авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«Предисловие Это пособие предназначено… Хорошо известно, что… Имеет огромное теоретическое и практическое значение… Поскольку не удалось ответить сразу на все ...»

-- [ Страница 2 ] --

Вещество шара, расположенное вне вспомогательной сферы, не влияет на поле внутри нее. В частности, оно не влияет на поле в точке А. Гравитационное поле в точке А создается только веществом, сосредоточенным внутри вспомогательной сферы. Тогда сила взаимодействия mmr m mM mM V F 2 Vr 2 Vr 2 r Рис.8. r2 r rV rV Отношение объемов равно отношению кубов радиусов. Тогда mM r 3 mM F 2 3 3 r rR R И окончательно mM R 3 r, r R F mM, r R Рис.8. r При r= R оба выражения совпадают.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Силы трения Мы продолжаем рассматривать различные типы сил, с которыми мы сталкиваемся в механике. Здесь речь пойдет о силах трения и упругости.

1. Силы трения Обычно трение разделяют на внешнее и внутреннее.

def: Внешним трением называется механическое взаимодействие, возникающее в плоскости касания двух прижатых друг к другу тел при их относительном движении.

def: Силы сопротивления, возникающие при этом механическом взаимодействии, направлены против относительной скорости и называются силами трения, действующими на эти тела.

Трение - процесс диссипативный, то есть при этом процессе теряется механическая энергия тел. Она переходит во внутреннюю энергию системы чаще всего с нагреванием тела. Кроме того, может наблюдаться электризация тел и даже их разрушение.

Различают сухое трение (между 2-мя твёрдыми телами) и жидкое (вязкое) трение между телами и окружающей средой или газообразной средой. Иногда выделяют граничное трение, когда между двумя твёрдыми телами есть небольшой слой смазки. Трение между слоями жидкости или газа называют внутренним.

Мы уже говорили, что сила – это мера взаимодействия двух тел. Поэтому следует считать, что на тело со стороны опоры действует одна сила, которую мы называем силой реакции опоры. Однако для удобства мы разлагаем эту силу на две взаимно перпендикулярные составляющие: силу нормальной реакции Рис.9. опоры и силу трения.

2. Сила трения покоя и скольжения Пусть на какой-либо поверхности лежит брусок, к которому мы прикладываем постепенно увеличивающуюся силу. При этом возникает сила трения. Если внешняя сила мала, и не может вызвать смещения тела, то возникает сила неполного трения. Она вызвана малыми (частично обратимыми) перемещениями в зоне контакта. Эти перемещения называются предварительным смещением. Его величина около 1 мкм. Максимальное Рис.9. значение силы неполного трения называется силой трения покоя. После того как приложенная сила становится достаточно большой, смещение переходит в скольжение, причем сила трения Лекции по механике Р.В.Романов немного уменьшается. При увеличении скорости тела сила трения, как правило, сначала остается постоянной, а затем растет пропорционально скорости.

Fтр kV Рис.9.3 Рис.9. Так как сила трения и сила нормальной реакции опоры – это две составляющие одной силы, то между ними должна существовать связь.

LEX: Отношение силы трения к силе нормальной реакции опоры, есть величина постоянная для двух тел F тр const N Эту величину называют коэффициент трения: Различают коэффициенты неполного трения, трения покоя, коэффициент трения скольжения, причем достаточно часто два последних считают одинаковыми, хотя это вряд ли верно (см. таблицу).

Fтр N Последнее выражение можно рассматривать как определение, а можно как закон, установленный Кулоном11 и Амонтоном12.

Коэффициенты трения могут изменяться в достаточно широких пределах.

Различают фрикционные (0,3-0,6) и антифрикционные (0,12-0.15) материалы.

КУЛОН (Coulomb) Шарль Огюстен (1736-1806) - французский инженер и физик, один из основателей электростатики. Исследовал деформацию кручения нитей, установил ее законы.

Изобрел (1784) крутильные весы и открыл (1785) закон, названные его именем. Установил законы сухого трения.

АМОНТОН (Amontons) Гийом (1663-1705) - французский механик и физик. Почти глухой член Парижской академии наук. Труды по теории трения, термометрии, усовершенствованию физических приборов. Показал (1699), что трение пропорционально взаимному давлению трущихся поверхностей. Сконструировал гигрометр (1687), нертутный барометр (1695), воздушный термометр (1702). Пришел к идее абсолютного нуля, который по его данным получится при -293,8 С.

Лекции по механике Р.В.Романов Для определения коэффициентов материалы коэффициент трения () трения существует наука покоя скольжения трибометрия (tribos - трение, олово по свинцу 2, metreo – измеряю). Одним из точильный камень 0, способов определения по стали кирпич по кирпичу коэффициента трения покоя 0,5-0, дерево по дереву является измерение угла наклона, 0,65 0, железо по железу при котором начинается 0,15 0, скольжение тела по наклонной сталь по льду 0,025 0, плоскости.

подшипники скол. 0,02-0, По второму закону Ньютона m a F тр G N a на ось ОХ Fтр G sin на ось OY N G cos Fтр tg следовательно N 3. Трение качения Рис.9. Подействуем на покоящийся цилиндр силой F, приложенной к центру цилиндра.

Цилиндр начнет двигаться вперед и при этом вращаться вокруг своей оси. Ясно, что вращает цилиндр сила трения покоя. Если опора и тело абсолютно твёрдые, то больше никаких сил не возникает. Сила трения покоя не совершает работы, поэтому нет Рис.9. потерь энергии.

Изменим ситуацию. Сначала раскрутим цилиндр, а затем опустим его на поверхность. На него первоначально подействует также сила трения покоя, но направленная вперед. Она уменьшит угловую скорость вращения цилиндра, но сообщит ему как целому скорость, Рис.9. направленную вперед. Затем эта сила исчезнет, и цилиндр начнет катиться равномерно, так как в горизонтальном направлении на него силы не действуют.

Кстати, если речь идет об автомобиле с включенным двигателем, то заставляет двигаться автомобиль вперед именно сила трения покоя колеса о дорогу. Это легко проверить. Поставьте автомобиль с очень мощным мотором на идеально гладкий лед и убедитесь в том, что он не двинется с места.

Лекции по механике Р.В.Романов Однако мы знаем, что катящееся по инерции колесо когда-нибудь остановится.

Значит, на него действует сила, направленная назад. Что же это за сила и когда она возникает?

Останавливает движущееся вращающееся тело сила трения качения, которая возникает только при деформировании тела и опоры.

На переднюю часть тела действует сила F1 а на заднюю часть тела действует сила F2.

Силы можно переносить вдоль линии их действия. Поэтому будем считать, что они приложены к центру колеса. Результирующая Рис.9. сила реакции опоры направлена вверх и назад.

Как обычно, мы ее разлагаем на две составляющие: силу нормальной реакции опоры и силу трения, которая и является силой трения качения.

Как правило, эта сила намного меньше силы трения скольжения.

Качение так же характеризуют коэффициентом трения качения Fтркач R f N где R - радиус колеса. Это выражение также называют законом Амонтона. Очевидно, что этот Рис.9. коэффициент уже размерная величина. [f]=L=1 м.

Чаще эту величину выражают в сантиметрах.

f Fтр N R Следует отметить, что здесь имеет значение из чего сделано колесо и поверхность. Причем ведущую роль играет материал поверхности.

материал коэффициент трения качения, см деревянный каток по дереву 0,05-0, стальное колесо по дереву 0,15-0, дерево по стали 0,03-0, шарик из закаленной стали по стали 0,0005-0, Лекции по механике Р.В.Романов 4.Вязкое трение Если существует слой смазки или твердое тело находится внутри жидкости или газа, то говорят о жидком или вязком трении.

Характерной особенностью вязкого трения является отсутствие трения покоя, то есть движение начинается при самых малых силах.

При небольших скоростях считают, что сила трения Рис.9. пропорциональна первой степени скорости, а при больших – квадрату скорости:

F тр kv v F тр kv Пусть тело движется в вязкой среде под действием постоянной силы Уравнение движения имеет вид:

dv F kv ;

m dt dv 1 dv m dt dt F kv m F kv k 1 t F kv const e ln( F kv ) t C m k m F kv0 const.

Постоянная определяется из начального условия v (t 0) v Окончательно имеем F F mt k v v 0 e k k Очевидно, что через большой промежуток времени F v (t ) const k то есть скорость стремится к постоянной величине. Капли дождя, падающие в воздухе, при подлете к земле практически имеют постоянную скорость.

Радиус-вектор находится стандартным образом r vdt const F F mt k Рис.9. r v0 e dt const k k Лекции по механике Р.В.Романов m F mt k F r const t v0 e kk k Постоянная определяется из начального условия r (t 0) r m F m F r0 const v0 const r0 v kk kk Окончательно имеем mt m F k F r r0 t v0 e kk k При больших временах m F F r (t ) r0 v0 t kk k То есть практически равномерное движение.

Пусть тело брошено с высоты с начальной скоростью под углом к горизонту.

r0 (0, h), v0 (v0 cos, v0 sin ), F G(0, mg ) В проекциях на оси координат Рис.9. t k m m x v0 cos 1 e x(t ) v0 cos m k k t m mg k mg v0 sin 1 e m yh t k k k Для сферических тел сила сопротивления подчиняется закону Стокса F 6 av Где – коэффициент вязкости, а – радиус шара.

5. О природе сил трения Силы трения обусловлены, главным образом, силами межмолекулярного взаимодействия, которые в свою очередь, носят электромагнитный характер. В механике мы не изучаем природу сил, а выясняем от чего и каким образом эта сила зависит и как она влияет на движение тела. Напомним только, что трение, как правило, сопровождается нагревом трущихся тел.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Сила упругости. Деформации 1. Деформации.

def: Изменение формы тела или его объёма под действием сил называется деформацией.

def: Упругими называются деформации, исчезающие после снятия внешнего воздействия.

def: Пластическими (остаточными) называются деформации, которые сохраняются (по крайней мере, частично) после прекращения действия сил.

def: силами упругости называются силы, возникающие при упругих деформациях.

