

4. Записать законы и формулы, на которых базируется ре шение, и дать словесную формулировку этих законов, разъяс нить буквенные обозначения.

5. Если при решении задачи применяется формула, полу ченная для частного случая, не выражающая какой-нибудь фи зический закон или не являющаяся определением какой нибудь физической величины, то ее следует вывести.

6. Получить решение задачи в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, задан ных в условии задачи. Правильность решения задачи в общем виде можно проверить, используя правило размерностей (на именований). При правильном решении размерность правой части формулы совпадает с размерностью искомой величины.

Несоблюдение этого условия (оно необходимо, но недостаточ но) свидетельствует об ошибке, допущенной в ходе решения.

7. Решение задачи следует сопровождать краткими, но ис черпывающими пояснениями.

8. Подставить числовые данные в полученные для искомых величин формулы, произвести с ними необходимые действия.

Проанализировать результат (оценить его правдоподобность).

9. Проводя арифметические расчеты, нужно использовать правила приближенных вычислений, позволяющие экономить время без ущерба для точности. Точность ответа не должна превышать точности, с которой даны исходные величины.

В тех задачах, где требуется начертить график, следует рацио нально выбрать масштаб и начало координат.

Умение решать задачи приобретается длительными и сис тематическими упражнениями. При подготовке к выполнению контрольной работы следует после изучения каждой темы ре шить тренировочные задачи. Они содержат элементы задач, предлагаемых для контрольных работ.

Задачи для тренировки призваны подготовить студента к выполнению контрольной работы. Решение этих задач край не полезно и необходимо.

При оформлении контрольных работ нужно помнить сле дующее:

1. Контрольная работа включает 15 задач с десятью вари антами исходных данных к каждой задаче. Номер варианта оп ределяется последней цифрой номера зачетной книжки.

2. Контрольные работы для проверки оформляются в тон кой ученической тетради синими или черными чернилами.

3. Текст задачи из контрольного задания должен быть пе реписан полностью и выписаны столбиком значения величин с их стандартными обозначениями и размерностями. Размерно сти указываются в СИ.

4. При решении задач необходимо придерживаться правил, приведенных выше.

3. О приближенных вычислениях Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении задач, являются большей частью приближен ными. Прежде чем вести разговор о правилах приближенных вы числений дадим определение значащей цифры числа. Значащими цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля цифры, а также кроме нулей, стоящих в конце числа взамен неизвестных или отброшенных цифр. Нуль в конце числа может быть значащим, если он являет ся представителем сохраненного десятичного разряда.

Такими величинами являются, в частности, многие кон станты, приводимые в справочниках. Например: ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2, число пи = 3,14 и т.п. При более точном вычислении или измерении числовые значения этих величин будут содержать большее число значащих цифр g = 9,80655 м/с2, = 3,1416. Однако и эти значения, в свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности измерения, или в силу того, что получены путем ок ругления еще более точных значений.


Часто неопытные лица при вычислениях добиваются такой точности результатов, которая не оправдывается точностью исходных данных. Это приводит к бесполезной затрате труда и времени.

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется опреде лить плотность вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точностью до 0,01 г определили массу тела:

m = ( 9,38 ± 0,01) г.

Затем с точностью до 0,01 см3 был измерен объем тела:

V = ( 3, 46 ± 0,01) м3.

Без критического подхода к вычислениям можно получить такой результат:

кг m 9, с= = = 2,71098 3.

м V 3, Но числа 9,38 и 3,46 – приближенные. Последние цифры в этих числах сомнительные. Эти числа при измерении могли быть получены такими: первое – 9,39 или 9,37, второе – 3, или 3,47. В самом деле, при взвешивании с указанной выше точностью могла быть допущена ошибка на 0,01 как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же самое и в отношении объема. Таким образом, плотность тела, если ее вычислять с точностью до пятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказаться:

= 9,39/3,45 = 2,7214 г/см3 или = 9,37/3,47 = 2,70029 г/см3.

Сравнение всех трех результатов показывает, что они от личаются уже вторыми десятичными знаками и что достовер ным является лишь первый десятичный знак, а второй – со мнительным. Цифры, выражающие остальные десятичные знаки, совершенно случайны и способны лишь ввести в заблу ждение пользователя вычисленными результатами. Следова тельно, работа по вычислению большинства знаков затрачена впустую. Во избежание бесполезных затрат труда и времени принято вычислять кроме достоверных знаков еще только один сомнительный. В рассмотренном примере надо было вести вы числение до второго десятичного знака:

= m/V = 9,38/3,46 г/см3 = 2,71 г/см3.

