авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Ю.Л. Геворкян, А.Л. Григорьев Основы линейной алгебры и её приложений в технике Утверждено Министерством образования и науки ...»

-- [ Страница 3 ] --

Нетрудно проверить, что величина xk, определяемая равенством (24), является решением уравнения (21) при любых значениях C1, C2. В теории разностных линейных уравнений доказано, что если квадратное характеристическое уравнение имеет пару различных корней y1, y2, то любое решение уравнения (21) может быть записано в форме (24), то есть это равенство даёт общее решение уравнения. В случае кратного корня (то есть, когда y1 = y2 ) общее решение уравнения (21) имеет вид xk = C1 y1k + C2 y1k k.

Рассмотренной выше последовательности определителей будет отвечать част ное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (22).

Частное решение получается из общего после определения конкретных значений для чисел C1, C2. Найдём эти значения, для чего подставим формулу (24) в равенства (22):

4 C1 + C2 = x1 = C1 (4) + C2 (1) = 5;

x2 = C1 (4) 2 + C2 (1) 2 = 21, то есть. (25) 16 C1 + C2 = 4 Решая систему (25), получаем: C1 = ;

C2 =. Следовательно, определителю 3 n - го порядка отвечает формула 4 xn = (4) n (1) n, 3 а определителю 10 – го порядка – число x10 = (411 1) / 3 = 1398101.

Примечание. Матрица C цепной механической системы (п р и м е р 1 3 ) отли чается от рассмотренного здесь частного случая тем, что в ней крайние элементы глав ной диагонали не равны остальным элементам. Поэтому здесь формулы (21) справед ливы не для всех k 3, n, а только для случая, когда k 4, n 1, и чтобы воспользовать ся ими, нужно в качестве начальных условий взять пару значений x2, x3. После нахож дения определителя xn 1, искомый определитель n - го порядка вычисляется по форму ле (19), полученной для общего случая. Вам предлагается самостоятельно воспользо ваться этими рекомендациями и найти определитель матрицы C из п р и м е р а 1 3 для значений c = 1;

n = 16 (то есть для железнодорожного состава из локомотива и 16-ти вагонов).

§ 10. Понятие линейной зависимости Пусть задана совокупность (то есть, здесь и далее, конечное множе ство) k векторов-столбцов одинакового размера:

a11 a12 a1k a a a 21 22 2k A1 =... ;

A2 =... ;

Ak =....

a a a n1 n2 nk Нулевой столбец того же размера будем обозначать, как и ранее,.

Определение. Выражение вида 1 A1 + 2 A2 + + k Ak называется линейной комбинацией столбцов, а скалярные множители 1, 2, …, k называются коэффициентами линейной комбинации. Ли нейная комбинация, у которой все коэффициенты равны нулю, называется тривиальной;

в противном случае комбинация называется нетривиаль ной.

Очевидно, что линейная комбинация столбцов есть некоторый стол бец того же размера. Тривиальная линейная комбинация любой совокуп ности столбцов равна.

Определение. Совокупность столбцов A1, A2, …, Ak называется ли нейно независимой, если из равенства + k Ak = следует 1 = 2 = = k = 0, 1 A1 + 2 A2 + то есть не существует их нетривиальных комбинаций, равных нулю.

Совокупность столбцов называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю.

Каждый столбец Ai высоты n может быть представлен в виде сле дующей линейной комбинации:

a1i 1 0 0 a2i 0 1 0 Ai = a3i = a1i 0 + a2 i 0 + a3i 1 +... + ani 0 = a1 i E1 + a2 i E2 + a3 i E3 +... + an i En,...............

0 0 0 ani где каждый столбец E i = e j1 устроен так, что все его элементы e j1 равны 0 при j i и равны 1 при j = i.

Определение. Совокупность столбцов E1, E2,..., En называется кано нической совокупностью.

Каноническая совокупность линейно независима, что очевидно.

Т е о р е м а 2. 4. Совокупность столбцов A1, A2, …, Ak линейно зави сима в том и только в том случае, когда хотя бы один из столбцов является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Пусть совокупность столбцов A1, A2, …, Ak линейно зависима.

Покажем, что один из столбцов есть линейная комбинация остальных. Составим ли нейную комбинацию столбцов и приравняем её к нулю 1 A1 + 2 A2 + + k Ak = (26) В силу линейной зависимости столбцов, хотя бы один из коэффициентов не равен ну лю. Не нарушая общности, можно считать, что 1 0. Преобразуем равенство (26), разделив его на коэффициент 1 :

k A1 + A + + A = 0, 1 2 1 k откуда i A1 = 2 A2 + + k Ak, где i = ( i = 2, 3, …, k ), то есть столбец A1 есть линейная комбинация остальных столбцов.

Теперь предположим, что один из столбцов есть линейная комбинация осталь ных, и докажем их линейную зависимость. Пусть этот столбец имеет номер i, то есть Ai = j1 A1 + j2 A2 + + ji 1 Ai 1 + ji +1 Ai +1 + + jk Ak.

Тогда j1 A1 + j2 A2 + + ji 1 Ai 1 + ji Ai + ji +1 Ai +1 + + jk Ak =, (27) где ji = 1.

Равенство (27) означает, что столбцы A1, A2, …, Ak линейно зависимы.

Теорема доказана.

