авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Предисловие Это пособие предназначено… Хорошо известно, что… Имеет огромное теоретическое и практическое значение… Поскольку не удалось ответить сразу на все ...»

-- [ Страница 3 ] --

И, наконец, можно определить скорость тела в конце движения. Если тело вдоль плоскости прошло расстояние L, то, как известно из кинематики при отсутствии начальной скорости, конечную скорость можно определить как vx 2 2ax L Следовательно, в конце пути скорость центра масс тела будет равна gL sin vx I mR Для цилиндра 4 gL sin vx gh 3 где h – высота начала наклонной плоскости.

11. Динамика АТТ и закон сохранения энергии В пункте 9 мы нашли кинетическую энергию скатывающегося цилиндра.

Если использовать закон сохранения энергии (а сила трения покоя работы не совершает), то mgh mv Таким образом можно получить тот же результат для скорости, что и в пункте 10.

В общем случае из закона сохранения энергии следует ( I 0 mR 2 ) 2 ( I 0 mR 2 )v mgh mgL sin 2R и тогда скорость gL sin vx I mR Результаты, как и следовало ожидать, совпадают. Согласитесь, что в данном случае энергетический подход существенно проще, чем силовой!

Лекции по механике Р.В.Романов 12. Еще один способ решения Можно рассмотреть вращение тела относительно точки касания плоскости. В этом случае действует только момент силы тяжести, так как остальные моменты равны нулю.

d z M G mgR sin I dt Учитывая связь между угловой и линейной скоростями v z x R получаем I dvx mgR sin R dt откуда mR g sin ax I Где момент инерции следует определить по теореме Штейнера I I 0 mR Вам остается только выбрать, какой из способов более прост и понятен.

Наконец заметим, что при =0 ax=0 и Fтр=0. То есть, по горизонтальной поверхности АТТ может катиться равномерно и прямолинейно, не теряя энергии.

Гироскоп. Рисунок к лекции № Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Элементарная теория гироскопов 1. Общие положения def: Гироскопом (от греч.gyros – круг, skopeo смотрю) называют быстро вращающееся симметричное массивное твердое тело, ось которого может изменять свое положение в пространстве.

Самый известный всем нам гироскоп - это детский волчок (юла). Вспомните, как он ведет себя, если его запустить.

Гироскопы обладают некоторыми полезными свойствами, которые широко используются на практике.

а) Ось гироскопа имеет свойство устойчиво Рис.15. сохранять свою ориентацию в пространстве.

По теореме об изменении момента импульса dL M или L L 0 M dt dt Легко понять, что если внешние силы достаточно малы или время их действия достаточно мало, то при большом собственном моменте импульса его изменение незначительно, потому он приближённо сохраняется L L 0.

Момент импульса зависит от массы L ~ I ~ m и от угловой скорости (частоты вращения) L ~. Поэтому хороший гироскоп должен быть тяжелым и быстро вращаться.

б) Если на гироскоп действует какая-то сила, то наблюдается движение гироскопа перпендикулярно этой силе.

Под действием силы тяжести возникает момент силы M G [ r G] следовательно, изменение момента импульса L M G dt перпендикулярно исходному моменту импульса L0. Гироскоп, сохраняя быстрое вращение вокруг своей оси OZ’, начинает медленно вращаться вокруг вертикальной оси OZ.

Данное движение оси гироскопа называется Рис.15. прецессией.

Лекции по механике Р.В.Романов Пусть за малое время dt момент импульса изменил свое направление на малый угол d.

dL dL MG ;

MG;

dt dt Из рисунка видно, что dL L sin d ;

M G mgr sin.

Тогда d L sin mgr sin dt d Так как z - угловая скорость прецессии, то dt mgr mgr z I z z Lz Прецессия - это эффект первого порядка. Есть ещё эффект второго порядка, который называется нутация – небольшие, но быстрые колебания оси гироскопа около ее среднего положения (чаще всего незаметные на глаз).

Размах этих колебаний, как правило, очень мал и они быстро затухают из-за сопротивления воздуха.

Гироскопы применяются, как правило, в системах навигации самолетов, кораблей и космических аппаратов. Это так называемые гирокомпасы, гирогоризонты и т.д.

Более подробно теорию гироскопа можно посмотреть Фейнман т.1-2, М.Мир, 1976, стр.353., Сивухин §51, 2. Земля – большой гироскоп ПРЕЦЕССИЯ (от позднелат. praecessio - движение впереди) - движение оси вращения АО твердого тела, в частности гироскопа, при котором она описывает круговую коническую поверхность. Одновременно ось может совершать нутационные колебания. Прецессию без нутационных колебаний называют регулярной прецессией. В астрономии прецессия - медленное движение оси вращения Земли по круговому конусу. Ось этого конуса перпендикулярна плоскости земной орбиты, а угол между осью и образующей конуса равен 23027’. Период прецессии равен приблизительно 26 тыс. лет. Вследствие прецессии точка весеннего равноденствия движется по эклиптике навстречу кажущемуся годичному движению Солнца (предварение равноденствия), проходя 50,24’’ в год, полюс мира перемещается между звездами, экваториальные координаты звезд непрерывно изменяются. Одновременно с прецессионным движением земная ось испытывает нутационные колебания.

НУТАЦИЯ (от лат. nutatio - колебание) - колебательное движение оси собственного вращения тела, происходящее одновременно с прецессией, при котором изменяется угол между осью собственного вращения тела и осью, вокруг которой происходит прецессия. В астрономии нутация - небольшие колебания земной оси, налагающиеся на ее прецессионное движение и обусловленные притяжением Солнца и Луны.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Элементы статики 1. Рычаг def: Рычагом называется твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения и подверженное действию нескольких моментов сил (не менее двух).

Рис.16. Если внешние силы приложены по разные стороны оси вращения, то это рычаг первого рода (ножницы).

Если внешние силы приложены по одну сторону от оси вращения, то это рычаг второго рода (весло у лодки).

Рычаги применяются для выигрыша в силе, но при этом наблюдается проигрыш в расстоянии.

G l F l Напомним, что ни один механизм не дает выигрыша в работе. «Золотое правило механики», Рис.16. сформулированное Архимедом27, должно выполняться.

АРХИМЕД (ок. 287 до н. э., Сиракузы, Сицилия - 212 до н. э., там же), древнегреческий математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Разработал методы нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел, которые предвосхитили методы дифференциального и интегрального исчислений. Архимеду принадлежит множество технических изобретений, завоевавших ему необычайную популярность среди современников. Архимед получил блестящее образование у своего отца, астронома и математика Фидия, родственника сиракузского тирана Гиерона II, покровительствовавшего Архимеду. В юности провел несколько лет в крупнейшем культурном центре того времени Александрии, где познакомился с Эрастосфеном. Затем до конца жизни жил в Сиракузах. Во время 2-й Пунической войны Архимед организовал инженерную оборону города. Изобретенные им военные метательные и др. машины (о них рассказывает Плутарх в жизнеописании римского полководца Марцелла) в течение двух лет сдерживали осаду Сиракуз римлянами. Архимеду приписывается также сожжение римского флота направленным на него через систему вогнутых зеркал солнечным светом, но это вряд ли достоверно. Гений Архимеда вызывал такое восхищение у римлян, что Марцелл приказал сохранить ему жизнь, но при взятии Сиракуз он был убит не узнавшим его солдатом. До нас дошло 13 трактатов Архимеда. В самом знаменитом из них - "О шаре и цилиндре" (в двух книгах) Архимед устанавливает, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади наибольшего его сечения;

формулирует соотношение объемов шара и описанного около него цилиндра как 2:3 - открытие, которым он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета (памятник через полтора века видел Цицерон). В этом же трактате сформулирована аксиома Архимеда (называемая иногда аксиомой Евдокса), играющая важную роль в современной математике. В трактате "О коноидах и сфероидах" Архимед рассматривает шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения и их сегменты и определяет их объемы. В сочинении "О спиралях" исследует свойства кривой, получившей его имя и касательной к ней. В трактате "Измерение круга" Архимед предлагает метод определения числа, который Лекции по механике Р.В.Романов 2. Пара сил def: Парой сил называются две равные по модулю, но противоположные по направлению силы, линии действия которых смещены относительно друг друга.

Их момент очевидно равен M M 1 M 2 [OA ', F '] [OA, F ] [OA ', F ] [OA, F ] [ F, OA '] [ F, OA] [ F, OA ' OA] [ F, AA '] Таким образом, момент пары сил не зависит от Рис.16. точки, относительно которой он вычисляется. Пара сил не может вызвать поступательного движения центра масс тела, но может привести тело во вращение.

3. Условия равновесия АТТ def: Равновесием называется состояние механической системы, находящейся под действием сил, при котором все ее точки покоятся по отношению к рассматриваемой системе отсчета.

использовался до конца 17 в., и указывает две удивительно точные границы числа :

3 1/7. В "Псаммите" ("Исчисление песчинок") Архимед предлагает систему 3 10/ счисления, позволявшую записывать сверхбольшие числа, что поражало воображение современников. В "Квадратуре параболы" определяет площадь сегмента параболы сначала с помощью "механического" метода, а затем доказывает результаты геометрическим путем.

Кроме того, Архимеду принадлежат "Книга лемм", "Стомахион" и обнаруженные только в в. "Метод" (или "Эфод") и "Правильный семиугольник". В "Методе" Архимед описывает процесс открытия в математике, проводя четкое различие между своими механическими приемами и математическим доказательством.

Основные положения статики сформулированы в сочинении "О равновесии плоских фигур".

Архимед рассматривает сложение параллельных сил, определяет понятие центра тяжести для различных фигур, дает вывод закона рычага. Знаменитый закон гидростатики, вошедший в науку с его именем, сформулирован в трактате "О плавающих телах". Существует предание, что идея этого закона посетила Архимеда, когда он принимал ванну;

с возгласом "Эврика!" он выскочил из ванны и нагим побежал записывать пришедшую к нему научную истину.

