авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||

«АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ С ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ А. Скопенков 1 ...»

-- [ Страница 6 ] --

Теорема Тома. Некоторое кратное любого k-мерного целочисленного гомологическо го класса замкнутого ориентируемого n-многообразия реализуется отображением ори ентируемого многообразия;

при k n/2 это отображение можно считать вложени ем [DNF84, §27, Следствие 3].

17.28. Пусть N замкнутое n-многообразие.

(a) Отображение [N;

RP n+1 ] Hn1 (N), [f ] [f 1 (RP n )] ставящее в соответствие гомотопическому классу отображения f : N RP n+1, трансвер сального вдоль RP n RP n+1, гомологический класс прообраза f 1 (RP n ), корректно опре делено и является биекцией.

(b) Любой гомологический класс по модулю 2 коразмерности 1 реализуется подмно гообразием, и гомологичность по модулю 2 между подмногообразиями коразмерности реализуется подмногообразием многообразия N I.

(c)* При n 4 любой гомологический класс по модулю 2 реализуется подмногообра зием, но не любая гомологичность по модулю 2 между 2-подмногообразиями реализуется 3-подмногообразием в N I [Ki89, II.1].

17.29. Пусть N замкнутое ориентируемое n-многообразие.

(a) Любое ориентируемое 2-многообразие, кроме сферы, ретрагируется на некоторую окружность.

(b) Теорема Хопфа. N ретрагируется на окружность N тогда и только тогда, когда [] H1 (N;

Z) примитивен, т.е. не делится ни на одно число, отличное от ±1.

(c) N ретрагируется на некоторую окружность тогда и только тогда, когда группа H1 (N;

Z) бесконечна (А. Т. Фоменко и И. Н. Шнурников).

Ответы, указания и решения к некоторым задачам 17.5, 17.7. [FF89, §10].

17.6. (b) Следует из 17.5.c.

17.8. (b) Примените оснащенные зацепления.

(c) Тождественное отображение гомотопно коммутатору aba1 b1 петель.

(d) Следует из (b,c).

(e) Аналогично (a,b,c,d).

17.9. (a) Рассмотрим композицию pr1 pr c (S 1 S 1 ) (S 1 S 1 ) (S 1 S 1 ) (S 1 ) ( S 1 ) = (S 1 S 1 ), где c стягивание экватора в точку. Докажите, что ее сужение на (S 1 S 1 ) гомотопно тождественному отображению. Примените теорему Хопфа о продолжении гомотопии.

(a’) Аналогично (a).

(b) Примените 1.

(b’) Примените 17.10.a и 17.11.b.

17.10. (b) Ответ: 2. (с) Ввиду (a) это равносильно 17.9.a’.

17.11. (a) Примените инвариант Хопфа или оснащенные зацепления.

(b,c) Примените обобщение инварианта Хопфа или двуцветные оснащенные зацепле ния.

(d) Следует из (c).

17.14. (a) Аналогично предыдущей задаче.

(b) Докажем, что гомоморфизм J : 1 (SO3 ) 4 (S 3 ), определенный оснащением стан дартной окружности, является изоморфизмом. Ввиду общности положения любое осна щенное зацепление в S 4 оснащенно кобордантно такому, носителем которого является стандартная окружность. Значит, J сюръективен. Для доказательства его инъективно сти рассмотрим двумерный оснащенный кобордизм в S 4 I между как-то оснащенными стандартными окружностями. Ввиду общности положения тривиальные оснащения на его краях продолжаются до оснащения на всем кобордизме. Поэтому заданное оснащение кобордизма можно рассматривать как отображение из сферы с ручками и дырками в SO3.

Сумма ‘степеней’ сужений такого отображения на его граничные окружности равна нулю.

Поэтому стандартные окружности были оснащены одинаково.

Замечание. Гомоморфизм J : n (SOk ) n+k (S k ) определяется оснащением стандарт ной сферы. Вообще говоря, он не является ни мнонморфизмом, ни эпиморфизмом. Какие его свойства можно доказать аналогично предыдущему?

(с) Аналогично (b). Или следует из (b) и теоремы Фрейденталя о настройке.

(d) В гомоморфизм, индуцированный включением экватора в сферу.

(e) Гомоморфизм 1 (SO2 ) 1 (SO3 ), индуцированный включением SO2 SO3, изо морфен приведению по модулю 2.

17.15. (b) Покрутите сферу S 2, чтобы северный полюс совместился с южным.

(c) [Pr04, 18.5];

ср. [Po76], [CRS07].

(d) Выведите из (b) и (c).

(e) Аналогично задаче 8.25.

(f) Следует из (d,e), 17.14.b, теоремы Фрейденталя о надстройке и гомотопности любого отображения S 2 S 1 постоянному.

17.17. Используйте накрытие S n RP n.

17.21. (c) Из точной последовательности расслоения (b).

(d) Индукция по n.

(f),(g) Из точной последовательности расслоения (b) для n = 1 и (e).

17.22. (b) Из точной последовательности расслоения (a) и 17.21.eg.

17.23. (c) См. 17.24.e.

17.24. (c) Точность в [X, Z] проверяется несложно (аналогично 17.23.b). Точность в остальных членах аналогична, ибо последовательность можно начать с [X, Z], положив A := X и X := X conA. Не забудьте доказать для этой редукции коммутативность квад ратов и треугольников, например, что сужение на X композиции гомотопической эквива лентности X conA X/A и отображения f : X/A Z гомотопно композиции стягива ния X X/A и отображения f.

17.28. (b) Приведем рассуждения для n = 3. Возьмем некоторые триангуляцию T мно гообразия N и 2-цикл a, представляющий данный класс из H2 (T ). К каждому ребру три ангуляции T примыкает четное число граней цикла a. ‘Растащим’ эти грани на пары, полу чим 2-цикл в некотором измельчении T триангуляции T, гомологичный 2-циклу a и пред ставленный 2-комплексом K, каждая точка которого имеет в K окрестность, изоморфную конусу над несвязным объединением окружностей. Тех точек, для которых окружностей больше одной, конечное число. Для каждой из таких точек ‘растащим’ конусы, отвечаю щие разным окружностям. Получим 2-цикл в некотором измельчении T триангуляции T, гомологичный 2-циклу a и представленный несамопересекающимся связным замкнутым локально евклидовым 2-подкомплексом (не обязательно ориентируемым).

17.29. (b) Докажите, что оба этих условия равносильны наличию (n 1) подмногообразия в N, трансверсально пересекающего ровно в одной точке.

18 Классификация погружений 18.1 Выворачивание сфер наизнанку и классификация погруже ний Мы работаем в гладкой категории, т.е., опускаем прилагательное ‘гладкий’ при словах ‘вложение’, ‘погружение’ и т.д. Пусть N многообразие (см. определение в §4.5, §8.2).

Погружения (§9.2) f0, f1 : N R называются регулярно гомотопными, если существует m такое погружение H : N I S m I, что • H(x, 0) = (f0 (x), 0) и H(x, 1) = (f1 (x), 1) для любого x N, • H(N {t}) Rm {t} для любого t I.

(Это не то же самое, что гомотопность в классе погружений.) Например, • стандартное вложение S 1 R2 не регулярно гомотопно композиции стандартного вложения и отражения относительно прямой.

• вложения цилиндра в R3 на рис. 2 в середине не регулярно гомотопны;

если ниж нюю ленточку еще раз перекрутить, то полученная ленточка будет регулярно гомотопна верхней;

• вложения ленты Мебиуса в R3 на рис. 4 в предпоследней колонке регулярно гомо топны;

они не регулярно гомотопны вложению на рис. 4 в последней колонке.

Обозначим через I m (S n ) множество погружений S n Rm c точностью до регулярной гомотопности. В решении задач этого пункта (кроме теоремы общего положения) можно использовать без доказательства то, что определенные Вами отображения, аналогичные расслоениям Серра из доказательства теоремы Смейла, являются расслоениями Серра.

18.1. (a) Теорема Уитни для плоскости. Существует биекция I 2 (S 1 ) Z. Эта биекция определяется количеством оборотов касательного вектора.

(b) |I 3 (S 1 [0, 1])| = 2.

(c) |I 3 (S 1 S 1 Int D 2 )| = 4.

(d) Теорема общего положения. Любые два погружения S n Rm регулярно гомо топны при m 2n + 1.

Знаменитый результат Смейла состоит в том, что двумерная сфера выворачивается наизнанку в трехмерном евклидовом пространстве (т.е. стандартное вложение сферы S в R3 регулярно гомотопно композиции стандартного вложения и отражения относительно гиперплоскости).

Трехмерная теорема Смейла. Любые два погружения S 2 R3 регулярно гомотоп ны.

Теорема Кайзера. Любые два погружения S n Rn+1 регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда n {0, 2, 6}.

Более того, при n {0, 2, 6} сфера S n не выворачивается наизнанку в Rn+1. Этот ре зультат [Ka84] связан с параллелизуемостью сфер S 1, S 3 и S 7.

Набросок доказательства трехмерной теоремы Смейла. Обозначим через 2 про странство погружений S 2 R3, для которых в окрестности точки 1 D 2 погружение стандартно. Достаточно доказать, что 2 связно. Пространство 2 определяется анало гично пространству 2 с заменой S 2 на D 2. Очевидно, что 2 стягиваемо. Обозначим через 1 пространство погружений S 1 R3 с единичным нормальным векторным полем, для которых в окрестности точки 1 S 1 и погружение, и поле стандартны. Рассмотрим отображение 2 1, которое ставит в соответствие погружению диска его сужение на границу вместе с векторным полем, смотрящим из точек границы диска внутрь диска.

Слои этого отображения гомотопически эквивалентны 2. Наиболее содержательная и трудная часть доказательства теоремы Смейла состоит в том, что описанное отображе ние является расслоением Серра. Если это доказано, то из точной последовательности расслоения (учитывая, что 2 стягиваемо) получаем 0 (2 ) 1 (1 ).

