авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Ю.Л. Геворкян, А.Л. Григорьев Основы линейной алгебры и её приложений в технике Утверждено Министерством образования и науки ...»

-- [ Страница 2 ] --

y sin( + ) cos( + ) Полученный результат на самом деле отно Y M ( x, y ) сится к разряду очевидных, поскольку два последо вательных поворота осей на углы и можно X действительно заменить одним поворотом на сум Y марный угол = + (рис.19).

X Пример 25*. Дифференциальное O x м а т р и ч н о е у р а в н е н и е. Получим матричное уравнение для цепной механической системы, рас Рисунок 19 сматриваемой в п р и м е р е 1 3. Для этого сначала составим из масс mi, а также координат xi и уско рений xi, диагональную матрицу n - го порядка M = diag ( m1, m2,..., mn ) и два вектора - столбца высотой n :

x1 x X =... и Y =....

x x n n После этого, используя трёхдиагональную матрицу коэффициентов C и правило ум ножения матриц, соотношения (5) можно записать в следующем эквивалентном виде:

M Y = C X. (14) Матричное уравнение (14) содержит два неизвестных вектора – столбца X и Y. Покажем, что вектор-столбец Y, составленный из вторых производных, на самом деле является второй производной вектор - столбца X. Для этого мы долж ны сформулировать определение производной матрицы-функции.

Пусть в некоторой окрестности точки a определена и непрерывна матрица функция F (t ) размера m n. По аналогии с определением производной числовой функции, составим следующее выражение из приращений матрицы-функции и её аргу мента:

[ F ( a + t ) F (a )].

t Если переменная t обозначает время, то данное выражение при малых значени ях t 0 характеризует скорость изменения матрицы-функции в момент времени t = a. Вычислим предел этого выражения при t 0 :

fi j ( a + t ) fi j ( a ) 1 lim [ F ( a + t ) F (a)] = lim [ fi j ( a + t ) fi j ( a )] = [lim ] = [ fi 'j (a)], t 0 t t 0 t t t в предположении, что все производные fi 'j (a ) существуют.

Определение. Матрица-функция F (t ) называется дифференцируемой при t = a, если все её элементы дифференцируемы при t = a. Матрица, составленная из производных fi 'j (t ) элементов матрицы-функции F (t ), называется производной этой матрицы - функции и обозначается F ' (t ).

В краткой записи эти определения выглядят так:

F ' (t ) = f i j' (t ), def т. е. п р о и з в о д н а я о т м а т р и ц ы р а в н а м а т р и ц е и з п р о и з в о д н ы х, и на оборот, м а т р и ц а и з п р о и з в о д н ы х р а в н а п р о и з в о д н о й о т м а т р и ц ы.

' cos sin (cos ) ' ( sin ) ' sin cos Например, U ( ) = = = '.

sin cos (sin ) (cos )' cos sin ' Аналогичное пра " Борисполь", " Шереметьево", Матрица G1 вило справедливо для про Киев Москва изводной любого порядка, 1 1 поэтому вместо вектора – " Гетвик ", Лондон столбца Y мы имеем право " Орли ", Париж записать вторую произ 1 "Франкфурт" водную от вектора – столбца X, то есть X. В результате такой замены уравнение (14) принимает G1 следующий вид:

G M X = C X. (15) Матричное уравне ние (15) содержит произ водные и поэтому называ " Хитроу", " Шарль де Голль ", Матрица G 2 "Франкфурт" ется дифференциальным Лондон Париж матричным уравнением;

2 1 " О' Хара", Чикаго с методами решения таких уравнений вы познакоми Рисунок тесь в нашем курсе высшей математики примерно через год. Тем не менее, сравнивая систему соотношений (5) с лаконичной формой уравнения (15), можно уже сейчас со гласиться с тем, что использование матриц вообще, а сформулированного п р а в и л а их перемножения - в особенности, и в этом случае оказалось полезным.

П р и м е р 2 6. П о л ё т в Ч и к а г о. На этом примере мы намерены объяснить вам, какую пользу можно извлечь из перемножения графов. Предположим, что вам нужно срочно вылететь из Харькова в Чикаго, но в ближайшие 48 часов прямых рейсов из Киева и Москвы в расписании нет. Учитывая стоимость билетов и условия оформ ления транзитных виз, вы решили лететь с пересадкой в Лондоне, Париже или Франк фурте - на - Майне. Схема перелёта показана на рис.20. Там же в матричном виде при ведена информация о числе рейсов между указанными аэропортами на следующие ка лендарные сутки, причём для аэропортов транзита учтены только те рейсы, которые хорошо стыкуются с временем прилёта самолета. Перемножим матрицы:

1 G = G2 G1 = ( 2 1 4 ) 0 1 = ( 6 11).

1 Что означает полученный результат? Элементы матрицы G в точности равны (в чём вы можете убедиться самостоятельно) числу маршрутов между Харьковом и Чика го, проходящих, соответственно, через Киев и через Москву. Сравнение этих элементов показывает, что если билет ещё не куплен, то вернее будет ехать в Москву, а не в Киев.

Разумеется, с этой задачей каждый из вас легко справился бы без использования матриц. Но, как показывает этот пример, в сходных, но технически более сложных си туациях, именно матрицы помогут сделать правильный выбор.

§ 4. Правила умножения для матриц частного вида Сформулируем несколько правил, упрощающих вычисление произ ведения матриц для тех случаев, когда в число сомножителей входят мат рицы рассмотренных выше частных видов. Во всех случаях предполагает ся, что операция умножения является корректной.

1. Правило умножения диагональных матриц.

В результате умно 0 0 0 жения двух диагональных матриц A и B получается 0 0 0 диагональная матрица C (рис. 21), причём диаго Рисунок нальные элементы произ ведения равны произведению диагональных элементов сомножителей:

diag (a11, a22,..., ann ) diag (b11, b22,..., bnn ) = diag (a11 b11, a22 b22,..., ann bnn ).

2. П р а в и л а у м н о ж е н и я м а т р и ц ы н а д и а г о н а л ь н у ю.

Правило А. Результат умножения диагональной матрицы D на мат рицу A сводится к умножению каждой i - той строки матрицы A на диа гональный элемент d i i матрицы D :

a11... a1m d11 a11... d11 a1m....

diag (d11, d 22,..., d nn )......... =......

a n1... anm d nn an1... d nn anm Правило Б. Результат умножения матрицы A на диагональную мат рицу D сводится к умножению каждого i - того столбца матрицы A на диагональный элемент d i i матрицы D :

d11 a11... d nn a1m a11... a1m....

......... diag (d11, d 22,..., d nn ) =......

a d a 11 n1... d nn anm n1... anm Следствие. В резуль тате умножения матрицы A 0 0 на единичную матрицу I 0 0 0 слева или справа получается матрица A :

или A I = A.

IA= A 0 0 Этот результат объясняет, почему матрица 0 I = diag (1, 1,..., 1) была названа единич Рисунок ной.

3. Правила умножения разреженных матриц.

В результате умножение k - диагональной матрицы A на l - диаго нальную матрицу B получается r - диагональная матрица C, где r = k + l 1.

В частности:

при умножении диагональ 0 0 ной матрицы A на трёхдиа 0 0 гональную матрицу B по лучается трёхдиагональная Рисунок матрица C (рис. 22);

при умножении трёхдиагональной матрицы A на трёхдиагональную мат рицу B получается пятидиагональная матрица C (рис. 23), и так далее.

4. П р а в и л а у м н о ж е н и я т р е у г о л ь н ы х м а т р и ц.

Правило А. В результате 0 0 0 перемножения двух нижне треугольных матриц A и B получается нижнетреуголь ная матрица C (рис.24).

Рисунок Правило Б. В результате перемножения двух верх нетреугольных матриц A 0 0 и B получается верхне треугольная матрица C Рисунок (рис.25).

Примечание. Результат умножения нижнетреугольной и верхнетреугольной матриц не является треугольной матрицей (рис.26). Более того, абсолютное большин ство квадратных матриц может быть получено как результат такого умножения. Усло вия, при выполнении которых квадратная матрица может быть представлена в виде произведения треугольных матриц, изучались великим немецким математиком Карлом Гауссом, и поэтому в его честь такое представление матрицы называется гауссовым представлением. Формулировка соответствующей т е о р е м ы о г а у с с о в о м п р е д с т а в л е н и и м а т р и ц ы будет приведена позже, когда вы познакомитесь с необхо димой для этого терминологией. Но уже сейчас можно сформулировать с л е д с т в и е из этой теоремы.

В любой, сколь угодно малой - окрестности квадратной матрицы С най дутся такие матрицы D, которые могут быть представлены в виде произведений D = А B D = F G, и где A, G – некоторые нижнетреугольные, а B, F – некоторые верхнетреугольные матрицы, причём эти матрицы D образуют открытое множество.

Приведенная выше форму 0 лировка содержит два утвержде ния. Во – первых, любая квадрат ная матрица может быть с любой 0 степенью точности приближена произведением двух треугольных матриц. Во – вторых, если неко торая квадратная матрица может 0 быть представлена в виде произ ведения двух треугольных мат риц, то в таком же виде могут 0 быть представлены все близкие к ней матрицы.

Доказательство этого след ствия, как и самой теоремы о га Рисунок уссовом представлении матрицы, в нашем курсе приводится позже. Но вы уже сейчас без особого труда сможете прове рить это утверждения для матриц второго порядка. Кстати, для тех, кто поленится это сделать самостоятельно, укажем так называемый к о н т р п р и м е р, который не позво ляет обобщить эту теорему на все квадратные матрицы.

0 Матрица J =, именуемая матрицей перестановки строк, не может 1 быть представлена в виде произведения двух треугольных матриц.

5. П р а в и л а у м н о ж е н и я м а т р и ц ы н а в е к т о р.

Правило А. В результате умножения матрицы A на вектор - столбец B (рис.27) получается вектор - столбец a11 b11 +... + a1n bn.

C = A B =...

a b +... + a b m1 11 n mn Правило Б. В результате умножения вектор Рисунок - строки A на матрицу B (рис.28) получается вектор - строка C = A B = ( a11 b11 +... + a1n bn1... a11 b1m +... + a1n bnm ).

Правило В. В результате ум ножения вектор - строки A на вектор - столбец B (рис.29) получается матрица первого порядка Рисунок C = A B = [ a11 b11 +... + a1n bn1 ].