Архимед построил небесную сферу - механический прибор, на котором можно было наблюдать движение планет, Солнца и Луны (описан Цицероном;

после гибели Архимеда планетарий был вывезен Марцеллом в Рим, где на протяжении нескольких веков вызывал восхищение);

гидравлический орган, упоминаемый Тертуллианом как одно из чудес техники (изобретение органа некоторые приписывают александрийскому инженеру Ктесибию).

Считается, что еще в юности, во время пребывания в Александрии, Архимед изобрел водоподъемный механизм (см. Архимедов винт), сыгравший большую роль в ирригационных работах на засушливых землях египетского государства Птолемеев. Он построил также прибор для определения видимого диаметра солнца (о нем Архимед рассказывает в трактате "Псаммит").Сочинения:Archimedes. Opera omnia cum commentariis Eutocii / Ed. J. L. Heiberg. Lipsiae, 1910-15. V. 1-3.Сочинения. М., 1962.

Лекции по механике Р.В.Романов Из основных законов динамики АТТ следуют два необходимых условия равновесия N F внешние k k N M внешние k k то есть сумма сил и сумма моментов сил должны равняться нулю.

Однако этого недостаточно. Нужно еще, чтобы линейная скорость центра масс равнялась нулю, и не было бы вращения тела.

v 0, 4. Устойчивость.

Равновесие бывает трех видов: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

Рис.16. def: Устойчивым называется равновесие, если малое внешнее воздействие на систему вызывает малое изменение ее состояния и при этом в системе возникают силы, стремящиеся вернуть систему в исходное состояние.

Легкое коромысло на острие с двумя тяжелыми шарами, показанное на рисунке будет находиться в устойчивом равновесии, так как центр масс находится ниже точки опоры и в случае отклонения возникает момент, возвращающий систему в исходное положение. Однако, если существенно утяжелить коромысло, то система станет неустойчивой.

Условием устойчивого равновесия является принцип минимума потенциальной энергии, то есть, если система имеет минимально возможную Рис.16. потенциальную энергию, то она находится в устойчивом равновесии.

Образно говорят о том, что система находится в потенциальной яме.

Между двумя атомами, объединенными в молекулу, на малых расстояниях действуют силы отталкивания, то есть потенциальная энергия положительна, а на больших расстояниях Рис.16.6 действуют силы притяжения, то есть Лекции по механике Р.В.Романов потенциальная энергия отрицательна.

Вспомните поведение при сжатии или растяжении какого-либо резинового предмета. График зависимости потенциальной энергии от расстояния выглядит примерно так, как показано на рисунке. Очевидно, что существует некоторое расстояние r0, при котором молекула находится в равновесии.

Вопросами равновесия механических систем называется специальный раздел механики – статика.

5. Твердые и нетвердые тела.

В статике не всегда можно заменять твердые тела на абсолютно твердые тела, даже если деформации пренебрежимо малы.

Пусть балка лежит на двух опорах.

Условия равновесия дают:

Рис.16. N1 N 2 G G L N1 N L N1 2 N 2 2 То есть все очень просто.

А что изменится, если балка лежит на 3 опорах?

N1 N 2 N3 G L?

L L N1 N3 ( x) N 2 Мы имеем два уравнения для 3-х неизвестных и задача становится статически неопределенной.

Рис.16. Конечно, в действительности балка давит на опоры с вполне определенными силами, но для их нахождения необходимо учитывать ее упругие свойства. (см. Сивухин §44 и §80 задача №3).

Идеально твердый стол с четырьмя ножками, стоящий на идеально твердой горизонтальной поверхности, является также статически неопределенной системой. А с тремя ножками все решается просто.

Если Вы посмотрели учебник Сивухина, то уже знаете, что для балки, если третья опора посредине, силы равны 3 N1 N 2 G;

N3 G 16 Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Движение в неинерциальных системах отсчета 1. Неинерциальные системы отсчета (НИСО) def: Неинерциальными называются системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы.

Как правило, все реальные системы отсчета неинерциальны в той или иной степени (геоцентрическая, гелиоцентрическая и т.д.). Поэтому вопрос о движении в НИСО приобретает особое значение.

При рассмотрении вопроса о НИСО с особой остротой встает вопрос о времени, как о длительности процесса и об измерении длин.

Один из путей решения этого вопроса – связать с бесконечно малой областью НИСО ИСО, которая движется с той же скоростью, что и неинерциальная. Такая ИСО называется сопровождающей. Таким путем можно установить зависимости между физическими величинами в бесконечно малых областях, а затем распространить их на конечные области.

Однако в рамках классической ньютоновской механики, то есть при небольших скоростях, можно считать, что пространственно-временные соотношения в НИСО такие же, как если бы она была инерциальной.

2. Силы инерции Пусть под действием силы F движется материальная точка m.

Рассмотрим две системы отсчета: ИСО и НИСО.

В ИСО второй закон Ньютона запишется как maабс F В НИСО с учетом теоремы сложения ускорений этот же закон будет иметь вид Рис.17. maотн F maпер maк def: Произведение массы материальной точки на ускорение НИСО, взятое с обратным знаком называется силой инерции Fи maпер def: Произведение массы материальной точки на ускорение Кориолиса, взятое с обратным знаком называется силой Кориолиса.

Fк maк 2m[пер, vотн ] Обе силы являются фиктивными в том смысле, что нельзя указать тела, со стороны которых действуют эти силы. Кроме того, ясно, что для этих сил не имеет место III закон Ньютона.

Однако эти силы реальны в том смысле, что приводят к конкретным физическим последствиям.

Лекции по механике Р.В.Романов Таким образом в НИСО можно записать выражение, которое по форме напоминает II закон Ньютона.

ma F Fи Fк Дальнейшее изложение будет посвящено рассмотрению конкретных примеров движения тел в НИСО.

3. Поступательно движущиеся НИСО. Маятник на тележке Пусть ускоренно движущаяся НИСО связана с тележкой, на которой укреплен маятник. Тележку толкнули с какой-то начальной скоростью, но под действием, например, силы трения она тормозится.

В ИСО, связанной с поверхностью Земли можно для маятника записать второй закон Ньютона ma G N спроектировать на оси и получить выражение для угла отклонения маятника от вертикальной оси.

max N sin a tg x Рис.17. 0 mg N cos g Эту же задачу можно рассмотреть и в НИСО, связанной с движущейся тележкой, как статическую задачу, так как относительно тележки маятник неподвижен.

G N Fин 0 G N ma Следовательно, из треугольника сил F ma a tg ин G mg g В данном примере оба решения достаточно просты и позволяют легко решить задачу. Однако ряд задач может быть решен гораздо проще именно в НИСО.

Вместе с тем, измерение сил инерции позволяет найти ускорение НИСО относительно ИСО. Такие устройства называются акселерометрами. Так в нашем примере, измерив угол, мы можем определить ускорение НИСО.

Лекции по механике Р.В.Романов 4. Вращательно движущиеся НИСО. Маятник на платформе Пусть тот же маятник находится на равномерно вращающейся платформе.

Решение задачи также проведем как в ИСО, так и в НИСО и сравним полученные результаты.

Рис.17. ИСО НИСО G N Fин ma G N G N man man N sin an 2 R tg Fин m 2 R 2 R 0 mg N cos tg g g G mg g 2 R h 2 T gtg g Здесь h – расстояние от точки подвеса до плоскости вращения маятника.

Часто такую конструкцию называют коническим маятником, а рассмотренную здесь силу называют центробежной силой инерции.

5. Движение тела вдоль вращающегося стержня Пусть вдоль вращающегося равномерно вокруг своего конца стержня может двигаться тело с некоторой скоростью относительно стержня. Стержень вращается в горизонтальной плоскости, поэтому сила тяжести и сила нормальной реакции опоры направлены перпендикулярно листу бумаги и на рисунке не показаны. Силу трения тоже не учитываем.

На тело действует только одна центробежная сила инерции Fц.б. man m 2 r, которую можно скомпенсировать, например ниткой, привязанной к оси вращения (на рисунке не показана).

Если по каким-то причинам тело начинает двигаться от оси вращения (нитка оборвалась или заработал моторчик на теле), то возникает еще одна сила инерции Fк 2m[пер, vотн ] - сила Кориолиса. Она будет замедлять вращение тела. Кроме того возникнет сила Fдеф, действующая со стороны тела на стержень, которая будет его изгибать назад.

Лекции по механике Р.В.Романов Рис.17. Если тело приближается к оси вращения, то сила Кориолиса ускоряет вращение, а стержень будет изгибаться вперед.

Раньше мы уже отмечали изменение скорости вращения тела, когда рассматривали закон сохранения момента импульса. По сути дела при удалении тела от оси вращения увеличивается момент инерции и угловая скорость должна уменьшаться. При приближении тела все происходит наоборот.

Напомним, что со стороны стержня на тело начинает действовать сила реакции по 3 закону Ньютона.

6. НИСО, связанная с вращением Земли Будем считать Землю однородным шаром и рассмотрим НИСО, связанную с некоторой точкой на поверхности Земли – точкой О, положение которой определяется географической широтой.

На материальную точку, находящуюся в точке О, действуют гравитационная и центробежные силы. По ранее данному определению сумма этих сил и есть сила тяжести, то есть сила, действующая на материальную точку вблизи поверхности Земли.

ma G Fгр Fц.б.

