авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.М. Полунин, Г.Т.Сычев ФИЗИКА ...»

-- [ Страница 2 ] --

Опыты показывают, что "всякое действие тел друг на друга но сит характер взаимодействия;

силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, всегда равны по величине и проти воположны по направлению". Данное утверждение и носит название Элементы динамики материальной точки и твердого тела третьего закона Ньютона:

F12 = - F21. (3.17) При этом силы действия и противодействия всегда приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга (рис.3.1).

По третьему закону Ньютона действие не может существовать без противодейст вия, поэтому ни одна машина не способна сама по себе развить силу, приводящую ее в Рис.3. движение, необходимо участие, по крайней мере, одного (внешнего по отношению к машине) тела, противодей ствие которого приведет машину в движение.

Из основного уравнения динамики при vc dp dv n = Fi = F ;

=m dt dt n = v t F dt = d (mv ) = m dv = dp или F dt = m dv, (3.18) 0 v t где F dt -импульс силы, мера действия силы за некоторый промежу ток времени.

Импульс силы - векторная величина;

он направлен, так же, как и действующая сила. При движении материальной точки (тела) под действием силы F ее количество движения получает приращение, равное импульсу силы. Понятие импульса широко используется в ме ханике, в частности в теории удара, где величина, равная импульсу ударной силы за время удара, называется ударным импульсом.

Надо иметь в виду, что все законы динамики (классической ме ханики) подтверждаются и проверяются опытным путем.

3.2. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета Инерциальными системами отсчета называются такие системы, в которых выполняются законы Ньютона. Это системы отсчета, свя занные с телом отсчета, которое в условиях данной задачи можно считать неподвижными. Системы отсчета, движущиеся с постоянной скоростью прямолинейно, относительно другой произвольно выбран ной системы отсчета, динамически неразличимы, поэтому все они яв 44 Лекция ляются инерциальными. В любой из этих систем тело движется с од ним и тем же ускорением, а, следовательно, на него действует одна и та же результирующая сила. Эксперимент, поставленный, например, с помощью машины Атвуда, в любой из этих систем даст одни и те же результаты. Если вагон поезда движется равномерно, то при за крытых шторками на окнах никакими механическими опытами нель зя установить, движется ли он или стоит на месте.

Наиболее обоснованно в качестве инерциальной системы вы брать гелиоцентрическую систему, т.е. систему, связанную с Солн цем. Многочисленные опыты подтверждают это положение. Однако на практике чаще всего систему отсчета связывают с каким-либо не подвижным телом, находящимся на Земле. Строго говоря, такая сис тема лишь в первом приближении может считаться инерциальной, так как Земля участвует одновременно в двух вращательных движе ниях: вокруг Солнца и вокруг собственной оси. При решении многих задач можно считать эти вращения достаточно медленными и не учи тывать их.

Неинерциальная система отсчета – система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением.

Введем новые обозначения:

W - ускорение относительно инерциальной системы отсчета (СО).

W - ускорение относительно неинерциальной системы отсчета (НСО).

Поскольку ускорения в этих системах будут различны, то f W W = a или W = a. (3.19) m Откуда следует, что даже при f = 0 ускорение тела относитель но НСО не равно нулю. Ускорение a называют ускорением инерции, а соответственно f ин = ma – силой инерции.

Таким образом, рассматривая задачу динамики в неинерциаль ной системе, помимо известных для инерциальной системы сил, вво дится еще одна – сила инерции, которая должна учитываться при век торном суммировании действующих на тело сил. Следовательно, в инерциальной системе отсчета уравнение движения имеет вид Fi = ma, а в неинерциальной - Fi ma = 0.

i i Элементы динамики материальной точки и твердого тела В конечном итоге мы получаем математически эквивалентные уравнения движения, а предпочтение СО или НСО определяется лишь степенью простоты или наглядности при получении уравнения движения.

3.3. Описание движения в неинерциальных системах отсчета С учетом сил инерции второй закон Ньютона будет справедлив для любых систем: произведение массы тела на ускорение в рассмат риваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции Fин при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воз действием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение a’, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т.е.

ma’= F + Fин. (3.20) Так как F = ma (a - ускорение тела в инерциальной системе от счета), то ma’= ma + Fин. (3.21) Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно выбранной системы, поэтому необходимо учи тывать проявления этих сил в следующих случаях: 1) при ускоренном (замедленном) поступательном движении системы отсчета;

2) когда они действуют на покоящееся тело во вращающейся системе отсчета;

3) когда они действуют на тело, движущееся во вращающейся систе ме отсчета.

3.3.1. Силы инерции при ускоренном движении системы от счета Рассмотрим движение шарика, подвешен ного на штативе, расположенном на легко под T вижной тележке. Пока тележка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное Fин положение, и сила тяжести P уравновешивается реакцией нити T.

Если заставить тележку двигаться посту P = mg пательно с некоторым ускорением a0, то нить начнет отклоняться от вертикали в сторону противоположную движению тележки Рис. 3. 46 Лекция до такого угла, пока результирующая сила F = P + T не сообщит шарику ускорение, равное a0. (рис. 3.2). Таким образом, результи рующая сила F направлена по направлению ускорения a0. Для уста новившегося движения шарика, который теперь движется с данным ускорением, результирующая сила F = mgtg = ma0, (3.22) откуда угол отклонения нити от вертикали tg = a0/g, (3.23) т.е. зависит от ускорения a0;

чем оно больше, тем угол больше.

Относительно системы отсчета, связанной с движущейся тележ кой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной силой Fин, которая и являет ся силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действу ют. Таким образом Fин = - ma0. (3.24) Проявление сил инерции наблюдается в повседневных явлениях, например, они возникают при запуске и торможении космических аппаратов, вызывая значительные перегрузки.

3.3.2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета К неинерциальным системам отсчета часто прибегают при рас смотрении вопросов вращательного движения. Хорошо известно яв ление, когда на больших оборотах разваливается на куски массивный маховик. Говорят, что он разрушился под действием "центробежных сил". Понятие центробежной силы применимо лишь к неинерциаль ной системе отсчета, жестко связанной с вра щающимся телом.

Рассмотрим простой пример вращения шарика, удерживаемого нитью, вокруг точки О (рис.3.3). В инерциальной системе отсчета на шарик действует сила натяжения нити. Уравне ние движения в этой системе отсчета имеет вид Рис.3. mv Fн = ma ц или Fн =. (3.25) R В неинерциальной системе отсчета действуют сила натяжения нити и центробежная сила инерции. Уравнение движения в такой системе запишется так:

Элементы динамики материальной точки и твердого тела mv Fн + Fин = 0 или Fин = n, (3.26) R где n – единичный вектор, направленный к центру вдоль радиуса.

Аналогично для некоторого диска, на котором к штативу под вешен шарик массой m. Диск может равномерно вращаться с некото рой угловой скоростью. В инерциальной системе отсчета, связан ной, например, с помещением, где находится диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R (расстояние от точки подвеса шарика к диску до оси вращения), отклонившись от вертикального положения. Следовательно, на шарик действует сила, равная F = m2R и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она яв ляется равнодействующей силы тяжести P и силы натяжения нити T:

F = P + T. (3.27) Когда движение шарика установившееся, то F = mgtg = m2R, (3.28) откуда tg = 2R/g. (3.29) Таким образом, угол отклонения нити, на которой подвешен шарик, будет тем больше, чем больше расстояние R от шарика до оси вращения диска и чем больше T угловая скорость вращения.

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что воз- F R ц можно, когда сила F уравновешивается равной по величине и противоположной по направлению си лой, которая и является силой инерции Fц. Эта си- P = mg ла называется центробежной силой инерции. Она направлена по горизонтали в сторону от оси вра Рис. 3. РИС.

щения и определяется по формуле (рис. 3.4) Fц = - m R. (3.30) Действие центробежных сил инерции проявляется в различных физических явлениях. Они широко используются во всех центробеж ных механизмах, где достигают больших значений. При проектиро вании быстро вращающихся деталей машин и механизмов принима ют меры для компенсации центробежных сил инерции.

Центробежная сила инерции, действующая на тела во вращаю щихся системах отсчета в направлении от оси вращения, не зависит 48 Лекция от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета. Следо вательно, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе от счета или движутся относительно нее с какой-то скоростью.

3.3.3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (сила Кориолиса) При движении тела относительно вращающейся системы отсче та, кроме центробежной силы инерции, появляется еще одна сила, на зываемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции. Рас смотрим проявление этой силы на одном частном примере.

