авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ...»

-- [ Страница 4 ] --

Детальная сводка результатов этой главы помещена в её конце. Ма териал данной главы опубликован в работах [145–147].

§1. К УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ПЛОСКО–ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ ПО ПЛОТНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В этом параграфе рассматривается линейная задача устойчивости установившихся плоско–параллельных сдвиговых течений однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя неподвижными непроницаемыми твёрдыми параллельными бесконеч ными пластинами, когда внешние массовые силы отсутствуют [145].

Прямым методом Ляпунова получается, что данные течения абсолют но неустойчивы по отношению к малым плоским возмущениям, а вот состояния равновесия (покоя) этой жидкости наоборот, абсолют но устойчивы. Тем самым демонстрируется, что условия устойчивос ти [52, 54, 55, 203] стационарных плоско–параллельных сдвиговых те чений однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости в прослойке между двумя неподвижными непроницаемыми твёрдыми параллельными неограниченными поверхностями относительно малых плоских возмущений в отсутствие внешних массовых сил служат и до статочными, и необходимыми. Выводятся достаточные условия прак тической линейной неустойчивости и конструируется априорная оцен ка снизу, которая говорит о возможном (как минимум, экспоненциаль ном) нарастании во времени изучаемых малых возмущений, если дан ные условия устойчивости не действуют. Строится иллюстративный аналитический пример установившихся плоско–параллельных сдвиго вых течений и наложенных на них малых плоских возмущений, рас тущих со временем согласно сконструированной оценке.

ФОРМУЛИРОВКА ТОЧНОЙ ЗАДАЧИ. Исследуются плоские эво люционные течения однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости, которая целиком заполняет пространство между двумя по коящимися непроницаемыми твёрдыми параллельными бесконечными стенками, при отсутствии внешних массовых сил.

Эти течения описываются нестационарными решениями начально– краевой задачи вида [4, 185] Du = px, Dv = py, ux + vy = 0 в (IV.1.1) v = 0 на u(x, y, 0) = u0 (x, y), v(x, y, 0) = v0 (x, y) Здесь u (x, y, t), v (x, y, t) компоненты поля скорости жидкости;

p (x, y, t) поле давления;

D /t + u/x + v/y диффе ренциальный оператор;

x, y декартовы координаты;

{(x, y) :

x +, 0 y H} область течения жидкости;

{(x, y) : x +, y = 0, H} граница области течения;

u0, v0 начальные данные для составляющих поля скорос ти жидкости;

t время;

H ширина зазора между стенками. Ин дексами из независимых переменных обозначаются соответствующие частные производные искомых функций. Считается, что начальные компоненты u0 и v0 поля скорости жидкости обращают в тождество третье соотношение смешанной задачи (1.1). Более того, полагается, что начальная составляющая v0 удовлетворяет четвёртому равенству этой же задачи.

Начально–краевая задача (1.1) имеет функционал кинетической энергии в форме + H u2 + v 2 dydx = const E1 (IV.1.2) тогда, когда её решения либо периодичны, либо локализованы вдоль оси абсцисс.

Несложно показать, что смешанная задача (1.1) обладает ещё од ним сохраняющимся на её эволюционных решениях интегралом дви жения. В самом деле, если из первых двух соотношений данной задачи исключить поле давления p, то получится уравнение D = 0 (IV.1.3) (где (x, y, t) vx uy поле завихренности), позволяющее утвер ждать, что функционал + H I ()dydx (IV.1.4) (здесь () произвольная функция своего аргумента) будет оста ваться неизменным на нестационарных решениях начально–краевой задачи (1.1), а потому и будет представлять собой желаемый интеграл движения настоящей смешанной задачи.

Начально–краевая задача (1.1) имеет точные стационарные реше ния вида u = U (y), v = 0, p const (IV.1.5) где U некая функция независимой переменной y. Эти решения отве чают установившимся плоско–параллельным сдвиговым течениям од нородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости в прослойке между двумя неподвижными непроницаемыми твёрдыми параллель ными плоскостями в отсутствие внешних массовых сил.

Цель дальнейшего рассмотрения состоит в том, чтобы выяснить, могут ли стационарные решения (1.5) быть устойчивыми по отноше нию к малым плоским возмущениям.

ПОСТАНОВКА ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ. Для достиже ния указанной цели выполняется линеаризация смешанной задачи (1.1) и соотношения (1.3) в окрестности точных стационарных решений (1.5), которая даёт возможность прийти к начально–краевой задаче в форме dU ut + U ux + v = px (IV.1.6) dy vt + U vx = py, ux + vy = d2 U t + U x v 2 = 0 в ;

v = 0 на dy u (x, y, 0) = u0 (x, y), v (x, y, 0) = v0 (x, y) Здесь u (x, y, t), v (x, y, t), p (x, y, t) и (x, y, t) малые плоские возмущения полей скорости, давления и завихренности соответствен но;

u0, v0 начальные компоненты возмущённого поля скорости жид кости. Предполагается, что функция v0, с одной стороны, превращает в тождество пятое равенство смешанной задачи (1.6), а с другой вместе с функцией u0, удовлетворяет третьему соотношению этой же задачи.

Линейным аналогом функционала кинетической энергии для на чально–краевой задачи (1.6) является интеграл вида + H d2 U 1 2 2 dydx = const E u +v +U (IV.1.7) dy Нетрудно убедиться, что первая вариация J функционала J E1 + I (1.2), (1.4) зануляется на стационарных решениях (1.5) лишь в том случае, когда функции и U связаны друг с другом уравнением d2 d2 U =U d 2 dy = где (y) dU/dy установившееся поле завихренности. В то же время вторая вариация 2 J интеграла J, переписанная в подходящих обозначениях, совпадает по форме с функционалом E (1.7).

На первый взгляд, точные стационарные решения (1.5) смешанной задачи (1.1) будут устойчивы относительно малых плоских возмуще ний (1.6) тогда и только тогда, когда везде в области течения жид кости справедливо неравенство [4, 55] d2 U U 0 (IV.1.8) dy Действительно, всяким (в том числе и нарастающим по времени) ре шениям начально–краевой задачи (1.6) присуще свойство: E = const.

Однако, соотношения (1.7), (1.8) подталкивают к выводу, что если ин теграл E = const 0, то, якобы, с необходимостью малые плоские возмущения u, v и будут, как функции независимой переменной t, ограниченными по абсолютной величине, а значит никаких расту щих со временем решений у смешанной задачи (1.6) быть не может.

Тем не менее, поскольку линейный аналог E (1.7) функционала кинетической энергии служит интегралом движения для начально– краевой задачи (1.6), которая включает в себя четвёртое уравнение, представляющее собой результат линеаризации около стационарных решений (1.5) соотношения (1.3) следствия смешанной задачи (1.1), и малые плоские возмущения поля завихренности, в согласии со своим определением (1.3), (1.6), функционально зависимы от малых плоских же возмущений u и v составляющих поля скорости жидкос ти, среди решений начально–краевой задачи (1.6) можно, вообще гово ря, найти нарастающие во времени решения со свойством E = const и при выполнении неравенства (1.8), что будет ниже наглядно и доказа тельно продемонстрировано при помощи построения иллюстративно го аналитического примера. Отсюда вытекает, что соотношение (1.8) является достаточным условием устойчивости точных стационарных решений (1.5) смешанной задачи (1.1) по отношению не ко всем ма лым плоским возмущениям, а лишь к их подклассу (1.6), который ха рактеризуется той отличительной чертой, что четвёртое уравнение в системе соотношений (1.6) служит, как бы, не следствием первых трёх её уравнений, а равноправным с ними соотношением.

Кстати, что касается частного класса точных стационарных реше ний (1.5) начально–краевой задачи (1.1) состояний равновесия (по коя) u = v 0, p const (IV.1.9) однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости, то они аб солютно устойчивы, причём относительно любых малых плоских воз мущений, поскольку в данном случае линейный аналог E (1.7) интег рала кинетической энергии преобразуется к виду + H u 2 + v 2 dydx E= и сохраняется на эволюционных решениях смешанной задачи (1.6) без привлечения её четвёртого уравнения.

АПРИОРНАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ОЦЕНКА СНИЗУ РОС ТА МАЛЫХ ПЛОСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ. Далее прямым методом Ляпунова [16, 22] будет показано, что достаточное условие устойчи вости (1.8) точных стационарных решений (1.5) начально–краевой за дачи (1.1) по отношению к малым плоским возмущениям выделенного выше подкласса (1.6) представляет собой также и необходимое. Кро ме того, будут выведены достаточные условия практической линейной неустойчивости и сконструирована априорная нижняя оценка, свиде тельствующая, в свою очередь, о том, что изучаемые малые плоские возмущения могут нарастать по времени не медленнее, чем экспонен циально, тогда, когда или последние не принадлежат частному классу (1.6), или неравенство (1.8) нарушается где–либо в пределах области течения, так что там становится верным соотношение d2 U U 0 (IV.1.10) dy Для того чтобы продемонстрировать неустойчивость некоторого стационарного решения (1.5) смешанной задачи (1.1) относительно ма лых плоских возмущений, нужно суметь выделить из них всего только одно, но зато, как минимум, экспоненциально быстро растущее со вре менем возмущение.

Принимая во внимание это обстоятельство, поиск требуемого воз мущения осуществляется дальше в подклассе нестационарных плоских течений однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости в пространстве между двумя неподвижными непроницаемыми твёр дыми параллельными бесконечными поверхностями при отсутствии внешних массовых сил, обладающем той особенностью, что для него малые плоские возмущения являются отклонениями траекторий дви жения жидких частиц от соответствующих линий тока установивших ся течений (1.5). Наиболее просто данные возмущения можно описать посредством поля лагранжевых смещений (x, y, t) = (1, 2 ) (I.13) [24], которое определяется уравнениями dU 1t = u U 1x + 2, 2t = v U 2x (IV.1.11) dy С помощью соотношений (1.11) начально–краевая задача (1.6) мо жет быть переформулирована в виде 1tt + 2U 1tx + U 2 1xx = px (IV.1.12) 1x + 2y = 0, 2tt + 2U 2tx + U 2 2xx = py d2 U = 2 2 в ;

2 = 0 на dy 1 (x, y, 0) = 10 (x, y), 1t (x, y, 0) = (1t )0 (x, y) 2 (x, y, 0) = 20 (x, y), 2t (x, y, 0) = (2t )0 (x, y) (здесь 10 и 20 начальные компоненты поля лагранжевых смеще ний, а (1t )0 и (2t )0 начальные составляющие его частной произ водной первого порядка по времени). Считается, что функции 10 и 20 обращают в тождество второе уравнение из системы соотношений (1.12). Кроме того, полагается, что функция 20 удовлетворяет пято му равенству той же системы. Наконец, важно, что после введения поля лагранжевых смещений (1.11) удаётся проинтегрировать чет вёртое уравнение смешанной задачи (1.6), служащее линеаризованным в окрестности точных стационарных решений (1.5) соотношением (1.3) следствием начально–краевой задачи (1.1), и получить аналитичес кую формулу для вычисления малых плоских возмущений поля за вихренности через компонент 2 поля лагранжевых смещений и состав ляющую U установившегося поля скорости жидкости (см. четвёртое равенство системы связей (1.12)). Отсюда вытекает, что малые плос кие возмущения (1.11), (1.12) не охватываются частным классом (1.6), так как для них четвёртое уравнение в системе соотношений (1.6) пе рестаёт быть эволюционным дифференциальным уравнением и пре вращается в квазистационарное алгебраическое соотношение с неявно фигурирующей в нём независимой переменной t.

