авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.М. Полунин, Г.Т.Сычев ФИЗИКА ...»

-- [ Страница 3 ] --

Экспериментально установлено, что работа сил тяжести, упругих сил, электрических сил не зависит от формы траектории, а определя ется начальным и конечным положениями материальной точки (сис темы, тела). Работа этих сил по замкнутой траектории равна нулю:

Энергия, работа, мощность A = (F d r ) = 0. (7.11) L Силы, для которых выполняется данное условие, называются консервативными или потенциальными.

Работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна ну лю. Поэтому потенциальное поле сил можно определить как поле та ких сил, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю. По скольку работа в потенциальном поле сил на замкнутом пути равна нулю, то на одних участках замкнутого пути силы совершают поло жительную работу, а на других – отрицательную.

Все силы, не удовлетворяющие этому условию, называются не консервативными.

7.1.1. Работа, совершаемая внешними силами при враща тельном движении относительно неподвижной оси При вращательном движении системы вокруг неподвижной оси работу совершают внешние силы, действующие на систему.

Каждая элементарная масса mi в этом случае совершает враща тельное движение в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Траектория движения элементарной массы представляет собой ок ружность с центром на оси вращения.

Работа силы Fi по перемещению элементарной массы на элемен тарном пути dSi будет равна dA i = Fir dSi = Fir ri d, (7.12) где dSi = rid;

ri - радиус соответствующей окружности.

Так как Fi r ri = M i - численное значение момента силы Fi r, а d = ·dt, то dA i = Fi r dS i = Fi r ri d = M i d. (7.13) Работа внешних сил, действующих на тело (систему) за время dt, будет вычислена так 2 t A = dA = M d = M dt. (7.14) 1 0 Если проекция результирующего момента M на выбранное на правление постоянна, то 92 Лекция A = M d = M. (7.15) 7.2. Мощность Для оценки эффективности машин и механизмов важно знать, как быстро они совершают данную работу.

Физическая величина, численно равная работе, совершаемой в единицу времени, называется мощностью.

Таким образом, мощность характеризует работоспособность машин и механизмов.

Различают мгновенную мощность и среднюю мощность.

Средняя мощность - физическая величина, численно равная отношению работы, совершенной за некоторый промежуток времени t, к величине этого промежутка времени A N=. (7.16) t Из формулы (7.16) видно, что если работа пропорциональна времени, A t, то мощность постоянна.

В большинстве случаев мощность зависит от времени N = f(t). В связи с этим вводится в рассмотрение понятие мгновенная мощность, которая определяется как первая производная от работы по времени:

N = dA/dt. (7.17) Поскольку dA = F·dScos = (F·dS) = FsdS, (7.18) то N = d(F·dScos)/dt = d(F·dS)/dt = d(FsdS)/dt = Fv, (7.19) где F - мгновенная сила;

v - мгновенная скорость.

Таким образом, мгновенная мощность равна произведению мгновенной силы на мгновенную скорость.

Формула (7.19) справедлива, когда сила F или скорость v посто янны. В этом случае N представляет собой постоянную мощность.

При равномерно ускоренном движении (F = const) Nmax = Fvmax;

N = Fv. (7.20) При вращательном движении формулу для мгновенной мощно сти можно получить следующим образом:

Энергия, работа, мощность так как ( ) I 2 1., A = Wk = (7.21) I то при 2 =, 1 = 0 A =, d I N= 2 = I = M. (7.22) dt Мгновенная мощность равна произведению мгновенного мо мента силы на мгновенную угловую скорость.

Выражение (7.22) справедливо также и в том случае, когда M и остаются постоянными, тогда мощность тоже постоянна.

Если в формулу (7.22) подставить M = F·r и = v/r, то после со кращения получим N = Fv, (7.23) что совпадает с ранее полученной формулой (7.19).

Для поступательного движения полученные соотношения мож но использовать в том случае, когда F - тангенциальная сила, дейст вующая на периферии тела, а v - скорость движения точки на пери ферии тела.

В системе СИ мощность измеряется в ваттах (Вт).

7.3. Энергия как универсальная мера различных форм движений и взаимодействий В общем случае энергия выражает количественную меру и каче ственную характеристику движения и взаимодействия материи во всех ее превращениях. Понятие энергии связывает воедино все явле ния природы.

В соответствии с различными формами движения материи рас сматривают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, химическую, ядерную. Это деление до опреде ленной степени условно. Так, химическая энергия складывается из кинетической энергии движения электронов и энергии взаимодейст вия электронов друг с другом и с атомными ядрами. Внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий хаотического движения молекул и атомов относительно центра масс тел и потенциальной энергии взаимодействия молекул и атомов друг с другом. Энергия системы однозначно зависит от параметров, характеризующих со 94 Лекция стояние системы. В случае непрерывной среды или поля вводятся по нятия плотности энергии, т.е. энергии в единице объема, и плотности потока энергии, равной произведению плотности энергии на скорость ее перемещения.

Теория относительности показала, что энергия тела неразрывно связана с его массой m соотношением E = mc2. Любое тело обладает энергией. Если масса покоящегося тела m0, то его энергия покоя E0 = m0c2. Энергия может переходить в другие виды энергии при превра щениях частиц (распадах, ядерных реакциях).

Согласно классической физике энергия любой системы меняется непрерывно и может принимать любые значения. Квантовая теория утверждает, что энергия микрочастиц, движение которых происходит в ограниченном объеме пространства (например, электронов в атоме), принимает дискретный ряд значений. Так атомы испускают и погло щают электромагнитную энергию в виде дискретных порций - свето вых квантов, или фотонов.

Оказывается, что любая материальная система может совершить лишь ограниченное количество работы, соответствующее определен ному в данных условиях количеству присущего ей движения.

Это свойство материальной системы совершать при переходе из данного состояния в некоторое другое определенную работу связано с ее энергией. Чем большую работу может совершить система при переходе в свое «нормальное» состояние, тем больше ее энергия в исходном состоянии. «Нормальным» состоянием системы называется такое ее состояние, в котором она уже не может совершать работу при данных условиях за счет энергии данного вида.

Энергия может быть выражена через величины, характеризую щие строение и свойства материальной системы. Она является функ цией состояния системы, характеризует способность системы к со вершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Разность энергий (изменение энергии), присущих системе в ка ких-либо состояниях, равна работе, совершаемой системой при пере ходе из одного состояния в другое:

W = W1 – W2 = A. (7.24) Механической энергией, соответствующей данной форме дви жения материи, называется величина, равная работе, которая может быть произведена при полном превращении движения данной формы в механическую форму движения материи. Под механической энер Энергия, работа, мощность гией системы подразумевают сумму кинетической и потенциальной энергий.

7.4. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе При действии на движущееся тело постоянной по величине и сов падающей по направлению с направлением движения силы, тело либо приобретает определенный запас энергии, либо совершает работу.

Физическая величина, характеризующая способность движуще гося тела или системы совершать работу при торможении до полной остановки, называется кинетической энергией. Кинетическая энер гия - энергия, которой обладает движущееся тело.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий отдельных тел (материальных точек) этой системы:

Wk = Wki, (7.25) где Wki - кинетическая энергия i-го тела системы.

Изменение кинетической энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое происходит под действием приложенных к системе внешних и внутренних сил и равно сумме работ этих сил:

Wk = Wk2 – Wk1 = Aiвнут + Aiвн. (7.26) Уравнение (7.26) выражает теорему об изменении кинетической энергии, с помощью которой решаются многие задачи динамики.

Изменение кинетической энергии системы равно сумме измене ний кинетических энергий отдельных тел (материальных точек) сис темы:

dWk = dWk i ;

Wk = dWk. (7.27) i Для вывода формулы кинетической энергии системы необходи мо рассчитать работу, которая может быть совершена системой при ее торможении до полной остановки. Предположим, что система (твердое тело) состоит из n тел (материальных точек). При поступа тельном движении твердого тела со скоростью v каждая его матери альная точка (элемент тела) движется с такой же скоростью.

Элементарная работа сил трения при торможении, действующих на i-ю материальную точку, равна элементарному изменению кине тической энергии этой точки:

96 Лекция dpi dr dr = dpi = dpi v = d(mi v ) v = mi v dv.(7.28) dAi = dWi = Fi dr = dt dt Изменение кинетической энергии материальной точки тела при переходе из одного состояния в другое имеет следующий вид:

2 m i v1 m i v Wk i = A = Wk 2 Wk1 = m i v dv =. Wk1 =. (7.29) 2 v Так как материальная точка и состояние тела были выбраны произвольно, то кинетическая энергия i-й материальной точки до на чала торможения была следующей:

mi v Wk i =. (7.30) Это справедливо и в том случае, когда тело перемещается из точки B в точку C (рис.7.2). При этом совершается работа A под действием силы F. Указанную работу можно Рис.7. представить следующим образом:

2 mv 2 mv C C C C dv A = F ds = ma ds = m ds = m v dv = = Wk.

B dt 2 B B B (7.31) Кинетическая энергия тела массой m равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек (частей) этого тела. В рас сматриваемом случае m i v 2 v 2 m i mv mv Wk = Wk i = i = i = = i, (7.32) 2 2 2 i где m = mi - масса тела (системы).