Относительно вращающейся системы отсчета тело движется по окружности, ле жащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, причем центр окружности лежит на этой оси. Такой случай реализуется, на пример, когда тело движется вдоль паралле ли (экватора) по поверхности вращающегося земного шара (рис.3.5). Рис.3. Относительно неподвижной (инерци альной) системы тело движется равномерно по окружности радиуса R. Так что ускорение тела в этой системе (центростремительное) мо жет быть представлено в виде v W= n, (3.31) R где v =| v '± R |.

После выполнения простых преобразований получим v ' 2 2 R 2 2 v ' R v' W= n или W = n + 2 R n ± 2 v ' n. (3.32) + ± R R R R По отношению к вращающейся системе тело обладает центрост ремительным ускорением v' W = n. (3.33) R Откуда следует, что первое слагаемое в (3.32) представляет со бой ускорение W. Следовательно, Элементы динамики материальной точки и твердого тела a = W W = 2 Rn ± 2 v ' n. (3.34) В соответствии с этим выражением сила инерции оказывается состоящей из двух компонент:

f ин = ma = 2 Rmn 2 v ' mn. (3.35) Первая из них есть центробежная сила инерции f цб, вторая – ко риолисова сила f k. Сила f k имеет направление:

а) от центра, если скорости v’ и R совпадают по направлению;

б) к центру, если скорости v и R направлены в противополож ные стороны.

В общем случае, когда вектор скорости v материальной точки, перемещающейся по вращающейся поверхности, направлен произ вольно, математическое выражение силы Кориолиса таково:

Fk = 2m[ v ]. (3.36) Вектор Fк перпендикулярен векторам скорости v’ тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

В таблице 3.1 наглядно показаны силы инерции, возникающие в зависимости от состояния частицы в неинерциальной системе отсчета и характера движения этой системы относительно инерциальной сис темы отсчета.

Таблица 3. Силы инерции, возникающие в неинерциальной системе отсчета в зависимости от состояния частицы Состояние части Название и математиче- Характер движения цы в неинерци K относительно ское выражение силы альной системе ИСО K инерции K Система K дви Сила инерции жется прямолинейно с Fин = ma ускорением a Частица находится Центробежная сила инер в покое ции Система K вращается Fцб = m 2 R с угловой скоростью Частица движется Кориолисова сила инерции Fk = 2m[ v ' ] со скоростью v' 50 Лекция Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относи тельно вращающейся системы отсчета, например, относительно Зем ли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений (подмывание берегов рек;

неравномерное изнашива ние железнодорожных рельсов;

отклонение падающих на поверх ность Земли тел;

поведение маятника Фуко, явившееся в свое время одним из доказательств вращения Земли). Применительно к рассмот ренному выше случаю движения можно привести такой пример: при стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведен в направлении на запад (т.е. в на правлении, противоположном вращению Земли), и поднимать кверху, если выстрел произведен в восточном направлении.

Таким образом, основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета можно записать в виде ma’ = F + Fин + Fц +Fк, (3.37) где F, Fин, Fц, Fк - ранее рассмотренные силы, действующие в не инерциальных системах отсчета.

Надо еще раз отметить, что силы инерции вызываются не взаи модействием тел, а ускоренным движением системы отсчета. Поэто му они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на ка кое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодей ствующей силы, приложенной к данному телу. Два основных поло жения динамики, согласно которым ускорение всегда вызывается си лой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не вы полняются.

Для любого из тел, находящегося в неинерциальной системе от счета, силы инерции являются внешними, следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах от счета не выполняются законы сохранения импульса, момента им пульса, энергии.

Силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета таких сил нет.

Силы инерции пропорциональны массам частиц (тел, систем) и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые уско рения. Поэтому в "поле сил инерции" эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойст вом обладают тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.

Элементы динамики материальной точки и твердого тела При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невоз можно различить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном, висящем в однород ном поле тяготения. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инер ции (принципа эквивалентности Эйнштейна): «Все физические явле ния в поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответ ствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в со ответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы». Этот принцип являет ся основой общей теории относительности.

3.4. Элементы динамики материальной точки и твердого тела, совершающих вращательное движение относительно неподвиж ной оси вращения. Основные понятия и определения: момент си лы, момент импульса, момент инерции. Теорема Штейнера. Ос новное уравнение динамики вращательного движения Основной задачей динамики вращательного движения является задача нахождения угловых ускорений, сообщаемых известными си лами. Однако одна и та же сила, в зависимости от расстояния между ее направлением и осью вращения, сообщает различные угловые ус корения. Для описания вращательного движения введены специфиче ские параметры: момент силы, момент инерции тела, момент импуль са. Благодаря этим параметрам достигается подобие основных урав нений динамики поступательного и вращательного движения.

Момент силы характеризует вращательный эффект силы при действии ее на твердое тело. Различают момент силы относительно центра (точки) и оси вращения.

Моментом силы относительно центра вращения называют векторную физическую величину, модуль которой равен произведе нию модуля силы на плечо:

M = Fl или M = Fl, (3.38) где l - плечо силы - кратчайшее расстояние от направления действия силы до центра вращения.

Вектор M направлен вдоль перпендикуляра к плоскости, на ко 52 Лекция торой находится центр вращения и сила. Направление его определя ется правилом правого винта. Так как l = rsin, где r численное значение радиус-вектора r, который направлен из центра вращения в точку приложения силы;

- угол между направлениями F и r, то M = Frsin (3.39) или в векторной форме M = [rF]. (3.40) Момент нескольких сил, имеющих одну точку приложения, ра вен алгебраической сумме моментов слагаемых сил:

n M = Mi. (3.41) i = Этот момент называют главным или результирующим моментом системы сил относительно неподвижной точки вращения (центра;

по люса).

Из третьего закона Ньютона следует, что моменты внутренних сил взаимодействия материальных точек системы относительно цен тра вращения попарно компенсируются. Следовательно, при вычис лении главного момента сил необходимо учитывать только внешние силы, действующие на рассматриваемую механическую систему.

Иначе результирующий момент внутренних сил системы равен нулю.

Рассмотрим вращение тела вокруг закрепленной оси (рис.3.6).

Тело является абсолютно жестким. Пусть к двум точкам этого тела приложены силы F, F. r, r – радиус-вектора, проведен ные из центра вращения в точку приложе ния силы. Предполагается, что вектора сил лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Во всяком случае, понятно, что компонента силы, параллельная оси вращения, при закрепленной оси никакого вращательного действия произвести не может. Рис.3. Разложим силу F на плоскости на две составляющие – каса тельную и нормальную к окружности, по которой движется точка приложения силы:

Элементы динамики материальной точки и твердого тела F = F + Fn. (3.42) Вращательное действие силы определяется только касательной составляющей силы и положением точки приложения силы по отно шению к центру вращения, т.е. радиусом r. Введем угол, образо ванный между направлениями векторов r и F. Тогда получим F = F sin (3.43) Вращательное действие любой силы будет пропорционально произведению:

F r или F r sin. (3.44) Выражение r sin = l представляет собой плечо силы, т.е. крат чайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения.

По правилу "рычага" равновесие наступает при равенстве F l = F l '. (3.45) Произведение F l носит название момента силы относительно оси вращения M. Момент силы – это вектор, определяемый как век торное произведение:

M = [ r F]. (3.46) Модуль M выражается следующим образом:

M = r F sin( r ^ F). (3.47) Этот вектор всегда перпендикулярен плоскости, образованной векторами r и F, т.е. направлен по оси вращения "по правилу право го винта". Поэтому в случае закрепленной оси вращения вместо век торного представления момента силы можно воспользоваться алгеб раическим представлением. Если сила вращает тело по часовой стрелке, то момент силы будем считать положительным, если сила вращает тело против часовой стрелки, то моменту этой силы будем приписывать знак "минус". Заметим, что на рис.3.6 направление оси выбрано "от нас, за чертеж". Для сил F и F моменты равны M = F l и M = F l '. Условие равновесия может быть записано как M + M = 0. (3.48) Силы F и F не вызывают вращение, если их моменты M и M равны по величине и противоположны по направлению.

В общем случае, когда на тело действует N сил, рассматривают полный момент сил:

N N M = M i = ri Fi sin i. (3.49) i =1 i = 54 Лекция И условие равновесия тела с закрепленной осью вращения сво дится к виду:

N Mi = 0. (3.50) i = Оказывается, что один и тот же момент внешней силы, дейст вующей на различные тела (материальные точки), сообщает им раз личные угловые ускорения.

Для характеристики инертности тел (материальных точек) вра щательному движению вводится в рассмотрение физическая величи на, называемая моментом инерции материальной точки или тела (I относительно неподвижной оси (центра вращения). Чем больше I, тем меньше угловое ускорение получит тело под действием данного момента силы M.