Прямыми расчётами можно убедиться, что функционал E (1.7) в качестве линейного аналога интеграла кинетической энергии смешан ной задачи (1.11), (1.12) трансформируется к виду E T + T1 = const (IV.1.13) + H (1t + U 1x )2 + (2t + U 2x )2 dydx T + H dU T1 2 1t dydx dy Стоит специально отметить тот факт, что функционал E в форме (1.13) разрешает составляющим 1, 2 поля лагранжевых смещений нарастать во времени, при этом вне зависимости от того, выполнено или нет достаточное условие линейной устойчивости (1.8). Значит, точ ные стационарные решения (1.5) начально–краевой задачи (1.1), судя по всему, абсолютно неустойчивы относительно малых плоских возму щений (1.11), (1.12), то есть независимо от того, истинно достаточное условие (1.8) линейной устойчивости либо нет. К слову, подкласс (1.9) стационарных решений (1.5) будет абсолютно устойчив и по отноше нию к малым плоским возмущениям (1.11), (1.12), потому что интеграл E (1.13) предстаёт для него в виде + H 1 2 E= 1t + 2t dydx = const В интересах нижеследующего изложения удобно вовлечь в исследо вание вспомогательный неотрицательный функционал [141] + H 2 M 1 + 2 dydx (IV.1.14) Двукратное дифференцирование интеграла M по его аргументу t и осуществление ряда преобразований возникающего в итоге функцио нала с применением соотношений (1.11)–(1.13) позволяют выйти на так называемое вириальное равенство [24, 141] в форме d2 M = 4T dt Умножая теперь данное равенство на произвольную постоянную вели чину, ещё раз учитывая выражение (1.13) для интеграла E, удаётся получить важное уравнение dE = 2E 4T 2T1 (IV.1.15) dt где E T + + H dM (1t + U 1x 1 )2 + (2t + U 2x + 2 M = 2T 2T dt 2 )2 dydx 0, 2 2T1 + 2 M Если постоянную подчинить ограничению 0, то, как несложно проверить, из соотношения (1.15) может быть извлечено оригинальное дифференциальное неравенство d2 M dM + 22 M 2 (IV.1.16) dt dt Оказывается, это неравенство, подобно дифференциальному нера венству (III.1.52), тоже можно дополнить условиями [194] n M 0 (IV.1.17) dM n n 2M ;

n = 0, 1, 2,...

dt 2 n n dM n dM n M M (0) exp, (0) exp 2 2 dt 2 dt согласно которым из него с необходимостью будет вытекать искомая априорная экспоненциальная оценка снизу M (t) C exp(t) (IV.1.18) (здесь C известная положительная постоянная величина).

Следовательно, условия (1.17) и неравенство (1.18) говорят о том, что среди малых плоских возмущений (1.11), (1.12) с начальными дан ными в форме dM M (0) 0, (0) 2M (0) (IV.1.19) dt точных стационарных решений (1.5) смешанной задачи (1.1) могут быть и растущие со временем, причём не медленнее, чем экспонен циально. Принципиальное значение тут имеет то обстоятельство, что для экспоненциально нарастающих во времени малых плоских возму щений (1.11), (1.12), (1.19) счётный набор условий (1.17) удовлетво ряется тождественно.

Наряду с этим соотношение (1.18) свидетельствует также и о том, что роль функционала Ляпунова играет в данном случае именно ин теграл M (1.14) и ничто иное.

Наконец, неравенства из счётного набора условий (1.17) как раз и представляют собой желаемые достаточные условия практической линейной неустойчивости [14, 15].

В результате, продемонстрировано, что условие Арнольда (1.8) [55] устойчивости точных стационарных решений (1.5) начально–краевой задачи (1.1), отвечающих установившимся плоско–параллельным сдвиговым течениям однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя покоящимися непроницаемыми твёр дыми параллельными плоскостями в отсутствие внешних массовых сил, относительно малых плоских возмущений частного класса (1.6) на самом деле является и достаточным, и необходимым. Действительно, поскольку неравенство (1.18) не содержит никаких сведений о точных стационарных решениях (1.5) смешанной задачи (1.1), оно будет но сить формальный характер, если всюду в области течения жидкости справедливо соотношение (1.8), а четвёртое выражение из начально– краевой задачи (1.6) служит эволюционным дифференциальным урав нением, так как тогда, в согласии со связью (1.7), у смешанной задачи (1.6) не будет решений, которые росли бы со временем, по крайней мере, экспоненциально. В случаях же, когда или неравенство (1.8) на рушено где–либо внутри области течения, так что там выполнено соотношение (1.10), или малые плоские возмущения не входят в под класс (1.6), начально–краевые задачи (1.6) и (1.11), (1.12) могут обла дать решениями, нарастающими во времени в строгом соответствии с априорной нижней экспоненциальной оценкой (1.18).

Далее, поскольку условие Арнольда (1.8) [4, 55] обобщает достаточ ное условие линейной устойчивости, которое обнаружено Фьортофтом [4, 54, 185, 203], а вместе эти условия включают в себя достаточное условие линейной устойчивости, открытое Релеем [4, 52, 185], нера венство (1.18) уже самим фактом своего существования приводит к автоматическому обращению и обоих последних достаточных условий устойчивости установившихся плоско–параллельных сдвиговых тече ний (1.5) однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости в прослойке между двумя неподвижными непроницаемыми твёрдыми параллельными бесконечными поверхностями при отсутствии внеш них массовых сил по отношению к малым плоским возмущениям в виде нормальных волн, которые отвечают соответствующим добавоч ным требованиям к дифференциальному оператору уравнения Релея [4, 21, 52, 54, 185, 203–206].

Более того, в качестве ещё одной отличительной черты найденного роста малых плоских возмущений (1.11), (1.12), (1.19) нельзя не от метить тот произвол, что остался за положительной постоянной в показателе экспоненты из правой части соотношения (1.18). Он, кста ти, даёт возможность полагать, что всякое решение смешанной задачи (1.11), (1.12), (1.19), нарастающее согласно оценке снизу (1.18), может быть интерпретировано как аналог примера некорректности по Ада мару [197].

Дальше строится иллюстративный аналитический пример точных стационарных решений (1.5) начально–краевой задачи (1.1) и нало женных на них малых плоских возмущений (1.11), (1.12), (1.19), кото рые развиваются со временем в согласии со сконструированной априорной нижней экспоненциальной оценкой (1.18) вне зависимости от того, верны либо нет достаточные условия линейной устойчивости Релея [52], Фьортофта [54, 203] или Арнольда [55].

ПРИМЕР. Исследуются эволюционные решения смешанной задачи (1.11), (1.12) в виде 1 (x, y, t) h1 (y) exp (t + ix) (IV.1.20) 2 (x, y, t) h2 (y) exp (t + ix), p (x, y, t) h3 (y) exp (t + ix) (здесь h1, h2 и h3 некие функции своего аргумента;

i мнимая единица;

1 + i2 произвольная комплексная, а, 1 и некие вещественные постоянные величины).

Подстановка соотношений (1.20) в первые три уравнения и гранич ное условие системы (1.12) позволяет сделать заключение, что функ ции 1, 2 и p в форме (1.20) на самом деле будут удовлетворять начально–краевой задаче (1.11), (1.12), если, в свою очередь, функции h1, h2 и h3 будут представлять собой решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений ( + iU )2 h1 = ih3 (IV.1.21) dh3 dh ( + iU )2 h2 =, ih1 + = dy dy с граничными условиями h2 = 0 при y = 0, H (IV.1.22) Путём исключения из системы (1.21) функций h1 и h3 можно по лучить одно определяющее уравнение для функции h2 уравнение Релея [4, 21, 52, 185]:

d2 h2 2i dU dh 2 h2 = + (IV.1.23) dy + iU dy dy Замена искомой функции h(y) ( + iU ) h помогает записать краевую задачу (1.22), (1.23) в следующем оконча тельном виде:

d2 h d2 U i + h=0 (IV.1.24) dy 2 + iU dy h = 0 при y = 0, H Прежде, чем двигаться далее в построении анонсированного вы ше аналитического примера, целесообразно вспомнить о достаточ ных условиях линейной устойчивости, установленных Релеем и Фьор тофтом методом интегральных соотношений в процессе рассмотрения краевой задачи (1.24) [52, 54, 203].

Повторяя рассуждения Релея и Фьортофта, обыкновенное диффе ренциальное уравнение (1.24) второго порядка должно умножить на комплексно–сопряжённую функцию h, а потом отделить в нём друг от друга мнимую и вещественную части:

d2 U |h| = 1 + (2 + U )2 dy d dh h = Im (IV.1.25) dy dy (2 + U ) d2 U dh d dh + 2 |h|2 + h |h| = Re 1 + (2 + U )2 dy dy dy dy Интегрирование соотношений (1.25) по полному поперечному сечению пространства между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми параллельными плоскостями и принятие во внимание граничных усло вий (1.24) приводят к таким равенствам, как H |h|2 d2 U 1 dy = 0 (IV.1.26) 1 + (2 + U )2 dy H H d2 U 2 + U dh + 2 |h|2 dy |h| dy = 1 + (2 + U )2 dy 2 dy 0 из которых вытекает, что экспоненциально растущие решения (1.20) (1 0) смешанной задачи (1.11), (1.12) могут превратить их в тож дества тогда и только тогда, когда d2 U/dy 2 меняет знак в пределах области течения жидкости, и, при этом, хотя бы в одной точке по следней имеет место неравенство d2 U U 2 0 (IV.1.27) dy Учитывая данные обстоятельства, Релей сформулировал теорему о том, что достаточным условием устойчивости стационарных плоско– параллельных сдвиговых течений однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя неподвижными непро ницаемыми твёрдыми параллельными бесконечными пластинами в от сутствие внешних массовых сил относительно малых плоских возму щений в виде нормальных волн является требование, чтобы профиль скорости U (y) (1.5) не содержал точек перегиба [52], а Фьортофт о том, что, помимо неизменности знака величины d2 U/dy 2, подобным условием устойчивости служит ещё и наличие постоянной K, обеспе чивающей истинность соотношения [54, 203] d2 U (U K) 2 dy повсюду внутри области течения.