Из формулы (7.32) видно, что кинетическая энергия не может быть отрицательной величиной, зависит только от массы движущихся тел и их скорости, но не зависит от того, каким образом данное тело достигло данной скорости.

Таким образом, кинетическая энергия системы (тела) является функцией состояния ее движения. Так как p = mv, то p Wk =. (7.33) 2m Соотношение (7.33) устанавливает связь между кинетической Энергия, работа, мощность энергией тела (системы) и его импульсом.

При скоростях, близких к скорости распространения света в ва кууме, кинетическая энергия материальной точки m 0c Wk =, (7.34) v 1 c где m0 - масса покоящейся материальной точки (масса покоя);

с - скорость распространения света в вакууме;

m0 c2 = E0 - энергия покоя материальной точки.

При малых скоростях (vc) соотношение (7.34) переходит в формулу (7.30). Так как dWk = dA, то при:

1) dA 0 - работа совершается над системой – dWk 0 - кинети ческая энергия системы возрастает;

2) dA 0 - работа совершается системой – dWk 0 - кинетиче ская энергия системы убывает;

3) dA = 0 - если система не совершает работу или работа не со вершается над системой – dWk = 0 - кинетическая энергия системы не изменяется.

7.5. Энергия системы, совершающей вращательное движение При вращательном движении твердого тела любая ее элемен тарная масса mi имеет свою собственную линейную скорость vi, но одну и ту же угловую скорость, которая равна угловой скорости те ла. Кинетическая энергия такой элементарной массы m i v i Wk i =, (7.35) где vi = ri.

Подставив значение vi в (7.35) будем иметь m i ri2 2 I i Wk i = =, (7.36) 2 где Ii = miri2 - момент инерции материальной точки относительно выбранной оси вращения.

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек:

98 Лекция I i 2 2 I i I Wk = Wk i = = = i i, (7.37) 2 2 i где I = I i - момент инерции тела относительно той же оси вращения.

i Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего вра щательное движение относительно неподвижной оси вращения, пря мо пропорциональна квадрату угловой скорости тела и его моменту инерции.

Так как M = I = I(d/dt), а = dt, следовательно, I d dt = I d = d 2 = dWk.

dA = I (7.38) dt То есть работа внешних сил, действующих на вращающуюся от носительно неподвижной оси материальную точку (тело, систему), равна изменению кинетической энергии:

A = Wk1 Wk 2. (7.39) 7.6. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Потенци альная энергия и устойчивость системы Потенциальная энергия - физическая величина, характери зующая способность системы совершать работу, связанную с измене нием конфигурации и взаимного расположения тел или частей в сис теме.

Физический смысл имеет только понятие потенциальная энергия системы.

Изменение конфигурации системы, взаимного расположения тел или частей одного и того же тела возможно при переходе системы из одного состояния в другое. При этом происходит изменение потенци альной энергии, которое не зависит: а) от начального значения потен циальной энергии;

б) промежуточных состояний системы;

в) пути пе рехода системы из состояния в состояние. Изменение потенциальной энергии системы зависит только от начального и конечного ее со стояний и равно работе внутренних (консервативных) сил системы, взятой с обратным знаком dWp = - dA. (7.40) За счет изменения энергии dWp совершается элементарная работа.

Знание потенциальной энергии играет большую роль при опре Энергия, работа, мощность делении условий устойчивости тел. Так как модулю dA = dWp = Fdxcos и при = 0 dWp = Fdx, то dWp = F. (7.41) dx Известно, что в положении равновесия действующая на тело си ла F = 0. Таким образом, dWp = 0. (7.42) dx Это означает, что в положении равновесия потенциальная энер гия Wp либо минимальна, либо максимальна.

Возникающая при отклонении от положения равновесия сила направлена к положению равновесия, а, следовательно, при удалении от положения равновесия эта сила совершает отрицательную работу;

потенциальная энергия тела (системы) при этом возрастает. Это озна чает, что в положении равновесия потенциальная энергия системы минимальна.

Таким образом, признаками устойчивого равновесия (положе ния) являются d 2 Wp dWp 0, = 0;

(7.43) dx dx то есть минимум потенциальной энергии.

Потенциальная энергия является более общей характеристикой воздействия тел или частиц друг на друга, приводящей к изменению состояния их движения.

7.6.1. Связь между потенциальной энергией и силой Получим формулу, связывающую потенциальную энергию и си лу. Этой формулой часто пользуются, если известно распределение потенциальной энергии (потенциала) в пространстве. Вы числим элементарную работу силы dA при малом перемещении тела d r, происходяще го вдоль произвольно выбранного направ ления в пространстве. Введем прямоуголь- Рис.7. ную систему координат Х, У, Z (рис.7.3).

Элементарная работа может быть представлена в виде 100 Лекция dA = ( F d r ). (7.44) В свою очередь вектора F и d r можно разложить в пространстве на три составляющих вектора:

F = Fx i + Fy j + Fz k, (7.45) d r = i dx + j dy + k dz. (7.46) После подстановки (7.45) и (7.46) в (7.44) и осуществления ска лярного по- членного перемножения получим dA = Fx dx + Fy dy + Fz dz. (7.47) Пусть в данном случае работа осуществляется за счет запаса по тенциальной энергии dA = dE n.

Тогда dE n = ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ). (7.48) Приращение потенциальной энергии dE n представляет собой так называемый полный дифференциал E n E n E n = dx + dy + dE dz. (7.49) n x y z Сравнивая (7.48) и (7.49), получим E E E Fx = n ;

Fy = n ;

Fz = n. (7.50) x y z Следовательно, E n E n E n F = i+ j+ k. (7.51) x y z f f f i+ j + k gradf f В математике векторный оператор x y z называется градиентом функции f.

Градиент скалярной функции – это вектор, показывающий на правление увеличения этой функции. Применяя указанную символи ку, можно записать F = grad E n или F = E n. (7.52) Таким образом, сила, действующая на тело, направлена в сторону убывания потенциальной энергии. Примером тому служит направле ния силы тяжести FT, упругой силы Fупр, кулоновской силы Fk и др.

Первоначально в физике утвердилось представление о том, что Энергия, работа, мощность взаимодействие между телами может осуществляться непосредствен но через пустое пространство, которое не принимает участия в пере даче взаимодействия, передача взаимодействия происходит мгновен но. В этом состояла так называемая концепция дальнодействия. По сле открытия и исследования электромагнитного поля теория дально действия оказалась не соответствующей действительности.

Было установлено, что взаимодействие электрически заряжен ных тел осуществляется не мгновенно и перемещение одной заря женной частицы приводит к изменению сил, действующих на другие частицы, не в тот же момент времени, а лишь спустя конечное время.

Каждая электрически заряженная частица создает электромагнитное поле, действующее на другие частицы, то есть взаимодействие пере дается через «посредника» - электромагнитное поле, которое является носителем потенциальной энергии взаимодействия. Скорость распро странения электромагнитного поля равна скорости распространения света в вакууме. Возникла новая концепция - концепция (теория) близкодействия, которая была распространена и на другие взаимо действия и поля. Согласно теории бизкодействия взаимодействие между телами осуществляется посредством тех или иных полей, не прерывно распределенных в пространстве, которые являются «носи телями» потенциальной энергии взаимодействия.

После появления квантовой теории поля представление о взаи модействии существенно изменилось. Согласно этой теории любое поле является не непрерывным, а имеет дискретную структуру.

Вследствие корпускулярно-волнового дуализма каждому полю долж ны соответствовать определенные частицы. Так, заряженные частицы непрерывно испускают и поглощают фотоны, которые и образуют окружающее их электромагнитное поле. Электромагнитное взаимо действие в квантовой теории поля является результатом обмена час тиц фотонами - квантами электромагнитного поля, то есть фотоны являются переносчиками этого взаимодействия. Аналогично другие виды взаимодействия возникают в результате обмена частиц кванта ми соответствующих полей.

Несмотря на разнообразие воздействий тел друг на друга (зави сящих от взаимодействия слагающих их элементарных частиц), в природе, по современным данным, имеются лишь четыре типа фун даментальных взаимодействий. Это (в порядке возрастания интен сивности взаимодействия): гравитационное взаимодействие, слабое 102 Лекция взаимодействие, электромагнитное взаимодействие, сильное взаимо действие. Интенсивности взаимодействия определяются константами связи (в частности, для электромагнитного взаимодействия констан той связи является электрический заряд).

Современная квантовая теория электромагнитного взаимодейст вия превосходно описывает все известные электромагнитные явле ния. В 60-70-х годах в основном построена единая теория слабого и электромагнитного взаимодействий (так называемая электрослабое взаимодействие) лептонов и кварков.

Современной теорией сильного взаимодействия является кван товая хромодинамика. Делаются попытки объединения электрослабо го и сильного взаимодействий (так называемое «Великое объедине ние»), а также включения в единую схему гравитационного взаимо действия.

7.6.2. Внутренняя энергия Помимо потенциальной энергии и энергии взаимодействия, лю бая система обладает внутренней энергией.

Внутренняя энергия - энергия физической системы, зависящая от ее внутреннего состояния. Внутренняя энергия включает энергию хаотического (теплового) движения всех микрочастиц системы (мо лекул, атомов, ионов и т.д.) и энергию взаимодействия этих частиц.

Кинетическая энергия движения системы и ее потенциальная энергия во внешних силовых полях во внутреннюю энергию не входят.

