авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«МАТЕМАТИКА ос о а а 1992 г. ...»

-- [ Страница 2 ] --

Функции вида n n c x bx а) 144 = 144 x 5 = 144 (...)x 5... =......... x... = 720 ;

() x x () б) 1 5 = 1 x 5 =... ( 5)x 5....... =......x... =..... ;

6x 6.......

в) x = 1 (x 4 ) = 1 4 x... = 2 x...;

г) (4x34x4)R = …(x…)R = ….. x... =.........;

30 30 30 е) 7 =......... =.............;

ж) x =..........................

д) 33 = 3 (...........) =......... x... =......... ;

x x К материалу есть приложение на CD-диске, вложенном в № 12.

№10 (720) МАТЕМАТИКА Алгебра и начала анализа, 10– Производная суммы функций (f(x) + g(x))R = f R(x) + g R(x) г) (0,5x6 – 3x4 + 5x2 + 7x + 13)R = …;

д) x5 + 1 = (x5 ) + (x 1 ) = 5x... x...;

а) (6 + x3)R = 0 + 3x…;

x е) 5 + 13 = 5 + x... =... + 3x... = 3 ;

() ( ) б) 6x 4 + x = (6x 4 ) + 1 x = 6 4x... +... =............;

x 2 2 x...

...

...

) = x ( x+...

в) x + 1 =... x2 + 1 =...... +....... =........;

ж) + x =...

x2......

5 5... Алгебра и начала анализа, 10– Производная произведения функций (uv)R = uRv + vRu (kxn)R = k(xn)R = knxn – а) ((2x – 3)(3x2 + 1))R = (2x – 3)R(3x2 + 1) + (2x – 1)(3x2 + 1)R = 2(3x2 + 1) + 6x(2x – 3) = …...............;

б) ((x – 5)(2x – 5))R = (.........…)R(2x – 5) + (x – 5)(..............…)R = …............................................;

в) ((x2 + 1)sin x)R = (x2 + 1)R…..... + (x2 + 1)(.......…)R =...........................................................…;

г) (x2cos x)R = (....…)Rcos x +...…(…....)R = …..........................................................................;

д) (5x4)R = 5(x4)R =......x4 –... = 20x3;

е) 1 x 6 =... (...) = 1 6 x... =...................................................................................................

3... Алгебра и начала анализа, 10– Производная частного двух функций u uv vu = v v а) x 4 = (x 4)(3x 7) 2(...)(...) =... (3x 7) 3(.........) =........................... =......

;

3x 7 (3x 7) (3x 7) 2 (............)...

(.........) б) sin x = (sin x)(.........) (.........) sin x =......... = ;

cos x cos2 x (.........).........

в) 3x = (.........) cos x (.........)......... =............... = …………… = …………… cos x cos x...............

29 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) А. ШЕВКИН, Москва Теорема Менелая О теореме Чевы Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CВ отмечены читайте в № 9/ точки B1 и A1 соответственно, а на продолжении стороны AB отме чена точка C1 (рис. 17).

М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я Ш КО Л А Рис. а) Если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то AB1 CA1 BC = 1. (7) B1C A1B C1 A б) Если верно равенство (7), то точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой.

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (7) тот же, что и для равенства (1)*.

Вершины треугольника в каждом отношении и сами отноше ния записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — от вершины к вершине, проходя через точки деления (вну тренние или внешние).

Задание 22. Докажите, что при записи равенства (7) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение «а» любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение «б». Доказательство утверждения «б» приведено после первого способа доказательства утверждения «а».

Доказательство с помощью теоремы о пропорциональных отрезках Способ I. а) Идея доказательства заключается в замене от ношений длин отрезков в равенстве (7) отношениями длин отрез ков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l, параллельную прямой А1B1, она пересекает прямую АB в точке M (рис. 18).

* Нумерация отражает единство изложения с материалом из № 9;

то же с ри сунками.

№10 (720) МАТЕМАТИКА По теореме о пропорциональных отрезках Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой.

имеем: Из точек A, B и C проведем перпендикуляры АА0, AB1 C1 A и CA1 = C1M. BB0 и СС0 к этой прямой (рис. 20).

= A1B BC B1C C1M Из подобия трех пар треугольников: AA0B1 и CC0B1, CC0A1 и BB0A1, C1B0B и C1A0A (по двум углам), имеем верные равенства:

AB1 AA0 CA1 CC0 BC1 BB = = =,,, B1C CC0 A1B BB0 C1 A AA перемножив их, получим:

AB1 CA1 BC1 AA0 CC0 BB = = 1.

B1C A1B C1 A CC0 BB0 AA Рис. Тогда верно равенство Утверждение «а» теоремы Менелая доказано.

AB1 CA1 BC1 C1 A C1M BC = = 1.

B1C A1B C1 A C1M BC1 C1 A а) Уменьшим число используе Способ III.

Утверждение «а» теоремы Менелая доказано. мых пар подобных треугольников. Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку B Доказательство утверждения «б» теоремы проведем прямую l, параллельную прямой АС, Менелая она пересекает прямую А1B1 в точке M (рис. 21).

Пусть теперь верно равенство (7), докажем, что точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть пря мые АB и А1B1 пересекаются в точке С2 (рис. 19).

Рис. Из подобия двух пар треугольников, AB1C1 и BMC1, B1CA1 и MBA1, имеем:

Рис. 19 AB1 C1 A BM A1B = = и (9).

Так как точки А1 B1 и С2 лежат на одной пря- BM BC1 B1C CA мой, то по утверждению «а» теоремы Менелая Перемножив равенства (9), получим, что AB1 C1 A A1B AB1 CA1 BC = 1. (8) =, откуда следуют равенства:

B1C BC1 CA B1C A1B C2 A Из сравнения равенств (7) и (8) имеем:

AB1 CA1 BC1 C1 A A1B CA1 BC = = 1.

BC2 BC =, откуда следует, что верны равенства B1C A1B C1 A BC1 CA1 A1B C1 A C2 A C1 A Утверждение «а» теоремы Менелая доказано.

AC2 AC1 AB + BC2 AB + BC1 AB AB = = =,.

, C2 B C1B C2 B C1B C2 B C1B Доказательство с помощью площадей Последнее равенство верно лишь при условии C2B = C1B, то есть если точки С1 и С2 совпадают. Способ IV. Идея доказательства заключает Утверждение «б» теоремы Менелая доказано. ся в замене отношения длин отрезков из равен ства (7) отношениями площадей треугольников.

Доказательства с помощью подобия а) Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой.

треугольников Соединим точки C и C1. Обозначим площади тре Способ II. а) Идея доказательства заключа- угольников S1, S2, S3, S4, S5 (рис. 22).

ется в том, чтобы заменить отношения длин от резков из равенства (7) отношениями длин от резков, лежащих на параллельных прямых.

Рис. Тогда справедливы равенства:

AB1 S1 CA1 S3 C1B S = = = (10),,.