Следствие. Если один из столбцов A1, A2, …, Ak нулевой, то совокуп ность столбцов линейно зависима.

Действительно, нулевой столбец является тривиальной линейной комбинацией остальных столбцов.

Т е о р е м а 2. 5. Если в совокупности столбцов A1, A2, …, An каждый столбец представляет собой линей z ную комбинацию одних и тех же N M N2 столбцов B1, B2,..., Bk и n k, то N L столбцы этой совокупности линейно N N зависимы.

L M Доказательство этой теоремы бу дет приведено в этой книге позже. Здесь O же мы дадим ей геометрическую интер y претацию. Пусть k = 2, а столбцы B1 и B x имеют следующий вид:

Рисунок 45 x1 x B1 = y1 ;

B2 = y2.

z z 1 Отметим на рис. 45 точки M 1 ( x1, y1, z1 ), M 2 ( x2, y2, z2 ) ;

если столбцы B1, B2 ли нейно независимы, то они не пропорциональны друг другу, и прямые OM 1, OM 2 не сливаются в одну общую линию. Проведём через эти точки и начало координат плос кость OM 1M 2, при условии линейной независимости столбцов такая плоскость единст венная.

Образуем линейную комбинацию Ai столбцов B1, B2, используя для этого произ вольные числовые коэффициенты i, i :

x2 i x1 + i x2 x x Ai = i B1 + i B2 = i y1 + i y2 = i y1 + i y2 = y.

z z z + z z 1 2 i 1 i В курсе аналитической геометрии доказывается, что при любых значениях ко эффициентов i, i точка N ( x, y, z ) также принадлежит этой плоскости OM 1M 2.

Пусть линейным комбинациям A1, A2,..., An на рис.45 соответствуют точки N1, N 2,..., N n. Если все эти точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, то столбцы A1, A2,..., An пропорциональны друг другу, а, значит, линейно зависимы.

На рис. 45 изображён другой случай, когда точки N1, N 2 не лежат на одной пря мой, проходящей через начало координат. Тогда любой столбец Ai, например столбец A3, может быть представлен в виде следующей линейной комбинации:

A3 = A1 + A2, где коэффициенты, определяются формулами OL1 OL = ;

=.

ON 1 ON Теперь осталось привести формальное обоснование линейной зависимости всей совокупности строк A1, A2,..., An. Для этого составим следующую линейную комбина цию:

A1 + A2 A3 + 0 A4 +... + 0 An =.

Коэффициент перед столбцом A3 не равен нулю, следовательно, данная линей ная комбинация является нетривиальной, и столбцы A1, A2,..., An линейно зависимы.

Следствие. В любой неквадратной матрице A размера m n, у которой число строк m меньше числа столбцов n, совокупность столбцов линейна зависима.

Действительно, каждый из n столбцов Ai этой матрицы представляет собой ли нейную комбинацию столбцов E i из канонической совокупности E1, E2,..., Em, причём в данном случае выполняется условие n m.

Примечание. Определения и утверждения, приведённые выше для матриц-столбцов, имеют место и для матриц-строк. В частности, справед ливо следующее утверждение: в л ю б о й н е к в а д р а т н о й м а т р и ц е A размера mn, у которой число строк больше числа m столбцов n, совокупность строк линейна зависима.

П р и м е р 5 3. Г л а в н а я з а г а д к а л и н е й н о й а л г е б р ы. Посмотрите вни мательно на квадратную матрицу третьего порядка 1 2 A = 4 5 6 ;

5 7 в ней третья строчка равна сумме первых двух строк, следовательно, строки этой мат рицы линейно зависимы. Это утверждение очевидно, по правде говоря, сама матрица A составлялась так, чтобы её строки были линейно зависимы. Спрашивается, будут ли линейно зависимы столбцы этой матрицы? Ответ не очевиден, но после нескольких не удачных попыток нам всё же удалось подобрать коэффициенты для такого равенства:

1 2 3 1 4 2 5 + 1 6 = 0 =, 5 7 9 то есть столбцы оказались тоже линейно зависимы. Далее в нашем курсе вы узнаете, что это совпадение не случайно, а закономерно, причём будет предложено несколько доказательств этой закономерности. Парадокс заключается в том, что все эти доказа тельства являются формальными, и никто до сих пор не дал простого объяснения тому факту, почему у квадратной матрицы порядка n 3 линейная зависимость строк обязательно сопровождается линейной зависимостью столбцов.

§ 11. Свойства определителей det A = det AT, Свойство 1. Для любой квадратной матрицы A то есть, определители взаимно транспонированных матриц одинаковы.

Доказательство. Выпишем в развёрнутом виде det A и det AT :

a11 a12... a1n a11 a21... an a21 a22... a2n a12 a22... an det A T det A =...... =......

...... ;

.......

an 1 a n 2... ann a1n a2n... ann Доказательство проведём методом математической индукции. Кратко объяс ним (или напомним) суть этого метода. Индукцией в математической логике называ ется переход от анализа частных случаев к формулировке и доказательству общей за кономерности. Пусть требуется доказать справедливость некоторого утверждения, за висящего от значений натурального числа n, причём известно, что для некоторого на чального значения n0 числа n (например, при n = 1 ) это утверждение верно. Число n называется базой индукции. Далее выполняется так называемый шаг индукции, то есть делается предположение, что данное утверждение справедливо при всех значениях n n0, k (предположение индукции), и на основе этого предпринимается попытка до казательства этого утверждения для значения n = k + 1. Если такая попытка оказывается удачной, то данное утверждение считается доказанным для всех n n0, что очевидно.

