авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ СБОРНИК ТЕЗИСОВ ЛУЧШИХ ДИПЛОМНЫХ РАБОТ 2009 ...»

-- [ Страница 2 ] --

8. А.А.Лукьяница, Б.Г.Севрюков.Ускорение процесса обучения нейросети за счет использования графического акселератора. - Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ‘2009): Труды международной научной конференции [Электронное издание] – Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2009, 839с, с. 579- 9. C.Tomasi and T.Kanade. Detection and tracking of point features. Technical Report CMU-CS-91-132, CMU, 1991: [www.ces.clemson.edu/~stb/klt/tomasi-kanade techreport-1991.pdf], - апрель 10. C. Harris, M. Stephens. A combined corner and edge detector. - Proc. 4th Alvey Vision Conference, pp. 147-151, 1988.

11. M.Han, T.Kanade. A perspective factorization method for Euclidean reconstruction with uncalibrated cameras, 12. Tomasi C., Kanade T. Shape and Motion from Image Streams: a factorization method. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol.

90, issue 21, pp. 9795-9802, 1993.

13. S. Mahamud, M. Herbert, Y. Omori, J. Ponce. Probably-convergent iterative methods for projective structure from motion. - In Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 2001.

14. Hartley R., Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision. - Cambridge University Press, 2nd edition, 672pp, Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года ПОСТРОЕНИЕ СУЩЕСТВЕННО РАЗЛИЧНЫХ РЕШЕНИЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙ ДИАГНОСТИКИ ТОРОИДАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ.

Работа удостоена диплома III-ей степени Сучков Егор Петрович студент кафедры автоматизации научных исследований e–mail: suchkov.egor@gmail.com Научный руководитель – профессор Зайцев Федор Сергеевич Важным направлением исследований в проблеме управляемого термоядерного синтеза является разработка методов восстановления параметров тороидальной плазмы по данным наблюдений. Такие методы позволяют получить информацию о неизмеряемых непосредственно в эксперименте характеристиках плазмы, вырабатывать наджную технику управления разрядом [1-3].

В настоящей работе обсуждается задача реконструкции плотности тока, полоидального потока и других параметров тороидальной плазмы. Известно, что в традиционной постановке такая задача является сильно некорректной [2]. Тем не менее разработаны различные методы е решения. Для получения практических результатов успешно применяются такие коды, как SCoPE [2] и EFIT [3].

Типичные методы восстановления плотности тока разыскивают какое-то решение обратной задачи. Вопрос единственности найденного решения, как правило, остатся от крытым. Однако теоретическое исследование упрощнных обратных задач показывает возможность присутствия нескольких решений. Поэтому в реальных обратных задачах крайне важно определение всех существенно различных решений и выделение на основе дополнительных данных единственного, соответствующего физическому процессу.

Целью дипломной работы является уточннная формулировка обратной математи ческой задачи о восстановлении плотности тороидального тока в плазме, разработка и программная реализация метода поиска всех существенно различных е решений, построение примеров сильно различающихся решений в близких к экспериментальным условиях.

Литература 1. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М: Наука, первое издание 1982, 320 с., второе издание 1993, 336 с.

2. Зайцев Ф.С. Математическое моделирование эволюции тороидальной плазмы. – Москва: МАКС Пресс, 2005, 524 с.

3. Lao L.L., et al. Reconstruction of current prole parameters and plasma shapes in tokamaks. Nucl. Fusion. 1985, V. 25, p. 1611-1622.

Кафедра АНИ НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Черток Андрей Викторович студент кафедры автоматизации научных исследований (АНИ) e–mail: a.v.chertok@gmail.com Научный руководитель – к.ф.-м.н. c.н.с. Лукьяница Андрей Александрович В последнее время значительно возрос интерес к задачам видеонаблюдения. Это связано в первую очередь с резким удешевлением видеокамер, улучшением их характеристик и повышением надежности. Кроме того, в последние годы правительства всех стран уделяют повышенные требования к безопасности граждан и различных объектов.

Более того, камеры стали эффективно внедряться в сферу производства, а также при проведении научных исследований. Например, в современных установках ТОКАМАК видеокамеры используются для контроля за поведением плазмы, а также для предотвращения выхода плазмы на стенку камеры.

Дипломная работа посвящена одной из самых важных проблем, которая решается при анализе видеоизображения – нахождению траекторий объектов, за которыми ведется наблюдение.

Определение траекторий наблюдаемых объектов основано на минимизации специального функционала, который характеризует гладкость получаемых траекторий, а также плавное изменение величины скорости. К настоящему времени известно большое число методов решения этой задачи, которые используются в реальных системах видеонаблюдения. Однако практически все известные алгоритмы основаны на применении локальных оптимизаций, что позволяет сократить объем вычислений. Однако найденное решение не всегда в полной мере удовлетворяет поставленной задаче. В дипломной работе предложен новый подход к решению этой задачи, основанный на методе динамического программирования, который позволяет получить оптимальные траектории для всей совокупности кадров. Этот подход оказался очень эффективным: несмотря на незначительное снижение скорости обработки видеоряда он позволяет находить глобальный оптимум при определении траекторий. Для случая, когда объекты могут покидать область наблюдения либо в наблюдаемой области могут появляться новые объекты, автором работы была разработана новая модификация предложенного метода нахождения траекторий, позволяющая корректно учитывать сложные изменения наблюдаемой сцены. Сравнение с другими алгоритмами, проведенное автором, показывает, что предложенный метод превосходит все известные методы при небольшом увеличении времени вычислений.

Разработанные алгоритмы могут быть применены в различных практически важных областях, таких как создание охранных систем, бесконтактное наблюдение за животными, слежение за частицами в физических экспериментах, а также в решении широкого круга задач компьютерного зрения (нахождение оптического потока, анализ движения объектов, определение структуры объектов, 3-D реконструкция и др.).

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года Результаты, полученные автором, включены в труды следующих международных конференций по компьютерному зрению и анализу изображений: «International Conference on Computer Vision Theory and Applications» (VISAPP 2009, Лиссабон, Португалия), «The International Conference on Image Processing, Computer Vision, and Pattern Recognition» (IPCV 2009, Лас-Вегас, США), а также приняты к участию в конференции «IEEE Congress on Evolutionary Computation» (Трондхейм, Норвегия). Он стал финалистом конкурса курсовых и дипломных проектов, проводимого компанией Intel в рамках конференции Graphicon- (23-27 июня 2008 г.).

Литература 1. T. Cham, J. Rehg, A multiple hypothesis approach to figure tracking. In IEEE International Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 239-245, 1999.

2. Chang, Y. L. and Aggarval, J. K. 1991. 3d structure reconstruction from an ego motion sequence using statistical estimation and detection theory. In Workshop on Visual Motion. 268– 273.

3. D. Chetverikov and J. Verestoy, "Feature Point Tracking for Incompete Trajectories,"Computing, vol 62, pp. 321-338, 1999.

4. I.J. Cox, A Review of Statistical Data Association Techniques for Motion Correspondence, Int‘l J. Computer Vision, vol. 10, no. 1, pp. 53-66, 1993.

5. I.J. Cox, S. Hingorani, An efficient implementation of reid‘s multiple hypothesis tracking algorighm and its evalutaion for the purpose of visual tracking. IEEE Trans. Patt. Analy. Mach.

Intell. 18, 2, 138 - 150, 1996.

6. M.R.W. Dawson, The How and Why of What Went Where in Apparent Motion: Modeling Solutions to the Motion Correspondence Problem, Psychological Rev., vol. 98, pp. 569-603, 1991.

7. Johansson, Spatio-Temporal Differentiation and Integration in Visual Motion Perception, Psychological Research, vol. 38, pp. 379- 393, 1976.

8. T.E. Fortmann, Y. Bar-Shalom, and M. Sheffe,.Sonar Tracking of Multiple Targets Using Joint Probabilistic Data Association, IEEE J. Oceanic Eng., vol. 8, no. 3, pp. 173-184, July 1983.

9. B.K.P. Horn and B.G. Schunck, Determining Optical Flow, Artificial Intelligence, vol. 17, pp. 185-203, 1981. R.Y.

10. K. Rangarajan and M. Sha, "Establishing Motion Correspondence," CVGIP: Image Understanding, vol. 24, no. 6, pp. 56-73, July 1991.

11. C. Rasmussen, G. Hager, 2001. Probabilistic data association methods for tracking complex visual objects. IEEE Trans. Patt. Analy. Mach. Intell. 23, 6, 560–576.

12. D.B. Reid, An Algorithm for Tracking Multiple Targets, IEEE Trans. Automatic Control, vol. 24, no. 6, pp. 843-854, Dec. 1979.

13. I.K. Sethi and R. Jain, Finding Trajectories of Feature Points in a Monocular Image Sequence,"IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 9, no. 1, pp. 56-73, Jan.

1987.

14. Tsai and T.S. Huang, Uniqueness and Estimation of Three- Dimensional Motion Parameters of Rigid Objects with Curved Surface, IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 6, no. 1, pp. 13-26, Jan. 1984.

15. S. Ullman, The Interpretation of Visual Motion. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1979.

16. Veenman, C., Reinders, M., and Backer, E. 2001. Resolving motion correspondence for densely moving points. IEEE Trans. Patt. Analy. Mach. Intell. 23, 1, 54–72.