Правило Г. В результате умножения вектор - столбца A на вектор - строку Рисунок B (рис.30) получается блочная вектор строка C = A B = [b11 A b12 A... b1n A].

6.Правила перемножения блочных матриц.

Рисунок П р а в и л о А. В результате умножения блочной матрицы A формата m n на блочную матрицу B формата n k с с о г л а с о в а н н ы м и р а з м е р а м и б л о к о в получается блочная матрица C формата m k, элемен ты которой находятся по формулам:

n Aip Bpj.

C ij = Ai1 B1 j + Ai 2 B2 j + + Ain Bnj = p = С о г л а с о в а н н о с т ь между размерами блоков означает, что все перемножения матриц, используемые в этих формулах, корректны.

При использовании обозначений Эйнштейна правило перемножения блочных матриц сводится к следующей лаконичной формуле:

Ai j Bi j = Ai p B p j.

Примечание. Если согласованности между размерами блоков нет, то блочные матрицы нужно развернуть и сгруппировать другим способом.

При решении прикладных задач в блоки, как правило, объединяются ко эффициенты, имеющие одинаковую физическую размерность, например, элементы одного блока описывают массы, второго – коэффициенты жёст кости пружин, третьего – ускорения и т.д. Поэтому условие согласован ности размеров блоков при правильной математической постановке и верном ходе решения задачи выполняется автоматически.

Правило Б. В результате перемножения двух блочно - диагональных матриц A и B получается блочно - диагональная матрица C (рис.21), при чём диагональные элементы произведения равны произведению диаго нальных элементов сомножителей:

diag ( A11, A22,..., Ann ) diag ( B11, B22,..., Bnn ) = diag ( A11 B11, A22 B22,..., Ann Bnn ).

Правило В. В результате перемножения двух нижнетреугольных или двух верхнетреугольных блочных матриц A и B получается, соответст венно, нижнетреугольная (рис.24) или верхнетреугольная (рис.25) блочная матрица C.

Правило Г. В результате умножения блочной матрицы A на блочный вектор - столбец B (рис.26) получается блочный вектор - столбец A11 B11 +... + A1n Bn.

C = A B =...

A B +... + A B m1 11 n mn Правило Д. В результате умножения блочной вектор - строки A на блоч ную матрицу B (рис. 26) получается блочная вектор - строка C = A B = ( A11 B11 +... + A1n Bn1... A11 B1m +... + A1n Bnm ).

Правило Е. В результате умножения блочной вектор - строки A на блоч ный вектор - столбец B (рис.29) получается матрица C = A B = A11 B11 +... + A1n Bn1.

Правило Ж. В результате умножения матрицы A на блочную вектор строку B (рис.31) получается блочная вектор - строка С = A B = A ( B11 B12... B1n ) = ( A B11 A B12... A B1n ).

Правило З. В результате умножения блочного вектор - столбца B на мат рицу A (рис.32) получается блочный вектор - столбец B11 A B B A B C = B A = 21 A = 21.

......

B A B n1 n Замечание. Последние два правила фактически опреде ляют операцию умножения Рисунок 31 так называемого матричного коэффициента A на блочный вектор B. В отличие от правила умножения матрицы на скалярный множитель (то есть обыч ное число ) при этой операции сомножители не перестановочны. Кроме Рисунок того, размер матричного коэффициента часто превышает размер отдельного элемента блочного век тора.

П р и м е р 2 7. М а т р и ч н ы й п р о ц е с с о р. Операция перемножения двух квадратных матриц n - го порядка включает в себя, как несложно подсчитать, n 3 опе раций умножения и n 2 (n 1) операций сложения обычных чисел. Если в ходе реше ния некоторой задачи приходится выполнять многократное перемножение матриц, имеющих, например 100-ый порядок, то эта операция существенно замедляет решение.

Поэтому в 80-ые годы ХХ – го века в СССР были разработаны и выпускались серийно для ЭВМ серии ЕС так называемые матричные процессоры, специализированные для решения таких задач. В одном из вариантов матричный процессор представлял собой объединение 64 процессоров, работающих парал 30 лельно. Каждый процессор независимо от дру гих вычисляет один определённый элемент квад 88 88 88... ратной матрицы 8-го порядка, в результате чего арифметические действия над такими матрица ми (сложение и умножение) ускоряются в 64 – 88 88...... ре раза. Для использования таких возможностей 30 матричного процессора квадратные матрицы n го порядка записываются в виде блочных матриц...

88...

...

с блоками размера 8 8, а дальше применяются правила сложения и умножения блочных матриц.

...

......

... Если порядок матриц не кратен 8 - ми (например, n = 30 ), то матрицы дополняются справа и снизу необходимым количеством нулевых столбцов и строк (рис.33). Вам предоставляется возможность внимательно проанализировать правила сложения Рисунок и умножения матриц и убедиться в том, что, не смотря на такое изменение матриц, элементы с индексами i, j n вычисляются пра вильно, а остальные элементы равны нулю.

П р и м е р 2 8. М а т р и ч н ы е а н а л о г и и. Получим матричное уравнение 2 n - полюсника, рассматриваемого в п р и м е р е 1 0. Для этого сначала составим из токов и напряжений на входных и выходных клеммах четыре вектора – столбца высо той n :

J1вх U1вх J1вых U1вых J вх =..., U вх =..., J вых =... и U вых =..., Jn U n Jn U n вх вх вых вых J вх J вых после чего, образуем из них два блочных вектора - столбца вх и вых.

U U Теперь, используя передаточную блочную матрицу S с квадратными блоками F, G, H, D и правило умножения матриц, соотношения (4) можно записать в сле дующем эквивалентном виде:

J вых F J вх + G U вх F G J вх J вх вых = = вх = S вх. (15) вх U H J + D U H вх D U U... n 1 n 1 Уравнение (15) является полным аналогом уравне вход ний (10) или (11) для пересчёта координат. Воспользуемся этой аналогией и, не повторяя те выкладки, которые были выполнены при выводе формулы (12) для последователь ного преобразования координат, запишем матричное уравнение для последовательного соединения 2 n - по выход люсников (рис.34).

...

Пусть первому и второму многополюснику отве n 3 n 1 чают уравнения J вых J вх J вых J вх... n 1 2 3 n вых = B вх и вых = A вх, U U U U вход B B12 A11 A где B = 11 и A= – передаточные B21 B22 A21 A матрицы с квадратными блоками Bi j и Ai j.

Тогда матричное уравнение их последовательного выход...

соединения имеет вид n 1 n 1 2 J вых J вх вых = C вх, Рисунок U U C12 A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B C C = 11 = где.

C21 C22 A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B Следовательно, передаточная матрица для последовательного соединения многополюсников равна произведению передаточных матриц отдельных многопо люсников, причём перемножение матриц выполняется по сформулированному выше правилу.

В качестве примера, иллюстрирующего это свойство передаточной матрицы, найдём такую матрицу для последовательного соединения двух шнуров-удлинителей из п р и м е р а 1 4. Передаточные матрицы A и B шнуров определяются следующими выражениями:

I I A= ;

B =, Da I Db I 1 0 0 где Da = diag ( Ra.1, Ra.2 );

Db = diag ( Rb.1, Rb.2 );

I = ;

=, 0 1 0 Ra.1, Ra.2, Rb.1, Rb.2 – сопротивления отдельных проводов из первого и второго шнура.

Вычислим передаточную матрицу C последовательного соединения:

I I I I + Db I + I I C = A B = = =.

Da I Db I Da I + I Db Da + I I Da + Db I Найдём сумму диагональных матриц Da и Db :

R 0 Rb.1 0 Ra.1 Rb.1 Da + Db = a.1 + = = Dc, Ra.2 0 Rb.2 Ra.2 Rb. 0 где Dc = diag ( ( Ra.1 + Rb.1 ), ( Ra.1 + Rb.1 ) ).

Полученный результат находится в полном соответствии с известным правилом суммирования сопротивлений при их последовательном соединении.

Пример 29. Уравнение свободных колебаний цепной систе м ы. Такое уравнение для простейшей цепной механической системы, имеющей только одну степень свободы, было получено в п р и м е р е 2 5. Здесь мы намерены показать, что этот же результат может быть обобщён на цепные системы с 6-тью степенями сво боды (смотри п р и м е р 1 6 про цепную передачу и п р и м е р 1 7 про цилиндрическую пружину).

Для каждого i - того элемента цепной системы составим две матрицы:

диагональную матрицу шестого порядка из инерционных коэффициентов (то есть из массы mi и из моментов инерции jx i, j y i, jz i относительно трёх осей) M i = diag (mi, mi, mi, jx i, j y i, jz i ), и вектор – столбец X i размера 6 1 из трёх координат и трёх углов поворота.

Далее матрицы M i объединяются в блочно – диагональную матрицу M = diag ( M 1, M 2,..., M n ), а матрицы X i - в блочный вектор – столбец X, после чего практически дословно по вторяется тот вывод, который был проведен в п р и м е р е 2 5. В результате мы получа ем то же самое уравнение свободных колебаний (15) M X =CX, но матрица коэффициентов жёсткости C, используемая в этом уравнении, теперь явля ется не трёхдиагональной, а б л о ч н о й трёхдиагональной матрицей с квадратными блоками шестого порядка.

§ 5. Свойства операции умножения матриц Свойства операции умножения можно условно разделить на две группы.

П е р в а я г р у п п а свойств описывает те преобразования, которые можно выполнять с любыми матрицами. Пользуясь правилами умножения и сложения матриц можно доказать следующие с в о й с т в а :

1. ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) ;

2. A ( B + C ) = A B + A C ;

(A + B ) C = A C + B C ;

3. ( A B ) C = A ( B C ), где A, B, C – произвольные матрицы согласованных размеров;

– произ вольное число.

С в о й с т в а 1 и 2 непосредственно следуют из определения опера ций и в дополнительных пояснениях не нуждаются. С в о й с т в о 3 имеет громоздкое доказательство, приводить которое в этой книге нет необходи мости. Вместо этого для подтверждения справедливости данного свойства обратимся к следующему примеру.

