авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |

«М. Г. Иванов Как понимать квантовую механику Москва Ижевск 2012 УДК 530.145.6 ББК 22.314 И 204 ...»

-- [ Страница 5 ] --

N= 1 2m(U U (x)) dx 0. (6.4) h U(x)U Таким образом, достаточно глубокая яма любой формы должна содер жать дискретные уровни.

Задачу определения наличия уровней в мелкой яме мы рассмотрим отдельно, а пока дадим без вывода результат. При условии U1 = U+ = U U0 (6.5) всегда существует хотя бы один дискретный уровень.

Также забегая впер д, отметим, что существование дискретного уров е ня в мелкой яме является особенностью одномерной задачи.

6.1.4. Прямоугольная яма Рассмотрим потенциал прямоугольной потенциальной ямы ширины a и глубины V :

0, |x| a, U (x) = (6.6) V, |x| a.

Все неотрицательные значения энергии относятся к непрерывному спектру.

Нас интересуют дискретные уровни энергии, которые могут лежать в диа пазоне 0 E V.

Потенциал прямоугольной ямы зада тся ч тной функцией U (x) = е е = U (x), отсюда следует, что гамильтониан коммутирует с оператором пространственной инверсии I (I(x) = (x)), т. е. H I = I H. Для такого гамильтониана мы можем выбрать собственные состояния так, чтобы они были также собственными для оператора I (см. 4.2 «Матрицы (л)»), т. е.

чтобы все они были ч тными или неч тными.

е е Стационарные состояния, не являющиеся состояниями с определ нной е ч тностью, возможны только в непрерывном вырожденном спектре е 162 ГЛАВА при E 0. При E 0 спектр невырожден, и каждое состояние либо ч тно, е либо неч тно.

е Рассматриваемый потенциал кусочно постоянен. В пределах каждого куска уравнение Шр дингера да т решение в виде волн де Бройля (если е е E U (x)) или вещественных экспонент (если E U (x)).

В точках разрыва потенциала нам надо поставить условия склейки волновой функции. Прич м, поскольку одномерное уравнение Шр дингера е е является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, достаточно потребовать непрерывности самой функции и е первой про е изводной:

( a + 0) = ( a 0), ( a + 0) = ( a 0);

2 2 2 ( a + 0) = ( a 0), ( a + 0) = ( a 0).

2 2 2 Впрочем, из четыр х условий сшивки можно ограничиться двумя (на е пример, в точке a ), если сразу искать решения с определ нной ч тностью.

е е Будем параллельно рассматривать ч тный и неч тный случаи, помечая е е их индексами «+» и «» соответственно.

Поскольку нас интересуют в первую очередь собственные числа, нор мировочные множители выбираем так, чтобы не загромождать вычисления.

Справа от ямы волновая функция может быть выбрана в виде ± (x) = e± (xa/2), (x) = ± e± (xa/2), ± = 1 a.

2mE±, x h На границе ямы получаем ± (a/2 + 0) = ±.

± (a/2 + 0) = 1, Волновую функцию слева от ямы можно восстановить из ч тности е и отдельно е исследовать нет необходимости:

е a.

± (x) = ±± (x), x Внутри ямы волновая функция зада тся ч тной или неч тной комби е е е нацией волн де Бройля, т. е. косинусом или синусом:

+ (x) = A+ cos(k+ x), (x) = A sin(k x), k± = 1 x [ a, a ], 2m(E± + V ), h 6.1. СТРУКТУРА СПЕКТРА + (x) = A+ k+ sin(k+ x), (x) = A k cos(k x).

На границе ямы получаем + ( a 0) = A+ cos(k+ a ), ( a 0) = A sin(k a ), 2 2 2 + ( a 0) = A+ k+ sin(k+ a ), ( a 0) = A k cos(k a ).

2 2 2 Условия сшивки ± ( a + 0) = ± ( a 0), ± ( a + 0) = ± ( a 0) 2 2 2 дают две системы линейных уравнений с одним неизвестным A± для ч тного и неч тного случаев:

е е A+ cos(k+ a ) = 1, A sin(k a ) = 1, 2 A+ k+ sin(k+ a ) = +, A k cos(k a ) =.

2 Для собственных состояний уравнения в системе должны давать одинако вые значения A±. Разделив второе уравнение на первое, получим условия разрешимости k ctg(k a ) =.

k+ tg(k+ a ) = + ;

2 Полученные трансцендентные уравнения мы исследуем графически.

Сначала обезразмерим их, умножив на a. Введ м обезразмеренное вол е новое число K+ = k+ a для ч тного случая и K = k a для неч тного.

е е 2 Также введ м обезразмеренный параметр затухания ± и параметр глуби е ны ямы R:

mV a2 K 2 = ± = a R 2 K±, a ± = 2m(E± + V ) = ± 2 h h mV a2.

R= 2 h Обезразмеренные уравнения принимают вид R2 K+ 2 ;

K ctg K = R2 K 2.

K+ tg K+ = Поскольку с точностью до замены K+ K правые части уравнений сов падают, их графики удобно изобразить на одной координатной плоскости.

164 ГЛАВА 0 –2 2 x – Рис. 6.3. Графики на плоскости K. Графики K tg K, K ctg K и R2 K (для R = 10). Физический смысл имеет только область K 0, 0.

Правая часть обоих уравнений изображается кругом радиуса R. Левая часть для ч тного случая изображается ветвями, имеющими нули в точках е n и асимптоты в точках n +. Для неч тного случая нули и асимптоты е в левой части меняются местами.

При любом значении параметра R всегда имеется хотя бы одно ч тное е решение.

Число уровней Мы видим, что общее число ч тных и неч тных решений соответству е е ет числу точек вида n, попавших в диапазон [0, R]. 3 Если R= n, то мы получаем одно ненормированное состояние с нулевой энергией.

6.1. СТРУКТУРА СПЕКТРА Ч тные и неч тные решения чередуются, при этом в яме всегда есть е е по крайней мере один ч тный уровень.

е Общее число решений составляет 2mV a Nп = 2R + 1 = + 1 = [N ] + 1, h где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Таким образом, число решений отличается от привед нной выше квазиклассической оцен е ки (6.4) не более чем на 1.

Глубокие уровни* Для глубоких уровней ( = R2 K 2 1) значения K близки к n, т. к. окружность пересекает ветви K tg K и K ctg K на большой высоте, там где они близко подходят к своим асимптотам. Условие K = ka n 2 соответствует тому, что в яме помещается почти (чуть меньше чем) целое число полуволн. При этом на границе ямы волновая функция близка к ну лю, и очень быстро по сравнению с размером ямы ( a = 1) спадает за пределами ямы.

Предел мелкой ямы* Мелкой естественно считать прямоугольную яму, в которой имеется ровно один уровень, т. е. для которой 2R = 2mV a 1.

h Если устремить параметр R к нулю, т. е. в пределе 2R = 2mV a 1, h трансцендентное уравнение для основного состояния можно решить:

R2 K 2 K2 R2 K 2.

K tg K = На K 2 получаем уравнение 1+ 1 + 4R K 4 + K 2 R2 0, K2 R2.

166 ГЛАВА Мелкую яму удобно характеризовать одним параметром 0, который харак теризует скорость убывания волновой функции основного состояния вне ямы и через который удобно выражается энергия основного состояния:

2 h h2 2 0 = 2 = mV a, E0 = = mV 2a.

a 2m 2m h h -яма как мелкая яма* Рассматривая мелкие прямоугольные ямы, мы можем перейти к преде лу, соответствующему переходу к -потенциалу:

a 0, V, aV = const.

При этом предельном переходе яма становится вс более и более мелкой е mV a2 = const · a 0.

R= 2 h Параметр мелкой ямы 0 при таком переходе постоянен 0 = mV a, h а формула для энергии основного состояния выполняется вс точнее и точ е нее. В пределе мы имеем 2 h E0 =. (6.7) 2m Потенциал при таком предельном переходе стремится в смысле слабого предела к -функции:

h wlim U (x) = V a (x) = 0 (x).

m a Обратите внимание, что размерность дельта-функции обратна размер ности аргумента! В частности, дельта-функция от координаты имеет раз мерность обратной длины. Это легко увидеть, взяв от дельта-функции ин теграл:

+ (x) · dx = 1.

длина1 длина безразмерно 6.1. СТРУКТУРА СПЕКТРА 6.1.5. -яма Мы уже исследовали -яму как предельный случай мелкой прямо угольной ямы. Теперь мы исследуем тот же потенциал непосредственно.

Запишем стационарное уравнение Шр дингера для дельта-ямы:

е 2m (x) h h 0 (x) (x) = E (x). (6.8) m При x = 0 (x) = 0, а решать уравнение Шр дингера для нулевого по е тенциала мы уже умеем. Значит нам осталось исследовать условие сшивки решений с нулевым потенциалом в точке 0.

Единственное, что можно делать с дельта-функцией, — проинтегриро вать е. Поскольку нас интересует условие сшивки в нуле, то естественно е интегрировать по малой окрестности нуля:

+ + + 2 2m (x) dx h h 0 (x) (x) dx = E (x) dx.

m + + 2m (x) h h 0 (0) = E (x) dx.

m Для ограниченной функции (x) при 0 получаем условие сшивки в нуле:

+ 2 (x) 0 + 0 (0) = 0. (6.9) Сама волновая функция в нуле должна быть непрерывна, т. к. для разрыв ной в нуле волновой функции будет содержать член (x), который будет нечем скомпенсировать.

(+0) = (0).

(x) = (x), т. е. дельта-яма — ч тный потенциал и мы можем искать е решения уравнения (6.8) отдельно для ч тного и неч тного случаев.

е е Для непрерывных неч тных волновых функций также оказывается е непрерывным:

(0) = 0 (+0) = (0).

Это условие сшивки не чувствует дельта-ямы. Таким образом, все неч тные е собственные функции для дельта-ямы такие же как для потенциала U (x) 0. Связанных состояний среди неч тных функций нет.

е 168 ГЛАВА Будем искать связанное ч тное состояние. Оно обязано иметь вид е E =.

h (x) = Ce|x|, 2m Мы сразу откинули растущие на бесконечности решения. Условие непре рывности выполняется автоматически. Осталось проверить условие сшив ки (6.9). Оно да т е 2 h E0 = = 0.

2m Таким образом, мы воспроизвели результат (6.7), полученный ранее пре дельным переходом для мелкой прямоугольной ямы.

