авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля ...»

-- [ Страница 2 ] --

Поставим в соответствие уравнению Лиувилля переменную v, такую что vx = exp(2u), (6.10a) Ev = {vy = v } (6.10b) и выполнено vxy = vyx. Тогда уравнение ELiou представимо в эволюционной форме ut1 = 1 v, (6.11) где переменная t1 y является параметром и 1 — тень нелокальной симмет рии,a + a1 ·, 1 1 v Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей для которой a1 = v2. Решение уравнения (6.10b) имеет вид v = (y + X (x)).

Применим преобразование (3.24) вида y = Y(y) к «времени» y и получим по тенциал Y (y) v= (X (x) + Y(y)) для общего решения u = (1/2) ln vx уравнения Лиувилля:

X (x) · Y (y) (6.12) u= ln (X (x) + Y(x)) (см. [77,88]). Отметим, что функционал (6.2) непрерывен на формальных расхо димостях u ± решения (6.12) (см. работу [68] и ссылки в ней). Реализован ная выше схема построения общего решения уравнения Лиувилля посредством введения потенциала v является, с нашей точки зрения, весьма лаконичной и продуктивной. Родственный подход применяется, например, при выводе подста новки Коула—Хопфа для уравнения Бюргерса [5].

Решение (6.12) уравнения (6.1) — это отображение : {Xy = 0, Yx = 0} ELiou.

Определяемое формулой (6.5) эволюционное поле ut можно поднять на прооб раз отображения : имеем Yt = 0 и уравнение Кричевера—Новикова X Xt = 2X3 + 3 = 2X1 · {X, x}, (6.13) X где {X, x} — производная Шварца, также выполнено соотношение vt = a1 v3 v2 v1.

Рассмотренные в этом примере эволюционные уравнения упорядочены в со ответствии с приведённой ниже схемой:

Уравнение Уравнение Кричевера—Новикова (6.13), Кричевера—Новикова (1.15) Yt = Ур-е (1.14) Ур-е (6.12) Потенциальное уравнение Потенциальное уравнение Ур-е КдФ (6.7) мКдФ (6.5) (5.2) Ур-е (6.3) Ур-е (6.4) Модифицированное уравнение Ур-е Уравнение КдФ (6.6).

КдФ (6.9) (6.8) 98 А. В. Кисел в е 7. Аналоги модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза 7.1. Построение иерархии A Начнём с формулировки полезного свойства интегралов i ker Dy |E для уравнений E лиувиллевского типа: установим, как эти интегралы эволюциони руют вдоль симметрий sym E уравнения E.

Лемма 7.1 ([14]). Скорость эволюции (i ) произвольного интеграла ker Dy для данного уравнения E вдоль любой его симметрии вновь i принадлежит ker Dy.

Доказательство. В самом деле, имеем i i Dy ( ( )) = (Dy ( )) = (0) = 0.

Пример 7.2. Рассмотрим симметрию = ((x, T)) уравнений Тоды (см.

(3.29)). Тогда выполнено соотношение 3 T = ( Dx + T Dx + Dx T )(), (7.1) () (T ) где r ai · i, = ux + Dx, i = k ij.

i=1 j Кроме того, мы можем вычислить скорость эволюции st нелокальной перемен ной s, введённой в примере 5.2 условиями sx = T и sy = 1, пользуясь формулой = Dx (s) (T ).

Рассмотрим последовательность 0, 1, 2 симметрий уравнений Тоды, соот ветствующих специальному выбору функций в формуле (3.29): именно, поло жим 1 = 1, построим симметрию 0 = (1 ) и вычислим соответствующую ей эволюцию T1, после чего перейдём к потенциалу s и получим новую функ цию 0. Аналогично построим функцию 1 и симметрии 1 и 2. Результат изображён на следующей диаграмме:

 1 = s3 + s2  T0 = T3 + 3T T Dx 2   R R Toda KdV T (s1 )  0 = s1  Dx (7.2) 1 = T1 = T  RToda T 0 = u x  1 = В диаграмме (7.2) мы встречаем такие уравнения: уравнение Кортевега—де Фри за EKdV = {Tt = T3 + 3T · T1 } (7.3) Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей с оператором рекурсии (1.13a), потенциальное уравнение Кортевега—де Фриза EpKdV = st = s3 + s2, (7.4) а также уравнение EpmKdV = {ut = (T (u1, u2 )}. (7.5) Если K = 2 — матрица Картана алгебры Ли g = sl2 (C), то ассоциирован ное с этой алгеброй уравнение Тоды (3.19) есть гиперболическое уравнение Лиувилля (6.1), а уравнение (7.5) — это в точности скалярное потенциальное модифицированное уравнение Кортевега—де Фриза (6.7). В общем же случае, когда входящая в уравнения Тоды матрица K — это произвольная невырожден ная симметризуемая (r r)-матрица (причём не обязательно матрица Картана полупростой алгебры Ли g ранга r), мы получаем r-компонентную систему эво люционных уравнений третьего порядка с кубической нелинейностью, которая в координатах принимает вид r ap · {kpq ui up uq + 2(i kpq i,q )up uq 2i up } ui = t xxx xx x xxx 2 p,q= при всех 1 r. Напомним, что i i = k ij и ap kpq = aq kqp.

j Аналоги потенциального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза при r = 2. В данном разделе мы рассмотрим эволюционные систе мы (7.5), соответствующие случаю r = 2 и симметричной матрице K, более детально.

Пример 7.3. Зададим симметричную матрицу 2 K=, тогда 1 =.

+2 Введём новые переменные v = ( + 2)(u1 u2 ), u = u1 + u 2, переход к старым зависимым переменным задан формулами 1 1 1 v, u2 = u u1 = u + v.

2 2( + 2) 2 2( + 2) В этом случае нормальная форма уравнений (7.5) такова:

2 2 +2 ut = u3 + v1 v2 + u1 + u 1 v1, ( + 2)3 4( + 2) +2 (7.6) +2 vt = u2 v1 + v3.

u 1 v1 + 4( + 2)2 100 А. В. Кисел в е Выполним масштабное преобразование t = ( + 2)2 · t, u = ( + 2)1 · u, (7.7) v = v, сохраняя прежние обозначения x, t, u, v.

Предложение 7.4. В координатах (7.7) уравнения (7.6) становятся линей ными по и принимают вид 1 1 1 ut = 2u3 + 2v1 v2 + u3 + u1 v1 + v1 v2 + u3 u1 v1, 2 21 2 41 (7.8) 1 13 1 vt = 2u2 v1 + u2 v1 + v1 + u2 v1 + u2 v1 v1.

21 2 Замечание 7.5. Вектор-функция, стоящая в (7.8) при, не является сим метрией потока при 0 (и наоборот).

Предложение 7.6.

1. Симметрии (t, x, u, v, u1, v1, u2, v2, u3, v3 ) порядка 3 потока 1 ut = 2u3 + 2v1 v2 + u3 + u1 v1, 21 1 vt = 2u2 v1 + u2 v1 + v 21 при 0 в (7.8) порождены образующими tut + 1 xux ut ux 1,,,,, tvt + 1 xvx vt vx 0 то есть масштабной симметрией, трансляциями и сдвигами. Коммутирова ние трансляций по t и x с масштабной симметрией оставляет каждую из трансляций на месте.

2. Симметрии (t, x, u, v, u1, v1, u2, v2, u3, v3 ) порядка 3 потока 1 ut = v1 v2 + u3 u1 v1, 41 1 vt = u2 v1 + u2 v1 v 41 при 1 в (7.8) порождены образующими tut + 1 xux ut ux 1,,,,, 1 vt vx 0 tvt + 3 xvx то есть масштабной симметрией, трансляциями и сдвигами.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Законы сохранения системы (7.8), приведённой к нормальной форме, таковы.

Предложение 7.7. Существует одно производящее сечение 1 u (t, x, u, v, u1, v1, u2, v2 ) = 2 +2 v порядка 2 закона сохранения для потока (7.8) при общего положения (см.

замечание 7.11), это сечение соответствует сохраняющейся плотности 2 H = u2 + v.

x +2 x Как будет установлено в разделе 9, уравнения (7.6) гамильтоновы относи тельно оператора A1 = K 1 · Dx. Чтобы получить гамильтоново представление системы (7.8), сформулируем правило преобразования гамильтоновых операто ров при заменах зависимых переменных.

Лемма 7.8. Рассмотрим гамильтоново уравнение ut = A(Eu (H[u])).

Пусть задано невырожденное преобразование u = Qu зависимых переменных.

Тогда выполнено u = A(Eu (H[])), u где A = Q · A · t Q.

Пример 7.9. Для уравнений (7.8) мы получаем диагональный оператор +2 u · Dx (E(u,v) (T 2 dx)), =2 (+2) v t где плотность h1 гамильтониана T 2 dx уравнения Кортевега—де Фриза в коор динатах u, v принимает вид (( 2)vx ( + 2)u2 + 4( + 2)uxx )2.

h1 = x Предложение 7.10. Симметрии (t, x, u, v, u1, v1, u2, v2 ) порядка 2 уравнения (7.8), соответствующего общего положения (см. заме чание 7.11), порождены образующими ux 1 (7.9),,, vx 0 то есть трансляцией и сдвигами.

102 А. В. Кисел в е Замечание 7.11. Подчеркнём, что алгебра симметрий (в том числе и класси ческих) полученной системы (7.8) существенно зависит от исходной матрицы K:

случаи = 1 (матрица K соответствует алгебре A2 ) и = ±2 (матрица K вырожденна) являются особыми. Ниже мы рассмотрим их по отдельности.

Сначала рассмотрим случай = 1, то есть K — матрица Картана алгебры Ли A2. Подстановка (7.7) принимает вид v = u1 u2.

u = u1 + u2, Выполняя тождественные преобразования, имеем 3 1 ut = u3 + v1 v2 + u3 + u1 v1, 2 8 8 (7.10) 1 1 vt = u 2 v 1 + u 2 v 1 + v 1.

2 8 Предложение 7.12.

1. Симметрии (t, x, u, v, u1, v1, u2, v2 ) порядка 2 потока (7.10) порождены образующими v ux 1,,,, 1 u + 2 ln vx vx 0 3 то есть неполиномиальной симметрией, трансляцией и сдвигами. Эта непо линомиальная симметрия представима в виде u2 = exp(u + 3utt ).

xt 2. Производящие сечения (t, x, u, v, u1, v1, u2, v2 ) порядка 2 законов сохранения для потока (7.10) суть (u, v, vx ) u,, + 2v2 v1 v1 u1 v 2 3v2 v где функция удовлетворяет уравнению 1 = 0.

+ v u 2 v1 Теперь (впервые в данной работе) рассмотрим случай вырождения матри цы K. Нетривиально, но матрица K может быть вырождена по-разному.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Именно, пусть = 2 и K = ( 2 2 ). Тогда система (7.6) становится треуголь ной1 : u = 1 u + u3, t 3 2 (7.11) vt = u2 v1 + u2 v1.

Она состоит из потенциального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза и дополнительной бездисперсионной компоненты. Существенно, что сдвиг переменной v произволен: t (0, f (v)) — симметрия уравнения (7.11) при произвольной f. Существует ещё пара симметрий — трансляция и сдвиг u, — такие же, как в (7.9).

Предложение 7.13. Производящие сечения (t, x, u, v, u1, v1, u2, v2 ) порядка 2 законов сохранения для потока (7.11) при = 2 имеют вид u2 exp(u) exp(u),,.