Пример 30. «Электрические» доказательства.

k 1 На рис.35 изображена электрическая схема, образованная при после вход довательном соединении трёх многополюсников. Для получения ре матрица C зультата в максимально общей форме, будем считать, что многопо люсники выполнены по схеме n + m, а не 2 n, то есть могут иметь l разное число входных и выходных клемм. В соответствии с этим обобщением, передаточные матрицы этих многополюсников могут матрица B иметь неквадратные блоки. Пусть эти многополюсники имеют пере даточные матрицы C, B и A, соответственно;

передаточную матри m цу всей схемы обозначим буквой S.

Получим формулу для матрицы S. Для этого представим схе матрица A му в виде соединения двух (а не трёх) многополюсников, для чего n м ы с л е н н о объединим два крайних устройства в одно. Такое объе выход динение можно выполнить двумя способами (рис.36).

Для первого способа передаточная матрица объединения двух Рисунок 35 многополюсников (как это было показано при решении п р и м е р а 1 ый способ объединения 2 ой способ объединения k k k k k 1 1 1 1 вход вход вход вход вход матрица C матрица C матрица l l 1 S BC = B C матрица матрица матрица B S = A S BC S = S AB C матрица m m 1 S AB = A B матрица A матрица A n n n n n выход выход выход выход выход 1 1 1 1 Рисунок 2 8 ) находится по формуле S BC = B C, для второго способа – по формуле S AB = A B.

Теперь, используя тот же результат, можно найти передаточную матрицу S :

S = A S BC = A ( B C ) при первом способе объединения;

S = S AB C = ( A B) C при втором способе объединения.

От выбора способа мысленного объединения устройство не становится дру гим, следовательно, матрица S в обоих случаях одна и (A B ) C = A (B C ).

Примечание. К сожалению, то, что вы прочли выше, является хорошим образ цом правдоподобных рассуждений, но не доказательством. И дело не в том, что вместо математической терминологии используется терминология электрических цепей. Ма тематики, особенно на стадии, так называемой, черновой работы, при доказательствах достаточно часто пользуются методами аналогии (механической, акустической, элек трической и пр.). Хрестоматийный пример на эту тему можно найти у великого немец кого математика Римана, который доказательство одной теоремы из раздела математи ки “Векторный анализ” (теорема о существования потенциала некоторого векторно го поля) проводил так: “Выполним эту поверхность из проводящего материала…. Про вода закрепим здесь и здесь…. Электрический ток всё равно пройдёт, и заряды рас пределятся по некоторому закону…. Что и доказывает теорему.” Но у Римана теорема действительно была д о к а з а н а, а решённый п р и м е р 3 0 свойство 3 н е д о к а з ы в а е т, п о с к о л ь к у с о д е р ж и т л о г и ч е с к и й и з ъ я н. Попробуйте найти этот изъян самостоятельно;

далее в книге мы ещё вернём ся к этому примеру и дадим нужные пояснения.

В т о р а я г р у п п а свойств описывает те случаи, при которых до пускается изменять порядок следования сомножителей, и когда это делать нельзя.

Из определения произведения матриц видно, что матрицы A B и B A не всегда одновременно существуют, а если существуют, то не все гда совпадают. Для того чтобы обе операции перемножения были коррект ны, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка, поэтому далее в этом параграфе будут рас сматриваться только такие матрицы.

П р и м е р 3 1. М а т р и ц ы п е р е с т а н о в о к. Даны две квадратные блочные I X Y матрицы A = и J =, где X, Y, Z, V – некоторые квадратные матрицы I Z V n - го порядка,, I – нулевая и единичная матрицы того же порядка.

Вычислим произведения B = A J и C = J A.

Y I X +Y I X I +Y +Y X + Y X X B= = = = ;

V I Z +V I Z I +V +V Z + V Z Z I X Y X + I Z Y + I V + Z + V Z V C = = = =.

I Z V I X + Z I Y + V X + Y + X Y Проанализируем и сравним результаты.

Умножение на матрицу J справа привело к перестановке столбцов, а слева – к перестановке строк блочной матрицы A ;

поэтому матрица J называется матрицей блочной перестановки. Далее в книге мы покажем, что эта матрица занимает важное место в технических приложениях матричного исчисления.

Если блоки матрицы A таковы, что Y Z или X V, то B C, и результат перемножения матриц A и J зависит от порядка следования сомножителей.

Определение. Две матрицы A и B называются перестановочными, если AB = B A.

Выше мы уже встречались с такими матрицами;

в п р и м е р е 2 4 была фактиче ски доказана формула U ( ) U ( ) = U ( + ), cos sin U ( ) = откуда перестановочность матриц вращения следует автома sin cos тически.

Приведём другие примеры пар перестановочных матриц. Заметим, что для лю бой квадратной матрицы A имеет место равенство:

A I = I A = A, где I – единичная матрица одинакового порядка с матрицей A.

Кроме единичной матрицы с матрицей A будут перестановочны матрицы B1 = A ;

B2 = A A ;

B3 = A ( A A) и так далее.

Определения.

1. Матрица Bk = A A... A, где число сомножителей в правой части равно k, называется k - той степенью квадратной матрицы A и обо значается A k.

2. Нулевой степенью квадратной матрицы A n - го порядка счи тается единичная матрица I того же порядка.

3. Матрица B, k - тая степень которой равна матрице A, то есть, Bk = A называется алгебраическим корнем k - той степени из матрицы A и обозначается A.

k Степени и корни матрицы обладают теми же свойствами, что и сте пени и корни обычных чисел, а именно:

и т. д.

A n A m = A n + m ;

( A n ) k = A n k ;

( k A ) n = k A n Определение. Многочленом k - той степени от квадратной матри цы A называется матрица B = a0 I + a1 A + a2 A 2 +... + ak A k, где ai, i 0, k – некоторые числа, причём ak 0.

Многочлен k - той степени от матрицы A, по аналогии с многочле нами Pk ( x) вещественного аргумента, обозначается Pk ( A). Так же, как сте пень и корень, многочлен является примером нового и очень важного по нятия – функции от матрицы.

Очевидно следующее утверждение: матрица A и любой её много член Pk ( A) перестановочны между собой.

Более того, д л я б о л ь ш и н с т в а м а т р и ц справедливо обратное утверждение: если квадратные матрицы A и B перестановочны, то одна из них (а чаще – каждая из них) является многочленом от другой, причём степень многочлена меньше, чем порядок этих матриц.

П р и м е р 3 2 *. Т р и в и а л ь н а я м а т р и ч н а я а л г е б р а. Аккуратная формулировка соответствующей теоремы, с указанием исключений из этого правила, будет приведена позже, когда вы познакомитесь с необходимой для этого терминоло гией. Но разобраться в тех причинах, которые приводят к справедливости этого прави ла или к исключениям из него, можно уже сейчас на материале данного примера.

Если матрицы A и B являются диагональными, то они перестановочны между собой. Это утверждение прямо следует из правила их перемножения и в доказательстве не нуждается. Докажем обратное утверждение, которое звучит так:

если диагональная матрица A не имеет одинаковых диагональных элемен тов и перестановочна с матрицей B, то матрица B также диагональная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица A = diag ( a11, a22,..., ann ), и A B = B A.

Предположим, что у матрицы B есть недиагональный элемент bi j 0. Воспользуемся правилами умножения квадратной матрицы на диагональную (см. § 4). В матрице A B элемент с таким же индексом будет равен aii bi j, а в матрице B A - a j j bi j. Из равен ства матриц A B и B A следует равенство соответствующих элементов, то есть aii bi j = a j j bi j.

Поскольку по сделанному предположению bi j 0, то на эту величину можно сократить обе части равенства, и мы получим соотношение aii = a j j, которое противо речит условию теоремы.

Следовательно, у т в е р ж д е н и е д о к а з а н о.

Примечание. Если у матрицы A есть одинаковые диагональные элементы, то перестановочная с ней матрица B может быть не диагональной. Например, если A = I, где – произвольное число, то матрица B может быть любой квадратной матрицей того же порядка, что и единичная матрица I. Нетривиальный пример на ту же тему даёт пара матриц 1 0 0 1 2 A = diag (1, 1, 2) = 0 1 0 и B = 3 4 0 ;

0 0 2 0 0 вам предоставляется возможность самостоятельно убедиться в том, что они перестано вочны.

Диагональные матрицы n - го порядка перестановочны и по сложению, и по ум ножению, поэтому алгебра таких матриц является тривиальным обобщением ал гебры обычных чисел. Покажем, например, как просто в этой алгебре вычисляются степени и многочлены матрицы.

Пусть A = diag ( a11, a22,..., an n ).

Тогда имеют место формулы:

A k = diag ( a11, a22,..., ankn ) ;

Pk ( A) = diag ( Pk (a11 ), Pk (a22 ),..., Pk (an n ) ).

k k (17) Из этих формул в частности следует, что недиагональная матрица B не может быть многочленом от матрицы A = diag (1, 1, 2 ), и, тем не менее, перестановочна с ней.

Это как раз то исключение из правила, о котором говорилось выше.

Давайте сформулируем это правило применительно к диагональным матрицам A и B n - го порядка. Поскольку диагональные матрицы всегда перестановочны, то должны выполняться равенства B = Pk ( A) и A = Qk ( B), (18) где Pk ( x), Qk ( x) – некоторые многочлены степени k n.

Условия (18) с учётом формул (17) оказываются эквивалентны системам урав нений { bii = Pk (ai i ), i 1, n { aii = Qk (bi i ), i 1, n, и (19) линейных относительно неизвестных коэффициентов многочленов Pk ( x), Qk ( x).

В этих системах число уравнений и число неизвестных одинаково (равно n ), по этому в о б щ е м с л у ч а е о н и о б я з а н ы и м е т ь р е ш е н и е. К сожалению, мы по ка вынуждены ограничиться этим замечанием, и отложить решение систем (19) до того момента, когда вы сможете понять его.

П р и м е р 3 3. К а с к а д н ы й п р е о б р а з о в а т е л ь. Этот пример из области радиотехники. Радиотехнические схемы, как правило, изготавливаются из стандартных деталей и узлов, имеющих узкую номенклатуру изделий. Поэтому, например, для по лучения необходимого уровня выходного сигнала в схеме иногда устанавливают по следовательно два и более одинаковых преобразователя, образуя из них так называе мый каскад. Если мы передаточную матрицу одного преобразователя обозначим бук вой A, а число преобразователей – буквой k, то передаточная матрица S каскадного преобразователя выражается формулой S = Ak.

