авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Ю.Л. МУРОМЦЕВ, Д.Ю. МУРОМЦЕВ

ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ И

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

‡ 1

»«“‹–“¬ ““”

УДК 681.5(075)

ББК 965я73

М915

Р е ц е н з е н т ы:

Доктор технических наук, профессор ТВВАИУ радиоэлектроники

В.И. Павлов Доктор технических наук, профессор ТГТУ В.А. Погонин Муромцев, Ю.Л.

М915 Основы автоматики и системы автоматического управления :

учебное пособие / Ю.Л. Муромцев, Д.Ю. Муромцев. – Тамбов : Изд во Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. – Ч. 1. – 96 с. – 100 экз. – ISBN 978-5-8265-0680-6 Содержатся разделы автоматического управления: статические и динами ческие характеристики объектов, анализ и синтез линейных непрерывных систем. Основное внимание уделяется вопросам устойчивости и качества работы систем автоматического управления.

Предназначено для студентов дневного (3, 4 курсы) и заочного (5 курс) отделений специальности 210201, а также магистрантов (6 курс) и обучаю щихся по системе дистанционного образования при изучении дисциплин "Основы автоматики и системы автоматического управления", "Аналитиче ское конструирование оптимальных регуляторов", "Анализ технических систем".

УДК 681.5(075) ББК 965я ГОУ ВПО "Тамбовский государственный ISBN 978-5-8265-0680- технический университет" (ТГТУ), Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет" Ю.Л. Муромцев, Д.Ю. Муромцев ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Часть Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации для студентов 3 – 5 курсов дневного и заочно го отделений бакалавров и специальности 210201, магистрантов направления 210200 и обучающихся по системе дистанционного образования Тамбов Издательство ТГТУ Учебное издание МУРОМЦЕВ Юрий Леонидович МУРОМЦЕВ Дмитрий Юрьевич ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Часть Учебное пособие Редактор З.Г. Ч е р н о в а Инженер по компьютерному макетированию М.Н. Р ы ж к о в а Подписано к печати 16.04. Формат 60 84/16. 5,58 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета 392000, Тамбов, Советская, 106, к. ВВЕДЕНИЕ Теория автоматического управления применяется не только к технологическим объектам, но и к задачам управления предприятиями, процессам принятия решений, системам массового обслуживания и другим сложным системам.

За по следние десятилетия радиотехнические системы и средства автоматизации претерпели существенные изменения, возник ли новые задачи для их решения автоматическими устройствами. Эти задачи связаны с работой систем при случайных изменениях состояния, возрастанием роли радиоэлектронной борьбы, развитием систем пространственно-временной об работки и распределенных вычислений, необходимостью оперативного принятия решений в условиях неопределенности, широким использованием микропроцессорных средств, телекоммуникационного взаимодействия и другими усовершен ствованиями. В связи с переходом к рыночным отношениям неизмеримо возросли требования к эффективности и конку рентоспособности систем, а следовательно, к робастности и отказоустойчивости систем автоматического управления (САУ), проблемам их проектирования.

Следует отметить, что современные САУ тесно связаны с такими направлениями развития систем телекоммуника ции и связи, как цифровая обработка сигналов, теория фильтрации, беспроводные системы связи и др. САУ широко ис пользуются при создании роботов, самонаводящихся систем, оптико-локационных станций и т.д. Возрастает сложность задач, решаемых управляющими устройствами. Так, на современных самолетах устанавливаются радиолокационные станции (РЛС), оборудованные антеннами с активной фазированной решеткой, автоматическая система антенного ком плекса обеспечивает практически одновременное функционирование РЛС в разных режимах и разных частотных диапа зонах – в одном режиме как обычный локатор, в другом – постановщик помех для "глушения" РЛС других летательных аппаратов.

Широкое распространение получили различные информационные технологии для проектирования и использования в САУ (CASE-средства, SCADA-системы, беспроводные технологии и др.).

В первом разделе пособия кратко рассмотрены общие сведения по системам автоматического управления и примеры САУ. Второй раздел, посвященный линейным САУ, в определенном смысле является основным.

Основные методы анализа и синтеза систем управления подкрепляются численными примерами. Вместе с тем объем пособия не позволил с достаточной полнотой рассмотреть все методы синтеза систем автоматического управления, ис пользующие сложный математический аппарат.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Под автоматикой понимают отрасль науки и техники, которая охватывает теорию и принципы построения систем управления техническими процессами, действующих без непосредственного участия человека. Математические основы теории автоматического регулирования заложены отечественными учеными И.А. Вышнеградским и А.М. Ляпуновым.

Содержанием автоматики как науки являются: исследование условий функционирования различных объектов и ал горитмов управления ими, изучение общих закономерностей САУ, разработка методов анализа и синтеза САУ, разработ ка принципов построения автоматических управляющих устройств. При синтезе решаются задачи выбора наиболее ра циональных структур САУ, которые должны обеспечивать выполнение заданных алгоритмов функционирования. Важ ной задачей анализа является определение по заданной структуре САУ алгоритма функционирования и показателей каче ства работы системы.

В дисциплине изучаются САУ, применяемые в различных радиотехнических комплексах, системах и устройствах, предназначенных для радиолокации, радионавигации, радиоуправления и радиосвязи, т.е. системах, использующих ра диосигналы. Сфера применения таких систем непрерывно расширяется, появляются новые виды радиоустройств, обеспе чивающих дистанционное управление объектами.

1.1. СОСТАВ И СХЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Для нормального функционирования многих объектов и процессов, т.е. чтобы они выполняли свое целевое предна значение, ими требуется управлять. Управление заключается в том, чтобы на основе имеющейся информации вырабаты вать воздействия на объект, которые изменяют протекающие в нем процессы для достижения задаваемой цели управле ния. Следует отметить, что цели управления формулируют не разработчики автоматических систем (АС), а специалисты в области техники и знаний, к которой относится объект (технологический процесс). Целями управления могут быть, на пример, обеспечение постоянства частоты генератора, стабилизация напряжения на выходе блока питания, устранение ошибки радиолокатора при слежении за целью и т.д.

Объект (процесс) находится под автоматическим управлением, если цели управления достигаются при редком вме шательстве человека. Для реализации автоматического управления используются различные сигналы и элементы АС.

Сигналами называются физические процессы, параметры которых содержат информацию (информационные пара метры). Например, сигнал – напряжение переменного тока, информационный параметр – частота. Основными сигналами в АС являются входные x (t ) и выходные y (t ) сигналы, в общем случае изменяющиеся во времени t. Входными сигна лами наиболее часто являются задающее воздействие или заданное значение выходного сигнала yзад (t ) и возмущающие воздействия (t ). В дальнейшем входные и выходные сигналы будут рассматриваться как для всей автоматической сис темы, так и ее отдельных частей или элементов. При этом выходной сигнал одного элемента обычно является входным сигналом следующего элемента. Например, выходной сигнал управляющего устройства является входным для объекта управления. При анализе и синтезе АС большое значение имеет исследование таких сигналов, как помехи, шумы, сигна лы ошибки и обратной связи. На схемах АС сигналы обозначаются стрелками. Каждый сигнал описывается своей мате матической моделью, например, алгебраической функцией, случайным процессом и др. Различают сигналы аналоговые, если информационные параметры сигнала при изменении во времени могут принимать любые значения в задаваемом интервале, и цифровые, если информационные параметры содержатся в кодированной последовательности импульсов. В дальнейшем сигналы x (t ), y (t ) будут называться входной и выходной переменными или просто входом и выходом сис темы.

При рассмотрении систем автоматического управления первоначально исследуется объект (процесс), которым надо управлять, и цель управления. В объекте выделяют протекающие в нем физические процессы и модели, описывающие эти процессы. Формулировка цели управления должна включать: чего требуется достичь в результате управляющих воз действий (высокой производительности, точности и т.п.), какими переменными следует управлять, какой необходим уро вень действий.

Элементы, образующие автоматическую систему, как правило, обладают свойством однонаправленности, т.е. сигнал, поступающий на вход элемента, преобразуется в нем в выходной сигнал. Важную роль в автоматических системах играют следующие элементы: датчики, элементы сравнения, управляющие устройства, исполнительные механизмы, линии связи.

Датчики позволяют оценивать состояние управляемого объекта. Если необходимые для целей управления переменные не доступны непосредственному измерению, то во многих случаях необходимую информацию получают из других источни ков, используя так называемые виртуальные датчики.

Исполнительные механизмы выполняют функцию перевода объекта (процесса) из текущего состояния в желаемое в соответствии с сигналами, вырабатываемыми устройствами обработки информации. В качестве этих устройств исполь зуются разнообразные вычислительные средства – программируемые контроллеры, ломиконты и др.

Для соединения между собой датчиков, управляющих устройств, исполнительных механизмов и объектов управле ния используются различные линии связи, к которым предъявляются требования по отсутствию искажений и задержек при передаче сигналов. Во многих случаях сигналы в САУ передаются на большие расстояния, что накладывает дополнитель ные требования к линиям связи – их надежности, помехоустойчивости и т.д.

Необходимо отметить, что в связи с широким использованием микропроцессорной техники в САУ, важной состав ной частью автоматических систем стало программное обеспечение автоматического управляющего устройства. Более того, наблюдается тенденция замены некоторых аппаратных средств программными средствами.

Выделяют три основных принципа, используемых при управлении объектами [1, 2].

1. Принцип разомкнутого управления или разомкнутого цикла. В системах, работающих по этому принципу, реаль ные значения выхода y (t ) объекта не учитываются управляющим устройством, что не позволяет обеспечить высокую точность управления (рис. 1.1, а).

2. Принцип компенсации или управления по возмущению. В этих системах производится измерение возмущающих воздействий (t ), и результаты измерений учитываются при выработке управления u (t ), что позволяет повысить точ ность автоматической системы (рис. 1.1, б).

3. Принцип обратной связи (ОС), который предусматривает сравнение выхода y(t ) с задаваемым значением yзад (t ) с помощью канала обратной связи и элемента сравнения (рис. 1.1, в).

Для повышения качества управления объектом в АС могут использоваться комбинация принципов ОС и компенса ции, такие системы называют комбинированными (рис. 1.1, г).

