авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Методы геометрии

дифференциальных уравнений

в анализе интегрируемых моделей теории поля

А. В. КИСЕЛЕВ

Ивановский государственный энергетический университет,

Университет Лечче

e-mail: arthemy@poincare.unile.it УДК 517.957+514.763.85 Ключевые слова: уравнение Тоды, уравнение Кортевега—де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, симметрии, законы сохранения, гамильтоновы структуры, пре образования Беклунда, представления нулевой кривизны.

Аннотация В работе рассматриваются алгебро-геометрические свойства гиперболических уравнений Тоды uxy = exp(Ku), ассоциированных с невырожденными симметри зуемыми матрицами K. Построена иерархия аналогов потенциального модифициро ванного уравнения Кортевега—де Фриза ut = uxxx + u3 и установлена её связь x с иерархией уравнения Кортевега—де Фриза Tt = Txxx + T Tx. Получено описа ние групповых структур для бездисперсионного (2 + 1)-мерного уравнения Тоды uxy = exp(uzz ) и установлены геометрические свойства многокомпонентных систем t = ixx + if (||) типа нелинейного уравнения Шрёдингера (мультисолитонных комплексов).

Abstract A. V. Kiselev, Methods of geometry of differential equations in analysis of integrable models of field theory, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 10 (2004), no. 1, pp. 57—165.

In this paper, we investigate algebraic and geometric properties of hyperbolic To da equations uxy = exp(Ku) associated with nondegenerate symmetrizable matri ces K. A hierarchy of analogues of the potential modified Korteweg—de Vries equa tion ut = uxxx + u3 is constructed and its relationship with the hierarchy for the x Korteweg—de Vries equation Tt = Txxx + T Tx is established. Group-theoretic struc tures for the dispersionless (2 + 1)-dimensional Toda equation uxy = exp(uzz ) are obtained. Geometric properties of the multi-component nonlinear Schr dinger o equation type systems t = ixx + if (||) (multi-soliton complexes) are de scribed.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке стипендии Правительства Российской Федерации, гранта INTAS YS 2001/2-33 и гранта № 650 CP/D университета Лечче.

Фундаментальная и прикладная математика, 2004, том 10, № 1, с. 57—165.

c 2004 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

58 А. В. Кисел в е Содержание Введение 1.

Основные определения и обозначения................. 1.1. Дифференциальные уравнения и их симметрии....... 1.2. О законах сохранения...................... 1.3. Накрытия............................. 1.4. Операторы рекурсии....................... 1.5. Преобразования Беклунда................... 2. Формулировка основных результатов................. Часть I. Уравнения типа Кортевега—де Фриза, ассоциированные с уравнениями Тоды Глава 1. Симметрии и законы сохранения уравнений Тоды 3. Об уравнении Тоды........................... 3.1. Вывод уравнений Тоды..................... 3.2. Лагранжев формализм для уравнений Тоды......... 3.3. Минимальный интеграл для уравнений Тоды........ 3.4. Алгебра симметрий уравнений Тоды.............. 4. Нётеровы симметрии уравнений Тоды................. 5. Операторы рекурсии для уравнений Тоды............... Глава 2. Иерархии Кортевега—де Фриза и уравнения Тоды 6. Пример.................................. 7. Аналоги модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза... Построение иерархии A..................

7.1.... Коммутативность иерархии A..............

7.2.... 8. О гамильтоновом формализме для уравнений Эйлера........ 8.1. Конструкции гамильтонова формализма............ 8.2. Гиперболические уравнения Эйлера—Лагранжа....... 9. Некоторые свойства иерархий Кортевега—де Фриза......... 9.1. Об уравнении Кортевега—де Фриза.............. 9.2. Об аналогах модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза...................... Часть II. Групповые свойства уравнений математической физики: методы и приложения Глава 3. Симметрии, решения и законы сохранения нелинейных моделей 10. Нелинейное уравнение Шрёдингера.................. 11. Бездисперсионное уравнение Тоды................... 11.1. Симметрии и точные решения................. 11.2. Нётеровы симметрии и законы сохранения.......... Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Глава 4. Преобразования Беклунда и представления нулевой кривизны 12. Преобразования Беклунда и их деформации............. 13. Об интегрировании преобразований Беклунда............ 13.1. Интегрирование в нелокальных переменных......... 13.2. О нелокальных симметриях.................. 13.3. О перестановочности преобразований Беклунда....... 14. Представления нулевой кривизны................... Заключительные замечания Литература Каждый пишет, что он слышит.

Каждый слышит, как он дышит.

Булат Окуджава Уравнения Тоды [39] и, в частности, уравнения Тоды, ассоциированные с по лупростыми алгебрами Ли [32], играют существенную роль в построении и анализе моделей современной конформной теории поля. Известны многочис ленные приложения уравнений Тоды в теории гравитации [43, 47] и теории Янга—Миллса [76], в дифференциальной геометрии [60, 66], задачах класси фикации нелинейных уравнений в частных производных [14], установлена их связь с интегрируемыми динамическими системами [11], фробениусовыми мно гообразиями и структурами ассоциативных алгебр [52]. В перечисленных выше областях математической физики непосредственно к уравнениям Тоды сводят ся задачи изучения таких систем, как антиавтодуальные вакуумные уравне ния Эйнштейна, уравнения Янга—Миллса, структурные уравнения комплекс ных кривых в кэлеровых многообразиях, динамика инвариантов Лапласа диф ференциальных уравнений, уравнение Кортевега—де Фриза, уравнение WDVV (Witten—Dijkraaf—H. Verlinde—E. Verlinde) и т. д.

Алгебраический подход к изучению гиперболических уравнений Тоды uxy = exp(Ku) был развит в работах А. Н. Лезнова и М. В. Савельева [32], В. Г. Дринфельда и В. В. Соколова [11], Б. А. Дубровина [52] и др., где уравнения Тоды интер претированы как уравнения плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли (или алгебрах Каца—Муди) с матрицей Картана K. Известно, что такие уравнения, называемые уравнениями, ассоциированными с алгебрами Ли (соответственно с алгебрами Каца—Муди), точно интегрируемы [32]. В фун даментальной работе [11] им были поставлены в соответствие интегрируемые иерархии Дринфельда—Соколова — аналоги бигамильтоновых уравнений Корте вега—де Фриза. Между тем, алгебраический подход не в полной мере учитывает геометрические свойства самих уравнений Тоды, например такие, как структу ра образующих алгебры Ли нётеровых симметрий, наличие у этих уравнений 60 А. В. Кисел в е операторов рекурсии и взаимосвязь допускаемых уравнениями Тоды законов сохранения с гамильтоновыми структурами для уравнений Кортевега—де Фри за. В частности, до настоящего времени не было известно, что перечисленные свойства уравнений Тоды сохраняются при переходе к значительно более об щему случаю уравнений uxy = exp(Ku), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей K, не обязательно матрицей Картана.

Мощным средством изучения алгебро-геометрических структур служат го мологические методы, развитые в работах И. С. Красильщика, В. В. Лычагина, А. М. Виноградова [5, 74, 75, 94] и их научной школы. В связи со значитель ными успехами методов геометрии дифференциальных уравнений естественно применить их к исследованию уравнений Тоды и родственных им систем.

В настоящей работе проводится детальный анализ геометрических свойств уравнений Тоды. На их основе построены новые гамильтоновы эволюционные системы и установлена нетривиальная взаимосвязь между уравнениями Тоды и иными уравнениями математической физики, например уравнением Корте вега—де Фриза.

Введение Одним из модельных уравнений математической физики является интегри руемая система с экспоненциальным взаимодействием — дискретная одномерная цепочка Тоды [39] qn = exp(qn1 qn ) exp(qn qn+1 ), n Z, (0.1) qn = qn ( ).

Непрерывным аналогом уравнения (0.1) служит уравнение 2 · q = exp(q(z ) q(z)) exp(q(z) q(z + )), (0.2) где 0 и q = q(, z). Уравнение (0.2) может быть получено из соотношения qn ( ) = q(, n). Пределом уравнения (0.2) при +0 является уравнение u = ± Dz exp(u), u = u(, z), где Dz — полная производная по z, un ( ) qn1 qn = u(, n). В [52] установлено, что при = i уравнение (0.2) заменой редуцируется к нелинейному уравнению Шрёдингера. В данной работе рассматриваются многокомпонентные аналоги этого уравнения (мультисолитон ные комплексы, см. [42]) t = ixx + if (||), (0.3) где — m-элементный вектор и i — мнимая единица, а f C (R).

Независимо был произведён процесс «двумеризации» [32] уравнений То ды (0.1): вместо ускорения 2 / 2 по времени t R в уравнение (0.4) uxy = exp(Ku) входит даламбертиан /xy, причём (x, y) C. Здесь 2 (i, j ) K = kij = |j | Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей есть матрица Картана комплексной полупростой алгебры Ли g ранга r с систе мой простых корней i, или, более общо, невырожденная симметризуемая (см.

ниже) матрица, а поля Тоды uj (x, y) приобретают индекс j [1, r].

Выберем в уравнении (0.4) в качестве K матрицу Картана алгебры Ли се рии Ar и положим uj (x, y) = u(x, y, z)|z=j при 1 j r. Непрерывный предел при r и +0 уравнений (0.4), бездисперсионное уравнение Тоды (0.5) uxy = exp(uzz ), возникает во многих задачах математической физики, например в теории гра витации [47] (см. также работу [38] и ссылки в ней).

Эта работа посвящена изучению алгебро-геометрических свойств уравнений Тоды (0.4), (0.5) и нелинейного уравнения Шрёдингера (0.3), а также уста новлению взаимосвязи между уравнениями Тоды (0.4) и иерархиями уравнений Кортевега—де Фриза (1.4) и (1.11). Для исследования геометрических свойств указанных выше уравнений применяются современные когомологические мето ды и алгоритмы. В рамках данного подхода мы отказываемся от громоздкого координатного описания исследуемых объектов и оперируем понятиями гомо логической алгебры в категории бесконечно продолженных дифференциальных уравнений.

Приведённые в данной работе результаты содержатся также в работах [19—30, 68—72].

Содержание статьи таково.

Во введении заданы обозначения, сформулированы необходимые определе ния и кратко изложены основные результаты.

В первой главе рассмотрено несколько важных свойств алгебры симметрий и законы сохранения для уравнений Тоды. В первом разделе содержится обзор известных свойств гиперболических уравнений Тоды, ассоциированных с полу простыми алгебрами Ли, и дано определение уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденными симметризуемыми матрицами. Именно эти, существенно бо лее общие уравнения рассматриваются в дальнейшем. Во втором разделе первой главы описаны нётеровы симметрии лагранжиана Тоды, в третьем разделе по строен континуум операторов рекурсии для уравнений Тоды.