При этом представляет интерес не само значение внутренней энергии системы, а ее изменение при изменении состояния системы.

Поэтому обычно принимают во внимание только те составляющие внутренней энергии, которые изменяются в рассматриваемых про цессах изменения состояния вещества.

Согласно закону сохранения энергии внутренняя энергия систе мы является однозначной функцией состояния физической системы, то есть однозначной функцией независимых переменных, опреде ляющих это состояние.

При переходе системы из состояния в состояние изменение ее внутренней энергии равно разности значений внутренней энергии в конечном состоянии U2 и начальном состоянии U1:

U = U2 – U1. (7.53) Для любого замкнутого процесса, возвращающего систему в Энергия, работа, мощность первоначальное состояние (U2=U1), изменение внутренней энергии системы равно нулю (U=0).

Изменение внутренней энергии системы в некоторых процессах (например, адиабатических, которые могут происходить в идеальных газах без теплообмена с окружающей средой) равно работе, произво димой над системой:

U = A12. (7.54) В случае простейшей физической системы с малым межмолеку лярным взаимодействием (идеальный газ), изменение внутренней энергии системы сводится к изменению кинетической энергии моле кул, которая, в свою очередь, определяется только изменением тем пературы системы.

В физических системах, частицы которых взаимодействуют ме жду собой (реальные газы, жидкости, твердые тела), внутренняя энергия включает также энергию межмолекулярных и внутримолеку лярных взаимодействий. Внутренняя энергия таких систем зависит как от температуры, так и от давления (объема).

Экспериментально может быть измерено только изменение внутренней энергии в каком-либо процессе, то есть внутренняя энер гия определяется с точностью до постоянного слагаемого. Методы статистической физики позволяют теоретически рассчитать внутрен нюю энергию физической системы, но также лишь с точностью до постоянного слагаемого, зависящего от выбранного нуля отсчета.

В области низких температур при T0 внутренняя энергия кон денсированных систем (жидких и твердых тел) приближается к опреде ленному постоянному значению U0 (третье начало термодинамики), ко торое может быть принято за начало отсчета внутренней энергии.

Внутренняя энергия является одним из термодинамических по тенциалов, с помощью которого можно определить параметры со стояния системы.

7.6.3. Силовые поля. Поле как форма существования мате рии. Поле как форма существования материи осуществляющая силовое взаимодействие между материальными объектами. Ха рактеристики силовых полей Взаимодействия элементов вещества (материальных точек, тел, частиц, зарядов) зависят от их взаимного расположения и движения.

Количественной мерой влияния одного тела на движение друго 104 Лекция го является сила взаимодействия.

Таким образом, свойства тела не локализованы только там, где находится центр его массы покоя, а распределены также и в про странстве, окружающем тело, образуя так называемое силовое поле.

Силовому полю присущи свойства материи: пространственно временная протяженность, инерция, движение, энергия и действие.

В физике рассматривают три вида силовых полей: гравитацион ное, электромагнитное и специфическое ядерное, или мезонное.

Силовое, потенциальное гравитационное поле создается взаимо действующими массами покоя тел, и поэтому является характерным для тел с большими массами и со значениями скорости движения го раздо меньшими, чем скорость распространения света в вакууме. В микромире силы тяготения теряют свое значение.

Для количественной характеристики поля тяготения в каждой его точке вводят две величины: напряженность и потенциал поля тя готения.

Напряженностью поля тяготения в данной точке называется векторная физическая величина, равная по величине и направлению силе, действующей на единичную массу, помещенную в данную точ ку поля:

F Mm M g = = 2 r0 = 2 r0. (7.55) m mr r В соответствии со вторым законом Ньютона напряженность по ля тяготения представляет собой ускорение силы тяжести, которое направлено всегда к массе, создающей его и одинаково для всех тел, помещенных в данную точку поля.

Подставив в формулу (7.55) численные значения массы и радиу са Земли, будем иметь значение ускорения силы тяжести Земли на её поверхности, ускорение свободного падения.

Если тела движутся вокруг какого-либо тела, то сила тяготения создает центростремительную силу, заставляющую их совершать вращательное движение вокруг этого тела. При круговой траектории движения ускорение силы тяжести является центростремительным ускорением v g = an = n0. (7.56) r Второй характеристикой силового потенциального поля являет Энергия, работа, мощность ся потенциал.

Потенциалом поля тяготения называют скалярную физиче скую величину, равную потенциальной энергии единичной массы, помещенной в данную точку поля.

Следовательно, для нахождения формулы потенциала необхо димо найти формулу потенциальной энергии двух тяготеющих масс.

Известно, что изменение потенциальной энергии системы (двух тяготеющих масс) равно работе консервативных сил, взятой с обрат ным знаком:

dWp = - dA. (7.57) r2 r2 r Mm A = Wp = F d r = F dr cos = 2 cos dr. (7.58) r r1 r1 r 1 Wp = Wp1 Wp2 = Mm. (7.59) r r 1 Так как начальное и конечное состояния тяготеющих масс было выбрано произвольно, то можно утверждать, что в общем случае Mm Wp =. (7.60) r Таким образом, потенциальная энергия тяготеющих масс отри цательна и увеличивается с увеличением r. При r, Wp0.

Потенциал поля тяготения Wp M = =, (7.61) m r т.е. потенциал поля тяготения тоже с увеличением расстояния увели чивается и при r равен нулю.

Так как одна и та же точка поля тяготения одновременно харак теризуется напряженностью и потенциалом, то между ними должна существовать связь, вытекающая из понятий напряженности и потен циала. Очевидно, что d gr =. (7.62) dr В общем случае связь между напряженностью и потенциалом поля тяготения выражается соотношением g = - grad. (7.63) Знак “ – “означает, что напряженность поля тяготения направлена в сторону уменьшения потенциала и обусловливает все трудности за 106 Лекция пуска космических аппаратов с поверхности Земли. Он показывает, что тело находится в энергетическом плену у Земли. Чтобы оно покинуло её, необходимо совершить работу, равную изменению потенциальной энергии системы “тело-Земля”. Говорят, например, что тело находится в «потенциальной яме», глубина которой равна Wp. Чтобы покинуть эту «потенциальную яму», тело должно преодолеть потенциальный барьер, высотa которого равна глубине «потенциальной ямы».

Представление о «потенциальной яме» относится не только к полю тяготения. Любые, связанные между собой тела находятся в «потенциальных ямах» друг друга. Например, молекулы жидкости находятся в «потенциальной яме», поэтому для их выхода за пределы свободной поверхности необходимо затратить определенную энер гию, т.е. совершить работу выхода - работу на испарение. Свободные электроны в металлах находятся в «потенциальной яме». Для выхода из металла им необходимо совершить работу выхода.

7.6.4. Потенциальная энергия материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле В качестве частного примера рассмотрим потенциальную энер гию системы «тело - Земля», когда тело находится на некоторой вы соте h от поверхности Земли. Известно, что потенциальная энергия Mm двух тяготеющих масс Wp =.

r В рассматриваемом случае r = R + h, тогда Mm Mm Wp = =. (7.64) R+h h R 1 + R h 1. Имеем При Rh h R 1+ R Mm Mmh Mm Wp = + = + mgh = Wp0 + mgh, (7.65) R R R M где g = 2 - ускорение свободного падения вблизи поверхности R Земли;

Энергия, работа, мощность Mm Wp0 = - потенциальная энергия системы «тело – Земля», R если тело находится на поверхности Земли.

Изменение потенциальной энергии в том случае, когда тело под нимается на некоторую высоту h над поверхностью Земли, будет равно Mm Mm Wp = Wp0 Wp = + mgh + = mgh. (7.66) R R Таким образом, мы получили формулу, которая ранее постули ровалась.

Докажем, что поле сил тяжести является потенциальным. Сила, действующая на тело в любой точке траектории, имеет одинаковую величину FT = mg и направление – вниз по вертикали (рис.7.4).

Поэтому работа 2 A = FТ cos dr = mg dh = mgh. (7.67) 1 Это выражение, очевидно, не зависит от Рис.7. пути, откуда следует, что поле сил тяжести потенциально.

Поле центральных сил (т.е. сил, величина которых зависит толь ко от расстояния до некоторого центра, а направление проходит через этот центр) также потенциально. В этом мы убедимся, рассматривая, например, работу кулоновских сил.

7.6.5. Поле центральных сил. Движение в поле центральных сил Примером центрального силового поля, т.е. такого, в котором силы действуют вдоль прямой, соединяющей центры взаимодейст вующих масс, является поле тяготения.

При движении тела ( материальной точки, системы ) в поле тяго тения силы, действующие со стороны поля, совершают работу. Так как величина силы зависит от положения тела, то величина работы опре деляется только начальным и конечным положениями системы и не зависит от формы траектории, по которой происходило перемещение этого тела. В этом легко убедиться, рассчитав работу сил тяготения по перемещению некоторой массы, начальное положение которой опре деляется радиус-вектором r1, a конечное - радиус-вектором r2.

108 Лекция Элементарная работа по перемещению массы на элементарном отрезке dr:

dA = Fdr = Fdrcos = - Frdr. (7.68) Знак «минус»указывает на то, что перемещение происходит в направлении, противоположном направлению действующей силы.