Моментом инерции материальной точки относительно какой либо оси или центра вращения называется физическая величина, рав ная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от нее до оси или центра вращения:

I = mr2. (3.51) Момент инерции тела - величина, характеризующая распреде ление масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Для тела с закрепленной осью вращения момент инерции пред ставляет собой положительную скалярную величину.

Прямой способ вычисления момента инерции тела состоит в следующем: мысленно тело разбивают на совокупность материаль ных точек, записывают момент инерции i -й материальной точки, полный момент инерции получают суммированием элементарных моментов:

m r I= ri m или I = dm.

i i (3.52) Рассмотрим несколько примеров:

Рис.3. Элементы динамики материальной точки и твердого тела 1. Момент инерции обруча, вращающегося вокруг собственной оси (рис.3.7). Обруч считаем "тонким" и однородным по плотности.

В данном случае все материальные точки (элементарные массы) рас положены на одинаковом расстоянии от оси вращения. Поэтому m m I = r dm = R dm = mR 2. (3.53) 2 0 2. Момент инерции стержня относи тельно оси, проходящей перпендикулярно к нему через его середину (рис.3.8). Стержень считаем "тонким", однородным по сечению и распределению плотности. Длина стержня Рис.3.8 – l. Момент инерции материальной точки представим в виде дифференциала dI = x 2 dm = x 2 S dx, (3.54) где S – площадь сечения.

x3 l/2 1 l/ I = 2 S x dx = 2 S = ml. (3.55) 3 0 3. Момент инерции сплошного цилиндра относительно собственной оси (рис.3.9). Ци линдр (диск) считаем однородным по плотности.

Радиус цилиндра – R, длина – L. В данном слу Рис.3. чае целесообразно разбить цилиндр на совокуп ность тонкостенных цилиндров, соосных друг с другом. Элементарный момент инерции представим в виде диффе ренциала dI = r 2 dm = r 2 2 r L dr. (3.56) Момент инерции цилиндра получим путем интегрирования:

R 1 I = 2 L r 3 dr = mR 2. (3.57) R 2 L R 2 = 2 4. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр, можно определить аналогично и вычисляется по формуле I = mR 2. (3.58) 56 Лекция Таким образом, момент инерции тела существенно зависит от его геометрии (формы), а также от положения оси вращения, т.е. за висит от распределения массы тела относительно оси вращения. Если выбрать новую ось вращения, оставив без изменения форму и разме ры тела, то изменится и момент инерции тела. Поэтому определен ный смысл момент инерции имеет толь ко в том случае, когда задана ось враще ния. Значительное упрощение в вычис лениях момента инерции тела относи тельно оси, не проходящей через центр масс этого тела, можно получить, при меняя теорему Штейнера, формулировку которой мы примем без доказательства Рис.3. (рис.3.10): «Момент инерции тела I от носительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, I0 и произведения массы тела m0 на квадрат расстоя ния между осями», т.е.

I = I 0 + ma 2. (3.59) Примеры применения теоремы Штейнера:

1. Момент инерции диска относи тельно оси OO, параллельной геометриче ской оси диска и проходящей через его край (рис.3.11).

Здесь I 0 = mR 2, ma 2 = mR 2. По Рис.3. этому I = mR 2. (3.60) Элементы динамики материальной точки и твердого тела 2. Момент инерции шара относительно оси, касательной к его поверхности (рис.3.12).

Здесь I 0 = mR 2, ma 2 = mR 2. Тогда I= mR 2. (3.61) Рис.3. 3.5. Основной закон динамики вращательного движения Мысленно разобьем тело с закрепленной осью вращения на со вокупность материальных точек с массами m 1, m 2,..., m n, каждая из них находится от оси вращения на расстоянии r1, r2,..., rn. На точку с индексом i действует сила Fi = m i a i. (3.62) Интересуясь исключительно вращательным движением, удер жим только касательную составляющую этой силы:

Fi = m i a i = m i ri. (3.63) Итак, Fi = m i ri. (3.64) Умножим (3.64) на ri, получим ri F i = m i ri. (3.65) Но ri Fi = M i, поэтому момент силы, действующей на i -ю материальную точку:

= m i ri.

M (3.66) i Полный момент n M = m i r i2. (3.67) i= Введем обозначение I i m i r i 2 – момент инерции матери альной точки относительно оси вращения.

Момент инерции тела относительно оси вращения получим пу тем суммирования по всем материальным точкам данного тела:

58 Лекция n I=m r i2. (3.68) i i= Тогда можно представить (3.67) в виде M = I. (3.69) Или в векторном представлении M = I. (3.70) Формулы (3.69) и (3.70) выражают основной закон динамики вращательного движения.

Выразим угловое ускорение из (3.70):

M.

= (3.71) I Следовательно, угловое ускорение прямо пропорционально полному моменту сил, приложенных к данному телу, и обратно про порционально моменту инерции тела относительно оси вращения.

Моментом импульса материальной точки относительно не подвижной оси (центра вращения) называется вектор L, равный век торному произведению радиус-вектора r, проведенного от оси (из центра вращения О) в место нахождения материальной точки, на век тор p ее импульса:

L = [rp] = [rmv], (3.72) где m - масса материальной точки;

v - скорость материальной точки.

Моментом импульса системы (тела) относительно неподвиж ного центра вращения О называется геометрическая сумма L момен тов импульса относительно той же точки О всех материальных точек системы:

n n L = [[ ri p i ] = [ri m i v i ], (3.73) i =1 i = где ri, mi, vi - радиус-вектор, масса и скорость i-й материальной точки;

n - общее число этих точек в системе.

Если тело закреплено в точке О и его угловая скорость совпадает по направлению с вектором L, то момент импульса такого тела L = I. (3.74) Так как = d/dt, то d dL M=I =. (3.75) dt dt Формула (3.75) отображает общий вид второго закона дина Элементы динамики материальной точки и твердого тела мики для тел, вращающихся относительно неподвижной оси;

В дан ном виде он применим и для деформирующихся тел. При I = const формула (3.75) переходит в (3.70).

Основной закон динамики вращательного движения аналогичен второму закону Ньютона для материальной точки или тела, движуще гося поступательно.

Можно указать также и закон, аналогичный третьему закону Ньютона: если одно тело действует на другое с некоторым вращаю щим моментом M12, то всегда второе тело оказывает обратное воз действие на первое с вращающим моментом M21, равным, но проти воположно направленным:

M12 = - M21. (3.76) Из (3.75) Mdt = dL. (3.77) Произведение вращающего момента на время его действия Mdt называется импульсом вращающего момента. Импульс вращающе го момента является вектором, ориентированным по направлению вектора M.

Пользуясь этими понятиями, второй закон механики для враща тельного движения можно сформулировать следующим образом: им пульс вращающего момента равен изменению момента количества движения тела, к которому приложен этот вращающий момент:

Mdt = dL = d(I). (3.78) 3.6. Сопоставление формул динамики вращательного и динамики поступательного движений Существует очень глубокая аналогия расчетных формул, основ ных понятий, физических параметров теории динамики поступатель ного и вращательного движения. Эта аналогия позволяет глубже по нять физическую сущность параметров динамики вращательного движения. Сходство между понятиями и формулами двух динамик становится очевидным, если сопоставить их с помощью таблицы. В таблицу 3.2 вошли, помимо "чисто" динамических параметров и формул, параметры и формулы кинематики поступательного и вра щательного движения.

60 Лекция Таблица 3. Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения Поступательное движе № Вращательное движение ние - Угол поворота S - Пройденный путь - Угловая скорость v - Линейная скорость - Угловое ускорение Линейное ускорение: a at 2 t S = v0 t ± = 0 t ± 2aS = v 2 v 0 2 = 2 ± m - Mасса – мера инерт- I - Момент инерции относительно ности оси 7 F - Cила M - Момент силы Основной закон динамики Основной закон динамики враща поступательного движе тельного движения: M = I.

ния:

F = ma Импульс тела p = mv Момент импульса тела L = I Закон сохранения импуль Закон сохранения момента импуль са:

са: I11 +... + I n n = const m1v1 +... + m n v n = const Работа силы A = F S Работа момента силы A = M Кинетическая энергия Кинетическая энергия I mv Ek = Ek = 2 Мощность N = F v Мощность N = M ЛЕКЦИЯ 4. ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Модель гармонического осциллятора. Примеры гармониче ских осцилляторов: физический, математический и пружинный ма ятники. Определение их периодов и частот. Свободные колебания.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, декремент, логарифмический декремент затухания, добротность.

Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действи ем синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Резонанс. Параметрический резонанс.

