авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.М. Полунин, Г.Т.Сычев

ФИЗИКА

Физические основы механики

Конспект лекций

Утверждено Научно-методическим советом

университета в качестве конспекта лекций

Курск 2002

УДК 531/534

ББК В21

П53

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, зав. кафедрой ТиЭФ КГТУ, профессор А.А.Родионов Кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой общей физики КГПУ В.В. Зотов Кандидат технических наук, зав. кафедрой физики КСХА Д.И. Якиревич Полунин В.М. Физика. Физические основы механики: Конспект лекций / В.М.Полунин, Г.Т.Сычев. Курск. гос. техн. ун-т. Курск, 2002. 180 с.

Конспект лекций составлен в соответствии с требованиями Государст венного образовательного стандарта-2000, Примерной программы дисциплины «Физика» (2000 г.) и рабочей программы по физике для студентов инженерно технических специальностей КГТУ (2000 г.).

Изложение материала в данной работе предусматривает знание студента ми физики и математики в объеме школьной программы, большее внимание уделено трудным для понимания вопросам, примерам решения задач, что об легчает студентам процесс подготовки к экзамену.

Конспект лекций по механике предназначен для студентов инженерно технических специальностей всех форм обучения.

УДК 531/ ББК В П © Курский государственный технический университет, © В.М. Полунин, Г.Т. Сычев, СОДЕРЖАНИЕ От авторов...................................................................................................................... Лекция 1. Вводная......................................................................................................... Лекция 2. Элементы кинематики.............................................................................. 2.1. Механика и ее разделы. Физические модели: материальная точка (частица), абсолютно твердое тело (система материальных точек), сплошная среда................. 2.2. Пространственно-временные отношения. Развитие представлений о свойствах пространства и времени в механике............................................................................... 2.3. Системы отсчета и описание движений. Элементы кинематики материальной точки: перемещение, скорость и ускорение.................................................................. 2.4. Элементы кинематики материальной точки и тела, совершающих вращательное движение: угол поворота, угловые скорость и ускорение. Их связь с линейной скоростью и линейным ускорением............................................................................... 2.5. Гармонические колебательные движения и их характеристики: смещение, амплитуда, период, частота, фаза, скорость и ускорение........................................... 2.6. Методы сложения гармонических колебаний. Векторные диаграммы. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения..... 2.7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу............... Лекция 3. Элементы динамики материальной точки и твердого тела.................. 3.

1. Основная задача динамики. Основные понятия и определения. Классификация сил. Масса и импульс. Эквивалентность инертной и гравитационной масс. Законы Ньютона. Понятие инерциальной и неинерциальной систем отсчета....................... 3.2. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета.............................................. 3.3. Описание движения в неинерциальных системах отсчет..................................... 3.4. Элементы динамики материальной точки и твердого тела, совершающих вращательное движение относительно неподвижной оси вращения. Основные понятия и определения: момент силы, момент импульса, момент инерции. Теорема Штейнера. Основное уравнение динамики вращательного движения....................... 3.5. Основной закон динамики вращательного движения........................................... 3.6. Сопоставление формул динамики вращательного и динамики поступательного движений........................................................................................................................... Лекция 4. Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды.. 4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.......... 4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот........................................ 4.3. Свободные (затухающие колебания). Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний... 4.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний......................................... Лекция 5. Ангармонические колебания.................................................................... 5.1. Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность.... 5.2. Автоколебания. Обратная связь. Условие самовозбуждения. Роль нелинейности.

Предельные циклы........................................................................................................... Лекция 6. Физика волн. Волновые процессы........................................................... 6.1. Кинематика и динамика волновых процессов. Плоская стационарная и синусоидальная волна...................................................................................................... 6.2. Уравнение плоской волны........................................................................................ 6.3.Волновое уравнение................................................................................................... 6.4. Интерференция волн. Стоячие волны..................................................................... Лекция 7. Энергия, работа, мощность...................................................................... 7.1. Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл.............................. 7.2. Мощность................................................................................................................... 7.3. Энергия как универсальная мера различных форм движений и взаимодействий............................................................................................................ 7.4. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе................................................................................................... 7.5. Энергия системы, совершающей вращательное движение................................... 7.6. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Потенциальная энергия и устойчивость системы...................................................................................................... 7.7. Энергия упругой деформации................................................................................ 7.8. Энергия системы, совершающей колебательное движение................................ Лекция 8. Законы сохранения в механике.............................................................. 8.1. Закон сохранения энергии в механике.................................................................. 8.2. Закон сохранения импульса. Центр инерции.

Закон движения центра инерции.................................................................................. 8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов.............................. 8.4. Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям (удару).............................................................................................................................. Лекция 9. Основы релятивистской механики.

Релятивистская кинематика.............................................................................................. 9.1. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике.................. 9.2. Постулаты и представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности................................................................................................ 9.3. Преобразования Лоренца для координат и времени............................................ 9.4. Следствия из преобразований Лоренца................................................................. Лекция 10. Релятивистская динамика..................................................................... 10.1. Релятивистская масса и релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистской частицы. Инвариантность уравнения движения относительно преобразований Лоренца. Работа и энергия. Полная энергия частицы................... 10.2. Четырехмерное пространство - время. Преобразования в четырехмерном пространстве................................................................................................................... 10.3. Столкновения релятивистских частиц.

Законы сохранения энергии и импульса...................................................................... 10.4. Значение теории относительности....................................................................... БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК..................................................................... ОТ АВТОРОВ Настоящее пособие составлено по материалам, наработанным ав торами в процессе чтения лекций по общей физике студентам инже нерно-технических специальностей, с относительно малым объемом аудиторных занятий, на протяжении длительного промежутка времени.

Наличие у студентов инженерно-технических специальностей данного конспекта лекций позволит им и лектору более эффективно использовать лекционное время, уделить больше внимания трудным для понимания вопросам, облегчить студентам процесс подготовки к экзамену.

Особо нуждаются в таком пособии, на наш взгляд, студенты за очной, ускоренной и дистанционной форм обучения, которые, при ступая к изучению физики, имеют недостаточные навыки адекватно го восприятия физических понятий, определений и законов.

Изложение материала в данной работе предусматривает знание студентами физики и математики в объеме школьной программы, по этому многие понятия в нем не раскрываются в подробностях, а ис пользуются как достаточно известные.

Предполагается также, что студенты уже изучили или изучают параллельно читаемому курсу физики соответствующий математиче ский аппарат (дифференциальное и интегральное исчисление, анализ функций, векторную алгебру, ряды), что освобождает нас от необхо димости специального рассмотрения аппарата высшей математики.

Особенностью пособия является то, что материал представлен в нем в определенной, не традиционной, последовательности, содержит необходимые рисунки и пояснения.

Пособие может быть использовано аспирантами и преподавате лями, имеющими недостаточный опыт работы в вузе.

Авторы будут благодарны всем, кто внимательно просмотрит данное пособие и выскажет определенные замечания по существу.

Кроме того, они постараются учесть все рациональные замечания со стороны коллег-физиков, аспирантов, студентов и внести соответст вующие исправления и дополнения.

ЛЕКЦИЯ 1. ВВОДНАЯ Физика как наука. Наиболее общие понятия и теории. Цель изу чения физики. Математика и физика. Физика и естествознание.

Важнейшие этапы истории физики. Роль физики в развитии техни ки и влияние техники на развитие физики. Роль физики в образова нии. Общая структура курса физики.

Физика - наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности природы, свойства, строение материи и зако ны ее движения. Понятия и законы физики лежат в основе всего есте ствознания. Физика относится к точным наукам и изучает количест венные закономерности явлений.

Физика - экспериментальная наука и ее законы базируются на фактах, установленных опытным путем. Законы физики представля ют собой количественные соотношения и формулируются на матема тическом языке.

Различают экспериментальную физику - опыты, проводимые для обнаружения новых фактов и проверки известных физических за конов, и теоретическую физику, цель которой состоит в формулиров ке законов природы и объяснении конкретных явлений на основе этих законов, а также в предсказании новых явлений.

Из-за многообразия исследуемых объектов и форм движения физика подразделяется на ряд разделов (дисциплин), определенным образом связанных между собой, частично перекрываются вследст вие взаимосвязи между объектами материального мира и процессами, в которых они участвуют.