Во второй главе построена коммутативная иерархия A аналогов потенци ального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза, которые образуют коммутативную подалгебру нётеровых симметрий уравнений Тоды. Также во второй главе рассмотрены некоторые вопросы гамильтонова формализма для самих уравнений Тоды и установлена взаимосвязь иерархии A с высшими урав нениями Кортевега—де Фриза.

Третья глава содержит два примера применения методов геометрии диффе ренциальных уравнений в исследовании бездисперсионного уравнения Тоды и связанного с ним многокомпонентного аналога нелинейного уравнения Шрёдин гера.

В четвёртой главе рассмотрены преобразования Беклунда для уравнений То ды, ассоциированных с алгеброй sl2 (C), и их однопараметрические деформации.

62 А. В. Кисел в е Приведены примеры интегрирования преобразований Беклунда, указаны пред ставления нулевой кривизны и соотношения между перечисленными структура ми.

1. Основные определения и обозначения Начнём с формулировки нескольких важных определений из геометрии диф ференциальных уравнений, следуя [2, 3, 5, 19, 20, 74, 75, 94].

1.1. Дифференциальные уравнения и их симметрии Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных F (x, u, p) = 0, = 1,..., r 1, порядка k, где F — гладкие функции, x = (x,..., x ) — независимые переменные, u = (u1,..., um ) — неизвестные 1 n функции и || uj p=, = {i1,..., in }, || = i1 +... + in pj pj = k.

(x1 )i1... (xn )in Рассмотрим гладкое тривиальное m-мерное расслоение : Rm Rn Rn.

Пространство k-струй J k () расслоения — это объединение k k Jx, где Jx — x множество классов [s]k эквивалентности сечений s расслоения, касающихся x с порядком k в точке x Rn. Определим последовательность гладких рассло k ений k+1,k : J k+1 () J k () формулой k+1,k ([s]k+1 ) = [s]x. Через k обо x значим гладкое расслоение k : J k () Rn, заданное правилом k ([s]k ) = x.

x Введём ещё такое обозначение: Fk () — это кольцо гладких (C ) функций на J k (). Наконец, положим F () = C (Rn ).

Переменные x, u, p примем за координаты в пространстве струй J k (). Со гласно лемме Адамара [35] два сечения s, s () расслоения эквивалентны k в Jx () тогда и только тогда, когда их частные производные в точке x совпадают вплоть до порядка k.

Дифференциальное уравнение порядка k с n независимыми и r зависимыми переменными будем понимать как поверхность E = {F = 0} J k () в пространстве струй. Уравнение E J k () регулярно, если отображение k |E : E Rn является сюръекцией.

Определение 1.1. Плоскостью Картана C = C в точке J k () назы k вается линейная оболочка всех касательных плоскостей к графикам k k-струй s сечений s расслоения, для которых [s]k =. Объединение C отображений x C по всем J k () называется распределением Картана.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Определение 1.2. Подмножество E (l) = {k+l = [s]x, s () | k+l jk (s)(x) касается E в точке k = [s]k с порядком l} x в J () называется l-м продолжением уравнения E J (). Обратный предел k+l k E = proj lim E (l) относительно проекций l k+l+1,k+l : J k+l+1 () J k+l () называется бесконечным продолжением уравнения E. Ниже мы будем опускать индекс, если из контекста ясно, что речь идёт о бесконечном продолже нии E, а не об исходном уравнении E.

Пространством бесконечных струй J () называется бесконечное продол жение пустого уравнения {0 = 0} J 0 (). Определим проекции,k : J () J k () : J () Rn и формулами и,k ( ) = k ( ) = x, где = {x, k J () | k N} J (). Алгебра F() гладких функций на k J () задана следующим образом: положим F() = Fk (), k {} N.

k Модуль i () дифференциальных i-форм на J () определён соотношением i () = i (J k ()).

k Ограничение CE распределения Картана C на уравнение E является n-мер ным фробениусовым распределением, которое задаёт разложение касательного пространства к E на горизонтальное и вертикальное подпространства. Гори зонтальная компонента порождена полными производными Di = /xi, ограни ченными на уравнение E и обозначаемыми в дальнейшем Di. Двойственное описание распределения Картана CE на языке дифференциальных форм таково:

дифференциал де Рама на E представим в виде ограничения на E суммы n dxi Di, то есть поднятия дифферен горизонтального дифференциала dh = i= циала с базы расслоения, и картановского дифференциала dC = d dh. Со ответственно, пространство l (E) дифференциальных l-форм на уравнении E является прямой суммой i (E) C j (E) l (E) = i+j=l i горизонтальных i-форм (E) и картановских j-форм C j (E). Формы Картана dC (uj ) определяют базис в C 1 (E), здесь uj суть координаты на E.

j 64 А. В. Кисел в е Горизонтальный дифференциал dh задаёт горизонтальный комплекс де Рама d d d 0 F() h 1 () h... h n () пространства J (), когомологии которого называются горизонтальными ко гомологиями и обозначаются через H i (). Горизонтальные когомологии этого комплекса, ограниченного на уравнение E, будем обозначать через H i (E). Из определения следует, что элементы [] H n1 (E) — это законы сохранения для уравнения E.

Определение 1.3.

1. Эволюционное дифференцирование — это оператор вида D (j ) =, pj j, где j C (J k ()) для некоторого k, а D — композиция пол ных производных Di, соответствующая мультииндексу. F()-мо дуль () F F() обозначим через. Введём обозначение = = HomF () (, n ()).

2. Оператор, действующий по правилу () = (), называется опе ратором линеаризации нелинейного дифференциального оператора, i заданного функцией Fk ();

в координатах · D · 1ij.

= uj Любое поле Ли X, то есть поле, сохраняющее распределение Картана C, разложимо в сумму X = + Y, где Y C, а — эволюционное поле. Любое инфинитезимальное преобразование пространства J 0 () можно продолжить до поля Ли. В координатах правило поднятия таково: полю X0 = ai + bj xi uj i j ставится в соответствие поле X= ai Di + bj ai pj i i i,j (см., например, (2.9)).

Определение 1.4. Симметрией уравнения E называется -вертикальное векторное поле X, сохраняющее распределение Картана CE = C :

E [X, CE ] CE.

Теорема 1.5 ([5]). Если E J k () — такое уравнение {F 1 = 0,..., F r = 0}, что,0 (E ) = J 0 (), то алгебра Ли симметрий sym E изоморфна алгебре Ли решений системы определяющих уравнений (F ) = 0 на E, или, что то же самое в силу определения оператора линеаризации, уравнения F () = Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей на E, где |E. В алгебре sym E решений структура алгебры Ли задана скобкой {, }E = ( () ())|E.

Будем в дальнейшем отождествлять понятия производящих сечений = = t (1,..., r ) симметрий = D (i ) · ui (здесь ui D (ui )) дифферен i, циальных уравнений с самими этими симметриями (см. [11, 28]). Неформально говоря, компоненты i производящего сечения показывают скорость ui эво-t люции зависимой переменной ui вдоль «интегральных траекторий» полей.

Определение 1.6. Пусть (u,..., u ) — симметрия дифференциального урав нения E, здесь — мультииндекс и || u u = (x1 ) 1... (xn ) n есть производная зависимой переменной u. Предположим, что существует поток A : u(x, 0) u(x, ) симметрии, который определён на решениях эволюци онного уравнения u = и переводит решения s(x) = u(x, )| =0 уравнения E в решения того же уравнения при 0. Решение s(x) уравнения E назы вается -инвариантным, если оно является стационарным решением эволюци онного уравнения u = (u,..., u ). Таким образом, поиск -инвариантных решений заданного уравнения E = {F = 0} сводится к рассмотрению системы {F = 0, = 0}.

В множестве эволюционных уравнений ut = f (t, x, u, p) выделим важный класс гамильтоновых уравнений. Для этого сформулируем определения скобки Пуассона и гамильтонова дифференциального оператора [5, 6, 67].

Определение 1.7. Пусть A : () () есть (m m)-матричный оператор в полных производных: A = Aij, Aij = Aij · D. Рассмотрим пару лагранжи анов L1, L2 H n (). По определению скобка Пуассона (вариационная скобка) на H n () задана формулой L1 L {L1, L2 }A = E(L1 ), A(E(L2 )) = · Aij (1.1) dx, ui uj i,j где ·, · — это естественное спаривание () () H n (), а [·] — взятие класса эквивалентности дифференциальных форм.

Определение 1.8. Введённый выше оператор A называется гамильтоновым, если определённая формулой (1.1) скобка задаёт на H n () структуру алгебры Ли над полем R, то есть выполняются соотношения {L1, L2 }A + {L2, L1 }A = 0, (1.2a) {{L1, L2 }A, L3 }A + {{L2, L3 }A, L1 }A + {{L3, L1 }A, L2 }A = 0. (1.2b) В этом случае скобка {·, ·}A называется гамильтоновой структурой.

Гамильтоновы операторы A1 и A2 называются совместными, если их сумма A1 + µA2 вновь является гамильтоновым оператором при любых, µ R.

66 А. В. Кисел в е Условие (1.2a) выполнено, если и только если A + A = 0. В [5, 67, 74, 75] приведено несколько критериев1, которые позволяют установить, является ли за данный оператор A гамильтоновым. Например, всякий кососопряжённый C-диф ференциальный оператор с постоянными коэффициентами гамильтонов.

Определение 1.9. Эволюционное уравнение ut = A(Eu (H)) (1.3) называется гамильтоновым эволюционным уравнением, соответствующим га мильтониану H H n () и гамильтонову оператору A.

Пример 1.10 ([78]). Уравнение Кортевега—де Фриза Tt = Txxx + 3T Tx, (1.4) = const, гамильтоново относительно пары совместных гамильтоновых операторов B1 = Dx, B2 = Dx + 2T · Dx + Tx.

(1.5) В самом деле, имеем 1 2 13 Tt = B1 ET = B2 ET T + T dx T dx.

2x2 1.2. О законах сохранения В данном разделе сформулированы важные определения и утверждения о за конах сохранения для дифференциальных уравнений и установлены полезные факты о связи симметрий и законов сохранения для уравнений Эйлера—Лагран жа.

Определение 1.11. Закон сохранения [] H n1 (E) { n1 (E) | dh () = 0}/{ n1 (E) | = dh, n2 (E)} для уравнения E — это класс эквивалентности горизонтальных (n 1)-форм n1 (E), замкнутых на E, dh = (F ) dx, n по модулю точных форм dh, n2 (E), где dh = dxi Di — это ограни i= чение горизонтального дифференциала dh на E, Di — полная производная по xi, а — оператор в полных производных. Представители классов эквивалентно сти [] H n1 (E) называются сохраняющимися токами для уравнения E.