Работа по перемещению этой массы из положения, определяе мого радиус-вектором r1, в положение, определяемое радиус вектором r2:

1 r2 r2 r Mm dr A = dA = Fr dr = 2 dr = Mm 2 = Mm. (7.69) r r r r r1 r1 r Из полученного соотношения видно:

1) если взаимодействующие тела приближаются друг к другу, то работа положительна (A0) - работа совершается силами тяготения;

2) если взаимодействующие тела удаляются друг от друга, то ра бота отрицательна (A0) - работа совершается против сил тяготения;

3) если r1 = r2, то работа A = 0, т.е., действительно, она не зави сит от формы траектории, по которой, например, приближается (уда ляется) одно тело по отношению к другому.

Рассмотрим характер движений, которые могут совершать неко торые массы M и m (Mm) под влиянием только сил тяготения.

Так как Mm, то тело, масса которого равна M, практически неподвижно, т.к. ускорение, сообщаемое ему телом, масса которого m, мало. Таким образом, задача сводится к определению характера движения тела массой m. Решение этой задачи, приближенно, опре деляет движение планет солнечной системы вокруг Солнца или дви жение спутников вокруг планет.

При скорости движения тела v0с для рассматриваемого случая оказывается справедливым второй закон Ньютона: F = ma. С другой стороны, между массами действует численно равные силы тяготения Mm F = 2. Следовательно, уравнение движения массы m будет r иметь вид Mm ma = 2. (7.70) r Откуда Энергия, работа, мощность M a= = g..(7.71) r Полученное ускорение, значение которого определено, направ лено к центру большей массы. Интегрируя выражение (7.71), можно найти уравнение траектории движения массы m для различных на чальных условий. В зависимости от них тело может двигаться по эл липсу, параболе или гиперболе.

В случае, когда сила притяжения будет равна центростреми тельной силе, то 2 mv 0 v Mm M M F = Fц ;

Fц = ma ц = ;

F = 2 ;

aц = = 2 ;

v 0 =. (7.72) r0 r0 r r0 r Ускорение, сообщаемое телу массой m – центростремительное.

Тело движется по окружности, радиус которой r = r0. Если v0 не удов летворяет условию (7.72), то при определенных условиях оно дви жется по замкнутой траектории - эллипсу, в одном из фокусов кото рого находится тело массой M. В этом случае в перигелии «П» и афе лии «А» силы тяготения перпендикулярны орбите и тело будет испы тывать только центростремительное ускорение v an =, (7.73) r где r - радиус кривизны траектории в точках «П» и «А».

Скорость в перигелии больше, чем в афелии, т.к. момент им пульса относительно оси, проходящей через центр притягивающего тела перпендикулярно плоскости орбиты, должен оставаться посто янным. Значение скоростей тела в перигелии и афелии определяются следующими соотношениями:

M M v2 = ;

va =. (7.74) п rп ra Используя закон сохранения и превращения механической энер гии, можно определить значение начальной скорости тела, орбита ко торого разомкнутая (не замкнутая).

На основании закона сохранения механической энергии Wа=Wп, где 2 mv a mv п Mm Mm Wa = Wk a + Wpa = ;

Wп = (7.75).

2 ra 2 rп 110 Лекция Подставляя значения vа и vп в формулу (7.41), будем иметь mMr Mm mMr Mm =. (7.76) 2 ra rп 2ra 2rп После соответствующих преобразований r (rа + rп ) = 1. (7.77) 2rа rп Подставив в формулу (7.77) значения из формулы (7.74), полу чим v 2 rп (rп + rа ) = 1.

п (7.78) 2 Mrа Отсюда, при удалении афелия в бесконечность, т. е. при rпrа, значением rп можно пренебречь по сравнению с rа:

2 M v2 =. (7.79) п rп Если vп = v0, а rп = r0, то при 2 M v0 = (7.80) r орбита из замкнутой (эллиптической) превратится в незамкнутую параболическую. При увеличении начальной скорости v0 тело будет двигаться по гиперболе.

Таким образом, из соотношения (7.78) можно сделать следую щие выводы:

v 2 rп 1) при п 1 - орбиты замкнуты;

2 M v 2 rп 2) при п 1 - орбиты разомкнуты.

2 M 7.6.6. Космические скорости Законы движения в поле центральных сил справедливы и для движения искусственных спутников Земли и космических аппаратов.

После того, как ракета-носитель поднимается на достаточную высоту, на которой плотность земной атмосферы, а следовательно, и её сопротивление малы, двигатели ракеты - носителя отключаются.

Дальнейшее движение объекта можно считать происходящим под действием сил тяготения.

Энергия, работа, мощность Наиболее простым является случай движения космического ап парата на определенной постоянной высоте h над поверхностью Зем ли. В этом случае тело должно обладать скоростью, значение которой можно определить, воспользовавшись уравнением движения:

F = ma, (7.81) где F=mg;

a = v /R.

v = mg;

v 2 = gR;

v = gR. (7.82) m R Подставив в (7.82) значения g = 9,8 м/с2 и R = 6,38106 м, полу чим значение первой космической скорости v = 7,92103 м/с, двигаясь с которой тело становится искусственным спутником Земли.

При v0v спутник движется по эллипсу. При этом точка, в кото рой выключаются двигатели, - афелий. В перигелии спутник прибли жается к поверхности Земли, входит в более плотные слои атмосфе ры, испытывает сильное торможение, теряет скорость и прекращает существование.

При v0v спутник тоже будет двигаться по эллипсу. Но в данном случае точка, в которой выключаются двигатели, - перегелий. Спут ник не приближается к поверхности Земли, его торможение незначи тельно, он может длительное время находиться на заданной орбите.

Период обращения спутника, совершающего движение по кру говой орбите, можно рассчитать по формуле l 2 R T= =. (7.83) v v Подставив в формулу (7.83) значения R и v, будем иметь T мин.

Сила тяготения, действующая на космический аппарат, направ ленная к центру Земли, лежит в плоскости орбиты, не изменяет по ложение этой плоскости относительно Солнца и звезд. Если за один оборот Земли вокруг своей оси спутник делает несколько оборотов по своей орбите, то траектория движения спутника относительно Земли представляет собой ряд «витков», сдвинутых по экватору на тот угол, на который Земля успевает повернуться за один полный оборот.

Под действием незначительных сил сопротивления атмосферы скорость спутника уменьшается, уменьшается радиус кривизны его траектории. Орбита оказывается не эллиптической, а представляет собой скручивающуюся спираль, в начале с малым шагом. По мере 112 Лекция приближения к Земле сопротивление атмосферы возрастает, и шаг спирали увеличивается. Для того чтобы спутник не прекратил своего существования, проводят коррекцию его орбиты.

Для возвращения на Землю космических аппаратов применяют специальные тормозные системы, резко уменьшающие их скорость, вследствие чего траектория аппарата сильно изменяется по отноше нию к поверхности Земли. Корабль входит в плотные слои атмосфе ры, происходит баллистическое торможение, и после включения дви гателей мягкой посадки он совершает мягкую посадку.

Имея первую космическую скорость, космический аппарат со вершает движение вокруг Земли. Но этой скорости оказывается не достаточно для того, чтобы он вышел из сферы земного притяжения.

Для осуществления задачи по преодолению сил земного притяжения космический аппарат должен иметь вторую космическую скорость.

Значение второй космической скорости можно определить, рассчитав работу, которую необходимо совершить против сил земного притя жения для удаления космического аппарата с поверхности Земли в бесконечность.

Элементарная работа, совершаемая против сил тяготения при удалении взаимодействующих масс M и m на расстояние dr, равна Mm dA = F dr = 2 dr. (7.84) r Работа, совершаемая против сил тяготения при удалении массы m с поверхности Земли на бесконечность, определяется соотношением:

Mm Mm A = F dr = 2 dr =. (7.85) R r R R Эта работа должна равняться кинетической энергии, сообщае мой космическому аппарату, для придания ему скорости v2:

Mm mv mv A = Wk =, т.е. =, 2 R откуда M MR = 2 2 = 2gR, а v = 2gR.

v 2 = 2 (7.86) R R Если сравнить (7.82) с (7.86), то можно утверждать, что вторая космическая скорость больше первой в корень из 2-х раз. Численное значение второй космической скорости v2 11,2103 м/с.

Энергия, работа, мощность Известно, что впервые в мире первая и вторая космические ско рости достигнуты ракетами, созданными в СССР. Так, первую кос мическую скорость имел выведенный на орбиту 4 октября 1957 г. ис кусственный спутник Земли, который имел форму шара диаметром 580 мм, массой 83,6 кг.

2 января 1959 г. был дан старт космической ракете, которая, превысив значение второй космической скорости, прошла вблизи Лу ны и стала первой искусственной планетой Солнечной системы.

7.7. Энергия упругой деформации При действии на систему силы упругой деформации происходит изменение конфигурации системы. В этом случае за счет работы силы упругости происходит изменение потенциальной энергии системы:

dA = dWp. (7.87) Таким образом, определив работу силы упругой деформации, можно найти изменение потенциальной энергии системы, а следова тельно, и энергию системы.

Предположим, что сила упругости действует на некоторый стержень. В результате его длина увеличивается на некоторую вели чину l.