17. C.J. Veenman, E.H. Hendriks, and M.J.T. Reinders, A Fast and Robust Point Tracking Algorithm, Proc. IEEE Int‘l Conf. on Image Processing, vol. 3, pp. 653-657, Oct. 1998.

Кафедра АНИ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ НАНОПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЕЙ Работа удостоена диплома I-ей степени Шумкин Георгий Николаевич студент кафедры автоматизации научных исследований e–mail: georgiy-sh@yandex.ru Научный руководитель – профессор Попов Александр Михайлович Дипломная работа посвящена численному моделированию из первых принципов молекулярных нанопереключателей. Исследование направлено на теоретическое обоснование результатов экспериментов, проведенных в исследовательской лаборатории IBM в Цюрихе, предложивших использовать молекулу нафталоцианина в качестве переключателя[1]. Было обнаружено, что под действием тока туннелирования, возникающего в сканирующем туннельном микроскопе (СТМ), происходит переключение проводимости молекулы нафталоцианина, не меняющее е геометрии.

В дипломной работе впервые проведено численное моделирование из первых принципов (без эмпирических параметров) процесса изменения проводимости молекулы с использованием метода квантомеханической молекулярной динамики в формулировке Кар Парринелло [2]. Использовался параллельный код квантовой молекулярной динамики CPMD [3-4], инсталлированный автором на супер-ЭВМ IBM BlueGene/P. Проедение расчетов стало возможным благодаря использованию супер-ЭВМ IBM BlueGene/P, так как вычисления одного варианта с помощью однопроцессорного компьютера длилось бы 3 года.

В работе впервые рассчитан путь химической реакции переключения на полученной многомерной поверхности свободной энергии молекулы и найдена высота энергетического барьера в химической реакции водородной таутомеризации. Вычисления проведены с использованием алгоритма метадинамики, предложенного М. Парринелло[5].

В дипломной работе получены следующие результаты:

1. С помощью квантомеханического кода CPMD проведено моделирование из первых принципов процесса молекулярного переключения, наблюдаемого в эксперименте.

Результаты расчета позволяют объяснить основные эффекты, наблюдаемые в экспериментах.

С помощью метода метадинамики получены характеристики поверхности свободной 2.

энергии молекулы: найдены седловые точки поверхности свободной энергии и соответствующая высота энергетического барьера между двумя устойчивыми состояниями молекулы нафталоцианина.

Проведен анализ эволюции электронной плотности в процессе переключения, 3.

позволяющий создать модельное представление для поверхности свободной энергии и получать уравнение состояния для моделирования исследуемого класса молекул.

Результаты работы получены впервые и представляют важный вклад в развитие молекулярной электроники. Подготовлена в печать статья.

Литература Peter Lijeroth, Jascha Repp, Gerhard Meyer, Current-Induced Hydrogen Tautomerization and 1.

Conductance Switching of Naphthalocyanine Molecules, Science, 317, pp. 1203-1206, August, R. Car and M. Parrinello, Unified approach for molecular dynamics and density- functional 2.

theory, Physical Review Letters, 55, pp. 2471-2474, W. Andreoni and A. Curioni, New advances in chemistry and Materials Science with CPMD 3.

and Parallel Computing, Parallel Computing, 26, pp. 819-842, 4. The CPMD consortium, http://www.cpmd.org A. Laio and M. Parrinello, Escaping free-energy minima, PNAS, 99, № 20, 5.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ НЕЙРОННОЙ СЕТИ НОВОГО ТИПА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РАСПОЗНАВАНИЯ И КЛАССИФИКАЦИИ РАСТРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ГребнкинИлья Олегович студент кафедры НДСиПУ В работе Гребнкина И. О. была разработана и исследована новая нейронная сеть LICS (Linear Characters Separation), относящаяся к многослойным персептронам или персептронам со скрытым слоем, которая позволяет получить новое качество решения задачи распознавания и классификации образов. Основным нововведением нейронной сети является LICS модификация исследованной в работах Цибенко и Фунахаши формулы N n g k ( x1,..., xn ) xj, k 1,..., K, ki i ij i i1 j описывающей трехслойный персептрон и теоретически решающей задачу распознавания и классификации растровых изображений из n пикселей.

Практическое применение данной формулы затруднено отсутствием эффективных методов выбора параметров,, i, i 1,..., N ;

j 1,..., n;

k 1,..., K этой сети, где n, N, K – ij ki количества нейронов во входном, скрытом и выходном слоях соответственно. В связи с этим была предложена модификация формулы, имеющая лишь один, i 1,..., N :

набор параметров i Mk n * g k ( x1,..., xn ) xmkj x j, k 1,..., K, mk m1 j где в качестве весов взяты пиксели изображений обучающей выборки, ij принадлежащих одному классу, а сигмоидальная функция активации заменена простой функцией единого скачка.

Гребнкиным И. О. была разработана программа, эмулирующая исследуемую нейронную сеть. С использованием двух различных баз изображений: базы Кафедра НДС иПУ изображений рукописных цифр MNIST и базы фотоизображений объектов на сложном фоне NORB, была получена оценка производительности нейронной сети LICS, а также исследованы ее свойства и особенности. Обе базы находятся в свободном доступе по веб-адресу http://yann.lecun.com.

По результатам данного тестирования были получены результаты, сопоставимые с лучшими результатами существующих нейронных сетей данного класса, а в случае с базой NORB, результаты тестирования являются первыми этой базы. Получили подтверждение ряд предположений касающихся преимуществ данного алгоритма над уже существующими, а именно:

минимальное число устанавливаемых параметров, сравнительно небольшое число нейронов в скрытом слое, отсутствие случайных величин. Это гарантирует работу алгоритма в целом классе задач без предварительной настойки для каждой конкретной задачи, допустимое время обучения при решении большинства задач, стабильность и предсказуемость результата.

Исследование нейронной сети LICS, а также результаты, полученные на базе изображений MNIST, были опубликованы в журнале Российской Академии Наук «Информационные Технологии и Вычислительные Системы» (1, 2009).

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ,ОДНОВРЕМЕННО СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА Миняев Сергей Игоревич Кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления Научный руководитель – доцент Фурсов Андрей Серафимович Задача об одновременной стабилизации возникает в случаях, когда реальный объект может работать в нескольких режимах и при этом информация о переходе от одного режима к другому отсутствует (можно считать, что объект работает в условиях параметрической неопределенности). В таких ситуациях целью управления является выбор регулятора, обеспечивающего работоспособность (и в первую очередь устойчивость) системы в любом из возможных режимов.

В настоящей работе рассматривается задача одновременной стабилизации n дискретных линейных стационарных объектов второго порядка b11 z b01 b1n z b0 n W1 ( z ),..., Wn ( z ) 2 z a11 z a 01 z a1n z a 0 n p1 z p регулятором первого порядка R( z ). Фактически, задача состоит в поиске z q параметров q0, p0, p1, при которых все корни полиномов ( z) ( z 2 a1i z a0i )(z q0 ) (b1i z b0i )( p1z p0 ) i 1,...n i лежат строго внутри единичного круга на комплексной плоскости.

Основной подход, использованный при решении указанной задачи состоит в сведении с помощью преобразования единичного круга комплексной плоскости в левую полуплоскость проблемы одновременной стабилизации дискретных объектов к проблеме одновременной стабилизации непрерывных объектов второго порядка.

В процессе решения были использованы методы теории робастной устойчивости систем управления [1], методы исследования и построения общего решения систем линейных неравенств [2], методы интервального анализа [3].

Основными результатами работы являются: проверяемое численно необходимое условие одновременной стабилизации, а также достаточное условие одновременной стабилизации, допускающее построение конструктивного алгоритма поиска стабилизирующего регулятора на основе методов интервального анализа.

Проверка необходимого условия одновременной стабилизации основана на исследовании совместности систем линейных неравенств Кафедра НДС иПУ A1v b1 0 A1v b1 и, An v bn 0 An v bn a a b b b b a a 1 1i 0i 1i 0i 1i 0i 1i 0i a a b b b 3b 1a 3a,b 1i 0i 1i 0i 1i 0i 1i 0i, i 1,2,..., n, Ai i a a b b b 3b 1a 3a 3 1i 0i 1i 0i 1i 0i 1i 0i a a b b b b 1a a 1 1i 0i 1i 0i 1i 0i 1i 0i построенных по коэффициентам передаточных функций стабилизируемых систем и носит конструктивный характер.

Достаточное условие одновременной стабилизации сводится к системе нелинейных неравенств относительно коэффициентов регулятора, разрешить которую аналитически не представляется возможным. Поэтому в работе предложена проверка достаточного условия одновременной стабилизации на основе применении численных методов интервального анализа. Она сводится к поиску так называемых (h, ) стабилизирующих параметров, область поиска которых допускает локализацию. Далее расчет параметров стабилизирующего регулятора осуществляется на основе (h, ) стабилизирующих параметров.

Литература 1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002.

2. Черников С.Н Линейные неравенства. - М.: Наука, 1968.

3. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервал ьный анализ.- М.: Ижевск: Инстит ут компьютерных исследований, 2007.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года СПИРАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ И ДИФФУЗИОННЫЙ ХАОС В УРАВНЕНИИ КУРАМОТО-ЦУЗУКИ Никитина Марина Юрьевна студентка кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления e–mail: nikitina_marina@inbox.ru Научный руководитель – профессор Магницкий Николай Александрович Дипломная работа посвящена изучению хаоса в уравнении Курамото-Цузуки, которое является уравнением в частных производных с двумя параметрами, в двумерном случае.