0 0 Сохраняющиеся плотности суть 1 = u2, 2 = exp(u), 3 = exp(u) 2x соответственно. Последние две из них задают неполиномиальные сохраняющи еся токи 2 = exp(u) dx + (2u2 u2 ) exp(u) dt, 3 = exp(u) dx + (2u2 + u2 ) exp(u) dt для потенциального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза ut = 2u3 + u с полиномиальной правой частью.

2 Если же = 2 и K =, то уравнение (7.8) принимает вид 2 ut = 2u3 + 4v1 v2 + u1 v1, (7.12) vt = vx.

Предложение 7.14. При = 2 симметрии системы (7.8) суть (7.9). Про изводящие сечения (t, x, u, v, u1, v1, u2, v2 ) 1 Алгебра классических симметрий уравнений Тоды с такой матрицей задана производящими сечениями = ux + (x)1, где константа и функция (x) произвольны.

104 А. В. Кисел в е порядка 2 законов сохранения для потока (7.12) таковы:

, (x, t, v, vx, vxx ) где функция удовлетворяет уравнению 3 2 2v1 3v1 6v1 v2 = 0.

+ v1 v t v x v Факторизации операторов рекурсии. Вернемся к задаче описания комму тативной иерархии A, ассоциированной с исходным уравнением Тоды EToda.

По построению симметрии i связаны оператором рекурсии Dx (7.13) RToda = T для уравнений Тоды (3.19) (см. пример 5.2). Зафиксируем1 это определение RToda до конца работы.

В данном разделе мы установим, что всякая симметрия (k1 ) sym EToda k = конструктивно задаёт следующую функцию k соотношением k = k (s), так что k+1 = (k ), и дадим обоснование того, что k образуют иерархию потен циального уравнения Кортевега—де Фриза (7.4).

Заметим, что функции 1, 0 и 1 последовательно переводятся одна в дру гую оператором рекурсии RpKdV = Dx + 2s1 Dx s (7.14) для уравнения (7.4) (см. [96]), который мы получили во введении, иллюстрируя разработанный И. С. Красильщиком метод производящих форм Картана [74].

Лемма 7.15. Имеют место следующие разложения операторов рекурсии на множители:

RToda = s, RpKdV = s, (7.15) где s = Dx согласно уравнению (1.18), а линеаризация задана форму T T лой (5.4).

Доказательство. Первое из этих разложений выполнено по построению, а справедливость второго устанавливается таким вычислением:

(ux + Dx ) = T 1 ij ui Dx uj + kij ui Dx ui 2Dx ui = ai + 1 1 1 2 i,j i j 1 kij uj i Dx 2i Dx ij ui j Dx + 2 2 + ai = 1 2 i,j i j 1 Как уже было отмечено в первой главе, мы рассматриваем уравнения Тоды и структуры на них с точностью до дискретной симметрии x y.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей ai {kij (ui uj + ui uj ) 2ui } + = ai i Dx + 12 21 i i,j ai {kij (ui uj + ui uj ) 4ui }Dx + + 11 11 2 i,j ij i uj Dx ai · (2ui )Dx + ij j ui Dx + 2 + = 1 1 2 i i,j i,j = Dx + T1 + 2T Dx, откуда следует искомое равенство.

Подчеркнём, что представление скалярного оператора RpKdV в виде произве дения векторного оператора и строки s длины r, насколько нам известно, не отмечалось в литературе.

Используя лемму 7.15 и отождествляя инфинитезимальные симметрии дифференциальных уравнений с автономными эволюционными уравнениями, неограниченно продолжим диаграмму (7.2) вверх, получая в результате диа грамму... -...

6 s RToda RpKdV ut2 = 2  st1 = 1 = s3 + s 6 s 6pKdV =Dx +2s1 Dx s 2 (7.16) RToda R ut1 = 1  st0 = 0 = s 6 s R R Toda pKdV ut0 = 0 = ux  st1 = 1 = A B Правые части k эволюционных уравнений stk = k являются высшими симметриями потенциального уравнения Кортевега—де Фриза EpKdV, поскольку все они определены оператором рекурсии RpKdV.

В диаграмме (7.16) времена ti, входящие в уравнения utk = k и stk = k, согласованы между собой.

Теорема 7.16. Скорость эволюции k (s) нелокальной переменной s в силу высшей симметрии k = (k1 ) уравнений Тоды (3.19) тождественно равна k+ эволюции k, заданной k-м высшим аналогом stk = RpKdV (1) потенциального уравнения Кортевега—де Фриза (7.4):

(k1 ) (s) = k = RpKdV (k1 ).

Доказательство. Из разложений (7.15) следует равенство RpKdV (k ) = Dx ( (k ) (T )).

106 А. В. Кисел в е Следствие 7.17.

1. По всякой тени k в накрытии s вида (5.2) над уравнением Тоды можно восстановить настоящую нелокальную симметрию k,k уравнений Тоды.

2. Все входящие в (7.16) поддиаграммы k+2 k+ R RToda pKdV k+1 k коммутативны: RToda (k+1 ) = (k+1 ), и выполнены соотношения 1 RpKdV RToda RToda =, RpKdV =.

Замечание 7.18. То, что в скалярном случае (6.1)—(6.9) операторы рекурсии RToda и RpKdV сопряжены один другому, отмечалось в [65].

Обоснование локальности цепочки симметрий A. Из приведённых выше рассуждений пока не следует, что элементы k последовательности B высших симметрий потенциального уравнения Кортевега—де Фриза (7.4) локальны (так же этого пока не следует для элементов k+1 = (k ) последовательности A), поскольку они по построению лежат в образе оператора Dx.

Предложение 7.19 ([55]). Оператор рекурсии (7.14) для потенциального уравнения Кортевега—де Фриза (7.4) порождает последовательность локаль ных по T высших симметрий k+ k = RpKdV (1 ) = k (T,..., T2k ), где 1 = 1 — сдвиг зависимой переменной s на константу.

Существует несколько способов доказать утверждение 7.19. Один из них, указанный И. С. Красильщиком [73], опирается на свойство слабой нелокаль ности оператора рекурсии RpKdV (см. (10.8)).

Следствие 7.20. Определённые выше симметрии k = (k1 ) уравнения (3.19) — элементы последовательности A — локальны и зависят от производ ных uj, || 1, при всех k 0.

Отметим также, что в [21] в скалярном случае r = 1 мы установили локаль ность высших симметрий A sym ELiou напрямую, минуя обсуждение свойств потенциального уравнения (7.4).

7.2. Коммутативность иерархии A Классический пример эволюционных уравнений, допускающих коммутатив ную подалгебру симметрий, задан следующей леммой.

Лемма 7.21 ([18]). Пусть E — скалярное эволюционное уравнение (7.17) ut = uk + f (uk2,..., u), Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей причём f — полином. Тогда подалгебра Ли sym E | = (u ) sym E симметрий уравнения E, зависящих лишь от переменной u или её производных, является коммутативной.

Обозначим через B минимальную алгебру Ли, порождённую симметрия 1. Из лем ми k потенциального уравнения Кортевега—де Фриза при k мы 7.21 следует, что алгебра B коммутативна:

{k, l } = k (l ) l (k ) = 0, и потому она совпадает с линейной оболочкой образующих k :

B = spanR k | k 1.

((x, T)) уравнений Установим правила коммутирования симметрий = Тоды (3.19).

Лемма 7.22. Определённая в теореме 1.5 скобка Якоби на симметриях (3.29) индуцирует такую скобку на аргументах оператора : пусть = ( (x, T)) и = ( (x, T)), тогда {, } = ({1,2} ), где ( ) ( ) + Dx ( ) Dx ( ), (7.18) {1,2} = причём {1,2} = {1,2} (x, T) согласно (7.1).

Через A мы обозначим минимальную алгебру Ли, порождённую k при k 0.

Теорема 7.23. Алгебра Ли A sym EToda коммутативна: [A, A] = 0, и потому A = spanR k | k 0.

Доказательство. Прокоммутируем две симметрии k1 и k2, применим получаемое эволюционное поле к переменной s и воспользуемся связью между k и k :

[ k 1, k2 ](s) = k1 (k2 ) k2 (k1 ) = (s) (s) = {k1, k2 } = 0.

= k1 (k2 ) k2 (k1 ) Поскольку T = sx, получим (7.19) [ k 1, k2 ](T ) = 0.

Вычислим скорость эволюции интеграла T вторым способом, используя лем му 7.22: сначала рассмотрим скобку {k1, k2 }, а затем сосчитаем T{k1,k2 }. Для этого вспомним, что k1 = (k1 1 ) и k2 = (k2 1 ), а потому {k1, k2 } = ({k1,k2 } ), 108 А. В. Кисел в е где + Dx (k1 1 )k2 1 k1 1 Dx (k2 1 ) {k1,k2 } = k1 (k2 1 ) k2 (k1 1 ) в силу (7.18). Далее согласно примеру 7.2 имеем 3 = ( Dx + T Dx + Dx T )({k1,k2 } ). (7.20) {k1,k2 } (T ) = ({k1,k2 } ) (T ) Объединяя (7.19) и приведённое выше равенство (7.20), получаем 3 ( Dx + T Dx + Dx T ){k1,k2 } = 0. (7.21) В левой части (7.21) стоит оператор в полных производных B2 с коэффициен тами из T, и мы применяем его к {k1,k2 } (T,..., Tµ(k1,k2 ) ), получая справа 0.

Поэтому {k1,k2 } = 0 и {k1, k2 } = (0) = 0, а поскольку k1 и k2 произвольны, то A коммутативна.

Предложение 7.24. Пусть E(0) = {ut0 = 0 (u )} — эволюционное уравне ние, предположим также, что каждому k 0 сопоставлена некоторая симмет рия k (u ) sym E(0), не зависящая от времени t0 явно. Тогда следующие два условия эквивалентны.

1. Алгебра A = spanR k | k 0 есть коммутативная алгебра Ли:

{k, l } = 0.

2. При любых k, l 0 векторное поле l является симметрией автономного эволюционного уравнения E(k) = {utk = k }.

Доказательство. Отождествим эволюционное векторное поле k с авто номным эволюционным уравнением utk = k и рассмотрим равенство k (l ) = l (k ).

В левой части имеем Dtk k (l ) = utk (l ) = (l ) = Dtk (l ), tk поскольку l не зависит явно ни от одного времени tk. В правой части исходного равенства присутствует l (k ) = k (l ).

Таким образом, условие {k, l } = 0 коммутирования симметрий k и l экви валентно определяющему уравнению (Dtk k )(l ) = 0, то есть тому, что l — это симметрия уравнения E(k) при произвольных k, l 0.

Следствие 7.25. При любых k, l 0 верны следующие утверждения.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей 1. Сечения k A являются симметриями не только уравнений Тоды, но и всех уравнений E(l) = {utl = l }:

k sym E(l).

2. Оператор рекурсии RToda — общий для всего набора эволюционных урав нений E(l) :

RToda Rec E(l).

В частности, RToda = RpmKdV.

Замечание 7.26. В [65] скалярное потенциальное модифицированное урав нение Кортевега—де Фриза рассматривалось в нормировке ut = u3 + u3. В этом случае оно допускает оператор рекурсии, общий с уравнением sin-Гордона uxy = sin u.

Замечание 7.27. Пользуясь следствием 7.20, легко понять, что сечение 1 = const является центральным расширением коммутативной подалгебры Ли A sym E(l) симметрий эволюционного уравнения E(l) для всякого l 0, при том что const sym EToda.