B1C S2 A1B S4 C1 A S4 + S Рис. 31 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) Перемножив равенства (10), получим: Решение. Обозначим AB1 = 7m, B1C = 8m, S1 S3 CA1 = 4k, A1B = 3k (рис. 24). По теореме Менелая AB1 CA1 C1B = = B1C A1B C1 A S2 (S4 + S5 ) для треугольника BCВ1 и секущей PA1 запишем верное равенство:

S1 S A B AC = 3 = 1 1 1 1 = 1. BP B1 A CA = 1, S4 + S5 S2 A1C1 A1B PB1 AC A1B Утверждение «а» теоремы Менелая доказано. откуда следует, что BP AC A1B 15m 3k = = =.

Подобно тому, как теорема Чевы остается PB1 B1 A CA1 7m 4k справедливой и в том случае, если точка пере сечения чевиан находится вне треугольника, те орема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продол жения сторон треугольника. В этом случае мож но говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство для случая внешних точек Рис. а) Пусть секущая пересекает стороны треуголь- Ответ:.

ника ABC во внешних точках, то есть пересекает продолжения сторон AB, BC и AC в точках C1, A Задание 24. (МГУ, заочные подготовитель и B1 соответственно и эти точки лежат на одной М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я Ш КО Л А прямой (рис. 23). ные курсы.) В треугольнике АВС, площадь кото рого равна 6, на стороне АВ взята точка K, де лящая эту сторону в отношении AK : BK = 2 : 3, а на стороне АС — точка L, делящая АС в отно шении AL : LC = 5 : 3. Точка P пересечения пря мых СK и ВL удалена от прямой АВ на расстоя ние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендику ляры PR и СМ на прямую АВ. Обозначим AK = 2n, Рис. 23 BK = 3n, AL = 5m, LC = 3m (рис. 25). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL Проведем прямую CM параллельно прямой AL CP KB А1С1. По теореме о пропорциональных отрезках = 1, отку запишем верное равенство:

LC PK BA имеем:

CP 3m 5n AB1 C1 A и CA1 = C1M. = = 1, CP = KP.

= да получим, что PK 5m 3n B1C C1M A1B BC Тогда верно равенство AB1 CA1 BC1 C1 A C1M BC = = 1.

B1C A1B C1 A C1M BC1 C1 A Утверждение «а» теоремы Менелая доказано.

Заметим, что приведенное доказательство со впадает с доказательством теоремы Менелая для Рис. случая, когда секущая пересекает две стороны Из подобия треугольников KMC и KRP (по треугольника во внутренних точках и одну во MC KC = двум углам) получим, что, откуда сле внешней. PR PK дует, что CM = 3.

Доказательство утверждения «б» теоремы Ме нелая для случая внешних точек аналогично до- Теперь, зная длину высоты, проведенной к казательству, приведенному выше. стороне AB треугольника ABС, и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны:

Задание 23. В треугольнике АВС точки А1, В AB = = 4.

лежат соответственно на сторонах ВС и AС. P — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Ответ: 4.

Задание 25. Три окружности с центрами А, В, AB1 : B1C = 7 : 8, CA1 : A1B = 4 : 3.

Найдите отношение BP : PB1. С, радиусы которых относятся как 11 : 12 : 9, ка №10 (720) МАТЕМАТИКА LG MD NE MK NF LA саются друг друга внешним образом в точках X, = 1, = 1, GM DN EL KN FL AM Y, Z как показано на рисунке 26. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, NH LB MC = 1.

считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY? HL BM CN Решение. Обозначим AY = 11k, CX = 9k, BZ = = 12k (рис. 26). Так как Перемножив их, получим:

AY CX BZ 11k 9k 12k = = 1, LG MD NE MK NF LA NH LB MC YC XB ZA 9k 11k 12k = 1. (11) GM DN EL KN FL AM HL BM CN то, по утверждению «б» теоремы Чевы, отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точ- Из теоремы о свойстве секущих, проведенных ке O. к окружности из одной точки, следует, что вер ны равенства: MDMC = AMBM, NENF = = CNDN, LALB = ELFL.

Сократив равные произведения отрезков в ле вой части равенства (11), получим верное равен ство LG MK NH = 1, GM KN HL означающее, на основании утверждения «б» те Рис. оремы Менелая для случая внешних точек, что Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отноше- точки G, H и K лежат на одной прямой.

BO нии. Найдем это отношение.

OY Задание 27. Докажите, что середины основа По теореме Менелая для треугольника BCY и ний трапеции, точка пересечения ее диагоналей BO YA CX и точка пересечения продолжений ее боковых = 1, откуда следу секущей OX имеем:

OY AC XB сторон лежат на одной прямой.

BO 20k 12k 80 В статье И.Ф. Шарыгина [5] нашлось утверж = = ет, что.

OY 11k 9k 33 дение, которое мы сформулируем ниже. Отме 80 тим только, что его доказательство было полу Ответ:.

33 чено как следствие теоремы Чевы, записанной в форме синусов. Так как у нас эта техника не ис Задание 26. (Теорема Паскаля.) Точки пере- пользовалась, то приведем иное доказательство сечения противоположных сторон вписанного того же утверждения. Для этого докажем теоре в окружность шестиугольника лежат на одной му о вписанном шестиугольнике.

Лемма 2. Если точки F и F1 принадлежит дуге прямой.

Доказательство. Пусть дан шестиугольник AE окружности и EF = EF1, то точки F и F1 совпа ABCDEF, вписанный в окружность. Продол- FA F1 A жения противоположных сторон AB и DE, BC дают.

и EF, CD и FA шестиугольника пересекаются в Доказательство. Пусть точка F1 принадле точках G, H и K соответственно (рис. 27).

жит дуге AFE окружности и EF = EF1. Проведем FA F1 A биссектрисы вписанных углов AFE и AF1E. Они пересекутся в середине дуги AE, не содержащей точек F и F1, и пересекут хорду AE в точках M и N (рис. 28).

Рис. Пусть прямые AB и EF, AB и СD, СD и EF пе ресекаются в точках L, M и N соответственно (точки L находится за пределами рисунка). По теореме Менелая для треугольника LMN имеем Рис. верные равенства:

33 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) В треугольниках AFE и AF1E, по свойству бис- Из равенств (12) и (14) следует, что для точек EF EM F и F1, принадлежащих дуге AE окружности, и EF1 = EN. Так = сектрисы угла, имеем:

FA MA выполняется равенство EF = EF1. Это означает, F1 A NA EM EN FA F1 A как EF = EF1 по условию, то =, то есть что точки F и F1 совпадают (лемма 2), а диагона MA NA FA F1 A ли AD, BE, CF пересекаются в одной точке.

точки M и N делят один и тот же отрезок в одном и Утверждение «б» теоремы о вписанном шестиу том же отношении, считая от одной и той же точ- гольнике доказано.

ки. Тогда точки M и N совпадают (лемма 1), и точ ки F и F1 совпадают, что и требовалось доказать. Задание 28. Докажите, что если противопо ложные стороны вписанного шестиугольника Теорема о вписанном шестиугольнике. Пусть ABCDEF равны, то его диагонали AD, BE, CF шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. пересекаются в одной точке.

а) Если его диагонали AD, BE, CF пересекают ся в одной точке, то верно равенство Теперь сформулируем утверждение 5 из ста тьи И.Ф. Шарыгина в виде очередного задания.