W yy ) (1 ic2 ) W W, W u iv.

Wt W (1 ic1 )(Wxx Основной целью дипломной работы было исследование связи между известными ранее возникающими структурами в этом уравнении – спиральными волнами, представляющими собой решение в виде W, и траекторией решения в R ( r )e i t ia ( r ) im фазовом пространстве.

В пространстве параметров найдены области, при которых существует неоднородное по пространству решение, представляющее собой соприкасающиеся торы разной размерности в фазовом пространстве, и соприкасающиеся спиральные волны в евклидовом пространстве. С помощью метода сечений Пуанкаре были найдены двумерные, трехмерные торы, и решения, траектории которых сложнее, чем трехмерный тор. При этом каждой спиральной волне в евклидовом пространстве соответствует тор в фазовом пространстве.

Усложнение траектории решения в фазовом пространстве происходит за счет наложения частот от разных спиральных волн, в результате чего увеличивается размерность тора. Таким образом, реализуется сценарий перехода к хаосу - сценарий Ландау рождения многомерных торов.

Так же в пространстве параметров найдены значения, при которых решение становится однородным по пространству и представляет собой двумерный тор в фазовом пространстве. Далее происходит бифуркация Хопфа, рождается трехмерный тор. И затем траектория решения в фазовом пространстве становится сложнее, чем трехмерный тор. При этом торам разной размерности в фазовом пространстве соответствует одна многовитковая спиральная волна в евклидовом пространстве. Число витков связано с формой тора в фазовом пространстве.

Литература 1. Ахомеева Т.С., Курдюмов С.П. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.:

Наука, 2. Ахомеева Т.С., Малинецкий Г.Г. Двухкомпонентные диссипативные системы в окрестности точки бифуркации // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986, С. 1-51.

3. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems.// Progr. Theor. Phys., 1975, vol. 54, N 3, p. 687--699.

4. Kuramoto Y. Diffusion-induced chaos in reaction systems.// Suppl. Progr. Theor. Phys., 1978, N 64, p. 346--367.

Кафедра НДС иПУ СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОНИЖЕНИЯ ИХ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОРЯДКА Родиченко Никита Сергеевич студент кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления e–mail: Nikita.Rodichenko@gmail.com Научный руководитель – академик РАН Емельянов Станислав Васильевич Данная дипломная работа посвящена одной из важнейших тем в теории автоматического регулирования — теме стабилизации систем управления. В частности, решен вопрос о стабилизации некоторого класса систем N-го порядка с переменными параметрами путем понижения их динамического порядка.

Для решения этой задачи был выбран подход, использующий разработанные академиками С.В. Емельяновым и С.К. Коровиным новые типы обратной связи. Такой подход позволил синтезировать регуляторы, решающие задачу понижения порядка системы в условиях неопределенности параметров и внешних возмущений.

В работе построены регуляторы, понижающие динамический порядок многомерной системы вплоть до первого. Предложенные регуляторы имеют модульную структуру, что позволяет применять их к системам любого сколь угодно высокого порядка.

Это дает два важных результата:

1. возможность стабилизировать систему, переведя ее движение на устойчивую гиперплоскость;

2. возможность понизить динамический порядок системы вплоть до первого.

Так же в работе проведено численное исследование синтезированных систем, подтверждающее их работоспособность. Для моделирования были разработаны программы, учитывающие различные неидеальности, характерные для реальных систем.

Решенная задача не только сама по себе является довольно важной, но и допускает распространение на некоторые классы нелинейных и нестационарных систем, что позволяет применять полученные результаты при разработке реальных систем и объектов.

Литература 1. С.В. Емельянов, С.К. Коровин Новые типы обратной связи: Управление при неопределенности – М.: Наука. Физматлит, 2. С.В. Емельянов Системы автоматического управления с переменной структурой. М.:

Наука, 3. Д.П. Ким Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы, Т.2.

Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. – М.: Физматлит, Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года СТРУКТУРА БИФУРКАЦИОННЫХ ДИАГРАММ СИСТЕМ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Рябков Олег Игоревич студент кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления e–mail: roi-techsup@yandex.ru Научный руководитель – профессор Магницкий Николай Александрович Дипломная работа посвящена некоторым вопросам, существенным для понимания динамики нелинейных систем. В ней рассмотрена модельная двумерная нелинейная неавтономная система дифференциальных уравнений с двумя параметрами, в которой присутствует и консервативная сложная динамика, и диссипативная (при различных значениях параметров). Система получена небольшой модификацией одной из систем, рассмотренных в [2]. Проведено численное исследование, в ходе которого выяснено, что ‹‹островки›› в консервативном случае (название появилось в гамильтоновой механике, см.

[4], [7]) являются непрерывными деформациями орбитально-устойчивых периодических решений (циклов) в диссипативном случае (их положение в фазовом пространстве непрерывно зависит от параметров системы), что говорит о связи сложной динамики в этих двух случаях. В области высокой диссипации порядок появления циклов с ростом одного из параметров в точности совпадает с порядком появления циклов в унимодальных отображениях (дискретная динамическая система, см. [1]). Затем, с уменьшением диссипации, области устойчивости циклов начинаю пересекаться, и строгий порядок нарушается, переходя в консервативном случае в тот порядок, в котором возникают ‹‹островки››. Выявить строгих закономерностей здесь уже не удается, хотя есть попытки объяснить их с помощью специальных полимодальных отображений (см. [5],[6]). Следует отметить, что исследования в данной области за рубежом проводятся и публикуются в разделе полученные нами данные нельзя считать строгим Experimental Math, математическим фактом, а лишь некой информацией к размышлению.

Литература 1. K.T. Hansen, Bifurcation structures for multimodal maps, Submitted to Experimental Math, 1997. \\ http://alf.nbi.dk/khansen/papers/multi mod.ps.gz 2. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. - М.:Едиториал УРСС, 2004.

3. Шустер Г., Детерминированный хаос: введение. - М.:Мир, 1988.

4. Трещев Д.В., Гамильтонова механика. - М.:Лекционные курсы НОЦ, выпуск 4, 2006.

5. K.T. Hansen, P. Cvitanovich, Bifurcation structures in maps of Henon type, Nonlinearity 1233-1261, 1998.

6. D.Sterling, H.R. Dullin, Homoclinic Bifurcations for the Henon Map, Physica D Vol. 134 Issue 2, 1999.

7. Арнольд В.И., Математические методы классической механики. - М.:Наука, Кафедра ОМ МЕТОДЫ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ Колесникова Ольга Сергеевна студент кафедры общей математики e–mail: olka.ko@gmail.com Научный руководитель – профессор Шикин Евгений Викторович Дипломная работа посвящена разработке, реализации и сравнительному анализу методов визуализации гиперповерхностей, то есть методов, позволяющих изобразить на плоскости (экране монитора) объекты многомерных пространств. Конечной целью стало получение изображений, дающих наиболее полное впечатление о свойствах исследуемого объекта. В качестве объектов визуализации были выбраны алгебраические гиперповерхности второго порядка в четырехмерном и пятимерном пространствах, тор Клиффорда, а также ряд гиперповерхностей частного вида.

В основу разработанных методов легли следующие принципы: во-первых, визуализация гиперповерхностей посредством динамического изображения их сечений;

во вторых, изображение координат путем введения дополнительных характеристик точки средствами компьютерной графики. В частности, для передачи значения дополнительных координат было предложено использование спектрального цвета с учетом степени его хроматичности, уровня освещенности и прозрачности точки.

В рамках поставленной задачи был разработан инструментарий, позволяющий получить наглядное представление о свойствах многомерных объектов. Его применение возможно как при исследовании строения и свойств гиперповерхностей, так и при решении многопараметрических задач.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года О ЧЕТЫРЕХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ГРАНИЧНЫМИ И НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДОВ Работа удостоена диплома I-ей степени Кулешов Александр Андреевич студент кафедры общей математики e–mail: losos@comtv.ru Научный руководитель – академик РАН профессор Ильин Владимир Александрович Работа посвящена исследованию смешанных задач для уравнения колебаний струны на отрезке с нулевыми начальными условиями и с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов.

Рассмотрены смешанные задачи для волнового уравнения (1) с нулевыми начальными условиями (2) и с одной из следующих совокупностей граничных и нелокальных условий:

(3) (4) (5) (6) В условиях (3)-(6) удовлетворяет неравенству, – произвольная константа.

Основные результаты работы:

1. Получен явный вид обобщенного решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны на отрезке с нулевыми начальными условиями, граничным условием первого рода на левом конце и нелокальным условием первого рода для произвольных значений [0,l) и для произвольного T0.

параметра, любых 2. Получен явный вид обобщенного решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны на отрезке с нулевыми начальными условиями, граничным условием первого Кафедра ОМ рода на левом конце и нелокальным условием второго рода для произвольных значений [0,l) и для произвольного T0.

параметра, любых 3. Получен явный вид обобщенного решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны на отрезке с нулевыми начальными условиями, граничным условием второго рода на левом конце и нелокальным условием первого рода для произвольных значений [0,l) и для произвольного T0.