П р и м е р 3 4. П е р е д а т о ч н а я м а т р и ц а ц е п н о й с и с т е м ы. Выше уже говорилось о применении передаточных матриц при статических расчётах линейных электрических цепей. В механике аналогом таких цепей являются цепные системы, описанные в п р и м е р а х 1 3, 1 6 и 1 7. Если для одного из крайних элементов цеп ной системы задать полный набор координат xi и полный набор сил или моментов сил qi, то в соответствии с законами механики тем самым будут однозначно определены значения этих величин для всех остальных элементов цепи, в том числе и для другого крайнего элемента.

Составим из значений координат xi и обобщённых сил qi на левом и правом концах цепи четыре вектор – столбца X лев, Q лев, Х прав, Q прав. Высота этих столбцов равна числу k степеней свободы элемента цепи. Тогда в линейной механической сис теме значения этих векторов оказываются связанными равенством X прав X лев = S лев, прав Q Q где квадратная матрица S имеет порядок 2 k и называется передаточной матрицей цепной системы.

В инженерных расчётах эта матрица обычно используется в форме блочной мат A B рицы S = с квадратными блоками k - го порядка.

C D Передаточная матрица может быть составлена не только для всей цепи, но и для любой её части, в том числе и для пары соседних звеньев. Обозначим передаточную матрицу между i - тым и i + 1 - ым звеном цепи буквой Si. Тогда передаточная матрица для всей цепи из n элементов находится по формуле S = Sn 1 S n 2... S2 S1.

Если все соединения между звеньями цепи одинаковы, то эта формула принима ет следующий простой вид:

S = ( S1 ) n 1.

Так для железнодорожного состава из п р и м е р а 1 3 передаточная функция S для двух соседних вагонов определяется формулой 1 c, S1 = 0 где c – коэффициент жёсткости сцепки. Тогда передаточная матрица S для состава, включающего локомотив и n вагонов, вычисляется так:

n 1 n 1 c = 1 c.

S = ( S1 ) = n 0 1 0 При выполнении этих вычислений мы воспользовались формулами n A+ B A I n A I A I B I I = = и, I I I I I в справедливости которых вам предоставляется возможность убедиться самостоятель но.

При статической деформации цилиндрической пру жины обычно учитывается три степени свободы её попереч ного сечения – перемещение этого сечения вдоль оси пру жины, угол изгиба сечения относительно упругой оси проволоки и угол разворота этого сечения вокруг упругой оси (рис. 37). Представим пружину в виде последовательного соединения n элементов – поперечных сечений проволоки (смотри п р и м е р 1 7 ). Два соседних сечения пружины свя зывает квадратная передаточная матрица S1 шестого поряд ка, которая имеет следующий вид:

Рисунок I A D S1 = + l, I B 0 1 0 0 0 111 I = diag (1, 1, 1);

D = diag (,, );

A = 0 0 1 ;

B = r 0 1 ;

где abc 0 1 0 0 1 l – расстояние между центрами соседних сечений;

a, b, c – коэффициенты жёст кости проволоки при сжатии, изгибе и кручении;

r – радиус кривизны витка.

Матрица S1 для этого случая является блочной верхнетреугольной матрицей.

Такой же вид будет иметь передаточная матрица для всей пружины, вычисляемая по формуле S = ( S1 ) n 1.

П р и м е р 3 5. Э к о н о м и ч н ы й р а с к р о й п р у ж и н ы. При моделировании железнодорожного состава (п р и м е р 1 3 ) или цепной передачи (п р и м е р 1 6 ) число n звеньев механической цепи определено условиями задачи. Для цилиндрической пружины это число может быть произвольным;

ясно, что чем больше сечений выбрано, тем точнее используемая нами физическая модель системы с сосредоточенными пара метрами описывает пружину, которая на самом деле является системой с равномерно распределёнными параметрами. Однако, чтобы вычислить передаточную матрицу S всей пружины приходится выполнять (n 1) перемножение матриц S1 шестого поряд ка, что при больших значениях n достаточно трудоёмко. Этих трудностей можно из бежать, если число участков при разбиении пружины выбирать в соответствие с фор мулой n = 2 p +1, где p – некоторое натуральное число, значение которого обычно лежит в диапазоне 10, 20.

При таком выборе числа n показатель степени равен 2 p. Возведение матрицы A в такую степень производится по следующему алгоритму.

1. Умножаем матрицу A саму на себя (то есть, получаем матрицу B = A A ) и р е з у л ь т а т у м н о ж е н и я о б о з н а ч а е м т о й ж е б у к в о й A (то есть, после ум ножения принимаем, что A = B ).

2. Предыдущий пункт алгоритма выполняем ровно p раз.

В результате выполнения указанных действий ф а к т и ч е с к и получается сле дующая последовательность матриц:

1 2 A A = A2 = A2 ;

( A2 ) ( A2 ) = A4 = A2 ;

( A4 ) ( A4 ) = A8 = A2, и так далее.

После выполнения p таких рекуррентных умножений действительно, как вы в p этом уже убедились, получится матрица A2. Если p = 10, то число операций при ис пользовании данного алгоритма снижается в 1024 :10 100 раз!

П р и м е р 3 6 *. М а т р и ч н ы е к о р н и и з н у л я и е д и н и ц ы. Выше уже говорилось, что квадратные матрицы являются обобщением обычных чисел, а диаго нальные матрицы – тривиальным обобщением обычных чисел. Из школьного курса ал гебры вам известно, что квадратное уравнение x 2 = a при a = 1 имеет два решения x1,2 = ±1, при a = 0 - одно решение и при a = 1 - ни одного решения;

скоро вы узнаете о существовании комплексных чисел и тогда случаю a = 1 будет также соответство вать два решения, но не вещественных, а комплексных.

X 2 = aI, Рассмотрим матричное квадратное уравнение (20) где a принимает значения 0 или 1, а единичная матрица I имеет второй порядок.

Квадратные матрицы X, являющиеся решениями этого уравнения, имеют также второй порядок и называются алгебраическими корнями второй степени из нулевой и из единичной матрицы, соответственно.

Если ограничиться только диагональными матрицами, то решения уравнения (20) очевидны:

при a = 0 – единственное решение X = ;

при a = 1 – четыре решения X 1 = I = diag (1, 1);

X 2 = I = diag (1, 1);

X 3 = diag (1, 1);

X 4 = diag (1, 1).

Однако, уравнение (20) имеет и не диагональные корни. Так, несложно прове рить, что матрицы 0 p 0 Y1 =, Y2 =, где p – любое число, 0 0 p являются решением уравнения Y 2 =, а матрицы 0 Y1 = J = и Y2 = J – уравнения Y 2 = I.

1 Этот пример показывает, что алгебра квадратных матриц (даже второго порядка) является значительно сложнее алгебры обычных чисел.

§ 6. Транспонирование и симметрия матриц Рассмотрим произвольную матрицу a11 a12 a1n a2n a 21 a22 A=.

a amn m 1 am Определения. Матрица B, полученная из матрицы A заменой каж дой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транс понированной по отношению к данной, и обозначается AT, то есть a11 a21 am am a 12 a22 B=A =.

T def amn a 1n a2n Переход от матрицы A к матрице AT называется операцией транс понирования (или просто транспонированием).

Если матрица A имеет размер m n, то транспонированная матрица AT имеет размер n m. В частности, если матрица A является вектор столбцом, то матрица AT является вектор-строкой, и, наоборот, в резуль тате транспонирования вектора-строки A получается вектор-столбец AT.

Транспонирование квадратной матрицы A приводит к квадратной матрице AT того же порядка, причём здесь процедуру транспонирования матрицы удобно трактовать как результат её разворота на 180 относи тельно главной диагонали (рис. 38).

Перечислим основные свойства операции транспонирования.

T T 1. ( AT ) = A ;

2. A = B A T = B T ;

3. Ai j = B i j, B i j = A jTi ;

4. ( A + B )T = AT + BT ;

5. ( A B )T = BT AT, где A и B – любые матрицы согласованного раз 180 мера;

, – произвольные числа.

С в о й с т в а 1 – 3 прямо следуют из опре деления операции. С в о й с т в о 4 является три виальным следствием соответствующих свойств операций сложения матриц и умножения матри цы на число;

наличие такого свойства позволяет отнести операцию транспонирования к числу ли Рисунок нейных операций над матрицами. С в о й с т в о 5 имеет несложное, но чис то техническое доказательство, поэтому для его обоснования обратимся к следующему примеру.

Пример 37. Две формы записи матричных уравнений. В при x + 2 y = м е р е 2 3 при составлении матричного уравнения для системы (1) было x y = использовано два способа объединения неизвестных:

x 1) объединение в форме вектора - столбца X = ;

y 2) объединение в форме вектора - строки Y = ( x y).

Первый способ привёл к успеху, и мы получили искомое матричное уравнение x + 2 y A X = = = (6).

x y Второй способ в том виде, как он применялся в п р и м е р е 2 3, к успеху не при вёл, поскольку получаемое на этом пути матричное уравнение YA= не эквивалентно системе уравнений (1). Попробуем исправить положение. Заметим, что Y = X T. Транспонируем матрицу A и вычислим произведение Y A T :

1 Y A T = ( x y) = ( x + 2 y x y).

2 Таким образом, систему уравнений (1) можно представить в форме матричного уравнения T = (0 0), Y A T = T, где (21) причём уравнение (21) фактически может быть получено в результате транспонирова ния левой и правой части уравнения (6) и использования формулы (A X ) T = X T A T. (22) Вам предоставляется возможность выполнить аналогичные преобразования для системы (2) из п р и м е р а 2 3 и убедиться в том, что кроме уравнения A X = F (7) она может быть записана в виде ещё одного матричного уравнения X T AT = F T, (23) причём и для этих матриц справедлива формула (22).

Уравнения (21) и (23) называются строчной формой записи системы, а уравне ния (6) и (7) – столбцевой формой записи. Обе формы записи совершенно равноправ ны, но в силу сложившейся привычки столбцевая запись матричного уравнения систе мы используется значительно чаще строчной.

Определение. Матрица A называется симметричной, если AT = A, и кососимметричной, если AT = A.