В действительности же для ограничения на знак производной d2 U/dy 2 и неравенства (1.27) напрашивается совершенно иная трак товка, чем та, которой их сопроводили Релей и Фьортофт, и вот поче му.

Если сопоставить друг с другом соотношения (1.25) и (1.26), то мож но убедиться, что первым, в отличие от вторых, для выполнения на экспоненциально нарастающих решениях (1.20) начально–краевой за дачи (1.11), (1.12) не нужно существования каких бы то ни было до полнительных требований к профилю скорости U (y). Это говорит о том, что в ходе интегрирования уравнений (1.25) по всему попереч ному сечению прослойки между двумя покоящимися непроницаемы ми твёрдыми параллельными бесконечными поверхностями теряется эквивалентность преобразований за счёт зануления части слагаемых данных уравнений согласно граничным условиям (1.24). Следователь но, требование изменения величиной d2 U/dy 2 своего знака в пределах области течения жидкости и неравенство (1.27) это условия, необ ходимые соотношениям (1.26) для обращения в тождества на экспонен циально растущих решениях (1.20) смешанной задачи (1.11), (1.12), но никоим образом не уравнениям (1.25). Напротив, в тех случаях, ког да достаточные условия Релея и Фьортофта линейной устойчивости точных стационарных решений (1.5) начально–краевой задачи (1.1) справедливы, смешанная задача (1.11), (1.12) всё равно может обла дать экспоненциально нарастающими решениями (1.20), потому что последние выпадают из сферы действия теорем Релея и Фьортофта об устойчивости [52, 54, 203].

Итак, теперь, после выяснения значения результатов Релея и Фьор тофта, можно вновь вернуться к конструированию иллюстративного аналитического примера установившихся плоско–параллельных сдви говых течений (1.5) однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости в пространстве между двумя неподвижными непроницаемы ми твёрдыми параллельными бесконечными стенками при отсутствии внешних массовых сил и наложенных на данные течения малых плос ких возмущений (1.11), (1.12), (1.19), которые развиваются во времени в согласии с построенной априорной экспоненциальной оценкой снизу (1.18) вне связи с тем, верны достаточные условия линейной устойчи вости Релея, Фьортофта либо Арнольда или нет.

Дальше изучается частный класс стационарных решений (1.5) на чально–краевой задачи (1.1) в форме u = U (y) a b exp(cy), v = 0, p const (IV.1.28) где a, b и c произвольные вещественные постоянные величины.

Посредством замен независимой переменной ib exp(cy) и искомой функции w() h k, k ± c а также с учётом соотношений (1.28) обыкновенному дифференциаль ному уравнению (1.24) может быть придан вид d2 w dw ( + + ia) 2 + (2k + 1)( + + ia) w =0 (IV.1.29) d d Если в соотношении (1.29) выполнить ещё одну замену независимой переменной z + ia то несложно увидеть, что оно предстанет в форме гипергеометричес кого уравнения Гаусса [200] d2 w dw z(z 1) 2 + (2k + 1)(z 1) w =0 (IV.1.30) dz dz с определяющими параметрами 0, 0 и 0, описываемыми соотноше ниями 0 + 0 + 1 = 0 (IV.1.31) 0 0 = 1, 0 = ± + c c 0 = ± ± + 1, 0 = 1 ± c c c Общее решение уравнения (1.30), (1.31) имеет вид w(z) = C1 w1 (z) + C2 w2 (z) (IV.1.32) w1 (z) F (0, 0, 0 ;

z) w2 (z) z 10 F (0 0 + 1, 0 0 + 1, 2 0 ;

z) при условии, что 0 нецелое число (здесь C1, C2 некие постоянные;

F (0, 0, 0 ;

z) гипергеометрическая функция Гаусса, которая для |z| 1 определяется как сумма гипергеометрического ряда Гаусса (0 )m (0 )m z m F (0, 0, 0 ;

z) 1 + (0 )m m!

m= (0 )m 0 (0 + 1)... (0 + m 1), 0 = 0, 1, 2,...

а при |z| 1 в качестве его аналитического продолжения [207]).

Если 0 = 0, 1, 2,..., то частное решение w1 (z) соотношения (1.30), (1.31) вырождается, так что его общее решение w(z) (1.32) при нимает форму exp 2k+1 dz z w(z) = w2 (z) C3 + C4 dz 2 (z) w где C3 и C4 произвольные постоянные величины. Если же 0 = 1, 2, 3,..., то, наоборот, вырождается частное решение w2 (z) уравнения (1.30), (1.31), поэтому его общее решение w(z) можно вычислить по формуле exp 2k+1 dz z w(z) = w1 (z) C5 + C6 dz 2 (z) w (здесь C5, C6 некие постоянные).

Примечательно, что исследование свойств общего решения w(z) (1.32) соотношения (1.30), (1.31) может быть ощутимо упрощено, по скольку в данном случае для ряда конкретных значений параметров 0, 0 и 0 функция F (0, 0, 0 ;

z) выражается через полиномы Яко би и элементарные функции [200, 207]. Так, при 1 k± = m ;

m = 2, 3, 4,...

c 2 m 1 0 = m, 0 =, 0 = 1 m + m m частные решения гипергеометрического уравнения Гаусса (1.30), (1.31) будут представлять собой следующие функции:

m ( m)l (0 )l z l w1 (z) = (IV.1.33) (0 )l l!

l= m! (0 1, 1) w1 (z) = P (1 2z) (0 )m m m!z m ( m m, 1) w1 (z) = Pm (0 )m z m! (1 z)m (0 1, m m ) 1+z w1 (z) = Pm (0 )m 1z ( 1, 1) где (0 )0 1, Pm 0 (1 2z) полином Якоби. Кроме того, когда 3 1 ± = ;

0 =, 0 = 2, 0 = c 4 2 тогда частным решением соотношения (1.30), (1.31) будет функция вида 3 Arth z (1 + 3z) (1 z) w1 (z) = 1 + 3z 16z z Для полного достижения целей настоящего параграфа достаточно рассмотреть первое из частных решений (1.33) при условии, что m = 3.

В этом случае его можно записать в форме 3z 6z 2 14z w1 (z) = 1 + + 5 5 и оно будет удовлетворять уравнению (1.30), (1.31) вида d2 w 5 dw z(z 1) (z 1) w =0 (IV.1.34) dz 2 3 dz Общим же решением соотношения (1.34) будет являться такая функ ция, как 25C8 3z 2/3 5 + 5z 28z 3z 6z 2 14z w(z) = 1+ + C7 + 1458 14z 3 6z 2 3z 5 5 1 + 2z 1/3 1 + z 1/3 + z 2/ 2 3 arctg + ln 3 z 1/3 (здесь C7 и C8 произвольные постоянные величины).

Граничные условия (1.22) будут выполнены, если ib ib exp (cH) w (z0 ) = w (zH ) 0;

z0, zH 1 + i (2 + a) 1 + i (2 + a) Отсюда вытекает, что тогда должно быть истинно дисперсионное со отношение в форме 2/ 3 2 2 3 14zH 6zH 3zH 5 3z0 28z0 5z0 5 + 14z0 6z0 3z 1/3 1/3 2/ 1 + 2z0 1 + z0 + z0 5) 2 3 arctg ln 2 = 14z 3 1/ z 1 2/ 2 2 3 6z0 3z0 5 3zH 28zH 5zH 5 + 14zH 6zH 3zH 1/ 1 + 2zH 2 3 arctg 1/3 2/ 1 + zH + zH ln (IV.1.35) 1/ zH К сожалению, данное дисперсионное соотношение не позволяет об наружить свои корни в числовом выражении аналитическими метода ми, поэтому приходится графически изучать вопрос о том, обладает ли оно корнями и, если да, есть ли среди них отвечающие экспонен циально растущим малым плоским возмущениям (1.11), (1.12), (1.19) в виде нормальных волн (1.20).

Ниже приводятся результаты графического исследования диспер сионного соотношения (1.35) на наличие корней, соответствующих экспоненциально нарастающим малым плоским возмущениям (1.11), (1.12), (1.19) в форме нормальных волн (1.20), для трёх характерных наборов определяющих параметров a, b, c, H и вида 1) a = 30, b = 1, c = 3, H = 1, = 1 0, 015, 2 120 (IV.1.36) 2) a = 2, b = 1, c = 3, H = 1, = 1 0, 015, 2 8 (IV.1.37) 3) a = 1, b = 1, c = 3, H = 1, = 1 0, 015, 2 4 (IV.1.38) Анализируя данные (1.36)–(1.38), следует, прежде всего, отметить тот факт, что профили скорости U (y) (1.28), (1.36)–(1.38) установив шихся плоско–параллельных сдвиговых течений (1.5) однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя по коящимися непроницаемыми твёрдыми параллельными плоскостями в отсутствие внешних массовых сил не имеют точек перегиба. Тем са мым теорема Релея [52] об устойчивости справедлива для этих течений во всех трёх случаях.

Что касается достаточных условий Арнольда [55] и Фьортофта [54, 203] линейной устойчивости, то, с одной стороны, неравенства (1.8) и d2 U U 2 dy нарушены для профиля скорости U (y) (1.28) с параметрами a, b и c (1.36) везде внутри области течения, для профиля скорости U (y) (1.28) с параметрами a, b и c (1.37) в части области течения жид кости, однако для профиля скорости U (y) (1.28) с параметрами a, b и c (1.38) данные неравенства, напротив, верны всюду в пределах области течения. С другой же стороны, для профилей скорости U (y) (1.28), (1.36)–(1.38) всегда могут быть подобраны постоянные K и K1 таким образом, чтобы удовлетворялись соотношения d2 U d2 U (U K) 2 0, (U K1 ) dy dy Поэтому, согласно утверждениям Арнольда [55] и Фьортофта [54, 203] об устойчивости, установившиеся плоско–параллельные сдвиговые те чения (1.5), (1.28), (1.36)–(1.38) однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости в прослойке между двумя неподвижными не проницаемыми твёрдыми параллельными бесконечными пластинами при отсутствии внешних массовых сил тоже должны быть устойчивы ми по отношению к малым плоским возмущениям (1.11), (1.12), (1.19) в форме нормальных волн (1.20).

Тем не менее, данные (1.36)–(1.38) убедительно свидетельствуют в пользу того, что, несмотря на истинность достаточных условий ли нейной устойчивости Релея, Фьортофта и Арнольда, установившиеся плоско–параллельные сдвиговые течения (1.5), (1.28), (1.36)–(1.38) од нородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в простран стве между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми парал лельными неограниченными поверхностями в отсутствие внешних мас совых сил всё–таки неустойчивы относительно малых плоских возму щений (1.11), (1.12), (1.19)–(1.24), (1.34)–(1.38).