1) По изучаемым объектам - на физику элементарных частиц, ядра, атомов и молекул, газов и жидкостей, твердого тела, плазмы;

2) По изучаемым процессам или формам движения – на механи ку материальной точки и твердого тела, механику сплошных сред (включая акустику), термодинамику и статистическую физику, элек тродинамику (включая оптику), теорию тяготения, квантовую меха нику и квантовую теорию поля;

3) по целям исследования – на прикладную физику (например, прикладная оптика).

Особо выделяют в физике учение о колебаниях и волнах, что Вводная обусловлено общностью закономерностей колебательных процессов различной физической природы и методов их исследования (механи ческие, электромагнитные, акустические колебания и волны).

Современная физика содержит небольшое число фундаменталь ных физических теорий, охватывающих все разделы физики, которые представляют собой обобщение знаний о характере физических про цессов и явлений, приближенное, но наиболее полное отображение различных форм и взаимодействий материи.

Главная цель изучения физики заключается в том, чтобы пока зать ведущую роль современной физики среди естественных наук, ее место и значение в развитии техники.

Физика является фундаментальной основой приобретения новых знаний как в процессе обучения, так и в процессе работы специали ста, когда необходимо создавать, осваивать или совершенствовать новое оборудование, новые технологические процессы в любых от раслях. В результате изучения физики у студентов должно сложиться обобщенное научное представление о природе - физическая картина мира.

Важной целью курса физики является формирование у студен тов творческого мышления. Используя все виды учебных занятий (лекции, практические, лабораторные и индивидуальные занятия, са мостоятельная работа), необходимо обеспечить цельное научное вос приятие курса физики. При этом из лекционного курса студенты должны получить представление о взаимоотношении классической и современной физики, логические связи между различными разделами физики и с другими дисциплинами специальности.

Изучение физики важно, по крайней мере, в двух отношениях;

во-первых, для выработки правильного диалектико материалистического мировоззрения, т. к. различные физические за коны и явления представляют собой прекрасные иллюстрации общих законов и принципов философии. Во-вторых, значение физики в сис теме инженерного образования обусловлено тем, что физика является научной основой всякого технического образования. Технические науки представляют собой как бы разросшиеся ветви на стволе физи ческой науки, они выросли из тех или иных разделов физики. Напри мер, электротехника, радиотехника, теплотехника, астрофизика, био физика.

8 Лекция Широкое применение физических методов исследования в био логии и медицине делает эти науки, до недавнего времени считав шихся "неподвластными" физике, "точными науками" и обещает в недалеком будущем произвести подлинную революцию в биологии и медицине.

Границы между физикой и некоторыми другими естественными науками не могут быть установлены резко. Существуют обширные пограничные области связи с этими науками. Так, например, возник ли даже особые науки, связывающие физику и химию - физическая химия и химическая физика. Раньше, когда химия почти целиком сводилась к тому, что мы сейчас называем неорганической химией, когда кропотливым трудом химиков открывались многие химические элементы, их связь друг с другом, изучались их соединения, анализи ровался состав почвы и минералов, в те годы химия сыграла важную роль в становлении физики.

Эти науки взаимодействовали очень сильно: вся теория (физи ческая) атомного строения вещества получила основную выдержку в химическом эксперименте;

теорию самих химических реакций поды тожила периодическая система Менделеева. С развитием теоретиче ской химии оказалось, что в ее основе лежит квантовая механика. В любой химической реакции участвует много атомов, движения кото рых случайны и хаотичны, т.е. мы имеем дело с очень сложными сис темами, описать которые можно, применив законы статистической механики.

Толчком к развитию физики, как и всех других наук, послужили практические требования людей. Механика древних египтян и греков возникла непосредственно в связи с теми запросами, которые были поставлены тогдашней строительной и военной техникой. Под влия нием развивающейся техники были сделаны крупные научные от крытия конца XVII и начала ХVIII веков. Особо бурное развитие по лучила физика в XIХ-м веке. В это время созданы источники элек трического тока. Устанавливается связь между электрическими и магнитными явлениями;

доказывается возможность превращения электрической энергии в механическую и наоборот.

В 1869 г. Д.И. Менделеевым был открыт периодический закон, который сыграл исключительную роль в развитии учения об атомах и природе химических явлений.

Вводная Вывод о том, что все тела состоят из атомов, которые находятся в беспрерывном движении, притягиваются на небольшом расстоянии и отталкиваются при их сближении. Установлено, что движение ато мов (их кинетика) существенно зависит от температуры и давления.

Доказано, что вещество может находиться в одном из трех агрегат ных состояний: газообразном, жидком и кристаллическом твёрдом. В каждом из этих состояний движение и расположение атомов облада ют некоторыми особенностями. В газах атомы совершают беспоря дочное тепловое движение, характеризуются отсутствием какого либо порядка в расположении. В кристаллических твердых телах по ложение атомов строго упорядоченно. Жидкости, с точки зрения атомного строения, занимают промежуточное положение. В них ато мы частично унаследовали характер кристаллического состояния – они в течение «времени оседлой жизни» колеблются около некоторо го положения равновесия, а в остальное время их движение подобно движению атомов газового состояния. Они переходят время от вре мени в новое положение равновесия.

Благодаря этим особенностям в расположении и движении ато мов вещества в трёх состояниях проявляется своеобразие особенно стей макроскопических свойств различных веществ. Газы способны заполнять собой объем любого сосуда, жидкости обладают текуче стью, а твёрдые тела – стабильностью формы, прочностью. Одна из основных задач физики состоит в изучении строения, структуры и свойств вещества, взаимосвязи микро- и макроскопических свойств.

Кроме того, физика изучает такие всевозможные процессы и яв ления, протекающие в природе и технике, как теплопроводность, электропроводность, электромагнитное поле, механические и элек тромагнитные колебания, упругие и электромагнитные волны, дви жение заряженных частиц в электромагнитном поле, выделение энер гии при синтезе и делении тяжелых ядер и множество других про блем, интересных в научном плане и жизненно важных в прикладном отношении. Известно изречение, что физика сегодняшнего дня – это техника завтрашнего дня. Именно благодаря крупным научным от крытиям в физике стала возможной и происходит на наших глазах техническая революция – создание тепловых машин, реактивных двигателей, электротехники, радиосвязи, телевидения, вычислитель ной техники, ядерной энергетики и многое другое.

10 Лекция В семидесятых годах Максвеллом была создана общая теория электромагнитных процессов, согласно которой свет можно предста вить в виде электромагнитных волн.

В 1888 г. Г. Герц экспериментально подтвердил правильность этого вывода Максвелла, а несколькими годами позже открытие Мак свелла-Герца использовал русской ученый Попов для осуществления радиотелеграфии.

Важнейшим открытием, позволяющим объяснить строение ве щества, различные процессы, происходящие внутри атомов, объяс нить электрические, механические, тепловые и другие свойства веще ства, было открытие в 1900 г. М. Планком парциального (дискретно го) излучения атомами.

В 1905 г. квантовая теория используется А. Эйнштейном для создания теории теплоемкости и теории относительности. В 1913 г.

дискретность излучения используется Бором при создании начала квантовой механики, окончательное завершение которой было сдела но в 1926 г. Шредингером, предложившим дифференциальное урав нение для описаний свойств "элементарных" частиц.

С 20-30-х годов двадцатого столетия ведутся большие работы в области атомной физики. Сделаны многочисленные значительные от крытия, которые нашли широкое применение в науке и технике.

Физика тесно связана с техникой, причем эта связь носит двусто ронний характер. Физика выросла из потребностей техники, и техника, в свою очередь, определяет направление физических исследований (например, в свое время задача создания наиболее экономичных теп ловых двигателей вызвала бурное развитие термодинамики). С другой стороны, от развития физики зависит технический уровень производ ства. Физика - база для создания новых отраслей техники.

В настоящее время большие успехи достигнуты в области физи ки твердого тела. Стоит задача освоения управляемыми термоядер ными реакциями, в применении энергии квантовых генераторов, в разработке новых и улучшения свойств уже существующих материа лов. Поэтому физика все теснее срастается с техникой, производст вом. Об этом свидетельствуют, например, такие высшие учебные за ведения, как Московский инженерно-физический институт (МИФИ), Московский физико-технический институт (МФТИ);

такие специаль ности, как инженер-физик и т.д. Даже некоторые физические прибо Вводная ры по своим размерам представляют собой громадные инженерные сооружения (синхрофазотроны и др.). Взаимодействие физики и тех ники этим не ограничиваются. Развитие техники и промышленности ежедневно, ежечасно требует решения ряда физических проблем, тесно связанных с дальнейшим техническим прогрессом. Результаты физических исследований и современные тончайшие физические ме тоды широко внедряются в технику, промышленность и сельское хо зяйство. Так, при изучении механических свойств материалов и спла вов все шире применяются оптические и электрические методы ис следования. Радиоактивные и устойчивые изотопы, "меченые атомы" применяются в металлургии, медицине, биологии и т.д. Тесное со трудничество ученых-физиков и инженеров позволило в кратчайший срок добиться больших успехов в области ядерной техники и постро ить первую в мире атомную электростанцию, а затем и еще целый ряд современных атомных электростанций.