8. О гамильтоновом формализме для уравнений Эйлера В данном разделе мы рассматриваем задачу построения по классу гиперболи ческих уравнений Эйлера—Лагранжа (например, волновому уравнению sxy = или уравнениям Тоды (3.19)) гамильтоновых систем (см. [27, 30, 72]). Также мы совершаем переход от координатного задания канонического гамильтоно ва формализма, весьма широко используемого в работах по математической физике (см. работы [4, 36, 52] и ссылки в них), к его инвариантному описа нию [5, 67, 75], учитывая разделение зависимых переменных на «координаты» и «импульсы». Рассматривая гиперболические уравнения Эйлера—Лагранжа, мы изучаем свойства дифференциальной связи между зависимыми переменными ui и импульсами mj, трактуем симметрии этих уравнений как потенциальные эво люционные уравнения и обосновываем связь между гамильтоновыми структу рами, допускаемыми парой эволюционных уравнений — потенциальным для пе ременной u и непотенциальным для m. Цель наших рассуждений — построение по исходному лагранжеву уравнению EEL J k () нового расслоения джетов J ( ), в котором уравнение (1.10) становится эволюционным векторным по лем — элементом ( ), в то время как эволюционные поля, соответствующие «импульсам» m, принадлежат ( ). В итоге мы устанавливаем соответствие между коммутативными подалгебрами нётеровых симметрий гиперболических уравнений Эйлера—Лагранжа и гамильтоновыми иерархиями, состоящими из пар эволюционных уравнений — потенциальных и непотенциальных.

110 А. В. Кисел в е 8.1. Конструкции гамильтонова формализма Рассмотрим абстрактную 2r-мерную динамическую систему с зависимыми переменными ui, импульсами mj, пространственными координатами x и време нем t, заданную скобками Пуассона {ui, uj }A = 0, {mi, mj }A = 0, (8.1) {u (x, t), mj (x, t)}A = Aij (x x ) i (см. [4,36]), здесь A — это (rr)-матричный дифференциальный оператор в пол ных производных по x, а определённые с его помощью скобки являются диф ференцированиями по каждому из аргументов. Динамику u = {u(x), H(u(x ), m(x ))}A, (8.2) m = {m(x), H(u(x ), m(x ))}A переменных u и m, заданную гамильтонианом H = [H dx] с плотностью H(x) = H(u(x), u (x);

m(x), D m(x)), мы получаем стандартно:

H u = {u(x), H(x )}A = {u(x), D m(x )}A · dx, (D m(x )) C(x) где C(x) — контур вокруг точки x. Подчеркнём, что именно на таком языке из ложено большинство работ по применению гамильтонова формализма в теории поля, вскоре мы перейдём к инвариантному изложению. Пока, интегрируя по частям, получаем H u=A (8.3a).

m(x) Аналогичным способом мы получаем второе соотношение H m = A (8.3b).

u(x) Приведённые выше рассуждения позволяют определить вариационную скобку в общем случае: для пары гамильтонианов с плотностями H, H положим H H H H {H, H }A = ·A ·A.

u m m u Замечание 8.1. Обычно зависимые переменные — «координаты» и «импуль сы» — рассматриваются единообразно: можно определить дополнительные пере менные ur+j = mj при 1 r, то есть удвоить общее количество m = 2r j Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей координат uj. Операторы A и A при этом также объединяются в матрицу размера m m, A = A 0 A, так что динамические уравнения принимают вид (H(u)) u=A, u где варьирование /u производится относительно нового вектора u t (u, m).

Именно поэтому замечание 8.1 объясняет определения 1.7—1.9.

Мы должны отметить, что существующая практика [5, 67, 75] применения гамильтонова формализма в терминах сформулированного на с. 66 определения гамильтонова уравнения, в отличие от (8.2), не предусматривает рассмотрения каких бы то ни было «импульсов». Между тем возврат к двойному набору из m = 2r зависимых переменных позволяет установить интересные свойства классических уравнений математической физики, например уравнения Кортеве га—де Фриза (7.3), модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза (6.9) и им подобных. Этим мы занимаемся в разделе 9.

8.2. Гиперболические уравнения Эйлера—Лагранжа Рассмотрим лагранжиан первого порядка L= L(u, ux, uy ;

x, y) dx dy с плотностью L= ij ui uj + H(u;

x, y), xy 2 i,j где — некоторая невырожденная симметричная постоянная (rr)-матрица. От метим, что обозначение согласовано с общим изложением: если r = 1 и H = 0, мы получаем волновое уравнение (5.5) (см. раздел 5), а если = = ai kij и функция H задана формулой (8.8) — уравнения Тоды.

Выберем в качестве «времени» независимую переменную y (необходимо, что бы выполнялось условие L/uy = 0), оставим x в качестве пространственной u координаты на базе R нового расслоения : R R R со старым слоем u, а через mj = L/uj обозначим j-ю сопряжённую координату — импульс, соот y ветствующую j-й зависимой переменной uj при каждом 1 j r:

r mi = ij uj. (8.4) x 2 j= Дифференциальный характер связи (8.4) между координатами и импульсами исходного уравнения (1.10) как раз и является главным инструментом в даль нейшем построении гамильтоновых структур.

Построим по исходному функционалу действия гамильтониан H(u, m) = [H dx] 112 А. В. Кисел в е с плотностью, определяемой из преобразования Лежандра:

L H dx dy = m, L.

uy Чтобы варьирование (8.3) гамильтониана H приводило к правильному результа ту, представим его плотность H в виде суммы двух равных слагаемых и в одном из них воспользуемся соотношением u = 2 1 Dx (m) между координатами u и импульсами m:

1 H = H[u] + H[m].

2 Гиперболическое уравнение Эйлера—Лагранжа EEL = {Eu (L) = 0} эквивалентно уравнениям H H my = (8.5) uy =, m u относительно канонической гамильтоновой структуры A = 1. В силу соотноше ний 1 1 = 1 · Dx, = Dx ·, 2 m u u 2 m A1 A динамические уравнения распадаются:

uy = A1 Eu ([H[u] dx]), (8.6) my = A1 Em ([H[m] dx]).

Пример 8.2. Рассмотрим случай r = 1, = 1, и пусть гамильтониан тривиален: H 0. Тогда гамильтоновы операторы 1 B1 = Dx, B1 = Dx, ассоциированные с волновым уравнением (5.5), взаимно-обратны.

Проиллюстрируем эти рассуждения на примере уравнений Тоды (3.19), соот ветствующих лагранжиану (3.20). Оказывается, что гамильтонова форма (8.9) записи уравнений Тоды говорит нам о существовании минимального интегра ла (3.22), сохранение которого отражает сохранение плотности гамильтониа на (8.8) для уравнений Тоды.

Лемма 8.3. Пусть плотность H гамильтониана H = [H dx] гамильтонова эволюционного уравнения ut = A(Eu (H)) не зависит явно от времени t. Тогда H есть сохраняющаяся плотность для этого уравнения:

[Dt (H) dx] = 0.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Доказательство. Используя условие H/t = 0, вычислим производную Dt (H):

H, D (A Eu (H)) Dt (H) = 1, AEu (H) (H) = = u H, A Eu (H) = A Eu (H), Eu (H) = (1) D = u H = D (A Eu (H)), = = Dt (H) AEu (H) (H), u (мы проинтегрировали по частям, воспользовались кососопряжённостью гамиль тонова оператора A, A = A, а затем вновь использовали определение операто ра Эйлера Eu и проинтегрировали по частям). Перенося результат в левую часть исходного равенства, получаем условие 2Dt (H) im Dx, что и требовалось.

Пример 8.4 ([30]). Выберем в качестве «времени» координату y, введём импульсы m = L/uy, r mi = ij uj, (8.7) 2 j= и получим плотность HToda гамильтониана HToda :

r r r 1 2 1 HToda (u, m) = D (mi ) kij uj, ai exp ai exp ai x 2 i=1 i=1 j= которую мы представили в виде суммы двух компонент, явно зависящих от mi и uj соответственно. Тогда каноническое гамильтоново представление уравне ний Тоды EToda имеет вид r i u = HToda = D1 exp kij uj, x mi j= r r m = HToda = i kjl ul.

ij exp ui 2 j=1 l= В терминах зависимых переменных u имеем r r kij uj (8.8) HToda (u) = ai exp i=1 j= и u = A1 Eu (HToda (u)), (8.9) 1 · Dx.

где A1 = Эволюционное представление для уравнения Лиувилля (6.1) мы указали ранее в (6.11).

114 А. В. Кисел в е Чтобы согласовать получаемые выражения с (3.22), подействуем преобразо ванием x y на гамильтоново уравнение (8.9). Применим указанное в лем ме 8.3 наблюдение о свойствах гамильтонианов к плотности (8.8) и получим r r ai ui ij ui uj, (8.10) Dx (HToda ) = Dy = Dy xx xx 2 i,j= i= откуда следует выражение (3.22).

Кроме того, используя гамильтоново представление (8.9), удаётся явно за дать элементы k с номерами k 0 построенной в предыдущем разделе после довательности A.

Предложение 8.5. Гамильтоново эволюционное уравнение uy = 1 Dx Eu (HToda ) (8.9 ) является прообразом трансляции ut0 = 0 при отображении RToda, то есть эле ментом 1 последовательности A.

Доказательство. Согласно лемме 7.15 имеем RToda (1 ) = ( uy (s)) = (Dy (s)) = (1) = ux.

Итак, сами уравнения Тоды в представлениях (8.9) и (8.9 ) определяют со ответственно трансляции uy = 1 = 1 Dx Eu (HToda ) и ux = 0 = 1 Dy Eu (HToda ) — элементы последовательности A, связанные оператором рекурсии RToda :

uy = 1  - 0 = ux RToda 2 = (T )  - 1 = RToda (T ) RToda RToda Оператор RToda, полученный применением к RToda дискретной симметрии x y, размножает симметрии k A уравнений Тоды с номерами k 1.

Вернёмся к изложению гамильтонова формализма для уравнений Эйле ра—Лагранжа EEL = {Eu (L) = 0} и их симметрий, которые мы интер претируем как эволюционные уравнения ut =. Заметим такое обстоятельство:

рассмотрим произвольную симметрию (ux, uxx,...) уравнения (1.10), отожде ствляемую с потенциальным эволюционным уравнением (8.11a) ut = (ux, uxx,...), тогда индуцированная эволюция mt импульсов описывается непотенциальным уравнением mt = · Dx (t (m, mx,...)). (8.11b) Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Предположим дополнительно, что эволюция гамильтонова:

1 H 1 H, m= u=.

2 m 2 u Тогда выполнено 1 H u = 1 · Dx, u A (8.12) 1 H m = Dx ·, 2 m A то есть оба уравнения (8.11) гамильтоновы одновременно, а задающие их га мильтоновы операторы A1 и A1 взаимно-обратны.

Укажем два классических примера пар эволюционных уравнений, допуска ющих взаимно-обратные гамильтоновы структуры.

Пример 8.6 ([30]). Потенциальное уравнение Кортевега—де Фриза (7.4) гамильтоново относительно оператора B1 = Dx. В свою очередь, оператор 1 = Dx — это первая гамильтонова структура (см. (1.5)) для уравнения Корте B вега—де Фриза (7.3). Легко видеть, что уравнение (7.4) совместно с волновым уравнением (5.5), то есть поток 1 в уравнении st = 1 является симметри ей уравнения sxy = 0. Одновременно с этим непотенциальное уравнение (7.3) задаёт эволюцию импульсов T = sx (с точностью до несущественного множи теля 1/2).

