авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

Предисловие

Это пособие предназначено…

Хорошо известно, что…

Имеет огромное теоретическое и практическое значение…

Поскольку не удалось ответить сразу на все

эти вопросы…

Был развит новый подход…

Двадцать пять лет педагогической деятельности…

Поставленной цели мы добились…

Прямым методом…

Будут опубликованы позднее…

Большое количество источников: от дореволюционных до современных…

Улучшение…

Углубление…

Усиление… Знания студентов… Лекции по механике Р.В.Романов 3 Самостоятельная работа… Международная система единиц… Авторы благодарят… авторы PS Все предисловия пишутся об одном и том же, одинаковыми словами и даже, иногда, одним почерком. Поэтому расценивайте данное предисловие как шутку.

Но дальше все будет серьезно.

Тула, осень, Лекции по механике Р.В.Романов Введение в физику 1. Физика как наука def1: Физика, наука изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее движения.

Физика относится к точным наукам и изучает не только качественные, но и количественные закономерности явлений.

Название происходит от греческого (природа). Изначально физика охватывала все области знания о природных явлениях. В дальнейшем же произошло разделение наук, сначала достаточно глубокое: химия, астрономия, но затем стала наблюдаться интеграция: биофизика, химическая физика, астрофизика и т.д.

Законы физики базируются на фактах, установленных экспериментально, и имеют применение опять-таки в экспериментах и реальной жизни. Законы физики представляют собой количественные соотношения и формулируются на языке математики.

Однако при изучении физики принято выделять:

экспериментальную физику – опыты, проводимые для обнаружения новых фактов и проверки известных физических законов;

теоретическую физику - формулировка законов природы и объяснение конкретных явлений, предсказание новых явлений;

вычислительную физику - описание явлений природы и их компьютерное моделирование.

Очевидно, что наилучшие результаты получаются, когда теория, эксперимент и компьютер взаимодействуют друг с другом.

Курс общей физики как учебная дисциплина представляет собой некий симбиоз 3 видов физики.

2. Физическая картина мира Основная задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину реального мира (физическую картину мира), которая наиболее полно отражает свойства действительности. Для этого нам приходится вводить понятия и обозначения, о которых природа не имеет ни малейшего понятия.

В реальном мире связи между явлениями столь многообразны и сложны, что охватить их и описать невозможно не только практически, но принципиально теоретически. Это обусловлено, вообще говоря, неисчерпаемостью материи и нашего знания о ней. Например, при падении камня, он нагревается, меняются его химические свойства, электромагнитные и т.д, а это в свою очередь, влияет на его падение.

Поэтому любой физик вынужден создавать модели, то есть выделять существенные для данного круга явлений свойства и связи, забывая при этом об остальных.

def - определение Лекции по механике Р.В.Романов Очевидно, что любая модель справедлива лишь в определенных границах, за пределами которых она может стать не только неприменимой, но и бессмысленной.

3. Метод физики Основной метод изучения в физике заключается в следующем:

Наблюдение объект модель предсказания эксперимент эксперимент конечный уточнение анализ результат модели результатов применение границы применимости модели Наиболее интересными являются два случая:

предсказания не подтверждаются или опровергаются экспериментом;

новый класс явлений, для которых вообще нет моделей.

Первый случай ведет к уточнению модели или созданию новой теории (СТО, квантовая физика).

Во втором случае появляется новый раздел физики (физика плазмы, физика сверхпроводников и т.д.) Важно отметить, что в обоих случаях речь идет не об опровержении старой модели, а о границах ее применимости и разработке новой модели, охватывающей более широкий класс явлений.

4. Проблемы современной физики Когда собственно зародилась физика сказать трудно. Видимо эти знания существовали в древнем Египте, Греции и т.д.

Однако за тысячелетия еще далеко не все стало известно, и огромное количество вопросов требуют своего освещения, причем этих вопросов становится не меньше, а больше.

К основным направлениям следует отнести:

1. Исследование материи на элементарном уровне:

1.1. Кварки;

1.2. Суперструны;

1.3. Физика вакуума;

1.4. Проблема великого объединения или супергравитация.

2. астрофизика:

2.1. состояние материи внутри черных дыр;

2.2. природа квазаров, радиогалактик, сверхновых, пульсаров;

2.3. нейтринное излучение Солнца;

2.4. эволюция Вселенной в целом.

Лекции по механике Р.В.Романов 3. Физика ядра:

3.1. расчет энергии связи, ядерных сил;

3.2. острова стабильности (114-126);

3.3. УТС (управляемый термоядерный синтез).

4. Квантовая электроника 4.1. повышение мощности лазеров;

4.2. плавная перестройка по частоте;

4.3. рентгеновский лазер;

4.4. лазер на свободных электронах.

5. Физика твердого тела 5.1. высокотемпературная сверхпроводимость(ВТСП);

5.2. сверхвысокие давления;

5.3. сверхнизкие температуры;

6. Физика плазмы 6.1. УТС удержание плазмы;

6.2. устойчивость плазмы;

6.3. неустойчивость плазмы;

6.4. ускорение заряженных частиц.

Таким образом, работы хватит еще многим и многим поколениям физиков: как теоретиков, так и экспериментаторов.

5. Структура физики В соответствии с многообразием исследуемых объектов и форм движения физика разделяется на ряд разделов. Очевидно, что это деление неоднозначно и его можно проводить, используя разные критерии.

1. по объектам:

1.1. элементарные частицы;

1.2. ядро;

1.3. атомы и молекулы;

1.4. газы и жидкости;

1.5. твердое тело;

1.6. плазма и т.д.

2. по формам движения материи:

2.1. механика материальной точки и твердого тела;

2.2. механика сплошных сред и акустика;

2.3. термодинамика;

2.4. статистическая физика;

2.5. электродинамика;

2.6. теория тяготения;

2.7. квантовая механика;

2.8. квантовая теория поля и т.д.

Мы будем придерживаться главным образом последнего деления по формам движения материи, поэтому курс начинается с механики материальной точки и твердого тела.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Введение в механику 1. Механика - как наука def: Механика (греч. - наука о машинах, искусство построения машин) наука о механическом движении материальных тел и взаимодействиях между ними.

def: Механическим движением называется изменение во времени взаимного положения объектов или их частей в пространстве.

В соответствии с характером решаемых задач выделяют:

статику - учение о равновесии тел под действием сил;

кинематику - учение о геометрических свойствах движения тел;

динамику - учение о движении тел под действием сил;

теория колебаний, механика тел переменной массы, теория удара и т.д.

2. Историческая справка Египет – блоки (при строительстве пирамид);

Аристотель - 4 в до н.э. - термин “Механика”;

Архимед - 3 в до н.э. - рычаг, центр тяжести, гидростатика;

Леонардо да Винчи - 15 в - параллелограмм сил, момент силы, вертолет;

С.Стевин (Голландия) 16 в –равновесие тел на наклонной плоскости;

П.Вариньон (Франция) - 17 в – сложение сил, моменты сил;

Л.Пуансо (Франция) - 1804 - пара сил;

Н.Коперник (Польша) - 16 в - гелиоцентрическая система;

И.Кеплер (Германия) - 17 век - законы движения планет;

Г.Галилей (Италия) - свободное падение, маятник, относительность;

Х.Гюйгенс (Голландия) - физический маятник;

И.Ньютон (Англия) - 17 век – аксиомы динамики;

Р.Гук (Англия) - деформации в твердом теле;

Л.Эйлер - 18 в – кинематика твердого тела;

И.Бернулли (Швейцария) – интегральное и дифференциальное исчисление;

Л.Карно – проективная геометрия, равновесие тел;

Ж.Фурье –колебания, Ряды Фурье;

Ж.Лагранж – математическая формализация механики;

Даламбер - обобщенные координаты;

П.Мопертюи - принцип наименьшего действия;

Д.Бернулли – гидродинамика;

Остроградский (Россия) - 19 в – гидродинамика;

К.Якоби – аэростатика;

Г.Герц – колебания и волны;

Н.Е.Жуковский – (20 в) - аэростатика;

Г.Кориолис – сила Кориолиса;

Лекции по механике Р.В.Романов Л.Навье, О.Коши - упругость, вязкость;

Дж Грин, У.Томсон, Дж.Стокс – движение в вязкой среде;

С.Пуассон, А.Сен-Венан, Г.Ламе - пластическое течение материала;

Г.Кирхгоф - отрывное обтекание тел;

Г.Гельмгольц - учение о вихрях;

О.Рейнольдс – турбулентность;

Л.Я.Ляпунов - 20 век - нелинейные колебания;

И.В.Мещерский - переменная масса;

К.Э.Циолковский;

- космонавтика;

Мы останавливаемся на начале ХХ века, так как классическая механика к этому времени практически закончена.

3. Современные проблемы механики теория нелинейных колебаний;

динамика твердого тела;

устойчивость движения;

механика тел переменной массы;

динамика космических полетов;

теория пластичности и ползучести;

турбулентное течение жидкостей и газов;

магнитная гидродинамика и т.д.

4. Пространство и время по Ньютону Механическое движение происходит в пространстве и во времени.

Пространство и время - категории, обозначающие формы существования материи.

Пространство выражает сосуществование объектов, а время - порядок смены явлений.

свойства пространство время метрические протяженность длительность топологические размерность -3 размерность - непрерывность непрерывность связность связность изотропно анизотропно однородно однородно направление порядок Топология пространства и времени интенсивно развивается с 60 годов ХХ века, но пока на уровне гипотез.