Задача: Об условии сшивки в точке -ямы** Мы можем составить базис в пространстве L2 (R) из собственных функций уравнения (6.8). Все базисные функции будут удовлетворять ли нейному однородному условию сшивки (6.9). В силу линейности усло вия (6.9) любая конечная взвешенная сумма базисных функций будет удов летворять тому же условию сшивки.

Означает ли это, что тому же условию сшивки будет удовлетворять любая линейная комбинация базисных функций? Как условие (6.9), нало женное на базисные функции, согласуется с тем, что не все функции про странства L2 (R) удовлетворяют этому условию?

6.1.6. Существование уровня в мелкой яме Пусть для рассматриваемого потенциала U (x) выполняются условия U1 = U = U+ U0. Нам надо доказать, что существует хотя бы одно собственное состояние с энергией U1 E U0. Это состояние, как было показано выше (см. рис. 6.2), неизбежно будет принадлежать дискретному спектру.

В соответствии с вариационным принципом (4.68) нам достаточно предъявить любое состояние п, для которого средняя энергия меньше U1.

Энергия этого состояния даст оценку сверху на энергию основного состоя ния. Оно неизбежно попад т в указанный диапазон, т. к. ниже дна ямы U е уровней быть не может (см. рис. 6.2).

В качестве состояния п возьм м основное состояние для мелкой сим е метричной прямоугольной ямы, такой, что она всюду мельче, чем яма U (x):

U1, x (a, b), x R, Uп (x) Uп (x) = U (x).

U1 V, x (a, b), 6.2. ОСЦИЛЛЯТОРНАЯ ТЕОРЕМА Как было показано выше, дискретное состояние с энергией U1 Eп U V U0 есть в любой сколь угодно мелкой симметричной прямоугольной яме p E0 п |H|п = п | + U (x)|п = 2m p = п | + Uп (x)|п + п | U (x) Uп (x) |п Eп U1.

2m 0x Eп Таким образом, в любой мелкой яме, удовлетворяющей условию (6.5), неизбежно имеется хотя бы одно связанное состояние с энергией E0, удов летворяющей условию U1 Eп E0 U0.

6.2. Осцилляторная теорема Осцилляторная теорема позволяет уточнить структуру дискретного спектра одномерной квантовой системы, давая информацию о поведении нулей собственных состояний.

Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониа на вида (6.1)) имеет два нуля на границах области определения волновой функции: это либо точки ±, либо точки, в которых стоят бесконечно вы сокие стенки, ограничивающие области движения частицы.

Помимо нулей на границе могут быть нули внутри области определе ния волновой функции. Для рассматриваемых нами потенциалов (удовлет воряющих условиям теоремы существования и единственности решений обыкновенного дифференциального уравнения) все нули внутри области определения являются точками перемены знака волновой функции (соб ственные волновые функции мы выбираем вещественными).

Пронумеруем все дискретные уровни в порядке возрастания энергии, начиная с основного состояния, которому присвоим номер 0. Будем гово рить, что n-е возбужд нное состояние — это состояние номер n, по ука е занной нумерации. В частности, нулевое возбужд нное состояние — это е состояние номер 0, т. е. основное состояние.

Осцилляторная теорема • Число внутренних нулей n-го возбужд нного состояния равно n.

е • Между каждой парой нулей состояния номер n (включая нули на гра нице области определения) находится один и только один нуль состоя ния номер n + 1.

170 ГЛАВА Доказывать осцилляторную теорему мы будем по частям. Читатель мо жет пропустить доказательство (все его пункты помечены зв здочками), но е в любом случае знание осцилляторной теоремы полезно при исследовании спектров одномерных систем.

6.2.1. Об области применимости теоремы* Применяя осцилляторную теорему, необходимо следить за условиями е применимости. Например, одномерная задача может решаться с гранич е ными условиями отличными от обнуления волновой функции на границе.

Привед м некоторые контрпримеры.

е • Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрез ке [0, a] с периодическими граничными условиями (0) = (a), (0) = (a), (6.10) то спектр (кроме основного состояния) будет дискретным и двухкратно вырожденным (стоячие волны де Бройля: синусы и косинусы с длиной волны, укладывающейся в отрезок целое число раз):

2 kn h 0 (x) = ;

E0 = 0, En =, akn = 2n, n = 1, 2,..., 2m a 2 n+ (x) = cos(kn x), n (x) = sin(kn x). (6.11) a a • Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрез ке [0, a] с антипериодическими граничными условиями (0) = (a), (0) = (a), то основное состояние станет двухкратно вырожденным:

2 kn h En =, akn = (2n + 1), n = 0, 1, 2,...

2m Собственные функции задаются теми же формулами (6.11). При этом одно из двух основных состояний (0+ ) будет менять знак в точке a.

• Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрез ке [0, a] с периодическими граничными условиями со сдвигом фазы, например (0) = i(a), (0) = i (a), 6.2. ОСЦИЛЛЯТОРНАЯ ТЕОРЕМА то очевидно, что среди собственных функций (бегущих волн де Брой ля) не будет ни одной вещественной и ни одной обращающейся в нуль.

• Нарушение условий единственности решений стационарных уравне ний Шр дингера с данными граничными условиями физически соот е ветствует тому, что область определения разделена бесконечно высо кими стенками на несколько кусков, тогда в пределах каждого куска волновая функция зада тся независимо. В этом случае осцилляторная е теорема применима для волновой функции, локализованной в преде лах конкретного куска, но не для их объединения.

6.2.2. Нули основного состояния* Покажем, что основное состояние не имеет внутренних нулей, т. е. оно не меняет знак на всей области определения.

Пусть 0 ( 0 = 1) — основное состояние. E0 — средняя энергия в ос новном состоянии. Согласно вариационному принципу (см. раздел 4.11.2) основное состояние соответствует минимуму средней энергии системы.

Поскольку в одномерном случае дискретный спектр невырожден, состояние со средней энергией E0 единственно с точностью до числового множителя:

E0 = 0 |H|0 = 1 |H|1, 0 |0 = 1 |1 = 1 R.

i 1 = e 0, Состояние, задающееся функцией 1 (x) = |0 (x)| = 0 (x) sgn(0 (x)), да т ту же среднюю энергию: е 1 (x) 1 (x) + U (x)1 (x) h 1 |H|1 = dx = 2m = 0 (x) sgn(0 (x)) h 0 (x) sgn(0 (x)) + 0 (x) sgn (0 (x)) + U (x)0 (x)sgn(0 (x)) dx = 2m 0 (x) 0 (x) + U (x)0 (x) h dx = 0 |H|0 = E0.

= 2m Добавки, связанные с -функцией (sgn ), обнуляются, т. к. попадают на нули функции 0 (x) и умножаются на значение 0 в данных точках.

Таким образом, в силу невырожденности дискретных уровней в од номерном случае, состояние 1 отличается от исходного состояния 0 на 4 Комплексное сопряжение не пишем, т. к. волновая функция вещественна.

172 ГЛАВА постоянный множитель, что возможно только когда 0 нигде не меняет знака.

Случай периодических граничных условий** Привед нное доказательство можно модифицировать для случая перио е дических граничных условий на отрезке (6.10), который выше приводился в качестве контрпримера.

Мы не можем заранее утверждать, что основное состояние невырож дено, поэтому состояние 1 обязано иметь ту же энергию E0, но оно может оказаться основным состоянием.

Пространство стационарных состояний с энергией E0 — линейное про странство, так что мы можем наряду с 0 и 1 рассматривать такие функ ции, как 0 0 + + (x) = = 0 (x) (0 (x)), (x) = = 0 (x) (0 (x)).

2 Здесь (x) = sgnx+1 — ступенька. Функции + и совпадают с 0 в об ластях положительного (отрицательного) знака и тождественно равны ну лю в областях противоположного знака. Существование отличных от нуля волновых функций, для которых в какой-то точке (x0 ) = (x0 ) = 0, на рушает условия существования и единственности решения стационарного уравнения Шр дингера5, так что предположение о линейной независимости е 0 и 1 не выполняется и мы приходим к выводу, что основное состояние одномерной системы с периодическими граничными условиями вообще не имеет нулей.

Основное состояние должно быть невы рожденным, т. к. две функции, имеющие по стоянный знак в одинаковой области (в силу условия единственности), не могут быть орто гональны друг другу.

6.2.3. Вронскиан (л*) Удобным инструментом для исследова Рис. 6.4. Юзеф Вроньский ния зависимости решений дифференциального (1776–1853). [1897 г. Felix Valloton. W] уравнения является вронскиан (определитель Вроньского), введ нный Юзефом Вроньским.

е 5 Нарушение условий единственности упоминалось как один из примеров выше (см. 6.2.1 «Об области применимости теоремы*»).

6.2. ОСЦИЛЛЯТОРНАЯ ТЕОРЕМА Поскольку мы изучаем дифференциальные уравнения второго порядка, то и вронскиан нам понадобится второго порядка:

1 = 1 2 2 1.

W [1, 2 ] = (6.12) 1 Если вронскиан обратился в ноль в точке x, это означает, что значения функций и их первых производных в точке x пропорциональны друг дру гу. Для дифференциального уравнения второго порядка, зная функцию и е е производную в точке x, мы можем поставить задачу Коши и найти зна чения функции на всей оси. Таким образом, если 1 и 2 являются ре шениями уравнений Шр дингера для одного и того же потенциала и для е одной и той же энергии, то (в силу того, что уравнения линейные, од нородные, второго порядка) если вронскиан равен нулю в одной точке W [1, 2 ](x) = 0, то он равен нулю всюду и функции 1 и 2 пропорцио нальны друг другу.

Докажем более общее утверждение, описывающее зависимость врон скиана от координаты для двух функций, являющихся решениями стацио нарного уравнения Шр дингера:

е W [1, 2 ] = 1 2 2 1 = = 1 2m2 (U2 (x) E2 )2 2 2m1 (U1 (x) E1 )1 = 2 h h [m2 (U2 (x) E2 ) m1 (U1 (x) E1 )].

= 1 2 h Если m1 = m2 = m и U1 (x) = U2 (x), то соотношение упрощается:

[E1 E2 ].

2m W [1, 2 ] = 1 2 (6.13) h Проинтегрировав формулы (6.13), получаем x W [1, 2 ](x1 ) W [1, 2 ](x0 ) = [E1 E2 ] 2m 1 (x)2 (x) dx. (6.14) h x 6.2.4. Рост числа нулей с номером уровня* Применим формулу (6.14) для изменения вронскиана к двум последо вательным нулям x0 x1 дискретного стационарного состояния 1 с энер гией E1. Второе состояние 2 пусть также будет дискретным собственным с энергией E2 E1.