Вторым примером служат потенциальное и непотенциальное модифициро ванные уравнения Кортевега—де Фриза (7.5) и (9.1). По сути, следующие за данным разделы 9.1 и 9.2 представляют собой разбор этих двух примеров. Ока зывается, что первая пара описывает иерархию B симметрий волнового уравне ния (5.5), а вторая задаёт иерархию A симметрий уравнения Тоды (3.19).

Вернёмся к уравнениям (8.12) и отметим важное свойство двух гамильтоно вых уравнений u = A1 Eu (H) и 1 m = A1 Em (H) = Eu (H).

2 Оказывается, что с выражением в правой части последнего уравнения мы уже встречались в лемме 1.19, описывая соответствие = Eu (0 ) между плотностя ми 0 законов сохранения [] и их производящими сечениями. Формулы (8.11) позволяют интерпретировать это утверждение так: производящие сечения за дают (с точностью до знака) эволюцию m импульсов m относительно гамильто новых симметрий исходного уравнения E.

Кроме того, теперь мы можем связать две пары отображений разных типов:

во-первых, операторы рекурсии Ru и Rm разных эволюционных уравнений — по тенциального (8.11a) и непотенциального (8.11b) — и, во-вторых, существующие 116 А. В. Кисел в е одновременно отображения Ru :, Tu :, размножающие соответственно симметрии и производящие сечения одного и то го же уравнения Eu. Известно [67], что для эволюционных уравнений выполнено соотношение Tu = Ru, (8.13) (см., например, диаграмму (10.7)). В терминах пары эволюционных уравне ний (8.11) соотношение (8.13) означает существование кососопряжённого опе ратора рекурсии 0 Ru (8.14) AR = Ru для гамильтоновой формулировки (8.6) исходного уравнения Эйлера—Лагранжа E = {Eu (L) = 0}. Именно такая ситуация реализуется для упомянутых выше пар уравнений (см. (9.4)). Отметим также, что в данном случае выполнено Rv = Ru.

Рассмотрим теперь задачу построения бигамильтоновой иерархии (точнее, пары иерархий относительно переменных u и m) при помощи оператора ре курсии (8.14). Именно, требуется установить, при выполнении каких условий оператор AR задаёт на входящих в диаграмму H0 H1 H m m m 0 1 2...

R R R гамильтонианах Hi вторую гамильтонову структуру {u, m}AR, для которой вы полнено тождество Якоби (1.2b). Заметим, что достаточным для этого является условие коммутирования потоков uti = i (очевидно, что сечения mti = i так же коммутируют). Обозначим через U минимальную алгебру Ли, порождённую сечениями i. Следует отметить, что в общем случае операторы (8.14) задают структуру (1.2b) алгебры Ли лишь на гамильтонианах Hi H n (), а не на всей n (). Таким образом, использу группе старших горизонтальных когомологий H емое понятие гамильтонова оператора на деле оказывается шире, чем заданное определением 1.8. Ценой тому оказывается сужение класса рассматриваемых уравнений: наши рассуждения — по крайней мере в данной формулировке — при менимы к гиперболическим лагранжевым уравнениям E и последовательностям их гамильтоновых симметрий i, соответствующих набору гамильтонианов Hi.

Для существования гамильтонианов Hi, таких что Hi1 Hi Hi1 Hi, i = R =1· = 1 · (8.15) i = R, m m u u также является достаточным, чтобы алгебра U была подалгеброй Ли нётеро вых симметрий лагранжиана L: в этом случае существование сохраняющихся плотностей обеспечено теоремой Нётер (теорема 1.20).

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей В терминах расщеплённых уравнений (8.12) мы получаем более привычный способ описания пары схем Магри [78] i+1... i+1...

6  6 6 A1 A R R Em i  Hi R R i+ - 6 A2 A  Eu - i Hi (8.16) i R, R  6 6 A1 A Em i1  Hi R R i 6 A2 A R R  i1... i1...

в которой, подчеркнём, операторы A1 и A1 обусловлены связью (8.4) между u и m, а вторые структуры A2 и A2 определены соотношениями R = A2 A1, R = A2 A 1 соответственно. В дальнейшем мы сохраним принятые обозначения и будем выделять «шляпкой» гамильтоновы операторы A1,2 и B1,2 для непотенциальных уравнений (9.1) и (7.3).

В фундаментальной работе [67] было установлено, решениями каких урав нений и в каких именно расслоениях являются операторы рекурсии R, сопря жённые им операторы T, гамильтоновы структуры A и обратные им симплекти ческие структуры A. Возврат от диаграммы (8.16) к (8.15) позволяет по-новому взглянуть на эти соотношения и структуры.

Замечание 8.7. Установим соответствие между производящими сечения ми законов сохранения для исходного уравнения Эйлера—Лагранжа в записи EEL = {F · Eu (L) = 0} и в эволюционном представлении (8.6), обозначая эти сечения через L и. Это соответствие задано диаграммой D 1 1 (8.17) x L, первая стрелка в которой следует из определения производящих сечений, dh = (F ) dx = Dx (Dx (F )) dx, и потому L = (1), = Dx (1), а вторая стрелка следует из леммы 3.4.

118 А. В. Кисел в е 9. Некоторые свойства иерархий Кортевега—де Фриза Сформулированные в предыдущем разделе идеи [30, 36, 72] мы иллюстри руем ниже на примере бигамильтоновых уравнений (7.3), (7.4), (7.5), а также r-компонентных аналогов EmKdV = {t1 = Dx (9.1) (T )} модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза (6.9), которому удовлетво ряет новая зависимая переменная = · ux (9.2) (она отличается от импульсов mToda = ( ux ) множителем 2 и введена из соображений упрощения вычислений).

Итак, приступим к изучению соотношений между уравнениями EpKdV и EKdV, а также EpmKdV и EmKdV. Как выяснится, потенциалы u и s для и T тако (u) (s) вы, что линеаризации = Dx и T = Dx равны первым гамильтоновым структурам A1 и B1 для EmKdV и EKdV соответственно, а первые гамильтоновы структуры A1 и B1 для Ep(m)KdV обратны к ним. Гамильтонианы для уравнений E(p)KdV известны из обширной литературы, что же касается явного описания гамильтонианов Hk для уравнений E(p)mKdV — они приведены в итоговой теоре ме 9.11.

9.1. Об уравнении Кортевега—де Фриза Пусть Ls есть лагранжиан Ls = sx sy dx dy.

Сопоставим ему волновое уравнение Es = {sxy = 0} (см. (5.5)) и рассмотрим коммутативную подалгебру Ли B = spanR RpKdV (1 ), 1 = 1, k 0 sym Es k+ симметрий этого уравнения — построенную ранее иерархию высших потенци альных уравнений Кортевега—де Фриза. Вместо канонического импульса ms = = 1 sx мы, как и в случае (9.2), будем использовать переменную T = sx, деформации которой, как отмечалось выше, суть элементы иерархии непотен циального уравнения (7.3). Согласно (8.12) две эти иерархии — потенциальная и непотенциальная — допускают пару взаимно-обратных гамильтоновых опера торов B1 = B1 = Dx, для уравнений EKdV и EpKdV соответственно. На приве дённой ниже части схемы Магри (см. диаграмму (8.16)) совпадающие элементы Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей подчёркнуты:

-...

B Es - s4 + 3s1 s h1 [s]...

RpKdV - id B1 =Dx - - B 1 - s3 + 3 s ET (T1 + T 3 ) dx h1 [T ] = RKdV 2 1B1 =Dx - B Es - s2 T3 + 3T · T1 (9.3) h0 [s] RpKdV id B - B 12 ET - s h0 [T ] = T dx RKdV 6 B T RpKdV =RKdV B2 = Dx +Dx T +T ·Dx ET - h1 [T ] = [T dx] Начальные члены приведённой выше диаграммы заданы гамильтонианами, плот ности которых хорошо известны:

12 (Tx + T 3 ) dx и т. д.

h1 = [T dx], h0 = T dx, h1 = 2 В качестве примера к (8.13) рассмотрим соотношение RpKdV = RKdV между операторами рекурсии для потенциального уравнения Кортевега—де Фриза (7.4) и уравнения Кортевега—де Фриза (7.3), где RKdV = Dx + 2T + T1 · Dx.

Имеют место два разложения оператора рекурсии RpKdV на гамильтоновы:

B 1 1 (Dx + s1 · Dx + Dx s1 ) Dx = Dx ( Dx + Dx T + T · Dx ). (9.4) B Входящая сомножителем в правую часть (9.4) вторая гамильтонова структу ра B2 для уравнения Кортевега—де Фриза (7.3) уже встречалась нам в заме чании 7.2. Ещё одно важное свойство этой структуры, устанавливающее связь между уравнением EKdV, уравнениями Тоды EToda и алгеброй Вирасоро, приве дено в замечании 9.7 в конце данного раздела.

120 А. В. Кисел в е Из-за взаимной обратности гамильтоновых операторов B1 и B1 схемы Магри для уравнений (7.4) и (7.3) согласованы между собой:

...

B Es - k hk [s]...

RpKdV =RKdV B1 =Dx id - - B ET - st = k = k hk [T ] RKdV =RpKdV k - B1 =B B Es - k1 (9.5) hk1 [s] Ttk = k = k RpKdV id B - - B ET - st hk1 [T ] = k1 = k1 RKdV k 6 B Ttk1 = k1 = k RpKdV =RKdV 6KdV R B......

здесь k и k, а также k и k суть симметрии и производящие сечения законов сохранения для потенциального уравнения Кортевега—де Фриза st1 = и уравнения Кортевега—де Фриза Tt1 = соответственно. Итак, противоположные края диаграммы (9.5) отождествлены со смещением на один шаг по вертикали.

Следствие 9.1. Диаграмма (9.5) приводит нас к заключению, что симмет рии k бигамильтоновой иерархии уравнения Кортевега—де Фриза являются градиентами k гамильтонианов hk [s] иерархии потенциального уравнения Кор тевега—де Фриза и наоборот.

Уравнения EKdV и EpKdV допускают один и тот же набор гамильтонианов с плотностями hk [s] и hk [T ]. Из этого замечания мы выводим следующее важ ное свойство иерархии потенциального модифицированного уравнения Корте вега—де Фриза, элементы которой являются симметриями уравнений Тоды.

Теорема 9.2. Образующие k коммутативной алгебры Ли A являются нёте ровыми симметриями уравнений Тоды:

k sym LToda.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Доказательство. Действительно, имеем A ET (hk [T ]) sym LToda sym EToda k = (k1 ) = согласно замечанию 4.4.

Замечание 9.3. Законы сохранения [k ], соответствующие производящим се чениям k+1 = · ET (hk ) Toda (см. (4.2) и диаграмму (8.17)), — это не что иное, как гамильтонианы hk dx высших уравнений Кортевега—де Фриза stk = k.

В схожей ситуации этот факт, [hk dx] H 1 (EToda ), отмечался в [11, § 10], однако требовал нетривиального доказательства.

Как установлено в лемме 8.3, плотности hk гамильтонианов для уравнений Кортевега—де Фриза (7.3) и (7.4) сохраняются на соответствующих высших аналогах Ttk = Dx (k ) и stk = k этих уравнений:

Dtk (hk ) = Dx (KdV ).

k Покажем, что иерархия B состоит из сохраняющихся плотностей для иерар хии A потенциального модифицированного уравнения (7.5). Для этого нам по требуется следующая полезная лемма.