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел оконча тельный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых. Например, при сложении чисел 4,462 + 2,38 + + 1,17273 + 1,0262 = 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т.е. принять ее равной 9,04, так как слагаемое 2,38 задано с точностью до сотых долей.

2. При умножении следует округлить сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколь ко их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр.

Например, вместо вычисления выражения 3,723 2,4 5, следует вычислять выражение 3,7 2,4 5,2. В окончательном результате следует оставлять такое же количество значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления.

В промежуточных результатах следует сохранять на одну зна чащую цифру больше. Такое же правило следует соблюдать и при делении приближенных чисел.

3. При возведении в квадрат или куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например, 1,322 1,74.

4. При извлечении квадратного или кубического корня в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении. Например, 1,17 1,08.

При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых дей ствий. Например, при вычислении дроби ( 3, 2 + 17,062 ) 3, ( 5,1 2,007 10 ) сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр:

( 3, 2 + 17,062 ) 20,3 1, 3,7 39, 3,79 103.

( 5,1 2,007 10 ) 10,3 10 10,3 После округления до двух значащих цифр получаем ре зультат 3,810–3.

4. Примеры решения задач 4.1. Стохастическое моделирование Задача 1. Найти математическое ожидание и моду случай ной величины, заданной таблицей значений x и вероятностей р.

x 3 5 p 0,1 0,6 0, Решение.

n M x = xi pi = 3 0,1 + 5 0,6 + 2 0,3 = 3,9. Mo = 5.

i = Задача 2. В табл. 1 представлены результаты выборочного взвешивания отливок (xi, кг, i = 1, 2, …, n). Было взвешено отливок, т.е. объем выборки n = 100. Требуется построить функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x).

Таблица 5,56 5,45 5,48 5,45 5,39 5,37 5,46 5,59 5,61 5, 5,46 5,61 5,11 5,41 5,31 5,57 5,33 5,11 5,54 5, 5,34 5,53 5,46 5,41 5,48 5,39 5,11 5,42 5,48 5, 5,36 5,40 5,45 5,49 5,68 5,51 5,50 5,68 5,21 5, 5,58 5,47 5,46 5,19 5,60 5,63 5,48 5,27 5,22 5, 5,33 5,49 5,50 5,54 5,40 5,58 5,42 5,29 5,05 5, 5,79 5,65 5,70 5,71 5,85 5,44 5,47 5,48 5,47 5, 5,67 5,71 5,73 4,97 5,35 5,72 5,49 5,61 5,57 5, 5,54 5,39 5,32 5,21 5,73 5,59 5,38 5,25 5,26 5, 5,27 5,64 5,20 5,23 5,33 5,37 5,24 5,55 5,60 5, Решение. Экстремальные значения веса отливок xmin = 4,97;

xmax = 5,85;

Число интервалов группирования s = log 2 n + 1 = = 7,62 8 ;

ширина интервала группирования h = ( xmax xmin ) s = = ( 5,85 4,97 ) 8 = 0,11 ;

левый (сj–1) и правый (сj) концы j-го ин тервала:

c j 1 = xmin + ( j 1) h = 4,97 + ( j 1) 0,11;

c j = xmin + j h = 4,97 + j 0,11, j = 1, 2,..., s;

середины интервалов группирования x 0 = ( c j 1 + c j ) 2.

j Подсчитываем число выборочных данных vj, попавших в каждый (j-й) интервал группирования (j=1, 2, …, s);

подсчиты ваем количество выборочных данных, попавших в j-й интервал группирования h (v1+…+vjx);

подсчитываем выборочную функ цию распределения:

1 + 2 +... + ix ( x) = F( n), n где ix – номер самого правого из интервалов группирования, правый конец которых не превосходит заданного значения x.

Посчитываем выборочную функцию плотности:

k ( x ) ( x) = f( n), nh в которой k(x) – порядковый номер интервала группирования, накрывающего заданную точку x, а vk(x) – число выборочных данных, попавших в этот интервал. Результаты группировки сводим в табл. Таблица Значения x: Середины j–номер F(n)(x) f (n)(x) интервала cj–1xcj интервалов vj v1+…+vix группиро- x j вания 1 4,97x5,08 5,03 2 0 0,00 0, 2 5,08x5,19 5,14 3 2 0,02 0, 3 5,19x5,30 5,25 12 5 0,05 1, 4 5,30x5,41 5,36 19 17 0,17 1, 5 5,41x5,52 5,47 29 36 0,36 2, 6 5,52x5,63 5,58 18 65 0,65 1, 7 5,63x5,74 5,69 13 83 0,83 1, 8 5,74x5,85 5,80 4 96 0,96 0, x5,85 – 100 1,00 – Последние два столбца этой таблицы дают искомые функ ции.

