авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Ю.Л. Геворкян, А.Л. Григорьев

Основы линейной

алгебры

и её приложений в технике

Утверждено

Министерством образования и науки

Украины

в качестве учебника для студентов

высших учебных заведений

Харьков НТУ «ХПИ» 2002

ББК.22.143

Г 27

УДК 512.64

Рецензенты:

Ю.В. Гандель, доктор физико-математических наук, профессор ка-

федры математической физики и вычислительной математики Харь-

ковского национального университета им. В.Н. Каразина;

В.С. Гапонов, доктор технических наук, профессор, заведующий ка федрой деталей машин и прикладной механики Национального тех нического университета «Харьковский политехнический институт»;

В.И. Мороз, доктор технических наук, профессор, заведующий ка федрой механики и проектирования машин Украинской государст венной академии инженеров железнодорожного транспорта.

Гриф присвоен Министерством образования и науки Украины, письмо № 1/11 – 2016 от 20.06.2002 г.

Интеллектуальная собственность авторов. Все права защищены.

При перепечатке материалов ссылка на первоисточник обязательна.

Геворкян Ю.Л., Григорьев А.Л.

Г 27 Основы линейной алгебры и её приложений в технике: Учебник.– Харьков: НТУ «ХПИ», 2002. – 542 с. – На русск. яз.

ISBN 966-593-283- Содержит систематическое изложение курса линейной алгебры и основ функционального линейного анализа, ориентированное на использование соот ветствующих методов для решения практических инженерных задач.

Предназначается для студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников технических университетов.

Містить систематичний виклад курсу лінійної алгебри і основ функціона льного лінійного аналізу, орієнтований на використання відповідних математич них методів для розв’язання практичних інженерних задач.

Призначено для студентів, аспірантів, викладачів та наукових співробіт ників технічних університетів.

Contains the systematic summary of the linear algebra course and the basis of functional linear analysis, oriented to using the corresponding mathematical methods for solving practical engineering tasks.

Intended for students, post-graduates, teachers and scientist of the technical universities Ил. 203. Табл. 2. Библ. 34 назв.

ББК 221. Ю.Л. Геворкян ISBN 966-593-283- C А.Л. Григорьев,2002 г.

Оглавление Об алгебре – с любовью... (вместо предисловия)........................ Глава 1. Матрицы................................................................................ § 1. Основные определения и примеры.......................................................... Точка отсчёта. Матричные шифры. Коммутационная матрица. Графы ло кальных сетей. Матрица вращения. Матрица проводимости. Полезная мат рица. Виртуальные графы. Матрица всегда должна выглядеть красиво! Мат ричные скобки. Передаточная матрица. Матрица из тензорезисторов. Мат рицы и тензоры.

§ 2. Частные виды матриц.............................................................................. "Железнодорожные" колебания. Шнур - удлинитель. Распад местной сети.

Цепная передача. Цилиндрическая пружина. Армейский порядок. "Главная матрица университета".

§ 3. Основные действия над матрицами........................................................ Матричные окрестности. Матричное уравнение системы. Матрица для тор педоносца. Дифференциальное матричное уравнение. Полёт в Чикаго.

§ 4. Правила умножения для матриц частного вида.................................... Матричный процессор. Матричные аналогии. Уравнение свободных колеба ний цепной системы.

§ 5. Свойства операции умножения матриц................................................. "Электрические" доказательства. Матрицы перестановок. Тривиальная мат ричная алгебра. Каскадный преобразователь. Передаточная матрица цепной системы. Экономичный раскрой пружины. Матричные корни из нуля и еди ницы.

§ 6. Транспонирование и симметрия матриц................................................ Две формы записи матричных уравнений. Неотрицательные матрицы. Мат ричные неравенства в электротехнике. Симметрия механических систем.

Глава 2. Определители и обратные матрицы.................................. § 7. Факториал. Перестановки. Инверсия..................................................... § 8. Понятие определителя............................................................................. Что "определяет" определитель матрицы? Геометрический смысл определи теля. ЭВМ против определителя: раунд первый. Определитель треугольной матрицы. Определитель блочно-диагональной матрицы. Матрица из опре делителей.

§ 9. Формулы Лапласа..................................................................................... ЭВМ против определителя: раунд второй. Определитель цепной системы.

§ 10. Понятие линейной зависимости............................................................ Главная загадка линейной алгебры.

§ 11. Свойства определителей ….................................................................... Перемножение определителей на дисплее "Пентиума". Транспонирование якобиана. Расщепление определителя цепной системы.

§ 12. Вычисление определителя по методу Гаусса …….............................. ЭВМ против определителя: третий раунд. Определитель Вандермонда.

§ 13. Условия существования и единственности обратной матрицы......... Зачем нужны обратные матрицы? Электростатическая неопределённость.

Матрица упругости. Обратные неквадратные матрицы.

§ 14. Правила нахождения обратной матрицы........................................... Определитель присоединённой матрицы. Расщепление определителя блоч ной матрицы. Обратная передаточная матрица.

§ 15. Операция обращения матрицы и её свойства.................................... Блочный определитель. Диагональный определитель. Матричные преобра зования обобщённых координат. Пять осей симметрии матрицы. Централь ная и зеркальная симметрия передаточной матрицы.

Глава 3. Эквивалентные преобразования и ранг матрицы..... § 16. Миноры матрицы. Обобщённая формула Лапласа........................... Сколько миноров содержит матрица? Доверяй, но проверяй! Определитель моноблочной матрицы. Определитель произведения неквадратных матриц.

§ 17. Преобразования квадратной матрицы по алгоритму Гаусса........... Матрицы элементарных преобразований. Матрица эквивалентного преобра зования. Прямой ход алгоритма Гаусса. Обратный ход алгоритма Гаусса.

§ 18. Гауссово представление квадратной матрицы.................................. Всегда - ли можно не переставлять строки? Второе "треугольное" представ ление. Матричные пятна на единичной сфере. Квазитреугольное представ ление квадратной матрицы. О непринципиальных различиях между теорией и практикой.

§ 19. Симметричное преобразование матрицы.......................................... Симметричный алгоритм Гаусса. Преобразование кососимметричной матрицы.

§ 20. Положительные и неотрицательные матрицы.................................. Тонкая гауссова механика. Матрица массообмена. Утечка массы. Матрица трения. Во всём виновата энтропия. Матрица колебаний – это единство про тивоположностей.

§ 21. Теорема о базисном миноре................................................................ Определитель произведения укороченной матрицы на удлинённую.

§ 22. Ранг матрицы и его свойства............................................................... Вырожденные неквадратные матрицы.

§ 23. Методы нахождения ранга. Преобразование матрицы к трапецеидальному виду.................................................................... Два направления для поиска базисного минора. Метод понижения порядка для базисного минора. Метод окаймления.

Глава 4. Матричные уравнения и системы линейных алгебраических уравнений ……………………... § 24. Простейшие матричные уравнения.................................................... Родственные матричные уравнения. Уравнение смешанного типа. Двухсто роннее матричное уравнение.

§ 25. Формы записи системы линейных алгебраических уравнений......... Матрица как универсальное средство для объединения уравнений. "Аппа ратный" метод обращения матрицы. Матрица влияния и принцип взаимно сти Максвелла.

§ 26. Системы простейших матричных уравнений.................................... Лабораторная работа по линейным электрическим цепям. Матричные тождества.

§ 27. Решение квадратных систем линейных уравнений при помощи обратной матрицы................................................................................ Параллельное решение систем. Технические трудности пятого порядка.

Матричные рефлексы крылатой ракеты.

§ 28. Формулы Крамера................................................................................ Геометрический смысл альтернатив Крамера. Экономичные формулы Краме ра. Главные неизвестные. Минимальный многочлен диагональной матрицы.

§ 29. Эквивалентные преобразования расширенной матрицы................. Нумерующая строка расширенной матрицы. Параллельные элементарные преобразования. Дополнительное элементарное преобразование.

§ 30. Метод Гаусса для систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов……………………………… Обращение матрицы методом Гаусса. Гаусс против Гаусса. Прогноз погоды на... прошедший месяц.

§ 31. Решение систем уравнений с блочными и разреженными матрицами коэффициентов …………………………………………. Алгоритм Гаусса для системы матричных уравнений. Интерполирующий сплайн. Решение уравнений замкнутой цепной системы. Итерационные ме тоды решения систем линейных алгебраических уравнений.

Глава 5. Множества решений неопределённых систем............. § 32. Решение квадратной системы линейных алгебраических уравнений с вырожденной матрицей методом Гаусса..................... Решения, ускользающие в бесконечность. Генератор случайных решений.

§ 33. Неопределённые системы уравнений: основные понятия и определения....................................................................................... Новая обложка для старой теоремы. Неустойчивые решения переопределён ной системы. Матричные рамки для свободы выбора. Свобода выбора для башенного крана. Однородная форма уравнений электростатики. "Узкое ме сто" электрической схемы.

§ 34. Теоремы Кронекера – Капелли........................................................... Удлинённая система почти всегда совместна. Условия существования пере даточной матрицы. Однородная удлинённая система.

§ 35. Структура общего решения системы................................................. Базисные решения трапецеидальной системы. Частное решение не зависит от базисных. Геометрическая интерпретация принципа наложения решений.

§ 36. Структура общего решения матричного уравнения......................... Независимость реальная и кажущаяся. Эквивалентные передаточные матри цы. Базисные решения для передаточных матриц.