В самом деле, графически найдено, что каждому из стационарных профилей скорости U (y) (1.28), (1.36)–(1.38) отвечает, по крайней ме ре, одно экспоненциально растущее малое плоское возмущение (1.11), (1.12), (1.19) в виде нормальной волны (1.20)–(1.24), (1.34)–(1.38).

Естественно, для этих возмущений выполняются равенство (1.13) (причём в нём E = 0), уравнение (1.15), неравенство (1.16) и соотно шения (1.17).

Отсюда как раз и вытекает, что малые плоские возмущения (1.11), (1.12), (1.19) в форме нормальных волн (1.20)–(1.24), (1.34)–(1.38) дей ствительно не попадают в сферу применимости теорем Релея, Фьор тофта и Арнольда об устойчивости. Следовательно, если условия Ре лея, Фьортофта и Арнольда линейной устойчивости установившихся плоско–параллельных сдвиговых течений (1.5), (1.28), (1.36)–(1.38) и справедливы для некоторых малых плоских возмущений (1.11), (1.12), (1.20)–(1.24), то уж никак не для возмущений (1.11), (1.12), (1.20)– (1.24), (1.34)–(1.38), что наглядно и показывает необходимый и доста точный характер данных условий устойчивости.

Таким образом, результаты этого параграфа последней главы курса лекций не противоречат известным утверждениям Релея, Фьортофта и Арнольда [52, 54, 55, 203] об устойчивости, а уточняют и дополняют область их использования.

В итоге, конструирование аналитического примера точных стацио нарных решений (1.5) смешанной задачи (1.1) и наложенных на них малых плоских возмущений (1.11), (1.12), (1.19), эволюционирующих со временем в соответствии с построенной априорной экспоненциаль ной оценкой снизу (1.18) вне зависимости от того, верны достаточные условия линейной устойчивости Релея, Фьортофта либо Арнольда или нет, завершено.

§2. К УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ТРЁХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ ПО ПЛОТНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В данном параграфе рассматривается линейная задача устойчи вости стационарных пространственных течений однородной по плот ности невязкой несжимаемой жидкости, которая целиком заполняет некий объём с неподвижными твёрдыми непроницаемыми стенками, при отсутствии внешних массовых сил [146, 147]. Прямым методом Ля пунова демонстрируется, что эти течения абсолютно неустойчивы по отношению к малым трёхмерным возмущениям, тогда как состояния равновесия (покоя) данной жидкости наоборот, абсолютно устой чивы. Кроме того, выводятся достаточные условия практической ли нейной неустойчивости и конструируются априорные нижние оценки, говорящие о том, что изучаемые возмущения, возможно, нарастают по времени не медленнее, чем экспоненциально. Наконец, строится ил люстративный аналитический пример установившихся пространствен ных течений и наложенных на них малых трёхмерных возмущений, которые растут во времени в согласии с одной из сконструированных оценок снизу.

ПОСТАНОВКА ТОЧНОЙ ЗАДАЧИ. Исследуются пространствен ные течения однородной по плотности идеальной несжимаемой жид кости, целиком наполняющей сосуд с неподвижной твёрдой непрони цаемой границей, в отсутствие внешних массовых сил. Эти течения описываются нестационарными решениями начально–краевой задачи вида [56, 67] u + (u ) u = p (IV.2.1) t divu = 0 в ;

un = 0 на u (x, 0) = u0 (x) где u (x, t) = (u1, u2, u3 ) поле скорости, p (x, t) поле давления, x = (x1, x2, x3 ) декартовы координаты, n = (n1, n2, n3 ) нор маль к поверхности, t время, u0 = (u01, u02, u03 ) начальное поле скорости жидкости. Предполагается, что функция u0 обращает в тождества второе и третье соотношения смешанной задачи (2.1).

Начально–краевая задача (2.1) обладает интегралом кинетической энергии в форме E uj uj d = const (IV.2.2) Здесь d dx1 dx2 dx3 ;

по повторяющимся векторным и тензорным ин дексам из строчных латинских букв повсюду в настоящем параграфе осуществляется суммирование от единицы до трёх.

Если подействовать дифференциальным оператором rot на первое уравнение смешанной задачи (2.1), то нетрудно получить соотношение, которое характеризует развитие поля завихренности (x, t) = (1, 2, 3 ) rotu:

= rot(u ) (IV.2.3) t Далее считается, что начально–краевая задача (2.1) и уравнение (2.3) имеют точные стационарные решения u = U (x) = (U1, U2, U3 ), p = P (x) (IV.2.4) = (x) = (1, 2, 3 ) удовлетворяющие соотношениям (U ) U = P, divU = 0, rot (U ) = 0 (IV.2.5) внутри объёма и условию непротекания Un = 0 (IV.2.6) на его границе. Данные решения как раз и отвечают тем установив шимся пространственным течениям однородной по плотности невяз кой несжимаемой жидкости, устойчивость которых относительно ма лых трёхмерных возмущений и будет ниже рассматриваться.

Итак, цель дальнейшего изучения заключается в том, чтобы по казать абсолютную неустойчивость точных стационарных решений (2.4)–(2.6) смешанной задачи (2.1) по отношению к малым простран ственным возмущениям.

ПОСТАНОВКА ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ. Для достиже ния этой цели производится линеаризация начально–краевой задачи (2.1) и уравнения (2.3) около точных стационарных решений (2.4)– (2.6), приводящая к смешанной задаче вида u + (u ) U + (U ) u = p (IV.2.7) t divu = 0, = rot (u + U ) в t u n = 0 на ;

u (x, 0) = u0 (x) где u (x, t) = (u1, u2, u3 ), p (x, t) и (x, t) = (1, 2, 3 ) малые трёхмерные возмущения полей скорости, давления и завихренности соответственно;

u0 = (u01, u02, u03 ) начальное малое возмущение поля скорости жидкости, которое превращает в тождества второе и четвёртое соотношения начально–краевой задачи (2.7).

К сожалению, аналог интеграла кинетической энергии для смешан ной задачи (2.7) всё ещё не обнаружен.

Тем не менее, данный аналог может быть построен, если решения начально–краевой задачи (2.7) дополнительно подчинить специально му требованию условию равнозавихренности [56, 67]. Это требова ние служит, по сути, интегральной формой условия вмороженности вихревых линий в поле виртуальных перемещений жидких частиц и выражается в виде равенства циркуляций скорости по контурам, по лучающимся друг из друга при сохраняющем объём гладком отобра жении сосуда на себя.

Доступнее всего равнозавихренные малые возмущения (2.7) мож но описать с помощью поля лагранжевых смещений (x, t) = (1, 2, 3 ) (I.13) [24]:

= u + rot (U ) (IV.2.8) t Принимая во внимание уравнение (2.8), смешанную задачу (2.7) не сложно переформулировать в виде 2 j 2 j j + 2Uk + Uk Um = t2 xk t xk xm 2P p j = k, =0 (IV.2.9) xj xk xj xj j j j = k k в ;

j nj = 0 на xk xk (x, 0) = 0 (x), (x, 0) = (x) t t Здесь 0 = (01, 02, 03 ) начальное поле лагранжевых смещений, а (/t)0 начальная частная производная первого порядка поля лагранжевых смещений по времени. Полагается, что для функций и (/t)0 выполняются второе, третье и четвёртое соотношения из системы (2.9).

Аналог интеграла кинетической энергии для начально–краевой за дачи (2.8), (2.9) представляет собой функционал E1 uj uj + j ejkm Uk m d = const (IV.2.10) где ejkm ковариантный псевдотензор третьего порядка веса [208]. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что интеграл E1 совпадает по форме со второй вариацией 2 E функционала E (2.2), которая вычисляется в окрестности точных стационарных решений (2.4)–(2.6) при наличии условия равнозавихренности и записывает ся в подходящих обозначениях [56, 67].

Учитывая вид интеграла E1 (2.10), несложно сделать вывод, что среди точных стационарных решений (2.4)–(2.6) смешанной задачи (2.1) и уравнения (2.3) устойчивыми (и устойчивыми абсолютно!) от носительно малых пространственных возмущений (2.8), (2.9) будут лишь решения, отвечающие состояниям равновесия (покоя) исследуе мой жидкости, а именно u = U (x) 0, p = P (x) const, = (x) Действительно, только в данном случае функционал E1 становится неотрицательным E1 = uj uj d = const что и подтверждает вышесказанное.

Во всех же остальных случаях интеграл E1 (2.10) для произвольных равнозавихренных малых трёхмерных возмущений (2.8), (2.9) не является ни знакоопределённым, ни знакопостоянным, а потому точ ные стационарные решения (2.4)–(2.6) начально–краевой задачи (2.1), которые соответствуют установившимся пространственным течениям рассматриваемой жидкости, и могут оказаться абсолютно неустойчи выми по отношению к этим возмущениям.

Например, для состояний квазитвёрдого вращения однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости u = U (x) 1 x, p = P (x), = (x) = 21 const (IV.2.11) (здесь P (x) известная скалярная функция векторного аргумента) функционалу E1 присуще важное свойство uj uj d = const 0, j ejkm Uk m d = const (IV.2.12) На первый взгляд, неотрицательность одного из интегралов (2.12) должна вроде бы обеспечивать абсолютную устойчивость состояний квазитвёрдого вращения (2.11) относительно малых трёхмерных воз мущений (2.8), (2.9). Однако, данное наблюдение ошибочно, посколь ку у другого интеграла системы соотношений (2.12) нет конкретного знака, что, в свою очередь, лишает и функционал E1 как знакоопре делённости, так и знакопостоянства.

Ниже интеграл E1 (2.10) будет применяться в форме [133] E1 T + T1 + = const (IV.2.13) где 1 T + (U ) d 2 t 2P j Uj T1 k d, j k d t xk 2 xj xk ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА. В интересах последующего изуче ния удобно ввести в исследование вспомогательный интеграл вида M j j d 0 (IV.2.14) Настоящий функционал служит объёмным интегралом по сосуду от квадрата расстояния j между жидкими частицами возмущённого (2.8), (2.9) и установившегося (2.4)–(2.6) течений однородной по плот ности невязкой несжимаемой жидкости в фазовом пространстве реше ний линеаризованной смешанной задачи (2.7).

Если дважды продифференцировать функционал M (2.14) по неза висимой переменной t и выполнить ряд преобразований получившего ся в результате интеграла с использованием связей (2.8), (2.9) и (2.13), то нетрудно прийти к вириальному равенству [24] в форме [133] M = 4(T + ) (IV.2.15) (везде далее во втором параграфе четвёртой главы курса лекций штри хом обозначается полная производная по времени).

