авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.М. Полунин, Г.Т.Сычев ФИЗИКА ...»

-- [ Страница 4 ] --

r = r' + r0 = r' + vot;

t = t'. (9.1) В проекциях на оси координат выражение (9.1) будет иметь сле 138 Лекция дующий вид:

x = x' + v0xt, у = у' + v0уt, z = z' + v0zt, t = t'. (9.2) Соотношения (9.2) называют обратными преобразованиями ко ординат Галилея. Для получения прямых преобразований Галилея необходимо поменять знак относительной скорости v0. В результате получим x' = x - v0xt, у' = у - v0уt, z' = z - v0zt, t = t'. (9.3) Или в векторной форме r' = r -v0t;

t = t'. (9.4) Уравнения, обе части которых при переходе от одной системы координат к другой преобразуются одинаково и благодаря этому со храняют свой вид во всех координатных (инерциальных) системах, называются ковариантными или инвариантными по отношению к рассматриваемому преобразованию координатных систем. Поэтому уравнения, выражающие физические законы в векторной форме, не зависят от выбора осей координат, они инвариантны.

Продифференцировав (9.1) по времени, получим v = v' + v0. (9.5) Уравнение (9.5) является математической формой записи закона сложения скоростей в классической механике.

Из выражения (9.5) ( ) dv d v ' + v 0 dv ' = a ' ;

a = a'.

a= = = (9.6) dt dt dt Таким образом, ускорение выбранной точки в инерциальных системах отсчета К и К', движущихся относительно друг друга рав номерно и прямолинейно, одинаково. Следовательно, если на рас сматриваемую точку не действуют внешние силы, то согласно (9.6) система К' является инерциальной (выбранная точка движется отно сительно нее равномерно и прямолинейно).

Умножив (9.6) на массу материальной точки, будем иметь ma = ma', (9.7) или ma = F;

ma' = F'. (9.8) Уравнения (9.8) выражают основной закон классической дина мики. Равенство F = F' означает, что законы классической динами ки инвариантны при переходе от одной инерциальной системы к Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика.

другой, что в свою очередь подтверждает справедливость принципа относительности Галилея.

В классической механике предполагается, что время во всех инерциальных системах отсчета одно и то же (это можно доказать), а координаты выбранной материальной точки (тела) относительны.

Относительные расстояния между двумя точками пространства опре деляются из геометрических соображений. При этом относительное расстояние между выбранными точками пространства в подвижной системе отсчета определяется соотношением ( )( ) (z ) 2 2 l 1, 2 = x 1 x 1 y 1 y ' ' ' ' ' z1, (9.9) 2 2 а в неподвижной системе отсчета l 1, 2. = (x 2 x 1 ) (y 2 y 1 ) (z 2 z 1 ).

2 2 (9.10) Сравнив (9.9) и (9.10), можно сделать вывод, что относительные расстояния в классической механике одинаковы во всех инерциаль ных системах отсчета, они абсолютны, т.е. инвариантны.

Таким образом, принцип относительности по своему содержа нию глубоко диалектичен. Он утверждает относительность ряда ве личин и понятий (координаты, скорости, траектории), содержит ут верждение об абсолютности (инвариантности) расстояния между те лами (точками), промежутков времени между событиями, относи тельных скоростей тел, ускорений, об инвариантности (абсолютно сти) законов природы. С этой точки зрения, само название "принцип относительности" не является наиболее удачным, так как оно подчер кивает только одну, причем не самую важную сторону - относитель ность, и игнорирует другую - абсолютность (инвариантность) законов механики. Следовательно, можно привести математическую форму лировку принципа относительности Галилея: уравнения второго за кона Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения) называют инвариантами преобразований.

9.2. Постулаты и представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности Из механического принципа относительности Галилея следует, что скорость движения механических объектов (тел, материальных точек) относительна и зависит от того, в какой инерциальной системе 140 Лекция отсчета происходит движение. Следовательно, скорость распростра нения света зависит от того, движется ли приемник или источник све та или нет. Максвелл в 1878 г. предложил мысленный эксперимент по определению зависимости скорости распространения света от того, движется ли источник света или покоится.

Представим вагон длиной 2l, движущийся равномерно и прямо линейно со скоростью v. В середине вагона включается лампочка S и световые лучи освещают стенки вагона. С точки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне, лучи света достигнут передней и задней его стенки одновременно. С точки зрения наблюдателя, находящегося вне вагона, свет достигнет передней стенки вагона позже, чем задней, так как передняя стенка "убегает" от световых лучей, а задняя "дого няет" их. Это связано с тем, что если скорость света вне вагона "c" то скорость света по отношению передней стенке (c - v), а по отноше нию к задней стенке - (c + v). Поэтому свет должен прийти к рассмат риваемым стенкам вагона в разные моменты времени.

Запаздывание одного луча по сравнению с другим будет состав лять l l 2lv t = =2. (9.11) c v c + v c v Учитывая, что vc, получим 2lv t 2, (9.12) c откуда c 2 t v=. (9.13) 2l Таким образом, зная длину вагона, скорость света, измерив, раз ность времен t, можно не только установить факт движения инерци альной системы отсчета, связанной с вагоном по отношению к непод вижной системе отсчета, но и найти скорость этого движения. Эту скорость естественно было бы назвать абсолютной в отличие от мно жества относительных скоростей по отношению к произвольно дви жущимся инерциальным (галилеевым) системам отсчета. Непосред ственное осуществление такого эксперимента затруднительно из-за ничтожно малой разности времен t.

Однако такие малые разности во времени распространения света можно определить с помощью интерференционных приборов. Это связано с тем, что даже малые разности промежутков времени приво Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика.

дят к значительным изменениям оптической разности хода двух све товых лучей: ct. Определив разность хода двух лучей, рассчитав разность времен t, можно определить скорость v, а следовательно, и обнаружить движение одной инерциальной системы отсчета относи тельно другой.

Многочисленные опыты (эксперименты), поставленные в разное время Майкельсоном и Морли, Томашеком, убедительно показали, что скорость света не зависит от движения источника света. Таким образом, обнаружить движение инерциальных систем отсчета отно сительно друг друга оказалось невозможным.

В отличие от всех исследователей А. Эйнштейн усмотрел в от рицательном результате опытов Майкельсона не случайную труд ность, которая нуждается в том или ином (столь же случайном) объ яснении, а проявление некоторого общего закона природы: "Невоз можно обнаружить прямолинейное и равномерное движение инерци альных систем отсчета по отношению к другим (к абсолютному про странству) не только механическими, но и оптическими методами".

Обобщая этот результат, он выдвигает гипотезу, которая является расширением принципа относительности Галилея и носит название принципа относительности Эйнштейна (или первого постулата теории относительности): «Никакие физические опыты (механиче ские, оптические, тепловые, электромагнитные и т.д.), производимые внутри инерциальной системы отсчета, не позволяют установить, на ходится ли она в равномерном абсолютном и прямолинейном движе нии или нет».

Так же, как и принцип Галилея, принцип относительности Эйн штейна допускает и утвердительную формулировку: «Все физические явления протекают одинаково (при одинаковых условиях) в двух инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно дру га равномерно и прямолинейно».

В силу этого любая идея создания физического прибора (меха нического, оптического и т.п.), обнаруживающего абсолютное дви жение инерциальных систем отсчета, должна быть отвергнута, как и идея создания любого вечного двигателя.

Принцип относительности делает совершенно надуманной и беспредметной гипотезу абсолютного пространства. Если во всех инерциальных системах, движущихся друг относительно друга рав номерно и прямолинейно, все физические явления протекают одина 142 Лекция ково. Следовательно, любую из них с одинаковым правом можно считать покоящейся абсолютно. Одновременно оказываются несо стоятельными понятия абсолютного покоя и абсолютного движения.

Всякое движение относительно и имеет смысл говорить лишь о дви жении одних тел по отношению к другим телам.

Теория относительности, в основе которой лежит только прин цип относительности, не может представлять физическую теорию, предсказывающую огромное количество новых фактов и имеющую колоссальное поле деятельности в современной атомной и ядерной физике.

Принцип относительности представляет физическую теорию при дополнении его вторым постулатом (принципом Эйнштейна) принципом независимости и постоянства скорости света: «Ско рость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника света».

Принцип постоянства и независимости скорости распростране ния света подтверждается экспериментально (наблюдения за двой ными звездами, опыт Томашека).

С точки зрения классической физики, первый и второй постула ты теории относительности противоречат друг другу.