Задача 3. На металлургическом заводе проведено кон трольное определение твердости по Шору рабочего слоя боль шой партии однотипных листопрокатных валков. Установлено, что твердость (случайная величина x) распределена нормально с математическим ожиданием 60 ед. по Шору и средним квад ратическим отклонением 5 ед. по Шору. Необходимо найти вероятность того, что значение твердости валков заключено в пределах 57…65 ед. Шора, оговоренных ГОСТом.

Решение. Используем формулу р { x1 x x2 } = Ф (t2) – – Ф (t1), в соответствии с которой указанная вероятность сво дится к разности нормальных функций Лапласа. По условию задачи x1 = 57;

x2 = 65;

M x = 60;

= 5, следовательно, 65 60 57 p {57 x 65} = Ф Ф = 5 = Ф (1,0 ) Ф ( 0,6 ) = Ф (1,0 ) + Ф ( 0,6 ).

По таблице функции Лапласа из приложения находим:

Ф(1,0) = 0,3413;

Ф(0,6) = 0,2257. Отсюда искомая вероятность Задача 4. Построить линейную зависимость регрессии по семи экспериментальным точкам:

Значения аргумента, x 1 2 3 4 5 6 Значения функции, y 2,35 2,41 2,60 2,73 2,90 3,11 3, Решение. Для линейной зависимости y = y + k ( x x ) оп ределяем:

1n 17 1n 19, yi = 7 yi = 7 = 2,764 ;

x = n xi = 7 xi = 4 ;

y= n i =1 i =1 i =1 i = n ( xi x )( yi y ) ( xi 4 )( yi 2,764 ) k= = = 0,157.

i =1 i = n ( xi x ) ( xi 4 ) 2 i =1 i = Искомое уравнение регрессии:

y = y + k ( x x ) = 2,764 + 0,157 ( x 4 ).

4.2. Конвективный теплообмен Задача 1. Тонкая пластина длиной l0 = 2 м и шириной а = = 1,5 м обтекается продольным потоком воздуха. Скорость и температура набегающего потока равны соответственно w0 = = 3 м/c;

t0 = 20 oC. Температура поверхности пластины tп = 90 oC.

Определить средний по длине пластины коэффициент тепло отдачи и количество теплоты, отдаваемой пластиной воздуху.

Решение. Для воздуха при t0 = 20 oC = 15,06·10–6 м2/c;

= = 2,59·10–2 Вт/(м·К);

Рr = 0,703. Число Рейнольдса 3 w0 l Re = = = 3,98 105 5 105, 15,06 следовательно, режим течения в пограничном слое ламинар ный. В этих условиях средняя по длине теплоотдача может быть рассчитана по формуле:

Nu = 0,67Re1 2 Pr1 3, где Nu = l0 ;

Re = w0 l0, а физические свойства выбира ются по температуре набегающего потока t0.

В рассматриваемом случае Nu = 0,67 ( 3,98 105 ) ( 0,703) = и коэффициент теплоотдачи 2,59 = 4,87 Вт/ ( м 2 K ).

= Nu = l0 Количество передаваемой теплоты с обеих сторон пластины Q = ( tп t0 ) F = 4,87 ( 90 20 ) 2 2 1,5 = 2050 Вт.

Задача 2. Плоская пластина длиной l = 1 м обтекается про дольным потоком воздуха. Скорость и температура набегающего потока воздуха w0 = 80 м/c;

t0 = 10 oC. Перед пластиной установле на турбулизирующая решетка, вследствие чего движение в по граничном слое на всей длине пластины турбулентное.

Вычислить среднее значение коэффициента теплоотдачи с поверхности пластины и значение местного коэффициента теп лоотдачи на задней кромке. Вычислить также толщину гидроди намического пограничного слоя на задней кромке пластины.

Решение. При температуре набегающего потока t0 = 10 oC физические свойства воздуха: = 14,16 · 10–6 м2/c;

= 2, 10–2 Вт/(м·К). Число Рейнольдса 80 1, w0 l Re = = = 5,65 106 5 105, 14,16 следовательно, режим течения в пограничном слое турбулент ный.

