авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 11 |

«НАГЛЯДНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Под редакцией профессора Е. И. Смирнова Рекомендовано УМО по специальностям ...»

-- [ Страница 6 ] --

Таблица Направ- Состав дея- Содержание Формы ления тельности (структуры ма тематики) • объектно- • Формирование топологиче- Опорные таблицы сущностное когнитивного ские, ЗУНМА, • (приобре- опыта лич- алгебраиче- аннотированные учеб тение ности путем ские, ные программы, инте • порядковые, опыта) раскрытия грированные экзамена • внутренних вероятност- ционные программы, существенных ные, дидактические модули, • геометрические связей объек- спирали фундиро та изучения, (кривые, по- вания, содержатель выделение верхности, ные блоки, учебные базисных учеб- графы), предметы и дисци • функциональные ных элементов плины, банки задач, и определение (мера, произ- историко-методическое их иерархий, водная, инте- оснащение учебного свертывание и грал, ряд) предмета, структур развертывание ный анализ базовых ООУД учебных элементов (школьной и вузов ской математики), актуализация техно логий профессиональ но-математической деятельности, це почки задач научно исследовательского характера, мотиваци онные блоки Глава 3. Методические основы математического образования будущего 196 учителя математики • деятельнос- • логические Процесс при- Алгоритмико-вычисли тно-результа- менения и (кванторы, тельные процессы, тивное (при- преобразова- предикаты, до- деловые и имитацион менение ния менталь- казательства, ные игры, выполнение и преоб- ного опыта формулы), курсовых, дипломных, • знаково разование личности в лабораторных работ, опыта) виде комплек- символические построение геомет са внешних (алфавит, ин- рических объектов, и внутрен- дексы и симво- доказательство теорем, них действий, лы, языковые решение уравнений и увязываю- знаки), неравенств, наглядное • реляционные щих новую моделирование, тождес информацию (таблицы, гра- твенные преобразова (знания) с на- фики), ния, взаимопереходы • продукционные личным репер- знаковых систем туаром памяти (алгоритмы, и усвоенными процедуры, стереотипами математические деятельности, методы), • семантические направленный на получение (блок-схемы, конкретных теоремы, опре результатов на деления) основе ИОУД • личностно- • преемствен Диагности- Педагогическая и ста адапта- руемое це- ность школьных жерская практики ционное леполагание, и вузовских (развитие прогнозирова- знаний, умений, личностных ние и принятие математических характе- решения, спо- методов, идей и ристик и собность к процедур, • содержатель интеллек- обнаружению та) и постановке ное обобщение проблемы, ана- базовых школь лиз данных и ных учебных мобилизация элементов, • информации, внутренняя рефлексия интерпретируе и оценочная мость, структу деятельность, рированность, анализ и син- связность, ак тез, обобщение тивность и и конкретиза- целостность ция, аналогии профессиональ и ассоциации ных проб и опыта, • освоение структуры и состава ООУД, • развитие когнитивных и креативных структур, про фессионально 3.

1. Технология наглядного моделирования в обучении математике важных и зна чимых качеств, педагогического и математиче ского мышления Наиболее адекватной формой и средством развертывания дидакти ческих процессов фундирования и наглядного моделирования является структура дидактического модуля.

Дидактический модуль, являясь целостной структурой совместной деятельности учителя и ученика в процессе решения педагогических за дач, может быть исследован также как компонент педагогической систе мы деятельности и, более того, психологической системы деятельности ученика. С точки зрения деятельностной теории учения [221], дидак тический модуль должен также содержать ориентировочную, исполни тельскую и контрольно-коррекционную части. Это определяет три ос новных компонента дидактического модуля (ДМ):

• ориентировочную основу деятельности (как учителя, так и учени ка);

• информационную основу деятельности (как учителя, так и учени ка);

• блок управления учителем когнитивной деятельностью ученика.

Первый блок содержит:

• введение (описание структуры и состава деятельности, особенности учебного предмета);

• базу данных и базу знаний, необходимых для усвоения нового ма териала (преемственность деятельности);

• аннотированную учебную программу, детализированную по уров ням усвоения знаний, ступеням абстракции, мотивации и продуктивно сти учебной деятельности (развернутость содержания);

• локальные фрагменты (и их динамика) пластов спиралей фунди рования, необходимо содержащие школьный (профессионально-направ ленный) и мотивационный компонент (обобщенность деятельности);

• интегративную экзаменационную программу (интегративные ЗУН МА, творческие задания, общеучебные умения, профессионально-мате матический базис) как свернутость деятельности и условие для преем ственности ДМ.

Требования к проектированию дидактического модуля включают в себя: преемственность содержательных линий школьной и вузовской математики;

использование современных форм представления знаний (логической, реляционной, семантической, продукционной, фреймовой);

развертывание и свертывание спиралей фундирования базовых учебных элементов школьной математики;

блоки мотивационно-прикладных за Глава 3. Методические основы математического образования будущего 198 учителя математики дач, оснащающих спирали фундирования, и др. Компонентный состав дидактического модуля представлен на следующем рисунке:

Рис. 28. Компоненты ДМ учебного предмета: ЛК – лекционный курс;

ПК – практический курс;

ЛЗ – лабораторные занятия;

СР – самостоя тельная работа;

К/Р – контрольная работа;

ДК/Р – домашняя контроль ная работа;

ППП – педагогический программный продукт;

НИР – науч но-исследовательская работа;

КЛ – коллоквиум;

– итого 3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике При этом деятельностный модуль определяет проектирование учебной деятельности студентов, целью и результатами которой являет ся получение конкретных проявлений и конкретизаций математических понятий, утверждений, процедур и алгоритмов, выраженных упорядо ченными наборами чисел и простейших геометрических объектов.

Определение и наглядное моделирование ориентировочной основы учебной деятельности (ООД) в процессе обучения математике и предъ явление ее обучаемому создает положительную мотивацию учения диа гностируемого уровня.

ООУД представляет собой свернутую структурированную модель (дидактический модуль) содержания учебной деятельности, адекватно отражающую динамику и логику развертывания учебного содержания (учебных элементов) реального педагогического процесса, включающую таксономию учебных целей и спирали фундирования.

Процессуальная структура дидактического процесса обучения мате матике представлена на следующем рисунке:

Рис. 29. Обогащенная дидактическая система В. П. Беспалько [23], вводя понятие учебных элементов (УЭ) (объ екты, явления и методы деятельности), рассматривает технологические компоненты глобальной структуры в рамках логической структуры со Глава 3. Методические основы математического образования будущего 200 учителя математики держания обучения. В основе этой методики лежит выбор минимального числа УЭ в каждом из предлагаемых к изучению учебных предметов, обеспечивающий успешное решение задач.

Для целей обучения математике в педвузе нам представляется оп тимальной следующая технология.

Имея в виду подход В. М. Монахова, определим основные компонен ты и уровни технологии наглядного моделирования в обучении матема тике [133]:

I уровень – концептуальный, представляющий стратегические за дачи, решаемые технологией;

описываются сущность технологии, основ ные элементы и компоненты, их функции;

II уровень – процедурный, раскрывающий сущность каждого ком понента как в отдельности, так и в совокупности в процедуре создания, внедрения и развития новой педагогической технологии;

III уровень – предметно-конкретный, представляющий сущность, этапность, содержание конкретной разработки новой педагогической тех нологии по тому или иному учебному предмету;

IV уровень – материализация технологии;

здесь дается описа ние основных возможных результатов и выходов, завершающих созда ние новой педагогической технологии и обеспечивающих ее полноценное внедрение и функционирование.

Поэтому рассмотрим компоненты концепции наглядно-модельного обучения и их следующую возможную технологизацию.

При решении технологических задач реализации дидактической си стемы математического образования будущего учителя математики и, как следствие, получения вероятностно гарантированных результатов обучения для большинства студентов одним из ведущих факторов, опре деляющих оптимальность дидактической системы, выступает исходное состояние личности обучаемого. Многолетние наблюдения за качествен ным составом нового набора в педвузы, равно как и исторические экс курсы, не позволяют усомниться в том, что более половины студентов I курса родились и выросли в сельской местности (данные по Ярославско му педуниверситету за последние 10 лет колеблются от 56% до 59% аби туриентов из сельской местности) и лишь немногие из них имеют “вы дающиеся” математические способности (число выпускников физико математического факультета ЯГПУ, окончивших вуз с отличными оцен ками, за последние 10 лет колеблется от 6% до 10% от набора).

Поэтому важным аспектом диагностируемого целеполагания изме рителей качества усвоения дидактических модулей (теоретического, при 3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике кладного, методического) является диверсификация уровней усвоения учебного материала, причем мы будем различать усвоение понятий, тео рем, алгоритмов и т.п. и освоение практических умений, связанных с данным понятием, теоремой, алгоритмом. Это отличается от подхода Н. А. Копытова [96], который, освещая вопрос о том, что подразумева ется под “сформированным понятием”, отмечает, что оно представляет собой наличие “в... сознании некоторой совокупности родственных поня тий и соответствующих им умений”. Н. А. Копытов, не употребляя тер мин “конструирование технологии обучения”, практически задает этапы проектирования методической системы, направленной на формирование понятий: выявление совокупности понятий и умений, четко описываю щих базовый уровень качества рассматриваемого понятия;

полученная на первом этапе совокупность формирует минимальную систему позна вательных задач на заданном уровне;

минимальный класс заменяет ся более точно описывающим;

далее формируются совокупности задач, позволяющие проверить умение решать.