Для устранения противоречия А. Эйнштейн предложил третий постулат - принцип одновременности событий: «События, одно временные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, то есть одновременность является понятием относительным».

Для доказательства этого постулата воспользуемся двумя инер циальными системами отсчета: неподвижной системой (К) и систе мой (К'), которая движется относительно (К) равномерно и прямоли нейно с некоторой скоростью. Пусть в начальный момент времени координатные оси систем совпадают. Через некоторый промежуток времени у этих систем отсчета совпадают только, например, оси OX и OX' (движение системы К' происходит в направлении оси OX систе мы К). Если в некоторой точке В, находящейся в подвижной системе, произошла вспышка света, то свет одновременно (по часам подвиж ной системы) достигнет точек А и С, расположенных на одинаковом расстоянии от В. Эта вспышка света будет замечена в неподвижной системе отсчета (системе К). Так как свет распространяется с одина ковой скоростью во всех направлениях и его скорость не зависит от Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика.

движения источника, то, с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К, свет достигнет точек А и В не одновременно. Следова тельно, события, одновременные в одной системе отсчета, действи тельно не одновременны в другой.

Из постулатов А. Эйнштейна следует, что в разных системах от счета время разное. Поэтому допущение классической физики об аб солютном времени оказывается несостоятельным, как и представле ния об абсолютном пространстве. Из постулатов теории относитель ности вытекает тот факт, что пространство и время образуют единую пространственно-временную систему отсчета (пространственно временной континуум). С точки зрения математики, такая система отсчета представляет собой четырехмерную систему координат. По ложение материальной точки, тела в ней может быть задано с помо щью четырех координат: x, у, z, и (x, у, z, - пространственные коор динаты;

- координата времени, которая вычисляется по формуле:

= i·c·t, где i = 1 ;

c - скорость распространения света в вакууме;

t - время.

Известно, что расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве определяется соотношением l 1, 2 = (x 2 x 1 ) + (y 2 y 1 ) + (z 2 z 1 ).

2 2 (9.14) В четырехмерном пространстве (в теории относительности) рас стояние между двумя точками, которое называют интервалом между двумя событиями, можно определить следующим образом:

S1,2 = (x 2 x1 ) + (y 2 y1 ) + (z 2 z1 ) + ( 2 1 ) = 2 2 2 (9.15) = (x 2 x 1 ) + (y 2 y1 ) + (z 2 z1 ) c (t 2 t1 ).

2 2 2 Можно показать, что интервал между двумя событиями в про странственно-временной системе отсчета всегда равен нулю (S1,2=0).

Это позволяет утверждать, что интервал между двумя событиями в теории относительности инвариантен по отношению к переходу из одной системы отсчета в другую.

9.3. Преобразования Лоренца для координат и времени Формулы преобразования координат, при переходе из одной системы отсчета в другую, в теории относительности называют пре 144 Лекция образованиями Лоренца.

Для получения преобразований Лоренца выберем две инерци альные системы отсчета К и К'. Предположим, что система К' движет ся равномерно и прямолинейно относительно системы К со скоро стью v. В начальный момент времени системы К и К' совпадали. Для любого другого момента времени расположение координатных осей систем сохраняется. При этом любая точка имеет одни и те же коор динаты у, z и у', z'. Координаты x и t связаны функционально:

x = f(x', t');

t = F(x', t').

Таким образом, формулы преобразования координат можно за писать в виде x = f(x', t');

у = у';

z = z';

t = F(x', t'). (9.16) Формулы преобразования координат не должны изменять ин тервал между двумя событиями в силу его инвариантности, что воз можно в том случае, когда вы бранные системы отсчета рав- ' номерно вращаются относи M C' тельно начала координат и от- X' ' носительно друг друга. В силу X начальных условий положение ' A' B точки М в каждой из систем отсчета может быт определено ' AB O,O X '' координатами М(x,) и М(x, ) Рис. 9. (рис.9.2).

Из рисунка видно, что координата x = OA = ОВ - АВ = ОВ - МС'. OB = x'cos;

MC' = 'sin ( MC'B');

= AM = AA' + A'M;

AA' = OC = 'cos;

A'M = x'sin.

Следовательно, формулы преобразования координат принимают вид x = x'cos - 'sin;

у = у';

z = z';

= 'cos + x'sin. (9.17) ' Для точек, совпадающих с началом координат (O;

O ), имеем x = vt;

= ict;

x' = 0;

' = ict'.

Подставляя значения x,, x', ' в формулы преобразования, по лучим Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика.

' ' x = - sin;

= cos.

Разделив x на, имеем vt x v v tg = = = =i. (9.18) ict ic c Из тригонометрических соображений v i tg 1 c;

= cos = = sin =.

2 1 + tg 1 1 + tg 2 Подставляя значения sin и cos в формулы преобразований с учетом =ict, ' = ict', будем иметь v t' + 2 x' ' ' x + vt c у = у';

z = z';

t= x= ;

. (9.19) 2 Полученные соотношения называют обратными преобразова ниями Лоренца.

Прямые преобразования Лоренца:

v t 2 x x vt c у = у';

z = z';

x' = t' = ;

. (9.20) 1 9.4. Следствия из преобразований Лоренца 9.4.1. Закон сложения скоростей в теории относительности Для вывода закона сложения скоростей в теории относительно сти воспользуемся прямыми преобразованиями Лоренца (9.20):

v t 2 x x vt c ;

у = у';

z = z';

t ' = x' =.

1 Дифференцируя левые и правые части написанных формул, по лучим v dt 2 dx dx v dt c ;

dу = dу';

dz = dz';

dt ' = dx ' =. (9.21) 1 Деля, почленно, левые и правые части первых трех равенств на 146 Лекция левую и правую части четвертого равенства, будем иметь dx v dt dy ' dy 1 2 dz ' dz 1 dx ' = = ;

'= ;

. (9.22) dt ' dt v dx dt ' v v dt dt 2 dx dt 2 dx c2 c c Если скорости тела в системе К ux = dx/dt;

uу = dy/dt;

uz = dz/dt, а в системе К' ux' = dx'/dt';

uу' = dy'/dt';

uz' = dz'/dt', то закон сложения скоростей в теории относительности имеет вид u y 1 2 u z 1 ux v ' uy = uz = ' ' u= ;

;

. (9.23) x uxv uxv uxv 1 2 1 2 1 c c c Вводя угол между скоростью u и направлением оси OX, для абсолютной величины скорости (u')2 = (ux')2 + (uy')2 + (uz')2 получим v u 1 2 sin 2 2uv cos + v () c ' u=. (9.24) vu 1 2 cos c В частном случае, когда скорость u направлена вдоль оси OX, формула сложения скоростей в теории относительности принимает вид uv u' =. (9.25) vu 1 c Из формулы (9.25) видно, что при малых скоростях (uc и vc) формула сложения скоростей в теории относительности пере ходит в формулу сложения скоростей в классической механике.

Из закона сложения скоростей в теории относительности можно установить, в чем заключалась ошибка в рассуждениях Максвелла (а следовательно, и в попытках понять отрицательный результат опыта Майкельсона). Кроме того, из него можно установить, что действи тельно величина скорости распространения света в вакууме абсолют на, одинакова во всех системах отсчета. Так, при подстановке в (9.25) u = c или v = c нетрудно определить, что u' = c.

Заметим, что если обе складываемые скорости меньше скорости распространения света в вакууме, то и суммарная скорость тоже ока Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика.

зывается меньше c.

Действительно, пусть u = c(1-), v = - c(1-), где 01 и 01.

Тогда классический закон сложения скоростей дал бы (в случае, ко гда скорость тела u направлена вдоль оси OX) для скорости тела в системе К' u'=u-v=c(2--)c.

Закон сложения скоростей в теории относительности приводит к следующему результату:

u' = c с. (9.26) 2 + Это еще раз подтверждает, что скорость распространения света в вакууме предельная скорость распространения любого сигнала (любой скорости движения материальной точки, тела, частицы).

Следует отметить, что инвариантной по отношению к преобра зованиям Лоренца является только абсолютная величина скорости света в вакууме, но не ее направление.