1 В настоящее время разработана теория гамильтоновых операторов как пуассоновых бивекторов [6, 67]. Например, первая гамильтонова структура для уравнения Кортевега—де Фриза (1.4) имеет вид 1 Dx, а вторая есть 1 B2 в обозначениях (1.5). В общем случае бивектор A пуассонов тогда и только тогда, когда A удовлетворяет уравнению [[A, A]] = 0, где [[·, ·]] — скобка Схоутена. Пара пуассоновых бивекторов A1 и A2 совместна, если [[A1, A2 ]] = 0. В [29, 69] уравнение [[A, A]] = рассмотрено в более общем случае, когда A не обязательно является бивектором.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Пример 1.12 ([24]). Горизонтальная 2-форма = uxz exp(uzz ) dx dy + u uxx dx dz 2 xz является сохраняющимся током для бездисперсионного уравнения Тоды uxy = = exp(uzz ): в силу рассматриваемого уравнения выполнено соотношение u uxx (1.6) Dy = Dz (uxz exp(uzz )).

2 xz Определение 1.13. Регулярное уравнение E = {F = 0} является -нормаль ным, если из условия F = 0 следует, что = 0.

Предложение 1.14 ([5]). Пусть n — число независимых переменных x1,..., xn и E — регулярное уравнение. Рассмотрим координатную окрестность ( ) E точки E и предположим, что имеется набор {v} внутренних координат v на, такой что полные производные Di (v) можно выразить через эти координаты {v} для всех i, 1 i n. Тогда уравнение E -нормально.

Если E — -нормальное уравнение, то комплекс совместности [5,75] для урав нения E имеет длину 2, а уравнение удовлетворяет предположениям теоремы «о 2-строчках».

Замечание 1.15. Системы уравнений Максвелла, Янга—Миллса и Эйнштей на не являются -нормальными, поскольку между входящими в эти системы уравнениями существует нетривиальная зависимость, обусловленная наличием псевдогруппы калибровочных симметрий у каждой из этих систем.

В дальнейшем используется удобный способ проверки, является ли данное уравнение -нормальным, который основан на следующем примере.

Пример 1.16 ([5, 75]). Эволюционные уравнения -нормальны.

Для -нормальных уравнений законы сохранения [] определяются их про изводящими сечениями (1). Заметим, что dh = (F ), 1 = F, (1) + dh.

Тогда спаривание (1), F = dh ( ) (1.7) является точной горизонтальной n-формой. Очевидно, если тривиален и, сле довательно, = 0, то = 0.

Лемма 1.17 ([94]). Пусть E = {F = 0} — -нормальное уравнение, и предпо ложим, что H n (E) H n (E) (например, H n (E) = 0). Если производящее сече ние сохраняющегося тока равно 0, то ток тривиален.

В дальнейшем неоднократно понадобится следующий факт.

Теорема 1.18 ([94]). Пусть E = {F = 0} — -нормальное уравнение в рассло ении : Rm Rn Rn. Тогда производящее сечение закона сохранения [] 68 А. В. Кисел в е удовлетворяет уравнению ( ) = 0, (1.8) F где — оператор, формально сопряжённый к и ограниченный на уравне F F ние E.

Доказательство. Применим оператор Эйлера E к обеим частям уравне ния (1.7). Получим 0 = E(, F ) = (1.9) (1) = F () + (F ) =,F по правилу Лейбница. Теперь ограничим (1.9) на уравнение E = {F = 0} и получим определяющее уравнение (1.8), наложенное на производящие сечения и выполненное в силу исходного уравнения E.

В литературе (см. [11]) для обозначения производящих сечений исполь зуется также наименование градиенты законов сохранения. Связано это с тем, что для эволюционных уравнений производящие сечения принадлежат образу оператора Эйлера («градиента» /u), применённого к соответствующей сохра няющейся плотности.

Лемма 1.19 ([75, 96]). Пусть E = {ut = f (t, x, u, u1,...)} — эволюционное уравнение. Предположим, что n (1)i1 i dt dx1... dxi... dxn = 0 dx + i= есть сохраняющийся ток для E: dh () = 0, то есть Dt (0 ) + Dxi (i ) = 0.

i Тогда его производящая функция имеет вид = E(0 ) 0 (1).

Лемма 1.19 доказывается непосредственным вычислением.

Уравнение Эйлера EEL, заданное лагранжианом L H n (), есть EEL = {G Eu (L) = 0}. (1.10) Отметим, что для образа G оператора Эйлера E выполняется условие Гельмголь ца G =. Любая нётерова симметрия L лагранжиана L, такая что (L) = G на J (), является симметрией соответствующего уравнения Эйлера—Лагран жа (1.10), то есть sym L sym E.

Связь между законами сохранения [], их производящими сечениями и нётеровыми симметриями L sym L уравнения Эйлера—Лагранжа E = = {E(L) = 0} установлена в приведённой ниже формулировке теоремы Нётер.

Теорема 1.20 ([44]). Пусть E = {E(L) = 0} — уравнение Эйлера—Лагран жа, соответствующее лагранжиану L. Эволюционное векторное поле явля ется нётеровой симметрией лагранжиана L, (L) = 0, Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей тогда и только тогда, когда есть производящее сечение некоторого закона сохранения []: dh = 0 на уравнении E.

Доказательство. Пусть — производящее сечение закона сохранения [] для уравнения E:

dh () = 1, (F ) = (1), F + dh (), где спаривание ·, · принимает значения в пространстве n () горизонтальных n-форм. Следовательно,, F = dh ( ) является точной горизонтальной n-формой. По предположению F = E(L) = (1). Очевидным образом мы полу L чаем, F =, (1) = L (), 1 + dh = (L), 1 + dh, L и следовательно, является нётеровой симметрией. Для доказательства второго утверждения теоремы — достаточности — нужно повторить те же рассуждения в обратном порядке.

1.3. Накрытия Пусть E — дифференциальное уравнение в расслоении : Rn Rm Rn и E — бесконечное продолжение уравнения E. В каждой точке E опре делено n-мерное подпространство C — картановская плоскость. Распределение Картана CE на E является фробениусовым:

[CE, CE ] CE, в локальных координатах оно задано системой n векторных полей D1,..., Dn, i — ограничение на E оператора полной производной по i-й независимой где D переменной.

Определение 1.21 ([5]). Уравнение E с n-мерным распределением Картана C и регулярное отображение называются накрытием над уравнением E, если для любой точки E касательное отображение, является изоморфизмом на картановскую плоскость C () уравнения E в точке (). Само плоскости C уравнение E при этом называется накрывающим уравнением. Размерностью накрытия назовём размерность слоя отображения.

В координатах структура накрытия задаётся следующим образом. Много образие E и отображение : E E локально можно реализовать как прямое произведение E W (W RN — открытое множество, 1 ) и есте N ственную проекцию E W E соответственно. Распределение C на E можно локально задать системой векторных полей N Di = Di + Xij, i = 1,..., n, sj j= где Xij C (E) — коэффициенты -вертикальных полей на E, s1,..., sN — де картовы координаты в R. При этом условие Фробениуса [C, C] C интегри N руемости распределения C эквивалентно тому, что [Di, Dj ] = 0, i, j = 1,..., n, 70 А. В. Кисел в е или, что равносильно, равенствам Di (Xjk ) = Dj (Xik ) для всех i, j = 1,..., n, 0 k N.

Координаты si будем называть нелокальными переменными. В координатах x, uj, sj правила Di (sj ) = Xij дифференцирования нелокальных переменных sj i вместе с исходным уравнением E задают накрывающее уравнение E. Пример 1.22. Вновь рассмотрим уравнение Кортевега—де Фриза (1.4) и по полним набор переменных t, x, Tj Dx (T ) «нелокальностью» s = T dx:

j st = sxxx + s2. (1.11) sx = T, 2x Мы видим, что уравнение, накрывающее (1.4), — это потенциальное уравнение Кортевега—де Фриза.

Нелокальной симметрией уравнения E называется симметрия накрываю щего уравнения E. Пусть поле X — симметрия уравнения E, а : E E — накрытие. Возможны два принципиально разных случая:

1) симметрию X уравнения E можно продолжить до симметрии X накры вающего уравнения E, 2) противоположная ситуация, когда любое поднятие симметрии X не явля ется симметрией накрывающего уравнения.

Во втором случае поле X порождает однопараметрическое семейство уравне t, накрывающих E.

ний E 1.4. Операторы рекурсии В данном разделе сообщаются необходимые сведения о конструктивном ме тоде построения операторов рекурсии для дифференциальных уравнений [74].

В основу данного метода положен разработанный И. C. Красильщиком аппарат производящих форм Картана.

Рассмотрим определённое уравнение E = {F = 0}, то есть уравнение, для ко торого число m зависимых переменных равно количеству уравнений r, симмет рию sym E этого уравнения и r-компонентный столбец = t ( 1,..., r ), элементы которого i C (E ) C 1 (E) суть 1-формы Картана, аннулирую щие распределение Картана CE на E, с коэффициентами — функциями на E.

Очевидно, покомпонентная подстановка вновь является элементом модуля эволюционных дифференцирований. Условие, что есть симметрия исходного уравнения E, имеет вид [1] () = 0, (1.12) F [1] — это оператор линеаризации, ограниченный на C 1 (E).

где F Правило соответствия дифференциальных операторов R в полных произ водных столбцам (производящим формам) таково. Пусть компоненты i производящей формы = t ( 1,..., r ) суть i = aij, тогда = j t j, aij D (j ),..., то есть покомпонентное действие форм Картана i =..., j, Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей aij задано применением операторов к элементам исходного производящего uj j, сечения = t (1,..., r ). В совокупности формально построенный дифферен циальный оператор рекурсии R принимает вид (r r)-матрицы R = aij D.

Тем не менее уравнение (1.12), как правило, имеет лишь тривиальное ре шение = t (,..., ), соответствующее тождественному преобразованию 1 r рекурсии id : =. Дело в том, что операторы рекурсии для известных уравнений математической физики, будучи записаны в полных производных D, включают в себя слагаемые, содержащие Dx.

Пример 1.23. Оператор рекурсии RKdV = B2 B1 для уравнения Кортеве га—де Фриза (1.4) равен RKdV = Dx + 2T + Tx · Dx, (1.13a) оператор рекурсии RpKdV для потенциального уравнения Кортевега—де Фри за (1.11) есть RpKdV = Dx + 2sx Dx sxx.