Каналы прямой и обратной связей в АС образуют основной контур управления (рис. 1.1, г). Значение выходной (управляемой) переменной y(t ) объекта на элементе сравнения постоянно сопоставляется с заданным (эталонным) зна чением yзад (t ). Сигнал ошибки e(t ) = yзад (t ) y(t ) используется для выработки управления u (t ), чтобы достичь цели управления – сделать yзад (t ) и y(t ) наиболее близкими, несмотря на возмущения различного рода, помехи и шумы.

Изменения выхода y(t ) вызываются не только управляющими u (t ), но и возмущающими воздействиями (t ). По следние стремятся нарушить требуемую функциональную связь между u (t ) и y(t ). Например, порывы ветра оказывают значительное влияние на положение антенны радиолокационной станции.

(t ) а) yзад (t ) y(t ) u (t ) Управляющее Объект устройство (t ) б) yзад (t ) y(t ) u (t ) – e(t ) Управляющее + Объект устройство (t ) в) yзад (t ) y(t ) e(t ) u (t ) Управляющее + Объект устройство – Канал прямой связи г) Шумы измерения (t ) Датчик Контур компенсации Помехи – yзад (t ) e(t ) u(t ) Объект y(t ) Исполни Управ Задающее тельное ляющее устройство устройство устройство + – Контур обратной связи Датчик Шумы измерения y (t ) Канал обратной связи Рис. 1.1. Схемы автоматических систем:

а – разомкнутая;

б – с компенсацией по возмущению;

в – с обратной связью;

г – комбинированная В общем случае под системой автоматического управления понимается активная динамическая система, стремя щаяся сохранять в допустимых пределах отклонение e(t ) между требуемым yзад (t ) и действительным y(t ) значениями управляемой переменной при помощи их сравнения на основе принципа ОС и использования получающегося при этом сигнала для управления объектом.

В зависимости от характера изменения yзад (t ) выделяют три основных типа САУ: 1) системы автоматической ста билизации и регулирования, в них yзад (t ) = const ;

2) системы программного управления, в этих системах yзад (t ) изменя ется в соответствии с известной функцией времени или программой;

3) следящие системы, здесь yзад (t ) представляют собой неизвестные заранее функции времени. Наряду с этими САУ широко используются системы оптимального управ ления, экстремальные системы и др.

1.2. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В РАДИОСВЯЗИ Современные радиотехнические комплексы, решающие задачи управления движением различных летательных аппара тов и слежения за ними, обеспечения радиосвязью, функциями радиоэлектронной борьбы и защиты от помех, а также дру гие комплексы, использующие радиосигналы для самонаведения, определения местоположения объектов, обследования рельефа местности и т.д., содержат большое число автоматических устройств, обеспечивающих их нормальное функциони рование. К этим устройствам, прежде всего, относятся системы: автоматической подстройки частоты (АПЧ);

фазовой авто подстройки частоты (ФАПЧ);

автоматической регулировки усиления (АРУ);

автоматического сопровождения по направле нию (АСН) движущихся объектов;

автоматического сопровождения по дальности (АСД) движущихся объектов;

автомати ческого слежения за временем (АСВ) прихода импульсов и др. Перечисленные устройства входят в состав различных ра диолокационных станций (РЛС), систем радиоуправления, спутниковых радионавигационных систем и других радиотехни ческих систем.

П ри ме р 1.1. Устройства автоматической подстройки частоты широко применяются в различных радиопередаю щих и радиоприемных устройствах. Простейшая схема системы АПЧ для стабилизации частоты генератора приведена на рис. 1.2, а. Здесь формально роль y зад играет эталонная частота эт, соответствующий сигнал вырабатывается генерато ром эталонных частот (ГЭЧ).

Дискриминатор y,г uд u (t ) x,эт u д = f1 () СГ УЭ ГЭЧ а) uд u 0 в) б) Рис. 1.2. Схема АПЧ генератора (а) и статические характеристики дискриминатора (б) и управляющего элемента (в) Если частота г стабилизируемого генератора (СГ) отличается от задаваемой эталонной частоты эт, то в зависи мости от разности = г эт дискриминатор вырабатывает сигнал управления u д, который через управляющий эле мент (УЭ) корректирует частоту генератора. Для этого используется зависимость uд = f1 () значения сигнала u д на вы ходе дискриминатора от ошибки, называемая статической характеристикой дискриминатора (рис. 1.2, б). Под действи ем управляющего воздействия u на выходе управляющего элемента рассогласование устраняется в соответствии со статической характеристикой = f 2 (u ) (рис. 1.2, в).

Следует заметить, что в некоторых системах АПЧ частота г поддерживается постоянной, отличающейся от эт на строго фиксированную величину.

В приемном устройстве РЛС основное усиление принятого отраженного сигнала uc (t ) осуществляется усилителем промежуточной частоты (УПЧ) на промежуточной частоте пр = c г ;

здесь c – частота входного сигнала;

г – частота гетеродина. Преобразование uc (t ) в uпр (t ) происходит в смесителе (СМ). Вследствие нестабильности частота гетеродина г и влияния других дестабилизирующих факторов частота пр может отличаться от номинального значе ния пр.н, что приводит к ухудшению работы приемного тракта. Для устранения отклонения частоты от номинального, т.е. = пр пр.н, в частотном дискриминаторе (ЧД) вырабатывается напряжение u д. Характеристика дискримина тора имеет вид, аналогичный показанному на рис. 1.2, б. Если 0, то управляющий сигнал u д через фильтр низких частот (ФНЧ) воздействует на гетеродин (Гет), чтобы обеспечить пр = пр. н. На рис. 1.3 приведена структурная схема АПЧ, обеспечивающая поддержание на заданном уровне промежуточной частоты пр.

вых вх u пр, пр u пр,пр uc,c СМ УПЧ uг,г uд Гет ФНЧ ЧД Рис. 1.3. Схема АПЧ усилителя промежуточной частоты приемного устройства РЛС П ри ме р 1.2. Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) используются в перестраиваемых по частоте ге нераторах колебаний и радиоприемных устройствах. На рис. 1.4 приведена схема ФАПЧ перестраиваемого генератора (ПГ). Измерителем рассогласования здесь служит фазовый дискриминатор (ФД), на выходе которого сигнал пропорцио нален разности фаз напряжений эталонного опорного генератора (ЭГ) частотой э и перестраиваемого генератора (ПГ) частотой г. Вырабатываемый ФД сигнал через фильтр нижних частот (ФНЧ) и управляющий элемент (УЭ) подается на ПГ. В результате происходит изменение частоты ПГ, при этом устраняется разность фаз двух гармонических колебаний и частота ПГ становится равной частоте ЭГ.

y, г x, э ЭГ ФД ПГ УЭ ФНЧ Рис. 1.4. Схема фазовой автоподстройки частоты перестраиваемого генератора Процесс автоподстройки в системе ФАПЧ описывается нелинейным дифференциальным уравнением d(t ) + уд F ((t )) = н ;

dt здесь н = э г. н – начальное рассогласование частот ЭГ и ПГ;

г. н – начальная частота ПГ;

F ((t )) – дискримина ционная характеристика ФД;

уд – полоса удержания системы, т.е. максимальное значение н, которое может быть скомпенсировано в системе. В установившемся режиме разность фаз постоянна и г = э.

П ри ме р 1.3. В радиоприемных устройствах для стабилизации уровня выходного сигнала u вых (t ) при больших из менениях уровня входного сигнала u вх (t ) широко применяется автоматическая регулировка усиления (АРУ). Так, в РЛС диапазон изменения u вх (t ) может составлять 60…100 дБ, отсутствие или нарушение работы АРУ здесь может приводить к срыву сопровождения цели [3].

На рис. 1.5 приведена схема системы АРУ для усилителя с регулируемыми каскадами РК1, …, РКN. Выходное на пряжение усилителя u вых (t ) через детектор (Д) подается на усилитель постоянного тока (УПТ) и затем фильтр (Ф). На пряжение u y с выхода фильтра воздействует на коэффициент усиления усилителя.

Усилитель u вых (t ) u вх (t ) … РК1 РКN … uу УПТ Д ФНЧ Рис. 1.5. Схема системы АРУ Рассмотренные примеры автоматических устройств представляют собой системы с одним входом и одним выходом или SISO-системы (Single-Input Single-Output) [4]. Как видно из примеров, канал обратной связи здесь может содержать различные функциональные элементы – дискриминаторы, усилители, фильтры и др. Техническая реализация этих эле ментов сильно различается в зависимости от частотного диапазона, в котором функционирует соответствующая система.

Если в качестве примера взять какой-либо радиотехнический комплекс, то он, как правило, имеет несколько входов и несколько выходов. При этом отдельные входы могут оказывать влияние на разные выходы, а некоторые выходы зави сеть от нескольких входов. Такие комплексы рассматриваются с позиции MIMO-систем (Multi-Input Multi-Output).

Некоторые САУ имеют один вход и несколько выходов (SIMO-системы) или несколько входов и один выход (MISO-системы). Например, наземная РЛС, предназначенная для слежения за воздушной целью, может рассматриваться как SIMO-система. Здесь на вход поступает отраженный от цели сигнал, а на выходах вырабатывается информация о дальности до цели и направлении на цель.

1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Системы автоматического управления классифицируются по различным признакам. В разделе 1.1 были рассмотрены системы, различающиеся используемым принципом управления, т.е. разомкнутые, с компенсацией по возмущению, с обратной связью и комбинированные. Там же выделены три типа САУ с различным характером изменения заданного значения выходной переменной – это системы программного управления, автоматической стабилизации и следящие. В разделе 1.2 определены системы, различающиеся числом входов и выходов (SISO-, MIMO-, MISO- SIMO-системы), а также приведены примеры автоматических устройств, выполняемых разные функции. Для решения задач анализа и син теза САУ наиболее важными по характеру внутренних динамических процессов в системе являются следующие класси фикационные признаки: линейность (или нелинейность) уравнений, описывающих динамические процессы;

непрерыв ность (или дискретность) динамических процессов во времени;

стационарность (нестационарность) и сосредоточенность (распределенность) параметров системы, а также особенности работы при различных состояниях функционирования.