9.4.2. Сокращение движущихся масштабов длин Из преобразований Галилея можно сделать вывод, что расстоя ние между двумя точками или длина стержней не изменяется, не за висимо от того, где происходит измерение расстояния (длины стерж ня): в движущейся системе отсчета или в неподвижной. Действитель но, запишем полную систему уравнений для двух событий:

' x '2 = x 2 vt x 1 = x 1 vt y1 = y ' y '2 = y ;

.

z1 = z1 z '2 = z ' ' t1 = t1 t '2 = t Вычитая почленно из первых трех уравнений второй системы соответствующие уравнения первой системы, получим x '2 x 1 = x 2 x 1, ' y '2 y 1 = y 2 y 1, ' (9.27) z '2 z 1 = z 2 z 1, ' откуда, вводя относительные расстояния между двумя точками (от носительные размеры тел) (x ) + (y ) + (z ) 2 2 ' ' ' ' ' ' ' l 1, 2 = x1 y1 z1 (9.28) 2 2 и 148 Лекция (x 2 x 1 )2 + (y 2 y 1 )2 + (z 2 z 1 )2, l 1, 2 = (9.29) получим l1,2' = l1,2. (9.30) Таким образом, действительно, расстояния между двумя точка ми (размеры тел) абсолютны или инвариантны во всех инерциальных системах отсчета классической механики.

Совершенно так же четвертые уравнения полной системы урав нений показывают, что промежуток времени между двумя событиями одинаков во всех галилеевых системах отсчета: 1,2' = 1,2.

Определим длину стержня, с точки зре ния теории относительности, в системе K.

Пусть стержень AB движется относительно K - системы с постоянной скоростью v (рис.9.3). В системе K’, связанной со стерж нем, его длина l0.

Проделаем для этого следующий мыс ленный эксперимент. Сделаем на оси X K Рис.9. системы метку M и установим около неё ча сы. Зафиксируем по этим часам время пролёта t 0 стержня мимо метки M. Искомая длина стержня по времени K-системы составляет l = v t 0. (9.31) Для наблюдателя, связанного со стержнем, время движения, оп ределенное по тем же часам будет иным, - t. Поэтому длина покоя щегося относительно него стержня l0 будет равна: l 0 = v t. Из этих двух выражений длины с учетом формулы замедления времени полу чаем t l или l = l 0 1 2.

= 0 = 1 2 (9.32) t l Повторим теперь выкладки, но с помощью формул преобразований Лоренца.

Пусть в системе К покоится стержень длины l0, расположенный вдоль оси OX: l0 = x2 - x1. Для того чтобы измерить его длину в сис теме К', движущейся по отношению к системе К со скоростью v, не обходимо найти разность координат его концов l = x21 - x11 в один и тот же момент времени по часам системы К'.

Запишем преобразования Лоренца для координат концов стерж Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика.

ня:

' ' x '2 + v t ' x1 + v t x1 = ;

x2 =.

2 1 Вычтя из второго равенства первое и учитывая, что t1' = t2', получим x '2 x ' l x 2 x1 = или l 0 = ;

l = l0 1 2. (9.33) Длину l 0, измеренную в системе отсчета, где стержень непод вижен, называют собственной длиной.

Таким образом, в противоположность классической физике, в которой длина стержня считалась абсолютной, в теории относитель ности один и тот же стержень имеет различную длину в различных системах отсчета. Максимальную длину l0 стержень имеет в той сис теме отсчета, в которой он покоится, в системах же, движущихся по отношению к стержню, он имеет длину l тем меньшую, чем больше скорость движения. Совершенно очевидно при этом, что сокращают ся только размеры стержня, параллельные направлению движения системы отсчета. Поперечные размеры, как это следует из формул преобразований Лоренца у = у', z = z', не меняются.

Следует особо подчеркнуть, что речь не идет о каком-либо ре альном физическом процессе сокращения, происходящем со стреж нем. Это ясно потому, что один и тот же стержень имеет разную дли ну в разных системах отсчета.

Это явление называют лоренцевым сокращением. Лоренцево со кращение является чисто кинематическим эффектом - в теле не воз никает каких-либо напряжений, вызывающих деформацию. Подчерк нем, что лоренцево сокращение тел в направлении движения пред ставляет собой реальный и объективный факт, не связанный с каки ми-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров данного те ла, полученные в разных системах отсчета, являются равноправными.

Трудность понимания этих утверждений связана исключительно с нашей привычкой, основанной на повседневном опыте. Мы при выкли считать понятие длины абсолютным понятием, когда в дейст вительности это не так. Понятия длины столь же относительны, как и понятия движения и покоя.

9.4.3.Замедление хода движущихся часов Cравним течение времени в различных инерциальных системах 150 Лекция отсчёта. С этой целью воспользуемся часами – прибором, в котором используется тот или иной периодический процесс. Наиболее просто вопрос можно решить с помощью так называемых “световых” часов.

Световые часы – это стержень с зеркалами на обоих концах, между ко торыми бегает короткий световой импульс. Период таких часов равен интервалу времени, в течение которо го импульс проходит двойной путь от одного зеркала до другого (рис.9.4).

Далее представим себе две инерциальные системы отсчета K и K’, движущиеся относительно друг друга со скоростью v. Пусть и в той, и в другой системе имеются совер шенно идентичные световые часы, жестко связанные с системой отсчета и ориентированные перпендикулярно Рис. 9.4.

вектору скорости v. Проследим те перь за ходом этих часов в обеих системах отсчета.

Каждый из наблюдателей, глядя на «свои» часы, констатирует, что их период одинаков. Но, глядя на «чужие» часы, которые нахо дятся в относительном движении со скоростью ± v, каждый заявит, что период у них будет больше. Например, наблюдатель, находящий ся в системе K обнаружит, что световой импульс пройдет расстояние, равное удвоенной длине гипотенузы, т.е. большее, чем когда часы неподвижны. Причем это расстояние импульс проходит с той же ско ростью, что и в неподвижной системе. Следовательно, часы в под вижной системе для этого наблюдателя будут идти медленнее.

Обозначим период движущихся часов t. Тогда из прямоуголь ного треугольника следует l 2 + ( vt / 2) 2 = (ct / 2) 2. Откуда t = 2l / c 1 ( v / c) 2.

Так как 2l/c= t0, то t t =, (9.34) где = v / c ;

v – скорость часов в неподвижной системе K.

Отсюда видно, что t t 0, т.е. одни и те же часы, находящиеся Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика.

в разных системах отсчета по отношению к данному наблюдателю, идут по-разному. Движущиеся часы идут медленнее, чем покоящие ся. Это явление называют замедлением времени.

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела (t 0 ).

Таким образом, в отличие от классической механики течение времени в действительности зависит от состояния движения. Не су ществует единого мирового времени, и понятие “промежуток време ни между двумя данными событиями” оказывается относительным, поскольку зависит от выбора системы отсчета.

Абсолютное время классической механики является в теории относительности приближенным понятием, справедливым только при малых (по сравнению со скоростью света) скоростях систем отсчета.

Такой же результат можно получить, воспользовавшись преоб разованиями Лоренца. Обозначим промежуток времени, прошедший между двумя событиями в системе К', Т0 = t2' - t1', в системе K - Т = t2 t1. Запишим преобразования Лоренца:

v v' t '2 + 2 x ' t1 + 2 x ' c c t2 = t1 = ;

.

1 Учитывая, что x1' = x2' (в системе К' часы покоятся), определяем Т, вычитая почленно из второго равенства первое:

t '2 t ' T t 2 t1 = или T = ;

T0 = T 1 2. (9.35) 1 1 Из формул (9.35) видно, что наименьшую длительность Т0 про межуток времени имеет в той системе отсчета, в которой оба события произошли в одной и той же точке пространства, в любой другой сис теме отсчета он будет иметь длительность тем большую, чем больше скорость v.

Следует отметить, что речь идет не о каком-либо физически ре альном изменении хода часов. Это связано с тем, что одна и та же па ра событий разделена различными промежутками времени в разных системах отсчета.

Для систем отсчета, движущихся со скоростью vc, промежу ток времени между двумя событиями является приближенно абсо лютной величиной. Поэтому в механике макроскопических тел и в обыденной жизни релятивистское замедление хода движущихся ча 152 Лекция сов не играет никакой роли.

В отличие от формулы сокращения длины (9.33) формула за медления времени (9.35) получила непосредственное эксперимен тальное подтверждение при изучении распада -мезонов, которые образуются в атмосфере Земли на небольших высотах под влиянием космических лучей. Они представляют собой частицы более тяжелые, чем электроны, но более легкие, чем протоны и нейтроны - масса их приблизительно равна 206 электронных масс.