Сила упругой деформации, в пределах выполнения закона Гука, пропорциональна удлинению стержня:

F = kl, (7.88) где l - удлинение стержня;

k - коэффициент пропорциональности, численно равный силе уп ругой деформации, вызывающей удлинение стержня на единицу, ES S – коэффициент упругости ( k = = ).

l l Из теории пластической деформации, сила упругости (сила уп ругой деформации) определяется по формуле:

S ES F= l = l = S, (7.89) l l где = F/S - нормальное напряжение;

S - площадь поперечного сечения стержня;

E - физическая величина, численно равная нормальному напря жению, вызывающему единичное относительное удлинение стержня (модуль Юнга);

114 Лекция = l/l - относительное удлинение.

Если предположить, что стержень представляет собой некото рый куб с ребром, равным l, то работа, совершаемая силой упругой деформации по растяжению стержня на l, можно определить по формуле k (l ) l ES ES (l ) = A = x dx =. (7.90) l 2l Так как A = - Wp = Wp – W0 = Wp, то потенциальная энергия упругой деформации при продольном растяжении (или односторон нем сжатии) будет равна k (l ) Wp =. (7.91) Таким образом, энергия упругой деформа ции, в пределах выполнения закона Гука, про порциональна квадрату удлинения стержня.

Потенциальная энергия упругого сжатия Рис.7.5 будет положительна по знаку и при сжатии, и при растяжении пружины. На рисунке 7.5 представлен график зави симости потенциальной энергии пружины от ее удлинения x:

kx En =.

7.8. Энергия системы, совершающей колебательное движение Полная механическая энергия системы, совершающей гармони ческое колебательное движение, равна сумме потенциальной и кине тической энергий системы.

Изменение потенциальной энергии системы равно работе воз вращающей силы, взятой с обратным знаком:

Wp = - A. (7.92) Формула для определения элементарной работы возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на dx имеет вид dA = Fdxcos = Fdx = - kxdx. (7.93) Энергия, работа, мощность Тогда kx x A = kx dx =, (7.94) где x = x0 sin(0t + 0) - смещение системы от положения равновесия.

Следовательно, так как в положении равновесия потенциальная энергия системы W0 = 0, то в произвольном положении потенциаль ная энергия системы равна kx 2 kx sin 2 (0 t + 0 ). (7.95) Wp = Wp = Wp W0 = = 2 Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание, находится по формуле mv 2 mx 0 2 2 kx cos (0 t + 0 ) = cos 2 (0 t + 0 ), Wk = = 2 2 (7.96) 2 где v = d x/dt = x00cos(0t + 0) - линейная скорость системы;

k = m02 - коэффициент возвращающей силы.

Таким образом, полная механическая энергия системы, совер шающей гармоническое колебание, будет равна 2 2 kx 0 kx 0 kx sin (0 t + 0 ) + cos (0 t + 0 ) = W = Wp + Wk = 2. (7.97) 2 2 Следовательно, полная механическая энергия системы, совер шающей гармоническое колебательное движение, пропорциональна квадрату амплитуды.

Надо отметить, что:

1) в процессе колебательного движения кинетическая энергия системы переходит в ее потенциальную энергию и наоборот;

2) в случае сложного движения полная механическая энергия системы равна сумме энергий всех видов движения и взаимодействий этой системы.

Например, в случае, если тело движется поступательно со ско ростью v и одновременно вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью, совершает колебательное движение, то полная механи ческая энергия его движения mv 2 I2 kx Ek = + +. (7.98) 2 2 116 Лекция Рассчитаем кинетическую энергию шарика массой m и радиу сом R, который скатывается с наклонной плоскости высотой h (рис.7.6). Кинетиче ская энергия вращательного движения в дан ном случае можно определить по формуле I 2 2 mR 2 v 2 mv = = = E k вр Рис.7.6. (7.99) 52R 2 С учетом кинетической энергии посту пательного движения получим полную кинетическую энергию mv 2 mv = 0,7 m v 2.

Ek = + (7.100) 2 Определив кинетическую энергию шарика у основания наклон ной плоскости можно определить скорость, которую приобретает ша рик в данном случае. При условии выполнимости закона сохранения механической энергии первоначальная потенциальная энергия E n = mgh переходит в кинетическую энергию E k. Откуда 0,7 mv 2 = mgh. (7.101) И, следовательно, скорость поступательного движения центра шарика составляет v = gh / 0,7, а не v = 2gh, что имели бы при от сутствии вращательного движения.

ЛЕКЦИЯ 8. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Закон сохранения энергии в механике. Общефизичекий закон со хранения энергии. Закон сохранения импульса. Центр инерции. Закон движения центра инерции. Закон сохранения момента импульса.

Уравнение моментов. Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям.

8.1. Закон сохранения энергии в механике 8.1.1. Общефизический закон сохранения энергии Одним из наиболее общих законов сохранения является закон сохранения и превращения энергии вообще и закон сохранения и превращения механической энергии в частности.

Закон сохранения энергии в его общефизическом смысле утвер ждает, что энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой, в количественном отно шении оставаясь неизменной.

Макроскопическая механика учитывает только кинетическую энергию макроскопического движения тел и их частей, а также их по тенциальную энергию. Поэтому при некоторых процессах, например, сопровождающихся трением, сопротивлением, наблюдается как бы потеря полной механической энергии системы. Это объясняется тем, что макроскопическая механика полностью не учитывает внутренне го атомистического (микроскопического) строения вещества. При ударе, трении и аналогичных процессах кинетическая энергия макро скопического состояния переходит в кинетическую энергию беспоря дочного движения атомов и молекул вещества (микроскопического состояния), а также в потенциальную энергию их взаимодействия, т.е.

во внутреннюю энергию тела.

Хаотическое движение атомов и молекул воспринимается орга нами чувств в виде тепла. Таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при ударе, в процессах, сопровождаю щихся трением и сопротивлением. Это и отражает общефизический закон сохранения и превращения энергии. Рассматривая общефизиче ский закон сохранения и превращения энергии, можно расширить по нятие энергии, введя новые ее формы: энергию электромагнитного поля, ядерную энергию и другие. При этом необходимо заметить, что дать окончательную классификацию различных видов энергии не 118 Лекция представляется возможным. Это можно сделать, если установить все законы природы, тогда развитие науки, во всяком случае в ее осно вах, было бы окончательно завершено.

Деление энергии на кинетическую и потенциальную имеет смысл только в механике и не охватывает всех ее форм. Кроме того, класси фикация различных видов энергии (деление ее на тот или иной вид) часто зависит от точки зрения. Например, в макроскопической меха нике энергия сжатого идеального газа считается потенциальной. Но, с точки зрения молекулярно-кинетической теории, эта энергия объясня ется тепловым движением его молекул. Поэтому, с точки зрения этой теории, энергия сжатого идеального газа представляет собой суммар ную кинетическую энергию хаотического движения его молекул.

Всякое кажущееся нарушение общефизического закона сохра нения энергии, наряду с его применением к уже известным явлениям, позволяет открывать новые, не укладывающиеся в рамки сущест вующих научных концепций. Так было, например, при открытии яв ления радиоактивности и нейтрино. Экспериментально были обнару жены кажущиеся нарушения закона сохранения энергии и импульса в явлениях -распада атомных ядер. Для объяснения этого обнаружен ного факта Паули высказал гипотезу, впоследствии подтвержденную экспериментально, что в -распаде наряду с известными заряженны ми частицами (электронами и атомными ядрами) участвует еще неиз вестная нейтральная частица, которая и была названа нейтрино. Эта частица и уносит недостающие энергию и импульс. Благодаря ис ключительно слабому взаимодействию с веществом она не обнару живается обычными методами. (Надо отметить, позднее было уста новлено, что каждой частице соответствует античастица - антиней трино, которая и участвует в явлениях электронного -распада).

Таким образом, общефизический закон сохранения энергии ох ватывает не только явления, рассматриваемые в макроскопической механике, но и такие физические явления, к которым законы такой механики не применимы. Поэтому он не может быть выведен из уравнений макроскопической механики, а должен рассматриваться как одно из наиболее широких обобщений опытных фактов.

8.1.2. Закон сохранения и превращения механической энергии Закон сохранения энергии в механике представляет собой част ный случай всеобщего закона сохранения энергии в природе. В нем Законы сохранения в механике речь идет о постоянстве полной энергии. Полной энергией тела в ме ханике называют сумму кинетической и потенциальной энергий дан ного тела.

Под механической системой подразумевают совокупность ма териальных тел (точек), рассматриваемых как единое целое.

Силы взаимодействия между материальными телами (точками) механической системы называются внутренними силами.

Силы, с которыми на материальные тела системы действуют внешние (по отношению к данной механической системе) тела, назы ваются внешними силами.

Закон сохранения механической энергии выполняется в изоли рованной (замкнутой) системе тел. Замкнутой системой тел называ ется совокупность тел, которые взаимодействуют между собой и не взаимодействуют с другими телами, не принадлежащими этой систе ме. Замкнутую систему представляет группа астероидов, находящая ся вдали от планет;

молекулы газа, сталкивающиеся между собой и со стенками сосуда. Закон сохранения полной механической энергии можно вывести строго математически Рассмотрим полную механическую энергию некоторой системы, состоящей из n тел массами m1, m2, m3,....., mn, каждое из которых движется соответственно со скоростями v1, v2, v3,......, vn.