Среднее значение коэффициента теплоотдачи при обтека нии пластины воздухом для турбулентного пограничного слоя можно вычислить по формуле:

Nu = 0,032Re0,8 = 0,032 ( 5,65 106 ) 0, = и коэффициент теплоотдачи 2,51 = 202 Вт/ ( м 2 K ).

= Nu = l0 1, Для вычисления местного коэффициента теплоотдачи при обтекании пластины воздухом и турбулентном пограничном слое можно воспользоваться следующей формулой:

Nu x = 0,0255Re0,8, x где Nu x = x x и Re x = w0 x.

Значение местного коэффициента теплоотдачи на задней кромке пластины найдем, положив x = l0;

тогда Re x = 5,65 106, Nu x = 0,0255 ( 5,65 106 ) 0, = 6280 и 2,51 = 157,5 Вт/ ( м 2 K ).

x =l0 = Nu x =l0 = l0 1, Местную толщину турбулентного гидродинамического по граничного слоя можно вычислить по формуле 0,37 x т =.

Re x Подставив значения известных величин, получаем при x = l 0,37 1, т = = 0,0165 м.

5,65 Таким образом, средний коэффициент теплоотдачи = = 202 Вт/(м2·К). Значение местного коэффициента теплоотдачи при x = l0 x = l0 = 157,5 Вт/(м2·К);

Толщина гидродинамического пограничного слоя при x = l0 т = 16,5 мм.

Задача 3. Вычислить средний коэффициент теплоотдачи при течении трансформаторного масла в трубе диаметром d = =8 мм и длиной l = 1 м, если средняя по длине трубы темпера тура масла tж = 80 oC, средняя температура стенки трубы tс = = 20 oC и скорость масла w = 0,6 м/с.

Решение. Для определения режима течения масла вычис ляем значение числа Рейнольдса. При tж = 80 oC кинематиче ская вязкость масла ж = 3,66·10–6 м2/c и число wd 0,6 8 Reж = = = 1310.

3,66 ж Так как Re ж 2300, режим течения ламинарный.

Для того чтобы установить, оказывает ли влияние на теп лоотдачу естественная конвекция, нужно вычислить значение произведения (Gr·Pr)г, где в качестве определяющей темпера туры принимается tг = 0,5 ( tж + tс ), а tж = 0,5 ( tж1 + tж 2 ).

В рассматриваемом случае tг = 0,5 ( 80 + 20 ) = 50 о С.

При этой температуре г = 7,58·10–6 м2/c;

г=7,05·10–4 K–1;

Prг = 111;

( tж tс ) d 3 Pr ( Gr Pr )г = gг = г г (80 20 ) (8 103 ) = 9,81 7,05 10 111 = 3,6 105.

( 7,58 10 ) 6 Так как ( Gr Pr )г 8 105, естественная конвекция не ока зывает существенного влияния на теплоотдачу и режим тече ния масла – вязкостный.

Расчет средней теплоотдачи при вязкостном режиме тече ния жидкости в трубах при постоянной температуре стенки (tс = const) можно производить по следующей формуле 0, d µ Nu г = 1,55 Peг ж, (1) l µс где d d 4Gc pг q Nu г = ;

= ;

Peг = ;

г t ж tс l г l Индексы «с» и «г» означают, что физические свойства жидкости выбираются соответственно при температуре стенки tс и температуре tг = 0,5 ( tж + tс ) ;

– поправка на участок гид родинамической стабилизации:

1 1 l 1 l = 0,6 1 + 2,.

Re ж d Re ж d Эта поправка вводится, когда перед обогреваемым участ ком трубы нет участка гидродинамической стабилизации и 1 l 0,1.

Re ж d Формула (1) справедлива при 1 l 0,05 ;

Re ж 2300 ;

Peж d µ ( Gr Pr )г 8 105 ;

0,07 с 1500.

µж В рассматриваемом случае tж = 80 oC;

tс = 20 oC и tг = 50 oC.

Физические свойства масла: ж = 844 кг/м3;

µж = 30,8·104 Па·с;

г = 0,108 Вт/(м·К);

срг = 1,846 кДж/(кг·K);

µс = 198,2·10–4 Па·с.

Расход масла ( 8 10 ) 3 d = 2,53 102 кг/c.

G = ж w = 844 0, 4 Число d 4G c pг 4 2,53 102 1,846 = = = 550.