174 ГЛАВА Функции 1 (x) и 2 (x) возьм м вещественные, прич м выберем такой е е знак, чтобы 1 (x) 0 при x (x0, x1 ).

0 0 [1 (x1 ) 2 (x1 ) 2 (x1 ) 1 (x1 )] [1 (x0 ) 2 (x0 ) 2 (x0 ) 1 (x0 )] = W [1,2 ](x1 ) W [1,2 ](x0 ) 0 0 0 x [E1 E2 ] 2m = 2 (x1 ) (1 (x1 )) + 2 (x0 ) 1 (x0 ) = 1 (x) 2 (x) dx.

h x Это равенство не может выполняться, если функция 2 (x) не меняет знак на интервале (x0, x1 ) хотя бы один раз.

Таким образом, между любыми двумя нулями функции 1 (x) (вклю чая два нуля на границе области определения) найд тся хотя бы один е ноль функции 2 (x). Таким образом, число нулей стационарного состоя ния 2 (x), отвечающего большей энергии, строго больше, чем число нулей стационарного состояния 1 (x).

(*) Принадлежность состояний 1 и 2 к дискретному спектру важна для сходимости интеграла лишь в случае бесконечной области интегрируе мости. Если x0 и x1 конечны, то от этого условия можно отказаться. Таким образом, между любыми двумя нулями вещественной функции непрерыв ного спектра также будет хотя бы один ноль другой вещественной соб ственной функции, отвечающей большей энергии.

6.2.5. Сокращение числа нулей* Для того, чтобы завершить доказательство осцилляторной теоремы (после того, как мы доказали рост числа нулей с ростом энергии), нам осталось показать, что если для некоторого одномерного гамильтониана ви да (6.1) существует дискретное стационарное состояние n с энергией En, имеющее n внутренних нулей, то найд тся дискретное стационарное состо е яние n1 того же гамильтониана с числом внутренних нулей, равным n1.

Пусть xk, k = 1,... n, — внутренние нули функции n. x0 и xn+1 — границы области определения. Пусть нули пронумерованы в порядке воз растания:

x0 x1... xn xn+1 +.

внутренние нули Если разделить ось x на n+1 интервалы (xk, xk+1 ) (k = 0,..., n), поставив в точках xk (k = 1,..., n) бесконечно высокие стенки, то в каждой из n + 6.2. ОСЦИЛЛЯТОРНАЯ ТЕОРЕМА получившихся потенциальных ям мы будем иметь дискретный спектр, для которого состояние nk (x) = I(xk,xk+1 ) (x) · n (x), k = 0,..., n (характеристическая функция определена уравнением (3.10)), полученное ограничением n на соответствующий интервал, станет основным, т. к. n, ограниченное на соответствующий интервал, уже не имеет внутренних ну лей.

Покажем, при помощи вариационного принципа (см. раздел 4.11.2), что при расширении одной из ям за сч т отодвигания стенки энергия ос е новного состояния строго убывает. При расширении ямы номер k средняя энергия, вычисленная для состояния nk, не изменится, т. к. мы просто расширим область интегрирования вне (xk, xk1 ), туда где nk (x) 0. Та ким образом, энергия основного состояния не увеличится. Однако функ ция nk (x) не может доставлять минимум гамильтониану расширенной ямы, т. к. она тождественно равна нулю на интервале, на который отод винулась стенка, не удовлетворяет на этом интервале условию единствен ности и не может быть собственной функцией. Значит энергия основного состояния при расширении ямы станет строго меньше.

Если мы будем двигать стенки, то между двумя стенками спектр всегда будет только дискретным, а значит будет дискретным и основное состояние.

Между стенкой и бесконечной точкой (если x0 =, или xn+1 = = +) дискретный спектр заведомо сохранится, если мы не будем сдви гать крайнюю левую стенку левее x1, а крайнюю правую — правее xn, т. к. асимптотика на бесконечности не может «испортится» при понижении уровня энергии.

Чтобы доказать существование состояния n1, над достаточно пока зать, что мы можем выкинуть одну из n стенок, которые мы поставили в точки xk, а оставшиеся так расставить на интервале (x1, xn ) в точках yk (k = 1,..., n1), чтобы энергии основных уровней во всех n ямах совпали друг с другом. Тогда искомую функцию всегда можно записать как линей ную комбинацию функций основных состояний n1,k (k = 0,..., n 1) в ямах между новыми положениями стенок:

n n1 (x) = cn1,k n1,k (x).

k= Значения функций n1,k (x) вне соответствующих интервалов (yk, yk+1 ) равны нулю, а коэффициенты cn1,k подбираются так, чтобы обеспечить в точках yk непрерывность первой производной n1.

176 ГЛАВА Покажем, что расстановка n1 стенки, при которой энергия основных состояний во всех n ямах одинакова, действительно существует. Для этого мы сделаем естественное предположение, что энергия основного состояния непрерывно зависит от положения бесконечно высоких стенок, е ограни-е чивающих.

Пусть стенки перемещаются по следующим правилам:

0) Начн м с конфигурации с выкинутой первой стенкой. То есть пусть е стенки стоят в точках yk (0) = xk+1 (k = 1,..., n 1).

1) На шаге номер k (k = 1,..., n 1) мы передвигаем стенку но мер k влево настолько, чтобы уравнять энергии основных состояний в ямах справа и слева от справа от не. В результате мы получаем конфигурацию е стенок yk (1), в которой энергии основных состояний в яме k монотонно возрастают справа налево при k = 0,..., n 2, а в последних двух ямах основные уровни совпадают, прич м En1,n2 (1) = En1,n1 (1) En.

е 2) Повторяем шаг 1) бесконечно много раз.

3) В результате все мы получаем некоторую предельную конфигура цию стенок yk (k = 1,..., n1). Предел обязан существовать, т. к. все стен ки сдвигаются только влево, и не одна и из них не сдвигается левее, чем x1, т. к. сдвиг левее, чем x1, означает, что En1,0 En, что невозможно.

6.2.6. Завершение доказательства* Мы показали, что если состояние дискретного спектра имеет n внут ренних нулей, то мы можем построить состояние, имеющее n 1 нуль.

Уменьшая число нулей на каждом шаге на один, мы убеждаемся, что в дис кретном спектре число внутренних нулей меняется с шагом единица от нуля (для основного состояния) до некоторого максимального числа или бесконечности.

Доказанное ранее утверждение, что число нулей в непрерывном спект ре раст т с ростом энергии, теперь означает, что число нулей нумерует е дискретные уровни подряд в порядке возрастания энергии.

Нули функции n+1 должны чередоваться с нулями n, т. к. нам нужен нуль на каждом промежутке между нулями функции n, а таких промежут ков имеется ровно n + 1.

Таким образом, осцилляторная теорема доказана.

6.3. Одномерная задача рассеяния 6.3.1. Постановка задачи В одномерном случае, когда потенциал на бесконечностях имеет конеч ные пределы, может быть поставлена одномерная задача рассеяния, в кото 6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ рой для падающей частицы с определ нной энергий надо определить с ка е кой вероятностью она пройд т через потенциал, а с какой вероятностью е отразится обратно.

ikx U(x), E e ik'x de –ikx re U U+ U– x U Рис. 6.5. Асимптотики волновой функции на бесконечностях в одномерной задаче рассеяния.

Одномерная задача рассеяния ставится для энергии из непрерывного спектра, прич м, как мы увидим далее, нетривиальное решение возможно е только для вырожденного значения энергии.

Одномерная задача рассеяния ставится как задача определения асимп тотики на бесконечности (там, где потенциал выходит на константу) реше ния стационарного уравнения Шр дингера определ нного вида:

е е U (x)) = 0, 2m + (E (6.15) h r eikx (x) x, eikx +, падающая волна отраж нная волна е (x) x +, d eik x, прошедшая волна 2m(E U ), 2m(E U+ ).

1 k= k= h h Из задачи (6.15) определяются амплитуда отражения r и амплитуда прохождения d. Падающая, отраж нная и прошедшая волны ненормируе е мы на 1. Падающая волна отнормирована на единичную (относительную) вероятность на единицу длины. В отраж нной и рассеянной волнах вероят е ность (относительная) на единицу длины составляет |r|2 и |d|2. В падающей 178 ГЛАВА и отраж нной волнах частица имеет импульс + k и k. В прошедшей е h h волне — + k. Скорость (классическая, или групповая) пропорциональна h импульсу, таким образом, отношение потоков в отраж нной волне и падаю е щей волне (коэффициент отражения) совпадает с отношением вероятнос тей. Отношение потоков в прошедшей и падающей волнах (коэффициент прохождения) отличается от отношения вероятностей на отношения скорос тей частиц (импульсов, или волновых чисел).

То есть коэффициенты (вероятности) отражения R и прохождения D определяются так:

D = k |d|2.

R = |r|2, (6.16) k Поскольку частица не может исчезнуть или быть захваченной потенциалом (т. к. энергия сохраняется), R + D = 1 (ниже мы это строго докажем).

6.3.2. Пример: рассеяние на ступеньке Рассмотрим одномерную задачу рассеяния на потенциале ступенька:

0, x 0, U (x) = V, x 0.

В данном случае асимптотическое поведение волновой функции (6.15) начинается непосредственно от нуля:

(x) = eikx + reikx, (x) = ik eikx reikx, x 0, k = 2mE, h 2m(E V ).

(x) = deik x, (x) = ik deik x, x 0, k = h Нам оста тся сшить волновую функцию в нуле, используя условия непре е рывности самой функции и е первой производной:

е (0) = ik(1 r) = (+0) = ik d.

(0) = 1 + r = (+0) = d, Получаем систему d = 2k, 1 + r = d, k+k (6.17) r = k k.

1r = k d k k+k Из амплитуд выражаем коэффициенты прохождения и отражения kk 4kk.

R = |r|2 = |d|2 = k, D= |k + k | k k+k 6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ Для полученного ответа выполняются следующие свойства:

• R + D = 1 — сохранение вероятности;

• при V = 0 (ступенька исчезает) k = k, частица проходит без рассея ния: R = 0, D = 1;

• при E + получаем 1, частица проходит без рассеяния:

k k R 0, D 1;

• при V E волновое число k — мнимое, частица полностью отража ется: R = 1, D — мнимое, что означает «неправильную» (экспонен циальную) асимптотику при x 0, т. е. вместо мнимого D следует брать D = 0;

• если рассмотреть рассеяние справа налево, или, что равносильно, за менить V на V, а E на E V, т. е. поменять местами k и k, то R и D не изменятся (неизменность D и R при изменении направления рас сеяния в общем случае доказывается далее в разделе 6.3.5 «Рассеяние слева направо и справа налево**»).