Эти частицы неустойчивые и распадаются за очень малый про межуток времени на электрон или позитрон (в зависимости от знака заряда -мезона) и две легкие нейтральные частицы нейтрино, т.е. эти частицы обладают малым временем жизни. С учетом этого они не должны были бы достигать поверхности Земли. Однако -мезоны об наруживаются на поверхности Земли. Многочисленные опыты пока зывают, что в пределах экспериментальных ошибок соотношение v T0 = T 1 2 выполняется достаточно точно.

c ЛЕКЦИЯ 10. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА Релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистской частицы. Инвариантность уравнения движения относительно пре образований Лоренца. Работа и энергия. Полная энергия частицы.

Четырехмерный вектор энергии-импульса частицы. Преобразования импульса и энергии. Закон сохранения четырехмерного вектора энер гии и импульса.

10.1. Релятивистская масса и релятивистский импульс. Уравне ние движения релятивистской частицы. Инвариантность урав нения движения относительно преобразований Лоренца.

Работа и энергия. Полная энергия частицы В классической динамике основными величинами являются: си ла F - мера воздействия одного тела на другое (сила изменяет состоя ние движения, приводит к возникновению ускорения);

масса m - ин дивидуальная постоянная, характеризующая инертность тела, т.е.

степень его неподатливости сообщению ускорения;

количество движения (импульс) p = mv - векторная величина, мера движения, указывающая на его направленность;

кинетическая энергия Wк = =(mv2)/2 - скалярная величина, характеризующая движение только с количественной стороны.

Между скоростью, силой, импульсом и кинетической энергией существует связь:

dWk dp = F;

= Fv, (10.1) dt dt т.е. скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе (второй закон Ньютона), а скорость изменения кинетической энергии равна работе этой силы за единицу времени (мощности).

Импульс и кинетическая энергия, как две меры движения, обла дают существенными преимуществами по сравнению со скоростью, ускорением и т.п., так как для них имеют место так называемые зако ны сохранения. Кроме того, эти понятия являются распространенны ми и в других разделах физики.

В классической динамике указывалось на то, что второй закон dv Ньютона в виде m = F не применим в том случае, когда скорость dt 154 Лекция движения тела (ее численное значение) стремится к численному зна чению скорости распространения света в вакууме, т.е. в релятивист ских случаях. Оказывается, что второй закон Ньютона в данной фор ме не согласуется с принципом относительности СТО, не инвариан тен по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, не может представлять собой точный закон природы, а является законом приближенным, справедливым только при малых скоростях движе ния тел.

Причина в том, что масса движущихся тел зависит от их скоро сти движения. Кроме того, между массой всякого физического объек та и присущей ему (во взаимосвязи с окружающей средой) энергией W(E) имеет место, следующее соотношение:

E = mc2, (10.2) где Е - полная энергия физической системы, включая энергию обра зующих ее частиц и полей;

m - масса системы.

На это со всей определенностью указывает опыт современной техники ускорения заряженных частиц микромира и эксперименталь ные подтверждения при многочисленных ядерных превращениях и фотоэлектрических явлениях. Эксперимент указывает на то, что при больших скоростях масса тела должна зависеть от абсолютной вели чины его скорости:

m = m(v);

v = v 2 + v y + v 2. (10.3) x z Вид этой функциональной зависимости может быть однозначно установлен, если воспользоваться законом сохранения импульса и релятивистским законом сложения скоростей. Кроме того, его можно получить из следующих соображений.

Так как для всех движений справедливо соотношение d (mv ) c 2 dm = dl = dW, dt то, учитывая, что dl/dt = v и d(mv) = mdv + vdm, имеем c2dm = v2dm + mvdv.

После разделения переменных получим v dv dm =2.

m c v Интегрирование в пределах изменения скорости от 0 до v при Релятивистская динамика.

водит к искомой зависимости в виде m0 m m( v ) = m = =, (10.4) 2 v 1 c где = v/c;

m - масса движущегося тела;

m0 - масса покоя.

Из выражения (10.4) видно, что с ростом скорости движения те ла его масса увеличивается и при приближении скорости к скорости света в вакууме возрастает неограниченно.

Согласно этой формуле масса тела - величина относительная, поскольку в разных системах отсчета скорость тела различна. Инва риантной величиной является только масса покоя m0.

С учетом (10.4) запишем выражение для релятивистского им пульса m0v p = mv =. (10.5) Таким образом, в релятивистской динамике между импульсом тела и скоростью нет прямой пропорциональ ной зависимости, как в классической физике, а существует более сложная зависимость, выражаемая формулой (10.5) (рис.10.1).

Уравнение движения в релятиви стской динамике (уравнение второго закона Ньютона) как закон изменения релятивистского импульса со временем Рис. 10. имеет вид dp d m 0 v = = F. (10.6) 1 dt dt Оно удовлетворяет требованиям принципа относительности, ут верждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы к другой и, следовательно, это уравне ние инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца. Следует 156 Лекция учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными ве личинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по на правлению с силой.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятиви стский импульс замкнутой системы в отсутствие внешних воздейст вий остается величиной постоянной.

Уравнение (10.6) позволяет найти выражение для кинетической энергии тела. По определению приращение кинетической энергии равно работе силы:

m0v dWk = F v dt = v d. (10.7) 1 С учетом того, что v dv = v dv = d v 2, дифференцируя (10.7), найдем v dv m0v v dv dW k = v d = m0 + = 2 2 3/ 1 v 1 v c v c c c m 0 dv =. (10.8) 3/ v c и, следовательно, m 0c du Wk = m 0 = + B, (10.9) (1 ) 2 3/ 2 где B - постоянная интегрирования.

При v = 0 Wk = 0, В = - m0c2. Тогда кинетическая энергия тела, т.е. избыток энергии, которым обладает движущееся тело по сравне нию с покоящимся телом, будет равна Релятивистская динамика.

1 Wk = m 0 c 2 1. (10.10) 1 Рассмотрим случай малых скоростей по сравнению со скоро v 2 стью света в вакууме. Для чего разложим 1 2 в ряд по степе c v ням 2 :

c v 1 v2 3 v 1 2 = 1 + + +.....

2 c2 8 c c Тогда выражение (10.10) для кинетической энергии примет вид 3 m0v Wk = m 0 v + +....

(10.11) 8 c Из формулы (10.11) видно, что классическое выражение кинети ческой энергии Wk = m 0 v 2 представляет собой первое приближе ние к истинной величине Wk, справедливое лишь при малых скоро стях.

Так, например, при скорости частицы v, составляющей 0,1 ско рости света, второе слагаемое в (10.11) составляет 0,75% от первого, а при скорости v = 0,5 скорости света релятивистская кинетическая энергия, вычисленная по формуле (10.10), превышает классическое значение на 35%. При vc кинетическая энергия тела неограниченно возрастает.

Надо отметить, что масса покоя является мерой внутренней энергии в теле, а именно запас внутренней энергии в теле пропорцио нален массе покоя этого тела:

Евн = m0c2. (10.12) Полная энергия тела складывается из внутренней энергии и кине тической энергии тела как целого:

1 m0c = mc 2, (10.13) 2 1 = E = E вн + Wk = m 0 c + m 0 c 1 1 158 Лекция m где m = - релятивистская масса.

Таким образом, масса тела является мерой запаса полной энер гии тела. Всякое изменение энергии тела на величину Е влечет за собой изменение массы тела на m, причем E m = 2. (10.14) c Уравнения 10.13 и 10.14 выражают один из важнейших законов современной физики - закон взаимной связи массы и энергии.

Закон взаимной связи энергии и массы является универсальным законом - всякая материя (вещество в обычном смысле или излуче ние), обладающая энергией Е, обладает тем самым и массой m, рав ной E/c2.

По аналогии с разделением полной энергии на внутреннюю энергию Евн и кинетическую Wк можно ввести деление релятивист ской (полной) массы на массу покоя m0 и кинетическую массу mk, равную 1 1.

mk = m m0 = m0 (10.15) 1 2 Теория относительности, таким образом, внесла существенные изменения в понятие массы тела: масса тела, как характеристика его инертности, оказывается величиной не постоянной, как это считается в классической физике, а зависит от скорости: чем больше кинетическая энергия тела, тем больше и его масса. Кроме того, закон взаимной свя зи энергии и массы показывает, что масса зависит не только от энер гии движения тела (от скорости), но и от запаса внутренней энергии.