5. Границы применимости механики 1. Пространство и время представляют собой особый род бытия, самостоятельные сущности, не зависящие друг от друга, от материальных объектов, от протекающих процессов (например, от масс или скорости).

2. Геометрия пространства - Эвклидова, то есть нулевая кривизна.

Пространство трехмерное, то есть положение точки может быть задано Лекции по механике Р.В.Романов тремя числами (пространство арифметизировано), однородно, изотропно, безгранично. Эксперимент показывает, что геометрия Эвклида справедлива в масштабах от 10-16 до 10+26 м.

3. Время однородно, безгранично, одномерно, анизотропно.

4. Ограничения на скорость vc, где с=299792458 м/c - скорость света в вакууме 5. Ограничения на микроскопичность hS, h=6,62617610-34 Джс (1977) – постоянная Планка – квант действия.

Величину S в физике называют действием.

t S Ldt, t где L=T-П – функция Лагранжа, Т – кинетическая энергия, П – потенциальная энергия.

Как правило, механика, справедлива для всех макроскопических тел, и часто выполнима для микрочастиц, например электрон в ЭЛТ.

6. Ограничения на массивность.

Механика справедлива вдали от очень массивных тел, то есть там, где искривление геодезических линий пространства-времени мало.

rRg – гравитационный радиус M R g 2 2, с =6,672010 Нм/кг гравитационная постоянная. Для Земли Rg=0,9 см, -11 для Солнца гравитационный радиус около 3 км.

7. Системы отсчета.

Очевидно, что основная задача механики - описать механическое движение объекта, то есть указать его положение в пространстве в любой момент времени.

Однако как это сделать? Точки пространства не могут быть пронумерованы вообще (хотя в армии есть “квадрат 34”).

Кроме того, высказывание о точке пространства имеет смысл, когда указано ее положение относительно какого-либо материального объекта (окно находится справа от меня, но слева от вас).

Ясно, что для описания положения точки пространства необходимо указать тело отсчета.

Затем мы можем каждой точке дать “адрес” 3 числа, то есть ввести систему координат. Выбор этих трех чисел - дело соглашения. Наиболее употребительны: декартова, цилиндрическая, Рис.1. сферическая системы координат.

Эти 3 числа - называются координатами точки. Так как движение происходит во времени, необходимо его измерять. Это делается с помощью часов.

Лекции по механике Р.В.Романов def: Часы - периодический процесс, принятый за эталон.

Во всех точках пространства часы должны иметь одинаковый темп хода и быть синхронизированы.

def: Тело отсчета, система координат и часы образуют систему отсчета.

7. Система единиц В мире с 1960 г, а в России с 1982 г принята СИ в которой основными единицами для механики считают для расстояний (длин) - l метр, для времени – 1 секунда.

def: 1 секунда – время равное 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

def: 1 метр – расстояние, которое проходит свет в вакууме за 1/299792458 с.

Дополнительные единицы, которые широко применяются в механике.

def: 1 радиан – единица СИ измерения плоского угла – равная углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.

def: 1 стерадиан – единица СИ измерения телесного (объемного) угла – равная телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

О единице массы мы будем говорить в соответствующем разделе курса.

8. Кратные и дольные приставки наименование обозначение множитель русское международное 10+ экса Э E 10+ пета П P 10+ тера Т T 10+ гига Г G 10+ мега М M 10+ кило к k 10+ гекто г h 10+ дека да da 100= 10- деци д dd 10- санти с c 10- милли м m 10- микро мк 10- нано н n 10- пико п p 10- фемто ф f 10- атто а a Лекции по механике Р.В.Романов КИНЕМАТИКА Лекция № Кинематика точки. Скорость 1. Общие понятия Изучить или описать движение какого-либо реального объекта – это значит указать способ, позволяющий находить положение каждой точки этого объекта в пространстве в любой момент времени относительно выбранной нами системы отсчета.

Однако эта основная задача механики становится весьма сложной из-за сложности реальных объектов. Представьте себе движение автомобиля даже по очень ровной дороге, и вы поймете, что разные его части движутся по разному:

антенна на крыше, точки на ободе колеса, метка на поршне цилиндра двигателя и т.д. Ясно, что описать движение всего автомобиля становится очень сложной задачей. Поэтому начнем описание с чего-то очень простого.

Например, поставим мелом точку где-то на объекте, и будем следить за ее движением. Кроме того, не будем пока задумываться о причинах движения.

Таким образом, начинаем изучение механики с раздела, который называется кинематика точки, т.е. учение о движении точки без указания причины движения.

Существует 3 способа описания (задания) движения точки.

2. Координатный способ Чтобы задать положение точки, нужно указать «адрес» точки пространства, в которой находится наблюдаемая точка объекта, то есть указать 3 координаты точки пространства, в которой находится исследуемая точка, смысл которых ясен из рисунка 2.1.

Т.к. механика – наука о движении, то положение точки, а значит, ее координаты меняются с течением времени, то есть это три функции Рис.2. времени.

x x(t ) y y (t ) кинематические уравнения движения точки.

z z (t ) Эти функции могут быть сколь угодно сложными, но они должны удовлетворять определенным требованиям:

Однозначность – так как точка в данный момент времени может находиться только в одной точке пространства;

Непрерывность – так как точка не может перейти из одного положения в другое скачком, минуя промежуточные состояния;

Лекции по механике Р.В.Романов дважды дифференцируемы, то есть иметь первую и вторую производную, так как у точки должны быть определенные скорость и ускорение.

Эти функции могут быть заданы тремя способами:

Пусть камень падает с аналитический графический табличный некоторой высоты t,с X,м 0,00 0, 1,00 5, x 5t 2 2,00 20, 3,00 45, def: Линия которую описывает точка в пространстве называется траекторией.

Обратите внимание, что в предыдущем примере траектория – прямая линия.

По виду траектории все движения делятся на прямолинейные и криволинейные.

Чтобы получить уравнение траектории, надо из кинематических уравнений исключить время и получить функцию типа f(x,y,z)=0. Например, заданы уравнения Рис.2. x 6t x 3y y 2t 2, z z следовательно, траектория – прямая линия в плоскости YOX.

Еще один пример: Пусть маятник за некоторый промежуток времени переместился из точки А в C, а затем вернулся в точку B. Тогда траектория – это две дуги АВС и СB (см. рис.2.5).

Рис.2. 3. Векторный способ Положение точки в пространстве можно задать радиус-вектором.

def: Радиус-вектор – вектор, проведенный из начала системы отсчета в заданную точку пространства.

r r (t ) – кинематическое уравнение движения точки при векторном способе ее задания.

Рис.2. Лекции по механике Р.В.Романов Векторной функцией скалярного аргумента называется правило, по которому каждому значению аргумента соответствует некоторый вектор.

Если связать с телом отсчета какую-либо систему координат, например декартову, то можно записать r xi yj zk, то есть rx x;

ry y, rz z ;

а модуль радиус-вектора r x2 y2 z Таким образом, одному векторному уравнению соответствует 3 скалярных. В этом очевидное преимущество векторной записи каких-либо уравнений и законов.

4. Естественный способ задания движения В некоторых случаях линия, вдоль которой будет двигаться объект, заранее известна, Например, движение маятника, грузика на проволоке и т.д.

В этом случае можно выбрать какую-либо точку Рис.2. за начало отсчета, выбрать положительное направление обхода траектории с помощью единичного вектора касательной, и задать положение точки одним уравнением S=S(t), где S, взятая со знаком длина дуги траектории, отсчитанная от начала – дуговая координата.

На рисунке координата точки m1 S10, координата точки m2 S20.

5. Перемещение Пусть в момент времени t точка находилась в положении М0 а в момент времени t+t в положении М1 и имеет соответствующие радиусы-векторы.

def: Перемещением точки за какой-то промежуток времени называют изменение ее радиус Рис.2. вектора за данный промежуток времени.

x x0 x r r r0 соответствует y y0 y z z z Таким образом, зная начальное положение точки и ее перемещение, можно найти конечное положение точки.

x x0 x r r0 r и соответственно y y0 y z z z Лекции по механике Р.В.Романов 6. Скорость Как правило, чтобы найти перемещение, надо знать, как быстро точка движется в пространстве.

Величина, характеризующая быстроту изменения положения точки в пространстве, называется скоростью.

def: Средней скоростью за какой-то промежуток времени t называется отношение перемещения за этот интервал времени к данному интервалу времени r V.

t Черта сверху означает усреднение по времени. Рис.2. Однако данная величина не дает детального представления о характере движения. Так, например, если интервал времени разделить на две части, то средние скорости будут разными.

Будем уменьшать интервалы времени. За t r, t1 r1, t 2 r2, t3 r3 и так далее.

r 0. Этот предел и называется При t 0 очевидно, что r 0. Однако t скоростью.

def: Скоростью называется предел отношения перемещения к интервалу времени, за который это перемещение произошло, если данный интервал времени стремится к нулю.

r v lim t 0 t Единица скорости «1 метр в секунду». Размерность [v]=LT-1.

Очевидно, что скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Скорость – это понятие, которое относится к моменту времени. Поэтому иногда эту величину называют мгновенной скоростью. Понятие «средняя скорость»

относится к интервалу времени.

В математике предел такого вида называют производной радиус-вектора по времени. В физике и математике принято бесконечно малое изменение величины обозначать dr в отличии от r - конечное изменение. Тогда dr v r dt Точка сверху означает производную по времени. Напомним, что символ «’»

означает производную по координате.

