авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«Предисловие Это пособие предназначено… Хорошо известно, что… Имеет огромное теоретическое и практическое значение… Поскольку не удалось ответить сразу на все ...»

-- [ Страница 5 ] --

Сон (от лат. sonus — звук), единица шкалы громкости звука, выражающая непосредственную субъективную оценку сравнительной громкости чистого тона. 1 сон соответствует уровню громкости 40 фон при частоте звука 1000 Гц.

При каждом увеличении громкости на 10 фон число единиц сонов приблизительно удваивается.

Звук Громкость Давление Порог слышимости 0дБ 20 мкПа Шелест листвы и слабого ветра 60 - 200 мкПа 10-20дБ Тиканье наручных часов, дыхание Тихий шепот, тиканье настенных часов 200 - 600 мкПа 20-30дБ Шум в помещении 0.6 - 2 мПа 30-40дБ Тихий разговор 2 - 6 мПа 40-50дБ Разговор средней громкости 6 - 20 мПа 50-60дБ Громкий разгвор 20 - 60 мПа 60-70дБ Шумная улица 60 - 200 мПа 70-80дБ Двигатель грузового автомобиля ~80дБ 200 мПа Шум в метро при движении, отбойный молоток ~90дБ 600 мПа Громкая дискотека 2 - 20 Па 100-120дБ Самолет на взлете 120дБ 20 Па Болевой порог 130дБ 60 Па При звуках на уровне 160 децибел у человека рвутся барабанные перепонки и даже лёгочные ткани (из-за резонанса звука в лёгких), звук же в 200 децибел – смертелен.

Самый громкий 210-децибельный звук, созданный в 1965 году, был получен при отражении звуковых волн железобетонным испытательным стендом 14 м и фундаментом глубиной 18 м. Шахта была построена для испытаний ракеты «Сатурн-5» в штате Алабама.

Звук такой силы позволял сверлить отверстия в твёрдых материалах, а его отзвуки были слышны в радиусе 160-ти километров от зоны испытаний.

Самый громкий крик в мире смогла создать Джилл Дрейк – замужняя дама в возрасте пятидесяти двух лет, живущая в графстве Кент, помощник преподавателя. Уровень громкости крика, изданного миссис Дрейк, составил 129 децибел, что стало новым и пока не побитым мировым рекордом.

Из животных рекорд наиболее громкого издаваемого звука принадлежит горбатому киту – его низкочастотный крик в 188 дБ применяется им для привлечения сородичей.

Лекции по механике Р.В.Романов 2. Частота и высота звука Так как звук – это периодический процесс, то он характеризуется частотой (или набором частот).

Высота звука — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится «выше».

На примере с камертонами разных размеров можно убедиться, что самый маленький камертон даёт наиболее высокий звук, а самый большой – наиболее низкий звук, т. к. чем меньше камертон, тем больше частота его колебаний.

В значительно меньшей степени высота зависит от интенсивности: звук большей интенсивности воспринимается как более низкий.

Тоном называется звук, являющийся периодическим процессом. Если этот процесс гармонический, то тон называется простым (чистым), и его основной физической характеристикой является частота.

Музыкальные звуки, частота которых отличается в два раза, воспринимаются на слух как очень похожие, как повторение одного звука на разной высоте. Это явление называется октавным сходством звуков. На основе этого весь диапазон частот, используемых в музыке звуков, делится на участки, называемые октавами. Частота звуков в каждой последующей октаве будет в два раза выше, чем в предыдущей, а схожие звуки получают одинаковые названия ступеней.

Расположение частотных границ октав условно и выбрано таким образом, чтобы каждая октава начиналась с первой ступени («До») равномерно темперированного двенадцатизвукового строя и при этом частота 6-й ступени («Ля») одной из октав (называемой «первой») составляла бы 440 Гц.

Первая октава включает звуки с частотами от 261.63 Гц (включительно) до 523.25 Гц. Средняя октава звукоряда музыкальной системы. В нотации Гельмгольца наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 4.

Слоговое Буквенное Современная Номер Частота, Научная обозначение по обозначение по музыкальная ступени Гц нотация Гельмгольцу Гельмгольцу нотация 261.63 До1 C 1 C 293.67 Ре1 D 2 D 329.63 Ми1 E 3 E 1 349.23 Фа 4 F F 1 392.00 Соль 5 G G 1 440.00 Ля 6 A A 1 493.88 си 7 h H Лекции по механике Р.В.Романов Негармоническому колебанию соответствует сложный тон, который может быть разложен на простые. Наименьшая частота такого разложения соответствует основному тону, а кратные частоты называются обертонами. На рис.28.4. показаны основной и добавочные тоны камертона.

На слух такое колебание имеет специфический оттенок, называемый тембром.

Рассмотрим осциллограммы звуковых Рис.28. колебаний, создаваемых роялем и кларнетом на рис. 25.8., где а) – рояль, б) – кларнет. Оба звука состоят из одних и тех же тонов, но эти тоны – основной тон и его обертоны – представлены с разными амплитудами и фазами колебаний. Для человеческого уха существенны только частоты и амплитуды тонов, входящих в состав звука, т. е. тембр звука определяется его акустическим спектром. Сдвиги отдельных тонов по времени (изменения фаз) на слух не воспринимаются, хотя могут сильно менять форму колебания.

Рис.28.5. Осциллограммы и спектры звуков рояля и кларнета.

Шумом называют звук, отличающийся сложной, неповторяющейся временной зависимостью, сочетание беспорядочно изменяющихся сложных тонов.

Реальный звук является наложением гармонических колебаний с большим набором частот, т. е. обладает акустическим спектром, который может быть сплошным (в некотором интервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым (присутствуют колебания отделённых друг от друга определённых частот). Спектр сложного тона линейчатый, а шума – сплошной.

Лекции по механике Р.В.Романов 3. Ряды Фурье С точки зрения математики спектральный анализ представляет собой разложение в ряд Фурье53, который предположил, что любая периодическая функция может быть представлена в виде ряда гармонически связанных синусов и косинусов.

a f ( x) an cos nx bn sin nx (28.5) 2 n где коэффициенты Фурье a0, an и bn определяются формулами 1 1 f ( x)dx f ( x)cos nxdx f ( x)sin nxdx a0 an bn (28.6) Например, для функции в виде прямоугольного импульса с периодом 2, определенной в интервале [, ] После расчетов получается разложение 1 1 (1)n f ( x) sin nx 2 n1 n Можно легко вычислить несколько первых членов разложения.

На рисунках представлены график данной функции, ее аппроксимация рядом Фурье при n=10 и спектральное разложение.

Рис.28. Рис.28. ФУРЬЕ (Fourier) Жан Батист Жозеф (1768-1830), французский математик и физик, иностранный почетный член Петербургской АН (1829). Труды по алгебре, дифференциальным уравнениям и математической физике. Его «Аналитическая теория тепла» (1822) явилась отправным пунктом в создании теории тригонометрических рядов (рядов Фурье).

Лекции по механике Р.В.Романов 4. Ультразвук Ультразвук не воспринимается человеческим ухом. Однако его способны излучать и воспринимать некоторые животные. Так, например, дельфины, благодаря этому уверенно ориентируются в мутной воде. Посылая и принимая возвратившиеся назад ультразвуковые импульсы, они способны на расстоянии 20-30 м обнаружить даже маленькую дробинку, опущенную в воду. Ультразвук помогает и Рис.28. летучим мышам, которые обладают плохим зрением или вообще ничего не видят.

Установлено также, что ультразвуковые волны с частотой более 25 кГц вызывают болезненные ощущения у птиц. Это используется, например, для отпугивания чаек от водоемов с питьевой водой.

Ультразвук находит широко применение в науке и технике, где его получают с помощью различных механических (например, сирена) и электромеханических устройств.

Источники звука устанавливаются на кораблях и подводных лодках. Посылая короткие импульсы ультразвуковых волн, можно уловить их отражения от дна или каких либо других предметов. По времени запаздывания отраженной волны можно судить о расстоянии до препятствия (эхолокация). Использующиеся при этом эхолоты и гидролокаторы позволяют измерять глубину моря, решать навигационные задачи (плавание вблизи скал, рифов и т.д.), осуществлять рыбопромысловую разведку (обнаруживать Рис.28. косяки рыб), а также решать военные задачи.

В промышленности по отражению ультразвука от трещин в металлических отливках судят о дефектах в изделии (дефектоскопия).

Ультразвуки дробят жидкие и твердые вещества, образуя различные эмульсии и суспензии.

С помощью ультразвука удается осуществить пайку алюминиевых изделий, что с помощью других методов сделать не удается.

Известно обследование больных с помощью УЗИ. Ультразвуком лечат сейчас заболевания нервной системы и опорно-двигательного аппарата, стоматологические, урологические, гинекологические, офтальмологические и другие недуги. Эта область медицинской науки и техники в настоящее время успешно развивается.

От действия ультразвуковых волн погибают многие микроорганизмы, что также важно для медицины. Ультразвук вызывает гибель некоторых болезнетворных микробов: тифозной палочки, кишечной и туберкулезной. Это свойство используется для очистки воды, стерилизации инструментов.

Лекции по механике Р.В.Романов 5. Инфразвук Инфразвук (от лат. infra — ниже, под), упругие волны, аналогичные звуковым, но с частотами ниже области слышимых человеком частот. Обычно за верхнюю границу инфразвуковой области принимают частоты 16—25 Гц.