В то же время А. В. Усова [230] выделяет следующие критерии усво ения понятий:

– полнота усвоения содержания понятия;

– степень усвоения объема понятия, являющаяся мерой его обобщен ности;

– полнота усвоения связей и отношений данного понятия с другими;

– умение отделить существенные признаки понятия от несуществен ных;

– умение оперировать понятиями при решении задач;

– умение классифицировать понятия, правильно их соотносить друг с другом.

С. Б. Суворова [220] рассматривает систему методических требова ний, которым должна удовлетворять система упражнений, направлен ная на формирование понятия, и отмечает, что формирование понятий через систему задач требует создания дидактических условий, позволя ющих учащимся осознать, прочно запомнить, самостоятельно констру ировать и формировать определения понятий.

В зависимости от того, в какой мере усвоение понятия удовлетворяет критериям, определяются уровни его усвоения, психологи Д. Н. Богояв ленский, Н. А. Менчинская, М. Н. Шардаков различают четыре уров ня. Первый характеризуется диффузно-рассеянным представлением о предмете, явлении. Для второго уровня характерным является то, что Глава 3. Методические основы математического образования будущего 202 учителя математики ученик уже может указать признаки понятий, но не может отделить существенные от несущественных. Для третьего уровня усвоения поня тий характерным является то, что ученик усваивает все существенные признаки, но понятие оказывается еще скованным единичными обра зами, служившими опорами при формировании понятия. Понятие еще не обобщено. Четвертый уровень характеризуется тем, что понятие уже обобщено, усвоены существенные связи данного понятия с другими, бла годаря чему ученик свободно оперирует понятием в решении различно го рода задач. Возникает также необходимость в выделении еще более высокого пятого уровня усвоения понятия (А. В. Усова), характеризую щегося установлением связи понятий, формируемых в разных учебных предметах.

Однако мы в диагностировании целеполагания и экспериментальной работе будем придерживаться уровней усвоения знаний по В. П. Беспа лько [23].

То, что мы привычно называем “знания, умения, навыки и мате матические методы” (последнее встречается реже и включается авто ром в перечень), В. П. Беспалько называет учебными элементами (УЭ) или объектами, явлениями (процессами) и методами деятельности.

В. П. Беспалько определяет четыре последовательных уровня усвоения, отображающие развитие опыта учащихся в процессе обучения:

I уровень – это алгоритмическая деятельность при внешне заданном алгоритмическом описании (“с подсказкой”);

II уровень – репродуктивное алгоритмическое действие (типовая за дача): учащиеся выполняют его, самостоятельно воспроизводя и приме няя информацию о ранее усвоенной ориентировочной основе выполне ния данного действия;

III уровнь – продуктивное действие эвристического типа (нетиповая задача): эвристическая деятельность, выполненная не по готовому ал горитму или правилу, а по созданному или преобразованному в ходе самого действия;

IV уровень – продуктивное действие творческого типа, когда созда ется объективно новая ориентировочная основа деятельности.

Основной задачей педагогической технологии является ди агностируемое определение целей обучения и разработка ма териалов для объективного контроля за качеством знаний обу чаемых на всех этапах обучения.

3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике 3.1.2. Уровень глобальной структуры целеполагания Рассматривается в трех дидактических модулях: теоретическом, прак тическом, методическом (в отличие от концепции В. М. Монахова мо дули в нашей интерпретации имеют сквозной характер и конкрети зируются на протяжении всего курса обучения).

При определении диагностируемого целеполагания будем использо вать таксономию учебных целей по Б. Блуму в когнитивной, аффек тивной и психомоторной областях. Когнитивные цели могут быть до стигнуты в ходе учебного процесса, длительностью в семестр, учебный год или несколько лет. Однако таксономия аффективных целей при меняется в достаточно гибкой форме. Психомоторные цели объективи зируются в возможности диагностирования взаимопереходов знаково символических систем деятельности и овладения общеучебными уме ниями и навыками. Приведем систематизацию когнитивных целей по Б. Блуму [89].

Категории учебных целей в когнитивной области 1. Основные категории учебных целей: знание. Эта категория обозначает знание и воспроизведение изученного материала. Речь мо жет идти о различных видах содержания – от конкретных фактов до целостных теорий. Общая черта этой категории – припоминание соот ветствующих сведений.

Примеры обобщенных типов учебных целей: ученик знает употребляемые термины, знает конкретные факты, знает методы и про цедуры, знает основные понятия, знает правила и принципы.

2. Основные категории учебных целей: понимание. Показате лем способности понимать значение изученного может служить преоб разование (трансляция) материала из одной формы выражения в дру гую, “перевод” его с одного “языка” на другой (например, из словес ной формы – в математическую). В качестве показателя понимания мо жет также выступать интерпретация материала учеником (объяснение, краткое изложение) или же предположение о дальнейшем ходе явле ний, событий (предсказание последствий, результатов). Такие учебные результаты превосходят простое запоминание материала.

Примеры обобщенных типов учебных целей: ученик прини мает факты, правила и принципы, интерпретирует словесный матери ал, интерпретирует схемы, графики, диаграммы, преобразует словесный материал в математические выражения, предположительно описывает будущие последствия, вытекающие из имеющихся данных.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 204 учителя математики 3. Основные категории учебных целей: применение. Эта кате гория обозначает умение использовать изученный материал в конкрет ных условиях и новых ситуациях. Сюда входит применение правил, ме тодов, понятий, законов, принципов, теорий. Соответствующие резуль таты обучения требуют более высокого уровня владения материалом, чем понимание.

Примеры обобщенных типов учебных целей: ученик исполь зует понятия и принципы в новых ситуациях, применяет законы, теории в конкретных практических ситуациях, демонстрирует правильное при менение метода или процедуры.

4. Основные категории учебных целей: анализ. Эта катего рия обозначает умение разбить материал на составляющие так, чтобы ясно выступала его структура. Сюда относится вычленение частей це лого, выявление взаимосвязей между ними, осознание принципов орга низации целого. Учебные результаты характеризуются при этом более высоким интеллектуальным уровнем, чем понимание и применение, по скольку требуют осознания как содержания учебного материала, так и его внутреннего строения.

Примеры обобщенных типов учебных целей: ученик выде ляет скрытые (неявные) предположения, видит ошибки и упущения в логике рассуждения, проводит различия между фактами и следствия ми, оценивает значимость данных.

5. Основные категории учебных целей: синтез. Эта категория обозначает умение комбинировать элементы, чтобы получить целое, об ладающее новизной. Таким новым продуктом может быть сообщение (выступление, доклад), план действий или совокупность обобщенных связей (схемы для упорядочения имеющихся сведений). Соответству ющие учебные результаты предполагают деятельность творческого ха рактера с акцентом на создание новых схем и структур.

Примеры обобщенных типов учебных целей: ученик пишет небольшое творческое сочинение, предлагает план проведения экспери мента, использует знания из разных областей, чтобы составить план решения той или иной проблемы.

6. Основные категории учебных целей: оценка. Эта категория обозначает умение оценивать значение того или иного материала для конкретной цели. Суждения ученика должны основываться на четких критериях. Критерии могут быть как внутренними (структурными, ло гическими), так и внешними (соответствие намеченной цели). Критерии могут определяться самим учащимся или же задаваться ему извне (на пример, учителем). Данная категория предполагает достижение учеб 3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике ных результатов по всем предшествующим категориям плюс оценочные суждения, основанные на ясно очерченных критериях.

Примеры обобщенных типов учебных целей: ученик оцени вает логику построения материала в виде письменного текста, оцени вает соответствие выводов имеющимся данным, оценивает значимость того или иного продукта деятельности, исходя из внутренних критери ев, оценивает значимость того или иного продукта деятельности, исходя из внешних критериев качества.

Целеполагание теоретического модуля включает:

– овладение знаниями на уровне теоретических обобщений;

– выделение базовых знаний: понятий, теорем, алгоритмов, методов;

– определение внутренней структуры теоретического обобщения (фундирования) базовых знаний;

– обеспечение преемственности базовых школьных знаний по мате матике и вузовских;

– определение профилизации теоретических интересов через систему специальных курсов;

– формирование качеств математического мышления и творческой активности личности студента.

Целеполагание прикладного модуля включает:

– овладение общеучебными умениями и навыками, включая взаимо переходы знаково-символических систем деятельности;

– выделение базовых умений и навыков математической деятельно сти;

– соблюдение покрытия базовых школьных умений и навыков вузов скими в процессе обучения математике;

– создание мотивационного блока прикладных задач, учебных задач как элемента проектирования будущей профессиональной деятельности и как взаимоперехода от теоретических знаний к практическим;

– контролирующую функцию практического материала как крите рий формирования и усвоения математических знаний;

– формирование качеств математического мышления и творческой активности личности студента.

Целеполагание методического модуля включает:

– обеспечение школьного компонента математических знаний, уме ний, навыков и методов;

– обеспечение частичных методик учебных предметов математиче ского цикла;

– обеспечение взаимоперехода базовых умений в базовые навыки бу дущей профессиональной деятельности;

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 206 учителя математики – обеспечение методического компонента теорий, концепций, методов и приемов обучения математике;

– формирование профессионально важных и профессионально зна чимых качеств будущего учителя математики: коммуникативные спо собности, педагогическое мастерство, адаптивные возможности, само оценка, самообразование и т.п.;

– формирование методического мышления и творческого отношения к профессии учителя.

Основанием для целостного подхода к типологии целеполагания слу жит структура личности студента и требования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальности “математика”.