параметра, любых 4. Получен явный вид обобщенного решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны на отрезке с нулевыми начальными условиями, граничным условием второго рода на левом конце и нелокальным условием второго рода для произвольных значений [0,l) и для произвольного T0.

параметра, любых Литература 1. В.А.Ильин. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. – Дифференциальные уравнения, 2000, Т.36, N 11. с. 1513 - 1528.

2. В.А.Ильин. Единственность обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями. – Дифференциальные уравнения, 2008, Т.44, N 5. с. 672 - 680.

3. В.А.Ильин. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов. – Доклады Академии наук, 2008, Т.420, N 3. с. 309 - 313.

4. В.А.Ильин. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов. – Доклады Академии наук, 2008, Т.420, N 4. с. 442 - 446.

5. В.А.Ильин. Оптимизация граничного управления на одном конце струны при наличии модельного нелокального граничного условия. – Дифференциальные уравнения, 2008, Т.44, N 11. с. 1487 - 1498.

6. А.А.Холомеева. Оптимизация нелокального граничного управления колебаниями струны с закрепленным концом за произвольный кратный 2l промежуток времени. – Дифференциальные уравнения, 2008, Т.44, N 5. с. 696 - 700.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА Работа удостоена диплома II-ей степени Марков Алексей Сергеевич Кафедра общей математики e–mail: markov.cs@gmail.com Научный руководитель – профессор Ломов Игорь Сергеевич Данная работа посвящена изучению свойств систем корневых функций линейных обыкновенных дифференциальных операторов L, порожденных дифференциальной операцией на классе функций абсолютно lu u ' ' p1 ( x)u ' q1 ( x)u, x G (0,1), D, непрерывных на вместе со своей первой производной;

G [0,1] L (G, C ). Операторы могут быть как самосопряженными, так и Ls (G, C ), s 1, q1 ( x ) p1 ( x ) несамосопряженными, причем особое внимание уделено случаю существенно несамосопряженных операторов, системы корневых функций которых содержат бесконечное число присоединенных функций.

В.А. Ильиным ([1]) были установлены оценки скорости сходимости и равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье спектральных разложений широкого класса функций по корневым функциям некоторого сужения оператора L в равномерной метрике на компакте основного интервала. И.С. Ломовым были получены аналогичные p оценки ([2]) в метрике пространств L на всем интервале G ([3]) и на любом внутреннем отрезке ([4]). Сужение оператора определяется тремя известными условиями Ильина.

Предполагалось, что нормированные коэффициенты Фурье имеют асимптотику fk спектральный параметр.

O( ), const 0, k, k k В настоящей работе рассматривается случай, когда имеют асимптотику fk | 1. Установлена равносходимость вплоть до границы отрезка O( ln | |), | k k k биортогональных разложений функций по корневым функциям оператора L с разложением этой функции в обычный тригонометрический ряд Фурье. Получены точные оценки скорости равносходимости на всем интервале. Показана зависимость скорости равносходимости от расстояния от компакта до границы основного интервала. Полученные оценки скорости равносходимости могут существенно зависеть от степени суммируемости s коэффициента при первой производной.

Литература Ильин В.А. // Дифференц. ур-ия, 1991. Т. 27, №4. С. 577-597.

1.

Ломов И.С. // Дифференц. ур-ия. 1996. Т. 32, №12. С. 1618-1629.

2.

Ломов И.С. // Дифференц. ур-ия. 1996. Т. 32, №1. С. 71-82.

3.

Ломов И.С. // Дифференц. ур-ия. 1998. Т. 5, №12. С. 619-628.

4.

Кафедра ОМ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА БИЦАДЗ В НЕКОТОРЫХ ОБЛАСТЯХ С ОТКЛОНЕНИЕМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИК Работа удостоена диплома III-ей степени Назарова Ирина Эркиновна Кафедра общей математики e–mail: ienazarova@gmail.com Научный руководитель – доцент Полосин Алексей Андреевич Дипломная работа посвящена исследованию задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе u xx sgn yu yy радиуса в области D, ограниченной при y 0 полуокружностью с концами в точках A(0,0) и B(1,0), а при y 0 – отрезками характеристик y x, x [0, p] и y x 1, x [q,1], (0, 1 ), и отрезком прямой p, x [ p, q], где p y k(x p) 1 p(1 k ) p q,k 1, ( 1,1).

1k 1p Рис. Рассматривается решение из класса функций, непрерывных в замкнутой области D, непрерывно дифференцируемых в открытой области D, за вычетом отрезков характеристик C i E i, E i С i 1, выпускаемых последовательно из точки C1 ( p, p) и из точек пересечения этих характеристик с линией изменения типа, либо с границей, и дважды непрерывно дифференцируемых в открытой области D, за вычетом линии изменения типа и указанных отрезков характеристик. В работе доказывается принцип экстремума и единственность решения рассматриваемой задачи. Актуальность задач такого рода для приложения к моделям трансзвуковой газодинамики описана Ф.И. Франклем в работе [1].

Литература 1. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. – Москва, Наука, 1973.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЗАПУТАННОСТИ ЯДЕР В ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЯХ Акснов Борис Евгеньевич студент кафедры квантовой информатики e–mail: miofthena@gmail.com Научный руководитель – профессор, д.ф.-м.н. Ожигов Юрий Игоревич Целью дипломной работы является создание масштабируемого, расширяемого ядра программного комплекса ExperimentWork. Нас интересует рассмотрение различных уровней абстракции – атомный уровень и уровень элементарных частиц.

Основная задача данной дипломной работы заключается в создание некой единой системы реализации взаимодействия частиц, в рамках которой адекватным образом будет отражено поведение рассматриваемых объектов с точки зрения различных подходов – квантового, квантового с запутанностью и классического случая, а также проведение сравнительного анализа полученных результатов.

В качестве вышеописанной системы в дипломной работе рассматривается система эксперимента, характеризующаяся всевозможными доступными данными о центральном предмете рассмотрения – о частице. Частица в данной работе может быть представлена как рой своих экземпляров.

В работе рассмотрены различные случаи: взаимодействие атомов водорода, захват протоном свободного электрона, прыжки электрона между двумя протонами, перезарядка атома и иона водорода.

Продемонстрированы возможности масштабирования, как и в рассмотрении большого количества частиц, так и в уточнении рассматриваемых случаев (увеличение количества экземпляров частиц).

В итоге мы получили систему, предоставляющую гибкие возможности е расширения и уточнения.

Литература 1. Р.Фейнман. Теория фундаментальных процессов, Наука, 2. Р.Фейнманб А.Хиббс. Квантовая механика и интегралы по траекториям, Мир, 3. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация, Мир, 4. Р.Фейнман. Квантовая электродинамика, Мир, 5. Ожигов Ю.И. Конструктивная физика Кафедра ИО ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ ВИХРЕВОГО ПРОГНОЗА ПРИ ПОЛЕТАХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ Изволенский Антон Сергеевич Студент кафедры Исследования Операций E-mail: izvolenskiy@gmail.com Научный руководитель – доцент Морозов Владимир Викторович В настоящее время мировое авиационное сообщество вынуждено решать основную проблему – каким образом обеспечить необходимую пропускную способность систем организации воздушного движения при сохранении безопасности полетов. Одной из научно-технических проблем является проблема обеспечения безопасности полетов в условиях, когда фактором, определяющим уровень безопасности полетов, является вихревой аэродинамический след. Образование аэродинамической подъемной силы всегда сопровождается возникновением и сходом в поток свободных вихрей. Они превращаются в устойчивые вихревые жгуты, которые тянутся за тяжелыми самолетами 10... 15 км, попадание в них других ЛА чревато аварией или даже катастрофой. Таким образом, актуальной задачей является разработка мероприятий и методов, позволяющих снизить уровень опасности вихревых следов, а также вероятность попадания в спутный след. Для решения сложившейся проблемы наиболее перспективным видится путь математического моделирования вихревых следов с соответствующим созданием интегрированной системы обнаружения и прогнозирования вихревой обстановки.

В данной дипломной работе было проведено моделирование эволюции спутного вихревого следа, образующимся за летящим самолетом, с учетом влияния параметров самолета-генератора (высоты, скорости полета, веса самолета и т.д.) и состояния атмосферы (атмосферной турбулентности, силы встречного и бокового ветров, плотности воздуха, температуры). На основании этой модели была предложена модель системы обеспечения вихревой безопасности полетов летательных аппаратов с учетом возможностей реверсной взлетно-посадочной полосы, которой оборудованы большинство современных аэропортов мира.