САУ называется линейной, если динамические процессы в ней описываются линейными дифференциальными или разностными уравнениями. Статические характеристики всех звеньев системы должны быть линейными. Если динамика какого-либо звена САУ описывается линейным уравнением с временной задержкой, то такая система называется линей ной системой с временным запаздыванием. В уравнение, описывающем процессы в линейной системе, все переменные (входные, выходные, фазовые координаты) входят аддитивно и в первой степени. Например, уравнение динамики линей ной системы в векторно-матричной форме имеет вид z = Az (t ) + Bx(t ), y (t ) = Cz (t )+ Dx(t ), (1.1) & а при наличии временного запаздывания по каналу входного воздействия z = Az (t ) + Bx(t );

(1.2) & здесь z, x, y – векторы фазовых координат, входа и выхода;

A, B, C, D матрицы параметров соответствующих размер ностей;

z = dz / dt.

& Если хотя бы в одном звене САУ условие линейности не выполняется (z или x в уравнении записываются не в пер вой степени или в виде произведения и т.п.), то система называется нелинейной. Например, y = ay(t )+ b x(t ), & (1.3) где x, y – скалярные вход и выход;

a, b – параметры модели системы.

Во многих случаях используется линеаризация нелинейных систем в окрестности некоторой рабочей точки. Таким образом, по характеру связей между переменными системы и их производными все САУ делятся на два больших класса – линейные и нелинейные. В качестве отдельного подкласса здесь могут быть выделены линеаризованные системы.

САУ называется системой непрерывного действия, если во всех ее звеньях непрерывным изменениям входных ве личин соответствуют непрерывные изменения выходных переменных. Одно из условий непрерывных систем заключает ся в том, чтобы статические характеристики звеньев в них были непрерывными. Модели (1.1) – (1.3) соответствуют САУ непрерывного действия.

Если в САУ имеются звенья, в которых при непрерывном изменении входной величины выходная имеет вид после довательности импульсов, то система относится к классу систем дискретного действия. К этому классу относятся систе мы импульсного регулирования, системы с ЭВМ в контуре управления и др. Динамические режимы дискретных АС опи сываются разностными уравнениями, например, z ((i +1)T0 ) = Fz (iT0 )+ Gx (iT0 );

y (iT0 ) = Cz (iT0 )+ Dx (iT0 ), i = 0,1, 2,..., (1.4) где T0 – период следования импульсов;

F, G, С, D – матрицы параметров дискретной системы.

Особый подкласс по отношению к непрерывности изменения переменных во времени образуют САУ релейного дей ствия. К ним относятся системы, содержащие звенья, в которых при непрерывном изменении входной величины для опре деленных ее значений выходная величина изменяется скачком. Статические характеристики таких звеньев, называемых ре лейными, имеют точки разрыва (рис. 1.6). Следует заметить, что релейные системы всегда нелинейные. Наряду с непрерыв ными и дискретными системами иногда в отдельные классы выделяют непрерывно-дискретные САУ и системы с цифровой обработкой сигналов. К этим классам относятся большинство современных САУ, использующих микропроцессорную тех нику.

у у у х х х Рис. 1.6. Примеры статических характеристик релейных звеньев САУ (линейные, нелинейные, непрерывные, дискретные) называются стационарными, если их динамические режи мы описываются уравнениями с постоянными коэффициентами. Например, системы, представленные моделями (1.1) – (1.4), относятся к стационарным, в них матрицы параметров А, В и другие не зависят от времени.

Если коэффициенты уравнений динамики являются переменными (зависят от времени), то САУ называются неста ционарными. Например, для нестационарной линейной непрерывной системы модель динамики, аналогичная (1.1), запи сывается в виде z = A(t ) z (t ) + B(t ) x(t ), y(t ) = C (t ) z (t )+ D(t ) x(t ). (1.5) & Все рассмотренные САУ с моделями (1.1) – (1.5) являются системами с сосредоточенными параметрами, т.е. их ди намические режимы описываются обыкновенными дифференциальными или разностными уравнениями.

Если изменение переменных системы или объекта управления описывается дифференциальными уравнениями в ча стных производных, то такие системы называются системами с распределенными параметрами. Например, широко ис пользуемое при описании тепловых процессов стационарное уравнение теплопроводности имеет вид 2T 2T 2T + +Q=0, (1.6) + 2 2 где Т – температура (непрерывная функция координат);

Q – источник теплоты внутри рассматриваемого тела;

,, – коэффициенты теплопроводности по соответствующим направлениям;

,, – пространственные координаты. В ра диотехнике распространенными объектами с распределенными параметрами являются длинные линии и волноводы.

Важным для проектирования САУ с учетом условий реальной эксплуатации является выделение классов систем на множестве состояний функционирования (МСФ) [5]. Для учета возможных состояний работоспособности частей системы, изменения режимов работы и других факторов, которые приводят к изменению параметров системы, цели управления, вы полняемых функций и т.п., вводится переменная состояния функционирования h. Например, различными значениями h могут быть: h0 – работа РЛС в нормальных условиях;

hп – работа РЛС в условиях помех;

hгр – работа РЛС при слежении за групповой целью и т.д. Изменение h может приводить к изменениям модели динамики системы (ее вида и параметров), алгоритма работы управляющего устройства и т.д. В зависимости от характера изменения переменной h и возможности идентификации ее значений на временном интервале управления [t 0, t к ] можно выделить четыре основных класса систем управления на множестве состояний функционирования H.

САУ принадлежит: к первому классу на множестве H, если при реальной эксплуатации системы значение перемен ной h к моменту времени t0 известно и сохраняется постоянным на временном интервале [t 0, t к ] ;

ко второму классу, ес ли значение переменной h на интервале [t 0, t к ] постоянно, но неизвестно;

к третьему классу, если значение h на интер вале [t 0, t к ] может изменяться, при этом в каждый момент времени t [t0, tк ] известно, и к четвертому классу, если пере менная h на интервале [t 0, t к ] может изменяться, при этом информация об изменении h либо отсутствует, либо не может быть учтена управляющим устройством.

Существует большое число других признаков классификации, используемых в теории автоматического управления.

Например, по числу контуров в структурной схеме САУ различают одноконтурные и многоконтурные системы управле ния. По целевому назначению выделяют САУ наведения, самонаведения и т.д., по сложности – простые и сложные. В последнее время интенсивно развивается теория нечетких, адаптивных, робастных, цифровых и интеллектуальных сис тем управления.

Приведенные сведения по классификации САУ необходимы для определения "местоположения" исследуемой сис темы среди множества самых различных САУ и выбора соответствующих методов решения задач анализа и синтеза.

Вопросы для контроля 1. Помехи и шумы в АС являются входными или выходными сигналами?

2. Какие три принципа используются при управлении объектами?

3. Перечислите основные структурные элементы систем автоматического управления?

4. В чем особенность автоматических устройств систем радиосвязи в общем классе автоматических систем?

5. Какие функциональные элементы используются в устройствах АПЧ, АРУ?

6. Приведите примеры входных и выходных сигналов в САУ?

7. Приведите примеры систем автоматической стабилизации.

8. Приведите примеры следящих автоматических систем.

9. Приведите примеры автоматических систем со многими входами и многими выходами.

10. Определите, к каким классам относится РЛС.

2. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Класс линейных САУ составляет основу и наиболее полно исследован в классической теории автоматического управления. Важнейшим свойством линейных систем является то, что для них справедлив принцип суперпозиции или на ложения, который заключается в следующем: реакция системы на сумму входных воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. В линейных непрерывных САУ входные и выходные сигналы являются непрерыв ными функциями времени.

Во многих случаях исследуемые САУ рассматриваются как линейные, это обусловлено рядом причин. Во-первых, математический аппарат, используемый для анализа и синтеза линейных систем значительно проще, чем для нелиней ных. Во-вторых, многие нелинейные системы могут быть с помощью методов линеаризации представлены как линейные в некотором ограниченном интервале изменения переменных. В-третьих, класс линейных систем исключительно широк и охватывает системы с переменными параметрами, системы с распределенными параметрами, системы с запаздыванием, импульсные и цифровые системы, системы, подверженные воздействию помех, и др. В табл. 2.1 приведено деление ли нейных систем на подклассы по различным признакам.

2.1. Виды линейных САУ Признаки деления Наименование систем 1.1. Непрерывные 1. Характер изменения переменных во времени 1.2. Дискретные (импульсные, цифровые) 1.3. Непрерывно-дискретные 2.1. Стационарные 2. Постоянство параметров во времени 2.2. Нестационарные 3.1. С сосредоточенными параметрами 3. Распределенность параметров в пространстве 3.1. С распределенными параметрами 4.1. Детерминированные 4. Определенность параметров и сигналов 4.2. Стохастические 4.3. Со случайными воздействиями (сигналами) 2.1. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ При анализе линейных систем различают переходные и установившиеся процессы. Свойства систем и их элементов (звеньев) для этих процессов определяются динамическими и статическими характеристиками.

2.1.1. Статические характеристики В общем случае статическая характеристика (СХ) для системы с сосредоточенными параметрами с одним входом и одним выходом представляет собой зависимость выходной переменной у от значения входной переменной х в устано вившемся режиме и записывается в форме алгебраического уравнения y = f (x ) ;

x X, (2.1) где Х – область значений х.

Уравнение (2.1) называют уравнением статики. Для объектов с т входами статическая характеристика записывается в виде функции у от нескольких входных переменных, т.е.

y = f (x1, x2,..., xm ).

В случае линейной системы с одним входом и одним выходом СХ (2.1) записывается как уравнение прямой линии y = K 0 + Kx или y = Kx ;

здесь K 0, K – постоянные коэффициенты, коэффициент K называют передаточным коэффициентом или коэффициен том усиления.

Для линейной системы с m входами статическая характеристика имеет вид y = K 0 + K1 x1 +... + K m xm, а для многомерной системы с m входами и m выходами СХ записывается как система линейных уравнений:

y1 = K10 + K11x1 +... + K1m xm ;

… ym = K m0 + K m1x1 +... + K mm xm.

Для объектов с распределенными параметрами статическая характеристика записывается в форме дифференциаль ных уравнений в частных производных, например, вида (1.6).