Это означает, например, что сжатая или растянутая пружина (напря женная пружина) имеет массу большую, чем ненапряженная пружина, что нагретое тело тяжелее холодного, намагниченный кусок железа тяжелее, чем не намагниченный. В отличие от классической физики в теории относительности существует общее выражение для запаса энергии тела, независимо от того, из каких видов энергии этот запас складывается (механическая, электромагнитная, внутриядерная и др.) общая энергия тела или системы тел пропорциональна общей массе.

Закон взаимной связи энергии и массы применяется для расчета энергии, выделяемой при ядерных превращениях.

Релятивистская динамика.

В классической и релятивистской физике в трактовке законов сохранения массы и энергии существует принципиальное отличие.

В классической физике имеются два фундаментальных закона природы:

1) закон сохранения массы (закон сохранения вещества);

2) закон сохранения энергии.

Согласно первому из этих законов, в замкнутой системе тел при любых физических и химических процессах масса системы остается неизменной:

m = const. (10.16) Согласно второму закону, в замкнутой системе тел, находящей ся в консервативном (независящем от времени) поле, при любых фи зических и химических процессах полная энергия системы остается величиной постоянной:

E = const. (10.17) Эти два закона являются совершенно независимыми друг от друга, так как величина массы не определяет величину энергии, и на оборот. Более того, можно указать такие случаи, когда закон сохра нения массы, с точки зрения классической физики, выполняется, а за кон сохранения энергии нет (например, система зарядов в перемен ном электрическом поле). С точки зрения классической механики, масса является величиной аддитивной, т.е. масса системы равна сум ме масс тел, составляющих эту систему. Поэтому закон сохранения массы в классической физике может быть сформулирован как закон сохранения суммы масс: в замкнутой системе тел сумма масс тел, вступающих в реакцию, равна сумме масс тел, возникающих в ре зультате реакции:

m i = m 'i. (10.18) i i В противоположность этому энергия не является величиной ад дитивной: энергия системы тел не равна сумме энергий тел, состав ляющих эту систему, так как в общем случае существует еще энергия взаимодействия тел.

Энергия системы тел выражается формулой E = Ei + W, (10.19) i где величины Ei представляют собой энергии составных частей сис темы, а W - энергию их взаимодействия.

160 Лекция В теории относительности существует единый закон сохранения энергии-массы. Действительно, поскольку между энергией и массой тела (системы тел) существует связь E = mc 2, то из закона сохране ния массы для замкнутой системы (m = const) вытекает и закон со хранения энергии (E = const), и наоборот.

Однако содержание релятивистского закона сохранения массы значительно глубже, чем в классической физике.

Прежде всего, масса системы согласно теории относительности не равна сумме масс составляющих ее тел. Действительно, из равен ства E = Ei + W, (10.20) i поделив обе части равенства на c2, получим W m = mi + 2, (10.21) c i где m - масса системы;

mi - масса изолированных тел, составляющих систему.

Заметим, что масса системы может быть больше и меньше сум мы масс, составляющих ее тел.

Рассмотрим следующий практически важный случай. Пусть имеется устойчивая система частиц, обладающая известным запасом прочности (например, кристалл, атом, атомное ядро). Для того, чтобы разделить такую систему на составные части (разрушить кристалли ческую решетку, т.е. расплавить или испарить кристалл;

отделить электроны от атома;

разделить ядро на протоны и нейтроны), необхо димо совершить некоторую работу. Эта работа, очевидно, тратится на увеличение энергии частиц, составляющих систему. Поэтому сумма энергий разделенных частиц в этом случае больше энергии системы на величину энергии, которую принято называть энергией связи:

E i = E + E св. (10.22) i Поделив равенство (10.22) на c2, получим E m i = m + св. (10.23) c i Из формулы (10.23)видно, что сумма масс разделенных частиц больше массы системы на величину энергии связи, деленную на c2.

Разность между суммой масс частиц и массой системы принято назы Релятивистская динамика.

вать дефектом массы m. При этом E св m = m i m =. (10.24) c i Видно, что чем прочнее система, чем больше ее энергия связи, тем больше дефект массы. Для химических соединений, обладающих сравнительно небольшой прочностью, энергия связи мала и дефекты масс оказываются далеко за пределами возможности эксперимен тального обнаружения. В ядерной физике дефект масс существенен, а следовательно, и велика энергия связи. Так, например, энергия связи ядра гелия в миллионы раз (28 MeV) больше энергии связи химиче ского соединения молекулы воды. Для того чтобы расщепить 1 г ге лия на протоны и нейтроны, надо затратить энергию, равную 1, кВт·час.

Надо заметить, что из закона взаимосвязи энергии и массы не вытекает факт о возможности превращения массы в энергию, и на оборот. Например, часто утверждают, что при делении ядер урана часть его массы превращается в энергию. Это неправильное пред ставление возникает в результате нечеткого понимания различия ме жду массой покоя (с которой только и имеет дело классическая физи ка) и полной массой (понятием теории относительности). Следует подчеркнуть, что сразу после деления ядра урана полная масса его осколков в точности равна полной массе исходного ядра, так же, как и полная энергия его осколков равна полной энергии исходного ядра.

В процессе деления происходит только частичное превращение мас сы покоя исходного ядра в кинетическую массу осколков и соответ ственно этому частичное превращение внутренней энергии исходного ядра в кинетическую энергию осколков.

Известно, что в теории относительности, имеющей массу покоя m0 и движущейся со скоростью v,полная энергия частицы и ее им пульс выражаются формулами m 0c m0v = mc 2.

p = mv = ;

E= 1 1 Воспользовавшись этими формулами, получим соотношение, связывающее полную энергию и импульс релятивистской частицы в векторной форме:

162 Лекция Ev p=. (10.25) c Исключив из этих формул скорость v, получим связь между им пульсом и полной энергией в скалярной форме:

E = m2c4 = c p2 + m0c2. (10.26) Связь между импульсом и кинетической энергией может быть представлена как p= E 2 + 2E k m 0 c 2. (10.27) k c Формула (10.26) показывает, что для частиц с нулевой массой покоя энергия пропорциональна импульсу:

E = cp;

p = E/c. (10.28) Кроме того, из (10.26), согласно теории относительности, суще ствование частиц с нулевой массой, возможно, причем эти частицы должны обладать двумя важнейшими свойствами:

1) они должны двигаться со скоростью света в вакууме c;

2) их импульс и энергия должны быть связаны соотношением (10.28).

Эти свойства сближают пока гипотетические частицы со свето вым излучением;

как известно, излучение тоже распространяется в вакууме со скоростью c и обладает количеством движения (импуль сом), связанным с энергией соотношением p = E/c. Это позволяет возродить на новых началах отброшенную в начале в. корпуску лярную теорию света и рассматривать свет как поток корпускул с ну левой массой покоя. Эти частицы получили название световых кван тов, или фотонов.

Основные свойства фотонов:

1. Масса покоя фотонов равна нулю: m0 = 0.

2. Фотоны движутся со скоростью света в вакууме: v = c.

3. Поскольку энергия покоя фотонов равна нулю, их полная энергия равна кинетической энергии, причем она связана с импуль сом фотона соотношением E = cp. (10.29) 4. Не обладая массой покоя, фотоны обладают кинетической массой, которая равна полной массе:

Релятивистская динамика.

Ep m= =. (10.30) c2 c Таким образом, фотоны обладают инертностью, причем эта инертность тем больше, чем больше энергия и импульс фотона.

5. Отсутствие у фотона массы покоя означает физически, что покоящиеся фотоны не существуют в природе. Прекращение движе ния фотона, остановка фотона. Означает его поглощение атомом. При этом масса фотона, энергия фотона и импульс фотона не исчезают, а передаются поглотившему атому. Поглощенный фотон исчезает как индивидуальная частица с соблюдением законов сохранения энергии и импульса.

10.2. Четырехмерное пространство - время. Преобразования в че тырехмерном пространстве 10.2.1. Основные понятия Известно, что в основе теории относительности лежит принцип относительности, согласно которому в физической системе, приве денной в состояние свободного равномерного и прямолинейного движения относительно системы, условно "покоящейся", для наблю дателя, движущегося вместе с системой, все процессы происходят точно так же, как в покоящейся системе. Этот факт формулируют в виде утверждения об инвариантности законов природы относительно преобразований движения. Термин "принцип относительности" свя зан с тем, что если преобразованию движения подвергнуть систему движущихся тел, то все относительные движения этих тел останутся неизменными.


