авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |

«НАГЛЯДНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Под редакцией профессора Е. И. Смирнова Рекомендовано УМО по специальностям ...»

-- [ Страница 7 ] --

Вычисления значений минимальных номеров n заданных числовых последовательностей может осуществляться с помощью стандартных встроенных функций калькулятора следующими методами:

– аналитическим – выполнение вычислений с использованием стан дартных функций в режиме выполнения арифметических и матричных расчетов “RUN.MATrix” или в режиме выполнения статистических рас четов “STATistics”;

– графическим – выполнение функционального анализа с использо ванием стандартных функций в режиме построения и анализа статиче ских графиков “GraPH-TaBLe”.

II этап. “Приближенные вычисления значений минимальных номе ров n числовых последовательностей вида xn = a2 n 2+a1 n+b0 (для 1 n+a b2 n +b 0, a2 = 0, b2 = 0, xn a2 ) с использованием методов золотой b пропорции, Фибоначчи, дихотомии в зависимости от различных значе ний 0 с применением представленной в графическом калькуляторе программы “MINNESQS” ”.

На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп студен тов, сформированных на первом этапе, предлагает различные исходные данные a0, a1, a2, b0, b1, b2, а также несколько значений в рамках одной малой группы.

Предполагается, что студенты предварительно самостоятельно про ведут анализ функции |f (n)| на предмет выявления действительных точек разрыва, экстремума и угловой точки, а также по найденным значениям nA0 и nB0 реализуют итерации с индексами “0”, “1” и “2” согласно методам золотой пропорции, Фибоначчи и дихотомии.

После этого студенты проведут соответствующие необходимые рас четы с применением реализованной в графическом калькуляторе про граммы “MINNESQS”.

III этап. “Сравнительный анализ методов золотой пропорции, Фи боначчи, дихотомии в результате реализации приближенных вычис лений значений минимальных номеров n числовых последовательно стей вида xn = a2 n 2+a1 n+b0 (для 0, a2 = 0, b2 = 0, xn a2 ) в 1 n+a0 b b2 n +b зависимости от различных значений ”.

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора На данном финальном этапе преподаватель для каждой из малых групп, сформированных на первом этапе, предлагает провести сравни тельный анализ проведенных на втором этапе приближенных вычис лений значений минимальных номеров n заданных числовых после довательностей вида xn = a2 n 2+a1 n+b0 (для 0, a2 = 0, b2 = 0, 1 n+a b2 n +b xn a2 ) в зависимости от различных значений.

b Для этого согласно результатам расчетов необходимо заполнить со вокупную таблицу 10 полученных значений количества шагов s и ми нимальных номеров n в зависимости, во-первых, от численного метода вычислений, во-вторых, от значений, на основе которой формируются итоговые выводы по работе, заполняется отчет с последующей сдачей преподавателю и предлагается ответить на вопросы проверочного те стирования.

Таблица Совокупная таблица по лабораторной работе № 3.2.2. Лабораторная работа № Название работы с указанием имени программы и соответству ющего раздела высшей математики: приближенные решения ал гебраических и трансцендентных уравнений с использованием метода дихотомии (бисекции), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода итераций и их сравнительный анализ (программа “APROXEQU”, раздел “Дифференциальное исчисление”).

Цель работы: осуществить нахождение приближенных решений алгебраических и трансцендентных уравнений с использованием мето да дихотомии (бисекции), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода итераций для различных условий варьирования зна чений исходных данных с последующим проведением необходимых срав Глава 3. Методические основы математического образования будущего 236 учителя математики нительных анализов вычислительных процедур с применением пред ставленной в графическом калькуляторе программы “APROXEQU”.

Теоретический аспект В силу сложности структуры символьной записи алгебраических и трансцендентных уравнений задача по нахождению точных решений яв ляется весьма трудоемкой и подчас не реальной.

Процедура нахождения приближенных решений алгебраических и трансцендентных уравнений может быть реализована в два этапа:

1. Локализация корней – выделение отрезков, каждый из которых содержит по одному корню, с использованием аналитических или гра фических методов.

2. Уточнение корней – вычисление приближенных значений дей ствительных корней уравнения на каждом из отрезков с необходимой точностью, при этом каждый из корней в силу единственности на рас сматриваемом интервале, называемом интервалом изоляции корня, яв ляется изолированным, с использованием численных методов.

Предлагаемые в рамках данной лабораторной работы численные ме тоды используются для приближенных решений алгебраических и транс цендентных уравнений вида f (xn ) = 0 с целью определения прибли женного значения изолированного действительного корня xn на отрезке [a0, b0 ] с необходимой точностью.

Рассмотрим логические основы реализации метода дихотомии (би секции), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), ме тода итераций для выполнения приближенных решений алгебраических и трансцендентных уравнений в зависимости от различных значений a0, b0,, заложенных в программу “APROXEQU”.

Метод дихотомии (бисекции) Суть дихотомии (бисекции) или половинного деления состоит в сле дующем: если разделить отрезок C на отрезки A и B таким образом, что это будет отражать дихотомию, то C, деленное на A, будет равно C, деленному на B, то есть A равно B: C = B = 2 или A = B.

A Таким образом, при наличии исходного отрезка [a0, b0 ] полученный в результате “N ”-го деления отрезок [aN, bN ] связан с исходным соотно a шением bN aN = b02N 0.

В данной лабораторной работе метод дихотомии (бисекции) (“METHOD OF DICHOTOMY”) имеет следующую реализацию:

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора 1. Итерация с индексом “0”:

1.1. На искомом отрезке aD, bD при соблюдении условий aD bD 0 0 0 и f aD · f bD 0 выбирается точка xD, исходя из неравенства aD 0 0 0 xD bD, в соответствии с принципами дихотомии согласно следующему 0 aD +bD соотношению: xD = 0 2 0.

1.2. Если достигнута истинность выражения bD aD 2, то ите 0 рации прекращаются, количество шагов итераций sD = 0, и в качестве приближенного значения действительного корня уравнения xD выбира aD +bD ется xD = xD в силу равенства xD = 0 2 0.

0 1.3. Если bD aD 2, то осуществляется переход к следующей 0 итерации.

2. Итерация с индексом “N ” (N 1):

2.1. Если f xD 1 · f aD 1 0 и f xD 1 · f bD 1 0, то aD = N N N N N bD aD aD 1, bD = xD 1, bD aD = xD 1 aD 1 = N 1 2 N 1, и получаем N N N N N N N отрезок aD, bD = aD 1, xD 1.

N N N N 2.2. Если f xD 1 · f aD 1 0 и f xD 1 · f bD 1 0, то aD = N N N N N bD aD xD 1, bD = bD 1, bD aD = bD 1 xD 1 = N 1 2 N 1, и получаем N N N N N N N отрезок aD, bD = xD 1, bD 1.

N N N N 2.3. На отрезке aD, bD при соблюдении условий aD bD и f aD · N N N N N f bD 0 выбирается точка xD, исходя из неравенства aD xD bD, N N N N N в соответствии с принципами дихотомии согласно следующему соотно aD +bD шению: xD = N 2 N.

N 2.4. Если достигнута истинность выражения bD aD 2, то ите N N рации прекращаются, количество шагов итераций sD = N, и в качестве приближенного значения действительного корня уравнения xD выбира aD +bD ется xD = xD в силу равенства xD = N 2 N.

N N 2.5. Если bD aD 2, то осуществляется переход к следующей N N итерации.

Комбинированный метод хорд и касательных (Ньютона) Комбинированный метод хорд и касательных (Ньютона) применя ется только в случаях, когда функция f (x) на искомом отрезке [a0, b0 ] монотонна и не имеет точек перегиба, то есть f (x) и f (x) не изменяют знака на отрезке [a0, b0 ].

Суть метода заключается в сжатии искомого отрезка [a0, b0 ] в силу проведения из противоположных концов хорды и касательной согласно следующим правилам:

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 238 учителя математики 1. Для случая f (a0 ) · f (a0 ) 0 и f (b0 ) · f (b0 ) 0 отрезок [aN, bN ] образуется из отрезка [aN 1, bN 1 ] согласно следующим правилам:

1.1.Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки с коор динатами (aN 1, f (aN 1 )) к графику исходной функции f (x), то есть f1 (aN ) = f (aN 1 )+f (aN 1 )·(aN aN 1 ), получим абсциссу точки пере f (a ) сечения касательной с осью абсцисс (f1 (aN ) = 0): aN = aN 1 f aN 1.

( N 1 ) 1.2. Исходя из уравнения хорды, проходящей через точки с коорди натами (aN 1, f (aN 1 )) и (bN 1, f (bN 1 )), то есть f2 (bN ) = f (bN 1 ) + f (aN 1 )f (bN 1 ) (bN bN 1 )·, получим абсциссу точки пересечения хор aN 1 bN b a ды с осью абсцисс (f2 (bN ) = 0): bN = bN 1 f (bN 1 ) · f (aN 1 )fN 11 ).

N (bN 2. Для случая f (a0 ) · f (a0 ) 0 и f (b0 ) · f (b0 ) 0 отрезок [aN, bN ] образуется из отрезка [aN 1, bN 1 ] согласно следующим правилам:

2.1. Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки с коор динатами (bN 1, f (bN 1 )) к графику исходной функции f (x), то есть f1 (bN ) = f (bN 1 ) + f (bN 1 ) · (bN bN 1 ), получим абсциссу точки пере f (b ) сечения касательной с осью абсцисс (f1 (bN ) = 0): bN = bN 1 f bN 1.

( N 1 ) 2.2. Исходя из уравнения хорды, проходящей через точки с коорди натами (aN 1, f (aN 1 )) и (bN 1, f (bN 1 )), то есть f2 (aN ) = f (aN 1 ) + f (b 1 )f (aN ) (aN aN 1 )· NN 1 aN 11, получим абсциссу точки пересечения хор b a b ды с осью абсцисс (f2 (aN ) = 0): aN = aN 1 f (aN 1 ) · f (bN 1 )f N 11 ).

