авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |

«М. Г. Иванов Как понимать квантовую механику Москва Ижевск 2012 УДК 530.145.6 ББК 22.314 И 204 ...»

-- [ Страница 6 ] --

Таким образом, если мы запускаем один фотон в интерферометр с ис правной бомбой, то возможны следующие исходы:

7.3. ИЗМЕРЕНИЕ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ* Рис. 7.4. Если бомба исправна, то с вероятностью фотон ид т вниз и бомба взры е вается.

Рис. 7.5. Если бомба исправна, то с вероятностью 1 фотон ид т вправо и бомба е не взрывается. Тем не менее разрушается интерференция и фотон может выйти как вправо, так и вниз.

• с вероятностью 1 бомба взрывается и мы узна м, что она была ис е правна;

• с вероятностью 1 бомба не взрывается, фотон выходит вправо (в со стояние a ) и мы не знаем исправна ли бомба;

• с вероятностью 1 бомба не взрывается, фотон выходит вниз (в состоя ние b ) и мы узна м, что бомба исправна, не взорвав е при этом.

е е Таким образом, если нам дали большое количество бомб, срабатываю щих от одного фотона, то в классическом случае мы не можем отобрать некоторое количество заведомо исправных бомб, не взорвав их при этом.

В квантовом случае описываемая схема позволяет, тратя по одному фотону 212 ГЛАВА на бомбу, взорвать только половину исправных бомб, и совершить чудо:

выделить четверть исправных бомб, не взорвав их при этом.

Испытывая бомбы по несколько раз, можно приблизить долю отобран ных (выявленных без взрыва исправных) бомб к 1n = 1, а долю n=1 4 взорванных — к 3. Меняя коэффициенты отражения полупрозрачных зер кал, можно приблизить долю отобранных бомб к 1.

Другие способы измерения без взаимодействия позволяют:

• сделать долю взорванных бомб сколь угодно малой;

• сделать долю невыявленных исправных бомб сколь угодно малой;

• сделать долю исправных бомб, выявленных без взрыва, сколь угодно близкой к 1.

7.4. Квантовый эффект Зенона (парадокс незакипающего чайника)** ДВИЖЕНИЕ Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей.

А. С. Пушкин 7.4.1. При ч м здесь Зенон?

е Квантовое измерение, в отличие от классического, всегда влияет на состояние измеряемой системы. Одним из наиболее ярких проявлений это го влияния является квантовый эффект Зенона, в русской литературе также именуемый парадоксом незакипающего чайника. При этом особенно инте ресно то, что измерение может осуществляться без взаимодействия.

«Мудрец брадатый» из пушкинского стихотворения — Зенон Элей ский9 известен поколениям школьников как один из самых больших чу даков древней Греции, утверждавший, что движение невозможно, и приду мывавший в доказательство этой глупости различные смешные парадоксы 9 Считается, что Зенон из Элеи (Z ) жил в период ок. 490 – ок. 430 до н. э. Его работы известны только в пересказе: в изложении Аристотеля и по комментариям к нему Симпликия.

(Кстати, «Симпликий»=«Простак» — имя весьма подозрительное.) По всей видимости, мы 7.4. КВАНТОВЫЙ ЗЕНОНА ЭФФЕКТ (апории Зенона). Над этими парадоксами бывает очень весело посмеяться на лекции, глядя на них с недоступных старику Зенону высот математи ческого анализа и классической механики. Однако в квантовой механике некоторые рассуждения Зенона внезапно приобретают физический смысл, более того, соответствующие физические эффекты наблюдаются экспери ментально.

В апории «стрела» невозможность движения доказывается примерно сле дующим образом: летящая стрела в каждый момент времени где-то на ходится/покоится, но стрела не мо жет одновременно лететь и покоить ся, а значит движение невозможно.

Невозможности движения это рассуж дение, конечно, не доказывает, но оно Рис. 7.6. Портрет Зенона с сайта доказывает невозможность движения, «Элементы»

когда это движение каждый момент вре- (http://elementy.ru/trefil/zeno_paradox) мени точно измеряют: если очень точно и бюст какого-то Зенона. Автору измерить положение летящей части- не вполне ясно, почему авторы учебников по философии уверены, цы, то е волновая функция схлопнется что это «тот самый Зенон».

е в очень узкий волновой пакет, для кото рого неопредел нность координаты ма е ла, а неопредел нность импульса очень велика, после этого летела частица е или покоилась будет уже не важно. Более того, если повторять измерение очень часто, так, чтобы волновой пакет не успел расплыться и сдвинуться, то измерение скомпенсирует эволюцию волновой функции и частица каж дый раз будет обнаруживаться в одном и том же месте (т. е. перестанет двигаться)10.

Таким образом, квантовый эффект Зенона состоит в замораживании (или замедлении) эволюции системы, подвергающейся частым и точным измерениям.

уже никогда не сможем узнать, что в точности писал сам Зенон, и существовал ли он во обще (или, например, был выдуман Аристотелем). Однако достаточно ли принципиальна эта невозможность для того, чтобы надо было принимать во внимание интерференцию различ ных вариантов прошлого, содержащих (или не содержавших) различных Зенонов Элейских (см. рис. 7.6), не ясно.

10 Пусть в начальный момент времени волновая функция свободной частицы в импульс p ном представлении имеет вид 0 (p) = 1 2p e. Используя гамильтониан свободной p p2 t получаем оператор эволюции Ut = ei 2m и в момент времени t вол p частицы H = h 2m 214 ГЛАВА Впервые квантовый эффект Зенона был предсказан в 1958 году совет ским физиком Леонидом Александровичем Халфиным11. Имя Зенона эф фекту дали Байдьянат Мизра и Джордж Сударшан в 1978 году. Эффект для вероятности переходов между атомными уровнями был экспериментально подтвержд н в 1989 году12.

е Рассмотрим квантовый эффект Зенона на простейшем примере. Пусть эволюция квантовой системы описывается как вращение вектора состояния в заданной плоскости с постоянной угловой скоростью = E. Это соот h ветствует тому, что система находится в суперпозиции двух стационарных состояний с различной на E энергией, прич м амплитуды обоих стацио е нарных состояний одинаковы по модулю. (Плоскость вращения будет, разу меется, комплексной, но подбором фазовых множителей и нулевого уровня энергии е можно сделать обычной вещественной евклидовой плоскостью.) е Пусть плоскость вращения натянута на ортонормированные состоя ния и, тогда, если в нулевой момент времени волновая функция рав нялась, в момент времени t имеем (t) = cos( t) + sin( t).