(1.13b) С геометрической точки зрения дело обстоит так. Оказывается, что для нетривиальной разрешимости уравнения (1.12) набор локальных координат x1,..., xn, uj необходимо пополнить «нелокальными» переменными si, ука зав совместные правила их дифференцирования по независимым координатам.

Этим переменным si мы также ставим в соответствие формы Картана dC (si ) = n = dsi si j dxj, лежащие в некотором большем распределении C 1 (E).

x j= [1] Рассмотрим ограничение F оператора линеаризации F на пополненный набор форм Картана, вернёмся к уравнению (1.12) с новым оператором линеари зации и предположим, что удалось построить нетривиальное решение этого уравнения. В этом случае производящая форма применяется не к исходному эволюционному полю, а к некоторому его продолжению,A() = Ai () · + +..., si i возможно, использующему некоторый больший (вообще говоря, бесконечный) набор нелокальных переменных (см. [40]). Результат =,A() этого действия удовлетворяет уравнению F () = 0. Такие сечения (x, uj, si,...) называются тенями нелокальных симметрий, и, вообще говоря, не всякую тень можно расширить до настоящей нелокальной симметрии, используя заданный набор нелокальных переменных si (см., например, утверждение 12.1).

Пример 1.24. Рассмотрим одномерное накрытие над потенциальным урав нением Кортевега—де Фриза (1.11). Введём такую нелокальную переменную, что 1 x = s2, t = s1 s3 s2 s3, (1.14) 21 22 72 А. В. Кисел в е j где sj Dx (s). Аналогично обозначим j Dx (). Оказывается, что накрыва j ющее уравнение — это уравнение Кричевера—Новикова 3 2 1 3/ t = 3 + 2 1 2 2(1 ). (1.15) [1] Уравнение pKdV () = 0 имеет нетривиальное решение в переменных t, x, sj,.

Производящая форма Картана оператора рекурсии для уравнения (1.11) есть pKdV = dC (s2 ) + s1 dC (s) dC (). (1.16) Необходимо выяснить, как соотносятся используемые в приложениях опера [1] торы R в полных производных и решения уравнения F () = 0. Достаточно решить эту задачу для форм Картана dC (si ). Из общих соображений понят но, что для этого требуется вычислить линеаризацию si нелокальной перемен ной si. Инструментом для этого служит следующая лемма.

Лемма 1.25. Пусть s F() — некоторая функция. Зафиксируем номер i [1, n] независимой координаты xi. Тогда выполнено соотношение = Di (1.17) s.

Di (s) Доказательство. Предположим, что. Тогда получаем Di (s) = Di = Di Di (s) () = (s) s (), откуда следует соотношение (1.17).

Лемма 1.25 задаёт правило sj = D1 j (1.18) i Di (s ) вычисления линеаризации нелокальной переменной sj при произвольном значе нии i [1, n]. Производящей форме = t ( 1,..., r ), где i = aij + j aij dC (sj ), j, j ставится в соответствие матричный оператор aij · D · aij · Dxk R= +, uj Dxk (sj ) j, j где i нумерует строки и 1 k n.

Пример 1.26. Производящей форме Картана (1.16) соответствует оператор рекурсии (1.13b), а оператор (1.13a) задан формой Картана KdV = dC (T2 ) + 2T dC (T ) + T1 dC (s).

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей 1.5. Преобразования Беклунда Введённое выше понятие накрытия оказывается весьма полезным при опи сании преобразований Беклунда между дифференциальными уравнениями.

Определение 1.27 ([5]). Пусть Ei J ki (i ), i = 1, 2, — два уравнения в част ных производных и i : E Ei — накрытия с единым накрывающим уравнени Тогда диаграмма ем E.

B(E, i, Ei ) = {E1 E 2 E2 } (1.19) называется преобразованием Беклунда B(E, i, Ei ) между уравнениями Ei. Диа грамма (1.19) называется автопреобразованием Беклунда, если E1 = E2 = E.

В координатах преобразование Беклунда между уравнениями E и E в рас сматриваемом ниже случае является системой дифференциальных соотношений на неизвестные функции u и u, которая обладает следующим свойством: ес ли функция u — решение уравнения E и функции u и u удовлетворяют этим соотношениям, то функция u — решение уравнения E, и наоборот.

Пример 1.28. Автопреобразование Беклунда для двумерного уравнения Ла пласа 2 v = 0 задано соотношениями vy = vx, vx = vy.

Замечание 1.29. Пусть j : Ej Ej, j = 1, 2, — два накрытия и µ : E1 E2 — диффеоморфизм, отображающий распределение Картана CE1 в CE2. Тогда диа грамма B(E1, 1, 2 µ, Ej ) является преобразованием Беклунда между уравне ниями Ej, а накрытия 1 и 2 µ называются эквивалентными.

Замечание 1.30. Пусть : E E — накрытие и µ — нетривиальный диффео сохраняющий распределение Картана C, например неинфинитези морфизм E, E мальная симметрия E, которую нельзя ограничить на E. Тогда диаграмма µ EE E E (1.20) также является автопреобразованием Беклунда для E. В главе 4 указанная кон струкция будет применена при изучении свойств автопреобразования Беклунда для уравнения Лиувилля uxy = exp(2u).

2. Формулировка основных результатов В первой главе рассмотрены стандартные для геометрии дифференциаль ных уравнений задачи описания взаимосвязи симметрий, законов сохранения, нётеровых симметрий и операторов рекурсии, полученные здесь структуры су щественно используются в дальнейшем изложении.

r — невырожденная (r r)-матрица, а K 1 = Пусть K = kij, 1 i, j есть обратная к ней. Пусть существует такой набор a чисел {ai = 0, ij =k 1 i r}, что матрица = ij, элементы которой суть ij = ai · kij, симмет рична: ij = ji, в этом случае будем называть матрицу K симметризуемой.

74 А. В. Кисел в е Гиперболические уравнения Тоды, ассоциированные с невырожденной сим метризуемой (r r)-матрицей K имеют вид r EToda = Fi ui exp kij uj (2.1) = 0, 1 i r.

xy j= В частности, если g — полупростая алгебра Ли ранга r, {i, 1 r} — си i стема простых корней, K = kij = 2(i, j ) · |j |2, 1 r — матрица i, j Картана алгебры g, то ai = |i |2 и соответствующие матрице Картана K урав нения Тоды (2.1) называются уравнениями, ассоциированными с алгеброй Ли g (см. [32]).

Уравнения Тоды (2.1) являются лагранжевыми для функционала действия LToda = LToda dx dy с плотностью r r r LToda = ij ui uj ai · exp kij uj, xy 2 i,j=1 i=1 j= для них известна [36] каноническая гамильтонова структура.

При любой невырожденной симметризуемой матрице K уравнения Тоды (2.1) допускают по крайней мере один интеграл [14], то есть зависящее явно от про изводных uj выражение — элемент ядра ker Dy полной производной Dy, ограни ченной на уравнение EToda :

r r 1 ij ui uj ai · ui ker Dy. (2.2) T= xx xx 2 i,j=1 i= j Введём обозначение Tj Dx (T ). Дифференциальные следствия Tj из функцио нала T порождают подпространство T ker Dy в ядре полной производной Dy :

в самом деле, любая гладкая функция Q задаёт функционал Q(x, T) Q(x, T, T1,..., Tµ ) ker Dy.

Положим, что введённая выше невырожденная симметризуемая матрица K на ходится в общем положении, если интеграл (2.2) — единственное решение урав нения Dy (T ) = 0 для соответствующего уравнения Тоды (2.1).

Между тем, специальным выбором матрицы K можно добиться того, что функционал T будет не единственным интегралом, допускаемым уравнением Тоды (2.1). В частности, для существования r нетривиальных независимых решений i уравнения Dy (i ) = 0 необходимо и достаточно [41], чтобы K была матрицей Картана полупростой алгебры Ли g. Уравнения Тоды, ассоци ированные с g, точно интегрируемы [32, 36]. В дальнейшем через будем обозначать подпространство в ker Dy, дифференциально порождённое всеми решениями i уравнения Dy (i ) = 0, общее число которых мы обозначаем буквой q, 1 i q r. Мы также полагаем 1 T.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей r Обозначим через вектор конформных весов i = k ij полей Тоды exp(u) t (exp(u1 ),..., exp(ur )). Преобразование j= x X (x), y Y(y), (2.3) u (x, y) u = u (X, Y) + ln X (x)Y (y) i i i i является конечной конформной симметрией уравнений Тоды EToda. Производя щее сечение инфинитезимального конформного преобразования вида (2.3) есть = ((x)), где векторный дифференциальный оператор первого поряд ка есть = ux + · Dx, (2.4) а — произвольная гладкая функция. Структура образующих алгебры Ли sym EToda такова [34].

1. Пусть K — невырожденная симметризуемая (r r)-матрица общего по ложения и оператор определён по ней формулой (2.4). Тогда всякая симметрия уравнений Тоды (2.1) есть ((x, )), (2.5) = где — произвольная гладкая функция, зависящая от набора интегралов ker Dy.

2. Если матрица K подчинена дополнительным условиям, так что уравне ния Тоды (2.1) допускают q независимых интегралов i ker Dy, где j r и = {i Dx (i )} T, а оператор первого по 1 i q j является (r q)-матрицей, удовлетворяющей некоторым допол рядка нительным соотношениям [34], то симметрии уравнений Тоды вновь имеют вид (2.5).

Скобка Якоби на симметриях sym EToda индуцирует такую скобку на аргументах оператора : пусть 1 = (1 (x, T)) и 2 = (2 (x, T)), тогда {1, 2 } = ({1,2} ), где + Dx (1 )2 1 Dx (2 ), {1,2} = 1 (2 ) 2 (1 ) причём {1,2} = {1,2} (x, T), поскольку эволюция T интеграла (2.2) вдоль сим метрии = () равна 3 T = Dx () + T Dx () + Dx (T · ), (2.6) здесь и далее r ai · i.

i= Оператор, применяемый к функции в правой части равенства (2.6), есть вторая гамильтонова структура B2 для уравнения Кортевега—де Фриза (1.4).

76 А. В. Кисел в е Из установленного в работе соотношения = L между производящими сечениями законов сохранения [] и нётеровыми симметриями L уравнений Тоды (2.1) вытекает теорема 4.2.

Пример 2.1 ([70]). Нётеровы симметрии L уравнений Тоды (2.1), ассоци ированных с симметризуемой матрицей K общего положения, с точностью до симметрии x y имеют вид L = ET (Q(x, T)).

В разделе 5 мы строим континуум операторов рекурсии для алгебры сим метрий уравнений Тоды. Несмотря на то, что структура (2.5) алгебры симмет рий в целом известна, наличие операторов рекурсии даёт нам дополнительную информацию о самих уравнениях Тоды и, кроме того, устанавливает их взаимо связь с иными уравнениями математической физики.