Лекции по механике Р.В.Романов Легко понять, что dr t dr Vdt r r0 Vdt V dt При координатном способе описания движения V Vx i Vy j Vz k V Vx 2 V y2 Vz dx dy dz vx vy vz dt dt dt t t t x x0 V x dt y y 0 V y dt z z 0 V z dt 0 0 При естественном способе описания движения чуть сложнее.

Исходим из определения r r S r S dS v v lim lim lim lim t 0 t t 0 S t t 0 S t 0 t dt r - единичный вектор касательной.

где t lim S S dS v - проекция вектора скорости на естественную ось.

lim t 0 t dt 7. Путь def: Путь – длина траектории.

Путь-величина всегда неотрицательная и не может убывать.

На рисунке траектория – дуга M0M, перемещение - вектор M 0 M, а путь, это длина дуги M0M.

t t t dr П V dt dt dr Рис.2. dt 0 0 Поэтому иногда говорят, что путь – это сумма длин бесконечно-малых участков траектории.

8. Некоторые замечания о скорости Нужно различать понятия средней скорости и средний модуль скорости.

r П V V - модуль средней скорости - средний модуль скорости.

t dt Разницу между этими понятиями разъясним на примере ниже.

Кроме того, заметим, что бесконечно малые величины в физике понимаются как очень малые, но конечные.

В квантовой механике предел вида r lim t 0 t не существует вообще.

Лекции по механике Р.В.Романов 9. Пример Пусть точка равномерно переместилась из точки А в точку В и вернулась обратно тоже равномерно. Общее время движения Т.

v, 0t T / v 0 Рис.2. v0, T / 2 t T Совершенно очевидно, что изменение радиус-вектора, то есть перемещение, равно нулю. Это также легко доказать математически.

T T /2 T r Vdt V dt V dt V T / 2 V T / 2 0 0 0 0 0 T / Ясно, что средняя скорость равна нулю, и конечно, ее модуль также равен нулю. Но путь не равен нулю T П V dt V0T, П и средний модуль скорости V V0.

t Рис.2. Рис.2. Рис.2. Лекции по механике Р.В.Романов 10. Пример Рассмотрим другой пример. Пусть теперь точка движется неравномерно. Будем считать, что закон ее движения x x0 cos t, T где х0=|A0|=|0B|0. В начальный момент времени точка находилась в положении А, и через время Т оказалась в том же положении. Траектория – отрезок прямой. Путь П=|A0|+|0B|=2х0.

Проекция скорости 2 vx x0 sin t.

T T Средняя скорость за все время опять-таки равна нулю. А средний модуль скорости П 2 x Vx.

t T В точности такой же, как в первом примере.

Обратите внимание на график зависимости пути от времени.

Рис.2. Рис.2. Рис.2. Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Ускорение. Частные случаи движения точки 1. Понятие об ускорении def: Ускорение это физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

v dv a lim v, t 0 t dt Ускорение всегда направлено туда, куда направлено изменение скорости.

Напомним, что скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Единица измерения ускорения- «один метр на секунду в квадрате», обозначение – 1 м/c2, размерность [a]=LT-2.

Очевидно, что при векторном способе описания движения d 2 r a 2 r dt при координатном способе (в декартовой системе координат) d 2x a x x a ax i a y j az k dt d2y a y 2 y dt a ax a y az 2 2 d 2z a z 2 z dt 2. Ускорение при естественном способе описания движения Исходим из определения ускорения d dv d dvt (v t ) vt a dt dt dt dt Выясним, чему равна производная вектора касательной по времени d d dS d v dt dS d dS тогда 2 d dv V a dt dS 3. Некоторые сведения из математики Очевидно, что 1. Возьмем производную по дуговой координате от обеих частей равенства.

d 2 0.

dS d Следовательно, то есть эти два вектора перпендикулярны.

dS Лекции по механике Р.В.Романов d Таким образом, вектор перпендикулярен dS касательной к траектории и направлен по главной нормали к траектории, которая задается единичным вектором нормали n.

Пусть имеется произвольная пространственная траектория. Возьмем на ней точку М0 и по обе стороны еще две точки М1 и М2. Через 3 точки всегда можно провести окружность, причем только одну. Рис.3. Если точки М1 и М2 устремить к М0, то окружность начнет поворачиваться в пространстве и в пределе превратится в соприкасающуюся окружность, которая находится в соприкасающейся плоскости.

Данную предельную окружность называют кругом кривизны. Центр этой окружности всегда находится на нормали к данной кривой в точке М 0, а радиус этой окружности называют радиусом кривизны кривой в данной точке.

В курсе дифференциальной геометрии доказывается что d n dS R обратно пропорционально радиусу кривизны. Векторы и n можно дополнить третьим вектором b [, n ] который получил название «бинормаль», то есть вторая нормаль. Эти три вектора, n и b образуют правую тройку и три взаимно перпендикулярные плоскости:

n - соприкасающаяся n b - нормальная b - спрямляющая Рис.3. Таким образом, каждой точке траектории можно поставить в соответствие три взаимно перпендикулярных вектора, а, следовательно, три оси.

Так мы получаем естественную систему координат.

Если кривая плоская, и может быть задана аналитически y=f(x), то (1 f ' 2 ) R | f ' '| Лекции по механике Р.В.Романов 4. Пример Пусть траектория тела – парабола.

y ax Первая и вторая производные равны соответственно y’=2ax;

y’’=2a тогда радиус кривизны (1 4a 2 x 2 ) R Рис.3. | 2a | В вершине параболы, то есть при х= R | 2a | 5. Пример Пусть теперь точка движется по дуге окружности y a2 x Первая и вторая производные равны соответственно a x y' ' y' a2 x2 (a x ) 2 тогда радиус кривизны x 1 a x a R a Рис.3. (a x ) 2 Результат вполне очевиден.

6. Ускорение при естественном способе описания движения Ускорение при естественном способе задания состоит из 2-x слагаемых.

dV V ) a( n dt R Первое слагаемое – касательное или тангенциальное ускорение.

dV d 2 S a a ( ) ( 2 ) dt dt Оно отвечает за неравномерность движения, то есть за изменение модуля скорости.

Второе слагаемое – нормальное или центростремительное ускорение V2 1 dS an an n n n R dt R Оно отвечает за изменение направления скорости.

Лекции по механике Р.В.Романов Очевидно, что для прямолинейного движения равно нулю нормальное ускорение. Для равномерного движения по окружности равно нулю тангенциальное ускорение.

Модуль ускорения равен a a2 a n Известно, что d n dt Тогда 1 dS V R dt R 7. Дополнение о радиусе кривизны Есть еще одна возможность определения радиуса кривизны, если известна скорость и ускорение.

Из рисунка 3.5 видно, что a n a sin | [a, V ] | an | [a,V ] | aV sin V Зная выражение для нормального ускорения V an, получаем R V3 Рис.3. R | [ a,V ] | Причем, эта формула справедлива в любом случае. Из нее можно получить рассмотренную ранее для плоской траектории.

i jk [a, V ] a x a y 0 (a xV y a yV x )k Vx Vy 2 2 x y (dx) 3 (Vx2 V y2 ) (dy ) 2 2 R | a xV y a yVx | | x y y x | | d x dy d y dx | dy 2 1 dx 1 y' R d 2 x dy d 2 y dx | y' '| dx 2 dx dx dx то есть известная ранее формула.

Лекции по механике Р.В.Романов Рассмотрим некоторые частные случаи движения.

8. Равномерное прямолинейное движение Условием такого движения является V const Начальное условие r (t t0 0) r0. Тогда x xo V x t r r0 Vt y yo V y t z z V t o z Один из вариантов зависимости проекции скорости и координаты от времени показан на рисунке.

9. Движение с постоянным ускорением Условием такого движения является a const Начальные условия V (t t0 0) V0.

r (t t0 0) r Рис.3. Тогда t t V r dV adt и dr Vdt 0 r0 V и, следовательно, axt x xo V0 x t a yt at r r0 V0 t y yo V0 y t 2 azt z z V t o 0z Vx Vox a x t V V0 at V y Voy a x t V V a t z oz z Один из вариантов зависимости проекции ускорения, проекции скорости и координаты от времени показан на рисунке.

Кстати, из любых двух уравнений для координаты и проекции скорости следует V x2 V02x x x 2a x Еще заметим, что исходя из геометрического Рис.3. смысла определенного интеграла, можно Лекции по механике Р.В.Романов говорить, что проекция перемещения, то есть изменение координаты, есть взятая со знаком площадь под графиком зависимости проекции скорости от времени.

10. Движение с постоянным тангенциальным ускорением Если движение происходит по произвольной сложной кривой, но известно, что тангенциальное ускорение постоянно a const То по аналогии с предыдущим пунктом можно записать a t V Vo a t S S 0 Vo t 11. Начальные условия Рассматривая данные примеры, мы убеждаемся в том, что, во-первых, необходимо знать ускорение, с которым движется тело. Оно определяется физическими условиями, о которых будем говорить при изучении динамики.

Во-вторых, также необходимо знать начальные условия, то есть положение и скорость точки в начальный момент времени.

r t t r V0.

V t t Только тогда мы сможем предсказать положение точки в любой момент времени относительно выбранной нами системы координат.