Наряду с принципом относительности известны и другие прин ципы инвариантности, или симметрии, законов природы. Любой фи зический процесс происходит точно так же, если:

а) осуществить его в любой другой точке пространства;

б) систему, в которой происходит процесс, повернуть на произ вольный угол;

эта симметрия выражает равноправие всех направле ний в пространстве, изотропию пространства;

в) повторить процесс через некоторый произвольный промежу ток времени;

эта симметрия выражает однородность времени.

Таким образом, имеет место инвариантность законов природы по отношению к четырем типам преобразований:

164 Лекция 1) переносу в пространстве;

2) вращению в пространстве;

3) сдвигу во времени;

4) преобразованию движения.

При этом преобразования (симметрии) выполняются точно толь ко в изолированной от внешних воздействий системе, т.е. если можно пренебречь воздействием на систему внешних факторов;

для реальных систем они справедливы только с определеной степенью точности.

Изучение свойств первого и второго преобразований осуществ ляется в евклидовой геометрии трехмерного пространства, если рас сматривать ее как физическую теорию, описывающую свойства фи зических объектов (при этом под переносом необходимо понимать преобразование параллельного переноса).

При скоростях движения тел v, сравнимых со скоростью распро странения света в вакууме c, обнаруживается тесная связь и матема тическая аналогия между преобразованиями 1,3 и 2,4. Это позволяет утверждать, что в теории относительности все преобразования следу ет рассматривать совместно. Содержанием специальной (частной) теории относительности является рассмотрение свойств указанных преобразований и следствий из соответствующих принципов инвари антности. Математически специальная теория относительности явля ется обобщением геометрии Эвклида - геометрией четырехмерного пространства-времени (четырехмерной Минковского пространства времени).

Основное понятие теории относительности - точечное событие, т.е. нечто, происходящее в данной точке пространства в данный мо мент времени (например, выстрел, распад элементарной частицы).

Это понятие является абстракцией - реальные события всегда имеют протяженность в пространстве и во времени и могут рассматриваться как точечные только приближенно. Любой физический процесс пред ставляет собой последовательность событий (С): С1, С2, С3, …..,Сn.

Справедливость преобразований (симметрий) 1-4 означает, что наря ду с последовательностью (С) законы природы допускают существо вание последовательностей (С'), которые получаются из (С) соответ ствующим преобразованием и различаются положением событий в пространстве и во времени, но имеют одинаковую с (С) внутреннюю структуру. Например, в случае симметрии 4 можно наглядно описать процесс (С) как происходящий в стоящем на земле самолете, а про Релятивистская динамика.

' цесс (С ) как такой же процесс, происходящий в самолете, летящем с постоянной скоростью (относительно земли);

различным скоростям и направлениям движения соответствуют различные последовательно сти (С'). Преобразования, переводящие одну последовательность со бытий в другую, называются активными (в отличие от пассивных преобразований, которые связывают координаты одного и того же события в двух системах координат).

Совокупность всех возможных преобразований (1-4), с матема тической точки зрения, составляют группу, которая называется груп пой Пуанкаре. Преобразования группы Пуанкаре носят универсаль ный характер: они действуют на события любого типа. Это позволяет утверждать (считать), что они описывают свойства пространства времени, а не свойства конкретных процессов. Преобразования Пуан каре могут быть описаны различными способами (так же, как можно описать различными способами движения в трехмерном пространст ве);

наиболее простое описание получается при использовании инер циальных систем отсчета и связанных с ними часов. Роль инерциаль ных систем отсчета в теории относительности такая же, как роль прямоугольных координат в геометрии Эвклида.

Под системой отсчета в этом случае можно подразумевать жёст кую систему твердых тел (или ее мысленное продолжение), по отно шению к которой определяются положения событий, траектории тел и световых лучей. Любая система отсчета, движущаяся относительно данной инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно, без вращения, также будет инерциальной, а система отсчета, вра щающаяся или движущаяся ускоренно, не будет инерциальной сис темой отсчета. Таким образом, инерциальные системы отсчета обра зуют выделенный класс систем отсчета. Все инерциальные системы отсчета равноправны. Равноправие является непосредственным вы ражением принципа относительности.

В области пространства-времени, в которой справедлива специ альная теория относительности, можно пользоваться и неинерциаль ными системами отсчета (так же, как можно пользоваться криволи нейными координатами в геометрии Эвклида), но при этом описание свойств пространства-времени оказывается более сложным.

10.2.2. Кинематика четырехмерного пространства-времени Из постулатов теории относительности вытекает тот факт, что пространство и время образуют единую пространственно-временную 166 Лекция четырехмерную систему отсчета (пространственно-временной конти нуум). Положение материальной точки, тела в ней может быть задано с помощью четырех координат: x, у, z, и (x, у, z, - пространственные координаты;

- координата времени, равная = ict, где i = 1, c скорость распространения света в вакууме, t - время). При этом x = x1, у = x2, z = x3, и = ict = x4. По Минковскому, это четырехмерное про странство - "мир", в котором каждое мгновенное событие характери зуется точкой - мировой точкой с указанными координатами. Собы тия, происходящие с материальной точкой, отобразится в этом мире некоторой линией - мировой линией данной материальной точки (точ нее, некоторой трубкой из-за протяженности тела).

В этом четырехмерном пространстве можно ввести четырехмер ный радиус-вектор S = S(x1, x2, x3, x4). Смысл этого вектора состоит в том, что его три проекции на оси x1, x2 и x3 представляют собой обычные координаты материальной точки x, у и z в момент времени x ict t= 4 =, т.е. в момент времени, которым является четвертая про ic ic екция вектора S, деленная на ic.

Если материальная точка за время t переместится на r (на x, у, z), то в четырехмерном пространстве это отобразится четырех мерным перемещением S, первые три проекции которого x, у, z (отображают перемещение материальной точки в обычном простран стве), а четвертая проекция, деленная на ic, будет равна t.

Таким образом, введение четырехмерного пространства, четы рехмерного радиус-вектора S и четырехмерного перемещения S по зволяет описывать протекание процессов в пространственно временной системе отсчета.

Известно, что расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве определяется следующим соотношением:

r 2 = x 2 + y 2 + z 2. (10.31) В четырехмерном пространстве (в теории относительности) рас стояние между двумя точками (событиями), которое называют про странственно-временным интервалом между двумя событиями, мож но определить так:

S 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 = r 2 c 2 t 2. 0.32) Можно показать, что интервал между двумя событиями в про странственно-временной системе отсчета в случае распространения Релятивистская динамика.

света равен нулю (S = 0). Это позволяет утверждать, что интервал между двумя событиями в теории относительности инвариантен по отношению к переходу из одной системы отсчета в другую. При этом S = S', (S)2 = (S')2, (10.33) ' где S и S - пространственно-временной интервал между двумя со бытиями в системах К и К' (система К' движется относительно систе мы К).

Надо отметить, что S = S', а не S = S', так как направления S в разных системах отсчета различны, что и приводит к тому, что xi и xi' не равны.

Дифференцируя пространственно-временной интервал по так называемому собственному времени движущегося тела, в простран ственно-временной системе координат можно ввести понятие скоро сти v и ускорения a.

Интервал собственного времени d вводится следующим обра зом. Пусть некоторое тело в системе К имеет скорость v (обычная трехмерная скорость по отношению к системе К). За время dt по ча сам системы К это тело, двигаясь, переместится на dr (обычное трех мерное перемещение). Тогда пространственно-временной интервал будет иметь вид dS = dr 2 c 2 dt 2. (10.34) dr = v, получим Производя преобразования и учитывая, что dt 2 dr 2 1 v dS = c dt 1 2 2 = icdt 1 2, dt c c откуда dS = dt 1 2. (10.35) ic Так как в левой части равенства (10.35) стоят величины, не зави сящие от выбора системы отсчета, то и правая часть равенства не за висит от выбора системы отсчета, т.е. является инвариантом перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.


Эта величина имеет размерность времени и называется интерва лом собственного времени движущегося тела, т.е. является проме жутком времени d, который отметят часы, находящиеся на теле, в то время как часы системы К, по отношению к которой тело движется со 168 Лекция скоростью v, отметят время dt.

Таким образом, d = dt 1 2. (10.36) Скорость в четырехмерной системе отсчета dS v=. (10.37) dt Чтобы уяснить смысл этой скорости запишем ее проекции:

vy dS1 dx1 dx1 vx v2 = v1 = = = =,, d d dt 1 2 1 2 1 vz ic v3 = v4 =,. (10.37) 1 1 Из (10.37) видно, что первые три проекции в меньше проекций vx, vу и vz скорости v. Четвертая проекция - мнимая величи на, не имеющая физического смысла.