AB CD EF = 1. (12) BC DE FA Задание 29. Пусть из точки A, взятой вне б) Если верно равенство (12), то диагонали AD, BE, CF шестиугольника ABCDEF пересека- окружности, проведены две касательные AM и ются в одной точке. AN к окружности и две секущие и пусть P и Q — Доказательство. а) Пусть шестиугольник точки пересечения окружности с первой секу ABCDEF вписан в окружность и его диагонали щей, а точки K и L — со второй. Тогда прямые PK, М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я Ш КО Л А AD, BE, CF пересекаются в точке O (рис. 29). QL и MN пересекаются в одной точке (рис. 30).

Докажите это.

Рис. Рис. Имеется три пары треугольников, подобных по двум углам (вертикальные углы равны, впи- Доказательство. Рассмотрим шестиуголь санные углы, опирающиеся на одну дугу окруж- ник PLNKQM (рис. 31).

ности, равны): AOB и EOD, BOC и FOE, COD и AOF. Их стороны пропорциональны, поэтому верны равенства:

AB BO EF FO CD DO = = = (13),,.

DE DO BC BO FA FO Перемножив равенства (13), получим равен ство (12).

Утверждение «а» теоремы о вписанном шести угольнике доказано.

Рис. б) Пусть теперь шестиугольник ABCDEF впи сан в окружность и выполняется равенство (12). Треугольники APM и AMQ, ALN и ANK по Докажем, что диагонали AD, BE, CF пересека- добны по двум углам, следовательно, их стороны ются в одной точке. пропорциональны:

Через точку O пересечения диагоналей AD и BE MP AM LN AN = = (15).

, проведем луч CO. Этот луч пересечет окружность в QM AQ NK AK точке F1. Тогда по утверждению «а» теоремы о впи- Из подобия треугольников AQL и AKP (по санном шестиугольнике верно равенство двум углам) имеем:

AQ AL, или AP = AL.

= AB CD EF = 1. (14) AK AP AK AQ BC DE F1 A №10 (720) МАТЕМАТИКА Задание 32. На рисунке 32 показано, как с по Тогда треугольники APL и AKQ подобны (по двум сторонам и углу между ними), а их стороны мощью одной линейки через данную точку вне пропорциональны: окружности провести касательную. Дайте обо KQ AQ снование этому способу построения.

=. (16) PL AL Выражаю благодарность учителям физ Перемножив равенства (15) и (16), получим: матшколы № 2007 г. Москвы П.В. Чулкову, Д.В. Прокопенко, Н.А. Ленской за участие в об MP LN KQ AM AN AQ = (17).

суждении статьи и полезные советы. Особая бла QM NK PL AQ AK AL Так как касательные AM и AN равны и вер- годарность за ценные редакционные замечания но равенство AM2 = AKAL, то из равенства (17) доценту кафедры прикладной математики Са следует, что марского аэрокосмического университета име MP LN KQ ни академика С.П. Королева С.В. Дворянинову, = 1.

а также В.М. Бусеву.

PL NK QM Тогда, по теореме о вписанном шестиуголь Литература нике, диагонали PK, QL и MN пересекаются в 1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.

одной точке, что и требовалось доказать.

«Из утверждения 5, — писал Игорь Федоро- и др. Геометрия. Дополнительные главы к учебни вич, — следует, что с помощью одной линейки ку 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ через данную точку вне окружности можно про- и классов с углубленным изучением. — М.: Вита вести касательную». Способ построения показан Пресс, 2005. — 208 с.

2. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Замечатель на рисунке 32.

ные точки и линии треугольника // Математика, 2006, № 17.

3. Мякишев А.Г. Элементы геометрии тре угольника. — М.: МЦНМО, 2002. — (Библиоте ка «Математическое просвещение».) 4. Эрдниев П., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая // Квант, 1990, № 3, с. 56–59.

5. Шарыгин И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая// Рис. До сих пор мы доказывали, что прямые пере- Квант, 1976, № 11, с. 22–30.

6. Вавилов В.В. Медианы и средние линии тре секаются в одной точке, что три точки лежат на одной прямой и т. п., а утверждение 5 позволя- угольника // Математика, 2006, № 1, с. 11–15.

7. Ефремов Д. Новая геометрия треугольни ет решить красивую задачу на построение с огра ниченными средствами. ка. — Одесса, 1902. — 334 с.

Ф О ТО Н А КО Н К У Р С Симметрия и квиллинг накануне летних каникул Автор: О.А. Ефремова, учитель математики основной школы с. Яблоновка Саратовской обл.

35 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) Г. ФАЛИН, А.

А. ФАЛИН, Москва Выделение полного квадрата является одним из основных преобра зований квадратного трехчлена. Оно играет ключевую роль при выводе формулы корней квадратного уравнения, по М Е ТО Д И Ч Е С К А Я КО Н Ч У Л ЬТА Ц И Я строении графика квадратичной функции, доказательстве формулы для разложения квадратного трехчлена на линей ные множители. В настоящей статье на примере задач, пред лагавшихся в разные годы на вступительных экзаменах и олимпиадах МГУ им. М.В. Ломоносова, мы расскажем, как это преобразование может быть применено для решения спец ифических, нестандартных систем алгебраических уравне ний (то есть уравнений, левая и правая части которых явля ются многочленами от одной или нескольких переменных).

Общая схема решения Очень часто сложная система алгебраических уравнений устро ена так, что одно из уравнений после надлежащей группировки членов можно записать в виде A2 + B2 = 0. (1) Поскольку сумма двух неотрицательных чисел может быть рав на нулю тогда и только тогда, когда они оба одновременно рав ны нулю, это преобразование позволяет сделать вывод о том, что уравнение A2 + B2 = 0 равносильно системе из двух уравнений A = 0, B = 0:

A = 0, A2 + B2 = 0 (2) B = 0.

Это уравнение проще исходного, так как содержит меньше чле нов и, самое главное, их степень вдвое меньше степени исходно го уравнения. Как правило, уравнения A = 0, B = 0 — линейные, что позволяет применить метод исключения неизвестных и ре шить систему стандартным приемом.

Описанная общая схема может модифицироваться: иногда для получения выражения вида (1) нужны более сложные преобразо вания, чем просто группировка членов (например, рассмотрение линейной комбинации уравнений системы), иногда вместо выра жения вида (1) получается выражение вида A2 + B2 + C2 = 0.

Менее стандартной является модификация общей схемы (2), когда исходная система, скажем, из двух уравнений приводится к виду A2 + B2 = f (x), C + D = g (x).

№10 (720) МАТЕМАТИКА Из этой системы следует система двух нера- Решение. Рассмотрим первое уравнение как венств с одной неизвестной x: квадратное относительно неизвестной x;

не f (x) 0, известную y будем считать параметром. Это, в g (x) 0, частности, означает, что уравнение нужно пере причем задача ставится так, что множество M ре- писать:

10x2 – 2(y + 19)x + (5y2 – 6y + 41) = 0.