Лемма 9.4 ([75]). Для любых и L n () выполнено соотношение E( (L)) = (E(L)) + (E(L)).

Доказательство. Пусть CDi(, n ()). Многократным интегрирова нием по частям приведём выражение () к виду + Dx (), 0 () где 0 — оператор нулевого порядка и () CDi(, n (). Тогда, пользуясь формулой (1.9), мы получаем E(()) = ( (1)) + (1) () для любого сечения. Далее, возьмём форму L n () и положим = n (). Линеаризация E(L) = = L: E(L) образа оператора Эйлера является самосопряжённой, и мы приходим к равенству E( L ()) = (E(L)) + E(L) (), из которого следует лемма 9.4.

Замечание 9.5. Из леммы 9.4, в частности, следует, что всякая нётерова симметрия L лагранжиана L, для которой выполнено условие (L) = 0 на J (), является одновременно симметрией заданного L уравнения (1.10), то есть sym L sym E.

Обратное утверждение неверно, и лемма 9.4 объясняет почему.

122 А. В. Кисел в е Предложение 9.6 ([27]). Для всякого k 0 k-й член k = ET (hk dx) иерар хии B является сохраняющейся плотностью для k-го высшего потенциального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза.

Доказательство. Используя теорему 7.16 о согласовании времён между иерархиями A и B, применяя лемму 9.4 о правиле коммутирования операто ра Эйлера и эволюционного дифференцирования и пользуясь тем фактом, что высшие симметрии k не зависят явно от переменной s, мы получаем Dtk (hk )=Dx (KdV ) k = ET ( Dtk (k ) = k (ET (hk )) k (hk ) ) k (ET (hk )) = k j = (1)j Dx · ET (hk ) im Dx, sj j то есть плотность k сохраняется на уравнении E(k) = {utk = k }.

Замечание 9.7. Вторая гамильтонова структура для EKdV, 3 B2 = Dx + Dx T + T · Dx, задаёт такое свойство интеграла (3.22): коэффициенты Фурье tk компоненты tk T= xk+ kZ тензора энергии-импульса для уравнений (3.19) образуют относительно B2 ал гебру Вирасоро [64] с центральным зарядом c = 4 :

2i [tn, tm ] = 2(n m) tn+m · (n3 n) n+m,0, (9.6) [tk, ] = 0.

Как и в замечании 3.8, укажем, что известное из [46, 84] свойство интеграла T мы адаптируем к случаю уравнений Тоды (3.19), ассоциированных с невыро жденной симметризуемой матрицей K, которая не обязательно есть матрица Картана полупростой алгебры Ли, и выражаем значение центрального заряда через константу = ai i.

i В [29] были рассмотрены свойства некоторого класса обобщений алге бры (9.6), соотношения в которых заданы N -местной кососимметричной скобкой при N 2.

9.2. Об аналогах модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза В данном разделе мы изучаем соотношения между потенциальным и непо тенциальным модифицированными уравнениями Кортевега—де Фриза, которые соответствуют подалгебре A sym LToda sym EToda симметрий лагранже вых уравнений Тоды (3.19). Мы обсуждаем свойства преобразования Миуры Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей T = T (, x ), переводящего решения модифицированного уравнения Кортеве га—де Фриза (9.1) в решения уравнения (7.3), и устанавливаем инвариантную природу оператора, возникшего в (3.26) при описании структуры симмет рий уравнений Тоды. Также мы получаем гамильтоновы структуры для иерар хии A и показываем, что гамильтонианами для модифицированных уравнений (7.5) и (9.1) по-прежнему являются гамильтонианы [hk dx] уравнений Кортеве га—де Фриза (7.3) и (7.4).

Ранее в (9.2) мы ввели новую зависимую переменную, удовлетворяющую модифицированному уравнению Кортевега—де Фриза (9.1) и его высшим ана логам EmKdV(k). Согласно следствию 7.20 все правые части уравнений EmKdV(k) локальны по.

В полной аналогии с разделом 9.1 укажем отождествления между высшими симметриями потенциального уравнения EpmKdV и производящими сечениями законов сохранения для уравнения EmKdV и наоборот:

......

6 RmKdV A Eu - k Hk [u] tk+1 = mKdV = k+ RpmKdV k+ A1 = 1 Dx id - - A E - ut = k = k Hk [] mKdV RmKdV =RpmKdV k - A1 =A 6 A Eu - k Hk1 [u] tk = mKdV = k RpmKdV k id A - - A E - ut Hk1 [] mKdV = k1 = k1 RmKdV k 6 A tk1 = mKdV = k RpmKdV =RmKdV k 6mKdV R A......

Из коммутативности алгебр A и B, установленной в лемме 7.21 и теоре ме 7.23, следует, что тождества Якоби (1.2b) выполнены для операторов A1, и B1,2, первые из которых заданы соотношениями (8.12), а вторые — соответ ствием между оператором рекурсии (8.14) и схемой Магри (8.16). Операторы рекурсии Rp(m)KdV допускают стандартное представление RpmKdV = A2 A1 = Dx T, RpKdV = B2 B1, 124 А. В. Кисел в е где A1 = 1 Dx, 1 B1 = Dx, 1 1 Dx B2 = Dx + s1 · Dx + Dx s1.

A2 =, Обозначим линеаризацию функционала T относительно зависимых перемен ных u через u, а относительно — через : оператор u задан формулой (5.4), T T T T =..., D,....

T i Лемма 9.8. Имеет место соотношение T. Кроме того, верно тождество = u = u.

T Доказательство. Проверка первого утверждения носит вычислительный ха рактер. Выразим ux через, ux = 1, и запишем функционал (3.22) в терми нах :

lm l m l · l, T= x l,m l где 1 = lm и мы воспользовались тождеством r ai · ij = j.

i= Поэтому = t (1 · · Dx ).

Второе утверждение следует из определения линеаризации на с. 64.

Укажем дополнительно несколько факторизаций, например таких:

A1 = u A1 = Dx = =.

T Оператор рекурсии RpKdV разложим в произведение RpKdV (k1 ) = (k1 ) (s) = s( (k1 )) = 1 (k1 ) = B1 A1 (k1 ) = Dx T гамильтоновых операторов, соединённых операторами и.

Предложение 9.9 ([27, 72]). Всякая нётерова симметрия ET (Q(x, T)) sym LToda L = уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матри цей K, является гамильтоновой симметрией относительно гамильтоновой струк туры A1 = 1 · Dx и гамильтониана H = [Q(x, T)]:

L = A1 Eu (H).

Доказательство утверждения 9.9 следует из определения оператора Эйлера, E(H dx) = (1), и леммы 9.8.

H Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Замечание 9.10. Тот факт, что нётерова симметрия f = ET (T · f (x) dx) уравнений Тоды гамильтонова, f = A1 Eu (T ·f (x) dx), был установлен в утвер ждении 3.9. Гамильтоновость потенциального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза ut1 = 1 (см. (7.5)) также несложно установить непо средственным вычислением: 1 = A1 Eu (h0 dx).

Мы же распространяем замечание 9.10 на всю иерархию A. Итак, сформули руем наиболее примечательное соотношение между иерархией A потенциального модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза (7.5) и иерархией B ска лярного уравнения.

Теорема 9.11 ([27, 72]). При каждом k 0 гамильтонианом нётеровой сим метрии k A является гамильтониан hk dx для k-го высшего уравнения Кор тевега—де Фриза.

Эта теорема следует из утверждения 9.9 и замечания 9.3, которое ставит в соответствие нётеровым симметриям k A сохраняющиеся плотности hk.

Замечание 9.12. Приведём лагранжево представление гамильтоновых урав нений E(k) иерархии A:

ij ui ujk hk1 dx E(k) = A1 Eu =0, k 0.

xt 2 i,j Мы завершаем построение схемы Магри для уравнения EpmKdV, первым «нелокальным» элементом которой является уравнение Тоды (8.9):

......

-......

RpmKdV RpKdV 6 s utk+1 = k+1  stk = k RpmKdV RpKdV  A2 6 B Eu Es - k k1  hk hk RpmKdV RpKdV s 6 A  B utk = k  stk1 = k RpmKdV RpKdV  - 6 B A Eu Es - k1 k2  hk hk1 RpmKdV RpKdV s A  B utk1 = k+1  stk2 = k Итогом данной главы является следующее предложение.

126 А. В. Кисел в е Предложение 9.13 ([27, 72]).

1. Подстановка T (,x ) T = T (, x ) : EmKdV EKdV (9.7) есть преобразование Миуры между высшими уравнениями EmKdV(k) = {tk = Dx · (k )} и EKdV(k) = {Ttk = Dx (k )}.

2. Оператор :

= (T ) T есть отображение алгебры Ли sym EmKdV симметрий уравнения EmKdV в алгебру Ли sym EKdV уравнения Кортевега—де Фриза (7.3) (см. при мер 7.2).

= отображает в обратном направлении двойственные 3. Оператор к симметриям производящие сечения законов сохранения:

: k = ET (hk dx) k A.

Замечание 9.14. Из диаграмм (7.16) и (9.5) видно, что последовательное применение отображений = и = не сохраняет номер высшей сим T метрии:

k = mKdV - k = k - k B k (9.8) A1 RpKdV mKdV  = k = k k причём оператор рекурсии RpKdV измеряет разницу в их действии.

Часть II. Групповые свойства, уравнений математической физики:

методы и приложения Во второй части мы рассматриваем практические применения методов и алго ритмов геометрии дифференциальных уравнений [5, 74, 75, 94] к исследованию свойств бездисперсионного уравнения Тоды, многокомпонентного нелинейного уравнения Шрёдингера, уравнения Лиувилля и связанных с ним систем. Ин вариантные решения, нётеровы симметрии, локальные и нелокальные законы сохранения, слабо нелокальные операторы рекурсии, семейства (авто)преобра зований Беклунда и представления нулевой кривизны — таков перечень обсу ждаемых в дальнейшем структур, связанных с данными уравнениями матема тической физики.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Глава 3. Симметрии, решения и законы сохранения нелинейных моделей В этой главе рассмотрены два примера применения методов геометрии диф ференциальных уравнений в исследовании бездисперсионного уравнения Тоды и связанного с ним многокомпонентного аналога нелинейного уравнения Шрё дингера.

10. Нелинейное уравнение Шрёдингера В данном разделе мы изучаем свойства m-компонентного аналога нелиней ного уравнения Шрёдингера [13, 42, 93] t = ixx + if (||), (10.1) где — m-компонентный вектор (m 1), i = 1 и f C (R). Известно, что скалярное (m = 1) нелинейное уравнение Шрёдингера опи сывает распространение световых импульсов или волновых пакетов в средах с линейной диссипацией и нелинейной автофокусировкой, например в слоистых структурах, нелинейных кристаллах и газах, бозе-конденсате и т. д. Совместная эволюция комплекса пространственно-некогерентных солитонов в нелинейной среде с керровской автофокусировкой задана системой нелинейных уравнений Шрёдингера (10.1), в которой = t (1,..., m ) — набор амплитуд излучения, m I= |i | i= есть плотность полной энергии, t — координата вдоль направления распростра нения волн, а x — координата вдоль фронта волны.


При f = id это уравнение допускает [13] коммутативную бигамильтонову иерархию высших симметрий и бесконечный набор сохраняющихся плотностей в инволюции, однако в общем случае это не так. Ниже мы вычисляем алге бру симметрий данного уравнения в физически реализуемом случае однородной функции f веса и указываем набор из m2 сохраняющихся токов, обобщающих известные ранее m законов сохранения энергии i-й моды и полного импульса системы, которые соответствуют двум гамильтоновым симметриям уравнений Шрёдингера — масштабному преобразованию и трансляции.