Технические науки, со своей стороны, содействуют усовершен ствованию методов исследования в физике;

например, в радиоастро номии радиотехнические средства наблюдения дали новые эффек тивные средства изучения астрофизических явлений.

Создание простейших приспособлений и машин привело к тому, что из всех разделов физики в первую очередь достигла высокого уровня развития механики.

В курсе физики рассматриваются лишь самые общие принципы и положения механики в том объеме, в каком они нужны для изуче ния последующих разделов физики. Более глубоким изучением их занимаются такие науки, как теоретическая и прикладная механика, механика упругих тел и т.д., которые выделились из физики в само стоятельные отрасли науки.

Современное развитие физики коснулось и механики. На смену старым представлениям и понятиям пришли новые понятия и пред ставления. Они лежат в основе созданной А. Эйнштейном теории от носительности. Однако, новые положения и понятия не привели к от рицанию старых ньютоновских, а лишь показали их ограниченную применимость. Классическая механика - частный случай релятивист ской механики, сохранила свое прежнее значение для описания дви жений, происходящих со скоростями, значительно меньшими скоро сти света в вакууме.

12 Лекция Физика тесно связана с развитием математики и наоборот. Без знания математики нельзя изучить физику, так как все закономерно сти в физике выражаются посредством формул и чисел. Только с по мощью математического аппарата можно разобраться и проанализи ровать сложные закономерности, которые имеют место в физических явлениях. Разработка математических методов всегда преследует, в том или ином виде, цель практическую - дать средство анализа зако номерностей природы. Поэтому изучение физики тесно связано с изучением математики даже в той части физики, которую называют общей и экспериментальной, так как здесь исследователь определяет количественные изменения различных величин.

В техническом образовании современного инженера поставлена задача усиления роли фундаментальных наук вообще и физики в ча стности. Это связано с развитием новых отраслей техники, созданием машин и механизмов высокой производительности.

Бурный темп развития физики, растущие связи ее с техникой указывают на двоякую роль курса физики в техническом вузе: с од ной стороны, это фундаментальная база для теоретической подготов ки инженера, без которой его успешная деятельность невозможна, с другой - это формирование диалектико-материалистического и науч ного мировоззрения.

Структура курса лекций: 1 часть – механика;

2 часть – молеку лярная физика и термодинамика;

3 часть – электромагнетизм;

4 часть – волновая оптика, элементы квантовой механики и ядерной физики.

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ Механика и ее разделы. Физические модели: материальная точ ка (частица), абсолютно твердое тело (система материальных то чек), сплошная среда. Понятие состояния в механике. Пространст венно-временные отношения. Развитие представлений о свойствах пространства и времени в механике. Системы отсчета и описание движений. Элементы кинематики материальной точки: перемеще ние, скорость и ускорение. Элементы кинематики материальной точки и тела, совершающих вращательное движение: угол поворо та, угловые скорость и ускорение. Их связь с линейной скоростью и линейным ускорением. Гармонические колебательные движения и их характеристики: смещение, амплитуда, период, частота, фаза, ско рость и ускорение. Методы сложения гармонических колебаний.

Векторные диаграммы. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение взаимно пер пендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

2.1. Механика и ее разделы. Физические модели: материальная точка (частица), абсолютно твердое тело (система материальных точек), сплошная среда Механика – раздел физики, в котором изучается простейшая форма движения - механическое движение, причины вызывающие это движение и происходящие при этом взаимодействия между телами.

Механическое движение - изменение с течением времени вза имного положения тел или их частей (частиц) в пространстве. В при роде - движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения и т.д. В технике - движение различных летательных аппаратов и транспортных средств, машин и механизмов, деформа ции элементов различных конструкций и сооружений, движение жидкостей и газов.

В соответствии с характером решаемых задач механику подраз деляют на следующие разделы: 1) кинематику;

2) динамику;

3) ста тику.

Кинематика изучает геометрические свойства движения и взаимодействия тел в не связи с порождающими их причинами.

Динамика изучает движение и взаимодействия тел совместно с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения и взаимодействия.

14 Лекция Статика изучает равновесие тел, систем под действием сил.

При изучении различных движений и взаимодействий в класси ческой механике вводят в рассмотрение физические модели или на учные абстракции, основными из которых являются:

1. Материальная точка - объект малых размеров (размерами, которого в условиях данной задачи можно пренебречь), обладающий массой. Это понятие применимо, когда тело движется поступательно или когда в изучаемом движении можно пренебречь вращением тела вокруг его центра масс;

2. Абсолютно твердое тело - тело, расстояние между двумя лю быми точками которого всегда остается неизменным. Применимо, ко гда можно пренебречь деформацией тела;

3. Сплошная изменяемая среда. Понятие применимо при изу чении движения изменяемой среды (деформируемого твердого тела, жидкости, газа), когда можно пренебречь молекулярной структурой среды.

При изучении сплошных сред вводят такие абстракции, которые отражают при данных условиях наиболее существенные свойства ре альных тел: идеально упругое тело, пластичное тело, идеальная жид кость, вязкая жидкость, идеальный газ и др.

В соответствии с вводимыми научными абстракциями (моделя ми) различают: а) механику материальной точки;

б) механику систе мы материальных точек;

в) механику абсолютно твердого тела;

г) ме ханику сплошной среды (теорию упругости, теорию пластичности, гидродинамику, аэродинамику, газовую динамику).

2.2. Пространственно-временные отношения. Развитие представ лений о свойствах пространства и времени в механике Пространство и время – категории, обозначающие основные формы существования и взаимодействия объектов.

Пространство выражает порядок существования объектов. Вре мя - порядок смены событий.

Пространство и время - основные понятия всех разделов физики.

Они играют важную роль на эмпирическом уровне физического по знания. Непосредственное содержание результатов наблюдений и экспериментов состоит в фиксации пространственно - временных совпадений. Они служат также одними из важнейших средств конст руирования теоретических моделей, интерпретирующих эксперимен тальные данные.

Элементы кинематики Для построения физической картины мира понятия пространст во и время, обеспечивая отождествление и различие (индивидуализа цию) отдельных фрагментов материальной действительности, имеют решающее значение.

Различают метрические (протяженность и длительность) и топо логические (размерность, непрерывность и связанность, порядок и направление времени) свойства пространства и времени.

Современными теориями метрических свойств пространства и времени являются: специальная теория относительности (СТО) и об щая теория относительности (ОТО).

Исследование топологических свойств пространства и времени в физике было начато в 60 - 70-х годах двадцатого столетия и пока не вышло из стадии гипотез.

Историческое развитие физических представлений о простран стве и времени проходило по двум направлениям в тесной связи с различными философскими представлениями.

В основе одного из них лежали идеи Демокрита, приписываю щие пустоте особый род бытия. Они нашли наиболее полное физиче ское воплощение в понятиях абсолютного пространства и времени И.

Ньютона. Согласно И. Ньютону абсолютное пространство и время представляют собой самостоятельные сущности, которые не зависят друг от друга, и от находящихся в них материальных объектов и про текающих в них процессов.

Другое представление о пространстве и времени заложено в учении Аристотеля, которое было разработано в философских рабо тах Г.В. Лейбница, трактовавшего пространство и время как опреде ленные типы отношений между объектами и их изменениями, не имеющие самостоятельного существования. В физике концепция Г.В.

Лейбница была развита А. Эйнштейном в теории относительности.

2.3. Системы отсчета и описание движений. Элементы кинемати ки материальной точки: перемещение, скорость и ускорение Известно, что кинематика - это учение о геометрических свойст вах движения и взаимодействия тел, или раздел механики, в котором изучаются движения и взаимодействия тел в не связи с причинами, их порождающими. Изучается простейший вид движения - механиче ское движение. Это процесс изменения положения физических тел или их частей по отношению к другим телам или частям одного и то го же тела в пространстве и во времени. Поэтому механическое дви 16 Лекция жение всегда относительно.