Природа этих сил, так же как и природа сил трения связана с межмолекулярными взаимодействиями, которые в свою очередь объясняются электромагнитной теорией. Нас будет интересовать опять-таки только внешние или макроскопические проявления этих сил. Законы их действия установлены опытным путем. Кроме того, будем рассматривать только идеально упругие тела, для которых существуют только упругие деформации.

2. Напряжения Пусть имеется деформированное тело. Мысленно разделим его на две части, причем они взаимодействуют между собой. Чтобы описать процесс деформации недостаточно знать суммарные силы. Нужно знать, как эти силы распределены по поверхности.

Пусть имеется маленькая площадка dS на которую действует сила dF со стороны первой части тела.

def: Сила, отнесенная к единице площади, называется механическим напряжением.

dF n dS Напряжение можно разложить на две составляющие:

нормальную и тангенциальную. Как всякий вектор, Рис.10. вектор напряжений можно разложить по трем проекциям nx, ny, nz.

В частности если вектор напряжения обозначает напряжение на площадке нормаль к которой совпадает с положительным направлением оси ОХ, то он имеет компоненты xx, xy, xz.

Лекции по механике Р.В.Романов Очевидно, что для определения напряжения в какой-либо точке среды нужно взять 3 взаимно перпендикулярные площадки, проходящие через эту точку и указать напряжение на каждой площадке, то есть 9 чисел xx xy xz yx yy zx zx zy zz Такие величины в математике называют тензором второго ранга. Тензор механических напряжений симметричен, то есть ij ji. Кроме того можно выбрать систему координат так, что все недиагональные члены обратятся в 0, и тензор примет вид xx 0 0 yy 0 zz 3. Предел упругости Все сказанное выше справедливо только для упругих деформаций, то есть пока напряжение не превышает предел упругости и деформации линейны.

Пусть имеется стержень, на который Рис.10. подействовали с силой F. Начальная длина стержня l0. Под действием силы стержень удлинится на величину l.

def: Изменение длины стержня называется абсолютным удлинением.

l l l Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной def: Отношение модуля абсолютного удлинения к начальной длине называется относительным удлинением | l | l Экспериментально были получены зависимости напряжения от относительного удлинения, примерный вид которых показан на рисунке.

До предела упругости деформации упругие, то есть при Рис.10. снятии внешнего воздействия, тело вернется в исходное состояние. При более высоких напряжениях процессы становятся необратимыми, а деформации пластическими. Наконец, при достижении предела прочности тело разрушается.

Лекции по механике Р.В.Романов 4. Одномерное растяжение и сжатие стержней.

Пусть на стержень с торцов подействовали силой F. Для равновесия верхней части АС, необходимо, чтобы на основание С действовала сила F1, причем F1 F Эта сила действует со стороны нижней части и возникает потому, что нижняя часть стержня деформирована. Естественно, что все справедливо и для сжатия нижней части.

В рассматриваемом случае напряжение перпендикулярно к поперечному сечению, то есть Рис.10. речь идет о нормальном напряжении.

Если стержень растянут, то модуль этого напряжения называют натяжением. Если стержень сжат, то модуль напряжения называют давлением.

def: Отношение модуля нормальной силы к площади поверхности, на которую она действует, называется давлением dF p dS Давление можно рассматривать как отрицательное растяжение, или наоборот.

5. Единицы измерения давления Давление измеряется в паскалях13.

def: 1 паскаль – единица давления СИ, равная давлению (механическому напряжению), вызываемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м.

Обозначение 1 Па. Размерность данной величины [p]=ML-1T-2.

Рис.10. ПАСКАЛЬ (Pascal) Блез (1623-62) - французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей. Сконструировал (1641, по другим сведениям - 1642) суммирующую машину. Один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон (см. Паскаля закон). Работы по теории воздушного давления.

Сблизившись с представителями янсенизма, с 1655 вел полумонашеский образ жизни.

Полемика с иезуитами отразилась в "Письмах к провинциалу" (1656-57) - шедевре французской сатирической прозы. В "Мыслях" (опубликованы в 1669) Паскаль развивает представление о трагичности и хрупкости человека, находящегося между двумя безднами бесконечностью и ничтожеством (человек - "мыслящий тростник"). Путь постижения тайн бытия и спасения человека от отчаяния видел в христианстве. Сыграл значительную роль в формировании французской классической прозы.

Лекции по механике Р.В.Романов Измерение давления очень распространено в науке и технике, поэтому используется большое количество внесистемных единиц.

1 килограмм силы/м2=1 кГс/м2=9,81 Па 1 техническая атмосфера=1 ат=0,980665105 Па 1 нормальная (физическая) атмосфера=1 атм=1,01325105 Па 1 бар=1,000105 Па 1 мм.рт.ст.=1 Торр14=133,322 Па Очевидно соотношение 1 атм=760 мм.рт.ст.

Измеряется давление, главным образом, манометрами совершенно разных конструкций. Атмосферное давление измеряют барометрами.

В таблице приведены примерные значения давления в разных случаях процесс давление, кПа воздух на уровне моря воздух в шинах автомобиля 170- пороховые газы при выстреле из автомата масло в системе смазки «Жигулей» 350- жидкость в гидропрессе 20000- Гусеничный трактор на почву 39- Останкинская башня на почву легковой автомобиль на дорогу 190- колеса вагона на рельсы стальная стружка на переднюю грань резца 2.450. ТОРРИЧЕЛЛИ (Torricelli) Эванджелиста (1608-47) - итальянский физик и математик.

Ученик Г. Галилея. Изобрел ртутный барометр, открыл существование атмосферного давления и вакуума (торричеллиева пустота). Вывел формулу, которая была названа его именем.

Лекции по механике Р.В.Романов 6.Закон Гука Из экспериментальных данных известен закон Гука LEX: Для упругих деформаций механическое напряжение пропорционально относительному удлинению E Коэффициент пропорциональности материал Модуль Юнга, ГПа называют модулем Юнга16. Он Алюминий 70- зависит только от материала стержня Вольфрам и его физического состояния, Железо 190- например от температуры. По смыслу Золото 79 модуль Юнга численно равен Лед (при t=-40C) 10 натяжению (сжатию), которое нужно Паутина 7 приложить к стержню, чтобы его Резина 0,9 длина удвоилась, если бы при такой Стекло 50-60 деформации закон Гука еще оставался Шерсть 6 справедливым. В таблице приведены значения модуля Юнга для некоторых материалов при температуре 200С.

Закон Гука можно записать и в векторном виде Под силой упругости будем понимать силу действующую со стороны упруго деформированного тела на некоторое другое тело. Кстати сила нормальной реакции опоры или сила реакции подвеса есть не что иное, как сила упругости.

r ES F E E F r s l0 l LEX: Для упругих деформаций сила упругости Рис.10. прямо пропорциональна величине деформации и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения, возникающего в теле при созданной деформации F kr k – коэффициент жесткости. Считается, что при малых деформациях эта величина не меняется.

ГУК (Хук) (Hooke) Роберт (1635-1703) - английский естествоиспытатель, разносторонний ученый и экспериментатор, архитектор. Открыл (1660) закон, названный его именем.

Высказал гипотезу тяготения. Сторонник волновой теории света. Улучшил и изобрел многие приборы, установил (совместно с Х. Гюйгенсом) постоянные точки термометра.

Усовершенствовал микроскоп и установил клеточное строение тканей, ввел термин "клетка".

ЮНГ (Янг) (Young) Томас (1773-1829) - английский ученый, один из основоположников волновой теории света. Сформулировал принцип интерференции (1801), высказал идею о поперечности световых волн (1817). Объяснил аккомодацию глаза, разработал теорию цветного зрения. Ввел характеристику упругости (модуль Юнга). Труды по акустике, астрономии, расшифровке египетских иероглифов.

Лекции по механике Р.В.Романов В проекциях на ось Fx k ( x x0 ) Если выбрать начало координат на уровне ненапряженного тела, то формула принимает вид Fx k ( x x0 ) 7. Коэффициент Пуассона Очевидно, что при растяжении (сжатии) стержня уменьшаются (увеличиваются) Рис.10. поперечные размеры тела. Пусть поперечный размер тела а0.

По аналогии назовем относительным поперечным сжатием величину a a0 a a0 a def: Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному удлинению называется коэффициентом Пуассона.

a l l a Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала.

Другие виды деформаций, такие как всестороннее сжатие, сдвиг, кручение мы здесь не рассматриваем.

ПУАССОН (Poisson) Симеон Дени (1781-1840) - французский математик, механик и физик, иностранный почетный член Петербургской АН (1826). Труды по математическому анализу, теории вероятностей, математической физике, теоретической и небесной механике, теории упругости, гидродинамике и др.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Работа и энергия 1. Силовой и энергетический подходы До сих пор движение в механике описывалось с точки зрения действия сил как причины движения, то есть взаимодействия тел друг с другом. Это называют силовым подходом в физике. Однако не всегда известны все силы, действующие на тело, или неизвестно, как они описываются, то есть, как зависят от координат, скоростей и времени. Кроме того, силовой подход может приводить к весьма сложным математическим выражением. Поэтому в физике вообще и в механике в частности, используют альтернативный подход, который называется энергетическим, т.е. движение рассматривается с точки зрения баланса и обмена энергией. Основными понятиями при этом являются работа, кинетическая и потенциальная энергии, мощность. Следует отметить, что силовой и энергетические подходы являются равноправными и использование того или иного подхода обусловлено удобством и простотой расчетов.