Итак, рассмотрим m-компонентный аналог нелинейного уравнений Шрёдин гера — мультисолитонный комплекс [42]:

F k k ik if (I) · k = 0, t xx (10.2) F k k + ik + if (I) · k = 0, m, I.

1 k t xx Это уравнение гамильтоново при произвольной функции f :

0 1 HNLS / (10.3) =, 0 HNLS / t 128 А. В. Кисел в е где плотность HNLS гамильтониана HNLS = [HNLS dx] есть I = ix x + i HNLS f (I) dI.

Отметим также, что HNLS является сохраняющейся плотностью для уравне ния (10.2) аналогично соотношению (1.6) для бездисперсионного уравнения То ды или тождеству (8.10) для уравнения Тоды (3.19). Кроме того, гамильтоново представление (10.3) показывает, что комплексно сопряжённые зависимые пере менные являются канонически сопряжёнными переменными — импульсами — для динамических координат. В разделе 8 мы рассматривали некоторые обоб щения данной ситуации.

Известно (см. работу [42] и ссылки в ней), что уравнение (10.1) обладает таким свойством: кроме закона сохранения полной энергии, оно допускает m сохраняющихся по отдельности плотностей Qi = i · i, Dt (Qi ) = 0, (10.4) что отражает отсутствие передачи энергии между модами i. Это замечание о свойствах нелинейного уравнения Шрёдингера неполно, поскольку m инте гралов движения (10.4) являются лишь частными случаями в наборе m2 сохра няющихся токов ij = i j dx + i(i j i j ) dt, dh ij = 0, (10.5) x x присущих уравнению (10.1) при произвольной нелинейности f (I) и указываю щих на сохранение корреляций напряжённости полей излучения между разны ми модами с номерами i и j, 1 i, j m. Набор сохраняющихся токов (10.5) не был отмечен в [42, 93], и ограничения типа законов сохранения, по-види мому, не учитывались авторами этих работ при проведении вычислительных экспериментов.

Производящие сечения законов сохранения [ij ], заданных в (10.5), суть (ij) = t ((ij), (ij) ), где j j (ij) = j, i (ij) = i, i (ij) = (ij) = при i = i, j = j. Каноническая гамильтонова структура 0 1 = 1 ставит им в соответствие точечные симметрии (ij) = t ((ij), (ij) ): i = j, (ij) j i, которые в частном случае i = j задают калибровочную симмет (ij) = рию [13] A ((ii) ) : i exp()i, i exp()i. (10.6) Гамильтонианы симметрий (ii) — это в точности сохраняющиеся плотности Qi (см. (10.4)).

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей В [13] был исследован случай f (I) = I кубической нелинейности в уравне нии (10.1). Было установлено, что в такой ситуации кубическое m-компонентное уравнение (10.1) допускает рекурсию Dx 1 0 1 · Dx (, ) 2 (ij) · Dx (ij), RNLS = + 0 Dx 2 i,j которая, будучи применённой к масштабной симметрии (10.6), порождает бес конечную коммутативную цепочку локальных высших симметрий уравнения (10.1):

HNLS H Qi dx E E E R RNLS RNLS RNLS RNLS (ii) 1 2 3 4...

NLS (10.7) 1 1 1 1 RNLS RNLS RNLS RNLS R (ii) x 3 4...

NLS t Эта диаграмма служит примером последовательности гамильтоновых симмет рий, для половины из которых, 2k+1, не существуют гамильтонианы: 2k+ / im E.

/ Замечание 10.1. Вычисленные выше производящие сечения (ij) законов сохранения (10.5) и гамильтоновы симметрии (ij) позволяют прийти к заклю чению, что оператор рекурсии RNLS слабо нелокален [73], то есть представим в виде Dx, R = локальная часть + (10.8) где — симметрии, а — производящие сечения законов сохранения. Напо мним, что в предыдущей главе мы, пользуясь разложениями вида (10.8), уста новили интересные свойства цепочек симметрий уравнений Тоды, которые по рождены слабо нелокальными операторами рекурсии.

Заметим, наконец, что рассмотренные в [13] не зависящие от x и t сим метрии не исчерпывают всего набора классических симметрий нелинейного уравнения Шрёдингера (10.1), причём алгебра симметрий этого уравнения ока зывается некоммутативной.

Пример 10.2. Алгебра точечных симметрий нелинейного уравнения (10.2), соответствующего произвольной гладкой функции f (I), порождена образующи ми 2t i ix i i x (ij), x, t, =.

2t i + ix i i x Если дополнительно f подчинена условию однородности f (I) = · f (I), 130 А. В. Кисел в е то уравнение (10.1) допускает ещё одну масштабную симметрию i 2i + x i + 2 t i x t = t.

x i 2i + x i + 2 t i 11. Бездисперсионное уравнение Тоды В данном разделе вычислена алгебра классических симметрий, построены пять классов точных решений и реконструированы пять законов сохранения для бездисперсионного уравнения Тоды — аналога уравнений (3.19) с непрерывным изменением параметра j, нумерующего зависимые переменные uj. Кроме того, обсуждаются вопросы лагранжева формализма с высшими производными.

Рассмотрим гиперболические уравнения Тоды uxy = exp(Ku), uxy = K · exp(u ), (11.1) ассоциированные с алгебрами Ли серии Ar1 с матрицами Картана K, введём дополнительную по отношению к этим уравнениям переменную z R и распро страним на R значения дискретного индекса j [1, r], нумерующего зависимые переменные uj. Пусть r. Для всякого сечения u расслоения положим uj = u(x, y, z)|z=j, где — ячейка решётки.

Оказывается, что непрерывный предел при r и +0 уравнений (11.1), называемый в литературе бездисперсионным уравнением Тоды, или уравнением «heavenly», или, по именам авторов статьи [47], уравнением Бойера—Финли, также возникает во многих задачах, например в теории гравитации [38, 47] при изучении антиавтодуальных вакуумных уравнений Эйнштейна (ASDVEE). Сво им существованием уравнение Eheav обязано специальному виду (3.9) матриц Картана K = kij для алгебр серии Ar : вместо (r r)-матрицы K необхо димо рассматривать [38, 90] оператор Картана K = Dz, а соответствующие уравнениям (11.1) скалярные уравнения принимают вид [43, 47] E = {F uxy exp(uzz ) = 0} (11.2a) Dz exp(u ).

(11.2b) uxy = Оператор Картана K определяет знак «» в упомянутом нами во введении одномерном уравнении u = Dz exp(u ).

(11.3) u = exp(uzz ), Аналогично [38, 52] рассмотрим предел заданной в (3.20) плотности лагран жиана LToda при r и +0:

ux uyzz exp(uzz ).

lim lim LToda = Dz +0 r Сам лагранжиан LToda при этой процедуре перейдёт в функционал L= dxdy L dz Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей с плотностью L = uxz uyz exp(uzz ), зависящей от вторых производных сечений u = u(x, y, z). Применяя к L оператор Эйлера Eu, мы получаем уравнение Eheav = {Fheav uxyzz Dz exp(uzz ) = 0}.

(11.4) Видно, что двукратное интегрирование по z отображает (11.4) в уравнение (11.2a), а подстановка u = uzz — в (11.2b).

11.1. Симметрии и точные решения Вычисление симметрий Sym E уравнения (11.2a) при помощи пакета аналитических преобразований Jet [81] приводит к следующему результату.

Предложение 11.1. Точечные симметрии уравнения (11.2a) — решения (x, y, z, u, ux, uy, uz ) определяющего уравнения Dxy () + exp(uzz ) · Dz () = 0 — имеют вид 1 ux z 2 Dx f (x), uy z 2 Dy g(y), (11.5a) 1 [f ] = 1 [g] = 2 1 2 = zuz + u z 2, (11.5b) 2 (11.5c) 3 = uz, (11.5d) 4 [q] = q(x)z, 4 [] = q (y)z, q (11.5e) 5 [r] = r(x), 5 [] = r(y), r где f, q и r — произвольные гладкие функции аргумента x, а g, q и r — аргумен та y. Правила коммутирования симметрий (11.5) заданы следующей кососим метричной таблицей:

1 [f ] 1 [g] 2 3 4 [q] 4 [] q 5 [r] 5 [] r 1 [f ] 0 0 0 4 [f ] 4 [f q ] 0 5 [f r ] 1 [g] 0 0 4 [g ] 0 4 [g q ] 0 5 [g ] r 2 0 3 +4 [2] 4 [q] 4 [] q 5 [2r] 5 [2] r 3 0 5 [q] 5 [] q 0 4 [q] 0 0 0 4 [] q 0 0 5 [r] 0 5 [] r Замечание 11.2.

1. Оператор = ux 1 z 2 Dx в (11.5a) является аналогом оператора, за данного формулой (3.26).

132 А. В. Кисел в е 2. Аналоги симметрий (11.5a)—(11.5c) для уравнения (11.2b) были указаны в [43]. Симметрии 4, 5 ker Dz уравнения E отражают несущественное различие между геометрией уравнений (11.2a) и (11.2b), возникающее за счёт подстановки u = uzz.

Замечание 11.3. Трудности, возникающие при вычислении алгебры Ли sym Eheav симметрий уравнения (11.4), во многом связаны с тем, что уравнения (11.2) или (11.4) на деле огромны: достаточно, например, оценить количество ко ординат порядка k на этих уравнениях или число нетривиальных соотношений, (k) задающих продолжение Eheav.

Переход от дифференциально-разностных уравнений (3.10) с матрицей (3.9) к бездисперсионному пределу (11.2a) неявно предполагает задание дополнитель ного уравнения uzzz = 0, и его следует учитывать при построении алгебры Ли sym Eheav всех симметрий предельного бездисперсионного уравнения Тоды.

Построение решений бездисперсионного уравнения Тоды. Задача по строения решений уравнения (11.2a) на основе использования сведений об ал гебре Ли Sym E точечных симметрий этого уравнения и применения различных геометрических методов [5] была рассмотрена в [43] и [79]. В первой из указан ных работ были получены инвариантные решения уравнения uxy = ±(exp(u))zz, которым соответствуют формулы (11.10) и (11.11) настоящей работы. Класс ре шений, неинвариантных относительно всей алгебры Ли Sym E в целом, был указан в [79]. Б льшая по сравнению с [43] общность нашего подхода заклю о чается в том, что всякий раз, редуцировав решаемое уравнение к некоторому вспомогательному уравнению относительно функций, зависящих от меньшего числа аргументов, мы вновь строим алгебру Ли точечных симметрий этого дополнительного уравнения и получаем инвариантные решения, параметризо ванные произвольными функциями, а не сводим задачу к предъявлению набора частных ответов. Кроме того, отметим, что применяемая нами методика реше ния уравнения (11.2a), переопределённого условием i = 0, во многом схожа со схемой построения неинвариантных решений [79]. Дело в том, что входящую в уравнения i = 0 переменную z мы интерпретируем как формальный пара метр с тем, чтобы дополнительное соотношение i = 0 можно было записать в полных дифференциалах.