Здесь уместно чуть более подробно остановиться на отдельных ито гах неоднократно уже упоминавшейся выше работы [133].

Авторами этой работы для подкласса точных стационарных реше ний (2.4)–(2.6) начально–краевой задачи (2.1), характеризующегося со отношением 2P j k µm (IV.2.16) xj xk где µ положительная постоянная величина, посредством равенства (2.15) сконструирована априорная оценка снизу sh t 2µ t 2µ 2µ M (t) M (0)e + M (0) + M (0) 2µ Данная оценка свидетельствует о возможном (как минимум, экспонен циальном) нарастании со временем малых трёхмерных возмущений (2.8), (2.9) точных стационарных решений (2.4)–(2.6), (2.16) смешан ной задачи (2.1), которые удовлетворяют начальным условиям вида M (0) 0, M (0) M (0) 2µ а значит об абсолютной неустойчивости установившихся простран ственных течений (2.4)–(2.6), (2.16) однородной по плотности идеаль ной несжимаемой жидкости по отношению к таким возмущениям.

В то же время для частного класса точных стационарных решений (2.4)–(2.6) начально–краевой задачи (2.1), описываемого неравенством 2P j k 0 (IV.2.17) xj xk авторы статьи [133] сумели построить только априорную нижнюю оценку, которая говорит всего лишь о том, что малые трёхмерные воз мущения (2.8), (2.9) точных стационарных решений (2.4)–(2.6), (2.17) смешанной задачи (2.1) могут расти во времени не медленнее, чем ли нейно. По справедливому признанию самих авторов работы [133], это нарастание малых пространственных возмущений (2.8), (2.9) никоим образом нельзя воспринимать как реальную неустойчивость устано вившихся трёхмерных течений (2.4)–(2.6), (2.17) однородной по плот ности невязкой несжимаемой жидкости.

Что же касается оставшихся точных стационарных решений (2.4)– (2.6) начально–краевой задачи (2.1), то они в статье [133] не рассмат ривались вовсе.

Итак, учитывая результаты работы [133], цель дальнейшего изуче ния будет заключаться в том, чтобы сконструировать априорные экс поненциальные оценки снизу, свидетельствующие о возможном росте со временем малых пространственных возмущений (2.8), (2.9), для тех из точных стационарных решений (2.4)–(2.6) смешанной задачи (2.1), которые не входят в подкласс (2.16).

Преследуя данную цель, вириальное равенство (2.15) умножается на произвольную постоянную, после чего, принимая во внимание выражение (2.13) для функционала E1, удаётся получить соотношение E = 2 (E 2T T1 2) (IV.2.18) Здесь E + T, 2 2 ( + T1 ) + 2 M 2T 2T M + M = + (U ) d t Пусть 0, а точные стационарные решения (2.4)–(2.6) начально– краевой задачи (2.1) отвечают условию (2.17). Тогда, в чём несложно удостовериться, из уравнения (2.18) можно извлечь ключевое диффе ренциальное неравенство [141, 146] в форме M 2M + 22 M 0 (IV.2.19) Именно, E = 2 (E 2T T1 2) = 2 ( T T1 2) + T1 + 2 M + T M = 3 M 2 (T + ) 3 M 2 M M 3 M M 2M + 22 M что и надо было доказать.

Примечательно, что это неравенство может быть снабжено усло виями [145, 194], при наличии которых из него с необходимостью будет вытекать априорная, экспоненциальная по времени, нижняя оценка вида M (t) Cet (IV.2.20) где C известная положительная постоянная величина.

Действительно, соотношение (2.19) можно формально проинтегри ровать на полуинтервалах tn t /2 + tn (tn 2n/;

n = 0, 1, 2,...), для чего нужно осуществить несколько последовательных замен искомого функционала M. Конкретно, а) M1 (t) e t M (t) : M1 + 2 M1 M1 (t) б) M2 (t) : [M2 cos t] M2 sin t cos t в) M3 (t) M2 cos2 t : M3 Интегрирование последнего неравенства и проведение обратных замен позволяют прийти к соотношению M (t) [C1n cos t + C2n sin t] et (IV.2.21) (здесь C1n и C2n произвольные постоянные).

Учитывая нестрогость неравенства (2.21), постоянные величины C1n и C2n нетрудно связать со значениями функционала M (2.14) и его первой производной M в моменты времени tn (n = 0, 1, 2,...). В итоге, соотношение (2.21) окончательно может быть выписано в виде M (t) f (t) (IV.2.22) M (tn ) f (t) M (tn ) cos t + M (tn ) sin t e(ttn ) Для того чтобы обосновать процедуру интегрирования неравенства (2.19) на промежутках tn t /2 + tn (n = 0, 1, 2,...), приведшую в результате к оценке снизу (2.22), требуется вычислить производную первого порядка функции f по её аргументу t:

f = [M (tn ) cos t + [M (tn ) 2M (tn )] sin t] e(ttn ) (IV.2.23) Если принять во внимание соотношения (2.22) и (2.23), то можно сделать вывод, что функция f (t) будет положительной и строго воз растающей на полуинтервалах tn t /2 + tn (n = 0, 1, 2,...) [195] в случае, когда истинны неравенства M (tn ) 0, M (tn ) 2M (tn ) (IV.2.24) Данные неравенства как раз и являются необходимыми гарантиями правомерности представленной выше процедуры интегрирования со отношения (2.19).

Поскольку промежутки tn t /2 + tn (n = 0, 1, 2,...) взаимно не пересекаются, значения функционала M и его первой производной M на левых концах этих промежутков могут задаваться какими угод но. В частности, их можно взять в форме M (tn ) M (0)etn, M (tn ) M (0)etn Тогда неравенства (2.24) будут выполнены, если M (0) 0, M (0) 2M (0) Функция же f (t), в свою очередь, предстанет в виде M (0) M (0) sin t et f (t) = M (0) cos t + Подобные рассуждения могут быть проведены и в тех случаях, ког да соотношение (2.19) надо будет интегрировать на остальных вре менных полуинтервалах. Учитывая данный факт, ниже итоги интег рирования неравенства (2.19) на промежутках tkn t /2 + tkn (tkn k/2 + 2n/;

k = 1, 2, 3;

n = 0, 1, 2,...) приводятся в форме кратких иллюстрирующих выкладок, без подробных комментариев:

1) M1 (t) e t M (t) : M1 + 2 M1 M1 (t) 2) M2 (t) : [M2 cos t] M2 sin t cos t 3) M3 (t) M2 cos2 t : M3 0 (k = 1, 2);

M3 0 (k = 3) 4) M (t) [C3n cos t + C4n sin t] et ;

C3n, C4n const 5) M (t) fk (t) M (t1n ) M (t1n ) cos t e(tt1n ) а) f1 (t) M (t1n ) sin t f1 = [M (t1n ) sin t [M (t1n ) 2M (t1n )] cos t] e(tt1n ) M (t2n ) M (t2n ) sin t e(tt2n ) б) f2 (t) M (t2n ) cos t + f2 = [M (t2n ) cos t + [M (t2n ) 2M (t2n )] sin t] e(tt2n ) M (t3n ) M (t3n ) cos t e(tt3n ) в) f3 (t) M (t3n ) sin t + f3 = [ M (t3n ) sin t + [M (t3n ) 2M (t3n )] cos t] e(tt3n ) 6) M (tkn ) 0, M (tkn ) 2M (tkn ) 7) M (tkn ) M (0)etkn, M (tkn ) M (0)etkn M (0) 0, M (0) 2M (0) M (0) M (0) cos t et f1 (t) = M (0) sin t M (0) M (0) sin t et f2 (t) = M (0) cos t + M (0) M (0) cos t et f3 (t) = M (0) sin t + Если проанализировать финальные выражения для функций f (t), fk (t) (k = 1, 2, 3), то несложно увидеть, что графиками этих функ ций на соответствующих им полуинтервалах времени будут служить кривые, которые лежат поперёк полуполосы, образованной двумя на растающими экспонентами, причём левые концы настоящих кривых опираются сверху на нижнюю границу данной полуполосы g(t) M (0)et а правые примыкают к её верхней границе M (0) M (0) et g1 (t) Исключение составляет только та ситуация, при которой M (0) = 2M (0) Тогда исследуемая экспоненциальная полуполоса вырождается в ли нию, отвечающую своей нижней границе g(t), так что все концы кри вых, которые являются графиками функций f (t), fk (t) (k = 1, 2, 3) на соответствующих им временных промежутках, будут находиться именно на этой линии, а не где–то ещё.

Осуществлённый анализ свойств графиков функций f (t), fk (t) (k = 1, 2, 3) даёт возможность прийти к совершенно определённому заключению о том, что функционал M (2.14) не может расти со време нем медленнее, чем экспоненциально. Тем самым продемонстрировано, что при выполнении условий в форме M (n ) 0, M (n ) 2M (n ) (IV.2.25) M (n ) M (0)en, M (n ) M (0)en M (0) 0, M (0) 2M (0) (здесь n n/2;

n = 0, 1, 2,...) из соотношения (2.19) действительно вытекает искомая априорная экспоненциальная оценка снизу (2.20).

Пусть, по–прежнему, 0, но точные стационарные решения (2.4)– (2.6) смешанной задачи (2.1) принадлежат теперь частному классу ви да 2P j k 0 (IV.2.26) xj xk В данном случае, принимая во внимание ограниченность объёма с рассматриваемой жидкостью и непрерывность как самой функции P (x), так и её производных вплоть до требуемого порядка включи тельно, можно оценить сверху левую часть последнего неравенства следующим образом:

2P j k m xj xk где известная положительная постоянная.

Тогда, в чём нетрудно убедиться, из вириального равенства (2.15) и уравнения (2.18) будет вытекать соотношение [146], похожее на клю чевое дифференциальное неравенство (2.19), то есть M 2M + 2 2 + M 0 (IV.2.27) Ясно, что присутствие в левой части соотношения (2.27) постоянной величины внесёт некоторые коррективы в процедуру его интегриро вания по сравнению с аналогичной процедурой интегрирования нера венства (2.19). Однако, что важно, эти корректировки будут очень и очень незначительными (см. второй параграф второй же главы на стоящего курса лекций).

Учитывая данное соображение, разумно полностью опустить опи сание процесса интегрирования соотношения (2.27), сформулировав лишь его окончательный результат: если справедливы условия M (1n ) 0 (IV.2.28) M (1n ) ;

M (1n ) M (0)e1n M (1n ) 2 + M (1n ) M (0)e1n ;

M (0) 0, M (0) 2 + M (0) (здесь 1n n/2 2 + 2;

n = 0, 1, 2,...), то из неравенства (2.27) также с необходимостью будет следовать априорная экспоненциальная нижняя оценка вида M (t) C1 et (IV.2.29) где C1 известная положительная постоянная.