по теореме косинусов G Fгр 2 Fц.б.2 2Fц.б. Fгр cos здесь M 3m Fгр, Fц.б. m 2 r m 2 R3 cos R Подставляя, получаем M 32 M Gm 4 R32 cos 2 2 23 2 R3 cos R3 R Если ввести обозначения 2 R33 4 2 R M g0 2, M 3 M 3T 2 Рис.17. R Лекции по механике Р.В.Романов то последняя формула принимает вид g ( ) g0 1 ( 2 2 ) cos Зная гравитационную постоянную =6,6725910-11 Нм/кг2 и параметры Земли:

М3=5,9761024 кг, R3=6,371106 м, Т=86400 с, легко рассчитать, что g0=9,8245 м/c2, a =0, Учитывая малость величины, и разлагая в ряд 1 x 1 x Можно получить g ( ) g0 (1 cos ).

Для широты Москвы (=550) g=9,8052 м/c2, По теореме синусов легко определить угол между гравитационной силой и силой тяжести sin sin Fц.б. mg 2 R3 cos 2 R Fц.б.

sin sin sin sin 2 0, 0018sin g0 (1 cos 2 ) mg 2 g то есть угол очень мал. Очевидно, что угол принимает максимальное значение, если широта местности 450.

Данные расчеты выполнены для идеального шара.

Если учесть форму земного эллипсоида со сжатием 1/297, то можно использовать формулу Кассиниса (1930). Разные справочники дают немного разные числа g 978,014(1 0,005288sin 2 0,0000059sin 2 2 ) g 978,049(1 0,0052834sin 2 0,0000059sin 2 2 ) Если считать сжатие 1/298,2, то можно использовать формулу Гельмерта (1901-1909) g 978,030(1 0,005302sin 2 0,000007sin 2 2 ) Однако различия между результатами, полученными по этим формулам столь незначительны, что имеют значение только для специалистов по гравиметрии.

Лекции по механике Р.В.Романов 7. Движение в НИСО-Земля Пусть теперь в этой системе отсчета движется материальная точка.

Удобно ее скорость разложить на две составляющие: перпендикулярно поверхности Земли и в касательной плоскости.

vотн vв vг Также поступим с угловой скоростью вращения Земли пер в г то есть скорость в перпендикулярна поверхности Земли, а г в плоскости касательной к поверхности Земли и направлена вдоль меридиана с юга на север.

Тогда сила Кориолиса Fк 2m[пер, vотн ] принимает вид Fк 2m[пер, vотн ] 2m[г, vг ] [г, vв ] [в, vг ] [в, vв ] Последнее слагаемое равно нулю.

Три оставшиеся составляющие отвечают за следующие эффекты:

Fк 2m[ г, vв ] Fк 2m[ г, vг ] Fк 2m[в, vг ] Рис.17. Рис.17.7 Рис.17. Если тело движется Если тело движется по Если тело движется по вверх, то отклоняется к поверхности, то поверхности, то западу, если вниз – то к возникает сила, которая возникает еще одна сила востоку. То есть стремится либо прижать, направленная вправо, свободно падающее тело либо удалить тело от если смотреть вдоль под действием силы поверхности Земли. скорости движения тела.

Кориолиса отклоняется Таким образом при Это приводит к подмыву на восток от вертикали движении на восток тело правого берега рек, более (линии отвеса). легче, при движении на сильному изнашиванию запад – тело тяжелее. правого рельса и т.д.

На рисунках направления сил Кориолиса не показаны.

Лекции по механике Р.В.Романов Вообще говоря, решение задачи с учетом силы Кориолиса – процесс достаточно сложный. Необходимо совместно решить три уравнения в проекциях скоростей, которые в компактном (векторном) виде записываются как dvотн 2[ пер, vотн ] dt Сила Кориолиса достаточно мала, например, по сравнению с силой тяжести.

Простейшая оценка дает Fk 2v 4 v 1, 48 105 v( м / с) mg g gT 8. Маятник Фуко Пусть на северном полюсе Земли имеется маятник Фуко массивное тело на длинной нити на свободном подвесе. Для простоты будем считать, что маятник совсем не связан с Землей.

Наблюдатель из ИСО, например, с Полярной звезды, увидит, что маятник качается в одной плоскости, а Земля поворачивается с запада на восток.

Но полярная звезда далеко, поэтому разместим наблюдателя поближе, на самом Северном полюсе. Это уже НИСО. И что же он (или она) увидит? Земля стоит на месте, а плоскость качания маятника поворачивается.

Почему мы не видим ничего подобного в обычных маятниковых часах? А потому что конструкция подвеса заставляет Рис.17. маятник поворачиваться вместе с корпусом часов, со стеной дома, и вместе с Землей. Вот почему мы с самого начала оговорились, что подвес должен быть свободным.

Очевидно, что плоскость качания поворачивается с той же угловой скоростью, что и Земля, следовательно, период равен периоду обращения Земли.

ФУКО (Foucault) Жан Бернар Леон (1819-68) - французский физик, иностранный член корреспондент Петербургской АН (1860). Определил (1850) скорость света в воздухе и воде методом, названным его именем. Осуществил (1851) опыт с маятником (т. н. маятником Фуко), подтвердивший суточное вращение Земли. Обнаружил электрические вихревые токи (токи Фуко).

Лекции по механике Р.В.Романов Если все понятно на полюсе, то несложно это обобщить и на произвольную широту местности. Основную роль играет составляющая угловой скорости перпендикулярная поверхности Земли sin Следовательно, период обращения T T sin На полюсе это 24 часа, на экваторе – бесконечность.

Фуко публично произвел свой опыт в 1851 году. Под большим куполом парижского Пантеона на тросе длиной 70 (или 67) м был подвешен шар массой 28 кг. Период колебаний такого маятника около 17 c. На полу под куполом была сооружена круговая ограда радиусом около 3 м, причем центр окружности находился на одной вертикали с точкой подвеса маятника. Внутри этой ограды был насыпан песок, а маятник оканчивался снизу металлическим острием, которое при каждом качании прочерчивало след на песке. При длительном наблюдении было видно, как плоскость качания поворачивалась по направлению часовой стрелки, если смотреть из точки подвеса маятника.

Полный оборот совершался примерно за 32 часа. Так как широта Парижа 48051’, то Вы можете сравнить данные эксперимента и теории.

Подобные маятники установлены в штаб-квартире ООН в Нью-Йорке (масса 91 кг, период 36 часов 45 мин) и в Ленинграде в Исаакиевском соборе (длина маятника 98 м, амплитуда колебаний 5 м, широта 60 0). В Санкт Петербурге такого маятника уже нет?!

Траекториями маятника Фуко в плоскости поверхности Земли являются довольно таки замысловатые кривые (см. Сивухин §68).

На рисунках приведены эти траектории для двух различных начальных условий. Параметры использованы маятника Парижского Пантеона, правда, период вращения Земли существенно уменьшен, чтобы были хорошо заметны искривления траектории.

Лекции по механике Р.В.Романов 9. Принцип эквивалентности Это утверждение, согласно которому поле тяготения в небольшой области пространства и времени ( в котором его можно считать однородным и постоянным во времени) по своему проявлению тождественно ускоренной системе отсчета. Этот принцип доказан экспериментально с большой точностью.

Проще всего это пояснить на примере лифта. Никаким экспериментом человек внутри лифта не сможет определить:

действует ли на него однородное поле силы тяжести, или лифт движется с постоянным ускорением, Рис.17. так как проявления силы тяжести и силы инерции будут одинаковыми.

С другой стороны из этого принципа вытекает равенство гравитационной и инертной масс, что многократно доказано экспериментально с высокой степенью точности (см. Сивухин §70).

10. О законах сохранения В НИСО действуют силы инерции, которые всегда являются внешними, поэтому в этом случае нельзя говорить о замкнутых системах.

При рассмотрении законов сохранения в НИСО нужно учитывать работу сил инерции и их момент.

Лекции по механике Р.В.Романов Колебания и волны Лекция № Кинематика колебаний 1. Понятие о колебаниях def: Колебаниями называются состояния или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебательные процессы достаточно широко распространены в природе: биение сердца, биоритмы, циклы Рис.18.1 Колебания блеска звезд солнечной активности, годовые колебания температуры.

В технике также они присутствуют практические везде:

маятники в часах, колебательные контуры в радиоприёмных устройствах и т.д.

По мере изучения различных видов колебаний ученые пришли к выводу, что независимо от того, в какой реальной физической системе происходят колебания, математические законы, описывающие эти колебания, одинаковы.

Поэтому теорию колебаний часто рассматривают как Рис.18. отдельный раздел физики, в котором на основе единого математического формализма рассматривают различные колебательные процессы.

2. Гармонические колебания Зависимость колеблющейся величины от времени в принципе может носить сколько угодно сложный характер (рис18..3).

Однако особую роль в физике играют так называемые гармонические колебания, то есть колебания, происходящие по закону синуса или косинуса U (t ) Asin(t 0 ) (18.1) Особая роль гармонических колебаний связана с тем, что практически любую функцию можно разложить в ряд Фурье по гармоническим функциям.

n n f (t ) Ak sin(kt ) Bk cos(kt ) (18.2) Рис.18.3 Виды колебаний k 1 k Лекции по механике Р.В.Романов Таким образом, достаточно изучить гармонические функции, а остальные можно получить простым суммированием.

Общий вид гармонической функции можно записать и по-другому U (t ) B sin t C cos t (18.3) Где B, C – const Обе формулы (18.3) и (18.1) – эквивалентны.

B C sin t cos t U (t ) B 2 C 2 (18.4) B2 C 2 B2 C Если считать, что B C C A B 2 C 2 cos sin tg (18.5) B2 C 2 B2 C 2 B то по формулам тригонометрии как раз и получим (18.1) 3. Характеристики гармонических колебаний В формуле (18.1) 1. A0 – амплитуда –максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия;

2. t 0 - фаза колебания 3. 0 - фаза при t=0 – начальная фаза.

4. 0 - циклическая (или круговая) Рис.18. частота.

Так как колебания должны повторяться во времени, то U (t ) U (t T ) (18.6) def: Минимальный промежуток времени, через который система приходит в исходное состояние называется периодом - Т.