Из определения операции транспонирования следует, что симмет ричные и кососимметричные матрицы являются квадратными матрицами.

У симметричной матрицы A элементы ai j и a j i, расположенные симмет рично относительно главной диагонали, одинаковы:

ai j = a j i ;

у кососимметричной матрицы они имеют противоположные значения:

ai j = a j i.

Следствие. У кососимметричной матрицы все элементы главной диа гонали нулевые: ai i = 0.

Выше мы уже встречались с симметричными матрицами. Например, все коммутационные матрицы G симметричны, симметричной оказалась матрица C коэффициентов жёсткости цепной механической системы (в том числе и блочная матрица из примера 17), симметричны все диаго нальные матрицы. Пример кососимметричной матрицы даёт матрица вра щения U ( ) при значении угла поворота = 90 0 :

sin 90 0 0 cos 90.

U (90 ) = = cos 90 0 1 sin Т е о р е м а 1. 1. Любая квадратная матрица может быть представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, причём такое представление единственно.

Доказательство. Формулировка теоремы включает два утверждения: о сущест вовании такого представления и об его единственности. Докажем существование.

Пусть задана произвольная квадратная матрица A. Образуем две новые квад ратные матрицы:

AC = 0.5 ( A + A T ) и AK = 0.5 ( A A T ).

Транспонируем эти матрицы:

AC = 0.5 ( A + A T )T = 0.5 ( A T + ( A T )T ) = 0.5 ( A T + A) = AC ;

T AK = 0.5 ( A A T )T = 0.5 ( A T ( A T )T ) = 0.5 ( A T A) = AK.

T Оказалось, что матрица AC является симметричной, а матрица AK – кососим метричной. Найдём сумму этих матриц:

AC + AK = 0.5 ( A + A T ) + 0.5 ( A A T ) = 0.5 A + 0.5 A T + 0.5 A 0.5 A T = A, A = AC + AK.

то есть (24) Таким образом, утверждение теоремы о существовании такого представления доказано. Докажем, что это представление единственно.

Пусть для некоторой матрицы A имеются два представления:

A = AC.1 + AK.1 (25) A = AC.2 + AK.2 (26), и где AC.1, AC.2 – симметричные, AK.1, AK.2 – кососимметричные матрицы.

Приравняем правые части равенств (25) и (26), после чего у полученного равен ства AC.1 + AK.1 = AC.2 + AK.2, (27) одновременно транспонируем левую и правую части:

( AC.1 + AK.1 ) T = ( AC.2 + AK.2 ) T, AC.1 AK.1 = AC.2 AK.2.

то есть (28) Складывая правые и левые части равенства (27) и (28), получаем AC.1 = AC.2, вы читая, получаем AK.1 = AK.2, то есть представление единственно.

Теорема доказана.

Представление матрицы в виде суммы (24) используется, например, в разделе математики “Теория поля”.

П р и м е р 3 8. Н е о т р и ц а т е л ь н ы е м а т р и ц ы. В задачах из технических приложений особенно часто встречаются матрицы, которые представлены (или могут быть представлены) в виде произведения A T A, где A – некоторая матрица размера m n. Заметим, что число столбцов матрицы A T равно числу строк матрицы A, по этому операция их перемножения всегда корректна. В результате перемножения полу чается квадратная матрица n - го порядка;

обозначим её B, то есть B = A T A. Изучим свойства матрицы B.

Транспонируем эту матрицу:

B T = ( A T A) T = ( A) T ( A T ) T = A T A = B, следовательно, матрица B – симметричная.

x Пусть X – произвольный вектор-столбец высотой n, X =.... Тогда произве x n дение X B X является матрицей первого порядка. Покажем, что единственный эле T мент этой матрицы является неотрицательным числом. Для этого выполним следующее преобразование:

X T B X = X T A T A X = ( A X ) T ( A X ) = Y T Y, y где произведение Y = A X является вектор - столбцом высоты m, Y =....

y m Продолжим преобразование:

y Y Y = ( y1... ym )... = y12 + y2 +... + ym, y12 + y2 +... + ym 0, 2 T 2 и y m что и требовалось показать.

Если некоторая квадратная матрица C имеет первый порядок и её единственный элемент удовлетворяет условию c11 0, то такие матрицы естественно называть неот рицательными и отмечать это следующим образом:

C 0.

Теперь это определение можно распространить на квадратные матрицы любого порядка.

Определение. Симметричная матрица B, которая при произвольном векторе – столбце X удовлетворяет условию X T B X 0, называется неотрицательной, что обозначается так:

B 0.

Выше было показано, что матрицы A T A являются неотрицательными, то есть AT A 0.

Справедливо и обратное утверждение, а именно: л ю б а я н е о т р и ц а т е л ь н а я матрица B может быть представлена в виде B = AT A.

Доказательство обратного утверждения будет приведено в третьей главе.

Диагональная матрица D = diag (d11, d 22,..., d nn ) является неотрицательной, если все dii 0 ;

здесь в качестве матрицы A можно использовать один из диагональных ал гебраических корней второй степени из матрицы D, например A = diag ( d11, d 22,..., d nn ).

У симметричной недиагональной матрицы ai j утверждение “все диагональ ные элементы ai i 0 ” является необходимым условием, но не является достаточным условием для того, чтобы она была неотрицательной. Так, симметричная матрица пе 0 рестановки J = не является неотрицательной матрицей, поскольку, например, 1 0 1 (1 1) = 2 0.

1 0 Определение. Матрица C = B, противоположная к неотрицательной матрице B, называется неположительной, что обозначается так:

C0.

Для неположительной матрицы C справедливо представление: C = A T A.

Для иллюстрации таких представлений вернёмся к п р и м е р у 1 3 о колебаниях цепной механической системы. Уравнение (15) M X =CX, описывающее эти колебания, содержит две матрицы – неотрицательную диагональную матрицу M = diag (m1, m2,..., mn ) 0 и симметричную матрицу C, которая имеет вид:

c c 0... c 2 c c... 0 0 2 c...

c C =.

..................

0... 2 c c 0 0 c 0 0... c Матрица C может быть представлена также и в следующем виде:

1 1 0... 0 0 1 1... 0 0 0 1... 0 C = A T A, где матрица A = c..................

0 0 0... 1 0 0 0... 0 1 и является неположительной. Вам предоставляется возможность убедиться в этом са мостоятельно, составив матрицы M, C и A для железнодорожного состава, показан ного на рис.9 (то есть содержащего локомотив и четыре вагона).

П р и м е р 3 9 *. М а т р и ч н ы е н е р а в е н с т в а в э л е к т р о т е х н и к е. Вер нёмся к задачам об электрических цепях и покажем, что передаточная матрица F G S = для 2 n -полюсника не может состоять из произвольных блоков, а должна H D удовлетворять условию, имеющему вид матричного неравенства.

Из курса физики вам хорошо известна формула для мощности электрического тока: W = U J, где U – напряжение, а J – сила тока. Используя эту формулу для всех входных, а затем всех выходных клемм, суммарную входную и выходную мощности можно представить в следующей форме:

Wвх = U1вх J1вх +... + U n J n = (U вх ) T J вх ;

вх вх Wвых = U1вых J1вых +... + U n J n = (U вых ) T J вых.

вых вых I Используем матрицу блочной перестановки J = (смотри п р и м е р 3 1 ) I и перепишем эти формулы в следующем симметричном виде:

U вх J вх = 0.5 ( J ) вх = 0.5 ( J U ) J вх, T вх T Wвх = (U ) J вх T вх вх вх вх U J U T U J вых вых Wвых = (U вых ) T J вых = 0.5 ( J вых U вых ) вых = 0.5 ( J вых U вых ) J вых.

T J U J вх J вых Блочные вектора-столбцы вх и вых связаны между собой передаточной U U матрицей S – J вых J вх вых = S вх и ( J U вых ) = ( J вх U вх ) S T, вых U U поэтому формулу для выходной мощности можно записать так:

J вх Wвых = 0.5 ( J U ) S J S вх.

вх T вх T U Если многополюсник не имеет дополнительных источников питания (как это бывает, например, в усилителях), то Wвых Wвх, или, что эквивалентно, J вх J вх ( J вх U вх ) S T J S U вх ( J вх U вх ) J U вх.

T T (29) Перепишем неравенство (29) в следующем виде:

J вх ( J вх U вх ) (S T J S J ) U вх 0.

T (30) Условие (30) выполняется при любых значениях входных токов и напряжений, поэтому оно означает, что матрица S T J S J является неположительной, то есть S T J S J 0. (31) Условие (31) даёт пример так называемого матричного неравенства. Часто его записывают в такой эквивалентной форме:

S T J S J. (32) Матричные неравенства A B или A B в линейной алгебре понимаются в том смысле, что A B 0 или A B 0, соответственно.

В правой и левой части неравенства (32) стоят симметричные матрицы. Ясно, что условие (32) ограничивает сверху значения элементов матрицы S, поэтому, но и не только поэтому, “электрическое доказательство”, приведенное в п р и м е р е 3 0, не яв ляется корректным.

П р и м е р 4 0. С и м м е т р и я м е х а н и ч е с к и х с и с т е м. Уравнения движе ния механических систем обладают особой формой симметрии, которая яв ляется следствием симметрии основных законов динамики. Проиллюстрируем это на примере простейшей динамиче ской модели тепловой импульсной машины (рис.39). При помощи такой модели, например, исследуют основные закономерности тех процессов, которые происходят в стволе артиллерийского орудия во время выстрела, то есть ре шают задачу внутренней баллистики.

Модель учитывает изменение давления и объёма пороховых газов, силы, ока зывающие сопротивление движению снаряда, откат ствола и ряд других x2, x2 x1, x p, w влияющих факторов.


Рисунок Соответствующая математическая модель включает уравнения движения снаря да и ствола:

m1 x1 = f p kcтв ( x1 x2 ) kвоз x1 ;

m2 x2 = f p kcтв ( x2 x1 ) kам x2, и уравнение сжимаемости пороховых газов в затворной камере w p = qгаз (t ) f ( x1 + x2 ) k ут р, где m1, m2 – массы снаряда и ствола;

x1, x1, x2, x2 – скорости и ускорения снаряда и ствола;

f – площадь поперечного сечения снаряда;

kcтв – коэффициент в формуле для силы трения между запорным пояском снаряда и стволом;

kвоз – коэффициент, учиты вающий сопротивление выталкиваемого воздуха;

kам – коэффициент в формуле для силы сопротивления амортизаторов отката ствола;

k ут – коэффициент, учитывающий прорыв части пороховых газов в обгон снаряда;

p, w – давление пороховых газов и за нимаемый ими объём;

– коэффициент сжимаемости газов;

qгаз – объёмная скорость выделения газов при горении порохового заряда;

t – время.