В рамках использования предложенной системы вихревого прогноза самолеты условно делятся на 3 типа по массе, посадочной скорости, размаху крыла и некоторым аэродинамическим характеристикам. Минимальные безопасные расстояния в эшелоне зависят от типов следующих друг за другом самолетов. Они определяются на основе расчета времен освобождения окон, расположенных вдоль глиссады, от вихревого следа пролетевшего первым самолета. При этом учитываются размеры окон, влияние земли, и погодные условия (боковой ветер, атмосферное давление и турбулентность). Для учета атмосферной турбулентности использовалась EDR(Energy Dissipation Rate)-модель Сарпкайя. По безопасным расстояниям между самолетами различных типов определяется максимально возможная длина эшелона, ограниченная размерами воздушного пространства аэропорта, а также числом самолетов в наиболее длинном эшелоне. Самолеты, прибывающие сверх этого числа, при неблагоприятном стечении обстоятельств не смогут пристроиться в эшелон и вынуждены будут пойти на второй круг. ВПП рассматривается как система массового обслуживания. Самолеты прибывают по пуассоновскому закону с параметром. Вероятность принадлежности самолета заданному типу определяется Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года частотой посадок самолетов этого типа в соответствии с расписанием полетов. Время обслуживания самолета предполагается случайной величиной, равной интервалам времени между посадками данного и предшествующего ему самолетов. Вероятность того, что за интервал времени между двумя последовательными посадками в эшелон добавилось ровно k самолетов, равна где - вероятность прилета самолета i-го типа. Число самолетов в эшелоне рассматривается как состояние цепи Маркова. Находится максимальное значение параметра, при котором вероятность захода самолетов на второй круг не превосходит заданную предельно допустимую величину. Это значение полагается равным пропускной способности ВПП. При расчете пропускной способности ВПП учитывались статистические данные о повторяемости ветров в районе аэропорта в виде розы ветров.

Пусть пара скоростей встречного и бокового ветра представляет собой случайную величину. Найдем ее вероятностное распределение. Для каждого значения из этой таблицы необходимо рассчитать безопасные расстояния в эшелоне и глиссаде, а, также временные интервалы, между самолетами i-го и -го типов. Затем необходимо найти - максимально возможную пропускную способность ВПП при заданном встречном ветре и боковом ветре. Математическое ожидание будет усредненной оценкой пропускной способности ВПП. Ее следует сравнить с пропускной способностью ВПП, получаемой при использовании безопасных интервалов, принятых ИКАО.

Основываясь на полученных результатах, можно утверждать, что внедрение системы вихревого прогноза в систему организации воздушного движения позволит усилить безопасность полетов путем практического исключения возможности попадания в вихревой след и увеличить пропускную способность аэродромов на 30–40%. Таким образом, внедрение системы вихревого прогноза поможет решить проблемы, стоящие перед гражданской авиацией в части повышения эффективности использования воздушного пространства и аэродромов при снижении аварийности воздушного транспорта.

Поддержано грантом президента РФ «Поддержка ведущих научных школ», проект №НШ-693.2008.1 и грантом РФФИ, проект №08-01-00-249.

Литература 1. В.И. Бабкин, А.С. Белоцерковский, В.В. Морозов и др. Системы обеспечения вихревой безопасности полетов летательных аппаратов. М. 2008г.

2. Green G.C. An approximate model of vortex decay in the atmosphere. J. of Aircraft, Vol.23, July 1986. P. 566-573.

3. Белоцерковский С.М. Скобелев Б.Ю. Метод дискретных вихрей и турбулентность.

Препринт № 10-93. Новосибирск: Институт прикладной и теоретической механики, 1993.

4. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1969г.

Кафедра ИО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ Работа удостоена диплома I-ей степени Муравей Дмитрий Леонидович Студент кафедры исследования операций E-mail: godendm@mail Научный руководитель - доцент Морозов Владимир Викторович Дипломная работа посвящена развитию дифференциального метода для получения оценок опционов и облигаций различных типов с разными моделями процентных ставок.

В начале 70–х годов ХХ века появились модели рынка ценных бумаг(определение и виды ценных бумаг подробно описаны, например в [1]), в рамках которых можно исследовать динамику поведения цен ценных бумаг, в частности опционов и облигаций.

Наиболее известной из этих моделей является диффузионная модель рынка Блэка-Мертона Шоуллса [2-3], используя различные модификации которой, Гербер [4], Кокс[5], Бюттлер[6] и другие авторы получили аналитические оценки для различных типов ценных бумаг.

Дифференциальный метод, используемый в данной работе, заключается в сведении исходной задачи оценки данной ценной бумаги, например, опциона или облигации, к смешанной(начально-краевой) задаче для параболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами на полуоси:

ut ( x, t ) Au ( x, t ), t 0, x 0, u( x,0) ( x), x 0, Bu(0, t ) 0, t 0, (1) где B - заданный дифференциальный оператор первого порядка по x.

В работе показывается, что для рассматриваемой задачи применима известная теорема Стоуна [7], в силу которой решение задачи (1) представляется в виде:

t u ( x, t ) e (dE )( x), (2) где E - спектральная функция соответствующей стационарной задачи.

Исследование спектральной задачи основано на использовании автомодельных переменных и теории специальных функций.

Случаи непрерывного спектра исследованы в наших работах [8-9], из которых, в частности, вытекают аналитические оценки стоимости европейских опционов типа «Lookback», которые ранее были получены мартингальным подходом в [4].

Здесь мы более подробно остановимся на случае дискретного спектра, который возникает при получении оценки стоимости облигации в модели переменной процентной ставки r (t ) Кокса-Ингерсолла-Росса:

dr (t ) ( r (t ))d r (t ) dW, (3) где W — стандартный винеровский процесс, const 0.

Тогда среднее значение коэффициента дисконтирования(облигации) в момент T времени [0,T ] равно F ( ) E exp r (t )dt. (4) Считая r независимой переменной (то есть r ( ) r и F( ) F (r, ) ) и используя формулу Ито получаем краевую задачу для F (r, ) :

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года rFrr Fr ( r ) rF F,r 0, 0 T;

(5) F (r, T ) 1, 0 r ;

F(, ) 1, 0 T.

Можно показать, что представление Стоуна (2) для задачи (5) имеет вид:

* * nt x F ( x, t ) Cn e Ln ( x) n (6) * где Ln ( x) - обобщенные полиномы Лагерра – решение следующей спектральной задачи на полуоси:

2 r, 2, '' ' * * * n n (7) xU n U n ( 1 x) nU n 0, n,x n n 2 2 Так как для обобщенных полиномов Лагерра можно построить биортогональную систему в явном виде, то в явном виде можно найти и коэффициенты Cn, а именно, * t * x * t * * tn *n x ( ) ( e ) e * * ;

значит F ( x, t ) e z n Ln ( x), Cn Ln ( x) * * * * n1 * n1 * (1 ) (1 ) (1 ) n0 n n * t e где z. Последний ряд представляет собой производящую, * (1 e t ) 2 функцию для полиномов Лагерра, что позволяет найти F (r, ) в явном виде:

* * t * xe t 1 (1 e ) xt * F ( x, t ) exp x.

* * t 1 1 (1 e ) Работа поддержана грантом Президента РФ «Поддержка ведущих научных школ», проект N НШ-693.2008.1 и грантом РФФИ, проект N 08-01-00-249.

Литература 1. Шарп У. Инвестиции, Инфра-М, 2. Black F. Scholes H. The pricing of corporate liabilities, Journal of political economy, V.81, N3, P 637-659, 3. Merton R. theory of rational option pricing, Bell journal of economics and management science, N4, P 141-183, 4. Gerber H.U., Shiu E.S.W. Pricing lookback options and dynamic guarantees. North American Actuarial Journal, V.7, N.1, P 48-66, 5. Cox J. C., Ingersoll E. Jr, Ross S. A. A theory of the term structure of interest rates, «Econometrica», U53, №2, P 385 - 407, 1985.

6. Buttler H.-J. Pricing callable bonds by means of Green‘s function, Mathematical Finance, Vol.6, No.1, P 53-88, 7. Данфорд Н, Шварц Дж. Линейные операторы: спектральная теория, МИР, 8. Морозов В.В., Муравей Д.Л. Стоимость опциона Lookback как решение краевой задачи для уравнения теплопроводности, МАКС Пресс. Труды ф-та ВМиК МГУ им. М.В.

Ломоносова, N25, C 66-73, 9. Муравей Д.Л. Метод расчта коэффициента дисконтирования при переменной процентной ставке, Труды ИСА РАН N32, C 244-248, Кафедра ИО СВОЙСТВА ГОЛОСОВАНИЯ ПО ПРАВИЛУ БОЛЬШИНСТВА Копнышев Александр Сергеевич Студент кафедры Исследования операций e-mail: kopnyshev.alex@gmail.com Научный руководитель – доцент, к.ф.-м.н. Поспелова Ирина Игоревна Рассматривалась игра трех лиц N={1,2,3} по выборам одного из кандидатов {a,b,c}.

Игроки голосуют одновременно в закрытую, а победителем считается кандидат, определяемый по правилу большинства с решающим голосом первого игрока в случае равенства. Если функции полезности от избрания кандидата заданы следующим циклическим образом:

U1(a)=0, U1(b)=1/2, U1(c)=1;

U2(b)=0, U2(c)=1/2, U2(a)=1;

U3(c)=0, U3(a)=1/2, U3(b)=1, то согласно утверждению Э.Мулена, при информированности игроков относительно функций полезности каждого будет избран кандидат а, наихудший для первого. Такая игра получила название Парадокс Кондорсе.

Исследована игра, проходящая в два этапа, на первом из которых игроки согласно строго определенной последовательности ходов по очереди могут сделать предложение в открытую одному игроку голосовать за некоторого одного кандидата y за сумму t, причем предложения являются честными, то есть, обещанная сумма t выплачивается в том и только в том случае, если игрок, которому предложили побочный платеж, голосует за y. Функции полезности от избрания игроков определяются как сумма входящих побочных платежей от других игроков и полезности от избрания кандидата за вычетом исходящих побочных платежей. На втором этапе игра проходит аналогично Парадоксу Кондорсе, с измененными на первом этапе функциями полезности.