Между периодом и циклической частотой существует соотношение 2 рад [ ] 1 (18.7) с T def: Величина, обратная периоду и равная числу колебаний в единицу времени называется частотой.

[ ] 1Гц (18.8) T Формула (18.1) может быть записана как t U (t ) A sin(2 0 ) (18.9) T Лекции по механике Р.В.Романов 4. Представление колебаний в комплексной форме В математике известна формула Эйлера ei cos i sin i 1 ei cos i sin (18.10) или 1 cos (ei ei ) sin (ei ei ) (18.11) 2 2i Тогда гармоническое колебание может быть записано как A i ( t ei ( t 0 ) U (t ) A cos( t 0 ) (18.12) e Часто комплексное число обозначают z и представляют в виде z ei cos i sin ReZ iImz (18.13) где - модуль комплексного числа, - аргумент комплексного числа или фаза, ReZ и ImZ – действительная и мнимые части.

Экспонента – функция очень удобная для математических действий, особенно для дифференцирования и интегрирования. Поэтому при решении задач на колебания пишут зависимость в виде U (t ) Aei ( t 0 ) (18.14) Выполняют с ней необходимые действия, а затем берут либо действительную, либо мнимую часть комплексного числа.

Графически комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, который в случае зависимости от времени вращается против часовой стрелки с угловой скоростью (рис. 18.5).

Проекции этого вектора на оси являются действительными величинами.

Дальнейшие действия можно проводить как с векторами.

Из рисунка хорошо видно сходство колебательного и вращательного движений. Рис.18. 5. Сложение колебаний одного направления с одинаковыми частотами Пусть шарик на пружине совершает гармонические колебания. Точка подвеса также прикреплена к пружине и может совершать гармонические колебания.

Координата шарика относительно подвеса x1 A1 cos(t 1 ) Координата подвеса относительно точки крепления Лекции по механике Р.В.Романов x2 A2 cos(t 2 ) Тогда результирующее колебание x x1 x A1 cos t cos 1 A1 sin t sin 1 A2 cos t cos 2 A2 sin t sin ( A1 cos 1 A2 cos 2 )cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 )sin t A cos(t ) где A1 sin 1 A2 sin tg A1 cos 1 A2 cos 2 Рис.18. а амплитуда A2 ( A1 cos 1 A2 cos 2 ) 2 ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) A12 cos 12 2 A1 A2 cos 1 cos 2 A22 cos 2 A12 sin 2 1 _ A1 A2 sin 1 sin 2 A22 sin 2 A12 A2 2 A1 A2 cos(1 2 ) Таким образом, получаем результирующее колебание с той же частотой, а амплитуда зависит от разности фаз.

Если 1 2 2 n, то A A1 A2, Если 1 2 n, n – нечетное, то A | A1 A2 | Если 1 2 (2n 1), то A A12 A В первом случае происходит усиление колебаний, а во втором- ослабление.

Если при этом амплитуды колебаний равны, то в зависимости от разности фаз может произойти удвоение амплитуды или гашение колебаний. Рис.18. Данный результат мог быть легко получен с помощью комплексных чисел. Колебания легко сложить, используя теорему косинусов.

Лекции по механике Р.В.Романов 6. Сложение колебаний одного направления с разными частотами. Биения Будем для простоты считать, что амплитуды одинаковы, а 0= x1 A cos 1t x2 A cos 2t (18.23) x x1 x2 A cos 1t A cos 2t A(cos 1t cos 2t ) 1t 2t 1t 2t 2 A cos cos 2 Если частоты близки друг к другу 1 2 1, тогда t cos t x 2 A cos (18.25) Величину 2 A cos t называют медленно меняющейся амплитудой. Происходят колебания с периодом 2 T (18.26) Такого рода колебания называют Рис.18. биениями.

Если амплитуды и фазы разные, то качественная картина не меняется.

7. Сложение колебаний взаимно перпендикулярных направлений с одинаковыми частотами Пусть x A1 cos t y A2 cos( t ) тогда x cos t A y cos t cos sin t sin Рис.18. A x2 y2 x2 x y x xy cos 1 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 2 sin A2 A1 A1 A2 A1 A2 A1 A y2 x xy cos 2 sin A2 A1 A2 A Из курса аналитической геометрии известно, что в общем случае это уравнение эллипса с произвольно повернутыми осями.

Лекции по механике Р.В.Романов 0 2 y x y x 0 A2 A1 A2 A y 2 x A A y 2 x y 2 x A2 A A1 A 8. Сложение колебаний взаимно перпендикулярных направлений с разными частотами Пусть теперь x A1 cos t y A2 cos2t Из тригонометрии известно, что 1 cos2t 2cos2 t тогда x y A2 (2cos t 1) A2 (2 2 1) A 2A y 2 x 2 A A1 Рис.18. То есть уравнение параболы.

9. Фигуры Лиссажу Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний относятся как целые числа, то при их сложении получаются фигуры, которые называются фигурами Лиссажу29.

Их вид зависит от соотношения амплитуд, частот, сдвига фаз. Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат.

Жюль Антун Лиссаж (фр. Jules Antoine Lissajous;

4 марта 1822 — 24 июня 1880) — французский математик, в честь которого названы фигуры Лиссаж. Член-корреспондент Парижской Академии Наук (1879).

Лекции по механике Р.В.Романов Рис.18.11 Фигуры Лиссажу 10. Кинематические величины при колебаниях Пусть координата точки изменяются по гармоническому закону x xm cos(t 0 ) Тогда dx xm sin(t 0 ) vx m sin(t 0 ), где vx m xm vx dt dvx d 2 x 2 xm 2 cos(t 0 ) ax m cos(t 0 ), где ax max xmax ax dt dt Очевидно, что все величины изменяются по гармоническому закону, однако сдвинуты по фазе.

Легко заметить, что vx x 2 xm и ax 2 x 0 (18.35) 2 x 2 x Последнее соотношение нам еще не раз понадобится. Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с Рис.18. постоянными коэффициентами.

Лекции по механике Р.В.Романов 11.Начальные условия Очевидно, что колебания полностью описываются частотой, амплитудой и начальной фазой, причем частота определяется физическими параметрами, а амплитуда и начальная фаза определяется начальными условиями.

x t 0 x0 и vx t 0 vx 0 (18.36) тогда x0 xm cos0 v0 x xm sin Откуда vx vx tg0 x0 2 xm и 2 (18.37) x0 Достаточно часто считается, что система выведена из состояния равновесия, но скорость при этом нулевая x t 0 x0 и vx t 0 0 (18.38) Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Динамика гармонических колебаний Колебания достаточно часто называют осцилляциями, а колебательную систему – осциллятором.

Если в энергии учитывается только первый член, kx U ( x) и F gradU Fx ( x) kx (19.1) То такую систему называют линейным гармоническим осциллятором.

Если учтены члены более высокого порядка, то ангармоническим.

Рассмотрим простейшие колебательные механические системы.

1. Пружинный маятник Пусть на гладкой горизонтальной поверхности (или стержне) может скользить груз, прикрепленный к пружине.

Отклонения от положения равновесия небольшие. Поэтому применим закон Гука. Запишем Рис.19. теорему о движении центра масс m a F упр N G max Fупр kx (19.3) k k x 2 x ax x 0 (19.4) m m 2. Физический маятник Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Проще говоря, физический маятник - это твёрдое тело, подвешенное на горизонтальной оси в поле силы тяжести.

Трением в оси пренебрегаем.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения АТТ I MG M N Рис.19. Момент силы реакции равен нулю, так как плечо этой силы равно 0. Тогда Лекции по механике Р.В.Романов I k m[lg ] В проекциях на ось OZ I mgl sin mgl mgl sin 0 2 2 sin 0 (19.8) I I Это уравнение в физике и в математике называется уравнением маятника. При малых углах sin и тогда 2 0 (19.9) 3. Математический маятник Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в поле силы тяжести.

В реальности это тяжелый маленький шарик на прочной легкой нити.

Для разнообразия используем 2 закон Ньютона и естественные оси координат ma N G ma mg sin z a zl Тогда получаем уравнение ml mg sin Рис.19. g g sin 0 2 2 sin 0 (19.13) l l в точности совпадающее с уравнением физического маятника. Это и понятно, так как математический маятник – это частный случай физического с моментом инерции I ml 4. Обобщение для данных колебательных систем.

Очевидно, что для рассмотренных колебательных систем уравнения совпадают с точностью до обозначений. Ранее было показано, что уравнение такого вида имеет решение в виде гармонических колебаний.

маятник частота период Пружинный m k T k m Физический I mgl T mgl I Математический g l T l g Лекции по механике Р.В.Романов Таким образом, все рассмотренные колебательные системы совершают гармонические колебания с частотой, определяемой параметрами системы.

5. Энергетика гармонических колебаний Для простоты рассмотрим пружинный маятник.

x xm cos(0t 0 ) vx xm sin(t 0 ) Тогда кинетическая и потенциальная энергии mvx mxm 2 2 sin (t 0 ) Wk 2 kx 2 kxm cos 2 (t 0 ) m 2 xm 2 cos 2 (t 0 ) Wp 2 2 А их сумма, то есть полная механическая энергия m 2 xm W Wk Wp const (19.24) Таким образом, при гармонических колебаниях полная энергия механической системы сохраняется и происходит только преобразование энергии из одного вида в другой.

Это и понятно, так как в рассмотренных системах нет потерь энергии.

Естественно, что данный вывод справедлив и для других колебательных систем. Рис.19. Средняя за период энергия (кинетическая или потенциальная) равна T T T 1 kx 2 1 1 kxm Wk Wp Wp dt cos (t 0 )dt dt To To 2 T2o kxm m 2 xm 2 Wk Wp 4 Отметим, что энергия пропорциональна квадрату частоты.