Peг l г 3,14 1, l 0, 1l 0,05 и, следовательно, формула (1) применима.

Peг d Поправка на гидродинамический начальный участок 1 l 1 = = 0,0955 0,1, Re ж d 1380 8 = 0,6 ( 0,0955) (1 + 2,5 0,0955) = 1,05.

1 Число 0, 1 3 30, Nu г = 1,55 ( 550 ) 1,05 = 10, 2.

198, Коэффициент теплоотдачи г = 138 Вт/ ( м 2 K ).

0, = Nu г = 10, 8 d Задача 4. По трубам вертикального теплообменника снизу вверх течет вода. Внутренний диаметр труб d = 16 мм;

их дли на l = 1,2 м. Расход воды через одну трубу G = 58 кг/ч. Темпе ратура воды на входе в теплообменник tж1 = 30 оС.

Определить количество теплоты, передаваемой от стенки одной трубы к воде, и температуру воды на выходе, если тем пература стенок труб поддерживается равной 80 оС.

Решение. Секундный расход воды G = 58/3600 = 1, 10 кг/c. При tж1 = 30 оС µж1 = 801·10–6 Па·с и – 4 1,61 4G Reж1 = = = 1600 2300.

d µ ж1 3,14 16 103 801 Режим течения ламинарный.

Далее необходимо вычислить произведение (Gr·Pr)г. Так как нам неизвестно значение температуры воды на выходе tж и, следовательно, нельзя найти ее среднюю температуру tж, то задачу решаем методом последовательных приближений.

Задаемся tж2 = 50 оС, тогда tж = 0,5 ( tж1 + tж 2 ) = 0,5 ( 30 + 50 ) = 40 o C, tг = 0,5 ( tж + tс ) = 0,5 ( 40 + 80 ) = 60 o C.

При этой температуре г = 0,478·10–6 м2/c;

г = 5,11·10–4 K–1;

Prг = 2,98;

( tc tж ) d 3 Pr ( Gr Pr )г = gг = г г (80 40 ) (16 103 ) = 9,81 5,11 10 2,98 = 1,07 107 8 105.

( 0, 478 10 ) 6 Режим течения вязкостно-гравитационный.

При вязкостно-гравитационном режиме течения в верти кальных трубах и совпадении направлений вынужденной и свободной конвекций у стенки (охлаждение жидкости и тече ние сверху вниз или нагревание и течение снизу вверх) для расчета средней теплоотдачи можно воспользоваться следую щей формулой:

0,3 0, d d ( Gr Pr )г l Nu c = 0,35 Peг (1), l где коэффициент теплоотдачи отнесен к начальной разности температур tc – tж1:

( tc t ж ) d q Grг = gг = ;

;

г tc tж wd t = 0,5 ( t + t ).

Peг = ;

ж ж1 ж aг Индексы «с» и «г» означают, что соответствующие физиче ские свойства выбираются по температуре стенки tс и температу ре tг = 0,5 ( tж + tс ). Формула (1) справедлива при Reж 2300:

d d Peг Peг 110 ;

l а.с l l 130 ;

8 105 ( Gr Pr )г 4 108.

d В рассматриваемом случае при tг = 60 oC аг = 1,6·10–7 м2/c;

при tс = 80 oC с = 0,635 Вт/(м·К);

при tж = 40 oC ж = 992 кг/м3.

Средняя скорость течения воды 4 1,61 4G w= = = 0,081 м/c ;

d ж 3,14 (16 103 ) 2 d wd d 0,081 16 103 16 = = = 108 ;

Peг 1,6 l aг l 1, d Peг 1,5 (1,43 10 ) = 29.

5 0, l а.с Так как все критерии находятся в указанных выше преде лах, формула (1) применима:

(1, 43 10 ) Nu c = 0,35 (108) 5 0, = 12, 2.

0, Коэффициент теплоотдачи c = 482 Вт/ ( м 2 K ).

0, = Nu c = 12, 16 d Количество передаваемой теплоты Q = ( tc tж ) d l = 482 ( 80 30 ) 3,14 16 103 1, 2 = 1450 Вт.

Проверка принятого значения температуры воды на выхо де из трубы:

Q tж2 = tж1 + = 30 + = 30 + 21,5 = 51,5 o C, 1,61 102 Gc pж где теплоемкость воды выбрана при tж = 40 оС: срж = 4174 Дж/(кг·K).