шений этой системы неравенств не содержит беско нечных интервалов, то есть либо пусто, либо состоит Теперь выделим полный квадрат:

из конечного числа изолированных точек x = x1, …, y + 19 5y2 6y + x = xn (обычно одной-двух). Если M =, то это озна- = x2 2 x+ 10 чает, что исходная система не имеет решений. Если 2 x2 2 y + 19 x + y + 19 y + 19 + 5y 6y + 41 = же M — конечное непустое множество, то это озна- 10 10 чает, что мы нашли возможные значения неизвест 2 x y + 19 + 7 (y 1) = 0.

ной x. После этого исходная система распадается на 10 10 соответствующее число систем, в каждой из кото рых одно из уравнений имеет вид x = x0, так что эти Используя преобразование (2), мы получим, системы обычно решаются без труда. что первое уравнение исходной системы равно Задачи приведенных выше типов можно найти сильно системе y + в хорошо известных учебниках и учебных посо- x = 0, биях по алгебре. При этом рассматривается, как y 1 = 0, правило, небольшое число задач. Но идея выде- ления полного квадрата настолько важна и кра- которая тривиально решается;

она имеет един сива, что нужно о ней почаще вспоминать. Рас- ственное решение (x;

y) = (2;

1).

сматриваемые ниже задачи допускают различ- Соответственно, в исходной системе первое ные решения. Мы умышленно ограничиваемся уравнение с двумя неизвестными имеет един только методом выделения полного квадрата. ственное решение (x;

y) = (2;

1).

Оно будет решением исходной системы тогда и Примеры решения задач только тогда, когда удовлетворяет второму урав Задача 1. (Химический факультет, 1998, июль, нению системы. Убедиться в этом можно про № 3.) Найдите все решения системы уравнений стой подстановкой.

x + y + 2(x y) + 2 = 0, Ответ: {(2;

1)}.

z + xz + yz 4 = 0.

Задача 3. (Факультет государственного Решение. Первое уравнение системы можно управления, 2003, июль, № 6.) Решите систему переписать в виде:

уравнений x2 + y2 + 2x – 2y + 2 = 0 (x2 + 2x + 1) + x + y + z = 2, + (y2 – 2y + 1) = 0 (x + 1)2 + (y – 1)2 = 0.

2xy z = 4.

Используя преобразование (2), мы получим, что первое уравнение исходной системы равно Решение. После исключения из первого урав сильно системе x + 1 = 0, нения неизвестной x: x = 2 – y – z, второе уравне y 1 = 0, ние системы примет вид:

2y2 + z2 + 2yz – 4y + 4 = которая тривиально решается;

она имеет един (y + 2yz + z2) + (y2 – 4y + 4) = ственное решение (x;

y) = (–1;

1).

(y + z)2 + (y – 2)2 = 0.

Таким образом, в исходной системе первое уравнение с двумя неизвестными имеет един- Используя преобразование (2), мы полу ственное решение (x;

y) = (–1;

1). чим, что последнее уравнение равносильно Теперь второе уравнение системы примет вид системе z2 – 4 = 0, откуда z = ±2. Соответственно, исхо y + z = 0, дная система имеет два решения:

y 2 = 0, (x;

y;

z) = (–1;

1;

2), (x;

y;

z) = (–1;

1;

–2).

Ответ: {(–1;

1;

2);

(–1;

1;

–2)}. которая тривиально решается;

она имеет един ственное решение (y;

z) = (2;

–2). Восстанавли Задача 2. (Факультет почвоведения, 1979, вая исключенную неизвестную x:

№ 5.) Найдите все решения системы x = 2 – y – z = 2, мы получим, что исходная система имеет един 10x 2 + 5y2 2xy 38x 6y + 41 = 0, ственное решение (x;

y;

z) = (2;

2;

–2).

3x 2y + 5xy 17x 6y + 20 = 0.

Ответ: {(2;

2;

–2)}.

37 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) Задача 4. (Олимпиада «Покори Воробьевы Возвращаясь к основным неизвестным x, y, z, горы», 2011, 9–10-е классы, № 2.) Решите систему мы получим, что второе уравнение исходной си x 2 2y + 2 = 0, стемы равносильно системе 2 y = 1, y + 4z + 3 = 0, z = x 2.

z + 4x + 4 = 0.

Решение. Если сложить все три уравнения си- Теперь первое уравнение исходной системы стемы, то получившееся уравнение-следствие примет вид:

7x2 – 2x = 0.

можно записать в виде Оно имеет два корня: x1 = 0, x2 =. Соответ (x + 2)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 0.

Это равенство равносильно тому, что x = –2, ственно, исходная система имеет два решения:

y = 1, z = –2.

(0;

1;

–2) и 2 ;

1;

12.

Таким образом, если исходная система име- 7 ет решение, то это может быть только тройка Ответ: (0;

1;

–2), 2 ;

1;

12.

x = –2, y = 1, z = –2. Однако проверка показыва 7 ет, что этот набор неизвестных не удовлетворяет Задача 6. (Олимпиада механико-математи первому и второму уравнениям.

Ответ:. ческого факультета, 2002, 8-й класс, № 6.) Су ществуют ли рациональные числа x, y, u, v, удо М Е ТО Д И Ч Е С К А Я КО Н Ч У Л ЬТА Ц И Я Задача 5. (Олимпиада «Покори Воробьевы влетворяющие уравнению (x + y 2 ) + (u + v 2 ) = 7 + горы», 2011, 11-й класс, № 8.) Решите систему 2 2?

5x + 3y + 3xy + 2xz yz 10y + 5 = 0, 2 Решение. Допустим, что уравнение 49x + 65y + 49z 14xy 98xz + 14yz 182x 102y + 182z + 233 = 0.

2 2 (x + y 2 ) + (u + v 2 ) = 7 + 2 Решение. Обращая внимание на то, что 49x2 = (7x)2, 49z2 = (7z)2, 14xy = 27xy, имеет решение, где x, y, u, v — рациональные 98xz = 27x7z, 14yz = 2y7z, 182x = 267x, числа.

182z = 267z, Раскрывая скобки в левой части, перепишем перепишем второе уравнение: уравнение:

x 2 + 2xy 2 + 2y2 + u2 + 2uv 2 + 2v2 = 7 + 5 2. (3) (7x)2 + (7z)2 – 27xy – 27x7z + + 2y7z – 267x + 267z + 65y2 – 102y + 233 = 0. Из иррациональности числа 2 следует, что равенство a + b 2 = 0, где a и b — рациональные, Обозначим (для сокращения записей) a = –7x, c = 7z и (для симметрии обозначений) b = y: равносильно равенствам a = 0, b = 0. В нашей за a2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + даче это означает, что уравнение (2) равносиль + 26(a + c) + 65b2 – 102b + 233 = 0. но системе Выражение a2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc являет- x 2 + 2y2 + u2 + 2v2 = 7, (4) ся «осколком» известной формулы: (a + b + c)2 = 2xy + 2uv = 5.

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. Имея это в виду, «отщепим» от члена 65b2 член b2 и применим эту Итак, задача решения исходного уравнения формулу: свелась к решению системы (4). Начиная с этого (a + b + c)2 + 26(a + c) + 64b2 – 102b + 233 = 0. места рациональность чисел x, y, u, v уже не бу Второе слагаемое 26(a + c) содержит выраже- дет играть никакой роли.