Нижняя граница инфразвукового диапазона не определена. Практический интерес могут представлять колебания от десятых и даже сотых долей Гц, то есть с периодами в десяток секунд.

Инфразвук содержится в шуме атмосферы, леса и моря. Источником инфразвуковых колебаний являются грозовые разряды (гром), а также взрывы и орудийные выстрелы. В земной коре наблюдаются сотрясения и вибрации инфразвуковых частот от самых разнообразных источников, в том числе от взрывов обвалов и транспортных возбудителей.

Для инфразвука характерно малое поглощение в различных средах вследствие чего инфразвуковые волны в воздухе, воде и в земной коре могут распространяться на очень далёкие расстояния. Распространение инфразвука на большие расстояния в море даёт возможность предсказания цунами.

"Голос моря" - это инфразвуковые волны, возникающие над поверхностью моря при сильном ветре, в результате вихреобразования за гребнями волн. Скорость его распространения значительно превышает скорость перемещения области шторма, поэтому "голос моря" может служить для заблаговременного предсказания шторма.

Своеобразными индикаторами шторма Рис.28. являются медузы. На краю "колокола" у медузы расположены примитивные глаза и органы равновесия - слуховые колбочки величиной с булавочную головку. Это и есть "уши" медузы. Они слышат инфразвуки с частотой 8-13 герц. Шторм разыгрывается еще за сотни километров от берега, а медузы уже слышат его и уходят на глубину.

В конце 60-х годов французский исследователь Гавро обнаружил, что инфразвук определенных частот может вызвать у человека тревожность и беспокойство. Инфразвук с частотой 7 Гц смертелен для человека. Действие инфразвука может вызвать головные боли, снижение внимания и работоспособности и даже иногда нарушение функции вестибулярного аппарата.

Развитие промышленного производства и транспорта привело к значительному увеличению источников инфразвука в окружающей среде и Рис.28. возрастанию интенсивности уровня инфразвука.

Арктическая цианея - самая крупная медуза в мире! Она обитает в северных морях и Тихом океане. Достигает длины 20 метров, а величина ее “шапки” до 2 метров.

Лекции по механике Р.В.Романов 6. Ударные волны.

Ударная волна – это распространяющийся по среде фронт резкого, почти мгновенного, изменения параметров среды: плотности, давления, температуры, скорости. Ударные волны называют также сильными разрывами или скачками.

Ударные волны в газах были обнаружены в середине 19 века в связи с развитием артиллерии, когда возросшая мощь артиллерийских орудий позволила стрелять со сверхзвуковой скоростью.

Причины возникновения ударных волн в газах – полеты со сверхзвуковыми скоростями (звуковой удар), истечения с большими скоростями через сопла, мощные взрывы, электрические разряды, интенсивное горение.

Снаружи конуса ударной волны самолёт не слышен (рис.28.10).

Ударные волны могут возникать и из Рис.28. первоначально непрерывных течений. Любая достаточно интенсивная волна сжатия порождает ударную волну из-за того, что в этих волнах задние частицы движутся быстрее впереди бегущих (нелинейное укручение фронта волны).

Ударные волны являются частью детонационных волн, волн конденсации (хорошо известным примером этого явления служат шлейфы тумана, остающиеся за самолетом при пролете через участки атмосферы с повышенной влажностью), могут возникать при взаимодействии лазерного излучения с веществом (светодетонационные волны). Сход снежной лавины также может рассматриваться как ударная волна.

В твердых телах ударные волны возникают при высокоскоростном соударении тел, в астрофизических условиях – при взрывах звезд.

Примером ударной волны является катастрофическое нарастание давки в охваченной паникой толпе, протискивающейся через узкий проход. Похожим явлением считается затор в потоке транспорта.

На фронте ударной волны (называемой иногда также скачком уплотнения), имеющем очень малую толщину (доли мм), почти скачкообразно происходят кардинальные изменения свойств потока — его скорость относительно тела снижается и становится дозвуковой, давление в потоке и температура газа скачком возрастают. Часть кинетической энергии потока превращается во внутреннюю энергию газа. Все эти изменения тем больше, чем выше Рис.28. скорость сверхзвукового потока.

На рисунке самолет FA-18 летит на скорости, близкой к скорости звука.

Видно облако конденсата, образовавшегося вследствие локального изменения давления (Эффект Прандтля — Глоерта).

Лекции по механике Р.В.Романов 7. Бинауральный эффект. Звукопеленгация Бинауральный эффект (от лат. bini два, пара и auris ухо) — эффект, возникающий при восприятии звука двумя ушами. Он позволяет определить направление на источник звука, что делает звуковое восприятие объёмным.

Если источник звука находится прямо перед наблюдателем или позади него, то каждое уплотнение или разрежение воздуха в звуковой волне достигает обоих ушей одновременно. Следовательно, колебания давления воздуха в обоих ушах происходят в этом случае в одинаковой фазе. Если же источник смещен вправо (или влево), то волны достигают сначала правого (левого) уха, и колебания давления воздуха в обоих ушах сдвигаются по фазе.

Интенсивность звука при этом практически одинакова в обоих ушах, так как разница их расстояний до источника слишком незначительна, а размеры головы не настолько велики, чтобы она создавала заметную «звуковую тень».

Другими словами, звуковые волны, если не говорить об очень высоких частотах, хорошо огибают голову (дифракция). Таким образом, различие колебаний в обоих ушах сводится в основном к разности фаз между ними.

Оказывается, что именно благодаря сдвигу фаз колебаний в обоих ушах мы получаем ощущение направления на источник звука.

Если на уши наблюдателя надеть наушники, дать в оба телефона один и тот же тон звуковой частоты, но искусственно менять сдвиг фаз между колебаниями правого и левого телефонов (это легко сделать электрическими способами), то наблюдателю будет казаться, что меняется направление на источник звука. При непрерывном изменении сдвига фаз в одну сторону наблюдателю будет казаться, что источник звука движется вокруг него.

Бинауральный эффект играет большую роль не только в повседневной жизни (мы поворачиваем голову «на звук», ориентируемся по слуху и т.п.), но и используется специально для так называемой звукопеленгации — определения направления на источник звука (самолет, артиллерийскую батарею и т.д.). Еще во время Великой Отечественной войны специально тренированные «слухачи» улавливали с помощью больших рупоров интересовавшие их звуки и определяли направление на источник этих звуков.

Рупоры служат не только для усиления звука. Направление на источник определяется благодаря разности фаз колебаний в обоих ушах.

При наличии же рупоров эта разность фаз будет Рис.28. равна разности фаз на отверстиях рупоров. Так как расстояние между этими отверстиями гораздо больше, чем между ушами, то всякое отклонение рупоров от направления на источник даст соответственно большую разность фаз, чем поворот головы на такой же угол. Таким образом, благодаря рупорам и пеленгация получается более точной.

Лекции по механике Р.В.Романов 8. Эффект Доплера в акустике Эффектом Доплера55 называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга.

Из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, то есть движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых колебаний.

Интересно, что сначала этот эффект был рассмотрен для оптических (электромагнитных) волн, а затем распространен на акустику. В 1845 году теория была проверена профессиональными музыкантами, которые на слух оценивали изменение частоты звучания музыкального инструмента, стоящего на поезде, который проносился мимо платформы со скоростью до 120 км/ч.

Очень подробное рассмотрение данного эффекта приведено в учебнике «Оптика» Г.С.Ландсберга §127.

Здесь рассмотрим только итоговую формулу и следствия из нее.

Рис.28. Движется приемник Движется источник u v v 0 1 cos c cos c здесь с - скорость звука в среде, u - скорость приемника, v – скорость источника. Верхний знак относится к сближению, нижний - к удалению.

Если движение происходит вдоль одной прямой, то u v c (28.10) c При приближении источника каких-нибудь волн к наблюдателю приходит большее число волн в секунду, чем когда источник колебаний удаляется. Это приводит к тому, что наблюдатель воспринимает большее число колебаний в секунду, когда источник приближается к нему, и меньшее, когда Рис.28. удаляется.

ДОПЛЕР (Допплер) (Doppler) Кристиан (1803-53), австрийский физик и астроном. В 1842 указал на существование эффекта, названного позже его именем.

Лекции по механике Р.В.Романов Скорость звуковой волны зависит только от свойств среды, поэтому при движении источника скорость волны относительно неподвижного приемника не меняется, а при движении приемника скорость волны относительно движущего приемника - меняется.

Следовательно, при движении источника длина волны не меняется, а при движении приемника - меняется.

Опыт типа опыта Физо даст одинаковую скорость при подвижном и неподвижном источнике, а интерференционный опыт даст разную длину волны.

Частные случаи:

Источник покоится Приемник покоится Приемник приближается Источник приближается u v v 0 c Скорость волны – увеличивается c Частота увеличивается Скорость волны – не меняется Длина волны - не меняется Частота увеличивается Длина волны уменьшается Приемник удаляется Источник удаляется u v v 0 c Скорость волны – уменьшается c Скорость волны – не меняется Частота уменьшается Частота уменьшается Длина волны не меняется Длина волны увеличивается («красное смещение») На первый взгляд может показаться что формулы противоречат принципу относительности: какая разница что движется - источник или приемник. На самом деле важно не относительное движение приемника и источника, а их движение относительно упругой среды, в которой распространяется волна. При этом скорость распространения волны не зависит от движения источника и приемника.