N (aN В данной лабораторной работе комбинированный метод хорд и каса тельных (“METHOD OF CHORDS AND TANGENTS”) или метод Нью тона имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом “0”:

1.1. На искомом отрезке aCT, bCT при соблюдении условий aCT 0 0 b0, f aCT · f bCT 0, f aCT · f aCT 0, f bCT · f bCT CT 0 0 0 0 0 выбирается точка с координатами xCT, f xCT, из которой проводит 0 ся первая касательная к графику исходной функции f (x).

1.2. Если f aCT ·f aCT 0 и f bCT ·f bCT 0, то xCT = aCT.

0 0 0 0 0 1.3. Если f aCT ·f aCT 0 и f bCT ·f bCT 0, то xCT = bCT.

0 0 0 0 0 1.4. Если достигнута истинность выражения bCT aCT 2, то 0 итерации прекращаются, количество шагов итераций sCT = 0, и в ка честве приближенного значения действительного корня уравнения xCT aCT +bCT выбирается xCT = 0.

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора 1.5. Если bCT aCT 2, то осуществляется переход к следующей 0 итерации.

2. Итерация с индексом “N ” (N 1):

2.1. Если xCT = aCT, то на отрезке aCT, bCT выбираются точки N 1 N 0 aN и bCT с соблюдением условия aCT aCT bCT bCT согласно CT N 1 N N N N следующим соотношениям:

f aCT aCT bCT N 1 N 1 N aCT = aCT и bCT = bCT f bCT ·.

N 1 N 1 N N N f aCT f aCT f bCT N 1 N 1 N 2.2. Если xCT = bCT, то на отрезке aCT, bCT выбираются точки N 1 N 0 aCT и bCT с соблюдением условия aCT aCT bCT bCT согласно N 1 N N N N N следующим соотношениям:

f bCT bCT aCT N 1 N 1 N bCT = bCT и aCT = aCT f aCT ·.

N 1 N 1 N N N CT f bN 1 f aCT CT f bN 1 N 2.3. Если достигнута истинность выражения bCT aCT 2, то N N итерации прекращаются, количество шагов итераций sCT = N, и в ка честве приближенного значения действительного корня уравнения xCT aCT +bCT выбирается xCT = N 2 N.

2.4. Если bCT aCT 2, то осуществляется переход к следующей итерации.

Метод итераций Метод итераций применяется к уравнению вида x = g (x) на отрезке [a0, b0 ] при соблюдении условий |g (x)| q 1 и a0 g (x) b0, где x [a0, b0 ].

Суть метода итераций заключается в построении рекуррентной по следовательности действительных чисел, сходящихся к решению, по фор муле xN = g(xN 1 ), где x [a0, b0 ].

Обозначим дифференцируемую функцию f (x) = x g (x), при этом за начальное приближение корня примем произвольное значение x [a0, b0 ].

f (x) = x g (x) = 1 g (x) 1 g (x) 1 q.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 240 учителя математики Если x – точное решение уравнения f () = 0, то имеем:

x |xN +1 xN | = |g (xN ) xN | = |f (xN )| = |f () f (xN )|.

x |f ()f (xN )| x где x [, xN ].

По теореме Лагранжа f x =, x |xN | x Тогда |xN +1 xN | = f · | xN | (1 q) · | xN |.

x x x С другой стороны, так как xN +1 = g (xN ), xN = g (xN 1 ), xN 1 = g (xN 2 ), то получим: |xN +1 xN | = |g (xN ) g (xN 1 )|.

|g(xN )g(xN 1 )|, где x [xN 1, xN ].

По теореме Лагранжа g x = |xN xN 1 | Тогда |xN +1 xN | = g · |xN xN 1 | q · |xN xN 1 |.

x Очевидно, что |xN +1 xN | q · |xN xN 1 | q 2 · |xN 1 xN 2 | N q · |x1 x0 |.

Каждый из членов ряда x0 +(x1 x0 )+(x2 x1 )+...+(xN xN 1 )+..., как следует из неравенства, не превосходит q, а поскольку знамена тель геометрической прогрессии q 1, то в силу сходимости данной геометрической прогрессии рассматриваемый ряд сходится к необходи мому решению.

Так как |xN +1 xN | (1 q)·| xN | и |xN +1 xN | q·|xN xN 1 |, x а также согласно неравенству | xN |, получим, что (1 q) · x | xN | q · |xN xN 1 | или |xN xN 1 | 1q · | xN |, то есть x x q |xN xN 1 | 1q ·.

q В данной лабораторной работе метод итераций (“METHOD OF ITERATIONS”) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом “0”:

1.1. На искомом отрезке aI, bI при соблюдении условий aI bI и 00 0 f aI · f bI 0 осуществляется ввод в символьном виде уравнения 0 функции y = g(x), исходя из уравнения x = g(x) и неравенства aI g(xI ) bI.

N 1.2. Осуществляется ввод значения знаменателя геометрической про грессии q, исходя из условия g (xI ) q 1.

N 1.3. На искомом отрезке aI, bI при соблюдении условий aI bI и 00 0 f aI · f bI 0 выбирается абсцисса точки начального приближения 0 с координатами xI, f xI, исходя из неравенства aI xI bI.

0 0 0 0 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора 2. Итерация с индексом “N (N 1) :

2.1. Устанавливается значение абсциссы точки с координатами xI, f xI при соблюдении условия aI xI bI, исходя из соот 0 N N N ношения xN = g(xI 1 ).

I N 2.2. Если достигнута истинность выражения xI xI 1 1q ·, N N q то итерации прекращаются, количество шагов итераций sI = N, и в качестве приближенного значения действительного корня уравнения xI выбирается значение xI = xI.

N 2.3. Если xI xI 1 1q, то осуществляется переход к следую N N q щей итерации.

Описание этапов проведения лабораторной работы Лабораторная работа по нахождению приближенных решений ал гебраических и трансцендентных уравнений с использованием метода дихотомии (бисекции), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода итераций для различных условий варьирования зна чений исходных данных с последующим проведением необходимых срав нительных анализов вычислительных процедур с применением пред ставленной в графическом калькуляторе программы “APROXEQU” мо жет быть разделена на три этапа.

I этап. “Приближенные решения алгебраических и трансцендент ных уравнений с помощью стандартных встроенных функций графи ческого калькулятора”.

На данном этапе преподаватель разделяет исходную группу студен тов на определенное количество малых групп по 3-4 студента, что позво ляет выявить различные личностные психологические особенности сту дентов, каждой из которых предлагаются различные исходные данные символьной записи самого уравнения f (x) = 0, а также значений a0, b и.

Нахождение приближенных решений алгебраических и трансцен дентных уравнений может осуществляться с помощью стандартных встро енных функций калькулятора следующими методами:

– аналитическим – выполнение вычислений с использованием стан дартных функций в режиме выполнения арифметических и матричных расчетов “RUN.MATrix”;

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 242 учителя математики – графическим – выполнение функционального анализа с использо ванием стандартных функций в режиме построения и анализа статиче ских графиков “GraPH-TaBLe”.

II этап. “Приближенные решения алгебраических и трансцендент ных уравнений с использованием метода дихотомии (бисекции), комби нированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода итераций в зависимости от различных значений 0 с применением представ ленной в графическом калькуляторе программы “APROXEQU”.

На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп студен тов, сформированных на первом этапе, предлагает различные исходные данные символьной записи самого уравнения f (x) = 0, значений a0, b0, а также несколько значений в рамках одной малой группы.

Предполагается, что студенты предварительно самостоятельно про ведут анализ функции f (x) на предмет выявления количества действи тельных изолированных корней уравнения f (x) = 0 и определения ин тервалов изоляции для данных действительных корней, а также по пред лагаемым значениям концов одного из интервалов изоляции a0 и b0 реа лизуют итерации с индексами “0, “1 и “2 согласно методу дихотомии (бисекции), комбинированному методу хорд и касательных (Ньютона) и методу итераций.

После этого студенты проведут соответствующие необходимые рас четы с применением реализованной в графическом калькуляторе про граммы “APROXEQU”.

III этап. “Сравнительный анализ методов дихотомии (бисекции), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода ите раций в результате реализации приближенных решений алгебраиче ских и трансцендентных уравнений в зависимости от различных зна чений ”.

На данном финальном этапе преподаватель для каждой из малых групп, сформированных на первом этапе, предлагает провести сравни тельный анализ реализованных на втором этапе приближенных решений алгебраических и трансцендентных уравнений в зависимости от различ ных значений.

Для этого согласно результатам расчетов необходимо заполнить со вокупную таблицу 11 полученных значений в зависимости, во-первых, от численного метода вычислений, а во-вторых, от значений, на основе которой формируются итоговые выводы по работе, заполняется отчет с 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора последующей сдачей преподавателю и предлагается ответить на вопро сы проверочного тестирования.

Таблица Совокупная таблица по лабораторной работе № 3.2.3. Лабораторная работа № Название работы с указанием имени программы и соответству ющего раздела высшей математики: приближенные вычисления значений определенных интегралов по формулам средних прямоуголь ников, трапеций, параболических трапеций (Симпсона) и их сравнитель ный анализ (программа “APROXINT”, раздел “Интегральное исчисле ние”).

Цель работы: осуществить приближенные вычисления значений определенных интегралов по формулам средних прямоугольников, тра пеций, параболических трапеций (формула Симпсона) для различных условий варьирования значений исходных данных с последующим про ведением необходимых сравнительных анализов вычислительных про цедур с применением представленной в графическом калькуляторе про граммы “APROXINT”.

Теоретический аспект При вычислениях значений определенных интегралов нередко встре чаются следующие проблемы:

1. Невозможность или сложность выражения подынтегральной функ ции через элементарные функции.