Симметрия 1 Sym E. Рассмотрим генератор 1 1 = 1 [f ] + 1 [g] = ux f (x) z 2 f (x) + uy g(y) z 2 g (y) 2 инфинитезимальной конформной симметрии уравнения (11.2a), зависящий от двух произвольных гладких функций f и g. Запишем условие инвариантности 1 = 0 как уравнение характеристик и получим не зависящий от переменной u первый интеграл Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей y x dx t= dyg(y).

f (x) Для построения ещё одного интеграла C2 будем считать координату z парамет ром, 1 z 2 ln f (x) + 1 z 2 ln g(y) u = C2 (z). Тогда решение u(x, y, z) уравнения 2 1 = 0 задано условием (t, C2 (z)) = 0, где — пока произвольная функция двух полученных «интегралов», один из которых зависит от z. Разрешая полученное соотношение относительно u, по лучим u = z 2 ln f (x)g(y) + (t, z), (11.6) причём для того, чтобы u было решением уравнения (11.2a), необходимо, чтобы функция удовлетворяла одномерному уравнению (11.3 ) tt + exp(zz ) = 0.

Редуцированное уравнение оказывается не чем иным, как одномерным уравне нием (11.3), аналогично тому, как построение решений гиперболического урав нения Лиувилля, инвариантных относительно конформных симметрий, сводится к решению одномерного уравнения Лиувилля. Отметим, что второй «интеграл»

C2 (z) уравнения 1 = 0 нам удалось построить за счёт нетривиальной трактов ки координаты z как параметра, дополнительного к независимым переменным x и y. Такой подход не был использован в [43], ниже мы применим его ещё раз к уравнению (11.3 ). Для построения инвариантных решений этого уравнения мы пользуемся программным пакетом аналитических преобразований Jet [81] и вычисляем образующие алгебры Ли точечных симметрий уравнения (11.3 ).

В итоге мы получаем следующее утверждение.

Лемма 11.4. Алгебра Ли классических симметрий уравнения (11.3 ) поро ждена следующими восемью образующими:

1 = tt z 2, 2 = t, 3 = zz + z 2 2, 4 = z, 5 = zt, 6 = t, 7 = z, 8 = 1.

Далее мы будем указывать семейства решений уравнения (11.3 ). Каждо му из них соответствует класс решений (11.6) бездисперсионного уравнения Тоды (11.2a).

Симметрия 1. Рассмотрим уравнение 1 = 0 и вновь потребуем, чтобы переменная z была формальным параметром: z 2 ln |t| = C(z). Подставляя определяемое отсюда решение в уравнение (11.3 ) и разрешая его относитель но C, получаем 1 (t, z) = z 2 ln |t| z 2 ln |z| z 2 + C1 z + C2, 4 где C1 и C2 — произвольные константы.

134 А. В. Кисел в е Симметрия 2. Легко видеть, что вещественные 2 -инвариантные решения уравнения (11.3 ) отсутствуют, так как уравнение exp(zz ) = 0 неразрешимо.

Рассмотрим, однако, более общую ситуацию: будем искать решения уравне ния (11.3 ), инвариантные относительно линейной комбинации симметрий (a:b) = 2 + (a : b)4, где (a : b) RP1, то есть решения в виде бегущих волн. Подставляя функцию (z (a : b)t) в (11.3 ), мы приходим к уравнению (a : b)2 = exp(), (11.7) в котором через обозначена вторая производная по аргументу w = z (a : b)t.

Из уравнения (11.7) видно, чт препятствует наличию (a:b) -инвариантных ре о шений, распространяющихся с малыми скоростями e (a : b) e :

существуют критическая (минимальная) скорость |a : b| = e и волновое реше ние 2 = z ± e t + z ± e t +, где, R. Примечательно, что при б льших скоростях e |a : b| о уравнение (11.3 ) допускает одновременно два волновых решения 1,2 · w2 + w +, w = z (a : b)t,, R, (11.8) = соответствующие паре различных корней 1,2 уравнения (11.7). Эта пара кор ней обусловлена следующей бифуркацией: малым наклонам (a : b)2 прямой y = (a : b)2 на плоскости 0y не сопоставлены никакие решения уравне ний (11.7) и (11.3 ), при (a : b)2 = e эта прямая касается графика экспоненты y = exp() в точке (1, e), а при б льших наклонах e (a : b)2 точ о ка касания распадается в пару различных точек пересечения (1,2, (a : b)2 1,2 ), где 1 1 2 0. Каждое из допустимых значений определяет вторую производную полиномиального решения (11.8) уравнения (11.3 ). Точке a : b = соответствует единственный корень = 0 и 4 -инвариантное решение уравнения (11.3 ), которое приведено ниже.

Симметрия 3. Решим вспомогательное обыкновенное дифференциальное уравнение xy (x) 2y = x2 = y(x) = ln x2 · x2. (11.9) Формулы (11.9) потребуются нам в дальнейшем дважды: для построения реше ний уравнения (11.3 ), инвариантных относительно симметрии 3, а также при построении 2 -инвариантных решений исходного уравнения (11.2a). Различие Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей заключается в переменных, от которых зависит функция : в первом случае = (t), а во втором = (x, y).

Подставляя указанное в (11.9) выражение (t) · z ln z = в уравнение (11.3 ), в зависимости от знака возникающей константы интегриро вания получаем следующие выражения для функции (t):

1 = ln sh 2 Ar th exp ± (t t0 ), 2 = + ln[±t t0 ], 3 = ln (±t t0 ), ch ln tg где 0 и t0 R. Возвращаясь к формуле (11.6), по каждому из соответствую щих решений (t, z) мы строим класс решений 12 z ln f (x)g(y) + i (t) ln z 2 · z2, (11.10) u= i = 1, 2, 3, 2 бездисперсионного уравнения Тоды (11.2a).

Симметрия 4. Решение уравнения tt = 1, заданного условием z = 0, — это полином (t) = t2 + C1 t + C2, где C1 и C2 — константы интегрирования. Соответствующие решения бездис персионного уравнения Тоды (11.2a) вновь заданы формулой (11.6).

Симметрия 2 Sym E. Построение 2 -инвариантных решений урав нения (11.2a) сводится к последовательному рассмотрению вспомогательно го обыкновенного дифференциального уравнения (11.9) и гиперболического scal+ -уравнения Лиувилля (см. (3.3)). Именно, подставляя выражение u = = ((x, y) 1 ln z 2 ) · z 2 в уравнение uxy = exp(uzz ) и выполняя замену 3 X = x exp Y = y exp,, 2 мы получаем уравнение Лиувилля X Y = exp(2), решения которого легко получить заменами из формулы (6.12) (см. [77]):

(X, Y) = ln[f (X )g (Y){Q([f (X ) + g(Y)]2 )}2 ], где отображение Q есть sin, id или sh, откуда окончательно z 2 {Q([f (e3/2 x) + g(e3/2 y)]2 )} (11.11) u(x, y, z) = ln.

z 2 f (e3/2 x)g (e3/2 y) 136 А. В. Кисел в е Этот класс решений уравнения (11.2a) указан в [43], там же приведена их фи зическая интерпретация: оказывается, что указанные выражения задают ин стантонные решения [47] антиавтодуальных вакуумных уравнений Эйнштейна (ASDVEE).

Симметрия 3 Sym E. Для получения решения уравнения (11.2a), инва риантного относительно симметрии 3, требуется решить совместно уравнения uz = 0 и uxy = exp(uzz ). Ответ таков:

u(x, y, z) = xy + f (x) + g(y), где f и g — произвольные функции.

Симметрии 4 и 5 уравнения (11.2a) не зависят от неизвестной функции u и её производных, и поэтому переопределение уравнения uxy = exp(uzz ) усло вием 4 = 0 или 5 = 0 не упрощает задачу поиска решений бездисперсионного уравнения Тоды.

11.2. Нётеровы симметрии и законы сохранения Рассмотрим задачу построения законов сохранения для бездисперсионных уравнений Тоды (11.2) и (11.4). Сначала мы обсудим общий метод установ ления соответствия между лагранжевым уравнением (1.10) и фиксированным набором законов сохранения, отражающих свойство консервативности тензора энергии-импульса.

О лагранжевом формализме с высшими производными. Рассмотрим во прос построения консервативного аналога тензора энергии-импульса T µ для лагранжиана L = L dx с высшими производными в присутствии метрики gµ, то есть такого тензора T µ, что Dµ Dµ E.

Dµ (T µ ) = 0, (11.12) µ Уравнения движения E имеют вид L L L (11.13) Dµ D = D, ui ui ui ;

µ;

;

µ, причём T µ совпадает с классическим определением [4], если L 0.

ua ;

µ;

Как и раньше, мы используем обозначения ui Dxµ (ui ) и ui Dxµ ·Dx (ui ), ;

µ ;

µ;

а поднятие и опускание индексов ;

µ, ;

производим с помощью метрики gµ.

Непосредственной подстановкой в (11.12) можно убедиться, что тензор L i;

L L T µ = g µ L + · D (ui;

) D · ui;

u+ i ui ui u;

µ;

;

µ ;

µ;

i i, Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей искомый [24] и условие (11.12) задаёт законы сохранения для системы (11.13). Отметим, однако, существенное обстоятельство [48], присущее урав нению (11.4): дело в том, что при предельном переходе при r, + метрика gµ вырождается и лагранжиан L становится нековариантным — невоз можно указать такую невырожденную метрику gµ, что 1 ;

z ;

µ L u;

µ u ;

z + exp(u;

z ).

;

z Из-за отсутствия невырожденной метрики мы не можем определить для урав нения Eheav тензор энергии-импульса T µ как вариацию лагранжиана Lheav по метрике gµ.

Построение законов сохранения. Из предыдущего раздела понятно, что в отличие от нахождения полей Ли по производящим функциям симметрий поиск сохраняющихся токов для уравнения (11.4) не столь прост и требует до полнительных рассуждений. Именно, к получению набора законов сохранения для бездисперсионного уравнения Тоды приводит поиск симметрий sym Eheav, выделение нётеровых симметрий sym Lheav в фиксированной системе координат и восстановление сохраняющихся токов методом гомотопии (см. [5, 94] и [19]).

Лемма 11.5 ([24]). Производящие функции (11.5a), (11.5c)—(11.5e) являются нётеровыми симметриями уравнения Eheav, а (11.5b) — нет.

Предложение 11.6 ([24]). Сохраняющиеся токи i 2 (Eheav ), соответству ющие нётеровым симметриям i уравнения (11.4), суть 3 1 1 f (x)uuxyzz + f (x)uz uxyz f (x)uxy uzz + f (x)uy uxzz 1 = 8 12 24 1 1 z f (x)uy f (x)uxz uyz + f (x)uyz + f (x)ux uyzz 12 12 6 z f (x)uyzz f (x) t2 uu2 exp(tuzz ) dt + zzz tuuzzzz exp(tuzz ) dt dy dz + + f (x) 1 1 1 f (x)uuxzz f (x)uuxxzz + f (x)u + f (x)uz uxz + + 8 8 4 1 z 1 f (x)uz uxxz f (z)uz f (x)ux uzz f (x)uxx uzz + + 12 6 24 z2 1 1 f (x)uzz + f (x)ux uxzz f (x)ux f (x)u2 + + xz 24 6 12 z z f (x)uxz f (x)uxzz dz dx + + 6 138 А.