= Пространство 1 определяется аналогично пространству 1 с заменой S 1 на D 1. Оче видно, что 1 стягиваемо. Рассмотрим отображение 1 SO3, которое ставит в соответ ствие погружению отрезка с нормальным векторным полем репер из нормального век тора в точке 1, касательного вектора к погружению в точке 1 и третьего вектора, составляющего с ними ортонормированный репер. Слои этого отображения гомотопиче ски эквивалентны 1. Аналогично предыдущему это отображение является расслоением Серра. Поэтому из точной последовательности расслоения (учитывая, что 1 стягиваемо) получаем 1 (1 ) 2 (SO3 ) = 0. QED = 18.2. (a) |I (S 1 S 1 )| = 4.

(a’)** Сколько классов регулярной гомотопности вложений S 1 S 1 R3 : 3 или 4?

(b) Используя 6 (SO7) = 0, докажите теорему Кайзера для n = 6.

(c)* Докажите теорему Кайзера для n = 3.

(d) Теорема Смейла. Существует взаимно-однозначное соответствие m n I (S ) n (Vm,n ).

(e) Теорема Смейла-Хирша. Если n-многообразие N параллелизуемо, то существу ет взаимно-однозначное соответствие I m (N) [N, Vm,n ]. Эта биекция определяется формулой f (df : Rn Rm ).

(f) Теорема Уитни. Существует биекция I 2n (S n ) Z для n = 1 или n четного и I 2n (S n ) Z2 для остальных n. Эта биекция определяется количеством точек самопе ресечения аппроксимации общего положения, со знаком для n = 1 или n четного.

Заметим, что биекции из теоремы Уитни для плоскости и теоремы Уитни для n = различны.

Биекция из теоремы Смейла определяется так. Для погружений f, g : S n Rm сов местим df, dg : T S n Rm гомотопией на T D в классе линейных мономорфизмов. Тогда n два полученных отображения T D+ Rm совпадают на границе. Значит, они дают отоб n ражение S n Vm,n. Обозначим через (f, g) n (Vm,n ) его гомотопический класс. (Это препятствие к гомотопности дифференциалов df, dg : T S n Rm в классе линейных мо номорфизмов.) Тогда для любого погружения g : S n Rm отображение f (f, g) опре деляет биекцию I m (S n ) n (Vm,n ).

Теорема Кервера. Любые два вложения S n Rm регулярно гомотопны при 2m 3n + 2.

Набросок доказательства приведен в следующем пункте.

Из теоремы Кервера следует утверждение задачи 12.3.a для 2m 3n + 2. Из зада чи 12.3.b следует, что размерностное ограничение 2m 3n + 2 в теореме Кервера осла бить нельзя. Впрочем, для некоторых n 1 mod 4 можно попробовать ослабить раз мерностное ограничение в теореме Кервера, используя усиления теоремы Фрейденталя о надстройке (‘трудную часть’ Уайтхеда, теорему Джеймса о двойной надстройке, EHP последовательность,...).

18.3. Множество линейных мономорфизмов T S n Rm с точностью до гомотопии (в классе линейных мономорфизмов) находится во взаимно-однозначном соответствии с группой n (Vm,n ).

Классифицировать погружения произвольного многообразия можно на языке вектор ных расслоений (§13) [Hi60], см. также [HP64].

Ясно, что если n-многообразие N погружаемо в Rn+k, то существует вектор ное k-расслоение над N такое, что N (n + k). (Действительно, так как = (f ) (N) = (n + k) для погружения f : N Rn+k, то можно взять = (f ). Необ ходимое условие из теоремы Уитни о препятствии фактически является необходимым для существования такого расслоения ввиду формулы Уитни-Ву). Это необходимое условие оказывается достаточным.

Теорема Смейла-Хирша. Пусть N гладкое n-многообразие.

(a) Если существует векторное k-расслоение над N такое, что N (n + k), = n+k то N погружаемо в R.

(b) Если f, g : N Rn+k погружения такие, что df, dg : T N Rn+k гомотопны в классе линейных мономорфизмов, то f и g регулярно гомотопны.

18.2 Набросок доказательства теоремы Кервера Для достаточно малой окрестности O диагонали в S n S n обозначим SS n = O.

Для погружения h : S n Rm определим эквивариантное отображение hx hy h : SS n S m1 формулой h(x, y) =.

|hx hy| 18.4. (a) Если погружения h0 и h1 регулярно гомотопны, то h0 eq h1.

(b) Если h0, h1 : S n Rm вложения, то h0 eq h1.

(c) Теорема Хефлигера-Хирша. Если h0, h1 : S n Rm два погружения, h0 eq h и 2m 3n + 2, то h0 и h1 регулярно гомотопны.

Теорема Хефлигера-Хирша справедлива с заменой S n на произвольное многообразие;

доказательство получается из нижеприведенного применением теории препятствий.

Теорема Кервера вытекает из наблюдения 18.4.b и теоремы Хефлигера-Хирша 18.4.c.

Для доказательства теоремы Хефлигера-Хирша введем следующее понятие. Эквива пространство эквивариантных (относительно eq риантное многообразие Штифеля Vm,n антиподальных инволюций) отображений S n1 S m1.

18.5. (a) Vm,1 S m1.

eq = (b) Множество эквивариантных отображений SS n S m1 с точностью до эквивари антной гомотопии находится во взаимно-однозначном соответствии с группой n (Vm,n ).

eq Теорема Хефлигера-Хирша вытекает из построения биекции в теореме Смейла (18.2.d), наблюдений 18.3 и 18.5.b, а также следующей леммы для k = n.

Лемма. [HH62, 1.1] Гомоморфизм включения n : k (Vm,n ) k (Vm,n ) есть изомор eq физм для 0 k 2(m n) 2 и эпиморфизм для k = 2(m n) 1.

18.6. (a) 5-лемма. Если в коммутативной диаграмме A1 A2 A3 A4 A 1 2 3 4 B1 B2 B3 B4 B с точными строками отображения 1, 2, 4 и 5 являются изоморфизмами, то и изоморфизм.

(b) Из восьми предположений 5-леммы (1, 2, 4 и 5 мономорфизмы и 1, 2, и 5 эпиморфизмы) для доказательства мономорфности отображения 3 требуются только три (какие?), а для доказательства его эпиморфности другие три (какие?). Два оставшихся предположения являются, таким образом, вообще лишними.

(c) Если, сохранив все предположения 5-леммы, исключить из ее диаграммы стрелку 3, будет ли верно, что A3 B3 ?

= eq eq 18.7. (a) Слой отображения сужения r eq : Vm,2 Vm,1 гомеоморфен пространству S m1 всех отображений (S 1, 1) (S m1, 1).

eq (b) Слой отображения сужения r eq : Vm,n Vm,n1 гомеоморфен n1 S m1.

eq eq (с)* Отображение сужения r eq : Vm,n Vm,n1 является расслоением Серра.

eq Доказательство леммы. Индукция по n. Для n = 1 лемма верна, поскольку Vm1 Vm1 S m1. Теперь предположим, что n 2. Возьмем расслоения Серра eq = = r eq r eq S mn Vmn Vm,n1 и n1 S m1 Vmn Vm,n1, eq где r и r eq сужения. Ясно, что r eq n = n1 r. Включение : Vm,n Vm,n на слоях сужений eq индуцирует композицию n1 = i (S mn ) i+n1 (S m1 ) i (n1 S m1 ).

Поэтому n индуцирует отображение точных гомотопических последовательностей расло ений:

i (S mn ) i1 (S mn ).

i+1 (Vm,n1) i (Vm,n ) i (Vm,n1 ) / / / / n1 n n n1 n      eq eq / i+n1 (S m1 ) eq i+n2 (S m1 ) i+1 (Vm,n1) i (Vmn ) i (Vm,n1 ) / / / Предположим сначала, что i 1. По предположению индукции n1 изоморфизмы. По теореме Фрейденталя о надстройке n1 изоморфизмы. По 5-лемме, n изоморфизм для i 2(m n) 2.

Аналогично, n эпиморфизм для i = 2(m n) 1.

Доказательство для i = 0 аналогично, только правый столбец рассматриваемой диа граммы должен быть заменен нулями, поскольку r и r eq сюръекции. 19 QED Заметим, что то, что мы обозначаем через m и n, в [HH62] обозначалось через n и m, соответственно.

Заметим также, что в [HH62] имеются следующие опечатки: в формулировке условия (1.1n1 ) и в дока eq зательстве утверждения (1.2) i (Vm,n, Vm,n ) = 0 должно быть для 0 i 2(m n) 1, а не только для 0 i 2(m n) 1).

19 Вложения и заузливания It is a riddle which shares with the universe the merit of having no answer.

W. Maugham, The Moon and Sixpence. 19.1 Введение: проблемы вложимости и заузливания Как писал Е. К. Зиман, тремя классическими проблемами топологии являются (1) Проблема гомеоморфизма. Когда данные два пространства N и M гомеоморфны?

Как описать множество гомеоморфических классов многообразий из заданного класса, например, заданной размерности n?

(2) Проблема вложимости. Какие пространства N вложимы в S m для данного m?

(3) Проблема заузливания. Какие вложения f, g : N S m изотопны? Как описать мно жество изотопических класов вложений N S m ?

Идеи и методы, применяемые для изучения проблем вложимости и заузливания, при меняются и для проблемы гомеоморфизма (и для других проблем топологии и ее прило жений).

Определение гладкого и кусочно-линейного вложения приведены в пунктах ’нор мальные классы Уитни’ и ’препятствие Уитни к вложимости’. Два вложения f, g : N S m называются (объемлемо) изотопными, если существует такой гомеомор физм F : S m I S m I, что (i) F (y, 0) = (y, 0) для любого y S m, (ii) F (f (x), 1) = (g(x), 1) для любого x N, и (iii) F (S m {t}) = S m {t} для любого t I.

Этот гомеоморфизм F называется (объемлющей) изотопией. (Объемлющей) изотопи ей также называют гомотопию S m I S m или семейство отображений Ft : S m S m, очевидным образом порожденные отображением F.

Через CAT будем обозначать гладкую (DIFF) или кусочно-линейную (PL) категорию.

Если определение или утверждение имеет силу в обеих категориях, то CAT опускается.

Если любые два вложения N S m (объемлемо) изотопны, то N называется незаузленным в S m.

19.1. Два PL вложения f, g : N S m называются PL не объемлемо изотопными, если существует такое PL вложение F : N I S m I, что F (x, 0) = (f (x), 0) для любого x N, F (x, 1) = (g(x), 1) для любого x N, и F (N {t}) S m {t} для любого t I.