2. Аналитическое задание подынтегральной функции в виде таблицы значений функции в зависимости от аргумента.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 244 учителя математики 3. Графическое задание подынтегральной функции с использовани ем соответствующего графика значений функции в зависимости от ар гумента.

В подобных ситуациях для вычисления приближенных значений опре деленных интегралов используются численные методы.

Согласно методу механических квадратур, подынтегральную функ цию y = f (x) можно заменить интерполяционным многочленом степени “S” в силу приближенных вычислений значений функции y = f (x):

PS (x) = aS xS + aS1 xS1 +... + a2 x2 + a1 x + a0, причем PS (xi ) = yi, где i = 0, 1,..., N.

Геометрическая интерпретация метода заключается в том, что гра фик исходной функции y = f (x) заменяется “параболой степени “S” ” y = f (x) = PS (x) = aS xS + aS1 xS1 +... + a2 x2 + a1 x + a0, проходящей через “S + 1” точек графика данной функции.

В данной лабораторной работе интерполяционный многочлен степе ни “S” представляется в следующем виде:

PS (x) = a0 +a1 ·(xx0)+a2 ·(xx0)·(xx1)+...+aS ·(xx0)·...·(xxn1).

Приближенное значение определенного интеграла от подынтеграль ной функции y = f (x) на заданном отрезке [a0, b0 ] равно значению опре деленного интеграла от интерполяционного многочлена на заданном от резке [a0, b0 ], при этом осуществляется деление данного отрезка на опре деленное количество равных меньших отрезков или шагов в зависимости от заданного значения количества шагов s или значения фиксирован ного шага h, осуществляется расчет приближенного значения опреде ленного интеграла на каждом из полученных отрезков с последующим нахождением приближенного значения определенного интеграла на за данном отрезке [a0, b0 ] как суммы найденных приближенных значений определенных интегралов на каждом из равных меньших отрезков.

Таким образом, рассматриваемые в рамках данной лабораторной ра боты численные методы используются для приближенных вычислений определенных интегралов от подынтегральных функций f (x) на отрез ке [a0, b0 ] в зависимости от заданного значения количества шагов s или значения фиксированного шага h.

Рассмотрим логические основы реализации расчетов по формулам средних прямоугольников, трапеций, параболических трапеций (Симп сона) (замена подынтегральной функции интерполяционными много 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора членами нулевой, первой и второй степеней соответственно) для вычис лений приближенных значений определенных интегралов в зависимо сти от различных значений a0, b0, s или h, заложенных в программу “APROXINT”.

Формула средних прямоугольников 1. Замена подынтегральной функции интерполяционным многочле ном нулевой степени на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ].

Имеем одно заданное значение подынтегральной функции y1/2 = f x1/2 при x = x1/2.

Тогда P0 (x) = f x1/2 = a0 и y = f (x) P0 (x) = f x1/2.

В данном случае график подынтегральной функции y = f (x) на от резке [x0, x1 ] = [x0, x0 +h ] заменяется горизонтальной прямой, проходя щей через точку с координатами x1/2, f x1/2 = x0 + h2, f x0 + h2.

2. Вычисление приближенного значения определенного интеграла на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ].

x1/2 + h x1/2 + h x1/2 + h x1 2 2 f (x) dx f (x) dx = P0 (x) dx = f x1/2 dx = x0 x1/2 h x1/2 h x1/2 h 2 2 h h = f x1/2 · x1/2 + x1/2 + = h · f x1/2.

2 Таким образом, приближенное значение определенного интеграла на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ] равно площади прямоугольника со значе ниями стороны f x1/2 и высоты h.

3. Вычисление приближенного значения определенного интеграла по формуле средних прямоугольников на отрезке [a0, b0 ].

x f (x) dx h · f x1/2.

x x2 x1 x f (x) dx f (x) dx = f (x) dx + x0 x0 x h · f x1/2 + h · f x3/2 = = h · f x1/2 + f x3/2.

x3 x1 x2 x f (x) dx f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + x0 x0 x1 x Глава 3. Методические основы математического образования будущего 246 учителя математики h · f x1/2 + h · f x3/2 + h · f x5/2 = = h · f x1/2 + f x3/2 + f x5/2.

.................................

xN xJ N N h · f x(2J1)/2.

f (x) dx = f (x) dx J=1 J= x0 xJ Тогда приближенное значение определенного интеграла на отрезке [a0, b0 ] определяется согласно следующему соотношению:

xS xJ b S S f (x) dx h · f x(2J1)/2.

f (x) dx = f (x) dx = J=1 x J= a0 x0 J В данной лабораторной работе использование формулы средних пря моугольников (“FORMULA OF MIDDLE RECTANGLES”) имеет следу ющую реализацию:

1. Итерация с индексом “N ” (N 1):

1.1. На отрезке [a0, b0 ] при соблюдении условия a0 b0, исходя из вводимого или рассчитанного значения фиксированного шага hM R (при 0 a вводимом значении количества шагов sM R по формуле hM R = bsM R0 ) выбирается абсцисса точки подынтегральной функции с координата ми xM R, f xM R, то есть xM R согласно следующему соотношению:

N N N xM R = xM1 + hM R.

R N N 1.2. Осуществляется вычисление площади элементарного прямоуголь ника qN R, значение высоты которого hM R = xM R xM1 = xM R xM R, M R 1 N N MR MR MR согласно следующему соотношению: qN = h · f x(2N 1)/2.

1.3. Осуществляется вычисление приближенного значения опреде ленного интеграла на отрезке a0, xM R согласно следующему соотно N шению: IN = I(N 1) + qN R.

MR MR M 1.4. Если достигнута истинность выражения xM R b0, то итерации N прекращаются, количество шагов итераций sM R = N, и приближенное значение определенного интеграла I R = IN.

M MR MR 1.5. Если xN b0, то осуществляется переход к следующей итера ции.

Формула трапеций 1. Замена подынтегральной функции интерполяционным многочле ном первой степени на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ].

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора Имеем два заданных значения подынтегральной функции y0 = f (x0 ) при x = x0 и y1 = f (x0 + h ) при x = x1 = x0 + h.

Тогда P1 (x) = f (x1 ) = a0 + a1 · (x1 x0 ) = f (x0 ) + a1 · h a1 = f (x1 )f (x0 ) и y = f (x) P1 (x) = f (x0 ) + f (x1 )f (x0 ) · (x x0 ).

h h В данном случае график подынтегральной функции y = f (x) на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 +h ] заменяется наклонной прямой, проходящей через точки x1/2, f x1/2 и (x1, f (x1 )) = (x0 + h, f (x0 + h )).

2. Вычисление приближенного значения определенного интеграла на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ].

x1 x0 +h x0 +h f (x) dx f (x) dx = P1 (x) dx = x0 x0 x x0 +h f (x1 )f (x0 ) · (x x0 ) dx.

= f (x0 ) + h x Выполним замену переменной:

x x, x = x0 + t · h, dx = h dt.

t= h x = x0 t = 0, x = x1 = x0 + h t = 1.

Тогда x0 +h f (x1 )f (x0 ) · (x x0 ) dx = f (x0 ) + h x (f (x0 ) + (f (x1 ) f (x0 )) · t) dt = h f (x1 )f (x0 ) f (x0 )+f (x1 ) = h · f (x0 ) + = h ·.

2 В итоге имеем:

x f (x0 ) + f (x1 ) f (x) dx h ·.

x Таким образом, приближенное значение определенного интеграла на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ] равно площади прямоугольной трапеции со значениями оснований f (x0 ), f (x1 ) и высотой h.

3. Вычисление приближенного значения определенного интеграла по формуле трапеций на отрезке [a0, b0 ].

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 248 учителя математики x f (x0 )+f (x1 ) f (x) dx h ·.

x x2 x1 x f (x0 )+f (x1 ) f (x1 )+f (x2 ) f (x) dx h · + h · f (x) dx = f (x) dx + = 2 x0 x0 x f (x0 )+f (x2 ) = h · + f (x1 ).

x3 x1 x2 x f (x) dx f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + x0 x0 x1 x f (x0 )+f (x1 ) + h · f (x1 )+f (x2 ) + h · f (x2 )+f (x3 ) h · = 2 2 = h · f (x0 )+f (x3 ) + f (x1 ) + f (x2 ).

.................................

xN xJ N N f (x0 )+f (xN ) h · f (x) dx = f (x) dx + f (xJ ).

J=1 J= x0 xJ Тогда приближенное значение определенного интеграла на отрезке [a0, b0 ] определяется согласно следующему соотношению:

xS xJ b0 S f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx J= a0 x0 xJ S1 S f (x0 )+f (xS ) f (a0 )+f (b0 ) h · = h · + f (xJ ) + f (xJ ) 2 J=1 J= В данной лабораторной работе использование формулы трапеций (“FORMULA OF TRAPEZOIDS”) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом “N ” (N 1):

1.1. На искомом отрезке [a0, b0 ] при соблюдении условия a0 b0, исходя из вводимого или рассчитанного значения фиксированного ша га hT (при вводимом значении количества шагов sT по формуле hT = b0 a ), выбирается абсцисса точки подынтегральной функции с коор sT динатами xT, f xT, то есть xT согласно следующему соотношению:

N N N xT = xT 1 + hT.

N N 1.2. Осуществляется расчет площади элементарной прямоугольной трапеции qN, значение высоты которой hT = xT xT 1 = xT xT, T 1 N N f (xT 1 )+f (xT ) T T N N согласно следующему соотношению: qN = h ·.

1.3. Осуществляется расчет приближенного значения определенно го интеграла на отрезке a0, xT согласно следующему соотношению:

N T T T IN = I(N 1) + qN.

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора 1.4. Если достигнута истинность выражения xT b0, то итерации N прекращаются, количество шагов итераций sT = N, и приближенное T T значение определенного интеграла I = IN.