ние a + c, которое является частью выражения Первое уравнение системы (4) содержит две a + b + c. Имея это в виду, «отщепим» от члена группы членов ( 2y ) и u ( 2v ), –102b член 26b: 2 x 2 + 2y2 = x 2 + + 2v2 = u2 + (a + b + c)2 + 26(a + b + c) + + 64b2 – 128b + 233 = 0. которые можно дополнить до полных квадратов, Поскольку 128b = 642b, естественно продол- если из этого уравнения вычесть второе уравне жить преобразования следующим образом: ние, умноженное на 2 :

(a + b + c)2 + 26(a + b + c) + (x )( ) + 64(b2 – 2b) + 233 = 0 (a + b + c)2 + 2 2xy + 2y2 + u2 2 2uv + 2v2 = 7 5 + 26(a + b + c) + 64(b2 – 2b + 1) + 169 = ( ) + (u ) =7 ((a + b + c) + 13)2 + 64(b – 1)2 = 0 2 x 2y (5) 2v 2.

a + b + c + 13 = 0, Число 7 5 2 отрицательно:

b = 1. 7 5 2 0 7 5 2 49 50, №10 (720) МАТЕМАТИКА (x + 3)3 = 3 2y, и потому уравнение (5), а вместе с ним и исхо z + 4y = 8y, дная система, из которой это уравнение следует, (6) не имеют решений.

(2z x)(x + 3) = 5x + 16, Ответ: нет. z 0.

Задача 7. (Географический факультет, 1981, Рассмотрим второе уравнение системы как № 5.) Найдите все решения системы уравнений квадратное относительно y, а третье — как ква дратное относительно x и выделим в них пол y xy + 1 = 0, 2 ные квадраты. Кроме того, сохраним неравен x + 2x = y 2y 1.

ство z 0:

4(y 1)2 = z2 + 4, Решение. Рассмотрим уравнения системы как квадратные относительно y и выделим полные (x (z 4) ) = z 2z, 2 квадраты:

z 0.

x x y = 1, Поэтому из исходной системы следует система 2 трех неравенств относительно одной неизвест (y + 1)2 = x 2 2x.

ной z:

Поэтому из исходной системы следует система z2 + 4 0, двух неравенств относительно одной неизвест z 2z 0, (7) ной x:

z 0.

x 1 0, x 4, Множество решений подсистемы, составлен x(x + 2) 0.

ной из двух первых неравенств, состоит из отрез x 2 2x ка [–2;

0] и изолированной точки z = 2. Однако Множество решений первого неравенства по- если учесть третье неравенство, то мы получим, следней системы состоит из двух лучей: (–;

–2] что множество решений системы (7) состоит из и [2;

+ ), а множеством решений второго нера- двух точек: z = 0 и z = 2. Теперь, кстати, понят венства является отрезок [–2;

0]. Эти два множе- но, зачем в условие задачи добавили неравенство z 0 — нужно было как-то бесконечное множе ства пересекаются в единственной точке: x = –2.

Итак, из исходной системы следует, что ство [–2;

0] превратить в конечное.

x = –2. Если к этому равенству добавить оба урав- Итак, из исходной системы следует, что z = нения исходной системы, то получим систему, или z = 2. Если к этим равенствам добавить урав равносильную исходной: нения исходной системы, то мы получим сово купность из двух систем, которая равносильна x = 2, y2 xy + 1 = 0, исходной системе:

y xy + 1 = 0, z = 2, z = 0, x + 2x = y 2y x + 2x = y 2y 1. (x + 3) = 3 2y, (x + 3) = 3 2y, При подстановке во второе и третье уравне- z + 4y = 8y, z + 4y = 8y, ния последней системы значения x = –2 мы по (2z x)(x + 3) = 5x + 16;

(2z x)(x + 3) = 5x + 16.

лучим одно и то же уравнение y2 + 2y + 1 = 0, ко- торое имеет единственный корень y = –1. Соот- При подстановке в уравнения этих систем соответ ветственно, исходная система имеет единствен- ствующих значений z мы получим совокупность:

z = 0, z = 2, ное решение (–2;

–1).

Ответ: {(–2;

–1)}.

(x + 3) = 3 2y, (x + 3) = 3 2y, 3 2 y 2y = 0, y 2y + 1 = 0, Задача 8. (Факультет ВМК, устный экзамен, x 2 + 8x + 16 = 0;

x 2 + 4x + 4 = 0.

2001.) Найдите все решения системы уравнений (x + 3)3 = 3 2y, Для первой системы (в которой z = 0) послед 2 нее уравнение дает x = –4. Оставшиеся уравне z + 4y = 8y, ния системы дают y = 2. Поэтому решением пер (2z x)(x + 3) = 5x + 16, вой системы будет тройка (x;

y;

z) = (–4;

2;

0).

удовлетворяющие условию z 0. Для второй системы (в которой z = 2) послед Решение. Дополнительное условие задачи, что нее уравнение дает x = –2. Оставшиеся уравне z 0, фактически означает, что решать нужно не ния системы дают y = 1. Поэтому решением вто систему из трех уравнений, а систему из трех рой системы будет тройка (x;

y;

z) = (–2;

1;

2).

уравнений и неравенства z 0: Ответ: {(–4;

2;

0);

(–2;

1;

2)}.

39 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) Задачи для самостоятельного решения y + 2 = (3 x)3, 9. (Факультет ВМК, устный экзамен, 2002.) (2z y)(y + 2) = 9 + 4y, Найдите все решения системы уравнений М Е ТО Д И Ч Е С К А Я КО Н Ч У Л ЬТА Ц И Я x + y + z = 4, x + z = 4x, 2xy z = 16.

удовлетворяющие условию z 0.

10. (Черноморский филиал МГУ, 2003, № 7.) 14. (Факультет ВМК, 1984, № 5.) Найдите Найдите все тройки чисел (x;

y;

z), удовлетворя ющие системе уравнений все решения (x;

y;

z) системы уравнений x + 2y + z = 2, x 3 + x 2 (13 y z) + x(2y + 2z 2yz 26) + 5yz 7y 7z + 30 = 0, 4xy 4y z = 1.

x + x (17 y z) x(2y + 2z + 2yz 26) + y + z 3yz 2 = 0, 11. (Олимпиада «Покори Воробьевы горы», такие, что x принадлежит отрезку [4;

7].

2006, № 9.) Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, удовлетворяющие уравнению Ответы: 9. {(4;

4;

–4)}. 10. 2;

;

1. 11. Нет.

( )( ) 6 x+y 2 + u+v 2 =7+5 2? Докажите, что левая часть Указание.

12. (Географический факультет, 1981, № 5.) уравнения может быть записана в виде Найдите все решения системы уравнений ( )( ) 2 x + y 2 + u + v 2, где xR, yR, uR, vR — x 2 y2 2x + y2 = 0, рациональные. 12. {(1;

–1)}. 13. {(2;

–1;

2);

2x 4x + 3 + y = 0.