Произвольно выбранное, условно неподвижное тело, по отно шению к которому рассматривается движение данного тела, называ ют телом отсчета.

Связанная с телом отсчета произвольная система координат на зывается системой отсчета.

В качестве тела отсчета чаще всего выбирают Землю или любое другое тело, неподвижное или движущееся относительно Земли, сис темы отсчета - прямоугольную, трехмерную (декартову) систему ко ординат, в точке пересечения осей которой помещают тело отсчета.

Для задания положения материальной точки применяется также по лярная система координат.

На рис. 2.1 показана прямо угольная (декартова) система коорди нат.

Положение материальной точки (тела) в прямоугольной системе от счета, в данный момент времени, мо жет быть определено тремя способа ми: 1) с помощью координат x, y, z M(x,y,z). В этом случае говорят, что Рис.2. материальная точка обладает тремя степенями свободы;

2) с помощью радиус - вектора r;

3) естествен ным (траекторным), который применяется обычно тогда, когда из вестна траектория движения точки по отношению к выбранной сис теме отсчета. В этом случае зависимость S = f(t) может быть задана графически либо в виде таблицы. При этом указанные способы рав ноправны.

Между координатами x, y, z и проекциями радиус-вектора r су ществует связь:

x = rx, y = ry, z = rz. (2.1) С течением времени может произойти изменение положения ма териальной точки (тела) в пространстве (изменение ее координат), то гда можно записать:

x = f1(t);

y = f2(t);

z = f3(t);

(2.2) rx = f1(t);

ry = f2 (t);

rz = f3(t). (2.3) Записанные выражения являются уравнениями движения ма териальной точки (тела) в кинематике.

Элементы кинематики Совокупность последовательных положений материальной точ ки (тела) в процессе ее движения называют траекторией движения.

Для определения (нахождения) уравнения траектории движения не обходимо из уравнений движения исключить время.

Положение материальной точки в полярной системе координат задается радиус-вектором r, который имеет определенный модуль r, и углами и, которые он составляет с осями декартовой системы координат.

С точки зрения кинематики, никакого различия между различ ными системами отсчета нет, и все они равноправны.

Простейшим видом механического движения тела является по ступательное движение. Это такое движение, при котором тело пе ремещается параллельно самому себе. При этом все точки тела опи сывают одинаковые траектории, смещенные относительно друг дру га. Рассматривая движение отдельных точек, можно установить ха рактер движения тела.

Для характеристики движения материальной точки вводятся следующие основные понятия и определения.

Перемещение - вектор, проведенный из начального положения материальной точки (тела) в ее положение в данный момент времени (отрезок, соединяющий последовательные положения материальной точки или тела) - приращение радиус-вектора r за рассматриваемый промежуток времени r = r – rо. (2.4) Перемещение характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве. На рис.2.2 r – вектор перемещения точки за промежуток времени t: r1 + r = r или r = r2 r1 ;

S – пройденный за это время путь.

В общем случае перемещение не совпадает с траекторией движения. Дос таточно малое перемещение, которое с Рис.2. достаточной степенью точности совпада ет с соответствующим участком траектории движения, называют эле ментарным перемещением - dr.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения чис 18 Лекция ленно равен пройденному пути:

r = S (2.5) Расстояние - модуль перемещения. Расстояние, пройденное те лом при его движении по траектории, - путь. В частных случаях пе ремещение и путь могут совпадать.

За одни и те же промежутки времени перемещение точки может быть разным. Если положение точки в пространстве в какой-то мо мент времени t определить вектором r(t), а в момент времени t + t (r + r), то за время (t2 – t1) = t она совершает перемещение r. При этом отношение r/t зависит от t. Однако при уменьшении t эта зависимость становится менее явной, и при t0 оно стремится к не которому пределу. Предел отношения r/t при t0 называют мгновенной скоростью.

Таким образом, мгновенная линейная скорость - векторная физическая величина, характеризующая состояние движения, пока зывающая, как изменяется перемещение в единицу времени, числен но равная первой производной от перемещения по времени:

r d r dS v = lim = = (2.6).

t o t dt dt Скоростью определяется как "быстрота" движения, так и его на правление. При неравномерном движении модуль мгновенной скоро сти с течением времени может изменяться. В этом случае пользуются понятием средней скорости движения.

Средняя скорость неравномерного движения - скалярная фи зическая величина, численно равная отношению всего пути, прой денного телом (материальной точкой), к тому промежутку времени, в течение которого совершалось движение:

dS v=. (2.7) dt Важной задачей кинематики является нахождение пройденного материальной точкой пути. Известно, что при прямолинейном равно переменном движении at 2 d r dS S = S0 + v 0 t +. Согласно (2.6), v = =, следовательно dt dt dS = vdt. (2.8) При небольших промежутках времени t можно считать, что элементарный путь dS численно равен dr, причем при уменьшении промежутка времени точность совпадения числовых значений пути и Элементы кинематики перемещения возрастает.

Поэтому путь, пройденный материальной точкой при неравно мерном движении за промежуток времени от t1 до t2, можно опреде лить по формуле t S = v dt. (2.9) t Таким образом, величина пути определяется криволинейным ин тегралом.

Это дает право представлять ве личину пройденного телом пути пло- Рис.2. щадью фигуры, ограниченной кривой зависимости v = f(t), прямыми t = t1, t = t2 и осью времени на графике скорости (рис.2.3).

В общем случае найти уравнение пути - означает определить зависимость координат от времени: x = f 1 ( t ), y = f 2 ( t ), z = f 3 ( t ). При движении скорость материальной точки (тела) может изменяться как по величине, так и по направлению. Отношение изменения скорости v к промежутку времени t, в течение которого оно происходит, за висит от величины t, однако при его уменьшении эта зависимость становится менее явной, и при t0 оно стремится к пределу, кото рый называют линейным ускорением:

v dv d 2 r a = lim = =. (2.10) t 0 t dt dt Следовательно, линейное ускорение - векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй произ водной от перемещения по времени.

В общем случае вектор линейного ускорения не совпадает с век тором линейной скорости. Можно разложить вектор линейного уско рения на две составляющие по направлению линейной скорости вдоль касательной к траектории движения. Эту составляющую ли нейного ускорения называют тангенциальным ускорением – аt.

Тангенциальное ускорение изменяет линейную скорость только по величине:

dv dv at =,at =. (2.11) dt dt 20 Лекция Составляющую линейного ускорения, направленную по норма ли n к вектору линейной скорости, т.е. к касательной в данной точке, называют нормальным ускорением - an. Нормальное ускорение изменяет линейную скорость только по направлению:

v2 v an = n, an = (2.12) R R где R - радиус кривизны траектории движения;

n - единичный вектор нормали к траектории движения.

Полное ускорение a можно определить как a = a t + a n ;

a 2 = a 2 + a 2 ;

a = a 2 + a 2. (2.13) t n t n Таким образом, направление тангенциального ускорения всегда совпадает с направлением линейной скорости, а направление нормаль ного ускорения перпендикулярно направлению линейной скорости.

При неравномерном движении величину dv a= (2.14) dt называют мгновенным ускорением, а v a= (2.15) t -средним ускорением.

Надо отметить, что при поступательном движении тела все его точки имеют одинаковые линейные скорости и ускорения и описы вают одинаковые траектории, смещенные относительно друг друга.

2.4. Элементы кинематики материальной точки и тела, совер шающих вращательное движение: угол поворота, угловые ско рость и ускорение. Их связь с линейной скоростью и линейным ускорением Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси вращения на зывают такое движение, при котором какие либо две его точки остаются неподвижными в процессе движения. Прямая, проходящая че рез эти точки, называется осью вращения;

все остальные точки твердого тела при враща тельном движении описывают окружности в Рис.2. плоскостях, перпендикулярных к оси враще Элементы кинематики ния, центры которых лежат на этой оси (рис.2.4).

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются: угол поворота, угловая скорость и угловое уско рение.

Угол поворота - угол между проведенными через ось враще ния неподвижной полуплоскостью (плоскостью отсчета) и полуплос костью, жестко связанной с телом и вращающейся вместе с ним. Угол поворота - псевдовектор - вектор, численно равный углу между двумя положениями радиуса R, направленный вдоль оси вращения и свя занный с направлением вращения правилом векторного произведения (правилом правого винта).

С определенной степенью точности, под углом поворота можно подразумевать псевдовектор, численно равный углу, отсчитанному между двумя последовательными положениями радиус-вектора r, и связанный с направлением вращения правилом правого винта.