Во второй главе построена коммутативная иерархия A, состоящая из r-ком понентных аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортеве га—де Фриза, и установлена её взаимосвязь с иерархией высших уравнений Кортевега—де Фриза (1.4), которые задают динамику интеграла (2.2).

Сначала приводится пример [21] — скалярный случай r = 1, — в котором по скалярному уравнению uxy = exp(2u) построены, во-первых, последователь ность симметрий данного уравнения, отождествляемая с иерархией A потенци ального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза ut = uxxx + u3, x и, во-вторых, иерархия B уравнения Кортевега—де Фриза Tt = Txxx + 3T Tx.

Построение иерархии A в общем случае r 1 проводится в разделе 7 сле дующим образом. Введём новую переменную s, такую что sx = T и sy = 1, и выберем начальную функцию 1 = 1. Построим две последовательности:

i = Dx (Ti1 ) (см. (2.6)) и i = (i1 ). Первая из этих последователь ностей, обозначаемая через B, — это коммутативная бигамильтонова иерархия локальных высших симметрий потенциального уравнения Кортевега—де Фриза st = sxxx + s2, ai i, = 2x i в то время как вторая, её мы обозначаем через A, и есть искомая иерархия аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза ut = 1. Доказано, что элементы i последовательности A sym EToda образуют коммутативную алгебру Ли (теорема 7.23).

В работе приведено описание элементов k A для k 0. Установлено, что симметрией 1 является само уравнение Тоды, представленное в гамильтоно вой форме uy = A1 Eu ((a·exp(Ku)) dx), где A1 = 1 · Dx есть первая гамиль тонова структура для остальных уравнений в иерархии A и a = t (a1,..., ar ), = ai kij. (См. также теорему 9.2 и утверждение 9.6.) Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Между иерархиями A и B установлены важные соотношения (см. утвержде ние 9.9 и теорему 9.11).

В третьей главе содержатся примеры практического применения методов гео метрии дифференциальных уравнений в анализе свойств уравнений (0.5) и (0.3).

В разделе 10 третьей главы изучаются свойства m-компонентного аналога t = ixx + if (||) нелинейного уравнения Шрёдингера (0.3). Известно [13], что при f = id это уравнение допускает коммутативную бигамильтонову иерархию высших сим метрий и бесконечный набор сохраняющихся плотностей в инволюции, однако в общем случае это не так. В работе вычислена алгебра симметрий в физически реализуемом случае однородной функции f веса и указаны m2 сохраняющих ся токов x ij = i j dx + i(i j i j ) dt.

x Полученные токи обобщают известные законы сохранения энергии i-й моды i многокомпонентных уравнений Шрёдингера.

В разделе 11 той же главы мы рассматриваем бездисперсионное уравнение Тоды (0.5), uxy = exp(uzz ), и реализуем для него следующую схему исследо вания: находим алгебру Ли классических симметрий и строим классы точных решений и сохраняющиеся токи [24]. Результаты этих вычислений достаточно громоздки, они приведены на с. 131—140.

В четвёртой главе новые геометрические концепции в теории преобразований Беклунда и представлений нулевой кривизны проиллюстрированы на примере скалярного уравнения Тоды, ассоциированного с алгеброй g = sl2 (C), — уравне ния Лиувилля ELiou = {uxy = exp(2u)}. (2.7) В разделе 12 изучены вопросы построения однопараметрических семейств (авто)преобразований Беклунда Et вида ( u)x = et exp( + u), u u Et = (2.8) ( + u)y = 2et sh( u) u u для уравнения (2.7). Введём обозначения uk k u/xk, uk k u/y k, k N, и рассмотрим масштабную симметрию X = x (2.9) +y + kuk kuk x y uk uk k1 k уравнения Лиувилля (2.7). В работе существенно использовано то, что симмет рию X нельзя продолжить до симметрии накрывающего уравнения Et. Недавно И. С. Красильщиком [63] был разработан механизм построения однопараметри ческих семейств накрытий над дифференциальными уравнениями.

Теорема ([63]). Пусть : E E — накрытие и At : E E — гладкое семей ство диффеоморфизмов, причём A0 = id и t = At : E E является накрытием 78 А. В. Кисел в е при любом t R. Тогда изменение формы связности Картана Ut описывается соотношением dUt FN (2.10) = [[Xt, Ut ]], dt где Xt является t -тенью при всех t R, а [[·, ·]]FN — скобка Фрёлихера—Нийен хейса (12.7).

В работе показано, что масштабная симметрия (2.9) и является той t -тенью, для которой изменение формы связности Картана Ut в накрытии t : Et ELiou (см. (2.8)) задано уравнением (2.10). Доказательство носит вычислительный характер и опирается на следующее полезное тождество в полных производных.

Теорема ([20]). Пусть u(x), f (u) — гладкие функции, Dx — полная произ водная по x, uk Dx (u(x)), k 0, u0 u. Тогда равенство k n n· n Dn (f (u)) Dx (f (u)) = mum um x m= выполнено при любом целом n 1.

В разделе 13 рассматривается задача построения пар решений гиперболиче ского уравнения Лиувилля (2.7) и волнового уравнения sxy = 0, связанных преобразованием Беклунда. Именно, указан такой набор нелокаль ных переменных, в которых, во-первых, преобразования Беклунда удаётся про интегрировать, а во-вторых, всякое из двух решений уравнений, связанных пре образованием Беклунда, выражается через эти переменные явным образом.

В разделе 14 мы изучаем соответствие между преобразованиями Беклунда и представлениями нулевой кривизны, используя два представления алгебры Ли g = sl2 (C) с образующими e, h, f. Первое из них — это представление g в бесследовых матрицах, 01 10 0 (e) =, (h) =, (f ) =, 0 00 1 а второе — в векторных полях на прямой, (e) = 1 ·, (h) = 2 ·, (f ) = 2 ·.

В работе подробно рассмотрено, какие именно преобразования Беклунда соот ветствуют известным представлениям нулевой кривизны и наоборот.

Часть I. Уравнения типа Кортевега—де Фриза, ассоциированные с уравнениями Тоды В первой части работы мы исследуем свойства алгебры симметрий sym EToda гиперболических уравнений Тоды EToda, ассоциированных с невырожденными Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей симметризуемыми матрицами K. Рассматривая канонический нелокальный опе ратор рекурсии для алгебры sym EToda, мы строим её коммутативную подалге бру Ли A локальных высших нётеровых симметрий. Отождествляя полученную подалгебру A с гамильтоновой иерархией высших аналогов r-компонентных по тенциальных модифицированных уравнений Кортевега—де Фриза, также ассо циированных с матрицей K, мы устанавливаем взаимосвязь между A и ком мутативной бигамильтоновой иерархией B высших потенциальных уравнений Кортевега—де Фриза (1.4). В свою очередь, иерархия B есть коммутативная по далгебра Ли нётеровых симметрий скалярного волнового уравнения. Используя указанные выше соотношения между гиперболическими уравнениями и эво люционными иерархиями их симметрий, мы показываем, что иерархии A и B допускают один и тот же набор гамильтонианов, а само уравнение Тоды является первым нелокальным членом иерархии A.

Глава 1. Симметрии и законы сохранения уравнений Тоды В этой главе мы изучаем геометрические свойства двумерных уравнений То ды, в частности уравнений, ассоциированных с комплексными полупростыми алгебрами Ли [32, 86]. Именно, мы исследуем взаимоотношения между их за конами сохранения [33, 41], нётеровыми симметриями лагранжиана уравнений Тоды (см., например, [89]) и операторами рекурсии для алгебры симметрий этих уравнений.

В разделе 3 мы прослеживаем переход от скалярного уравнения Лиувил ля к его обобщениям — гиперболическим уравнениям Тоды, ассоциированным с невырожденными симметризуемыми матрицами K общего положения. Далее мы рассматриваем лагранжевы свойства этих уравнений и указываем мини мальный интеграл T ker Dy и его дифференциальную оболочку T Dy, y образующие алге после чего ставим в соответствие элементам ядра ker D бры Ли sym EToda.

В разделе 4, построив взаимно-однозначное соответствие между производя щими сечениями законов сохранения и нётеровыми симметриями лагранжиана LToda уравнений Тоды, мы описываем алгебру sym LToda sym EToda нётеровых симметрий уравнений Тоды, ассоциированных с матрицей K общего положе ния. Для уравнений Тоды, ассоциированных с матрицей Картана K полупро стой алгебры Ли g, мы устанавливаем некоторые общие свойства интегралов i ker Dy. Наконец, в разделе 5 мы строим континуум операторов рекур сии для алгебры симметрий уравнений Тоды, причём как локальных, так и нелокальных относительно полных производных.

Изложение материала следует работам [25, 68, 70].

80 А. В. Кисел в е 3. Об уравнении Тоды Уравнение Лиувилля и его обобщения. Уравнение Лиувилля ELiou = {u + u = exp(2u)} (3.1) является модельным точно интегрируемым нелинейным дифференциальным уравнением, возникающим во многих разделах математики и математической физики. Оно впервые было систематически исследовано в работах Лиувил ля [77] и Пуанкаре [85]. Одна из поставленных ими задач — проблема уни формизации алгебраических кривых (компактных римановых поверхностей) — была изучена позднее Казданом и Уорнером [66]. Известно [16], что для по верхностей рода 0 надлежащим образом регуляризованный лагранжиан LLiou = [(u2 + u2 + exp(2u)) d d] 2 уравнения Лиувилля, вычисленный на классическом решении, является произ водящей функцией для акцессорных параметров, характеризующих униформи зацию римановой поверхности. Также лагранжиан LLiou уравнения (3.1) пред ставляет собой потенциал метрики Вейля—Петерсона на пространстве Тейхмюл лера отмеченных римановых поверхностей [16].


Уравнение (3.1) играет важную роль в современной теории поля, в частно сти в теории струн, когда квантовое поле Лиувилля возникает как конформная аномалия [37]. Нахождение N -инстантонных решений уравнений дуальности Fµ = Fµ, где Fµ — тензор напряжённости поля, то есть решений, минимизирующих дей ствие для свободных уравнений Янга—Миллса, приводит к уравнению (3.1) (см. [97]).

В римановой геометрии уравнение (3.1) представляет собой уравнение Гаус са, записанное в конформных координатах, для плоскости Лобачевского [12] (см. также [66]).