2. Элементарная работа Пусть материальная точка переместилась по какой-либо траектории из точки 1 в бесконечно близкую точку 2. На материальную точку действует сила F.

def: Элементарной работой силы F называется скалярное произведение этой силы на бесконечно малый вектор dl Рис.11. A ( F, dl ) F dl Заметим, что в физике нет просто понятия “работа”, а есть понятие “работа силы”. Однако очень часто говорят о работе, забывая указать, о какой силе идет речь.

Для обозначения элементарной работы используют символ “”, а не “d”, хотя речь идет по-прежнему о бесконечно малых величинах. Это используют для того, чтобы подчеркнуть, что работа в общем случае не есть функция состояния, а есть функция процесса, то есть в механике зависит от траектории.

Очевидно, что работа – это скалярная величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Если сила перпендикулярна перемещению, то работа равна нулю.

Приведем еще несколько выражений для вычисления работы A F dl cos( F, dl ) ( F, )dS F dS ( F, v )dt Fx dx Fy dy Fz dz Лекции по механике Р.В.Романов 3. Работа при конечном перемещении Очевидно, что для того, чтобы вычислить работу при конечном перемещении, необходимо вычислить криволинейный интеграл вдоль траектории (по контуру). Кривую между точками и 2 называют контуром интегрирования L.

A12 A ( F, dl ) 1 L Криволинейный интеграл означает следующее: Рис.11. контур разбивают на большое число отрезков dl, приписывают им направления (т.е. dl dl ), для каждого участка вычисляют скалярное произведение F dl и затем все суммируется и выполняется интегрирование, произведя при этом предельный переход к бесконечно малым величинам.

Очевидно, что, не зная траекторию, нельзя вычислить и работу в общем случае.

4. Единица измерения работы В СИ работа измеряется в джоулях18.

def: 1 джоуль – единица СИ работы, равная работе, которую совершает постоянная сила в 1 ньютон при прямолинейном перемещении на один метр в направлении силы 1 Дж=1 Н1 м Размерность работы [A]=[Fr]=[mar]=ML2T- 5. Работа силы тяжести Используем известное выражение для силы тяжести z A12 ( F, dl ) (G, dl ) m ( g, dl ) mg z dz mg z ( z 2 z1 ) L L L z Таким образом A12 mg z ( z 2 z1 ) Если считать, что ось направлена вверх, а координата является высотой, отсчитанной от поверхности земли, то получим известную формулу A12 mg(h1 h2 ) Заметим, что работа сила тяжести не зависит от формы траектории, а зависит только от начальной и конечной вертикальной координаты.

Рис.11. ДЖОУЛЬ (Joule) Джеймс Прескотт (1818-89) - английский физик. Экспериментально обосновал закон сохранения энергии, определил механический эквивалент тепла. Установил закон, названный законом Джоуля - Ленца. Открыл (совместно с У. Томсоном) эффект, названный эффектом Джоуля - Томсона.

Лекции по механике Р.В.Романов 6. Работа гравитационной силы Сила гравитационного взаимодействия между телами известна Mm F 3 r r Найдем работу, которую совершает гравитационная сила при перемещении материальной точки массы m из положения 1 в положение (см. рис.11.4).

rdl cos 2 Mm A12 3 (r d l ) Mm r r 1 Рис.11. dr 1 r2 Mm 2 mM ( ) r1 mM ( );

r r2 r r таким образом, получаем, что работа гравитационной силы тоже не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения точки A12 mM ( ) r2 r Если считать, что центральное тело – это Земля, то можно записать, что r1=R3+z1’;

r2=R3+z2’ где z’ – координата, отсчитанная от поверхности Земли. Тогда 1 z1 ' z 2 ' A12 mM 3 R z ' R z ' mM 3 R 2 ;

3 2 3 Последняя формула записана в предположении, что z1’R3 ;

z2’R Учитывая, что M g R получаем уже известное ранее выражение A12 mg( z1 z 2 ) 7. Работа силы упругости Для вычисления работы силы упругости используем выражение Fупр kx где к – коэффициент упругости x x 2 x2 kx12 kx2 A12 Fx d x k xdx k x Рис.11. 21 2 x Это третий вид силы, работа которой не зависит от формы траектории, а зависит от начального и конечного положения системы.

Лекции по механике Р.В.Романов 8. Работа силы трения Сила вязкого трения зависит от скорости как Fтр kv, тогда 2 2 A12 Fтр dl k vdr k v vdt k v 2 dt 1 1 Очевидно, что дальнейшее интегрирование невозможно до тех пор, пока не известен явный вид функции v(t), то есть нужно знать, как в каждый момент движется это тело. Однако ясно, что при любой зависимости этот интеграл всегда отрицателен, то есть работа сила трения всегда меньше нуля. Сила трения относится к разряду диссипативных сил. Её работа зависит от формы траектории.

9. Работа силы Лоренца В электродинамике вводится понятие силы Лоренца19 силы, действующей на заряженную частицу со стороны электрического и магнитного полей.

Выражение для магнитной составляющей силы Лоренца имеет вид Fл q[v, B] Рис.11. тогда ее работа очевидно равна A12 q ([v, B] v )dt так как эта сила всегда перпендикулярна скорости. Таким образом, работа силы Лоренца всегда равна 0. Эту силу часто называют гироскопической.

rem: На рисунке индукция магнитного поля направлена перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Обычно такое направление обозначают кружком с точкой внутри. Вектор, направленный от нас, обозначают кружком с косым креcтиком внутри или просто косым крестиком.

Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки (для положительного заряда) или по определению векторного произведения.

10. Типы сил Рассматривая эти примеры можно сделать вывод, что все силы принято делить на следующие типы:

def: Сила называется консервативной, если ее работа не зависит от формы траектории.

ЛОРЕНЦ (Лорентц) (Lorentz) Хендрик Антон (1853-1928) - нидерландский физик, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1910) и иностранный почетный член АН СССР, (1925). Труды по теоретической физике. Создал классическую электронную теорию, с помощью которой объяснил многие электрические и оптические явления, в т. ч.

эффект Зеемана. Разработал электродинамику движущихся сред. Вывел преобразования, названные его именем. Близко подошел к созданию теории относительности. Нобелевская премия (1902, совместно с П. Зееманом).

Лекции по механике Р.В.Романов К ним относятся силы тяжести, гравитационная, упругости и некоторые другие, например, сила Кулона в электростатике.

def: Сила называется диссипативной, если ее работа в замкнутой системе зависит от формы траектории и отрицательна, то есть сила направлена против скорости К этому типу сил относятся все виды силы трения.

def: Сила называется гироскопической, если она все время перпендикулярна скорости и ее работа равна нулю Пример таких сил – сила Лоренца.

11. Потенциальная энергия Из математики известно, что если значение криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начального и конечного положения, то подынтегральную функцию можно представить в виде дифференциала некоторой функции, которую называют силовой функцией.

В физике по историческим причинам используют функцию, противоположную по знаку, которую называют потенциальной энергией, то есть A dW p, где W p -потенциальная энергия, или A12 (Wp 2 Wp1 ) Wp1 Wp Таким образом, разность потенциальных энергий в начальном и конечном состояниях есть работа.

Очевидно, что потенциальная энергия - это величина, определенная с точностью до постоянной.

A12 (Wp1 const ) (Wp 2 const ) Поэтому смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее разность, то есть работа.

12. Понятие потенциального поля def: область пространства, в которой действуют силы, называется полем сил.

def: Поле называется потенциальным, если действующие силы консервативны или работа этих сил по замкнутому контуру равна 0.

Fdl Последнее выражение можно рассматривать как определение, а можно как закон.

LEX: Для того, чтобы поле было потенциальным, а силы консервативны, необходимо и достаточно, чтобы работа этой силы по замкнутому контуру равнялась нулю.

13. Потенциальная энергия консервативных сил.

Изучая написанные ранее формулы для работы можно сразу записать выражения для потенциальных энергий консервативных сил Лекции по механике Р.В.Романов W p mg z z const сила тяжести mM W p const гравитационная сила r kx Wp const сила упругости 14. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии Очевидно, что потенциальная энергия - это энергия взаимодействия тел, или энергия взаимного расположения тел.

В физике вводят еще один вид энергии - энергию движения.

def: Кинетической энергией материальной точки называется половина произведения ее массы на квадрат ее скорости mv Wk Запишем второй закон Ньютона dv F m dt и умножим справа и слева на тождественное равенство v dt dr Получившееся выражение проинтегрируем v m v dv Fdr v1 Получаем следующее соотношение mv2 mv A12 Wk 2 Wk1 Wk, 2 которое называется теоремой об изменении кинетической энергии.

LEX: Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе сил, действующих на точку.

15. Теорема об изменении полной механической энергии Разделим все силы, действующие на материальную точку, на консервативные и неконсервативные Wk 2 Wk1 A12 A пот непот Так как работа потенциальных сил равна разности потенциальных энергий, то Wk 2 Wk1 W p1 W p 2 A12непот или (Wk 2 Wp 2 ) (Wk1 Wp1 ) A12 непот def: Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией.

LEX: Изменение полной механической энергии материальной точки равно работе непотенциальных сил.

Лекции по механике Р.В.Романов 16. Закон сохранения полной механической энергии У теоремы об изменении полной механической энергии есть практически важное следствие:

LEX: Если непотенциальных сил нет, то полная механическая энергия материальной точки сохраняется.

Wk 2 Wp 2 Wk1 Wp 17. Вторая космическая скорость Из закона сохранения механической энергии легко получить выражение для так называемой второй космической скорости.

def: Второй космической скоростью называется скорость, которую необходимо сообщить материальной точке вблизи поверхности Земли, чтобы она могла покинуть сферу притяжения Земли.

Очевидно, что при бесконечно большом удалении тела от Земли их потенциальная энергия взаимодействия равна нулю. Скорость также мы должны положить равной нулю. Тогда Wk 2 W p 2 и закон сохранения энергии принимает вид mv 2 mM Wk1 W p1 2 R отсюда очевидно получаем M v2 2 2 gR 2v1 11,19 км / с R Здесь – v2 и v1 вторая и первая космические скорости соответственно.