Для определителей первого и второго порядков (база индукции) это свойство легко проверить непосредственно (смотри формулу (5)):

a11 a12 a a = a11 a22 a21 a12 = det A = = det A T.

a21 a22 a12 a Выполним шаг индукции. Пусть утверждение верно для определителей всех порядков до( k 1 ) -ого порядка включительно. Покажем, что это утверждение верно для определителя матрицы A k - го порядка.

Раскроем det A по первой строке, а det AT по первому столбцу:

n n a1i A1i = a1i (1)i +1 M1i ;

det A = (28) i =1 i = n n a1i ATi = a1i (1)i +1 M T.

det AT = (29) 1i i =1 i = Миноры M 1 i и M 1T являются определителями (k 1) -го порядка для пары взаимно i T транспонированных матриц, поэтому, по предположению индукции M 1i = M 1i. Срав нивая равенства (28), (29), получаем:

det A = det AT.

Следовательно, свойство 1 доказано для матриц любого порядка n.

Следствие. Вернёмся к доказательству формул Лапласа и покажем, что формула (16) является следствием формулы (17). Используя формулу (17), раскроем определи тель матрицы A T по элементам i - того столбца:

a21... an a... an a12 a det A T = = a i 1 AiT1 + a i 2 AiT2 +... + a i n AiTn. (30)............

a2 n... ann a1n Если в левой и правой части равенства (30) выполнить замены:

det A T = det A ;

AiT = Ai k, k то это равенство совпадёт с формулой (16).

Замечание. Доказанное с в о й с т в о 1 означает, что все результаты, полученные для столбцов определителя, справедливы и для его строк.

Свойство 2. Если каждый элемент i -того столбца представить в ви де суммы двух слагаемых, то имеет место следующее равенство:

a1i + b1i a11 a1n a11 b1i a1n a11 a1i a1n a21 a2i a2n a2i + b2i a21 a2n a21 b2i a2n = +.

an 1 ani ann ani + bni an 1 ann an 1 bni ann Доказательство. Раскроем исходный определитель по i -тому столбцу a1i + b1i a11 a1n a2i + b2i a21 a2n n n n (aki + bki ) Aki = aki Aki + bki Aki = = k =1 k =1 k = ani + bni an1 ann a11 b1i a1n a11 a1i a1n a21 a2i a2n a21 b2i a2n = +.

an 1 ani ann an 1 bni ann Свойство 2 доказано.

Примечание. Доказанное с в о й с т в о 2 не означает (как это кому-то может показаться), что det ( A + B) = det A + det B. Такое равенство для матриц порядка n 2 выполняется редко и является исключением из правила, ко торое выглядит так:

det ( A + B) det A + det B.

Свойство 3. При умножении строки или столбца матрицы на число определитель матрицы также умножается на это число.

Доказательство. По т е о р е м е 2. 3 имеем:

a11 a12 a1n n aik Aik.

det A = ai 1 ai 2 ain = k = a n 1 an 2 ann Умножим i -тую строку матрицы A на число и вычислим полученный опре делитель:

a11 a12 a1n n n aik Aik = aik Aik = det A.

ai 1 ai 2 ain = k =1 k = an 1 an 2 ann Свойство 3 доказано.

С в о й с т в о 3 можно сформулировать следующим образом: посто янный множитель из строки или столбца матрицы можно выносить за знак определителя. Из с в о й с т в а 3 следует очевидное равенство:

det ( A ) = n det A, где n – порядок матрицы A.

Свойство 4. При перестановке двух любых строк или столбцов мат рицы знак её определителя меняется на противоположный, а его абсолют ная величина остаётся неизменной.

Доказательство. По определению a11 a12 a1n ai ai ai n k1 k2 k i,i,…,i,…,i,…,in ( 1 ) det A = = ai 1ai 2 …ainn, j 12 k (31) 1 ai 1 a i 2 ai n j j j an 1 an 2 ann где сумма берётся по всевозможным перестановкам чисел i1, i2, …, in. Переставим строки с номерами ik и i j (но оставим все остальные без изменения) и вычислим полу ченный определитель:

a11 a12 a1n a i 1 ai ai n j2 j j i,i,…,i,…,i,…,in ( 1 ) = ai 1ai 2 …ainn, j 12 k (32) 1 ai ai ai n k1 k2 k an 1 an 2 ann В силу т е о р е м ы 2. 2 слагаемые суммы (32) отличаются от соответствующих слагаемых суммы (31) только знаком, о т к у д а и с л е д у ю т о б а у т в е р ж д е н и я свойства 4.

Свойство 5. Если в матрице A имеются две одинаковые строки либо столбца, то det A = 0.

Доказательство. Действительно, переставив одинаковые строки, по свойству получаем:

det A = det A, откуда det A = 0.

Свойство 5 доказано.

Свойство 6. Если один из столбцов матрицы A является линейной комбинацией остальных столбцов, то det A = 0.

Доказательство. Введём обозначения:

a11 a12 a1n a11 a12 a1n a a a 21 22 2n a21 a22 a2n ;

…;

A =.