4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение Воспользовавшись основным уравнением классической динами ки (уравнением второго закона Ньютона) можно получить уравнение движения материальной точки (тела), совершающего гармоническое колебание:

F = ma или F = ma, (4.1) 2 2 где a = d x/dt = - 0 x - ускорение материальной точки;

F = Fi- результирующая сила, под действием которой соверша ется гармоническое колебание (возвращающая сила);

Fi - i-я сила, действующая на материальную точку.

Тогда F = - m02x = - kx, (4.2) где k = m0 - коэффициент возвращающей силы, физический смысл которого заключается в том, что он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.

Из уравнения (4.2) видно, что сила, под действием которой со вершается гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную ему. Она называется воз вращающей силой. Возвращающая сила стремится вернуть матери альную точку в положение равновесия.

Возвращающие силы могут иметь различную природу. Напри мер, они могут возникать за счет деформации. Силы, возникающие за 62 Лекция счет упругой деформации, называются упругими. Силы, имеющие иную природу, - квазиупругими (как бы упругими).

Таким образом, уравнение движения материальной точки при гармоническом колебательном движении имеет вид d2x d2x m 2 + kx = 0 или 2 + 0 x = 0. (4.3) dt dt С точки зрения математики уравнение (4.3) - однородное диф ференциальное второго порядка, решением которого является выра жение вида x = x0sin(0t + 0), (4.4) где x - смещение;

x0 - амплитуда;

0 - собственная (круговая или циклическая) частота;

0 - начальная фаза.

Решая дифференциальное уравнение гармонического колеба тельного движения, можно получить значение, например, периода колебаний, собственной частоты.

4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, мате матический и пружинный маятники.

Определение их периодов и частот Гармоническим осциллятором называется система, совершаю щая колебания, описываемые уравнением вида (4.3):

d2x d2x m 2 + kx = 0 или 2 + 0 x = 0.

dt dt Колебания гармонического осциллятора являются примером пе риодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

В качестве примеров гармонических осцилляторов рассмотрим гармонические колебания систем, называемых пружинным, физиче ским и математическим маятниками.

4.2.1. Пружинный маятник Пружинный маятник - тело массой m, подвешенное на абсолют но упругой пружине, совершающее гармоническое колебание.

Рассмотрим простую колебательную систему: верхний конец пружины зафиксирован, а нижний соединён с некоторым телом, Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды имеющим массу m (рис.4.1). При растяжении пружины тело смеща ется из положения равновесия. Пружина характеризуется коэффици ентом жесткости k. Мы рассматриваем колебательную систему с со средоточенными параметрами m и k, т.е. мы считаем, что масса со средоточена в присоединённом теле, а упругость (жёсткость) харак терна исключительно для пружины. На самом деле такое допущение – очередная абстракция, т.к. любая пружина имеет конечную (не ну левую) массу, а любое физическое тело обладает некоторой упругостью.

В действительности мы можем говорить лишь о преимущественном распределении пара метров k и m соответственно в пружине и в присоединённом к ней теле.

Направим вертикально вниз ось X, причем начало оси совместим с положением равновесия тела. При смещении тела из положения равнове- Рис.4. сия на него действует сила упругости Fупр. То есть в этом случае колебания возникают под действием сил упругой дефор мации F (возвращающей, упругой силы), пропорциональной деформа ции l = x.

В данном случае действие силы тяжести не учитывается, т.к. оно приводит лишь к некоторому смещению тела из положения равнове сия (точнее, к смещению самого положения равновесия) и никак не влияет на колебательный процесс. Беря проекцию силы упругости на ось X, запишем:

d2x kx = ma или m 2 + kx = 0. (4.5) dt Разделив на m обе части дифференциального уравнения и введя k обозначение 0 =, перепишем уравнение в следующем виде:

m d2x + 0 x = 0. (4.6) dt Решением дифференциального уравнения (4.6) является функ ция x ( t ), подстановка которой обращает уравнение в тождество. В данном случае решением является функция X = X 0 cos(0 t + 0 ). (4.7) 64 Лекция В чем нетрудно убедиться, осуществив подстановку:

d2x dx = x 0 0 sin(0 t + 0 ), 2 = x 0 0 cos(0 t + 0 ) ;

dt dt 2 x 0 0 cos(0 t + 0 ) + x 0 0 cos(0 t + 0 ) = 0. (4.8) Параметр 0 называется собственной частотой свободных не затухающих колебаний. Таким образом, выведенная из равновесия система совершает незатухающие гармонические колебания с вполне определённой для неё частотой 0.

Решая дифференциальное уравнение, можно получить выраже ния для собственной частоты и периода колебаний пружинного маят ника. Для чего в дифференциальное уравнение (уравнение движения пружинного маятника) необходимо подставить значения x = x0sin(0t + 0) и d2x/dt2 = - 02x. Будем иметь - m02x + kx = 0;

- m02 + k = 0, (4.7) откуда k 0 =. (4.9) m Так как T = 2/0, то для периода колебаний пружинного маят ника получим m T = 2. (4.10) k Надо отметить, что приведенное справедливо для упругих коле баний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Анализируя колебательный процесс, мы приходим к выводу, что признаками колебательной системы являются следующие три:

1) положение равновесия, 2) возвращающая сила, 3) инерция.

4.2.2. Физический и математический маятники Физический маятник - твердое тело, способное совершать гар моническое колебательное движение относительно оси, на которой оно подвешено. При этом ось не проходит через центр тяжести (рис.4.2).

В поле сил тяготения колебания физического маятника происхо дят под действие возвращающей силы, составляющей силы тяготения Fт = mg, которую можно разложить на две составляющие: по направ Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды лению прямой, перпендикулярной оси Fn, и по направлению, перпен дикулярному данному – F. Составляющая Fn не создают вращающего момента, так как она перпендикулярна оси вращения (колебания).

Поэтому возвращающей силой, создающей вращающий момент в данном случае, является F = - mgsin, (4.11) где - угол отклонения физического маятника от положения равно весия.

При малых углах отклонения (0) sin, следовательно, F= - mg, а момент этой силы M = - mga, (4.12) где a - расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

Согласно основному уравнению дина мики вращательного движения этот вращаю щий момент M численно равен I:

M = I·. (4.13) Рис.4. Таким образом, имеем d I == - mga;

I += - mga = 0;

I 2 + mga = 0. (4.14) dt Полученное соотношение является уравнением движения физи ческого маятника. С точки зрения математики, оно однородное, диф ференциальное, второго порядка, решение которого имеет вид = 0sin(0t + ), (4.15) где - начальная фаза колебаний.

Решая дифференциальное уравнение, можно определить круговую (циклическую) частоту и период колебаний физического маятника.

Так, подставив значение d2/dt2 = - 02 в уравнение движения, будем иметь -I02 + mga = 0;

-I02 + mga = 0. (4.16) Откуда:

1) круговая или циклическая частота mga mga 0 = ;

0 = ;

(4.17) I I 2) период колебаний 66 Лекция I T = 2. (4.18) mga Из полученных результатов видно, что при малых углах откло нения от положения равновесия физический маятник совершает гар монические колебания с соответствующими циклической частотой и периодом.

Одной из характеристик физического маятника является так на зываемая приведенная длина Lпр = I/ma, с учетом которой для цикли ческой частоты и периода колебаний физического маятника, соответ ственно, можно записать L пр L пр ;

T = 0 =. (4.19) gl I Точка, расположенная на продолжении прямой, соединяющей ось подвеса с центром масс, находящаяся на расстоянии, равном приведен ной длине Lпр, называется центом качаний физического маятника.

Используя теорему Штейнера, можно показать, что расстояние между осью подвеса и центром масс всегда меньше приведенной длины физического маятника:

I c + ml 2 I c I + l l.

L пр = = = (4.20) ml ml ml Точка подвеса и центр качаний обладают свойством взаимоза меняемости: если ось подвеса перенести в центр качаний, то точка подвеса станет новым центром качаний, а период колебаний физического маятника не изменится.

Математический маятник - тело массой m, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити, размерами которого можно пренебречь (рис.4.3).

Математический маятник совершает гармо нические колебания под действием силы тяжести, подобно физическому маятнику. Рис.4. В этом случае математический маятник можно рассматривать как материальную точку, для которой момент инерции I = m·l2, (4.21) где l - длина математического маятника.

Так как математический маятник - частный случай физического Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке - центре масс, то, подставив в (4.19) значение (4.21) для циклической частоты и периода колебаний математического маятника, получим g l 0ь = ;

Tь =. (4.22) g l Из (4.22) видно, что циклическая частота и период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свобод ного падения в данном месте пространства.

Сравнив формулы для определения циклических частот и пе риодов колебаний физического и математического маятников, можно установить физический смысл приведенной длины физического ма ятника: приведенная длина физического маятника - это физическая величина, численно равная длине такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.