(a) Любые два PL вложения S 1 S 3 (т.е. узла) являются PL не объемемо изотопными.

(b) То же для S n S m.

(c)* Определение гладкой не объемлемой изотопности гладких вложений получается из предыдущего определения заменой PL на DIFF. Существуют два гладких вложения S 1 S 3 (т.е. узла), не являющиеся гладко не объемемо изотопными.

19.2 Общее положение Теорема. Любой n-мерный полиэдр вложим в R2n+1.

Это загадка, имеющая общее с мирозданием достоинство: отсутствие ответа. У. С. Моэм, Луна и грош, пер. автора.

Набросок доказательства. Это доказательство достаточно разобрать для n = 1 или n = 2. Поставим в соответствии вершинам данного n-полиэдра N точки пространства R2n+1 общего положения, т.е. такие, что никакие 2n + 2 из них не лежат в одной 2n мерной плоскости. (Это возможно, т.к. если точки A1,..., Ak выбраны, то можно взять точку Ak+1 вне объединения 2n-мерных плоскостей, натянутых на наборы 2n + 1 точек.) Отобразим теперь каждый симплекс полиэдра P n линейно на симплекс, натянутый на соответсвующие точки в R2n+1. Получим отображение f.

Проверим, что f вложение. Нужно доказать, что образы любых двух симплексов не имеют ’лишних’ (т.е. отличных от образа пересечения) общих точек. Пусть, напротив образы какого-то k-мерного и l-мерного симплекса пересекаются не по образу их общей s-мерной грани (s = 1 для непересекающихся симплексов). Тогда k + l + 1 s образов их вершин лежат в некотором (k + l s 1)-мерном пространстве. Добавим к этим образам еще 2n + 2 (k + l + 1 s) образов других вершин. Тогда полученные 2n + 2 точки лежат в 2n-мерной плоскости, что противоречит построению отображения f. QED 19.2. (a) Любые два вложения окружности в R4 (объемлемо) изотопны.

(b) Любые две окружности в R4 не зацеплены, т.е. их можно заключить в непересека ющиеся четырехмерные шары.

Теорема. Любое n-многообразие вложимо в R2n.

Набросок доказательства для PL категории. Будем считать, что n 3 (случай n разберите самостоятельно) и что данное n-многообразие N связно. Существует кусоч но линейное отображение f : N R2n общего положения, т.е. имеющее конечное чис ло попарно различных двойных точек x1, y1,..., xk, yk, где f (xi ) = f (yi ) (a). Тогда на N {x1, y1,..., xk, yk } отображение f является вложением. Так как n 2, то можно со единить дугой l1 точку x1 с y1 так, чтобы дуга l1 не пересекала других точек xi, yi. Тогда замкнутая кривая в R2n. Так как n 2, то эта кривая незаузлена в R2n. Поэто f (l1 ) му cуществует диск D 2 R2n такой, что D 2 = f (l1 ). Поскольку n + 2 2n, то мы можем взять диск D 2 общего положения, т.е. D 2 f (N n ) = f (l1 ) (b). Существует окрестность B 2n диска D 2 в R2n, гомеоморфная 2n-шару, для которой (1) B n = f 1 (B 2n ) гомеоморфно n-шару, причем (2) граница и внутренность шара B n переходят при отображении f в границу и внут ренность шара B 2n, соответственно (с).

Определим отображение g : B n B 2n формулой g(s, r) := (rf (s), r), где s B n. За меним отображение f на B n отображением g. Таким образом мы избавимся от двойных точек x1, y1. Аналогично для остальных i = 2,..., k избавимся от двойных точек xi, yi и получим вложение N в R2n. QED 19.3. (a)–(с) Докажите утверждения, отмеченные в наброске соответствующими бук вами. Указание к (c): нужно брать регулярную окрестность, т.е. ’тесную’ окрестность без ’лишних’ дыр.

Заметим, что доказательство Уитни гладкой вложимости любого n-многообразия в R2n более сложно [Ad93], [Pr06].

Не существует одной теоремы или одного определения, формализующего идею общего положения. Формально, для каждой конкретной задачи определение общего положения свое. Подробнее см. [Ru73, 1.6.D], [RS72].

Дальнейшие задачи, сформулированны для произвольного n, интересно решить даже для наименьшего n, удовлетворяющего условию.

19.4. В этой задаче подразумевается PL категория.

(a) Вложение S n Rm объемлемо изотопно стандартному тогда и только тогда, когда оно продолжается до вложения D n+1 Rm.

(b) Любые два вложения S n R2n+1 объемлемо изотопны при n 2.

(c) Любые два вложения S n R2n объемлемо изотопны при n 4.

(d)* Любые два вложения S 3 R6 объемлемо изотопны.

(e) Любые два вложения S n Rm объемлемо изотопны при 2m 3n + 4.

(f)* Теорема Зимана. Любые два вложения S n Rm объемлемо изотопны при m n + 3 [Sk08, §2].

Заметим, что в гладкой категории утверждение 19.4.e верно, а утверждения 19.4.d,f нет!

Для доказательства изотопических аналогов приведенных теорем (т.е. задач 19.5.ab ниже) полезен следующий факт (доказательство которого непросто). Определение кон кордантности вложений получается из определения изотопности отбрасыванием условия сохранения уровней.

Теорема. В коразмерности больше двух конкордантность влечет объемлемую изо топию.

Доказательство этой теоремы является обобщением доказательства теоремы Зимана о незаузленности сфер (поэтому очевидное решение задачи 19.4 с его помощью неразумно).

19.5. (a) Любые два вложения n-мерного полиэдра в R2n+2 изотопны при n 2. (Эту и следующую теоремы интересно доказать даже для n = 2.) (b) Любые два вложения связного n-мерного многообразия в R2n+1 изотопны при n 2.

(c) Связная сумма трилистника со своим зеркальным образом конкордантна тривиаль ному узлу (но не изотопна ему).

19.3 Идея дополнения О применении идеи дополнения к вложимости полиэдра в S m см. §15, пункт ‘двойствен ность Александера’. Изотопические нварианты вложений можно получить, рассматривая дополнение S m f N до образа многообразия N при вложении в S m. В самом деле, если два изотопных вложения, то S m f N S m gN. Поэтому любой топо f, g : N S m = логический инвариант пространства S m f N является инвариантом изотопии вложения f. Впервые эту идею применял Дж. Александер около 1910 г. к изучению узлов в трехмер ной сфере (§10). Изложение развития идеи дополнения в теории узлов не входит в нашу задачу. Ограничимся лишь формулировками достаточных условий полноты инварианта дополнения.

Теорема Папакириякопулоса. Вложение f : S 1 S 3 изотопно стандартному то гда и только тогда, когда 1 (S 3 f S 1 ) Z [Pa57].

= Теорема Левина. Для любого n = 2 гладкое вложение f : S n S n+2 гладко изотопно стандартному тогда и только тогда, когда S n+2 f S n гомотопически эквивалентно окружности [Le65].

Для n = 1 теорема Левина равносильна теореме Папакириякопулоса, поскольку усло вие (S 3 f S 1 ) S 1 равносильно условию 1 (S 3 f S 1 ) Z ввиду асферичности простран = ства S f S [Pa57].

3 Аналог теоремы Левина справедлив в кусочно-линейной (PL) и топологической (TOP) локально плоских категориях при n = 2, 3 [Pa57], [St63], [Le65], см. также [Gl62]. Напомним, что (PL или TOP) вложение S n S m называется (PL или TOP) локально-плоским, если каждая точка из S n обладает такой окрестностью U в S m, что пара (U, U S n ) (PL или TOP) гомеоморфна паре (B n B mn, B n 0).

Краткая история изучения узлов в коразмерности 1, т.е. вложений S n S n+1, такова.

Известная теорема Жордана, впервые доказанная Брауэром, утверждает, что сфера S n, содержащаяся в S n+1, разбивает сферу S n+1 на две компоненты. Легко доказывается, что вложение f : S n S n+1 незаузлено тогда и только тогда, когда замыкания этих компонент дополнения являются шарами. (Теорема Левина в некотором смысле является аналогом этого утверждения.) В 1912 г. Шенфлис доказал, что любая окружность S 1 S незаузлена.

Утвержение о незаузленности S n в S n+1 получило название гипотезы Шенфлиса. В 1921 г. Александер объявил, что он доказал гипотезу Шенфлиса для произвольного n.

Однако, в 1923 г. он нашел контрпример знаменитую рогатую сферу Александера (с по мощью той же идеи дополнения [Ru73]). Тем не менее, он доказал, что в кусочно-линейной категории гипотеза Шенфлиса верна для n = 2.

После появления рогатой сферы Александера гипотезой Шенфлиса стали также назы вать утверждение о незаузленности локально плоского вложения f : S n S n+1. Она была доказана только в 1960-1973 годах:

• для гладкого случая при n = 3 в [Sm61], [Ba65].

• для кусочно-линейного локально плоского случая при n = 3 (следует из TOP локаль но плоского случая и результатов Кирби-Зибенмана [Ho90]).

• для топологического локально плоского случая в [Br60], [Ma59], [Mo60].

Заметим, что элегантное и короткое доказательство Брауна топологического локально плоского аналога теоремы Смейла-Бардена послужило началом теории ‘клеточных мно жеств’, которая стала важной частью геометрической топологии.

Кусочно-линейный случай гипотезы Шенфлиса для n 3 (или, эквивалентно, локаль но плоский кусочно-линейный случай гипотезы Шенфлиса для n = 3) остается известной и трудной нерешенной проблемой Шенфлиса [RS72].

19.4 Общий инвариант дополнения Для n-мерного полиэдра (т.е., тела симплициального n-мерного комплекса) N и вложения f : N S n+k положим Cf := S n+k Of (N) S n+k f (N), где Of (N) регулярная (трубчатая) окрестность образа f (N) в S n+k. Топологический и гомотопический тип пространства Cf являются инвариантами вложения f. По двойствен ности Александера гомологические группы пространства Cf не зависят от f (см. также задачи 19.6.cd). Поэтому гомотопический тип пространства Cf относительно слабый инвариант для k 3. Однако он полезен для построения других инвариантов.