Проверка этих общих свойств для конкретного потенциала может при меняться как простейший самоконтроль полученного решения одномерной задачи рассеяния.

6.3.3. Пример: рассеяние на -яме Рассмотрим одномерную задачу рассеяния на потенциале -ямы:

h U (x) = 0 (x).

m Как и для ступеньки, асимптотическое поведение волновой функции (6.15) начинается непосредственно от нуля:

(x) = eikx + reikx, (x) = ik eikx reikx, x 0, (x) = deikx, (x) = ikdeikx, x 0, k = 2mE.

h Одно из условий сшивки по-прежнему условие непрерывности волновой функции, а второе изменяется на условие на скачок первой производной для -ямы:

|+0 = ikdik(1r) = 20 (0) = 20 d.

(0) = 1+r = (+0) = d, 6 Мнимому D тоже можно придать физический смысл, но это уже не будет коэффициент прохождения.

180 ГЛАВА Получаем систему d = k, k i 1 + r = d, (6.18) d + r 1 = 2i 0 d r = i0.

k k i Из амплитуд выражаем коэффициенты прохождения и отражения 2 k2.

R = |r|2 = D = |d|2 =, k 2 + 2 k + 0 Как пример самопроверки снова проверим общие свойства:

• R + D = 1 — сохранение вероятности;

• при 0 = 0 (яма исчезает) частица проходит без рассеяния: R = 0, D = 1;

• при E + получаем 0, частица проходит без рассеяния:

k R 0, D 1;

• при 0 -яма превращается в -барьер, который по мере роста 0 становится вс более и более непроницаемым, частица полностью е отражается: R 1, D 0;

• для ч тного потенциала рассеяние справа налево не полностью сим е метрично рассеянию слева направо и отдельно его рассматривать не надо.

6.3.4. Общие свойства одномерного рассеяния Разрешимость задачи Если k и k вещественны, то E — двухкратно вырожденное состоя ние. Отсутствие падающей волны в асимптотике на + (т. е. равенство нулю амплитуды при члене eik x при x +) выделяет из двумерно го пространства состояний с данной энергий одномерное подпространство.

Единичная амплитуда падающей волны (eikx при x +) фиксирует нормировку рассматриваемого решения. Таким образом, амплитуды r и d определяются однозначно.

Если k — вещественное, а k — мнимое, то энергия E относится к непрерывному невырожденному спектру. Асимптотика на + имеет вид 6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ e|k |x, так что следует считать, что d = 0.7 Как уже говорилось выше, в одномерном случае стационарные состояния могут быть записаны как вещественные волновые функции. Для невырожденного уровня это озна чает, что собственное состояние всегда может быть сделано вещественным умножением на постоянный множитель. Для асимптотики x по лучаем, что |r| = 1, т. е. частица отражается с единичной вероятностью.

Однако фаза амплитуды r может нести некоторую интересную информа цию (например, если одномерная задача получена из задачи на радиальное движение в центральном поле).

Сохранение вероятности* Свойство сохранения вероятности при рассеянии (R + D = 1) мы уже обосновали. Теперь мы его докажем.

Плотность вероятности (x) обнаружения частицы в точке x и плот ность потока вероятности j(x) задаются выражениями p j = i ( + ) = Re h (x) m (x).

(x) = |(x)|2, 2m Для них выполняется уравнение непрерывности j + div j = 0, + = 0.

t t x в одномерии В одномерном случае вектор j имеет всего одну компоненту.

Для стационарных состояний от времени зависит только фаза волновой функции и = 0. Так что для одномерных стационарных состояний, кото t рые используются в одномерной задаче рассеяния, ток вероятности вдоль 7 Как мы уже видели выше, для рассеяния на ступеньке с высотой выше, чем энергия частицы, аналитическое продолжение со случая бегущей прошедшей волны eik x на случай вещественной экспоненты даст нам ненулевое значение d, однако формально вычисленный коэффициент прохождения D = k |d|2 при этом оказывается мнимым, что ясно говорит k нам, что eik x уже не волна де Бройля, а вещественная экспонента, затухающая на +, и правильное значение d = 0.

8 Cм. раздел 13.6 «Сохранение вероятности и уравнение непрерывности», можно отложить чтение текущего раздела до тех пор, пока указанный раздел не будет изучен, или перепрыгнуть впер д, а потом вернуться назад. Либо последовать совету в следующей сноске.

е 9 Вы можете, используя уравнение Шр дингера, легко проверить это уравнение и рассмат е ривать его как обоснование привед нного определения j. Либо можно ограничиться проверкой е свойства j(x) = const для одномерного стационарного случая.

182 ГЛАВА всей оси постоянен:

j(x) = i ( + ).

h j(x) = const, 2m Вычислим j(x) на и +, используя заданные при постановке задачи (6.15) асимптотики:

j(+) = |d|2 k, h j() = (1 |r|2 ) k.

h m m 1 |r|2 = k |d|2.

j() = j(+) k R D 6.3.5. Рассеяние слева направо и справа налево** Выше мы сформулировали одномерную задачу рассеяния для волны, падающей слева направо (6.15), однако мы можем поставить для того же потенциала U (x) задачу рассеяния для волны, падающей справа налево:

U (x)) = 0, 2m o + (E (6.19) h ik x o (x) x +, ik x e + ro e, падающая волна отраж нная волна е ikx o (x) x, do e, прошедшая волна 2m(E U ), 2m(E U+ ), 1 k= k= h h Do = k |do |2.

Ro = |ro |2, (6.20) k Решив для одного потенциала U (x) задачу рассеяния в обоих направ лениях для энергии E U+, мы получим два разных решения (x) и o (x) стационарного уравнения Шр дингера для одного и того же потенциала е и одной и той же энергии. Ещ два решения того же уравнения для той е же энергии мы можем получить, взяв комплексно сопряж нные функции е (x) и o (x).

Все четыре решения принадлежат к одному двумерному линейному пространству решений стационарного уравнения Шр дингера с данной е энергией. Отсюда следует, что между ними должна быть линейная зави симость.

6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ Чтобы исследовать зависимость решений, используем вронскиан (6.12) (см. 6.2.3 «Вронскиан (л*)»). Для частиц, движущихся с одинаковой энерги ей в одинаковых потенциалах, вронскиан от координаты не зависит (6.13)!

Подставляя в вронскиан асимптотики на ± четыр х связанных с од е номерной задачей рассеяния решений уравнения Шр дингера (x), (x), е o (x), o (x), мы получим ряд тождеств на параметры этих асимпто тик r, d, ro, do, k, k.

• i W [, ] = k |d|2 = k(1 |r|2 ) — с точностью до множителя этот x+ x вронскиан совпадает с током вероятности j для решения (x). Мы ещ е раз доказали сохранение вероятности в одномерной задаче рассеяния.

• i W [o, o ] = k (1 |ro |2 ) = k|do |2 — с точностью до множителя x+ x этот вронскиан совпадает с током вероятности j для решения o (x).

• i W [, o ] = kd = kdo — отсюда получаем (поскольку k и k x+ x вещественны), что D = k |d|2 = k |do |2 = Do.

k k Коэффициенты прохождения (а значит и коэффициенты отражения) че рез барьер в обе стороны одинаковы!

• i W [, o ] = k dro = kd r.

o x+ x 6.3.6. Волновые пакеты До сих пор мы рассматривали рассеяние на потенциале бесконечно длинных монохроматических волн. Это предельный случай, который прин ципиально не может быть реализован на практике, т. к. плоская волна, как и любое состояние непрерывного спектра, не может быть нормирована на единицу.

Реальное рассеяние — рассеяние волновых пакетов, которые уже не являются монохроматическими, но зато имеют конечную норму. Рассеяние достаточно длинных волновых пакетов (длинных по координате и узких по 184 ГЛАВА импульсу) должно в пределе соответствовать тому, что мы уже получили для монохроматических волн (состояний с определ нной энергией).

е Следует ожидать, что падающий волновой пакет, провзаимодейство вав с потенциалом, расщепится на два волновых пакета: прошедший и от раж нный, прич м интегралы от |(x)|2 по интервалам, содержащим, со е е ответствующие пакеты будут соответствовать коэффициентам прохождения и отражения для данного потенциала.

Свободный волновой пакет Рассмотрим волновой пакет, распространяющийся в потенциале U (x) = = const. Полученный результат потом можно будет сравнить с асимптоти ческим поведением отраж нной и прошедшей волн в областях x ±, е где потенциал выходит на константу.

Мы уже рассматривали движение и расплывание волнового пакета ра нее (5.2.6 «Эволюция волнового пакета для свободной частицы»).

Любую волновую функцию можно разложить по монохроматическим волнам, используя преобразование Фурье:

(x) = 1 eikx f (k k0 ) dk. (6.21) Волновой пакет, который нас интересует, должен описываться функцией f (k k0 ), которая быстро стремится к нулю, когда k удаляется от k0, тогда волна будет близкой к монохроматической.

Вынеся из под интеграла множитель eik0 x, мы записываем (x) в ви де произведения монохроматической волны на медленно зависящую от ко ординаты амплитуду f (x), связанную с функцией f (k ) преобразованием Фурье:

(x) = eik0 x 1 eik x f (k ) dk = f (x) eik0 x. (6.22) f (x) Характерное изменение волнового числа k, на котором спадает функция f, должно быть достаточно малым по сравнению с k0.

Волновая функция (x) осциллирует с волновым числом, близким к k0, при этом длина волнового пакета x k оценивается из соотно шения неопредел нностей.

е Волна с волновым числом k осциллирует во времени с циклической частотой (k):

ei(kx(k) t).

6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ В частности, для свободной нерелятивистской частицы E(k) h = k.

(k) = 2m h Для исходного волнового пакета получаем (x, t) = 1 ei(kx(k) t) f (k k0 ) dk = (6.23) = ei(k0 x(k0 ) t) 1 ei(k x[(k0 +k )(k0 )] t) f (k ) dk.

Предположим, что функция f (k ) достаточно быстро спадает с ростом аргумента, чтобы разность частот можно было выразить через производ ную:

(k0 + k ) (k0 ) d k = v(k0 ) k.

dk k d Здесь v0 = v(k0 ) = — функция с размерностью скорости, которую dk k далее мы идентифицируем как групповую скорость (для свободной частицы p v(k) = k = m ) h m (x, t) ei(k0 x0 t) 1 eik (xv0 t) f (k ) dk = (6.24) f (xv0 t) = f (x v0 t) ei(k0 x0 t).