Определяя сдвиг частоты, можно узнать скорость движения объекта.

Знак модуля использован потому, что скорость приемника может быть больше, чем скорость звука в данной среде.

Лекции по механике Р.В.Романов 9. Эффект Доплера в оптике Очень кратко упомянем о проявлении этого эффекта в оптике.

В отличие от акустической волны для электромагнитной волны явления сдвига частоты протекают совершенно одинаково при движении источника и приемника, так как скорость света постоянна.

c v 0 (28.10) 1 cos c Здесь v-относительная скорость, – угол между наблюдаемым лучом и скоростью источника. При движении вдоль одной прямой при сближении =0, при удалении =. Тогда 2 1 c 1 c v 0 0 (28.10) c 1 c c Верхний знак для сближения, нижний для удаления.

Также в оптике существует поперечный эффект Доплера, который в акустике не наблюдается, так это чисто релятивистский эффект.

Лекции по механике Р.В.Романов Лекция № Элементы специальной теории относительности 1. Общие понятия Специальная теория относительности (СТО или частная теория относительности) – изучает свойства пространства и времени в пренебрежимо слабых гравитационных полях. Основы СТО были заложены А.Эйнштейном57 в работе «К электродинамике движущихся тел» в 1905 году. Логически СТО – частный случай ОТО (общей теории относительности или теории тяготения), построение которой было завершено Эйнштейном в 1915 году.

Явления, описываемые в СТО, называются релятивистскими (от лат.

relativus – относительный) и проявляются при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме.

Выводы СТО широко используются при расчете энергетического выхода ядерных реакций, при проектировании мощных ускорителей частиц и т. д.

2. Постулаты СТО Основу теории образуют два постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна является распространением механического принципа Галилея на все без исключения физические явления.

LEX: Уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени при переходе от одной ИСО к другой.

LEX: скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО, не зависит от движения источников и приемников света и равна с=299792458 м/с.

Второй постулат не утверждает, что с – максимальная скорость передачи сигнала. Это утверждение само является следствием теории.

Подробное описание опытов по измерению скорости света см. Сивухин т.4 §102-103.

Эйнштейн (Einstein) Альберт (1879-1955), физик-теоретик, один из основателей современной физики, иностранный член-корреспондент РАН (1922) и иностранный почетный член АН СССР (1926). Родился в Германии, с 1893 жил в Швейцарии, с 1914 в Германии, в 1933 эмигрировал в США. Создал частную (1905) и общую (1907-16) теории относительности. Автор основополагающих трудов по квантовой теории света: ввел понятие фотона (1905), установил законы фотоэффекта, основной закон фотохимии (закон Эйнштейна), предсказал (1917) индуцированное излучение. Развил статистическую теорию броуновского движения, заложив основы теории флуктуаций, создал квантовую статистику Бозе — Эйнштейна. С 1933 работал над проблемами космологии и единой теории поля. В 30-е гг. выступал против фашизма, войны, в 40-е — против применения ядерного оружия. В 1940 подписал письмо президенту США, об опасности создания ядерного оружия в Германии, которое стимулировало американские ядерные исследования. Один из инициаторов создания государства Израиль. Нобелевская премия (1921, за труды по теоретической физике, особенно за открытие законов фотоэффекта).

Лекции по механике Р.В.Романов 3. Интервал Постоянство скорости света приводит к тому, что пространство и время оказываются взаимосвязанными и образуют единое пространство-время. Эта взаимосвязь может быть представлена с помощью 4-х-мерного пространства.

По трем осям отложены координаты x,y,z, а по 4-ой оси – время, точнее временная координата ct, имеющая ту же размерность, что и пространственная координата.

Какое-либо событие характеризуется местом, где оно произошло, т.е.

координатами x,y,z, а также временем t, когда оно произошло. В 4-х-мерном пространстве этому событию соответствует точка с координатами (x,y,z,ct). Эту точку принято называть мировой точкой. Всякой частице, даже неподвижной, в 4-х-мерном пространстве соответствует некоторая линия, которая называется мировой линией. Квадрат расстояния между двумя мировыми точками определяется по формуле S 2 c2t 2 x 2 y 2 z 2 inv (29.1) Величина S - называется интервалом. Пространство, в котором квадрат расстояния определен по такой формуле, называется псевдоевклидовым пространством или пространством Минковского58.

Интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Теория относительности сформулировала новое представление о пространстве и времени. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея-Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи – пространство-время. Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее.

ОТО показала, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой (т. е. не зависящей от размеров области пространства-времени), а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

Минковский (Minkowski) Герман (1864-1909), немецкий математик и физик. Труды по геометрии, геометрическим методам в теории чисел, математической физике, гидродинамике. Дал геометрическую интерпретацию кинематики специальной теории относительности (пространство Минковского).

Лекции по механике Р.В.Романов 4. Преобразования Лоренца Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: K и K’. Пусть система K’ движется относительно системы K со скоростью u. Направим оси X и X’ вдоль вектора u, а оси Y и Y’ и Z и Z’, параллельно друг другу. Для нерелятивистской механики u ', но это противоречит принципу постоянства скорости света. Надо найти Рис.29.х преобразования, согласующиеся с ним.

При указанном выборе осей другие координаты совпадают y y;

z z.

Координата x и время t могут быть лишь функциями x’ и t’ x ( x ut ), x ( x ut ) (29.2) где – некоторая константа. Это следует из равноправия систем K и K’.

Начнем отсчет времени в обеих системах с того момента, когда начала их координат совпадают.

Пусть в момент t=t’=0 вдоль X и X’ посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране в точке с координатой x (в K - системе) и x’ (в K’ - системе), причем x ct;

x ct. Подставим сt (ct ut ) (c u ) t ct (ct ut ) (c u ) t и перемножим: c (c u 2 ). Получаем ( – релятивистский фактор60) 2 2 u t 2 x x ut, t 1 c x 1, (29.4) 2 u u u 1 1 2 1 c c c u t 2 x x ut c x', t ' u2 u 1 2 1 c c Эти преобразования и называются преобразованиями Лоренца.

Лоренц (Лорентц) (Lorentz) Хендрик Антон (1853-1928), нидерландский физик, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1910) и иностранный почетный член АН СССР, (1925). Труды по теоретической физике. Создал классическую электронную теорию, с помощью которой объяснил многие электрические и оптические явления, в т. ч. эффект Зеемана. Разработал электродинамику движущихся сред. Вывел преобразования, названные его именем. Близко подошел к созданию теории относительности. Нобелевская премия (1902, совместно с П. Зееманом).

Другое название – Лоренц-фактор Лекции по механике Р.В.Романов 5. Относительность одновременности Пусть в K-системе в точках с координатами x1 и x2 происходят одновременно два события в момент времени t1=t2=t. В системе K’ эти события будут происходить в моменты времени u u t 2 x1 t 2 x u t1', t2, t ' t2 t1' 2 x1 x с c ' ' c u2 u 1 2 1 с c Из формул видно, что если два события разнесены в пространстве ( x1 x2 ), то в K’ - системе они не будут одновременными.

Следовательно, в разных системах K’ при различных значениях u/c разность t2 t1 будет различна по величине и даже может отличаться знаком, т.е. в одних системах событие (1) будет предшествовать событию (2), а в других – наоборот.

Пусть в начале некоторой системы отсчета, расположенной в некоторой среде (или в вакууме), находится источник каких-либо сигналов. Опишем из начала координат сферу радиусом R=ct. Так как любое взаимодействие (сигнал), по первому постулату Эйнштейна, распространяется со скоростью, не превышающей с, то можно утверждать, что никакое изменение, возникшее вне сферы через промежуток времени t1t, не может зависеть от сигнала, посланного из центра в момент t=0.

Развитие этого утверждения позволяет доказать, что, несмотря на относительность одновременности пространственно разделенных событий, их причинная связь никогда не нарушается, т.е. «причина» никогда не может стать «следствием», а всегда ему предшествует.

6. Промежуток времени между событиями Пусть в одной и той же точке K’-системы происходят два события с разностью во времени t’=t2’-t1’. Найдем, каким моментам времени соответствуют эти события в K-системе.

u u t2 2 x t1' 2 x ' c t1 c t u2 u 1 2 1 c c t t t (29.6) u 1 c Эта формула описывает так называемое замедление времени.

Длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той ИСО, относительно которой эта точка неподвижна (в собственной ИСО).

Лекции по механике Р.В.Романов Допустим, что-то происходит с частицей, которая покоится в K’-системе и движется относительно K-системы. Тогда промежуток времени t’ можно трактовать как собственное время этого тела, то есть время, отсчитанное в ИСО по часам, движущимся вместе с телом. В неподвижной системе отсчета это же время будет больше.

Прямое доказательство справедливости (29.6) имеется в ядерной физике.

Известна нестабильная частица мюон (-мезон), рождающаяся в космических лучах в атмосфере на высотах порядка 10 км. Она обладает единичным электрическим зарядом и массой примерно в 207 раз превышает массу электрона.

Сравнение интенсивностей потока мюонов в космических лучах на горе и у ее основания показало, что среднее время жизни мюона в лабораторной системе отсчета t10-5 с. С другой стороны, космические мюоны можно было замедлить в свинцовом блоке и с помощью специального устройства отфильтровать медленные мюоны. Измерения показали, что время жизни медленного (покоящегося) мюона t’2,210-6 с.