Надо отметить, что все рассмотренное справедливо для малых углов отклонения соответствующей системы от положения равнове сия. Если данное условие не выполняется, то определение цикличе ских частот и периодов колебаний представляется довольно трудной задачей, так как в этом случае они функционально оказываются зави симыми от угла отклонения:

L пр L пр f ( ) ;

Tф = 2 f ( ) ;

0ф = (4.23) I g g l 0ь = f ( ) ;

Tь = 2 f ( ).

(4.24) g l 4.3. Свободные (затухающие колебания). Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

Характеристики затухающих колебаний Колебательные движения реальной колебательной системы все гда сопровождаются силами трения и сопротивления, которые приво дят к уменьшению амплитуды колебаний. Если энергия, потерянная системой, не восполняется за счет внешних сил, то колебания систе мы называются затухающими, свободными или собственными.

В линейных системах свободные колебания представляют собой суперпозицию нормальных колебаний (нормальных мод).

68 Лекция Cделаем существенное приближение к дей ствительности, если учтем наличие силы сопро тивления (трения) FTP, т.е. учтем диссипадию энергии колебательной системы. Предположим, что сила трения обусловлена внутренним трением в результате движения тела в вязкой среде (рис.4.4).

Ограничившись, случаем малых колебаний, воспользовавшись основным законом динамики, Рис.4. можно записать уравнение затухающих колеба ний.

На систему в этом случае действуют две силы: возвращающая F и сила сопротивления F2, которая при малых скоростях движения v пропорциональна скорости:

F1 = - kx;

(4.25) F2 = - rv = - rdx/dt, (4.26) где r - коэффициент сопротивления.

Таким образом, уравнение затухающих колебаний будет иметь вид dx dx ma = F1 + F2;

ma = F1 + F2.;

ma = kx r ;

ma + kx + r = dt dt или окончательно d2x dx m 2 +r + kx = 0. (4.27) dt dt Этому дифференциальному уравнению (второго порядка) зату хающих колебаний соответствует решение x = x 0 e t sin(0 t + 0 ), (4.28) где А = x0e-t - амплитуда колебаний, которая убывает по экспонен циальному закону;

ln = r/(2m) или = - коэффициент затухания, характеризую щий быстроту убывания амплитуды с течением времени.;

- время, в течение которого амплитуда колебаний убывает в два раза;

02 = k/m – собственная частота колебаний системы, т.е. та часто та, совершались бы свободные колебания системы в отсутствии Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды сопротивления среды (r = 0).

Решая дифференциальное уравнение, можно определить частоту и период затухающих колебаний:

= 0 2 ;

T=. (4.29) 2 Отметим, что на практике 0, поэтому можно считать 0.

Так как x A = x 0 e t = 0t, (4.30) e то действительно при t, A0.

Графически затухающие колеба ния можно представить так, как пока зано на рис.4.5.

Основными характеристиками за тухающих колебаний являются декре- Рис.4. мент и логарифмический декремент за тухания.

Декремент затухания - отношение двух смещений, отличаю щихся друг от друга по времени на период x 0 e t sin(0 t + 0 ) = e T.

D= (4.31) sin[0 (t + T ) + 0 ] ( t + T ) x0 e Декремент затухания характеризует быстроту затухания в зави симости от числа колебаний. По его величине можно определить чис ло колебаний, через которое амплитуда уменьшится в определенное число раз.

Логарифмический декремент затухания - величина, равная на туральному логарифму от декремента затухания = lnD = ln(e) = T. (4.32) Зная логарифмический декремент затухания и период колеба ний Т, можно записать закон убывания амплитуды в виде А = А0e-(/T)t. (4.33) Таким образом, логарифмический декремент затухания характе ризует затухание колебаний за период. По величине он обратен числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда колеба ний уменьшится в "e" раз (=1/Ne). Если за время t амплитуда умень 70 Лекция шится в "e" раз, то система за это время совершит Ne = t/T колебаний.

Силы трения и сопротивления влияют на частоту колебаний.

При достаточно большом трении замедление колебаний может ока заться настолько значительным, что колебания прекратятся, практи чески едва начавшись. Такие колебательные движения называются апериодическими. В этом случае:

1) при 0 частота колебаний = 0 2 0 - убывает, а, т.е. возрастает;

период колебаний T = 2 2) при 0 характер процесса зависит от начальных условий (x и v0 = dx0/dt):

) ( а) v 0 x 0 + 2 0 - это условие будет выполнено, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положению равновесия;

б) v0 = 0 – выполняется, если системе сообщается толчок недос таточной силы.

Для характеристики колебательной системы пользуются поня тием добротности Q, которую при малых значениях логарифмиче ского декремента затухания можно определить по формуле Q = / = Ne = /(T0) = 0/(2). (4.34) Добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершае мых за время t (время релаксации), за которое амплитуда уменьшится в "e" раз.

Для механической колебательной системы с массой m, коэффи циентом жесткости k и коэффициентом трения r, добротность опре деляется соотношением mk m k Q= = =. (4.35) r r r 4.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний Вынужденными колебаниями называются такие, которые со вершаются системами под действием внешней (вынуждающей) силы, изменяющейся по какому-либо закону, например гармоническому.

Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды Рассмотрим колебательную систему – груз, присоединённый к пружине (рис.4.6). Пусть на груз действует гармоническая сила f = f 0 cos t. (4.36) Эта сила называется вынуждающей. Частота её изменения –, амплитуда – f 0. С учетом вы нуждающей силы можем записать dx ma = r rx + f 0 cos t Рис.4. dt или d 2 x r dx k f + + x = 0 cos t. (4.37) dt 2 m dt m m Применяя полученные ранее значения и 0, получим d2x f dx + 2 + 0 x = 0 cos t. (4.38) dt m dt Рассмотрим уравнение (4.38) в простом случае, когда = 0 :

d2x f + 0 x = 0 cos t. (4.39) m dt Естественно предположить, что с течением времени тело будет совершать гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, т.е.

x = x 0 cos(0 t + 0 ). (4.40) Причём 0 = 0, т.к. = 0. После подстановки (4.40) в (4.39) по лучим f x 2 + 0 x = 0 cos t. (4.41) m Откуда имеем f x = 2 m 2 cos t. (4.42) При 0 амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Однако в действительности амплитуда возрастает, но остаётся конечной, т.к. существует диссипация энергии. На рис.4. показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний x 0 от час тоты изменения вынуждающей силы.

72 Лекция Решая дифференциальное уравнение (4.38), учитывающее затуха ние, можно получить следующую зависимость x0 = f( и = ():) f m x0 = ;

2 22 ( 0 ) + (4.43) tg = 2. (4.44) 0 Именно зависимость x 0 = f ( ) пред Рис.4.7 ставлена на рис.4.7 графически.

Исследование функции x 0 ( ) на экс тремум можно осуществить, исследуя на экстремум подкоренное вы ражение в формуле (4.43). Для чего приравняем производную к нулю:

2 8 2 + 2( 0 2 ) ( 2) = 0. 2 2 ( 0 2 ) = 0. (4.45) Частота вынуждающей силы, при которой амплитуда колебаний системы достигает максимума, называется резонансной рез. Из (4.45) получаем рез = 0 2 2. (4.46) Таким образом, можно записать рез своб 0. (4.47) При совпадении частоты изменения вынуждающей силы с час тотой резонансных колебаний системы амплитуда колебаний достиг нет максимальных значений. Подставляя в формулу (4.43) выражение резонансной частоты, находим максимальное значение амплитуды колебаний f f m = f0.

m x0 = (4.48) r r 2 2 0 2 m Амплитуда резонансных колебаний тем больше, чем меньше ко эффициент затухания и чем больше амплитуда вынуждающей силы.

Представляют интерес два предельных случая: случай очень низких частот ( 0) и случай очень высоких частот ( ) из менения вынуждающей силы. Переходя к соответствующему пределу Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды в формуле (4.43), мы получим:

f а) на низких частотах x 0 = = x ст, т.е. выполняется закон Гука;

k б) на высоких частотах, x 0 0, т.е. в результате преоб ладания сил инерции смещение тела из положения равновесия убывает.

Более строгая теория колебаний утверждает, что уравнение вы нужденных колебаний (4.38) является дифференциальным, неодно родным, второго порядка, решением которого является выражение вида:

x = x1 + x2 = x0e-tsin('t + 0') + x0sin(t + ), (4.49) где ! = 0 2 ;

x1 = x0e-tsin('t + 0') – решение однородного уравнения;

x2 = x0sin(t + ).