Так как dS и d для данного процесса не зависит от выбора сис темы отсчета, то и модуль скорости в четырехмерной системе отсчета не зависит от выбора системы отсчета, хотя модуль соответствующей ей скорости в трехмерной системе отсчета имеет разную величину в разных системах отсчета. Кроме того, величина скорости в четырех мерной системе одна и та же для всех тел и равна ic. Действительно, dS dS v=, а так как d =, то v = ic.

d ic Ускорение в четырехмерной системе отсчета определяется фор мулой dv a=. (10.38) d Так как скорость v для всех тел постоянна, то v может меняться только по направлению, что означает в рассматриваемой четырех мерной системе отсчета av или av = 0, или в проекциях на оси a1v + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0.

Очевидно, что по известному а() можно найти v() и S():

v = v 0 + a ( ' ) d ', (10.39) Релятивистская динамика.

S = S 0 + v ( ' ) d '. (10.40) Следовательно, основные понятия и определения кинематики четырехмерного пространства-времени аналогичны основным поня тиям и определениям кинематики классической механики.

Отличие кинематики специальной теории относительности от кинематики материальной точки в классической механике заключает ся в следующем:

1. Специальная теория относительности имеет дело с векторами, описывающими поведение материальной точки в четырехмерном пространстве-времени. Классическая же кинематика имеет дело с векторами, описывающими поведение материальной точки в трех мерном пространстве.

2. То, что S = S', данное равенство вытекает из постулатов Эйнштейна. Для того чтобы v = v', необходимо их определить как от ношение dS и dS' к такому времени d, для которого имело бы место d = d', иначе при равных числителях и неравных знаменателях дро би dS/d и dS'/d' не были бы равны. Для этого и вводится в рассмот рение собственное время.

По аналогичной причине и ускорение определяется как произ водная от скорости по собственному времени частицы.

3. Модули классических векторов r, v и dr имеют различные значения в различных системах отсчета. Модули же векторов в четы рехмерном пространстве-времени S, S, v и другие для одной и той же мировой точки одинаковы во всех инерциальных системах отсче та. Иными словами, переход от системы К к системе К' сопровожда ется поворотом векторов S, S, v, а и т.д., описывающих поведение мировой точки, на некоторые мнимые углы.

10.2.3. Динамика четырехмерного пространства-времени Первый закон специальной теории относительности утверждает существование в природе систем отсчета сколь угодно близких инер циальным системам отсчета. При этом полагается, что не только ме ханические, но и всякие другие явления выглядят в таких системах наиболее просто и описываются простыми уравнениями. Такими сис темами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.

170 Лекция Второй закон Ньютона в специальной теории относительности формулируется так же, как и в классической механике, с помощью понятия импульса тела. При этом импульс тела представляется в че тырехмерном пространстве-времени.

Импульсом в четырехмерном пространстве-времени назы вают величину p = m0v, (10.41) где m0 - масса тела в той системе отсчета, по отношению к которой тело покоится (масса покоя);

v - скорость тела.

Запишем это равенство в проекциях на соответствующие оси координат четырехмерной системы отсчета:

m0v y m0v x p2 = m0 v 2 = p1 = m 0 v 1 = ;

;

1 1 m ic m0 v z p3 = m0 v 3 = p4 = m0 v 4 = ;

. (10.42) 1 1 m = m, - масса движущейся материальной точки, Так как то величины (10.42) проекций обычного импульса материальной точ ки в той системе отсчета, по отношению к которой ее скорость равна v p1 = mv x = p x ;

p 2 = mv y = p y ;

p 3 = mv z = p z ;

p = imc. (10.43) Первые три выражения в (10.43) - проекции обычного импульса на оси x, у и z в четырехмерной системе отсчета пространство-время.

Уравнение движения материальной точки в четырехмерной сис теме отсчета пространство-время должно быть ковариантным по от ношению к преобразованиям Лоренца, т.е. и справа, и слева должны быть векторы в четырехмерной системе отсчета пространство-время.

Кроме того, слева должна стоять быстрота (скорость) изменения им пульса, а справа сила. Так как изменение импульса за малое время d в рассматриваемой системе отсчета вектор dp = p - p0, а время d для всех систем отсчета одно и то же, то dp/d - вектор, равный силе в че тырехмерной системе отсчета пространство-время.

Таким образом, уравнение движения материальной точки в четырехмерной системе отсчета пространство-время будет иметь Релятивистская динамика.

вид dp = F. (10.44) d Заменив в (10.44) d на dt 1 2, получим dp = F 1 2. (10.45) dt Распишем уравнение (10.45) в проекциях на соответствующие оси координат четырехмерной системы отсчета пространство-время с учетом того, что p1 = px, p2 = pу, p3 =pz, p4 = imc:

dp y dp x = F2 1 2 ;

= F1 1 2 ;

dt dt d (imc) dp z = F3 1 2 ;

= F4 1 2. (10.46) dt dt В первых трех уравнениях формул 10.46 слева стоят производ ные от проекций импульса по обычному времени, т.е. по часам той системы, в которой скорость тела (материальной точки) равна v.

Справа проекция обычной трехмерной силы:

f y = F2 1 2 ;

f x = F1 1 2 ;

f z = F3 1 2. (10.47) Таким образом, проекции силы в четырехмерной системе отсче та отличаются от проекций силы в трехмерной системе координат множителем 1 2, а первые три проекции релятивистского урав нения движения – это закон изменения трехмерного импульса, т.е.

второй закон Ньютона, записанный в проекциях на оси x, у и z с уче m том m =.

Для выяснения смысла четвертой проекции (10.46) определим скалярное произведение v на F:

dp d dv = v (m 0 v ) = m 0 v vF = v = m 0 v a = 0 (10.48) d d d или через проекции:

v1F1 + v2F2 + v3F3 + v4F4 = 0. (10.49) Отсюда 172 Лекция v 1 F1 + v 2 F2 + v 3 F F4 =. (10.50) v Подставляя в правую часть равенства (10.50) вместо проекций векторов в четырехмерной системе отсчета пространство-время их выражения через проекции трехмерных векторов, получим (v x f x + v y f y + v z f z ) 1 F4 = = 2 ic 1. (10.51) (v x f x + v y f y + v z f z ) i f v = = c 1 ic Подставляя полученное выражение для F4 в четвертую проек цию релятивистского уравнения движения (10.46), получим f v d i i (imc) = 1 2 = f v. (10.52) dt c 1 2 c Умножая (10.52) на ic, будем иметь d ( mc 2 ) = f v. (10.53) dt d r dA Но f v = f =, следовательно:

dt dt d dA ( mc 2 ) =. (10.54) dt dt Так как mc2 = E, то уравнение (10.54) можно записать в виде со отношения dE dA =. (10.55) dt dt Соотношение (10.55) выражает закон изменения энергии ма териальной точки в специальной теории относительности.

dp = F или Таким образом, релятивистские уравнение движения d dp = F 1 2 - это закон изменения импульса и энергии, а сам ре dt лятивистский импульс - вектор энергии-импульса, так как первые его проекции образуют обычный трехмерный импульс, а четвертая про екция отличается от энергии материальной точки (тела) множителем i/c. Действительно, Релятивистская динамика.

i i p 4 = imc = mc 2 = E. (10.56) c c Связь между трехмерным импульсом и энергией можно устано вить, если возвести в квадрат выражение m m=, которое после соответствующих преобразований будет иметь вид m 2c2 = m0c2 + m 2 v 2.

(10.57) Так как mv = p, то m 2c 2 = m0c2 + p2.

(10.58) Умножая (10.58) на с2 и учитывая, что mc2 = E, получаем E 2 = m0c4 + p2c2, (10.59) вместо имевшегося в классической механике выражения p W=. (10.60) 2m Уравнение (10.59) было получено ранее, но из других соображений.

Можно показать, что из (10.59) при v2c2 вытекает (10.60). На до отметить, что при v2c2 из формул релятивистской механики можно получить соответствующие формулы классической механики.

Следует отметить, что работу dA = dE совершает результирую щая сила f, а это означает, что величина E = mc 2 = c m 0 c 2 + p (10.61) - это энергия, обусловленная движением тела, т.е. аналог кинетиче ской энергии в классической механике.

Частицу, не находящуюся в силовых полях (гравитационном, электрическом), называют свободной, а потому энергию E = mc2 час то называют энергией свободной частицы.