Если теперь провести измерение, отвечающее на вопрос «Находится ли система в состоянии ?», то вероятность ответа «да» и скачка в состоя ние составит cos2 ( t), а вероятность ответа «нет» и скачка в состоя ние составит sin2 ( t). Для t 1 имеем ( t) pда = cos2 ( t) 1 1 ( t)2, pнет = sin2 ( t) ( t)2.

p2 t p2 1+i m новую функцию (p, t) = Ut 0 (p) = h 1 2p e. Амплитуда обнаружения p частицы в момент времени t в начальном состоянии 0 задаётся скалярным произведени 1/ p2 t ем 0 |(t) =. Соответствующая вероятность P0 (t) = | 0 |(t) |2 = 1 + i 2mh 1/ p4 t 2 t 2 p 0 0.

= 1+ Если на протяжении времени T сделать N измерений 4m2 2 8m2 h h с интервалом t = T /N, то суммарная вероятность ухода частицы из состояния 0 составит p Pух. (T, N ) N (1 P0 (T /N )) = T 8m2 2. Мы видим, что Pух. (T, N ) 0 при N, N h т. е. частые измерения, определяющие осталась ли частица в прежнем состоянии, «останавли вают» движение частицы.

11 Халфин Л. А. // ДАН СССР. — 1957. — Т. 115. — С. 277;

ЖЭТФ. — 1958. — Т. 33. — С. 1371;

Квантовая теория распада физических систем: Автореф. дисс.... канд. физ.-мат. наук. — ФИАН СССР, 1960.

12 Science. November 1989. — Vol. 246. — P. 888.

7.4. КВАНТОВЫЙ ЗЕНОНА ЭФФЕКТ Важно, что pнет оказывается квадратично по времени. Из этого следует, что если мы на конечном времени t проделаем n измерений, интервал между t которыми t = n, то суммарная вероятность получения ответа «нет» вед т е себя как (t) t Pнет n · pнет n · n = n 0, n.

Таким образом, чем чаще мы подвергаем систему измерению «Не ушла ли система из исходного состояния ?», тем ближе к единице вероятность того, что система осталась в исходном состоянии. Достаточно частыми из мерениями мы можем удержать систему в исходном состоянии сколь угод но долго со сколь угодно малой вероятностью случайного скачка в другое состояние13, что и да т нам эффект Зенона.

е Эффект Зенона может осуществляться пут м измерения без взаимо е действия, если вместо наличия системы в состоянии проверять наличие системы в состоянии. Система в состоянии, с вероятностью близкой к 1, не будет обнаружена, но это несостоявшееся обнаружение вс равно е повлияет на состояние системы.

Рассмотрим оптическую реализацию эффекта Зенона. Некоторые сре ды, состоящие из несимметричных молекул, вращают плоскость поляри зации проходящего через них света, т. е. если по такой среде распростра няется линейно поляризованный свет, то направление поляризации пово рачивается на угол, пропорциональный пройденному пути14. Таким обра зом, для линейно поляризованного фотона, распространяющегося по среде, плоскость поляризации поворачивается как на рис. 7.7 (только теперь оси координат можно обозначить просто как x и y).

Помещ нный в среду поляризатор производит измерение поляриза е ции каждого фотона и пропускает только те фотоны, которые поляризо ваны вдоль оси поляризатора. Для прошедших через поляризатор фотонов измерение можно считать прошедшим без взаимодействия (с фотоном «ни чего не случилось»).

Оптический эффект Зенона состоит в том, что если мы ставим одина ково ориентированные поляризаторы внутри среды вс чаще и чаще, то фо е тон, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, пройд т через сколь е угодно толстую среду, не изменив направления поляризации15.

13 Для всякого времени t 0 и вероятности p 0 найд тся такое число измерений n, что е за время t система останется в состоянии с вероятностью большей, чем 1 p0.

14 Этот эффект можно трактовать как разную скорость распространения волн с круговой поляризацией по и против часовой стрелки.

15 Здесь, разумеется, мы пренебрегаем возможным поглощением и отражением на поляриза торов фотонов с «правильной» поляризацией. Также мы пренебрегаем толщиной поляризато ров.

216 ГЛАВА F Y cos(wdt) + F sin(wdt) wdt Y Y cos(wdt) Рис. 7.7. Поворот состояния в плоскости (, ) за малое время на угол и проекция на ось при «удачном» измерении.

Следует заметить, что с помощью эффекта Зенона можно не только «замораживать» эволюцию системы, но и вести эту эволюцию произволь ным образом (если суметь придумать подходящие процедуры измерений).

Мы можем слегка модифицировать эксперимент и измерять «находится ли система в состоянии (t)?» Тогда каждый раз измерение будет проециро вать состояние системы на новое направление (t) (состояние (t) норми ровано на единицу и дифференцируемо по времени). Если измерения про исходят достаточно часто, а (t) меняется со временем не слишком быстро, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, после очередного изме рения система будет оказываться как раз в состоянии (t). Таким образом, мы можем задать руками состояние как функцию от времени и «железной рукой» заставить систему следовать именно этому пути (с точностью до фазовых множителей). Такую разновидность эффекта Зенона принято на зывать эффектом Антизенона.

Оптический эффект Антизенона может быть продемонстрирован ещ е проще, чем эффект Зенона, без помощи вращающей поляризацию среды.

Линейно поляризованный свет в пустоте (или в воздухе) сохраняет нап равление поляризации. Однако, если мы поставим на его пути стопку по ляризаторов, в которой ось каждого последующего пов рнута на малый е угол, то для идеальных поляризаторов, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, фотон пройд т без поглощения всю стопку, послушно е поворачивая направление поляризации вдоль осей поляризаторов.

7.4.2. Теорема Халфина Рассмотрение квантового эффекта Зенона в общем случае полностью аналогично рассмотренному выше двумерному случаю, т. к. квантовая эво 7.4. КВАНТОВЫЙ ЗЕНОНА ЭФФЕКТ люция в течение малого времени происходит в двумерном подпростран стве, натянутом на векторы | и |d = i dt |.