§ 37. Опорные решения неоднородной системы....................................... Опорные решения трапецеидальной системы. Матричное уравнение для опорных решений. Опорные точки на плоскости решений.

§ 38. Принцип линейной суперпозиции...................................................... Монтажные и рабочие напряжения в деталях машин. Предварительно на пряжённый железобетон. О принципе линейной суперпозиции в физике.

Принцип фрактальности.

§ 39. Метод Гаусса – Жордана и другие методы решения неопределённых систем....................................................................... Система уравнений с сильно удлинённой матрицей. Главные неизвестные неопределённой системы. Аналитическое решение неопределённых систем.

Алгоритм метода Гаусса – Жордана для неоднородной системы. Алгоритм метода Гаусса – Жордана для однородной системы. Вакантные места для "особых" неизвестных.

Глава 6. Линейные пространства.................................................. § 40. Основные определения........................................................................ Пространство матриц. Точечно - векторный дуализм. Коммутативные груп пы и конусы. Пространство криволинейных векторов.

§ 41. Функциональные линейные пространства......................................... Пространство непрерывных функций. Пространство интегрируемых функций.

Пространство периодических функций. Моменты функции. Коэффициенты Фурье. Неустановившиеся колебания груза. Периодические колебания груза.

§ 42. Линейное подпространство................................................................. Пространство многочленов. Пространство гармоник. Пространство решений.

Подпространство дифференцируемых функций. Пространство аналитических функций. Пространство L2 [a ;

b ]. Иерархия функциональных пространств.

§ 43. Размерность и базис линейного пространства................................... Размерность арифметического пространства. Арифметическое пространство. Пространства l 1, l 2 и l. Размерность пространства многочленов. Ка нонический базис. Полиномы Чебышева. Пространство шатунных кривых.

Базис для многочленов Лагранжа. Базис для сплайнов.

§ 44. Изоморфизм линейных пространств.................................................. Соответствие нулей и нулевых линейных комбинаций. Изоморфизм матриц и систем. Пространство эквивалентных систем. Изоморфизм комплексных чисел и векторов. Графическое изображение многомерного вектора.

§ 45. Алгебраический базис счётномерного пространства....................... l 0 и изоморфные ему пространства функций. Счётномерное пространство разрывных функций. Континуальный алгебраический базис. Изоморфизм бесконечномерных пространств.

§ 46. Прямая сумма подпространств........................................................... Базисное расщепление пространства. Дополнительное пространство для ку лачка. Проблема моментов.

§ 47. Матрица линейного оператора............................................................ Матрица оператора дифференцирования. Матрица оператора интегрирова ния. Два разных взгляда на одну матрицу.

Глава 7. Подобие матриц................................................................... § 48. Диагонализация матрицы: постановка задачи и примеры............... Гидромеханический демпфер. Идеальный амортизатор. Гидромеханический маятник. "Комплексно сопряжённые" маятники.

§ 49. Инвариантные подпространства......................................................... Матричный след. Формулы Виета для матричного спектра. Вращающееся под пространство. Нормированный вращающийся базис. Вещественные уравнения для комплексного базиса. Спектр единичной матрицы. Жордановы клетки.

§ 50. Преобразование подобия для квадратных матриц........................... Принцип общности положения. Классы подобных матриц. Пространство ко эффициентов подобия. Левая и правая нормировка.

§ 51. Корневые подпространства................................................................. Конформный мир.

§ 52. Каноническая жорданова форма матрицы......................................... Циклические подпространства. Блочные циклы. Встреча "в верхах". Функ ции матричной клетки. Спектр матричной функции. "Слабое звено" линей ной алгебры. Движение по матричному следу.

§ 53. Элементарные функции с матричным аргументом........................... Основные свойства матричных функций. Арифметический матричный ко рень. Функция блочной клетки. Матричная экспонента. Матричная триго нометрия. Матричное решение уравнений баллистики. Рекуррентная мат ричная алгебра. Матричная гармоника. Матричные функции для вязко - уп ругой модели.

§ 54. Матричные интегралы......................................................................... Колебательный "эскорт". Матричный метод Лагранжа. Мультипликативный компьютерный интеграл. Следы матричных интегралов.

§ 55. Подобие линейных операторов........................................................... Спектры операторов дифференцирования. Симметричный оператор и его спектр.

Глава 8. Аффинные и нормированные пространства............... § 56. Аффинное пространство..................................................................... Отрываем "векторные хвосты". Движение в обратном направлении. Сфери ческое пространство.

§ 57. Аффинное подпространство, плоскость и прямая........................... Прямые и плоскости в геометрическом пространстве. Уравнение плоскости в n. Уравнения прямой в n. Аффинный отрезок. Аффинная полуплос кость. Выпуклые многогранники.

§ 58. Метрика и норма................................................................................... Изолирующая метрика. Равномерная метрика и норма. Суммарная метрика и норма. Среднеквадратичная метрика.

§ 59. Интегральные метрики........................................................................ Средняя интегральная метрика и норма. Нуль - окрестности и нуль - про странство. Регуляризация графика функции. Оператор регуляризации. Регу ляризованное подпространство.

§ 60. Топология и предел.............................................................................. Единичная окрестность – метрический эталон близости. Вписанные и опи санные шары. Координатная топология. Фальшь-старт. Открытые и замкну тые множества. Ограниченные дискретные множества.

§ 61. Банахово пространство........................................................................ Метрика "далёкая" и "близкая". Несепарабельное пространство. Конкури рующая топологическая база. Непрерывный базис для разрывных функций.

§ 62. Ограниченные линейные функционалы............................................. Самосопряжённое пространство. Интеграл Стилтьеса. Принцип Кавальери.

Мера Жордана. Мера Лебега. Интеграл Лебега. Сопряжённое функциональ ное пространство.

§ 63. Скалярное произведение...................................................................... Скалярное произведение в комплексном пространстве. Псевдометрика. Ска лярное произведение в функциональном пространстве.

§ 64. Евклидово, унитарное и гильбертово пространства......................... Координатная изометрия. Процедура ортогонализации. Ортогональные много члены Чебышева. Обобщённый ряд Фурье. Диагонализация матрицы Грама.

§ 65. Ортогональные суммы и проекции...................................................... Оператор ортогонального проектирования. Экстремальное свойство много членов Фурье. Ортогональность инвариантных подпространств.

Глава 9. Спектр и норма матрицы................................................ § 66. Диагонализация симметричных и кососимметричных матриц........ Прямые доказательства. Жорданово представление матрицы колебаний. Со пряжённая симметрия – это "два в одном". Дискриминант характеристиче ского уравнения.

§ 67. Ортогональные матрицы..................................................................... Группа ортогональных матриц. Вращения системы координат. Вращения твёр дого тела. Конструкционная инверсия. J - ортогональный базис матрицы коле баний. Группа J - ортогональных матриц. Спектр J - ортогональной матрицы.

§ 68. Спектральные оценки.......................................................................... Устойчивость движения механической системы. Неустойчивость разностной схемы. Сходимость разностной схемы.

§ 69. Евклидова норма матрицы.................................................................. Плохо обусловленные матрицы. Жёсткая динамическая система. Норма мат рицы колебаний. Норма ортогональной и J - ортогональной матрицы. Норма обратной матрицы. Асимптотическая устойчивость. Сколько нужно ждать?

Устойчивость матричного интеграла.

§ 70. Критерий Рауса – Гурвица................................................................... Миноры Гурвица. Лучшее – враг хорошего. Статическая неустойчивость прямого клапана.

§ 71. Устойчивость решения дифференциального матричного уравнения …………………………………………………………….. Динамическая неустойчивость клапана. Спектр плунжерного гидронасоса.

Дифференциальный клапан. Абсолютная и относительная устойчивость.

Абсолютная устойчивость клапана. Устойчивость и вращения собственного базиса. Устойчивость периодического движения.

§ 72. Матричные методы интегрирования линейных векторных уравнений …………………………………………………………...... Алгебраический метод. Численно-аналитический метод. Учтём симметрию.

Оценим спектр собственных колебаний. Выберем оптимальный дробный шаг. Учтём специфику цепной системы. Оценим перспективы.

Список дополнительной литературы.............................................. Предметный указатель....................................................................... Об алгебре – с любовью...

(вместо предисловия) В 50-ые годы ХХ - го столетия, когда Мировой океан ещё не был загрязнён радио активными отходами, и в нём во множестве водились киты, в бывшем Советском Союзе была издана новая книга, которая называлась "Справочник китобоя". Так получилось, что эта полезная книга совершенно неожиданно для её авторов получила известность не только у "героев – китобоев", но и среди математиков. Тому виной была приведенная в справочнике формула для определения массы выловленного кита. В самой формуле, кроме габаритных размеров кита, использовалась общеизвестная константа, а далее (на вся кий случай?) следовало разъяснение – "где для кита равняется 3,14".

Кого-то эта фраза тогда просто рассмешила, других – повергла в шок (какое ко щунство!), а третьих – заставила задуматься о серьёзных вещах. Математики, как вы, наверняка, догадываетесь об этом, в основном люди очень сообразительные. И поэтому они быстро смогли понять, что место "кита" в этой фразе мог бы, например, занять инженер, или любой другой специалист, профессия которого не требует знания шестой значащей цифры ответа. А ещё то, что отсутствие абстрактного воображения - это не всегда зло, но часто – благо, поскольку позволяет быстро фокусировать внимание на глав ном. И что математик, работающий преподавателем в инженерном вузе, обязан учить математике именно будущего инженера, а не пытаться вырастить из него новое "ма тематическое дарование".