Обозначим через i : S m S m+1 стандартное включение.

19.6. (a) Для стандартного вложения f : S q S m имеем Cf S mq1.

(b) При m p + q для стандартного вложения f : S p S q S m имеем Cf S mpq1 S mq1 S mp1.

(c) При m n 3 пространство Cf односвязно.

(d) Cif Cf.

(e) Cf ретрагируется на (‘меридиональную’) окружность для m = n + 2.

(f) Если N = S n1... S nr, m ni 3 и f : N S m произвольное вложение, то mn1 1 mnr.

Cf S...S (g)* Пример Ламбрехтса. Гомотопический тип дополнения к образу тора N = S p S q может зависеть от вложения в S m при m p q 3.

(h)* Существуют гладкие вложения f : RP 2 S 4 и g : CP 2 S 7, для которых Cf RP 2 и Cg CP 2. (Это ‘стандартные’ вложения;

для CP 2 ‘других’ и не существу ет [Sk10].) Для решения пункта (f) нужен следующий результат 19.7.f.

19.7. (a) S 1 S 1 и S 1 S 1 S 2 имеют изоморфные гомологические группы, но не гомотопически эквивалентны.

(b) S 2 RP 3 и S 3 RP 2 имеют изоморфные гомотопические группы, но не гомотопи чески эквивалентны.

(d) Если все гомотопические группы полиэдра тривиальны, то он стягиваем.

(c) Теорема Уайтхеда. Отображение (конечномерных) полиэдров, индуцирующее изо морфизм всех гомотопических групп, является гомотопической эквивалентностью.

(e) Односвязный полиэдр, группы гомологий Hq которого тривиальны при q 2 (т.е.

изоморфны группам гомологий точки), стягиваем.

(f) Односвязный полиэдр, группы гомологий которого изоморфны группам гомоло гий сферы (или букета сфер), гомотопически эквивалентен этой сфере (или этому букету сфер).

(g) Теорема Уайтхеда. Отображение односвязных полиэдров, индуцирующее эпимор физм на 2 и изоморфизм всех гомологических групп, является гомотопической эквива лентностью.

Для решения пунктов (e,f,g) нужны следующие результаты 19.8.de.

Для полиэдра X определим гомоморфизм Гуревича h = hX,k : k (X, ) Hk (X;

Z) формулой h(f : S k X) := f [S k ].

Вот эквивалентное определение. Заменим отображение f : S k X на гомотопное сим плициальное f : S k X для некоторой триангуляции T сферы S k. Поставим на ориен тированный k-симплекс X число симплексов T, для которых f =, со знаком.

(Знак симплекса положителен, если f | : сохраняет ориентацию, и отрицателен, если меняет.) Докажем, что эта расстановка является циклом. Положим h(f ) равным ее гомологическому классу.

19.8. (a) Это определение корректно.

(b) Даже для k 2 гомоморфизм Гуревича может не быть мономорфизмом и может не быть эпиморфизмом.

(c) Теорема Гуревича. Если X полиэдр, n 1 и k (X, ) = 0 для 0 k n, то Hk (X;

Z) = 0 для 0 k n и h : n+1 (X, ) Hn+1 (X;

Z) изоморфизм.

(Ср. с теоремой Пуанкаре 10.29.c.) (d) Обратная теорема Гуревича. Если X связный односвязный полиэдр, n 1 и Hk (X;

Z) = 0 для 2 k n, то k (X) = 0 для 2 k n и h : n+1 (X, ) Hn+1 (X;

Z) изоморфизм.

(d’) В ситуации из пунктов (c,d) hn+2,X эпиморфизм при n 2.

(f) Определите относительный гомоморфизм Гуревича hk,X,A : k (X, A) Hk (X, A;

Z).

(e) Относительная теорема Гуревича. Пусть X, A связные односвязные полиэдры, A подполиэдр в X и 2 (X, A) = 0.

Если n 2 и k (X, A) = 0 для 3 n, то Hk (X, A;

Z) = 0 для 3 k nи k h : n+1 (X, A) Hn+1 (X, A;

Z) изоморфизм.

Если n 2 и Hk (X, A;

Z) = 0 для 3 k n, то k (X, A) = 0 для 3 k nи h : n+1 (X, A) Hn+1 (X, A;

Z) изоморфизм.

(e’) В ситуации из пункта (e) hn+2,X,A эпиморфизм при n 2.

Для решения пунктов (c-e) полезен следующий результат 19.9. Ср. [Pr06, 10.1].

Пусть в 2-комплексе задан 1-подкомплекс, т.е. граф. Рассмотрим дополнение до откры той регулярной окрестности графа, т.е. объединение симплексов второго барицентриче ского подразделения 2-комплекса, не пересекающих граф. Вложение графа в 2-комплекс называется клеточным, если каждая связная компонента этого дополнения гомеоморфна диску (или, эквивалентно, разбивается любой ломаной с концами на границе этой грани).

Например, вложение точки в сферу клеточно.

Клеточным разбиением 2-комплекса называется клеточное вложение некоторого гра фа этот 2-комплекс. Возможно, начинающему будет более понятен термин разбиение на многоугольники. Например, 2-комплекс является клеточным разбиением себя.

Пусть в 3-комплексе задан 2-подкомплекс. Рассмотрим дополнение до открытой ре гулярной окрестности 2-подкомплекс, т.е. объединение симплексов второго барицен трического подразделения 2-комплекса, не пересекающих 2-подкомплекс. Вложение 2 подкомплекса в 3-комплекс называется клеточным, если каждая связная компонента это го дополнения гомеоморфна 3-диску. Например, вложение точки в 3-сферу клеточно. Ср.

§5.5.

Клеточным разбиением 3-комплекса называется клеточное вложение некоторого 2 комплекса в этот 3-комплекс, вместе с клеточным разбиением этого 2-комплекса. Воз можно, начинающему будет более понятен термин разбиение на многогранники. Например, 3-комплекс является клеточным разбиением себя.

Аналогично определяется клеточное разбиение n-комплекса.

19.9. (a) Если X полиэдр и k (X, ) = 0 для 0 k n, то X гомотопически эквива лентен полиэдру, имеющему клеточное разбиение c единственной вершиной и без клеток размерностей 1, 2,..., n.

(b) Если (X, A) полиэдральная пара и k (X, A) = 0 для 0 k n, то (X, A) гомо топически эквивалентна полиэдральной паре, имеющей клеточное разбиение без клеток размерностей 1, 2,..., n в X A.

19.10. Пусть f : N S 7 вложение замкнутого связного 4-многообразия N.

(a) 2 (Cf ) Z.

= (b) Если N односвязно, то 3 (Cf ) Zd((f )). 21 Чтобы определить d((f )), обозначим = • через Af,k = Ak : Hk (N;

Z) Hk+1 (Cf, ;

Z) двойственность Александера, • (f ) := A1 (A4 [N] A4 [N]) H2 (N;

Z) инвариант Беша-Хефлигера, • d(0) := 0 и d(x) := max{k Z | there is y H2 (N;

Z) : x = ky} для x = 0.

По соображениям общего положения, Cf не зависит от f для k n + 2. Это простран ство обозначим через Ck (N). Так как то Kk Cf CK (N) для K Cif Cf, n + 2.

Необходимым условием дополнения для вложимости полиэдра N в S n+k является (K k) денадстраиваемость пространства CK (N), то есть существование пространства C такого, что Kk C CK (N). Если это условие выполняется для K = n + 2, то оно автоматически выполняется для любого K n + 2.

19.5 Комбинация инвариантов дополнения и окрестности В этом и следующем пунктах мы работаем в гладкой категории.

По соображениям общего положения нормальное векторное расслоение f погружения f : N S n+k замкнутого n-многообразия N не зависит от f для k n + 1. Это стабильное нормальное расслоение обозначим через k (N). Так как то f (K k) = K (N) для K if = f 1, n + 1.

Можно даже доказать, что Cf C(f ) := S 2 (f ) (D1... Db(N ) ) [Sk10]. Here b(N ) := rk H2 (N ;

Z) 4 b(N ) and we identify H2 (N ;

Z) and Z by any isomorphism, so (f ) is identied with an ordered set of b(N ) integers, which set denes a homotopy class of maps (D1... Db2 (N ) ) S 2. (This ordered set depends on 4 the identication of H2 (N ;

Z) and Zb(N ), but the homotopy type of C(f ) does not. The homotopy equivalence Cf C(f ) is not canonical.) Теорему Смейла-Хирша можно переформулировать так: если существует k-расслоение над N такое, что (K k) K (N), то N погружаемо в Rn+k.

= 19.11. Ck Dk /Sk для k n + 2.

Нормальное расслоение f погружения f с точностью до эквивалентности является ин вариантом регулярной гомотопии погружения f (и инвариантом изотопии погружения f, если оно является вложением). Этот изотопический инвариант не очень сильный, потому что, например, нормальные расслоения различных вложений cтабильно эквивалентны.

Для вложения f пространство расслоения f и регулярная окрестность Of (N) образа f (N) в S m могут быть отождествлены при помощи гомеоморфизма, при котором нуле вое сечение переходит в f (N). Заметим, что этот гомеоморфизм определен неоднозначно (более точно, различающие элементы лежат в группах H l (N;

l (S Ok1 ))). О близком по нятии утолщения и утолщаемости см. [Sk], параграфы ‘утолщения графов’ и ‘трехмерные утолщения двумерных полиэдров’.

Совмещая идею дополнения и идею окрестности, Дж. Левин, С. П. Новиков и В. Бра удер получили редукцию проблем вложимости и изотопии к алгебраическим проблемам (впрочем, достаточно сложным). Доказательство достаточности комбинации инвариантов дополнения и окрестности условий одно из наиболее важных приложений хирургии к топологии многообразий. По поводу развития этого подхода и преодоления возникающих трудностей см. [Sk08’], [Sk10], [CS11].

Дадим определение пормальной системы и сформулируем теорему Браудера-Левина.

Композиция Sf = Cf Cf называется приклеивающим отображением a(f, ). Тройка S(f, ) = (f, Cf, a(f, )) называется нормальной системой пары (f, ). Вообще, нормаль это тройка S = (, C, a), состоящая ная система коразмерности k на многообразии N из (i) векторного k-расслоения ;

(ii) пространства C;

и (iii) непрерывного отображения p : S C.