Таким образом, волновой пакет движется, не меняя формы10, с груп повой скоростью v0 = v(k0 ).

Рассеяние волнового пакета* Точно также как выше (6.21), мы построили волновой пакет из моно хроматических волн, построим с помощью той же функции f (k k0 ) суперпозицию волновых функций, описывающих рассеяние почти моно 10 Чтобы учесть расплывание волнового пакета, разность частот (k + k ) (k ) надо 0 разложить до второй производной по k, чтобы учесть дисперсию (зависимость от волнового числа) групповой скорости.

186 ГЛАВА хроматических волн:

(x) = 1 k (x) f (k k0 ) dk, (6.25) U (x))k (x) = 0, 2m k (x) + (E(k) h + r(k) eikx, k (x) e x, ikx k (x) d(k) e x +, ik (k)x, h2 2 2mU+ E(k) = k, 2m(E(k) U+ ) = k k (k) =, h 2m h |f (k)|2 dk = |f (x)|2 dx = 1.

Если теперь учесть зависимость от времени, дающую для состояния E(k) с энергией E(k) множитель ei(k) t, (k) =, мы получим h (x, t) = 1 k (x) ei(k) t f (k k0 ) dk. (6.26) Исследуем асимптотическое поведение (x, t) при x ±.

Запишем амплитуды отражения и прохождения в следующем виде:

r(k) = |r(k)| ei(k) |r(k)| ei(0 +1 (kk0 )) r0 ei1 (kk0 ), d(k) = |d(k)| ei(k) |d(k)| ei(0 +1 (kk0 )) d0 ei1 (kk0 ).

Мы пренебрегли изменением абсолютной величины амплитуд, но учли из менение их фазы до первого порядка по k k0. Проделывая для двух слагаемых асимптотики x преобразо вания, аналогичные преобразованиям, приведшим к бегущему волновому пакету (6.24), получаем x, (6.27) (x, t) 1 (eikx + r(k) eikx ) ei(k) t f (k k0 ) dk = 11 Если учесть зависимость |r| и |d| от k, то это привед т лишь к искажению формы волно е вого пакета и необходимости усреднения R(k) и D(k) с весом |f (k k0 )|2.

6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ = 1 ei(kx(k) t) f (k k0 ) dk + + 1 r0 ei(kx(k) t+1 (kk0 )) f (k k0 ) dk = = f (x v0 t) ei(k0 x0 t) + r0 f (1 x v0 t) ei(k0 x0 t).

падающий пакет отраж нный пакет е Мы видим, что при достаточно больших отрицательных значениях x, когда потенциал уже можно считать константой, падающий волновой пакет, чья форма описывается функцией f (x v0 t), движется направо по закону x = = v0 t. Через рассматриваемую область этот пакет проходит при больших отрицательных временах.

Вероятность обнаружить частицу в падающем пакете равна 1:

|(x, t )|2 dx = |(x, t)|2 dx = |f (x)|2 dx = 1.

Отраж нный пакет имеет форму, описывающуюся функцией f (x е v0 t + 1 ), он движется через ту же область больших отрицательных x по закону x = 1 v0 t = v0 t v 1.

Вероятность обнаружить частицу в отраж нном пакете равна |r0 |2, т. е.

е коэффициенту (вероятности) отражения:

|(x, t +)|2 dx = |r0 f (x)|2 dx = = |r0 |2 |f (k k0 )|2 dk = |r0 | = R0.

Функцию k (k) мы также разложим до первого порядка по k k0 :

k (k) = k (k0 ) + dk (k k0 ) = k1 + Ck2, dk k=k k1 k C k C = dk =k =.

dk k k k=k0 k=k 188 ГЛАВА Проделывая для x + аналогичные преобразования, получаем x +, (6.28) (x, t) 1 d(k) eik (k) x ei(k) t f (k k0 ) dk ei(k1 x0 t) 1 d0 ei(C(kk0 ) x[(k)0 ] t+1 (kk0 )) f (k k0 ) dk ei(k1 x0 t) 1 d0 eik2 (C xv(k0 ) t+1 ) f (k2 ) dk2 = = d0 f (Cx v(k0 ) t + 1 ) ei(k1 x0 t) = прошедшая волна k (x v1 t) + 1 ei(k1 x0 t), = d0 f k d v(k0 ) dk = d v1 = =. (6.29) C dk dk k =k dk k =k Таким образом, прошедший пакет имеет форму, описывающуюся функцией f k0 (x v1 t) + 1, которая сжата по координате, по сравне k нию с функцией f, в k0 раз, он движется через область больших положи k тельных x по закону 1 k1 k x = v1 t 1 = v1 t = v1 t v.

k0 v1 k0 Вероятность обнаружить частицу в прошедшем пакете равна |d|2 k k0, т. е. коэффициенту (вероятности) прохождения:

+ k0 k |(x, t +)|2 dx = dx = |d0 | d0 f x = D0.

k1 k Таким образом, мы проверили, что определ нные ранее коэффициен е ты отражения и прохождения действительно определяют вероятности от ражения и прохождения частицы для почти монохроматического волнового пакета.

6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ Если продолжить законы движения волновых пакетов на малые време на, то окажется, что через точку x = 0 они проходят в ненулевые моменты времени, 0 и 0.

v v Если 1 (v0 v1 ) + 2v1 1 = 0, тогда три прямые, изображающие дви жение тр х волновых пакетов, пересекаются в одной точке и мы можем е обратить эти задержки в нуль сдвигом начала координат по x, но в общем случае эти задержки не могут быть обнулены.

Таким образом, рассмотрев рассеяние волновых пакетов, мы не толь ко проверили постановку одномерной задачи рассеяния, но и уточнили е.е Теперь помимо амплитуд и коэффициентов отражения и прохождения мы можем определять времена (или длины) задержки волновых пакетов при рассеянии. Длины задержки можно выразить следующими формулами 1 d r(k), 1 d d(k).

1 (k) = Im 1 (k) = Im r (k) dk d (k) dk Соответствующие времена получаются делением на групповую скорость при x, т. е. v0 = k.

h m Далее мы рассмотрим эти задержки на примерах рассеяния на ступень ке и -яме.

Пример: задержка волновых пакетов, рассеянных ступенькой* Верн мся к рассмотренному ранее процессу рассеяния волнового па е кета на ступеньке. Амплитуды прохождения и отражения имеют вид (6.17) kk 2k, k, k R.

d= r=, E V, k+k k+k Для энергии выше высоты ступеньки обе амплитуды вещественны, т. е. про шедший и отраж нный волновые пакеты выходят из начала координат без е задержки.

Для энергии ниже высоты ступеньки d надо положить равным нулю, а амплитуды r можно получить аналитическим продолжением:

kk k i k, R, d = 0, r= =, E V, k + i k+k 2mV k2 = 2m(V E) = 2 k 2, 1 k= 2mE, = h h h 190 ГЛАВА k i 2 k r = 1, 2 = 2mV, r(k) =, r k + i 2 k 2 h 4 + 42 k2 4k 1 (k) = Im 1 dr = Im r dr = 2 1.

r dk dk 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 6.6. 1 (k) — длина задержки для волны, отраж нной от ступеньки. Единица е измерения длины — 1.

Для высокой ступеньки (1 k) получаем 1 (k).

То есть задержка отраж нного волнового пакета соответствует глубине про е никновения волны в потенциальный барьер.

Пример: задержка волновых пакетов, рассеянных -ямой* Верн мся к рассмотренному ранее процессу рассеяния волнового па е кета на -яме. Амплитуды прохождения и отражения имеют вид (6.18) i k, d= r=.

k i0 k i 2 3k2 k2 0 1 = 1 = 0,.

(k2 + 2 )2 (k2 + 2 ) 0 6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 2. 1. 0. 0 1 2 3 4 k Рис. 6.7. Длина задержки для волны, отраж нной (нижний график) и прошедшей е (верхний график) через -яму. Единица измерения длины — 0.

В пределе низкой энергии (|0 | k) задержки определяются длиной зату хания волновой функции в связанном состоянии -ямы:

1 1, 1.

0 В пределе высокой энергии (|0 | k) мы получаем уже не задержки, а опе режения:

0 1 3,.

k2 k 6.3.7. Резонансное рассеяние* Процесс рассеяния на потенциале можно рассматривать как интер ференцию падающей волны и волн, отраж нных (возможно многократно) е от неоднородностей потенциала. При этом в зависимости от соотношения длин волн и расстояний между неоднородностями (характерных длин по тенциала) интерференция может усиливать или ослаблять отраж нную или е прошедшую волну. В результате коэффициенты отражения и прохождения могут осциллировать при изменении энергии (и волнового числа) падаю щей волны.

Проще всего анализировать подобную ситуацию для случая кусочно постоянного потенциала, когда все неоднородности являются точечными:

представляют собой скачки потенциала.

Пусть при данной энергии E волновое число в области (x0, x0 + + a) длины a с локально постоянным потенциалом Ua составляет k = = 2m(E Ua ). Решение стационарного уравнения Шр дингера в дан е h 192 ГЛАВА ной области записывается в виде a (x) = A cos(kx) + B sin(kx).

Если в рассматриваемой области укладывается целое число волн, то вне зависимости от A и B значения волновой функции и е первой производной е на концах интервала совпадают:

n Z, ka = 2n, a (x0 ) = a (x0 + a), a (x0 ) = a (x0 + a).

Если мы будем сшивать волновую функцию слева и справа от рассматривае мой области, то саму область (x0, x0 + a) можно удалить, напрямую склеив области (, x0 ) и (x0 + a, +). Волновая функция вне вырезанного ин тервала при этом не изменится. В частности, не изменятся коэффициенты отражения и прохождения.

Если в рассматриваемой области укладывается полуцелое число волн, то вне зависимости от A и B значения волновой функции и е первойе производной на концах интервала отличаются только знаком:

n Z, a (x0 ) = a (x0 +a), a (x0 ) = a (x0 +a).

ka = (2n+1), Если мы будем сшивать волновую функцию слева и справа от рассматри ваемой области, то саму область (x0, x0 + a) можно удалить, напрямую склеив области (, x0 ) и (x0 + a, +), поменяв при этом знак волновой функции в одной из этих областей. Волновая функция с одной стороны вы резанного интервала при этом не изменится, а с другой — поменяет знак.