Уравнения математической модели запишем в матричной форме. Для этого об разуем диагональную матрицу D из коэффициентов при производных, вектор-столбец X из так называемых динамических параметров системы и вектор-столбец Q, учиты вающий влияние внешних факторов:

x1 D = diag (m1, m2, w) ;

X = x2 ;

Q = 0.

p q (t ) газ Тогда систему дифференциальных уравнений можно заменить одним уравнени ем следующего вида:

D X = A X + Q(t ), (33) (kств + kвоз ) f kств A= (kств + kам ) где kств f.

k ут f f Квадратную матрицу A третьего порядка можно представить в виде блочной матрицы формата 2 B F A=, (34) F T Z (kств + kвоз ) f kств, Z = ( k ут ), F =.

B= (kств + kам ) kств f Матрицы B и Z являются симметричными и как это несложно проверить (вы полнить самостоятельно!) неположительными матрицами, но сама матрица A симмет ричной не является, так как блоки, расположенные на побочной диагонали, удовлетво ряют условию косой симметрии. Матрица A не является и кососимметричной, если диагональные блоки B и Z ненулевые (то есть когда система теряет часть механиче ской энергии на преодоление сил трения и при утечках массы). Проявившаяся здесь особая форма симметрии матрицы называется симметрией механических систем.

Замечательным является то, что если уравнения динамики любой механической систе мы записаны в форме матричного уравнения (33), то матрица A всегда может быть представлена в виде блочной матрицы (34), причём матрицы B и Z являются симмет ричными и B 0, Z 0.

Другими словами, м а т р и ч н о е п р е д с т а в л е н и е ( 3 4 ) я в л я е т с я м а т е матическим эквивалентом основных законов механики и следст вием их симметрии.

Использование матричных уравнений вместо систем уравнений позволяет в наиболее наглядной форме выявить симметрию, присутствующую в этих системах, и избегать грубых ошибок при составлении математических моделей для сложных дина мических объектов.

Замечание. Если уравнения динамики записаны в форме дифференциального матричного уравнения второго порядка D X = A X + B X + Q(t ), где D – диагональная неотрицательная матрица, то матрицы A и B обязаны быть сим метричными и неположительными матрицами (смотри, например, уравнение (15)).

Глава 2. Определители и обратные матрицы § 7. Факториал. Перестановки. Инверсия Определение. Факториалом натурального числа n называется про изведение 1 2... (n 1) n.

Факториал числа n обозначается n !, то есть n ! = 1 2... (n 1) n.

В частности, 1! = 1;

2! = 1 2 = 2;

3! = 1 2 3 = 6;

4! = 1 2 3 4 = 24;

5! = 1 2 3 4 5 = 120, и так далее.

Факториал числа 0 считается равным 1 (то есть 0 ! = 1 ) ;

факториалы отрицательных целых чисел пока не определены;

позже вы узнаете, что их можно считать равными бесконечности.

Факториалы двух соседних чисел удовлетворяют следующему оче видному соотношению:

(n + 1) ! = (n + 1) n !, (1) формулы такого вида в математике называются рекуррентными.

Рекуррентная формула (1) позволяет последовательно переходить от одного факториала к другому, не выполняя все вычисления заново. Так на основе этой формулы может быть легко получена следующая таблица зна чений факториала (табл. 1).

Таблица 1 – Значения факториала.

n! n! n! n!

n n n n 1 1 6 720 11 39916800 16 2 2 7 5040 12 479001600 17 3 6 8 40320 13 6227020800 18 4 24 9 362880 14 87178291200 19 5 120 10 3628800 15 1307674368000 20 Как видно из приведенных данных, факториал с увеличением числа n очень быстро возрастает и при n 15 выходит в область астрономиче ских чисел.

Определение. Пусть даны n чисел a1, a2, …, an. Любое расположение этих чисел в определённом порядке называется их перестановкой.

Т е о р е м а 2. 1. Число перестановок, которое можно образовать из n чисел, равно n !.

Доказательство. Подсчитаем число вариантов. На первое место в перестановке можно поставить любое число из имеющихся n, что даёт n вариантов. Тогда число претендентов занять второе место в перестановке уменьшится на единицу и составит n 1, а число различных вариантов для первых двух позиций составит n (n 1). Анало гично, на третье место можно поставить одно число из оставшихся (n 2) чисел, на четвёртое – одно из (n 3) чисел и так далее, пока не останется одна незаполненная по зиция и единственное неиспользованное число.

Теорема доказана.

Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число расположено перед меньшим числом. Количество инверсий множества чи сел a1, a2, a 3, …, an обозначается символом: [ a1, a2, …, an ]. Чтобы подсчитать число инверсий в произвольной перестановке чисел a1, a2, a 3, …, an посту пают таким образом:

сосчитаем количество инверсий k1, образованное числом a1 с ос тальными числами в перестановке;

затем, зачёркивая число a1, вычисляем количество инверсий k2, об разованное элементом a2 с оставшимися числами перестановки, и так далее.

Тогда число k = k1 + k2 + + kn 1 даёт число инверсий в переста новке a1, a2, …, an.

П р и м е р 4 1. Вычислить количество инверсий в перестановке 2, 4, 3, 5, 1, 7.

Решение. Число 2 образует инверсию с 1, т.е. k1 = 1. Вычеркивая число 2, по лучаем перестановку 4, 3, 5, 1, 7.

Число 4 образует инверсию с числами 3 и 1, следовательно k2 = 2. Зачеркивая 4, получаем перестановку 3, 5, 1, 7.

Число 3 образует перестановку с 1, поэтому k3 = 1.

Аналогично показываем, что k 4 = 1, k 5 = 0.

Ответ: [2, 4, 3, 5, 1, 7] = 1+2+1+1+0=5.

Определения.

1. Перестановка a1, a2, …, an называется чётной (или нечётной), если соответственно чётно (или нечётно) число инверсий в перестановке.

2. Операция перемены местами каких-либо двух чисел в перестанов ке называется транспозицией этих чисел.

Т е о р е м а 2. 2. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

Доказательство. Пусть задана перестановка a1, a2, …, an. Рассмотрим сначала случай, когда транспонируемые числа ai и ai +1 стоят рядом:

a1, a2, …, ai, ai +1, …, an. (2) Переставляя местами числа ai и ai +1, получим следующую перестановку a1, a2, …, ai +1, ai, …, an. (3) Очевидно, что все числа перестановки (кроме чисел ai, ai +1 ) не изменили сво его положения относительно друг друга, а также относительно чисел ai и ai +1. Если числа ai и ai +1 в перестановке (2) образуют инверсию, то в перестановке (3) они ин версии не образуют;

и, наоборот, если в перестановке (2) числа ai и ai +1 не образуют инверсии, то в перестановке (3) они образуют инверсию. В обоих случаях количество инверсий меняется на единицу, следовательно, меняется четность перестановки.

Пусть теперь между транспонируемыми числами ai и a j, расположено s эле ментов, т.е. перестановка имеет вид:

a1, a2, …, ai, ai +1, ai +2, …, ai +s, a j, …, an.

Очевидно, транспозицию чисел ai и a j можно осуществить в результате после довательного выполнения ( 2s + 1 ) транспозиций соседних элементов. Таким образом, мы нечётное число раз меняем чётность перестановки и в итоге она изменится на про тивоположную.

Теорема доказана.

§ 8. Понятие определителя Рассмотрим произвольную квадратную матрицу A порядка n. Со поставим матрице A число det A по следующему правилу:

a11 a12 a1n a21 a22 a2n ( 1 )r ai 1ai 2 …ai n, (4) det A = = def n 1 a n 1 an 2 ann где сумма берётся по всевозможным перестановкам чисел r = [ i1, i2, …, in ].

i1, i2, …, in ;

Определение. Число det A, вычисляемое по формуле (4), называется определителем матрицы A n -го порядка, или просто определителем n го порядка.

Выражение det A читается «д е т е р м и н а н т м а т р и ц ы A », где тер мин детерминант переводится с французского языка на русский как оп ределитель.

Число перестановок равно n !, поэтому определитель n -го порядка равен сумме из n ! слагаемых, причём каждое слагаемое является произве дением n элементов, взятых из разных строк и столбцов.

Определителем матрицы первого порядка, образованной числом a11, называется само это число, то есть:

det a 11 = a 11.

Пользуясь определением, вычислим определители второго и третье го порядков.

Определитель матрицы второго порядка содержит два слагаемых:

a11 a22 (1)[ 1,2 ] и a21 a12 (1)[ 2,1 ] ;

первое произведение получает знак плюс, второе – знак минус, то есть:

a11 a a21 a22 = a11 a22 a21 a12. (5) Определитель матрицы третьего порядка содержит 6 слагаемых:

a11 a12 a a21 a22 a23 = a11 a22 a33 ( 1)[ 1,2,3 ] + a31 a12 a23 ( 1)[ 3,1,2 ] + a21 a32 a13 ( 1)[ 2,3,1] + a31 a32 a + a31 a22 a13 ( 1)[ 3,2,1] + a11 a32 a23 ( 1)[ 1,3,2 ] + a21 a12 a33 ( 1)[ 2,1,3 ], и здесь, если подсчитать число инверсий, получаем:


a11 a12 a a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a31 a12 a23 + a21 a32 a (6) a31 a32 a a31 a22 a13 a11 a32 a23 a21 a12 a33.

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользовать ся п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в, которое символически можно запи сать так, как показано на рис. 40.

Рисунок 2 1 1 2 2.

П р и м е р 4 2. Вычислить определитель матрицы 3 2 Решение:

1 1 2 2 = 2 2 4 + 1 2 3 1 2 3 3 2 3 2 2 2 + 11 4 = 3 2 = 16 + 6 6 18 8 + 4 = Ответ: определитель матрицы равен – 6.