Исследование проведем в соответствии с компонентами наглядного моделирования в обучении математике:

– Модель целостного математического объекта. Прежде всего отметим, что структурными единицами здесь могут выступать дидак тические модули: темы, разделы, дисциплины, учебные предметы, учеб ные планы, реализуемые в форме схематизированной учебной програм мы. Структурными элементами дидактического модуля выступают: ба зовые знания, умения, навыки и математические методы, внутренние спирали фундирования (сквозные и междисциплинарные), укрупнение дидактических единиц, базы данных (блоки задач, цепочки исследова тельских задач, мотивационные блоки и т.п.), педагогические программ ные продукты (ППП) и т.д., которые создают ориентированную основу действий в процессе управления познавательной деятельностью студен тов. Детализация этого пункта будет дана в §3 главы III для раздела “Дифференциальное и интегральное исчисление”.

– Знаково-символические средства (ЗСС) и деятельность.

Напомним [174], что материальные ЗСС – это реальные предметы, ма териализованные ЗСС – формулы, графики, знаки, символы и т.п., пер цептивные ЗСС – перцептивные образы, идеальные ЗСС – идеальные объекты: понятия, теории, алгоритмы.

Модели (схемы, коды, заместители) ЗСС проектируются a priori с учетом закономерностей психологического восприятия (законы гешталь та, правило 7 перцептивных объектов, правило правого верхнего угла, правило квадрата и т.п.) и нейрофизиологических механизмов запоми нания, воспроизведения, хранения информации. Так как модель (схема) ЗСС должна представлять собой ориентировочную основу действий (ООД), то должна быть отражена характеристика структурных компо нентов ООД [174]:

3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике – наличие схемы будущего продукта действия с его отличительными заданными показателями;

– образец конечной формы действия с ее заданными показателями;

– орудия действия, среди которых есть основные (те, которые служат средством преобразования), вспомогательные и контрольные;

– общая схема действия, так называемый его алгоритм, с выделением основных разделов.

Ценность данной модели фундирования для учебного процесса в ву зе и будущей профессиональной деятельности для студента-математика несомненна и должна найти место в учебных программах математиче ского анализа.

Согласно В. П. Беспалько [23], педагогическая технология характе ризуется в отношении целеполагания принципом диагностической целенаправленности;

он означает необходимость такой постановки целей обучения, которая допускала бы объективный и однозначный кон троль степени достижения цели, т.е. настолько точно и определенно, чтобы можно было однозначно сделать заключение о степени ее реали зации и построить вполне определенный дидактический процесс, гаран тирующий ее достижение за заданное время.

В определенной мере таким технологическим средством модели гло бальной структуры для математического содержания может служить методика микродипломов для итогового государственного экзамена выпускников [188], реализуемая в рамках концепции наглядного моде лирования в обучении.

Государственный экзамен по математическому анализу предназна чен для определения итогового уровня математических знаний, уме ний, навыков, развития математического мышления и культуры ма тематических действий выпускников со специфическими знаково-сим волическими формами количественных соотношений действительного мира, отражающих основные понятия математического анализа: чис ло, окрестность, функция, предел, непрерывность, производная, инте грал, ряд, функционально-дифференциальные уравнения, полнота мет рических пространств, аппроксимация, мощность, мера. Уровень мате матических знаний, умений и навыков будущего учителя математики должен сочетаться с глубоким знанием школьного курса математики, методов преподавания, отражать существенные взаимосвязи школьного и вузовского курсов математики. Студент должен показать сознатель ность усвоения учебного материала, владение приемами познавательной деятельности и такими важнейшими мыслительными операциями, как анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, сравнение и обоб Глава 3. Методические основы математического образования будущего 208 учителя математики щение, аналогия и ассоциация, индукция и дедукция. А. Я. Хинчин вы делял 4 характерных признака математического мышления: доведение до предела доминирования логической схемы рассуждений, лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший логический путь, ведущий к цели, четкая расчлененность хода аргументации, скрупулез ная точность символики. Достаточно высокий уровень математической культуры предполагает владение четким математическим языком, по скольку только в том случае, если учитель математики владеет язы ковой культурой, он сможет приучить школьников к краткой, логиче ски точной речи, свободной от слов, не несущих словесной нагрузки.

В настоящее время, когда поставлена задача вооружить школьников знаниями и навыками использования современной вычислительной тех ники, обеспечить широкое применение компьютеров в учебном процес се, естественно считать необходимыми составными частями математиче ской культуры учителя логическую, алгоритмическую и вычислитель ную культуру, включающую в себя, в частности, умение организовывать и использовать средства вычислительной техники.

Культурное мышление – это такое мышление, при котором исполь зуются разные способы и приемы мышления в определенной строгой системе, в полном соответствии с характером решаемой математиче ской задачи. Дисциплина мышления предполагает, во-первых, анализ объекта мысли, во-вторых, исследование на основе этого анализа своей математической деятельности и, в-третьих, пошаговый самоконтроль и самопроверку выполненной деятельности.

Наконец, уровень и культура математического мышления предпо лагают наличие некоторого необходимого уровня мыслительных спо собностей вообще, за пределами которого развитие и становление ма тематического мышления невозможно. На каждом потоке имеется 10– 15% студентов, мыслительные возможности которых постоянно входят в противоречие с уровнем преподавания дисциплин, а именно, с мате матическим содержанием. Вся наша работа сводится к интенсификации мыслительной деятельности таких студентов: дополнительные занятия, консультации и т.д., в то время как необходимо просто развивать целе направленно ту или иную характеристику мышления.

В период бурного развития молодого организма (17–22 года) воз никает необходимость управления развитием математических способно стей студентов. Создание систем непрерывного тестирования позволит повысить индивидуализацию процесса обучения и возможность скон центрированного усилия в формировании необходимых математических форм мышления.

3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике Проведение государственного экзамена по методике микродипломов предполагает изложение в течение 15–20 минут основных положений (включая обоснования) теории и необходимой конкретизации (примеры, иллюстрации, конспект-схемы и т.п.), составляющей содержание анно тации вопроса экзаменационной программы;

вопрос выдается студенту выпускнику за 10 дней до экзамена.

Экзаменационные вопросы носят сквозной характер и детализиро ваны по знаниям, умениям, навыкам и математическим методам, что соответствует принципу завершенности обучения В. П. Беспалько.

Отбор материала, способы его представления в момент изложения являются компетенцией отвечающего экзаменационный вопрос, однако экзаменующийся должен быть готов дать необходимые разъяснения со держания теоретических положений и практических умений, отражен ных в аннотации к экзаменационному вопросу. В процессе ответа экза менующемуся членами ГАК могут быть заданы любые дополнительные вопросы из контрольного минимума.

В процессе ответа студент-выпускник физико-математического фа культета должен показать высокие профессиональные качества будуще го учителя математики, уровень своей математической культуры и куль туры речи, умение четко, грамотно и связно изложить большой объем информации за ограниченное время.

Приведем примеры экзаменационных вопросов из интегративной про граммы дидактического модуля:

1. Мощность множества. Шкала мощностей (упорядочение, неогра ниченность сверху, линейность). Счетные множества. Несчетность кон тинуума.

Построение шкалы мощностей с помощью факторизации по отноше нию эквивалентности. Теорема Кантора-Бернштейна (доказать). Несчет ность интервала и всей прямой (доказать). Сформулировать теорему Кантора о высших мощностях и проиллюстрировать для множества из n элементов. Счетность множества рациональных чисел (доказать). Ука зать мощность множеств N, Z, R, A, I, T. 10 примеров множеств мощ ности континуума.

2. Предел функции в точке a. Пространство Lima. Односторонние и бесконечные пределы. Признаки существования предела. Замечатель ные пределы.

Предел функции в точке (окрестное определение), (, )-язык, язык последовательностей (по Гейне). Эквивалентность (, )-языка и языка Гейне (доказать). Предел последовательности (определение). Алгебра ическая структура (±, ·, /) и структура отношения порядка на мно Глава 3. Методические основы математического образования будущего 210 учителя математики жестве Lima. Замечательные пределы (перечислить), число e. Доказать один из признаков существования предела.

3. Интегрирование как обратная операция к дифференцированию.

Формула Ньютона-Лейбница. Техника неопределенного интегрирования.

Задача восстановления F из выражения dF (x) = F (x)dx, обращение дифференциального оператора d : C1 C, линейность и структу dx ра ядра N оператора d (доказать). Существование d : C dx dx C1 /N, линейность и обратимость d (доказательство), обозначе dx ние d = dx (10 примеров первообразных функций), гео dx метрический и физический смысл первообразной, основная теорема ин тегрального исчисления. Техника неопределенного интегрирования (по частям, подстановка, интегрирование рациональных функций) – приме ры на каждый случай.

– Устойчивость перцептивного образа и представления. Про блема устойчивости перцептивного образа, а затем и формируемых оста точных фреймов в долговременной памяти обучаемого является цен тральной в концепции наглядного моделирования в обучении матема тике. Устойчивость перцептивного образа глобальных математических объектов будет определяться наглядной схематизацией их структурных компонентов. Схематизация в этом случае есть использование схем для ориентировки в реальности, например, в определении последовательно сти прохождения разделов и тем курса математического анализа. Для этого необходимо иметь структурно-логическую схему изучения учеб ного предмета по разделам и темам, с целью выявления зависимости между отдельными компонентами или диагностики функционирования системы математических знаний. Как отмечает Н. Г. Салмина, “в каче стве обозначаемого могут выступать любые связи: структурные, функ циональные, генетические. В качестве средств обозначения использу ются устойчивые системы с пространственными характеристиками” [175. С. 90]. В качестве структурного состава этой деятельности обычно выделяют: предварительный анализ, построение схемы, работа с “реаль ностью” при помощи схемы.