Будем говорить, что нормальные системы (, C, p) и (1, C1, p1 ) эквивалентны, если су ществуют изоморфизм расслоений b : 1 и гомотопическая эквивалентность r : C C1, для которых r p p1 Sb. Очевидно, класс эквивалентности нормальной системы (f, ) не зависит от. Этот класс называется нормальной системой S(f ) вложения f. Нормаль ная система вложения является изотопическим инвариантом. Так как любые два вложе ния N S n+K изотопны при K n + 1, то S(f ) не зависит от вложения f при K n + 1.

Эта нормальная система называется стабильной нормальной системой многообразия N и обозначается SK (N).

Надстройка S над нормальной системой (, C, p) это нормальная система ( 1, C, p ), в которой p является надстройкой над p на каждом слое. Необходимое условие Браудера-Левина для вложимости многообразия N в S n+k состоит в существова нии нормальной системы S на N, такой что Kk S SK (N) (ясно, что это условие не зависит от K).

Теорема Браудера-Левина. Пусть N замкнутое n-многообразие, K n + 1, k 3 и существует такая нормальная система S = (, C, p) на N, что Kk S SK (N) и 1 (C) = 0. Тогда существует вложение f : N S n+k такое, что S(f ) S.

Для гомотопической сферы N теорема Браудера-Левина доказана в [Le65’], а в общем случае в [Br68]. См. также [Gi71]. Теорема Браудера-Левина вытекает из следующей леммы [CRS04].

Лемма о компрессии и денадстройке. Пусть F : N S n+k+1 вложение замкну того гладкого n-многообразия, k 3, n + k 5 и существует такая нормальная систе ма S = (, C, p) на N, что S S(F ) и 1 (C) = 0. Тогда существует такое вложение f : N S n+k, что S(f ) S.

Доказательство леммы о компрессии и денадстройке (принадлежащее Браудеру) ис пользует понятие нормального инварианта и приводится в [CRS04].

Ответы, указания и решения к некоторым задачам 19.6. (b) Используйте (d).

(c) Используйте общее положение.

(e) Постройте ретракцию по остовам некоторого клеточного (или симплициального) разбиения дополнения Cf.

(f) Следует из 19.7.f ввиду (c) и двойственности Александера (§15).

h (g) Рассмотрим расслоение Хопфа S 3 S 7 S 4. Возьмем стандартное вложение S 2 S 4. Его дополнение гомотопически эквивалентно S 1. Имеем h1 (S 1 ) S 1 S 3 S 7.

= Дополнение до этого вложения f : S S S есть 1 3 Cf h1 (S 2 ) S 2 S 3 S 2 S 3 S 5 Cf0, = где f0 : S 1 S 3 S 7 стандартное вложение.

Аналогично строятся два вложения S 3 S 7 S 15, дополнения которых не гомотопи чески эквивалентны.

19.7. (a) Гомотопические группы не изоморфны.

(b) Гомологические группы не изоморфны.

(d) Возьмем некоторую триангуляцию полиэдра. Упорядочим симплексы в соответ ствии с возрастанием размерности. Докажем индукцией по n, что объединение включение в полиэдр объединения первых n симплексов гомотопно постоянному отображению.

(c) Постройте обратную гомотопическую эквивалентность аналогично (d).

(e) Следует из (d) и обратной теоремы Гуревича 19.8.d.

(f) Приведем план решения для сферы, для букетов сфер решение аналогично. При мените обратную теорему Гуревича 19.8.d. Она даст отображение f : S q X, индуцирую щее изоморфизм в гомологических группах. Примените относительную теорему Гуревича 19.8.e к цилиндру cylf этого отображения и (гомологическую и гомотопическую) точную последовательность пары (cylf, X). Получится, что f индуцирует изоморфизм и в гомо топических группах. Значит, по (c) f гомотопическая эквивалентность.

(g) Аналогично (f).

19.8. (c) Следует из теорем о первой ‘нетривиальной’ гомотопической и гомологической группах полиэдра, представленного клеточным разбиением из задачи 19.9.a.

(d) Следует из (c).

(e) Первое утверждение аналогично (c) следует из теорем о первой ‘нетривиальной’ го мотопической и гомологической группах полиэдральной пары, представленной клеточным разбиением из задачи 19.9.b. Второе утверждение следует из первого.

19.10. (a) Следует из односвязности (задача 19.6.c), двойственности Александера и обратной теоремы Гуревича (задача 19.8.d).

(b) Возьмем отображение h = hf : Cf CP, соответствующее элементу A4 [N] H5 (Cf, ). Так как cylh CP, получаем 3 (Cf ) 4 (cylh, Cf ) H4 (cylh, Cf ) H4 (cylh)/h H4 (Cf ) Zd((f )).

= = = = Здесь • первый и третий изоморфизмы получаются из точных последовательностей пар;

• второй изоморфизм выполнен по относительной теореме Гуревича 19.8.e;

• четвертый изоморфизм выполнен, поскольку для двойственного отоб ражения и образующей имеем h : H 4 (CP ) H 4 (Cf ) a H 2 (CP ) h (a a) = h a h a = P DA4[N] P DA4 [N] = P DA2 (f ).

20 Нестандартные гомотопические сферы 20.1 Пример нестандартной гомотопической сферы В этом пункте приводится построение знаменитого примера Милнора нестандартной го мотопической сферы (§16.1). Для решения большей части задач достаточно владения ос новами теории гомологий (§§11.3, 14.2, см. также §§6.4, 6.5, 10.4).

Обозначим Tn := {(x, y) S n S n : |x y| 1} (трубчатую окрестность диагонали).

20.1. (a) Чему гомеоморфно T1 ? (b) Чему гомеоморфны T3 и T7 ?

(с) T2 не гомеоморфно S 2 D 2. (d) T4 не гомеоморфно S 4 D 4.

Обозначим T := T4.

20.2. Любое ли отображение (a) S 1 T ;

(b) S 2 T ;

(c) S 3 T гомотопно отображению в точку?

Докажем, что H3 (T ) = 0. Из этого будет вытекать, что T не является гомотопически эквивалентным сфере S 7 и необходимо усложнение конструкции.

Для ориентируемого 2k-многообразия M обозначим через : Hk (M) Hk (M) Z и : Hk (M, ) Hk (M) Z его форму пересечений и билинейное отображение пересечений (§§6.5,11.3). Обозначим через [] H4 (T ) гомологический класс диагонали S 4 S 4.

Рассмотрим фрагмент точной последовательности пары j i H4 (T ) H4 (T, ) / H3 (T ) H3 (T ) / / PD =   H4 (T ) H4 () Z H3 () = = = Здесь i гомоморфизм включения, j гомоморфизм ‘позволяющий границу’, гра ничный гомоморфизм, P D неканонический изоморфизм, полученный из двойственности Лефшеца (задача 15.3.c).

20.3. (a’) T деформационно ретрагируется (см. определение в задаче 14.4.e) на.

(a) [] порождает H4 (T ) и [] [] = 2.

(b) Для любых x, y H4 (T ) выполнено x jy = x y.

(c) Существует x H4 (T, ), для которого x [] = 1.

(d) H3 (T ) = 0.

(e) H3 (T ) Z2.

= Обозначим через p : T S 4 сужение на T проекции S 4 S 4 S 4 на первый сомножи тель. Обозначим через (T, p ) копию пары (T, p).

20.4. Существует диффеоморфизм f : (p )1 D 4 p1 D 4, переводящий пересечение с диагональю в p1 z, z Int D 4.

Обозначим V := T f T (в копиях T и T склеиваются сужения проекций на четырех мерные диски, причем диск из базы одного сужения отождествляется со слоем другого.) После сглаживания получится 8-многообразие V с краем (которое называется водопровод ным соединением двух копий многообразия T ).

20.5. (a) Любое отображение S 1 V или S 2 V гомотопно отображению в точку.

(b) V деформационно ретрагируется на S 4 S 4.

= (c) H4 (V ) Z Z имеет базис s1 := [], s2 := [ ], в котором матрица формы пересе = чений H4 (V ) H4 (V ) Z имеет вид.

(d) Для этого базиса существует такой базис x1, x2 группы H4 (T, ), что si xj = ij.

(e) H3 (V ) = 0.

(f) H3 (V ) Z3.

= Итак, V не является гомотопически эквивалентным сфере S 7 и необходимо усложне ние конструкции.

Построение сферы Милнора. Рассмотрим граф с вершинами 1,..., 8 и ребрами 12, 23, 34, 45, 56, 67 и 58. Для каждой вершины a графа возьмем свой экземпляр (Ta, pa ) пары (T, p), и выберем столько непересекающихся дисков Dab S 4, сколько вершин b соединено с a.

Для каждого ребра ab склеим сужения расслоений на четырехмерные диски, соответ ствующие концам этого ребра, отождествляя базу одного сужения расслоения со слоем другого. Т.е. склеим p1 Dab и p1 Dba, как при построении многообразия V.

4 a b После сглаживания получится 8-многообразие W с краем. (Оно называется водопровод ным соединением копий многообразия T сообразно графу.) Край W этого многообразия и есть 7-многообразие из примера Милнора.

Пример сферы Милнора вытекает из следующих задач 20.6.e и 20.8.a.

20.6. (a) Любое отображение S 1 W или S 2 W гомотопно отображению в точку.

(c) Найдите матрицу формы пересечений многообразия W.

(b) Выберите базисы s1,..., s8 и x1,..., x8 групп H4 (W ) и H4 (W, ), для которых si xj = ij.

(d) H3 (W ) = 0.

(e) Край W гомотопически эквивалентен S 7.

(Заметим, что по теореме Смейла W топологически гомеоморфно S 7.) (f) Сигнатура (формы пересечений) многообразия W равна 8.

Читатель, не знакомый с понятием расслоения, может не решать следующей задачи.

20.7. (a) S n S n вложимо в R2n+1.

(b) Сумма касательного расслоения к S n S n и одномерного тривиального расслоения над S n S n тривиальна.

(c) Если p : E B векторное расслоение со слоем Rn, расслоение p тривиально и b := dim B n, то расслоение p тривиально.