18. Мощность Часто бывает важно знать не только какая была совершена работа, но и как быстро она была сделана.

def: Мощностью называется физическая величина, равная отношению работы к интервалу времени, за который эта работа была совершена.

A N dt По сути дела мощность – это физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы, то есть скорость преобразования энергии из одного вида в другой.

Очевидно, что N (F, v ) Лекции по механике Р.В.Романов 19. Единица мощности Единицей измерения мощности является ватт20.

def: 1 ватт – единица СИ мощности, равная мощности при которой за 1 с совершается работа 1 Дж.

1 Вт 1 Дж /1 с Размерность мощности [N]=[Fv]=[mav]=ML2T- В технике очень большое распространение получила единица мощности – «лошадиная сила».

1 л. с.=75 кГсм/с=735,499 Вт=0,736 кВт 20. Примеры мощностей и энергий кВт л.с.

лодочный мотор «Вихрь-20» 14,7 мотоцикл «Ява-350» 14,7 легковой автомобиль «Ока» 22,0 легковой автомобиль «ВАЗ-2106» 58,8 грузовой автомобиль «КАМАЗ-5320» 154,0 трактор «К-701» - «Кировец» 220,0 танк «Т-72» 570,0 тепловоз «ТЭП70» 2940,0 самолет АН-2 735,0 самолет ИЛ-62 30.600,0 41. атомный реактор «РБМК-1500» 4.800.000,0 6.500. ракета-носитель «Протон» 45.000.000,0 60.000. ракета-носитель «Энергия» 125.000.000,0 170.000. Вт Мужской голос (максимальная) 0, Скрипка 0, Рояль 2, громкоговоритель телевизора (обычный) до 3, Оркестр (75 человек) Примерные энергозатраты человека за 1 час кДж ккал Работа токаря 670-1550 160- Косьба вручную 1800-2900 440- Езда на велосипеде 2260 Ходьба по ровной местности 960-1130 230- Сон 270 спокойное лежание 320 УАТТ (Watt) Джеймс (1736-1819) - английский изобретатель, создатель универсального теплового двигателя. Изобрел (1774-84) паровую машину с цилиндром двойного действия, в которой применил центробежный регулятор, передачу от штока цилиндра к балансиру с параллелограммом и др. (патент 1784). Машина Уатта сыграла большую роль в переходе к машинному производству.

Лекции по механике Р.В.Романов Печатание на машинке 590 Чтение лекций 920 подготовка к урокам 380-460 90- практические занятия учащихся 420-460 100- Примерные энергозатраты при спортивных соревнованиях кДж ккал бег 400 м 420 плавание 100 м 420 лыжные гонки 10 км 3800 20. Коэффициент полезного действия (КПД) Одной из важнейших характеристик любого механизма является его способность превратить полученную энергию в полезную. Для характеристики этой способности вводится понятие КПД.

def: Коэффициентом полезного действия машины или механизма называется отношение совершенной им полезной работы к затраченной им работе A A полезная или полезная 100% Азатраченная Азатраченная Из закона сохранения энергии легко понять, что эта величина не может быть больше единицы (100%) и даже достигать ее.

Стоит хорошенько усвоить, что ни одна машина не может дать выигрыша в работе, хотя они могут использоваться для выигрыша в силе или расстоянии.

С вопросом о КПД тесно связана проблема «вечных двигателей», то есть устройств, которые могут совершать большую работу, чем получаемая ими энергия. Попытки построить такие машины начались давно и продолжаются по сей день, хотя известные нам законы физики это категорически запрещают.

От «вечных» нужно отличать «даровые» двигатели, которые работают практически без затрат энергии со стороны человека, например, использующие энергию ветра или течения реки.

Примерные КПД некоторых устройств Устройство КПД, % Стационарная паровая машина Стационарный дизель Карбюраторный двигатель автомобиля Турбовинтовой двигатель самолета Паровоз Тепловоз Выстрел из орудия 25- Атомная электростанция 25- Гидрогенератор на ГЭС Рис.11. 95- Трансформатор электрический до Подробнее покажем баланс Ракета-носитель «Энергия» 4- энергий для автомобильного (по стартовой и полезной массе) карбюраторного двигателя Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Динамика механической системы.

1. Понятие механической системы def: Совокупность материальных тел, взаимодействующих друг с другом называется механической системой.

Для описания механической системы можно каждое тело мысленно разбить на материальные точки и для каждой из них записать динамическое уравнение движения – второй закон Ньютона.

d 2 rk m 2 Fk, dt где Fk сумма всех сил, действующих на K-тую Рис.12. точку. Ясно, что всего таких уравнений N – по числу точек. Уравнение векторное и второго порядка, поэтому оно эквивалентно шести дифференциальным уравнениям первого порядка. Естественно, что всего таких уравнений будет 6N. При небольшом числе точек эта задача решается достаточно просто численными методами. При большом числе точек проблема становится слишком сложной, поэтому поступают следующим образом:

формулируют законы, которые описывают движение механических систем целиком. Естественно, что при этом теряется информация о деталях движения системы.

2. Теорема об изменении импульса механической системы Запишем теорему об изменении импульса для К-той точки.

dpk Fk Fk внешние Fk внутренние dt Здесь мы разбили все силы, действующие на точку на внешние силы, действующие со стороны других тел, и внутренние силы, действующие со стороны других точек системы.

Сложим все эти уравнения N N N d pk dt k 1 Fk Fk внешние внутренние k 1 k операции суммирования и взятия Рис.12. производной коммутативны, поэтому N d pk d N dP dt dt p k системы dt k 1 k Ясно, что это импульс всей системы.

Лекции по механике Р.В.Романов Очевидно, что для каждой внутренней силы по третьему закону Ньютона найдется сила равная ей по модулю и противоположная по направлению.

Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю. Окончательно получаем теорему об изменении импульса механической системы.

N d Pсистемы F k внешние dt k LEX: Быстрота изменения импульса механической системы определяется суммой внешних сил, действующих на систему. Внутренние силы импульса системы не изменяют.

3. Закон сохранения импульса Очевидно, что если сумма внешних сил равна 0, то импульс системы не изменяется.

Lex: импульс замкнутой системы есть величина постоянная Pсист const, или m1V 1 m1V 2...mnV n const где использованы массы и скорости точек системы.

4. Импульс силы Иногда сумму внешних сил называют главным вектором внешних сил:

N R Fk внешние k тогда теорему об изменении импульса можно записать в следующем виде:

t P P 0 Rdt, где величину справа называют импульсом главного вектора внешних сил или просто импульсом силы. Тогда теорему об изменении импульса формулируют так:

LEX: Изменение импульса системы определяется импульсом главного вектора внешних сил.

5. Приближенное сохранение импульса Достаточно редко бывает, чтобы главный вектор внешних сил равнялся нулю, однако, можно указать случаи, когда импульс системы сохраняется в том или ином приближении.

А) Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна 0, то сохраняется проекция импульса на эту ось Px =const.

Например, если тело движется в поле силы тяжести, то Gx=0 Px =const, то есть горизонтальная проекция скорости системы Рис.12. не изменяется.

Лекции по механике Р.В.Романов Б) Внешние силы достаточно малы и поэтому импульс приближенно сохраняется.

Например, происходит выстрел из пушки.

P P0 (G1 N 1 N 2 F тр.кач G 2 F сопр )dt Силы G1, N 1, N компенсируют друг друга.

Остальные три силы достаточно F тр.кач, G 2, F сопр малы, поэтому за короткое время они не успевают существенно изменить импульс системы.

Поэтому можно считать, что импульс системы Рис.12. приблизительно сохраняется MV mv const Если система изначально находилась в покое, то MV mv Конечно, если последить за этой системой достаточно долго, то ее импульс изменится. Сила трения остановит пушку, а сила сопротивления воздуха и сила тяжести заставят упасть снаряд на землю.

В) Однако, наличие упора или наклон ствола орудия существенно меняют ситуацию.

Возникает дополнительная сила N 0, которая очень велика, и поэтому она существенно меняет импульс системы, и пушка, вместо того, чтобы отъехать назад, будет двигаться вперед, или подпрыгнет.

Подводя итог, можно сказать, Рис.12. что импульс системы приближенно сохраняется, если мало произведение главного вектора внешних сил на время их действия.

6. Теорема о движении центра масс Из теоремы об изменении импульса системы следует:

dN dN N drk d Pсистемы mk vk mk Fk внешние dt dt k 1 dt k 1 dt k Операции взятия производной и суммирования можно поменять местами Лекции по механике Р.В.Романов drk d N dmk rk d 2 N dN N dt dt k 1 dt dt k 2 mk rk F k внешние mk dt k 1 k Умножим и поделим левую часть на сумму масс всех точек, то есть полную массу системы, учитывая, что она не зависит от времени N m r d2 d2 kk N N N mk rk mk dt 2 Fk внешние k N dt m k 1 k 1 k k k Величину, стоящую под знаком производной, называют радиус-вектором центра масс механической системы.

def: Радиус-вектором центра масс механической системы называют точку, положение которой определяется следующим образом N N m r m r kk kk rцентра масс k 1 k N m M системы k k Тогда импульс системы можно записать как drцентра масс Pсистемы М системы М системыvцентра масс dt Теорема об изменении импульса механической системы принимает вид d 2 rцентра масс dvцентра масс N Fk внешние М системы М системы dt dt k или более коротко N М системы aцентра масс F k внешние k LEX: Ускорение центра масс системы пропорционально сумме внешних сил и обратно пропорционально массе системы.

N Fk внешние aцентра масс М системы k Очевидно, что если сумма внешних сил равна нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Заметим, что внешне теорема о центре масс похожа на второй закон Ньютона, поэтому при решении задач на движение реальных тел часто говорят, что «применяем» второй закон Ньютона, хотя на самом деле применяют теорему о движении центра масс.