Если бы не было релятивистского замедления времени, то поток космических мюонов, даже если бы они двигались со скоростью света, уменьшался бы в е раз при прохождении расстояния 600 м. На расстоянии уже 5 км их интенсивность уменьшилась бы в е5000/600~4000 раз, т.е. мюоны вообще не могли бы достигать поверхности земли. В действительности их интенсивность при прохождении такого расстояния уменьшается примерно в е5/3~5 раз. Учет релятивистского замедления времени устраняет это противоречие. Действительно, время жизни мюона в лабораторной системе отсчета t связано с собственным временем жизни соотношением (29.6).

Измерение средней кинетической энергии космических мюонов показало, что она 109 эВ. По этой энергии нетрудно рассчитать 10. Поэтому следует ожидать, что tt’2,210-5 с. Это по порядку величины согласуется со значением, полученным на опыте.

С построением мощных ускорителей заряженных частиц опыты подобного рода производились в более определенных и лучше контролируемых условиях. Наиболее подходящими частицами для таких опытов оказались заряженные пионы (-мезоны). Их масса в 273 раза больше массы электрона, а заряд равен заряду электрона. Пионы во множестве образуются при взаимодействии протонов высоких энергий с веществом. Среднее время жизни пиона в системе отсчета, где он покоится (собственное время) t’2,610-8с, На циклотроне Колумбийского университета был получен пучок пионов со скоростью v =0,75с. Если бы не было релятивистского замедления времени, то за время t пучок проходил бы расстояние 0,7531082,6010-8=5,85 м. На самом деле, как показали измерения, расстояние, на котором интенсивность пучка уменьшается в е раз, равно 8,5±0,6 м, т.е. в лабораторной системе время жизни пиона в 1,45±0,11 раза больше собственного времени жизни. Но это хорошо согласуется с формулой t/t’=1,51.

Лекции по механике Р.В.Романов Результат опыта можно интерпретировать и как проявление релятивистского сокращения длины. Действительно, в системе отсчета, где пион покоится, его время жизни равно t’. Лаборатория движется относительно пиона со скоростью. За время t’ она проходит в системе пиона расстояние l=t’. Если то же расстояние измерять масштабным стержнем, который покоится в лаборатории, то оно окажется равным l=l’=8,8 м, что согласуется с опытом.

Хафель и Китинг поставили опыт для обнаружения релятивистского замедления хода часов уже в макроскопических условиях. В этом опыте четыре экземпляра цезиевых часов в октябре 1971 года были помещены на реактивных самолетах, облетевших вокруг земного шара в восточном и западном направлениях.

Временные интервалы, измеренные по часам, двигавшимся соответственно на восток и на запад, сравнивались с интервалами, измеренными эталонными неподвижными часами, находившимися в Морской обсерватории в Вашингтоне. Результаты совпали с предсказаниями СТО (подробнее Сивухин.т.4, стр.686, Матвеев стр.122).

Кто ни разу не слышал про «парадокс близнецов»? Мысленно запускаем космический корабль к ближайшей звезде, до которой всего 4 световых года со скоростью 0,8 с. Корабль долетит туда и вернется обратно за t=10 лет по земным часам. А по часам космонавтов пройдет всего t’=t/=6 лет. Близнец, который остался на Земле окажется на 4 года старше(!) близнеца, который летал.

Таким образом, открывается возможность за время человеческой жизни совершать не только путешествия к далеким звездным мирам, но и «путешествия в будущее». Если отвлечься от технической и практической стороны вопроса, то такие путешествия принципиально возможны.

В самом деле, биологические процессы не представляют собой какую-то обособленную группу явлений природы. Как и прочие явления природы, они подчиняются законам физики. Если на межзвездном корабле создать условия, близкие к условиям на Земле, то и жизненные процессы на нем будут протекать практически так же, как и на Земле. Биения сердца в человеческом организме выполняют роль часов. Если за время жизни сердце человека на Земле совершает 2109 ударов, то столько же ударов оно совершит и на корабле. Но движущиеся часы идут медленнее неподвижных. Если за время путешествия сердце брата В совершит 1,5•108 ударов, то на Земле к моменту встречи сердце брата А успеет совершить ударов в 10 раз больше. Но это и есть «парадокс близнецов».

В действительности здесь нет парадокса. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная – неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

В 1974 году парадокс близнецов был подтвержден экспериментально на ускорителе в ЦЕРНе (Европейский центр по ядерным исследованиям, Швейцария). Ускоренные мю-мезоны удерживались магнитным полем на круговой орбите радиуса 5 м в течение свыше 150 мкс. За это время они совершали более 105 оборотов. Энергия мезонов превышала энергию покоя примерно в 12 раз, так что =12. Поэтому ожидаемое время жизни мезона в лабораторной системе должно составлять 26,4 мкс.

Опыт дал для этого времени 26,37±0,05 мкс.

Лекции по механике Р.В.Романов 7. Сокращение длин Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси X’ и покоящийся относительно системы K’. Длина его в этой системе l ' x2 x1' где x1 и x2 - не ' меняющиеся во времени t’ координаты.

Относительно K-cистемы стержень движется со скоростью u. Для определения его длины в K-системе отметим координаты концов стержня x1 и x2 в один и тот же момент времени t. Их разность l x2 x1 и есть длина стержня в K-системе. Из преобразований Лоренца (29.4) x ut x ut x x l l ' x2 x1' 2 1 2 ' u2 u2 u2 u 1 2 1 2 1 2 1 c c c c откуда u2 l' l l ' (29.8) c У движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения. Это есть Лоренцево (или Фицджеральдовo61) сокращение. Заметим, что в направлениях Y и Z размеры стержня одинаковы. Тела «сплющиваются» в направлении движения.

Повторим еще раз, что если наблюдатель измеряет длину движущегося мимо него отрезка, расположенного вдоль направления движения, то он получит меньшее значение, чем при измерении длины того же неподвижного отрезка. В собственной системе отсчета длина отрезка наибольшая.

Сокращается ли линейка "на самом деле"? На это можно ответить при помощи следующей аналогии. Частота звука гудка приближающегося, а затем удаляющегося поезда различна (эффект Доплера). "На самом деле" паровоз гудит с той частотой, которую слышит машинист, сидящий в кабине и неподвижный относительно поезда. Стоящий на перроне наблюдатель слышит иную частоту. И, хотя его восприятие отличается от аналогичного восприятия машиниста, оно так же объективно и не является "кажущимся". Это не "игры разума", и то же самое будет "наблюдать" соответствующая аппаратура.

Подобная относительность сплошь и рядом встречается в классической физике.

Пример тому — эффект Доплера, или относительность значения скорости объекта. Такая же ситуация и с релятивистскими эффектами сокращения длины, замедления времени, фактом одновременности событий, и т.п.

Джордж Френсис Фицджеральд (George Francis Fitzgerald, 1851—1901) — ирландский физик, родился в Дублине, учился там же в Тринити-колледже. Окончил курс университета в 1874 г. и в 1881 г. назначен был профессором физики в университет в Дублине.

Последователь Максвелла, разрабатывал теорию электрических и магнитных явлений.

Публикации по вопросам электромагнетизма — в «Transactions of the Royal Society» и «Transactions of the Dublin Society».

Лекции по механике Р.В.Романов 8. Релятивистский закон сложения скоростей Пусть в системе К' точка движется со скоростью '. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x,y,z, а в системе К' в момент времени t’ – координатами x, y, z, то dx ' dy ' dz dx dy dz x, y, z и x, y, z ' dt dt dt dt dt dt Из преобразований Лоренца (29.4) следует u ' u dx dx udt, dy dy, dz dz, dt 1 2 dx dt 1 2x.

c c dx dx udt x u y' ' dy ' dy и т.д.

, u x u x u x u x ' ' ' ' dt dt dt 1 2 1 2 dt 1 2 1 c c c c Окончательно получаем ' x u u ' x x ', x, xu xu 1 2 1 c c u2 u y 1 2 y 1 ' ' c, c, y y (29.12) xu xu ' 1 2 1 c c u2 u z 1 2 z 1 ' ' c c z z u u ' 1 x2 1 x c c Если материальная точка движется параллельно оси ОХ, то ' u u, ' (29.13) u u' 1 1 c c А что получится, если и система отсчета и точка в ней движутся со скоростью света? Очевидно, что в этом случае =c в полном согласии со вторым постулатом Эйнштейна. Больших скоростей быть не может.

Следует заметить, что скорость света в какой-либо среде, равную с/n (n – абсолютный показатель преломления среды), превышать вполне допустимо.

Все рассмотренные выше формулы при малых скоростях c переходят в законы классической механики. Можно говорить, что механика Ньютона является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Лекции по механике Р.В.Романов 9.Эксперимент Действуя электрическим полем на электрон, можно сообщить ему кинетическую энергию за счет работы электрических сил m 2 2|e| | e | U, (29.14) U 2 m Затем электрон, двигаясь по инерции, попадет на экран Э, покрытый слоем вещества, светящегося при торможении электронов;

и на экране появится светящаяся точка А (рис. 29.2) (в действительности опыт проводится не с единственным электроном, а с узким электронным пучком;

но взаимодействие электронов друг с другом в условиях опыта Рис.29. несущественно).

Если на пути электрона поместить скрещенные электрическое и магнитное поля, то на частицу будут действовать электрическая сила и сила Лоренца FL | e | B Fk | e | E, (29.15) где Е – напряженность электрического поля, В – индукция магнитного поля.