Рассмотрим, например, структурно-логическую схему изучения те мы “Элементарные функции”, которую разработала И. Н. Мурина [137]:

I курс Математический анализ, элементарная математика и ПРМЗ. Формирование понятия целостного математического объ екта – класс элементарных функций.

3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике Графики.

Методы “согласования” и дифференциальное исчисление. Метод геометрических преобразований.

Моделирование.

Задачи оптимизации (f ). Текстовые задачи на составление урав нений и неравенств.

Средство конкретизации.

xn Предел, производная;

ex = lim 1 + n ;

ln x = lim n( n x 1).

n n Алгебраические уравнения и неравенства (графический метод ре шения, использование множества значений функции и т.д.).

II курс Математический анализ. Интегрирование в конечном виде.

x x dt ;

ln x = dt ;

ex = Неэлементарные функции. arctg x = t 0 1+t n x.

n!

n= Элементарная математика и ПРМЗ. Показательные, показа тельно-степенные, логарифмические уравнения и неравенства.

Прогрессии. Тригонометрические уравнения и неравенства.

III курс Математический анализ. Дифференциальные уравнения для ex, sin x, cos x.

Элементарные функции в комплексных областях.

Курсовые работы: различные методы изучения основных элемен тарных функций.

Элементарная математика и ПРМЗ. Планиметрия, стерео метрия.

МПМ. Построение наглядной методической модели организации деятельности школьников по усвоению общих функциональных понятий.

IV курс Математический анализ. Структура внутренних взаимо связей.

Элементарная математика и ПРМЗ. Задачи с параметрами:

уравнения и неравенства, содержащие трансцендентные функции и параметр.

МПМ. Построение наглядной методической модели организации деятельности школьников по изучению алгебраических функций.

Анализ школьных учебников разных авторов.

Курсовая работа: применение различных видов наглядного обу чения при изучении функционально-графической линии.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 212 учителя математики V курс Элементарная математика и ПРМЗ. Нестандартные зада чи, задачи исследовательского характера с функциональным со держанием.

МПМ. Построение наглядной методической модели организации деятельности школьников по изучению трансцендентных функ ций.

Систематизация знаний по вариативности исследования элемен тарной функции.

Дипломные работы.

Эта сквозная тема изучается на протяжении всех лет обучения мате матике в педвузе и является ключевой в профессиональной подготовке будущего учителя математики.

Таким образом, критериями устойчивости перцептивного образа вы ступают: схематизация, целостность математического объекта и учет за кономерностей психофизиологических аспектов восприятия, мышления и памяти.

3.1.3. Уровень учебной деятельности Управление познавательной деятельностью обучаемых в процессе на глядного моделирования в обучении математике является основным со держательным компонентом педагогической технологии и полностью определяется совместной деятельностью учителя и обучаемых.

Наглядное моделирование в обучении – это определенный вид дея тельности как учителя, так и ученика. Действие должно быть адекватно знанию, которое усваивается, при этом активная мыслительная деятель ность обучаемых значительно обогащает процесс восприятия учебного материала. Таким образом, внешние действия учителя и внутрен ние действия обучаемых по выявлению содержания и формирова нию представлений являются неотъемлемыми элементами структуры наглядного моделирования в обучении.

Согласно теории поэтапного формирования умственных действий и понятий (П. Я. Гальперин, Н. Ф. Талызина), центральной идеей явля ется усвоение знаний в результате выполнения учениками определенной системы умственных действий. Овладение умственным действием про исходит в процессе интериоризации соответствующего внешнего прак тического действия. Выделены следующие этапы интериоризации: этап составления ориентировочной основы действия (предметное действие), этап материальной предметной деятельности (работа с реальными пред 3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике метами) или материализованной деятельности (работа с моделями), этап формирования действия как внешнеречевого, этапы внутреннего ум ственного действия [50].

Процесс обучения со стороны обучающего представляет собой цепь отдельных внешних действий A = {a1, a2,..., an }, связанных общей ди дактической задачей. Каждое внешнее действие при постановке дидак тической задачи предполагает наличие результатов внутренних дейс твий B = {b1, b2,..., bm }, полученных в процессе обучения в сознании обучаемых так, что имеет место некоторое соответствие:

B.......

............

T.....

f..............

bm.............

......

.............

.....

........... f : A B.........

............

............

...........

........

b1.

E a1 an A Рис. Таким образом, дидактическая схема определяется соответствием f : A B. При этом каждому внешнему действию, как правило, соот ветствует несколько результатов внутренних действий.

Процесс обучения есть взаимосвязь дидактической схемы (S) и ее реализации (S ). Пусть f : A B – дидактическая схема и g : A B – ее реализация:

  B B............

..

.........

...

T T........

..

.............

S S............................

 ............ g...........

f...................

.........................

....

.........................

............

..............

.....................

......

........................

.......................

..............

....

E E A A Рис. Глава 3. Методические основы математического образования будущего 214 учителя математики Пусть B – булеан множества B, i : A A и I : B B – тожде ственные отображения. Будем говорить, что в процессе обучения (S, S ) формируется адекватный категории цели результат, если для внешнего действия a A коммутативна диаграмма:

I f (a) E g(a) T T g f i a Ea (здесь коммутативность диаграммы означает g i = I f ).

Таким образом, наглядность в процессе обучения предполагает преж де всего наличие обоснованной дидактической схемы f : A B, где A – внешние действия обучаемого, B – желаемые результаты внутрен них действий, вызываемых внешними, причем обоснованность дидак тической схемы следует понимать как коллективный опыт математиче ской мысли в той или иной области. В процессе реализации дидактиче ской схемы естественным образом возникает соответствие g : A B, причем основные компоненты множества g(a), где a A, определяют ся путем проведения контролирующих мероприятий или путем анализа противоречий психологического, логического, дидактического, матема тического характера, возникающих в процессе обучения. Поэтому отсут ствие или недостаточность наглядности в обучении всегда есть наличие противоречий между внешними действиями обучающего и внутренним механизмом восприятия обучаемых.

Процесс формирования адекватного категории цели результата мо жет занимать длительный промежуток времени. Так, узловым, опорным понятием в курсе математики средней школы является понятие числа.

Однако процесс формирования понятия числа как характерного, специ фического для математики понятия во всем разнообразии логических взаимосвязей, исторических подходов, практических навыков опериро вания с ним пронизывает весь курс математики, начиная с первого клас са. Процесс восприятия (особенно при больших объемах информации) учебного материала предполагает наличие узловых, опорных, характер ных, специфических качеств объекта восприятия, будь то отдельное зна ние или организованный набор знаний (это может быть доказательство теорем, раздел курса математики во всем разнообразии логических вза имосвязей, материал отдельного урока или лекции и т. д.). Именно выде ление и формирование этих узловых опорных качеств объекта восприя тия (модель) и представляет собой суть наглядности в обучении. Поэто му при таком обучении стадии непосредственного восприятия должна 3.1. Технология наглядного моделирования в обучении математике предшествовать стадия выделения в объекте восприятия узловых, опор ных качеств (целевая установка).

При разной трактовке категории цели процесс обучения математике может быть наглядным для одной целевой установки и не наглядным для другой. Например, для физиков при формировании понятия про изводной узловым, опорным качеством является производная как ско рость движения точек, в то же время для математиков более важным опорным качеством является производная как предел разностного отно шения. Поэтому и набор приемов и средств наглядности будет разным.

Внешние действия в процессе наглядного моделирования в обучении математике в зависимости от ориентации на чувственный или рацио нальный элемент восприятия будем подразделять на опорные и струк турные. К опорным внешним действиям отнесем: запись формулы, таб лицы, показ модели, диапозитива, кинофильма, оформление чертежа, графика, схемы, формулировку теоремы, научно-исследовательских за дач, предложения, использование печатных пособий. Опорность внеш него действия не связана временным интервалом: оно может длиться, например, 2–4 минуты и несколько раз появляться в течение урока, а может осуществляться перманентно. Однако задание опорного внешне го действия предполагает продуманность временных интервалов как по числу, так и по длительности.

К структурным внешним действиям отнесем доказательство теорем, предложений, отбор материала, его дозировку, отбор упражнений и за дач для урока, отбор и дозировку исторического материала, пропедев тику основных понятий и методов доказательств, программированное обучение, осуществление межпредметных связей. Каждое структурное внешнее действие представляет собой упорядоченный набор опорных внешних действий, связанных единым началом, единой целью.

Если опорные внешние действия в большей степени опираются на долговременную память, ассоциации, возможности механизма восприя тия, т.е. на рациональное восприятие, то психолого-педагогической ос новой для выделения структурных внешних действий является прин цип опережающего отражения. Основным здесь является способность обучаемого к сохранению следов рационально-чувственного восприятия в нейрофизиологическом механизме памяти. Так, в процессе обучения между следами рационально-чувственного восприятия и внешними дей ствиями возникают временные связи. Чем больше необходимых связей будет ассоциировано в процессе обучения, тем глубже и качественнее усвоение учебного материала, прочнее чувственно-рациональная основа дальнейшего обучения.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 216 учителя математики Схема Педагогическая технология наглядного моделирования в обучении математике Концепция наглядного моделирования Транслятор E ' в обучении математике w Вербальный (книга, компьютер, w w учитель, речь,...), невербальный Дидактическая (знак и символ, аудиовидео- система средства,...) w w комбинированный (мультимедиа,...) c Диагностируемое целеполагание Теоретический модуль Прикладной модуль Уровень Уровень Управление Уровень Уровень Управление локальной познавательной локальной познавательной глобальной глобальной структуры структуры модельности деятельностью модельности деятельностью спиралей спиралей продукционных алгоритмов компьютерных логических фундирова- фундирова технологий, ния (знания), моделей моделей процедур ния (умение– аннотирован- кодирования установок укрупнений ных экзаме- навык), базо- обобщенных дидактических семантичес- фоновой национных вых умений умений ре программ, наглядности, единиц, ких сетей, и навыков базовых структурных ляционных мотивационных когнитивной аннотирован учебных визуализации блоков, блок-схем материалов моделей ных экзаме алгоритмов, математических вариативной (знания), национных схем учебных конкретизации, и дидактичес таблиц программ модулей, ких методов устойчивых когнитивной мотивацион- (умения, визуализации навыки), ассоциаций ных блоков фреймов фреймов действия знаний c Вероятностно гарантированные результаты обучения 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора Интегральное использование технологических элементов позволяет получить вероятностно гарантированные результаты обучения в услови ях познавательной и творческой активности студентов и оптимальных затрат учебного времени. Применение компьютерных технологий обес печивает замкнутый и направленный учебный процесс [23].