Полезно также отметить, что центр масс не всегда имеет материальный носитель. Так центр масс бублика (тора) находится в центре его дырки.

Лекции по механике Р.В.Романов 7. Пример расчета положения центра масс Пусть имеется простейшая механическая система, состоящая из двух маленьких шариков массами М и m, соединенных жестким легким стержнем длины l – гантель.

Рассчитаем, где центр масс такой Рис.12. системы. Начало системы координат, относительно которой будем проводить расчет, свяжем с массой М.

Очевидно, что эта точка будет находиться на оси, соединяющей эти массы, следовательно, yцм=0. Применяя основную формулу, получаем M 0 ml m xцм l M m M m Очевидно, что если массы одинаковые, то центр масс в середине. Чем больше одна масса другой, тем ближе центр масс к этой массе. Именно к этой точке нужно приложить силу, чтобы удержать Рис.12. систему в равновесии.

Если такую конструкцию бросить с некоторой высоты, то под действием силы тяжести по параболе будет двигаться именно центр масс, а само тело может двигаться достаточно сложным образом.

Пусть одно тело – Земля, а другое - Луна. Масса Луны – 7,351019 кг Рис.12. или в 81,3 меньше массы Земли, среднее расстояние между центрами Земли и Луны – 384.400 км.

Тогда центр масс системы находится на расстоянии 4670 км от Центра Земли, то есть примерно 0,73R3. Вокруг Солнца обращается именно центр масс системы Земля-Луна, а Луна и Земля, в свою очередь, вращаются вокруг этого центра.

Следует заметить, что двойные системы в природе совсем не редкость.

Достаточно вспомнить двойную звезду Сириус А и Сириус В.

Лекции по механике Р.В.Романов 8. Сложение двух параллельных сил Как сложить два произвольных вектора – мы знаем.

Математика дает нам правила треугольника или параллелограмма.

А как сложить два параллельных вектора с разными точками приложения? Модуль – это просто алгебраическая сумма. Направление тоже очевидно. А где точка приложения? Ответ практически получен нами в предыдущем шаге. Рис.12. Рис.12. 9. Понятие момента вектора Напомним, что вектор характеризуется не только величиной и направлением, но и точкой приложения.

def: Моментом вектора, относительно точки называется векторное произведение радиус– вектора, проведенного от этой точки к началу вектора, на сам этот вектор.

M F [r, F ] очевидно, что модуль этого момента: Рис.12. M F rF sin rh где величину h=rsin называют плечо вектора.

def: Плечом вектора, относительно точки называется расстояние от точки до линии действия вектора.

Очевидно, что момент – это вектор, перпендикулярный плоскости, образованной радиус-вектором и искомым вектором. На рисунке он направлен к нам из плоскости листа.

10. Теорема об изменении момента импульса Вновь запишем теорему об изменении импульса одной материальной точки d pk внешние внутренние Fk Fk dt Правую и левую части этого уравнения умножим слева векторно на ее радиус-вектор rk :

d pk r, F k внутренние внешние rk, F k rk, k dt Очевидно, что левую часть можно переписать Рис.12. следующим образом Лекции по механике Р.В.Романов rk, p k k, p k rk, p k vk, p k rk, p k dr d d d dt dt dt dt Очевидно, что под знаком производной стоит момент импульса к-той точки.

Просуммируем по всем точкам системы.

N N N rk, pk rk, F k r, F k внутренние k внешние k 1 k 1 k Второе слагаемое равно нулю для любой пары точек (попробуйте доказать это самостоятельно). Поэтому и для всей системы оно равно 0.

Величина слева – это момент импульса всей механической системы N N Lсистемы rk, pk mk rk, vk k 1 k Справа – сумма моментов внешних сил, действующих на систему. Таким образом, мы получили теорему об изменении момента импульса механической системы LEX: Быстрота изменения момента импульса механической системы определяется суммой моментов внешних сил, действующих на эту систему.

dLсистемы N M k внешние dt K 11. Закон сохранения момента импульса Очевидно, LEX: Eсли сумма моментов внешних сил относительно какой-либо точки равна нулю, то момент импульса механической системы относительно этой точки есть величина постоянная.

Lсистемы const 12. Примеры применения закона сохранения момента импульса Пусть в горизонтальной плоскости на вертикальной оси 0 вращается легкий стержень, на концах которого закреплены два достаточно тяжелых одинаковых шара. Мы смотрим на эту конструкцию сверху. Конечно, силы тяжести приложены к центрам шаров и направлены от нас, но чтобы не загромождать рисунок мы вынуждены показать их несколько в стороне от шаров.

Момент импульса этой системы очевидно равен L m1[r1, v1 ] m2 [r 2,v2 ] m0 [ R0, v0 ] m0 [R0, v0 ] 2m0[ R0, v0 ] Он направлен от нас вдоль оси вращения. Рис.12. Моменты сил тяжести равны: M G1 [r1, G1 ] m0 [ R0, g ] и M G2 [r2, G2 ] m0 [ R0, g ] На рисунке они направлены влево и вправо соответственно и сумма их, очевидно, равна 0.

Лекции по механике Р.В.Романов Таким образом, мы получили, что момент импульса этой системы есть величина постоянная, то есть сохраняется величина 2m0 R0v0 2m0 R0 const где – угловая скорость вращения.

Если шары сблизить, то увеличится их скорость вращения, если раздвинуть подальше, то скорость уменьшится.

Фигурист, когда начинает вращение, раскидывает руки в стороны, а затем прижимает их к себе. Вряд ли он знает закон сохранения момента импульса, но интуитивно он его чувствует! Также для демонстрации этих явлений существует физический прибор, который называется «скамья Жуковского21»

Рассмотрим еще один пример.

Пусть система состоит из одной материальной точки, на которую действует сила, направленная к центру системы отсчета – центральная сила.

F f (r )r Очевидно, что ее момент равен нулю M F [r, F ] f (r )[r, r ] Следовательно, момент импульса механической Рис.12. системы в поле центральных сил сохраняется.

L m[r, v ] const Очевидно, что траектория точки в этом случае – плоская кривая, определяемая начальным радиус-вектором и начальной скоростью. Чем дальше точка от начала системы координат, тем ее скорость меньше, и наоборот. Вспомните, что мы уже говорили об этом, когда изучали законы Кеплера.

13. Теорема об изменении кинетической энергии Запишем теорему об изменении кинетической энергии для к-той точки механической системы 2 mk vk mk vk Ak 2 Здесь Ак – работа всех сил, действующих на к-тую точку.

Если сложить эти выражения для всех точек системы, то, так как кинетическая энергия и работа есть величины алгебраические, получим:

Wк сист Wk 0 сист Aвсех сил ЖУКОВСКИЙ Николай Егорович (1847-1921) - российский ученый, основоположник современной аэродинамики, член-корреспондент РАН (1917;

член-корреспондент Петербургской АН с 1894). Труды по теории авиации, многие исследования по механике твердого тела, астрономии, математике, гидродинамике и гидравлике, прикладной механике, теории регулирования машин и механизмов и др. Участник создания Аэродинамического института в Кучино, под Москвой (1904), и др. Организатор и первый руководитель (с 1918) Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ).

Лекции по механике Р.В.Романов LEX: Изменение кинетической энергии механической системы определяется работой всех сил, действующих на систему, как внешних, так и внутренних.

Обратите внимание, что здесь наблюдается существенное отличие от импульса и момента импульса. Импульс и момент импульса могут изменить только внешние силы, а кинетическую энергию меняют и внешние и внутренние силы.

14. Теорема об изменении полной механической энергии системы Пусть на систему действуют как изнутри, так и извне консервативные и неконсервативные силы.

Выполняя те же операции, что и для материальной точки, можно сказать, что LEX: Изменение полной механической энергии механической системы определяется работой внешних и внутренних неконсервативных сил.

(W2 к сист W2 p сист ) (W1к сист W1 p сист ) A12 неконсервативных сил всех Здесь еще раз стоит напомнить, что работа, кинетическая и потенциальная энергии есть величины аддитивные, то есть работа нескольких сил равна сумме работ каждой силы в отдельности.

15. Теорема Кёнига Запишем полную кинетическую энергию системы, где скорость точки выразим через скорость центра масс и скорость относительно центра масс.

mk vk N mk (vc vk' ) N Wk 2 k 1 k mk vc2 N mk vc ' N N mk vc vk ' 2 k 1 k 1 k Рис.12. Рассмотрим подробнее второе слагаемое N N mk vcvk' vc mk vk' vc pc' k 1 k Второй сомножитель – это импульс системы относительно центра масс.

Очевидно, что это нуль.

Таким образом, получаем mk vc2 N mk vc 2 M системыvc N mk vc ' 2 ' N Wk 2 2 2 k 1 k 1 k LEX: Кинетическая энергия механической системы материальных точек равна сумме кинетической энергии, отсчитанной в системе отсчета, связанной с центром масс, и половине произведения массы системы на скорость ее центра масс.

Теорема Кёнига и закон сохранения импульса дают ответ на вопрос: может ли вся кинетическая энергия системы перейти в другой вид энергии?

Лекции по механике Р.В.Романов Из закона сохранения энергии следует, что если система замкнута, то скорость ее центра масс – постоянна. Следовательно, кинетическая энергия, связанная с движением центра масс, не может быть превращена ни в какие виды энергии.


16. О законах сохранения Для замкнутых систем ряд величин (энергия, импульс, момент импульса) сохраняются. Эти величины еще называют аддитивными интегралами движения, то есть значение интеграла для системы равно сумме значений для отдельных частей системы. Эти законы есть проявления основных законов пространства и времени.

Под однородностью пространства понимается эквивалентность всех точек пространства. Это означает, что если имеется некоторая изолированная физическая система, то развитие событий в ней не зависит от того, в какой точке пространства эта система локализована. Можно показать (см., например, Фейнман), что закон сохранения импульса есть следствие третьего закона Ньютона, который в свою очередь есть следствие однородности пространства.