Коэффициенты отражения и прохождения снова не изменятся.

0. 0. 0. 0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 6.8. R(E) для прямоугольной ямы при a = 30, = m = V = 1.

h Таким образом, при рассмотрении одномерной задачи рассеяния в об ласти постоянного потенциала можно убрать или добавить целое число полуволн без изменения коэффициентов отражения и прохождения.

6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ В частности, это означает, что при рассеянии на симметричной прямо угольной потенциальной яме (6.6) коэффициент отражения должен обра щаться в нуль (при вырезании участка ( a, + a ) яма как бы исчезает) при 2 выполнении следующего условия:

ka= a n N.

2m(E + V ) = n, h Действительно, если проделать соответствующие выкладки12, то для такой ямы (k 2 k2 )2 sin2 (k a) R= = (2k k)2 cos2 (k a) + (k 2 + k2 )2 sin2 (k a) 2mV sin2 (k a) h =.

(2k k)2 cos2 (k a) + (k 2 + k2 )2 sin2 (k a) При указанных (резонансных) условиях R = 0.

При k a (n + 1 ) также наблюдается резонанс, но не для прохожде ния, а для отражения.

При работе с кусочно-постоянными потенциалами наличие резонанс ного рассеяния можно использовать для проверки полученного ответа.

12 Читатель может проделать это в качестве упражнения.

ГЛАВА Эффекты теории измерений Если квантовая теория не потрясла тебя — ты е ещ не понял.

е е Нильс Бор W 7.1. Классическая (колмогоровская) вероятность (л*) Предполагается, что читатель имеет неко торое (на физическом уровне строгости) пред ставление о теории вероятностей. Однако, прежде чем обсуждать тонкие различия кван товых и классических вероятностей, полезно строго сформулировать, что же такое класси ческая вероятность.

На протяжении столетий понятие вероят ности формулировалось на полуинтуитивном уровне, как частота случайных событий, что Рис. 7.1. Андрей Николаевич отсылало нас к плохо определ нному поня е Колмогоров (1903–1987). W тию случайности. Многие математики пыта лись формализовать это определение.


На сегодняшний день мы имеем теорию вероятностей, основные поня тия которой были сформулированы А. Н. Колмогоровым в 1933 году вообще без отсылок к случайности1, вместо этого вероятность рассматривается как мера (обобщение площади, объ ма, массы и вообще количества) на неко е тором вероятностном пространстве.

1 Интересно, что уже после создания аксиоматики теории вероятностей, А. Н. Колмогоров исследовал возможность формализации понятия случайности, действуя в русле старой, докол могоровской теории вероятностей. При этом были получены интересные результаты, но задача так и не была полностью решена.

7.1. КЛАССИЧЕСКАЯ (КОЛМОГОРОВСКАЯ) (Л*) ВЕРОЯТНОСТЬ Интересно, что к моменту создания квантовой теории у математи ков ещ не было математически последовательной аксиоматической тео е рии вероятностей. Лишь после возникновения квантовой теории, для ко торой понятие вероятности является центральным, была создана классиче ская аксиоматика теории вероятности. При этом классическое понимание вероятности полезно, но в некоторых случаях недостаточно для квантовой теории2.

7.1.1. Определение вероятностного пространства** Вероятностное пространство — это тройка (,, P ), состоящая из непустого множества — пространство элементарных со бытий, некоторой сигма-алгебры, состоящей из подмножеств множе ства — множество событий,, ;

A, B : A B, A B, Ak, k N : Ak ;

kN и вероятностной меры (вероятности) P :

P : [0, 1], P () = 1, P () = 0.

A, B, A B = : P (A B) = P (A) + P (B), Ak, k N, k = k N, Ak Ak = : P Ak = P (Ak ).

kN kN 7.1.2. Смысл вероятностного пространства* Обсудим смысл введ нных выше понятий. Мы имеем пространство е элементарных событий, однако может оказаться, что некоторые из этих событий имеют нулевую вероятность, но конечная вероятность может быть приписана некоторым диапазонам пространства. Это типичная ситуация для непрерывного распределения вероятностей.

2 К сожалению, гуманитарная культура в понимании вероятности и случайности в массе своей застряла в наивном классическом детерминизме, не усвоив даже классической вероят ности. См. 2.5.2 «Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф)».

196 ГЛАВА По этой причине, помимо пространства элементарных событий, вво дится множество событий, для которых определено значение вероятнос ти. События можно совмещать (пересекать, на языке теории множеств) и объединять. Прич м объединять можно как конечные, так и сч тные на е е боры событий. Допустимость таких операций заложена в определение.

Мера P — это и есть вероятность. Она ставит в соответствие событиям числа от 0 до 1, прич м при объединении (конечном или сч тном) непересе е е кающихся (взаимно исключающих) событий их вероятности складываются.

7.1.3. Усреднение (интегрирование) по мере* Функция на вероятностном пространстве называется случайной вели чиной A : R.

С помощью вероятностной меры P мы можем определить интеграл по пространству, который зада т среднее соответствующей случайной е величины:

A = A() P (d).

При этом мы можем понимать это выражение как предел интегральных сумм (интеграл Лебега), в которых P (d) — мера («длина») бесконечно короткого интервала:

P (d) = P (, + d].

Такой интеграл (если мы умеем брать обычные интегралы по ) может быть записан как сумма по элементарным событиям с ненулевой вероятнос тью и интеграл с некоторым весом () по непрерывной части распределе ния вероятностей:

A() P (d) = A() P ({}) + A() () d.

Читатель, уже знакомый с квантовой механикой, может легко узнать здесь дискретный спектр 1 и непрерывный спектр 2. Множества, состоящие из одной точки имеют ненулевую вероятность, если эта точка принадле жит 1.

7.1.4. Вероятностные пространства в квантовой механике (ф*) В квантовой механике вероятностное пространство сопоставляется каждому процессу измерения. При этом оно зависит не только от теку щего состояния системы (волновой функции или матрицы плотности ), но и от измеряемой наблюдаемой A.

7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ЕННОСТЕЙ Для каждой наблюдаемой мы можем решить спектральную задачу и получить набор собственных чисел, который является пространством элементарных событий, при измерении данной наблюдаемой. Простран ство порождается (получается с помощью пересечения и сч тного объе е динения) из всевозможных открытых и замкнутых интервалов на R.

Также при решении спектральной задачи мы получаем набор проек торов на собственные подпространства, соответствующие каждому из соб ственных чисел. Точнее (особенно при наличии непрерывного спектра) говорить не о наборе проекторов, а о проекторнозначной мере P (см. раз дел 5.3.1), которая сопоставляет каждому «хорошему» подмножеству L проектор на объединение собственных пространств для всех L.

Вероятностная мера P (уже без шляпки!) получается усреднением P по квантовому состоянию ( или ):

P (L) = |P (L)| или P (L) = tr(P (L) ).

Среднее (совпадающее с квантовым средним) определяется как интег рал от собственного числа по этой вероятностной мере:

|A| = P (d) = |P (d)|, A = tr(A ) = P (d) = tr(P (d) ).

Принципиально важно, что вероятностные пространства, возникаю щие в квантовой механике, зависят от измеряемой величины. Как следует из нарушения неравенства Белла, определить вероятностное пространство без использования измеряемой величины в рамках локальной теории невоз можно.

7.2. Соотношения неопредел нностей е 7.2.1. Соотношения неопредел нностей и (анти)коммутаторы е Для пары величин, описывающихся некоммутирующими эрмитовыми операторами A и B, невозможно задать общий базис собственных функций, т. е. базис состояний, в каждом из которых обе величины однозначно опре делены. Это накладывает принципиальные ограничения на одновременную измеримость A и B.

198 ГЛАВА Соотношение неопредел нностей позволяет охарактеризовать эти огра е ничения количественно через среднеквадратичные отклонения.

Исследуем величину следующего вида:

X = (A)2 (B)2 = (A A )2 (B B )2.

Пусть | — некоторое произвольное нормированное на единицу со стояние.

Определим для данного | смещ нные операторы:

е A0 = A |A|, B0 = B |B|.

Для коммутаторов ([·, ·]) и антикоммутаторов ([·, ·]+ ) мы можем написать следующие очевидные соотношения:

C = C †, [A, B] = iC = 0, [A0, B0 ] = A0 B0 B0 A0 = [A, B] = iC, [A0, B0 ]+ = A0 B0 + B0 A0 = D0, [A, B]+ = AB + B A = D, |D0 | = |D| 2 |A| |B|.

Теперь X расписывается как произведение скалярных квадратов, для кото рого существует оценка снизу через скалярное произведение: X = |A2 | |B0 | = A0 |A0 B0 |B 2 | A0 |B0 |2 = | |A0 B0 | |2.

Произведение операторов расписывается через коммутатор и антикоммута тор:

A0 B0 = 1 ([A0, B0 ] + [A0 B0 ]+ ) = 1 (D0 + iC), 2 |A0 B0 | = | 1 (D0 + iC)| = 1 |D0 | + i |C|.

2 Поскольку операторы C и D0 эрмитовы, средние от них вещественны:

| |A0 B0 | |2 = 1 |D0 | + i |C| X = = 1 |D0 | 2 + |C| 2.

3 Мы применяем неравенство Коши – Буняковского, согласно которому | | | ·, прич м неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда и коллинеарны.

е 7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ЕННОСТЕЙ Соотношение 1 |D0 | 2 X + |C|, (7.1) 1 [A, B ] + 1 i[A, B] 2, 0 0 + т. е. (A)2 (B)2 4 мы будем называть обобщ нным соотношением неопредел нностей.

е е Обычно используют более слабое соотношение неопредел нностей е 1 |C| 2, 1 i[A, B] 2.

(A)2 (B) X т. е. (7.2) 4 Для пары из оператора координаты и соответствующей компоненты им пульса [, p] = i, и мы получаем x h 2.

(x)2 (p)2 h Обобщ нное соотношение неопредел нностей (7.1) обычно переписы е е вается через коэффициент корреляции 1 [A, B ] 1 [A, B] A B 0 0+ + 2 r= =.

(A)2 (B)2 (A)2 (B) Перенеся антикоммутатор в левую часть неравенства и выразив его че рез r, выводим обобщ нное соотношение неопредел нностей в виде, пер е е воначально полученном Робертсоном и Шр дингером в 1930 году:

е 1 i[A, B].

(A)2 (B)2 (7.3) 4 1 r 7.2.2. Так что же мы посчитали? (ф) Так что же мы посчитали? Каков физический смысл полученных соот ношений неопредел нностей?