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора В данном пункте представлен разработанный одним из авторов, В. В. Бо гуном, лабораторный практикум по численным методам в математике для студентов II курса педагогических вузов, включающий описание четырех лабораторных работ с рассмотрением соответствующих автор ских программ для графического калькулятора CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS и методики их использования.

Основная цель лабораторного практикума состоит в исполь зовании графического калькулятора как средства интеграции матема тических и информационных знаний при выполнении численных алго ритмов, суть которых заключается в построении и визуализации итера ционных процессов, сходящихся к искомому решению.

Названия лабораторных работ с указанием наименований программ и соответствующих разделов высшей математи ки:

1. Расчет значений минимальных номеров приближения к преде лу числовых последовательностей вида xn = a2 n 2+a1 n+b0 (для 0, 1 n+a b2 n +b a a2 = 0, b2 = 0, xn ) с использованием методов золотой про b порции, Фибоначчи, дихотомии и их сравнительный анализ (программа “MINNESQS”, раздел “Пределы и непрерывность”).

2. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных урав нений с использованием метода дихотомии (бисекции), комбинированно го метода хорд и касательных (Ньютона), метода итераций и их сравни тельный анализ (программа “APROXEQU”, раздел “Дифференциальное исчисление”).

3. Приближенные вычисления значений определенных интегралов по формулам средних прямоугольников, трапеций, параболических трапе ций (Симпсона) и их сравнительный анализ (программа “APROXINT”, раздел “Интегральное исчисление”).

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 218 учителя математики 4. Приближенные решения обыкновенных дифференциальных урав нений первого порядка с использованием методов Эйлера, Рунге-Кутта второго, четвертого порядков точности и их сравнительный анализ (про грамма “APROXDFE”, раздел “Дифференциальные уравнения”).

Содержание и структура лабораторных работ:

1. Название работы с указанием наименования программы и соот ветствующего раздела высшей математики.

2. Цель работы.

3. Теоретический аспект.

4. Описание этапов проведения лабораторной работы.

5. Описание программы с примером.

Цели и задачи лабораторных работ:

1. Математические:

исследование функциональных зависимостей;

освоение численных методов решений математических задач;

сравнительный анализ эффективности вычислительных проце дур.

2. Информационные:

освоение функциональных возможностей графического калькуля тора (функции, опции, режимы, коммуникации);

освоение среды программирования графического калькулятора;

навыки создания алгоритмов, блок-схем и программ для решения математических задач.

3. Личностные:

развитие математической, информационной и алгоритмической культуры студентов;

творческая активность (анализ результатов с выдвижением и про веркой гипотез, варьирование данных, оптимизация мыслительных про цессов);

коммуникативная и ролевая деятельность студентов на примере малых групп в процессе интеграции знаний, умений и навыков изучения математики с использованием информационных технологий;

мотивация к изучению математических и информационных дис циплин.

4. Профессиональные:

наглядное моделирование объектов и процессов;

визуализация итерационных процессов;

интеграция математических и информационных процессов;

управление процессами познавательной деятельности учащихся.

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора Методика проведения лабораторных работ:

1. Актуализация знаний и контроль теоретических аспектов и прак тических навыков по использованию графического калькулятора.


2. Формулировка названия, цели и плана проведения лабораторной работы.

3. Рассмотрение реализации решения математической задачи на по казательном примере.

4. Распределение студентов на малые группы по 3-4 человека с целью задания различных вариантов исходных данных.

5. Наглядное моделирование и решение предлагаемой математиче ской задачи с применением трех численных методов на основе инте грации математических и информационных знаний с использованием графического калькулятора.

6. Рефлексия и проведение сравнительного анализа полученных ре зультатов с целью формулировки выводов и проверки гипотез.

7. Оформление лабораторной работы с последующей сдачей препо давателю.

8. Презентация результатов.

9. Индивидуальные собеседования или проверочное тестирование.

Основные особенности представленных в лабораторных ра ботах авторских программ:

1. Реализация принципа сохранения значений исходных данных и ре зультатов расчетов в соответствующих матрицах (в режиме выполнения арифметических и матричных расчетов “RUN.MATrix”).

2. Реализация принципа сохранения значений промежуточных вы числений в соответствующих последовательно идущих списках (в ре жиме выполнения статистических расчетов “STATistics”).

3. Интеллектуальная и удобная в использовании система навигации внутри программы в виде совокупности последовательных меню с кор ректной обработкой ошибок ввода необходимых параметров.

4. Возможность варьирования различных параметров и исходных данных непосредственно при работе внутри программы.

5. Возможность проведения статистического (сравнительного) ана лизов получаемых при реализации различных численных методов ре шения математических задач промежуточных вычислений (итоговых результатов) после окончательного выполнения программы (в процес се или после окончательного выполнения программы).

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 220 учителя математики Преимущества использования графического калькулятора при проведении предлагаемых лабораторных работ:

1. Мобильность и автономность использования в сочетании с низким энергопотреблением.

2. Автоматизация выполнения большого количества необходимых рутинных однообразных вычислений при решении математических за дач на основе применения численных методов с возможностью прове дения статистических расчетов после окончательного выполнения про граммы.

3. Автоматизация выполнения сравнительного анализа результатов численных методов решения математических задач непосредственно как внутри программы, так и после ее окончательного выполнения.

4. Автоматизация проведения необходимых расчетов в результате варьирования значений исходных данных.

Таким образом, использование графического калькулятора в процес се обучения математике выполняет мотивационную, обучающую, разви вающую и контролирующую функции, способствуя эффективному про цессу формирования математических, информационных и методических умений будущего учителя математики.

3.2.1. Лабораторная работа № Название работы с указанием имени программы и соответству ющего раздела высшей математики: расчет значений минималь ных номеров приближения к пределу числовых последовательностей вида xn = a2 n 2+a1 n+b0 (для 0, a2 = 0, b2 = 0, xn a2 ) с 1 n+a0 b b2 n +b использованием методов золотой пропорции, Фибоначчи, дихотомии и их сравнительный анализ (программа “MINNESQS”, раздел “Пределы и непрерывность”).

Цель работы: осуществить расчет значений минимальных номе ров приближения к пределу числовых последовательностей вида xn = a2 n2 +a1 n+a (для 0, a2 = 0, b2 = 0, xn a2 ) с использовани b2 n2 +b1 n+b0 b ем методов золотой пропорции, Фибоначчи, дихотомии для различных условий варьирования значений исходных данных с последующим про ведением необходимых сравнительных анализов вычислительных про цедур с применением представленной в графическом калькуляторе про граммы “MINNESQS”.

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора Теоретический аспект Число A называется пределом числовой последовательности {xn }, если для любого 0 существует такое натуральное число n, что для любого n n верно неравенство: |xn A|.

Рассмотрим числовые последовательности вида:

a2 n2 + a1 n + a xn =, b 2 n2 + b 1 n + b где a0, a1, a2, b0, b1, b2 – целые числа, причем a2 = 0 и b2 = 0.

Пределом числовых последовательностей является отношение:

a A = lim xn =.

b n Необходимо осуществить расчет значений минимальных номеров n числовых последовательностей {xn } по заданным 0, таких, что для всех членов числовых последовательностей со значениями номеров n n выполняется неравенство |xn A| в соответствии с различными условиями варьирования значений исходных данных.

Рассмотрим функцию |f (n)| = |xn A|:

a2 n2 + a1 n + a0 (a1 b2 a2 b1 ) n + a0 b2 a2 b a |f (n)| = =.

b 2 n2 + b 1 n + b 0 b2 (b2 n2 + b1 n + b0 ) b От рассмотрения функции |f (n)| перейдем к рассмотрению функ ции f (n) (экстраполируя f (n) на положительную R+ ), так как график функции |f (n)| отличается от графика функции f (n) (в смысле выяс нения особенностей, т.е. действительных точек разрыва и экстремума) только появлением дополнительной действительной угловой точки гра фика на оси абсцисс:

a2 n2 + a1 n + a0 (a1 b2 a2 b1 ) n + a0 b2 a2 b a f (n) = =.

b 2 n2 + b 1 n + b 0 b2 (b2 n2 + b1 n + b0 ) b Для определения действительных точек разрыва функции f (n), то есть действительных точек несуществования функции f (n), необходимо решить уравнение b2 n2 + b1 n + b0 = 0 (b2 = 0 в силу существования предела последовательности).

В силу решения квадратного уравнения возможны следующие вари анты наличия у функции f (n) действительных точек разрыва (DBP = b2 4b0 b2 ):

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 222 учителя математики 1. Если DBP 0, то функция f (n) не имеет действительных точек разрыва и непрерывна на всей числовой оси.