Таким образом, в результате первого приближения tж2 = 51,5 o C. Задавшись для второго приближения tж2 = 52 o C, tж = 0,5 ( tж1 + tж 2 ) = 41 o C tг = 0,5 ( tж + tс ) = получим и = 60,5 o C. Совпадение достаточно хорошее и дальнейших пе ресчетов делать не нужно.

Задача 5. Вода с температурой tж1 = 30 оС поступает в тру бу с диаметром d = 12 мм и длиной l = 1,2 м.

Определить температуру воды на выходе из трубы, если известно, что расход воды G = 0,083 кг/с и температура внут ренней поверхности трубы tс = 60 оС.

Решение. Для расчета теплоотдачи необходимо знать среднюю по длине трубы температуру жидкости. Так как тем пература воды на выходе неизвестна, задачу решаем методом последовательных приближений.

Задаемся температурой воды на выходе из трубы tж2 = 40 оС, тогда tж = 0,5 ( tж1 + tж 2 ) = 0,5 ( 30 + 40 ) = 35 o C. При этой темпера туре µж = 7,28·10–4 Па·c;

4 8,3 4G Re ж1 = = = 12100 104.

2 d µ ж1 3,14 1, 2 10 7, 28 Режим течения воды турбулентный.

При tж = 25 оС ж = 0,626 Вт/(м·К);

Prж = 4,85;

при tс = 60 oC Prc = 3,00.

Подставив найденные значения величин в формулы для числа Нуссельта и коэффициента теплоотдачи, получим:

0, Prж Nu ж = 0,021 Re Pr = 0,8 0, ж ж Prс 0, 4, = 0,021(1, 21 10 ) ( 4,85) 4 0, = 86;

0, 3, ж = 4490 Вт/ ( м 2 K ).

0, = Nu ж = 86 1, 2 d Температуру воды на выходе находим из уравнения тепло вого баланса:

tл dl = Gc рж ( tж2 tж1 ).

Учитывая, что tж2 tж tл =, tс tж 2,3 lg tс tж получаем d l lg ( tс tж2 ) = lg ( tс tж1 ) ;

2,3Gc рж 4490 3,14 1, 2 102 2, lg ( 60 tж2 ) = lg ( 60 30 ), 2,3 0,083 откуда tж2 = 49,7 оС.

В качестве второго приближения задаемся tж2 = 50 оС, тогда tж = 40 oC;

µж = 6,54·10–4 Па·с;

ж = 0,634 Вт/(м·К);

Prж = 4,30;

Reж = 13500;

Nuж = 87 и = 4600 Вт/(м2·К).

Температура воды на выходе (второе приближение):

4600 3,14 1, 2 102 2, lg ( 60 tж2 ) = lg ( 60 30 ) ;

tж2 = 50 оС.

2,3 0,083 Задача 6. Медный шинопровод круглого сечения диамет ром d = 15 мм охлаждается поперечным потоком сухого возду ха. Скорость и температура набегающего потока воздуха равны соответственно: w = 1 м/c;

tж = 20 оС.

Вычислить коэффициент теплоотдачи от поверхности ши нопровода к воздуху и допустимую силу тока в шинопроводе при условии, что температура его поверхности не должна пре вышать tс = 80 оС. Удельное электрическое сопротивление меди = 0,0175 Ом·мм2/м.

Решение. При температуре tж = 20 oC физические свойства воздуха следующие: ж = 15,06·10–6 м2/c;

ж = 2,59·10–2 Вт/(м·К).

Число Рейнольдса 1 0, wd Re ж = = = 995.

ж 15,06 Расчет теплоотдачи при поперечном обтекании одиночно го цилиндра воздухом можно производить по следующим формулам:

Nu ж = 0, 44 Re0,5 ;

при 10 Reж 1 103 ж, при 1 10 Re ж 2 10 Nu ж = 0,22 Re0, 3 ж в которых за определяющий размер принимается диаметр ци линдра, а за определяющую температуру – температура набе гающего потока воздуха tж.

В рассматриваемом случае Nu ж = 0, 44 ( 995) = 13,8, 0, следовательно, коэффициент теплоотдачи 2,59 ж = 23,8 Вт/ ( м 2 K ).

= Nu ж = 13,8 1,5 d Допустимую силу тока определяем из уравнения баланса энергии ( tc tж ) dl = I 2 R, где R = l ( d 2 4 ), выражение для силы тока имеет вид:

td I = 103 d.

Подставляя известные значения величин, получаем:

23,8 ( 80 20 ) 1,5 I = 103 3,14 1,5 102 = 825 A.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.