Угловая скорость - векторная физическая величина, показы вающая, как изменяется угол поворота в единицу времени, числен но равная первой производной от угла поворота по времени:

d = lim =. (2.16) t o t dt Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сто рону, определяемую правилом правого винта (векторного умноже ния).

При равномерном вращении = const, = /t. Равномерное вращательное движение характеризуется периодом, частотой враще ния и циклической или круговой частотой.

Период (T) - время, в течение которого тело сделает один пол ный оборот.

Частота (n) - число оборотов, совершаемых в единицу времени.

Круговая (циклическая) частота - число оборотов, совер шаемых за время, равное 2. Между периодом, частотой и круговой частотой имеется связь:

= 2n = 2/T;

n = 1/T. (2.17) Угловая скорость может изменяться как по величине, так и по на правлению. Векторная физическая величина, характеризующая измене нию угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной 22 Лекция от угла поворота по времени, называется угловым ускорением d d = lim = = 2. (2.18) t 0 t dt dt Направление вектора углового ускорения совпадает с направле нием вектора угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположно - в случае замедленного.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линей ные скорости, которые непрерывно изменяют свое направление и за висят от угловой скорости и расстояния соответствующей точки до оси вращения r.

Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения, двигаясь по траектории (окружности), проходит путь (рис.2.5):

S = r. (2.19) Поделив обе части данного равенст ва на t;

при t0 получим некоторые пределы от левой и правой частей:

S d dS = r lim = r. (2.20) или lim t 0 t t 0 t dt dt Так как dS/dt = v, а d/dt =, то v = r. (2.21) Рис.2. Полученная формула устанавливает связь между численными значениями линейной и угловой скорости, а также радиус-вектором r. Из нее видно, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Векторы v, и r перпендикулярны друг другу, следовательно, можно записать:

v = r sin или v = [r]. (2.22) 2 2 2 Известно, что a = at + an, где at = dv/dt, an = v /r. Следовательно, связь между полным линейным ускорением, тангенциальным и нор мальным ускорениями имеет вид:

v d d a t = (r) = r = r 2 ;

a = r 2 + 4. (2.23) = r ;

a n = dt dt r Из написанных формул видно, что тангенциальное, нормальное и полное ускорения растут с увеличением расстояния от этих точек до оси вращения.

Можно показать, что любое сложное движение можно предста вить в виде поступательного и вращательного движений.

Элементы кинематики Надо отметить, что к вращательному движению применимы все формулы кинематики материальной точки, с заменой в них линейных величин соответствующими угловыми величинами. Например:

S = v0t + at2/2;

= 0t + t2 /2. (2.24) Уравнением вращательного движения в кинематике называют выражение, которое отображает функциональную зависимость угла поворота от времени:

= f(t).

В физике в качестве основной угловой меры принят радиан.

Угол в радианах получается как отношение пройденного материаль ной точкой пути S к радиусу соответствующей окружности (см.

рис.2.5):

= S/r.

2.5. Гармонические колебательные движения и их характеристи ки: смещение, амплитуда, период, частота, фаза, скорость и ускорение Колебания - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд, внутри которых происходят циклические ядерные реакции;

с высокой степенью пе риодичности вращаются планеты Солнечной системы;

движение Лу ны вызывает приливы и отливы на Земле;

в земной ионосфере и ат мосфере циркулируют потоки заряженных и нейтральных частиц;

ветры возбуждают колебания и волны на поверхности водоемов.

Внутри любого живого организма непрерывно происходят разнооб разные, ритмично повторяющиеся процессы. В виде сложнейшей со вокупности колебаний частиц и полей (электронов, протонов, фото нов) можно представить "устройство" микромира.

В технике колебания либо выполняют определенные функцио нальные обязанности (маятник, колебательный контур, генератор), либо возникают как неизбежное проявление физических свойств (вибрация машин и сооружений, неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах).

В физике выделяются механические, электромагнитные колеба тельные движения и их комбинации. Это обусловлено той исключи тельной ролью, которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах, характерных для жизнедеятельности 24 Лекция человека. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем прямую информацию об окружающем мире.

Колебания любых физических величин почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида.

По мере изучения колебаний различной физической природы возникло убеждение о возможности общего подхода к ним, основан ного на свойствах и закономерностях колебательных процессов во обще. В результате появилась теория колебаний и волн. Одним из ос новных математических аппаратов теории колебаний являются диф ференциальные уравнения.

При изучении колебательных движений обычно определяют за кон, по которому повторяются движения, время, через которое сис тема вновь возвращается в первоначальное состояние, наибольшее отклонение, которого достигает движущиеся материальная точка (те ло). Установив эти характеристики колебательного движения, можно определить состояние системы в любой момент времени.

Все сложные виды колебательных движений можно свести к простейшему виду - гармоническим колебаниям.

Гармоническими колебаниями называют такие периодически повторяющиеся движения материальной точки (тела), при которых ее смещение от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

x = x 0 sin (t + 0 );

x = x 0 cos(t + 0 ). (2.25) где x – смещение. Удаление материальной точки от положения рав новесия в данный момент времени t;

x0- амплитуда колебаний. Наибольшее (максимальное) удаление материальной точки от положения равновесия;

(t + 0) - фаза колебаний. Определяет положение материальной точки в данный момент времени t. Это периодически изменяю щийся аргумент функции, описывающей колебательный или вол новой процесс.

0 - начальная фаза колебаний. Определяет положение матери альной точки в начальный момент времени t = 0;

= 2/T = 2 - круговая (циклическая) частота колебаний.

Элементы кинематики Определяет число колебаний, совершаемых за время, t = 2;

T - период колебаний. Время, за которое совершается одно пол ное колебание;

- частота колебаний. Число колебаний, совершаемых в единицу времени.

Скорость материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение, - физическая величина, которая показывает, как изменяется смещение в единицу времени, численно равная пер вой производной от смещения по времени:

dx d = (x 0 sin (t + 0 )) = x 0 cos(t + 0 ) = v= dt dt (2.26) = v 0 cos(t + 0 ) = x 0 cos(t + 0 ).

T Ускорение материальной точки, совершающей гармоническое колебание, - физическая величина, которая показывает, как изменяет ся скорость материальной точки в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от смеще ния по времени:


dv d 2 x 4 = 2 = x 0 sin(t + 0 ) = x = 2 x.

a= 2 (2.27) dt dt T Знак "минус" означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Из соотношений видно, что скорость имеет максимальное значение, когда точка проходит положение равновесия, а ускорение в крайних положениях.

Изменение смещения, скорости и Рис. 2.6.

ускорения с течением времени при гармонических колебательных движениях представлено на рис. 2. 2.6. Методы сложения гармонических колебаний. Векторные диаграммы. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения Колебания, совершаемые материальными точками, телами, сис темами, чаще всего являются результатом сложения нескольких гар 26 Лекция монических колебаний, совершаемых одновременно. Следовательно, любое сложное колебание можно разложить на несколько простых (гармонических). Для того чтобы знать, как зависит характер сложного колебания от соотношения фаз, частот, амплитуд и направлений скла дываемых колебаний, рассмотрим наиболее простые случаи сложения гармонических колебаний. Основными методами сложения колебаний являются метод векторных диаграмм и аналитический метод.

Метод векторных диаграмм заключается в том, что гармониче ские колебания изображаются графически в виде вектора на плоско сти. Для этого из начала координат на плоскости проводят вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемых колебаний, кото рый составляет с осью координат (горизонтальной осью) угол = t + 0, равный фазе ко- Y лебаний в данный мо мент времени t (рис.2.7).

С течением вре мени угол увеличи вается так, что вектор равномерно вращается X относительно начала X координат с угловой скоростью, равной циклической частоте X. Соответственно проекция вектора на X Рис. 2.7.

вертикальную ось со вершает гармониче ские колебания по закону:

x = x 0 sin(t + 0 ). (2.28) Этим методом широко пользуются при сложении одинаково на правленных гармонических колебаний.