Наконец, пусть 0, а точные стационарные решения (2.4)–(2.6) начально–краевой задачи (2.1) входят в подкласс, которому присуще то качество, что величина j k 2 P/xj xk не обладает каким–либо конкретным знаком. В этом случае, вновь принимая во внимание огра ниченность сосуда и непрерывность функции P (x) вместе со своими производными вплоть до нужного порядка включительно, несложно оценить данную величину и сверху, и снизу. Именно, 2P 2 m j k m (IV.2.30) xj xk (здесь известная положительная постоянная).

Тогда, как легко удостовериться, правая часть этого двойного нера венства и соотношения (2.15), (2.18) позволят получить ещё один образ ключевого дифференциального неравенства (2.19) [146], то есть M 2M + 2 2 + M 0 (IV.2.31) Интегрируя последнее соотношение в духе неравенств (2.19), (2.27), нетрудно убедиться, что и из него при наличии условий M (2n ) 0 (IV.2.32) M (2n ) ;

M (2n ) M (0)e2n M (2n ) 2 + M (2n ) M (0)e2n ;

M (0) 0, M (0) 2 + M (0) где 2n n/2 2 + 2 (n = 0, 1, 2,...), с необходимостью вытекает априорная экспоненциальная нижняя оценка в форме M (t) C2 et (IV.2.33) (здесь C2 известная положительная постоянная величина).

В данном месте стоит отдельно остановиться на связи выполнен ных процедур поинтервального интегрирования дифференциальных неравенств (2.19), (2.27) и (2.31) со свойствами решений линеаризо ванной смешанной задачи (2.8), (2.9). Эта связь заключается в том, что для каждого из соотношений (2.19), (2.27) и (2.31) удалось путём выбора начальных условий специального вида (см. третье и четвёртое выражения в системах соотношений (2.25), (2.28) и (2.32)) на левых концах изучаемых промежутков времени указать единые начальные данные (см. последнюю пару неравенств из систем соотношений (2.25), (2.28) и (2.32)) для малых трёхмерных возмущений (2.8), (2.9) част ных классов (2.17), (2.26) и (2.30) точных стационарных решений (2.4)– (2.6) начально–краевой задачи (2.1) соответственно, обеспечивающие истинность условий положительности и строгого возрастания функ ций f (t), fk (t) (k = 1, 2, 3) (см. первые два неравенства в системах соотношений (2.25), (2.28) и (2.32)) на всех исследуемых временных полуинтервалах. Тем самым, согласно определению неустойчивого по Ляпунову решения системы дифференциальных уравнений [196], про демонстрирована принципиальная возможность возникновения и по следующего развития во времени неограниченно нарастающих малых пространственных возмущений (2.8), (2.9) точных стационарных ре шений (2.4)–(2.6) смешанной задачи (2.1).

Итак, соотношения (2.20), (2.29) и (2.33) однозначно говорят о том, что малые трёхмерные возмущения (2.8), (2.9) с начальными данными (2.25), или (2.28), или (2.32) установившихся пространственных тече ний (2.4)–(2.6), (2.17), (2.26), (2.30) однородной по плотности идеаль ной несжимаемой жидкости могут расти со временем, по меньшей мере, экспоненциально. Поскольку эти соотношения построены без предъявления каких бы то ни было требований ограничительного ха рактера к установившимся трёхмерным течениям (2.4)–(2.6), (2.17), (2.26), (2.30), то данное обстоятельство как раз и свидетельствует об абсолютной неустойчивости последних относительно малых простран ственных возмущений (2.8), (2.9), (2.25), (2.28), (2.32). Кстати, для экс поненциально нарастающих во времени малых трёхмерных возмуще ний (2.8), (2.9), (2.25), (2.28), (2.32) счётные наборы условий (2.25), (2.28), (2.32) удовлетворяются тождественно.

Целесообразно обратить особое внимание на тот факт, что именно интеграл M (2.14) и представляет собой искомый функционал Ляпу нова, который растёт со временем в силу уравнений начально–краевой задачи (2.8), (2.9). Отличительной чертой настоящего нарастания слу жит большой произвол, оставшийся за положительной постоянной в показателях экспонент из правых частей неравенств (2.20), (2.29) и (2.33). Он, к примеру, даёт возможность интерпретировать любое решение смешанной задачи (2.8), (2.9), (2.25), (2.28), (2.32), которое растёт во времени согласно найденным априорным экспоненциальным оценкам снизу (2.20), (2.29) либо (2.33), в качестве аналога примера некорректности по Адамару [197].

Кроме того, два первых неравенства в счётных наборах условий (2.25), (2.28) и (2.32) это и есть желаемые достаточные условия практической линейной неустойчивости [14, 15].

Наконец, детально изложенная процедура интегрирования соотно шения (2.19) наглядно демонстрирует, что сведения о начальных дан ных (2.25) (а значит, и о (2.28), (2.32) тоже) нарастающих малых про странственных возмущений (2.8), (2.9) могут быть извлечены и при рассмотрении системы кусочно–непрерывных функций f (t), fk (t) (k = 1, 2, 3).

Так как в первом параграфе настоящей главы курса лекций показа но, что теория, разработанная выше для линейной задачи устойчивос ти стационарных трёхмерных течений (2.4)–(2.6) однородной по плот ности невязкой несжимаемой жидкости в объёме с неподвижными твёрдыми непроницаемыми стенками в отсутствие внешних массо вых сил по отношению к малым пространственным возмущениям (2.8), (2.9), допускает распространение и на случай линейных задач устой чивости с незамкнутыми областями течения (в частности, на линей ную задачу устойчивости установившихся плоско–параллельных сдви говых течений однородной по плотности идеальной несжимаемой жид кости в зазоре между двумя покоящимися твёрдыми непроницаемыми параллельными бесконечными поверхностями при отсутствии внеш них массовых сил относительно малых плоских возмущений [145]), далее конструируется иллюстративный аналитический пример ста ционарных плоско–параллельных сдвиговых течений однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в прослойке между дву мя неподвижными твёрдыми непроницаемыми параллельными плос костями в отсутствие внешних массовых сил и наложенных на них ма лых трёхмерных возмущений, которые эволюционируют со временем в соответствии с построенной априорной экспоненциальной нижней оценкой (2.20).

При этом изучаемые малые пространственные возмущения пред полагаются периодичными вдоль координатных осей, параллельных границам области исследуемых установившихся плоско–параллельных сдвиговых течений, а интегралы E1 (2.10), T, T1 и (2.13), M (2.14), E, и T (2.18) вычисляются по фиктивному объёму, который гео метрически выделяется в зазоре между двумя покоящимися непро ницаемыми твёрдыми параллельными бесконечными поверхностями и является, из соображений простоты и удобства, прямоугольным па раллелепипедом, чьи образующие рёбра представляют собой или пе риоды рассматриваемых малых трёхмерных возмущений, или расстоя ние между ограничивающими зазор поверхностями. Кстати, прони цаемость данного прямоугольного параллелепипеда для интересую щих стационарных плоско–параллельных сдвиговых течений не нано сит какого–либо вреда хорошим свойствам функционалов E1 (2.10), T, T1 и (2.13), M (2.14), E, и T (2.18).

ПРИМЕР. Изучаются неустановившиеся пространственные течения однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости, целиком заполняющей прослойку между двумя неподвижными непроницаемы ми твёрдыми параллельными плоскостями, при отсутствии внешних массовых сил.

Эти течения описываются нестационарными решениями начально– краевой задачи в форме [4, 185] uj uj p + uk = (IV.2.34) t xk xj uk = 0 в ;

u2 = 0 на xk uj (x1, x2, x3, 0) = u0j (x1, x2, x3 ) где {(x1, x2, x3 ) : x1 +, 0 x2 H, x3 +} зазор между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми парал лельными бесконечными поверхностями, {(x1, x2, x3 ) :

x1 +;

x2 = 0, H;

x3 +} собственно неподвижные непроницаемые твёрдые параллельные неограниченные поверхности, H ширина зазора между данными поверхностями. Считается, что функции u0j превращают второе и третье соотношения этой задачи в тождества.

Смешанная задача (2.34) имеет точные стационарные решения вида u1 = U1 (x2 ), u2 = u3 0, p const (IV.2.35) (здесь U1 некая функция независимой переменной x2 ). Для данных решений, очевидно, выполняется неравенство (2.17), и они отвечают установившимся плоско–параллельным сдвиговым течениям однород ной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в прослойке между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми параллельными бес конечными поверхностями в отсутствие внешних массовых сил.

Проводится линеаризация начально–краевой задачи (2.34) в окрест ности точных стационарных решений (2.35), которая, в итоге, позво ляет прийти к смешанной задаче в форме u1 u U1 p + U1 1 + u2 = (IV.2.36) t x1 x2 x u2 u p u3 u p uk + U1 2 = + U1 3 =,, =0в t x1 x2 t x1 x3 xk u2 = 0 на ;

uj (x1, x2, x3, 0) = u0j (x1, x2, x3 ) Полагается, что функции u0j обращают в тождества четвёртое и пятое соотношения этой задачи.

Дальше исследование концентрируется на равнозавихренных ма лых трёхмерных возмущениях 1 1 dU u1 = + U1 2 (IV.2.37) t x1 dx 2 2 3 u2 = + U1, u3 = + U t x1 t x по причине чего начально–краевая задача (2.36) принимает вид 2 j 2 j + 2U1 + t2 tx 2 j p k + U1 =, =0в (IV.2.38) x2 xj xk 2 = 0 на ;

j (x1, x2, x3, 0) = 0j (x1, x2, x3 ) j j (x1, x2, x3, 0) = (x1, x2, x3 ) t t где (j /t)0 начальные компоненты частной производной перво го порядка поля лагранжевых смещений (2.8), (2.37) по времени.

Предполагается, что функции 0j удовлетворяют второму и третьему равенствам системы соотношений (2.38).

Рассматриваются решения смешанной задачи (2.37), (2.38) в форме j (x1, x2, x3, t) hj (x2 ) exp [t + i (x1 + x3 )] (IV.2.39) p (x1, x2, x3, t) h4 (x2 ) exp [t + i (x1 + x3 )] ;

j = 1, 2, (здесь h1,..., h4 некие функции своего аргумента;

1 + i произвольная комплексная, а,, 1 и 2 некоторые вещественные постоянные величины).


Важно отметить, что все результаты, полученные выше для реше ний начально–краевой задачи (2.8), (2.9), (2.25), с лёгкостью перено сятся и на решения (2.39) смешанной задачи (2.37), (2.38), поскольку последним присуще свойство периодичности вдоль осей координат x и x3 [145].