1.5. Если xT b0, то осуществляется переход к следующей итерации.

N Формула параболических трапеций (Симпсона) 1. Замена подынтегральной функции интерполяционным многочле ном второй степени на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ].

Имеем три заданных значения подынтегральной функции y0 = f (x0 ) при x = x0, y1/2 = f (x0 + h /2) при x = x1/2 = x0 + h /2 и y1 = f (x0 + h ) при x = x1 = x0 + h. Тогда P2 (x) = a0 + a1 · (x1 x0 ) + a2 · (x1 x0 ) · x1 x1/2 = f (x1/2 )f (x0 ) · h + a2 h h2 = f (x1 ).

= f (x0 ) + (h /2) f (x0 ) + 2 f x1/2 f (x0 ) + a2 (h ) = f (x1 ) 2(f (x1 )2f (x1/2 )+f (x0 )) a2 =.

(h ) Получим, что 2 f x1/2 f (x0 ) y = f (x) P2 (x) = f (x0 ) + · (x x0 ) + h 2 f (x1 ) 2f x1/2 + f (x0 ) h (x x0 ) · x x0 + +.

(h )2 В данном случае график подынтегральной функции y = f (x) на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ] заменяется дугой параболы с вертикаль ной осью, проходящей через точки x1/2, f x1/2, x1/2, f x1/2 = (x0 + h /2, f (x0 + h /2)) и (x1, f (x1 )) = (x0 + h, f (x0 + h )).

2. Вычисление приближенного значения определенного интеграла на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + h ].

x1 x0 +h x0 +h f (x) dx f (x) dx = P2 (x) dx = x0 x0 x0 2(f (x1/2 )f (x0 )) x0 +h · (x x0 ) + f (x0 ) + h = dx.

2(f (x1 )2f (x1/2 )+f (x0 )) (x x0 ) · x x0 + h + x (h ) Глава 3. Методические основы математического образования будущего 250 учителя математики Выполним замену переменной:

t = xx0, x = x0 + t · h, dx = h dt.

h x = x0 t = 0, x = x1 = x0 + h t = 1.

Тогда 2(f (x1/2 )f (x0 )) x0 +h · (x x0 ) + f (x0 ) + h dx = f (x1 )2f (x1/2 )+f (x0 ) h (x x0 ) · x x0 + + x (h )2 = h · f (x0 ) + 2 f x1/2 f (x0 ) · t + 2 f (x1 ) 2f x1/2 + +f (x0 )) t t 1 dt = h · f (x0 ) + f x1/2 f (x0 ) + f (x0 )2f (x1/2 )+f (x1 ) = h6 · f (x0 ) + 4f x1/2 + f (x1 ).

+ В итоге имеем:

x h f (x) dx · f (x0 ) + 4f x1/2 + f (x1 ).

x Таким образом, приближенное значение определенного интеграла на отрезке [x0, x1 ] = [x0, x0 + hP T ] равно площади параболической трапе ции, ограниченной осью абсцисс, линиями, параллельными осям орди нат и дугой параболы с вертикальной осью, проходящей через точки x1/2, f x1/2, x1/2, f x1/2 = (x0 +h /2, f (x0 +h /2)) и (x1, f (x1 )) = (x0 + h, f (x0 + h )).

3. Вычисление приближенного значения определенного интеграла по формуле параболических трапеций на отрезке [a0, b0 ].

x h f (x) dx · f (x0 ) + 4f x1/2 + f (x1 ).

x x2 x1 x f (x) dx f (x) dx = f (x) dx + x0 x0 x h h · f (x0 ) + 4f x1/2 + f (x1 ) + · f (x1 ) + 4f x3/2 + f (x2 ) = 6 h · f (x0 ) + f (x2 ) + 4 f x1/2 + f x3/2 + 2f (x1 ) = = 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора h f (x0 ) + f (x2 ) · = + 2 f x1/2 + f x3/2 + f (x1 ).

3 x3 x1 x2 x f (x) dx f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + x0 x0 x1 x h h · f (x0 ) + 4f x1/2 + f (x1 ) + · f (x1 ) + 4f x3/2 + f (x2 ) + 6 h · f (x2 ) + 4f x5/2 + f (x3 ) = + h · f (x0 )+f (x3 )+4 f x1/2 +f x3/2 +f x5/2 +2 (f (x1 )+f (x2 )) = = h f (x0 )+f (x3 ) · = +2 f x1/2 +f x3/2 +f x5/2 +f (x1 )+f (x2 ).

3.................................

xN xJ N h f (x0 ) + f (xN ) f (x) dx · f (x) dx = + 3 J= x0 xJ N N +2 f x(2J1)/2 + f (xJ ).

J=1 J= Тогда приближенное значение определенного интеграла на отрезке [a0, b0 ] определяется согласно следующему соотношению:

xS xJ b S f (x) dx f (x) dx = f (x) dx = J= a0 x0 xJ S S h f (x0 ) + f (xS ) · +2 f x(2J1)/2 + f (xJ ) = 3 2 J=1 J= S S h f (a0 ) + f (b0 ) · = +2 f x(2J1)/2 + f (xJ ).

3 2 J=1 J= В данной лабораторной работе использование формулы параболиче ских трапеций (Симпсона) (“FORMULA OF PARABOLIC TRAPEZOIDS”) имеет следующую реализацию:

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 252 учителя математики 1. Итерация с индексом “N ” (N 1):

1.1. На отрезке [a0, b0 ] при соблюдении условия a0 b0, исходя из вводимого или рассчитанного значения фиксированного шага hP T (при a вводимом значении количества шагов sP T по формуле hP T = b0P T 0 ), s выбирается абсцисса точки подынтегральной функции с координатами xP T, f xP T, то есть xP T согласно следующему соотношению: xP T = N N N N xP T + hP T.

N 1 1.2. Осуществляется расчет площади элементарной параболической трапеции qNT, значение высоты которой hP T = xP T xP T = xP T xP T, P N 1 N согласно следующей формуле:

hP T qN T = P · f xP T PT PT N 1 + 4f x(2N 1)/2 + f xN.

1.3. Осуществляется расчет приближенного значения определенно го интеграла на отрезке a0, xP T согласно следующему соотношению:

N IN = I(N 1) + qNT.

PT PT P 1.4. Если достигнута истинность выражения xP T b0, то итерации N прекращаются, количество шагов итераций sP T = N, и приближенное значение определенного интеграла I T = IN.

P PT 1.5. Если xP T b0, то осуществляется переход к следующей итера N ции.

Описание этапов проведения лабораторной работы Лабораторная работа по реализации приближенных вычислений зна чений определенных интегралов по формулам средних прямоугольни ков, трапеций, параболических трапеций (Симпсона) для различных условий варьирования значений исходных данных с последующим про ведением необходимых сравнительных анализов вычислительных про цедур с применением представленной в графическом калькуляторе про граммы “APROXINT” может быть разделена на три этапа.

I этап. “Приближенные вычисления значений определенных инте гралов с помощью стандартных встроенных функций графического калькулятора”.

На данном этапе преподаватель разделяет исходную группу студен тов на определенное количество малых групп по 3–4 студента, что позво ляет выявить различные личностные психологические особенности сту дентов, каждой из которых предлагаются различные исходные данные 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора символьной записи подынтегральной функции y = f (x), значений абс цисс a0, b0 и количества шагов s или фиксированного шага h.

Осуществление приближенных вычислений определенных интегра лов может осуществляться с помощью стандартных встроенных функ ций калькулятора следующими методами:

– аналитическим – выполнение вычислений с использованием стан дартных функций в режиме выполнения арифметических и матричных расчетов “RUN.MATrix”;

– графическим – выполнение функционального анализа с использо ванием стандартных функций в режиме построения и анализа статиче ских графиков “GraPH-TaBLe”.

II этап. “Приближенные вычисления значений определенных инте гралов по формулам средних прямоугольников, трапеций, параболиче ских трапеций (Симпсона) в зависимости от различных значений ко личества шагов s или фиксированного шага h с применением пред ставленной в графическом калькуляторе программы “APROXINT”.

На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп студен тов, сформированных на первом этапе, предлагает различные исходные данные символьной записи подынтегральной функции y = f (x), значе ний абсцисс a0, b0, а также несколько значений количества шагов s или фиксированного шага h в рамках одной малой группы.

Предполагается, что студенты предварительно самостоятельно мо гут вычислить точные значения определенного интеграла в результате исследования подынтегральной функции f (x), а также по предлагае мым значениям концов одного из интервалов изоляции a0 и b0 реали зуют итерации с индексами “1”, “2” и “3” согласно формулам средних прямоугольников, трапеций, параболических трапеций (Симпсона).

После этого студенты проведут соответствующие необходимые рас четы с применением реализованной в графическом калькуляторе про граммы “APROXINT”.

III этап. “Сравнительный анализ формул средних прямоугольников, трапеций, параболических трапеций (Симпсона) в результате реали зации приближенных вычислений определенных интегралов в зависи мости от различных значений количества шагов s или фиксирован ного шага h ”.

На данном финальном этапе преподаватель для каждой из малых групп, сформированных на первом этапе, предлагает провести сравни Глава 3. Методические основы математического образования будущего 254 учителя математики тельный анализ реализованных на втором этапе приближенных вычис лений определенных интегралов в зависимости от различных значений количества шагов s или фиксированного шага h.

Для этого согласно результатам расчетов необходимо заполнить со вокупную таблицу 12 полученных значений в зависимости, во-первых, от численного метода вычислений, а во-вторых, от значений количества шагов s или фиксированного шага h, на основе которой формируются итоговые выводы по работе, заполняется отчет с последующей сдачей преподавателю и предлагается ответить на вопросы проверочного те стирования.