Но в этой связи возникает много вопросов. Можно ли говорить о существовании особой "математики для инженеров" или, скажем, "математики для бизнесменов", "ма тематики для военных"? И как увязать её учебный курс с теми личностными особенно стями будущего специалиста, которые обеспечили выбор данной профессии и целенаправ ленно формируются ею? Где должна пролегать грань между доказательностью изложе ния и его доступностью? Каким методам доказательных рассуждений (индуктивным или дедуктивным) отдавать приоритет? Сохранять ли и далее в учебном курсе "чистоту" методов высшей математики либо сразу же учитывать реалии их численной реализации?

Если бы мы не знали ответов на эти вопросы, то никогда не решились бы публико вать эту книгу. Но для того, чтобы найти их, нам пришлось в качестве практикующих преподавателей высшей математики каждый учебный день на протяжении десятков лет открывать двери студенческих аудиторий. А ещё – наводить новые мосты между мате матикой и техническими науками и каждый день самим путешествовать по этим мос там, соединяющим два берега человеческого знания.

Весь этот учебник, от первой до последней его страницы, собственно говоря, и яв ляется нашим развёрнутым ответом на эти вопросы. Но для тех нетерпеливых читате лей, кого смутит размер этого "ответа", спешим сообщить основополагающие принципы, которыми мы руководствовались при его подготовке.

* * * Современный этап развития науки, техники и общества в целом требует повыше ния роли фундаментальных дисциплин в системе высшего образования Украины. Органи зационные меры решения этой проблемы, связанные с переводом многих технических вузов в ранг университетов, должны быть поддержаны изданием новых учебников. Особенно стью таких учебников является углубление теоретических разделов курса при одновре менном расширении фактического материала, который, с одной стороны, иллюстрирует приложения теории к практике, а с другой стороны, делает изложение доступным и ин тересным. Образцом для таких учебников можно считать, например, признанный во всём цивилизованном мире «Берклеевский курс физики», или, если приводить примеры матема тической литературы, «Курс математической физики» А.Н. Тихонова и А.А. Самарского.

Современный учебник по математике для технического университета должен не только сообщать своим читателям всю, «без утайки», сумму знаний, которая может по надобиться в их практической деятельности, но и учить применять математические методы при решении практических задач.

Он должен содержать большое число полностью рассмотренных примеров, кото рые как раз и учат применять эти методы на практике. Примеров в такой литературе не может быть много, их всегда только мало.

Он должен показать на многочисленных примерах силу основного математиче ского метода – метода математической аналогии, являющегося действительной осно вой самой математики и определяющего её главенствующее место в науке.

Он должен помочь полюбить математику – «царицу наук» и основу любого под линно научного знания, а не бояться её, как это зачастую бывает со студентами и выпу скниками технического вуза.

Он должен существенно расширить общенаучный и терминологический кругозор читателя.

Он должен стать их опорой в будущей научной и практической деятельности.

Он не может использовать принятый ранее для математической литературы «назидательный тон» подачи материала. Автор для молодого (и не очень молодого) чи тателя должен быть скорее советчиком и единомышленником, но не занудной всезнайкой.

Автор должен любить своего читателя и не скрывать этих чувств.

Учебник должен быть хорошо иллюстрирован. Особенность студентов техниче ских вузов заключается в том, что они в своей массе обладают конкретным, а не абст рактным мышлением;

к тому же в процессе обучения они привыкли иметь так называе мую «зрительную опору» – рисунок или чертёж. Эта особенность должна быть обяза тельно учтена при подготовке учебника по математике.

* * * Этим принципам мы и пытались следовать при подготовке данного учебника. Уда лось ли нам решить эту задачу – судить вам. Заметим, что других, похожих на него учеб ников по линейной алгебре, в бывшем СССР и странах СНГ ранее не издавалось.

Учебник составлен в полном соответствии с программой курса высшей матема тики для политехнического университета Украины.

Изучение материала первых пяти глав в основном базируется на тех знаниях, ко торые были получены в школьном курсе математики, и только в отдельных случаях ис пользуются некоторые сведения из университетского курса математического анализа, читаемого в том же семестре параллельно или последовательно. Параграфы и примеры, отмеченные звёздочкой, при первом чтении рекомендуется пропустить.

В остальных четырёх главах книги содержится материал, который изучается на специальных курсах технического университета по программе подготовки специалистов и магистров. Эта часть книги написана не только для студентов;

она должна быть полез на также аспирантам и научным сотрудникам, занимающимся математическим модели рованием технических объектов. Поэтому наряду с алгеброй конечномерных пространств здесь изложены азы функционального линейного анализа.

Материал разбит на главы и параграфы, которые, как и примеры, имеют сквозную нумерацию. Формулы, на которые имеются ссылки в тексте, нумеруются в пределах гла вы, а при редких ссылках на формулу из другой главы используется двойная нумерация (на пример, запись (1.2) обозначает формулу с номером (2) из первой главы).

Выражаем благодарность профессорам Ю.В. Ганделю, В.С. Гапонову, В.И. Морозу и доценту Н.А. Чикиной, взявшим на себя труд рецензирования учебника и сделавшим мно го ценных замечаний по тексту. Но главные наши рецензенты – это вы, наши читатели.

Если опыт покажется вам удачным, мы напишем продолжение.

Свои отзывы об учебнике просим направлять по адресу: 61002, Украина, г. Харьков, ул. Фрунзе, д.21, НТУ "Харьковский политехнический институт", редакционно-издатель ский отдел.

Авторы Глава 1. Матрицы § 1. Основные определения и примеры Определения. Числовой матрицей размера m n называется со вокупность m n чисел, расположенных в виде прямоугольной табли цы, содержащей m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются её элементами. Горизонтальные и вертикальные ряды эле ментов образуют, соответственно, строки и столбцы матрицы.

Для записи матрицы размера m n применяется одно из следую щих обозначений:

a11 a12 a1n a11 a12 a1n a a2 n 21 a22 a2n или a21 a.

a amn m 1 am 2 am1 am 2 amn Строки нумеруются в направлении сверху вниз, а столбцы – слева направо.

Для краткого обозначения матрицы употребляются большие латинские бу квы ( A, B,C …) либо символы a i j, где выражение a i j обозначает эле мент матрицы, расположенный в i -той строке и j -том столбце.

Т о ч к а о т с ч ё т а. В математике и её приложениях давно и часто используются числовые таблицы прямоугольной формы. Такую форму имеют известные вам триго нометрические таблицы Брадиса, логарифмические таблицы Непера. Приведём другой, менее известный пример.

В 1788 году младший лейтенант артиллерии Наполеоне Буонапарте сдаёт экзамены знаменитым французским математикам и механикам Лапласу и Монжу и с отличием оканчивает Парижскую военную школу. Выпускная работа содержала но вое решение задачи внешней баллистики и разработанные на его основе таблицы для расчёта дальности полёта ядра. 17 декабря 1793 года капитан Буонапарте использует эти таблицы для выбора позиций артиллерийских батарей и при минимальных потерях со стороны осаждающих войск берёт Тулон, охваченный мятежом роялистов. На сле дующий день он становится генералом Бонапартом, а через 10 лет – императором Франции Наполеоном.

Но являются ли таблицы Брадиса, Непера или Наполеона матрицами? Формаль но – да, но по существу – нет. Числовую таблицу следует считать матрицей, если при каждом обращении к ней она используется или преобразуется как единое целое;

поэто му в определении матрицы вместо термина «множество элементов» используется бо лее узкий термин - «совокупность элементов». Попробуйте вспомнить задачу, для решения которой понадобилась бы, скажем, вся таблица Брадиса для синуса. Правиль но, таких задач не бывает, таблица Брадиса всегда используется фрагментарно.

Понимание этих различий пришло в математику примерно через сто лет после наполеоновских войн и связано с работами двух знаменитых английских учёных Га мильтона и Кэли, которые и считаются основоположниками матричного исчисления.

Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столб цов (то есть m = n ), называется квадратной;

число n называется поряд ком квадратной матрицы. Квадратная матрица A первого порядка со стоит только из одного элемента a11.

Матрицы, не являющиеся квадратными, называются неквадратны ми.

Неквадратная матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется, соответственно, вектор-строкой или вектор столбцом. Матрицы-векторы в линейной алгебре обладают теми же свойствами, что и обычные векторы – в векторной алгебре.

Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые раз меры и элементы, расположенные на одинаковых местах, равны между со бой.

Элементы числовой матрицы могут быть представлены в ней в виде констант, функций или алгебраических выражений, имеющих конкретные числовые значения. В приложениях математики к естественным и техни ческим наукам матрицы, составленные из констант, как правило, являются матрицами коэффициентов некоторой системы уравнений.

П р и м е р 1. М а т р и ч н ы е ш и ф р ы. Системам линейных уравнений x 0.1 y + 0.7 z = 1. x + 2 y = 0 2 x + 3 y 0.5 z = 0. (1) и (2) x y =0 0.1 x + y 2 z = 0. взаимно однозначным образом соответствуют матрицы коэффициентов 1 0.1 0.7 1. 1 2 A= B = 2 0.5 0.5, и 1 1 0.1 1 2 0. составленные из числовых констант, причём в рассматриваемых примерах матрица A оказалась квадратной матрицей второго поряд ка, а B – неквадратной матрицей размера 3 4. Ясно, что в матрицах A и B содержится в зашифрованном виде вся информация, необхо димая и достаточная для решения систем (1) или (2).