Подстановка выражений (2.39) в первые два уравнения и краевое условие системы (2.38) даёт возможность сделать вывод, что если для функций h1,..., h4 будет выполняться система алгебраических и обык новенных дифференциальных уравнений ( + iU1 )2 h1 = ih4 (IV.2.40) dh ( + iU1 )2 h2 =, ( + iU1 )2 h3 = ih dx dh ih1 + + ih3 = dx с граничными условиями h2 = 0 при x2 = 0, H (IV.2.41) то функции 1, 2, 3 и p вида (2.39) действительно будут служить решениями начально–краевой задачи (2.37), (2.38).

При помощи исключения из системы уравнений (2.40) функций h1, h3 и h4 может быть установлено одно определяющее соотношение для функции h2 уравнение Релея [4, 19, 52, 185]:

d2 h2 2i dU1 dh 2 + 2 h2 = + dx2 + iU1 dx2 dx Замена искомой функции h (x2 ) ( + iU1 ) h2 позволяет записать краевую задачу (2.40), (2.41) в нижеследующей окончательной форме:

d2 h d2 U i + dx2 + iU1 dx 2 + 2 + 2 h = 0 (IV.2.42) h = 0 при x2 = 0, H Стоит подчеркнуть, что при попытке обнаружить решения в виде нормальных волн у смешанной задачи (2.36) для них возникнет точ но такая же задача на отыскание собственных значений и собствен ных функций, как и краевая задача (2.42). То есть нахождение ре шений в форме нормальных волн и для смешанной задачи (2.36), и для начально–краевой задачи (2.37), (2.38) сводится, в принципе, к разрешению одной и той же задачи задачи (2.42) на отыскание соб ственных значений и собственных функций.

Прежде, чем двигаться далее в конструировании анонсированно го выше аналитического примера, уместно вспомнить о достаточных условиях линейной устойчивости, которые ранее были обнаружены Ре леем и Фьортофтом методом интегральных соотношений в ходе изу чения краевой задачи (IV.1.25), оказывающейся идентичной задаче (2.42) на отыскание собственных значений и собственных функций, если = 0 [52, 54], а также о теореме Сквайра, которая гласит, что в пространственном плоско–параллельном течении несжимаемой жид кости при наличии неустойчивости для каждой растущей трёхмерной нормальной волны существует ещё более быстро нарастающая двух мерная [185, 209].

Повторяя рассуждения Релея и Фьортофта, обыкновенное диффе ренциальное уравнение (2.42) второго порядка сначала нужно умно жить на комплексно–сопряжённую функцию h, после чего отделить в нём друг от друга мнимую и вещественную части:

d2 U1 |h| = 1 + (2 + U1 )2 dx d dh h = Im (IV.2.43) dx2 dx (2 + U1 ) d2 U1 dh d dh + 2 + 2 |h|2 + 2 h |h| = Re 1 + (2 + U1 )2 dx dx2 dx2 dx Интегрирование соотношений (2.43) по поперечному сечению зазора между двумя неподвижными непроницаемыми твёрдыми параллель ными бесконечными поверхностями и учёт краевых условий (2.42) при водят к равенствам вида H |h| 1 1 + (2 + U1 ) d2 U dx2 = 0 (IV.2.44) dx2 H H d2 U1 2 + U1 dh + 2 + 2 |h|2 dx |h| dx2 = 1 + (2 + U1 )2 dx2 dx 0 Согласно результатам Релея и Фьортофта, из настоящих равенств вытекает, что экспоненциально растущие решения (2.39) (1 0) сме шанной задачи (2.37), (2.38) смогут превратить их в тождества тогда и только тогда, когда производная d2 U1 /dx2 меняет знак в пределах про слойки между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми па раллельными неограниченными поверхностями, и, одновременно, хотя бы в одной точке последней удовлетворяется неравенство d2 U U1 2 0 (IV.2.45) dx Принимая во внимание данные обстоятельства и теорему Сквайра, можно сформулировать обобщённую теорему Релея о том, что доста точным условием устойчивости стационарных плоско–параллельных сдвиговых течений однородной по плотности идеальной несжимае мой жидкости в зазоре между двумя неподвижными непроницаемы ми твёрдыми параллельными бесконечными поверхностями (внешние массовые силы не действуют) по отношению к малым пространствен ным возмущениям в виде нормальных волн является отсутствие точек перегиба в профиле скорости U1 (x2 ) (2.35) [52], а также обобщённую же теорему Фьортофта о том, что, наряду с неизменностью знака ве личины d2 U1 /dx2, подобное условие устойчивости представляет собой требование наличия постоянной K, гарантирующей справедливость соотношения d2 U (U1 K) 0 (IV.2.46) dx2 всюду внутри прослойки между двумя покоящимися непроницаемы ми твёрдыми параллельными неограниченными поверхностями [54].

Однако, на самом деле, для знакопеременности производной d2 U1 /dx2 и неравенства (2.45) напрашивается совершенно иная трак товка в сопоставлении с той, что была предложена Релеем и Фьортоф том.

Действительно, если сравнить друг с другом соотношения (2.43) и (2.44), то несложно удостовериться, что первым, в отличие от вторых, для выполнения на экспоненциально нарастающих решениях (2.39) начально–краевой задачи (2.37), (2.38) не надо каких бы то ни бы ло добавочных ограничений на профиль скорости U1 (x2 ). Это свиде тельствует о том, что в процессе интегрирования уравнений (2.43) по поперечному сечению зазора между двумя неподвижными непрони цаемыми твёрдыми параллельными бесконечными поверхностями те ряется эквивалентность преобразований за счёт зануления части сла гаемых данных уравнений в силу граничных условий (2.42). Иными словами, соотношения (2.44) служат прямым следствием уравнений (2.43), а вот обратное неверно уравнения (2.43) прямым следствием соотношений (2.44) не являются. Значит, требование изменения вели чиной d2 U1 /dx2 своего знака в пределах прослойки между двумя по коящимися непроницаемыми твёрдыми параллельными бесконечными поверхностями и неравенство (2.45) суть условия, которые необходимы соотношениям (2.44) для обращения в тождества на экспоненциально растущих решениях (2.39) смешанной задачи (2.37), (2.38), но никоим образом не уравнениям (2.43).

Наконец, нетрудно убедиться, что отсутствие точек перегиба в про филе скорости U1 (x2 ) и истинность неравенства (2.46) не запрещают уравнению (2.42) обладать колеблющимися, а краевой задаче (2.42) нетривиальными решениями [199]. Следовательно, смешанная зада ча (2.37), (2.38) может иметь экспоненциально нарастающие решения (2.39) и в том случае, когда справедливы достаточные условия Релея и Фьортофта линейной устойчивости точных стационарных решений (2.35) начально–краевой задачи (2.34), потому что эти растущие ре шения не подпадают под действие обобщённых теорем Релея и Фьор тофта об устойчивости [4, 19, 52, 54, 185, 209].

Итак, теперь, после прояснения смысла результатов Релея и Фьор тофта, можно вновь вернуться к построению иллюстративного анали тического примера установившихся плоско–параллельных сдвиговых течений (2.17), (2.35) однородной по плотности невязкой несжимае мой жидкости в зазоре между двумя неподвижными непроницаемыми твёрдыми параллельными неограниченными поверхностями (при от сутствии внешних массовых сил) и наложенных на данные течения малых трёхмерных возмущений (2.37)–(2.39), (2.42), развивающихся во времени в соответствии со сконструированной априорной экспонен циальной оценкой снизу (2.20), причём вне зависимости от того, вер ны достаточные условия линейной устойчивости Релея или Фьортофта либо нет.

Ниже исследуется подкласс точных стационарных решений (2.35) смешанной задачи (2.34) в форме [145] u1 = U1 (x2 ) a becx2, u2 = u3 0, p const (IV.2.47) где a, b и c произвольные вещественные постоянные величины.

Посредством замен независимой переменной ibecx2 и иско мой функции w() h/ l (l ± 2 + 2 /c), а также с учётом соот ношений (2.47) обыкновенному дифференциальному уравнению (2.42) может быть сообщён вид:

d2 w dw [ + + ia] 2 + (2l + 1) [ + + ia] w =0 (IV.2.48) d d Если в соотношении (2.48) осуществить ещё одну замену независимой переменной z /( + ia), то легко удостовериться, что оно пред станет в форме гипергеометрического уравнения Гаусса [200] d2 w dw z(z 1) 2 + (2l + 1)(z 1) w =0 (IV.2.49) dz dz с определяющими параметрами 0, 0 и 0, которые описываются со отношениями 0 + 0 + 1 = 0 (IV.2.50) 2 + 0 0 = 1;

0 = 1 ± c 2 + 2 2 + 1 2 2 2 0 = ± + + 1, 0 = ± + ± + c2 c c c Общее решение уравнения (2.49), (2.50) можно выписать в виде w(z) = C3 w1 (z) + C4 w2 (z) (IV.2.51) w1 (z) F (0, 0, 0 ;

z) w2 (z) z 10 F (0 0 + 1, 0 0 + 1, 2 0 ;

z) при условии, что 0 нецелое число (здесь C3, C4 некие постоянные;

F (0, 0, 0 ;

z) гипергеометрическая функция Гаусса, служащая для |z| 1 суммой гипергеометрического ряда Гаусса (0 )m (0 )m z m F (0, 0, 0 ;

z) 1 + (0 )m m!

m= (0 )m 0 (0 + 1)... (0 + m 1), 0 = 0, 1, 2,...

а для |z| 1 его аналитическим продолжением [207]).

Тогда, когда 0 = 0, 1, 2,..., частное решение w1 (z) соотношения (2.49), (2.50) вырождается, так что общее решение w(z) (2.51) примет форму 2l+ e z dz w2 2 (z)dz w(z) = w2 (z) C5 + C где C5 и C6 произвольные постоянные величины. Если же 0 = = 1, 2, 3,..., то, напротив, вырождается частное решение w2 (z) урав нения (2.49), (2.50), поэтому общее решение w(z) будет вычисляться с помощью связи 2l+ e z dz w1 2 (z)dz w(z) = w1 (z) C7 + C (здесь C7, C8 некие постоянные).