Таблица Совокупная таблица по лабораторной работе № 3.2.4. Лабораторная работа № Название работы с указанием имени программы и соответству ющего раздела высшей математики: приближенные решения обык новенных дифференциальных уравнений первого порядка с использова нием методов Эйлера, Рунге-Кутта второго, четвертого порядков точно сти и их сравнительный анализ (программа “APROXDFE”, раздел “Диф ференциальные уравнения”).

Цель работы: осуществить приближенные решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием мето дов Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков точности для различных условий варьирования значений исходных данных с после дующим проведением необходимых сравнительных анализов вычисли тельных процедур с применением представленной в графическом каль куляторе программы “APROXDFE”.

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора Теоретический аспект При решении обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, часто встречающихся при построении математических моделей различных явлений и процессов, нередка проблема невозможности или сложности решения данных уравнений.

В подобных ситуациях для решения обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка используют рассматриваемые в рам ках данной лабораторной работы численные методы. Суть применяе мых численных методов заключается в том, что для заданного обыкно dy венного дифференциального уравнения вида y = f (x, y (x)) или dx = f (x, y) с начальными условиями, характеризующими координаты точ ки (a0, y (a0 )) на некотором отрезке [a0, b0 ], необходимо рассчитать при ближенное значение функции y (b0 ) в точке с координатами (b0, y (b0 )).

Осуществляется деление данного отрезка на определенное количество равных меньших отрезков или шагов в зависимости от заданного значе ния количества шагов s или значения фиксированного шага h, расчет приближенного значения функции со значением абсциссы конечной точ ки на каждом из полученных отрезков, при этом приближенное значе ние функции y (b0 ) в точке с координатами (b0, y (b0 )) определяется как значение функции со значением абсциссы конечной точки последнего из полученных отрезков.

Рассмотрим логические основы реализации методов Эйлера, Рунге Кутта второго и четвертого порядков для выполнения приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого рода в зависимости от различных значений a0, y (a0 ), b0, s или h, заложенных в программу “APROXDFE”.

Метод Эйлера Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки с координа тами (xN 1, y (xN 1 )) к графику исходной функции y (x), то есть y1 (xN ) = y(xN 1 ) + y (xN 1 ) · (xN xN 1 ), учитывая, что y (xN ) = f (xN, f (xN )) или y (xN 1 ) = f (xN 1, f (xN 1 )) и xN xN 1 = h, полу чим соотношение: y (xN ) = y1 (xN )y(xN 1 ) = y (xN 1 )·(xN xN 1 ) = f (xN 1, y (xN 1 )) · h.

Таким образом, в методе Эйлера вычисление приближенного зна чения координат точки исходной функции с координатами (xN, y (xN )), Глава 3. Методические основы математического образования будущего 256 учителя математики исходя из приближенных значений координат точки (xN 1, y (xN 1 )) ис ходной функции, осуществляется согласно следующим соотношениям:

y (xN ) = y (xN 1 ) + y (xN ) = y (xN 1 ) + f (xN 1, y (xN 1 )) · h, xN = xN 1 + h.

Полученные соотношения можно получить и другими способами.

Например, используя формулу вычисления определенного интегра ла для функции f (x, y (x)), учитывая, что y (xN ) = f (xN, y (xN )) или y (xN 1 ) = f (xN 1, y (xN 1 )) и xN xN 1 = h, можно получить сле дующее соотношение:

y (xN ) = y (xN ) y(xN 1 ) = y (xN 1 ) · (xN xN 1 ) = xN = f (xN 1, y (xN 1 )) dx.

xN По формуле прямоугольников получим, что xN y (xN ) = y (xN ) y(xN 1 ) = f (x, y (x)) dx = f (xN 1, y (xN 1 )) h.

xN Тогда вычисление приближенных значений координат точки исход ной функции с координатами (xN, y (xN )), исходя из приближенных зна чений координат точки (xN 1, y (xN 1 )), по методу Эйлера осуществля ется согласно следующим соотношениям:

y (xN ) = y (xN 1 ) + y (xN ) = y (xN 1 ) + f (xN 1, y (xN 1 )) · h, xN = xN 1 + h.

Также соотношения метода из Эйлера можно получить как частный случай соотношений из методов Рунге-Кутта.

В методах Рунге-Кутта определенный интеграл определяется в виде интерполяционного многочлена согласно следующему соотношению:

xN y (xN ) = y (xN 1 ) + y (xN ) = y (xN 1 ) + f (xN 1, y (xN 1 )) dx = xN S pJ · KJ (h ), = y (xN 1 ) + J= 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора где pJ – коэффициенты, зависящие от S;

KJ (h ) – функции, завися щие от вида подынтегральной функции f (xN 1, y (xN 1 )) и значения фиксированного шага h.

В общем случае значения pJ и KJ (h ) определяются согласно сле дующим соотношениям:

K1 (h ) = h · f (xN 1, y (xN 1 )), K2 (h ) = h · f (xN 1 + 2 · h, y (xN 1 ) + 21 · K1 (h )), K3 (h ) = h · f (xN 1 + 3 · h, y (xN 1 ) + 31 · K1 (h ) + 32 · K2 (h )),.................................

KS (h ) = h·f (xN1 +S ·h, y (xN1 )+S1 ·K1 (h )+...+S,S1 ·KS1 (h )).

Значения pJ, S и S,S1 получают из соображений высокой точно сти вычислений.

Если p1 = 1 и K1 (h ) = h · f (xN 1, y (xN 1 )), то получим соотно шение:

xN y (xN ) = y (xN 1 ) + y (xN ) = y (xN 1 ) + f (xN 1, y (xN 1 )) dx = xN = y (xN 1 ) + p1 · K1 (h ) = y (xN 1 ) + h · f (xN 1, y (xN 1 )).

Таким образом, метод Эйлера является методом Рунге-Кутта перво го порядка.

В данной лабораторной работе метод Эйлера (“METHOD OF EULER”) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом “N ” (N 1):

1.1. На искомом отрезке [a0, b0 ] при соблюдении условия a0 b0, ис ходя из вводимого или рассчитанного значения фиксированного шага hE (при вводимом значении количества шагов sE по формуле hE = b0 a ), выбирается абсцисса точки исходной функции с координата sE ми xE, y xE, то есть xE, согласно следующему соотношению: xE = N N N N xE 1 + hE.

N 1.2. Осуществляется вычисление приближенного значения ординаты точки исходной функции с координатами xE, y xE, то есть y xE, N N N согласно следующим соотношениям:

y xE = y xE 1 + y xE = y xE 1 + hE · f xE 1, y xE 1, N N N N N N Глава 3. Методические основы математического образования будущего 258 учителя математики xE = xE 1 + hE.

N N 1.3. Если достигнута истинность выражения xE b0, то итерации N прекращаются, количество шагов итераций sE = N, и приближенное значение исходной функции y (b0 ) в точке с координатами (b0, y (b0 )) определятся согласно соотношению y bE = y xE.

0 N 1.4. Если xE b0, то осуществляется переход к следующей итерации.

N Метод Рунге-Кутта 2-го порядка В методе Рунге-Кутта второго порядка имеем следующие соотноше ния:

Если p1 = 0, то K1 (h ) = h · f (xN 1, y (xN 1 ));

Если p2 = 1, то 2 = 2, 21 = 1 и h K2 (h ) = h · f, y (xN 1 ) + · K1 (h ) xN 1 + = 2 h h = h · f · f (xN 1, y (xN 1 )).

xN 1 +, y (xN 1 ) + 2 В итоге получим соотношение:

xN y (xN ) = y (xN 1 ) + y (xN ) = y (xN 1 ) + f (xN 1, y (xN 1 )) dx = xN pJ · KJ (h ) = y (xN 1 ) + p1 · K1 (h ) + p2 · K2 (h ) = = y (xN 1 ) + J= h = y (xN 1 ) + h · f xN 1 +, y (xN 1 ) + K1 (h ) = 2 h h = y (xN 1 ) + h · f · f (xN 1, y (xN 1 )).

xN 1 +, y (xN 1 ) + 2 Тогда вычисление приближенных значений координат точки исход ной функции с координатами (xN, y (xN )), исходя из приближенных зна чений координат точки (xN 1, y (xN 1 )), по методу Рунге-Кутта второго порядка осуществляется согласно следующим соотношениям:

h x(2N 1)/2 = xN 1 +, 3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора h · f (xN 1, y (xN 1 )), y x(2N 1)/2 = y (xN 1 ) + y (xN ) = y (xN 1 ) + y (xN ) = y (xN 1 ) + h · f x(2N 1)/2, y x(2N 1)/2, xN = xN 1 + h.

В данной лабораторной работе метод Рунге-Кутта второго порядка (“METHOD OF RUNGA-KUTTA 2”) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом “N ” (N 1):

1.1. На искомом отрезке [a0, b0 ] при соблюдении условия a0 b0, исходя из вводимого или рассчитанного значения фиксированного ша га hRK2 (при вводимом значении количества шагов sRK2 по формуле hRK2 = b0 a0 ), выбирается абсцисса точки исходной функции с коорди sRK натами xRK2, y xRK2, то есть xRK2, согласно следующему соотноше N N N нию: xRK2 = xRK2 + hRK2.

N 1 N 1.2. Осуществляется вычисление приближенного значения ордина ты точки исходной функции с координатами xRK2, y xRK2, то есть N N RK y xN, согласно следующим соотношениям:

hRK xRK2 RK2 (2N 1)/2 = xN 1 +, hRK y x(2N 1)/2 = y xRK2 +y xRK RK2 RK ·f xRK2, yN 1, RK (2N 1)/2 = yN 1 + N 1 N RK = y xRK2 +y xRK2 = yN 1 +hRK2 ·f xRK RK2 RK y xN (2N 1)/2, y(2N 1)/2, N 1 N xRK2 = xRK2 + hRK2.

N N 1.3. Если достигнута истинность выражения xRK2 bRK2, то ите N рации прекращаются, количество шагов итераций sRK2 = N, и при ближенное значение исходной функции y (b0 ) в точке с координатами (b0, y (b0 )) определятся согласно соотношению y bRK2 = y xRK2.