Уравнение движения каждого из тел имеет следующий вид:

dv = Fвн1 + Fвнеш1 + f 1 ;

m dt …………………….;

dv = Fвн n + Fвнеш n + f n, mn (8.1) dt где Fвн n - равнодействующие внутренних консервативных сил, дейст вующих на каждую из масс;

Fвнеш n - равнодействующие внешних консервативных сил, дейст вующих на каждую из масс;

f n - равнодействующие внешних неконсервативных сил, дейст вующих на каждую из масс.

Двигаясь под действием сил, тела системы за некоторый проме жуток времени dt могут изменить свое положение в системе, совер шить некоторые перемещения dr1, dr2, dr3,..., drn.

120 Лекция Умножим каждое из уравнений движения скалярно на соответ ствующее перемещения и, заменив dri = vi·dt, получим m 1 (v 1 dv 1 ) (Fвн1 + Fвнеш1 ) dr1 = f 1 dr1 ;

m 2 (v 2 dv 2 ) (Fвн2 + Fвнеш 2 ) dr2 = f 2 dr2 ;

…………………………………….;


m n (v n dv n ) (Fвн n + Fвнеш n ) drn = f n drn. (8.2) Сложив эти уравнения, будем иметь [m i (v i dv i )] [(Fвн i + Fвнеш i ) dri ] = f i dri, n n n (8.3) i =1 i =1 i = m i v i n n где [m i (v i dv i )] = d 2 = dWk - изменение кинетической i = i = энергии системы;

[ ] (Fвн i + Fвнеш i ) dri = dA i = dWp - элементарная работа внут n i = ренних и внешних консервативных сил, взятая со знаком минус, т.е. изменение потенциальной энергии системы;

n f i dri = dA - работа внешних неконсервативных сил, дейст i = вующих на систему.

Таким образом, имеем d(Wk + Wp) = dA. (8.4) Следовательно, элементарное изменение полной механической энергии системы при переходе из состояния в состояние равно эле ментарной работе, совершаемой внешними неконсервативными си лами, действующими на систему.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (8.4) следует, что d(Wk + Wp) = 0, (8.5) откуда Wk + Wp = const, (8.6) т.е. полная механическая энергия замкнутой системы (в отсутствие внешних воздействий), в которой действуют только консервативные силы, остается величиной постоянной. Данное утверждение и назы вают законом сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии связан с однородно Законы сохранения в механике стью времени, т.е. инвариантен относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения и не зависят от того, когда тело начало падать.

Системы, в которых механическая энергия постепенно умень шается за счет преобразования в другие (немеханические), формы, называются диссипативными системами.

Процесс уменьшения механической энергии системы под влия нием внешних факторов называют процессом диссипации (или рас сеяния) энергии.

Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

8.2. Закон сохранения импульса. Центр инерции.

Закон движения центра инерции Закон сохранения импульса является прямым следствием второ го и третьего законов Ньютона.

При этом для изолированного тела он является очевидным след ствием второго закона, так как если на тело не действуют никакие си лы, то его скорость, а значит, и импульс остаются постоянными. В случае нескольких взаимодействующих между собой, но не подвер гающихся воздействию внешних сил, тел (в изолированной системе), этот закон является следствием обоих законов.

Если механическая система состоит из нескольких тел, то со гласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, равны по величине, но противоположны по направлению, а геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим некоторую систему, состоящую из n тел массами m1, m2,..., mn, каждое из которых движется соответственно со скоро стями v1, v2,......, vn.

Уравнение движения каждого из тел имеют вид dv = Fвн1 + Fвнеш1 ;

m dt dv = Fвн2 + Fвнеш 2 ;

m dt …………………….;

122 Лекция dv = Fвнn + Fвнеш n, (8.7) mn dt где Fвн n - равнодействующие консервативных внутренних сил, дейст вующих на каждую из масс;

Fвнеш n - равнодействующие внешних сил, действующих на каж дую из масс;

Сложив эти уравнения, получим d n n (m1v1 + m 2 v 2 +..... + m n v n ) = Fвнi + Fвнешш (8.8) dt i =1 i = или dp n n = Fвнi + Fвнеш ш, (8.9) dt i=1 i = где p = (m1 v1 + m 2 v 2 +..... + m n v n ) - импульс системы;

n Fвнi - равнодействующая всех внутренних сил системы;

i = n Fвнешш - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i = систему.

Так как сумма внутренних сил равна нулю, то dp n = Fвнешш. (8.10) dt i= Таким образом, скорость изменения полного импульса замкну той системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. Следовательно, полный импульс замкнутой системы мо жет изменяться только под действием внешних сил.

В отсутствие внешних сил dp = 0, а p = const. (8.11) dt Это выражение и является математической формой записи за кона сохранения импульса, который утверждает: "Полный импульс замкнутой системы в отсутствие внешних воздействий остается вели чиной постоянной".

Законы сохранения в механике Докажем справедливость закона сохранения импульса на примере 3-х тел, образующих замкнутую систему (рис.8.1).

В данном случае полный импульс системы p = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3. (8.12) Рис.8. Возьмем производную по времени dv dv dv dp = m 1 1 + m 2 2 + m 3 3. (8.13) dt dt dt dt Выражение (8.13) - векторная сумма 3-х сил, действующих на каждое из рассматриваемых тел (второй закон Ньютона). Каждую из указанных сил в свою очередь можно представить в виде векторной суммы сил, действующих на данное тело со стороны двух других тел:

dv dv dv m 1 1 = F12 + F13 ;

m 2 2 = F21 + F23 ;

m 3 3 = F31 + F32. (8.14) dt dt dt Подставляя (8.14) в (8.13), получим dp = F12 + F13 + F21 + F23 + F31 + F32. (8.15) dt В силу третьего закона Ньютона F12 = F21 ;

F13 = F31 ;

F23 = F32. (8.16) В результате чего сумма сил (8.15) обращается в нуль. Равенство производной нулю означает, что полный импульс системы не зависит от времени, т.е. является постоянной величиной, что и требовалось доказать.

Надо отметить, что реальные системы могут быть замкнутыми только при определенных условиях (в каком-либо направлении), в этом случае можно утверждать, что закон сохранения импульса спра ведлив только при этих условиях (в данном направлении) dp = 0, а px = const. (8.17) dt x Закон сохранения импульса справедлив не только в классиче ской физике. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, взаимодействия между которыми подчиняются законам квантовой механики. Этот закон универсален, является одним из фундаментальных законов природы и следствием 124 Лекция определенного свойства симметрии пространства - его однородности.

Однородность пространства заключается в том, что при параллель ном переносе в пространстве замкнутой системы как целого ее физи ческие свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора места положения начала координат инерциаль ной системы отсчета.

Надо отметить, что импульс незамкнутой системы также сохра няется, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В классической механике из-за независимости массы от скоро сти импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром масс (или центром инерции) системы называется во ображаемая точка С, положение которой характеризует распределе ние массы этой системы, которая определяется радиус-вектором n m i ri i = rc =, (8.18) mi где mi и ri - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки;

n - число материальных точек в системе.

Скорость центра масс dr n n n d rc i mi i mi v i pi p dt = i = = =1 = i =1 =, vc = (8.19) dt m m m m n где p = p i - полный импульс системы.

i = Из (8.19) можно написать p = mvc, (8.20) т.е. полный импульс системы равен произведению массы систе мы на скорость ее центра масс.

Подставив (8.20) в уравнение (8.10), получим dv n m c = Fвнеш ш. (8.21) dt i = Таким образом, центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует равнодействующая всех внешних сил (уравнение движения Законы сохранения в механике центра масс и воображаемой материальной точки имеют один и тот же вид).

Выражение (8.21) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (8.21) из закона сохранения импульса вытека ет, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов Известно, что моментом импульса (моментом количества дви жения) материальной точки называется векторная физическая вели чина, численно равная произведению ее импульса (количества дви жения) на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от направления им пульса до оси (или центра) вращения:

Li = miviri = miiriri= miri2i = Ii, (8.22) где Ii - момент инерции материальной точки относительно выбранной оси (выбранного центра) вращения;

- угловая скорость материальной точки.

В векторной форме Li = Ii или L = [rp]. (8.23) Момент импульса твердого тела (системы) относительно вы бранной оси (или центра) вращения равен сумме моментов импульса отдельно взятых материальных точек тела (тел системы) относитель но той же оси (того же центра) вращения. При этом L = I, (8.24) где I = I i - момент инерции тела (системы);

i - угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения мате риальной точки имеет вид dL i = Mi, (8.25) dt i где Li - момент импульса материальной точки относительно начала координат;

M i = M i + M вн i - суммарный вращающий момент, действую i щий на i-ю материальную точку;

126 Лекция M i - результирующий момент всех внутренних сил, действующих на материальную точку;

M вн i - результирующий момент всех внешних сил, действующих на материальную точку.

Для тела, состоящего из n материальных точек (системы из n тел):

dL i = M i + M внi. (8.26) i dt i i Так как M i = 0 - момент всех внутренних сил равен нулю, то i d L i dL = 0 = M = M или dL 0 = M, (8.27) dL i i внi = вн вн i dt dt dt dt i где L0 - момент импульса тела (системы) относительно начала коор динат;

Mвн - суммарный вращающий момент внешних сил, действую щих на тело (систему).

Из (8.27) следует, что момент импульса тела (системы) может изменяться под действием момента внешних сил, а скорость его из менения равна суммарному вращающему моменту внешних сил, дей ствующих на тело (систему).