Формула (4) для определителя 4-го порядка содержит 24, а опреде лителя 5-го порядка - 120 слагаемых, поэтому эта формула при n 3 ис пользуется только для отдельных типов матриц;

несколько примеров тако го рода вычислений вы найдёте в конце этого параграфа. Вместо неё для вычисления определителей используются так называемые формулы Лап ласа или метод Гаусса.

П р и м е р 4 3. Ч т о « о п р е д е л я е т » о п р е д е л и т е л ь м а т р и ц ы ? Попыта емся найти ответ на этот так называемый «детский» вопрос на примере решения систем линейных уравнений. Вы уже знаете (смотри п р и м е р ы 1 и 2 3 ), что систему двух линейных уравнений a11 x + a12 y = f, (7) a21 x + a22 y = f можно записать в виде матричного уравнения A X = F, a a12 f x A = 11 X = ;

F = 1.

где ;

a21 a22 f y Найдём решения системы (7), используя метод исключения неизвестного:

a11 x + a12 y = f1 a22 a11 x + a22 a12 y = a22 f (a22 a11 a12 a21 ) x = a22 f1 a12 f 2 ;

a21 x + a22 y = f2 a12 a21 x + a12 a22 y = a12 f a11 x + a12 y = f1 a a x + a21 a12 y = a21 f 21 11 (a21 a12 a11 a22 ) y = a21 f1 a11 f 2.

a21 x + a22 y = f 2 a11 a21 x + a11 a22 y = a11 f Воспользуемся формулой (5) для определителя второго порядка и перепишем полученные равенства в следующем эквивалентном виде:

a11 a12 f1 a12 a11 a12 a11 f x = y= ;

. (8) a21 a22 f2 a22 a21 a22 a21 f Теперь можно сделать некоторые выводы. Во-первых, если det A = 0, а по край ней мере один из определителей, записанных в правых частях равенств (8), не равен нулю, то система (7) не имеет решения, то есть определитель матрицы коэффициен тов A «определяет» условие существования решения системы. Во- вторых, если det A 0, то можно сразу указать единственное решение системы (7):

f1 a12 a11 f f a22 a f x= 2 y = ;

, (9) det A det A то есть определители позволяют «определить» значения неизвестных для того слу чая, когда решение системы единственно.

Формулы (9) являются частным случаем формул для решения системы n линей ных уравнений с n неизвестными, которые были получены немецким математиком Крамером и носят его имя. Далее в этой книге на эту тему будет доказана соответст вующая теорема. Надеемся, что вам понятна закономерность, которой подчиняются определители, используемые в числителях формул Крамера. Поэтому, имея целью продолжить упражнения в методах вычисления определителей, покажем, как исполь зуются определители при решениях систем третьего порядка.

x 0.1 y + 0.7 z = 1. Найдём решение системы (1.2) 2 x + 3 y 0.5 z = 0.5 из п р и м е р а 1. Для 0.1 x + y 2 z = 0. этого составим и вычислим четыре определителя третьего порядка:

1 0.1 0. a11 a12 a = a21 a22 a23 = 2 0.5 = 6 + 0.005 1.4 0.21 + 0.4 + 0.5 = 6.705 ;

a31 a32 a33 0.1 0. f1 a12 a13 1.6 0. x = f2 a23 = 0.5 0.5 = 9.6 0.045 + 0.35 + 1.89 0.1 + 0.8 = 6.705 ;

a22 0.9 f3 a32 a33 a11 f1 a13 1 1.6 0. y = a21 a23 = 2 0.5 0.5 = 1 0.08 + 1.26 0.035 6.4 0.45 = 6.705 ;

f 0.1 0.9 a31 f3 a 0. a11 a12 f1 1 1. z = a21 f 2 = 2 0.5 = 2.7 0.005 3.2 0.48 + 0.18 0.5 = 6.705.

a22 0. a31 a32 f3 0.1 Теперь вычислим значения неизвестных по формулам Крамера:

6.705 6.705 6. = 1;

y = y = x= x = = 1;

z = z = =1.

6.705 6.705 6. Если найденные значения подставить в уравнения системы (1.2), то все уравне ния превратятся в точные равенства. Следовательно, использование определителей третьего порядка позволило найти решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

П р и м е р 4 4. Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л о п р е д е л и т е л я. В предыду щем примере мы ответили на поставленный вопрос только частично, объяснив, что «определяет» определитель матрицы в линейной алгебре. Покажем, что «определяет»

определитель в геометрии.

Рассмотрим произвольную матрицу второго порядка a a A = 11 a21 a и отметим на координатной плоскости O xy (рис.41) точки M 1 (a11, a12 ) и M 2 (a21, a22 ).

Построим параллелограмм OM 1 PM 2 и найдём его площадь S :

S = OM 1 OM 2 sin.

Преобразуем эту формулу, используя равенство = 2 1 и соотношения меж ду сторонами прямоугольных треугольников OK1M 1 и OK 2 M 2 :

S = OM 1 OM 2 sin( 2 1 ) = OM 1 OM 2 (sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 ) = = (OM 1 cos 1 ) (OM 2 sin 2 ) (OM 1 sin 1 ) (OM 2 cos 2 ) =.

= OK1 K 2 M 2 K1M 1 OK 2 = a11 a22 a12 a21 = det A Таким образом, определитель оказался ра y P вен площади параллелограмма.

Если поменять местами строки матрицы A, то площадь параллелограмма не изменится, но значение определителя изменится на противо M положное (проверить самостоятельно!). Поэтому в общем случае можно утверждать, что абсо лютная величина определителя равна площа M ди параллелограмма OM 1 PM 2.

2 Рассмотрим произвольную квадратную матрицу третьего порядка O K2 K1 x a11 a a A = a21 a22 a Рисунок a a a 31 и построим (рис. 42) параллелепипед OM 1 PM 2 P2 M 3 P3 P, в котором три вершины име ют следующие координаты:

M 1 (a11, a12, a13 );

M 2 (a21, a22, a23 ) ;

M 3 (a31, a32, a33 ).

В курсе аналитической геометрии доказывается, что объём этого параллелепи педа в точности равен абсолютной z величине определителя матрицы A. M3 P P Пример 45. ЭВМ против определителя: раунд пер в ы й. Оценим число операций, кото- P рое требуется для вычисления опреде- P лителя квадратной матрицы n -го по рядка по формуле (4). Предполагается, O y что все элементы матрицы отличны от M нуля, то есть она является не разре x женной, а заполненной. Будем учи тывать то, что на большинстве ЭВМ операция умножения двух чисел вы- M P полняется примерно в 2 раза дольше, чем операции сложения. Тогда, для Рисунок того, чтобы получить все n ! слагаемых формулы (4) (без определения их знака !) и найти их сумму потребуется выполнить N1 = 3 (n 1) n !

операций сложения. Воспользуемся дан ными таблицы значений факториала и выясним, что для определителя 20 - го порядка число N составляет приблизи тельно 12 1020. Если использовать ре кордную по быстродействию суперЭВМ Marc – IV (приблизительно 1 млрд. опе раций сложения в секунду), то на вычис ление этих слагаемых для одного такого определителя понадобится приблизи тельно 30 тысяч лет! Но ведь ещё нужно считать инверсии. Первый раунд ЭВМ проиграла, что и отражено на рис. 43.

Рисунок Пример 46. Определитель т р е у г о л ь н о й м а т р и ц ы. Пусть матрица A является нижнетреугольной матрицей n - го порядка, то есть a11 0...

a a22... A = 21.

............

a... ann n1 an 2 Тогда в формуле (4) будут отличны от нуля только те слагаемые у которых все i j j.

(1) r ai1 1 ai2 2... ain n, (10) Поскольку числа i j различны, то условию (10) удовлетворяет только одна пере становка, в которой все i j = j ;

соответственно этому в формуле (4) останется только одно слагаемое (1) r a11 a22... an n. Число инверсий r для этой перестановки равно нулю. В результате, мы пришли к очень простому правилу: о п р е д е л и т е л ь н и ж нетреугольной матрицы равен произведению диагональных эле м е н т о в, то есть det A = a11 a22... ann. (11) Аналогичное правило выполняется для верхнетреугольной матрицы, в чём вам предлагается убедиться самостоятельно. Диагональная матрица является частным слу чаем треугольной, поэтому и здесь det [ diag (d11, d 22,..., d nn ) ] = d11 d 22... d nn. (12) Следствие. Определитель единичной матрицы любого порядка равен 1, то есть det I = 1. (13) Пример 47*. Определитель блочно-диагональной матрицы.

Пусть квадратная матрица D N - го порядка является блочно-диагональной матрицей с квадратными блоками Di i порядка li, то есть D11...

...

D D= l1 + l2 +... + ln = N.

и.........

...

... Dnn Если записать для определителя этой матрицы формулу (4) и отбросить в ней заведомо нулевые члены, то в этой формуле останется K слагаемых вида K = (l1 !) (l2 !)... (ln !).

(1) r d i1 1 di2 2... diN N, где К сожалению, число K обычно велико. Например, при значениях l1, l2, l3, n = (то есть для не очень большой блочно-диагональной матрицы 9-го порядка) K = 216.

Поэтому находить при вычислении определителя сумму такого большого числа сла гаемых практически невозможно. Однако в этом нет необходимости, поскольку для этих слагаемых все перестановки номеров строк оказываются ограничены пределами отдельных блоков Di i (или, как говорят математики, перестановки локализованы в блоках). Поэтому, если применить формулу (4) для каждого блока Di i, а затем пере множить все n сумм между собой, то получится формула (4) для определителя матри цы D со всеми её K слагаемыми.

Разумеется, для практики важно то, что это преобразование можно провести в прямо противоположную сторону. В результате мы приходим к следующему правилу:

определитель блочно-диагональной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков, то есть det [ diag ( D11, D22,..., Dnn ) ] = det D11 det D22... det Dnn. (14) Обобщение. Аналогичное правило имеет место для определителя блочно – тре угольной матрицы. Вам предоставляется возможность сформулировать и доказать его самостоятельно.

П р и м е р 4 8 *. М а т р и ц а и з о п р е д е л и т е л е й. Вычислим определитель I, где I, – единичная и нулевая матрицы матрицы блочной перестановки J = I n - го порядка. При использовании для этой матрицы формулы (4) сумма будет содер жать только одно ненулевое слагаемое, равное (1) r, где r = [ (n + 1), (n + 2),..., (2 n), 1, 2,..., n ].