2. Если DBP = 0, то функция f (n) имеет одну действительную точку разрыва со следующим значением абсциссы: nBP = b2. 2b 3. Если DBP 0, то функция f (n) имеет две действительные точки разрыва со следующими значениями абсцисс:

b1 ± b2 4b0 b b1 ± DBP nBP 1,BP 2 = =.

2b2 2b Для определения действительных точек экстремума функции f (n), то есть действительных точек, в которых данная функция имеет макси мум или минимум, необходимо решить уравнение f (n) = 0 и выявить характер действительных критических точек.

(a1 b2 a2 b1 )n+a0 b2 a2 b f (n) = = b2 n2 +b1 n+b b (a1 b2 a2 b1 )(b2 n2 +b1 n+b0)((a1 b2 a2 b1 )n+a0 b2 a2 b0 )(2b2 n+b1 ) = = (b2 n2 +b1 n+b0) b (a2 b1 a1 b2 )n2 +2(a2 b0 a0 b2 )n+(a1 b0 a0 b1 ) =.

b2 n2 +b1 n+b В силу решения квадратного уравнения, левая часть которого пред ставлена в числителе, а именно, (a2 b1 a1 b2 ) n2 + 2 (a2 b0 a0 b2 ) n+ (a1 b0 a0 b1 ) = 0 и влияния знаменателя возможны следующие вариан ты наличия у функции f (n) действительных критических точек (DEP = 4 (a2 b0 a0 b2 )2 4 (a2 b1 a1 b2 ) (a1 b0 a0 b1 )), причем b2 = 0 в силу су ществования предела последовательности:

1. Если DEP 0, то функция f (n) не имеет действительных крити ческих точек.

2. Если DEP = 0, то функция f (n) должна иметь одну действи тельную критическую точку со следующим значением абсциссы: nEP = a0 b2 a2 b.

a2 b1 a1 b Действительно, если DEP = 0, то есть (a2 b0 a0 b2 )2 = (a2 b1 a1 b2 ) · a0 b a2 b (a1 b0 a0 b1 ) и nEP = a2 b2 a1 b2, то получим:

(a2 b1 a1 b2 ) n2 + 2 (a2 b0 a0 b2 ) nEP + (a1 b0 a0 b1 ) = EP a0 b2 2 b0 a0 b2 2 b a a (a2 b1 a1 b2 ) +2 (a2 b0 a0 b2 ) +(a1 b0 a0 b1 ) = a2 b1 1 b2 a2 b1 1 b a a (a02bb1a21bb2) + (a1 b0 a0 b1 ) = (a1 b0 a0 b1 ) + (a1 b0 a0 b1 ) = 0.

2 a a 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора Однако при соблюдении предлагаемых договоренностей имеем:

a0 b2 a2 b0 a0 b2 a2 b b2 n2 + b1 nEP + b0 = b2 + b1 + b0 = EP a2 b1 a1 b2 a2 b1 a1 b a1 b0 a0 b a0 b2 a2 b b2 a2 b1 a1 b1 + b1 a2 b1 a1 b2 + b0 = = a1 b0 b2 a0 b1 b2 +a0 b1 b2 a2 b0 b1 +a2 b0 b1 a1 b0 b = = 0.

a2 b1 a1 b Таким образом, если DEP = 0, то b2 n2 + b1 nEP + b0 = 0, что про EP тиворечит условию существования производной функции f (n), то есть при данных условиях функция f (n) не имеет действительных критиче ских точек.

3. Если DEP 0, то функция f (n) должна иметь две действитель ные критические точки со следующими значениями абсцисс:

2(a0 b2 a2 b0 )± DEP nEP 1,EP 2 = = 2(a2 b1 a1 b2 ) a0 b2 a2 b0 ± (a2 b0 a0 b2 )2 (a2 b1 a1 b2 )(a1 b0 a0 b1 ) =.

a2 b1 a1 b 2(a0 b2 a2 b0 )+ DEP получим, что b2 n2 1 + 3.1. Если при nEP 1 = EP 2(a2 b1 a1 b2 ) b1 nEP 1 + b0 = 0, то функция f (n) имеет только одну действительную критическую точку со следующим значением абсциссы:

(a2 b0 a0 b2 )2 (a2 b1 a1 b2 ) (a1 b0 a0 b1 ) a0 b2 a2 b nEP 2 =.

a2 b1 a1 b 2(a b a b ) D получим, что b2 n2 2 + 02 20 EP 3.2. Если при nEP 2 = EP 2(a2 b1 a1 b2 ) b1 nEP 2 + b0 = 0, то функция f (n) имеет только одну действительную критическую точку со следующим значением абсциссы:

(a2 b0 a0 b2 )2 (a2 b1 a1 b2 ) (a1 b0 a0 b1 ) a0 b2 a2 b0 + nEP 1 =.

a2 b1 a1 b 2(a0 b2 a2 b0 )± DEP 3.3. Если при nEP 1, nEP 2 = получим, что 2(a2 b1 a1 b2 ) b2 nEP 1,EP 2 + b1 nEP 1,EP 2 + b0 = 0, то функция f (n) имеет две действи тельные критические точки со следующими значениями абсцисс:

(a2 b0 a0 b2 )2 (a2 b1 a1 b2 ) (a1 b0 a0 b1 ) a0 b2 a2 b0 ± nEP 1,EP 2 =.

a2 b1 a1 b Глава 3. Методические основы математического образования будущего 224 учителя математики Нахождение действительной угловой точки осуществляется в резуль тате анализа функции |f (n)|:


a2 n2 + a1 n + a0 (a1 b2 a2 b1 ) n + a0 b2 a2 b a |f (n)| = =.

b 2 n2 + b 1 b 2 n + b 0 b b 2 n2 + b 1 n + b 0 b2 Действительная угловая точка означает пересечение графика функ ции |f (n)| с осью абсцисс, то есть точку, в которой график функции резко меняет направление в силу зеркального отображения отрицатель ных областей графика функции f (n) относительно оси абсцисс.

Для определения действительной угловой точки функции |f (n)|, то есть точки, в которой функции |f (n)| и f (n) пересекают ось абсцисс, необходимо решить уравнение f (n) = 0:

(a1 b2 a2 b1 ) n + a0 b2 a2 b f (n) =.

b2 (b2 n2 + b1 n + b0 ) В силу решения линейного уравнения, левая часть которого пред ставлена в числителе, а именно, (a1 b2 a2 b1 ) n + a0 b2 a2 b0 = 0 и вли яния знаменателя возможны следующие варианты наличия у функции |f (n)| действительных угловых точек, причем b2 = 0 в силу существо вания предела последовательности:

1. Если a1 b2 a2 b1 = 0, то функция |f (n)| не имеет действительной угловой точки.

2. Если a1 b2 a2 b1 = 0, то функция |f (n)| должна иметь одну дей ствительную угловую точку со следующим значением абсциссы: nAP = a2 b0 a0 b.

a1 b2 a2 b 2.1. Если при nAP = a2 b0 a0 b2 получим, что b2 n2 + b1 nAP + b0 = 0, AP a1 b2 a2 b то функция |f (n)| не имеет действительной угловой точки;

a2 b0 a0 b 2.2. Если при nAP = a1 b2 a2 b1 получим, что b2 n2 + b1 nAP + b0 = 0, AP то функция |f (n)| имеет одну действительную угловую точку со следу a2 b0 a0 b ющим значением абсциссы: nAP = a1 b2 a2 b1.

После нахождения действительных точек разрыва (nBP 1,nBP 2 или nBP ), точек экстремума (nEP 1,nEP 2 или nEP ) и угловой точки (nAP ) для функции |f (n)| определим отрезок [nA0, nB0 ] с условием nA0 nB0, на котором следует осуществлять нахождение значения минимально го номера n, где nB0 – минимальный номер, теоретически найден ный аналитическим методом, а значение nA0 определяется из выра жения nA0 = max{nBP 1 (nBP ), nBP 2, nEP 1 (nEP ), nEP 2, nAP }, при этом для дальнейших расчетов в случаях наличия дробных частей значения 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора граничных номеров следует округлять до больших ближайших целых чисел.

Порядок нахождения значения nA0 в силу особенностей функции |f (n)| состоит из следующих этапов:

1. При отсутствии у функции |f (n)| действительных точек разрыва nA01 = ;

2. При наличии у функции |f (n)| одной действительной точки раз рыва nA01 = nBP ;

3. При наличии у функции |f (n)| двух действительных точек раз рыва если nBP 1 nBP 2, то nA01 = nBP 1, если nBP 1 nBP 2, то nA01 = nBP 2 ;

4. При отсутствии у функции |f (n)| действительных точек экстре мума nA02 = ;

5. При наличии у функции |f (n)| одной действительной точки экс тремума если |f (nEP )|, то nA02 =, если f (n)EP, то nA02 = nEP ;

6. При наличии у функции |f (n)| двух действительных точек экс тремума если |f (nEP 1 )|, то nA021 =, если |f (nEP 1 )|, то nA021 = nEP 1 ;

7. При наличии у функции |f (n)| двух действительных точек экс тремума если |f (nEP 2 )|, то nA022 =, если |f (nEP 2 )|, то nA022 = nEP 2 ;

8. При наличии у функции |f (n)| двух действительных точек экс тремума если nA021 nA022, то nA02 = nA021, если nA021 nA022, то nA02 = nA022 ;

9. При отсутствии у функции |f (n)| действительной угловой точки nA03 = ;

10. При наличии у функции |f (n)| одной действительной угловой точки nA03 = nAP ;

11. В качестве nA0 выбирается округленное до большего ближайшего целого числа максимальное из значений nA01, nA02 и nA03.