(4;

–3;

0)}. 14. {(7;

6;

6)}. Указание. Рассмотрите 13. (Биологический факультет, 1993, № 6;

систему как систему относительно двух неизвест химический факультет, 1978, № 5.) Найдите ных y и z (x считайте параметром) и решите ее с все решения системы уравнений помощью новых неизвестных a = y + z, b = yz.

Автор: Нарушева Маша.

ТВОРЧЕСК АЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ Учитель: Т.В. Тараканова, Большетолкайская средняя школа «КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ» Самарской области «Львенок»

(–1,5;

3), (–2,5;

1), (–3;

–1), (–2,5;

–5), (–3,5;

–5,5), (–4;

–6), (–4;

–6,5), (–1,5;

–6,5), (–1;

–6), (–1;

–2), (0;

–1,5), (1;

–2), (1;

–6), (1,5;

–6,5), (4;


–6,5), (4;

–6), (3,5;

–5,5), (2,5;

–5), (3;

–1), (2,5;

1), (1,5;

3), (4;

–1), (4;

–4), (5;

–4), (5,5;

–5), (5,25;

–5,5), (6;

–6), (6;

–6,75), (5,5;

–7,5), (3,5;

–8), (1;

–8), (0,5;

–8,25), (–0,5;

–8,25), (–1,5;

–7,75), (–0,5;

–7,25), (0,5;

–7,25), (1;

–7,5), (3,5;

–7,5), (5;

–7,25), (5,5;

–6,75), (5,5;

–6,25), (5;

–6), (4;

–6), (4;

–6,5), (1,5;

–6,5), (1;

–6), (–1;

–6), (–1,5;

–6,5), (–4;

–6,5), (–4;

–6), (–5;

–6), (–5,5;

–5), (–5;

–4), (–4;

–4), (–4;

–1), (–1,5;

3), (–1;

3,25), (–0,5;

2,5), (0;

3), (0,5;

2,5), (1;

3,25), (1,5;

3), (2;

3,5), (2,5;

3,5), (2,5;

4), (3;

4), (3;

4,5), (3,5;

5), (3;

5,5), (3,5;

6), (3;

6,5), (3,5;

7), (3;

7,5), (3;

8), (2,5;

8), (2,5;

8,5), (2;

8,5), (2;

9), (1,5;

8,75), (1;

9,25), (0,5;

9), (0;

9,5), (–0,5;

9), (–1;

9,25), (–1,5;

8,75), (–2;

9), (–2;

8,5), (–2,5;

8,5), (–2,5;

8), (–3;

8), (–3;

7,5), (–3,5;

7), (–3;

6,5), (–3,5;

6), (–3;

5,5), (–3,5;

5), (–3;

4,5), (–3;

4), (–2,5;

4), (–2,5;

3,5), (–2;

3,5), (–1,5;

3).

Мордочка: (0;

3,5), (–1,5;

4), (–2,5;

5), (–2,75;

6), (–2,5;

7), (–1,5;

8), (0;

8,5), (1,5;

8), (2,5;

7), (2,75;

6), (2,5;

5), (1,5;

4), (0, 3,5). Уши: 1) (–3;

7,5), (–3,5;

8), (–3,5;

8,5), (–3;

9), (–2;

9);

2) (2;

9), (3;

9), (3,5;

8,5), (3,5;

8), (3;

7,5). Глаза: (–1;

6,5) и (1;

6,5). Пасть: (–0,5;

4,25), (0;

4,5), (0,5;

4,25), (1;

4,5), (1;

5), (0,5;

5,25), (0;

5), (–0,5;

5,25), (–1;

5), (–1;

4,5), (–0,5;

4,25), (0;

4), (0,5;

4,25). Усы: 1) (0,5;

5), (2;

6);

2) (0,5;

4,75), (2,5;

4,75);

3) (0,5;

4,5), (2;

4);

4) (–0,5;

4,5), (–2;

4);

5) (–0,5;

4,75), (–2,5;

4,75);

6) (–0,5;

5), (–2;

6).

№10 (720) МАТЕМАТИКА И. ИОФЕ, г. Санкт-Петербург Данная тема рассматривается, как прави ло, в курсе алгебры 7-го класса. В учебниках приводятся три спо соба решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвест ными: способ подстановки, способ сложения и графический спо соб. Эти способы решения хороши, если хотя бы в одном уравне нии хотя бы один из коэффициентов равен 1 или –1. Рассмотрим систему, в которой пары коэффициентов при x и y являются вза имно простыми числами, среди которых нет ±1, например, П Р Е Д Л А Г А Ю КО Л Л Е Г А М 4x + 5y = 7, 3x 8y = 2.

Графическим способом эту систему решить невозможно.

Решим ее способом подстановки.

7 5y x = 4, 4x + 5y = 7, 3 7 5y 8y = 2.

3x 8y = 2;

Умножим обе части второго уравнения на 4 и раскроем скобки.

7 47 5 7 5 7 5y 7 5y x =, 47, x = x = x = 47,, 4 4 y = 13 ;

21 15y 32y = 8;

47y = 13;

y = ;

264 x = 47 4, x = 47, y = 13 ;

y = 13.

47 Ответ: 66 ;

13.

47 Как мы видим, решение достаточно громоздкое и требует боль шой вычислительной работы. Немногим легче и решение данной системы способом сложения.

4x + 5y = 7, | 8 32x + 40y = 56, 3x 8y = 2;

| 5 15x 40y = 10.

Сложим эти уравнения, второе уравнение оставим без изменений.

32x + 40y + 15x 40y = 56 + 10, 47x = 66, 3x 8y = 2;

3x 8y = 2.

№10 (720) МАТЕМАТИКА Найдем x из первого уравнения и подставим дополнительных множителей, а вторым уравне его во второе. нием — на вторую.

x = 47, 8(4x + 5y) + 5(3x 8y) = 8 7 + 5 2, 3(4x + 5y) 4(3x 8y) = 3 7 4 2;

3 66 8y = 2.

32x + 40y + 15x 40y = 56 + 10, Решая второе уравнение, находим y. 12x + 15y 12x + 32y = 21 8;

66 198 104 П Р Е Д Л А Г А Ю КО Л Л Е Г А М ;

y = ;

y = 8y = 3 2;

8y = 2;

8y =.

47 8 47 47 47 47 x = 47, 47x = 66, Ответ: 66 ;

13.

47y = 13;

y = 13.

47 Ответ: 66 ;

13.

При нахождении y мы опять столкнулись с объ 47 емными вычислениями с дробными числами.

Я обучаю своих учеников решать такие си- При решении систем двух линейных уравне стемы способом, который я назвала «способом ний с двумя переменными этим способом реше двойного сложения». ние становится существенно короче и нигде не Подберем к уравнениям две пары допол- приходится складывать или вычитать дробные нительных множителей: первую так, чтобы числа. Это значит, что решение не только зани при одной из переменных коэффициенты ста- мает меньше времени, но и уменьшается вероят ли противоположны, а вторую так, чтобы они ность допустить в нем арифметическую ошибку.

были противоположны при другой перемен- Отметим в заключение, что системы уравне ной. ний, имеющие кратные коэффициенты, этим способом решаются почти устно.