Определим число инверсий в этой перестановке. Каждое число из второй груп пы (то есть, числа 1, 2, …, n ) образуют с числами первой группы n инверсий, следова тельно, общее число инверсий r = n 2. В результате оказывается, что det J = 1 при чётном n det J = 1 при нечётном n.

и Замечание. Решённый пример позволяет избавиться от одной довольно распро странённой иллюзии, которая может возникнуть у внимательного читателя после зна комства с результатами предыдущих п р и м е р о в 4 6 и 4 7. Справедлива ли формула det A i j = det det A i j ?

Ф о р м у л а к р а с и в а, и это, как всегда бывает в математике, важный аргумент в её пользу. Кроме того, для блочно – диагональных и блочно – треугольных матриц она соблюдается. Проверим её на примере матрицы блочной перестановки J.

det det I 0 Слева: det J = (1) n. Справа: det = det = 0 0 1 1 = 1.

det I det 1 Таким образом, при чётном n равенства нет, следовательно, найден так назы ваемый контр пример, который показывает, что эту формулу для общего случая до казывать не зачем, поскольку здесь она не может быть верна. А жаль, неправда ли?

Формула для вычисления определителя блочной матрицы нужна для практики, и по этому позже мы обязательно вернёмся к этому вопросу.

§ 9. Формулы Лапласа Рассмотрим определитель n -го порядка a11 a12 a1n a21 a22 a2n.

an 1 an 2 ann Определение. Минором элемента a i k называется определитель ( n 1 ) -ого порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием i -той строки и k -того столбца.

Минор элемента aik обозначается M ik.

П р и м е р 4 9. Пусть дан определитель 2 1 5 7 8.

3 Минор M 32 элемента a32 =1, стоящего в третьей строке и втором столбце, равен:

M 32 = = 4.

Определение. Алгебраическим дополнением Aik элемента aik назы вается минор этого элемента, взятый с определенным знаком, а именно:

Aik = ( 1 )i +k M ik. (15) + + +...

+ +...

+ +...

+ Знаки при движении по строке или по столбцу + +...

матрицы чередуются, причём миноры всех элемен + +...

+ тов главной диагонали используются в формуле............

......

(15) со знаком « + » (рис. 44).

Рисунок Замечание. Внимательный читатель уже заметил, что раньше мы использовали обозначение Ai j для записи элементов блочной матрицы. Такая ситуация называется в математике коллизией обозначений. Мы, конечно, могли бы избежать этой коллизии, изменив обозначения на менее удобные и непривычные, но не стали этого делать. Бло ки матрицы и алгебраические дополнения её элементов обычно не соседствуют друг с другом в одной задаче;

в этом или других учебниках по линейной алгебре вы не найде те таких страниц, на которых использовалось бы и то, и другое понятие. Что касается смысла обозначения Ai j, то он всегда ясен из контекста решаемой задачи.

Т е о р е м а 2. 3 (фо р м у л ы Л а п л а с а ). Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения, то есть:

a11 a12 a1n a21 a22 a2n n aik Aik, где i 1, n ;

(16) det A = = k = an 1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2n n aik Aik, где k 1, n. (17) det A = = i = an 1 an 2 ann Доказательство. Докажем формулу (17) для случая, когда k = 1 (то есть, для первого столбца). Заметим, что каждое слагаемое из суммы (4) содержит некоторый, причём единственный, элемент ai1 из первого столбца матрицы A. Каждый элемент ai содержится в (n 1) ! слагаемых этой суммы, которые можно записать в виде отдель ной группы. Если из каждой группы вынести элемент ai1 за скобки, то формула (4) примет такой вид:

где Si1 = (1) r ai2 2 ai3 3... ain n, det A = a11 S11 + a21 S21 +... + an1 S n1, а сумма берётся по всевозможным перестановкам чисел r = i, i2, …, in.

i j 1, n;

i j i;

i2, …, in ;

Число инверсий r в соответствии с методом его вычислений, описанном в § 7, удовлетворяет такой формуле:

r = (i 1) + r1, где выражение (i 1) определяет число инверсий номера i с остальными числами пере становки i, i2, …, in ;

а r1 = [ i2, …, in ].

Заметим, что (1)i 1 = (1)i +1, поэтому Si1 = (1)i +1 (1) r1 ai2 2 ai3 3... ain n = (1)i +1 M i1.

Следовательно, S i1 = A i1, и формула (17) для случая, когда k = 1, доказана.

Для остальных столбцов теорема доказывается аналогично. Формула (16) будет доказа на как следствие формулы (17) после изучения свойств определителя.

Применение формул (16) или (17) называется раскрытием опреде лителя по элементам i -той строки или k -того столбца, соответствен но.

Указание. Раскрытие определителя целесообразно проводить по той строке или по тому столбцу, которые содержат максимальное число нуле вых элементов.

1 2 2 0 0 A= П р и м е р 5 0. Вычислить определитель матрицы.

3 0 4 0 Решение. Вторая строка матрицы содержит три нуля, поэтому раскроем опреде литель по элементам этой строки:

2 det A = 2 A21 + 0 A2 2 + 0 A2 3 + 0 A2 4 = 2 (1) M 21 = 2 0 5 0 = 2 2 5 6 = 120.

0 Определитель третьего порядка вычислялся как определитель треугольной матрицы.

Ответ: det A = 120.

П р и м е р 5 1. Э В М п р о т и в о п р е д е л и т е л я : р а у н д в т о р о й. Оценим число операций, которое потребуется для вычисления определителя заполненной мат рицы n -го порядка по формулам Лапласа. Учтём, как и ранее в п р и м е р е 4 5, что операция умножения по длительности эквивалентна двум операциям сложения. Тогда раскрытие определителя n - го порядка по элементам первой строки потребует пример но 3 n операций сложения. Если раскрыть все миноры по элементам их первой строки, то на это потребуется ещё n (3 (n 1)) операций. Продолжая указанным образом пони жать порядки миноров, мы можем вычислить определитель, потратив на это время, ко торое примерно эквивалентно выполнению N2 = 3 n !

операций сложения. Число N 2 оказалось меньшим числа N1, но для определителей по рядка n 20 оно всё ещё чрезвычайно велико (время счёта - тысячи лет!). И поэтому второй раунд ЭВМ тоже проиграла (рис. 43).

П р и м е р 5 2 *. О п р е д е л и т е л ь ц е п н о й с и с т е м ы. Пусть дана трёхдиа гональная матрица n -го порядка d1 b1 0... 0 c1 d 2 b2... 0 0 0 c2 d3... 0 A =..........

............

0 0 0... d n 2 bn... cn 2 d n 1 bn 0 0 0 0 dn... 0 cn Обозначим определитель этой матрицы xn, где индекс n отвечает его порядку.

Раскроем этот определитель по элементам нижней строки:

xn = cn 1 An n 1 + d n An n = cn 1 M n n 1 + d n M n n. (18) Выпишем используемые миноры:

d1 b1 0... 0 0 d1 b1 0... 0 c1 d2 b2... 0 0 c1 d2 b2... 0 0 c2 d3... 0 0 0 c2 d3... 0 M n n 1 = Mn n = ;

.

....................................

0 0 0... d n 2 0 0 0 0... d n 2 bn 0 0 0... cn 2 bn 1 0 0 0... cn 2 d n Минор M n n аналогичен определителю матрицы A, но имеет порядок n 1, по этому его можно обозначить xn 1. Минор M n n 1 можно раскрыть по элементам n 1 го столбца, в котором имеется только один элемент, отличный от нуля:

M n n 1 = bn 1 xn 2, где величина xn 2 обозначает определитель n 2 - го порядка, который получается из определителя матрицы A после вычёркивания двух последних строк и столбцов.

После выполненных преобразований уравнение (18) принимает следующий вид:

xn = d n xn 1 (bn 1 cn 1 ) xn 2.

Аналогичное соотношение выполняется для определителей, имеющих порядок k n:

xk = d k xk 1 (bk 1 ck 1 ) xk 2 k 3, n. (19) Формула (19) даёт ещё один пример рекуррентных зависимостей. Для её практи ческого использования необходимо найти значения двух определителей: x1 и x2.

Составим и вычислим эти определители:

d b x1 = det [ d1 ] = d1 ;

x2 = det 1 = d1 d 2 b1 c1. (20) c1 d Теперь можно найти определитель x3 :

x3 = d3 x2 (b2 c2 ) x1 ;

затем – определитель x4 :

x4 = d 4 x3 (b3 c3 ) x2, и так далее.

В рассмотренном выше общем случае после использования рекуррентных фор мул может быть получено конкретное числовое значение определителя n - го порядка.

Рассмотрим частный случай, когда все коэффициенты, стоящие вдоль диагонали, принимают одинаковое значение (то есть все di = d, все bi = b и все ci = c ), и получим аналитическую формулу для определителя.

Пусть, например, требуется вычислить определитель симметричной матрицы - го порядка следующего вида 5 2 0... 2 5 2... A = 0 2 5... 0,...............

0 0 0... то есть при конкретных числовых значениях параметров d = 5;

b, c = 2;

n = 10.

Для этого случая равенства (19) и (20) примут следующий вид:

xk = d xk 1 (b c) xk 2 xk = 5 xk 1 4 xk 2 ;

или (21) x1 = 5;

x2 = 21.

x1 = d ;

x2 = d 2 b c или (22) Уравнения вида (21) относится к классу так называемых разностных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Математики давно нашли аналитиче ский метод решения таких уравнений. В соответствие с этим методом будем искать решение в виде xk = y k, где y - некоторое неизвестное пока постоянное число. Под становка этого решения в уравнения (21) приводит к равенствам y k = d y k 1 (b c) y k 2 y k = 5 y k 1 4 y k 2, или которые после сокращения на степень y k 2 0 оказываются эквивалентными квадрат ным уравнениям y 2 d y + (b c) = 0 y 2 + 5 y + 4 = 0.

или (23) Уравнение (23) называется характеристическим. Найдём корни этого уравне ния – y1 = 4, y2 = 1 – и составим из них следующую сумму:

xk = C1 y1k + C2 y2, xk = C1 (4) k + C2 (1) k k то есть (24) где C1, C2 – некоторые числа.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.