12. Примеры скоростей в науке и технике м/c км/ч воробей Бабочка-бражник 15 черепаха 0, человек 3- лев гепард акула лосось тунец автомобиль 100- Ледокол «Россия» 38, ИЛ-62М Пуля (автомат Калашникова) 1-ая космическая 7. Земля по орбите 30.000 108. Скорость света в вакууме 299.792. Специально не заполнили все клетки в таблице. Вы легко это сделаете сами.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Кинематика абсолютно твердого тела 1. понятие об абсолютно твердом теле (АТТ) Наряду с моделью точки в физике широко используется модель АТТ.

def: Абсолютно твердым называется тело, расстояние между двумя любыми точками которого остается неизменным.

Если взять любые три точки в теле, не лежащие на одной прямой, то с ними можно связать систему координат. Положение любой другой точки относительно этой системы неизменно. Поэтому, чтобы описать Рис.4. движение АТТ, достаточно описать движение всего трех его точек.

2. Понятие о степенях свободы Пусть имеются три точки в абсолютно твердом теле. Их положение задается (описывается) девятью координатами - функциями времени, между которыми есть 3 связи.

( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 d12 const ( x3 x1 ) 2 ( y3 y1 ) 2 ( z3 z1 ) 2 d13 const ( x3 x2 ) 2 ( y3 y2 ) 2 ( z3 z2 ) 2 d 23 const Таким образом, если мы будем знать 6 координат как функций времени, то остальные три найдем из этих соотношений. Следовательно, чтобы полностью описать движение твердого тела необходимо и достаточно знать 6 независимых скалярных функций времени. Рис.4. def: Количество независимых скалярных функций времени, которые полностью описывают движение системы, называется числом степеней свободы.

Очевидно, что одна точка имеет 3 степени свободы (движение вверх-вниз, вправо-влево, вперед-назад). Эти степени свободы часто называют поступательными.

АТТ имеет 6 степеней свободы. К поступательным степеням свободы добавляются еще 3 степени свободы – вращательные, которые описывают вращение вокруг 3 взаимно перпендикулярных, а, следовательно, независимых осей.

Если система состоит из N жестко не связанных точек, то такая система имеет 3N степеней свободы.

Лекции по механике Р.В.Романов 3. Поступательное движение АТТ def: Поступательным называется такое движение АТТ, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе.

Вектор AB const, так как направление его не меняется из-за поступательности движения, а длина не меняется, потому что это АТТ. Тогда rB rA AB Продифференцировав один раз по времени, получаем Рис.4. V A VB 0, то есть скорости всех точек тела одинаковы. Если еще раз взять производную, то становится понятным, что и ускорения одинаковые. Кроме того, форма траектории этих точек одинакова. Таким образом, траектории всех точек АТТ при поступательном движении одинаковы, но смещены в пространстве, а скорости и ускорения одинаковы.

Следовательно, все точки АТТ при поступательном движении движутся одинаково и чтобы описать движение АТТ достаточно знать движение одной (любой) его точки.

4. Вращательное движение вокруг неподвижной оси def: Вращательным движением АТТ вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки АТТ, кроме лежащих на оси вращения, описывают окружности постоянного радиуса в плоскостях, перпендикулярных этой оси и с центрами на ней.

Закрепим две точки тела. Все точки, лежащие на прямой, соединяющей эти две выбранные точки, имеют скорости V=0.

Эта прямая и называется неподвижной осью вращения. Совершенно необязательно, чтобы ось проходила Рис.4. внутри тела.

Лекции по механике Р.В.Романов В итоге получаем, что все точки движутся по заранее известной траектории окружности. Для описания такого движения достаточно применить естественный способ описания движения. Кроме того, так как две точки неподвижны, то осталось только одна степень свободы, следовательно, достаточно ввести одну переменную, чтобы полностью описать такое движение.

d dS S AB R, следовательно V R V dt dt Здесь величину называют углом поворота.

5. Угол поворота def: Угол поворота – линейный угол двухгранного угла, образованного двумя плоскостями, которые пересекаются по прямой, совпадающей с осью вращения.

Одну полуплоскость выбирают произвольно, а вторую проводят через ось и рассматриваемую точку и жестко связывают с ней.

На рисунке:

Q - произвольная неподвижная плоскость;

P - подвижная плоскость, связанная с точкой;

- начальный угол поворота;

- конечный угол поворота.

Очевидно, что если углу приписать знак, то он вместе с радиусом однозначно будет определять положение точки в любой момент времени. Положительное направление обычно определяют правилом правого винта.

Угол поворота измеряется в радианах. Обозначение – «1 рад»

Рис.4. Если тело совершило N полных оборотов то 2N.

6. Угловая скорость Введем естественные орты, n и b. Очевидно, что =[ n, b ] Тогда d d d d R [n, b ] [ Rn, b ] [ b, Rn ] V R dt dt dt dt Ясно, что R Rn - по сути дела радиус-вектор.

Первый вектор получил название – «угловая скорость»

d Рис.4. b.

dt Лекции по механике Р.В.Романов Вектор угловой скорости не имеет точки приложения, поэтому его можно рисовать в любом месте. Кроме того, заметим, что это псевдовектор, направленный вдоль оси вращения, которой приписывают направление, связанное с вращением тела по правилу правого винта. Поэтому его, обычно, показывают вдоль оси вращения.

Ясно, что линейная скорость и угловая скорость связаны между собой V [, R] Если взять любую другую точку на оси вращения и связать с ней начало координат, то V [, R] [, (r 00')] [, r ] [, 00'] Второе слагаемое всегда равно нулю, так как эти векторы сонаправленны. Тогда V [, r ] Достаточно часто ось вращения называют осью OZ. Рис.4. Тогда d z dt проекция угловой скорости на эту ось.

Напомним, что модуль векторного произведения V r sin R Если тело вращается равномерно, то 2N 2, t t где - частота вращения, то есть число оборотов за единицу времени.

в этом случае - циклическая частота вращения. Вводят также понятие периода Т – времени одного оборота.

1 T 7. Единицы измерения Очевидно, что период измеряется в секундах, частота в с-1.

def: 1 радиан в секунду – единица измерения угловой скорости в СИ, равная такой скорости равномерного вращения вокруг неподвижной оси, при которой за 1 секунду тело поворачивается на 1 радиан.

Обозначение – «1 рад/с», размерность []=T- 8. Угловое ускорение Из определения ускорения следует d dV d dr [, r ] [, r ] [, ] [, r ] [,V ] a dt dt dt dt Видим, что ускорение состоит из двух слагаемых. Как и раньше назовем их касательным и нормальным ускорением.

Лекции по механике Р.В.Романов Величину d d 2b dt dt называют угловым ускорением. Оно отвечает за быстроту изменения угловой скорости. Измеряется в «радианах на секунду в квадрате». Обозначение рад единицы [ ] 1 2. Размерность []=T-2.

с 9. Связи между линейными и угловыми величинами a [, r ] a R an [,V ] [,[, r ]] (, r ) r (, ) an 2 R V an R V R Кроме того a a2 an 2 R 2 4 R 2 R 2 Рис.4. a R ( z ) 2 a tg 2 z an Так как угол не зависит от радиуса, то при вращении вокруг оси все точки, лежащие на одном радиусе, имеют одинаково направленное ускорение, хотя и разное по модулю.

10. Движение с постоянным угловым ускорением const Рис.4. По аналогии с движением с постоянным линейным ускорением можно сразу записать z oz z t zt 0 oz t Это кинематическое уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Относительность движения 1. Общие понятия Часто требуется описать движение в некоторой заданной системе отсчета, хотя в другой системе отсчета это же движение выглядит более просто.

Например, требуется описать движение точки на ободе колеса относительно наблюдателя, стоящего на обочине шоссе, тогда как, очевидно, что движение этой точки относительно оси колеса гораздо проще.

Таким образом, необходимо знать правила, по которым, зная движение в одной системе отсчета, можно формально описать движение в заданной системе отсчета. То есть, как от величин, измеренных в одной системе отсчета, перейти к величинам, которые можно измерить в другой системе.

Пусть имеются две системы отсчета.

Рис.5. Условно будем считать, что нештрихованная система отсчета – неподвижная, а штрихованная - подвижная.

def: Абсолютными называются все величины, измеренные наблюдателем, находящимся в неподвижной системе отсчета.

def: Относительными называются все величины, измеренные наблюдателем, находящимся в подвижной системе отсчета, с помощью тех же операций, что и в неподвижной системе.

def: Все величины, относящиеся к той точке подвижного пространства, в которой находится исследуемая точка, называются переносными.

2. Теорема сложения скоростей Из геометрии очевидно, что r r 'OO' Возьмем производную от обеих частей равенства.

dr dr ' d oo' dt dt dt В левой части равенства – абсолютная скорость.

Рис.5. dr Vабс dt Второе слагаемое в правой части – скорости тела отсчета подвижной системы координат относительно неподвижной Лекции по механике Р.В.Романов d oo' Vo ' dt Сложнее с первым слагаемым. Если записать, что r ' r ' er ', то der ' dr ' dr ' Vотн r '[, er ' ] Vотн [, r ' ] er ' r ' dt dt dt Таким образом, получаем, что Vабс Vотн Vпер, где Vпер Vo ' [, r ' ] скорость точки подвижного пространства, в которой находится исследуемая точка, относительно неподвижной системы отсчета. Если подвижная система отсчета не вращается, то это просто скорость ее начала отсчета.

Таким образом, можно сформулировать закон LEX2: Абсолютная скорость точки равна сумме относительной и переносной скоростей.

Vабс Vотн Vпер, Нелишне будет напомнить, что скорость – Рис.5. векторная величина, поэтому скорости складываются геометрически.