Рассмотрим логические основы реализации методов золотой пропор ции, Фибоначчи, дихотомии для выполнения приближенных вычисле ний значений пределов числовых последовательностей вида xn = a2 n 2+a1 n+b0 (для 0, a2 = 0, b2 = 0, xn a2 ) на ос 1 n+a0 b b2 n +b нове расчетов значений минимальных номеров приближения к пределу n в зависимости от различных значений, nA0 и nB0, заложенных в программу “MINNESQS”.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 226 учителя математики Метод золотой пропорции Суть золотой пропорции, изображенной на рис. 32, состоит в сле дующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким образом, что это будет отражать золотую пропорцию, то А, деленное на В, будет равно С, деленному на А. Символьная запись: C = B = = 1+2 5 1, 618033989.

A A Рис. 32. Золотая пропорция C A Действительно, пусть = B = X.

A A + B = C, то Так как A+B = C или получим квадратное уравнение:

A A A = X X 2 X 1 = 0.

1+ X Положительный действительный корень квадратного уравнения:

1+ 1, 618033989.

X== По аналогии с пропорцией назовем число золотым.

Одно из общеизвестных алгебраических свойств золотого числа за ключается в следующем: золотое число, возведенное в степень с нату ральным показателем, равно сумме двух золотых чисел, возведенных в две предшествующие степени: N = N 1 + N 2.

Действительно, так как 2 1 = 0, то 2 = + 1 или N 2 · 2 = N 2 · + N 2, откуда N = N 1 + N 2.

Поскольку N = N 1 + N 2, то N = N +2 N +1, откуда можно получить следующие соотношения:

1 1 1 1 1 1 2 = 1, 2 = 1 = 2, 3 = 2 = 1 2 = 1 = 2 3.

В данной лабораторной работе метод золотой пропорции (“METHOD OF GOLD PROPORTION”) имеет следующую реализацию:

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора 1. Итерация с индексом “0 :

1.1. На искомом отрезке [nA0, nB0 ] при соблюдении условий nA nB0 и |f (nA0 )| |f (nB0 )| (по умолчанию значения nA0 и nB0 яв ляются целыми числами) выбираются точки с абсциссами nGP и nGP, C0 D исходя из неравенств nA0 nGP nGP nB0 и |f (nA0 )| f nGP C0 D0 C f nGP |f (nB0 )|, в соответствии с принципами золотой пропорции D согласно следующим соотношениям:

nB0 nA0 nB0 nA nGP = nA0 + = nB0, C0 2 nB0 nA0 nB0 nA nGP = nA0 + = nB0.

D0 1.2. При наличии положительных дробных частей значения nGP и C nGP округляются до ближайших больших целых чисел.

D 1.3. Если достигнута истинность выражения nB0 nA0 = 1, то ите рации прекращаются, количество шагов итераций sGP = 0, и в качестве минимального номера nGP выбирается nGP = nA0 в силу неравенства |f (nA0 )| |f (nB0 )|.

1.4. Если nB0 nA0 = 1, то осуществляется переход к следующей итерации.

2. Итерация с индексом “N (N 1):

2.1. Если f nGP 1), то nGP = nGP 1), nGP = nGP 1), AN BN C(N A(N C(N nGP nGP nGP nGP = nGP 1) nGP 1) = B(N 1)2 A(N 1), и получаем отрезок BN AN C(N A(N nGP, nGP = nGP 1), nGP 1).

AN BN A(N C(N 2.2. Если f nGP 1) и f nGP 1), то nGP = nGP 1), AN C(N D(N C(N nGP nGP nGP = nGP 1), nGP nGP = nGP 1) nGP 1) = B(N 1)3 A(N 1), и BN BN AN D(N D(N C(N получаем отрезок nGP, nGP = nGP 1), nGP 1).

AN BN C(N D(N 2.3. Если f nGP 1), то nGP = nGP 1), nGP = nGP 1), AN BN D(N D(N B(N nGP nGP nGP nGP = nGP 1) nGP 1) = B(N 1)2 A(N 1), и получаем отрезок BN AN B(N D(N nGP, nGP = nGP 1), nGP 1).

AN BN D(N B(N 2.4. На отрезке nGP, nGP при соблюдении условий nGP nGP AN BN AN BN и f nGP f nGP выбираются точки с абсциссами nGP и AN BN CN nGP, исходя из неравенств nGP nGP nGP nGP и f nGP DN AN CN DN BN AN f nGP f nGP f nGP, в соответствии с принципами золо CN DN BN той пропорции согласно следующим соотношениям:

nGP nGP nGP nGP nGP = nGP + = nGP BN BN AN AN, CN AN BN Глава 3. Методические основы математического образования будущего 228 учителя математики nGP nGP nGP nGP nGP = nGP + = nGP BN 2 AN.

BN AN DN AN BN 2.5. При наличии положительных дробных частей значения nGP и CN nGP округляются до ближайших больших целых чисел.

DN 2.6. Если достигнута истинность выражения nGP nGP = 1, то ите BN AN рации прекращаются, количество шагов итераций sGP = N, и в качестве минимального номера nGP выбирается nGP = nGP в силу неравенства AN f nGP f nGP.

AN BN 2.7. Если nGP nGP = 1, то осуществляется переход к следующей BN AN итерации.

Метод Фибоначчи Последовательность чисел Фибоначчи (открыта Леонардо Фибонач чи) отличается от других последовательностей чисел тем, что каждый ее член, начиная со второго по индексу, равен сумме двух предыдущих (с добавлением нулевого члена последовательности): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и так далее.

Действительно: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, то есть FK = FK1 + FK2, где FK, FK1 и FK2 – члены последовательности Фибоначчи с индексами “K”, “K 1” и “K 2” соответственно.

Интересно отметить, что отношение значений соседних членов дан ной последовательности, начиная с больших номеров (при K ), приближается к золотому числу, то есть :

FK 1+ = 1, 618033989, FK1 где FK и FK1 – члены последовательности Фибоначчи с индексами “K” и “K 1” соответственно.

Для золотых чисел, возведенных в определенных степенях (геомет рическая прогрессия со значениями начального члена и знаменателя, равными ), как и для последовательности чисел Фибоначчи, справед ливо общее правило о том, что значение каждого члена любой из этих последовательностей равно сумме значений двух предыдущих членов:

1. Формула для геометрической прогрессии золотых чисел: K = K1 + K2, где “K”, “K 1” и “K 2” – показатели степеней для золотого числа ;

2. Формула для последовательности чисел Фибоначчи: FK = FK1 + FK2, где FK, FK1 и FK2 – члены последовательности Фибоначчи с индексами “K”, “K 1” и “K 2” соответственно.

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора Поскольку FK = FK1 + FK2, то FK2 = FK FK1, откуда можно получить следующие соотношения:

FK3 = FK1 FK2 = 2FK1 FK = FK 2FK2, FK3 FK1 FK2 FK1 FK 1= = =2.

FK FK FK FK FK Взаимосвязь между золотым числом и числами Фибоначчи выража ется следующим соотношением: K = FK1 + FK ·.

Докажем утверждение методом последовательного перебора:

1 = 0 + 1 = 0 + 1 · = F0 + F1 ·, 2 = 1 + 0 = + 1 = 1 + 1 · = F1 + F2 ·, 3 = 2 + 1 = (F1 + F2 · ) + (F0 + F1 · ) = = (F0 + F1 ) + (F1 + F2 ) · = F2 + F3 ·,.............................................

K = K1 + K2 = (FK2 + FK1 · ) + (FK3 + FK2 · ) = = (FK2 + FK3 ) + (FK2 + FK1 ) · = FK1 + FK ·.

В данной лабораторной работе метод Фибоначчи (“METHOD OF FIBONACHCHI”) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом “0”:

1.1. Осуществляется ввод значения индекса последнего члена ряда Фибоначчи для его построения, то есть “K”.

1.2. Осуществляется построение заданного ряда Фибоначчи, начиная с нулевого индекса и заканчивая индексом “K”.

1.3. На искомом отрезке [nA0, nB0 ] при соблюдении условий nA nB0 и |f (nA0 )| |f (nB0 )| (по умолчанию значения nA0 и nB0 яв ляются целыми числами) выбираются точки с абсциссами nF и nF, C0 D исходя из неравенств nA0 nF nF nB0 и |f (nA0 )| f nF C0 D0 C f nF |f (nB0 )|, в соответствии с принципами последовательности D Фибоначчи согласно следующим соотношениям:

FK2 FK nF = nA0 + (nB0 nA0 ) = nB0 (nB0 nA0 ), C0 FK FK FK1 FK nF = nA0 + (nB0 nA0 ) = nB0 (nB0 nA0 ).

D0 FK FK 1.4. При наличии положительных дробных частей значения nF иC nF округляются до ближайших больших целых чисел.

D 1.5. Если достигнута истинность выражения nB0 nA0 = 1, то ите рации прекращаются, количество шагов итераций sF = 0, и в каче стве минимального номера nF выбирается nF = nA0 в силу неравенства |f (nA0 )| |f (nB0 )|.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 230 учителя математики 1.6. Если nB0 nA0 = 1, то осуществляется переход к следующей итерации.

2. Итерация с индексом “N (N 1):

2.1. Если f nF 1), то nF = nF 1), nF = nF 1), AN BN C(N A(N C(N FK2N nBN nAN = nC(N 1) nA(N 1) = nB(N 1) nA(N 1), и по FKN лучаем отрезок nF, nF = nF 1), nF 1).