Разумеется, системы (1) и (2) настолько просты, что их мож но решить без привлечения матриц. Найдите эти решения самостоя тельно, используя те методы, которые учили в школе (например, ме тод исключения неизвестных). Решение системы (1) очевидно ( x = 0;

y = 0 ), но чтобы найти решение системы (2) вам придётся ос новательно поработать. А теперь представьте, как вы будете решать Рисунок этим же методом систему, содержащую 100 уравнений и 100 неиз вестных. Трудности покажутся непреодолимыми, но именно такой, приблизительно, порядок имеют системы уравнений, которые приходится решать, на пример, при выводе космического аппарата на заданную орбиту или принятии опти мального решения в экономике. Так, перед запуском ракетоносителя «Титан», выводя щего на орбиту искусственного спутника Земли космический корабль многоразового использования «Шаттл» (рис.1), собирается и обрабатывается информация о силе и на правлении ветра для нескольких десятков точек, расположенных на разгонном участке полёта ракеты. Конечно, все вычисления в этих случаях проводит ЭВМ, но информа ция, необходимая для работы компьютерных программ, представляется только в мат ричном виде.

П р и м е р 2. К о м м у т а ц и о н н а я м а т р и ц а. Рассмотрим другой пример, в котором матрица, составленная из числовых кон стант, выступает в качестве удобного инструмента для записи и представления информации. На рис. изображён так называемый n - полюсник, то есть сложная электрическая или электромеханическая схема со многими вводами и выводами (клеммами).

Клеммы пронумерованы от 1 до n. Если взять лю... бую пару клемм с номерами i 1, n и j 1, n, то, анализируя схему, можно установить, имеется ли в n 1 n данный момент времени между ними непосредст венная электрическая связь или такой связи нет.

Рисунок 2 Для графического представления этой информации используется квадратная матрица n -го порядка, называемая коммутационной матрицей или неориентированным графом связности G. Матрица G составляется из нулей и единиц таким образом, что при наличии связи между i -той и j -той клеммами элементы gij и g ji получают значение 1, если же связи нет, то они равны 0. Так, используя это правило для пускового реле электродвигателя можно получить матрицу 1 0 0 1 0 0 компьюте рна я сеть 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 G =.

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1... n 1 n 0 0 1 0 0 1 Рисунок Пример 3. Графы ло M к а л ь н ы х с е т е й. Аналогичным образом определяется граф связности M M2 M для информационной (например, ком M пьютерной) сети (рис.3).

Y Пример 4. Матрица y в р а щ е н и я. На рис.4 пунктиром по казан маршрут вертолёта, совершаю щего разведывательный полёт над мо- O рем. В точке O расположен крейсер.

Положение вертолёта в данный мо- O X мент времени отмечено точкой O1.

x Вертолёт собирает и передаёт на крейсер информацию о большом количестве надводных и подводных Рисунок целей, обозначенных точками M i. При этом борто y вая аппаратура вертолёта сначала определяет коор M ( x, y ) Y динаты всех целей (в том числе и самого крейсера) X в системе координат O1 XY, движущейся вместе с вертолётом, а затем расчётным путём получает ко ординаты этих же точек в системе координат O xy, перемещающейся вместе с крейсером. Порядок пе y0 ресчёта координат при переходе от одной декарто O вой прямоугольной системы ( O1 XY ) к другой O x x ( O xy ) проиллюстрирован на рис.5.

Рисунок 5 В курсе аналитической геометрии будет по казано, что такой пересчёт удобнее всего произво дить при использовании квадратной матрицы второго или третьего порядка cos sin x cos sin или S = sin cos y0, элементы которых выражаются че U = sin cos 0 рез тригонометрические функции угла поворота.

Например, если преобразование системы координат сводится к одному только повороту осей, то старые и новые значения координат точки на плоскости связаны со отношениями x = cos X sin Y X = cos x + sin y или. (3) y = sin X + cos Y Y = sin x + cos y Матрица U, элементы которой служат коэффициентами пересчёта координат по формулам (3), называется матрицей вращения.

П р и м е р 5. М а т р и ц а п р о в о д и м о с т и. При составлении коммуника ционной матрицы n - полюсника (смотри п р и м е р 2 ) мы ограничились только качест венным анализом схемы, ответив на вопрос, есть электрическая связь между клеммами i и j, или такой связи нет. Гораздо больше информации о схеме содержит так назы ваемая матрица проводимости.

Обозначим величину силы тока на i - той клемме J i, а напряжение на этой же клемме – U i. Тогда, если все элементы схемы удовлетворяют основным законам элек тростатики – закону Ома и закону Кирхгофа, то зависимость токов от напряжений бу дет описываться равенствами следующего вида:

J1 = p11 U1 + p12 U 2 +... + p1n U n J = p U + p U +... + p U 2 2n n 21 1 22.

...

J n = pn1 U1 + pn 2 U 2 +... + pn n U n Числа pi j имеют физическую размерность [ 1/ Ом ] и могут быть получены рас чётным или экспериментальным путём. Эти числа и образуют матрицу проводимости P = pi j. Матрица P, так же как и коммуникационная матрица G, является квад ратной матрицей n -го порядка. Если i -тая и j -тая клеммы не связаны между собой, то gi j = 0 и pi j = 0, в остальных случаях gi j = 1, а pi j принимает некоторое вещест венное (то есть, как правило, нецелое и в половине случаев - отрицательное) значение, определяющее влияние напряжения U j на силу тока J i.

П р и м е р 6. П о л е з н а я м а т р и ц а. Приведём пример матрицы, элементы которой представлены в виде алгебраических выражений. В алгебре при доказательстве некоторых теорем используется квадратная матрица n -го порядка 1 1 1...

a1 a2 a3... an C = a12 an, 2 2 a a...

2......

.........

a n 1 an n 1 n 1 n a a...

1 свойства которой изучал известный голландский математик Вандермонд.

При подстановке в эту матрицу конкретных значений параметров (например, n = 4;

a1 = 3;

a2 = 2;

a3 = 5;

a4 = 4 ) получается числовая матрица, каждый столбец кото рой составлен из возрастающих степеней ai :

1 3 C=.

9 4 25 8 125 Если матрица имеет очень большие размеры и/или включает в себя группы элементов, которые можно объединить по некоторому общему для них признаку, то вместо числовой матрицы используется специальная ал гебраическая конструкция, которая называется блочной матрицей.

П р и м е р 7. В и р т у а л ь н ы е г р а ф ы. Попробуйте представить, какие ги гантские размеры имел бы граф связности, составленный для городской телефонной сети, насчитывающей сотни тысяч абонентов (или для глобальной сети INTERNET, на считывающей миллионы пользователей). Ясно, что при записи такой матрицы теле фонные номера обязательно должны быть объединены в группы по признакам принад лежности к одной АТС, к одному направлению на данной АТС и т.п., а электронные адреса пользователей – по признакам принадлежности к региональным сетям, местным сетям и т.д. Да и сам граф связности для сетей такого размера, даже если его удастся составить, практического значения иметь не будет. Для телефонной сети, например, важна загруженность линий между отдельными АТС;

на основании этой информации принимаются решения о строительстве новых или перераспределении имеющихся ли ний связи. При определении загруженности все элементы матрицы связности, отве чающие выделенной группе телефонных номеров, объединяются.

Определение. Матрица, у которой все элементы являются матрицами некоторых согласованных размеров, называется блочной, а элементы та кой матрицы называются блоками.

Согласование размеров означает, что все блоки, расположенные в одной строке блочной матрицы, имеют одинаковое число строк, а в одном столбце – одинаковое число столбцов. Число строк k и число столбцов l блочной матрицы размера m n образуют её формат (или б л о ч н ы й р а з м е р ) k l.

Параметры, определяющие формат и размер блочной матрицы A, связаны очевидными соотношениями:

l n.

k m;

Для сокращённой записи блочной матрицы используется обозначе ние A = Ai j, где выражение Ai j обозначает матрицу, расположенную в i той строке и j -том столбце блочной матрицы A.

Пример 8. Матрица всегда должна выглядеть красиво!

Матрицу S из рассмотренного выше п р и м е р а 4 при решении некоторых задач удобно представлять в виде следующей блочной матрицы cos sin x U F ;

F = y ;

= ( 0 0 ) ;

I = (1).

S = U =, где sin cos I Блоки, как показывает этот пример, могут быть составлены из элементов любого типа – числовых констант, функций или алгебраических выражений.

Определение. Объединение элементов матрицы в блоки называется группировкой, обратная операция – развёртыванием.

Целью группировки является уменьшение в и д и м ы х р а з м е р о в матрицы и, как следствие, упрощение алгебраических действий, выпол няемых с ней. Для равенства двух блочных матриц A и B достаточно выполнения равенства Ai j = Bi j для всех соответствующих блоков. Од нако одна и та же матрица может быть сгруппирована многими способами, поэтому равные матрицы могут иметь блочные матрицы разных форматов.

A0 = (1 1 1). У блочных матриц A = (C D) Рассмотрим матрицу и B = ( D C ), где C = (1 1), D = (1), форматы одинаковы, а соответствующие элементы различны, более того, матрицы A = ( C D ) и F = ( D D D ) имеют даже разный формат, но все они, как блочные матрицы, являются результатом различной группи ровки элементов одной и той же матрицы A 0.