Можно подобрать условия опыта так, чтобы силы стали равными по модулю и антипараллельными, тогда электрон не будет смещаться и попадет в ту же точку | e | E | e | B E/B. (29.16) Так как Е и В поддаются измерению, то можно определить скорость и сравнить с теоретическим значением (29.14).

На рис. 29.3 приведены результаты подобных опытов, проведенных впервые в самом начале XX века. Квадрат расчетной скорости как функция U представляется наклонной прямой линией 1. Графиком квадрата истинной скорости является кривая 2;

при малых скоростях механика Ньютона хорошо отвечает опытам;

но при Рис.29. скоростях, приближающихся к скорости света в вакууме, действительная скорость растет гораздо медленнее расчетной и не превышает скорости света.

Расхождение теории с опытом можно было приписать трем причинам:

а) уменьшению заряда электрона;

б) увеличению массы электрона;

в) неприменимости механики Ньютона к столь быстрым движениям.

Множество специальных экспериментов и опытных данных свидетельствуют о неизменности заряда. Один из самых убедительных аргументов: если бы заряд зависел от скорости, то атомы не могли бы быть нейтральными, так как электроны движутся относительно ядра с различными и Лекции по механике Р.В.Романов сопоставимыми со скоростью света скоростями;

но нейтральность атомов проверена с высокой точностью.

Анализируя результаты описанных здесь и других опытов (в частности, оптических), физики начала XX века пришли к выводу, что для согласования опытов с теорией следует по другому записывать импульс частицы.

10. Основной закон релятивистской динамики материальной точки Можно говорить, что масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости m m (29.17) c где m0 – масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое;

m – масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью.

Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона dp d m F dt dt оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем под массой понимать (29.17), а релятивистским импульсом считать выражение m p m (29.19) c Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к скорости света, то можно использовать только релятивистское выражение для импульса.

Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (29.17) является подтверждением справедливости специальной теории относительности. В частности, на основании этой зависимости производятся расчеты ускорителей.

Лекции по механике Р.В.Романов 11. Закон взаимосвязи массы и энергии Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Ранее было показано, что изменение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении dEк A Fdr (29.20) Учитывая, что dr dt, и подставив в (29.20) выражение (29.19), получаем d d m0 m dt dEк (29.21) dt 1 2 dt 1 c2 c Преобразовав данное выражение с учетом того, что d d, и формулы (29.17), придем к выражению m0c 2 dEк d c dm (29.22) 2 c т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m0, то, проинтегрировав, получим Eк (m m0 )c 2. (29.23) Кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид 1 m0c 2 ( 1) Eк m0c (29.24) 1 2 c m0 Выражение (29.24) при скоростях c переходит в классическое Eк 2 2 2 1 1 3... приc, правомерно 2 (разлагая в ряд 2 c2 8 c c пренебречь членами второго порядка малости).

Эйнштейн обобщил положение (29.24), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии, а именно любое изменение массы m сопровождается изменением полной энергии частицы E c 2m. (29.25) Отсюда Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой m Лекции по механике Р.В.Романов m0c E mc (29.26) c Уравнение (29.26) выражает фундаментальный закон природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии:

LEX: Полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме.

Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Закон (29.26) можно, учитывая выражение (29.24), записать в виде E m0c 2 Eк, откуда следует, что покоящееся тело (Ек=0) также обладает энергией E0 m0c 2, называемой энергией покоя. В классической механике энергия покоя Е0 не учитывается, считая, что при =0 энергия покоящегося тела равна нулю.

В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии:

LEX: Полная энергия замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяется с течением времени.

Из формул (29.26) и (29.19) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы E 2 m2c 4 m0 c 4 p 2c 2, E m0 c 4 p 2c 2 (29.29) Из данного уравнения следует, что могут существовать частицы с нулевой массой покоя, для которых E=pc. Это фотоны – кванты света.

Возвращаясь к уравнению (29.26), отметим еще раз, что оно имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, то есть можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса и, наоборот, со всякой массой связана энергия.

Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), вводят понятие энергии связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро – на протоны и нейтроны). Энергия связи системы n n Eсв m0i c M 0c m0i M 0 c 2 (29.30) i 1 i где m0i – масса покоя i-ой частицы в свободном состоянии;

М0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц.

Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Лекции по механике Р.В.Романов 12. Заключение Рассматривая выводы специальной теории относительности, видим, что она, как, впрочем, и любые крупные открытия, потребовала пересмотра многих установившихся и ставших привычными представлений. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела;

длина тел и длительность событий не являются абсолютными величинами, а носят относительный характер;

наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.

Основной вывод теории относительности сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи – пространство-время. Только поэтому пространственно-временной интервал между двумя событиями является абсолютным, в то время как пространственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следовательно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространственно-временных соотношений движущейся материи.

13. Еще раз о массе Масса (от лат. massa – глыба, ком, кусок) – одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные, гравитационные и энергетические свойства.

Понятие «масса» было введено в физике Ньютона при определении количества движения (импульса). Эквивалент определения массы следует из уравнения движения классической механики Ньютона F ma. Определенная таким образом масса является мерой инертности.

В теории гравитации масса выступает как источник поля тяготения. Это поле вызывает притяжение тел по закону всемирного тяготения. Таким образом, массу можно считать мерой гравитации. В принципе ниоткуда не следует, что тграв тин, однако опыт показывает, что они пропорциональны, а при подходящем выборе единиц измерения равны. Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности, который установлен с точностью до 10-12 (1971).

С точки зрения Эйнштейна массу можно также рассматривать как меру энергии.

Природа массы – одна из важных, еще не до конца рассмотренных задач физики. Возможно, на этот вопрос даст ответ открытие бозона Хиггса62.

Дополнительная литература 1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. В 5 т. Том IV. Оптика. Сивухин Д.В. 3-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ;

Изд-во МФТИ, 2005. - 792 с.

Бозон Хиггса — теоретически предсказанная элементарная частица. В рамках Стандартной модели отвечает за массу элементарных частиц. 4 июля 2012 года ЦЕРН сообщил, что каждый из двух основных детекторов БАК наблюдал новую частицу с массой около 125126 ГэВ. Есть основания считать, что эта частица и является бозоном Хиггса.


Лекции по механике Р.В.Романов ПРИЛОЖЕНИЯ К лекции № 11.Вращение вокруг точки Пусть АТТ закреплено в одной точке. Очевидно тогда, что у него остается только 3 степени свободы.

def: Вращательным движением АТТ вокруг неподвижной точки называется такое движение, при котором одна точка АТТ закреплена, а остальные движутся по поверхности сфер, центры которых находятся в закрепленной точке.

Так как для АТТ | r | const, то, взяв производную от выражения | r | | r | r r const имеем dr dr 0 r r V 2r Рис.4. dt dt Очевидно, что при этом движении линейная скорость все время перпендикулярна радиус-вектору. Тогда можно говорить, что V [, r ], где - некоторая угловая скорость, направленная вдоль оси, проходящей через неподвижную точку.

12. Сложное движение АТТ Пусть в пространстве произвольно движется АТТ. Выберем, какую-либо точку АТТ и обозначим ее Р. Можно записать Vp Vp V1 V p (V1 V p ) V2 V p (V2 V p )...

Очевидно, что любое движение АТТ мы можем разложить на два составляющих движения.

При одном из них считается, что все точки тела движутся с одинаковыми скоростями Vр, то есть – это поступательное Рис.4. движение со скоростью точки P. Сама точка при этом называется – полюс.

Лекции по механике Р.В.Романов Другое движение считает, что все точки тела движутся с различными скоростями относительно полюса, то есть – это вращательное движение вокруг точки.

Так как положение полюса постоянно меняется, то говорят, что любое сложное движение можно описать, разложив его на мгновенно–поступательное движение со скоростью полюса и мгновенно-вращательное движение относительно полюса.

dr drp dr ' V p [, r ' ] V p [, r rp ] dt dt dt таким образом, скорость любой точки равна V V p [, r rp ] Ускорение dV dV p d d, r rp, (r rp ) a dt dt dt dt таким образом a a p [, (r rp )] [, (V V p )] Следовательно, ускорение в этом случае состоит из трех слагаемых:

Первое – ускорение полюса;

Второе – вращательное ускорение;

Третье – осестремительное.

13. Мгновенная ось вращения Разложение на эти виды движения неоднозначно. Можно поступательно перевести тело A0B0 поступательно в положение A’B’, а затем повернуть вокруг оси О на угол. Можно поступательно перевести в положение A’’B’’ а затем повернуть на тот же угол вокруг оси О’.

Та ось вращения, для которой поступательная скорость равна 0, называется мгновенной осью вращения.

Можно обойтись только поворотом. Ось вращения находится на пересечении перпендикуляров к A0A и B0B.

Мгновенная ось – это воображаемая ось, которая не имеет материального носителя, поэтому не имеет смысла говорить о скорости мгновенной оси.

Физический смысл имеет тот факт, что точки материального тела, лежащие на мгновенной оси, Рис.4. покоятся в рассматриваемый момент времени, и движение тела сводится к вращению.

Лекции по механике Р.В.Романов Можно сформулировать теорему Эйлера:

LEX: Твердое тело, имеющее одну закрепленную неподвижную точку, может быть из одного положения переведено в любое другое одним поворотом на некоторый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления.

У этой теоремы есть следствие.