Звенья САУ, имеющие СХ, называют статическими звеньями, а объекты управления – объектами с самовыравни ванием. Знание статической характеристики объекта управления необходимо для выбора режимов работы, определения области, в пределах которой объект можно считать линейным, расчета функций чувствительности к изменению входных переменных и т.д.

Для системы, состоящей из n последовательно соединенных линейных звеньев со статическими характеристиками yi = K i xi, i = 1, n, когда выход одного звена является входом другого ( yi = xi+1 ), СХ всей системы со входом x = x1 и выходом y = y n име ет аналогичный вид, т.е.

y = Kx, при этом передаточный коэффициент K системы равен произведению передаточных коэффициентов звеньев, т.е.

n K = Ki.

i= Передаточный коэффициент системы при параллельном соединении звеньев, когда n yi x1 = x2 = … = x n = x и y = i= n равен сумме значений K i, т.е. K = K i.

i= В случае соединения звеньев по схеме отрицательной обратной связи (рис. 1.1, в), когда u = K yy e, y = K 0u, e = y зад y, статическая характеристика замкнутой САУ имеет вид K yy K y= y зад, 1+ K yy K где K yy, K 0 передаточные коэффициенты управляющего устройства и объекта, соответственно.

Следует заметить, что при описании статической характеристики звена важно указать диапазон значений изменения x, при котором зависимость выхода y от x можно считать линейной, а для статической характеристики САУ следует указать диапазоны линейности, входящих в ее состав звеньев.

Некоторые звенья (системы, объекты) не имеют СХ. Например, если у электродвигателя в качестве выходной вели чины y рассматривать угол поворота якоря, а в качестве входной x – подводимое напряжение, то при x 0 установив шегося значения y не наступает. Такие звенья называют астатическими звеньями, а объекты – объектами без самовы равнивания.

В астатических звеньях может существовать однозначная зависимость производной выходной величины dy / dt от постоянного значения входной. Для некоторых звеньев постоянной в установившемся режиме является вторая, третья или более высокого порядка производная y. В этих случаях говорят, что звено обладает астатизмом соответствующего порядка, т.е. первого, второго, третьего и т.д.

Понятия статизма и астатизма применительно к системам автоматического управления, в частности регулирования, имеют следующий смысл. Если при любом постоянном значении задающего воздействия y зад установившаяся ошибка yзад y (t = ) не равна нулю, то САУ называют статической по отношению к задающему воздействию.

Если при любом постоянном значении y зад установившаяся ошибка равна нулю, то САУ называется астатической с астатизмом соответствующего порядка. Для астатической САУ первого порядка ошибка yзад y (t = ) равна нулю при yзад = const и имеется установившаяся ошибка при изменении y зад с постоянной скоростью. Астатическая САУ второго порядка имеет установившуюся ошибку при изменении y зад с постоянным ускорением, а задающие воздействия yзад = const и dy зад / dt = const отрабатывает без установившейся ошибки. Аналогично даются определения статической и астатической САУ по отношению к возмущающему воздействию.

2.1.2. Динамические характеристики Свойства объекта, САУ и отдельных ее звеньев в переходных процессах (динамических режимах) определяются с помощью динамических характеристик (ДХ). В зависимости от свойств системы и решаемых задач анализа и синтеза для описания переходных процессов в САУ используются дифференциальные уравнения, передаточные функции, час тотные и временные характеристики.

В табл. 2.2 приведены основные задачи, решаемые с использованием различных ДХ применительно к непрерывным САУ. Дифференциальные уравнения (ДУ) наиболее часто используются в качестве моделей динамических режимов как объектов управления, так и САУ. По известному ДУ можно получить любые другие ДХ системы. Так, для определения временных характеристик необходимо решить ДУ при соответствующем входном сигнале, передаточная функция нахо дится с использованием преобразования Лапласа, а амплитудно-фазовая частотная характеристика – преобразования Фу рье. Обычно ДХ составляет основу математической модели исследуемой системы.

2.2. Области применения различных динамических характеристик Динамические Свойства Область использования характеристики системы Дифференциальные уравнения Линейные и Анализ устойчивости, оптимальное управление, мо нелинейные делирование, построение модели на основе физиче ских законов Передаточные функции Линейные Синтез САУ, анализ устойчивости Частотные Анализ устойчивости, идентификация модели Линейные и нелинейные Временные Идентификация модели, оценка качества управления Линейные и нелинейные 2.3. Связи между динамическими характеристиками Получаемые ДХ Известные ДХ W (j ) ДУ W (p) h (t) W (t) L, F, Решение ДУ при Решение ДУ при ДУ d d x (t ) = 1 (t ) x (t ) = (t ) p j dt dt 1 L1 W ( p ) [W ( p )] L1 [ W ( p )] 1 замена p j W (p) L p 1 замена F 1 W ( j) F 1 [ W ( j)] [W ( j )] W (j ) F j p j dh(t ) [] [] L h' (t ) F h' (t ) h (t) Иденти-фикация dt t L [ W (t )] F [ W (t )] W () d W (t) Иденти-фикация В табл. 2.3 приведены способы получения различных динамических характеристик по известным другим ДХ. Дина мические характеристики САУ по известным ДХ входящих в ее состав частей обычно получают с использованием пере даточных функций (ПФ). Это объясняется тем, что по известной структурной схеме САУ и передаточным функциям ее звеньев с использованием простых алгебраических операций легко получить ПФ всей системы.

Передаточной функцией системы (или звена) W ( p ) с входом x(t ) и выходом y (t ) называется отношение преобразо вания Лапласа выхода Y ( p ) = L [ y (t )] к преобразованию Лапласа входа X ( p ) = L [x (t )] (при нулевых начальных условиях), т.е.

Y ( p) W ( p)=, (2.2) X ( p) где р – параметр преобразования Лапласа.

В табл. 2.4 приведены наиболее употребительные оригиналы сигналов f (t ) и соответствующих изображений по Ла пласу F ( p ), т.е.

F ( p ) = L [ f (t )] = f (t )e pt dt ;

f (t ) = L1 [F ( p )] = F ( p ) e pt dp, (2.3) а в табл. 2.5 – теоремы и правила.

Передаточная функция системы Wc ( p ) находится по передаточным функциям Wi ( p ) ее элементарных звеньев с ис пользованием следующих формул:

• последовательное соединение n звеньев, когда выходная величина предыдущего звена является входной для по следующего (рис. 2.1, а) n Wc ( p ) = Wi ( p ) ;

(2.4) i= • параллельное соединение n звеньев (здесь входная величина одновременно подается на входы всех звеньев, а выходная равна сумме выходных величин отдельных звеньев (рис. 2.1, б) n Wc ( p ) = Wi ( p ) ;

(2.5) i= • соединение с отрицательной обратной связью (частный случай встречно-параллельного соединения звеньев W1 ( р ) и W oc ( р )), когда на вход соединения одновременно с входной величиной x системы, подается ее выходная вели чина у, прошедшая через звено обратной связи с передаточной функцией Woc ( p ), (рис. 2.1, в) W1 ( p ) Wc ( p ) = ;

(2.6) 1+ W1 ( p ) Woc ( p ) • соединение с положительной обратной связью (другой частный случай встречно-параллельного соединения (рис.

2.1, г)) W1 ( p ) Wc ( p ) =. (2.7) 1 W1 ( p ) Woc ( p ) 2.4. Изображения по Лапласу функций f (t) f (t) F (p) Наименование 1(t ) 1/ р Единичная ступенчатая функция (t ) Единичная импульсная функция n!

t n 1(t ) Степенная функция p n+ e at 1(t ) Экспонента p+a ( ) ( ) 1 1 e at 1(t ) 1 e t / T 1(t ) Смещенная экспонента p ( p + a ) p(Tp +1) a sin t 1(t ) Синусоида p + e t sin t 1(t ) (p ) Затухающая синусоида + 2 + p cos t 1(t ) Косинусоида p + p+ e t cos t 1(t ) (p ) Затухающая косинусоида + 2 + y n 1 = xn y 2 = x y1 = x x1 = x yn = y...

W1 ( p ) W2 ( p ) Wn ( p ) a) y x W1 ( p ) y x y x W2 ( p )...

.

..

..

..

..

x yn Wn ( p ) б) x yoc y x W1 ( p ) + – y oc Woc ( p ) в) x + yoc x y W1 ( p ) + + y oc Woc ( p ) г) Рис. 2.1. Соединения звеньев: последовательное (а), параллельное (б), встречно-параллельное с отрицательной обрат ной связью (в) и с положительной обратной связью (г) 2.5. Свойства (теоремы) преобразования Лапласа f (t) F (p) Наименование a1F1 ( p )+ a2 F2 ( p ) a1 f1 (t )+ a 2 f 2 (t ) Свойство линейности f (t ) e p F ( p ) Теорема запаздывания F ( p / a) f (at ) Теорема подобия a df (t ) d n f (t ) Правило дифференцирования при нулевых начальных pF ( p ) p n F ( p ) условиях dt n dt 1 F ( p) n F ( p) Правило интегрирования при нулевых начальных ус f (t ) dt ловиях p p dF ( p ) tf (t ) Дифференцирование функции F (p) dp lim pF ( p ) f (t ) Теорема о конечном значении p lim pF ( p ) f (t = 0 ) Теорема о начальном значении p Теорема смещения в F (p + ) e t f (t ) комплексной плоскости t F1 ( p ) F2 ( p ) f1() f 2 (t ) d Свертка При решении задач анализа и синтеза автоматических радиоэлектронных устройств широко используются частот ные характеристики – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), амплитудно-частотная характери стика (АЧХ) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Это объясняется тем, что многие сигналы в радиосистемах представляют в виде суммы гармонических сигналов, возможностью экспериментального определения частотных харак теристик и удобством их использования при рассмотрении структурных схем САУ, исследовании устойчивости и других свойств системы.

АФЧХ или комплексная частотная характеристика W ( j ) определяется как отношение преобразования Фурье F выхода системы Y ( j) = y (t )e jt dt к преобразованию Фурье входа X ( j) = x(t )e jt dt, т.е.