Предположим, что имеются два гармонических колебания с одинаковой частотой 1 = 2 = (T1 = T2 = T), но с разными ампли тудами x01 x02 и начальными фазами 01 02. Уравнения таких ко лебаний будут иметь вид:

Элементы кинематики x1 = x01sin(t + 01);

x2 = x02sin(t + 02). (2.29) Изобразив эти колебания в виде векторной диаграммы, для ам плитуды результирующего колебания получим:

x0 = x01 + x02. (2.30) Численное значение амплитуды результирующего колебания можно определить по теореме косинусов:

x02 = x012 + x022 - 2x01x02cos[ - (1 - 2)] = = x012 + x022 - 2x01x02cos(1 - 2)]. (2.31) Пользуясь векторной диаграммой, определяем начальную фазу результирующего колебания:

x 01 sin 01 + x 02 sin tg 0 = (2.32).

x o1 cos 01 + x 02 cos Уравнение результирующего колебания будет иметь вид x = x 0 sin(t + 0 ). (2.33) Анализ полученного результата приводит к следующим выво дам:

1. При 01 - 02 = 2k - разность начальных фаз складываемых ко лебаний равна четному числу ;

в частности при k = 0, (01 - 02 = 0):

x0 = x01 + x02;

tg0 = tg01 = tg02;

0 = 01 = 02. (2.34) Колебания синфазные и усиливают друг друга.

2. При 01 - 02 = (2k + 1) - разность начальных фаз складывае мых колебаний равна нечетному числу ;

в частности при k = 0, (01 02) = :

x0 = x01 – x02;

01 = -02. (2.35) Колебания противофазные и ослабляют друг друга.

3. При x01 = x02;

1 = 2 = ;

02 01. Уравнения таких гармо нических колебаний имеют вид x 1 = x 01 sin (t + 01 ). (2.36) x 2 = x 01 sin (t + 0 2 ). (2.37) Для получения уравнения результирующего колебания восполь зуемся аналитическим методом сложения колебаний. В этом случае будем иметь 28 Лекция x = x1 + x 2 = x 01 sin(t + 01 ) + x 01 sin(t + 0 2 ) = 01 02 + = x 01 [sin(t + 01 ) + sin(t + 02 )] = 2x 01 cos sin t + 01, 2 (2.38) 01 + где x 0 = 2x 01 cos - амплитуда результирующего колебания;

01 + 0 = - фаза результирующего колебания.

Результирующее колебание - гармоническое, такой же частоты, отличающееся по фазе от складываемых колебаний на половину сум мы их начальных фаз.

Из полученного результата видно, что:

а) при 01 - 02 = 2k - разность начальных фаз складываемых ко лебаний равна четному числу ;

в частности при k = 0 (01 - 02 = 0):

x0 = 2x01. (2.39) Колебания усиливают друг друга;

б) при 01 - 02 = (2k + 1) - разность начальных фаз складывае мых колебаний равна нечетному числу ;

в частности при k=0 (01 02 = ):

x0 = x02 – x01 = 0. (2.40) Колебания гасят друг друга. В остальных случаях амплитуда ре зультирующего колебания меньше суммы амплитуд складываемых колебаний.

Особый интерес представляет сложение колебаний одного на правления, амплитуды которых одинаковы (x02 = x01);

начальные фа зы равны 0 (01=02=0), а круговые частоты мало отличаются друг от друга (1 2). Уравнения таких колебаний имеют вид x1 = x01sin1t;

x2 = x01sin2t. (2.41) Уравнение результирующего колебания запишем, если восполь зуемся аналитическим методом сложения гармонических колебаний:

2 1 + x = x1 + x2 = x01sin1t + x01sin2t = 2x01 cos 1 t sin t, 2 (2.42) Элементы кинематики + где x 0 = 2x 01 cos 1 x - амплитуда результирующего колеба ния, которая зависит от = 1 - 2 – разности частот склады ваемых колебаний.

+ x = x 0 sin 1 t - смещение результирующего колебания, изменяющееся по гармоническому закону.

2 1 Так как 1, то амплитуда результирующего ко 2 лебания изменяется со временем медленнее, чем смещение. Поэтому результирующее колебание можно считать почти гармоническим.

Частота и период результирующего колебания соответственно будут равны + 2 = 1 ;

T = (2.43).

1 + Частота и период изменения амплитуды (частота и период бие ния):

2 ' ' = 1 ;

T = (2.44).

1 Такие колебания называются биениями.

Процесс возникновения и характер биений можно представить так (рис.2.8): в начале (при t = 0) фазы складываемых колебаний совпадают, амплитуда результи рующего колебания максималь на. По мере нарастания разности фаз амплитуда результирующе го колебания уменьшается, ста Рис.2.8 новится меньше суммы ампли туд складываемых колебаний.

При разности фаз, равной, складываемые колебания погасят друг друга (x0 = 0). Дальнейшее увеличение разности фаз приведет к воз растанию амплитуды результирующего колебания, и при разности фаз, равной 2, достигнет вновь максимального значения, затем про цесс будет повторяться.

30 Лекция Периодическое изменение амплитуды от 2x 0 до 0 обусловлено постепенным запаздыванием по фазе одного из исходных колебаний:

при разности фаз исходных колебаний, равной 2n (где n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …), амплитуда результирующего колебания равна 2x 0, а при разности фаз, равной (2n + 1) (где n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …), амплитуда равна 0.

Одним из применений получения биений является настройка музыкальных инструментов. Настройщик рояля, например, добивает ся "нулевых" биений звуковых колебаний от эталонных камертонов и струн музыкального инструмента (постепенно натягивая или отпус кая струну, он добивается максимального снижения частоты резуль тирующего звукового колебания, благодаря чему процесс настройки становится стандартным и очень точным). В так называемых "гетеро динных" частотомерах также используется принцип нулевых биений для идентификации частоты нового источника колебаний.

В результате сложения гармонических колебаний, совпадающих по направлению и имеющих кратные циклические частоты, 2, и т.д., получаются периодические негармонические колебания с пе риодом T = 2/. В свою очередь, любое сложное периодическое ко лебание x = f(t) можно представить в виде суммы простых гармони ческих колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте = 2/T, где T - период колебаний:

a a x = f (t ) = 0 + (a n cost + b n sin t ) = 0 + A n sin(nt + n ), (2.45) 2 n=1 T 2 f (t ) cos t dt, при (n = 0, 1, 2, …..);

где a n = T T T 2 f (t ) sin t dt, при (n = 1, 2, …..).

bn = T T Такое представление периодической функции f(t) называется разложением этой функции в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания. Члены ряда Фурье, соответст вующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами, Элементы кинематики 2, 3 и т.д., называются первой, или основной, второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания x = f(t). Сово купность этих гармоник образует спектр колебания x = f(t). Состав спектра зависит от вида периодической функции x = f(t). В простей ших случаях спектр может состоять из небольшого числа гармоник.

Часто под спектром колебания понимают спектр его частот, т.е.

совокупность частот простых гармонических колебаний, в результате сложения которых может быть получено рассматриваемое сложное колебание. Периодические колебания имеют дискретные (линейча тые) спектры частот.

2.7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Фигуры Лиссажу Рассмотрим движение материальной точки, участвующей одно временно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, частоты которых 1 и 2 равны (1 =2=), в направлениях осей "x" и "y".

В этом случае колебательный процесс описывается следующей системой уравнений:

x = x0sint, y = y0cos(t + ). (2.46) Для определения уравнения траектории движения точки из сис темы уравнений исключим время. Из первого уравнения имеем x/x0 = sint. (2.47) Второе уравнение системы перепишем в виде y = y0cos(t + ) = y0(sintcos + costsin), (2.48) но cost = [1 – sin2t]1/2 = [1 - (x/x0)2]1/2. (2.49) Подставив вместо sint и cost их значения, получим уравнение траектории движения материальной точки:

y = y0{(x/x0)cos + [1 - (x/x0)2]1/2sin}, (2.50) или y = (y0/x0){xcos + [x02 – x2]1/2sin}. (2.51) Исследуем некоторые частные случаи.

1. Складываемые колебания имеют одинаковые частоты (1 = =), различные амплитуды (x0 y0) и начальные фазы 1 = 2 = 0, 32 Лекция уравнения которых имеют вид x = x0sint, y = y0sint. (2.52) Уравнение траектории движения точки в этом случае:


y = (y0/x0)x. (2.53) Уравнение (2.53) является уравнением прямой, проходящей че рез начало координат, наклон которой к оси x определяется углом :

tg = y0/x0. Смещение материальной точки от начала координат r2 = (x02 + y02)sin2t.

Результирующее колебание является гармоническим.

2. Складываемые колебания имеют одинаковые частоты (1 =2 = ), различные амплитуды (x0 y0), начальные фазы 1 и 2, отличающиеся на /2.

Уравнение траектории в этом случае имеет следующий вид:

y = y0[1 - (x/x0)2]1/2 (y/y0)2 + (x/x0)2 = 1.