Пример 3.1. Рассмотрим вопрос поточечной конформной эквивалентности двух римановых метрик ds2 = fj (x, y)(dx2 + dy 2 ), fj 0, j = 1, 2, j на открытых двумерных многообразиях постоянной гауссовой кривизны Kj = (2fj )1 ln fj = constj, где — оператор Лапласа. Пусть f2 = f1 · exp(2u), тогда u удовлетворяет урав нению u = K2 f1 exp(2u) K1 f1. (3.2) Легко видеть, что двумерное эллиптическое уравнение Лиувилля (3.1) соответ ствует переходу между плоской метрикой f1 1 (K1 0) и метрикой плоскости Лобачевского (K2 1). В подобной трактовке уравнение (3.1) возникает как Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей предельный случай (K1 0) в теории сверхпроводимости при описании вихрей Абрикосова в двумерной модели [66]. Уравнение (3.1) также связано с иссле дованием решений уравнений Кадомцева—Погуце — упрощением общей систе мы уравнений магнитодинамики (МГД), в которых опущены некоторые детали, несущественные с точки зрения задачи удержания высокотемпературной плазмы в установках типа «Токамак» [62].

Каждому решению эллиптического уравнения Лиувилля (3.1) соответствует модель плоскости Лобачевского, конформно эквивалентная евклидовой плоско сти с диагональной метрикой gij = ij. Например, рассматривая стандартную модель Пуанкаре плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости y 0, для которой f2 = 1/y 2, можно получить частное решение уравнения (3.1): u = ln y.

В случае f1 1, K1 0, K2 +1 формула (3.2) задаёт конформную эквива лентность евклидовой метрики ij на плоскости E2 и метрики gij = exp(2U) ij на двумерной сфере S 2, при этом функция U(x, y) удовлетворяет уравнению Uxx + Uyy + exp(2U) = 0, (3.3) которое отличается от уравнения (3.1) знаком перед экспонентой (или пово ротом независимых координат на i = 1). Будем в дальнейшем называть уравнение (3.3) scal+ -уравнением Лиувилля.

Замечание 3.2. Уравнение (3.3) является частным (конформным) случаем уравнения (1 x )x + ( 1 y )y + 2 = 0 (3.4) (см. [54]), описывающего ортогональную сеть, заданную метрикой ds2 = 2 dx2 + 2 dy на сфере радиуса. Действительно, = = exp(U) является решением (3.4) для произвольного решения U(x, y) уравнения (3.3). Это решение урав нения (3.4) заведомо не единственно: например, пара = sin V, = Vy, где V удовлетворяет уравнению sin-Гордона Vxy = sin V, или =, = sin x также являются решениями уравнения (3.4).

В настоящей работе мы систематически применяем современные методы гео метрии дифференциальных уравнений при исследовании свойств обобщений двумерного уравнения (3.1) на случаи числа независимых переменных n и числа зависимых функций r 1.

Одно из обобщений уравнения (3.1) на случай n 2 независимых координат x1,..., xn основано на отмеченной выше интерпретации уравнения Лиувилля 82 А. В. Кисел в е как условия конформной эквивалентности евклидовой метрики на En и кон формной метрики на n-мерном многообразии постоянной скалярной кривизны scal R = const. (3.5) Для согласования с двумерным случаем (3.1) зафиксируем значение R = (что соответствует гауссовой кривизне K = 1 при n = 2) и положим ds2 = exp(2u) dxk dxk. (3.6) k Соотношение (3.5) является нелинейным уравнением в частных производных на функцию u(x1,..., xn ).

Теорема 3.3 ([68]). Условие (3.5) имеет вид (n 1)u + (n 1)(n 2)(grad u)2 = exp(2u), (3.7) где — оператор Лапласа в евклидовом пространстве En и скалярное произве дение (·, ·) также определено евклидовой метрикой.

Доказательство. Скалярная кривизна R метрики (3.6) определена форму лой i R= exp(2u)Rqqi i,q (см. [12]). Имеем Rqqi = i i q i + i p i p, i qq qi pi qq pq qi где k = i u j + j u i l u ij kl k k ij суть символы Кристоффеля. Непосредственно вычисляя суммы по q, i, p = = 1,..., n, получаем (3.7).

3.1. Вывод уравнений Тоды М. Тода [39] рассмотрел интегрируемую нелинейную динамическую систе му (0.1) — одномерную цепочку с экспоненциальным взаимодействием. К насто ящему времени свойствам системы (0.1) и различным её обобщениям посвящено большое количество работ (см. [11, 14, 32, 36] и ссылки в них). Двумеризация одномерной непериодической цепочки Тоды H i Z, i qtt =, q i где плотность гамильтониана H есть H= exp(q i q i+1 ) — i Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей это замена «ускорения» d2 /dt2 оператором 2 /xy. Историю двумеризации непериодической цепочки Тоды и перехода к уравнениям Тоды, ассоциирован ным с алгебрами Ли (и алгебрами Каца—Муди, см. [64]) можно проследить по работам [11, 31—33, 36, 45, 46, 58—60, 76].

Построение обобщений уравнения (3.1) на случай r 1 зависимых перемен ных u1,..., ur мы рассмотрим с нестандартной точки зрения, используя инва рианты Лапласа [14]. Прежде всего, в целях упрощения вычислений, сделаем такую комплексную замену переменных, чтобы уравнение Лиувилля приняло вид uxy = exp(u). Начиная с настоящего момента и до конца работы мы бу дем изучать именно гиперболические уравнения и их симметрии. Разница меж ду эллиптическими и гиперболическими уравнениями исчезает в комплексном случае, однако, поскольку при изучении свойств симметрии нам не потребу ются свойства комплексной структуры, мы будем предполагать все уравнения вещественными, так же, как на с. 62.

Следуя [14], вычислим инварианты Лапласа H0 и H1 гиперболического урав нения uxy = f (x, y, u, ux, uy ), в нашем случае f = exp(u):

f f f f def H0 = Dy + + = exp(u), uy ux uy u f f f f def H1 = Dx + + = exp(u).

ux ux uy u Определение остальных инвариантов Лапласа следует из уравнений Dxy (ln Hi ) = Hi1 + 2Hi Hi+1, i Z. (3.8) Отметим, что квазилинейное уравнение uxy = f называется уравнением ли увиллевского типа, если его цепочка инвариантов Лапласа конечна, то есть существуют такие p 1 и q 0, что Hp = Hq 0. Оказывается, что для урав нения Лиувилля последовательность Hi обрывается сразу: Hi 0 при i = 0, 1, что как раз и объясняет название введённого выше класса уравнений1. Сделаем подстановку Hi = exp(U i ), q i p, и ограничим уравнение (3.8) на графики струй сечений U расслоения Rr R2 R2, так что полные производные Di i превратятся в дифференцирования /x. В результате мы получим систему Uxy = 2 exp(U 0 ) exp(U 1 ), Uxy = exp(U 0 ) + 2 exp(U 1 ), 0 а в общем случае — систему уравнений p Uxy = i kij exp(U j ), j=q+ 1 Отметим, что для системы (3.10) гиперболических уравнений также определены — теперь уже матричные — инварианты Лапласа [14].

84 А. В. Кисел в е причём структура невырожденной ((p + q 1) (p + q 1))-матрицы K = kij такова:

kii = 2, ki,i+1 = ki,i1 = 1, kij = 0 при |i j| 1. (3.9) Мы видим, что K есть не что иное, как матрица Картана алгебры Ли серии Ar1. Сдвигая при необходимости индекс i, нумерующий переменные U i, и делая замену U = K · u [32], мы приходим к системе ui = exp(ui1 + 2ui ui+1 ), 1 u0 = ur+1 0.

i r, xy Это двумерная система уравнений Тоды, ассоциированная с алгеброй Ли g се рии Ar1. В общем случае соответствие между уравнениями Тоды uxy = exp(Ku) (3.10) и полупростой алгеброй Ли с матрицей Картана K обеспечено приведённой ниже геометрической схемой [32]. В главе 4 мы воспользуемся конструкция ми, поставляемыми указанной схемой рассуждений, при изучении соответствия между каноническими представлениями нулевой кривизны и преобразованиями Беклунда для некоторого класса дифференциальных уравнений.

Пусть g — полупростая алгебра Ли ранга r над полем C. Пусть также {i, 1 r} — её система простых корней, по которой мы строим матри i цу Картана K = kij = 2(i, j ) · |j |2, 1 i, j r.

Через K 1 = k ij мы обозначим матрицу, обратную к K, с элементами k ij.

Пусть A, B g. Предположим, что (3.11) = A dz + B d z есть форма плоской связности в главном расслоении G M, где G — группа Ли алгебры Ли g:

(3.12) d + [, ] = 0.

В терминах расширенных полных производных имеем [ + A, + B] = 0 A + B + [A, B] = 0. (3.13) Предположим, что Hj — генераторы Картана, Ej, Fj — генераторы Шевалле алгебры g, 1 j r = rank g. Имеют место коммутационные соотношения [Hi, Hj ] = 0, [Hi, Ej ] = kji Ej, (3.14) [Hi, Fj ] = kji Fj, [Ei, Fj ] = i,j Hi.

Будем предполагать, что коэффициенты связности A и B имеют вид r (aj (z, z ) · Hj + aj (z, z ) · Ej ), A= e h j= (3.15) r (bj (z, z ) bj (z, z ) · Hj + · Fj ).

B= h f j= Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Тогда из уравнения (3.13) следует, что bj aj + aj bj = 0, (3.16a) ef h h r r ln bj = ln aj = kji bi, kji ai (3.16b) e h h f i=1 i= для коэффициентов Hj, Ej и Fj соответственно, где 1 r. Из уравне j ния (3.16b) мы получаем r r k ij ln bj, bi = ai = k ij ln aj, h h e f j=1 j= а из уравнения (3.16a) — соотношения r k ij ln(aj · bj ) = ai · bi (3.17) e e f f j= для 1 r. Положим по определению i r k ij ln(aj · bj ). (3.18) ui = e f j= Подставляя (3.18) в уравнение (3.17), мы в итоге получим уравнения Тоды (3.10), ассоциированные с алгеброй Ли g (см. [32]). Мы будем использовать коорди наты x и y как синонимы для комплексных переменных z и z соответственно.


Условимся, что в дальнейшем мы будем рассматривать симметрии, законы сохра нения и любые иные структуры для уравнений Тоды с точностью до дискретной симметрии x y.