Следовательно, для сравнения блочных матриц, имеющих несов падающие форматы или разные размеры соответствующих блоков, их нужно предварительно развернуть.

П р и м е р 9. М а т р и ч н ы е с к о б к и. Процедуры группировки и развёрты вания матриц во многом напоминают операции расстановки и раскрытия скобок в эле ментарной алгебре. Проиллюстрируем это на следующем примере:

2 1 2 1 2 4 3 4 A A 4 3 1 2 5 3 4 3 = =, где A = ;

B = 7 8.

6 1 6 A B 1 2 5 3 2 5 3 8 3 4 7 4 П р и м е р 1 0. П е р е д а т о ч н а я м а т р и ц а. Для иллюстрации методов группировки матрицы обратимся к ещё одному примеру из электротехники. На рис. схематически изображён так называемый 2 n - полюсник, имеющий n входных и n выходных клемм, связанных между собой посредством некоторой сложной и разветв лённой электрической цепи. Если на входные клеммы подать постоянные напряжения, а к выходным клеммам подключить нагрузку, то через время во всех элементах цепи токи и напряжения установятся на некоторых постоянных уровнях. При этом в соот ветствие с законами электростатики токи J iвых и напряжения U iвых в выходных клеммах будут связаны с токами J iвх и напряжениями U iвх во входных клеммах зависимостями следующего вида:

J1вых = f11 J1вх +... + f1n J n + g11 U1вх +... + g1n U n вх вх n 1 n 1...............................................................................

вход J вых = f J вх +... + f J вх + g U вх +... + g U вх n n1 1 nn n n1 1 nn n,(4) вых U1 = h11 J1 +... + h1n J n + d11 U1 +... + d1n U n вх вх вх вх..............................................................................

вых U n = hn1 J1 +... + hnn J n + d n1 U1 +... + d nn U n вх вх вх вх выход...

где fij, gij, hij, dij – некоторые постоянные коэффициен n 1 n 1 2 ты, которые могут быть определены для данного 2 n Рисунок 6 полюсника расчётным или экспериментальным путём.

Коэффициенты этих уравнений образуют квад ратную матрицу S порядка 2 n, называемую передаточной матрицей 2 n - полюс ника. Эта матрица обычно записывается и используется при инженерных расчётах электрических цепей в виде блочной матрицы, состоящей из четырёх квадратных бло ков n - го порядка:

f11... f1n g11... g1n 1 вход..................

f n1... f nn g n1... g nn F G S = =, h11... h1n d11... d1n H D R1 R..................

h... h d n1... d nn n1 nn R R где F = fi j ;

G = gi j ;

H = hi j ;

D = di j.

П р и м е р 1 1 * (для будущих инженеров – электри- выход ков). М а т р и ц а и з т е н з о р е з и с т о р о в. Используя известные вам законы Ома и Кирхгофа, попытайтесь само- Рисунок стоятельно найти блоки передаточной матрицы для четырёхполюсника, показанного на рис.7 (тензометрический мост).

Указание. Рассмотрите отдельно следующие случаи:

1) все сопротивления одинаковые (то есть, Ri = R, i 1, 4 );

2) сопротивления пропорциональные ( R1 : R2 = R3 : R4 );

3) сопротивления непропорциональные ( R1 : R2 R3 : R4 ).

При помощи такой схемы, например, производится измерение механических напряжений, возникающих в деталях механизмов и машин при их работе. Для этого в цепи в качестве сопротивлений Ri используются тензорезисторы. Тензорезисторы на клеиваются на поверхность детали и деформируются вместе с ней;

при этом величина их электрического сопротивления изменяется пропорционально деформации. В резуль тате происходит изменение передаточной матрицы S, которое фиксируется при помо щи осциллографа.

Определение. Пусть у матрицы F размера m n все элементы являются число выми функциями некоторого независимого аргумента t. Тогда матрица F называется матрицей – функцией и обозначается F (t ) или fi j (t ).

При проведении измерений быстротекущих процессов передаточная матрица S тензометрического моста оказывается блочной матрицей – функцией S (t ) времени t.

Кроме числовых матриц в математике и её приложениях использу ются матрицы, элементами которых являются векторы, а также логиче ские и строчные переменные (литералы);

с такими матрицами вы встре титесь при изучении векторной алгебры или в курсе информатики. В курсе линейной алгебры изучаются свойства числовых матриц, поэтому далее в этой книге под термином матрица будем подразумевать только число вые матрицы.

П р и м е р 1 2. М а т р и ц ы и т е н з о р ы. Среди матриц особое место зани мают квадратные матрицы, а также матрицы – векторы, поскольку именно они чаще других встречаются в приложениях математики к естественным и техническим наукам.

Выше уже говорилось о том, что обычные числа (вещественные или комплексные) можно считать частным случаем квадратных матриц (первого порядка). В свою оче редь, квадратные матрицы являются частным случаем n - мерных таблиц (или число вых массивов), называемых a11 a12...... a111 a121...... тензорами. Число измерений a21...... a211... тензора называется его ва...... лентностью, а длина гори зонтального ряда – порядком.

a1 a2...... На рис. 8 схематически изо бражены тензоры первой, вто Рисунок рой и третьей валентности, имеющие четвёртый порядок;

тензоры первой и второй валентности являются матри цами. Тензоры третьей валентности используются в прикладных задачах механики твёрдого тела, четвёртой валентности – в теории относительности и связанных с ней разделах теоретической физики.

§ 2. Частные виды матриц Определение. Матрица, у которой все элементы равны нулю, назы вается нулевой. Такие матрицы обозначаются символом.

Пусть задана квадратная матрица:

a a12 a1n 11 a2n a 21 a22 A=.

ann a n 1 an Элементы a11, a22, a 33, …, ann образуют главную диагональ, а элементы a1n, a2n 1, …, an 1 образуют побочную диагональ матрицы A.

Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, распо ложенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица порядка n имеет вид:

d11 0 0 d D = 22.

dnn 0 Диагональная матрица представляет собой пример так называемой разреженной матрицы.

Определение. Матрица называется разреженной, если в ней нуле вые элементы преобладают над ненулевыми элементами.

При записи разреженных матриц используются специальные приёмы сжатия и кодирования информации, содержащейся в них. Так, для сокра щённой записи диагональной матрицы используется обозначение D = diag (d11, d 22,..., d nn ).

Определение. Диагональная матрица, у которой все элементы глав ной диагонали равны 1, называется единичной.

За единичными матрицами в математике закреплены постоянные обозначения – I или E, то есть 1 0 0 I = или E = diag (1, 1,...,1).

0 Почему у е д и н и ч н о й матрицы элементы, расположенные вне главной диагонали, приняты равными н у л ю (а не е д и н и ц е ) станет по нятно после определения правила умножения матриц.

Кроме диагональных матриц в математике и её приложениях широко применяются так называемые k - диагональные и, особенно часто, трёх диагональные матрицы.

Определение. Квадратная матрица A n - го порядка называется k - диагональной (где k – некоторое положительное н е ч ё т н о е чис ло), если при условии i j (k 1) / 2.

aij = П р и м е р 1 3. « Ж е л е з н о д о р о ж н ы е » к о л е б а н и я. На рис.9 схемати чески изображена простейшая динамическая модель цепной механической системы, состоящей из n масс mi, связанных между собой пружинами с коэффициентами жёст кости ci. При помощи та кой модели изучаются, на пример, свободные про дольные колебания, возни xn 1 x3 x2 x xn кающие в железнодорож ном составе при изменении скорости локомотива.


Составим матема тическую модель цепной механической системы.

m mn mn m3 m Силы Fi, возникающие в пружинах, будем предпо Рисунок лагать пропорциональны ми деформации пружины, то есть Fi = ci ( xi +1 xi ).

Ускорения ai масс системы будем обозначать так, как это принято в механике, то есть ai = xi, где знак « » означает дифференцирование по времени. Тогда, в соот ветствии со вторым законом Ньютона, уравнения движения масс системы примут вид m1 x1 = c1 ( x1 x2 ) m2 x2 = c1 ( x1 x2 ) c2 ( x2 x3 ). (5).......................................

m x = c ( x x ) c ( x x ) n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n mn xn = cn 1 ( xn 1 xn ) Коэффициенты, стоящие при неизвестных величинах xi в правых частях этих равенств, образуют матрицу жёсткости c1 c1 0... 0 c1 c1 c2 c2... 0 0 0 c2 c c2... 0 C =.

............................................

0 cn... cn 2 cn 0 0 cn 0 0... cn Матрица C является трёхдиагональной квадратной матрицей n -го порядка. При моделировании колебаний железнодорожного состава коэффициенты жёсткости у всех сцепок предполагаются одинаковыми (то есть, сi = c ), и матрица C приобретает более простой вид:

c c 0... c 2 c c... 0 0 2 c...

c C =.

..................

0... 2 c c 0 c 0 0 0... c Трёхдиагональную структуру имеет и граф связности цепной системы (соста вить самостоятельно!). При n 5 трёхдиагональные матрицы считаются разреженны ми.

Определение. Матрица, у которой равны нулю все элементы, распо ложенные под главной диагональю или над главной диагональю, называ ется соответственно, верхнетреугольной или нижнетреугольной.

Треугольные матрицы имеют вид a11 a12 a1n b11 0 0 a a2n b 21 b или B =.

A= ann 0 bnn bn 1 bn В прикладных задачах треугольные матрицы коэффициентов имеют только те системы, которые описывают устройства простейшего типа.