4x + 5y = 7, | 8 | 5x = 25, x = 5, 2x + y = 13, | ( 3) | 3x 8y = 2. | 5 | ( 4) | ( 2) 5y = 15;

y = 3.

x + 3y = 14;

| Запишем первым уравнением системы сумму данных уравнений, умноженную на первую пару Ответ: (5;

3).

Данные автора Сделать это несложно: надо лишь написать статью и Фамилия прислать ее в редакцию газеты. И еще одно условие — она должна быть интересна и полезна вашим коллегам. Имя Требования к оформлению статьи таковы: Отчество Материал должен быть либо напечатан, на компью- Дата рождения тере или на пишущей машинке. Место рождения Рисунки должны быть четкими, аккуратными, вы- Паспорт полненными на белой нелинованной или клетчатой бу Серия № Когда выдан маге с помощью чертежных инструментов. Если вы хоро Кем выдан шо владеете компьютером, можете воспользоваться для Адрес прописки этого программой Corel Draw.

Индекс город Рисунки надо пронумеровать, нумерация должна Улица соответствовать их нумерации в тексте.

Фотографии могут быть цветными или черно-белыми. Дом корпус квартира Формат фотографий, отпечатанных на бумаге, не ме- Адрес проживания нее 10 15 см. Размер цифровых фотографий не менее Индекс город 800 600 пикселей, формат JPG, качество, используе Улица мое при сохранении JPG-файлов, высокое (high).


Дом корпус квартира Прислать статью можно по почте или по электронной почте. Всю необходимую для этого информацию вы най Телефон дете на последней странице 2 газеты.

Номер пенсионного страхового свидетельства Для выплаты гонорара необходимо заполнить ав торскую карточку.

ИНН (можно не указывать) Приглашаем вас к сотрудничеству и желаем удачи!

№10 (720) МАТЕМАТИКА 43 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) Д Л Я Л Ю Б О З Н АТЕЛ Ь Н Ы Х УЧ Е Н И КО В И И Х УЧ И ТЕЛ Е Й Часы на башне кремля в Суздале (автор фотографии — С.Г. Григорьев) «Бородовой знак» – своеобразная квитанция об оплате пошлины за небритую бороду Д. ЗЛАТОПОЛЬСКИЙ, Москва В оформлении статьи использованы фото с сайта:

http://ru.wikipedia.org Буквенная цифирь Мы не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.

Платон В Древней Руси числа записывались с помощью букв приме нявшегося тогда славянского алфавита (поэтому такую систему называли буквенной цифирью). Чтобы отличить буквы-числа от обычных букв, над ними ставился специальный знак «~» — так называемый титлоX — в виде ломаной или искривленной ли нии.

Числа от 1 до 9 записывали так:

1 2 3 4 5 6 7 8 Л Е К ТО Р И Й Числа от 11 до 19 выглядели так, как показано на рисунке:

11 12 13 14 15 16 17 18 Обратите внимание, что числа от 11 до 19 записывали так же, как говорили: «один — над десять», …, «девять — над десять», то есть цифру единиц ставили до цифры десятков, и знак титло ста К материалу есть приложение на CD-диске, вложенном в № 12.

№10 (720) МАТЕМАТИКА вился только один — над всем числом. Одно из стал использоваться тысячный знак « », кото подтверждений этого — часы на колокольне Суз- рый записывался перед числом десятков тысяч дальского кремля. или сотен тысяч [1].

Десятки обозначались так: Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлась «колода», и равня 10 20 30 40 50 60 70 80 лась она 1050. Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Описанный способ записи чисел можно рас сматривать как зачатки позиционной системы, а сотни так:

так как в нем для обозначения единиц разных 100 200 300 400 500 600 700 800 разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значения разряда.

В России буквенная цифирь активно исполь зовалась до начала XVII в.: в гражданской азбу Благодаря использованию 27 цифр запись ке Петра I (1710 г.) буквенные цифры даны па даже трехзначных чисел была достаточно корот- раллельно с арабскими в разделе «Число цер кой (вы, очевидно, знаете, чем меньше цифр ис- ковное и арифметическое».

пользуется в системе счисления, тем длиннее за- В заключение заметим, что системы счисле пись чисел в ней, — вспомните представление ния, в которых для записи чисел используют чисел в двоичной системе). Например, число 544 ся буквы некоторого алфавита, называют «ал выглядело так: фавитными». К числу таких систем, кроме бук Тысячи обозначались теми же буквами с тит- венной цифири («славянская алфавитная си лами, что и первые девять цифр, но у них сле- стема»), относились также ионийская (грече ва внизу ставился знак « » («тысяща»): ская), финикийская и другие.

Задания для самостоятельной работы Например, число 1135 записывалось так:

учащихся Десятки тысяч назывались «тьмы». До XVI в.

1. Запишите в славянской алфавитной системе их обозначали, обводя знаки единиц кружка ми, например, числа 10 000, 20 000, 50 000 со- следующие десятичные числа: а) 15;

б) 83;

в) 516;

ответственно записывались следующим обра- г) 557;

д) 4 818;

е) 5 642;

ж) 70 241 (без использо зом: вания кружочков).

2. На фото (см. с. 44) изображен «бородовой Отсюда пошли выражения: «тьма народу»

(то есть очень много народу);

«тьма-тьмущая» знак», введенный Петром I после его возвраще (очень много, бесчисленное множество). ния из знаменитого путешествия в Европу. Царь 10 тем (множественное число от слова «тьма»), ввел новый порядок, по которому бояре должны или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее были брить бороду. Те, кто не хотел подвергаться называли «легион». такому «позору», должны были заплатить боль Миллионы назывались «леодрами». До XVI в. шую пошлину и носить при себе «квитанцию» об их обозначали, обводя знаки единиц кружками оплате этой пошлины — «бородовой знак». Над из лучей или запятых. Так, число 2106 обозна- пись на знаке в первой строке под гербом озна чалось так:. чает не «аще», как может показаться на первый В XVI–XVII вв. для записи десятков и сотен взгляд, а год изготовления знака. Определите тысяч вместо кружочков (сплошных и из лучей) его.

Суздальский кремль 45 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) Дощаной счет (реконструкция) Современные счеты.

Счеты с четырьмя полями Китайский суаньпань.

Отложено число 725,34 Отложено число Как считали на счетах ряда. Последние использовались для отклады Д Л Я Л Ю Б О З Н АТЕЛ Ь Н Ы Х УЧ Е Н И КО В И И Х УЧ И ТЕЛ Е Й Русские счеты… с наглядностью приемов… со- вания копеек (при денежных расчетах) или де единяют в себе и все существенные для усвое- сятых, сотых и тысячных долей чисел (в общем ния понятия не только о десятичной системе, случае), то есть неполный ряд являлся, выража но, с изменением числа косточек, и всякой дру- ясь математически, «разделителем целой и дроб гой системы счисления. ной частей».

Для наглядности вычислений костяшки сче В.Я. Буняковский тов имели двухцветную окраску. Пятая и шестая Вряд ли найдется ученик, не слышавший о костяшки на каждой проволоке окрашивались в русских счетах. А знают ли ваши ученики, как темный (черный) цвет, остальные — в светлый.