LEX: Движение закрепленного в точке твердого тела в каждый данный момент может рассматриваться как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления.

14 Углы Эйлера Три вращательные степени свободы для АТТ часто называют углами Эйлера. В курсе классической механики показывается, что произвольный поворот АТТ можно представить как сумму трех последовательных поворотов вокруг 3 независимых взаимно перпендикулярных осей. Если известны эти три угла поворота как функции времени, то известны и три угловые скорости, а, следовательно, можно найти и линейную скорость любой точки АТТ.

Возъмем 2 системы отсчета: неподвижную X1Y1Z1 и подвижную жестко связанную с твердым телом X2Y2Z2. Сначала они совмещены.

Повернем подвижную систему относительно оси OZ1 на угол - угол прецессии.

Повернем подвижную систему относительно оси OX2 на угол угол нутации.

Повернем подвижную систему относительно оси OZ2 на угол - угол свободного вращения.

Линия пересечения плоскостей X1ОY1 и X2ОY2 называется линией узлов.

Каждая операция единственна, следовательно, движение можно описать с помощью кинематических уравнений Эйлера.

d d d 1 k 2 3 Рис.4. dt dt dt Где – единичный вектор линии узлов, - единичный вектор оси O2Z V [, r ] 1 2 V V1 V2 V3 [1, r ] [2, r ] [3, r ] Лекции по механике Р.В.Романов К лекции № 6. Формула Эйлера Лучшее изложение этого вопроса на наш взгляд приведено в книге Я.И.Перельмана63 «Занимательная физика»64. Приводим его здесь с некоторыми изменениями и дополнениями.

В романе Жюля Верна «Матиас Шандор»65 приведен поразительный случай с судном «Трабоколо», когда силач-атлет Матифу силой могучих рук задержал спуск целого корабля.

Вот как рассказывает романист об этом подвиге:

«Судно, освобожденное уже от подпорок, которые поддерживали его по бокам, было готово к спуску. Достаточно было отнять швартов, чтобы судно начало скользить вниз.

Уже с полдюжины плотников возились под килем судна. Зрители с живым любопытством следили за операцией. В этот момент, обогнув береговой выступ, появилась увеселительная яхта. Чтобы войти в порт, яхта должна была пройти перед верфью, где подготовляли спуск Рис.9.6. «Трабоколо», и, как только она подала сигнал, пришлось, во избежание всяких случайностей, задержать спуск, чтобы снова приняться за дело после прохода яхты в канал. Если бы суда, – одно, стоявшее поперек, другое, подвигающееся с большой быстротой, – столкнулись, яхта погибла бы.

Рабочие перестали стучать молотками. Все взоры были устремлены на грациозное судно, белые паруса которого казались позолоченными в косых лучах Солнца. Скоро яхта очутилась как раз против верфи, где замерла тысячная толпа любопытных. Вдруг раздался крик ужаса: «Трабоколо»

закачалось и пришло в движение в тот самый момент, когда яхта повернулась к нему штирбортом! Оба судна готовы были столкнуться;

не было ни времени, ни Перельман Яков Исидорович (1882-1942) - советский учёный, популяризатор физики, математики и астрономии, один из основоположников жанра научно-популярной литературы, автор понятия "научно-фантастическое". Его книги выходили гигантскими тиражами и переиздавались несколько сотен раз и были переведены на множество языков языки народов СССР, немецкий, английский, французский, польский, испанский, болгарский, венгерский, чешский и др. Его жизнь оборвалась в 1942 г. в блокадном Ленинграде. Как и многие ленинградцы, он скончался от голода в дни блокады немецко фашистскими захватчиками.

Первое издание в 1913 году. 21-ое издание -1983 год. Было издание 2011 года АСТ Mathias Sandorf 1885 год Лекции по механике Р.В.Романов возможности помешать этому столкновению. «Трабоколо» быстро скользило вниз по наклону… Белый дымок, появившийся вследствие трения, закрутился перед его носом, тогда как корма погрузилась уже в воду бухты (судно спускалось кормой вперед. – Я. П.).

Вдруг появляется человек, схватывает швартов, висящий у передней части «Трабоколо», и старается удержать его, пригнувшись к земле. В одну минуту он наматывает швартов на вбитую в землю железную трубу и, рискуя быть раздавленным, держит с нечеловеческой силой в руках канат в продолжение 10 секунд. Наконец швартов обрывается. Но этих 10 секунд было достаточно: «Трабоколо», погрузившись в воду, только слегка задело яхту и пронеслось вперед.

Яхта была спасена. Что касается человека, которому никто не успел даже прийти на помощь, – так быстро и неожиданно все произошло, – то это был Матифу».

Как изумился бы автор романа, если бы ему сказали, что для совершения подобного подвига не нужно вовсе быть великаном и обладать, как Матифу, «силою тигра». Каждый находчивый человек мог бы сделать то же самое!

Рассмотрим подробнее этот вопрос. Жюль Верн правильно отметил роль, которую играет трение во время скольжения корабля,— нагрев его корпуса и возникновение из-за этого дыма. Однако он недооценил роль трения (и переоценил, тем самым, роль Матифу) при описании подвига атлета.

Какая же сила нужна, чтобы удержать канат, уже намотанный на опору — трубу или кнехт66?

Вначале трением пренебрежем и рассмотрим неподвижный участок каната, изогнутый опорой на малый угол d (рис.9.6.3). Пусть канат натянут Рис.9.6. силой T и со стороны опоры на рассматриваемый участок каната действует сила реакции N. Найдем ее из условия равновесия каната: сумма всех сил, действующих на участок каната, равна нулю. Отсюда N=Td (здесь учтено, что для малых углов sind=d).

При наличии трения канат может быть неподвижным и в том случае, когда силы натяжения слева и справа от рассматриваемого участка немного отличаются друг от друга. Проскальзывание каната начнется тогда, когда разность этих сил достигнет максимальной величины силы трения покоя Рис.9.6. dT=Fтр=N=Td, где — коэффициент трения между канатом и опорой. Переписав последнюю формулу в виде Кнехт (морской термин) (чаще мн. кнехты, устар. кнек;

от нидерл. knecht)— парная тумба с общим основанием на палубе судна, служащая для крепления тросов.

Лекции по механике Р.В.Романов dT (9.6.3) T Легко получить ее решение T T0e (9.6.4) Впервые этот вопрос был рассмотрен Леонардом Эйлером, поэтому данный закон называют формулой Эйлера.

Теперь можно легко рассчитать силу, которую нужно приложить, чтобы удержать большой груз.

T0 Te (9.6.5) Применим формулу случаю, (9.6.5) описанному в романе. Силой T в данном случае является составляющая силы тяжести судна, скользящего по стапелю (наклонной плоскости).

Масса судна из текста известна: 50 тонн. Пусть наклон стапеля 0,1;


тогда на канат действовал не полный вес судна, а 0,1 его, т. е. Т=0,1mg=50000 Н.

Коэффициент трения каната о железную тумбу примем равным =1/3 (коэффициент трения пенькового каната по железу). Пусть канат обвил Рис.9.6. тумбу 3 раза, тогда =32=6.

Окончательно получаем Т0=93 Н или m0=9,3 кг10 кг Итак, чтобы удержать этот корабль, человек должен удержать массу всего в 10 кг! Лишь бы канат не оборвался!

Всем хорошо известно, что при швартовке судна с него бросают на пристань канат (швартов) с петлей на конце, которую надевают на причальную тумбу. Затем, когда судно подходит совсем близко к пристани, матрос быстро наматывает другой конец каната «восьмеркой» на кнехт на палубе. Таким способом удается надежно удерживать громадное судно рядом с причалом.

Приведенный расчет показывает, что при швартовке развиваются довольно-таки значительные силы трения. Раньше, когда причальные тумбы делались из дерева, они, нагреваясь, иногда даже начинали дымиться. В очерке Д. Н. Мамина-Сибиряка «Бойцы» (о сплаве на реке Чусовой) говорится, что по этой причине сплавщики называли причальные тумбы «огнивами». Чтобы во время швартовки «огнива» не загорались, их обливали холодной водой.

Заметим, что с рассмотренным явлением каждый из нас сталкивается практически ежедневно, что-нибудь завязывая — шнурки, шарф или веревка.

Ведь любой узел по существу представляет собой веревку, навитую на «опору»

(ту же самую веревку).

Лекции по механике Р.В.Романов К лекции № 13. Тензор инерции Для описания движения АТТ в общем случае вводят понятие тензора инерции.

Пусть АТТ закреплено в одной точке.

В кинематике показывалось, что скорость любой точки АТТ можно представить в виде vi [, ri ] Ее момент импульса Li [ri, mi vi ] Тогда момент импульса АТТ относительно точки 0 имеет вид L Li [ri, mi vi ] mi [ri,[, ri ]] Рис.14. i i i mi (ri, ri ) ri (ri, ) mi ri 2 mi ri (ri, ) i i i Это векторное равенство можно записать в проекциях, учитывая, что (ri, ) xi xi yi yi zi zi Тогда Lx x mi ri 2 x mi xi 2 y mi xi yi z mi xi zi i i i i Ly y mi ri y mi yi x mi xi yi z mi yi zi 2 i i i i Lz z mi ri z mi zi y mi xi yi z mi xi zi 2 i i i i или Li I ij j, i, j x, y, z j где тензор инерции второго ранга I xx I xz I xy I ij I yx I yy I yz I I zz I zy zx имеет компоненты I xx mi (ri 2 xi2 ) mi ( yi2 zi2 ) i i I yy mi (ri y ) mi ( xi2 zi2 ) 2 i i i I zz mi (ri z ) mi ( xi2 yi2 ) 2 i i i которые называются осевыми моментами инерции и Лекции по механике Р.В.Романов I xy I yx mi xi yi i I xz I zx mi xi zi i I yz I zy mi yi zi i которые называются центробежными моментами инерции.