Если Mвн = 0, то dL = 0, а L0 = const. (8.28) dt Таким образом, если на тело (замкнутую систему) не действует внешний вращающий момент, то его момент импульса остается вели чиной постоянной. Данное утверждение и называют законом сохра нения момента импульса.


Для реальных систем закон сохранения момента импульса мож но записать так dL dt = 0, а (L0)x = const. (8.29) x Из закона сохранения момента импульса следует: если тело не вращалось ( = 0), то при M = 0 оно и не придет во вращение;

если тело совер Законы сохранения в механике шало вращательное движение, то при M = 0, оно будет совершать равномерное вращательное движение.

dL 0 dL i = M i называют уравнениями мо = M вн, Уравнения dt dt i ментов, соответственно для тела (системы) или материальной точки.

Уравнение моментов указывает, как изменяется момент импуль са под действием сил. Так как dL0 = M·dt, то момент сил, совпадаю щий по направлению с моментом импульса, увеличивает его. Если же момент сил направлен навстречу моменту импульса, то последний уменьшается.

Уравнение моментов справедливо для любой произвольно вы бранной неподвижной оси вращения.

Приведем несколько примеров:

а) когда кошка неожиданно для себя падает с большой высоты, она усиленно вращает хвостом в ту или иную сторону, добиваясь оп тимального разворота своего тела для благоприятного приземления;

б) человек перемещается по краю круглой, свободно вращаю щейся платформы: пусть моменты импульса платформы и человека соответственно равны L1 и L 2, тогда, принимая систему замкнутой, получим I (L1 + L 2 ) = 0, I11 + I 22 = const = 0, 2 = 1 1.

I Т.е. угловые скорости вращения этих тел вокруг их общей оси будут обратны по знаку, а по величине – обратно пропорциональны их моментам инерции;

в) опыт со скамьей Жуковского. Человек, находящийся посере дине скамьи и вращающийся вместе с платформой, притягивает к се бе грузы. Пренебрегая трением в опорных подшипниках, считаем момент силы равным нулю:

L = const, L = 0, I = 0.

I I + I = 0, =.

I При I 0, 0, если же I 0, то 0 ;

г) при фигурном катании на коньках спортсмен, выполняя вра щение, складывается и при этом ускоряет свое вращение;

д) гироскопы - устройства, принцип действия которых основан на законе сохранения момента импульса тела: L = const. Предназна 128 Лекция чены для фиксирования первоначально заданного направления в про странстве на объекте, который перемещается в произвольном направ лении и неравномерно (космические ракеты, танки и др.).

8.4. Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям (удару) Удар - совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых видах взаимодейст вия твердого тела с жидкостью или газом (удар струи о тело, удар те ла с поверхностью жидкости, гидравлический удар, действие взрыв ной или ударной волны на твердое тело и др.).

Промежуток времени, в течение которого длится удар (время удара), обычно очень мал (на практике 10-4 – 10-5 с), а развиваю щиеся на площадках контакта соударяющихся тел силы (так назы ваемые ударные или мгновенные) очень велики. За время удара они изменяются в широких пределах и достигают значений, при которых средние величины давления (напряжений) на площадках контакта имеют порядок 109 и даже 1010 Па. Действие ударных сил за время удара приводит к значительному изменению скоростей точек тела.

Следствиями удара могут быть также остаточные деформации, звуковые колебания, нагревание тел, изменение механических свойств материалов (в частности, их упрочнение), полиморфные и химические превращения, а при скоростях соударения, превышаю щих критические, - разрушение тел в месте удара. Критические ско рости для металлов имеют порядок 15 м/с (медь) - 150 м/с и более (высококачественные стали).

Изменение скорости точек тела за время удара определяется ме тодами общей теории удара, где в качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо самой ударной силы F вводится ее импульс за время удара, т.е. величина, которую называют удар ным импульсом:

S = F dt = Fср. (8.30) Одновременно ввиду малости импульсами всех неударных сил, таких, например, как сила тяжести, а также перемещениями то чек тела за время удара пренебрегают.

Основные уравнения общей теории удара вытекают из теорем Законы сохранения в механике (законов) об изменении количества движения и кинетического мо мента системы. С помощью этих теорем, зная приложенный ударный импульс и скорости в начале удара, определяют скорости в конце удара, а если тело является несвободным, то и импульсивные реакции связей.

Процесс соударения двух тел можно разделить на две фазы.

Первая фаза начинается с момента соприкосновения точек А и В тел, имеющих в этот момент скорость сближения (vAn – vBn), где vAn и vBn проекции скоростей vA и vB на обшую нормаль n к поверхности тел в точках А и В, называемой линией удара. К концу первой фазы сбли жение тел прекращается, а часть их кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Во второй фазе происходит обратный переход потенциальной энергии упругой деформации в ки нетическую энергию тел. При этом тела начинают расходиться, и к концу второй фазы точки А и В будут иметь скорость расхождения (uAn – uBn).

Для абсолютно упругих тел механическая энергия к концу удара восстановливается полностью и выполняется соотношение vAn – vBn = uAn – uBn. (8.31) При взаимодействии абсолютно неупругих тел удар заканчива ется на первой фазе и выполняется соотношение uAn – uBn = 0. (8.32) В случае удара реальных тел механическая энергия к концу уда ра восстанавливается лишь частично вследствие различных потерь (образование остаточных деформаций, нагревание), при этом uAn – uBnvAn – vBn. (8.33) Для учета этих потерь вводится в рассмотрение так называемый коэффициент восстановления k, который считается зависящим только от физических свойств материалов взаимодействующих тел, численно равный отношению скоростей удаления тел после взаимо действия к скорости их сближения:

u u Bn k = An. (8.34) An v Bn v В случае удара по неподвижному телу uAn = vBn = 0 и u k = An. (8.35) v An 130 Лекция Коэффициент восстановления определяется экспериментально (при соударении тел из дерева k ~ 0,5;

из стали - k ~ 0,55;

слоновой кости - k ~ 0,89;

стекла - k ~ 0,94;

в предельных случаях при абсолют но упругом ударе k = 1;

при абсолютно неупругом k = 0).

Зная скорости в начале удара и коэффициент восстановления, можно найти скорости в конце удара и действующий в точках соуда рения ударный импульс.

Если центры масс тел С1 и С2 лежат на линии удара, то удар на зывают центральным;

в противном случае - нецентральным. Если скорости v1 и v2 центров масс в начале удара направлены параллельно линии удара, то удар называется прямым;

в противном случае - ко сым.

Можно показать, что при прямом центральном ударе двух глад ких тел (шаров) 1 и (1 + k )m (v 1 v 2 ), u1 = v1 (8.36) m1 + m (1 + k )m (v 1 v 2 ), u2 = v2 + (8.37) m1 + m m m dS = (1 + k ) 1 2 (v 1 v 2 ), (8.38) m1 + m dt ( ) 1 k 2 m1 m (v 1 v 2 ), W = (8.39) m1 + m где W - потерянная за время удара кинетическая энергия системы;

m1, m2 - массы тел.

Из выражений (8.36, 8.37) в частном случае при k = 1 и m1 = m получается u1 = v2;

u2 = v1, (8.40) т.е. тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обменива ются скоростями;

при этом W = 0.

Для определения времени удара, ударных сил и вызванных ими в телах напряжений и деформаций необходимо учесть механические свойства материалов тел и изменения этих свойств за время удара, а также характер начальных и граничных условий. Решение проблемы существенно усложняется не только из-за трудностей чисто матема тического характера, но и ввиду отсутствия достаточных данных о Законы сохранения в механике параметрах, определяющих поведение материалов тел при ударных нагрузках, что заставляет делать при расчетах ряд существенных уп рощающих предположений.

Наиболее разработана теория удара абсолютно упругих тел, в которой предполагается, что тела за время удара подчиняются зако нам упругого деформирования (теории упругости) и в них не появля ется остаточных деформаций. Деформация, возникающая в месте контакта, распространяется в таком теле в виде упругих волн со ско ростью, зависящей от физических свойств материала.

Если время прохождения этих волн через все тело много меньше времени удара, то влиянием упругих колебаний можно пренебречь и считать характер контактных взаимодействий при ударе таким же, как в статическом состоянии. На таких допущениях основывается контактная теория удара Г. Герца.

Если же время прохождения упругих волн через тело сравнимо со временем удара, то для расчетов пользуются волновой теорией удара.

Изучение удара не вполне упругих тел - задача значительно бо лее сложная, требующая учета как упругих, так и пластических свойств материалов. При решении этой задачи и связанных с ней проблем определения механических свойств материалов тел при уда ре, изучения изменений их структуры и процессов разрушения широ ко опираются на анализ и обобщение результатов многочисленных экспериментальных исследований.

Экспериментально исследуются также специфические особен ности удара тел при больших скоростях (порядка сотен м/с) и при воздействии взрыва, который в случае непосредственного контакта заряда с телом можно считать эквивалентным соударению со скоро стью до 1000 м/с.

Кроме удара твердых тел, в физике изучают столкновения моле кул, атомов, элементарных частиц.

8.4.1. Абсолютно неупругий удар шаров Абсолютно неупругий удар шаров (тел) характеризуется тем, что кинетическая энергия системы (шаров) полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. Это означает, что для замкну той системы не выполняется закон сохранения механической энер гии, а выполняется только закон сохранения импульса. Шары (тела) 132 Лекция после такого взаимодействия либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся.