;

A2 = det A = ;

A1 = n a ann a an 1 an 2 ann n1 n2 Пусть столбец Ak является линейной комбинацией остальных столбцов, т.е.

n i Ai Ak = 1 A1 + … + k 1 Ak 1 + k +1 Ak +1 + … + n An = i k.

i = По с в о й с т в у 2 разложим det A в сумму n 1 определителей. Вынесем из столбцов полученных определителей коэффициенты линейной комбинации и будем в каждом определителе иметь по два равных столбца. Откуда следует, что det A = 0.

Свойство 6 доказано.

Примечание. Напомним (смотри т е о р е м у 2. 4 ), что представление одного столбца матрицы в виде линейной комбинации остальных столбцов означает, что столбцы этой матрицы линейно зависимы. Поэтому, а так же учитывая с в о й с т в о 1, с в о й с т в о 6 может быть сформулировано в сле дующем эквивалентном виде: е с л и в м а т р и ц е с о в о к у п н о с т ь строк (или совокупность столбцов) линейно зависима, то определитель этой матрицы равен нулю.

Свойство 7. Определитель матрицы A не изменится, если к какой либо из строк прибавить линейную комбинацию остальных строк.

Доказательство. Действительно, по с в о й с т в у 2 полученный определитель можно представить в виде суммы исходного определителя и определителя, одна из строк которого является линейной комбинацией остальных. По с в о й с т в у 6 второй определитель равен нулю.

Свойство 7 доказано.

Свойство 8. Если квадратная матрица A представлена в виде про изведения A = B C, причём строки матрицы B или / и столбцы матрицы C линейно зависимы, то det A = 0.

Доказательство. Пусть столбцы C i матрицы C линейно независимы. Предста вим эту матрицу в виде блочного вектора – строки: C = ( C1 C2... Cn ). Тогда в со ответствие с правилами перемножения блочных матриц мы можем выполнить следую щее преобразование:

A = B C = B ( C1 C2... Cn ) = ( B C1 B C2... B Cn ) = ( A1 A2... An ), где Ai = B C i – столбцы матрицы A.

Покажем, что эти столбцы линейно зависимы. Действительно, из линейной зави симости столбцов C i вытекает существование их нетривиальной линейной комбинации 1 C 1 + 2 C 2 +... + n C n =.

Умножим это равенство слева на матрицу B :

1 B C 1 + 2 B C 2 +... + n B C n = B, 1 A1 + 2 A2 +... + n An =.

то есть Таким образом, столбцы матрицы A оказались линейно зависимы, и по с в о й с т в у 6 det A = 0.

Если матрица B имеет линейно зависимые строки, то для доказательства этого свойства достаточно транспонировать обе части равенства A = B C :

AT = C T B T.

Теперь матрица B T имеет линейно зависимые столбцы, а это означает, что det A T = 0.

Отсюда, по с в о й с т в у 1, det A = 0.

Свойство 8 доказано.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) на алгебраические дополнения элементов д р у г о г о п а р а л л е л ь н о г о р я д а равна нулю, то есть:

n n ai k Aj k = 0, если i j, a и Ak j = 0, если i j. (33) ki k =1 k = Доказательство. Заменим в матрице A все элементы j -той строки на соответ ствующие элементы i -той строки;

в результате получим новую матрицу B с двумя одинаковыми строками. Определитель этой матрицы B по с в о й с т в у 5 равен нулю.

Используя формулу Лапласа (16), раскроем этот нулевой определитель по элементам j -той строки:

n det B = b j k B j k = 0. (34) k = Учтём, что b j k = ai k, и поскольку остальные строки у матриц A и B одинако вые, то B j k = Aj k. После таких замен равенство (34) совпадёт с первой формулой (33).

Вторая формула (33) доказывается аналогично.

Свойство 9 доказано.

Примечание. Многим внимательным читателям может показаться, что с в о й с т в о 9 попало в перечень основных свойств определителя по ошибке, поскольку и само это свойство можно трактовать как ошибку при применении формул Лапласа (то есть, взяли не ту строку или не тот столбец, “что нужно”). Однако скоро вы узнаете, что это свойство будет играть ключевую роль при выводе формул Крамера и определе нии фундаментального понятия линейной алгебры – так называемой обратной мат рицы.

Свойство 10. Для любых квадратных матриц A и B одинакового порядка имеет место равенство det ( A B ) = det A det B.

Следствие. Матрицы A B и B A, вообще говоря, не равны между собой, но их определители одинаковы.

Действительно, det ( A B ) = det A det B = det B det A = det ( B A ).

С в о й с т в о 1 0 имеет технически сложное доказательство. Поэтому ограни чимся рассмотрением примера, содержащего геометрическое обоснование этого свой ства.