(d) Если нормальное расслоение к многообразию в Rm тривиально, то сумма касатель ного и одномерного тривиального тривиальна.

(e) Для связного многообразия с непустым краем если сумма касательного и одномер ного тривиального расслоений тривиальна, то касательное расслоение тривиально.

(f) Многообразие Tn параллелизуемо, т.е. имеет семейство из 2n касательных векторных полей, линейно независимых в каждой точке.

(g) Многообразие V параллелизуемо.

(h) Многообразие W параллелизуемо.

В следующей задаче можно использовать предыдущую и следствие формулы Хирцеб руха о сигнатуре (§16.1;

от него достаточно делимости на 7).

20.8. (a) W не диффеоморфно S 7.

(b) W не вложимо гладко в S 8.

20.9. Построим аналогично 4-мерное многообразий W с краем.

(a) H1 (W ) = 0.

(b) W не диффеоморфно S 3.

(c) W не вложимо гладко в S 4.

В пунктах (b) и (c) можно использовать теорему Рохлина о сигнатуре, см. §16.1. (Впро чем, (b) делается и без этого, с использованием 1.) 20.10. Второе построение сферы Милнора [DNF84, 28].

S (a) Постройте расслоение S 7 S 4 (ср. 17.16.a). Найдите его класс Эйлера.

(b) Пространство S 3 -расслоения над S 4 гомотопически эквивалентно S 7 тогда и толь ко тогда, когда e() = 1.

(c) Определим отображение fhj : S 3 SO4 формулой fhj (u)v := uh vuj. Для соответ S ствующего расслоения hj : S 7 S 4 имеем e(hj ) = h + j.

(d)* p1 (hj ) = ±2(h j).

(e) Выведите пример сферы Милнора из предыдущих пунктов и следствия формулы Хирцебруха о сигнатуре.

20.2 Конечность множества гомотопических сфер (набросок) В этом пункте приводится набросок доказательства знаменитой теоремы Кервера Милнора о конечности множества гомотопических сфер.

Теорема Кервера-Милнора. Для любого n 6 множество n-многообразий, гомо топически эквивалентных S n, с точностью до диффеоморфизма, конечно.

20.11. Этот результат равносилен следующему: для любого n 6 множество n ори ентированных n-многообразий, гомотопически эквивалентных S n (гомотопических сфер), с точностью до сохраняющего ориентацию диффеоморфизма, конечно.

Лемма. Нормальное расслоение вложения гомотопической сферы в Rm тривиально для большого m.

Препятствие к тривиальности лежит в n1 (SO). Поэтому лемма верна для n 3, 5, 6, 7 mod 8 ввиду теоремы периодичности Ботта (§17.4). Для других n доказатель ство более сложно [KM63].

О конструкции Понтрягина см., например, §17, [Pr04, §18].

Для гомотопической сферы N Rm c нормальным оснащением обозначим через p(N, ) m (S mn ) n класс оснащенного кобордизма.

=S Для стандартной сферы S n Rm и x n (SOmn ) рассмотрим оснащение нормально го расслоения, полученное из стандартного оснащения при помощи x. Обозначим через J(x) m (S mn ) класс оснащенного кобордизма полученного оснащенного многообразия.

В §17 доказано, например, что J : 1 (SO2 ) 3 (S 2 ) есть изоморфизм.

20.12. (a) J : n (SOmn ) n (S mn ) гомоморфизм.

(b) p(N, x) = p(N, ) + J(x).

Для большого m имеем n (SOmn ) n (SO). Поэтому предыдущая конструкция дает = отображение J : n (SO) n. В §17 доказано, например, что J : 1 (SO) 1 есть изо S S морфизм. Кроме того, J : 3 (SO) 3 есть приведение по модулю 24.

S Ввиду задачи 20.12 отображение p : n n / im J корректно определено формулой S p(N) := p(N, ) + im J.

20.13. (a) Операция связного суммирования превращает n в группу.

(b) p гомоморфизм.

(c) p(N) = 0 тогда и только тогда, когда N является границей параллелизуемого мно гообразия.

S Ввиду (a,b) и поскольку группа n конечна для n 0, достаточно доказать, что ker p конечно.

См. задачу 16.11.

20.14. (a) Перестройка дает многообразие, кобордантное исходному.

(b)* Обратно, если многообразия кобордантны, то одно можно получить из другого перестройками.

20.15. (a) Любое ориентируемое многообразие размерности = 3 кобордантно односвяз ному.

(b) Любое спинорное (т.е. параллелизуемое в окрестности двумерного остова некоторой триангуляции) многообразие размерности 6 кобордантно двусвязному.

(c) Любое спинорное многообразие размерности 8 параллелизуемо в окрестности трехмерного остова некоторой триангуляции и потому кобордантно трехсвязному.

В следующих задачах N = W гомотопическая n-сфера и W параллелизуемо. По по воду задач, отмеченных звездочками, см. [KM63].

20.16. В этой задаче n 5.

(a) Если W стягиваемо, то N S n.

= (b)* Можно так выбрать оснащение сферы S i W, чтобы результат перестройки по этой сфере с этим оснащением был параллелизуемым.

(c) Перестройками можно добиться того, чтобы W стало ([n/2] 1)-связным.

20.17. Пусть n = 2k и W получено из W перестройкой сферы S k W.

(a) Существует x Hk (W ), для которого Hk (W )/x Hk (W )/[S k ].

= (b) Если [S ] Hk (W ) примитивен, то Hk (W ) = Hk (W )/[S k ].

k (c) Если k 4 четно, то rk Hk (W ) = rk Hk (W ).

(d)* Если k 4 четно, то N S n.

= (e)* Если k 3 нечетно, то N S n.

= 20.18. (a)* Если n = 4l 1 7 и (W ) = 0, то N S n.

= (b)* Существует замкнутое почти параллелизуемое 4l-многообразие M, для которого (M) = 0.

(c) Если n = 4l 1 7 и (W ) делится на (M), то N S n.

= 20.19. Пусть n = 4l + 1 17. Перестройками можно добиться того, чтобы W стало 2l-связным (и осталось параллелизуемым). Реализуем элемент x H2l+1 (W ) вложением x : S 2l+1 W. Обозначим через q(x) ker[i : 2l (SO2l+1 ) 2l (SO)] Z = препятствие к тривиальности нормального расслоения вложения x. Обозначим Arf (N) := Arf (q) := i q(ai )q(bi ) Z2, where a1,..., am, b1,..., bm is a symplectic basis of H2l+1 (W ).

(a) q квадратичная форма над Z2.

(b) Arf (N) действительно зависит только от N.

(c) Если Arf (N) = 0, то N S n.

= Заметим, что Arf (N) = 0 для l = 1, 3, 7, 15, 31. Это решение знаменитой проблемы Кер вера, полученное около 2008 г.

20.20. Выведите теорему Кервера-Милнора из предыдущего.

Ответы, указания и решения к некоторым задачам 20.1. (a) S 1 D 1.

(b) S 3 D 3 и S 7 D 7.

(c) H1 (T2 ) = 0 аналогично задаче 20.3.d. Или 1 (T2 ) = 0 из точной гомотопической последовательности расслоения (задача 17.19).

(d) Аналогично (c) следует из задачи 20.3.d или из 3 (T4 ) = 0.

20.2. Ответы: (a), (b) да, (c) нет.

(a) По задаче 20.3.a’ 1 (T ) 1 (). (Ср. со вторым способом решения задачи 6.14.b.) = Так как 1 () = 1 (S 4 ) = 0, то любое отображение S 1 T продолжается до отображения D 2 T. Так как 2 + 4 8, то отображение D 2 T можно изменить малым шевелением, чтобы оно перестало пересекать диагональ. Отображение D 2 T, не пересекающее, гомотопно отображению D 2 T.

Замечание. Эту задачу можно решать, используя точную гомотопическую последова тельность расслоения. Для S 1 и S 2 получится по сути то же решение, что и выше, но более сложно изложенное.

(b) Аналогично (a).

(c) По теореме Гуревича (задача 19.8.c) следует из (a,b) и задачи 20.3.d. Или 3 (T ) = из точной гомотопической последовательности расслоения (задача 17.19).

20.3. (a) По (a’) H4 (T ) H4 () =. (Ср. со вторым способом решения задачи 6.14.b.) = Число [] [] = 2 равно сумме индексов особых точек касательного векторного поля общего положения на S 4.

(c) x := [T ( S 2 )].

(d) Так как x [] = 1 нечетно, то по (a,b) x im j = ker. Поэтому = 0. Значит, H3 (T ) = 0.

20.5. (a) Аналогично задаче 20.2.ab.

Более сложный способ. Используя теорему Зейферт-Ван Кампена, докажите 1 (V ) = 0. Из точной последовательности пары (ср. диаграмму перед задачей 20.3), (b) и двойственности Лефшеца (задача 15.3.c) получаем H2 (V ) = 0. По теореме Гуревича (задача 19.8.c) 2 (V ) = 0.

(с) Аналогично задаче 20.3.b.

(d) Аналогично задаче 20.3.c.

(e) Аналогично задаче 20.3.d. Пусть, напротив, H3 (V ) = 0. Тогда в точной последо вательности пары (V, V ) имеем = 0. Значит, j эпиморфизм. Поэтому найдутся такие a, b Z, что x1 = j(as1 + bs2 ). Из (c,d) получаем 2a + b = 1, a + 2b = 0. Складывая, полу чаем, что 1 делится на 3. Противоречие.

(f) Аналогично задаче 20.3.e.

20.6. (a) Аналогично задаче 20.2.ab.

(c) Ответ: aii = 2, aij = 1 или aij = 0 сообразно тому, соединены ли в графе вершины i, j ребром или нет.

(b) Аналогично задаче 20.3.c.

(d) (Ср. [Br72, V.2.7].) Достаточно доказать, что j : H4 (W ) H4 (W, ) эпиморфно. Для произвольного x H4 (W, ) определим линейную функцию fx : H4 (W ) Z формулой fx (y) = x y. По (c) форма пересечений H4 (W ) H4 (W ) Z унимодулярна. Поэтому существует x H4 (W ), для которого fx (y) = x y для любого y H4 (W ). По двойствен ности Пуанкаре x jx = 0. Итак, j эпиморфно.

20.7. (b) Следует из (a).