е Во-первых, мы более аккуратно, с уч том всех числовых констант, е уточнили и обобщили выводы раздела 2.7.3 «Преобразование Фурье и со отношения неопредел нностей». То есть связали между собой среднеквад е ратичную ширину волновых пакетов по переменным A и B. Тем самым мы получили ограничение на то, какие вообще бывают состояния, без рассмот рения какого-либо измерения.

200 ГЛАВА Во-вторых, мы ответили на вопрос об экспериментальных неопре дел нностях, но эти неопредел нности соответствуют иному случаю, чем е е случай микроскопа Гайзенберга.

Рассматривая микроскоп Гайзенберга, мы исследовали случай последо вательного измерения координаты и импульса для одной и той же системы и оценивали разброс результатов. То есть мы рассматривали ансамбль оди наковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняется последовательно измерение координаты и импульса.

Здесь мы оцениваем квантовомеханический разброс (среднеквадратич ные отклонения) наблюдаемых A и B для одного и того же состояния. Это соответствует тому, что мы рассматриваем ансамбль одинаковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняется измерение A или B (например, измерение координаты или импульса). То есть над каждой системой выполняется измерение только одной из двух некоммутирующих величин, и одно измерение «не мешает» (не изменя ет состояние) для другого, поскольку другое измерение производится над другой (или заново приготовленной) системой.

7.2.3. Когерентные состояния Наводящие соображения* Исследуем, при каких условиях обобщ нное соотношение неопре е дел нностей (7.1) и обычное соотношение неопредел нностей (7.2) могут е е обращаться в равенства.


Для того, чтобы обобщ нное соотношение неопредел нностей (7.1) е е стало равенством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие A0 |A0 B0 |B0 = A0 |B0, что равносильно тому, что векторы A0 | и B0 | были пропорциональны друг другу.

Таким образом, необходимое и достаточное условие обращения обоб щ нного соотношения неопредел нностей в равенство:

е е Z C.

(A0 + B0 )| = 0 (A + B)| = Z| (7.4) Состояния (7.4) мы будем называть обобщ нными когерентными состоя е ниями для пары операторов A, B.

7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ЕННОСТЕЙ Для того, чтобы обычное соотношение неопредел нностей обратилось е в равенство, в дополнение к (7.4) следует потребовать обнуления среднего от антикоммутатора:

|[A0, B0 ]+ | = 0, (A0 + B0 )| = 0 (A0 + B0 )2 | = |2 A2 + 2 B0 + [A0, B0 ]+ | = 0.

0 2 Получаем, что следующие выражения должны быть равны нулю:

2 A2 + 2 B0 = [A0, B0 ]+ = 0.

0 2 A2 и B0 неотрицательны, если они отличны от нуля, то 2 = B0.

2 A Таким образом, отношение коэффициентов оказывается чисто мнимым:

B = i = ±i 0 R.

, A2 Подставив в уравнение (7.4), получаем (дальше мы не будем использовать уравнение на 0, нам лишь надо было угадать вид уравнения на ) B 0 = ± (i0 A0 + B0 )| = 0,. (7.5) A Уравнение когерентных состояний Рассмотрим произвольное состояние вида | = (i A0 + B0 )|, R.

| = |(i A0 +B0 )(i A0 +B0 )| = | 2 A2 i[A0, B0 ]+B0 |.

0 202 ГЛАВА Таким образом, для любого вещественного 2 A 2 + C + B0 0.

Квадратный тр хчлен в левой части неравенства имеет следующие корни:

е C ± 4 A2 A C 0 B 1,2 =.

2 A Из того, что неравенство выполняется для всех вещественных, следует, что эти корни либо комплексные, либо совпадающие, условием чего являет ся неположительность подкоренного выражения, т. е. соотношение неопре дел нностей:

е C 2 4 A2 A 0 B 0.

Таким образом, мы ещ раз вывели соотношение неопредел нностей.

е е Если (i A0 + B0 )| = 0, то это автоматически означает, что = 1 = = 2,4 т. е. соотношение неопредел нностей обращается в равенство:

е (i A + B)| = Z|, Z C, R. (7.6) (i A0 + B0 )| = Состояния (7.6) мы будем называть когерентными состояниями для пары операторов A, B. Такие состояния оказываются собственными состояния ми неэрмитовых операторов вида i A + B.

Вопрос о существовании когерентных состояний для той или иной па ры операторов мы оставляем открытым. Для пары операторов координата импульс мы ещ верн мся к нему, в процессе изучения гармонического е е осциллятора.

7.2.4. Соотношения неопредел нности время-энергия е... время — это то, что измеряется часами.

Г. Бонди, «Гипотезы и мифы в физической теории»

С точки зрения преобразования Фурье, пара переменных время-часто та должна вести себя так же, как пара переменных координата-волновое число. Или если умножить частоту и волновое число на постоянную План ка, то пара время-энергия должна быть аналогична паре координата-им пульс.

4 Мы избавились от отдельного условия на 0.

7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ЕННОСТЕЙ Эту же аналогию можно ожидать исходя из специальной теории от носительности, в которой время — дополнительная координата, энергия — компонента 4-мерного импульса по времени, частота — компонента 4-мер ного волнового вектора по времени.

Однако рассматриваемая нами (гамильтонова) формулировка кванто вой механики предполагает выделение времени из числа пространственно временных координат. В рассматриваемом формализме время, в отличие от пространственных координат, — не наблюдаемая (эрмитов оператор), а некоторый числовой параметр. Пространственные координаты прокван товались (стали операторами), а время осталось классическим (числовым параметром).

Описание времени как числового параметра не позволяет описать про цесс его измерения. «Время — это то, что измеряется часами» (см. эпиграф к данному разделу). То есть измерение времени — это измерение состояния часов, а соответствующая наблюдаемая («физическое время»), например, — координата стрелки часов.

Оператор «физического времени» должен удовлетворять условию d = [, H] = i.

h (7.7) dt Соотношение (7.7) можно заменить более слабым соотношением, представ ляющим его ограничение на интересующее нас подпространство состоя ний:

d =1 [, H] = i.

h (7.8) dt 5 Данное замечание предназначено исключительно тем читателям, которые знакомы с ко вариантными и контравариантными векторами применительно к специальной теории относи тельности. Векторы и ковекторы в данном случае следует понимать по отношению к линей ным преобразованиям координат.

h Если «сократить» уравнение Шр дингера H = i t на волновую функцию, то мы е получим для гамильтониана выражение, аналогичное выражению для импульса с противо положным знаком: H = i t. Формальное вычисление коммутатора [t, i t ] = i да т h h hе противоположный (по сравнению с коммутатором координата-импульс) знак. Как это совмес тить с [, H] = +i ? Дело в том, что канонические коммутационные соотношения пишутся h для обобщ нных координат и импульсов. Обобщ нные импульсы в теоретической механике е е L p = q следует считать компонентами ковариантного вектора. Однако 4-вектор энергии импульса с компонентами pi = (E, px, py, pz ) — это контравариантный вектор. Таким обра зом, соответствие коммутатора время-энергия коммутатору координата-импульс должно иметь место только после того, как у всех компонентов импульса (включая энергию) будут с помо щью метрики Минковского опущены индексы: pi = (E, px, py, pz ) = i i. Действи h тельно, компоненты оператора набла образуют ковариантный вектор.

204 ГЛАВА Соотношение неопредел нностей для пары операторов -H записыва е ется стандартным образом (7.2):

2.

h ( )2 (E)2 (7.9) Как и другие соотношения неопредел нности, соотношение время е энергия может интерпретироваться по-разному.

Так что же мы посчитали? (ф) Введя оператор «физического времени», мы, тем самым, предположи ли, что рассматриваемая квантовая система содержит в сво м составе часы.

е Можно было бы обсудить допустимость включения микро- и макро часов в состав квантовой системы с точки зрения различных интерпретаций квантовой механики (такое обсуждение было бы практически тождествен но обсуждению возможности включения в квантовую систему наблюдате ля), однако такие рассуждения лишь уводят в сторону от главного вопроса:

«Неопредел нность какой именно энергии мы обсуждаем?»

е Если часы входят в квантовую систему в качестве отдельной подсис темы, слабо взаимодействующей с остальными степенями свободы, то мы может выделить из суммарного гамильтониана H гамильтониан часов Hч, 0 и их взаимодействие V :

гамильтониан оставшейся части H H = Hч + H0 + V, [, Hч ] = i, h [, H0 ] = 0, [, V ] = 0.

Таким образом, неопредел нность энергии системы оказывается на самом е деле неопредел нностью энергии часов.

е Таким образом, соотношение неопредел нностей время-энергия (7.9) е применимо не просто к системе, включающей часы, а к системе, которая сама является часами.

Если система не является часами (ф) Если квантовая система не является часами, то вместо «часовой стрел ки» можно использовать любые зависящие от времени процессы. На малых временах любая несохраняющаяся наблюдаемая может выступать в роли «физического времени». Для не зависящей явно от времени наблюдаемой A имеем h dA = 1 [A, H], 1 i[A, H] = dA 2 2 (A) (E). (7.10) 4 dt i h dt 7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛ ЕННОСТЕЙ Если теперь учесть скорость хода «часов» dA, то получаем dt 2.

h (t)2 (E)2 (7.11) (A) dA dt Полученное соотношение может быть интерпретировано как связь ха рактерного времени эволюции системы с неопредел нностью е энергии.

е е Время жизни и ширина уровня (ф) Важный случай применения соотношения неопредел нностей время е энергия (7.9) — связь времени жизни и ширины энергетического уровня для квазистационарного состояния.

Квазистационарное состояние на малых временах вед т себя как ста е ционарное состояние, но его амплитуда экспоненциально уменьшается со временем (см. 13.5.6 «Квазистационарные состояния в квазиклассике»).

Примеры квазистационарных состояний: ядро радиоактивного атома (со временем распадается), атом в возбужд нном состоянии (со временем из е лучает фотон и переходит в состояние с меньшей энергией) и т. п.

Закон радиоактивного распада имеет вид t n = n0 e, (7.12) где n — оператор числа нераспавшихся квазистационарных систем, а 0 — время жизни. Начальное число нераспавшихся систем n0 = 1.

Среднее время жизни квазистационарного состояния и средний квад рат времени жизни вычисляются исходя из (7.12):

t t 1 t2 t2 e t0 = te dt = 0, = dt = 20.

0 0 0 Таким образом, 2 = h h t2 = t2 t0 2 E = 0.