Здесь суммирование осуществляется по всем точкам, составляющим механическую систему. а в случае АТТ суммирование, как обычно, заменяется интегрированием по объему тела.

14. Главные оси тензора инерции Если с помощью математических операций (выбора осей) удается привести тензор инерции к диагональному виду I xx 0 I ij 0 I yy 0 0 I zz то выбранные оси называются главными осями инерции, а соответствующие компоненты тензора – главными моментами инерции.

Процедура выбора осей известна из математики и достаточно сложна, поэтому отметим только результаты:

Через любую точку АТТ можно провести 3 взаимно перпендикулярные оси Главные моменты инерции различны для различных точек тела Если главные оси проведены через центр масс, то они называются центральными главными осями.

Для симметричных тел, центральные главные оси выбираются достаточно легко.

15. Вращение АТТ вокруг точки.

Это движение будем рассматривать в системе координат жестко связанной с телом. Оси направлены по главным осям инерции d x ( I zz I yy ) y z M x I xx dt d y ( I xx I zz ) x z M y I yy dt d z ( I yy I xx ) x y M z I zz dt Очевидно, что при вращении вокруг какой-либо оси, Рис.14. проекции угловой скорости на другие оси равны нулю, и мы получаем обыкновенное уравнение вращательного движения вокруг оси, рассмотренное подробно ранее.

Лекции по механике Р.В.Романов 16. Свободные оси вращения АТТ.

Примем за начало системы отсчета центр масс системы, а оси направим вдоль центральных главных осей системы. Кроме того, будем считать, что внешние силы не действуют, и тело вращается равномерно. Тогда ( I zz I yy ) y z ( I xx I zz ) x z ( I yy I xx ) x y Это условие может быть выполнено, если две любые Рис.14. проекции угловой скорости равны нулю.

Это означает, что угловая скорость совпадает по направлению с одной из центральных главных осей.

Таким образом, свободное вращение АТТ возможно лишь вокруг центральных главных осей, которые в данном случае называют свободными.

Можно показать, что наиболее устойчивым вращение будет относительно центральной главной оси с максимальным или минимальным моментом инерции. Достаточно просто это показать и экспериментально, например, со спичечным коробком (эффект Джанибекова).

17. Кинетическая энергия в общем случае.

Легко догадаться, как выглядит кинетическая энергия вращения в общем случае.

Wk I xx x I yy y I zz z 1 2 18. Момент инерции прямоугольного бруска I z r 2 dm r 2 dV r 2 dSdz h dz r 2 dS h x 2 y 2 dxdy b a b a 2 y3 Рис.14. I z h dx x y dy h dx x y 2 2 2 3 b a b a 2 2 2 a 2 b h dx x b a a x3 b3 a3 b3 I z h b x h b a hab(a 2 b 2 ) Рис.14. 3 12 a 12 12 Iz m( a 2 b 2 ) Лекции по механике Р.В.Романов К лекции № 6. Точное решение уравнения маятника Нелинейное уравнение вида 2 sin 0, которое получается при решении задач о колебаниях физического и математического маятников, с |t 0 max и |t 0 0 может быть решено начальными условиями следующим образом (см. Камке, стр.487) d d 2 d cos sin 0 | * dt dt dt Следовательно 2 d 2 cos 0 2 cos const 2 cos dt 2 max То есть получили первый интеграл или закон сохранения энергии. Далее d d 2 2 (cos cos max ) 2dt cos cos max dt Очевидно, что d 2t cos cos max max Исходя из известной формулы тригонометрии 1 cos 2sin Получаем d 2t 2 max sin max sin max 2 sin Или вводя новую переменную Рис.19. sin берем производную 1 sin cos d cos d max 2 sin max от обеих частей sin 2 получаем Лекции по механике Р.В.Романов 1 d cos d cos d cos d 2 sin max 1 sin 2 max sin 1 sin cos 2 2 2 Окончательно имеем cos d d t 2 max sin 2 2 1 sin 2 max sin 2 1 sin 1 sin 2 Этот интеграл в элементарных функциях не берется. В математике он известен как эллиптический интеграл 1-го рода, который имеет решение в виде функций Якоби. Численное решение показано на рисунке 19.5. Для сравнения приведено обычное гармоническое решение.

Период колебаний можно рассчитать как учетверенное время прохождения от максимального до нулевого угла d T 4 k sin max 1 k 2 sin 2 Разлагая подынтегральное выражение в ряд по формуле бинома Ньютона, можно получить период как сумму интегралов (см. Сивухин, т.1. стр.233) (Т0 – период при малых колебаниях) 1 2 2 max 1 3 2 4 max 1 3 5 2 6 max T T0 1 sin...

sin sin 2 24 2 2 То есть период увеличивается.

Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Малые колебания физического маятника изохронны.

Колебания приближенно изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается.

7. Центр качаний Пусть имеется некоторый физический маятник с моментом инерции I. Из сравнения формул для частот колебаний (19.15) и (19.16) получаем, что I математический маятник с длиной нити l p будет иметь тот же период, что ml и физический. Напомним, что l – расстояние от точки подвеса до центра тяжести. Данная величина называется приведенной длиной физического маятника.

def: Точка, находящаяся на прямой, соединяющей ось вращения и центр тяжести на расстоянии lp от оси называется центром качаний.

Основное свойство центра качаний заключается в том, что при подвесе маятника на оси, проходящей через центр качаний, период колебаний не меняется, то есть центр качаний и точка подвеса – обратимые точки.

Лекции по механике Р.В.Романов По теореме Штейнера можно записать I 0 ml I I lp l 0 (19.26) ml ml ml Где I0 – момент инерции относительно центра масс.

Очевидно, что точка подвеса и центр качаний лежат по разные стороны от центра масс.

Пусть имеется тонкий длинный стержень длиной d. Тогда md lp 3 d d m Пусть точка подвеса этого стержня может менять свое Рис.19. положение 0xd/2. Очевидно, что T(x=0) Период колебаний этого маятника в соответствии с (19.18) 1 x md mx 2 I 0 mx I d 12 d T 2 2 2 x mgx mgx mgx g d Анализ формулы и рисунок показывают, что период минимален при d d xmin 0,289d 12 2 Рис.19. Лекции по механике Р.В.Романов К лекции № 6. Колебания при сухом трении Ранее рассматривались колебания при жидком или вязком трении, когда сила трения пропорциональна скорости. Для (кулоновского67) сухого трения рассмотрение задачи усложняется.

Рис.20.6. m a F упр N G F тр d 2x m 2 Fупр x Fтр x kx sign(vx, x) mg (20.6.2) dt Где k – коэффициент упругости, - коэффициент трения. Здесь не делаем различий между коэффициентами трения скольжения и покоя.

Знаковая функция определяется сложнее, чем обычно 1, vx 1, v x sign(vx, x) 1, vx 0, x 0 (20.6.3) 1, v 0, x x 0, vx 0, x При наличии сухого трения тело может находиться в состоянии покоя, даже если на него подействовать какой-либо силой. Если приложенная сила не превосходит максимального значения силы трения покоя, то тело не придет в движение.

Явление остановки и задержки тела в отклоненном от среднего положении, в котором действующая на него со стороны пружины сила не равна нулю, называется явлением застоя. Условие равенства сил трения и упругости дают границы области застоя mg | x | a k Сухое трение, действующее, например, в подшипниках измерительных приборов со стрелками, ограничивает чувствительность таких приборов.

Наличие области застоя делает неопределенным положение равновесия, в котором устанавливается стрелка при измерениях, то есть ограничивает точность измерения.

При решении задачи удобно перейти к безразмерным переменным x k k dx m dz v t g z x, vz x, где vx va vz t, a mg k d m dt va Закон Fтр N часто называют законом Кулона (или Амонтона) Лекции по механике Р.В.Романов Получаем уравнение d 2z dz sign(, z ) z 0, (20.6.6) d d решение которого зависит только от начальных условий dz z 0 z0, 0 vz 0, (20.6.7) d Уравнение (20.6.6) содержит два хорошо известных предельных случая.

При отсутствии силы трения – гармонические колебания.

v z A cos( ), где A z0 vz 0, arctg z 2 z При отсутствии пружины – торможение с постоянным ускорением.

vz vz 0 sign(vz 0 ) z0 vz 0 sign(vz 0 ) 2, vz z, (20.6.10) vz z sign(v ), v z0 z Уравнение (20.6.6) содержит разрывную функцию, поэтому интегрирование проводим в пределах каждого размаха отдельно. Кроме того сначала рассмотрим более простые начальные условия, когда движение влево начинается без начальной скорости из крайней правой точки (рис.20.6.1) dz z 0 z0, 0 0, (20.6.11) d Из (20.6.6) получается обыкновенное линейное с постоянными коэффициентами (точнее, с коэффициентами равными единице и без параметров) неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка d 2z z 1, (20.6.12) d решение которого имеет вид z A cos( ) 1, vz Asin( ) А после подстановки начальных условий (20.6.11) z ( z0 1)cos( ) 1, vz ( z0 1)sin( ).