Y ( j ) W ( j ) = ;

(2.8) X ( j ) здесь – угловая частота;

j = 1;

y (t ), x (t ) – односторонние функции, т.е. y (t ) = 0, x (t ) = 0 при t 0.

Сигналы на входе и выходе можно записать в виде () и Y ( j) = | Y ( j) | e j y ().

X ( j) = | X ( j) | e j x Тогда | Y ( j) | e y ( ) = M () e j() = P()+ jQ(), j W ( j) = (2.9) | X ( j) | e j x () где | Y ( j) | = M y () = M () = P 2 ()+ Q 2 () ;

| X ( j) | M x () Q () () = y () x () = arctg. (2.10) P() Здесь M () есть АЧХ, () – ФЧХ, P() – действительная (вещественная) частотная характеристика;

Q () – мнимая частотная характеристика.

( ) Таким образом, АЧХ есть зависимость отношения амплитуд выходных y(t ) = M y sin t + y и входных x(t ) = M x sin (t + x ) колебаний от частоты, а ФЧХ представляет собой зависимость разности фаз выходных и входных колебаний от частоты.

Если известна передаточная функция W ( p ), то АФЧХ W ( j) получается заменой аргумента р (в общем случае ком плексной величины) на j. При этом сохраняются основные свойства, приведенные в табл. 2.5, т.е.

• линейности n n F ai f i (t ) = ai Fi ( j) ;

i=1 i=1 • дифференцирования d n f (t ) df (t ) = ( j)n F ( j) ;

= jF ( j), F n F dt dt • интегрирования t F f ( ) d = F ( j)+ F (0 ) () ;

j • задержки F [ f (t )] = e j F ( j) ;

• свертки F f1 ( ) f 2 (t ) d = F1 ( j) F2 ( j).

Широкое распространение на практике получили логарифмические частотные характеристики – амплитудные (ЛАЧХ) и фазовые (ЛФЧХ). Достоинством логарифмических характеристик при исследовании линейных стационарных систем является возможность по виду этих характеристик восстановить структурную схему системы и определить пара метры элементарных динамических звеньев, входящих в систему. Полученные результаты можно использовать для опре деления передаточной функции и затем дифференциального уравнения.

Для получения ЛАЧХ и ЛФЧХ исходную АФЧХ W ( j) = M () e j() логарифмируют ln W ( j) = ln M ()+ j(), или lg W ( j) = lg M ()+ j() lge.

Обычно в качестве ЛАЧХ используется функция L () = 20 lg M (), измеряемая в децибелах. Здесь предполагается, что в качестве входов x и выходов y рассматриваются напряжения или токи в электрических цепях. Если в качестве x, y используются мощности, то L () = 10 lg M (). При построении ЛАЧХ и ЛФЧХ по оси абсцисс откладывают угловые частоты в логарифмическом масштабе.

Временные характеристики системы представляют собой реакции системы на стандартные входные воздействия:

• единичная ступенчатая функция 0 при t 0;

x(t ) = 1(t ) = 1 при t 0;

• дельта-функция или единичная импульсная функция 0 при t 0;

x(t ) = 1 (t ) = (t ) = (t ) dt = 1 ;

причем при t = 0, • прямоугольный импульс 0 при t 0 ;

x(t ) = N (1(t ) 1(t )) = N при t (0;

];

0 при t.

Переходная функция (характеристика) h (t ) представляет собой процесс изменения y (t ) на выходе звена (системы) при подаче на вход x (t ) = 1 (t ). Если на вход подается произвольная ступенчатая функция, т.е. x (t ) = N 1 (t ), то на выходе будет y (t ) = Nh (t ). Реакцию объекта на ступенчатую функцию часто называют кривой разгона.

Функция веса (импульсная переходная функция) W (t ) представляет собой реакцию системы на дельта-функцию.

Она удовлетворяет двум следующим условиям:

1) условию физической осуществимости (причинности) W (t ) = 0, t 0, т.е. переходный процесс W (t ) не может возникнуть раньше подачи на вход сигнала (t ) при t = 0 ;

| W (t ) | dt.

2) условию, определяющему устойчивость системы dh(t ) Нетрудно показать, что W (t ) =.

dt Рассматривая различные виды ДХ следует отметить, что важно знать, во-первых, при решении каких задач следует использовать соответствующую характеристику, и, во-вторых, как получить необходимую ДХ по известной другой. Наи более часто при решении задач анализа и синтеза САУ и особенно при решении задач оптимального управления приме няется описание динамики в виде дифференциального уравнения. Задачи структурного синтеза, когда по ДХ элементар ных звеньев требуется получить ДХ системы, решаются с использованием передаточных функций и частотных характе ристик. Для обеспечения требуемых свойств САУ на основе введения корректирующих звеньев обычно используются логарифмические частотные характеристики. При определении ДХ по экспериментальным данным предпочтение отдает ся временным и частотным характеристикам.

2.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ В структурном анализе и синтезе САУ широко используются типовые (элементарные, простейшие) динамические звенья (ТДЗ). Простейшее звено имеет один вход x и один выход y. Знание характеристик звеньев, из которых состоит система, позволяет получить характеристики и исследовать свойства всей системы.

Обычно выделяют три группы ТДЗ: позиционные (безынерционное, апериодические первого и второго порядков, колебательное), интегрирующие (идеальное интегрирующее, инерционное интегрирующее изодромное) и дифференци рующие (идеальное дифференцирующее, инерционное дифференцирующее и форсирующее) [1]. Динамика этих звеньев описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка, в частности a0 && + a1 y + a2 y (t ) = b0 x + b1 x (t ) ;

y & & здесь && = d 2 y (t ) dt 2, y = dy (t )dt, x = dx (t )dt.

y & & Этому уравнению соответствует передаточная функция Y ( p) b0 p + b W ( p)=, p = c + j.

= X ( p ) a0 p 2 + a1 p + a При обращении в нуль одного или нескольких коэффициентов ai, bi (или их звена) меняется тип звена и его свойст ва. Если два устройства различной природы – механическое, электрическое или др. – имеют одинаковый вид дифферен циального уравнения, а следовательно, передаточной функции или других ДХ, то эти устройства характеризуются одина ковыми свойствами в смысле изменения y (t ) в зависимости от x(t ). Наряду с выделенными тремя группами ТДЗ, к типо вым относится также звено чистого запаздывания.

2.2.1. Апериодическое звено первого порядка Апериодическим (инерционным) звеном первого порядка называется звено, переходный режим которого описывается дифференциальным уравнением Ty + y (t ) = Kx (t ) (2.11) & или в нормальной форме y = ay (t )+ bx (t ). (2.12) & Параметр K называется коэффициентом усиления, а T – постоянной времени, которая определяет инерционные свойства объекта. Связь между параметрами K, T и a, b в (2.11), (2.12) определяется равенствами 1 b T= ;

K=. (2.13) a a Если при t dy / dt 0, то из уравнения (2.11) видно, что статическая характеристика звена представляет собой уравнение прямой линии y = Kx.

Переходный процесс при подаче на вход звена произвольного сигнала x (t ), t t 0 определяется уравнением t ( ) y (t )+ e a (t s )bx (s ) ds y (t ) = e a t t (2.14) t или t 1 t s ( t t 0 ) ( )K y (t ) = e y (t0 )+ e T x(s ) ds.

T (2.15) T t Используя формулы (2.14), (2.15), легко получать временные характеристики звена. Полагая t0 = 0, y (t 0 ) = 0 и x(t ) = 1 (t ), получаем выражение для переходной функции 1 t t ( t s ) K h(t ) = e 1(s ) ds = K 1 e T 1 (t ) (2.16) T T ( ) b или h(t ) = 1 e a t 1(t ).


a Если в формулу (2.15) подставить x(t ) = (t ) или продифференцировать h (t ), то находим функцию веса или им пульсную переходную функцию, т.е.

t K d W (t ) = h (t ) = e T 1(t ) (2.17) dt T или W (t ) = be a t 1 (t ).

Графическое представление h (t ) и W (t ) показано на рис. 2.2. Из рис. 2.2, а виден геометрический смысл параметров K и T. Параметр K соответствует отрезку по оси y между двумя установившимися значениями, а постоянная времени T равна проекции отрезка касательной к кривой h (t ).

x x 1(t ) (t ) 0 t t y y h (t ) K W (t ) K T 0 t t а) б) Рис. 2.2. Временные характеристики апериодического звена h(t) (а) и W(t) (б) Из уравнения (2.11) легко получить передаточную функцию звена с помощью преобразования Лапласа. Так как d y(t ) = TpY ( p ), L [Kx(t )] = KX ( p ), L T dt то, используя свойство суммирования (табл. 2.3), получаем TpY ( p )+ Y ( p ) = KX ( p );

Y ( p) K W ( p)= (2.18) = ;

X ( p ) Tp + b / a b W ( p)=.

= 1 pa p + a L [ W (t )] = W ( p ), Легко убедиться, что, используя преобразование Лапласа для экспоненты, имеет место [W ( p )] = W (t ).

L Частотные характеристики звена находятся заменой в формуле (2.18) p на j. В результате АФЧХ определяется выражением K W ( j ) =. (2.19) 1 + jT Другие частотные характеристики получаются простейшими преобразованиями:

K (1 jT ) KT K W ( j) = j =, (1+ jT )(1 jT ) 1+ T 1+ 2 T т.е.

K P() = ;

(2.20) 1+ 2 T K T Q() = ;

(2.21) 1+ 2 T K M () = P 2 ()+ Q 2 () = ;

(2.22) 1+ 2 T Q () () = arctg = arctg (T ). (2.23) P () Графическое представление этих частотных характеристик приведено на рис. 2.3, а – д.

Логарифмические частотные характеристики показаны на рис. 2.5, е, где пунктиром выделено точное значение ЛАЧХ, т.е.

K L() = 20 lg, (2.24) 1+ 2T и сплошной линией асимптотическая ЛАЧХ La (). Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух отрезков: горизонтального с La () = 20lgK при (этот отрезок называется первой асимптотой) и отрезка с отрицательным наклоном 20 децибел T на декаду при (вторая асимптота).