0 h Минимальную неопредел нность энергии е в этом случае следует трак товать как ширину уровня энергии E0 =.

h (7.13) 206 ГЛАВА Действительно, колебание с экспоненциально затухающей амплитудой не может иметь строго определ нную частоту.

е Квазистационарное состояние — это очень интересный пример, т. к.

в н м система является часами: время может измеряться по тому, какая е доля ансамбля систем в квазистационарных состояниях распалась.

Простейшие (и грубейшие) часы такого типа определяют распалась ли единственная система, или ещ нет. Конечно, такие «часы» дают нам лишь е два возможных «положения стрелки». Естественно откалибровать эти часы следующим образом:

n = 1, = 0;

n = 0, = 0.

Тогда среднее время, показываемое часами, — t = 0 (1 e ).

t d = e 0, т. е. часы удовлетворяют условию (7.8) только Мы видим, что dt в точке 0, с характерным временем ухода 0.

Мы можем построить более точные часы из n0 систем в квазистацио нарых состояниях. Поскольку спектр оператора числа систем n вс равно е будет ограничен (собственные числа от 0 до n0 с шагом 1), такие часы по прежнему смогут измерять только ограниченные интервалы времени, но длина шкалы будет расти как ln n0.

Длительность измерения и точность определения энергии (ф) Наиболее употребимая интерпретация соотношения неопредел нностей е время-энергия — связь длительности измерения энергии и его точности.

Привед нные выше рассуждения рассматривали идеальное мгновен е ное квантовомеханическое измерение. Моделирование реального процесса квантового наблюдения будет также обсуждаться ниже в разделе 8.2 «Мо делирование измерительного прибора*».

(фф*) Пусть измеряемая квантовая система («микросистема») описы вается гамильтонианом H0, а измерение состоит во взаимодействии систе мы с часами, описывающимися гамильтонианом Hч. До начала измерения обе подсистемы (микросистема и часы) имеют определ нную энергию и не е взаимодействуют. В некоторый момент времени t0 часы включают взаимо действие V0 с микросистемой. Соответствующая добавка к гамильтониану V = V0 ( t0 ).

7.3. ИЗМЕРЕНИЕ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ* Неопредел нность времени взаимодействия составляет t. После оконча е ния измерения неопредел нность энергии часов — E.

е Поскольку начальные энергии часов и микросистемы имели опреде ленные значения, неопредел нность энергии микросистемы также состав е ляет E. В качестве длительности взаимодействия часов и микросистемы следует взять t.

Если начальные неопредел нности энергий микросистемы и часов от е личны от нуля, то конечная неопредел нность энергии возраст т. Также за е е сч т неидеальности часов может возрасти неопредел нность длительности е е взаимодействия.

Таким образом, мы показали, что соотношение неопредел нностей е время-энергия (7.9) может интерпретироваться как связь длительности и точности для измерения энергии, при условии, что измерительный при бор (мы включили его в часы) вместе с микросистемой может быть описан квантовой механикой.

В данном разделе мы описывали незамкнутую квантовую систему, пут м расширения е до замкнутой. При этом следует отметить, что опи е е сание незамкнутых квантовых систем — сложная проблема, которую мно гие физики вообще выводят за пределы стандартной квантовой механики (см. 9.3.2 «“Новая копенгагенская” интерпретация (ф)»).

7.3. Измерение без взаимодействия* Познание начинается с удивления.

Аристотель W Измерение в квантовой механике происходит не только тогда, когда датчик щ лкнул, обнаружив частицу, но и тогда, когда датчик не щ лкнул е е (отрицательный результат измерения). Частица при этом беспрепятствен но пролетела мимо датчика, но измерение вс равно произошло и волно е вая функция частицы изменилась. Это уже отмечалось в разделе 3.1.4 (см.

рис. 3.4).

Таким образом, мы получаем, что измерение может менять состояние (состояние — другое имя волновой функции) частицы даже если частица, не взаимодействовала с прибором. Здесь важно, что хотя частица не про взаимодействовала с прибором, она потенциально могла это сделать.

То есть не произошедшие, но потенциально возможные события оказывают влияние на развитие системы6.

6 Если когда-нибудь будет создана такая наука, как квантовая история, то расхожая фраза «История не имеет сослагательного наклонения» должна оказаться грубо неверной, потому 208 ГЛАВА К числу таких явлений относится дифракция в оптике, если учиты вать, что электромагнитная волна переносится дискретными фотонами. При дифракции на каком-либо препятствии дифракционная картина образуется теми фотонами, которые пролетели мимо препятствия и никак с ним не взаимодействовали. То, что при этом вместо обычной тени образуется диф ракционная картина (в частности, внесение препятствия усиливает яркость некоторых областей, например пятна Пуассона), означает, что фотоны, не поглощ нные препятствием, ведут себя иначе, чем в его отсутствие.

е Многие эксперименты, демонстрирующие эффекты измерения без вза имодействия, можно ставить со светом. При этом отличие от обычных опы тов на дифракцию и интерференцию будет состоять в следующем:

• вместо обычных источников света используются источники, испускаю щие отдельные фотоны;

• интерпретация не в терминах амплитуд полей и потоков энергии, а в терминах амплитуд вероятности и потоков частиц.

Следует отметить, что все обычные источники света достаточно слабы, что бы можно было пренебречь нелинейными эффектами, т. е. чтобы фотоны взаимодействовали с установкой по одному. Поэтому обычные эксперимен ты по волновой оптике при взгляде с квантовой точки зрения могут выгля деть весьма загадочно и поучительно. Однако ослабление источника света может быть полезно, чтобы наглядно прояснить одночастичную природу оптических эффектов7.

что в квантовой теории не произошедшие события («в сослагательном наклонении») обнуля ют в волновой функции кусок, отвечающий за возможность такого события. Можно привести такую грубую гуманитарную аналогию: если вопрос был поставлен на голосование (измере ние) перед людьми, не имеющими ч ткой позиции (чь решение вероятностно), и предложе е е ние провалилось, то сразу обнулилась вероятность проваленного решения, при немедленном повторном голосовании. Другими словами, если человека, не имеющего ч ткой точки зрения е по какому-либо вопросу (находящегося в суперпозиции различных точек зрения), заставить высказаться (провести измерение его точки зрения), то сразу после измерения у него будет точка зрения, соответствующая тому, что он высказал, однако со временем эта точка зрения будет эволюционировать. В качестве развития аналогии можно попытаться найти также гума нитарный аналог фазы, например воздействия, действующие на мнение человека одинаково по отдельности, совместно могут как усиливать друг друга, так и взаимно гасить, в зависимос ти от разности фаз. (Метод гашения идей пут м вложения их в гнилые уста специально для е этой цели выращенных деятелей достаточно распростран н в современной политике.) Данную е аналогию, как почти все аналогии, не следует воспринимать слишком серь зно.

е 7 Само по себе ослабление источника до уровня, когда в импульсе окажется менее одного фотона, недостаточно для создания однофотонного источника. Простое ослабление светового импульса светофильтрами даст нам состояние, точное число фотонов в котором не определено, прич м не определено в квантовом смысле, а не в классическом: импульс описывается как е суперпозиция состояний с разным числом фотонов.

7.3. ИЗМЕРЕНИЕ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ* Последующие разделы 7.3.1 «Эксперимент Пенроуза с бомбами (ф*)», 7.4 «Квантовый эффект Зенона (парадокст незакипающего чайника)**»

описывают невозможные с классической точки эффекты измерения без вза имодействия, которые могут быть реализованы на эксперименте как опти ческие эффекты.

7.3.1. Эксперимент Пенроуза с бомбами (ф*) Под влиянием соотношения неопредел нности многие считают, что е квантовая механика предоставляет меньше возможностей для измерений, чем классическая. Однако на самом деле ситуация интереснее: квантовая механика запрещает некоторые измерения, которые позволяет классическая физика, но одновременно позволяет измерения, невозможные в классике.

Интересный эксперимент, демонстрирующий осуществимость класси чески невозможных измерений, был предложен Роджером Пенроузом.

Интерферометр Маха – Цандера на рис. 7.2, состоящий из двух полу прозрачных зеркал (вероятность отражения — 1 ) и двух обычных зеркал, при правильной юстировке вед т себя следующим образом: е • 1-е полупрозрачное зеркало расщепляет входящий в него фотон в суперпозицию двух волновых пакетов 2 (1 + i2 ), каждый из ко торых проходит по своей траектории;

• два обычных зеркала направляют волновые пакеты на 2-е полупроз рачное зеркало, преобразуя их в состояние 2 (i3 4 );

• 2-е полупрозрачное зеркало собирает из двух волновых пакетов снова один a, который выходит вправо.

В результате вошедший в интерферометр фотон всегда выходит вправо в состояние a и никогда вниз в состояние b.

При этом важно, что фотон внутри интерферометра находится в супер позиции двух состояний и мы в принципе не можем определить по какому плечу он прош л. Внесение в систему измерительного прибора, способ е ного определить куда пош л фотон, разрушает интерференцию, и фотон е с равной вероятностью попадает как в состояние a, так и b. К такому эффекту приводит, например, перекрытие одного из плеч, однако ниже мы рассмотрим более изощр нную схему.

е Представим себе набор бомб с очень чувствительным взрывателем, который способен сработать от толчка одного фотона. Однако некоторые 8 Каждое отражение доставляет фазовый множитель i. Фазовые множители, связанные с распространением волнового пакета внутри интерферометра, полагаем равными (результат юстировки), в результате чего их можно отбросить.

210 ГЛАВА a Рис. 7.2. Интерферометр Маха – Цандера выпускает фотоны только по одному нап равлению из двух возможных.

бомбы неисправны и энергии фотона недостаточно для возбуждения их взрывателя.

На рис. 7.3 одно из непрозрачных зеркал закреплено на носу неисправ ной бомбы. В этом случае интерферометр работает по-прежнему: сколько бы фотонов в него не входило, все выходят в состояние a.

Рис. 7.3. Интерферометр Маха – Цандера с неисправной бомбой работает по-преж нему.

Исправную бомбу можно рассматривать как измерительный прибор, детектирующий наличие фотона в нижнем плече интерферометра (пле чо 2-4).

Если бомба детектирует фотон, то бомба взрывается, и волновой пакет из верхнего плеча (плечо 1-3) исчезает. Это изображено на рис. 7.4.

Если бомба не детектирует фотон, то имеет место измерение без взаи модействия. В результате исчезает волновой пакет в нижнем плече интер ферометра, интерференция разрушается и фотон может выйти из интерфе рометра как вправо, так и вниз.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.