Более общо, предположим, что K = kij, 1 r — невырожденная i, j (r r)-матрица, а K 1 = k ij есть обратная к ней. Далее, пусть существу ет такой набор чисел {ai = 0, 1 r}, что матрица = ij, элементы i которой суть ij = ai · kij, симметрична: ij = ji. Через обозначим опе ратор умножения слева на невырожденную матрицу. В этом случае будем называть матрицу K симметризуемой [91]. Гиперболические уравнения Тоды, ассоциированные с невырожденной симметризуемой (r r)-матрицей K, имеют вид r EToda = F i ui exp kij uj (3.19) = 0, 1 i r.

xy j= В частности, если g — это полупростая алгебра Ли ранга r, {i, 1 r} — i система простых корней, 2(i, j ) r— K = kij =,1 i, j |j | матрица Картана алгебры g, то положим ai = |i |2. Тогда 2(i, j ) ij = = ji.

|i |2 · |j | 86 А. В. Кисел в е 3.2. Лагранжев формализм для уравнений Тоды Уравнения Тоды EToda являются лагранжевыми в следующем смысле: рас смотрим действие LToda = LToda dx dy с плотностью r LToda = g µ ij ui uj + a2 · exp kij uj, ;

µ ;

i 8 i,j µ, j= здесь uj Dµ (ui ), а g µ = ( 0 2 ) есть обратный к метрическому тензору gµ = ;

µ = 1 0, задающему плоскую метрику ds2 = dx dy на базе расслоения. В ис пользуемых нами локальных координатах плотность лагранжиана выглядит так:

r r r LToda = ij ui uj ai · exp kij uj. (3.20) xy 2 i,j=1 i=1 j= Соответствующие лагранжиану LToda уравнения Эйлера—Лагранжа Eu (LToda ) = ij F j = · F = 0 (3.21) j эквивалентны уравнениям (3.19), поскольку матрица невырожденна одновре менно с K в силу условия ai = 0.

Установим правила преобразования симметрий ker E и производящих сечений ker законов сохранения при репараметризациях, которые сохра E няют многообразие E и идеал E его дифференциальных следствий.

Лемма 3.4 ([70]). Пусть E = {Gi = 0, 1 r} — непереопределён i ное уравнение и Gi = Aij F j — невырожденное преобразование соотношений, задающих уравнение E. Тогда верны следующие два свойства.

1. Выполняются тождества =A· · t A, F, = G G F где A — матрица репараметризации задающих E соотношений.

2. Предположим, что G ker G — симметрия уравнения E и G ker —G произвольное решение уравнения (1.8) для E = {G = 0}, и сделаем переход G = AF к новым соотношениям, задающим уравнение E = {F = 0}. Тогда F = G по-прежнему будет симметрией уравнения E: F ker F, в то время как решение G уравнения (1.8) преобразуется по закону G F = t A · G ker.

F Доказательство. Пользуясь определением оператора линеаризации для G G = AF, получаем G = AF = A · F, Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей и потому A = = (A · t A.

F) = G F F Если матрица A невырожденна, то условие G (G ) = 0 эквивалентно A · F (G ) = 0, откуда F = G. В то же время предположение (t A · G ) = F приводит к формуле F = t A · G для решения уравнения (F ) = 0.

F Теперь воспользуемся теоремой Нётер (см. теорему 1.20).

Следствие 3.5. Пусть выполнены предположения теоремы 1.20 и леммы 3.4.

Пусть ker — производящее сечение закона сохранения для уравнения F Эйлера—Лагранжа E = {F = 0}. Тогда существует такая нётерова симметрия ker F этого уравнения, для которой выполнено = t A ·.

3.3. Минимальный интеграл для уравнений Тоды Легко видеть, что при любой невырожденной симметризуемой матрице K уравнения Тоды (3.19) допускают по крайней мере один интеграл [14], то есть зависящее явно от uj выражение, полная производная Dy от которого равна на рассматриваемом уравнении:

r r 1 ij ui uj ai · ui ker Dy. (3.22) T= xx xx 2 i,j=1 i= Хорошо известно (см., например, [36]), что обе компоненты T и T бесследового тензора энергии-импульса для лагранжевых уравнений (3.21) также имеют вид (3.22) с точностью до комплексного сопряжения:

= T dx + T dy.

В разделе 8 главы 2 мы рассмотрим некоторые вопросы гамильтонова форма лизма для уравнений Тоды и получим интеграл (3.22) из плотности гамильто ниана 3.20. Пока же построим используемую в дальнейшем дифференциальную оболочку T минимального интеграла T ker Dy. Введём обозначение j Tj Dx (T ).

Дифференциальные следствия Tj из функционала T порождают подпростран ство T ker Dy в ядре полной производной Dy. В самом деле, любая гладкая функция Q задаёт функционал Q(x, T) Q(x, T, T1,..., Tµ ) ker Dy.

Будем говорить, что введённая выше невырожденная симметризуемая матри ца K находится в общем положении, если интеграл (3.22) — единственное ре шение уравнения Dy (T ) = 0 для соответствующего уравнения Тоды (3.19).

Между тем, специальным выбором матрицы K можно добиться того, что функционал T будет не единственным интегралом, допускаемым уравнением То ды (3.19). В [33] сформулирован критерий равенства dim ker Dy = 2 при r = 2.

88 А. В. Кисел в е В дальнейшем через мы будем обозначать подпространство в ker Dy, диф y (i ) = 0, общее i ференциально порождённое всеми решениями уравнения D число которых мы обозначаем буквой q, 1 r. Мы также полагаем i q 1 T.

Пример 3.6 ([33]). Если K = 1 1 — матрица Картана алгебры Ли sl3 (C), то ассоциированные с этой матрицей уравнения Тоды (3.19) допуска ют два интеграла: 1 = T, заданный уравнением (3.22) и имеющий в данном случае вид 1 = (u1 )2 u1 u2 + (u2 )2 u1 u2, (3.23a) x xx x xx xx и интеграл 2 = u1 + u1 · (u2 2u1 ) + (u1 )2 · u2 u1 · (u2 )2, (3.23b) xxx x xx xx x x x x который удовлетворяет уравнению Dy () = 0, но не следует из 1.

Согласно [41] для существования r нетривиальных независимых решений i уравнения Dy (i ) = 0 необходимо и достаточно, чтобы K была матрицей Кар тана полупростой алгебры Ли g. Уравнения Тоды, ассоциированные с g, точно интегрируемы [31].

3.4. Алгебра симметрий уравнений Тоды В данном разделе мы ставим в соответствие функциональной оболочке дифференциальных следствий из введённых выше интегралов i классы инфи нитезимальных симметрий уравнений Тоды. В разделе 4 мы выясним, какие из полученных симметрий являются нётеровыми симметриями лагранжиана LToda.

Обозначим через = |i | вектор конформных размерностей [37] i = r k ij полей Тоды exp(u) t (exp(u1 ),..., exp(ur )) в соответствии со сле = j= дующим утверждением.

Предложение 3.7 ([46]).

1. Замена переменных x X (x), y Y(y), (3.24) u (x, y) u = u (X, Y) + ln X (x)Y (y) i i i i является конечной конформной симметрией уравнений Тоды EToda.

2. Лагранжиан LToda = LToda dx dy инвариантен относительно этой заме ны.

r 3. Введём обозначение ai · i. При диффеоморфизме (3.24) компонен i= та T тензора энергии-импульса преобразуется по правилу X (x) 3 X (x) T [u] (X (x))2 · T [(X, Y)] · (3.25) u.

X (x) X (x) Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Замечание 3.8. В [46] рассмотрены свойства (3.24) и (3.25) симметрии урав нений Тоды, ассоциированных с алгебрами Ли. В приведённой выше формули ровке утверждения 3.7 мы обобщаем цитируемый результат на уравнения (3.19), ассоциированные с произвольной невырожденной симметризуемой (r r)-мат рицей K, и указываем коэффициенты и применительно к новым условиям.

Инфинитезимальная форма утверждения 3.7 такова.

Предложение 3.9.

1 [34, 36]. Инфинитезимальные компоненты конформных симметрий (3.24) уравнений Тоды с точностью до преобразования x y имеют вид f = (f (x)), где f — произвольная гладкая функция, а = ux + · Dx (3.26) есть векторный дифференциальный оператор первого порядка.

Каждая точечная симметрия f является нётеровой симметрией ла 2 [19]. гранжиана LToda :

f (LToda dx) im dh.

3 [36, 45]. Функционал T, заданный формулой (3.22), является плотностью га мильтониана инфинитезимальных конформных симметрий f : f = A1 · Eu (T · f (x) dx), где A1 = 1 · Dx.

(3.27) В [36] часть 3 утверждения 3.9 была сформулирована в локальных координа тах. В разделе 8 главы 2 мы проследим переход от канонического гамильтонова формализма для уравнений Тоды к указанному выше гамильтонову оператору A и в теореме 9.11 установим, что равенство (3.27) является началом бесконечной серии соотношений между иерархией высших уравнений Кортевега—де Фри за (1.4) и построенной в разделе 7 коммутативной иерархией нётеровых симмет рий уравнений Тоды.

Лемма 3.10. Пусть K — произвольная симметризуемая (rr)-матрица и опе ратор определён равенством (3.26). Выполнены соотношения F = Dx Dy, = Dx Dy.

(3.28) F Доказательство. Выпишем первое соотношение в координатах:

F = ij Dxy kij exp · |uj + j · Dx | = kil ul x l = ux Dxy + uxx Dy + uxy Dx + uxxy + Dxxy · Dx = kij ui exp kil ul kij k jp exp kil ul x j j,p l l = Dx |ux + Dx | Dy, 90 А. В. Кисел в е что и требовалось. Второе тождество выводится из первого применением лем мы 3.4 и условия Гельмгольца = Toda ) E(L E(L Toda ) ввиду симметричности матрицы = t.

Следствие 3.11. Вектор-функции ((x, )) (3.29) = являются симметриями уравнений Тоды: sym EToda при всякой функции, j зависящей от произвольного набора интегралов i Dx (i ) ker Dy.

j Формула (3.29) даёт описание алгебры симметрий sym EToda.

Предложение 3.12 ([34]).

1. Пусть выполнены предположения леммы 3.10. Тогда любая симметрия уравнения (3.19) имеет вид (3.29).

2. Предположим, что матрица K такова, что существует q интегралов i ker Dy, где 1 q r, а также предположим, что имеется r постоянных (r q)-матриц M = (M )ij, 1 q, и постоянная i r, 1 j (r q)-матрица = ij, 1 q, rank = q, которые i r, 1 j удовлетворяют уравнениям f = (M ) f, f (M ) = (M ) f, i i i i где r и f i = kij · f i.

f i = exp kij uj j j= Построим (r q)-матричный дифференциальный оператор первого порядка r M · u + · Dx (3.30) = x = и рассмотрим произвольный вектор = |i (x, )|, 1 i q. Тогда сече ния, заданные уравнением (3.29), исчерпывают все симметрии уравнений Тоды EToda.

Итак, в обоих случаях мы имеем sym EToda {i = j (x, ) mod (x y)}, i j равно числу q независимых интегралов l, где число столбцов в операторе а вектор произволен.