Под изотропностью пространства понимается эквивалентность различных направлений в пространстве. Это означает, что если имеется некоторая изолированная система, то развитие событий в ней не зависит от того, как она ориентирована в пространстве.

С изотропностью пространства связан закон сохранения момента импульса.

Аналогично можно утверждать, что закон сохранения энергии связан с однородностью времени.

Таким образом, можно утверждать, что законы сохранения есть проявления фундаментальных свойств пространства и времени и хотя они рассматриваются пока только в механике, затем они обобщаются на все известные явления природы.

17. Центр масс и центр тяжести Часто смешивают два понятия: центр масс (его еще называют центром инерции) и центр тяжести, то есть точку приложения силы тяжести.

Очень часто эти точки совпадают, однако можно указать случаи, когда это не так. Центр масс определяется только распределение масс по механической системе. Центр тяжести определяется действием силы тяжести. Пока поле силы тяжести однородно, то все совпадает.

Рассмотрим случай, когда поле неоднородно.

Пусть точечная масса М взаимодействует с длинным стержнем длиной l и массы m как показано на рисунке. Центр стержня находится на расстоянии R от точки. Разобьем мысленно стержень на много малых элементов dm найдем силу dF, действующую на каждый элемент и сложим их. Совершая предельный переход к бесконечно малым элементам массы, Рис.12. переходим от суммирования к интегрированию.

Лекции по механике Р.В.Романов m l Mdm dm dx Mm 2 dx Fx 2 l ( R x) l r l r Rx l Знак - связан с выбором направления оси. Выполняя интегрирование, получаем l Mm 1 Mm Fx l R x l l R l R l после преобразований имеем Mm Fx 2 l R 1 4R таким образом, можно говорить, что центр тяжести находится не на расстоянии R, а на расстоянии l Rцт R 1 4R то есть ниже центра масс, который очевидно расположен в центре стержня.

Понятно, что этот эффект становится практически незаметным, если lR.

Еще один пример. Пусть вблизи поверхности Земли распределение пород неоднородно. В каком-то месте сосредоточены тяжелые породы (железная руда), в другом - легкие (известняки).

Очевидно, что ускорение силы тяжести будет больше в области тяжелых пород и центр тяжести будет смещен в ту же сторону. Такое явление действительно наблюдается вблизи Курской магнитной аномалии22.

Рис.12. КУРСКАЯ МАГНИТНАЯ АНОМАЛИЯ (КМА) - на территории Курской, Белгородской и Орловской обл. Богатые руды открыты в 1931. Площадь ок. 120 тыс. км2. Руды магнетитовые кварциты среди метаморфических пород и гранитоидов докембрия;

богатые железные руды в коре выветривания железистых кварцитов. Разведанные запасы железистых кварцитов св. 25 млрд. т с содержанием Fe 32-37% и св. 30 млрд. т богатых руд с 52-66% Fe.

Месторождения разрабатываются открытым (Стойленское, Лебединское, Михайловское) и подземным (Коробковское) способами.

Лекции по механике Р.В.Романов 18. Центр масс сплошного тела Легко понять, как в принципе рассчитывается положение центра масс для реальных тел. Каждое тело разбиваем на множество маленьких частей массами dm. Размер каждой части устремляем к нулю, таким образом, переходя к материальным точкам. С математической точки зрения это означает переход от суммирования к интегрированию. Следовательно, радиус-вектор центра масс будет находиться по следующей формуле rdm rdm rцм dm M тела Для примера рассчитаем центр масс плоской пластины в виде прямоугольного треугольника однородной плотности.

r dV rdV rцм dV dV то есть в случае однородных тел задача становится Рис.12. чисто геометрической. Выберем начало системы координат в вершине при прямом угле треугольника и будем искать координаты.

xdS xцм dS так как пластина плоская, то интегрирование сведется к интегралу по площади.

b x b a a a b a 2b xdS xdx ax( x b)dx dy xdxdy 0 xцм a S 0 dS dxdy a a xb b ab b dx dy a ( x b)dx S 0 Обратите внимание, что, как и следовало ожидать, в знаменателе получилась хорошо известная площадь прямоугольного треугольника.

Окончательно имеем a xцм Поступая аналогично, находим другую координату центра масс b yцм Рис.12. Вам это ничего не напомнило? Конечно! Это координаты точки пересечения медиан (средних линий). На самом деле результат вполне очевиден. Разрежьте этот треугольник на тонкие полоски вдоль каждой из сторон и убедитесь, что Лекции по механике Р.В.Романов это так. Это общее правило: для однородного тела центр масс совпадает с геометрическим центром фигуры. Для прямоугольника – это точка пересечения диагоналей и так далее.

Если тело неоднородное, то нужно знать плотность как функцию координат.

Если тело достаточно сложной формы, то стоит попробовать разбить его на несколько простых тел, для каждого найти центр масс, а затем общий центр масс как системы материальных точек.

Наконец есть еще несколько «трюков» (по выражению Р.Фейнмана), которые позволяют достаточно просто найти положение центра масс.

Один из них – это так называемая теорема Паппа.

LEX: Если замкнутую фигуру Рис.12. вращать в пространстве так, чтобы каждая точка двигалась перпендикулярно к плоскости фигуры, то объем образующегося при этом тела равен произведению площади фигуры на расстояние, пройденное ее центром масс.

Следует заметить, что эта теорема будет справедливой и если двигать тело по любой кривой линии (в том числе и прямой), перпендикулярной плоскости фигуры, однако это совсем не интересно.

Вновь возьмем наш многострадальный треугольник и покажем, как работает эта теорема.

Повернем его вокруг катета b на 3600. Получится конус. Центр масс пройдет расстояние 2x, площадь фигуры ab/2. Математики утверждают, что объем конуса равен Рис.12. V a b Тогда ab 1 2 x a b откуда и получается известное ранее значение. Аналогично можно повернуть вокруг катета а.

Лекции по механике Р.В.Романов Элементарно рассчитывается положение центра масс полукруга.

Повернем его вокруг диаметра. Тогда центр масс проходит расстояние 2x, площадь полукруга R2, объем шара V R тогда 1 2 x R 2 R3 Рис.12. 2 откуда 4R x Попробуйте получить тот же результат стандартными методами.

Существует еще одна полезная теорема, которая вообще-то является следствием первой.

Предположим, что у нас есть кусок проволоки, изогнутый в виде полуокружности.

Оказывается, что площадь, которая «заметается» плоской кривой при ее движении аналогичном вышеописанному, равна расстоянию, пройденному центром масс, умноженному на длину Рис.12. этой кривой.

2 x R 4 R так как площадь – это поверхность шара. Тогда 2R x Стандартный расчет выглядит следующим образом R cos Rd xdm xdl Рис.12. 2R2 2R xцм R dm dl Rd Если вы достаточно хорошо усвоили материал, то без труда сможете ответить на вопрос: как рассчитать положение центра масс тела с дыркой?

Рис.12. Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Применения теоремы об изменении импульса 1. Движение тела с переменной массой Пусть имеется тело, масса которого может меняться. Мы можем представлять себе это как систему слипшихся материальных точек, которые могут отделяться от этой системы.

Теорема об изменении импульса этой системы имеет вид dP F внеш dt изменение импульса можно записать как dP P P где P (m dm)(v dv ) (dm)v1, Рис.13. P0 mv Здесь dm0 – масса отделившейся части тела, v1 – ее скорость. Тогда dP P P0 mv mdv dmv dmdv dmv1 mv dP mdv dmv dmv1 mdv dm(v1 v ) Здесь мы пренебрегли членом второго порядка малости. Очевидно, что разность скоростей – это относительная скорость отделяющейся части тела относительно самого тела.

vотн v1 v Подставляя полученное выражение в теорему об изменении импульса, получаем mdv vотн dm F внеш dt или dv dm m vотн F внеш dt dt По внешнему виду это уравнение очень похоже на теорему о движении центра масс, однако в правой части помимо обычных внешних сил появился еще один член, который определяется быстротой потери массы системой и скоростью теряемой массы относительно самого тела.

Этот член часто называют реактивной силой.

dm F реакт vотн dt Так как масса уменьшается, то ее производная отрицательна, и сила направлена против относительной скорости. Если ракета выбрасывает газы назад, то на нее действует сила, направленная вперед. Аналогичным образом движутся, например, кальмары, выбрасывая назад струю воды.

Это так называемое «движение без отталкивания» или реактивное движение.

Лекции по механике Р.В.Романов Уравнение, которое описывает данное движение, получило название уравнения Мещерского23.

2. Реактивное движение Будем считать, что внешних сил вообще нет. Тогда уравнение реактивного движения принимает вид mdv vотн dm или dm dv vотн m Если считать, что начальная скорость была равна 0, а начальная масса m0, то после интегрирования получаем m m v vотн ln или v vотн ln m0 m Последнее выражение в виде v m e vотн m называют формулой Циолковского24. В его труде «Исследование мировых пространств реактивными приборами» (1903) выведена вышеуказанная формула и теоретически обоснована возможность создания ракеты, которая может достигнуть скорости 8 км/с. В 1929 году Циолковский разработал идею создания «космических ракетных поездов».


Допустим, что ракете нужно сообщить первую космическую скорость ~8 км/с.

Ракета работает на газовом топливе, скорость истечения которого можно оценить по формуле МЕЩЕРСКИЙ Иван Васильевич (1859-1935) - российский ученый. Профессор Санкт Петербургского политехнического института (с 1902). Труды по механике тел переменной массы, ставшие теоретической основой разработок многих проблем реактивной техники.