П р и м е р 1 4. Ш н у р - у д л и н и т е л ь. Составим передаточную матрицу для простейшего четырёхполюсника, электрическая схема которого показана на рис.10.

В соответствии с законами Ома и Кирхгофа выходные значения токов и напряжений определяются равенствами 1 вход J1вых = J1вх J2 = J вых вх, вых U1 = U1 R1 J вх вх U 2 = U 2 R2 J вых вх вх R R коэффициенты которых образуют передаточную матрицу 1 0 0 I 0 1, где D = diag ( R1, R2 ).

S= = 0 D I выход 1 R1 0 1 0 R2 Рисунок Матрица S является нижнетреугольной.

Определение. Блочная матрица, состоящая из одной строки или од ного столбца, называется, соответственно, блочной вектор-строкой или блочным вектор-столбцом.

Пусть задана квадратная блочная матрица:

A A1n A12 11 A2n A 21 A22 A=, или в сокращённой записи A.

ij A n 1 An 2 Ann Матрицы A11, A22, A33, …, Ann образуют главную диагональ блочной матрицы A.

Определение. Квадратная блочная матрица, у которой блоки, распо ложенные на главной диагонали, являются квадратными матрицами, а вне главной диагонали – нулевыми матрицами, называется блочно - диаго нальной (или клеточной).

Блочно – диагональная матрица D имеет следующий вид:

D11...

D22...

D=.

.........

...

... Dnn Для сокращённой записи блочно - диагональной матрицы D исполь зуется следующее обозначение:

D = diag ( D11, D22,..., Dnn ).

Так, единичная матрица E порядка 2 n может быть записана как блочно – диагональная матрица E = diag ( I, I ), где I – единичная матрица n - го порядка.

Если система имеет блочно - диагональную матрицу коэффициен тов, то это, как правило, означает, что она распадается на отдельные под системы, никак не связанные между собой.

П р и м е р 1 5. Р а с п а д м е с т н о й с е т и. На рис.11 схематически изображе на местная компьютерная сеть частного банка. Сеть хранит и передаёт конфиденциаль ную информацию, поэтому она изолирована от глобальных сетей типа INTERNET, и включает в себя несколько локальных сетей подразделений и филиалов банка. Каждая локальная сеть имеет свой коммутационный узел (называемый сервером), который свя зан с серверами других локальных сетей через центральный сервер, расположенный в главном офисе банка. При отключении центрального сервера или технических непо ладках на спутнике связи все информационные обмены замыкаются внутри локальных сетей, и граф связности G местной сети приобретает вид блочно – диагональной мат рицы G1...

G2... = diag ( G, G,..., G ), G=............ 1 2 n... G n где Gi – графы связности локальных сетей.

Satellite dish центральный локальный Satellite dish локальный Satellite dish сервер сервер сервер Terminal server Terminal server локальный Satellite dish локальный Satellite dish сервер сервер Terminal server Terminal server Рисунок Определение. Блочная матрица A с квадратными блоками Ai j назы вается блочной k - диагональной (где k – некоторое положительное н е ч ё т н о е число) или ленточной, если при условии i j (k 1) / 2.

Ai j = П р и м е р 1 6. Ц е п н а я п е р е д а ч а. В простейшей цепной механической сис теме, рассматриваемой ранее в п р и м е р е 1 3, положение каждого элемента определя лось только одной координатой – перемещением xi локомотива или вагона вдоль рель сового пути. Железнодорожная сцепка устроена так, что остальные формы колебаний (в вертикальном и поперечном направлении, а также угловые) от вагона к вагону не пе редаются. На рис. 12 изображён участок так называемой цепной передачи;

такая пере дача используется, например, в велосипедах и мотоциклах. Если колесо 1 является ве дущим, а колесо 2 – ведо z 2 мым, то этот участок ока зывается ненагруженным O x внешними силами, и в y нём могут развиваться интенсивные свободные колебания (которые, Рисунок 12 кстати, и являются глав ной причиной того, что велосипедная цепь «слетает» с шестерни). Положение i - того звена цепи определяется 6-ю координатами: тремя перемещениями центра звена относительно осей O x, Oy, Oz, двумя углами поворота оси звена в горизонтальной и вертикальной плоскости, а также углом разворота звена вокруг его оси (смотри рис. 12).

Пусть рассматриваемый горизонтальный участок цепи состоит из n звеньев.

Перенумеруем координаты всех звеньев в следующем порядке: номера от 1 до 6 полу чат координаты первого звена, номера от 7 до 12 – такие же координаты второго звена, и так далее. В результате каждая координата получит свой номер i 1, (6 n) ;

обозначим её xi. Этой координате соответствует некоторый инерционный коэффициент – масса или момент инерции;

обозначим его mi.

Предположим, что все силы и моменты сил, возникающие в соединениях цепи, пропорциональны изменениям координат. Тогда изменение i - той координаты будет удовлетворять уравнению 6 n mi xi = ci j x j, j = где сi j – некоторые постоянные числа.

Составим из этих чисел квадратную матрицу C = ci j размера (6 n) (6 n) (так называемую матри цу коэффициентов жёсткости) и изучим её структуру.

Представим эту матрицу в форме блочной матрицы C = Ci j с квадратными блоками C i j шестого порядка.

0 Каждое звено цепи непосредственно связано только с дву мя соседними звеньями – предыдущим и последующим;

поэтому матрица C оказывается блочной трёхдиагональ Рисунок ной матрицей. Если прогибом цепи допустимо пренебречь (то есть, пользуясь терминологией велосипедистов, она хорошо натянута), то колеба ния по каждой из шести координат происходят независимо от других координат, и это означает, что все ненулевые блоки матрицы являются диагональными. Кроме того, по скольку соединения звеньев также выполнены одинаково, то блоки Ci i +1 и Ci +1 i, рас положенные симметрично относительно главной диагонали, одинаковы как между со бой, так и для всех номеров i. Структура матрицы С для цепной передачи показана на рис. 13.

Пример 17. Цилиндрическая пружина.

z В пружине, фрагмент которой показан на рис. 14, положе ние поперечного сечения проволоки так же, как и в цепной передаче, определяется 6-тью координатами, но здесь ось y проволоки изогнута, поэтому колебания координат оказы вают влияние друг на друга. Если представить пружину в x виде объединения большого числа тонких колец, связан ных между собой посредством упругого невесомого со единения (в механике такие соединения называются иде альными, смотри рис. 14), то мы получим ещё один при мер цепной механической системы. Матрица C коэффи циентов жёсткости этой системы также оказывается блочной трёхдиагональной матрицей, но здесь её ненуле Рисунок вые блоки не являются диагональными матрицами. Кроме того, блоки Ci i +1 и Ci +1 i, расположенные выше и ниже главной диагонали, в этой системе не равны между собой, но связаны условиями сим метрии, о которых будет сказано позже.

Определение. Квадратная блочная матрица, у которой блоки, распо ложенные на главной диагонали, являются квадратными матрицами, а под главной диагональю или над главной диагональю – нулевыми матрицами, называется соответственно, блочной верхнетреугольной или блочной нижнетреугольной.

Блочные треугольные матрицы имеют вид B11 A11 A12 A1n ставка Верховного A2n главнокомандующего A B B или B =.

A= штаб фронта Bn 1 Bn Bnn Ann штаб армии П р и м е р 1 8. А р м е й с к и й п о р я д о к. На рис. 15 изо бражена схема управления сухопутными войсками во время веде ния войны, принятая в настоящее время в большинстве крупных штаб корпуса государств. Каждый уровень управления включает в себя опреде лённое число командиров и начальников, подчинённость которых друг другу и должностным лицам вышестоящих уровней строго штаб дивизии регламентируется уставами. Например, командир полка подчиняет ся командиру своей дивизии и некоторым его заместителям (но не всем), командиру корпуса и большинству его заместителей, коман штаб полка диру армии и всем его заместителям и т.д. Если говорить языком математики, армейские начальники образуют частично упорядо ченное множество. Разобраться во всей этой системе отношений штаб батальйона помогает матрица субординации, которая строится следующим образом. Сначала составляется вектор – строка, в которой за каж дым уровнем управления закрепляется столько элементов, сколько командир роты должностных лиц он содержит, причём размещение этих элемен и его заместители тов производится слева направо в порядке субординации уровней.


В результате каждый командир или начальник в этой строке полу командир взвода чает свой номер. Далее составляется квадратная матрица, элементы и его заместитель aij которой получают только одно из двух значений: 1 – если ко мандир, имеющий i -тый номер подчиняется командиру, имеюще командир отделения му j -тый номер, или 0 – если не подчиняется. Поскольку команди ров и начальников в армии много, то получающаяся при этом мат рица субординации имеет очень большие размеры, и её удобно рядовой представлять в виде блочной матрицы G i j, где блок G i j являет ся матрицей субординации между i -тым и j -тым уровнями управ Рисунок ления. Командиры нижестоящих уровней управления не имеют право отдавать приказания должностным лицам вышестоящих уровней, поэтому все блоки G i j при i j являются нулевыми, и матрица субордина ции оказывается блочной нижнетреугольной матрицей.