Этот этап закончится, когда скорость станет равной нулю, то есть при 1, и координате z1 ( z0 2).

Если при этом тело вышло за пределы области застоя, то начнется следующий этап движения вправо, описываемый уравнением d 2z z 1, (20.6.16) d И начальными условиями, являющимися конечными для предыдущего этапа.

Решение ищем в виде z A cos( ) 1, vz Asin( ) Лекции по механике Р.В.Романов А после подстановки начальных условий получаем z ( z0 3)cos( ) 1, vz ( z0 3)sin( ).

Этот этап закончится, когда опять скорость станет равной нулю, то есть при 2 2, и координате z2 ( z0 4). И так далее.

Таким образом можно получить общие формулы для координаты и скорости тела z ( z0 (2n 1))cos( ) (1)n, (20.6.20) vz ( z0 (2n 1))sin( ), n trunc( ) 1, где n – номер текущего полупериода, или номер этапа интегрирования, trunс(х) – функция взятия целой части числа68, например, trunс(2,71)=2.

В размерных переменных эти решения выглядят следующим образом mg k mg x x0 (2n 1) t (1) n cos, (20.6.21) k m k k t mg k k m 1 trunc t vx x0 (2n 1) t, n trunc sin T m k m Следовательно, наблюдаются колебания с постоянным периодом 2 m T k и линейно убывающей амплитудой, что является серьезным отличием от колебаний при вязком трении.

Данное решение для Рис.20.6. безразмерных переменных представлено на рис.20.6.2. Область застоя выделена темным цветом.

При заданном начальном отклонении z0=9,5 остановка происходит внутри области застоя, но не в положении равновесия. При четном начальном отклонении остановка произойдет строго в положении равновесия, а при нечетном – на границе области застоя.

Также на рисунке показаны асимптотические линии для амплитуды колебаний, приближенные уравнения которых имеют вид В математике операцию определения целой части числа часто обозначают квадратными скобками, например. [2,71]=2.

Лекции по механике Р.В.Романов A( ) z0, откуда можно получить выражение для времени затухания колебаний x k z max 0 или tmax 0, 2 g m На рис.20.6.3 показана фазовая траектория, то есть зависимость скорости от координаты vz(z), из которой также хорошо видно уменьшение амплитуды колебаний на ширину зоны застоя за каждую половину периода.

Рис.20.6. Пусть теперь в начальный момент времени у тела существует скорость, направленная вправо или влево.

Уравнение (20.6.6) принимает вид d 2z dz z 1, при vz 0 vz 0 0 (20.6.25) d d или d 2z dz z 1, при vz 0 v z 0 0 (20.6.26) d d Решения имеют вид v z A cos( ) 1, vz Asin( ), A ( z0 1)2 vz 0, tg z z или v z A cos( ) 1, vz Asin( ), A ( z0 1)2 vz 0, tg z 0.

z Первая остановка произойдет в момент времени ост, в точке с координатой zост ( z0 1)2 vz 0 1, где верхний знак относится к исходному движению вправо, а нижний знак - к исходному движению влево.

Повторяя поэтапное интегрирование можно получить общие формулы при исходном движении вправо z ( ( z0 1)2 vz 0 2n)cos( ) (1) n, (20.6.30) 0, vz ( ( z0 1) v 2n)sin( ), n 2 trunc( ) 1, z где n – по-прежнему, номер текущего полупериода, или номер этапа интегрирования. Начальное движение до первой остановки считаем нулевым этапом.

Лекции по механике Р.В.Романов Очевидно, что при нулевой начальной скорости уравнения (20.6.30) переходят в (20.6.20).

Уравнение асимптотических линий имеет вид A( ) ( ( z0 1)2 vz 0 1 ( ).

Время затухания колебаний max ( z0 1)2 vz 0 Общий вид зависимости координаты от времени при z0=5,0 и vz0=8 представлен на рис.20.6. На рис.20.6.5 показана зависимость скорости от времени при тех же условиях. Хорошо видно, что при каждой остановке изменяется наклон Рис.20.6. касательной к графику скорости, то есть ускорение меняется скачком, как это и должно быть при разрывном изменении силы трения.

Аналогичным образом получаются формулы при исходном движении влево.

Попробуйте проделать это самостоятельно.

Рис.20.6. Перепишем формулу (20.6.2) в виде dvx kx Fтр x, (20.6.33) m dt и умножим на vx dt dx. Получаем mvx dvx kxdx Fтр xvx dt Так как сила трения всегда противоположна скорости, то получаем mvx kx mg vx dt, d (20.6.34) 2 то есть теорему об изменении полной механической энергии при наличии диссипативной силы. Её же можно записать как mvx kx 2 mvx 0 kx 2 2 mgП, (20.6.35) 2 2 где П – путь, пройденный телом.

В безразмерных переменных (20.6.35) принимает вид Лекции по механике Р.В.Романов v z z 2 v z 0 z 2 2 Пz, (20.6.36) 2 2 2 где Пz=П/a – безразмерный путь.

Если движение началось без начальной скорости, то до полной остановки тело пройдет путь z2 z Пz 0 (20.6.37) Как уже отмечалось, при четном отклонении остановка произойдет строго в положении равновесия (z=0), и тогда П z z0 2. На рисунке 20.6. смоделирована эта ситуация Рис.20.6. при z0=10, и очевидно, что путь равен 50 безразмерных единиц.

К вычислению пути можно подойти и по-другому. Из (20.6.20) следует Этап (полупериод) Начальная координата Конечная координата путь 1 z0 -z0+2 2z0- 2 -z0+2 z0-4 2z0- 3 z0-4 -z0+6 2z0- 4 -z0+6 z0-8 2z0- 5 z0-8 -z0+10 2z0- 2 2 4 ( N 1) П z (2 z0 2) (2 z0 6)... 2 Nz0 (2 6 10...) 2 Nz0 N 2 2 4 ( N 1) П z 2 Nz0 N 2 N ( z0 N ).

Здесь N – число полупериодов. Использована формула суммы арифметической прогрессии. При остановке конечная координата должна оказаться внутри области застоя, то есть z0-2N1. Таким образом, (z0-1)/2N.

z N 0, (20.6.40) - ближайшее целое число сверху. Изучая рис.20.6.2, можно получить, что N=(9,5-1)/2=5. Тогда путь Пz=25(9,5-5)=45. Тот же результат можно получить из (20.6.37) при конечной координате z=0,5.

Если движение происходит с начальной скоростью, то следует добавить расстояние до первой остановки.

Дополнительная литература В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев Колебания и волны. Лекции.

Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г.

http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1175042&s= Лекции по механике Р.В.Романов К лекции № 10. Определение скорости звука Первые попытки измерить скорость звука предпринимались во Франции в XVII веке. Звуковыми «генераторами» служили огнестрельные орудия (мушкеты и пушки). В 1630 году известный в то время физик и математик М. Мерсенн (1586—1648), заметив вспышку, подсчитывал удары пульса или отмечал по часам время, когда до него доносился звук выстрела. По результатам экспериментов скорость звука у него получилась равной 448 м/с.

Через пять лет, в 1635 году, другой ученый, П. Гассенди (1592—1655), по похожей методике попытался определить, есть ли разница в скорости распространения звука от более звонкого ружейного выстрела и более глухого пушечного. Оказалось, что скорость звука от его частоты не зависит.

Первую математическую формулу для расчета скорости звука предложил великий английский физик и математик И. Ньютон (1643— 1727). Для нормальных условий скорость звука у него получалась равной 298 м/с.

Ньютон понял, что его формула некорректна после того, как сам экспериментально проверил результат. Он измерял время эха от хлопка в ладоши, стоя между двумя параллельными стенами, находившимися на расстоянии 200 м одна от другой, и получил скорость звука около 340 м/с.

В 1738 году члены Парижской академии наук решили повторить опыт Мерсенна, выбрав для этого холм Монмартр (Холм мучеников), находившийся тогда в пригороде Парижа. Световые вспышки с возвышения видны с большего расстояния;

после выстрела звуковая волна движется к наблюдателю дольше, и измерение скорости звука получается с меньшей погрешностью. При температуре 20°С была зафиксирована скорость звука 337,3 м/с, а при температуре 0С скорость звука составляла 332 м/ с.

В 1816 году французскому математику и астроному П. С. Лапласу (1749—1827) удалось обнаружить, в чем была ошибка Ньютона и исправить формулу.

В 1822 году измерениями скорости звука занялся цвет французской науки. Члены Комиссии мер и весов и Парижской академии наук Д. Араго (1786—1853), Ж. Гей-Люссак (1778— 1850), А. Гумбольдт (1769—1859) и другие, чтобы компенсировать влияние ветра на измерения, распорядились установить вблизи Парижа артиллерийские пушки на расстоянии 18613м, а исследователи, разбившись на две группы, дежурили у обеих. Пушки стреляли по очереди с интервалом 5 мин. Усредненное время прохождения звуковых сигналов при температуре 20°С составило 54,6 с, что соответствовало скорости звука 340,9 м/с.

В XX веке для измерения скорости звука стала применяться электронная аппаратура. Метод измерения скорости звука прост и доступен даже радиолюбителям. Нужны два микрофона, осциллограф и усилитель низкой Из публикации В.Меркулов В мире звуков. Как добывается истина. Наука и жизнь, 2007, №5.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.