H h Пусть в начальный момент времени система находится в нормирован ном состоянии |0 ( 0 |0 = 1), спустя время dt система переходит в сос тояние | = |0 + |d = |0 + H dt |0.

i h В силу эрмитовости гамильтониана H, состояние | является нормирован ным с точностью до второго порядка по dt:

dt)|0 = 1 + dt2 H 2.

| = 0 |(1 H H dt)(1 + i h i h h Пусть в момент времени dt происходит измерение, призванное определить, ушла ли система из исходного состояния |0. Вероятность того, что сис тема ушла из состояния |0, равна вероятности того, что система будет обнаружена в состоянии |d, полученном из |d проекцией на подпро странство, ортогональное к |0 :

|d = ( |0 0 |)|d = dt (H H )|0.

i h Состояние |d нормировано не на единицу, а на вероятность, это следу ет из того, что оно получается проекцией на подпространство, ортогональ ное |0, нормированного (в линейном по dt порядке) на 1 состояния |.

Таким образом, вероятность p того, что система ушла из состояния | зада тся как е p (dt) = d |d = |d = dt2 ( H 2 H 2 ).

h t Если задать dt = N, то вероятность того, что система уйд т из сос е тояния |0 за время t0, если за это время было сделано N измерений с интервалом dt, можно сделать сколь угодно малой:

t P (t0 ) = N · dt2 ( H 2 H 2 ) = 0 2 ( H 2 H 2 ) 0, N.

h Nh Таким образом, мы доказали наличие квантового эффекта Зенона для измерений, проверяющих уход системы из одномерного подпространства при выполнении достаточного условия конечности (E)2 = H 2 H 2.

218 ГЛАВА 7.5. Квантовая (не)локальность Квантовая механика в некотором смысле нелокальна, поскольку она допускает мгновенное воздействие на состояние системы на расстоянии.

Однако это воздействие устроено так, что обнаружить его можно не рань ше, чем удастся переговорить с его организатором. Таким образом, кванто вая механика в некотором смысле локальна. И эта локальность позволяет состыковать квантовую механику со специальной теорией относительно сти, в которой постулируется максимальная скорость распространения вза имодействия.

7.5.1. Запутанные состояния (ф*) Пусть (сложная) квантовая система состоит из двух подсистем. Тогда волновая функция системы может быть записана как функция от двух наборов аргументов: наблюдаемые первой подсистемы x1 и наблюдаемые второй подсистемы x H1 H2.

(x1, x2 ), Для смешанного состояния аналогично записывается матрица плотности:

H1 H2 H1 H2.

(x1, x2 ;

x1, x2 ), Запутанными состояниями сложной квантовой системы называются состояния, которые не могут быть представлены как произведение состоя ний подсистем. То есть для чистого состояния (x1, x2 ) = 1 (x1 ) · 2 (x2 ), а для смешанного состояния (x1, x2 ;

x1, x2 ) = 1 (x1 ;

x1 ) · 2 (x2 ;

x2 ).

В русской литературе существует разнобой в терминах, обозначающих запутанные состояния. Такие состояния могут называть: запутанные сос тояния, перепутанные состояния, зацепленные состояния. В английском языке используется один термин entangled states.

Также незапутанное состояние может называться факторизуемым сос тоянием (т. е. разложимым на множители), а запутанное — нефакторизуе мым состоянием.

В данной книге эти выражения используются в следующем смысле:

• запутанное состояние — состояние сложной системы, которое не представимо как произведение состояний при данном разбиении на подсистемы;

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ • нефакторизуемое состояние — состояние сложной системы, кото рое не представимо как произведение состояний при произвольном разбиении на подсистемы;

• зацепленное состояние — состояние подсистемы, входящей в сложную систему в запутанном (при выделении данной подсистемы) состоянии.

Является ли данное состояние запутанным зависит от того, как слож ная система разбита на подсистемы.

Для системы в запутанном состоянии состояния подсистем зацепле ны (квантово коррелированы) друг с другом. В этом случае мы не можем определить состояния подсистем через волновые функции или матрицы плотности так, чтобы по состояниям подсистем можно было восстановить состояние сложной системы (см. 4.8.2 «Матрица плотности для подсисте мы*»).

Если в запутанном состоянии зацеплены состояния подсистем, кото рые удалены друг от друга в пространстве, то такие запутанные состояния называются нелокальными состояниями.

7.5.2. Зацепленные состояния при селективном измерении (ф*) Если измерению подвергается подсистема, входящая в некоторую сложную систему, то оператор A1 H1 H1, действующий на состоя ние подсистемы, следует заменить на оператор A1+2 = A1 2, где 2 H2 H2 — единичный оператор, действующий на остальную часть сложной системы. Аналогичный вид имеют и проекторы, переводящие сос тояние до измерения, в состояние после измерения при определ нном ис е ходе:

P1+2 = P1 2.

Если состояния подсистем незацеплены, то состояние системы представи мо в виде произведения состояний подсистем | = |1 |2, и после из мерения состояние второй подсистемы не изменяется:

(P1 2 )|1 |2 = (P1 |1 )(2 |2 ) = (P1 |1 )|2.

1 В этом случае, если производить измерения над второй подсистемой, то вероятности исходов не будут зависеть от того, что было ранее сделано с первой подсистемой.

Однако, если состояния подсистем зацеплены, то результат измере ния над второй подсистемой может зависеть от того, что ранее происхо 220 ГЛАВА дило с первой. Пусть, например, исходное состояние имело вид |1 |2 + + |1 |2, тогда (P1 2 )(|1 |2 + |1 |2 ) = (P1 2 )|1 |2 + (P1 2 )|1 |2 = 1 1 = (P1 |1 )|2 + (P1 | )|.

1 Если векторы P1 |1 и P1 |1 параллельны (например, если проектор P является проектором на одномерное пространство P1 = |1 1 |), то P1 |1 = c|1, c = 1 |1, P1 |1 = c |1, c = 1 |1.

В этом случае после измерения состояние «распутывается»:

(P1 2 )(|1 |2 + |1 |2 ) = |1 (c|2 + c |2 ).