Получены значения наилучших гарантированных выигрышей всех игроков в каждом из 6 случаев порядка предложения побочных платежей. Оказалось, что игра существенно зависит от порядка предложений, а гарантированный результат первого игрока в трех из шести случаев равен 0.

Изучены аналитические свойства игры с побочными платежами. Игра сведена к иерархической игре, состоящей из одного этапа. Показано, что функция наилучшего гарантированного результата Wi(pi,p-i), где pi – вектор предложений побочных платежей i-го игрока, а p-I – векторы предложений остальных игроков, является кусочно-линейной функцией, имеющей конечное число граней разрыва, а область непрерывности представляет собой выпуклое многогранное множество.

Литература 1) Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М: Мир, 1985.

2) Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс, 2005 г.


3) Gehrlein WV. Condorcet‘s Paradox and the likelihood of its occurrence: Different perspectives on balanced preferences. Theory and Decision 52: 171-199., 4) Gehrlein WV.Condorcet winners on four candidates with anonymous voters. Economics Letters 71: 335-340, 2001.

5) Fishburn PC, Gehrlein WV. Borda's rule, positional voting, and Condorcet's simple majority principle. Public Choice 28: 79-88., 6) Fishburn PC, Gehrlein WV. An analysis of voting procedures with nonranked voting.

Behavorial Sciences 22: 178-185., 7) Tovey CA.Probabilities of preferences and cycles with supermajority rules. Journal of Economic Theory 75: 271-279, 1997.

8) Condorcet M de. An essay on the application of probability theory to plurality decision making: An election between three candidates.,1785. In: Sommerlad F, McLean I.

9) The political theory of Condorcet. University of Oxford Working Paper, Oxford, pp 90-108.

(1989,eds) Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ ДЕМОГРАФИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ Кругляк Любовь Константиновна студентка кафедры исследования операций e–mail: lubashka_k@inbox.ru Научный руководитель – к.т.н. Решетов Валерий Юрьевич Дипломная работа посвящена исследованию задач математического моделирования стратегий управления демографическими процессами. Актуальность и практическая значимость рассматриваемых задач обусловлена сложностью оценки демографической ситуации в России, а так же странах Европы, связанной с депопуляцией коренного населения, и влияния, которое оказывает на демографическую, социальную и экономическую ситуацию привлечение мигрантов.

За основу в данной работе берется математическая модель, использующая кинетические уравнения, в которую вводится миграционная составляющая. В работе получено аналитическое решение для сглаженной функции распределения численности населения по возрастам с учетом миграции.

Была поставлена математическая оптимизационная задача, решение которой позволяет оценить эффективность управления демографическими параметрами.

В качестве критерия эффективности рассмотрено интегральное дисконтированное потребление на душу населения за планируемый период.

T T F ( K (t ), N тр (t, r, p) Z (t, r, p) t t )dt, Cr Cr (r, p) ce dt exp( N общ (t, r, p) 0 где T - горизонт планирования, N тр (t ) - количество трудоспособного населения.

K (t ) - величина капитала N общ (t ) - количество общего населения.

F ( K (t ), N тр (t )) - производственная функция, определяющая величину выпуска обобщенного продукта, производимого в государстве с - среднее потребление на душу населения.

Z (t ) - затраты на решение демографических проблем (повышение рождаемости, привлечение мигрантов и др.).

r (t ) [0, rmax ] - коэффициент рождаемости, p (t ) [0, p max ] - величина миграции.

Кафедра ИО Задача оптимизации:

Cr max r, p Были получены аналитические решения оптимизационной задачи для модели стабильного населения, и населения, приводимого к стабильному.

Для иллюстрации решения оптимизационной задачи была построена соответствующая дискретная модель и проведено численное моделирование демографической ситуации и найден оптимальный вид функции, определяющей стратегию привлечения мигрантов. В качестве начальной половозрастной структуры и коэффициентов рождаемости и смертности использовались текущие статистические показатели для России.

Результаты моделирования показали, что в рамках построенной модели, функция, определяющая зависимость величины миграции от времени, имеет вид кусочно-постоянной функции, с единственным переключением из положения «не привлечения мигрантов», в положение «привлечения». При этом не только достигается максимум душевого потребления, но и стабилизируется величина общего и трудоспособного населения, а пик функции возрастного распределения не перемещается на старшие возраста.

Литература 1. Д.М.Эдиев, «Демографические потенциалы. Теория и приложения». М.:

МАКС Пресс,. 2. В.И. Дмитриев, Е.С. Куркина «Математическое моделирование демографических процессов»

3. Галахов М.А., Орлов Ю.Н., Суслин В.М. Математические модели жизнеустройства. Демография. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 69, 2000.

4. Российский статистический ежегодник. М.: Госкомстат, 2008.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года СВОЙСТВА ГОЛОСОВАНИЯ С ПРАВОМ ВЕТО Машечкин Алексей Игоревич студент кафедры исследования операций e–mail: mashechkin@gmail.com Научный руководитель – профессор Новикова Наталья Михайловна В рамках дипломной работы проводится исследование игровой модели с правом вето (запрет на избрание) в модели выбора председателя совета директоров компании.

Поставлена задача классификации игр, как наборов предпочтений участников, при которых 1-й игрок может обеспечить избрание своего кандидата. Рассматривается модель с тремя игроками, каждый из которых представляет группу людей, выдвинувших одного из кандидатов. Выбор делается из 4-х кандидатов: трое от компании (чьи представители и совершают выбор) и один сторонний. Игроки последовательно накладывают вето на одного из ещ незаветованных кандидатов. Задача рассматривается в условиях полной информированности игроков о предпочтениях друг друга, но при наличии неопределнности в предпочтениях игроков.

Каждому игроку i ставится в соответствие функция предпочтений Ui(n), показывающая, лучше или хуже (относительно остальных кандидатов) для него избрание кандидата n. Таким образом, данная игровая модель представима в следующем виде:

U1(1) U1(a1) U1(b1) U1(c1), a1, b1, c1 {2,3,4};

U2(2) U2(a2) ? U2(b2) ? U2(c2), a2, b2, c2 {1,3,4};

U3(3) U3(a3) ? U3(b3) ? U3(c3), a3, b3, c3 {1,2,4}.

Были исследованы две модели выборов. Первая – закрытое голосование. Игроки накладывают сво вето одновременно, после чего, на каждом туре, по заранее определнному правилу исключается кандидат(ы). Для этой модели было доказано е несоответствие содержательной постановке изначальной задачи.

Основной результат получен для игры с последовательным наложением вето. Здесь стоит отметить, что в реальной ситуации выборщик не всегда может однозначно определить для себя, какой из кандидатов является для него наилучшим. В таком случае в предпочтениях игроков появляется неопределнность. Поэтому данная модель была разделена на две: однокритериальную (все предпочтения игроков чтко определены: на месте ? стоит ) и многокритериальную (возможная неопределнность: на месте ?).

Последняя ситуация представляет самостоятельный интерес, поскольку естественно Кафедра ИО возникает в случае нескольких критериев принятия решений этими игроками, что характерно для реальных выборов, когда выборщики являются представителями интересов нескольких групп.

Выяснилось, что обе игры с последовательным голосованием распадаются на два типа игровых форм:

1. для игрока, голосующего вторым, кандидат от первого игрока более выгоден, чем кандидат от ещ не проголосовавшего выборщика;

2. для игрока, голосующего вторым, кандидат от первого игрока не выгоднее (строго хуже для однокритериальной игры) кандидата от 3-го игрока.

Получено решение в общем виде для случая трх игроков. Найдены условия, являющиеся необходимыми и достаточными для избрания кандидата 1-го игрока.

Результатами было подтверждено, что 1-й игрок чаще побеждает в условиях, когда вторым ходит выборщик, благоприятно настроенный к кандидату 1. Более того, была рассмотрена игра, в которой игрок, ветующий первым, имеет возможность определять порядок ходов. Для указанного случая были также получены и доказаны необходимые и достаточные условия, обеспечивающие избрание кандидата 1.

Указанные результаты опубликованы в сборнике "Прикладная математика и информатика" (принята к печати в № 31). Работа выполнена по программе государственной поддержки ведущих научных школ (код проекта НШ-693.2008.1).

Литература Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.:

1.

МАКС Пресс, 2005 г.

Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М: Мир, 1985.

2.

Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

3.

Borda J.C. Mmoire sur les lections au scrutin. Paris : Histoire de l'Acadmie Royale 4.

des Sciences, 1781.

Condorcet M. Essai sur l‘application de l‘analyse la probabilit des dcisions 5.

rendues la pluralit des voix. Paris: Imprimerie royale, 1785.

6. Arrow K. Social choice and individual values. New York: Wiley, 1951.

7. Farquharson R. Theory of Voting. New Haven, CT: Yale University Press, 1969.

8. Mueller D.C. Voting by Veto// Journal of Public Economics 10, 57-75, 1978.

9. Moulin H. The Strategy of Social Choice. Amsterdam: North-Holland Publ., 1983.

10. Felsenthal D.S. and Machover M. Sequential Voting by Veto: Making the Mueller Moulin Algorithm More Versatile// Theory and Decision 33:3, 223–240, 1992.