T P jQ Q K K P 45° 0 0 = = T а) б) в) L La M 20 lg K K K –180° T п 2 –90° 10 T T 2 T г) д) е) Рис. 2.3. Частотные характеристики апериодического звена:

а – АФЧХ;

б – P();

в – Q();

г – АЧХ;

д – ФЧХ;

е – ЛАЧХ Из рассмотрения частотных характеристик видно, что колебания низких частот "проходят" через звено с отноше T нием амплитуд выходного у и входного х сигналов, близким к значению коэффициента усиления (передачи) K (рис. 2.3, г). При увеличении частоты происходит сильное ослабление амплитуды входного сигнала, а сигналы с высоки T 1 ми частотами вообще не "пропускаются" звеном. Диапазон частот ;

определяет полосу пропускания сигна T T лов, ширина полосы пропускания определяется как п = 2/T. Таким образом, чем меньше постоянная времени Т, тем шире полоса пропускания частот.

Таким образом, на примере апериодического звена подробно рассмотрены вопросы получения одних динамических характеристик по известным другим. Далее для остальных ТДЗ все динамические характеристики даются в форме спра вочного материала.

2.2.2. Усилительное звено В усилительном (пропорциональном или безынерционном) звене связь между выходом и входом определяется про стейшим уравнением y (t ) = Kx(t ), (2.25) где K – коэффициент пропорциональности (передачи).

В принципе усилительное звено является некоторой идеализацией реальных процессов в ограниченном диапазоне изменения x и y.

Все ДХ усилительного звена автоматически получаются из характеристик апериодического звена, если принять T = 0. Эти характеристики (рис. 2.4) имеют вид:

• передаточная функция W ( p) = K ;

(2.26) • переходная функция h (t ) = K 1 (t ) ;

(2.27) • функция веса W (t ) = K(t ) ;

(2.28) • АФЧХ W ( j) = K и P() = K, Q () = 0 ;

(2.29) • АЧХ M () = K ;

(2.30) • ФЧХ () = 0 ;

(2.31) • ЛАЧХ L() = 20lgK. (2.32) В устройствах автоматики примерами усилительного звена являются усилители, делители напряжения, датчики сиг налов, механические редукторы и др.

h jQ W K t 0 0 P K а) б) в) L M P K 20 lg K 0 0 г) д) е) Рис. 2.4. Динамические характеристики усилительного звена:

а – переходная функция;

б – весовая функция;

в – АФЧХ;

г – P() и АЧХ;

д – ФЧХ;

е – ЛАЧХ 2.2.3. Инерционное звено второго порядка Дифференциальное уравнение для данного звена записывается в виде T22 && + T1 y + y(t ) = Kx(t ) y (2.33) & или в нормальной форме z1 = z1 (t ) ;

& z 2 = a1 z1 (t )+ a2 z 2 (t )+ bx(t ), (2.34) & 1 T K где z1 = y ;

z 2 = y ;

a1 = ;

a2 = 1 ;

b = 2.

& 2 T2 T2 T Значения параметров звена T1, T2, K (соответственно a1, a2, b ) должны удовлетворять условию обеспечения веще ственности корней характеристического уравнения T22 p 2 + T1 p +1 = 0, т.е.

T12 4T2 0 или T1 2T2.

(2.35) Для параметров a1, a2 это эквивалентно условию a2 4a1.

( ) Используя операционную форму записи (2.33) T22 p 2 + T1 p +1 y = Kx, можно получить передаточную функцию зве на K K W ( p )=, (2.36) = (1+ T3 p ) (1+ T4 p ) T22 p 2 + T1 p + T T ± 1 T22, T3 T4, T1 = T3 + T4.

T3, 4 = (2.37) где 2 Из (2.36) видно, что инерционное звено второго порядка можно рассматривать как последовательное соединение двух апериодических звеньев с постоянными времени T3, T4. Такое звено иногда называют двойным апериодическим.

Временные характеристики звена приведены на рис. 2.5, их аналитические выражения, получаемые с использовани ем обратного преобразования Лапласа, имеют вид:

t t T3 T h (t ) = K 1 1(t ) ;

T3 T (2.38) e + e T3 T4 T3 T4 t t T3 K W (t ) = 1 (t ).

T e (2.39) e T3 T4 T h W K 0 t t T T3T4 T ln T3 T4 T4 б) а) Рис. 2.5. Временные характеристики инерционного звена второго порядка:

а – h(t);

б – W(t) jQ M K K 180° =0 0 P 1 –180° = б) T3T в) а) La L La () 20 lg K L() T 0 –180° T –90° г) Рис. 2.6. Частотные характеристики инерционного звена второго порядка:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – асимптотическая ЛАЧХ Частотные характеристики звена записываются в виде:

K W ( j ) = ;

(2.40) (1 + j T3 ) (1 + j T4 ) ( ) K(T3 + T4 ) K 1 2T3T P () = ;

Q () = ( )+ ( ) ;

T32 + T42 T32 T42 1 + T32 + T42 + 4T32 T 1+ K M () = ;

(2.41) T32 1 + 2 T 1+ () = arctgT3 arctg T4 ;

(2.42) K L () = 20 lg ;

(2.43) T32 1 + 2 T 1+ 1 T3 ;

20 lg K, K 1 La () = ;

(2.44), T3 T3 T K 2,.

T3T4 T Здесь La () – асимптотическая ЛАХ, ее первая асимптота с нулевым наклоном, вторая с наклоном 20 дб/дек и третья – 40 дб/дек. Графическое представление частотных характеристик приведено на рис. 2.6.

Данное звено широко используется на практике для описания динамических режимов двигателей постоянного тока, фрагментов электрических схем, например, двухзвенного RC-фильтра нижних частот и др.

2.2.4. Колебательное звено Дифференциальное уравнение данного звена в нормальной форме сохраняет вид (2.24), а уравнение (2.23) обычно записывается с использованием относительного коэффициента затухания, т.е.

T 2 && + 2Ty + y(t ) = Kx(t ), y (2.45) & где T – постоянная времени ( 1 T – собственная частота q ).

Уравнению (2.45) соответствуют передаточная функция и частотные характеристики:

K K W ( p) = 2 2 =2 ;

(2.46) T p + 2T p + 1 p + p + q2 q K W ( j) = = P() + jQ() = 1 + 2 j T 2T ( ) K 1 2T 2 2 KT = +j (2.47) ;

(1 T ) (1 T ) 22 2 2 2 2 + 4 2T 2 + 4 T K M () = ;

(2.48) ( ) 1 2T 2 2 2 + 4 T [ )] ( () = arctg 2 T 1 2T 2 ;

(2.49) (1 T ) L() = 20 lg K 20 lg + 4 2T 2 2 ;

(2.50) при ;

20 lg K T La () = (2.51) 20 lg T при.

T Следует заметить, что вторая асимптота в формуле (2.51) пересекает ось абсцисс в точке = K / T. Графики час тотных характеристик приведены на рис. 2.7, а – г.

M jQ 180° K 2 1 2 K = 0 0 P K м = q 1 2 –180° =q a) б) в) L h La W A 20 lg K K t B A 0 0 B –180° –90° 0 q 0 t е) г) д) Рис. 2.7. Частотные и временные характеристики колебательного звена:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса Временные характеристики звена определяются выражениями:

h(t ) = K 1 e t cos t + sin t 1(t ) ;

(2.52) q 2 1 t W (t ) = K e sin t 1(t ) ;

(2.53) A1 B = q =, q =, 1 = ln ln ;

A2 B T = q 1 2, q = 1 + 2, =, + где Ai, Bi – амплитуды колебаний, показанные на рис. 2.7, д, е;

– коэффициент затухания переходного процесса;

– частота затухающих колебаний.

При значениях 1 колебательное звено превращается в апериодическое звено второго порядка. К колебательным звеньям относятся RLC-цепи, колебательные контуры, гироскопические элементы, упругие механические передачи. Сле дует заметить, что рассмотренные звенья обладают самовыравниванием и считаются устойчивыми. Свойство самовырав нивания проявляется в том, что при ступенчатом изменении входной величины они самопроизвольно приходят в новое установившееся состояние с y (t ) = const.

2.2.5. Консервативное звено Данное звено представляет собой частный случай колебательного звена при относительном коэффициенте затухания, равном нулю. Это имеет место, например, если в колебательной RLC-цепи положить R = 0. Графическое представле ние частотных и временных характеристик показано на рис. 2.8.

ДХ консервативного звена легко получить из характеристик колебательного, если положить = 0. В этом случае ДХ записываются в виде T 2 && + y (t ) = Kx(t ) ;

y (2.54) K K W ( p) = =, q= ;

(2.55) T p2 + 2 T p 1+ q K K W ( j ) = = ;

(2.56) 2 1 T 1 q K K P() =, Q() = 0, M () = (2.57) ;


1 2T 1 q jQ M 180° q K =0 K q 0 0 q P –180° а) б) в) La L h W 20 lg K 0 K –180° t –90° 0 t 0° q q q г) д) е) Рис. 2.8. Частотные и временные характеристики консервативного звена:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса 180 0 при 0;

() = (2.58) 180 0 при 0;

L() = 20 lg K 20 lg 1 2T 2 ;

(2.59) при 20 lg K ;

T La () = (2.60) 20 lg 2 T 2 при ;

T h(t ) = K ( 1 cos qt )1(t ) ;

(2.61) W (t ) = Kq sin q t 1(t ). (2.62) 2.2.6. Интегрирующие звенья Выделяют три вида интегрирующих звеньев: идеальное, инерционное интегрирующее (с замедлением) и изодром ное. ДХ этих звеньев приведены в табл. 2.6 и на рис. 2.9 – 2.11.