Амплитуды c и c, с которыми состояния |2 и |2 входят в суперпози цию, зависят от того, в каком состоянии |1 оказалась после измерения подсистема-1. Состояние |1 является собственным состоянием операто ра наблюдаемой, которая измерялась для подсистемы-1. И хотя наблюда тель-1 не может влиять на квантовые вероятности исходов данного конкрет ного измерения, он может выбрать какую именно наблюдаемую мерить.

Результат его выбора после измерения мгновенно отразится на состоянии подсистемы-2. В этом состоит нелокальность квантовой механики.

Рис. 7.8. Кадры из фильма «Высокий блондин в ч рном ботинке» (второй кадр дан е в зеркальном отражении, для соответствия мысленному эксперименту).

Например, если мы имеем перепутанное состояние двух спинов, отве чающее суммарному спину 0:

| | | | | | | | =, 2 7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ где | +| | | | = | =,, (7.14) 2 то обнаружение 1-й частицы в состоянии спин вверх | или спин вниз |, спин вправо | или спин влево | автоматически переводит 2-ю частицу в состояние с противоположным направлением спина. Наблюда тель-1 может при этом выбрать будет ли он измерять проекцию спина на ось вверх-вниз (и обнаружит | или | ), или на ось вправо-влево (и об наружит | или | ), хотя и не может предрешить результат выбранного измерения.

Если бы наблюдатель-1 вс время измерял один и тот же оператор, то е квантовая нелокальность была бы полностью эквивалентна классической «нелокальности», возникающей тогда, когда мы, обнаружив, что надели на правую ногу ч рный ботинок, а на левую коричневый, мгновенно опреде е ляем, что дома остался левый ч рный ботинок и правый коричневый (см.

е рис. 7.8). В классической физике мы не можем обнаружить ботинок в сос тоянии ч рный+коричневый или коричневыйч рный, но в квантовой физике спин е е 2 электрона может быть направлен вверх+вниз = вправо или внизвверх = влево 2 (см. (7.14)).

Как мы увидим далее, квантовая нелокальность не может быть исполь зована для передачи со сверхсветовой скоростью какой-либо информации.

Чтобы эту нелокальность обнаружить, наблюдатели 1 и 2 должны провести серию измерений над запутанными состояниями и убедиться, что их ре зультаты скоррелированы между собой. Однако результаты каждого наблю дателя в отдельности никаких странностей не проявляют. (См. следующие разделы.) 7.5.3. Зацепленные состояния при неселективном измерении (ф*) Выше мы увидели, что измерение, совершаемое наблюдателем-1 над одной подсистемой запутанной системы, может мгновенно влиять на сос тояние другой подсистемы. Мы рассматривали это измерение как селектив ное, т. е. предполагали, что его результат известен наблюдателю-2, который экспериментирует со второй частью системы. Однако наблюдатель-2 не мо жет знать волновую функцию своей собственной подсистемы-2, до тех пор пока ему не сообщили результаты измерения наблюдателя-1, а до тех пор он может говорить лишь о вероятности той или иной волновой функции подсистемы-2.

222 ГЛАВА Таким образом, если экспериментаторы вместе с подсистемами удале ны друг от друга, то результаты наблюдателя-1 сразу после измерения не известны наблюдателю-2, а значит измерение над подсистемой-1 с точки зрения наблюдателя-2 следует рассматривать как неселективное и описы вать состояния подсистем в помощью матриц плотности:

1 = tr2, 1 (x1 ;

x2 ) = dy (x1, y;

x2, y).

При вычислении частичного следа на результат влияют только диагональ ные по переменным интегрирования y компоненты матрицы полной матри цы плотности.

При неселективном измерении наблюдаемой величины a(y) (комму тирующей (одновременно измеримой) с y и описывающей подсистему-2) в матрице плотности обнуляются все компоненты (x1, y1 ;

x2, y2 ), для ко торых a(y1 ) = a(y2 ):

после (x1, y1 ;

x2, y2 ) = (x1, y1 ;

x2, y2 ) · a(y1 ),a(y2 ).

Диагональные по y компоненты матрицы плотности при этом не меняются, поэтому не меняется матрица плотности для подсистемы-1.

Какую бы наблюдаемую A для подсистемы-2 мы не измеряли, мы можем выбрать в качестве y набор наблюдаемых, коммутирующих с A, и представить наблюдаемую в виде функции a(y).

Таким образом, никакое неселективное наблюдение, выполненное над подсистемой-2, не может изменить состояния (матрицу плотности) подсистемы-1 и наоборот. В этом состоит локальность квантовой меха ники.

Как мы только что убедились, описанная выше нелокальность кванто вой механики проявляется только для селективных измерений, а значит она не может привести к мгновенной передаче информации на расстоянии и не противоречит специальной теории относительности.

7.5.4. Классические измерения (ф*) Почти все результаты, которые были получены для селективных и неселективных измерений выше, можно повторить и для классических измерений.

Состояния классической системы, состоящей из двух подсистем, мы можем описать совместным распределением вероятностей (x, y), где на боры наблюдаемых x и y описывают первую и вторую подсистемы соот ветственно.

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ Состояние является коррелированным (аналог запутанного), если оно не может быть представлено как произведение распределений для от дельных подсистем:

(x, y) = 1 (x) · 2 (y).

Если над подсистемой-2 совершается селективное измерение и в ре зультате установлено, что y W (W — область с ненулевым объ мом), то е состояние системы в целом умножится на характеристическую функцию (см. (3.10)) множества W :

= (x, y) · IW (y).

после (x, y) При точном измерении y, показавшем, что y = y0, распределение надо аналогично умножить на -функцию:

= (x, y) · (y y0 ).

после (x, y) При таком измерении новое распределение уже оказывается некоррелиро ванным (т. е. представляется как произведение независимых распределений для подсистемы-1 (x, y0 ) и подсистемы-2 (y y0 )).

Распределение для подсистемы-1 получается интегрированием по пе ременным подсистемы-2. Таким образом, до измерения мы имеем 1 (x) = dy (x, y), (7.15) а после селективного измерения 1после (x) = (x, y0 ) или 1после (x) = dy (x, y).

W Таким образом, селективное измерение, выполненное над подсистемой-2, мгновенно изменило распределение вероятностей для подсистемы-1.

Если же измерение над подсистемой-1 является неселективным, то распределение вероятностей для подсистемы-2 неизвестно, и мы должны усреднить это распределение по всем возможным y, что снова, как и до измерения, да т (7.15). То есть неселективное измерение, выполненное над е одной подсистемой, в классической теории не может изменить распределе ние вероятностей для другой подсистемы.

