авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||

«НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ globusГЛОБУС Общематематический семинар. Выпуск 2 Под редакцией М. А. Цфасмана и В. В. Прасолова ...»

-- [ Страница 7 ] --

Во-вторых, на уровне k-струй это свойство конструктивное, т. е. задаётся объединением конечного числа множеств, которые определяются равен ствами или неравенствами. Тогда мы можем объявить, что (X) = (Y).

Действительно, если X = k (Y) = m (Y ), где Y Am и m k, то мож О мотивном интегрировании и его аналогах но считать, что Y – это Y, умноженное на комплексное пространство – C (mk)n. А эйлерова характеристика комплексного аффинного простран ства равна 1. Заметим, что эйлерова характеристика мультипликативна.

Тогда получается, что эйлерова характеристика у Y и у Y одна и та же.

Поэтому это определение корректно.

Пересечение двух цилиндрических множеств является цилиндрическим множеством;

объединение – тоже. Поэтому для функции, принимающей – каждое своё значение на цилиндрическом множестве (т. е. на измеримом в этом смысле множестве), определяется интеграл по эйлеровой характе ристике тем же самым образом, что и выше.

Вся эта адаптация для бесконечномерного случая была идеей Максима Концевича. Она, кстати сказать, нигде им не опубликована. Все ссыла ются на его лекцию, которая была им прочитана, но не опубликована. Все определения написаны позже теми, кто в этом направлении работал.

Такая конструкция с эйлеровой характеристикой бывает для каких-то задач полезной, но для исходной задачи о числах Ходжа– Делиня в зер – кальной симметрии нужно рассматривать не только эйлерову характери стику, но и другие меры, аддитивные и мультипликативные. Есть способ, который позволяет определить наиболее общую аддитивную и мульти пликативную функцию на конструктивных подмножествах. Любые другие такие функции, например, эйлерова характеристика или полином Ход жа– Делиня, будут уже гомоморфизмами её в какую-то другую группу, т. е.

– будут её специализациями. Этот способ состоит в следующем. Рассмотрим все полуалгебраические множества и построим группу Гротендика, обра зующими которой являются эти полуалгебраические множества. На эти полуалгебраические множества нужно наложить некоторые соотношения.

Во-первых, если X1 X2, то [X1 ] = [X2 ] (если множества изоморфны, то = соответствующие им классы равны). Второе правило такое: если X Y, то нужно положить, что [X] = [Y ] + [X \ Y ]. Полугрупповая операция – – несвязное объединение. Взяв минимальную группу, содержащую эту по лугруппу, получим группу Гротендика K (группу Гротендика полуалгебра ических множеств). С точки зрения инвариантов группа Гротендика K – – это та самая группа, в которой принимает значение самая обобщённая эйлерова характеристика, какая только может быть, потому что группа Гротендика K – это универсальный объект для всех аддитивных гомомор – физмов алгебры полуалгебраических множеств. Группа K является также и кольцом: прямое произведение множеств задаёт в K структуру кольца.

Поэтому лучше говорить не о группе Гротендика, а о кольце Гротендика.

Это действительно самая обобщённая эйлерова характеристика. В этом смысле, если мы интегрируем по конечномерным множествам, то можно 210 С. М. Г у с е й н - З а д е брать интегралы со значениями в K. Для её адаптации к бесконечномерной ситуации (ситуации с пространством дуг) требуется некоторый дополни тельный шаг, о котором я сейчас скажу.

Беда состоит в том, что про группу Гротендика K никто почти ничего не знает. Какие-то формулы можно писать и в ней, но что эти формулы озна чают, совершенно непонятно. Реально результаты получаются, когда рас сматриваются гомоморфизмы этой группы в какую-нибудь другую группу.

Здесь есть два основных гомоморфизма: обычная эйлерова характеристи ка K Z и ещё так называемый полином Ходжа– Делиня K Z [u, v].