3. Теорема сложения ускорений Для нахождения ускорения возьмем еще раз производную от закона сложения скоростей.

Vабс Vотн Vo ' [, r ' ] d d d d d Vабс Vотн Vo ' [, r ' ] [, r ' ] dt dt dt dt dt Первое слагаемое в правой части по аналогии с предыдущей теоремой d Vотн aотн [,Vотн ] dt второй сомножитель в последнем слагаемом тоже известен. Тогда aабс aотн [,Vотн ] ao' [, r ' ] [,Vотн ] [,[, r ' ]] Обозначим aпер ao ' [, r ' ] [,[, r ' ]] - переносное ускорение ak 2[,Vотн ] - ускорение Кориолиса LEX (лат) – закон. “lex non scripta” - неписаный закон.

Кориолис Густав Гаспар (1792-1843) – французский физик и инженер. Показал (1829), что при сложном движении точки, когда движущаяся система отсчета перемещается не поступательно, возникает дополнительное ускорение, которое вызывается силой инерции, обусловленной влиянием вращения движущейся системы отсчета на относительное движение.

Лекции по механике Р.В.Романов Тогда можно сформулировать закон (или теорему) сложения ускорений LEX: Абсолютное ускорение равно сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

aабс aотн aпер ak 4. Принцип относительности Любая система отсчета обладает собственной системой координат и часам и возникает вопрос, как эти системы координат и часы связаны между собой. Иначе говоря, как связаны между собой пространство и время в различных системах координат.

Оставаясь в рамках классической механики, упростим задачу, то есть будем рассматривать только такие системы отсчета, одна из которых движется по отношению к другой поступательно и с постоянной скоростью. Такие системы позже будут названы инерциальными.

Кроме того, очевидно, что пространственным поворотом движущейся системы координат и смещением начала отсчета можно добиться того, что оси OX и O’X’ совпадут.

Существует принцип относительности Галилея, который гласит:

LEX: Во всех инерциальных системах отсчета все механические явления протекают одинаково.

Это постулат! Его невозможно доказать экспериментально, так как, во-первых, любой эксперимент имеет определенную степень точности и, во-вторых, не все физические явления известны.

В дальнейшем этот постулат будет распространен на другие разделы физики.

Принцип относительности Галилея утверждает полное равноправие всех инерциальных систем отсчета. Но это не означает, что одно и то же движение выглядит одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Конечно, нет.

Движение тела, свалившегося с полки равномерно движущегося вагона, является прямолинейным, если его рассматривать относительно вагона. Но то же движение происходит по параболе в системе отсчета, связанной с полотном железной дороги, хотя законы механики Ньютона одинаковы в обеих системах отсчета.

Движение выглядит по-разному потому, что законы Ньютона выражаются дифференциальными уравнениями, а таких уравнений недостаточно, чтобы полностью определить движение. Для этого к дифференциальным уравнениям надо присоединить начальные условия — задать начальное положение тела и его начальную скорость. В приведенном примере дифференциальные уравнения движения тела одни и те же в обеих системах отсчета, однако начальные условия разные. В вагоне тело падает с полки с начальной скоростью, равной нулю. В системе отсчета, связанной с полотном железной дороги, то же тело имеет начальную скорость в горизонтальном направлении, равную скорости поезда. Этим и объясняется различный характер движения в обеих системах отсчета. Для того чтобы Лекции по механике Р.В.Романов движение получилось одинаковым, надо в обеих системах отсчета создать одинаковые начальные условия.

5. Преобразования Галилея LEX: Преобразования Галилея утверждают, что между координатами и временем в разных инерциальных системах отсчета существует связь, такая же, как если бы они в данный момент находились в покое друг относительно друга.

То есть, физические преобразования в классической механике сводятся к геометрическим преобразованиям, очевидным из рисунка.

x x'Vt x' x Vt y y' y' y z z' z' z t t' t' t Рис.5. Несмотря на кажущуюся очевидность, эти преобразования верны не всегда.

Релятивистская физика преобразования Галилея заменила преобразованиями Лоренца. Этот вопрос будет подробно рассмотрен при изложении теории относительности. Здесь достаточно отметить, что преобразования Галилея являются предельным случаем преобразований Лоренца и получаются из последних, когда скорость пренебрежимо мала по сравнению со скоростью света в вакууме.

6. Инварианты При преобразовании системы координат различные физические величины, вообще говоря, изменяют свое численное значение. Повторим еще раз, что величины не изменяют свои объективные значения, а лишь числа, которыми они выражаются в данной системе отсчета.

def: Величины, которые не изменяют своего численного значения при переходе в некотором преобразовании, называются инвариантами этих преобразований.

Так для преобразований Галилея систем отсчета:

координата – не инвариант, длина – инвариант, время – инвариант, скорость – не инвариант, ускорение – инвариант.

Лекции по механике Р.В.Романов ДИНАМИКА Лекция № Основные понятия динамики. Закон инерции …Новейшие авторы… стараются подчинить явления природы законам математики.

(И.Ньютон) 1. Историческая справка def: Динамика – раздел механики, изучающий движение с указанием причин его.

Законы динамики в той или иной степени были известны достаточно давно. Однако впервые их обобщил и построил целостную картину механики сэр И. Ньютон4 в одном из своих трудов, который называется «Математические начала натуральной философии» в 1687г. Этот труд (латинское название “Principia5”) состоит из трех книг: «О движении тел» - 2 книги и «О системе мира». Законы, сформулированные Ньютоном, являются обобщением экспериментальных фактов, однако они не могут быть доказаны экспериментально и теоретически, поэтому их называют постулатами или аксиомами. Однако все следствия из них могут быть проверены экспериментально и блестяще показывают правоту Ньютона.

2. Материальная точка В кинематике изучалось по сути дела движение метки на реальном объекте. Если же речь идет о причинах движения, то необходимо изучать движение тела целиком. Однако ясно, что описать движение реального тела достаточно сложно. Даже одно и то же тело, в зависимости от формы, может двигаться по-разному (лист бумаги).

НЬЮТОН (Newton) Исаак (1643-1727) - английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, член (1672) и президент (с 1703) Лондонского королевского общества. Фундаментальные труды "Математические начала натуральной философии" (1687) и "Оптика" (1704). Разработал (независимо от Г. Лейбница) дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, хроматическую аберрацию, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света, высказал гипотезу, сочетавшую корпускулярные и волновые представления. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, дал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. Пространство и время считал абсолютными. Работы Ньютона намного опередили общий научный уровень его времени, были малопонятны современникам. Был директором Монетного двора, наладил монетное дело в Англии. Известный алхимик, Ньютон занимался хронологией древних царств. Теологические труды посвятил толкованию библейских пророчеств (большей частью не опубликованы).

Существует русский перевод под ред. академика А.Н.Крылова (1863-1945). Кстати, законы Ньютона мы знаем именно в его переводе.

Лекции по механике Р.В.Романов Поэтому необходим выбор модели. Одной из таких моделей является материальная точка.

def: Материальной точкой называется геометрическая точка, которой приписана масса.

Можно сказать проще и понятнее.

def: Моделью материальной точки называется объект (тело), размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Конечно, материальных точек, как и любых других моделей в природе не существует, но тот или иной объект можно приближенно считать материальной точкой в зависимости от вопроса, поставленного в задаче.

Например: если речь идет о дальности полета пули, то материальная точка является достаточно хорошей моделью, если речь идет о движении в воздухе. Однако, если стрелять в вязкой среде (вода), форма и размер пули играют существенную роль. Также важны параметры пули, если спрашивается, на сколько пуля сместилась в сторону из-за своего вращения. Вместе с тем, если поезд тормозит на прямолинейном участке, и спрашивается, как быстро это произойдет, то поезд вполне можно заменить материальной точкой.

3. Материальное тело Для описания движения реального тела можно в принципе поступать следующим образом:

мысленно нужно разбить тело на большое количество частей;

считать каждую часть материальной точкой;

описать движение каждой точки;

выполнить предельный переход к бесконечному Рис.6. количеству частей тела;

Тем самым в принципе можно узнать движение всего тела.

В математике подобные операции называются интегрированием.

Заметим, что в этом случае объем каждой части тела стремится к математически бесконечно малой величине, что с точки зрения физики недопустимо, так как любое вещество состоит из атомов, молекул, элементарных частиц, то есть имеет дискретную структуру. Поэтому вводят понятие «физически бесконечно малого объема», который отличается от математически бесконечно малого. Следовательно, этот объем должен быть намного меньше объема тела, но намного больше объема атома.

VатомаdVфизическийVтела Размер атома известен, поэтому оценочно можно считать, что Vатома10-27 м3.

Как видим, это ограничение не слишком сильное.

Ясно, что и в этом случае мы используем модель, заменяя реальное тело, идеальным телом с непрерывным распределением масс.


Лекции по механике Р.В.Романов 4. Первый закон Ньютона (закон инерции) Первый закон Ньютона был сформулирован еще Галилеем6.

LEX: Материальная точка, не подверженная внешним воздействиям, сохраняет состояние покоя или движется равномерно и прямолинейно.

Такое движение называется движением по инерции.

На первый взгляд закон кажется очевидным, однако заметим, что он недоказуем экспериментально. Если мы можем избавиться от контактных воздействий (подставки, веревки, трение), то избавиться от силовых полей (гравитационного, электромагнитного) достаточно сложно.