224 ГЛАВА Таким образом, все рассуждения о селективных и неселективных изме рениях систем в запутанных состояниях переносятся из квантовой теории в классическую за одним принципиальным исключением: в классической теории любые наблюдаемые считаются одновременно измеримыми (вспом ним ещ раз ботинок Пьера Ришара, рис. 7.8). Все мгновенные изменения е классических состояний могут интерпретироваться как изменение нашего знания о системе.

7.5.5. Относительные состояния (ф*) Корреляции между состояниями подсистем возможны не только в кван товой теории, но и в классической теории вероятностей, там для описания корреляций могут использоваться условные вероятности: вероятности из мерения для одной подсистемы, при условии, что измерение для другой подсистемы дало определ нный результат. Таким образом, состояние (рас е пределение вероятностей) для сложной системы описывается совместным распределением вероятностей (x, y), где x и y нумеруют возможные чистые состояния подсистемы-1 и под системы-2. Условное ненормированное распределение вероятностей для подсистемы-1, при условии, что измерение для подсистемы-2 дало y = y0, получается фиксированием значения второго аргумента:

y0 (x) = (x, y0 ). (7.16) Аналогично условному распределению вероятности, для квантовых подсистем в зацепленном состоянии Х. Эверетт III вв л относительное сос е тояние — состояние, в котором оказывается подсистема-1, при условии, что подсистема-2 была найдена в определ нном состоянии. Чистое состоя е ние сложной системы описывается заданием совместной волновой функции (совместных амплитуд вероятности) (x, y), где x и y (полные наборы независимых наблюдаемых для подсистем 1 и 2) нумеруют базисные чистые состояния подсистемы-1 и подсистемы-2.

Относительная ненормированная волновая функция (относительное состояние) зада т условные амплитуды вероятности для подсистемы-1, е при условии, что измерение для подсистемы-2 дало y = y0. Относительное состояние получается фиксированием значения второго аргумента:

y0 (x) = (x, y0 ). (7.17) 7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ Оно зада т состояние подсистемы-1, при условии, что над подсистемой- е было проведено измерение, которое дало определ нный результат y = y0.

е В выражении относительное состояние слово относительное упот ребляется в смысле, отчасти аналогичным используемому в теории отно сительности: состояние подсистемы-1, относительно состояния y = y подсистемы-2. Если подсистема-2 выступает в роли наблюдателя, то мы получаем состояние системы относительно состояния наблюдателя (т. е.

задание состояния наблюдателя аналогично заданию системы отсч та в спе е циальной теории относительности16 ). В частности, если известна унитар ная эволюция сложной системы (x, y;

t), и мы задали определ нную вре е менную эволюцию y = y0 (t) состояния наблюдателя (подсистемы-2), то можно записать соответствующую ей временную эволюцию относительно го состояния подсистемы-1:

y0 (t) (x;

t) = (x, y0 (t);

t).

Если бы наблюдатель (подсистема-2) мог задавать свою собственную эволюцию произвольным образом, или/т. е. если бы он мог производить сам над самими собой измерения с желаемым произвольно заданным ис ходом, то он мог бы тем самым управлять эволюцией квантовой системы (подсистема-1), с которой он взаимодействует (см. 9.3.9 «Активное созна ние (фф*)»).

Мы можем записать относительное состояние (7.17) с помощью опе ратора проекции на подпространство y = y0 для подсистемы-2:

Py0 = 1 |y0 y0 |.

1 (7.18) Здесь 1 — единичный оператор для подсистемы-1, а |y0 y0 | — проектор на состояние y = y0 для подсистемы-2:

|y0 |y0 = Py0 | |y0 | = y0. (7.19) подсистема-2 система 1+ подсистема- Обратите внимание, что, поскольку |y0 описывает подсистему-2, а | — сложную систему из подсистем 1 и 2, скобка y0 | да т не число, а состоя е ние подсистемы-1.

16 В некоторых русских переводах статьи “Relative State” Formulation of Quantum Mechanics, Hygh Everett, III, Reviews of Modern Physics, Vol. 29, N. 3, 1957 относительные состояния пе реводятся как соотнес нные. Такой перевод следует считать неправильным, т. к. он не демон е стрирует той идейной связи с теорией относительности, которая послужила основой работы и которую Эверетт стремился отразить в заголовке.

226 ГЛАВА Формула (7.19) уже по существу не использует разложение рассмат риваемого состояния | по базису, т. е. того, какие именно наборы наблю даемых мы выбрали в качестве аргументов волновой функции. Мы мо жем переписать (7.19) как геометрическую (не зависящую от выбора ба зиса) формулу для состояния относительно произвольного состояния | подсистемы-2:

|0 |0 = (1 |0 0 |) | |0 = 0 |.

1 (7.20) P Зная относительные состояния |0 подсистемы-1, относительно всех возможных состояний |0 подсистемы-2 мы можем восстановить состоя ние | сложной системы. При этом мы можем забыть о редукции волно вой функции при измерении, если мы включили наблюдателя в сложную систему в духе многомировой интерпретации (9.3.7 «Многомировая интер претация Эверетта (фф)»).

Использование относительных состояний также полезно для понима ния при моделировании измерительного прибора с точки зрения квантовой механики (8.2 «Моделирование измерительного прибора*»).

Относительные состояния были введены Эвереттом для того, что бы обосновать возможность применения квантовой механики к Вселенной в целом, как к замкнутой квантовой системе. Это прямо связано с проб лемой квантования общей теории относительности (созданием квантовой теории гравитации). При этом наблюдаемое нами состояние Вселенной ин терпретируется как относительное состояние для данного состояния наблю дателя (одно из многих возможных=сосуществующих).

7.5.6. Неравенство Белла и его нарушение (ф**) Как замечательно, что мы столкнулись с парадоксом. Теперь у нас есть надежда на продвижение!

Нильс Бор W История неравенства Белла Неравенство Белла было введено Джоном Беллом в 1964 году при ана лизе мысленного эксперимента Эйнштейна – Подольского – Розена, предло женного в 1935 году.

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ Рис. 7.9. Джон Стюарт Белл (1928–1990).

http://www.s9.com/Biography/Bell-John-Stewart Неравенство Белла представляет собой необходимое условие того, что три случайных величины с заданными корреляциями между собой могут быть одновременно реализованы в рамках классической теории вероятнос тей.