– Каждому гладкому неособому проективному многообразию можно сопо ставить числа h p,q, и если мы рассмотрим полином h p,q u p v q, то ока зывается, что если этот полином продолжить на остальные конструк тивные множества по аддитивности, то он инвариантно определён. Этот инвариант и есть полином Ходжа– Делиня. Больше никаких инвариантов – не известно. Практические приложения могут быть только тогда, когда мы берём либо эйлерову характеристику, либо полиномы Ходжа– Дели- – ня.

Если мы перейдём к бесконечномерной ситуации, т. е. если мы хотим рассматривать обобщённую меру для цилиндрических множеств, то трудность состоит в следующем. Рассмотрим соответствие X [X] K.

Я сказал, что это универсальная (обобщённая) эйлерова характеристика, поэтому я буду обозначать [X] = g (X). Для обобщённой эйлеровой характеристики определение g (X) = g (Y) (см. выше) становится некор ректным. Если X – цилиндр над множеством Y, которое лежит в Ak, – и одновременно цилиндр над множеством Y, которое лежит в Am, то, грубо говоря, Y = Y C (mk)n. Поэтому в зависимости от того, что мы берём: Y или Y, ответ получается разный. На самом деле ситуация не слишком плохая. Можно поступить следующим образом.

Положим g (X) = g (Y) · [C] kn ([C] – класс комплексной прямой C).

– Такая формула в кольце Гротендика никакого смысла не имеет. Эле мент [C] необратим, поскольку его полином Ходжа– Делиня равен uv.

– Но элемент [C], во всяком случае, не делитель нуля, поэтому можно рассмотреть локализацию кольца Гротендика по идеалу, порождённому [X] этим элементом. При локализации мы добавляем все элементы вида [C] l (с естественными соотношениями). Формула g (X) = g (Y) · [C] kn те перь имеет смысл. Но в этом случае обобщённая эйлерова характеристика g принимает значения в кольце Гротендика K, локализованном по классу комплексной прямой. Это кольцо ненамного лучше исходного кольца K :

два его гомоморфизма известны, а само оно – неизвестно что.

– О мотивном интегрировании и его аналогах Есть не так много примеров, когда это использовалось. Один из первых примеров – доказательство того, что разрешения алгебраиче – ских пространств, уважающие канонический класс, имеют одинаковые числа Ходжа– Делиня. Это как раз изначальная идея Концевича. Этот – пример технически довольно сложен, поэтому я объясню какой-нибудь элементарный пример. Я возвращаюсь к ситуации с ростком голоморфной функции и с его разрешением (X, D) f f (Cn, 0) (C, 0) Возьмём в D множество точек, в окрестности которых f (...) = y1. Мно m жество таких точек я обозначаю Sm. Я хочу доказать, что эйлерова ха рактеристика (Sm) от разрешения не зависит. Идея доказательства та кая. Рассмотрим множество дуг {: (C, 0) (Cn, 0)}. Самая естественная функция, которая возникает на множестве дуг, – это порядок нуля на дуге – исходной функции. Это самый распространённый объект, который фигу рирует почти во всех мотивных интегралах. На каждой дуге можно рас смотреть функцию f, т. е. рассмотреть композицию f : (C, 0) (C, 0).

Эта композиция имеет вид (f ) (t) = at v +... Тем самым, каждой дуге соответствуют два числа v () и a(). Рассмотрим множество { : (C, 0) (Cn, 0) : v () = m и a() = 1}. (4) Я фиксирую a(), потому что если его не фиксировать, то получится множество с нулевой эйлеровой характери стикой, а это неинтересно. Sm/ Давайте разбираться, какая эйлерова ха рактеристика у этого множества. Рассмотрим Sm/ Sm разрешение. Там есть дивизор с нормальными пересечениями (рис. 1). В вычислениях будут играть роль точки множеств Sm, Sm/2, Sm/3,...