В заключение заметим, что далека от действительности легенда о том, что Галилей открыл закономерность маятниковых движений, наблюдая за люстрой, висящей на длинном шнуре в Пизанском соборе. Дело в том, что он объявил о своем открытии в 1581 году, тогда как люстра была повешена 6 годами позже.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Затухающие колебания 1.Уравнение колебаний Для любой реальной колебательной системы существуют процессы, приводящие к потере энергии и, следовательно, к изменению амплитуды колебаний.

Будем считать, что речь идёт о жидком или вязком трении, когда Рис.20. сила трения пропорциональна скорости.

m a F упр N G F тр max Fупр x Fтр x kx vx (20.2) коэффициент трения.

k k 02 a x vx x 0 (20.3) m m m m x 2 x 0 x (20.4) Здесь мы немного изменили обозначение частоты колебаний, чтобы подчеркнуть, что это собственная частота системы.

Последнее уравнение приводится во всех справочниках как уравнение колебаний. Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Как известно, уравнение (20.4) имеет три решения, в зависимости от соотношения между параметрами 0 и.

2. Слабое затухание Пусть 0. Решение уравнения (20.4) в этом случае ищут в виде x e t cos(t 0 ) а скорость vx Ae t ( cos(t 0 ) sin(t 0 )) где 0 2.

При подстановке начальных условий (18.38), имеем 0 A( cos0 sin 0 ) x0 cos откуда x tg0, cos 0, A 0 1 tg 20 Выражение для скорости можно записать также в виде vx A 2 2 e t sin(t 0 ), где arctg Лекции по механике Р.В.Романов и тогда vx 0e t sin(t ) В конечном итоге получаем x00 t e cos(t 0 ) x(t ) x00 t где tg vx (t ) e sin(t ) (20.13) То есть тоже есть сдвиг фаз, но не на /2, а на угол, определяемый выше.

Таким образом, колебания происходят с уменьшенной частотой, причем амплитуда колебаний также уменьшается со временем.

Из формул (20.13) при =0 следуют гармонические колебания.

Конечно эти колебания не периодические в строгом смысле, поэтому говорят о квазипериодических колебаниях с периодом Рис.20.2 T.

Очевидно, что амплитуда уменьшается в e раз за время, причем называется декрементом затухания. Кроме того, часто вводят понятие логарифмического декремента затухания.

def: Логарифмическим декрементом затухания называется логарифм отношения амплитуд, взятых через период.

e t A(t ) ln ln (t T ) T A(t T ) e Иногда используют другое определение def: Логарифмическим декрементом затухания называется величина, обратная количеству периодов, в течение которых амплитуда уменьшилась в e раз.

За N периодов амплитуда уменьшилась в A( NT ) Amax e NT e NT e N Amax Amax 1 A ln max N A( NT ) Для характеристики колебаний используют понятие добротности. По смыслу это в раз большее число полных колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз.

Лекции по механике Р.В.Романов Q 02 2 1 Q T 2 2 2 1 4km Q Ясно, что при 0, Q - добротность очень высокая, затухания практически нет. Естественно и, наоборот: при большом трении добротность уменьшается, и колебания быстрее затухают.

Высокая добротность Низкая добротность Рис.20.3 Рис.20. 3. Критическое условие существования колебаний (Критический режим) Теперь рассмотрим случай 0.

Очевидно, что добротность Q=0, при =0 и, следовательно, период бесконечен.

2 km решение в этом случае ищут в виде x e t (c1t c2 ) а скорость vx e t (c1t c2 ) e t c1 e t (C1 (C1t C2 )) При тех же начальных условиях имеем x c x0 c C1 q 0 c2 c И окончательное решение x(t ) x0e t ( t 1) vx (t ) x0 2e t t Таким образом, колебательный характер Рис.20. решения исчез, и величины просто затухают во времени.

Лекции по механике Р.В.Романов При малых временах x x0 (1 t )(1 t ) x0 (1 2t 2 ) vx x0 2 (1 t )t x0 2t Максимальное значение скорость достигает при tmax и равно x0 x vx max e e Если система выводится из равновесия толчком, то начальные условия имеют вид x t 0 0 и vx t 0 v0 (20.47) 0 c2 0 c v0 c2 c1 c1 v И окончательное решение x(t ) v0te t vx (t ) v0e t (1 t ) 4. Сильное затухание (апериодический режим) При дальнейшем росте трения колебаний тем более нет, но тем не менее данный режим называется апериодическими колебаниями.

Пусть теперь 0. Решение хорошо известно и в этом случае:

координата x A e( )t B e( )t, скорость vx A( ) e( )t B ( ) e( )t 2 0, где а константы определяются из прежних начальных условий.

x0 A B 0 A ( ) B ( ) x0 A(1 ) A BA Рис.20. Лекции по механике Р.В.Романов A x B x И окончательное решение x 0 ( ) e( )t ( ) e( )t x x vx 0 0 {e( )t e( )t } Если o t x x0e При малых временах решение имеет вид x=xo и vx x00 t Максимальная скорость достигается при tmax ln 2 и равна 1 02 2 2 I max q0 2 5. Энергия при слабозатухающих колебаниях Как ведет себя энергия при гармонических колебаниях, мы уже знаем.

В случае слабозатухающих колебаний зависимость энергии от времени показана на рисунке.

Видно, что есть моменты времени, когда энергия практически не изменяется. Это происходит в случаях, когда скорость равна нулю, то есть сила трения работы не совершает.

Рис.20. Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Вынужденные колебания. Резонанс 1. Вынужденные колебания О вынужденных колебаниях говорят в том случае, если на систему действует какая-либо внешняя сила, которую называют вынуждающей.

Самый простой пример – раскачка качелей.

Рис.21. По-прежнему будем рассматривать пружинный маятник, на который теперь будет действовать еще дополнительная внешняя сила.

m a F упр N G F тр F внеш max Fупр x Fтр x Fвнеш x kx vx Fвнеш x (21.2) При тех же обозначениях получаем F x 2 x 0 x внеш x (21.3) m Это уравнение стало уже неоднородным.

Из математики известно, что решение такого уравнения это общее решение однородного и частное решение неоднородного.

x(t ) x0 (t ) x* (t ) (21.4) Колебания, возникающие на начальной стадии (в переходный период) имеют достаточно сложный вид.

Однако, как было показано ранее, общее решение однородного уравнения – это затухающие колебания, поэтому через некоторый промежуток времени они исчезнут, и останется только частное решение неоднородного, которое мы и будем рассматривать.

2. Постоянная вынуждающая сила В качестве примера рассмотрим тот же пружинный маятник, только подвешенный вертикально.

Сначала будем считать, что сила тяжести отсутствует (экзотический случай).

Груз будет совершать колебания около положения равновесия.

Рис.21. Лекции по механике Р.В.Романов Теперь включим силу тяжести. Колебания сохранят свой характер, только положение равновесия сместится.

Для данного случая частное решение – константа, значение которой находится простой подстановкой mg g gm 02C x* const C g C m k По сути дела, мы нашли смещение положения равновесия, или насколько растянулась пружина.

Этот же результат можно было легко получить без теории колебаний, а лишь используя условие равновесия.

3. Переменная вынуждающая сила Практически важным является случай, когда внешняя сила переменная.

Fвнеш F0 cos(t ) (21.6) Здесь – частота вынуждающей силы.

Используя простую подстановку, легко показать, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид x* A cos(t 0 ) где амплитуда и начальная фаза определяются следующими соотношениями.

F0 A ( 2 0 )2 4 2 m tq0 Следует подчеркнуть, что начальное состояние существенно, только на начальной стадии процесса, а затем колебания выйдут на стационарный режим и будут совершаться с частотой вынуждающей силы.

4. Резонанс Очевидно, что амплитуда и фаза зависят от частоты вынуждающей силы.

Перейдем к безразмерным параметрам и x=. Тогда F0 A m0 ( x 2 1)2 4 2 x 2 x tq0 x и построим графики при Из рисунка 21.3 хорошо видно, что может наступить явление резонанса.

Лекции по механике Р.В.Романов Рис.21.3 Рис.21. Выясним, при каких условиях в системе устанавливаются колебания с максимальной амплитудой.

Амплитуда максимальна, если минимален знаменатель, следовательно, рез 02 2 2 tg x рез 1 2 2 tg0 2 или Амплитуда при этом равна F0 1 F Amax m0 2 1 0 m 2 0 2 2 Как правило, в хорошей колебательной системе И тогда F0 1 F рез 0 tg0 0 Amax m0 2 m 2o Кроме того F0 m 20 0 2 Amax Q - добротность 2 T F A m0 то есть, чем выше добротность, тем больше проявляются резонансные явления.

При большом трении явление резонанса, даже слабое, не возникает.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Механические волны 1. Общие понятия def: Волной называется изменение некоторой совокупности физических величин (полей), способное перемещаться (распространяться), удаляясь от места их возникновения или колебаться внутри ограниченной области пространства.

В современной физике понятие «волна» столь многозначно, что весьма трудно указать общие признаки процессов, которые мы по интуиции относим к волновым.

В известном смысле понятие «волна» относится к первичным понятиям, так как его весьма трудно определить через что-то более общее и широкое.

Рис.22. Кроме того следует понимать, что даже разделение на «волны» и «частицы» не носит абсолютного характера, так как проявляется так называемый корпускулярно-волновой дуализм (КВД), причем КВД присущ не только микро- но и макрообъектам.

В физике известно понятие уединенной волны (солитона), локализованного в ограниченной области пространства, который проявляет свойства частиц, например, сохраняет свою структуру при столкновениях.

Оставаясь в рамках классической механики, будем называть волной следующее:

def: Процесс распространения колебаний среды в пространстве называется механической волной.

Следует подчеркнуть, что при распространении волны частицы среды вовлекаются в колебательное движение и захватывают соседние области, вовлекая их тоже в колебательное движение, однако сами вместе с волной не перемещаются, то есть происходит процесс перемещения колебания, а не вещества, например поплавок на воде.