И только тогда, когда колебания системы будут установивши мися (t), решение уравнения (4.38) можно описать только вторым слагаемым x2 = x0sin(t + ). (4.50) Из формулы (4.43) вытекает, что при малом затухании (т.е. при 0) амплитуда при резонансе приближенно равна f /m x0 0. (4.51) 2 Разделим (4.51) на смещение x от положения равновесия под действием постоянной силы f0, равное f0/m02. В результате получим x 0 0 2 = = = Q. (4.52) 2 2T x Таким образом, добротность показывает, во сколько раз ампли туда в момент резонанса превышает смещение системы от положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы (это справедливо только при неболь шом затухании).

С явлением резонанса приходится считаться при конструирова нии машин и сооружений. Собственная частота колебаний этих уст ройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий. Так, например, собственная частота вибраций корпуса корабля или крыльев самолета должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вращением 74 Лекция гребного винта или пропеллера. В противном случае могут возник нуть вибрации, которые могут вызвать катастрофу.


Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма по лезным, особенно в акустике, радиотехнике и т.д.

Методы возбуждения вынужденных колебаний различны: путем непосредственного воздействия на колебательную систему (раскачка маятника периодическими толчками) - чаще всего называемые выну жденными;

путем периодического изменения параметров колеба тельной системы (длины подвеса маятника) - так называемое пара метрическое возбуждение колебаний;

либо благодаря развитию неус тойчивостей и возникновению самосогласованных колебательных движений внутри самой системы - так называемые автоколебания.

Особое значение при возбуждении колебаний имеет явление ре зонанса, заключающееся в резком увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к некоторой резо нансной частоте, характеризующей систему. Если последняя линейна и параметры ее не зависят от времени, то резонансные частоты сов падают с частотами ее собственных колебаний, и соответствующий отклик тем сильнее, чем выше добротность. Раскачка происходит до тех пор, пока энергия, вносимая извне (например, при каждом откло нении маятника), превышает потери за период осцилляций. Для ли нейных колебаний энергия, получаемая от источника, пропорцио нальна первой степени амплитуды, а потери растут пропорционально ее квадрату, поэтому баланс энергий всегда достижим.

При больших амплитудах колебания становятся нелинейными, происходит смещение собственной частоты системы и обогащение их спектра гармониками и субгармониками. Ограничение амплитуды колебаний может быть обусловлено как нелинейной диссипацией энергии, так и уходом системы из резонанса. При возбуждении коле баний в системах с распределенными параметрами максимум ампли туды достигается в случае пространственно-временного резонанса. В этом случае не только частота внешнего воздействия, но и его рас пределение по координатам, хорошо "подогнаны" к структуре нор мальной моды или, на языке бегущих волн, когда наступает совме щение не только их частот (резонанс), но и волновых векторов (син хронизм).

Существует некоторый выделенный класс вынужденных коле баний, в котором внешнее воздействие, не являясь чисто колебатель ным (например, мгновенный удар), имеет, однако, настолько богатый Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды частотный спектр, что в нем всегда содержатся резонансные частоты системы. Например, заряженная частица, пролетающая между двумя металлическими плоскостями, возбуждает почти весь набор нормаль ных электромагнитных колебаний и волн, свойственный этой систе ме. К этому можно отнести черенковское излучение или тормозное излучение частицы в однородных средах, когда и спектр внешних воздействий, и спектр собственных колебаний - оба сплошные, т.е. в них представлены все возможные частоты. Наконец, есть и совсем аномальный случай вынужденных колебаний в системах с непрерыв ным спектром собственных частот типа ротатора (маховик, колесо, электромагнитное поле и т.п.), где вращательное движение ( а следо вательно, и два ортогональных колебательных движения) может воз буждаться силами, неизменными во времени.

Параметрическое возбуждение колебаний возникает при перио дическом воздействии на те параметры системы, которые определяют величину запасенной колебательной энергии: у маятника - это длина нити или масса груза (но не коэффициент трения);

в электрическом контуре - это индуктивность и емкость (но не сопротивление).

При определенных условиях в такой нелинейной колебательной системе могут возникать непрекращающиеся самоподдерживающие ся колебания, или автоколебания, при которых внешнему источнику отводится лишь функция восполнения потерь энергии на диссипа цию. Процесс формирования автоколебаний обычно состоит в после довательном самосогласовании движений. Пусть начальное состоя ние системы неустойчиво либо по отношению к ничтожно малым флуктуациям (мягкий режим возбуждения), либо по отношению к оп ределенным конечным возмущениям (жесткий режим возбуждения).

В любом случае спонтанно (случайно) возникшее колебание начнет увеличиваться по амплитуде (процесс усиления колебания), эти уси ленные колебания через элемент положительной обратной связи, обеспечивающий самосогласованность фаз, снова "подаются" в место своего возникновения и снова усиливаются и т.д. Получается очень быстрый (чаще всего экспоненциальный) рост колебаний. Ограниче ние колебаний наступает из-за рассогласованности фаз, а также из-за конечности энергетических ресурсов.

ЛЕКЦИЯ 5. АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие не линейность. Автоколебания. Условие самовозбуждения колебаний.

Роль нелинейности. Предельные циклы.

5.1. Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность Известно, что осциллятор - физическая система, совершающая колебания. Термином "осциллятор" пользуются для любой системы, если описывающие ее величины периодически меняются со време нем.

Классический осциллятор - механическая система, совершаю щая колебания около положения устойчивого равновесия (например, маятник, груз на пружине). В положении равновесия потенциальная энергия U системы имеет минимум. Если отклонения x от этого по ложения малы, то в разложении U(x) по степеням x можно принять kx U(x) =, (5.1) где k - постоянный коэффициент.

При этом квазиупругая сила F = -dU/dx = - kx. (5.2) Такие осцилляторы называются гармоническими, их движение описывается линейным уравнением d2x m 2 + kx = 0, (5.3) dt решение которого имеет вид x = A sin (t + ), (5.4) где m - масса осциллятора;

A - амплитуда колебаний;

k = - циклическая частота;

m - начальная фаза колебаний;

t - время.

Полная энергия гармонического осциллятора Ангармонические колебания m2 A W= (5.5) является суммой периодически меняющихся в противофазе кинети ческой (Т) и потенциальной (U) энергий, независящей от времени:

W = T + U. (5.6) Когда отклонение x нельзя считать малым, в разложении U(x) необходим учет членов более высокого порядка - уравнения движе ния становятся нелинейными, т. е. такими, в которых переменные и их производные входят в высших степенях, например - в третьей сте пени. Это внесло математические затруднения в решении этих и по добных им проблем.

Примером такого уравнения может служить уравнение генера тора электромагнитных волн dy dy d2y + y =, (5.7) dt dt dt которое содержит третью степень производной от y.

Голландский физик Ван дер Поль в ряде работ (с 1920 г.) дал приближенные решения некоторых нелинейных уравнений и тем са мым положил начало изучению нелинейных колебаний.

Большой вклад в развитие теории нелинейных колебаний внес А.А. Андронов (1901 -1952), академик, профессор Горьковского уни верситета.

Осцилляторы, удовлетворяющие нелинейным уравнениям, на зывают нелинейными или ангармоническими.

Понятие осциллятор применяется также к немеханическим ко лебательным системам. В частности, колебательный контур является электрическим осциллятором. Колебания напряженностей электриче ского и магнитного полей в плоской электромагнитной волне также можно описывать с помощью понятия осциллятор.

В квантовой механике задача о линейном (с одной степенью свободы) гармоническом осцилляторе решается с помощью уравне ния Шредингера (с U= kx2/2). Решение существует лишь для дискрет ного набора значений энергии h k Wn = n +, (5.8) 2 m где n = 1, 2,...

78 Лекция Важной особенностью энергетического спектра осциллятора яв ляется то, что уровни энергии Wn расположены на равных расстояни ях. Так как правила отбора разрешают в данном случае переходы только между соседними уровнями, то (хотя квантовый осциллятор имеет набор собственных частот n = 2·Wn/h) излучение его проис ходит на одной частоте, совпадающей с классической = (k/m)1/2.

В отличие от классического осциллятора возможное наименьшее зна чение энергии (при n = 0) квантового осциллятора равно не нулю, а h/4 (нулевая энергия).

Понятие осциллятор играет важную роль в теории твердого те ла, электромагнитного излучения, колебательных спектров молекул.

Нелинейные системы - колебательные системы, свойства кото рых зависят от происходящих в них процессов.

Нелинейными являются: механические системы, в которых мо дули упругости тел зависят от деформаций последних или коэффици ент трения между поверхностями тел зависит от относительной ско рости этих тел (скорости скольжения);

электрические системы, со держащие сегнетоэлектрики, диэлектрическая проницаемость кото рых зависит от напряженности электрического поля.