Я сказал, что дуги можно рассматривать как Р и с. 1. Дивизор с внизу, так и вверху, – это одно и то же мно – нормальными пересечениями жество. Порядок нуля равен m, если соответ ствующая дуга трансверсально подходит к дивизору Sm. Поэтому дуга должна иметь вид (t) = (t +...,...), (5) где = 1 (чтобы первый коэффициент был равен 1), а многоточием m обозначены любые числа. Один коэффициент принимает m значений, а остальные коэффициенты свободные. Такие дуги образуют m аффинных 212 С. М. Г у с е й н - З а д е пространств;

эйлерова характеристика равна m. Такова ситуация в каждой точке множества Sm. У нас получается почти прямое произведение Sm на множество таких рядов. Эйлерова характеристика множества дуг вида (5) равна m(Sm). Для множества Sm/2 ряд должен иметь вид t 2 +..., где m m/ 1. Эйлерова характеристика такого множества равна (Sm/2).

= Поэтому в эйлерову характеристику множества (4) входят члены m m m(Sm) + (Sm/2) + (Sm/3) +... (6) 2 Рассмотрим теперь пересечение двух множеств Sk и Sl (рис 2).

Здесь поднятие имеет вид f = y1 y2. Дуга может иметь кратность m kl лишь в том случае, когда какая-то линейная комбинация чисел k и l равна m. Пусть, на Sl пример, k + l = m. Тогда дуга должна иметь вид (t +..., t +...,...), где k l = 1. Это Sk уравнение задаёт комплексный тор C \ {0}. Это множество имеет нулевую эйлерову характери стику. Поэтому все такие множества не играют никакой роли. По тем же самым причинам Р и с. 2. Множества Sk и Sl все пересечения не будут играть никакой роли.

Я выделил множество дуг, для которых эйлерова характеристика за писывается формулой (6). Из этого следует, что эйлерова характеристика каждого Sm не зависит от выбора разрешения (это доказывается индук цией по m).

Я сказал, что по пространству дуг или по какому-то его подпростран ству A можно интегрировать. Какие интегралы обычно участвуют в мо тивном интегрировании? Пусть есть росток f : (Cn, 0) (C, 0). Тогда каж дой дуге соответствует порядок нуля функции f на этой дуге, который я обозначил v (). Мотивный интеграл имеет вид t v () d g. Этот интеграл A принимает значения в рядах от t. Чаще всего мотивный интеграл считается для t = [C] 1. Именно про этот интеграл доказаны основные теоремы. Но этому интегралу ещё нужно придавать смысл. Этот интеграл не полином, а ряд. Чтобы придать ему смысл, нужно ещё раз потревожить наше кольцо и взять не только локализацию кольца по классу комплексной прямой, но ещё и пополнение, т. е. добавить ряды. Сейчас я не хочу вдаваться в эти алгебраические тонкости.

Мотивные интегралы иногда бывают полезны при построении неко торых инвариантов. Например, есть так называемая топологическая дзета-функция Игусы, которая строится по такому интегралу. Это некий инвариант ростка функции.

О мотивном интегрировании и его аналогах Оказывается, что некоторые инварианты очень естественным образом пишутся как интегралы, но не по пространствам дуг, а по в некотором смысле двойственным пространствам. Вместо дуг мы будем рассматривать проективизацию пространства функций от n переменных POCn,0 ;

я пред почитаю работать с проективизацией, потому что иначе в большинстве случаев эйлерова характеристика будет нулевая. Это бесконечномер ное пространство. Можно рассмотреть проективизацию пространства k-джетов JCn,0 с одной добавленной точкой (нулём);

эту проективиза k цию мы обозначим P JCn,0. Добавленная точка – это точка, в которую k – отображается нуль при факторизации. Тогда для m k есть отображение m,k P JCn,0 P JCn,0. Имеется также отображение POCn,0 k P JCn,0. Если m k k есть подмножество X POCn,0, то я назову его цилиндрическим (измери мым), если для некоторого k существует такое конструктивное множество Y PJCn,0, что k (Y) = X. Для таких множеств можно определить эйле k рову характеристику: (X) = (Y). Можно определить и обобщённую эйлерову характеристику со значениями в кольце Гротендика, лока лизованном по классу комплексной прямой: g (X) = g (Y) [C]..., где многоточием я обозначил размерность пространства джетов, которая легко считается. Теперь, когда определена эйлерова характеристика и обобщённая эйлерова характеристика, можно писать интегралы.