Подобная задача ставится без какого-либо упоминания квантовой ме ханики. И, естественно, математики занимались ею и до 1964 года. Как пишет А. Ю. Хренников, неравенства Белла были первоначально получены на сотню лет раньше Джорджем Булем, а общее решение для системы n случайных величин было получено Н. Н. Воробь вым в 1962 году.

е Таким образом, заслуга Белла состоит не в выводе неравенства, а в его применении к интерпретации квантовой механики.

Вывод неравенства Белла Пусть имеются три случайных величины a, b, c, которые могут прини мать значения ±1. Величины a, b, c не зависят друг от друга, а зависят от некоторой случайной переменной.

Рис. 7.11. Николай Николаевич Во Рис. 7.10. Джордж Буль (1815–1864). W робь в (1925–1995). [http://emi.nw.ru] е 228 ГЛАВА Мы будем обозначать угловыми скобками классическое усреднение, которое может быть записано как интеграл по вероятностной мере P (d) по вероятностному пространству (этот интеграл может быть на самом деле взвешенной суммой, или комбинацией суммы и интеграла):

A= A() P (d).

Тогда с уч том линейности классического среднего, используя, что a2 1, е получаем | ab bc | = | (a c) b | = | (1 ac) ab | 1 ac = 1 ac.

± a2 Таким образом, неравенство Буля – Белла | ab bc | 1 ac. (7.21) Заменив c на c можно записать другую (эквивалентную) форму того же неравенства:

| ab + bc | 1 + ac. (7.22) Смысл неравенства Белла Представим себе, что есть некоторый классический случайный про цесс: переменная принимает различные значения из вероятностного про странства, прич м вероятность того, что L, зада тся как вероят е е ностная мера 0 P (L) 1.

Однако мы не наблюдаем величину непосредственно, вместо этого мы можем по своему усмотрению измерять две величины из набора a(), b(), c(), прич м все величины могут принимать только значения ±1.

е При этом выбор пары измеряемых величин мы делаем независимо от выпавшего. Например, пара измеряемых величин выбирается уже после того, как генератор случайных событий (рулетка, карты, кости, броунов ское движение, дробовой шум) выдал конкретную точку (чтобы человек, управляющий генератором, ничего в н м не подкрутил), но до того, как е у нас есть возможность что-то узнать о выпавшем варианте (чтобы мы то же не могли учесть при выборе пары измерений).

Много раз генерируя случайные значения с одинаковым распределе нием вероятности P, мы с необходимостью должны получить корреляторы ab, bc, ac, удовлетворяющие неравенству Буля – Белла.

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ И хотя каждый раз мы измеряем только две величины из тр х, третья е каждый раз тоже принимает какое-то определ нное, хотя и не известное е значение (разумеется, в классическом случае). Таким образом, существует 8 возможных комбинаций значений для a, b и c. Каждой из этих комбинаций мы можем приписать неотрицательную вероятность P (a, b, c) 0, P (a, b, c) = 1.

a,b,c{1,+1} Корреляторы могут быть выражены через вероятности, например, P (+, +, c) + P (,, c) P (+,, c) P (, +, c).

ab = c{1,+1} И если бы вдруг оказалось, что неравенство Белла нарушено, мы не смог ли бы подобрать 8 неотрицательных вероятностей P (a, b, c), что неизбежно означало бы нарушение процедуры: не иначе человек, управляющий ге нератором случайных событий, знает о том, какие именно величины мы решили измерять, и подкручивает свой генератор в соответствии с этим17.

Неравенство Белла и скрытые параметры В квантовой механике вероятностное пространство зада тся не только е состоянием системы, но и выбором измеряемой величины, т. е. по существу выбором измерительной установки. В связи с этим у нас нет оснований ожидать, что неравенство Белла будет выполняться для некоммутирующих наблюдаемых, которые не могут быть измерены одновременно.

Тем не менее, если неравенство Белла выполняется для некоммутиру ющих наблюдаемых, это оставляет надежду, что можно придумать некото рый скрытый параметр (который и параметризует элементарные события, по которым мы интегрируем), такой, что все наблюдаемые однозначно вы ражаются через этот параметр. В этом случае удалось бы придумать единое распределение вероятностей для (общее вероятностное пространство) для взаимоисключающих измерений. Единое вероятностное пространство означало бы, что все квантовые вероятности и неопредел нности сводятся е к классической теории вероятности и, подобно классическим вероятностям, могут быть объяснены тем, что мы не знаем точного состояния системы, которое в этом случае задавалось бы уже не волновой функцией, а набором скрытых параметров.

17 Где мой канделябр!? :) 230 ГЛАВА Однако при измерении двух некоммутирующих переменных состоя ние системы меняется после первого измерения, что оказывает влияние на второе. Чтобы обойти эту сложность, мы измеряем две некоммутирующие переменные почти одновременно (разность врем н меньше, чем расстоя е ние, дел нное на скорость света) на двух установках, удал нных друг от е е друга. Конечно, квантовая теория учит, что квантовое состояние изменя ется мгновенно, но если квантовая теория — лишь приближ нная теория е к теории с локальными скрытыми переменными, то это мгновенное вли яние на расстоянии следует считать нефизическим, тем более, что даже квантовая теория обладает своего рода локальностью, которая не допускает сверхсветовой передачи информации.

Если продемонстрировать, что квантовая механика позволяет нарушать неравенство Белла для некоммутирующих переменных, то это будет озна чать, что квантовая механика принципиально отличается от любой локаль ной (без мгновенного дальнодействия) классической (в том числе класси ческой вероятностной) теории. Более того, экспериментальная проверка на рушения неравенств Белла будет экспериментом, способным опровергнуть все локальные классические теории разом.

Корреляции для спинов* Этот раздел предполагает знакомство читателя со спиновыми волно выми функциями и операторами для спина 1. Для построения в рамках квантовой механики контрпримера к нера венству Белла мы используем систему из двух спинов 1, находящихся в сос тоянии с нулевым полным моментом:

| | | | | =.

Здесь | и | — одночастичные состояния спин вверх и спин вниз. Это состояние переходит в себя при любых поворотах.