Указанные зависимости в механических системах приводят со ответственно либо к нелинейности связей между напряжениями и деформациями (нарушению закона Гука), либо к нелинейной зависи мости сил трения от скорости скольжения, либо к нелинейной связи между действующей на тело силой и сообщаемым ему ускорением (если при этом скорость тела меняется по величине). Каждая из этих нелинейных связей приводит к тому, что дифференциальные уравне ния, описывающие поведение нелинейных систем, оказываются не линейными. Поэтому и системы называются нелинейными.

Все физические системы являются нелинейными. Поведение не линейных систем существенно отличается от поведения линейных систем. Одна из наиболее характерных особенностей нелинейных систем - нарушение в них принципа суперпозиции.

5.2. Автоколебания. Обратная связь. Условие самовозбуждения.

Роль нелинейности. Предельные циклы Автоколебаниями называются вынужденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых не за висят от характера внешнего воздействия, а определяются свойства Ангармонические колебания ми самой автоколебательной системы.


Автоколебания поддерживаются за счет энергии от внешнего источника, причем количество поступающей энергии регулируется самой системой. В отличие от незатухающих собственных колебаний гармонического осциллятора и аналогичных систем, амплитуды ко торых определяются начальными условиями, амплитуды которых оп ределяются начальными условиями, амплитуды автоколебаний от на чальных условий не зависят.

Собственные незатухающие колебания относятся к идеализиро ванному типу колебаний, который в реальных системах никогда не реализуется точно. Реальные собственные колебания всегда затухают.

Напротив, автоколебания в реальных системах могут продолжаться сколь угодно долго, пока не израсходуется энергия источника, под держивающая эти колебания.

Примеров автоколебательных систем довольно много. Автоко лебания могут возбуждаться и поддерживаться также периодически ми силами. Однако период последних не имеет никакого отношения к периоду возбуждаемых автоколебаний.

Строгая теория автоколебаний весьма сложна. Это связано с тем, что автоколебания нелинейны, т. е. описываются нелинейными уравнениями. Принцип суперпозиции в этих случаях не выполняется, что затрудняет получение и исследование решений самих уравнений.

ЛЕКЦИЯ 6. ФИЗИКА ВОЛН. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ Кинематика и динамика волновых процессов. Плоская стацио нарная и синусоидальная волна. Интерференция и дифракция волн.

Бегущие и стоячие волны. Фазовая скорость, длина волны, волновое число, волновой вектор. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах. Энергетические характеристики упругих волн. Вектор Умова.

6.1. Кинематика и динамика волновых процессов.

Плоская стационарная и синусоидальная волна Волны – изменения состояния среды (возмущения), распростра няющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Процесс распро странения колебаний в пространстве.

Распространение колебаний в пространстве происходит благода ря взаимодействию между частицами упругой среды. Волна в отличие от колебаний характеризуется не только периодичностью во времени, но и периодичностью в пространстве. Частицы среды при этом не пе реносятся волной, они лишь совершают колебания около своих поло жений равновесия. Поэтому основным свойством всех волн, незави симо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества в пространстве. Среди разнообразия волн, встречающихся в природе и технике, выделяют упругие, на поверхности жидкости и электромаг нитные.

Упругими (или механическими) волнами называются механи ческие возмущения, возникающие и распространяющиеся в упругой среде. К упругим волнам относятся звуковые и сейсмические волны;

к электромагнитным – радиоволны, свет и рентгеновские лучи.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и по перечные волны.

Продольные – это волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещения (колебания) частиц среды.

Поперечные – это волны, направление распространения которых и направление смещения (колебания) частиц среды взаимно перпенди кулярны.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому упругие деформации в них могут распространяться только в виде продольных волн (“волны сжатия”).

В твердых телах, в которых упругие силы возникают при сдвиге, упругие деформации могут распространяться не только в виде про Физика волн. Волновые процессы дольных, но и в виде поперечных волн (“волны сдвига”). В твердых те лах ограниченного размера (например, в стержнях и пластинах) картина распространения волны более сложна: здесь возникают еще и другие типы волн, являющиеся комбинацией первых двух основных типов.

В электромагнитных волнах направления электрического и маг нитного полей почти всегда перпендикулярны направлению распро странения волны, (за исключением случаев анизотропных сред и рас пространения в несвободном пространстве) поэтому электромагнит ные волны в свободном пространстве поперечны.

Волны могут иметь различную форму. Одиночной волной, или импульсом, называется сравнительно короткое возмущение, не имею щее регулярного характера. Ограниченный ряд повторяющихся воз мущений называется цугом волн.

Гармоническая волна – бесконечная синусоидальная волна, в которой все изменения среды происходят по закону синуса или коси нуса. Такие возмущения могут распространяться в однородной среде (если их амплитуда невелика) без искажения формы.

Геометрическое место точек, до которых доходят волны за неко торый промежуток времени t, называется фронтом волны (или вол новым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченного в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновых поверхностей существует бесконечное множе ство, в то время, как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фа зе). Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут иметь различную геометрию. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях на зывается плоской или сферической. В плоской волне волновые по верхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, а в сферической волне - систему концентрических сфери ческих поверхностей.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за один период:

82 Лекция v = vT или =, (6.1) где - длина волны;

T – период волны, т.е. время, за которое совершается один пол ный цикл колебания;

- частота, т.е. число периодов в единицу времени.

Направление волны определяется с помощью волнового вектора k. Направление волнового вектора совпадает с направлением вектора скорости:

k = 2 v;

k=, (6.2) v v где - круговая или циклическая частота.

В акустике и оптике численное значение волнового вектора представляют в виде волнового числа:

k=. (6.3) 6.2. Уравнение плоской волны Уравнение плоской волны - выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и време ни, т.е.

= (x, у, z, t), (6.4) где - смещение.

Эта функция должна быть перио дической как относительно t, так и от носительно x, у, z. Найдем вид функ ции в случае плоской волны, распро страняющейся в направлении оси X (рис. 6.1). Пусть плоская стенка совер Рис.6. шает гармоническое колебание, со гласно выражению = 0 cos t. (6.5) В точке пространства, расположенной на расстоянии x от места возникновения волны, частицы будут совершать те же колебания, что и в точке возникновения волны. Волновые поверхности в этом случае будут перпендикулярны к оси X. Поскольку все точки волновой по верхности колеблются одинаково, то смещение будет зависеть Физика волн. Волновые процессы только от x и t = (x, t).

Для прохождения расстояния от места возникновения до рас сматриваемой точки волне требуется время. Фронт волны придет в рассматриваемую точку пространства спустя время = x / v.

Уравнение колебаний в рассматриваемой точке будет иметь вид x = 0 cos (t ) = 0 cos t = 0 cos(t kx ). (6.6) v Формула (6.6) представляет собой уравнение прямой бегущей вол ны, т.е. распространяющейся в направлении положительной полуоси X.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Количественно перенос энергии волнами ха рактеризуется вектором плотности потока энергии E j=. (6.7) S t Вектор плотности потока энергии – физическая величина, мо дуль которой равен энергии E, переносимой волной за единицу вре мени (t=1) через единичную площадку, расположенную перпенди кулярно направлению распространения волны (S). Направление вектора потока плотности энергии (вектора Умова) совпадает с на правлением переноса энергии. Можно показать, что численное значе ние вектора потока плотности энергии определяется соотношением j = uv, (6.8) где u – плотность энергии в каждой точке среды, среднее значение которой равно:

u = 2 2 ;

– плотность среды;

0 – амплитуда волны;

- круговая (циклическая частота);

v – фазовая скорость (скорость перемещения фазы волны).

В векторной форме:

j = uv. (6.9) Фазовая скорость упругих волн:

E v= а) продольных ;

(6.10) G v= б) поперечных, (6.11) где E – модуль Юнга (характеристика упругих свойств среды, обрат 84 Лекция ная коэффициенту упругости);

G – модуль сдвига (он равен такому тангенциальному напряже нию, при котором угол сдвига оказался бы равен 45о, если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упруго сти).

Понятие фазовой скорости справедливо для монохроматических волн.

Так как распространяющиеся в пространстве волны представ ляют собой волновой пакет (в силу принципа суперпозиции), то кро ме фазовой скорости, для волнового пакета вводят в рассмотрение понятие групповой скорости. Волновой пакет – совокупность волн, частоты которых мало отличаются друг от друга.

Групповой скоростью называют скорость перемещения в про странстве амплитуды волны. С ней происходит перенос энергии вол ны. Групповая скорость определяется следующим соотношением:

dv u гр = v. (6.12) d Уравнение обратной волны можно получить путем замены в (6.6) х на (-х):

= 0 cos ( t + kx ). (6.13) 6.3.Волновое уравнение Оказывается, что уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения второго порядка, назы ваемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, со поставим вторые частные производные по координатам и времени от 2 (x, t ) 2 (x, t ) уравнения волны:.