11. Yuval F. Sophisticated voting under the sequential voting by veto//Theory and Decision 53: 343-369, 2002.


Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года ОПТИМАЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ НАЛОГОВОЙ ИНСПЕКЦИИ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДОХОДА НАЛОГОПЛАТЕЛЬЩИКОВ В УСЛОВИЯХ КОРРУПЦИИ Николаев Павел Валерьевич студент кафедры исследования операций e–mail: shadow_daos@mail.ru Научный руководитель – профессор Васин Александр Алексеевич Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту 08-01-00249 и гранта НШ 693.2008.1.

В данной работе рассматривается задача оптимальной организации налоговой инспекции при непрерывном распределении дохода плательщиков в условиях коррупции.

Максимизируется чистый налоговый доход государства. Поиск оптимальных стратегий государства производится в классе стратегий, обеспечивающих честное поведение агентов c доходом ниже некоторой пороговой величины. Численно решается задача поиска оптимальных стратегий государства для проверки однородных групп плательщиков.

Рассматривается однородная группа плательщиков с распределением дохода I, заданным функцией плотности 0. Обозначим через налоговое (I ), I T ( I ) tI обязательство, соответствующие доходу I. Плательщики максимизируют свой чистый доход, декларируя доход I d в зависимости от реального дохода I и от стратегии центра. Центр организует двухуровневую систему проверки – на первом уровне помещаются рациональные риск-нейтральные инспектора, максимизирующие свой доход, на втором уровне – идеальные инспектора, всегда проверяющие честно. Идеальные инспектора получают заработную плату s, намного превосходящую заработную плату рационального инспектора s. Государство проверяет с вероятностью p ( I d ) тех, кто декларировал доход I d. Инспектор первого уровня может быть подкуплен уклоняющимся плательщиком и сообщить центру о вскрытом доходе [ I d, I ). Если инспектор первого уровня не подкуплен, то он всегда вскрывает реальный IR доход плательщика I R I. Штраф плательщика за нечестное поведение, выявленное первичной проверкой, определяется функцией I d ). Проверенные F ( I R, I d ) (t f )( I R рациональными инспекторами декларации подвергаются ревизии с вероятностью pc ( I d, I R ).

Ревизия всегда вскрывает реальный доход плательщика. Штраф плательщика за нечестное поведение, выявленное ревизией, описывается функцией F ( I, I R ) (t I R ). Штраф f )(I ~ ~ инспектора за неправильный аудит задатся функцией F ( I, I R ) I R ). Государство f (I устанавливает величину порога I, и декларации дохода выше I не подлежат проверке.

Чистым налоговым доходом будем называть собранный государством налог за вычетом Кафедра ИО расходов на проведение проверок. Ставится задача максимизации чистого налогового дохода государства при обеспечении честного поведения плательщиков с доходом ниже порога I.

Найдены оптимальные вероятности проверок: t,.

t f, Id I pc ~ t f p( I d, I ) t f f 0, I d I Показано, что введение пороговых правил для уровней проверки выше первого не приводит к увеличению чистого налогового дохода. Изучена задача оптимизации ~ ~ многоуровневой налоговой инспекции. Заданы f 1,..., f k 1 - коэффициенты штрафа рациональных инспекторов для разных уровней проверки. На верхнем уровне проверки проводят идеальные инспектора, на нижних - рациональные. Центр устанавливает вероятность проверки p i для каждого уровня и величину порога. Максимизируется чистый налоговый t доход государства. Найдены оптимальные вероятности проверки, Id I, t f p1 ( I d, I ) 0, I d I ~ fi ~, i 3,..., k, обеспечивающие честное поведение агентов с доходом t f, pi p2 ~ ~ fi fi t f f1 ниже порога I. Установлено, что дополнительные административные штрафы, взимаемые по российскому законодательству за крупное и особо крупное уклонение, не изменяют оптимальной стратегии центра. Методом динамического программирования решена задача оптимальной организации налоговой инспекции для некоторых групп плательщиков.

Однородными считаются плательщики, работающие в одном регионе по одной специальности.

Помимо вероятностей проверок, оптимизация проводится по количеству уровней проверки k, ~ ~ по коэффициентам штрафа f 1,..., f k 1, по величине порога I. Задача решена для трх групп плательщиков – программистов, монтажников, врачей в регионе Москва, использованы данные за апрель 2009 года. Получено, что шестиуровневая система проверок является достаточной. Величина оптимального порога составляет 1500$, оптимальные I коэффициенты штрафа инспекторов чередуются по уровням от минимально возможного до максимального. При оптимальной стратегии чистый налоговый доход составляет 60 70% от суммы налога, установленной законодательством.

Литература.

1. Sanchez, I., Sobel, J. Hierarchical design and enforcement of income tax policies// Journal of Public Economics, 1993, Vol. 50, 345-69.

2. Васин А.А.. Некооперативные игры в природе и обществе. - M.: МАКС Пресс, 2005, 164 168, 252-262.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ МНОГОУРОВНЕВОЙ НАЛОГОВОЙ ИНСПЕКЦИИ Работа удостоена диплома III-ей степени Уразов Антон Сергеевич студент кафедры исследования операций e–mail: anton.msu@gmail.com Научный руководитель – профессор Васин Александр Алексеевич.

Дипломная работа посвящена весьма актуальной на сегодняшний день проблеме борьбы с коррупцией на примере организации многоуровневой налоговой инспекции.

Модели подобного рода уже рассматривались в литературе. Однако они имеют несколько недостатков практического характера. В частности, предполагалось, что пойманный на взяточничестве инспектор увольняется, после чего получает некоторую фиксированную альтернативную зарплату. На практике эта величина может существенно отличаться у разных агентов, да и точное значение определить не представляется возможным. С другой стороны, считалось, что для проведения проверок доступно любое необходимое количество неподкупных инспекторов, что также не всегда выполняется. Поэтому была предложена модель многоуровневой инспекции, учитывающей возможный интервал изменения альтернативной зарплаты.

Пусть необходимо организовать проверку двух типов налогоплательщиков: с высоким доходом, который облагается фиксированным налогом, и низким доходом, не облагающимся налогом. Наказанием за уклонение от уплаты налога является штраф фиксированного размера. Для проведения инспекции доступно неограниченное количество рациональных проверяющих, готовых к подкупу, и некоторое количество честных агентов (доверенных лиц), характеризующихся очень высокими затратами на проверку. Рациональный инспектор, пойманный на взятке, увольняется, после чего он получает некоторую альтернативную зарплату, точное значение которой не определено, но известен возможный интервал изменения.

Инспекция проводится в несколько этапов. Сначала рациональные инспекторы нулевого уровня с некоторой вероятностью проводят проверку налогоплательщиков, указавших в декларациях низкий доход. Затем рациональные инспекторы 1-го уровня проверяют работу своих коллег нулевого уровня с выбранной вероятностью и т.д. На последнем (k-ом уровне) доверенные лица проверяют работу рациональных инспекторов k-1 го уровня.

Таким образом, необходимо определить оптимальные заработные платы рациональных инспекторов на всех уровнях, вероятности проверок и количество уровней проверки, максимизирующие величину чистого налогового дохода государства.

Кафедра ИО Основным результатом работы явилось определение пороговых вероятностей проверок, обеспечивающих честное поведение всех участников инспекции. В частном случае, когда альтернативные зарплаты честных инспекторов известны точно, указана нижняя оценка чистого налогового дохода и стратегия, реализующая это значение. Для поиска оптимальных зарплат проверяющих в зависимости от параметров модели реализована компьютерная программа. Исследована зависимость чистого налогового дохода от точности определения альтернативных заработных плат, для конкретных значений параметров модели показана сходимость результатов вычисления к аналитической оценке. Также была рассмотрена альтернативная модель, в которой рациональные инспекторы не закреплены жестко за определенным уровнем, а составляют общую группу. После определения пороговых вероятностей из общей группы случайным образов выбирается необходимое количество для проведения проверок на каждом уровне. Однако было показано, что чистый налоговый доход в такой модели не превосходит чистый налоговый доход в соответствующей базовой модели.

В процессе исследования модели было реализовано множество численных экспериментов при различных значениях основных параметров, на основании которых можно сделать следующие выводы:

1. Даже при весьма ограниченном количестве доверенных лиц можно организовать эффективный налоговый орган, обеспечивающий значительное пополнение бюджета.

2. В структуре оптимальных заработных плат при достаточно большом количестве уровней проверки наблюдается интересный эффект: уровни, на которых оптимально назначить зарплату, равную альтернативой (т.е. минимально возможную при условии честного поведения), чередуются с уровнями, где зарплата превышает это значение в несколько раз.

3. Чистый налоговый доход существенно зависит от точности определения альтернативной зарплаты.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 08-01-00249 и гранта НШ 693.2008. Литература Васин А.А., Панова Е.И. Собираемость налогов и коррупция в фискальных органах. – 1.

Москва, РПЭИ, 2000.

Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе. – Москва, МАКС Пресс, 2.