10.3. Столкновения релятивистских частиц. Законы сохранения энергии и импульса В специальной теории относительности оказывается справедли вым и третий закон Ньютона:

F,n = - Fn,, (10.62) где F,n и Fn, силы взаимодействия материальных точек в четырехмерной системе пространство-время, которые естественно 174 Лекция отличаются (четвертой проекцией) от сил взаимодействия в трехмерном пространстве (в классической механике).

Для системы материальных точек можно установить закон сохранения импульса в теории относительности (закон изменения релятивистского импульса).

dp = F, Имеем d где p - релятивистский импульс;

F - внешняя четырехмерная сила, действующая на систему.

В случае замкнутой системы из N материальных точек, в отсут ствие внешних воздействий, имеем dp = 0 или p = p0, (10.63) то есть p = const, (10.64) где p и p0 - импульсы после и до взаимодействия.

Таким образом, в замкнутой системе материальных точек в от сутствии внешних воздействий релятивистский импульс сохраняется.

Для компактной записи векторов в четырехмерной системе от счета можно ввести орт l нормальный к обычным ортам i, j, k. Тогда любой вектор (например, B) в четырехмерной системе отсчета запи шется в виде B = B1i + B2j + B3k +B4l, или B = b + B4l, где b - трехмерная часть вектора B четырехмерной системы отсчета, а B4l - его мнимая часть.

С учетом сказанного векторы S, v, p запишутся в виде S = r + ic l, (10.65) v ' + ic l v= (10.66), 1 p = m 0 v = p ' + imc l. (10.67) В уравнениях (10.65) – (10.67) S, v, p - векторы четырехмерной системы отсчета пространство-время, а r, v', p' - их трехмерные со ставляющие.

С учетом изложенного равенства (10.63, 10.64) можно записать так:

Релятивистская динамика.

(p ) ( ) N+M N + im c l = p 'n + im n c l, ' (10.68) =1 n = ( ) p = p ' + im c l = const. (10.69) В формулах (10.68, 10.69) указано разное число частиц, так как при взаимодействии (ударе) могут образоваться новые частицы.

Учитывая правила сравнения комплексных чисел, равенство (10.68) можно переписать в виде двух равенств (p ) = (p 'n ), N+M N ' (10.70) =1 n = (im c l ) = (im n c l ).

N+M N (10.71) =1 n = С учетом постоянства скорости света и l (10.71) запишется как (m ) = (m n ).

N+M N (10.72) =1 n = Равенство (10.70) отображает закон сохранения релятивистского импульса, а (10.72) - закон сохранения релятивистской массы (а зна чит, и энергии).

Отметим, что формулы (10.62) – (10.72), строго говоря, справед ливы лишь при взаимодействии материальных точек в одной и той же точке пространства. Если же материальные точки в пространстве dp = F становятся неверными.

времени разделены, то (10.62) и d Уравнение движения в компактной форме в теории относитель ности можно записать так:

d d ( p + imc l ) = F 1 2.

( p + imc l ) = F, или d dt С учетом того, что () ( ) F1 i + F2 j + F3 k 1 2 = f и F4 l 1 2 = i f v c получим dp ' =f, (10.73) dt d(imc l ) l = i( f v ). (10.74) dt c 176 Лекция Равенство (10.73) - трехмерная часть закона движения в четы рехмерной системе отсчета пространство-время или закон изменения трехмерной части импульса. Равенство (10.74) в проекции на орт l приводит, очевидно, к d( mc 2 ) = f v, dt что является законом изменения кинетической энергии.

То, что равенство (10.62) описывает взаимодействие, происхо дящее в одной и той же точке пространства-времени (т.е. мгновенный удар при непосредственном контакте обеих материальных точек), следует из самого равенства (10.62). Именно, представляя силу F в виде двух слагаемых, получим l f + i( f v ) c.

F= (10.75) Но тогда (10.62) распадается на два равенства:

f n, f,n = (10.76) 2 v vn 1 1 c c и f n, v n f,n v =. (10.77) 2 v vn 1 1 c c Эти два равенства не противоречат друг другу лишь при v = vn, а это означает, что обе взаимодействующие материальные точки движутся совместно, т.е. их взаимодействие происходит в точке.

10.4. Значение теории относительности Специальная теория относительности, сменившая теорию, соз данную Галилеем, Ньютоном и другими учеными имеет большое значение. Она:

1. Вывела физику из безвыходного положения с эфиром, неко вариантностью уравнений по отношению к преобразованиям коорди нат, связанных с переходом от одной системы к другой.

Релятивистская динамика.

2. Установила границы применимости законов классической ме ханики - они верны при движениях со скоростями, много меньшими скорости распространения света в вакууме.

3. Позволила глубже понять электромагнитные явления, в част ности показала относительность понятий E и B.

4. Заставила пересмотреть представления о пространстве и вре мени. Оказалось, что понятия "размер", "форма" тела, "раньше", "позже" - относительные понятия. Метрические соотношения и про межутки времени в пространстве - относительны. Однако расстояния S в четырехмерной системе отсчета пространство-время выражают ся через приращения координат x1, x2, x3 и x4 так же, как и в трехмерной системе отсчета. То же самое можно сказать и про углы, линии, поверхности. Все геометрические соотношения, вся метрика в теории относительности такая же, как и в геометрии Эвклида на плоскости (только на таком плоском многообразии всего два измере ния, два взаимно перпендикулярных направления, а в "мире" Мин ковского - четыре). В трехмерном пространстве свободное тело дви жется по прямой линии. Мировая линия такого тела в четырехмерной системе отсчета пространство-время - тоже прямая линия. Однако пе реход от четырехмерного многообразия Минковского (x1, x2, x3, x4) к реальному многообразию (x, у, z, t) приводит к тому, что квадрат пространственно-временного расстояния (квадрат интервала между двумя событиями) - не сумма квадратов приращений координат, а сумма-разность:

S2 = x2 + y2 z2 - c2t2.

Из-за наличия знака "минус" в этой "теореме Пифагора" имеют ся существенные отличия геометрии теории относительности от гео метрии классической физики. Поэтому геометрию теории относи тельности называют псевдоевклидовой (похожей на евклидову).

5. Установила совершенно неожиданные, с точки зрения класси ческих представлений, связи между массой и энергией, массой покоя, энергией и импульсом.

Нет ни одного факта или явления, противоречащего теории от носительности.

Подтверждениями этой теории являются:

1. Формула E = mc2, данная этой теорией, позволила использо вать внутриядерную энергию.

178 Лекция 2. Современные ускорители заряженных частиц строятся с уче m том того, что для ускоряемых частиц m =, если не учесть этой зависимости при проектировании и постройке ускорителя, то он просто не будет работать.

3. Некоторые элементарные частицы, например -мезоны, по отношению к нашей системе отсчета (Земли) живут дольше, чем по "своим часам". Собственное время жизни -мезонов порядка 10-8 с.

Они проходят путь (через толщу атмосферы) порядка 105 м. Так как они не могут двигаться со скоростью, большей скорости распростра нения света в вакууме, то для прохождения такого расстояния им не обходимо время t0,310-2 с, что явно больше времени их жизни.

Правда, живя по "своим часам" t'10-8 с, они проходят путь не 105 м, а меньший, так как проходимое ими расстояние для них "сжимается".

Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, и в системе отсчета, связанной с мезоном, такие события, как вход мезона в атмо сферу, достижение им поверхности Земли, оцениваются различными значениями t и t', r и r', как это следует из специальной теории относительности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основной 1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1989. Т. 1, 2, 3.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1995. 472 с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1980. Т.1 - 6.

Дополнительный 1. Физика: Сборник контрольных заданий по механике для сту дентов инженерно-технических специальностей /Курск. гос. техн. ун т. П.А. Красных, В.М. Пауков, В.М. Полунин, Г.Т. Сычёв;

Под ред.

В.М. Полунина. Курск, 1997. 93 с.

2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Выс шая школа, 1986. 208 с.

3. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности.

М.: Наука, 1977. 452 с.

Полунин Вячеслав Михайлович Сычев Геннадий Тимофеевич ФИЗИКА Физические основы механики Конспект лекций Редактор О.А. Петрова Компьютерная верстка и макет А.А.Гончарова Позиция плана № 35. ИД № 06430 от 10.12. Подписано в печать. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л..Уч.-изд. л.. Тираж 250 экз. Заказ.

Курский государственный технический книверситет Издательско–полиграфический центр Курского государственного тех нического университета: 305040, Курск, ул. 50 лет Октября,

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.