AN BN A(N C(N 2.2. Если f nF 1) и f nF 1), то nF = nF 1), AN C(N D(N C(N FK3N nF = nF 1), nF nF = nF 1) nF 1) = FKN nF 1) BN BN AN D(N D(N C(N B(N nF 1), и получаем отрезок nF, nF F F BN = nC(N 1), nD(N 1).

AN A(N 2.3. Если f nD(N 1), то nAN = nD(N 1), nBN = nF 1), F F F F B(N FK2N nF nF = nF 1) nF 1) = FKN nF 1) nF 1), и по BN AN B(N D(N B(N A(N лучаем отрезок nF, nF F F BN = nD(N 1), nB(N 1).

AN 2.4. На отрезке nAN, nBN при соблюдении условий nF nF F F AN BN и f nF f nF выбираются точки с абсциссами nF и AN BN CN nF, исходя из неравенств nF nF nF nF и f nF DN AN CN DN BN AN f nF f nF f nF BN, в соответствии с принципами после CN DN довательности Фибоначчи согласно следующим соотношениям:

FK2N FK1N nF = nF + nF nF = nF nF nF AN, CN AN BN AN BN BN FKN FKN FK1N FK2N nF = nF + nF nF = nF nF nF AN.

DN AN BN AN BN BN FKN FKN 2.5. При наличии положительных дробных частей значения nF и CN nF округляются до ближайших больших целых чисел.

DN 2.6. Если достигнута истинность выражения nF nF = 1, то ите BN AN рации прекращаются, количество шагов итераций sF = N, и в качестве минимального номера nF выбирается nF = nF в силу неравенства AN f nF f nFBN.

AN 2.7. Если nF nF = 1, то осуществляется переход к следующей BN AN итерации.

Стоит отметить, что при достаточно большом значении начально го индекса “K” соответствующие отрезки, полученные методами золо той пропорции и Фибоначчи, будут иметь незначительные отличия, что влечет за собой приблизительно равную эффективность обоих методов.

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора Метод дихотомии Суть дихотомии или половинного деления состоит в следующем: ес ли разделить отрезок C на отрезки A и B таким образом, что это будет отражать дихотомию, то C, деленное на A, будет равно C, деленному на B, то есть A равно B: C = B = 2 или A = B.

A Таким образом, при наличии исходного отрезка [a0, b0 ] полученный в результате “N ”-го деления отрезок [aN, bN ] связан с исходным соотно a шением bN aN = b02N 0.

В данной лабораторной работе метод дихотомии (“METHOD OF DICHOTOMY”) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом “0”:

1. 1. Осуществляется ввод значения расстояния, откладываемого сим метрично относительно середины отрезка, для установки точек, то есть nD.

M 1.2. Если nB0 nA0 2, то на искомом отрезке [nA0, nB0 ] при со блюдении условий nA0 nB0 и |f (nA0 )| |f (nB0 )| (по умолчанию значения nA0 и nB0 являются целыми числами) выбирается точка с абс циссой nD = nD, исходя из неравенств nA0 nD = nD nB0 и C0 D0 C0 D |f (nA0 )| f nD = f nD |f (nB0 )|, в соответствии с принципа C0 D ми дихотомии согласно следующему соотношению:

nB0 nA0 nB0 nA nD = nD = nA0 + = nB0.

C0 D 2 1.3. Если 2 nD nD 2nD, то на искомом отрезке [nA0, nB0 ] при B0 A0 M соблюдении условий nA0 nB0 и |f (nA0 )| |f (nB0 )| (по умолча нию значения nA0 и nB0 являются целыми числами) выбираются точки с абсциссами nD и nD, исходя из неравенств nA0 nD nD nB C0 D0 C0 D и |f (nA0 )| f nD f nD |f (nB0 )|, в соответствии с принци C0 D пами дихотомии согласно следующим соотношениям:

nB0 nA0 nB0 nA nD = nA0 + 1 = nB0 1, C0 2 nB0 nA0 nB0 nA nD = nA0 + + 1 = nB0 + 1.

D0 2 1.4. Если nB0 nA0 2nD, то на искомом отрезке [nA0, nB0 ] при M соблюдении условий nA0 nB0 и |f (nA0 )| |f (nB0 )| (по умолча нию значения nA0 и nB0 являются целыми числами) выбираются точки с абсциссами nD и nD, исходя из неравенств nA0 nD nD nB C0 D0 C0 D Глава 3. Методические основы математического образования будущего 232 учителя математики и |f (nA0 )| f nD f nD |f (nB0 )|, в соответствии с принци C0 D пами дихотомии согласно следующим соотношениям:

nB0 nA0 nB0 nA nD = nA0 + nD = nB0 nD, C0 M M 2 nB0 nA0 nB0 nA nD = nA0 + + nD = nB0 + nD.

D0 M M 2 1.5. При наличии положительных дробных частей значения nD и C D nD0 округляются до ближайших больших целых чисел.

1.6. Если достигнута истинность выражения nB0 nA0 = 1, то ите рации прекращаются, количество шагов итераций sD = 0, и в каче стве минимального номера nD выбирается nD = nA0 в силу неравенства |f (nA0 )| |f (nB0 )|.

1.7. Если nB0 nA0 = 1, то осуществляется переход к следующей итерации.

2. Итерация с индексом “N ” (N 1):

2.1. Если f nD 1), то nD = nD 1), nD = nD 1), nD AN B BN C(N A(N C(N nD nD nD = nD 1) nD 1) = B(N 1) 2 A(N 1) nD, и получаем отрезок AN M C(N A(N nD, nD = nD 1), nD 1).

AN BN A(N C(N 2.2. Если f nD 1) и f nD 1), то nD = nD 1), AN C(N D(N C(N nB1 = nD 1), nD nD = nD 1) nD 1) = 2nD, и получаем D BN AN M D(N D(N C(N отрезок nD, nD = nD 1), nD 1).

AN BN C(N D(N 2.3. Если f nD 1), то nD = nD 1), nD = nD, nD AN B1 B0 BN D(N D(N nD nD nD = nD 1) nD 1) = B(N 1) 2 A(N 1) nD, и получаем отрезок AN M B(N D(N nD, nD = nD 1), nD 1).

AN BN D(N B(N 2.4. Если nD nD 2, то на отрезке nD, nD BN при соблюдении BN AN AN условий nD nD и f nD f nD выбирается точка с AN BN AN BN абсциссой nD = nD, исходя из неравенств nD nD = nD CN DN AN CN DN nD и f nD f nD = f nD f nDBN, в соответствии с BN AN CN DN принципами дихотомии согласно следующему соотношению:

nD nD nD nD nD = nD = nD + = nD BN BN AN AN.

CN DN AN BN 2 2.5. Если 2 nD nD 2nD, то на отрезке nD, nD BN при со BN AN M AN блюдении условий nD nD и f nD f nD выбираются AN BN AN BN точки с абсциссами nD и nD, исходя из неравенств nD nD CN DN AN CN 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора nD nD и f nD f nD f nD f nDBN, в соответ DN BN AN CN DN ствии с принципами дихотомии согласно следующим соотношениям:

nD nD nD nD nD = nD + 1 = nD 1, BN AN BN AN CN AN BN 2 nD nD nD nD nD = nD + + 1 = nD BN AN BN AN + 1.

DN AN BN 2 2.6. Если nD nD 2nD, то на отрезке nD, nD при соблюде BN AN M AN BN нии условий nD nD и f nD f nD выбираются точки AN BN AN BN с абсциссами nD и nD, исходя из неравенств nD nD nD CN DN AN CN DN nD и f nD f nD f nD f nDBN, в соответствии с BN AN CN DN принципами дихотомии согласно следующим соотношениям:

nD nD nD nD nD = nD + nD = nD nD, BN AN BN AN CN AN M BN M 2 nD nD nD nD nD nD nD nD + nD.

BN AN BN AN = + + = DN AN M BN M 2 2.7. При наличии положительных дробных частей значения nD и CN nD округляются до ближайших больших целых чисел.

DN 2.8. Если достигнута истинность выражения nD nD = 1, то ите BN AN рации прекращаются, количество шагов итераций sD = N, и в качестве минимального номера nD выбирается nD = nD в силу неравенства AN f nD f nDBN.

AN 2.9. Если nD nD = 1, то осуществляется переход к следующей BN AN итерации.

Описание этапов проведения лабораторной работы Лабораторная работа по расчету значений минимальных номеров приближения к пределу числовых последовательностей вида xn = a2 n2 +a1 n+a (для 0, a2 = 0, b2 = 0, xn a2 ) на основе расчетов b2 n2 +b1 n+b0 b значений минимальных номеров n с использованием методов золотой пропорции, Фибоначчи, дихотомии для различных условий варьирова ния значений исходных данных с последующим проведением необходи мых сравнительных анализов вычислительных процедур с применением представленной в графическом калькуляторе программы “MINNESQS” может быть разделена на три этапа.

I этап. “Приближенные вычисления значений минимальных номе ров n числовых последовательностей вида xn = a2 n 2+a1 n+b0 (для 1 n+a b2 n +b 0, a2 = 0, b2 = 0, xn a2 ) с помощью стандартных встроенных b функций графического калькулятора”.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 234 учителя математики На данном этапе преподаватель разделяет исходную группу студен тов на определенное количество малых групп по 3–4 студента, что позво ляет выявить различные личностные психологические особенности сту дентов. Каждой из групп предлагаются различные исходные данные a0, a1, a2, b0, b1, b2 и.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.