ЦИОЛКОВСКИЙ Константин Эдуардович (1857-1935) - российский ученый и изобретатель, основоположник современной космонавтики. Труды в области аэро- и ракетодинамики, теории самолета и дирижабля. В детстве почти полностью потерял слух и с 14 лет учился самостоятельно;

в 1879 экстерном сдал экзамен на звание учителя, всю жизнь преподавал физику и математику (с 1892 в Калуге). Впервые обосновал возможность использования ракет для межпланетных сообщений, указал рациональные пути развития космонавтики и ракетостроения, нашел ряд важных инженерных решений конструкции ракет и жидкостного ракетного двигателя. Технические идеи Циолковского находят применение при создании ракетно-космической техники. В философско-художественном эссе Циолковский развивал "космическую философию", которая опирается на идею "атома" бессмертного одушевленного элементарного существа, курсирующего от организма к организму во Вселенной. Космическая утопия Циолковского предполагает расселение человечества в Солнечной системе и других. звездных мирах, а в будущем - полную биохимическую перестройку обитателей Земли и превращение их в разумные "животно растения", непосредственно перерабатывающие солнечную энергию. Идеи Циолковского легли в основу т. н. русского космизма.

Лекции по механике Р.В.Романов 3RT v где Т – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная, молярная масса. Возьмем самый легкий газ – водород, при температуре 1000 К.

Тогда скорость будет равна 3 8,31103 км v 3, 2 103 с Тогда отношение масс m e 3,5 9,8 m Таким образом, необходимо, чтобы большую часть ракеты занимало топливо и только очень малая часть может быть занята людьми и полезной аппаратурой.

Поэтому достаточно широко распространена конструкция ракет, состоящих и многих ступеней, из которых одна полезная, а остальные с топливом.

Естественно, что топливо должно быть достаточно легким и иметь высокую температуру для достижения самой большой скорости выброса.

3. Элементы теории удара Еще одним применением теоремы об изменении импульса, точнее закона сохранения импульса является теория взаимодействия сталкивающихся тел или коротко теория удара. Бильярдные шары и элементарные частицы достаточно хорошо подчиняются этой теории.

def: Ударом называется столкновение тел, при котором за малый промежуток времени происходит значительное изменение скоростей тел.

def: Линией удара называется общая нормаль, проведенная к поверхности двух соударяющихся тел в месте их соприкосновения при ударе.

Def: Центральным называется удар, при котором центры масс тел находятся на линии удара.

Рис.13.2 Рис.13.3 Рис.13. def: Прямым называется удар, при котором скорости центров масс направлены параллельно линии удара. В противном случае удар называется косым.

Лекции по механике Р.В.Романов Рис.13.5 Рис.13. Теория удара достаточно сложна. Мы рассмотрим два предельных случая:

абсолютно неупругий и упругий удары.

4. Абсолютно неупругий удар def: Удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое.

По закону сохранения импульса m1v1 m2v2 (m1 m2 )u или m1v1 m2v u (m1 m2 ) Здесь u – обозначена скорость после удара.

В случае произвольного удара эта формула позволяет найти скорость центра масс получившегося тела. По сути дела - это определение скорости центра масс. Легко понять, что в общем случае может возникнуть вращение получившейся системы вокруг центра масс.

Если удар центральный и прямой, то все движение происходит вдоль одной прямой, вращения нет, и изменение кинетической энергии (m m2 )u 2 m1v12 m2v2 2 1 (m1v1 m2v2 )2 Wk 1 m1v12 m2v2 2 2 (m1 m2 ) 2 Раскрывая скобки и приводя к общему знаменателю, получим 1 m1m Wk (v1 v2 ) 2 2 m1 m Видно, что изменение кинетической энергии отрицательно, следовательно, часть энергии теряется на деформацию, трение, могут возникнуть колебания и волны, хотя в конечном итоге эта энергия превращается, как правило, во внутреннюю энергию получившегося тела.

Если второе тело до удара покоится. то 1 m1m2 Wk v 2 m1 m а доля потерянной энергии Лекции по механике Р.В.Романов Wk m m1 m Wk Чтобы деформировать тело при клепке, штамповке и т.д. необходимо, чтобы потери кинетической энергии были как можно больше, то есть 1, следовательно, m2m1. Таким образом, масса изделия (вместе с наковальней) должна быть намного больше массы молота.

При забивании гвоздей, свай и т.д. необходимо, чтобы потери кинетической энергии были как можно меньше, то есть 0, следовательно, m1m2. Таким образом, масса гвоздя должна быть намного меньше массы Рис.13. молотка. Оказывается, что Рис.13.8 даже для забивания гвоздей неплохо знать законы физики!

5. Абсолютно упругий удар def: Удар называется абсолютно упругим, если при этом механическая энергия системы не изменяется.

Решение задач на эту тему, как правило, сводится к совместному использованию законов сохранения импульса и энергии.

m1v1 m2 v2 m1u1 m2u m1v12 m2 v2 m1u12 m2u 2 2 2 2 Если удар центральный и прямой, то все происходит вдоль одной прямой (ОХ) и тогда система существенно упрощается m1v1x m2v2 x m1u1x m2u2 x m1v1x m2v2 x m1u1x m2u 2 2 2 Вообще задача сводится к решению квадратного уравнения, то этой малоприятной процедуры можно избежать, если перегруппировать слагаемые так, что слева будут величины, относящиеся к первому телу, а справа – ко второму.

m1 (v1x u1x ) m2 (u2 x v2 x ) m1 (v1x u1x ) m2 (u2 x v2 x ) 2 2 2 Поделим второе уравнение на первое и в системе оставим первое уравнение и результат деления m1 (v1x u1x ) m2 (u2 x v2 x ) v1x u1x u2 x v2 x Лекции по механике Р.В.Романов Выразим из второго уравнения скорость первого тела после удара, и подставим результат в первое, раскрывая попутно скобки.

2m1v1x m1u2 x m1v2 x m2u2 x m2v2 x u1x u2 x v2 x v1x Дальше совсем все просто. Окончательно получаем выражения для скоростей тел после удара в достаточно симметричном виде 2m v v (m m1 ) 2m2v2 x v1x (m1 m2 ) u2 x 1 1 x 2 x 2 ;

u1x m1 m2 m1 m Легко просматривается ряд частных случаев Если тела одной массы m1=m2, то они просто обмениваются скоростями u2 x v1x ;

u1x v2 x Если второе тело покоится, то m m 2m u2 x v1x ;

u1x 1 v1x m1 m2 m1 m Если масса второго тела больше массы первого m1 m2, то первое тело отскочит от него в обратную сторону. Если при этом масса второго тела очень велика m1 m2, то оно вообще останется в покое, а первое отскочит с той же по модулю скоростью, с которой приближалось.

В этом случае говорят о зеркальном отражении (мяч при ударе о стену).

Если при этом мяч двигался под углом к стене, то так как вдоль стены импульс сохраняется (нет сил), то получаем закон Рис.13. отражения.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Динамика абсолютно твёрдого тела 1. Общие замечания При изучении динамики механической системы предполагалось, что речь идет о системе материальных точек. Естественно, что твёрдое тело можно мысленно разбить на очень большое количество материальных точек и тогда все законы, полученные ранее, будут справедливы.

Твердое тело отличается от системы материальных точек тем, что распределение вещества в нем является не дискретным, а непрерывным. Кроме того, чаще всего рассматриваются абсолютно твердые тела (АТТ), то есть тела, расстояния между любыми двумя точками которого остаются неизменными.

Проще говоря, это тела, которые при движении не деформируются. Достаточно часто реальные тела можно заменить моделью АТТ. Описать движение АТТ несколько проще, чем системы материальных точек, поэтому вопрос о динамике АТТ выносится, как правило, на отдельное обсуждение.

2. Сравнение описания системы материальных точек и АТТ Динамику системы материальных точек описывают два уравнения:

теорема об изменении импульса N d Pсистемы Fk внешние, dt k и теорема об изменении момента импульса N d Lсистемы M k внешние, dt K N N Fk внешние сумма внешних сил, а M где - сумма моментов внешних сил.

внешние k k 1 k Как уже отмечалось ранее, эти два уравнения описывают движение системы материальных точек как целого, без детализации картины внутреннего движения. А для АТТ этого движения и нет.

Кроме того, у АТТ 6 степеней свободы: 3 поступательных и 3 вращательных.

Поэтому два векторных (6 скалярных) уравнений полностью описывают динамику АТТ. Конечно, при этом еще нужно знать начальные условия.

С математической точки зрения непрерывность вещества приводит к замене суммирования интегрированием по объему тела.

№ Величина Система АТТ материальных точек m dV 1 Масса n m mi Vтела i 2 Импульс vdV P n P mi vi Vтела i Лекции по механике Р.В.Романов 3 Радиус-вектор rdV n m r центра масс ii rc Vтела rc i dV n m i Vтела i 4 Момент [r, v ]dV L n L [ri, mi vi ] импульса Vтела i 5 Кинетическая v mi vi n Wk Wk dV энергия 2 i 1 Vтела где (x,y,z) - плотность вещества, которая в общем случае является функцией координат.

Следует заметить, что второе уравнение динамики можно записать в другом виде (о котором позже п.4).

3. Вращение АТТ вокруг оси. Осевой момент инерции Пусть имеется АТТ, вращающееся вокруг оси с угловой скоростью Для любой его точки v [, r ] Тогда его момент импульса L [ r, v ]dV [r,[, r ]]dV V V (r, r ) r (r ) dV V r 2 dV Рис.14. V Здесь использована формула векторного анализа «бац минус цаб», учтено, что радиус-вектор любой точки и угловая скорость взаимно перпендикулярны и угловая скорость одинакова для всех точек тела.

Так как последний интеграл всегда 0, то L, то есть момент импульса направлен туда же, куда и угловая скорость.

Этот интеграл зависит только от свойств тела: из чего оно сделано, и его геометрии, поэтому он является физической характеристикой тела. Этот интеграл называют моментом инерции тела относительно оси I r 2 dV.