Лекции по механике Р.В.Романов 2. Продольные и поперечные волны Видов волн известно достаточно большое количество. Некоторые примеры показаны на рис.22.2.

Рис.22.2а Рис.22.2б Будем рассматривать только продольные и поперечные волны.

Поясним образование обоих типов волн на примерах Поперечные продольные Рис.22.3а Рис.22.3б def: Поперечной называется волна, колебания в которой направлены перпендикулярно распространению волны.

def: Продольной называется волна, колебания в которой направлены вдоль распространения волны.


Поперечные волны могут возникать только в среде, обладающей сопротивлением сдвигу, например, в твердых телах.

Продольные волны могут возникать в твердых, жидких и газообразных телах.

Рассмотрим подробнее процесс образования поперечных волн. Возьмем в качестве модели реального шнура цепочку шариков (материальных точек), связанных друг с другом упругими силами. На рисунке 22.4а изображен процесс распространения поперечной волны и показаны положения шариков через последовательные промежутки времени, равные четверти периода.

Лекции по механике Р.В.Романов Продольную волну можно наблюдать на длинной мягкой пружине большого диаметра. Ударив по одному из концов пружины, можно заметить, как по пружине будут распространяться последовательные сгущения и разрежения ее витков, бегущие друг за другом.

Приведем лучшее на наш взгляд описание возникновение продольной волны, данное О.Д.Хвольсоном (т1 стр.159).

«Проф. Ф. Ф. Петрушевский дал рисунок, ясно показывающий последовательные изменения в распределении частиц при продольных колебаниях;

он воспроизведен на рис. 22.4б. Частицы обозначены точками. На горизонтальных строках, обозначенных римскими цифрами от I до XIII, показано распределение частиц через равные промежутки времени Т:12.

Каждая из вертикальных прямых, обозначенных арабскими цифрами от 1 до 13, соответствует положению равновесия одной из 13 частиц.

Рис.22.4а Рис.22.4б Строка I (t=0): все частицы в покое. Строка II (t=Т:12): частица переместилась, остальные в покое. Строка III (t=2Т:12): частица переместилась далее направо, 2 начала двигаться. Строка IV(t=ЗT:12): достигла крайнего удаления, 2 перешла дальше вправо, 3 начала двигаться.

Строка V (t=4Т:12): 1 пошла назад, 2 в крайнем удалении, 3 пошла дальше, начала двигаться. Строка VI(t=5Т:12): 3 достигла крайнего положения, 5 начала двигаться. Строка VII(t=T:2): частица 1 совершила половину колебания, достигла крайнего положения, 7 приступает к движению. Ясно, что расстояние 1—7 равно полуволне и что частицы 1 и 7, одновременно, но в противоположных направлениях выходящие из своих положений равновесия, и далее постоянно будут находиться в противоположных фазах. Так в строке X частицы 1 и 7 достигли крайних положений, одна влево, другая вправо. Строка XIII соответствует моменту t=Т, когда 1 совершила одно полное колебание, Лекции по механике Р.В.Романов половину колебания и 13 только приступает к движению. Расстояние 1— равно длине волны и частицы 1 и 13 далее постоянно будут находиться в одинаковых фазах;

частицы же 7 и 13 находятся в фазах противоположных.

Строка XIV показывает распределение первых 18 частиц во время nТ+T/12, где n целое число, большее единицы. Для частиц 1—14 строка XIV может быть рассматриваема как простое продолжение строк предыдущих;

но частицы 15—18 в строках XXV—XIV как бы продолжают уже ранее начатые ими движения.»

3. Волновой фронт и волновая поверхность Пусть в воду бросили камень. От него пошли круги, то есть начала распространяться волна.

def: Геометрическое место точек среды, до которых дошло колебание, называется волновым фронтом (фронтом волны).

def: Геометрическое место точек среды, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью.

Ясно, что волновых поверхностей множество, а волновой фронт в каждый момент времени - один. Рис.22. Волновые поверхности могут быть самой разнообразной формы, однако наиболее распространены две простейшие формы: сферическая и плоская.

Камень, брошенный в воду, создает волну, похожую на сферическую.

Колеблющаяся доска, погруженная в воду, создает хорошее приближение к плоской волне.

Рис.22.5а Рис.22.5б Лекции по механике Р.В.Романов 4. Длина волны Пусть волновой фронт ушел достаточно далеко. Сделаем два мгновенных снимка распределения вещества через небольшой промежуток времени.

Очевидно, что за время t волна сместится на расстояние x=vt, где v скорость волны.

def: Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний.

=vT Очевидно, что за период колебание изменяет свою фазу на 2, то есть Рис.22. система возвращается в исходное состояние.

def: Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2.

Ясно, что длина волны – это пространственная характеристика среды, а период - временная.

5. Волновое число и фазовая скорость волны.

def: Волновым числом называется величина, равная 2 k vT v Это пространственный аналог циклической частоты колебаний. Измеряется в 1/м.

def: Фазовой скоростью волны называется величина, равная vф k Для однородной изотропной среды она совпадает со скоростью волны.

6. Уравнение плоской и сферической волн def: Уравнением волны называется выражение, которое дает зависимость колеблющейся физической величины от координат и времени u u (r, t ) Это выражение в предположении о периодичности функции в пространстве и во времени можно записать для гармонической плоской волны в явном виде u(r, t ) A cos(t kr 0 ) или в комплексном представлении u (r, t ) Aet kr Лекции по механике Р.В.Романов Здесь k – волновой вектор, то есть вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление нормально волновой поверхности.

Для сферической волны A u (r, t ) cos(t kr 0 ) r Следует подчеркнуть, что уравнение волны может быть записано как u(r, t ) A cos(t k x x k y y k z z 0 ), где кx – проекция волнового вектора на соответствующую ось cos kx – угол между волновым вектором и соответствующей осью.

7. Волновое уравнение Уравнение волны является решением дифференциального уравнения второго порядка в частных производных, которое называют волновым уравнением 1 2u u 2 2 v t где знак является дифференциальным оператором второго порядка и называется оператором Лапласа30. По сути дела, это его определение. Оператор Лапласа не следует путать со знаком – изменение. (Смешно, но значки абсолютно одинаковые.) 2 u 2 u 2u В декартовых координатах он имеет вид u.

x y z 2 2 Если есть какой либо источник волн f f (r, t ), то 1 2u u 2 2 f (r, t ) v t Это уравнение Даламбера31.

Лаплас Пьер Симон (Laplace P.) (1749–1827) – французский астроном, физик и математик.

Был председателем Палаты мер и весов. Основные работы – в «Трактате о небесной механике». Вывел барометрическую формулу, выражение для капиллярного давления.

Придал общий вид закону Био-Савара в электродинамике. Широко известен в математике.

Д'АЛАМБЕР (D'Alembert) Жан Лерон (1717-83), французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почетный член Петербургской АН (1764). В 1751- вместе с Д. Дидро редактор «Энциклопедии ». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем (Д'Аламбера принцип).

Обосновал теорию возмущения планет. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре.

Лекции по механике Р.В.Романов 8. Другой вид уравнения волны.

Пусть волна распространяется вдоль оси ОХ. Тогда можно записать k u ( x, t ) A cos(t k x x 0 ) A cos (t x x 0 ) Выражение k (t x x 0 ) const дает связь между временем и положением точки, в которой осуществляется определенная фаза.

Возьмем производную от обеих частей k dt x dx 0, откуда следует dx vx, k x dt то есть вновь получили выражение для скорости волны, причем для такой формы записи волна распространяется в положительном направлении оси.

Если записать уравнение волны в виде u( x, t ) A cos(t k x x 0 ) То эта волна будет распространяться противоположно оси.

9. Скорость упругих волн в твердых телах Вычислим скорость распространения малых продольных возмущений в стержне, возникших в результате действия постоянной силы давления F, приложенной в некоторый момент к его свободному концу (рис. 22.7). Этот момент в дальнейшем принимается за нулевой, то есть за начало отсчета времени.

В возмущенной области стержня все вещество в любой момент времени t движется с постоянной скоростью v, а сам стержень в указанной области всюду Рис.22. деформирован одинаково. Если m — масса деформированной части стержня в момент t, то его импульс в тот же момент будет mv. Приращение импульса стержня за время dt, т. е. d(mv), равно импульсу силы Fdt за то же время. Это дает d (mv) F dt За время t возмущение проходит путь l=ct, где с – скорость распространения возмущения. Масса возмущенной области стержня будет m=Sct, где S Лекции по механике Р.В.Романов площадь поперечного сечения стержня, а — его плотность. Строго говоря, под S и в этом выражении следовало бы понимать значения этих величин для невозмущенного стержня. Однако в пределах принятой здесь точности расчета в соотношениях подобного рода нет необходимости учитывать разницу между значениями, S и аналогичных величин в возмущенном и невозмущенном состояниях. Это необходимо делать только при рассмотрении сильных возмущений. Подставив в формулу полученную массу, а вместо силы F = pS, где p — давление в возмущенной области стержня, получим p=cv.

Ранее (лекция 10 п.6) отмечалось, что давление (механическое напряжение) связано с относительным сжатием стержня по закону Гука соотношением p=Е., где Е – модуль Юнга.

Для нахождения относительного удлинения заметим, что к моменту времени t правый конец сжатой области стержня В еще не успел переместиться, тогда как левый свободный конец его А двигался в течение времени t и переместился на расстояние vt. В результате длина возмущенной области стержня по сравнению со своей исходной длиной укоротится на l=vt. Поэтому | l | vt v l ct c тогда v p E E cv c И окончательно E c Этой формулой и определяется скорость распространения Вещество (при 200С) Скорость звука, м/с упругих возмущений в алмаз рассматриваемом случае, то есть дуб скорость звука. стекло алюминий Примеры скоростей железо приведены в таблице. Для золото сравнения указана скорость звука воздух 343, в воздухе.