или (2.54) Следовательно, в данном случае траектория результирующего движения представляет собой эллипс с полуосями, равными x0 и y0.

При равных амплитудах (x0 = y0) Y траектория результирующего движе 0 X ния - окружность. Некоторые из рас смотренных случаев сложения взаим но перпендикулярных колебаний 1.1 Y Y Y 1. представлены на рис.2.9. Y В общих случаях сложения вза- X X XX 0 имно перпендикулярных гармониче ских колебаний замкнутые траектории 1. точки называются фигурами Лиссажу. Y Конфигурация этих кривых зависит от X соотношения амплитуд, начальных фаз, периодов и частот складываемых колебаний (рис.2.10). Рис.2. Элементы кинематики Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям коорди нат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, соответст венно равных амплитудам складываемых колебаний. Отношение час тот складываемых колебаний Y равно отношению числа ка- Y саний соответствующей им фигуры Лиссажу со сторона- X X ми прямоугольника, парал лельными осям.

Сложение колебаний, Y Y направленных под прямым углом друг к другу, доста X X точно часто происходит в различных процессах, проте Рис.2. кающих в природе и в раз личных технических устройствах. Например, при подаче переменного напряжения на две пары отклоняющих пластин электронно-лучевой трубки электронный пучок одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. На экране электронно-лучевой труб ки можно наблюдать траекторию результирующего колебательного движения (фигуры Лиссажу).

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Основные понятия и определения. Основная задача динамики.

Консервативные и неконсервативные силы. Масса и импульс. Экви валентность инертной и гравитационной масс. Первый закон Нью тона. Понятие инерциальной и неинерциальной систем отсчета.

Уравнение движения. Второй закон Ньютона. Границы применимо сти классического способа описания движений. Третий закон Нью тона. Современная трактовка законов Ньютона. Описание движе ния в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции. Элементы динамики материальной точки и твердого тела, совершающих вра щательное движение относительно неподвижной оси вращения. Ос новные понятия и определения вращательного движения материаль ной точки и твердого тела: момент силы, момент импульса, мо мент инерции. Теорема Штейнера. Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки и твердого тела.

3.1. Основная задача динамики. Основные понятия и определения. Классификация сил. Масса и импульс.

Эквивалентность инертной и гравитационной масс. Законы Ньютона. Понятие инерциальной и неинерциальной систем отсчета Известно, что динамика изучает движение тел и причины (си лы), которые обусловливают тот или иной характер движения.

Динамика поступательного движения основана на трех законах Ньютона. Хотя первый закон Ньютона – это установленный еще Галилеем принцип инерции: «Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, по ка на него не действуют другие тела или равнодействующая всех приложенных сил равна нулю».

Конечно, поставить опыт в обычных условиях, который в чис том виде подтвердил этот закон, просто нельзя из-за присутствующих при любом движении сил трения. Поэтому нужно иметь богатое во ображение, чтобы в эпоху средневековья сформулировать принцип инерции.

Второй и третий законы полностью принадлежат Ньютону.

Механика, основывающаяся на законах Ньютона, получила на Элементы динамики материальной точки и твердого тела звание классической или ньютоновской механики. Развитие науки показало ограниченную применимость классической механики - ме ханики больших масс (по сравнению с массами атомов) и малых ско ростей (по сравнению со скоростью распространения света в вакуу ме). Все законы Ньютона являются результатом обобщения им опыт ных данных.

Первый закон Ньютон сформулировал так: "Всякое тело про должается удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние".

Покой при этом рассматривается как частный случай равномер ного прямолинейного движения со скоростью v = 0.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного пря молинейного движения называется инерцией, а движение тела в этом случае - движением по инерции. Движение по инерции - научная аб стракция, так как во всех случаях в действительности покоя и равно мерного прямолинейного движения тел не существует. Всегда прихо дится иметь дело с телами, воздействия на которые уравновешивают друг друга.

Из первого закона Ньютона следует, что только воздействие од них тел на другие способно изменить их движение. Изменение со стояния движения означает, что тело приобретает ускорение. Воздей ствие одних тел на другие характеризуется физической величиной, называемой силой F.

В общем случае сила определяется численным значением, на правлением в пространстве и точкой приложения.

Сложение нескольких сил производится геометрически (по прави лу параллелограмма, если силы направлены под углом друг к другу):

n F = Fi. (3.1) i = Все силы в механике можно разделить на:

а) фундаментальные, возникающие в отсутствие непосредст венного контакта, которые обусловлены наличием полей у взаимо действующих тел (силы тяготения;

силы электромагнитного взаимо действия и т.д.);

б) силы инерции, возникающие в неинерциальных системах от счета;

в) молекулярные силы, силы взаимодействия молекул и атомов;

36 Лекция г) возникающие только при непосредственном взаимодействии тел (силы трения, упругие силы и т.д.);

д) консервативные и неконсервативные.

Фундаментальные силы проявляются при помощи наиболее простых полей: гравитационного и электрического. К фундаменталь ным силам относится сила взаимодействия двух точечных электриче ских зарядов (кулоновская), а также силы тяготения двух масс (гра витационные). Эти силы убывают по модулю с расстоянием: F1/r2, а линия действия этих сил проходит через взаимодействующие точеч ные тела. Силовые и энергетические параметры фундаментальных полей подчиняются принципу суперпозиции. Например, вектор на пряженности электростатического поля, созданного некоторым чис лом точечных электрических зарядов, равен векторной сумме напря женностей полей, созданных отдельными зарядами:

E = E1 + E 2 + E 3 + … + E n. (3.2) С электричеством тесно связана сила другого рода, называемая магнитной;

ее также можно анализировать через понятие поля.

В случае сил взаимного притяжения тел можно сказать, что лю бая масса m1 создает поле с напряженностью G во всем окружающем пространстве и сила, притягивающая другую массу m 2, равна F = m 2G. (3.3) По аналогии с электричеством можно записать m n G = 31 r и G i = G 1 + G 2 + + G n. (3.4) r i = Однако в теории тяготения Эйнштейна доказывается, что в по следнем случае принцип суперпозиции в такой простой форме вы полняется лишь приближенно.

В начале 20 века физики пришли к выводу о существовании уникального типа сил – ядерных сил. Между нуклонами ядра, нахо дящимися на очень малых расстояниях друг от друга, действуют си лы притяжения, которые резко убывают с расстоянием (и потому по лучили название "короткодействующих"). Эти силы проявляются, не зависимо от того, имеется ли у нуклонов электрический заряд. Суще ствует предположение, что ядерные силы проявляются через специ фические ядерные поля, но законы Ньютона здесь не применимы.

Для описания поведения нуклонов, их энергетики служит квантовая механика.

Элементы динамики материальной точки и твердого тела Силы инерции (псевдосилы) среди известных в физике сил за нимают особое место. Силы инерции проявляются в неинерциальных системах отсчета, т.е. в системах отсчета, движущихся с ускорением по отношению к простейшей инерциальной системе. Хорошим при мером является система отсчета, связанная с вагоном движущегося поезда. В момент резкого замедления (включили стоп-кран) различ ные предметы без видимой причины приходят в движение. В такой системе законы Ньютона в обычной их форме не выполняются. Уско ренное движение предметов вызвано действием сил инерции. Другим примером силы инерции (псевдосилы – как бы силы) является хоро шо известная центробежная сила. Такого рода силы мы рассмотрим в дальнейшем более подробно.

Молекулярные силы (силы Ван-дер-Ваальса) – силы, дейст вующие между атомами или молекулами. Из-за малости размеров атомов и расстояний, на которые они сближаются, классическая фи зика не может удовлетворительно объяснить молекулярные силы.

Чтобы их полностью понять, понадобилась квантовая механика. Од нако на основе большого массива опытных данных удается получить качественную картину проявления сил Ван-дер-Ваальса в интерпре тации классической механики.

Первопричиной возникновения молекулярных сил (силы притя жения и отталкивания, проявляющиеся при сближении молекул) явля ется электрическое взаимодействие электрических зарядов, входящих в состав атомов и молекул. При сближении молекул на сравнительно большом расстоянии начинают проявляться силы притяжения. Они из меняются обратно пропорционально 7-й степени удаления, т.е. F1/r7.

Молекулярные силы притяжения не являются фундаментальны ми. Они возникают в результате сложного взаимодействия всех элек тронов и ядер одной молекулы со всеми электронами и ядрами дру гой, т.е. обусловлены очень сложной комбинацией действия фунда ментальных электрических сил. Они не являются фундаментальными ещё и потому, что разыгрываются на очень малых объектах и рас стояниях, когда неприменимы законы классической механики.