V Измеряется он в кгм, размерность [I]=ML2.

Такую же величину можно ввести и для системы материальных точек, поэтому вышеприведенную таблицу (в пункте 2) следует дополнить еще одной строчкой Лекции по механике Р.В.Романов 6 Момент r 2 dV I n I mi ri инерции Vтела i 4. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ вокруг оси Используя это понятие, момент импульса можно записать как L I Тогда теорема об изменении момента импульса будет иметь вид d M или I M I dt где - угловое ускорение, а M - суммарный момент внешних сил.

Для сравнения напомним теорему о движении центра масс dv F или ma F.

m dt Очевидно, что обе теоремы внешне очень похожи друг на друга. Теорема о движении центра масс отвечает за поступательное движение твёрдого тела, а теорема об изменении момента импульса - за его вращательное движение.

Ясно, что момент инерции отвечает за инертные свойства тела при его вращении.

Вместе с тем, между массой и моментом инерции есть существенное различие: массу тела изменить нельзя, а момент инерции можно изменить простым изменением формы тела.

Чаще всего основное уравнение вращательного движения записывают в проекции на ось, совпадающей с осью вращения тел, которую, как правило, обозначают ''ОZ'' d z Mz.

I dt Естественно, что если сумма моментов внешних сил равны "0", то момент импульса сохраняется и при изменении момента инерции изменяется угловая скорость.

5. Моменты инерции некоторых тел Приведем несколько примеров расчета моментов инерции твердых тел а) Материальная точка на нити.

I r 2 dV R 2 dv mR I mR Результат вполне очевиден, если рассмотреть это как систему Рис.14. материальных точек, состоящую из одной точки.

Лекции по механике Р.В.Романов б) Цилиндр, вращающийся вокруг своей оси.

R H I r dV r rdrd dz r dr d dz 2 2 V 0 0 R 1 1 2 H R 2 HR 2 VR 2 mR 4 2 2 то есть момент инерции однородного цилиндра относительно его оси равен Рис.14. I mR При расчете здесь был записан элемент объема в цилиндрической системе координат dV rdrd dz и учтено, что объем цилиндра V R2 H в) Стержень относительно его конца.

l l I r dV x dxdydz x dx dydz S 2 2 V Рис.14. 1 Vl 2 ml 3 Таким образом, момент инерции тонкого стержня относительно его конца I ml Здесь был записан элемент объема в декартовой (прямоугольной) системе координат dV dxdydz и Рис.14. учтено, что S dydz - площадь поперечного сечения стержня, а V=lS – его объем.

Интересно, сможете ли вы рассчитать момент инерции, если стержень не тонкий?

г) Шар, относительно оси, проходящей через центр шара.

I r12 dV r 2 sin 2 r 2 sin drd d V 2 R r dr d sin 3 d 0 0 R 424 2 2 R 3 R 2 VR 2 mR 5 353 5 Здесь расстояние до оси r1=rsin элемент объема записан в сферической системе координат dV r sin drd d и Рис.14. учтено, что объем шара V R Лекции по механике Р.В.Романов Интеграл по углу вычисляется следующим образом sin d (1 cos 2 ) sin d sin d cos 2 sin d cos 1 ( cos ) (1 ) (1 ) 3 3 Таким образом, момент инерции шара, относительно произвольной оси, проходящей через центр шара равен I mR 5 Рис.14. Очевидно, что все моменты инерции симметричных тел имеют структуру произведения массы тела на квадрат характерного расстояния и некоторый числовой коэффициент.

6. Теорема Гюйгенса25-Штейнера Эта теорема позволяет, зная момент инерции тела относительно одной оси, проходящей через Рис.14. ГЮЙГЕНС (Хейгенс) (Huygens) Христиан (1629-95) - нидерландский ученый. В 1665- работал в Париже. Изобрел (1657) маятниковые часы со спусковым механизмом, дал их теорию, установил законы колебаний физического маятника, заложил основы теории удара.

Создал (1678, опубликовал 1690) волновую теорию света, объяснил двойное лучепреломление. Совместно с Р. Гуком установил постоянные точки термометра.

Усовершенствовал телескоп;

сконструировал окуляр, названный его именем. Открыл кольцо у Сатурна и его спутник Титан. Автор одного из первых трудов по теории вероятностей (1657).

Штейнер Якоб (Steiner Jacob) (18.3.1796-1.4.1863)-немецкий математик. Член Берлинской Академии Наук (1834г.). Родился в Утценсторфе (Швейцария). Окончил Гейдельбергский университет (1821г). Преподавал математику в Берлинском городском промышленном училище (1825-1835гг). Профессор математики Берлинского университета (с 1835г). Один из творцов проективной геометрии. В основной своей работе "Систематическое развитие зависимости геометрических образов одного от другого" (1834г) построил геометрию, не используя аналитические методы. Штейнер нашел способ построения конических сечений с помощью двух проективных пучков прямых, начал исследование конфигураций, связанных с множеством паскалевых шестиугольников, опирающихся на шесть заданных точек конического сечения. В работах Штейнер отчетливо обнаруживаются элементы теоретико множественных представлений в проективной геометрии. В 1833г. издал книгу "Геометрические построения, осуществляемые с помощью прямой и постоянного круга". В 1842г. вышла его книга "О наибольших и наименьших значениях плоских фигур и о сфере", в которой геометрическими средствами исследованы многочисленные проблемы, касающиеся максимумов и минимумов. В частности, в ней доказывается, что круг является плоской фигурой, имеющей наименьший периметр при заданной площади. Ряд важных результатов получил в геометрии треугольника. Я не знаю тот или не тот это Штейнер, но другого в справочниках (кроме философа) – нет. (прим. автора) Лекции по механике Р.В.Романов центр масс, найти момент инерции относительно параллельной оси.

I AB r ' 2 dV ( a r )2 dV a 2 dV r 2 dV 2( a r )dV dV I 2 a r dV a A0 B Последний интеграл по сути дела представляет собой радиус-вектор центра масс, отсчитанный в системе центра масс (см. строку 3 в таблице), то есть ноль.

Таким образом, получаем I I 0 ma LEX: Момент инерции АТТ, относительно произвольной оси равен сумме момента инерции, относительно параллельной оси, проходящей через центр масс и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

7. Примеры применения теоремы о параллельных осях Рассчитаем момент инерции шара относительно оси, касающейся шара. Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, уже вычислен I 0 mR Тогда 2 I mR 2 mR 2 mR 2 Рис.14. 5 Используем теорему о параллельных осях для определения момента инерции длинного тонкого стержня относительно его центра масс.

Момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня, также уже вычислен. Рис.14. Тогда l2 I 0 I ma ml m ml 3 4 Для сравнения вычислим этот момент инерции обычным образом l l x 2 I r dV x dxdydz x dx dydz S 2 2 3 l l V 13 1 l S Vl 2 ml 12 12 Как и следовало ожидать, результаты одинаковы, однако использование теоремы Гюйгенса-Штейнера существенно проще.

Лекции по механике Р.В.Романов 8. Кинетическая энергия вращательного движения вокруг оси Для вычисления данной энергии используем формулу 5 из таблицы v2 Wk dV [, r ]2 dV 2 2 Vтела Vтела 1 12 r dV 2 V r dV 2 I 22 2 Vтела тела Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть записана как Wkвращ I движ Рис.14. 9. Кинетическая энергия в общем случае Легко понять, что, если твёрдое тело движется поступательно и при этом вращается вокруг какой-либо оси, то так как кинетическая энергия есть величина аддитивная (складывающаяся), то общая кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений, то есть mv 2 I W Wпост Wвращ.

2 Следует заметить, что оба слагаемых в общем случае не зависят друг от друга.

Они связаны только в том случае, если тело движется по поверхности без проскальзывания.

Пример: пусть по плоскости без проскальзывания катится цилиндр радиуса R со скоростью. Тогда 1 2 1 2 1 2 11 2v Wk mv I mv mR 2 mv 2 2 2 22 R Таким образом Рис.14. 3 Wk mv 2 mR 2 4 10. Скатывание тела по наклонной плоскости без проскальзывания Пусть по наклонной плоскости скатывается некоторое тело. По теореме о движении центра масс dv N G F тр m dt В проекциях на ось ОХ dv m x mg sin Fтр ;

dt Рис.14. Лекции по механике Р.В.Романов Здесь Fтр – это сила трения покоя. Она может принимать значения 0FтрFтр max.

При качении она устанавливается именно такой, чтобы не допустить проскальзывания. Мы ее можем вычислить.

По теореме об изменении момента импульса или уравнению вращательного движения АТТ вокруг оси, проходящей через центр масс d M N M G M Fтр I dt В проекциях на ось ОZ (перпендикулярной плоскости листа) d z Fтр R I dt Очевидно, что v z x R Тогда второе уравнение перепишется как I 0 dvx Fтр R 2 dt Складывая первое и второе уравнения, имеем I 0 dvx mg sin m R dt и тогда ускорение центра масс данного тела g sin ax I mR то есть при движении по наклонной плоскости ускорение пропорционально gsin, а коэффициент определяется моментом инерции тела.

Если скатывается однородный сплошной цилиндр, то ax g sin напомним, что для скользящего бруска ax g (sin cos ).

Для скатывания шара по наклонной плоскости определите ускорение его центра масс самостоятельно.

Отметим еще, что, зная ускорение, можно определить силу трения из первого уравнения 1 Fтр m( g sin ax ) mg sin 1 mg sin mR I 1 mR 2 I то есть для цилиндра Fтр mg sin Лекции по механике Р.В.Романов Сила трения скольжения Fтр ск N mg cos. Следовательно, для того чтобы тело двигалось без проскальзывания, необходимо, чтобы Fтр ск Fтр, то есть 1 cos sin tg или mR 2 mR 1 I0 I Так для цилиндра tg. При меньшем коэффициенте трения движение без проскальзывания невозможно.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.