5. Инерциальные системы отсчета (ИСО) Естественно, что если в одной системе отсчета движение выглядит равномерным и прямолинейным, то в другой системе отсчета это движение может выглядеть достаточно сложно. С точки зрения кинематики все системы отсчета абсолютно равноправны.

Однако с точки зрения динамики это не так, и есть избранный класс систем, которые называются инерциальными.

def: Инерциальной называется такая система отсчета, в которой справедлив закон инерции.

Легко понять, что это тоже физическая абстракция, так как любая система движется, видимо, с ненулевым ускорением.

Здесь же заметим, что если бы удалось найти хотя бы одну ИСО, то тем самым мы нашли бы их бесконечное множество, потому что любая система движущаяся равномерно и прямолинейно относительно избранной, тоже инерциальная.

Рассмотрим несколько наиболее распространенных примеров.

Часто считают ИСО какую-либо систему отсчета, связанную с телом на поверхности земли. Очевидно, что эта система движется с ускорением, так как Земля вращается вокруг своей оси. Радиус Рис.6. Земли около 6400 км, период обращения ГАЛИЛЕЙ (Galilei) Галилео (1564-1642) - итальянский ученый, один из основателей точного естествознания. Боролся против схоластики, считал основой познания опыт.

Заложил основы современной механики: выдвинул идею об относительности движения, установил законы инерции, свободного падения и движения тел по наклонной плоскости, сложения движений;

открыл изохронность колебаний маятника;

первым исследовал прочность балок. Построил телескоп с 32-кратным увеличением и открыл горы на Луне, спутника Юпитера, фазы у Венеры, пятна на Солнце. Активно защищал гелиоцентрическую систему мира, за что был подвергнут суду инквизиции (1633), вынудившей его отречься от учения Н. Коперника. До конца жизни Галилей считался "узником инквизиции" и принужден был жить на своей вилле Арчетри близ Флоренции. В 1992 папа Иоанн Павел II объявил решение суда инквизиции ошибочным и реабилитировал Галилея.

Лекции по механике Р.В.Романов около 24 часов. Тогда на широте Москвы (600) любой предмет, лежащий на поверхности, движется с нормальным ускорением 4 2 4 2 6,4 10 6 0,5 м a n R R3 cos 2 R3 cos 1,7 10 2 2 с T (86400) то есть приблизительно равно 2,0 см/с. Если в задаче идет речь о существенно больших ускорениях, то такую систему с большой степенью достоверности можно считать инерциальной.

Система отсчета, связанная с центром Земли также не инерциальна, так как Земля вращается вокруг Солнца примерно по круговой орбите с радиусом 150.000.000 км=1,51011 м и совершает оборот за 1 год=3,15107 с. Тогда ускорение такой системы отсчета около 6 мм/с2.

В космонавтике часто используется система отсчета, связанная с Солнцем. Однако Солнце также движется вокруг центра Галактики к точке в созвездии Льва, которая называется апексом, со скоростью (определенной по допплеровскому смещению) 3105 м/с по радиусу около 31020 м.

Следовательно, эта система отсчета тоже не инерциальна, так как ее ускорение примерно 10-10 м/с2.

Таким образом, строго инерциальными эти системы быть не могут, однако их можно считать приблизительно инерциальными, и использовать подходящую, так как любой эксперимент имеет ограниченную точность.

В 1964 г. было открыто «реликтовое излучение» – часть электромагнитного космического излучения, соответствующего излучению абсолютно черного тела с температурой 3 К, которое однородно и изотропно распределено по небесной сфере. Это излучение отделилось от вещества на ранней стадии развития Вселенной и существует независимо от вещества.

Обнаружено американскими учеными А.Пензиасом7 и Р.Уилсоном. Возможно, что его можно считать своеобразной, выделенной во Вселенной ИСО.

Относительно его и была измерена скорость Солнца. Современные данные показывают, что эта скорость 39060 км/с.

6. Понятие массы Из экспериментов известно, что изменить скорость тела можно только, если подействовать на него другим телом.

def: Способность тела откликаться определенным ускорением на внешнее воздействие называется инертностью.

def: Явление сохранения постоянной скорости телом при отсутствии внешнего воздействие называется инерцией.

Разница между этими понятиями трудноуловима и, наверное, не принципиальна, поэтому их часто не различают.

ПЕНЗИАС (Penzias) Арно Аллан (р. 1933) - американский радиофизик и астрофизик.

Нобелевская премия (1978, совместно с Р. В. Вильсоном) - за открытие в микроволнового фонового излучения (реликтового излучения).

Лекции по механике Р.В.Романов Отклик тела на внешнее воздействие можно измерить, поэтому можно ввести физическую величину, характеризующую инертные свойства тела – массу.

def: Инертной массой называется физическая величина, характеризующая динамические (инертные) свойства тела.

Коротко говорят, что масса – мера инертности. Единица массы в СИ 1 килограмм. Размерность - [m]=М. Допускаются внесистемные единицы – грамм, тонна.

Вопрос о природе массы остается открытым. Каким-то образом она связана с силовыми (полевыми) взаимодействиями.

7. Измерение массы Нужно указать принципиальный способ измерение массы.

Рассмотрим систему материальных объектов, которые взаимодействует между собой, не испытывая влияния сторонних объектов. Такую систему называют изолированной или замкнутой.

Пусть система состоит из двух материальных точек, которые в результате взаимодействия изменили свои скорости. Опыт показывает, что эти изменения имеют разные направления и зависят только от свойств тел.

v | const | v Операция деления на вектор в математике не определена, поэтому вышеприведенное равенство следует понимать в смысле v1 | const | v Для двух других тел это отношение будет другим, но тоже постоянным, следовательно, оно выражает свойство самих тел, и мы можем каждому телу приписать 2 числа (положительные) таким образом:

m | const | m Если массу одного тела принять за единицу, как это сделано в СИ, то по сути дела мы указали принципиальный способ измерения массы любого тела v m2 m v Реально массу измеряют с помощью весов, хотя на самом деле измеряется не масса, а вес.

8. Единица массы def: 1 килограмм – единица СИ массы, равная массе международного прототипа килограмма, который представляет собой платиново иридиевый (90% платины Pt и 10% Ir) цилиндр высотой и диаметром 39,17 миллиметров.

Государственный эталон массы России дает точность 210-9 кг. Легко подсчитать, зная плотности платины 21450 кг/м3 и иридия 22400 кг/м3, что Лекции по механике Р.В.Романов плотность этого сплава 21545 кг/м3. Объем цилиндра рассчитывается достаточно легко D 2 H 4,6589032 10 5 м V И можно рассчитать массу данного цилиндра m=1,003 кг. Попробуйте объяснить, почему такая плохая точность получилась при наших расчетах.

Рис.6.3 Рис.6. Современный эталон килограмма в Международном бюро мер и весов в Севре (Франция) с защитой и без.

9. Импульс Из способа измерения массы следует, что m2 v2 m1v1 m2 (v2 v20 ) m1 (v1 v10 ) def: Импульсом (устаревшее – количество движения) материальной точки называется произведение ее массы на ее скорость.

p mv Тогда очевидно, что p2 p20 ( p1 p10 ) p2 p1 p20 p ( p2 p1 ) ( p20 p10 ) Сумма импульсов двух материальных точек есть импульс системы двух материальных точек.

Тогда из определения массы мы получили закон сохранения импульса.

Лекции по механике Р.В.Романов LEX: Импульс изолированной системы, состоящей из двух материальных точек – есть величина постоянная.

( p1 p2 ) У импульса нет собственного наименования величины, поэтому он измеряется в «килограммах-метрах на секунду». Обозначение 1 кгм/с, размерность [p]=1 LMT-1.

10. Сила Еще раз напомним, что изменить скорость материальной точки может только внешнее воздействие, следовательно, и импульс материальной точки может изменить тоже только внешнее воздействие. Причем за изменение импульса отвечает некая функция координат, скоростей и времени. Эта функция есть мера взаимодействия тел. Ее и назвали силой.

dp F (r, v, t ) dt def: Мера механического взаимодействия двух материальных точек называется силой.

Взаимодействие может быть контактным (непосредственным), а также передаваться через поля.

Напомним, что сила величина векторная, она имеет направление, численное значение, складывается по правилу параллелограмма и имеет точку приложения.

Рис.6. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы. Если речь идет об абсолютно твердом теле, то точку приложения можно переносить вдоль линии действия силы.

Легко понять из однородности и изотропности пространства, что это должна быть функция не каких-либо абсолютных координат и абсолютных скоростей, а функция относительных расстояний и относительных скоростей.

Следует заметить, что в природе неизвестны силы, явно зависящие от времени.

11. Измерение сил Для измерения сил существуют два основных метода: статический и динамический.

При статическом методе измеряемая сила уравновешивается другой силой, заранее известной. Это всем знакомое взвешивание, когда неизвестная сила уравновешивается, например, силой упругости.

Динамический метод основан на измерении масс и скоростей и расчете по определяющей формуле.

d (mv ) F dt 12. Единица измерения силы Рис.6. В СИ сила измеряется в ньютонах.


def: 1 Н – единица СИ силы, равная такой силе, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/c2.

Размерность [F]=LMT-2.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Основные законы динамики 1. Второй закон Ньютона - основной закон динамики В классической механике считается, что масса материальной точки есть величина постоянная, поэтому dv F m dt или a F m LEX: В ИСО ускорение материальной точки пропорционально силе, действующей на нее, направлено в сторону действия силы и обратно пропорционально массе.

Здесь же можно отметить, что нам неизвестны независимые способы определения силы, массы и ускорения.