Существует несколько типов сил трения:

1) сила трения скольжения, обусловленная силами притяжения молекул двух тел, скользящих относительно друг друга;

2) сила вязкого трения, возникающая в результате медленного движения тела в жидкости или газе;

38 Лекция 3) сила трения, вызванная быстрым движением тела в жидкости или газе.

Сила трения скольжения приводит к затратам энергии при пе ремещении тела по поверхности другого тела. Механизм потерь та ков: неровности на поверхностях соприкасающихся тел при движе нии сминаются, возникают колебания и движения атомов, и тепло растекается по обоим телам. Кроме того, в результате "цепляния" ше роховатостей некоторая часть их разрушается – поверхности стира ются, на что также затрачивается энергия. Оказывается, эмпирически это трение можно описать простым законом. Сила, нужная для того, чтобы преодолевать трение скольжения, пропорциональна нормаль ной силе с постоянным коэффициентом пропорциональности (коэф фициентом трения):

F1 = N. (3.5) Сила вязкого трения оказывается пропорциональной 1-й сте пени скорости тела:

dx F2 = r v = r. (3.6) dt Сила трения, проявляющаяся при быстром движении тела в жидкости или газе, в отличие от простого вязкого трения обусловлена не только передачей импульса соседним слоям молекул жидкости или газа, но образованием в среде различных вихрей, звуковых и ультра звуковых волн, вибрациями самого тела. Однако приближенно эта сила пропорциональна квадрату скорости тела:

F3 = c v v. (3.7) Консервативные и неконсервативные силы. В каждой точке пространства на тело может действовать определенная сила. В таком случае пространство представляет собой поле сил. Например, тело вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести. В каждой точке пространства на него действует сила FT = mg, направленная по вертикали вниз.

Если работа, совершаемая над телом, не зависит от пути, а опре деляется только начальным и конечным положениями тела в про странстве, то поле сил называется потенциальным, а сами силы – консервативными (потенциальными). Силы, работа которых зависит от формы пути, по которому тело переходит из одного положения в другое, называются неконсервативными.

Элементы динамики материальной точки и твердого тела Для установления связи между силой F и результатом ее воздей ствия - ускорением a, необходимо измерить силу и ускорение.

Силу, обычно, измеряют, пользуясь эталоном, а ускорение - ис пользуя кинематические соотношения a = dv/dt.

Опыты показывают, что при действии одной и той же силы, раз личные тела приобретают различные ускорения, т.е. различна инер ция этих тел.

Физической величиной, характеризующей инертность матери ального тела, является его масса-m. Понятие массы, как и другие фи зические понятия, раскрывается лишь при изучении всех ее свойств и проявлений. Массу тела, определяющую его инертные свойства, на зывают инертной массой. Массу тела, которая характеризует свойст ва тел при их взаимном притяжении, называют гравитационной мас сой. При соответствующем выборе единиц измерения инертная и гра витационная массы совпадают.

Одной из физических величин, описывающих свойства движу щихся тел, является количество движения или импульс p = mv. (3.8) При движениях со скоростью vc, m = m0 и p = m0v, а так как масса при этом не зависит от скорости, то и количество движения не зависит от скорости.

Для движений со скоростью vc масса зависит от скорости:

m0 m m= =, (3.3) v 1 c где = v/c.

Следовательно, и импульс p0 p p= =, (3.10) v 1 c то есть каждому значению скорости соответствует свое значение мас сы и импульса.

Обобщив опытные данные, Ньютон пришел к выводу: "Измене ние количества движения пропорционально приложенной силе и на правлено вдоль прямой, по которой действует данная сила".

Математически это можно записать так:

40 Лекция p n = Fi, (3.11) t i = при t dp n = Fi. (3.12) dt i = Выражение (3.12) называют основным уравнением движения в дина мике.

Если vc, то dv n = Fi = F, (3.13) m dt n = n где Fi - результирующая всех сил, действующих на тело (матери i = альную точку;

систему);

Из (3.13) a = F/m. (3.14) Таким образом, ускорение всякого тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела.

Этот результат следует из закона независимости действия сил, согласно которому при действии на тело нескольких сил каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила бы, если бы действовала одна.

Любой вектор можно разложить в пространстве на три взаимно перпендикулярные составляющие (соответственно направленные вдоль осей ОХ, ОУ и OZ).

Поэтому вектор силы имеет три компоненты:

d y d2x d2y d x Fy = m dt = m dt 2 = ma y, = m 2 = ma x, Fx = m dt dt d2z d z = m 2 = ma z.

Fz = m (3.15) dt dt Уравнения (3.15) представляют собой полную форму второго закона Ньютона.

Зная силы, действующие на тело, и разлагая их на компоненты, можно с помощью этих уравнений найти движение тела (т.е. устано вить кинематические параметры). Возможна постановка и обратной задачи: зная уравнение движения и массу тела, можно определить си лу, обусловливающую ускорение тела. Так что динамика в отличие от Элементы динамики материальной точки и твердого тела кинематики рассматривает не только параметры кинематики, но и ин тересуется причинами, вызывающими движение, то есть – силами.

В динамике рассматриваются два типа задач, решения которых для материальной точки (или поступательно движущегося тела) на ходятся с помощью уравнения второго закона Ньютона.

На основании второго закона Ньютона для данного тела можно по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на него.

В этом и заключается физическое содержание второго закона Ньютона.

Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная движение тела, определить действующие на него силы. Классическим примером ре шения такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения: зная установленные Кеплером, на основании обработки результатов наблюдений, законы движения планет, Ньютон показал, что это движение происходит под действием силы, обратно пропор циональной квадрату расстояния между планетой и Солнцем. В тех нике такие задачи возникают при определении сил, с которыми дви жущиеся тела действуют на связи, т.е. другие тела, ограничивающие их движение, например при определении сил давления колес на рель сы, а также при нахождении внутренних усилий в различных деталях машин и механизмов, когда законы движения этих машин (механиз мов) известны.

Задачи второго типа являются в динамике основными и состоят в том, чтобы по действующим на тело силам определить закон его движения. Для решения этих задач необходимо знать так называемые начальные условия, т.е. положение и скорость тела в момент начала его движения под действием заданных сил. Примеры таких задач: по величине и направлению скорости снаряда в момент его вылета из канала ствола (начальная скорость) и действующим на снаряд при его движении силе тяжести и силе сопротивления воздуха найти закон движения снаряда, в частности его траекторию, горизонтальную дальность полета, время движения до цели;

по известным скорости автомобиля в момент начала торможения и силе торможения найти время движения и путь до остановки;

по силе упругости рессор и весу кузова вагона определить закон его колебаний.

Задачи динамики для твердого тела (при его непоступательном движении) и различных механических систем решаются с помощью 42 Лекция уравнений, которые получаются как следствия второго закона дина мики, применяемого к отдельным частицам системы или тела;

при этом еще учитывается равенство сил взаимодействия между этими частицами (третий закон динамики).

При изучении движения механических систем часто применяют так называемые общие теоремы динамики, которые также могут быть получены как следствия второго и третьего законов динамики. К ним относятся теоремы о движении центра масс (или центра инерции) и об изменении количества движения, момента количества движения и кинетической энергии системы.

Иной путь решения задач динамики связан с использованием вместо второго закона динамики принципов механики (Д'Аламбера, Д'Аламбера - Лагранжа, вариационные принципы механики) и полу чаемых с их помощью уравнений движения, в частности уравнений механики Лагранжа.

Помимо общих методов изучения движения тел под действием сил, в динамике рассматриваются специальные задачи: теория гиро скопа;

теория механических колебаний;

теория устойчивости движе ния;

теория удара;

механика тел переменной массы. С помощью за конов динамики изучается также движение сплошной среды, в част ности упруго или пластически деформируемых твердых тел, жидко стей и газов. Наконец, в результате применения методов динамики к изучению движения конкретных объектов возник ряд специальных дисциплин: небесная механика;

внешняя балистика;

динамика авто мобиля, самолета;

динамика ракет.

Надо иметь в виду, что в общем случае записи второго закона dv dp n n = Fi и m = Fi = F, не эквивалентны, так Ньютона в виде dt i =1 dt n = как в общем случае dp dv dm n = Fi = F, =m +v (3.16) dt dt dt i = что связано с зависимостью массы от скорости при vc. Их эквива лентность сохраняется лишь при vc.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.