(c) Препятствия к тривиальности обоих расслоений одинаковы (и, значит, нулевые), поскольку отображение включения b (SOn ) b (SOn+1) является изоморфизмом (задача 17.20.b).

(d,e) Следует из (c).

(f) Следует из (b,e).

20.10. (b) Гомоморфизм 4 (S 4 ) 3 (S 3 ) из точной последовательности расслоения является умножением на e().

20.13. Используйте задачу 20.7.de.


21 Приложение: Классификация сечений и интегриру емые системы 21.1 Классификация сечений и зейфертовых сечений Обозначим через X : X Y X проекцию на первый сомножитель. Отображение s : X X Y называется сечением, если X s = idX. Сечения называются послойно гомотопными, если они гомотопны в классе сечений. Обозначим через S(X ) множество классов послойной гомотопности сечений. Равенство между множествами означает нали чие взаимно-однозначного соответствия между ними.

21.1. (a) S(S 1 : S 1 I S 1 ) = {0}.

(b) S(S 1 : S 1 S 1 S 1 ) = Z.

(c) S(N : N S 1 N) = H1 (N;

Z) для замкнутого 2-многообразия N.

(d) S(X ) находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством [X;

Y ] отоб ражений X Y с точностью до гомотопности (см. определение в начале §17).

Понятия векторного поля и сечения (прямого произведения) являются важнейшими частными случаями понятия сечения расслоения, см. §13.2.

Рассмотрим 2-многообразие P с непустым краем и инволюцией t на P, имеющей лишь конечное число неподвижных точек.

21.2. Существуют такие негомеоморфные 2-многообразия P и P1 с непустыми краями и инволюциями t и t1, имеющими лишь конечное число неподвижных точек, для которых P /t P1 /t1.

= Сечение s : P P S 1 называется симметричным, если pS 1 s = pS 1 s t. Множе ство симметричных сечений с точностью до гомотопии в классе симметричных сечений обозначается кратко S(P, t). Положим P = P /t.

21.3. S(P, t) = H1 (P, P ;

Z) H1 (P, P ;

Z) Z1(P ), если инволюция t имеет лишь t = = конечное число неподвижных точек. Для пространства с инволюцией симметричные го мологические группы обозначаются добавлением верхнего индекса t к обычному обозначе нию. Их определение естественно появляется при изучении множества S(P, t). Читатель может придумать его сам или подсмотреть в [Sk], параграфе ‘гомотопическая классифи кация отображений’, пункте ’эквивариантные отображения’.

В приложениях (см. следующий пункт) появляются аналоги сечений для расслоений с особенностями. Приведем определение и результат для частного случая (мотивированного приложениями).

Положим Q = Q(P ) := P I/{(a, 0) (t(a), 1)}. (Выражаясь научно, это расслоение над S 1 со слоем P и сшивающим отображением t [BFM90, определение 2.2].) 21.4. Q(P ) зависит только от P, а не от P.

Обозначим через p : P P проекцию. Определим отображение : Q P формулой [(a, t)] = p(a). (Это расслоение Зейферта, имеющее сингулярные слои только над звез дочками и только типа (2, 1).) Вложение f : P Q называется зейфертовым сечением, если f = p. (В гладкой категории нужно дополнительно предполагать, что f трансверсально слоям отображения. В [BF94] сечения Зейферта назывались трансверсальными площадками.) Теорема классификации зейфертовых сечений. [RS99’] При фиксированных P и t множество X зейфертовых сечений с точностью до изотопии над находится во взаимно-однозначном соответствии с H1 (P, P ;

Z) Z1(P ).

= µ µ µ µ µ µµ Рис. 62: Классификация зейфертовых сечений Доказательство. Определим отображение P I P I q : P S1 Q = = {(a, 0) (a, 1)} {(a, 0) (t(a), 1)} формулой [(a, 2u)] 0 u q[(a, u)] =.

[(t(a), 2u 1)] u Поскольку t инволюция, q корректно определено и непрерывно.

Пусть f : P Q сечение Зейферта. Для каждой точки x P, не являющейся неподвижной точкой инволюции t, существует единственная такая точка f (x) P S 1, что qf (x) = f (x).

Для каждой неподвижной точки x инволюции t существуют две такие точки u, v S 1, что q(x, u) = q(x, v) = f (x).

Поскольку маленькая проколотая дисковая окрестность в P неподвижной точки x связ на, мы можем взять в качестве f (x) либо (x, u), либо (x, v), так что отображение f : P P S 1 будет непрерывным. Построенное отображение f (обычное) сечение тривиального расслоения P S P.

1 Поскольку f вложение, pS 1 f (x) = pS 1 f (t(x)) ни для какой точки x P. Поэтому f послойно гомотопно симметричному сечению f.

Обратно, для любого симметричного сечения F : P P S 1, отображение q F является сечением Зейферта и (q F ) = F.

Очевидно, сечения Зейферта f и g изотопны над тогда и только тогда, когда соответ ствующие симметрические сечения f и g симметрично гомотопны (или, эквивалентно, изотопны). Тогда X = S(P, t) = H1 (P, P ;

Z) Z1(P ). QED = 21.2 Применение к интегрируемым гамильтоновым системам В 1994 Болсинов и Фоменко [BF94] доказали теорему о топологической траекторной клас сификации невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями сво боды на трехмерных многообразиях постоянной энергии. Мотивировки и краткий обзор см. в [BFM90, §1], [BF94, §1]. Они доказали, что две такие системы эквивалентны, если некоторые их инварианты совпадают. Инвариантом является граф с некоторыми дополни тельными метками на его вершинах и ребрах. Одним из необходимых ограничений было то, что рассматриваемая гамильтонова система не имеет неустойчивых периодических орбит с неориентируемой сепаратрисой. Это связано с тем, что в доказательстве исполь зовались сечения локально-тривиальных расслоений. Поскольку периодические орбиты с неориентируемой сепаратрисой встречаются в примерах (например, в волчке Ковалев ской), было интересно отбросить это ограничение. Это оказалось возможным благодаря использованию зейфертовых сечений зейфертовых расслоений.

Теорема. Пусть X множество невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на ориентируемых трехмерных многообразиях по стоянной энергии, с точностью до непрерывной траекторной эквивалентности, сохра няющей ориентацию. Тогда существует инъекция из X в множество t-оснащенных гра фов с точностью до t-эквивалентности. [RS99’], [CRS00], ср. [BF94, Теорема 4.1].

Определения t-оснащенных графов и t-эквивалентности такое же, как в [BF94], см.

также [BFM90], [CRS00]. Заметим, что в [BF94, §12.3 и §13.5] описан образ инъекции из теоремы и зависимость t-меток от ориентации 3-многообразия постоянной энергии.

Кроме того, в [BF94, §13] было построено в некотором смысле более простое оснащение на W, названное t-молекулой. Более общая ситуация не требует добавлений и изменений по сравнению с [BF94], только P -метки могут быть атомами со звездочками.

Доказательство теоремы основано на следующем общем наблюдении, которое может быть применено и к другим проблемам. Бифуркация торов Лиувилля в боттовой интегри руемой гамильтоновой системе может быть описана окрестностью множества F 1 (c), где F дополнительный интеграл и c его критическое значение. Если критическое подмно гообразие дополнительного интеграла F, соответствующее c, окружность, то эта окрест ность является расслоением Зейферта Q над (незамкнутой) 2-поверхностью P [BFM90].

Чтобы исследовать бифуркацию торов Лиувилля, построим сечение Пуанкаре потока на Q [BF94]. Если критическая окружность имеет ориентируемую сепаратрисную диа грамму (или, эквивалентно, P не имеет звездочек), то Q P S 1 и сечения Пуанка = ре могут быть выбраны среди сечений тривиального расслоения. Тогда сечения Пуан каре классифицируются методами классической теории препятствий. Если критическая окружность имеет неориентируемую сепаратрисную диаграмму (или, эквивалентно, P не имеет звездочек), то расслоение Зейферта не является локально-тривиальным рассло ением. Несмотря на это, сечения Пуанкаре являются зейфертовыми аналогами сечений локально-тривиального расслоения. Доказательство вышеприведенной теоремы с исполь зованием теоремы классификации зейфертовых сечений аналогично [BF94], см. детали в [CRS00].

Литература.

Звездочками отмечены книги, обзоры и популярные статьи.

[Ad93] *M. Adachi. Embeddings and Immersions. Amer. Math. Soc., 1993. (Transl. of Math.

Monographs, 124).

[An03] *Д. В. Аносов. Отображения окружности, векторные поля и их применения. М:

МЦНМО, 2003.

[BFM90] *А. В. Болсинов, С. В. Матвеев и А. Т. Фоменко. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Успехи Мат.

Наук. 1990. 45:2. С. 49-77.

[Bi83] *R. H. Bing. The Geometric Topology of 3-Manifolds. Providence, R. I. 1983. (Amer.

Math. Soc. Colloq. Publ., 40).

[BE82] *В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович. Наглядная топология М.: Наука, 1982.

[CL95] *Чжуан-цзы. Ле-цзы. М.: Мысль, 1995.

[CRS04] *М. Ценцель, Д. Реповш и А. Скопенков. О теоремах вложения Браудера-Левина Новикова // Труды МИРАН. 2004. 247. С. 280-290.

[DNF79] *Б. А. Дубровин, С. П. Новиков и А. Т. Фоменко. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 1979.

[DNF84] *Б. А. Дубровин, С. П. Новиков и А. Т. Фоменко. Современная геометрия: методы теории гомологий. М.: Наука, 1984.

[DZ93] *Дымарский Я. и Заверач И. Пересечение двух кривых на торе. // Квант. 1993.

6. http://kvant.mccme.ru/1993/06/ peresechenie_dvuh_krivyh_na_to.htm [FF89] *А. Т. Фоменко и Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.

[Gi71] *S. Gitler. Embedding and immersion of manifolds // Proc. Symp. Pura Appl. Math., AMS, Providence. 1971. 22. P. 87–96.

[GS99] *R. Gompf and A. Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. Providence, RI: Amer.

Math. Soc., 1999. Рус. перевод.