Пример 54. Перемножение определителей на дисплее “Пен т и у м а ”.Пусть даны две квадратные матрицы второго порядка A, B и требуется вы P P 1 L1 L F P L N F N N K1 K1 L O O O K M F M P K a в б Рисунок числить определитель их произведения A B. Для решения этой задачи воспользуемся услугами графического редактора “VISIO”, входящего в пакет стандартного математи ческого обеспечения персональной ЭВМ. Построим на дисплее квадрат OKPL (рис. а), сторону которого будем считать равной единице. Соблюдая масштаб, поставим на экран точки K1 (b11, b12 ) и L1 (b21, b22 ), где координаты bi j являются элементами матрицы b b B = 11 12. Далее сгруппируем объект «квадрат – оси координат», дублируем его и, b21 b используя доступные в этом редакторе средства трансформации изображения (дефор мацию, масштабирование, перенос), совместим на дубле точки K, L с точками K1, L1, соответственно. При этом квадрат OKPL трансформируется в параллелограмм OK1 P L1, причём, как показано в п р и м е р е 4 4, отношение площадей параллелограмма S1 и квадрата S0 будет в точности равно модулю определителя матрицы B, то есть S = det B или S1 = S0 det B = det B.

S Здесь важно подчеркнуть следующее. С точки зрения старой системы координат (которая в результате трансформации из прямоугольной превратилась в косоугольную) все координаты точек квадрата остались прежними, и его площадь не изменилась. На самом деле мы видим, что она изменилась, причём можем учесть это изменение путём введения соответствующего коэффициента.

Определение. Коэффициенты изменения площади (или объёма), связанного с изменением системы координат, в математике называются якобианами в честь знаме нитого математика Якоби и обозначаются буквами j.

Таким образом, для выполненного преобразования якобиан j1 = det B.

Теперь сгруппируем получившийся параллелограмм вместе с новым единичным квадратом OMFN (рис. 46 б). Соблюдая масштаб, поставим на экран точки M 1 (a11, a12 ) и N1 (a21, a22 ), где координаты ai j являются элементами матрицы a a A = 11, и используя графические трансформации, совместим точки M, N с a21 a точками M 1, N1, соответственно (рис. 46 в). При этом квадрат OMFN трансформиру ется в параллелограмм OM 1 F1 N1, причём, отношение площадей параллелограмма S 2 и квадрата S0 будет в точности равно модулю определителя матрицы A, то есть S = j2 = det A или S 2 = S0 det A = det A.

S Поскольку объект был сгруппирован, то одновременно с этим параллелограмм OK1 P L1 трансформировался в параллелограмм OK 2 P2 L2, причём, как это следует из ре зультатов п р и м е р а 2 4, координаты точек K 2 и L2 являются, соответственно, эле ментами первой и второй строки матрицы C = A B. Поэтому, площадь S3 параллело грамма OK 2 P2 L2 удовлетворяет аналогичному равенству:

S = j3 = det C или S3 = S0 det C = det C.

S С другой стороны, при трансформациях площади всех объектов изменяются одинаково, поэтому det C S3 S = = det A, то есть det ( A B ) = det A det B.

или S1 S0 det B Покажем, что модули в этом равенстве можно убрать. При переходе от рис. 46 б к рис. 46 в все трансформации выполнялись так, что изображение на дисплее изменя лось непрерывным образом (перевороты относительно осей симметрии не использова лись). Следовательно, матрица этой трансформации является непрерывной матрицей функцией F (t ) времени t, изменяющейся от начального значения F (0) = I до конечно го значения F (T ) = A, где T - продолжительность деформации, причём в каждый мо мент времени выполняется равенство det ( F (t ) B ) = det F (t ) det B.

Перепишем это равенство для якобианов в следующей форме:

det ( F (t ) B) = ± det F (t ) det B и определим правильный знак для его правой части.

При значении t = 0 оно принимает вид det B = ±1 det B, значит здесь нужно использовать знак плюс. Трансформация выполнялась так, что деформируемый квад рат OMFN не вырождался в отрезок, поэтому определитель матрицы F (t ) не обращает ся в нуль ни при каком значении t. Следовательно, знак в этом равенстве измениться не может, и мы имеем det ( A B) = det A det B.

Если точки M 1 и N y y поменять местами, то в F F x процессе деформации воз N N M M K никнет такой момент вре x x O O F1 мени t *, при котором де * N1 F N * P формируемый квадрат P y1 L OMFN выродится в отре зок OF * (рис. 47 а). Но 45В 45В при этом и деформируе мый параллелограмм a б OK1 P L1 выродится в отре Рисунок зок OP *.

При дальнейшей де формации оси косоугольной системы координат изменят свою ориентацию (рис. б), а в равенстве det ( F (t ) B) = det F (t ) det B левая и правая часть одновременно изменят свой знак на противоположный.

Ясно, что такое же обоснование можно выполнить для определителей третьего порядка, но для его графической интерпретации понадобится другой редактор.

П р и м е р 5 5 *. Т р а н с п о н и р о в а н и е я к о б и а н а. Опираясь на ход реше ния и результаты п р и м е р о в 4 4 и 5 4, попытайтесь найти простое геометрическое обоснование свойства 1 для определителей (то есть, доказать, что равенство det A = det A T выполняется потому, что равны площади или объёмы соответствующих фигур или тел). Если матрица A имеет второй порядок, то вы без особого труда сможе те найти такое обоснование. Но мы обязаны предупредить о том, что д л я м а т р и ц ы третьего порядка этого не удалось сделать ещё никому.

П р и м е р 5 6. Р а с щ е п л е н и е о п р е д е л и т е л я ц е п н о й с и с т е м ы. Если квадратную матрицу C удалось представить в виде произведения двух треугольных матриц A и B (смотри § 4), то её определитель в силу с в о й с т в а 9 может быть най ден по следующей простой формуле:

det C = (a11 a22... ann ) (b11 b22... bnn ).