«Истинное содержание законов Ньютона таково: предполагается, что сила обладает независимыми свойствами в дополнение к закону F ma, но характерные независимые свойства сил не описал полностью ни Ньютон, ни кто-либо еще» (Р.Фейнман, т.1, стр.209-210).

2. Основные задачи динамики К одной из задач механики относится определение сил по известному движению. Эта задача решается просто – дифференцированием.

Другая задача - по известным силам описать движение, то есть решить дифференциальное уравнение d 2r dr m 2 F (r,, t ) dt dt Ясно, что эта задача сводится к интегрированию. В идеальном случае удается получить зависимость радиус–вектора от времени и двух констант r r (t, C1, C2 ) Часто такое интегрирование выполнить не удается, поэтому ограничиваются получением функции типа:

(r, v, t, C1, C2 ) 0, которая называется первым интегралом. Константы определяются из начальных условий (вспомните, что мы это отмечали раньше) r t t r dr v t t v0.

dt t t Возможны и смешанные задачи, когда известны часть характеристик движения и часть сил. Например, известна заранее траектория. Говорят, что на систему Лекции по механике Р.В.Романов наложены связи. Действие связей приводит к появлению сил реакции связей.

Задача сводится не только к нахождению движения, но и определению связей.

3. Принцип суперпозиции Достаточно редко складывается ситуация, когда тело взаимодействует только с одним другим телом. Чаще всего на тело действует значительное количество других тел. Возникает вопрос, как в этом случае описать движение тела. Ответ дает принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил. Он не может быть получен из каких–либо других физических законов и является обобщением экспериментальных фактов.

Lex: Ускорение материальной точки, приобретаемое под действием нескольких сил, приложенных одновременно, равно сумме ускорений, сообщаемых каждой силой в отдельности:

n n Fi a a1 a 2 a n ai i 1 m i 1n a Fi Рис.7. m i В таком виде данный закон и используется при решении абсолютного большинства задач. Часто сумму сил называют равнодействующей и дают ей специальное обозначение, хотя в этом нет никакой необходимости.

4. Третий закон Ньютона или закон действия и противодействия Подчеркнем, что первый и второй законы Ньютона относится к одной материальной точке. Третий закон относится уже к взаимодействию двух материальных точек.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Для нее выполняется закон сохранения импульса p1 p2 const Возьмем производную по времени от обеих частей равенства dp1 dp dt dt Рис.7. Первое слагаемое – это сила, действующая на первую точку со стороны второй, второе слагаемое – это сила, действующая на вторую точку со стороны первой.

F12 F21 Очевидно, что эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Кроме того, следует учесть экспериментальный факт, что эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Лекции по механике Р.В.Романов LEX: Силы взаимодействия между двумя материальными точками равны по модулю, противоположны по направлению и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки.

F12 F21 [r12, F12 ] Следует напомнить, что эти силы приложены к разным материальным точкам, и поэтому они не могут уравновешивать друг друга.

5. О нарушениях третьего закона Ньютона В классической механике третий закон Ньютона справедлив всегда. В других разделах физики это может быть и не так.

Пусть 2 точечных разноименных заряда движутся, как показано на рисунке со скоростями v1 и v 2. Они, конечно, притягиваются по закону Кулона с силами F12 и F21. Эти силы подчиняются третьему закону Ньютона.

Кроме того, каждый из зарядов создает свое магнитное поле с индукцией B1 и B2, которое действует на другой заряд с силой Лоренца Рис.7. Fl q[v, B].

Легко видеть, что со стороны второго на первый действует магнитная сила F12m.

Первый заряд, в той точке, где находится второй заряд, поля не создает, значит, и сила равна нулю. Следовательно, для такой системы третий закон Ньютона не справедлив.

Третий закон Ньютона, вообще говоря, не выполняется, когда взаимодействие распространяется пусть с большой, но конечной скоростью.

Можно говорить, что при малых скоростях сила Лоренца намного меньше силы Кулона и тогда третий закон Ньютона практически справедлив.

Можно сделать общий вывод о том, что третий закон Ньютона справедлив всегда при контактном взаимодействии тел и при бесконечно большой скорости распространения взаимодействия.

Лекции по механике Р.В.Романов 6. Частные случаи интегрирования динамических уравнений движения.

Решаем уравнения dv dr d 2r dr v m 2 m F (r,, t ) dt dt dt dt при начальных условиях dr v t t v0.

r t t r dt t t а) Постоянная сила.

F const F t F dv F const v vo t r r0 vo t m m dt m Получаем хорошо знакомые уравнения для описания движения с постоянным ускорением.

б) Сила зависит только от скорости.

F F (v ) v dv dv t m, dt F (v ) m v0 F (v ) то есть, получаем зависимость времени от скорости или первый интеграл. Если удается эту функцию обернуть, то есть получить зависимость скорости от времени, то дальше все очевидно. Если не удается, то поступают следующим образом.

Исходное уравнение умножают на v dt dr. Получаем mv dv F (v )dr. Тогда v vdv v dv r r0 m dr, F (v ) F (v ) m v то есть задавая значение скорости, получаем таблицу значений времени и радиуса-вектора. Таким образом, задача решена. Так поступают, например, для сил вязкого трения, которые явно зависят от скорости.

в) Сила зависит только от координат.

F F (r ) Исходное уравнение умножают на v dt dr. Получаем mv dv F (r )dr. Тогда v 2 v0 2 r F (r )dr m 2 2 r - то есть первый интеграл. Можно выразить модуль скорости 2 2 r v v0 F (r )dr m r Дальше достаточно очевидно.

Лекции по механике Р.В.Романов г) Сила имеет волновой характер зависимости от времени и координат Fx A cos( t kx) вводим новую переменную t kx. Тогда d d d 2x dx k k и dt 2 dt dt dt Вместо уравнения d 2x m 2 Fx A cos( t kx) dt имеем m d 2 d 2 kA A cos A cos ( ) 2 k dt m dt то есть задача сводится к случаю в).

д) Сила явно зависит от времени Хотя таких сил в природе и не известно, рассмотрим как должна решаться такая задача, потому что в принципе, такие силы возможно задать в технике.

t t t v v0 F (t )dt r r0 v0t dt F (t )dt m0 m Вспомним, что определенный интеграл вычисляется по «немым» буквам. Тогда t t t d F ( )d | по частям | F ( )d F ( )d 0 0 0 t t t t t F ( )d F ( )d t F ( )d F ( )d (t ) F ( )d 0 0 0 0 Окончательно имеем t r r0 v0t (t ) F ( )d m Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Силы в природе и в механике.

1. Основные типы взаимодействий Вспомните, какое огромное количество разнообразных сил вы знаете:

силы трения, упругости, Архимеда, мускульная сила человека и т.д.

Однако на самом деле они не такие уж разнообразные и в их основе лежат всего 4 типа взаимодействий. Они описывают все известные процессы, поэтому их называют основными или фундаментальными.

механизм Тип Интенсив Радиус Где обмена время* взаимо- ность действия проявляются (частица (с) действия (в отн. ед.) (м) поля) внутри 10-15 10- Сильное глюоны ~ атомных ядер Электро- Заряженные 10- фотоны ~1/ магнитное частицы для всех элементарных Промежуточ частиц кроме 10- - ные фотонов 10-18 10- Слабое (векторные) или - 10- бозоны W+ W- Z превращения Гравитацион Гравитоны 10- для всех тел ?

ное (?) Примечания к таблице:

- это минимальное время жизни частиц, подверженных распаду за счет данного взаимодействия.

Для частиц - резонансов (их распад описывается сильным взаимодействием) время жизни 10-23 с.

для 0-мезона (его распад описывается электромагнитным - взаимодействием) время жизни 10 с.

Глюоны – гипотетические (?) частицы, электрически нейтральные, переносят взаимодействие между кварками.

Сильное взаимодействие обеспечивает связь протонов и нейтронов в ядрах.

Электромагнитное взаимодействие для всех заряженных частиц, кроме фотона, нейтрино и антинейтрино.

Слабое взаимодействие отвечает за взаимодействие частиц, происходящее с участием нейтрино и антинейтрино:

-распад, -распад, а также безнейтринные процессы распада.

Естественно, что предпринимались и продолжают предприниматься попытки объединить все виды взаимодействий и создать единую теорию поля.

Лекции по механике Р.В.Романов В 1979 С. Вайнберг8, Ш.Глешоу и А.Салам (США) получили Нобелевскую премию за создание теория электрослабого взаимодействия, то есть объединили 2 или 3 взаимодействия из таблицы.

Продолжаются попытки объяснить единым образом электрослабое взаимодействие и квантовую хромодинамику (сильные взаимодействия) – так называемое «великое объединение».

Наконец уже придумано название для единой теории всех четырех взаимодействий – «Супергравитация» или «Суперсиметрия». Однако эта теория еще очень и очень далека от завершения.

«Здесь скрыты столь глубокие тайны и столь возвышенные мысли, что несмотря на старания сотен остроумнейших мыслителей, трудившихся в течение тысяч лет, еще не удалось проникнуть в них, и радость творческих исканий и открытий еще продолжает существовать» (Г.Галилей).

Эти типы взаимодействий особенно отчетливо проявляются и различаются в микромире, а в макроскопических масштабах мы имеем дело с внешними или макроскопическими проявлениями этих взаимодействий.

2. Гравитационные силы Гравитационные силы – это силы, подчиняющиеся закону всемирного тяготения, открытого И.Ньютоном в 1687 г. Силы действуют между любыми телами, имеющими массу.