Такие состояния называют ЭПР-состояниями. Они появляются при описании парадокса Эйнштейна – Подольского – Розена в формулировке Давида Бома. Возможность нарушения неравенства Белла для такого состояния является выделенной Беллом математической сущностью па радокса ЭПР.

Измеряться будут удвоенные проекции спина одной из частиц на раз личные направления (они как раз могут принимать значения ±1, как и надо по условиям неравенства Белла).

7.5. КВАНТОВАЯ (НЕ)ЛОКАЛЬНОСТЬ Если провести измерение проекции спина одной из частиц (пусть это будет первая частица) на ось z (или на любую другую ось, т. к. все на правления для этого состояния равноправны!), то с равной вероятностью 1 проекция будет равна ± 1. После такого измерения проекции спинов обоих частиц будут определены однозначно, прич м их знаки всегда будут проти е воположны.

Таким образом, измерение проекции спина первой частицы с равным успехом можно проводить как над самой первой частицей, так и над вто рой частицей: состояния после измерения для обоих случаев совпадают, а измеренные числа пересчитываются друг в друга заменой знака.

Пусть второе измерение определяет проекцию спина первой частицы на ось, пов рнутую на угол по отношению к оси, использованной при пер е вом измерении. Если первое измерение проводилось для оси z, а второе — для оси пов рнутой на угол вокруг оси x, то базисные одночастичные е состояния для первого и второго измерений 1 |1+ = | = |1 = | =, ;

0 cos sin |2+ = |2 = 2,.

sin cos 2 Таким образом, последовательные измерения удвоенных проекций спина первой частицы на оси, составляющие угол, дают значения ±1, ±1 со следующими вероятностями:

P (+, +, ) = 1 | 1+ |2+ |2 = cos2 2, 1 2 P (+,, ) = 1 | 1+ |2 |2 = sin2 2, 1 2 P (, +, ) = 1 | 1 |2+ |2 = sin2 2, 1 2 P (,, ) = 1 | 1 |2 |2 = cos2 2.

1 2 Таким образом, коррелятор для проекций на указанные оси составляет ab = P (+, +, ) P (, +, ) P (+,, ) + P (,, ) = sin = cos2 = cos.

2 Этот результат можно записать так:

|n| = |n | = 1.

(, n)(, n ) = (n, n ) = cos(nn ), (7.23) 232 ГЛАВА Нарушение неравенства Белла в квантовой механике Покажем, что направления осей, для которых измеряются удвоенные проекции спина, могут быть выбраны так, что корреляции (7.23) будут на рушать неравенство Белла (7.22).

Выберем три оси, отвечающие измерениям a, b и c, лежащими в одной плоскости под углом 2 друг к другу. Все три пары осей равноправны и мы получаем ab = bc = ac = cos 2 = 1.

3 При подстановке в неравенство Белла (7.22) получаем противоречие:

1.

| ab + bc | 1 + ac 1 1 2 2 Таким образом, действительно, с классической локальной точки зре ния поведение квантовых коррелированных систем может быть парадок сальным, и парадокс ЭПР действительно является парадоксом. Впрочем, физики, последовательно придерживающиеся неклассического и/или нело кального взгляда на мир, могут не видеть здесь парадокса.

Ещ раз отметим, что каждый раз при измерении пары величин изме е рения осуществляются над разными частицами практически одновременно (чтобы разность времен была недостаточна для путешествия сигнала со скоростью света), но результат всегда пересчитывается для первой части цы. Реально для набора статистики нам понадобится проводить не 3, а по крайней мере 4 разных измерения. Например, измерения a каждый раз про водятся над первой частицей, измерение b — над второй, а измерение c — над второй или первой в зависимости от того, в паре с каким измерением оно выполняется.

Нарушение неравенства Белла на эксперименте Нарушение неравенства Белла было экспериментально проверено А. Аспектом в 1982 году. От описанной выше схемы эксперимент Аспекта отличался использование фотонов вместо электронов, что математически эквивалентно, т. к. фотоны также имеют две независимых поляризации18.

Более существенно то, что большая часть фотонов в эксперименте Ас пекта не регистрировалась детекторами. Таким образом, реально наблю даемые пробегали не 2 значения ±1, отвечающих двум поляризациям фо тона/электрона, а три значения: добавлялся 0, отвечающий потере фотона.

18 Т. к. спин фотонов не, а 1, углы между направлениями анализаторов для фотонов надо поделить на 2.

7.6. ТЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ** Если предположить, что потеря фотона может коррелировать с его поля ризацией, то можно построить такой набор классических вероятностей для каждой из комбинаций тр х исходов, которая позволит воспроизвести экс е периментальные корреляции.

Таким образом, эксперимент Аспекта под тверждает нарушение неравенств Белла только в предположении независимости события ре гистрации фотона от его поляризации.

Теоретически это означает, что экспери мент Аспекта не полностью закрывает воз можность построения локальной теории скры тых параметров, хотя и сильно ограничивает Рис. 7.12. Алан Аспект.

свойства таких теорий.

7.6. Теорема о невозможности клонирования квантового состояния** Теорема о невозможности клонирования квантового состояния утверж дает, что невозможно, имея квантовую систему в некотором произвольном неизвестном состоянии, приготовить две системы в том же состоянии.

Однако, если состояние известно, то мы можем приготовить в этом состоянии произвольное число систем, прич м нам даже не нужна исходная е система-образец в этом состоянии.

Приготовление системы подразумевает возможность произвольного чередования любых измерений с унитарной эволюцией под действием про извольных гамильтонианов с отбором систем по результатам измерений.

Эти три процедуры позволяют также описать приготовление системы кото рого зависит от результатов промежуточных измерений.

Если не нормировать волновые функции на единицу, то процесс при готовления системы сводится к последовательному действию на исходное состояние (здесь |0 — состояние окружения) |0 = | | различных унитарных операторов и проекторов, произведение которых да т некоторый линейный оператор K.

е Линейность оператора, приготовления состояния K подсказывает идею доказательства:

Начальное состояние |0 линейно по |, следовательно, конечное состояние |1 = | | |1 также должно быть линейно по, что, вероятно, невозможно.

234 ГЛАВА Рассмотрим два линейно независимых состояния 1 и 2 и предпо ложим, что мы можем клонировать и эти состояния, и их сумму 1 + с помощью одного оператора K.