[Hi95] *F. Hirzebruch. Division Algebras and Topology, in: Numbers, Springer, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (v. 123), 1995, [Ho90] *K. Horvati. Classical problems of geometric topology (in Croatian). Zagreb: Tehnika c c knjiga, [HZ74] *F. Hirzebruch and D. Zagier. The Atiyah-Singer theorem and elementary number theory, Bonn University, Bonn, 1974.

[Ki89] *R. C. Kirby. The Topology of 4-Manifolds. Berlin: Springer-Verlag, 1989. (Lect. Notes Math., 1374).

[Ko81] *U. Koschorke. Vector Fields and Other Vector Bundle Morhpisms a Singularity Approach. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1981. (Lect. Notes Math., 847).

[KS79] *R. Kirby, M. Scharlemann. Eight faces of the Poincar ’e homology 3-sphere.

Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 113–146, Academic Press, New York-London, 1979.

[Ma03] *S.V. Matveev. Algorithmic Topology and Classication of 3-Manifolds, Springer, 2003. Рус. перевод издан в Независимом университете.

[Ma03’] *С. В. Матвеев. Лекции по алгебраической топологии, Ижевск, Регулярная и ха отическая динамика, 2003.

[MF90] *С. В. Матвеев и А. Т. Фоменко. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Изд-во МГУ. М.: Наука. 1990.

[MS74] *Дж. Милнор, Дж. Сташефф. Характеристические классы. М.: Мир, 1979.

[No76] *С. П. Новиков. Топология-1. М.: Наука, 1976. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ.

Современные проблемы математики. Основные направления, 12).

[Po76] *Л. С. Понтрягин. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.

М.: Наука, 1976.

[Pr95] *В. В. Прасолов. Наглядная топология. М.: МЦНМО, 1995.

[Pr04] *В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.:

МЦНМО, 2004. См. http://www.mccme.ru/prasolov/.

[Pr06] *В. В. Прасолов. Элементы теории гомологий. М.: МЦНМО, 2006. См.

http://www.mccme.ru/prasolov/.

[PS05] *В. В. Прасолов и М. Скопенков. Рамсеевская теория зацеплений // Мат. Просве щение. 2005. 9. С. 108-115.

[RS72] *К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон. Введение в кусочно-линейную топологию // Москва. Мир. 1974.

[RS96] *D. Repov and A. B. Skopenkov. Embeddability and isotopy of polyhedra in Euclidean s spaces // Труды МИРАН. 1996. 212;

Proc. of the Steklov Inst. Math. 1996. 212.

P. 173-188.

[RS99] *Д. Реповш и А. Скопенков. Новые результаты о вложениях полиэдров и много образий в евклидовы пространств // УМН. 1999. 54:6. С. 61-109.

[RS00] *Д. Реповш и А. Скопенков. Характеристические классы для начинающих // Мат.

Просвещение. 2000. 4. С. 151-176.

[RS02] *Д. Реповш и А. Скопенков. Теория препятствий для начинающих // Мат. Про свещение. 2002. 6. C. 60-77.

[Ru73] *T. B. Rushing. Topological Embeddings. New York: Academic Press, 1973.

[Sk] *А.Б. Скопенков. Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов, www.mccme.ru/circles/oim/algor.pdf [SE62] *Н. Стинрод и Д. Эпштейн. Когомологические операции // Москва. Наука. 1983.

[St68] *Р. Стонг. Заметки по теории кобордизмов // Москва. Мир. 1973.

[ST04] *Г. Зейферт и В. Трельфалль. Топология. 2004.

[Sk05] *А. Скопенков. Вокруг критерия Куратовского планарности графов // Мат. Про свещение. 2005. 9. С. 116-128. http://www.mccme.ru/free-books/matprosс.html [Sk08] *A. Skopenkov. Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces // London Math. Soc. Lect. Notes, 347 (2008) 248–342;

arxiv:math/0604045.

[Ta87] Соображения непрерывности. Квант, N9, 1987.

*С. Табачников.

http://kvant.mccme.ru [VINH07] *О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев и В. М. Харламов. Элементарная топология // МЦНМО. 2007.

[Wu65] *W. T. Wu. A Theory of Embedding, Immersion and Isotopy of Polytopes in an Euclidean Space. Peking: Science Press, 1965.

[ARS01] P. Akhmetiev, D. Repov and A. Skopenkov. P. Akhmetiev, D. Repovs and A.

s Skopenkov, Embedding products of low-dimensional manifolds in Rm // Topol. Appl.

2001. 113. P. 7-12.

[Ba65] D. Barden. Simply-connected ve-manifolds // Ann. of Math. 1965. 82. P. 365–385.

[Br60] M. Brown. A proof of the generalized Schoeniess theorem // Bull. Amer. Math. Soc.

1960. 66. P. 74–76.

[BF94] А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко. Траекторная эквивалентность интегрируемых га мильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I, II // Мат. Сборник. 1994. 185:4. С. 27-80;

185:5. С. 27-78.

[BM58] R. Bott, J. Milnor. On the parallelizability of the spheres // Bull. Amer. Math. Soc.

1958. 64. P. 87-89.

[Br68] W. Browder. Embedding smooth manifolds // Proc. Int. Congr. Math. Moscow 1966.

1968. P. 712–719.

[Co85] R. L. Cohen. The immersion conjecture for dierentiable manifolds // Ann. of Math.

1985. 122. P. 237-328.

[CRS00] A. Cavicchioli, D. Repov and A. B. Skopenkov. An extension of the Bolsinov-Fomenko s theorem on classication of Hamiltonian systems // Rocky Mount. J. Math. 2000.

30:2. P. 447-476.

[CRS07] M. Cencelj, D. Repov and M. Skopenkov. Classication of framed links in s 3-manifolds. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 117:3 (2007), 301-306.

http://arxiv.org/abs/0705. [CS11] D. Crowley and A. Skopenkov. A classication of smooth embeddings of 4-manifolds in 7-space, II, Internat. J. Math., 22:6 (2011) 731-757, arxiv:math/0808. [DW59] A. Dold and H. Whitney. Classication of oriented sphere bundles over a 4-complex // Ann. Math. 1959. 69. P. 667–677.

[Gl62] H. Gluck. The embedding of two-spheres in the four-sphere // Trans. Amer. Math.

Soc. 1962. 104:2. P. 308–333.

A. Haeiger. Dierentiable embeddings of S n in S n+q for q 2, Ann. Math., Ser.3, [Ha66] (1966) 402–436.

[HH62] A. Haeiger and M. W. Hirsch. Immersions in the stable range // Ann. of Math. 1962.

75:2. P. 231–241.

[Hi60] M. W. Hirsch. Immersions of manifolds // Trans. Amer. Mat. Soc. 1960. 93. P. 242– 276.

[HP64] A. Haeiger and V. Poenaru. La classication des immersions combinatoires // Publ.

Math. IHES. 1964. 23. P. 75–91.

[Ka84] U. Kaiser. Immersions in codimension 1 up to regular homotopy,// Arch. Math.

(Basel) 51 no 4 (1984) 371 - 377.

[Ke59] M. Kervaire. An interpretation of G. Whitehead’s generalization of H. Hopf’s invariant // Ann. of Math. 1959. 69. P. 345-362.

[KM63] M. Kervaire, J. Milnor.

[Ko01] U. Koschorke. Homotopy classication of line elds and Lorentz metrics on closed manifolds // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 2001.

[Le65] J. Levine. Unknotting spheres in codimension 2 // Topology. 1965. 4. P. 9–16.

[Le65’] J. Levine. A classication of dierentiable knots // Ann. of Math. 1965. 82. P. 15– [Ma59] B. Mazur. On embeddings of spheres // Bull. Amer. Math. Soc. 1959. 65. P. 91–94.

[Ma60] W. S. Massey. On the Stiefel-Whitney classes of a manifold, 1 // Amer. J. Math. 1960.

82. P. 92-102.

[Ma62] W. S. Massey. On the Stiefel-Whitney classes of a manifold, 2 // Proc. AMS 1962. 13.

P. 938-942.

[Ma69] W. S. Massey. Pontryagin squares in the Thom space of a bundle // Pacic J. Math.

1969. 31. P. 133-142.

[Mo60] M. Morse. A reduction of the Schoeniess extension problem // Bull. Amer. Math.

Soc. 1960. 66. P. 113–117.

[Mo89] B. Mohar. An obstruction to embedding graphs in surfaces // Discrete Math. 1989.

78. P. 135–142.

[Pa57] C. D. Papakyriakopoulos. On Dehn’s lemma and the asphericity of knots // Ann. of Math. 1957. 66. P. 1–26.

[RS99’] Д. Реповш и А. Скопенков. Теория препятствий для расслоений Зейферта и клас сификация интегрируемых гамильтоновых систем // УМН. 1999. 54:3. С. 183-184.

[RSS05] D. Repov, M. Skopenkov and F. Spaggiari. On the Pontryagin-Steenrod-Wu Theorem, s Israel J. Math. 2005. 145. P. 341–347 http://arxiv.org/abs/0808. [Sk02] A. Skopenkov. On the Haeiger-Hirsch-Wu invariants for embeddings and immersions // Comment. Math. Helv. 2002. 77. P. 78-124.

[Sk08’] A. Skopenkov. A classication of smooth embeddings of 3-manifolds into 6-space //, Math. Zeitschrift, 260:3, 2008, 647-672, http://arxiv.org/ math.GT/0603429.

[Sk10] A. Skopenkov. A classication of smooth embeddings of 4-manifolds in 7-space, I, Topol. Appl. 157 (2010) 2094-2110. http://arxiv.org/ math.GT/0512594.

[Sm61] S. Smale. Generalized Poincare’s conjecture in dimensions greater than 4 // Ann. of Math. 1961. 74. P. 391–466.

[So04] A. Sossinsky. Can the Poincare conjecture be false? Proc. V.A.Steklov Inst.Math., Vol.247, 247-252, 2004.

[St40] E. Stiefel. Uber Richtungsfelder in den Projektiven Rumen und einen Satz aus den a Reelen Algebra // Comment. Math. Helv. 1940-41. 13. P. 201-218.

[St63] J. Stallings. On topologically unknotted spheres // Ann. of Math. 1963. 77. P. 490–503.

[Th51] R. Thom. Une thorie intrinseque des puissances de Steenrod e Coll. Top. Strassbourg. 1951.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.