В. Кисел в е 1 1 1 + f (x)uxy uxz + f (x)ux uxyz f (x)ux uyz f (x)uuxyz 6 3 12 z z 1 f (x)uy f (x)uxyz + f (x)uy uxxz f (x)uuxxyz + 6 4 12 1 1 z + f (x)uz uxxy f (x)uxx uyz + f (x)uxy + f (x)uy uxz + 12 12 6 z + f (x)uz uxy + f (x)uyz + f (x) · [tuuxzzz tuxz uzz + tux uzzz + 12 + tuz uxzz + t2 uuxzz uzzz t2 ux uzz uzzz ] exp(tuzz ) dt + z2 z +f (x) · uz + zuzz uzzz tuuzzz + tuzz uzzz exp(tuzz ) dt dx dy, 2 5 1 1 uz uyzz uyz uzz + uy uzzz uuyzzz dy dz + 3 = 24 8 24 5 1 1 uz uxzz uxz uzz + ux uzzz uuxzzz dz dx + + 24 8 24 1 1 1 1 1 uuxyzz + uz uxyz uxy uzz uxz uyz + ux uyzz + uy uxzz + + 4 3 12 6 12 + uzz exp(uzz ) + exp(uzz ) + uz uzzz exp(uzz ) dx dy, 1 z q(x)uyz + q(x)uyzz dy dz + 4 = 6 1 z 1 z q (x)uz q (x)uzz q(x)uxz + q(x)uxzz dz dx + + 6 12 6 z 1 z q(x)uxyz q(x)uxy q (x)uyz + q (x)uy + 2 6 6 zq(x)uzzz exp(uzz ) + q(x) exp(uzz ) dx dy, r(x) r (x) r(x) uyzz dy dz + uxzz dz dx + 5 = uzz + 4 12 r (x) r(x) + uxyz + r(x)uzzz exp(uzz ) dx dy.

uyz + 6 Все дивергенции dh (i ) равны 0 на уравнении Eheav. Все взятия дивергенций можно выполнять, не вычисляя интегралы по параметру гомотопии t в рацио нальных функциях, а дифференцируя по x или z под знаком интеграла.

Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей Чтобы доказать лемму 11.5 и утверждение 11.6, необходимо применить лем му 9.4 и реализовать схему реконструкции сохраняющихся токов по их произ водящим сечениям.

Метод восстановления сохраняющихся токов. Опишем предложенный в [94] метод построения (n 1)-форм, точных на уравнении E = {F = 0}, при этом мы следуем работе [19].

Рассмотрим поле f, которое задано функцией f = u/ и порождает отоб ражение A : (xi, uj ) (xi, uj ), тогда dA () = A ( f ()) = A ( (f )) (11.14) d для всякой дифференциальной формы. Выберем в качестве форму = F, = F dx1... dxn, и пусть — искомый ток на уравнении {F = 0}, соответствующий производящей функции : dh () = (F ) и = (1). Заметим, что в правой части (11.14) содержится (1), f + dh G( f ), (f ) = причём первое слагаемое в правой части когомологично 0, поскольку образ опе ратора Эйлера тривиален, если лагранжева плотность есть полная дивергенция:

(1) = E( F, ) = E(dh ) = 0.

(1) = F, В свою очередь, отображение G : CDi(F, n ) n1, переводящее в (n1)-формы модуль C-дифференциальных операторов, действующих на гладкие функции и принимающих значения в n-формах (все конструкции ограничены на уравнение E), определено таким образом:

(1)|| G a D = D1j (a )(j), || ||0 j здесь (j) = (1)j+1 dx1... dxj... dxn, 1j — результат однократного исключения индекса j из мультииндекса = (1,..., n ).

Проинтегрируем (11.14) по от 0 до 1. Получим d A () d = A () A () = F, A ( F, ) = d 1 0 1 A ( (f )) d A (G( f )) d = dh, = = dh 0 откуда следует искомый вид тока.

140 А. В. Кисел в е Доказательство леммы 11.5 и утверждения 11.6. Заметим, что симмет рии (11.5) уравнения (11.2a) являются одновременно симметриями лагранже ва уравнения (11.4): Sym E sym Eheav, поскольку выполнено соотношение Fheav = Dz F (см. лемму 1.25). Воспользуемся леммой 9.4 и установим, что симметрии (11.5a), (11.5c)—(11.5e) уравнения (11.4) нётеровы. Между тем для симметрии (11.5b) имеем = 2uxyzz Dz (exp(uzz )) = 0.

Fheav (2 ) + 2 (Fheav ) Как было установлено в теореме 1.20, производящие сечения законов сохра нения находятся во взаимно-однозначном соответствии с нётеровыми симмет риями уравнения Эйлера—Лагранжа (11.4). Согласно следствию 3.5 для урав нения Eheav это соответствие задано тождественным отображением. Далее, по следовательно проводя рассуждения по изложенной выше общей схеме, каждой из четырёх нётеровых симметрий i мы ставим в соответствие сохраняющийся ток i. Промежуточные выкладки достаточно громоздки, однако корректность результата, то есть выполнение условий dh (i ) = 0, легко установить непосред ственно.

Замечание 11.7. Сохраняющийся ток 1 является при f 1 непрерывным по z аналогом компоненты (3.22) тензора энергии-импульса = T dx + T dy для уравнений Тоды (3.19). Сохраняющийся ток T dx для уравнений (3.19) со ответствует нётеровой симметрии 1 = (ET (T dx)) sym LToda. Ещё один — нелокальный — сохраняющийся ток = uxz exp(uzz ) dx dy + u uxx dx dz 2 xz для уравнения (11.4) (см. (1.6)) тоже является аналогом интеграла (3.22) для уравнений (3.19) по следующим соображениям. Запишем уравнение (11.4) в га мильтоновой форме:

1 uy = Dx Dz Eu (Hheav dx dz), (11.15) где Hheav = exp(uzz ) — это аналог гамильтониана (8.8) для уравнений Тоды.

Существование закона сохранения выражает сохранение плотности Hheav на соответствующем гамильтоновом уравнении (11.15) (см. лемму 8.3).

Глава 4. Преобразования Беклунда и представления нулевой кривизны В данной главе мы изучаем взаимосвязь между преобразованиями Беклунда и представлениями нулевой кривизны для гиперболического уравнения Лиувил ля, волнового уравнения и scal+ -уравнения Лиувилля () uxy = exp(2u), vxy = 0, xy = exp(2), Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей а также однопараметрические деформации этих структур. Приведены примеры интегрирования преобразований Беклунда в нелокальных переменных. В разде ле 3 на с. 80 мы указали естественную геометрическую схему, которая постав ляет уравнения () и даёт их наглядную интерпретацию.

12. Преобразования Беклунда и их деформации В этом разделе мы изучаем свойства однопараметрических деформаций пре образований Беклунда для уравнений (). Именно, рассмотрим структуру на крытия t : Et ELiou над уравнением Лиувилля, заданную продолженными полными производными (12.1) Dx = Dx + ux, Dy = Dy + uy, [Dx, Dy ] = u u в случае, когда частные производные по x и y нелокальной переменной u заданы соотношениями ux = ux + exp(t) · exp( + u), (12.2a) u uy = uy + 2 exp(t) · sh( u). (12.2b) u В соответствии с замечанием 1.30 примем, что диффеоморфизм µ уравнения Et переставляет переменную u вдоль слоя расслоения струй и нелокальную пе ременную u, то есть u u, и отображает x в x, y в y. Тогда диаграмма (1.20) определяет автопреобразование Беклунда B(Et, t, t µ, ELiou ) для урав нения (6.1). Уравнения Et автопреобразования Беклунда [50] для уравнения Лиувилля таковы:

( u)x = exp(t) · exp( + u), (12.3a) u u ( + u)y = 2 exp(t) · sh( u). (12.3b) u u Обозначим ku ku uk uk, xk y k при любом k N. Рассмотрим масштабную симметрию X 0 = x +y x y уравнения ELiou. Её можно продолжить на ELiou :

X = x (12.4) +y + kuk kuk.

x y uk uk k1 k Предложение 12.1. Симметрию X нельзя продолжить до симметрии накры t.

вающего уравнения E 142 А. В. Кисел в е Доказательство. Предположим противное. Обозначим через эволюци онное векторное поле D () · u на Et, где C (Et ), и положим F () = (F ), пусть также x1 x, x2 y. Итак, пусть существует функция a C (Et ), удовлетворяющая линеаризованной системе + a F () = 0, Dxi (a) =,a (xi ) (12.5) u (xi ).

u u Это значит, что поле,a есть локальная симметрия накрывающего уравнения Et и X конструктивно продолжена на Et. Однако система (12.5) несовместна, поскольку Dx Dy (a) = Dy Dx (a). В самом деле, Dx Dy (a) Dy Dx (a) не зависит от a и равно xu2 et+u + ux yuy et+u xux e2 ux yuy et+u u u u u x 2yuy e2t++u + 2xux e2t++u xu2 et+u + xe2u ux u u u x ye2u uy + 2et xu2 + yuy e2 2et yuy ux = 0.

u x Утверждение доказано.

Таким образом, масштабная симметрия X является лишь t -тенью (то есть F () = 0, см. (12.5)) и порождает семейство накрывающих решением уравнения E уравнений Et, параметризованных t R.

В локальных координатах форма связности Картана Ut на уравнении Et с рас t имеет вид пределением Картана C dC (u ) + (d (ux + exp( + u t)) dx + Ut = u u u + (uy 2 exp(t) sh( u)) dy), (12.6) u u где dC — дифференциал Картана. В координатах имеем dC (u ) = du Di (u ) dxi.

i FN Назовём µ степенью дифференцирования, если D(µ (E)). Через [[·, ·]] обозначим скобку Фрёлихера—Нийенхейса [63, 74]:

FN (f ) = L ((f )) (1)µ · L ((f )), (12.7) [[, ]] где, D( (E)) — дифференцирования со значениями в формах, f C (E), µ = deg, = deg, L = [i, d] : k (E) k+deg (E) — Симметрии и законы сохранения интегрируемых моделей производная Ли, a i : k (E) k+deg 1 (E) обозначает внутреннее произведение (подстановку). Скобка Фрёлихера—Ний енхейса является одной из естественных геометрических структур в диффе ренциальном исчислении, как, например, дифференциал де Рама d или скобка Ричардсона—Нийенхейса (см. [29]).

Теорема 12.2 ([63]). Пусть : E E — накрытие и At : E E — гладкое E являет семейство диффеоморфизмов, причём A0 = id и t = At : E ся накрытием при всех t R. Тогда изменение формы связности Картана Ut описывается соотношением dUt FN (12.8) = [[Xt, Ut ]], dt где Xt является t -тенью для любого t R.

В случае конечномерного многообразия E существует изоморфизм D( (E)) (E) D(E).

Таким образом, всякое дифференцирование D( (E)) представимо в виде конечной суммы слагаемых = X, где (E) и X D(E). Скобка Фрёлихера—Нийенхейса таких элементов есть FN [[ X, Y ]] = [X, Y ] + LX () (Y ) + + (1) d (X ) Y (1)ij LY () X i (1)(i+1)j d (Y ) X, (12.9) если X, Y D(E), i (E) и j (E). Для произвольного E существует вложение (E) D(E) D( (E)), заданное правилом ( X)(f ) = X(f ) для любой функции f C (E).

t E заданы формулами (12.1), то Если накрытия t : E dUt = (exp( + u t) dx 2 exp(t) sh( u) dy) (12.10) u u.

dt u Мы утверждаем, что масштабная симметрия X и является той t -тенью, для которой изменение формы связности Ut (12.6) накрытия t (12.1) задано форму лой (12.10) в силу уравнения (12.8). Для доказательства этого факта необходимы леммы 12.3—12.8.

FN Лемма 12.3. [[X, Ut ]] d = dUt d.

u u dt FN FN FN Лемма 12.4. [[X, Ut ]] dx = [[X, Ut ]] dy = [[X, Ut ]] du = 0.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.