и x 2 t Производные по х:

= + k 0 sin ( t kx ) ;

= k 2 0 cos ( t kx ). (6.14) x x Производные по t:

= + 0 sin ( t kx ) ;

= 2 0 cos ( t kx ). (6.15) t t Разделим обе части уравнения (6.15) на v2:

1 2 2 1 = 2 0 cos(t kx ) или 2 2 = k 2 0 cos(t kx ). (6.16) v 2 t 2 v t v Физика волн. Волновые процессы Сравнивая выражения (6.14) и (6.16), убеждаемся в равенстве их правых частей, поэтому можем приравнять левые части этих уравне ний:

2 1 =. (6.17) x 2 v 2 t Соотношение (6.17) является волновым уравнением плоской волны, распространяющейся вдоль оси X.

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве, имеет вид 2 2 2 1 + 2+ 2 =. (6.17) v t x y z В математике вводят специальный оператор, называемый опера тором Лапласа:

2 2 + +. (6.18) x 2 y 2 z С применением оператора Лапласа /лапласиана/ волновое урав нение (6.17) принимает вид 1 =. (6.19) v t Если при анализе какого-либо процесса, получают уравнение ви да (6.19), то это означает, что рассматриваемый процесс - волна, рас пространяющаяся со скоростью v.

6.4. Интерференция волн. Стоячие волны При одновременном распространении в среде нескольких волн частицы среды совершают колебание, являющееся результатом гео метрического сложения колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны накладываются одна на другую, не изменяя друг друга. Это явление называют принципом суперпозиции волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают разностью фаз и имеют одинако вую частоту, волны называются когерентными. Когерентные волны излучаются когерентными источниками. Когерентными источни ками называют точечные источники, размерами которых можно пре небречь, излучающие в пространство волны с постоянной разностью фаз. При сложении когерентных волн возникает явление интерфе ренции.

86 Лекция Интерференция – это явление наложения когерентных волн, в результате которого происходит перераспределение энергии волны в пространстве. Возникает интерференционная картина, заключающая ся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других - ос лабляют друг друга.

Наиболее часто интерференция возникает при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающая в результате такой интерференции волна называется стоячей. Практи чески стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Па дающая на преграду волна и встречная - отраженная, складываясь, образуют стоячую волну.

Пусть вдоль оси X распространяются прямая и обратная плоские волны, уравнения которых имеют вид 1 = 0 cos ( t kx ) ;

(6.20) 2 = 0 cos ( t + kx ). (6.21) В данном случае результирующее колебание получается путем алгебраического сложения:

= 0 [cos( t kx ) + cos( t + kx ) ]. (6.22) Воспользовавшись тригонометрическим тождеством cos( ± ) = cos cos ± sin sin, перепишем (6.22) в виде = 2 0 cos kx cos t. (6.23) Выражение (6.23) - уравнение стоячей волны.

Амплитуда стоячей волны A 2 0 cos kx. (6.24) Из (6.24) видно, что амплитуда, зависящая от x, может достигать максимального и минимального значений.

Действительно:

1) при kx = ± n (n = 0, 1, 2, …) амплитуда максимальна: A = 20.

Точки, в которых амплитуда смещения удваивается, называются пуч ностями стоячей волны;

2) при kx = ± (2n + 1) амплитуда обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны.

Расстояние между соседними (узлам) – длина стоячей волны 0.

Длина стоячей волны 0 = x = [(n + 1) n] = =. (6.25) k Физика волн. Волновые процессы Таким образом, длина стоячей волны равна половине длины бе гущей волны.

Графически стоячая волна выглядит так, как по казано на рис.6.2.

В соседних полувол нах колебания частиц име ют противоположную фазу, или, как говорят, сдвиг по фазе составляет. В отли чие от бегущей волны в пределах одной полуволны колебания всех точек происходят в одной и той же фазе, но с различной амплитудой.

Очень часто стоячие волны используют для определения скоро сти распространения волн. Это достигается с помощью так называе мого интерферометра.

В звуковом интерферометре источ ником звука (источником волны) являет ся мембрана или пьезоэлектрическая пластинка - 1 (рис.6.3). Имеется отража тель (рефлектор) - 2. Перемещая рефлек тор, получают систему стоячих звуковых волн. Если при перемещении рефлектора на расстояние L возникло n узлов, то скорость распространения звука будет равна L v = 2 0 = 2.

n Рис.6. (6.26) То есть для определения скорости распространения волны (звуковой волны) необходимо измерить дли ну стоячей волны 0 и частоту звуковых колебаний.

ЛЕКЦИЯ 7. ЭНЕРГИЯ, РАБОТА, МОЩНОСТЬ Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл.

Мощность. Энергия как универсальная мера различных форм движе ний и взаимодействий. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Энер гия системы, совершающей вращательное движение. Энергия сис темы, совершающей колебательное движение. Потенциальная энер гия и энергия взаимодействия. Потенциальная энергия тела, находя щегося в поле тяготения другого тела. Потенциальная энергия и ус тойчивость системы. Внутренняя энергия. Энергия упругой дефор мации.

7.1. Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл Работа - это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны. В общем смысле работа - это процесс пре вращения одних форм движения материи в другие и одновременно количественная характеристика этого процесса.

Механическая работа - процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения.

При совершении работы всегда имеются сила, действующая на материальную точку (систему, тело), и вызванное данной силой пе ремещение. При отсутствии хотя бы одного из этих факторов работа не совершается.

Элементарная работа некоторой силы F, действующей на ма териальную точку (тело, систему), вызывающей элементарное пере мещение dr, равна произведению силы на перемещение:

dA = Fdr = Fdrcos = Frdr, (7.1) где - угол между направлением перемещения и направлением дей ствующей силы.

Из (7.1) следует, что при /2, dA 0 - работа положительная;

= /2, dA = 0 - работа не совершается;

/2, dA 0 - работа отрицательная;

= 0, dA = Fdr - направление перемещения и направление дей ствующей силы совпадают.

Энергия, работа, мощность В том случае, когда величина тангенциальной составляющей си лы остаётся всё время неизменной, то работа определяется соотноше нием A = F S. (7.2) В частности, это условие выполняется, если тело движется пря молинейно, и постоянная по величине сила F образует с направлени ем движения постоянный угол. Поэтому выражению (7.2) в данном случае можно придать следующий вид:

A = F S cos. (7.3) Надо отметить, что понятие работы в механике существенно от личается от обыденного представления о работе. Например, для того, чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, носильщик за трачивает определенные усилия, т.е. "совершает работу". Однако ра бота как механическая величина в этих случаях равна нулю.

Вектор силы на плоскости всегда можно разложить на две со ставляющие - нормальную и тангенциальную. Ясно, что только тан генциальная составляющая силы способна совершить работу. В слу чае, когда величина проекции силы на направление перемещения не остается постоянной во времени, для вычисления работы следует разбить путь S на элементарные участки S i, взяв их столь малыми, что за время прохождения телом такого участка можно было бы счи тать силу постоянной. Тогда на каждом элементарном участке пути S1работа силы равна A i = Fi S i. (7.4) А работа на всем пути S может быть вычислена как сумма эле ментарных работ:

A Fi S i. (7.5) i В общем случае, когда материальная точка (тело, система), дви гаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, на каждом из которых сила F может считаться постоянной, а элемен тарная работа может быть вычислена по формуле (7.1). Сложив все эти элементарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю дли ны всех элементарных перемещений, а их число – к бесконечности, получим 90 Лекция A = (F dS). (7.6) L Выражение (7.6) называют криволинейным интегралом вектора F вдоль траектории L.

Работу, определяемую формулой (7.6), можно изобразить графически, в координатах F - S, площадью фигуры, что соответствует нахождению криво линейного интеграла. На рис.7.1 по строен график F как функции положе ния точки на траектории. Из рисунка видно, что элементарная работа A i численно равна площади заштрихован ной полоски, а работа A на пути от Рис.7. точки 1 до точки 2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой F(S), вертикальными прямыми 1 и 2 и осью OS.

Единица измерения работы в СИ носит название джоуль (Дж).

Найдем работу, совершаемую при растяжении пружины, подчи няющемуся закону Гука. Сила, растягивающая пружину, равна по ве личине и противоположна по направлению упругой силе, т.е.

F = kx, (7.7) где x – удлинение пружины.

Сила действует в направлении перемещения, поэтому F = F = kx. (7.8) Элементарная работа в данном случае может быть представлена в виде A i = kx x i. (7.9) По формуле (7.6) найдем полную работу:

kx x A = kx dx =. (7.10) При сжатии пружины на величину x совершается такая же по величине и знаку работа, как и при растяжении.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.