Используем этот приём для вычисления определителя матрицы коэффициентов C цепной механической системы. В п р и м е р е 3 8 для этой матрицы было получено представление C = AT A, где A, A T – верхнее- или нижнетреугольная матрица, имеющая одинаковые диаго нальные элементы, равные c.


Таким образом, det C = det( A T ) det A = (1)n det A T det A = (1)n (det A) 2 = (1)n (( c ) n )2 = (1) n c n.

Сравните этот результат с тем, который вы получили при решении п р и м е р а 5 2. Обращаем внимание на любопытную закономерность: все определители чётного порядка положительны, нечётного порядка – отрицательны. Попробуйте обосно вать эту закономерность для произвольной неположительной матрицы n - го порядка.

§ 12. Вычисление определителя по методу Гаусса Выше уже говорилось о том, что вычисление определителей высоко го порядка ( n 4 ), как правило, проводится по методу Гаусса. Метод Гаус са включает в себя два этапа.

1. Используя свойства определителя, приводим матрицу к верхне треугольному виду.

2. Определитель треугольной матрицы вычисляем как произведение элементов главной диагонали.

С алгоритмом (то есть порядком действий) метода Гаусса позна комимся в ходе решения следующего примера.

П р и м е р 5 7. Вычислить определитель 2 1 1 1 det A =.

2 3 1 1 Решение. Начинаем выполнение первого этапа с того, что получим во всех пози циях первого столбца, кроме самой верхней, нули. Верхняя строка объявляется рабо чей, остальные строки называются текущими. Для каждой текущей i - той строки подбирается такой коэффициент ki, чтобы в результате сложения данной строки и ра бочей строки, умноженной на этот коэффициент, первый элемент текущей строки был равен нулю. После нахождения этих коэффициентов выполняются указанные преобра зования строк. При этом в силу с в о й с т в а 7 величина определителя не меняется.

В соответствии с указанным выше порядком, прибавим ко второй строке пер вую, умноженную на коэффициент k2 = 1, к третьей строке – первую, умноженную на коэффициент k3 = 3, и к четвертой – первую строку, получим 1 2 0 1 1 det A =.

0 4 8 1 0 Таким образом, выполнен так называемый первый шаг алгоритма Гаусса. Те перь нужно выполнить второй шаг и обнулить элементы второго столбца, располо женные под главной диагональю, сохранив при этом те три нуля, которые были полу чены раньше. Использовать первую строку в качестве рабочей больше нельзя, так как это не даст возможности сохранить нули в первом столбце. Поэтому, выберем в каче стве рабочей строки вторую.

Прибавив к третьей строке вторую, умноженную на коэффициент k3 = 4, к четвёртой строке - вторую, умноженную на коэффициент k 4 = 3, получим:

1 2 0 1 1 det A =.

0 0 0 0 2 На третьем (и последнем для определителя 4 – го порядка) шаге осталось об нулить один элемент третьего столбца. Выберем в качестве рабочей строки третью, начинающуюся с двух нулей.

Умножив третью строку на коэффициент k4 = и сложив с четвёртой, полу чим 1 2 0 1 1 det A = 0 3.

0 0 0 Теперь можно выполнить второй этап, то есть перемножить диагональные эле менты:

det A = 1 ( 1 ) 4 = 14.

Примечание. При ручном счёте рабочая строка обычно выбирается так, чтобы все или большинство коэффициентов ki были целыми числами. Поэтому в определите ле 1 2 0 1 1 det A = 0 0 0 0 2 в качестве рабочей строки надо было выбрать не третью, а четвёртую, поменяв их мес тами. Повторим вычисления:

3 3 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 = = = 1 (1) 2 (7) = 14.

0 0 4 0 0 2 2 0 0 2 3 0 0 2 2 0 0 4 0 0 Как видите, результат не изменился, но мы обошлись без дробей.

При вычислениях на ЭВМ, особенно если определитель имеет очень высокий порядок, переставляются местами не только строки, но и столбцы. При этом обычно до биваются того, чтобы все коэффициенты ki на каждом шаге преобразований были ми нимальными, что обеспечивает минимум погрешности вычислений. Такая разновид ность алгоритма называется методом Га усса с выбором главного элемента.

Пример 58. ЭВМ против оп р е д е л и т е л я : т р е т и й р а у н д. Оценим число операций, которое потребуется для вычисления определителя квадратной мат рицы n - го порядка по методу Гаусса.

Первый шаг преобразований, как это не трудно подсчитать (смотри п р и м е р ы 4 Рисунок 48 и 5 1 ), составляет в эквивалентном пере счёте примерно 3 (n 1) 2 операций сложе ния двух чисел. Поэтому всё преобразование матрицы к треугольному виду потребует N 3 = 3 (n 1)2 + 3 (n 2) 2 +... + 3 22 + 3 12 3 (n3 / 3) = n операций сложения. Для определителя 20 – го порядка число N3 8000, поэтому время вычисление такого определителя на современной ЭВМ любого класса не превысит миллисекунды (то есть одной тысячной секунды). Таким образом, этот раунд и бой в целом за явным преимуществом выигрывает ЭВМ (рис. 48).