LEX: Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Рис.8. m1 m2 r F12 r12 r Гравитационные силы – самые универсальные, но и самые малопонятные силы в природе. Они действуют на любых (?) расстояниях, для всех (?) тел, их нельзя (?) экранировать.

У закона всемирного тяготения есть важное следствие, которое можно доказать путем интегрирования. Здесь мы этого делать не будем.

LEX: Два однородных шара притягиваются между собой так, как если бы их массы были сосредоточены в центрах этих шаров.

Очевидно, что по третьему закону Ньютона Рис.8. F12 F ВАЙНБЕРГ (Уэйнберг) (Weinberg) Стивен (р. 1933) - американский физик. Труды по физике элементарных частиц.

Лекции по механике Р.В.Романов В закон всемирного тяготения входит масса, однако здесь это мера гравитации, и вообще говоря, она не должна быть эквивалентной массе, как мере инертности. Однако вся совокупность экспериментальных данных говорит о том, что эти массы по крайней мере пропорциональны и при соответствующем выборе системы единиц они равны. И только в рамках общей тории относительности удаётся показать, что тождества этих масс есть закон природы.

3. Взвешивание Земли (опыт Кавендиша9).

Закон всемирного тяготения был экспериментально проверен Г.Кавендишем в 1798 году с помощью крутильных весов.

Им впервые была определена гравитационная постоянная, которая относится к числу фундаментальных констант. Он получил результат (1798) 11 H м (6,67 0,05) кг В 1982 г Ж.Лазер и У.Тоулер (США) получили значение 11 H м (6,67259 0,00085) кг Зная гравитационную постоянную можно достаточно легко определить массу Земли, поэтому эксперимент Кавендиша часто называют "Взвешиванием Земли" (см. раздел «сила тяжести»).

Масса Земли приблизительно равна МЗ=6,0010+24 кг Рис.8. 4. Некоторые сведения о Земле.

ЗЕМЛЯ - третья от Солнца планета Солнечной системы, обращающаяся вокруг него по эллиптической орбите (близкой к круговой) со средней скоростью 29,765 км/с на среднем расстоянии 149,6 млн. км за период, равный 365,24 средних солнечных суток. Имеет спутник - Луну, обращающуюся вокруг КАВЕНДИШ (Cavendish) Генри (1731-1810) - английский физик и химик. Исследовал свойства многих газов, получил водород и углекислый газ (1766), определил состав воздуха (1781) и химический состав воды (1784). С помощью изобретенных им крутильных весов подтвердил закон всемирного тяготения. Определил массу Земли (1798). Установил закон взаимодействия электрических зарядов (опубликован в 1879). Экспериментально исследовал электрические и тепловые явления. КАВЕНДИШСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ Кембриджского Университета (по имени Г. Кавендиша) - основана в 1871. В кон. 19 - 1-й пол. 20 вв. стала одним из мировых центров экспериментальной физики, биологии и других фундаментальных исследований. Руководители - Дж. Максвелл, Рэлей, Дж. Дж. Томсон, Э.

Резерфорд, У. Л. Брэгг и др.

Лекции по механике Р.В.Романов Земли на среднем расстоянии 384.400 км. Наклон земной оси к плоскости эклиптики 66.33.22, период вращения вокруг оси 23 ч 56 мин 4,1 с. Вращение вокруг оси вызывает смену дня и ночи, наклон оси и обращение вокруг Солнца - смену времен года. Форма Земли - геоид, приближенно - трехосный эллипсоид, сфероид. Средний радиус 6371,032 км, экваториальный 6378,160 км, полярный - 6356,777 км. Площадь поверхности 510,2 млн. кв. км;

объем 1,0831012 км3;

средняя плотность 5518 кг/м3;

масса 5,9761024 кг. Земля обладает магнитным и тесно связанным с ним электрическим полями.

Гравитационное поле Земли определяет сферическую форму Земли, существование атмосферы.

5. Законы Кеплера10.

Исторически сложилось так, что Ньютон, когда формулировал закон всемирного тяготения, опирался на законы Кеплера. Однако, очевидно, что эти законы являются следствиями закона всемирного тяготения. Легко показать, что они появляются при решении так называемой «задачи двух тел». Здесь мы их только сформулируем.

1 Lex: Все планеты вращаются вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2 Lex: Радиус-вектор, проведённый от Солнца к планете за одинаковые промежутки времени «заметает» одинаковые площади.

3 Lex: Отношение квадрата периода обращения планеты к кубу большей полуоси есть величина постоянная:

Т const а КЕПЛЕР (Kepler) Иоганн (1571-1630) - немецкий астроном, один из творцов астрономии нового времени. Открыл законы движения планет (законы Кеплера), на основе которых составил планетные таблицы (т. н. Рудольфовы). Заложил основы теории затмений. Изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр - двояковыпуклые линзы.

Лекции по механике Р.В.Романов 6. Первая космическая скорость Из закона всемирного тяготения можно получить выражение для первой космической скорости, т.е.

скорости, которую нужно сообщить телу, чтобы оно вращалось вокруг планеты по круговой орбите на расстоянии равном радиусу планеты.

V Mm M V 7,91км 32 V m а Fгр m с R R R Рис.8. 7. Сила тяжести Если отвлечься от некоторых деталей, таких как вращение Земли, её несферичность и неоднородность, то, очевидно, что Земля сообщает всем телам одинаковое ускорение во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии от центра Земли.

Пусть тело находится на высоте h над поверхностью Земли. Тогда гравитационная сила сообщает любому телу центростремительное или нормальное ускорение широта g, м/с mM 3 M man an 2и 0 9, ( R h) ( R h) 30 9, Видим. что это ускорение не зависит от массы тела. Если 60 9, тело находится на небольшой высоте (hRз), то 90 9, M an 2 const g R Это ускорение принято обозначать g. Оно называется ускорением свободного падения, направлено вертикально вниз к поверхности Земли, и приблизительно равно 9,8 м/с2.

В зависимости от широты местности (из-за вращения Земли и ее несферичности) оно немного меняется. Для Тулы ускорение свободного падения составляет 9,814 м/с2.

Существует формула, позволяющая выполнить данные расчеты g 978,014(1 0,005288 sin 2 0,000006 sin 2 2 ) Данную формулу можно получить, рассматривая движение в неинерциальной системе отсчета (НИСО).

Сравнивая выражения для ускорения свободного падения и первой космической скорости можно записать Рис.8. V1 gR Таким образом, можно говорить, что на любую материальную точку (тело) массы m вблизи поверхности Земли действует сила тяжести, направленная вниз и равная G mg Естественно, что такие же расчеты можно провести для любой другой планеты или звезды.

Лекции по механике Р.В.Романов 8. Вес и сила реакции опоры.

def: Весом называется сила, с которой тело действует на опору или подвес.

Обратите внимание, что эта сила приложена к опоре или подвесу.

Обычно обозначают Р.

Рис.8. В случае с подвесом, вес часто называют силой натяжения нити и обозначают Т.

По третьему закону Ньютона должна быть сила, приложенная к телу со стороны опоры или подвеса.

Эта сила называется силой Рис.8. реакции опоры или подвеса.

Эта сила приложена к самому телу. Обычно обозначается N.

9. Невесомость Рассмотрим следующую задачу. Пусть на полу лифта лежит тело. А сам лифт движется с ускорением. Куда направлена его скорость, не имеет значения.

Нужно найти вес тела.

Свяжем систему отсчета с поверхностью Земли и будем считать ее инерциальной.

Тело движется поступательно, поэтому будем считать его материальной точкой. На тело действуют сила тяжести и сила реакции опоры. Вес действует на опору. По третьему закону Ньютона P N Запишем для тела второй закон Ньютона с учетом принципа суперпозиции.

ma N G Тогда Рис.8. ma G P и P G ma m( g a ) Очевидно, что вес в данном случае не равен силе тяжести. После проецирования на ось ОУ имеем P m( g a y ) или P m( g a y ) таким образом, если ускорение лифта направлено вверх (начинает подниматься и набирает скорость), то вес больше силы тяжести, и груз сильнее давит на пол.

Лекции по механике Р.В.Романов Если ускорение направлено вниз, то груз слабее давит на пол.

Если на лифт больше не действуют никакие силы, то, как говорилось ранее, он движется с ускорением свободного падения и тогда вес вообще равен нулю. Тело не действует на опору или подвес.

Говорят, что оно находится в состоянии невесомости. Космонавты, пока их корабль движется по орбите и двигатели выключены, парашютист в затяжном прыжке, пока сила сопротивления воздуха не очень велика – все они находятся в невесомости, то есть не давят на опору или подвес.

Наоборот, в момент старта ракеты с Земли, ускорение ее направлено вверх и очень велико, поэтому космонавт прижат к креслу с большой силой.

Также с большей силой мы действуем на спинку сиденья автомобиля, когда он трогается с места. В данном случае вес направлен под углом к вертикали.

10. Взаимодействие тел на малых расстояниях.

Закон всемирного тяготения утверждает, что при малых расстояниях сила взаимодействия стремится к бесконечности, чего, конечно, быть не может.

В качестве примера рассмотрим взаимодействие большого массивного шара массы М и радиуса R и точечной массы m, причем точка может оказаться не только снаружи, но и внутри шара (в тоннеле). Снаружи все стандартно.

Внутри для вычисления поля в точке А, лежащей внутри шара на расстоянии r от центра, проведем через эту точку вспомогательную сферу с центром в точке О.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.