Примером абсолютно неупругого удара является соударение пластилиновых шаров. В этом случае за кон сохранения полной механической энергии уже не выполняется. Суммарная кинетическая энергия после удара стано вится меньше, т.к. часть ее пойдет на пла стическую деформацию. Однако, посколь ку шары после столкновения будут дви гаться с одинаковой скоростью как единое Рис.8. целое, то достаточно воспользоваться лишь законом сохранения импульса (который выполняется и в дан ном случае, т.к. система замкнута) (рис.8.2):

m1 v 1 + m 2 v 2 = ( m1 + m 2 )u. (8.41) Откуда m 1v 1 + m 2 v u=. (8.42) m1 + m Подсчитаем потерю системой кинетической энергии:

2 m + m 2 m1 v 1 + m 2 v m1 v 1 m2v = E k = + 1 m +m 2 2 2 1 m1 m (v1 v 2 )2.

= (8.43) 2 ( m1 + m 2 ) Интересен случай, когда v 2 = 0, m 2 m 1. Формула (8.43) в та ком случае преобразуется к виду m1 v k =. (8.44) Таким образом, потери кинетической энергии составляют E k1.

Если же m 2 m1, то потери энергии m E K = 2 v 1. (8.45) Законы сохранения в механике 8.4.2. Абсолютно упругий удар шаров Рассмотрим абсолютно упругий удар шаров, при котором про исходит упругая деформация шаров, не возникает тепла и пластиче ской деформации (рис.8.3). Даны массы шаров и их скорости до удара v 1, v 2. В результате такого взаимодей ствия вся кинетическая энергия до удара превращается в кинетическую энергию системы (шаров) после удара. В резуль тате после удара шары будут двигаться с некоторыми скоростями u1 и u2.

Пусть | v 1 | | v 2 |. Шары взаимо- Рис.8. действуют только между собой, т.е. система замкнута, между телами действуют только консервативные силы.

В такой ситуации должны выполняться законы сохранения им пульса и механической энергии. Запишем эти законы применительно к данному случаю, причем закон сохранения импульса представим в алгебраической форме:

m 1v 1 + m 2 v 2 = m 1u 1 + m 2 u m 2u 2. (8.46) m 1v 1 m 2v 2 m 1u + = + 2 2 2 2 Перепишем эти формулы следующим образом:

m1 ( v 1 u 1 ) = m 2 (u 2 v 2 ) ;

(8.47) 2 2 2 m1 ( v 1 u 1 ) = m 2 (u 2 v 2 ). (8.48) Разделим (8.48) на (8.47) почленно:

v1 + u1 = u 2 + v 2. (8.49) Теперь имеем систему линейных уравнений (8.47) и (8.49). Для нахождения скоростей шаров после взаимодействия u 1, u 2 выразим из (8.49) u 2 и подставим в (8.47):

u 2 = u 1 + v 1 v 2, m1 ( v 1 u1 ) = m 2 (u 1 + v 1 v 2 v 2 ).

Откуда ( m1 m 2 ) v 1 + 2m 2 v u1 =. (8.50) m1 + m В системе уравнений (8.46) ничего не изменится, если заменить индекс 1 на индекс 2, поэтому для получения формулы, выражающей u 2, достаточно в формуле (8.50) заменить индекс 1 на индекс 2:

134 Лекция ( m 2 m1 ) v 2 + 2m 1 v u2 =. (8.51) m1 + m В общем случае (m1 m 2 )v 1 ± 2m 2 v u1 = ;

(8.52) m1 + m (m 2 m1 )v 2 ± 2m1 v u2 =. (8.53) m1 + m Знак (+) соответствует случаю, когда первый шар нагоняет вто рой, а знак (-) - когда шары движутся навстречу друг другу.

Из уравнения (8.53) видно, что:

1) если m1 = m2 = m, то u1 = v2, а u2 = v1, т.е. в этом случае шары обмениваются скоростями;

2) при ударе шара о стенку (m2m1):

а) u2 = v2 - скорость стенки остается неизменной;

б) u1 = 2v2 – v1 - при этом, если стенка неподвижна (v2 = 0), ско рость шара после удара, оставаясь неизменной по величине, изменяет свое направление на противоположное. При v2 = 0 u1 возрастает до 2v2 при движении стенки навстречу шару и убывает до 2v2, если стенка удаляется от него.

ЛЕКЦИЯ 9. ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея.

Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классиче ской механике. Представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца для координат и времени. Следствия из преобразований Лоренца: сокращение движу щихся масштабов длин, замедление движущихся часов, закон сложе ния скоростей.

9.1. Принцип относительности Галилея.

Преобразования Галилея. Инварианты преобразования.

Закон сложения скоростей в классической механике Теория относительности, физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для лю бых физических процессов. Универсальность пространственно временных свойств, рассматриваемых теорией относительности, по зволяет говорить о них просто как о свойствах пространства-времени.

Наиболее общая теория пространства-времени называется об щей теорией относительности (ОТО) или теорией тяготения, так как согласно этой теории свойства пространства-времени в данной облас ти определяются действующими в ней полями тяготения. В специ альной (частной) теории относительности (СТО), основы которой были опубликованы А. Эйнштейном в 1905 г., изучаются свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения.

Таким образом, логически СТО - частный случай ОТО;

истори чески построение ОТО А. Эйнштейном было завершено в 1915 году, после чего и появился термин "частная (специальная) теория относи тельности". Надо отметить, что еще до появления СТО голландский и французский физики Лоренц и Пуанкаре были близки к получению результатов, вытекающих из положений СТО.

А. Эйнштейн представил с единой точки зрения все известные до него эксперименты по определению скорости света и зависимости скорости распространения света от того, движутся или нет источники и приемники света, изложил физическое понимание проблем, с кото 136 Лекция рыми столкнулись электродинамика и оптика.

Рассматривая движение материальных точек (тел) в классиче ской механике, предполагается, что они движутся со скоростями vc (v - скорость движущегося объекта;

c - скорость распространения света в вакууме).

Говоря о механическом движении, т.е. о перемещении тела в пространстве, всегда имеется в виду его движение относительно дру гих тел (или одних частей тела относительно других его частей). Для математического описания движения тел с этим телом и другими те лами жестко связывается система отсчета и часы для определения времени. Положение материальной точки (тела) в выбранной системе отсчета определяется либо с помощью координат (X,У,Z), либо с по мощью радиус-вектора r и часов. При движении материальной точки (тела) в инерциальной системе отсчета предполагается: 1) выбранная система отсчета неподвижна или движется равномерно и прямоли нейно относительно любой другой инерциальной системы отсчета;

2) условия движения тела в различных системах отсчета одинаковы;

3) основное уравнение динамики F = dp/dt = ma (второй закон Ньютона) справедливо, если наблюдатель неподвижен относительно выбранной системы отсчета. В этом случае: 1) тело, брошенное вдоль вагона, достигает противоположной стенки за одно и то же время, независи мо от того движется ли оно по направлению движения поезда или в противоположном направлении, причем это время такое же, как и в покоящемся вагоне;

2) тело, брошенное вертикально вверх в вагоне, движущимся равномерно и прямолинейно (движущейся системе от счета), вернется в ту же точку вагона, из которой оно было брошено, а не отклонится в сторону, противоположную направлению движения вагона;

3) упругий удар биллиардных шаров в обеих инерциальных системах (покоящейся и движущейся) отсчета заканчивается разле том на одинаковые углы и с одинаковыми скоростями, если только в двух системах отсчета были одинаковые начальные скорости и на правления движения.

Все это показывает, что в классической механике справедлив следующий закон природы: "В двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, все механиче ские явления протекают одинаково (при одинаковых условиях)".

Это положение, сформулированное еще Галилеем, получило на звание классического принципа относительности, или принципа от Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика.

носительности Галилея.

Если начальные условия в различных системах отсчета не оди наковы, то величины, характеризующие движение (координаты, ско рости, траектория движения), относительны. Например, траектория движения тела, свободно падающего вертикально вниз в неподвиж ной системе отсчета, представляет собой прямую линию. Однако по отношению к движущейся системе отсчета это же тело движется по параболе.

Наблюдая движение тел внутри инерциальных систем отсчета, нельзя установить, какая из них движется, а какая покоится.

Это позволяет придать принципу относительности Галилея дру гую (отрицательную) формулировку: "Никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами (пред ставляющими собой совокупность пружин, нитей, блоков, рычагов и т. д.), не позволяют установить, покоится система отсчета или дви жется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерци альной системе отсчета.

Согласно механическому принципу относительности, во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики име ют одинаковую форму.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: систему К, кото рую будем считать условно непод M вижной, и систему К', движущуюся относительно К равномерно и прямо r линейно со скоростью v0 (v0 = const). r' Отсчет времени начнем с момента, ко r гда начала координат обеих систем совпадали. В классической механике предполагается, что время не зависит от относительного движения систем отсчета (рис.9.1).

Положение произвольной точки в Рис. 9. этих системах можно определить ра диус-векторами r и r';

положение начала координат системы К' в сис теме К - радиус-вектором ro. Если направление скорости v0 совпадает с направлением ro, то в произвольный момент времени t, положение выбранной точки в системе К можно определить так:



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.