Сопоставление результатов решённых п р и м е р о в 4 5, 5 1 и 5 8 является пре красной иллюстрацией известного тезиса о том, что нет ничего практичнее хорошей теории. Вы, конечно, прекрасно понимаете, что бой с определителем на самом деле выиграла не ЭВМ, а метод расчёта. Гаусс был великим математиком, а отличие ве ликих учёных от знаменитых, известных, видных и прочих состоит как раз в том, что они не только открывают новые направления в науке, но и каждую разрабатываемую ими научную проблему решают исчерпывающим образом.


П р и м е р 5 9. О п р е д е л и т е л ь В а н д е р м о н д а. Определитель матрицы Вандермонда (п р и м е р 6 ) называется определителем Вандермонда. Этот определи тель имеет следующий вид:

1 1 a1 a2 an 2 2 = a1 a2 an.

a1 1 a2 1 an n n n Определитель Вандермонда вычисляется по очень красивой формуле ( ai a j ).

= (35) 1 j i n Символом обозначают произведение. Формула (35) доказывается методом матема тической индукции. В этом примере мы ограничимся тем, что проверим базу индукции, то есть убедимся в справедливости этой формулы для случаев n = 2 и n = 3.

Вычислим определители Вандермонда 2 - го и 3 - го порядков по формуле (35):

(ai a j ) = a2 a1 ;

2 = = a1 a2 1 j i 1 1 (ai a j ) = (a2 a1 ) (a3 a1 ) (a3 a2 ).

3 = a1 a2 a 3 = 1 j i 2 2 a1 a2 a Вычислим 2 и 3, пользуясь свойствами определителей, и сравним результа ты:

1 1 1 2 = = a2 a1. 3 = a1 a2 a 3.

a1 a 2 2 a1 a2 a Прибавим в определителе 3 ко второй строке первую, умноженную на a1, а к третьей - первую, умноженную на a1, и получим:

1 1 1 a2 a1 a 3 a 3 = 0 a2 a1 a 3 a1 = = 2 2 2 a2 a1 a 3 a 2 2 2 0 a2 a1 a 3 a 1 = ( a2 a1 ) ( a 3 a1 ) = ( a2 a1 ) ( a 3 a1 ) ( a 3 a2 ).

a2 + a1 a 3 + a Таким образом, справедливость формулы (35) для определителей Вандермонда 2-го и 3-го порядков проверена.

§ 13. Условия существования и единственности обратной матрицы Определение. Квадратная матрица B называется обратной по от ношению к матрице A, если AB = B A = I, (36) где I – единичная матрица.

Обратную матрицу B обозначают A1. Матрица A по отношению к обратной матрице называется прямой. Прямая матрица, как это следует из условия (36), является обратной матрицей к матрице A1, то есть ( A1 ) 1 = A.

Замечание. Из определения следует, что прямая и обратная матрицы перестановочны между собой.

П р и м е р 6 0. З а ч е м н у ж н ы о б р а т н ы е м а т р и ц ы ? Мы ответим на этот вопрос, но прежде заметим, что в приводимых выше примерах вы уже встречались с парами взаимно обратных матриц. Так, две матрицы вращения cos sin cos sin U ( ) = U ( ) = и sin cos sin cos при любом значении угла удовлетворяют условию U ( ) U ( ) = U ( ) = U (0) = I и являются взаимно обратными.

I Матрицы блочной перестановки J = удовлетворяют условию J J = E, I где E = diag ( I, I ) – единичная матрица порядка 2 n, являются взаимно обратными с самими собой;

таким же свойством обладают любые матричные алгебраические корни второй степени из единичной матрицы I = diag (1, 1) (смотри п р и м е р 3 6 ).

Теперь отвечаем на поставленный вопрос. Напомним, что в обычной арифмети ке числа a и b =, удовлетворяющие очевидному равенству a b = 1, называются вза a имно обратными;

деление чисел c на a эквивалентно умножению делимого на чис 1 ло, обратное к делителю, то есть c : a = c, причём перемножение чисел c и мо a a жет выполняться в любом порядке. При этом результат деления (частное x ) удовлетво ряет одновременно двум условиям:

xa = c ax = c, и которые, в силу свойства перестановочности сомножителей, эквивалентны друг другу.

К сожалению, в матричной арифметике свойства перестановочности сомно жителей нет, поэтому здесь система двух матричных уравнений X A=C A X = C, и как правило, решения не имеет, и операцию деления матриц определить нельзя. Тем не менее, каждое из этих уравнений может иметь своё решение, которое находится с помощью обратной матрицы.

Действительно, умножая обе части первого уравнения слева, а второго уравне ния - справа на матрицу A1, получаем:

X A A1 = C A1 X I = C A1 X = C A1 ;

A1 A X = A1 C I X = A1 C X = A1 C.

Ниже будет показано, что если матрицы A и C не перестановочные, то полу ченные решения отличаются друг от друга.

Т е о р е м а 2. 6 (не о б х о д и м о е у с л о в и е с у щ е с т в о в а н и я о б р а т н о й м а т р и ц ы ). Если квадратная матрица A имеет обратную мат рицу A1, то определитель матрицы A отличен от нуля.

Доказательство. Произведение определителей прямой и обратной матриц рав но 1. Действительно, det ( A A1 ) = det A det A1 = det I = 1.

Отсюда следует, что det A = 0.

det A Теорема доказана.