0 N RK 1.4. Если xN b0, то осуществляется переход к следующей итера ции.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка В методе Рунге-Кутта четвертого порядка имеем следующие соот ношения:

Если p1 = 6, то K1 (h ) = h · f (xN 1, y (xN 1 )).

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 260 учителя математики Если p2 = 1, то 2 = 1, 21 = и 3 2 h K2 (h ) = h · f, y (xN 1 ) + · K1 (h ) xN 1 + = 2 h h = h · f · f (xN 1, y (xN 1 )).

xN 1 +, y (xN 1 ) + 2 Если p3 = 3, то 3 = 1, 31 = 0, 32 = 1 и 2 h K3 (h ) = h · f, y (xN 1 ) + · K2 (h ).

xN 1 + 2 Если p4 = 1, то 4 = 1, 41 = 0, 42 = 0, 43 = 1 и K4 (h ) = h · f (xN 1 + h, y (xN 1 ) + K3 (h )).

В итоге получим соотношение:

xN y (xN ) = y (xN 1 ) + y (xN ) = y (xN 1 ) + f (xN 1, y (xN 1 )) dx = xN pJ · KJ (h ) = = y (xN 1 ) + J= = y (xN 1 ) + p1 · K1 (h ) + p2 · K2 (h ) + p3 · K3 (h ) + p4 · K4 (h ) = h = y (xN 1 ) + (K1 (h ) + 2K2 (h ) + 2K3 (h ) + K4 (h )).

Тогда вычисление приближенного значения координат точки исход ной функции с координатами (xN, y (xN )) исходя из приближенных зна чений координат точки (xN 1, y (xN 1 )) по методу Рунге-Кутта четвер того порядка осуществляется согласно следующим соотношениям:

K1 (h ) = h · f (xN 1, y (xN 1 )), x(2N 1)/2 = xN 1 + h2, K1 (h ) K2 (h ) = h · f x(2N 1)/2, y (xN 1 ) +, K2 (h ) K3 (h ) = h · f x(2N 1)/2, y (xN 1 ) +, [xN = xN 1 + h, K4 (h ) = h · f (xN, y (xN 1 ) + K3 (h )), y (xN ) = y (xN 1 ) + y (xN 1 ) = = y (xN 1 ) + h6 (K1 (h ) + 2K2 (h ) + 2K3 (h ) + K4 (h )).

3.2. Лабораторный практикум по численным методам в математике с использованием графического калькулятора В данной лабораторной работе метод Рунге-Кутта четвертого поряд ка (“METHOD OF RUNGA-KUTTA 4”) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом “N ” (N 1):

1.1. На искомом отрезке [a0, b0 ] при соблюдении условия aRK RK b0, исходя из вводимого или рассчитанного значения фиксированного шага hRK4 (при вводимом количестве шагов sM R по формуле hRK4 = b0 a ), выбирается абсцисса точки исходной функции с координата sRK ми xN, y xRK4, то есть xRK4, согласно следующему соотношению:

RK N N xN = xRK4 + hRK4.

RK N 1 1.2. Осуществляется вычисление приближенных значений ординат точки исходной функции с координатами xRK4, y xRK4, то есть y xRK4, N N N согласно соотношениям:

K1N hRK4 = hRK4 · f xRK4, y xRK4, N 1 N hRK xRK4 RK4 (2N 1)/2 = xN 1 +, K1N hRK RK = hRK4 · f xRK4 RK K2N h (2N 1)/2, y xN 1 +, K2N hRK RK = hRK4 · f xRK4 RK K3N h (2N 1)/2, y xN 1 +, xRK4 = xRK4 + hRK4, N N RK = hRK4 · f xRK4, y xRK4 + K3N hRK K4N h, N N y xRK4 = y xRK4 + y xRK4 = N 1 N N hRK = y xRK4 + K1N hRK4 + 2K2N hRK4 + N 1 +2K3N hRK4 + K4N hRK4.


1.3. Если достигнута истинность выражения xRK4 b0, то итерации N RK прекращаются, количество шагов итераций s = N, и приближенное значение исходной функции y (b0 ) в точке с координатами (b0, y (b0 )) определятся согласно соотношению y bRK4 = y xRK4.

0 N RK 1.4. Если xN b0, то осуществляется переход к следующей итера ции.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 262 учителя математики Описание этапов проведения лабораторной работы Лабораторная работа по реализации приближенных решений диф ференциальных уравнений первого порядка с использованием методов Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков для различных условий варьирования значений исходных данных с последующим про ведением необходимых сравнительных анализов вычислительных про цедур с применением представленной в графическом калькуляторе про граммы “APROXDFE” может быть разделена на три этапа.

I этап. “Приближенные решения дифференциальных уравнений пер вого порядка с помощью стандартных встроенных функций графиче ского калькулятора”.

На данном этапе преподаватель разделяет исходную группу студен тов на определенное количество малых групп по 3-4 студента, что позво ляет выявить различные личностные психологические особенности сту дентов, каждой из которых предлагаются различные исходные данные символьной записи функции двух переменных f (x, y (x)), значений a0, b0 и количества шагов s или фиксированного шага h.

Реализация точных решений дифференциальных уравнений перво го порядка может осуществляться с помощью стандартных встроенных функций калькулятора комбинированным аналитическим и графиче ским методами – выполнение совместных математических вычислений и функционального анализа с использованием стандартных функций в ре жиме выполнения решений дифференциальных уравнений “DIFFerential EQuation”.

II этап. “Приближенные решения дифференциальных уравнений пер вого порядка в зависимости от различных значений количества шагов s или фиксированного шага h с применением представленной в гра фическом калькуляторе программы “APROXDFE”.

На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп сту дентов, сформированных на первом этапе, предлагает исходные данные символьной записи самой функции двух переменных f (x, y (x)), значе ний a0, b0 и количества шагов s или фиксированного шага h в рамках одной малой группы.

Предполагается, что студенты предварительно по символьной запи си самой функции двух переменных f (x, y (x)), а также по предпола гаемым значениям концам одного из интервалов изоляции a0 и b0 ре ализуют итерации с индексами “1”, “2” и “3” согласно методам Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков.

3.3. Типология видов наглядности в обучении математике После этого студенты проведут соответствующие необходимые рас четы с применением реализованной в графическом калькуляторе про граммы “APROXDFE”.

III этап. “Сравнительный анализ методов Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков в результате реализации приближен ных решений дифференциальных уравнений первого порядка в зависимо сти от различных значений количества шагов s или фиксированного шага h.

На данном финальном этапе преподаватель для каждой из малых групп, сформированных на первом этапе, предлагает провести сравни тельный анализ реализованных на втором этапе приближенных решений дифференциальных уравнений первого порядка в зависимости от раз личных значений количества шагов s или фиксированного шага h.

Для этого согласно результатам расчетов необходимо заполнить со вокупную таблицу 13 полученных значений в зависимости, во-первых, от численного метода вычислений, а во-вторых, от значений количества шагов s или фиксированного шага h, на основе которой формируются итоговые выводы по работе, заполняется отчет с последующей сдачей преподавателю и предлагается ответить на вопросы проверочного те стирования.

Таблица Совокупная таблица по лабораторной работе № 3.3. Типология видов наглядности в обучении математике Рассматривая основные компоненты наглядного моделирования в обуче нии, мы выяснили, что доминантой процесса является проектирование наглядного образа восприятия, представления и воображения средства ми знаково-символической деятельности (например, моделированием).

Так как “наглядность есть особое свойство психических образов, созда Глава 3. Методические основы математического образования будущего 264 учителя математики ваемых в процессах восприятия, памяти, мышления” [238], то проекти руемая наглядность аккумулирует в себе учет наиболее известных и су щественных закономерностей психо-физиологических процессов позна вательной деятельности обучаемого по овладению существом математи ческих абстракций. В этом смысле в идеале проектируемая наглядность становится статистически универсальной для репрезентативной выбор ки обучаемых в процессе изучения математики, это позволяет, с одной стороны, приблизить наглядное моделирование в обучении математике к уровню педагогической технологии, а с другой – возвращает свойство наглядности математическому объекту (в процессе наглядного модели рования в обучении).

Рассмотрим следующий пример. Понятие окрестности точки z = z на расширенной комплексной плоскости C определяется в двух разно видностях:

если z0 C, то U (z0 ) = {z C : |z z0 | };

если z0 = C, то U () = {z C : |z| R}.

Обе знаково-символические формы воспринимаются обучаемым по от дельности неустойчиво как в перцептивном, так и в мнемических процес сах, хотя и обладают наглядностью, в традиционном смысле присущей этим самым математическим объектам. Это подтверждается многолет ними наблюдениями авторов и возможностью адекватного графическо го моделирования:

j j z z # T T sz0 U (z0 ) "! # () U E E R "!

Рис. Однако само понятие окрестности точки в C как бы раздваивает ся, что не способствует адекватному восприятию этого математического объекта. Существуют как бы два различных определения окрестности, не связанные друг с другом. Постижение сути этого абстрактного по нятия достигается через дополнительное моделирование, использующее 3.3. Типология видов наглядности в обучении математике стереографическую проекцию;

сфера Римана, являясь моделью C, да ет возможность единой трактовки окрестности, в том числе и для :

S() §s ¤ ¦ rz C I  s E # s z "!