2.6. Динамические характеристики интегрирующих звеньев Наимено Инерционное вание Идеальное Изодромное (с замедлением) характе ристик y;

(t ) = y = K x(t ) Дифференциальное & T&& + y (t ) = K x y = K x(t ) + K1x t y & & = K x( s) ds уравнение ( )= K 1 + Tp K W ( p) = W ( p) = = p(1 + Tp ) Переда- K p W ( p) = точная p K KT K функция = = + K1, T = K1 K p 1 + Tp p K K K W ( j ) = W ( j ) = W ( j ) = + K АФЧХ j(1 + jT ) j j K M () = K K M () = M () = 1 + T 2 АЧХ 1+T () = () = () = arctgT + arctgT ФЧХ 2 Для 0 2 L() = L() = L() = K ЛАЧХ K 1 + 2T = 20 lg(K / ) = 20 lg = 20 lg 1+ T h(t ) = t h(t ) = (Kt + K1 )1(t ) ;

K1 = KT Переходная функ- h(t ) = K t 1(t ) = K t T 1 e T 1(t ) ция t W (t ) = K 1(t ) + K1(t ) W (t ) = K 1 e 1(t ) W (t ) = K 1(t ) T Функция веса jQ M 90° P 0 0 –90° а) б) в) –90° L h W 20 = K K –180° –90° t t г) д) е) Рис. 2.9. Частотные и временные характеристики идеального интегрирующего звена:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса M jQ 180° = 0 90° 0 –90° P KT –180° а) б) в) La L W h 20 1 T T K –180° 40 0T t t –90° г) д) е) Рис. 2.10. Частотные и временные характеристики инерционного интегрирующего звена:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса М jQ 0 90° K1 = K P –90° а) б) в) La L W h K K 20 lg K –180° t t 1T K –90° д) е) г) Рис. 2.11. Частотные и временные характеристики изодромного интегрирующего звена:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса Примером идеального интегрирующего звена могут рассматриваться операционный усилитель (в режиме интегри рования), интегрирующий привод в навигационных системах, гироскоп, малоинерционный электродвигатель и др.

Инерционное интегрирующее звено или интегрирующее звено с замедлением можно рассматривать как последова тельное соединение идеального интегрирующего и апериодического (первого порядка) звеньев. Такое звено также назы вают реальным двойным интегратором, система дифференциальных уравнений в нормальной форме для него записыва ется в виде z1 = z 2 (t ) ;

& z 2 = az 2 (t ) + bx(t ), (2.63) & 1 K где z1 = y;

z 2 = y;

a = ;

b=.

& T T Реальный двойной интегратор используется для описания динамики таких объектов как серводвигатели, демпферы, интегрирующие приводы и др. Наряду с реальным двойным интегратором. Ряд объектов описываются моделью двойного интегратора, т.е.

z1 = z (t );

z 2 = bx (t ). (2.64) & & К таким объектам относятся некоторые двигатели постоянного тока, гидравлические емкости, движение летатель ных аппаратов и т.д.

Как видно из передаточной функции изодромного звена, его можно представить в виде двух параллельно соединен ных звеньев – идеального интегрирующего и безынерционного (усилительного). Изодромное звено широко используется для описания динамических режимов некоторых объектов (демпфер с пружиной, операционный усилитель с обратной связью в виде RC-цепи и др.) и устройств системы автоматического регулирования (изодромный или пропорционально интегральный регулятор). Особенностью данного звена (график ЛАЧХ рис. 2.11, г) является то, что в области малых час 1 тот звено ведет себя как идеальное интегрирующее, а при больших – как безынерционное.

T T Общей особенностью интегрирующих звеньев является то, что они не обладают свойством самовыравнивания, т.е.

ограниченное изменение входной величины х, например, ступенчатое, приводит к неограниченному возрастанию во вре мени выходной величины у. Это наглядно проявляется в графиках переходной функции (рис. 2.11, д;

2.12, д;

2.13, д).

2.2.7. Дифференцирующие звенья Динамические характеристики трех дифференцирующих звеньев – идеального, с замедлением и форсирующего при ведены в табл. 2.7 и на рис. 2.12 – 2.14.

Примерами идеального дифференцирующего звена являются операционный усилитель в режиме дифференцирова ния. Дифференцирующее звено с замедлением можно представить в виде последовательного соединения идеального дифференцирующего и апериодического звеньев. Примерами такого звена служат фрагменты электрических цепей (CR-, RL-).

Форсирующее звено представляет собой параллельное соединение безынерционного и идеального дифференци рующих звеньев. Данное звено широко используется в составе корректирующих цепей систем автоматического управле ния.

jQ M 90° = 0 –90° 0 P а) б) в) L W 20 h –180° 1/ K –90° 0 t t д) е) 90° г) Рис. 2.12. Частотные и временные характеристики идеального дифференцирующего звена:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса jQ 1 M = T = 90° =0 KT 0 P 0 –90° K T б) в) а) L La 1 T h W 20 20 lg K K /T –180° 1/ K 0 t KT t –90° д) е) 90° г) Рис. 2.13. Частотные и временные характеристики с замедлением дифференцирующего звена:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса jQ M 90° K = 0 0 P K б) в) а) La L h W 20 lg K K 0 1T 0 t t –90° д) е) 0 90° г) Рис. 2.14. Частотные и временные характеристики дифференцирующего звена первого порядка (форсирующего):

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса 2.7. Динамические характеристики дифференцирующих звеньев Наимено Идеальное С замедлением Первого порядка (форсирующее) вание характеристик Дифференциальное y (t ) = Kx Ty + y (t ) = Kx y (t ) = K1 (Tx + x (t )) & & & & уравнение W ( p ) = K1(1 + Tp) = Переда- Kp W ( p) = W ( p ) = Kp T = K 2 / K точная 1 + Tp = K1 + K2 p;

функция W ( j) = Kj W ( j) = W ( j) = Kj = K1 + K 2 j = АФЧХ 1 + jT = K1 + j K1T Окончание табл. 2. Наимено Идеальное С замедлением Первого порядка (форсирующее) вание характеристик M () = K M () = M () = K АЧХ 1 + 2T 2 = K1 1 + 2T () = arctgT ( ) = arctg () = ФЧХ T L () = 20 lg K1 + K L() = 20 lg L() = 20 lg (K) ЛАЧХ ( ) 1 + 2T 2 + 20 lg 1 + 2T 2 2.2.8. Звено чистого запаздывания Звено чистого (постоянного) запаздывания без искажения формы входного сигнала сдвигает его во времени, т.е.

y (t ) = x (t ), (2.65) где – время запаздывания.

M () = 1 () = W ( j) = e j = cos j sin jQ M 1 0 –1 = 0 = tg = P = б) в) = а) W(t ) =(t ) h(t ) =1(t ) L() = L h W 1 0 t t г) д) е) Рис. 2.15. Динамические характеристики звена чистого запаздывания:

а – АФЧХ;

б – АЧХ;

в – ФЧХ;

г – ЛАЧХ;

д – переходная функция;

е – функция веса Примером такого звена являются различные линии задержки сигнала. Передаточная функция запаздывающего звена в соответствии с теоремой запаздывания (см. табл. 2.5) имеет вид W ( p ) = e p.

Другие динамические характеристики звена приведены на рис. 2.15.

Во многих случаях запаздывающее звено записывается с передаточным коэффициентом K, т.е.

y (t ) = Kx (t ), W ( p ) = Ke p и т.д. Данное звено обычно используется в совокупности с другими звеньями.

2.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Для определения характеристик САУ сначала составляют структурную схему системы из элементарных звеньев, за тем схему преобразуют к удобному для анализа виду и записывают характеристики между выходными и входными пере менными. Обычно преобразования производят с использованием аппарата передаточных функций.

Во многих случаях после преобразования структурную схему замкнутой системы автоматического управления при водят к виду, показанному на рис. 2.16. Здесь Wр ( p ), Wо ( p ) – передаточные функции соответственно регулятора и объ екта управления;

X ( p ), Y ( p ), V ( p ), E ( p ) – преобразованные по Лапласу входное воздействие (задающее воздействие) x (t ), выходная величина объекта (регулируемая величина) y(t ), возмущение (t ), приложенное к входу объекта (входное возмущение), рассогласование (ошибка) e(t ) между входом x (t ) и выходом объекта y(t ).

V ( p) E( p) Y ( p) X ( p) + Wрег ( p ) + Wo ( p ) – + Рис. 2.16. Структурная схема системы автоматического регулирования Используя свойство однонаправленности звеньев и на основе принципа суперпозиции можно записать уравнения, позволяющие определить выход y(t ) и ошибку e(t ) в зависимости от входа x (t ), возмущения (t ) и характеристик W p ( p ), Wо ( p ). Эти уравнения имеют следующий вид:

Y ( p ) = xy ( p ) X ( p ) + y ( p ) V ( p ) ;

(2.66) E ( p ) = xe ( p ) X ( p )+ e ( p ) V ( p ), (2.67) где xy ( p ), y ( p ) – передаточные функции выхода замкнутой САУ относительно задающего воздействия x и возму щения соответственно;

xe ( p ), e ( p ) – передаточные функции ошибки замкнутой САУ соответственно относитель но x и.

В соответствии с формулами (2.4) и (2.6) эти передаточные функции определяются выражениями Wраз ( p ) Y ( p) xy ( p ) = ;

(2.68) = 1+ Wраз ( p ) X ( p) Wо ( p ) Y ( p) y ( p ) = = ;

(2.69) 1+ Wраз ( p ) V ( p ) E( p) xe ( p ) = = ;

(2.70) 1+ Wраз ( p ) X ( p ) Wо ( p ) E( p) e ( p ) = =, (2.71) 1+ Wраз ( p ) V ( p ) где Wраз ( p ) передаточная функция разомкнутой САУ, т.е.

Wраз ( p ) = W p ( p ) Wо ( p ). (2.72) xy ( p ) Из (2.68) следует, что Wраз ( p ) =.

1 xy ( p ) В общем виде для разомкнутой САУ имеет место m (1+ Ti p ) Kr Y ( p) Wраз ( p ) = i=, mn, (2.73) = X ( p) nr (1+ T j p ) r p j= где п – порядок дифференциального уравнения замкнутой системы;

m, r – количества форсирующих и интегрирующих звеньев соответственно;

K r коэффициент передачи системы по r-й производной входного воздействия;

Ti, T j посто янные времени звеньев, входящих в систему.

Выражение (2.73) учитывает, что в схему САУ могут входить безынерционные, апериодические, интегрирующие и форсирующие звенья. Для многих реальных САУ m = 1 и r 2.