считать на счетах? О том, как это делалось, и бу- Двухцветная окраска костяшек облегчала от дет рассказано в данной статье. кладывание цифр, поскольку, согласитесь, что, Но сначала немного истории. Прообразом из- например, четыре светлых костяшки и две тем вестных нам счетов был старинный русский счет- ных на левой стороне быстрее определяются как ный прибор — так называемый «дощаной счет». цифра 6, чем шесть одноцветных костяшек. Та Он состоял из одного или двух неглубоких ящи- кая окраска позволяла также очень быстро опре ков, поперек которых были натянуты веревки или делить, какое число набрано на счетах.

проволоки с надетыми на них косточками. Как пи Вычисления на счетах салось в древнем руководстве: «А изряднее вместо вервей проволока медная или железная». На верх- Дальнейшие разъяснения, связанные с мето них проволоках было надето 9 или 10 косточек, на дикой вычислений на счетах, проведем с исполь нескольких нижних — от 1 до 6. Ящики разделя- зованием их схематических изображений.

лись перегородкой на два отделения. Перегородка Например, отложено число 25 081 (последо могла быть по всей высоте прибора или только для вательность вычислений дана на с. 47). Для сло нескольких нижних неполных рядов. жения с ним числа 32 715 цифры последнего по На рисунке показана реконструкция одного из следовательно набирались в каждом разряде из вариантов дощаного счета, представленная в му- оставшихся «неиспользованными» в соответ зее истории вычислительной техники гимназии ствующем ряду, и набранные костяшки переме № 1530 г. Москвы (www.museum.ru/m2744). щались влево к «цифрам» первого слагаемого;

Наиболее старыми русскими счетами являют- в итоге слева получалось число-результат.

ся счеты середины XVII в., хранящиеся в Государ- Если в каком-то разряде после сложения ока ственном историческом музее в Москве, которые зывалось 10 костяшек, то все они сбрасывались имеют четыре счетных поля для неполных рядов. (возвращались в исходное, правое положение), В конце XVII в. счеты утратили неполные ряды, но а в старшем разряде добавлялась одна костяшка.

Л Е К ТО Р И Й имели еще два счетных поля. «Современный» вид Ясно, что если при этом в старшем разряде было счеты приняли в XVIII в. уже отложено 9, то в нем проводились аналогич Счеты — старинный прибор, который долгое ные действия.

время пользовался популярностью у разных на родов. При этом в разных странах они выгляде ли по-разному.

К 57 добавляется 3 Результат сложения: Несколько слов о конструкции русских сче тов. Верхние ряды имели 10 костяшек и исполь- Определенная проблема возникает, когда в зовались для откладывания целых чисел. Имел- каком-то разряде сумма цифр превышает 10.

ся также неполный ряд, обычно из четырех ко- Например, такая ситуация показана ниже — стей, под которым находились 2 или 3 полных к 8 костяшкам на нижней проволоке нужно при №10 (720) МАТЕМАТИКА Например, когда в нижнем разряде требовалось вычесть 7, снималась одна костяшка в старшем (верхнем) разряде, в нижнем — добавлялись 3.

Вычитание с заимствованием единицы Японский соробан. Отложено число 105517 «А умножение?» — спросите вы. Да, на сче тах можно было и умножать даже многозначные числа на многозначные, правда, заменяя умно бавить 6. Непосредственно добавить нужное ко- жение многократным сложением, а затем сум личество в данном случае нельзя. мируя частные произведения с учетом весомости разряда. Например, при умножении 81 на 23 ре зультат умножения 81 на 2 (162) откладывался на неиспользуемых верхних проволоках, а про изведение 81 на 3 (243) добавлялось к нему как Небольшая проблема: к 38 + Как быть? Здесь возможны два варианта ре- к числу 1620. Конечно, для умножения требо шения. валось большое число проволочек или еще одни Можно добавить одну костяшку в старшем счеты (вспомните о нескольких счетных полях разряде, а в разряде «с проблемой» — вычесть 4 на предшественниках счетов).

(10 – 6). Можно поступить иначе: В музее, который упоминался в статье, пред 1) на нижней проволоке добавить имеющиеся ставлен доклад известного русского математика справа две костяшки;

В.Я. Буняковского, который он сделал 14 февра 2) поскольку в результате в этом разряде полу- ля 1876 г. на заседании физико-математического чилось 10, то сбросить их все, а в старшем разря- отделения Императорской академии наук. В до де добавить 1;

кладе описывается изобретенное ученым вычис 3) на нижней проволоке добавить еще 6 – 2 = 4 лительное устройство, которое автор назвал «са костяшки. мосчеты». В.Я. Буняковский пишет: «Мы едва ли Теперь о вычитании. Когда в каждом разря- ошибемся, утверждая, что ни один из существую де количество уже отложенных костяшек (цифр щих арифметических снарядов, и даже вероятно уменьшаемого) не меньше, чем количество ко- из тех, которые со временем будут придуманы, не стяшек, которые нужно снять (соответствующих вытеснят из всеобщего у нас употребления про цифр вычитаемого), то задача решается просто — стых русских счетов». Прав или нет оказался уче снимаем необходимые костяшки. Пример вычи- ный, судить вам, уважаемый читатель… тания из числа 57 796 значения 32 765 показан Литература на рисунке внизу.

1. Апокин И.А., Майстров Л.Е. Развитие вы Как поступить в случае, когда в каком-то раз ряде количество отложенных костяшек меньше числительных машин. — М.: Наука, 1974.

2. Цайгер М.А. Арифметика в Московском количества костяшек, которые надо снять при вычитании, вы, конечно, уже догадались — надо государстве XVI века. — Беэр-Шэва: Берилл, «заимствовать единицу» из старшего разряда. 2010.

Пример Набрано второе Получен результат Вычитание без Отложено первое умножения слагаемое (32 715) сложения (57 796) проблем слагаемое (25 081) 47 2011 МАТЕМАТИКА №10 (720) ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД 1111 1+ + + + +... + +...

2345 n Гармонический ряд представляет собой сумму, составлен ную из бесконечного количества членов, обратных после довательным числам натурального ряда.

Ряд назван гармоническим, так как каждый его член, на чиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

1 2 1 2 1 2 1 = = ;

= = ;

;

… ;

2 1+ 1 3 1 + 1 4 1 + 1 5 1 + 11 11 11 3 24 35 Последовательность членов ряда стремится к нулю, од нако сумма бесконечно возрастает и сам ряд расходится.

Доказательство расходимости ряда можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

1111 1+ + + + +... + +... = 2345 n = 1 + + + + + + + + +... +...

1 11 1111 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + +... +... = 2 4 4 8 8 8 8 16 1111 = 1 + + + + +... + +...

2222 Последний ряд, очевидно, расходится.

Это доказательство принадлежит средневековому фран цузскому учёному Николаю Орему (родился до 1330 г., умер в 1382 г.).

Расходится гармонический ряд очень медленно: для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда.

По материалам Википедии mat.1september.ru Индексы подписки: Почта России 79073 (инд.);

79583 (орг.);

Роcпечать 32030 (инд.);

32594 (орг.)

Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.