В современной армии строго регламентируется не только порядок отдачи прика заний, но и порядок информирования об их выполнении. Вспомните известную сцену из кинофильма режиссёра Юрия Озерова “Последний штурм”, где показано, как “шёл” к Сталину доклад о взятии Рейхстага. Доклады и рапорты подаются по команде от ни жестоящих уровней управления к вышестоящим, и эти информационные обмены опи сываются так называемой матрицей донесений, которая, как несложно это понять, оказывается блочной верхнетреугольной. Матрицы субординации и донесений пред ставляют собой примеры ориентированных графов.

П р и м е р 1 9. «Г л а в н а я м а т р и ц а » у н и в е р с и т е т а. Попробуйте са мостоятельно составить матрицу субординации для университета, в котором вы учи тесь. За недостающей информацией можно обратиться к куратору группы.

§ 3. Основные действия над матрицами Умножение матрицы на число.

Определение. Результатом умножения матрицы A на число называется матрица C того же размера, что и матрица A, с элементами cij = aij.

Результат умножения обозначается следующим образом: C = A.

Из определения следует простое п р а в и л о у м н о ж е н и я м а т рицы на число.

Чтобы умножить матрицу A на число, нужно умно ж и т ь н а в с е э л е м е н т ы м а т р и ц ы A, то есть a11 a12 a1n a2n a a C = A = 21.

def am 1 am 2 amn Знак « def » означает, что данное равенство является определением.

Следствие. Если матрица A является блочной матрицей Ai j, то для её умножения на число достаточно каждый блок Ai j умножить на :

Ai j = Ai j.

Определение. Матрица (A) = ( 1 ) A называется противополож def ной матрице A.

Сложение и вычитание матриц.

Определение. Суммой двух матриц A и B одинакового размера на зывается матрица C того же размера, элементы которой равны сумме со ответствующих элементов матриц A и B, то есть cij = aij + bij.

Сумма двух матриц обозначается следующим образом: C = A + B.

Из определения следует простое п р а в и л о с л о ж е н и я д в у х матриц.

Чтобы сложить две матрицы нужно убедиться, что они имеют одинаковые размеры, после чего к каждому элементу одной матрицы прибавляется значение соответствующего элемента второй матрицы.

Пусть b11 b12 b1n a11 a12 a1n a2n b2n a b 21 a22 b ;

B = A=, amn a bmn m 1 am 2 bm 1 bm тогда a + b11 a12 + b12 a1n + b1n 11 a2n + b2n a +b a22 + b 21 21.

C = A+B = def am 1 + bm 1 am 2 + bm 2 amn + bmn Следствие. Если матрицыA и B являются блочными и их соответст вующие блоки Ai j и B i j имеют одинаковые размеры, то для сложения этих матриц достаточно к блокам одной матрицы прибавить соответствующие блоки другой матрицы:

Ai j + B i j = Ai j + B i j.

Примечание. Если матрицы имеют разные размеры, то операция их сложения выполнена быть не может и объявляется некорректной. Воз никновение такой ситуации в прикладных задачах означает наличие гру бых ошибок в их математической постановке, аналогичных попыткам суммирования величин, имеющих разную физическую размерность.

3 2 0 4 0, B = Пусть A = Пример 20. 2 7 1.

1 2 Вычислить 4 A + 3 B.

Решение. Матрицы A и B имеют одинаковые размеры, поэтому операция их суммирования корректна.

12 8 0 12 0, 4A = 3B = Вычислим: 6 21 3, 8 4 24 8 4A+ 3B = Ответ. 2 29 9.

Определение. Умножение матрицы на число и сложение матриц на зываются линейными операциями над матрицами.

Приведём свойства линейных операций. Непосредственно из их оп ределения вытекают следующие соотношения:

1.A + B = B + A ;

5. ( ) A = ( A ) ;

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ;

6. ( + ) A = A + A ;

3. A + ( A ) = ;

7. ( A + B ) = A + B ;

4. A + = A ;

8. 1 A = A, где A, B, C – матрицы одинакового размера;

,, – числа.

Определение. Разностью двух матриц A и B одинакового размера (или результатом вычитания матрицы B из матрицы A) называется матрица C того же размера, которая обозначается A B и определяется по следующему правилу:

C = A B = A + ( 1 ) B.

def П р и м е р 2 1 *. М а т р и ч н ы е о к р е с т н о с т и. Имея операции сложения и вычитания матриц, а также умножения матрицы на число, можно дать разумные и, главное, полезные для практики определения предела и непрерывности матрицы – функции. При этом ключевое место занимает понятие окрестности. Именно попада ние изменяющейся величины X (t ) в некоторую малую окрестность постоянной вели чины X 0 означает, что эти величины уже близки, а в пределе первая величина может совпасть со второй. Вы уже знаете, что такое окрестность обычного вещественного числа. Покажем, каким образом вводится понятие окрестности матрицы.

Определение. - окрестностью матрицы A = ai j размера m n называется множество M, состоящее из матриц B = bi j того же размера, элементы которых удовлетворяют условию m n (a bi j ) 2 2.

ij i =1 j = Матрица A называется центром окрестности, а число - радиусом окрест ности. Проколотой - окрестностью матрицы A 1 называется множество M, из которого удалён центр.

a Все матрицы B из проколотой - окрестности мат O b11 рицы A при достаточно малых значениях называ 2 ются близкими к матрице A.

На рис. 16 дано графическое представление 1 b12 матричной окрестности для вектор - строки A, со стоящей из одного, двух или трёх элементов. Элемен a12 ты bi j матрицы B, принадлежащей этому множеству, лежат внутри отрезка, окружности или сферы радиу сом. К сожалению, дать геометрическое изображе O a11 b11 ние окрестности квадратной матрицы, даже второго порядка, не возможно. Но если воспользоваться тер 1 3 минологией многомерных линейных пространств, ко b торые мы будем изучать в этом курсе позже, то можно a13 утверждать, что матричная - окрестность матрицы A размера m n представляет собой шар радиуса с числом измерений m n.

O a12 Каждая матрица B из множества M входит в это множество вместе с некоторой своей - окрест b a ностью M, где. Поэтому матричная окрест b11 ность (проколотая или не проколотая) является от крытым множеством.

Математики говорят, что после построения в Рисунок некотором множестве системы окрестностей это мно жество становится топологическим, сама эта система окрестностей называется при этом топологией. Поэтому после введения понятия матричной окрестности множество матриц одного размера стало топологическим. Если матрица B попадает в - окрест ность матрицы A, то это эквивалентно тому, что матрица B A попадает в - окрест ность нулевой матрицы. Это означает, что любую матричную окрестность можно трактовать как результат переноса окрестности нулевой матрицы в новый центр.

Топологии, обладающие таким свойством, называются однородными.

Переходим к определению понятия предела.

Пусть в некоторой окрестности точки a определена матрица-функция F (t ) раз мера m n. Найдём разность между матрицами F (a + t ) и F (a), которую обозначим F ;

ясно, что эта матрица будет определять изменение матрицы-функции F (t ) в дан ной точке.

Определение. Матрица-функция F (t ) = F (t ) F (a) называется приращением матрицы-функции F (t ) в точке t = a.

В качестве примера найдём приращение матрицы вращения cos sin в точке = 0. Изменение независимого аргумента в этом U ( ) = sin cos случае будем обозначать :

cos sin 1 0 cos 1 sin U ( ) = U ( ) U (0) = =.

sin cos 0 1 sin cos Первое определение предела. Матрица A называется пределом матрицы функции F (t ) при t a и обозначается lim F (t ), если t a lim f i j (t ) = ai j i 1, m ;

j 1, n.

для всех t a В краткой записи это определение выглядит так:

lim fi j (t ) = lim fi j (t ), t a t a то есть предел матрицы равен матрице пределов.

Например, пределом матрицы вращения U ( ) при 0 является единичная 1, а пределом её приращения U ( ) при 0 – нулевая матри матрица I = 0 ца.

Вам предоставляется возможность внимательно проанализировать определение предела и убедиться в том, что оно эквивалентно другому, так называемому топологи ческому определению предела матрицы-функции.

t b Второе определение предела. Матрица A на M зывается пределом матрицы-функции F (t ) при a t a, если для любой проколотой - окрестности матрицы A существует такая проколотая - окрест ность точки a, что при всех значениях t из этой окрестности матрица F (t ) попадает в - окрестность.

b O a Нельзя не согласиться с тем, что топологиче ское определение предела выглядит очень красиво.

Рисунок Кроме того, оно не только разумно, но и понятно. По смотрите на рис. 17, где показано изменение элементов некоторой матрицы – функции F (t ) размера 1 2. Для любой, сколь угодно малой окружности с центом в точке M (a11, a12 ) найдётся такой промежуток (a, a + ), что при всех t из этого проме жутка (кроме, возможно, значения t = a, где матрица-функция может быть вообще не задана) кривая находится внутри этой окружности. Однако, на практике всё же удобнее пользоваться первым, так называемым поэлементным определением предела матри цы-функции.

Определение. Матрица-функция F (t ) называется непрерывной при t = a, если все её элементы fi j (t ) непрерывны при t = a, то есть lim f i j (t ) = f i j (a).

t a Н е п р е р ы в н о с т ь м а т р и ц ы - ф у н к ц и и F (t ) п р и t = a э к в и в а л е н т н а в ы п о л н е н и ю у с л о в и я lim F (t ) =.

t a Например, матрица вращения U ( ) непрерывна при любом значении. Мат рица S пересчёта координат целей (п р и м е р 4 про разведывательный вертолёт) и пе редаточная матрица S тензометрического моста (п р и м е р 1 1 ) являются непрерыв ными функциями времени t.