Замкнутая САУ, не содержащая интегрирующих звеньев, т.е. при r = 0, называется статической, для нее m (1+ Ti p ) K Wраз ( p ) = i=. (2.74) n (1+ T j p ) j= САУ, содержащая одно интегрирующее звено (r = 1), т.е.

m (1+ Ti p ) K Wраз ( p ) = i=, (2.75) n (1+ T j p ) p j= называется астатической с астатизмом первого порядка;

здесь K1 – коэффициент передачи системы по скорости (доб ротность по скорости).

Соответственно астатическая система с астатизмом второго порядка имеет передаточную функцию m (1+ Ti p ) K Wраз ( p ) = i= ;

(2.76) n (1+ T j p ) p j= здесь K 2 – коэффициент передачи системы по ускорению (добротность по ускорению).

Заметим, что с увеличением порядка астатизма точность САУ возрастает.

Дифференциальное уравнение линейной замкнутой САУ, соответствующее передаточной функции (2.68), можно за писать в виде d n y(t ) d n 1 y (t ) dy (t ) + a0 y (t )= an + an 1 + L + a n n dt dt dt d m x(t ) d m 1 x(t ) dx(t ) + b0 x(t ), m n.

= bm (2.77) + bm 1 + L+ b m m dt dt dt d Используя обозначение оператора дифференцирования = p уравнение (2.77) принимает вид dt n a p j y(t ) = b pi x(t ) m (2.78) j i j=0 i=0 или в операторной форме y (t ) = Ф( p ) x(t ) ;

(2.79) здесь B( p ) m n ( p ) = ;

B( p ) = bi p i ;

A( p ) = a j p j. (2.80) A( p ) i=0 j= Следует заметить, что в (2.78) – (2.80) символ р не тождественен параметру преобразования Лапласа p = c + j, j = 1. Системы, у которых порядок числителя т передаточной функции ( р ) меньше порядка знаменателя, называ ются правильными.

Дифференциальное уравнение (2.77) характеризует динамические свойства системы с позиции внешнего описания в переменных «вход-выход». В настоящее время более часто употребляется описание системы в пространстве состояний с записью дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.

Вектор состояния z (t ) = (z1 (t ), z 2 (t ),..., z n (t )) т представляет собой минимальный набор переменных, однозначно ха рактеризующий рассматриваемую систему в данный момент времени t = t0 и позволяющий при известных входных воздей ствий x(t ), t [t0, t к ] получить такой же набор z (t ) t [ t 0, tк ]. При изменении t на интервале времени [ t 0, t к ] конец век тора z описывает кривую, т.е. траекторию z (•) = (z (t ), t [ t 0, t к ]) в пространстве состояний.

Описание системы в пространстве состояний в отличие от внешнего описания "вход-выход" называют внутренним.

В пространстве состояний система описывается уравнениями z = Az (t )+ Bx(t ) ;

(2.81) & y (t ) = Cz (t )+ Dx(t ), (2.82) n n, B R nm, r m где z R, x R, y R – п-вектор состояния, т-вектор входа и r-вектор выхода, соответственно;

A R n C R rn, D R rm матрицы состояния (системы), управления и выходных координат соответствующих размерностей.

Структурная схема системы, описываемой уравнениями (2.81), (2.82) приведена на рис. 2.17.

D y(t ) x(t ) z (t ) + z & + + B C – A Рис. 2.17. Структурная схема системы в пространстве состояний В качестве примера рассмотрим переход от описания системы в переменных "вход-выход" (2.77) к описанию в про странстве состояний (2.81) для модели d n y (t ) d n1 y (t ) dy (t ) + a0 y (t ) = x(t ).

+ an1 +... + a n n dt dt dt Введем п-мерный вектор состояния z = (z1, z 2,..., z n ) т следующим образом:

dy (t ) d n 1 y (t ) z1 (t ) = y (t ), z 2 (t ) =,..., z n (t ) =.

dt n dt В этом случае можно записать систему уравнений в нормальной форме Коши z1 = z2 (t );

& z2 = z3 (t );

& K K zn 1 = zn (t );

& z n = a0 z1 (t ) a1 z 2 (t )... a n 1 z n (t ) + x(t ).

& Данная система в векторно-матричной форме имеет вид z1 (t ) z1 0 1 0 0 & K z 2 (t ) z2 0 0 1 0 & K M = M M + M x(t ) M M K M M z n 1 (t ) z n 1 0 0 0 0 & K z n (t ) z n a0 a1 a 2 K a n 2 a n & или z = Az (t ) + Bx(t ), & где 0 1 0 0 K 0 0 1 0 0 K A = M M ;

B = M.

M M K M 0 1 0 0 K a0 a1 a2 K an 2 an 1 Матрица А в таком виде называется матрицей Фробениуса или матрицей сопровождения.

Обычно в качестве выхода системы рассматривается y (t ) = z1 (t ), тогда матрица С (2.82) для рассматриваемого при мера записывается как п-вектор строка C = (1 0 0 … 0 0).

Для расчета вектора z (t ) при t t0 и внешних воздействиях используется выражение t ( )z (t )+ e A(t )Bx() d, z (t ) A t t (2.83) =e t ( ) A t t где e матричная экспонента (матрицант, матрица перехода, переходная матрица), для которой справедливы фор мулы e At e A = e A(t + ), e A e B = e A+ B (если АВ = ВА), () d At т T e A t = e At e = e At A и др.

, dt Матрица весовых функций (весовая матрица, импульсная переходная функция) системы определяется выражением K (t ) = Ce A(t ) B + D (t ). (2.84) Выходной вектор с учетом (2.83), (2.84) вычисляется по формулам t A( t t0 ) z (t 0 ) + Ce A(t ) Bx() d + Dx(t )= y (t ) = Ce t t A( t t0 ) z (t 0 )+ K (t ) x() d = Ce (2.85) t и при z (t0 ) = t y (t ) = K (t ) x() d.

(2.86) t 2.8. Матричные экспоненты динамических систем Матрица состояния, А Матрица перехода 0 1 1 t 0 0 0 ( ) 1 at 0 1 1 1 e 0 a a 0 e at ( ) 1 (a2 + )e t + (a2 + )e t e t e t ;

= 0,5 a2 + D, D = a2 + 4a1 0 ;

( ) D e t e t a1 e t e t ( );

= 0,5 a2 D (1 0,5a2t )e 0,5 a 2 t t e 0,5 a 2 t ;

D = 0:

(1 + 0,5a2t )e 0,5 a 2 t a2t e0,5a2t 0 1 a a ( ) 1 2 D 0: = a2 / 4 + a1 ;

a cos t 2 sin t e 0,5 a2t sin te 0,5 a2t 2 0,5 a 2 t a1 a sin t e 0,5 a2t cos t + sin t e 0 t 0,5 t 0 1 0 0 t 0 0 1 0 0 0 0 В табл. 2.8 приведены матричные экспоненты для ряда динамических систем второго и третьего порядка.

Для определения e At используется соотношение { } e At = L1 [ pI A]1, (2.87) где L1 оператор обратного преобразования Лапласа;

I – единичная матрица.

2.4. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Основными задачами анализа САУ являются: анализ устойчивости системы;

исследование поведения системы в пе реходном режиме и определение переходных динамических ошибок;

анализ точности системы в установившемся состоя нии.

2.4.1. Устойчивость. Основные понятия Проблема устойчивости играет важнейшую роль для обеспечения работоспособности САУ. В настоящее время су ществует несколько подходов к понятию устойчивости. Наиболее общим и распространенным подходом является рас смотрение устойчивости как категории, относящейся к собственным движениям системы, порождаемыми начальными условиями и внутренними ее свойствами. При этом начальные условия рассматриваются как возмущения, а внутренние свойства системы задаются ее оператором.

Обычно для определения понятий устойчивости используется конечномерное евклидово пространство состояний n R и запись движения системы в виде дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши zi = f i (z1, z 2,..., z n, t ), i = 1, n, (2.88) & или для линейной САУ z = Az(t ), z = (z1, z 2,..., z n )т. (2.89) & В пространстве R n выделяется множество (область) G0 R n начальных состояний z (t0 ) и множество Gк конеч ных состояний (z-движений). Последнее обычно задается в пространстве R n и времени. Элементы Gк могут состоять как из одной точки z (начала координат), так и удовлетворять уравнению процесса вида (2.88). Множество Gк называ ют множеством невозмущенных состояний (невозмущенных движений или процессов), а G0 – "областью притяжения".

Движение, начавшееся при z (t0 ) G0 с течением времени попадает в Gк. Множество невозмущенных движений Gк на зывается асимптотически устойчивым с областью притяжения G0, если всякое движение, начавшееся при z (t0 ) G0, в силу свойств оператора системы с течением времени приходит в сколь угодно малую окрестность Gк.

Система обладает устойчивостью в целом или в большом, если область G0 охватывает все пространство состояний, в котором система может реально находиться. Качественное представление понятий устойчивости "в большом", "в ма лом" и неустойчивости показано на рис. 2.18.

z G Gк z а) z G Gк z б) z G Gк z в) Рис. 2.18. Система, "устойчивая в большом" (а), "устойчивая в малом" (б) и неустойчивая (в) На примере одномерных стационарных линейных систем это означает следующее. Реальное изменение выходного сигнала для таких систем при входном x (t ) и ненулевых начальных условиях определяется выражением t y (t ) = yc (t ) + K (t ) x ( )d = yc (t ) + yв (t );

здесь y c (t ) – свободная составляющая движения;

y в (t ) – вынужденная составляющая, обусловленная входом x (t ) ;

K (t ) – импульсная переходная функция системы. В данном случае за невозмущенное движение принимается y в (t ), а за откло нение или вариацию – y c (t ).

Согласно определению устойчивости по А.М. Ляпунову система асимптотически устойчива, если yc (t ) 0.

При этом заданное невозмущенное движение является устойчивым, если для возмущенного движения yc (t )+ yв (t ), по рождаемого начальными условиями y (t = 0), по истечении некоторого времени будет выполняться условие | yв (t ) y(t ) |, где – некоторая заданная постоянная величина.

Рассмотрим подробнее структуру выходного сигнала y(t ) для простейшей системы с обратной связью, представ ленной на рис. 2.19.



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.