Следствие 3.13. Произвольное решение уравнения () = 0 для уравне F ния (3.19) имеет вид = ( ((x, ))). (3.31) Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Подчеркнём, что задача нахождения интегралов первична для уравнений Тоды, а поиск симметрий, равно как и выбор нётеровых симметрий L, сле дуют за этой задачей. Отметим также, что любая конформная симметрия (3.24) уравнений Тоды нётерова, то есть сохраняет LToda, однако не каждое сечение вида (3.29) является нётеровой симметрией уравнения (3.19).

4. Нётеровы симметрии уравнений Тоды Прежде всего, основываясь на примере 1.16, установим важное свойство уравнений (3.19), чтобы получить возможность обоснованно применять аппарат производящих сечений при описании законов сохранения и нётеровых симмет рий уравнений Тоды.

Лемма 4.1. Уравнения Тоды EToda являются -нормальными.

Доказательство. Согласно примеру 1.16 достаточно представить уравнения EToda в эволюционном виде. Пусть =xy = x + y, суть новые независимые переменные, выбранные таким образом, что имеют ме сто уравнения r ui ui = exp kij uj.

j= Положим теперь v тогда уравнения Eev J 2 (R2, R2r ) вида i ui, r ui = v i, v = ui exp i kij uj j= суть искомое эволюционное представление уравнений (3.19).

Из соотношения (3.21) и следствия 3.5 мы выводим взаимосвязь = L между нётеровыми симметриями и производящими сечениями законов сохра нения для уравнений Тоды. Это наблюдение позволяет уточнить свойство, об щее для всех интегралов i уравнения (3.19): предположим, что dh (i dx) = = i (F ) dx dy для любого допустимого i, и рассмотрим закон сохранения [] = [Q(x, ) dx], получим тогда Q j dh Q(x, ) dx = D i (F ) dx dy, i x j i,j и производящее сечение закона сохранения [] имеет вид Q (1)j (i ) Dx (i ) Ei (Q) = = j (4.1) i j i,j i по определению. Теперь мы сравним (3.31) с (4.1) и, используя теорему 1.20 и лемму 3.4, получим следующую теорему.

92 А. В. Кисел в е Теорема 4.2.

1. Для каждого интеграла i уравнений Тоды (3.19) существует такой опе ратор i, что i = i, если Dy (i ) = i (F ). В частности, интегралу 1 = T, заданному форму лой (3.22), соответствует оператор 1 = 1.

2. Нётеровы симметрии уравнений Тоды имеют вид Ei (Q(x, )), L = i i где i ker Dy — набор интегралов для уравнения EToda, Ei = (1)j Dx · j ij j есть оператор Эйлера относительно i, — произвольное множество диф ференциальных следствий из i, а Q — гладкая функция.

Пример 4.3. Вновь рассмотрим уравнения Тоды (3.19), связанные с системой корней A2. Тогда r = 2, ai = |i |2 = 1 при i = 1, 2 и 1 1 2 K 1 = · K=,, =.

1 2 3 = ux + · Dx (см. (3.26)). Интегралы 1 и 2 заданы в (3.23).

Положим Легко проверить, что Dy (1 ) = (F ), так что 1 = 1 и Dy (2 ) = Dx (F ), следовательно, 2 = Dx. Подчеркнём, что интеграл 2 не эквивалентен Dx (1 ).

Замечание 4.4. В теореме 4.2 мы установили, что для минимального инте грала T, определённого в (3.22), выполнено 1 = 1. Ограничим наши рассужде ния на подпространство {Q(x, T)} ker Dy ядра полной производной, порождён ное интегралом T и его дифференциальными следствиями. Тогда по теореме 1. законы сохранения [Q dx] для уравнений Тоды EToda находятся во взаимно-одно значном соответствии с нётеровыми симметриями L = ET (Q(x, T)).

Иными словами, нётеровы симметрии L уравнений Тоды (3.19), построен ных по невырожденной симметризуемой матрице K общего положения, имеют с точностью до преобразования x y вид ET (Q(x, T)). (4.2) L = Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Это утверждение является расширением на r 1 взаимосвязи между нётеро выми симметриями и законами сохранения для скалярного уравнения Лиувил ля [89], причём реализованная выше схема рассуждений оказалась существен но проще вычислительного доказательства, приведённого в [89] для скалярного уравнения Лиувилля (см. также [25]).

5. Операторы рекурсии для уравнений Тоды В этом разделе мы строим континуум операторов рекурсии, причём как ло кальных, так и нелокальных по Dx, для алгебры симметрий уравнений Тоды.

Несмотря на то, что структура (3.29) алгебры симметрий в целом известна, наличие операторов рекурсии даёт нам дополнительную информацию о самих уравнениях Тоды и устанавливает их взаимосвязь с иными уравнениями мате матической физики.

На с. 70—72 введения был кратко описан конструктивный метод получе ния операторов рекурсии для алгебр симметрии дифференциальных уравнений.

Применение этого метода к исследованию свойств уравнений Тоды (3.19), ассо циированных с невырожденными симметризуемыми (rr)-матрицами, приводит к следующей теореме.

Теорема 5.1 ([70]).

1. Уравнения (3.19) допускают континуум локальных операторов рекурсии R : sym EToda sym EToda вида j fij (x, ) · Dx R= i, i,j где fij — произвольные гладкие функции, а линеаризации относитель i но интегралов i для уравнений Тоды суть i · D,.... (5.1) =..., i uk k-я компонента 2. Существует континуум нелокальных операторов рекурсии для уравне ния (3.19). Для их построения поставим в соответствие интегралам i нелокальные переменные si, задав правила дифференцирования si = i и x si = 0. Линеаризации si определены формулами y = Dx i, si а вычисление i производится согласно (5.1). Искомые операторы рекур сии имеют вид fi (x, s, ) · Dx i, R= i где fi — произвольные функции. В общем случае эти операторы не сохра няют локальность элементов (3.29) алгебры симметрий sym EToda.

94 А. В. Кисел в е Доказательство. Увеличим набор зависимых переменных uj, добавив пере менные si и указав совместные правила дифференцирования si = i, (5.2) sy = 0.

x (На самом деле допустимо любое определение si, согласованное с условием y совместности si = si = 0.) Расширим полные производные:

xy yx i Dx = Dx +, Dy = Dy, si i так что [Dx, Dy ] = 0. Плоская связность Картана определена теперь на уравне нии E = {Dx (si ) = Dx (i ), Dx Dy (si ) = 0, k k+1 k k 0;

D (F ) = 0, || 0}.

Производящие 1-формы Картана Toda C (E ) C1 (E ) операторов рекурсии RToda удовлетворяют определяющему уравнению [1] (Toda ) = 0, Toda [1] 1, где Toda — ограничение линеаризации уравнения (3.19) на HC (E). Пользуясь факторизацией Toda = Dx Dy в (3.28), мы делаем вывод, что любая 1-форма Картана вида k i fi (x, s,..., Dxi (sj )) · dC (Dx (sl )) (5.3) Toda = i [1] лежит в ядре ker Toda, откуда следует утверждение теоремы. В частности, ес ли fi не зависят явно от нелокальных переменных s, то получаемый оператор рекурсии локален.

Пример 5.2. Рассмотрим интеграл T (см. (3.22)) и его линеаризацию r ij uj · Dx ai · Dx,... Dx. (5.4) =..., = T x j= i-я компонента Определим нелокальную переменную s, положив sx = T и sy = 1, которая удовлетворяет условию совместности (5.5) sxy = 0, и построим оператор рекурсии Dx RToda = T.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Применим оператор RToda к трансляции ux sym EToda и получим набор симмет рий k = (k1 ), которые соответствуют последовательности функций 3 5 1 = s3 + s2, 2 = 2 s5 s2 5s1 s3 + s 1 = 1, 0 = s1, 21 22 и т. д. Во второй главе мы рассмотрим свойства данного оператора рекурсии RToda и последовательности симметрий A = {k RToda (0 ), 0 = ux } k более подробно и покажем, что симметрии k уравнений Тоды, порождённые многократным применением RToda к трансляции 0 = ux, локальны, гамильтоно вы и коммутируют между собой. Кроме того, мы установим взаимосвязь между данной последовательностью симметрий A, уравнениями Кортевега—де Фриза (1.4) и (1.11) и операторами рекурсии (1.13) для них.

Глава 2. Иерархии Кортевега—де Фриза и уравнения Тоды В этой главе, следуя [27, 72], мы строим коммутативную гамильтонову иерархию A аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортеве га—де Фриза, которая задаёт коммутативную подалгебру нётеровых симметрий уравнений Тоды. Также рассмотрены некоторые вопросы гамильтонова форма лизма для самих уравнений Тоды и установлена взаимосвязь иерархии A с выс шими уравнениями Кортевега—де Фриза (1.4).

Отправной точкой в исследовании связи между уравнениями Тоды (3.19) и классическими уравнениями математической физики — уравнениями Кортеве га—де Фриза (1.4) и (1.11) — служит следующий пример.

6. Пример Рассмотрим гиперболическое уравнение Лиувилля ELiou = {uxy exp(2u) = 0}. (6.1) Минимальный интеграл (3.22) для этого уравнения имеет вид T = u2 u2, (6.2) Dy (T ) = (см. [14, 15]). Введём нелокальную переменную s, такую что (6.3) sx = T, sy = 1, и положим 2u1. (6.4) 96 А. В. Кисел в е Рассмотрим симметрию = u1 + 1 Dx (T ) уравнения Лиувилля и вычислим скорость эволюции переменных u,, T и s вдоль этой симметрии, будем иметь ut = u3 + u3 (потенциальное мКдФ), (6.5) Tt = T3 + 3T T1 (КдФ), (6.6) 1 st = s3 + s2 (потенциальное КдФ). (6.7) Преобразование Миуры [83, 87] принимает вид 1 = 2T 2, t = ±T2 (T1 + 1 T ), (6.8a) 1 T = 1 2. (6.8b) 2 Соотношения (6.8) можно интерпретировать как преобразования Беклунда меж ду уравнением Кортевега—де Фриза (6.6) и уравнением 1 t = 3 + 2 1 (модифицированное КдФ). (6.9) 2 Входящие в уравнение (6.8) знаки ±, обусловлены симметрией урав нения (6.9), которая задаёт автопреобразование Беклунда для уравнения (6.6) (см. [5, 95]).

Оператор рекурсии RLiou = Dx 2u1 + Dx u1 Dx, общий для уравнений (6.1) и (6.5), (см. [21, 65]), порождает коммутативную подалгебру Ли ALiou = spanR k = RLiou (0 ), 0 = u k локальных высших симметрий потенциального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза (6.5).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.