Лекции по механике Р.В.Романов 10. Энергия волны Пусть в среде без поглощения распространяется продольная механическая волна вдоль оси ОХ.


Выберем внутри среды очень малый объем dV во всех точках которого du du скорость движения и деформация.

dt dx Тогда кинетическая энергия движения dmv 2 du Wk dV, 2 dt а потенциальная энергия деформации 1 du kdl 2 1 ES 2 1 ESl dl 2 Wp EdV E dV dl 2 dx l2 2 2l Из выражения для скорости звука имеем E c. Тогда du Wp c 2 dV dx Полная энергия в этом случае 2 1 du 1 2 du W Wk Wp dV c dV 2 dt dx или 1 du 2 2 du W c dV 2 dt dx а плотность энергии W 1 du 2 2 du c w dV 2 dt dx Из уравнения волны u( x, t ) A cos(t kx 0 ) имеем du du A sin(t kx 0 ) Ak sin(t kx 0 ) dt dx Тогда плотность энергии w A2 2 sin 2 (t kx 0 ) c 2 A2k 2 sin 2 (t kx 0 ) Или w A2 2 c 2k 2 sin 2 (t kx 0 ) В среде без дисперсии w A2 2 sin 2 (t kx 0 ) А средняя за период плотность энергии w A2 2, Лекции по механике Р.В.Романов то есть пропорциональна квадрату амплитуды и частоты.

Очевидно, что максимальными значениями кинетической и потенциальной энергий волна обладает в точках равновесия. В этом заключается отличие от колебательных процессов. Разница объясняется тем, что в волне точки среды обмениваются энергиями, а маятник преобразует один вид энергии в другой.

11. Поток энергии def: Количество энергии, переносимое волной за единицу времени через поперечное сечение некоторой поверхности S, называется потоком энергии через эту поверхность dW.

dt def: вектор, численно равный потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, называется плотностью потока энергии dФ dW j n n dS dtdS Очевидно, что за время dt через площадку dS будет перенесена энергия, заключенная в объеме цилиндра с основанием dS и образующей vdt. Тогда wdSvdt j wv dtdS Этот вектор был впервые введен Н.А. Умовым32 в 1984 году и получил название вектора Умова. Подобная величина для электромагнитных волн называется вектором Умова - Пойнтинга.

def: Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора Умова I w v A2 2v УМОВ Николай Алексеевич [23 января (4 февраля) 1846, Симбирск, ныне Ульяновск 15 (28) января 1915, Москва], российский физик-теоретик. Окончил Московский университет (1867), был оставлен в университете для подготовки к профессорскому званию. В 1871-93 преподавал в Новороссийском университете (Одесса), с 1975 — профессор. Профессор Московского университета (после смерти Столетова в возглавил кафедру физики). С 1911 работал в Московском обществе исследователей природы, которое возглавлял с 1897, и в «Леденцовском обществе». Основные работы в области теории колебаний, электричества, оптики, земного магнетизма, молекулярной физики. Автор учения о движении энергии (1874, докторская диссертация «Уравнение движения энергии в телах»). Ввел понятия скорости и направления движения энергии (вектор Умова — Пойнтинга), потока энергии, плотности энергии в данной точке среды, пространственной локализации потока энергии. Решил задачу о распределении пространственных токов на поверхности любого типа (1875). Раскрыл физический смысл многих сложных формул К. Гаусса в теории земного магнетизма. Предсказал сложность атомов и их эволюцию (1888). Экспериментальные работы по исследованию диффузии водных растворов, поляризации света в мутных средах и др. Пропагандист науки.

Лекции по механике Р.В.Романов 12. Интерференция волн def: Интерференцией (от французского interferer — вмешиваться) волн называется явление наложение двух и более волн, при котором наблюдается стационарное (или медленно изменяющееся) пространственное распределение амплитуды и фазы результирующей волны.

Пусть в среде существуют одновременно волны, порождаемые источниками, удовлетворяющими следующим жестким требованиям:

источники колеблются со строго одинаковой частотой;

разность фаз между колебаниями источников длительное время (т. е. во все время изучения Рис.22. процесса, охватывающего большое число периодов) сохраняется постоянной. Взаимное влияние источников друг на друга не учитывается, хотя при малых расстояниях между источниками оно может иметь место;

если волны поперечные, то колебания, создаваемые обоими источниками, происходят в одной плоскости.

Источники, удовлетворяющие этим условиям, называются когерентными (От латинского cohaerere — находиться в связи).

Рис.22.9а Рис.22.9б Интерференция от двух точечных Интерференция падающей и источников отраженной волн Они могут быть созданы различными способами. Так, два громкоговорителя, питаемые общим генератором переменного тока звуковой Лекции по механике Р.В.Романов частоты, являются очень удобными для практики когерентными источниками упругих звуковых волн в воздухе.

Чаще поступают следующим образом: волну от одного источника искусственно разделяют на две, а затем снова сводят вместе. Особенно этот прием хорошо работает в оптике, где применяется система зеркал или призм.

13. Условия максимумов и минимумов Пусть в точку пространства приходят две плоские когерентные монохроматические волны от источников, находящихся на расстояниях r1 и r от данной точки.

u1 A1 cos t kr1 u2 A2 cos t kr Найдем результирующее колебание, используя известные формулы тригонометрии u u1 u2 A1 cos t kr1 A2 cos t kr A1 cos t cos kr1 A1 sin t sin kr1 A2 cos t cos kr2 A2 sin t sin kr ( A1 cos kr1 A2 cos kr2 )cos t ( A1 sin kr1 A2 sin kr2 )sin t A cos(t ) Где A1 sin kr1 A2 sin kr A ( A1 cos kr1 A2 cos kr2 )2 ( A1 sin kr1 A2 sin kr2 ) 2 tg A1 cos kr1 A2 cos kr Раскрыв скобки, амплитуду можно переписать как A A12 2 A1 A2 cos(kr1 kr2 ) A2 Второе слагаемое здесь называют интерференционным членом. Очевидно, что разность фаз и разность хода 2 kr1 kr2 k (r1 r2 ) (r1 r2 ) (r1 r2 ) В частных случаях разность фаз разность хода амплитуда 2n A A1 A2 максимум r1 r2 n 2n 2n 1 A A1 A2 минимум r1 r2 (2n 1) r1 r2 (2n 1) A A1 A 2n 2 2 Таким образом, если разность фаз равна 2n - волны в фазе, то на разности хода укладывается целое число волн (четное число полуволн) и в точке наблюдается усиление волны – максимум.

Если разность фаз равна 2n 1 - волны в противофазе, то на разности хода укладывается нечетное число полуволн, и в точке наблюдается ослабление волны – минимум.

Лекции по механике Р.В.Романов 14. Стоячие волны Возбудим поперечные колебания в шнуре, один из концов которого закреплен.

Волна, дойдя до закрепленного конца, отразится и побежит обратно.

Таким образом, наблюдается наложение бегущей и отраженной волн, что приводит к образованию стоячей волны.

Уравнения бегущей и отраженной волны имеют вид:

u1 A cos t kx и u2 A cos t kx Ось ОХ направлена вдоль шнура, ее начало в точке закрепления. Амплитуды волн, естественно, одинаковы.

Складывая колебания, получаем u u1 u2 A cos t kx A cos t kx 2 A cos t cos kx 2 Это и есть уравнение стоячей волны.

Очевидно, граничное условие u x0 0 в любой Рис.22. момент времени.

Тогда (2n 1) (2n 1) 0 cos 2 2 Говорят, что в данной точке фазы падающей и отраженной волн сдвинуты (меняются скачком) на радиан, или происходит потеря полуволны.

Уравнение стоячей волны принимает вид u 2 A sin t sin kx 2 A sin t sin x В стоячей волне есть точки, которые все время остаются неподвижными.

Такие точки называются узлами смещения. Точки, колеблющиеся с наибольшей амплитудой, называются пучностями деформации.

узел x n x sin пучность x (2n 1) x sin Расстояние между соседними пучностями (или узлами) равно полуволне.

В стоячей волне нет направленного переноса энергии.

Если закреплен и второй конец (струна), то на длине должно укладываться целое число полуволн.

Лекции по механике Р.В.Романов 15. Дифракция Часто волна встречает на своем пути небольшие (по сравнению с ее длиной) препятствия. Соотношение между длиной волны и размером препятствий определяет в основном поведение волны.

def: дифракция - (от лат. diffractus — разломанный, преломлённый), в первоначальном узком смысле — огибание волнами препятствий, в современном более широком — любое отклонение при распространении волн от законов геометрической оптики.

При дифракции происходит искривление волновых поверхностей у краев препятствий.

Дифракция волн проявляется особенно отчетливо в случаях, когда размеры препятствий меньше длины волны или сравнимы с ней.

Опыты с волнами на воде, хорошо это подтверждают (рис.22.11).

Рис.22. Если поставить на пути волн экран с узкой щелью, размеры которой меньше длины волны (рис. 22.12), то хорошо будет видно, что за экраном распространяется круговая волна, как если бы в отверстии экрана располагалось колеблющееся тело — источник волн. Вторичные источники в узкой щели располагаются столь близко друг к другу, что их можно рассматривать как один точечный источник. Рис.22. Если размеры щели велики по сравнению с длиной волны, то картина распространения волн за экраном совершенно иная (рис. 22.13). Волна проходит сквозь щель, почти не меняя своей формы.

Только по краям можно заметить небольшие Рис.22. искривления волновой поверхности, благодаря которым волна частично проникает и в пространство за экраном.

Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет понять, почему происходит дифракция.

LEX: Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать, как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.

Принцип сформулирован Гюйгенсом в 1678 году. Дополнен Френелем в 1815.

Лекции по механике Р.В.Романов 16. Поляризация def: Поляризация - явление нарушения симметрии распределения возмущений в поперечной волне относительно направления её распространения.