Рис. Но это свойство математического объекта (понятия окрестности точ ки на комплексной плоскости) активно формируется преподавателем в конкретных формах представления знания. Поэтому проектировочная деятельность в рамках соответствующего целеполагания наглядного мо делирования в обучении несет в себе черты методологической направ ленности, пусть даже неосознанной. Вряд ли классики комплексного анализа Б. Риман, О. Коши, Г. Миттаг-Лефлер и др. понимали зна чимость проявления методологической сущности понятия окрестности в C, но интуитивно блестяще “улавливали” эту наглядность в математиче ском объекте. Таких ярких методических находок в математике огром ное множество, их только необходимо классифицировать, расширить их возможности для адекватного восприятия и сделать их появление за кономерностью процесса, причем сам преподаватель может и должен стать творцом содержания наглядного моделирования в обучении мате матике.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 266 учителя математики В процессе обучения математике наглядность математических объ ектов (или перцептивных образов) выполняет следующие функции:

– перцептивно-мнемическая, способствование лучшему воспри ятию и запоминанию, опора на нейрофизиологические закономерности восприятия, мышления и памяти, психофизиологические закономерно сти восприятия;

– семантическая, расширение знаково-символического опыта опе рирования с математическими объектами (в том числе вербального);

– дидактическая, создание условий для когнитивной визуализации нового знания, проникновения в сущность понятий и теорем, квазиис следовательской деятельности студентов;

– развивающая, способствование развитию зрительной памяти, про странственного мышления, операций мышления (анализ, синтез, кон кретизация, обобщение и т.п.), математических способностей;

– профессионально-педагогическая, обеспечивающая оптималь ное дидактическое средство для проектирования будущей профессио нально-математической деятельности в средней школе;

– стимулирующая, создание условий для поляризованного воспри ятия, устойчивого интереса, эмоционального и исторического фона, про извольного и непроизвольного внимания;

– эвристическая, создание ситуаций “интеллектуального затрудне ния” неполной информацией о формируемой модели, создание ситуаций на поиск ошибок [247], учебная деятельность на основе вариативности, самостоятельности и критичности;

– иллюстративная, способствующая оперативной адекватности вос приятия математического знания, формированию системности знаний, созданию внешней опоры для внутренних действий обучаемых;

– воспитывающая, создание условий для познавательной и твор ческой активности, целостности восприятия математических объектов, взаимопереходов знаково-символических систем, формирования типо логических свойств личности обучаемого.

Рассмотрим следующий пример. В математическом анализе кривых базовую роль играет понятие дифференциалов дуги: первого ds, вто рого d2 s и т.д. Легко построить адекватную наглядную модель первого дифференциала ds, именно:

ds2 = dx2 + dy 2, где y = y(x) – непрерывно-дифференцируемая функция, dx, dy – диф ференциалы независимой и зависимой переменных соответственно. То гда получим следующие иллюстрации:

3.3. Типология видов наглядности в обучении математике Рис. dy = f (x0 )dx = |M L|;

dx = |M0 L|;


ds = |M0 M |, или в вербальном выражении – геометрически первый дифференциал дуги в точке x = x0 есть приращение длины касательной l при переходе от x0 к x0 + dx.

Но как только мы задумаемся об адекватной характеристике d2 s, то быстро выясняется, что кроме аналитического выражения геометриче ски (наглядно) d2 s ни в одном учебном руководстве никто не выражал.

Возникает довольно несложная математическая проблема, решение ко торой дает мощное средство устойчивости возникающего перцептивного образа (необходимо использовать не линейную, а квадратичную аппрок симацию в точке x = x0 ). Педагогическая целесообразность таких нахо док очевидна.

Таким образом, наглядность – не только особое свойство психических образов, но и свойство математического объек та в рамках определенного дидактического процесса. Таковым он становится, когда у статистически достоверной выборки обучаемых возникают наглядные перцептивные образы (а значит, и у генеральной совокупности обучаемых). Это, возможно, снимает рассуждения такого свойства: “Поэтому можно говорить (и обычно так всегда и делают), что тот или иной предмет, явление, событие наглядны, имея в виду, что для нас наглядны образы этих объектов” [238].

Имеется в виду процесс наглядного моделирования в обучении, когда наглядность математического объекта определяется соответствующими критериями.

Наглядность математического объекта (или перцептивного образа) определяется, как уже отмечалось, факторами восприятия, представле ния, мнемическими процессами в их единстве на основе диагностиру Глава 3. Методические основы математического образования будущего 268 учителя математики емого целеполагания. Следующие критерии определяют существо на глядности математического объекта:

– диагностируемое целеполагание целостности математического объ екта;

– понимание обучаемым сущности математического объекта (адек ватность восприятия);

– устойчивость перцептивного образа и представления;

– познавательная и творческая активность обучаемого на основе комфортности и успешности обучения.

Первый и третий критерий обуславливаются проектированием ООД со знаково-символическими средствами дидактического процесса, вто рой и четвертый – знаково-символической деятельностью как обучаемо го, так и обучающего (как внешнего, так и внутреннего плана). Более наглядно это представляется на следующей схеме:

Схема Структура критериев наглядности перцептивного образа Проектирование Проектирование ЗСД (внешней ООД по ЗСС и внутренней) d  f Устойчивость d   f d ©   перцептивного f образа f  f x Диагностируемое целеполагание Познавательная целостности активность математического обучаемых объекта  c  Наглядность q A перцептивного образа (объекта) B rr rr Понимание Творческая сущности активность E ' математического обучаемых объекта Данная типология критериев наглядности в обучении математике позволяет определить типологию видов наглядности. Тогда получим следующую таблицу соответствия (см. схему 13).

3.3. Типология видов наглядности в обучении математике Так как материализация наглядности математического объекта осу ществляется в процессе обучения математике совокупностью материаль ных, материализованных, идеальных, речевых действий, совершаемых как обучающим, так и обучаемыми в ходе реализации дидактической це ли наглядного моделирования в обучении, то виды наглядности будем характеризовать приемами знаково-символической деятельности, адек ватной той или иной компоненте целостности математического объек та. Объективной основой целостности восприятия является целостность предметов и процессов реального мира. Структура – одна из основных характеристик целостности объекта.

Схема Типология видов наглядности в обучении математике Критерии Виды наглядности наглядности Тип восприятия математического математического объекта объекта Целеполагание Структурная Сукцессивный целостного Оперативная Симультанный объекта Устойчивость перцептивного Формализованная Симультанный образа Понимание сущности Преемственности Сукцессивный объекта Познавательная и творческая Сукцессивный Фоновая активность Когда происходит восприятие сложного объекта (или большого по времени и пространству), возникает противоречие с психо-физиологи ческими возможностями организма, поэтому либо синтез последователь ных локальных восприятий происходит уже в пространстве субъекта (нейронном поле) в условиях произвольности повторного обращения к тем или иным частям объекта, либо проектируется модель (схема) объ екта (его структура) с оптимально комфортным и устойчивым воспри ятием.

Применительно к математическим объектам сокращение описания достигается благодаря знаково-символической деятельности. Использо вание этих элементов математического языка позволяет преодолеть огра ничения, свойственные восприятию, мнемическим процессам и мышле Глава 3. Методические основы математического образования будущего 270 учителя математики нию. Последнее наиболее приемлемо при оперировании со сложными математическими объектами и определяет подход к первому виду на глядности.

Структурная наглядность – это свойство математического объ екта (и его перцептивного образа), приобретаемое в процессе знаково символической деятельности по формированию внутренней структуры объекта, базирующейся на структурных внешних действиях.

К этому виду наглядности отнесем выделение основного материала, построение модели с опорой на устойчивые ассоциации, характеризую щиеся полнотой изложения основных понятий, методов, теорем (запись теорем в логической форме), доведение изучаемого материала до узна ваемости объекта восприятия, построение системы непрерывного хра нения информации (составление контролирующих программ для ЭВМ, для малых форм информатизации). Примером использования структур ной наглядности служит выделение в процессе восприятия учебного ма териала опорных качеств предмета, составление опорной таблицы коди ровки, использование блок-схем, логический анализ теорем, составле ние проспект-схемы изучения темы, задачного минимума, лабораторно го практикума. Структурная наглядность активизирует мыслительную деятельность в процессе восприятия, учит логически мыслить, выделять существенное в плане перцепции. Расположение изучаемых объектов в определенной системе улучшает восприятие, вызывая минимальные уси лия со стороны органов чувств.

Логический анализ теоремы может включать: логическую запись формулировки теоремы, формулировки обратной и противоположной теоремы, метод доказательства, блок-схему доказательства, контрпри меры к условиям теоремы с графическими иллюстрациями и т. п.

Основные умения и навыки представлены в задачном минимуме, си стеме опорных банков (дифференцирование, интегрирование, неравен ства, пределы последовательностей и функций, графики элементарных функций) с обязательным указанием соответствующих контрпримеров.

Аннотированные экзаменационные программы с детализацией по зна ниям, умениям, навыкам и методам выдаются каждому студенту в нача ле семестра и способствуют мотивации учебной деятельности студентов.

Приведенные выше приемы моделирования учебной деятельности способствуют профессионализации процесса обучения и выработке по требности и навыков в планировании, постановке стратегических и так тических целей в изучении разделов математического анализа.

3.3. Типология видов наглядности в обучении математике Оперативная наглядность – процесс формирования модели в учебной деятельности, базирующийся на опорных внешних действиях.

К оперативной наглядности отнесем демонстрационную (использование при изложении материала рисунков, чертежей, схем, таблиц, плакатов, графиков, моделей, магнитных и печатных пособий, фотографий, муля жей) и технические средства обучения (диафильмы, кинофильмы, ко допозитивы, кинокольцовки, элементы программированного обучения, персональные компьютеры). Этот вид наглядности широко использует ся в практике школы и довольно обстоятельно изложен в методической литературе. Применение оперативной наглядности расширяет число ка налов передачи и получения информации, ускоряя и углубляя восприя тие изучаемого материала. В то же время применение оперативной на глядности может служить мотивацией творческой деятельности учени ка, позволяет увидеть процессы в динамике, способствует установлению межпредметных связей, расширяет область практического применения изучаемых вопросов.