Я расскажу только про одну формулу. Эта формула в каком-то смысле удивительна, потому что до сих пор непонятно, почему она имеет место.

Можно проверить, что левая и правая части совпадают, но каковы осно вания для того, чтобы они совпадали, – это пока абсолютно тёмный лес.

– Пусть мы рассматриваем приведённый (но приводимый) росток ана r литической кривой C (C2, 0), т. е. C = {f = 0} = Ci, где Ci = {fi = 0} r i= и f= fi, причём компоненты Ci неприводимы. Рассмотрим на про i= ективизации множества функций на плоскости (т. е. теперь n = 2) сле дующие числа. Каждую кривую Ci можно запараметризовать. Пусть i : (Ci, 0) (C2, 0) – униформизация компоненты Ci, т. е. Im i = Ci.

– Если есть произвольная функция g POC2,0, то её можно ограничить на v (g) ветвь Ci, т. е. рассмотреть функцию g i = ai (g)i i +... Тем самым, каждому ростку можно сопоставить число vi (если получаем тождествен ный нуль, то считаем, что vi не определено или равно бесконечности).

v В результате получается отображение POC2,0 i Z. Функции vi цилиндри ческие, т. е. условие, что vi = const, определяется конечной струёй. Более v того, функция t1 1...tr r Z [[t1,..., tr ]] тоже цилиндрическая, т. е. условие, v что все vi равны каким-то константам, определяется конечной струёй.

214 С. М. Г у с е й н - З а д е У кривой C есть такой инвариант. Можно рассмотреть пересечение C S = L1... Lr, где достаточно мало. Это будет зацепление, со держащее r компонент. Такому зацеплению в теории узлов ставится в со ответствие полином Александера c (t1,..., tr).

Т е о р е м а (Гусейн-Заде, Кампильо, Дельгадо).

v c (t1,..., tr) = v t1 1...tr r d.

POC2, Я говорил, что иногда vi может быть неопределённым (равным беско нечности). В таком случае мы полагаем t = 0.

25 октября 2001 г.

Оглавление Предисловие................................................... Н. С. Н а д и р а ш в и л и. Средние значения и гармонические функции................................................... Ю. Г. З а р х и н. Классы Вейля и Ходжа на абелевых многообразиях В. В. Н и к у л и н. Классификация лоренцевых алгебр Каца– Муди – ранга 3.................................................... Э. Б. В и н б е р г. Преобразование Радона симметрических про странств.................................................. Ю. А. Н е р е т и н. Дробные диффузии, группа диффеоморфизмов окружности и группы петель................................ Д. А. Л е й т е с. Применение когомологий алгебр Ли в народном хозяйстве................................................. А. М. В е р ш и к. Предельные формы типичных геометрических конфигураций и их приложения............................. В. М. Б у х ш т а б е р. Симметрические полиномы многих вектор ных аргументов. Классические задачи и современные приложе ния....................................................... С. Г. Г и н д и к и н. Интегральная геометрия: на границе между ана лизом и геометрией........................................ С. П. Н о в и к о в. Геометрия пуассоновых структур............. А. Г. С е р г е е в. Абрикосовские струны и уравнения Зайбер га– Виттена............................................... – С. М. Г у с е й н - З а д е. О мотивном интегрировании и его аналогах ГЛОБУС Общематематический семинар. Выпуск Научный редактор М. А. Цфасман Редактор В. В. Прасолов Тех. редактор А. Протопопов Лицензия ИД №01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 26.08.2005 г. Формат 70 100 1/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Печ. л. 13,5. Тираж 800 экз.

Заказ № Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

121002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (095) 241–72–85.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука“».

119009, Москва, Шубинский пер., 6.

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (095) 241–72–85. E-mail: biblio@mccme.ru

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.