Удивительно, но рассмотрение поведения общего решения w(z) (2.51) соотношения (2.49), (2.50) может быть кардинально упрощено, так как функция F (0, 0, 0 ;

z) для ряда конкретных значений па раметров 0, 0 и 0 обладает замечательным свойством выражаться через полиномы Якоби и элементарные функции [200, 207]. Так, при 1 1 1 l= m, m = 2, 3, 4,...;

0 = m, 0 =, 0 = 1 m + 2 m m m частными решениями гипергеометрического уравнения Гаусса (2.49), (2.50) будут являться следующие функции:

m (0 )n (0 )n z n w1 (z) = (IV.2.52) (0 )n n!

n= m! (0 1, 1) w1 (z) = P (1 2z) (0 )m m m!z m (0 0, 1) w1 (z) = Pm (0 )m z m m!(1 z) (0 1, 0 0 ) 1 + z w1 (z) = Pm (0 )m 1z ( 1, 1) где (0 )0 1;

Pm 0 (1 2z) полином Якоби. Кроме того, в случае, когда l = 3/4, 0 = 1/2, 0 = 2, 0 = 5/2, тогда частное решение соотношения (2.49), (2.50) будет представлять собой функцию вида 3 Arth z (1 + 3z)(1 z) w1 (z) = 1 + 3z 16z z Для того чтобы в полном объёме достичь заявленных в данном па раграфе целей, достаточно изучить первое из частных решений (2.52) при условии, что m = 3. В этом случае его можно записать в форме 3z 6z 2 14z w1 (z) = 1 + + 5 5 и оно будет обращать в тождество уравнение (2.49), (2.50) вида d2 w 5 dw z(z 1) 2 (z 1) w =0 (IV.2.53) dz 3 dz Общим же решением соотношения (2.53) будет служить такая функция, как 3z 2/3 5 + 5z 28z 3z 6z 2 14z 3 25C w(z) = 1+ + C9 + 14z 3 6z 2 3z 5 5 5 1 + 2z 1/3 1 + z 1/3 + z 2/ 2 3 arctg + ln 3 z 1/3 (здесь C9 и C10 произвольные постоянные величины).

Граничные условия (2.42) будут удовлетворены, если ibecH ib w (z0 ) = w (z1 ) 0;

z0, z + ia + ia Отсюда вытекает, что тогда должно быть выполнено дисперсионное соотношение в форме G() = 0 (IV.2.54) где 2/ 3 2 2 3 G() 14z1 6z1 3z1 5 3z0 28z0 5z0 5 + 14z0 6z 1/3 1/3 2/ 1 + 2z0 1 + z0 + z0 3z0 5) 2 3 arctg ln 2 14z 3 1/ z 2/ 2 2 3 6z0 3z0 5 3z1 28z1 5z1 5 + 14z1 6z1 3z1 1/3 1/3 2/ 1 + 2z1 1 + z 1 + z 2 3 arctg ln 3 1/ z (все фигурирующие здесь функции комплексного переменного = = 1 + i2 понимаются в смысле своих главных ветвей).

К сожалению, данное дисперсионное соотношение слишком сложно, чтобы его корни могли быть найдены в явном виде аналитическими методами, поэтому приходится графически исследовать вопрос о том, имеет ли соотношение (2.54) корни, которые отвечают экспоненциаль но нарастающим малым пространственным возмущениям (2.37), (2.38) в форме нормальных волн (2.39), (2.42).

Суть графического рассмотрения дисперсионного соотношения (2.54) на обладание им корнями, соответствующими экспоненциаль но растущим малым трёхмерным возмущениям (2.37), (2.38) в ви де нормальных волн (2.39), (2.42), заключается в том, что сначала оно переписывается в форме G() = ReG() + i ImG() = 0. Затем на комплексной плоскости (1, 2 ) рисуются кривые ReG() = 0 и ImG() = 0. Если в результате у данных кривых обнаружатся точки пересечения с координатами (1 0, 2 ), то они–то и будут сигнали зировать, что соотношение (2.54) имеет корни, которые отвечают экс поненциально нарастающим малым пространственным возмущениям (2.37), (2.38) в виде нормальных волн (2.39), (2.42). При этом коор динаты (1, 2 ) точек пересечения изучаемых кривых ReG() = 0 и ImG() = 0 в числовом выражении находятся с применением коорди натной сетки путём соответствующего её масштабирования.

Далее приводятся итоги графического исследования дисперсионно го соотношения (2.54) на обладание им корнями, отвечающими экспо ненциально растущим малым трёхмерным возмущениям (2.37), (2.38) в форме нормальных волн (2.39), (2.42), для трёх характерных наборов определяющих параметров a, b, c, H,, и l вида 1) a = 30 2, b = 1, c = 3, H = 1, = 2 2, = 2 2, l = 4/3 :

1 0, 015, 2 120 (IV.2.55) 2) a = 2 2, b = 1, c = 3, H = 1, = 2 2, = 2 2, l = 4/3 :

1 0, 015, 2 8 (IV.2.56) 3) a = 2, b = 1, c = 3, H = 1, = 2 2, = 2 2, l = 4/3 :

1 0, 015, 2 4 (IV.2.57) Важно, что настоящие корни соотношения (2.54) не совпадают ни с одной из особых точек присутствующих в нём функций комплексного переменного = 1 + i2.

Анализируя данные (2.55)–(2.57), стоит, прежде всего, отметить тот факт, что профили скорости U1 (x2 ) (2.47), (2.55)–(2.57) установивших ся плоско–параллельных сдвиговых течений (2.17), (2.35) однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости в прослойке между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми параллельными бес конечными поверхностями (в отсутствие внешних массовых сил) не имеют точек перегиба. Следовательно, обобщённая теорема Релея [52, 209] об устойчивости истинна для этих течений во всех трёх случаях.

Что же касается обобщённой теоремы Фьортофта [54, 209] об устой чивости, то, с одной стороны, неравенство (2.45) справедливо для про филя скорости U1 (x2 ) (2.47) с параметрами a, b и c (2.55) повсюду внутри зазора между двумя неподвижными непроницаемыми твёр дыми параллельными неограниченными поверхностями, для профиля скорости U1 (x2 ) (2.47) с параметрами a, b и c (2.56) в части дан ного зазора, однако для профиля скорости U1 (x2 ) (2.47) с параметра ми a, b и c (2.57) это неравенство, наоборот, ложно везде в пределах прослойки между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми параллельными бесконечными поверхностями. С другой же стороны, для профилей скорости U1 (x2 ) (2.47), (2.55)–(2.57) всегда можно подо брать постоянную K таким образом, чтобы было верно соотношение (2.46). Исходя из вышеизложенного, может быть выдвинуто утверж дение, что, согласно обобщённой теореме Фьортофта, стационарные плоско–параллельные сдвиговые течения (2.17), (2.35), (2.47), (2.55)– (2.57) однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя неподвижными непроницаемыми твёрдыми па раллельными неограниченными поверхностями (без внешних массо вых сил) также должны быть устойчивыми относительно малых про странственных возмущений (2.37), (2.38) в форме нормальных волн (2.39), (2.42).

Тем не менее, результаты (2.55)–(2.57) чётко говорят о том, что, во преки истинности обобщённых теорем Релея и Фьортофта [4, 19, 52, 54, 185, 209] об устойчивости, установившиеся плоско–параллельные сдви говые течения (2.17), (2.35), (2.47), (2.55)–(2.57) однородной по плот ности идеальной несжимаемой жидкости в прослойке между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми параллельными бесконечны ми поверхностями (при отсутствии внешних массовых сил) всё–таки неустойчивы по отношению к малым трёхмерным возмущениям (2.37), (2.38) в виде нормальных волн (2.39), (2.42), (2.55)–(2.57).

Действительно, графически обнаружено, что всякому из стационар ных профилей скорости U1 (x2 ) (2.47), (2.55)–(2.57) соответствует, по крайней мере, одно экспоненциально нарастающее малое простран ственное возмущение (2.37), (2.38) в форме нормальных волн (2.39), (2.42), (2.55)–(2.57). Естественно, данные возмущения удовлетворяют неравенствам (2.19), (2.20) и счётному набору условий (2.25).

Отсюда как раз и вытекает, что действие обобщённых теорем Релея и Фьортофта об устойчивости на самом деле не распространяется на малые трёхмерные возмущения (2.37), (2.38) в виде нормальных волн (2.39), (2.42), (2.55)–(2.57). Следовательно, если условия Релея и Фьор тофта линейной устойчивости установившихся плоско–параллельных сдвиговых течений (2.17), (2.35), (2.47), (2.55)–(2.57) и выполнены для неких малых пространственных возмущений (2.37), (2.38), то уж никак не для возмущений (2.37)–(2.39), (2.42), (2.55)–(2.57), что однозначно и указывает на необходимый и достаточный характер этих условий устойчивости.

Таким образом, результаты данного параграфа последней главы курса лекций ничуть не противоречат известным утверждениям Ре лея и Фьортофта [4, 19, 52, 54, 185, 209] об устойчивости, а только уточняют и дополняют их область использования.

В итоге, построение иллюстративного аналитического примера ста ционарных плоско–параллельных сдвиговых течений (2.17), (2.35) од нородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в зазоре меж ду двумя неподвижными непроницаемыми твёрдыми параллельными неограниченными поверхностями в отсутствие внешних массовых сил и наложенных на эти течения малых трёхмерных возмущений (2.37)– (2.39), (2.42), которые эволюционируют со временем в согласии со сконструированной априорной экспоненциальной оценкой снизу (2.20) независимо от того, справедливы условия линейной устойчивости Ре лея и Фьортофта или нет, завершено.

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ГЛАВЫ IV Четвёртая глава данного курса лекций нацелена на рассмотрение линейных задач устойчивости установившихся плоско–параллельных сдвиговых (1.5) и любых допустимых пространственных (2.4)–(2.6) те чений однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости при отсутствии внешних массовых сил.

В первом параграфе этой главы изучается линейная задача устой чивости стационарных плоско–параллельных сдвиговых течений (1.5) однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости в прослой ке между двумя покоящимися непроницаемыми твёрдыми параллель ными бесконечными пластинами в отсутствие внешних массовых сил.

Прямым методом Ляпунова установлено, что данные течения абсо лютно неустойчивы относительно малых плоских возмущений (1.6), (1.11), (1.12), (1.19), а вот состояния равновесия (покоя) (1.9) этой жидкости напротив, абсолютно устойчивы. Таким образом, проде монстрировано, что условия устойчивости Релея [52], Фьортофта [54, 203] и Арнольда [55] стационарных плоско–параллельных сдвиговых течений (1.5) однородной по плотности идеальной несжимаемой жид кости в зазоре между двумя неподвижными непроницаемыми твёрды ми параллельными неограниченными поверхностями при отсутствии внешних массовых сил по отношению к малым плоским возмущениям (1.6), (1.11), (1.12), (1.20)–(1.27) представляют собой и достаточные, и необходимые. Выведены достаточные условия практической линейной неустойчивости (см. неравенства из счётного набора условий (1.17)) и построена априорная нижняя оценка (1.18), свидетельствующая о воз можном (как минимум, экспоненциальном) росте во времени исследуе мых малых возмущений тогда, когда данные условия устойчивости не действуют. Сконструирован иллюстративный аналитический пример установившихся плоско–параллельных сдвиговых течений (1.5), (1.28), (1.36)–(1.38) и наложенных на них малых плоских возмущений (1.11), (1.12), (1.19)–(1.24), (1.34)–(1.38), которые нарастают со временем в со ответствии с построенной априорной экспоненциальной оценкой снизу.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.