Замечание. Из доказательства теоремы, в частности, следует:

det A1 = 0.

det A Определения. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. Квадратная матрица, определитель ко торой равен нулю, называется вырожденной.

Таким образом, т е о р е м а 2. 6 утверждает, что обратные матрицы A1 существуют только у невырожденных матриц A.

П р и м е р 6 1. Э л е к т р о с т а т и ч е с к а я н е о п р е д е л ё н н о с т ь. Вы уже по знакомились со свойствами определителей и знаете, что вырожденность квадратной матрицы связана с выполнением известных условий, накладываемых на числовые зна чения её элементов. Поскольку в практике инженерных и любых других расчётов ис пользуется округление, то многим может показаться, что вырожденные матрицы пред ставляют собой редкое исключение. На материале этого и следующего примера мы по кажем, что в приложениях математики к электротехнике и механике используются це лые классы вырожденных матриц.

В п р и м е р е 5 мы уже рассматривали матрицу проводимости линейного мно гополюсника. Конкретизируем это понятие для схемы, в которой все клеммы разбиты на две группы – входные и выходные.

Образуем из токов и напряжений на входных и выходных клеммах (n + m) - по люсника два новых вектора-столбца m 1 J вх U вх выход J = вых ;

U = вых.

J U m1 m Эти столбцы связаны между собой следующим ра 1 выход выход венством:

матрица P матрица P J = P U, (37) где матрица P является блочной матрицей форма вход вход n1 n та 2 2 и называется матрицей проводимости (n + m) - полюсника.

Напомним, что все элементы этой матрицы вход n имеют физическую размерность [ 1/ Ом ].

Матрицы проводимости используются при Рисунок расчёте параллельного соединения многополюсни ков. Пусть два (n + m) -полюсника с матрицами проводимости P и P2 подключены к общим входным и выходным клеммам (рис.49). Тогда векторы – столбцы напряжений одинаковы, а векторы – столбцы токов определяются равенствами:

J1 = P U и J 2 = P2 U.

Складывая эти равенства, получаем:

J = J1 + J 2 = P U + P2 U = ( P + P2 ) U = P U, где P = P + P2.

1 1 Таким образом, при параллельном соединении матрицы проводимости складываются.

Проиллюстрируем это правило на следующем простом примере.

Для шнура – удлинителя (п р и м е р 1 4 ) матрица проводимости имеет следую щий вид:

1 R R P= 1.

1 R R 2 Для параллельного соединения двух таких шнуров получаем матрицу проводимости 1 1 1 1 1 1 1 1 ( R + R ) ( R + R ) R R R1 R R R + = 1 =, P = P + P2 = 3 1 1 1 1 1 1 1 ( + ) ( + ) R R2 R4 R2 R4 R6 R R4 R2 R 1 11 1 1 =+;

= +.

где R5 R1 R3 R6 R2 R Формулы такого типа вы учили в школьном курсе физики.

Матрица P имеет размер (n + m) (n + m), то есть является квадратной матрицей порядка (n + m). В рассмотренных выше примерах все матрицы проводимости имеют пропорциональные столбцы, а значит, их определители равны нулю. Покажем, что эта матрица является вырожденной во всех случаях.

Для этого составим вектор U из одинаковых элементов (например, равных вольту). Если напряжения на всех клеммах одинаковые, то все токи равны нулю, и век тор-столбец J =. Но равенство (37) означает, что столбец J является линейной ком бинацией столбцов матрицы P. Следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация столбцов, равная нулю, то есть столбцы оказались линейно зависимыми и det P = 0.

Таким образом, матрица проводимости оказалась вырожденной, а, значит, об ратной матрицы P 1 не существует. С физической точки зрения это означает, что при определении напряжений на клеммах существует неопределённость в установлении уровня этих напряжений, и эта неопределённость не может быть ликвидирована даже в том случае, если мы знаем значения силы тока на всех входных и выходных клеммах.

П р и м е р 6 2. М а т р и ц а у п р у г о с т и. Аналогичными свойствами в механике обладает матрица упругости. Для цепной механической системы (смотри п р и м е р ы 1 3, 1 6, 1 7 ) из координат и реакций на левом и правом концах составим два новых вектора-столбца X пр Q пр X = лев ;

Q = лев.

X Q В статике эти столбцы оказываются связанными между собой равенством Q=KX, где матрица K называется матрицей упругости цепной системы.

Матрица K является квадратной матрицей размера (2 n) (2 n), где n – число координат, определяющих положение отдельного элемента цепной системы.

Покажем, что матрица K является вырожденной. Для этого составим столбец X следующим образом. Координаты, определяющие продольное перемещение левого и правого конца системы, примем одинаковыми (например, равными 1 мм);

все осталь ные координаты положим равными нулю. В статике таким граничным условиям будет отвечать перемещение всех элементов системы на одно и то же расстояние (равное мм), при этом все реакции после перемещения останутся равными нулю. Фактически это означает, что в матрице K сумма столбцов с номерами 1 и (n + 1) равна нулю.

Следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы, det K = 0 и обратной мат рицы K 1 не существует. С физической точки зрения это означает, что в статике для определения координат системы не достаточно знать все внешние силы и моменты сил, приложенные к этой системе. Такое положение вещей именуется в механике статиче ской неопределённостью системы.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.