Коммутационные матрицы G электрической цепи или информационной сети не являются непрерывными, поскольку в отдельные моменты времени элементы этих мат риц изменяются скачком. Это примеры кусочно–постоянных разрывных матриц функций.

Умножение матриц.

Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причём число столбцов первой из них равно числу строк второй:

b b b1k a11 a12 a1n 11 a2n b2k a b 21 a22 b ;

B = 21 22.

A= amn a m 1 am 2 bn 1 bn bnk Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица c11 c12 c1k c2k c 21 c22 C =, cmk c m1 cm n aipbpj ( i = 1, 2, …, m;

j = 1, 2, …, k ).

где cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + + ainbnj = def p = Матрица C имеет размер m k. Для обозначения результата произ ведения матрицы A на матрицу B используют запись C = A B.

Примечание. При записи этих сумм многие физики, следуя примеру А. Эйнштейна, сам знак суммирования не пишут, договорившись под произведением a i p b p j понимать результат суммирования всех таких произведений, получающихся при изменении повторяющегося индекса (в данном случае индекса p ).

В обозначениях Эйнштейна результат перемножения матриц выгля дит так:

... b1k a1 p bp1 a1 p bp 2... a1 p bpk a11 a12... a1n b11 b... b2 k a2 p bp1 a2 p bp 2... a2 p bpk a21 a22... a2 n b21 b, =............

........................

a... amn bn1 bn 2... bnk amp bp1 amp bp 2... amp bpk m1 am 2 или в сокращённой записи:

ai j bi j = a i p b p j.

Из определения результата умножения матрицы на матрицу следует п р а в и л о п е р е м н о ж е н и я д в у х м а т р и ц. Сформулируем его.

Для умножения матрицы A размера m n на матрицу B размера l k необходимо выполнить следующее.

1. Разместить эти матрицы на одном листе бумаги рядом одну от другой в заданном порядке.

2. Убедиться в том, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, то есть n = l и операция корректна.

3. Выбрать некоторую ( i -тую) строку первой матрицы и некоторый ( j -тый) столбец второй матрицы;

если операция перемножения корректна, то они содержат одинаковое число элементов.

4. Двигаясь с одинаковой скоростью по выбранной строке слева на право и, одновременно, по выбранному столбцу сверху вниз, считывать и перемножать соответствующие элементы строки и столбца.

5. Все полученные произведения сложить и результат – элемент cij – поместить в i -тую строку и j -тый столбец матрицы C.

6. Пункты 3, 4, 5 повторить для каждого i 1, m и каждого j 1, k.

Примечание. Если для перемножаемых матриц условие n = l не со блюдается, то операция не может быть выполнена и является некоррект ной. В прикладных задачах это означает, что при математической поста новке или в ходе решения были допущены грубые ошибки.

П р и м е р 2 2. Вычислить C = A B, 3 2 1 3 4 0 5, 4 1.

A= B = где 7 2 1 5 Решение.

3 3 2 4 + 1 5 3 2 2 1 + 1 6 6 2 C = A B = 4 3 + 0 4 + 5 5 2 4 + 0 1 + 5 6 = 37 22.

18 7 3 2 4 + 1 5 7 2 2 1 + 1 6 6 C = 37 22.

Ответ:

18 Замечание. Сформулированное выше правило перемножения матриц не является тривиальным обобщением правила перемножения обычных чисел, к тому же выглядит очень сложным и поэтому требует обоснования.

Казалось бы, куда более логичным и, главное, простым делом было бы пе ремножать одинаковые элементы матриц, по аналогии с правилом их сло жения. Получаемая при этом матричная арифметика была бы действи тельно очень простой, но для решения большинства практических задач совершенно б е с п о л е з н о й !

Проиллюстрируем это утверждение примерами.

П р и м е р 2 3. М а т р и ч н о е у р а в н е н и е с и с т е м ы. Вернёмся к решени ям систем линейных уравнений, рассматриваемых в п р и м е р е 1, и покажем, каким образом эти системы можно записать в виде одного уравнения, содержащего матрич ные коэффициенты.

x + 2 y = Рассмотрим систему (1), x y = 1 A= из коэффициентов которой можно образовать квадратную матрицу, 1 x Y = ( x y).

а из неизвестных – вектор - столбец X = или вектор - строку y В левых частях уравнений (1) содержатся произведения элементов матриц A и X или Y, поэтому для достижения поставленной цели попробуем перемножить эти матрицы во всех допустимых сочетаниях:

1 2 x x + 2 y X A – операция не корректна;

A X = = ;

1 1 y x y 1 Y A = (x y) = ( x + y 2 x y).

A Y – операция не корректна;

1 Анализируя получившиеся результаты, несложно заметить, что уравнение = A X =, где (6) эквивалентно системе однородных линейных уравнений (1).

Равенство, содержащее неизвестную матрицу, называется матричным уравне нием.

Запишем матричное уравнение, эквивалентное системе неоднородных линейных уравнений (2) x 0.1 y + 0.7 z = 1. 2 x + 3 y 0.5 z = 0.5.

0.1 x + y 2 z = 0. В этом случае мы можем воспользоваться опытом решения предыдущей задачи и действовать наверняка.

Составим матрицу A из коэффициентов при неизвестных величинах, вектор столбец X из этих неизвестных и перемножим их:

1 0.1 0.7 1 0.1 0.7 x x 0.1 y + 0.7 z x A = 2 3 0.5 ;

X = y A X = 2 3 0.5 y = 2 x + 3 y 0.5 z.

z 0.1 x + y 2 z 0.1 1 z 0.1 2 2 Сравнивая этот результат с уравнениями системы (2) замечаем, что система мо жет быть переписана в следующем эквивалентном виде:

A X = F, (7) 1. F = 0.5 – так называемый столбец правых частей.

где 0. Матричные уравнения вида (6) или (7) могут быть составлены для систем, со держащих любое число уравнений и неизвестных. Единообразие записи всех этих сис тем позволяет, как вы увидите это в дальнейшем, предложить универсальные методы их решения.

П р и м е р 2 4. М а т р и ц а д л я т о р п е д о н о с ц а. Продолжим анализ, нача тый в примере 4, и покажем, как изменяются матрицы пересчёта координат точки плоскости при последовательных преобразованиях системы координат. На театре бое вых действий кроме вертолёта и крейсера (рис.4) появился ещё и самолёт - торпедоно сец (рис.18). Ему и предназначена та информация о целях, которую собирает вертолёт и передаёт на крейсер. Даль M ше все координаты должны быть снова M M2 M 3 пересчитаны применительно к системе координат, движущейся вместе с само M лётом. Если целей много, то для уско O x Y y рения этого процесса и уменьшения возникающих погрешностей вместо Y двух пересчётов можно делать только один, но для этого предварительно O нужно вычислить матрицу из коэффи циентов, используемых при этом пере X O счёте ( м а т р и ц у д л я т о р п е д о X н о с ц а ). Чтобы не утомлять вас тех ническими подробностями, далее мы ограничимся только тем случаем, когда Рисунок 18 вертолёт, крейсер и торпедоносец на ходятся над одной точкой поверхности моря, но движутся разными курсами. С точки зрения математики это означает, что из менение системы координат связано только с поворотом осей координат вокруг точки O.

Пусть выполнены два поворота осей на углы и, соответственно (рис.19).

Каждому повороту соответствуют свои формулы пересчёта координат:

a cos sin x = a11 X + a12 Y a где A = 11 12 =, (8) a21 a22 sin cos y = a21 X + a22 Y X = b11 X + b12 Y b cos sin b где B = 11 12 =, (9).

b21 b22 sin cos Y = b21 X + b22 Y Используя те же методы, которые применялись в п р и м е р е 2 3, эти формулы можно записать в виде матричных уравнений X x X X = A = B.

и (10) (11) Y y Y Y Подставим формулы (9) в равенства (8):

x = a11 (b11 X + b12 Y ) + a12 (b21 X + b22 Y ) = (a11 b11 + a12 b21 ) X + (a11 b12 + a12 b22 ) Y.

y = a21 (b11 X + b12 Y ) + a22 (b21 X + b22 Y ) = (a21 b11 + a22 b21 ) X + (a21 b12 + a22 b22 ) Y Полученные соотношения можно переписать так:

x = c11 X + c12 Y c a b + a b a11 b12 + a12 b c, где C = 11 12 = 11 11 12 21. (12) c21 c22 a21 b11 + a22 b a21 b12 + a22 b y = c21 X + c22 Y Вам ничего не напомнили формулы (12)? Если вы ещё сами об этом не догада лись, то попробуйте умножить матрицу A на матрицу B по сформулированному выше правилу, и вы получите матрицу C.

Теперь выполним подстановку в матричных равенствах (10) и (11):

X X x X = A = A ( B ) = C.

Y Y y Y Следовательно, матрица пересчёта координат для результирующего преоб разования равна произведению матриц отдельных преобразований C = A B, (13) причём перемножение матриц выполняется по сформулированному выше п р а в и л у.

Формула (13) была получена для произвольных матриц A и B, а значит, спра ведлива для любых преобразований координат;

тем не менее, имеет смысл убедиться в этом ещё раз на примере последовательного поворота осей. В этом случае произведе ние матриц A и B имеет следующий вид:

cos sin cos sin (cos cos sin sin ) ( cos sin sin cos ) A B = = = sin cos sin cos (cos sin + sin cos ) (cos cos sin sin ) cos( + ) sin( + ) =.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.