2005.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ МЕЖРЕГИОНАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ В КОНТЕКСТЕ ПОСТАВОК ПРИРОДНОГО ГАЗА Борисова Анастасия Викторовна студентка кафедры оптимального управления e–mail: asik.vmk@gmail.com Научные руководители – академик РАН, проф. Аркадий Викторович Кряжимский, м.н.с. Елена Александровна Ровенская Дипломная работа посвящена актуальным проблемам моделирования энергетической безопасности. В ней построена и исследуется математическая вероятностная модель межрегиональных отношений и связанных с ними поставок природного газа от поставщика ( S ) к транспортеру ( T ) и затем к конечному потребителю ( C ). Она отражает влияние политических взаимоотношений стран, входящих в состав цепочки поставки природного газа, на надежность поставки энергоносителей.

В основу исследования положена стилизованная модель, опирающаяся на предположение марковости перехода в следующее состояние в дискретном времени. В качестве фазовых переменных модели используется вектор ( rst, rtc, rsc ), каждая rk k k k компонента которого отражает попарные политические взаимоотношения между двумя из трех стран в момент времени k. rijk принимает значение 0, в случае негативных отношений, или значение 1, в случае позитивных отношений. Переменная g k в бинарном смысле отражает наличие поставки газа от поставщика к потребителю в момент времени k.

(rst, rtc, rsct, g k ) – вектор расширенного состояния системы, с начальным состоянием xk k k k (rst, rtc, rsct,1). Определены условные вероятности, которые в стилизованном виде x0 0 0 формализуют практику принятия политических решений участниками процесса:

p( x k 1 | x k ) pst ( rst 1 | rtc, rsc ) ptc ( rtc 1 | rst ) psc ( rsc 1 | rst ) p g ( g k 1 | rst ).

k k k k k k k k Цель работы состоит в исследовании вероятностных характеристик перехода трехкомпонентной системы поставки природного газа в состояние, которое условно назовм коллапсом. Коллапс – состояние системы в некоторый момент времени k, при котором 0, т.е. прекращается поставка газа. В работе предложены два дополняющих друг друга gk подхода к описанию поведения системы.

Первый подход использует пространство состояний системы, описываемых вектором r k. C помощью исходно заданных условных вероятностей строится матрица переходных вероятностей A [aij ]8 j 1 и вектор-столбец вероятностей перехода в состояние коллапса i, q [qi ]8 1. Выведены явные формулы для вероятности наступления коллапса на шаге k :

i k2 k1 k1 l (1 si An q), и до шага k : P(i, k ) (1 si An q), где s i si Ak 1q si Al 1q Pk (i ) Pl (i ) n0 l1 l1 n строка матрицы A, соответствующая состоянию i. Получены оценки сверху для Кафедра ОУ вероятности наступления коллапса до шага k. Проведено исследование асимптотического поведения системы в предположении положительности матрицы A и доказано, что вероятность наступления коллапса P(i, k ) возрастает и lim P(i, k ) 1.

k Второй подход состоит в рассмотрении пространства расширенных состояний системы, описывающих одновременно и политические отношения, и наличие поставки газа.

~ В нм также строится матрица переходных вероятностей B специального вида, который помогает отделить состояние наступления коллапса от неколлапсных состояний:

a11 (1 q1 ) a18 (1 q8 ) a11q1... a18 q ~ B a81 (1 q1 ) a88 (1 q8 ) a81q1... a88 q 0 0 ~ В B последний столбец отражает вероятности перехода в состояние коллапса.

Получены новые представления формул вероятностей наступления коллапса, формула для математического ожидания номера шага, на котором наступает коллапс, в зависимости от ~ начального состояния системы. Доказано, что последний столбец матрицы B k отражает вероятности наступления коллапса до шага k.

В работе исследована возможность упорядочивания состояний системы с точки зрения вероятности коллапса на последующих шагах. Проведено многочисленное количество экспериментов с помощью компьютерного моделирования, в результате которых появилась гипотеза о том, что начиная с некоторого номера k *, соотношения между ~ ~ элементами последнего столбца матрицы B k остаются такими же, как в матрице B k*.

Гипотеза доказана для важного предельного случая, в котором она выполняется с k * 1.

Методы и подходы, предложенные в данной работе, допускают интерпретацию в терминах других приложений марковских процессов и могут найти применение в различных задачах, не обязательно связанных с поставкой газа.

Литература 1. Ф.Р.Гантмахер. Теория матриц // М.: Наука, 2. А.С.Выдрин, А.В.Михалв. Стохастические матрицы и анализ защищенности автоматизированных систем //Фундаментальная и прикладная математика, 13, 2007.

3. П.Ланкастер Теория матриц // Наука, 1973.

4. В.А.Ильин, Г.Д.Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия // Проспект, 2007.

5. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ // МГУ, 1985.

6. E.Allevi, M.I.Bertocchi, M.T.Vespucci, M.Innorta. A mixed integer nonlinear optimization model for gas sale company // Optimization Letters 1: 61–69, 2007.

Тезисы лучших дипломных работ ВМК МГУ 2009 года ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Работа удостоена диплома III-ей степени Винников Евгений Владимирович студент кафедры оптимального управления e–mail: evinnikov@gmail.com Научный руководитель – доцент Киселв Юрий Николаевич Дипломная работа посвящена решению актуальной проблемы построения множества достижимости (МД) нелинейных управляемых динамических систем, играющего важную роль при решении задач управления, наблюдения и прогнозирования, возникающих в различных прикладных областях математики.

Рассматривается управляемая динамическая система, описываемая векторным дифференциальным уравнением (1) где P компакт в, T конечная длительность процесса. Численный метод построения множеств достижимости, предлагаемый в данной работе (метод пикселей), основан на разбиении фазового пространства и области управления на -рештки, введении равномерной сетки по времени, применении методов Эйлера и Рунге-Кутта второго порядка (РК2) для решения дифференциальных уравнений и применим для широкого класса детерминированных нелинейных управляемых систем. Метод пикселей, рассмотренный в данной работе, наиболее близок к описанному методу в [1]. Получены оценки на хаусдорфово расстояние между МД, приближнно построенными с помощью метода пикселей (метод Эйлера и РК2), и истинным МД.

На основе метода пикселей разработана программа в среде Matlab, строящая численно МД в двумерном и трхмерном случаях. В разработанной программе были реализованы эффективные алгоритмы фильтрации граничных точек для множеств достижимости и триангуляция трхмерных поверхностей. Представлена возможность ускорения работы программы для выпуклых МД за счт расчта только граничных точек и последующего взятия их выпуклой оболочки. Проведено сравнение численно построенных множеств достижимости с имеющимися в литературе описаниями множеств достижимости, а также с примерами из работы [5]. Разработанная программа для построения множеств достижимости может найти применение в различных задачах теории управления и для исследования прикладных задач.

Проведено исследование модели диффузии информации (2) с помощью принципа максимума Понтрягина.

Кафедра ОУ x(t ) ( x(t ) u (t ))(1 x(t )), x(0) x0, t [0, T ], u (t ) [0,1], T [(1 x(t ))2 (ru (t )) 2 ] dt (2) J min, x0 [0,1),,, r, T const 0.

u (·) [0,1] Эта система описывает модель диффузии информации в социальной группе по внешнему ( ) и внутреннему ( ) каналам распространения информации по отношению к общности. Здесь x(t ) отношение количества людей, принявших информацию, к общей численности социальной группы. Функционал J показывает, что мы хотим информировать максимальное число людей, подверженных распространяемой информацией, затратив при этом наименьшее число ресурсов на внешнее воздействие. Получены различные типы оптимальных траекторий в зависимости от параметров системы. Результаты расчтов на основе принципа максимума Понтрягина были наложены на интегральную воронку модели, построенную с помощью разработанной программы.

Литература 1. Гусейнов Х.Г., Моисеев А.Н., Ушаков В.Н. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем.// Прикладная математика и механика, 1998. Т.62, вып.2, с. 179-187.

2. Спесивцев Л.В., Ушаков В.Н. Задача о приведении движения управляемой системы в окрестность заданной точки множества достижимости.// Вестник Удмуртского университета. Серия математика. 2006. №1. c. 111-126.

3. Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения.// Вестник Московского университета. Серия Вычисл. матем. и кибернетика.

1987. Т. 4. c. 31-34.

4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1976.

5. Горнов А.Ю., Тятюшкин А.И. Вычислительные технологии поиска глобального экстремума в задаче оптимального управления. Материалы международной конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании».

Алматы, Казахстан, 10-14 сентября 2008 года.

6. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М., Наука, 1988.

7. Измоденова К.В., Михайлов А.П. Об оптимальном управлении процессом распространения информации.// Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 5, с. 67 8. Киселв Ю.Н., Аввакумов С.Н., Орлов М.В. Оптимальное управление. Линейная теория и приложения. М., МАКС Пресс, 2007.

9. Киселв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций принципа максимума Понтрягина. Математические модели в экономике и биологии: Материалы научного семинара. М., МАКС Пресс, 2003, с. 57-67.

10. Киселв Ю.Н. Построение точных решений для нелинейной задачи быстродействия специального вида.//Фундаментальная и прикладная математика.

1997. Т. 3. Выпуск 3, с. 847-868.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М., Наука, 1989.

12. Федотов А.А. Информационные множества в модельных задачах наблюдения за движением самолта в горизонтальной плоскости. Дис. канд. физ.-мат. наук:

Екатеринбург: Ин-т матем. и механ. УрО РАН, 2005. 106с.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.