Использование оперативной наглядности в процессе преподавания математического анализа является наиболее естественным актом до ступности изложения и достаточно подробно и разнообразно освещено в методической литературе. Однако концептуальный подход и здесь да ет принципиальные методические новинки. Например, математическая формула или знаково-символическая форма есть адекватное отраже ние математического содержания (формулировка теоремы, логическая запись определения и т. п.) в форме оперативной наглядности, кото рое имеет и устное (словесное) отражение. В соотношении между этими двумя формами отражения математического знания заключено одно из важных профессиональных умений будущего учителя математики: уме ние “описать словами” или представить в устной форме математическое действие или математическую формулу и наоборот. Весьма традицион ным для математического анализа является нахождение графического отражения математического знания. Однако и этот аспект оператив ной наглядности может принять эвристическую форму. Например, хо рошо известен геометрический смысл ds – дифференциала дуги гладкой кривой y = f (x). Тем не менее выяснение геометрического смысла d2 s представляет серьезную математическую задачу (необходимо параболи ческое приближение в точке графика функции f ).

Возможность ввести в процесс преподавания математического ана лиза решение реальных физических задач, проявление сути понятий и теорем вычислительными средствами позволяет приблизить препо Глава 3. Методические основы математического образования будущего 272 учителя математики давание к естественно-научным истокам дисциплины, проследить ис торический процесс становления математики, ее практических прило жений. Здесь формируется еще одно профессиональное умение буду щего учителя – доведение математического результата до этапа непо средственного расчета, в том числе с использованием информационно коммуникационных технологий. В частности, это разработка приклад ных вопросов математических курсов, создание лабораторных практи кумов, компьютерных тренажеров, контролирующих и обучающих про грамм c использованием информационно-коммуникационных техноло гий. Например, лабораторный практикум по разделу “Введение в ана лиз” содержит 20-25 полностью разобранных (с инструкциями, блок схемами, программами и необходимыми теоретическими замечаниями) работ с использованием графического калькулятора. Вариантность ла бораторных заданий, равно как и объем самого практикума, остаются в компетенции преподавателя. Особенность лабораторного практикума заключается в преимущественном решении задач на снятие качествен ных характеристик основных понятий, теорем, практических умений программными средствами, более глубокое уяснение их содержания, за крепление знаний по некоторым численным методам анализа.

Промежуточный контроль знаний обучаемых по сквозным темам способствует стабилизации остаточных фреймов и акцентированию на опорность, являясь в то же время контролем знаний по нескольким вза имосвязанным разделам.

Система контролирующих мероприятий служит получению обрат ной связи, стабилизации остаточных фреймов, систематизации и опор ности, отработке практических навыков, способствует формированию профессиональных умений, овладению межпредметными информацион ными связями.

Формализованная наглядность – процесс формирования модели в учебной деятельности, базирующийся на структурных внешних дей ствиях, процесс формирования “внешней” структуры, структуры обо значения, выделения и размещения текста на доске или в учебном по собии. К этому виду наглядности отнесем: использование при записи петита, курсива, рамок, абзацев, выделение отдельных формул в строч ку, подчеркивание важных слов и предложений, обозначение значимо сти текста на полях различными знаками, обозначение начала и конца доказательства, порций материала, использование цвета для выделения важных формул, элементов. Этот вид наглядности способствует лучше му восприятию, осмыслению и запоминанию материала.

3.3. Типология видов наглядности в обучении математике Фоновая наглядность – процесс моделирования специфических особенностей данного организованного набора знаний, носящий моти вированный сквозной характер, обеспечивающий лучшее восприятие и усвоение. Фоновая наглядность характеризуется длительностью, неод номоментностью, опорностью ассоциативно-рефлекторных механизмов восприятия, “ненавязчивостью” побочно применяемых действий. В мето дологии фоновой наглядности лежат психофизиологические закономер ности организации непроизвольного внимания, исследования Н. Н. Лан ге по организации волевого внимания, концепция Д. Н. Узнадзе об уста новке как целостном состоянии мобилизованного индивида на опреде ленное действие, обусловленное потребностью субъекта и соответствую щей объективной ситуацией. Обучение – это формирование временной последовательности режимов, которые настраивают чувствительность рецепторов на заданную функцию, на формирование результата внут ренних действий, адекватных категории цели. Примером применения этого вида наглядности могут служить приемы создания фона настро ения, создания пониженного фона интенсивности вокруг опорной ин формации, привлечение исторического материала, применение различ ных мнемических эффектов. Целевая установка, мотивация, внешнее ненавязчивое побуждение учителя к внутренним действиям ученика, адекватным поставленной цели, – составляющие компоненты фоновой наглядности. Особое значение этот вид наглядности приобретает в усло виях профильной дифференциации. Фоновая наглядность имеет боль шое значение в процессе обучения и воспитания. От умелого использо вания ее зависит возникновение у учащихся потребности учиться, само стоятельно добывать знания, эмоциональное удовлетворение от учебы, воспитание воли, культуры поведения. Фоновая наглядность – это тот фактор, который позволяет проводить воспитательную работу в процес се обучения (обучать воспитывая и воспитывать обучая).

Создание конкретизационного фона характерно, например, для уров ня глобальной структуры технологии наглядного моделирования в обу чении, так как связано с длительностью и дискретностью восприятия математических объектов. Так, при линейном развертывании базовых понятий непрерывности и производных функции проблема согласова ния этих понятий и проявления сущности устойчиво моделируется на схеме 14 с. 274.

Для уровня локальной модельности конкретизационный фон харак теризуется вариативностью формы предъявления базового знания и уровнями конкретизации с обязательным устойчивым в плане восприя Глава 3. Методические основы математического образования будущего 274 учителя математики тия элементом. Так, характеризуя систему формы записи производной, dy фиксируем обозначение Лагранжа y, Лейбница, Коши Dy, Ньютона dx y, каждое из которых сохраняет свое назначение в различных областях математического анализа до настоящего времени, а предъявление лома ной дает устойчивый эффект конкретизации для понятия спрямляемой дуги.

Для уровня управления познавательной деятельностью обучаемых можно использовать конкретизационный фон “10”. В процессе обуче ния математике студент произвольно ставится в “ситуацию интеллек туального затруднения” – привести 10 примеров (частных случаев) то го или иного математического знания (например, 10 различных при меров трансцендентных чисел). Репродуктивный уровень усвоения поз воляет студенту дать 2–3 примера (которые были разобраны на лек ции или практическом занятии), дальнейшее рассмотрение либо требу ет более качественного усвоения, либо стимулирует квазиисследователь скую деятельность студента. Такое управление познавательной деятель ностью проектирует движение к III и IV уровню усвоения математиче ского знания по В. П. Беспалько и создает устойчивый мотивационно конкретизационный фон усвоения.

Схема Фон конкретизации функциональным элементом f Основная линия Непрерывность Производная Ef '... f (n) (0) f (0) f (0) Limf f (n+1) (0) f (0) f (0) f (0) Конкретизационный фон 1 2 4 2n f (x) = sin 1 1 1 f (x) = x sin x f (x) = x sin xf (x) = x sin x... (x) = x sin f x x f (0) = 0 f (0) = 0 f (0) = 0 f (0) = 0 f (0) = Визуализация 1T 1T 1T 1T...

E E E E –1 –1 –1 – 3.4. Методика изучения раздела “Дифференциальное и интегральное исчисление”. Организация научно-исследовательской работы студентов Дистрибутивная наглядность характеризуется структурными внешними действиями при изучении сформированной модели в процес се учебной деятельности. К этому виду наглядности отнесем структуру размещения материала (основные и технические теоремы), выделение базовых определений, порций материала, классификацию методов до казательства. Этот вид наглядности широко используют авторы учеб ников и учебных пособий. Использование такого вида наглядности поз воляет расставить акценты на изучаемом материале, делает его более доступным для восприятия и усвоения, учит логически мыслить, анали зировать, выделять главное и устанавливать связи между изучаемыми понятиями, уметь ориентироваться в большом объеме информации, вос питывает критическое отношение, учит быть собранным.

Наглядность преемственности характеризуется опорностью ас социативных связей внутри раздела, предмета и межпредметных. Сю да отнесем структуру взаимосвязей, методы изложения, пропедевтику, опорные мотивационные исторические задачи, циклы задач исследова тельского характера. Применение этого вида наглядности зависит от того, насколько глубоко учитель владеет материалом, от творческого использования им методов изложения материала, от его эрудиции, об щей культуры, заинтересованности в результатах своего труда.

Таким образом, обоснование типологии видов наглядного моделиро вания в обучении создает теоретическую базу для управления позна вательной деятельностью студентов в процессе обучения математике, обеспечивает технологизацию дидактического процесса.

3.4. Методика изучения раздела “Дифференциальное и интегральное исчисление”. Организация научно исследовательской работы студентов Технология наглядного моделирования в обучении математике пред ставляет собой проектирование реального учебного процесса, соединя ющее в себе теоретическую, процессуальную и результативную компо ненты. Педагогическая технология представляет собой существо сов местной деятельности преподавателя и студента, ведущей к достиже нию планируемых результатов. В то же время методическое оформ ление сути технологического процесса придает технологии гибкость и определяется, в частности, как содержанием учебной информации, так и педагогическим мастерством преподавателя.

Глава 3. Методические основы математического образования будущего 276 учителя математики Следующая схема определяет основные компоненты методики изу чения раздела математики.

Схема Схема методики изучения раздела математики (лекция, практическое занятие, тема, дисциплина и т.п.) Исходное состояние личности студента Концепция c Концепция 'I наглядного моделирования E Целеполагание E ' фундирования в обучении c Диагностируемое целеполагание     A q Прикладной Теоретический модуль модуль c c II Управление c c Эвристический Гуманитарный познавательной E ' модуль модуль деятельностью студентов c Вероятностно коррекция гарантированные III результаты обучения I – блок исходных характеристик;

II – блок функционирования и управления;

III – блок результативности обучения.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.