В продольной волне поляризация возникнуть не может, так как возмущения в этом типе волн всегда совпадают с направлением распространения.

Интересно, что термин «поляризация волн» был введен Малюсом применительно к поперечным механическим волнам, хотя явление рассматривается в основном в оптике.

Явление можно проиллюстрировать с помощью механических опытов. Веревка, колеблющаяся в одной плоскости, например в вертикальной, может служить моделью поляризованной волны. Моделью естественной (неполяризованной) волны служит веревка, плоскость колебаний которой быстро меняется, принимая за короткий срок разнообразные ориентации.

Рис.22. Две доски, разделенные узким зазором (щель), играют роль поляризатора.

Колебания веревки, направленные вдоль зазора, легко проходят через щель, колебания, перпендикулярные к зазору, задерживаются. Они показывают, что «естественные» колебания веревки пропускаются в одинаковой степени при любой ориентации щели. Две последовательно поставленные щели пропускают колебания большей или меньшей амплитуды в зависимости от взаимной ориентации щелей. При перпендикулярности щелей колебание веревки сквозь них не проходит. Опыты показывают также, что щель поляризует «естественные» колебания веревки.

17. Дисперсия def: Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние), зависимость фазовой скорости гармонической волны от её частоты.

Явление присуще и подробно изучается для электромагнитных волн, главным образом в оптике. Несколько слов о дисперсии механических волн мы скажем при изучении звука.

МАЛЮС (Malus) Этьенн Луи (1775-1812), французский физик. Исследовал поляризацию света. Открыл закон, названный его именем.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Гидростатика 1. Общие понятия Многие законы похожи для жидкостей и для газов, поэтому, в основном, будем упоминать только о жидкостях.

Жидкости и газы, изучаемые в гидромеханике, обладают свойствами сплошности. Механика не занимается движением отдельных молекул, а исходит из предположения, что всё в пространстве непрерывно или сплошным образом заполнено веществом.

Условие сплошности выполняется для жидкостей и газов, если характерные линейные размеры велики по сравнению с параметрами, характеризующими движение молекул. Эти же условия определяют понятия физически бесконечно малого объёма. Этот объём должен быть достаточно большим по сравнению с длиной свободного пробега молекул и достаточно малым по сравнению с линейными размерами рассматриваемой области жидкости.

Жидкости и газы в отличии от твердых тел не обладают упругостью формы. В состоянии равновесия механическое напряжение в жидкости и газе всегда нормально к площадке, на которую оно действует.

На рисунке показаны силы, действующие на Рис.23. поршень с наклонным основанием.

def: С точки зрения механики жидкости и газы могут быть определены как такие среды, в которых при равновесии не существуют касательные напряжения.

Жидкости и газы принимают форму сосуда, в который они помещены.

2. Идеальная жидкость Жидкость в отличии от газов мало сжимаема. Если выстрелить пулей в пустой сосуд, то будет дырка. Если в сосуд с жидкостью, то он разорвется.

Рис.23.2 Рис.23. На рисунках реальная съемка попадания пули в стакан с жидкостью.

Лекции по механике Р.В.Романов Последние исследования Марианской впадины (глубина 10994 м11 км) в 2011 году показывают давление 108,6 МПа, то есть добавка к давлению на такой глубине из-за сжатия составляет всего около 1%.

Если вообще пренебрегать сжатием жидкости, то говорят об абсолютно несжимаемой жидкости. Это также механическая модель, как и АТТ.

В обычных жидкостях при движении вместе с нормальными напряжениями могут возникать и касательные силы. Однако эти силы определяются не деформациями, а скоростями, поэтому их относят к классу сил трения или вязкости.

def: Жидкость в которой при любых движениях не возникает сил внутреннего трения называют идеальной.

3. Закон Паскаля Возьмем произвольно ориентированную площадку, внешнюю нормаль к которой будем характеризовать единичным вектором n. Так как напряжение нормально к площадке, то его можно представить в виде n pn Напряжения на площадках, перпендикулярных к координатным осям, запишутся как x px i y p y j z p z k где i, j, k — координатные орты. Подставляя эти значения, получим pn px nxi p y ny j pz nz k Рис.23. Умножая скалярно это соотношение последовательно на орты, получим p px p y pz Отсюда делаем вывод:

LEX: В состоянии равновесия нормальное напряжение (давление) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Это закон Паскаля, сформулированный в 1653 году.

Другое доказательство закона Паскаля возможно на основе метода «отвердевания», предложенного Стевином Считаем выделенную в объеме жидкости призму затвердевшей. Она находится в равновесии.

F1 F2 F3 Из подобия сторон призмы и треугольника сил следует Рис.23. СТЕВИН (Stevin) Симон (1548-1620), нидерландский математик и инженер. Ввел в употребление десятичные дроби (в Европе) и отрицательные корни уравнений. Доказал закон равновесия тела на наклонной плоскости, исходя из невозможности вечного двигателя. Труды по гидростатике, навигации и др.

Лекции по механике Р.В.Романов F1 F2 F3 F1 F2 F h1 h2 h3 S1 S2 S p1 p2 p Если жидкость находится в равновесии и испытывает действие внешней поверхностной силы, вызывающей в жидкости давление, то это давление в соответствии с законом Паскаля передается внутри жидкости по всем направлениям без изменений.

Поэтому иногда закон Паскаля формулируют следующим образом LEX: Давление приложенное к свободной поверхности неподвижной жидкости (газа), передается во все точки внутри жидкости без изменения.

На этом следствии из закона Паскаля основан принцип действия гидравлического пресса и других гидравлических механизмов.

Так как давление на произвольную точку жидкости слева и справа одинаково, то Рис.23. F1 F S1 S То есть можно получить ощутимый выигрыш в силе.

4. Картезианский водолаз Рассмотрим игрушку, придуманную Декартом35 и названную картезианским водолазом.

Эту игрушку можно легко сделать самому. Большая пробирка или высокая Рис.23. мензурка полностью заливается водой, и туда же помещается пипетка, частично заполненная водой, так, чтобы она имела очень небольшую плавучесть. Естественно, пипетка, которую мы назовем водолазом (в игрушках она выполнялась в виде маленького водолаза), плавает на поверхности. Но стоит повысить давление в мензурке, например, резиновой грушей или трубкой или собственными легкими, как водолаз начинает тонуть. Воздух сжимается в резиновом баллончике пипетки, вода входит внутрь и Рис.23. плавучесть становится отрицательной. Водолаз тонет.

ДЕКАРТ (Descartes) Рене (латинизированное — Картезий;

Cartesius) (31 марта 1596, Лаэ, Турень, Франция — 11 февраля 1650, Стокгольм), французский философ, математик, физик и физиолог, основатель новоевропейского рационализма и один из влиятельнейших метафизиков Нового времени.

Лекции по механике Р.В.Романов 5. Уравнение Эйлера Рассмотрим параллелепипед x, y, z, со сторонами выделенный внутри покоящейся жидкости.

На верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда действует сила Рис.23. p p p dFy p ( p y ) xz x yz dV y y y Аналогичные силы действуют на соответствующие пары других граней. Тогда результирующая сила p p p dF dFxi dFy j dFz k i j k dV x y z Величину, стоящую в скобках называют градиентом, p p p gradp i j k x y z Тогда, исходя из теоремы о движении центра масс dv m F gradpdV dt или dv F gradp (23.14) dt dV Это выражение называют основным уравнением гидродинамики или уравнением Эйлера.

Если жидкость находится в равновесии, то F gradp 0 (23.15) dV Это основное уравнение гидростатики.

Известно, что если сила выражается градиентом скалярной функции, то она консервативна, следовательно, для равновесия необходимо и достаточно, чтобы силовое поле, в котором находится жидкость, было потенциальным.

Лекции по механике Р.В.Романов 6. Гидростатическое давление Очевидно, что если нет сил, то gradp 0, p const, то есть, получаем закон Паскаля – давление по всему объему одинаково.

Пусть теперь жидкость (или газ) покоится в поле силы тяжести.

mg gradp 0, gradp g dV dp gz dz Жидкость несжимаема, поэтому p p0 g z z Рис.23. Где р0 – давление на уровне z=0.

Если h – глубина, то p p0 gh (23.21) Это и есть гидростатическое давление жидкости на глубине.

Для газов плотность зависит от давления. Эту зависимость можно получить из уравнения Менделеева-Клапейрона m pV RT, p RT M M Тогда dp pM dp M gz, g z dz dz RT p RT После интегрирования получаем Mg z z p p0 exp RT Если h – высота, то Mgh p p0 exp (23.25) RT Рис.23. Лекции по механике Р.В.Романов Последнее выражение называют барометрической формулой при изотермической атмосфере. Также здесь не учитывается изменение ускорения свободного падения с высотой.

Зная параметры воздуха, можно написать при н/у p p0 exp 0,125h(км) (23.26) а при малых высотах p p0 (1 0,125h(км)) (23.26) Видно, что давление зависит главным образом от высоты столба жидкости, что объясняет известный опыт Паскаля с бочкой, когда малым количеством воды можно создать большое давление.

В сообщающихся сосудах, заполненных одной жидкостью, уровень жидкости одинаков независимо от формы сосуда.

На этом свойстве основана работа гидроуровней, фонтанов, водонапорных Рис.23. башен, шлюзов, жидкостных манометров и т.д.

Этими же законами объясняется гидростатический парадокс, когда сила давления на дно сосуда (подчеркнем, именно на дно!) не зависит от массы жидкости.

Этот вывод можно проверить на опыте при помощи прибора, предложенного Паскалем (рис. 23.13). На подставке можно закреплять сосуды различной формы, не имеющие дна. Вместо дна снизу к сосуду плотно прижимается подвешенная к коромыслу весов Рис.23. пластинка. При наличии жидкости в сосуде на пластинку действует сила давления, которая отрывает пластинку, когда сила давления начнет превосходить вес гири, стоящей на другой чашке весов.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.