Для 1 и 2 получаем K|1 |0 = |1 |1 |1, K|2 |0 = |2 |2 |2.

Для 1 + 2 в силу линейности K K|1 + 2 |0 = |1 |1 |1 + |2 |2 |2 + |1 |2 0 + |2 |1 0.

С другой стороны, если состояние 1 + 2 клонируется тем же операто ром K:

K|1 + 2 |0 = |1 + 2 |1 + 2 |1+2 = = |1 |1 |1+2 + |2 |2 |1+2 + |1 |2 |1+2 + |2 |1 |1+2.

Из линейной независимости 1 и 2 следует линейная независимость их тензорных произведений |1 |1, |2 |2, |1 |2, |2 |1.

В силу этого, сравнивая два выражения для K|1 + 2 |0, получаем, при равнивая последние тензорные множители при одинаковых первых двух:

|1+2 |1, = |1+2 |2, = |1+2 = 0, |1+2 = 0.

Таким образом, мы не можем клонировать с помощью одного и того же оператора K даже состояния из двумерного линейного подпространства, натянутого на 1 и 2. Случай же одномерного подпространства интереса не представляет, поскольку знание одномерного подпространства означает знание состояния (с точностью до множителя).

Если можно было бы клонировать некоторое состояние системы, то мы могли бы, совершая различные измерения для разных «клонов», полностью (с точностью до общего множителя) определить волновую функцию сис темы, однако в силу теоремы о невозможности клонирования произвольная волновая функция единичной системы оказывается недоступна измерению.

7.6. ТЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ** Невозможность клонирования также означает невозможность «под смотреть» унитарную эволюцию системы, не прерывая е. В частности, е это накладывает ряд принципиальных ограничений на работу с квантовым компьютером (невозможность «следить» за процессом вычислений, невоз можность полностью использовать квантовый параллелизм и т. д.).

7.6.1. Смысл невозможности клонирования (ф*) Теорема о невозможности клонирования квантового состояния гласит, что, имея некоторую систему в неизвестном (произвольном) квантовом сос тоянии? мы не можем приготовить две системы (или более) в таком же состоянии. Разумеется, если мы знаем в каком состоянии система, то мы в принципе можем приготовить сколь угодно много систем в таком же сос тоянии.

Чтобы понять, какие физико-философские последствия имеет тео рема о невозможности клонирования, давайте предположим противное:

представим себе, что у нас есть некоторое клонирующее устройство, осуществляющее клонирование квантового состояния, и изучим, к каким последствиям это может привести.

Многократно измеряя для системы в одинаковом состоянии какой либо полный набор совместных наблюдаемых n, мы можем (благодаря клонирующему устройству) набрать статистику и получить распределение вероятностей всевозможных исходов измерения, т. е. определить функцию pn = |n |2 для данного базиса.

Это пока не позволяет определить саму волновую функцию, т. к. мы пока знаем только модули амплитуд |n |, но не фазы arg(n ). Однако, обладая клонирующим устройством, мы можем набрать статистику для нескольких разных полных наборов наблюдаемых и получить распределе ния вероятностей для различных базисов.

Неизмеримость волновой функции (ф*) Совокупность распределений вероятности для всевозможных набо ров наблюдаемых называется квантовой томограммой19. Квантовая томо грамма позволяет полностью определить исходное неизвестное состояние (с точностью до физически незначащего общего фазового множителя). По 19 На самом деле для задания квантовой томограммы нам даже не нужны распределения вероятностей для всех возможных полных наборов наблюдаемых. Например, для одиночной частицы на прямой достаточно задать распределения по всевозможным комбинациям x + + p, а для одиночного спина 1 — распределения по проекциям спина на всевозможные направления. Более подробно квантовая томография будет обсуждена в другом разделе.

236 ГЛАВА существу квантовая томограмма — иное представление состояния кванто вой системы.

Таким образом, клонирующее устройство позволило бы нам измерять на эксперименте квантовую томограмму, т. е. квантовое состояние (волно вую функцию) единичной системы.

Без клонирующего устройства, обладая единичной системой в неиз вестном состоянии, наибольшее, что мы можем сделать, — один раз из мерить какой-либо полный набор совместных наблюдаемых. При этом мы полностью уничтожим исходное состояние системы: состояние спроециру ется на собственное подпространство, отвечающее найденным значениям измеренных наблюдаемых. Единственное, что мы можем достоверно ска зать про исходное состояние, что и до измерения его проекция на данное подпространство была отлична от нуля.

Возьм м простейший случай, когда система представляет собой кван е товый бит (кубит — система с двумерным пространством состояний), на пример спин электрона, или поляризацию фотона. Квантовый бит, в отли чие от классического, может помимо базисных состояний |0 и |1 прини мать их произвольные линейные комбинации |0 +|1. Даже после фикса ции нормировки и фазы у нас оста тся бесконечно большое множество со е стояний, параметризуемое отношением. Для параметризации отношения (одно комплексное число или два вещественных) нам потребуется беско нечно много двоичных цифр, т. е. бесконечно много классических битов.

Любое количество классических битов мы могли бы извлечь из одного квантового бита, если бы у нас было клонирующее устройство.

В реальности (без клонирующего устройства) мы можем извлечь из одного квантового бита только один бит классической информации.

Невозможность квантовой телепатии (ф*) Итак, клонирующее устройство позволило бы измерять волновую функцию. К чему бы это привело? Мы могли бы передавать информацию на расстоянии со сколь угодно большой скоростью! При этом грубо нару шались бы принципы специальной теории относительности.

Пусть у нас есть два кубита (спина) в запутанном состоянии | | | | | | | | |I = =.


2 Здесь мы использовали два одночастичных базиса: спин вверх-вниз и спин вправо-влево. Связаны между собой эти базисы следующими соотноше 7.6. ТЕОРЕМА О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ** ниями:

| +| | | | = | =,.

2 Пусть первый кубит находится в распоряжении Алисы, а второй — в распо ряжении Бориса. Если Алиса измеряет свой кубит в базисе вверх-вниз или в базисе вправо-влево. Кубит Бориса мгновенно попадает в состояние того же базиса с ориентацией, противоположной измеренной Алисой:

: |I | | или | |, измерение измерение : |I | | или | |.

Если у Бориса есть клонирующее устройство, то он может клониро вать свой кубит и измерить в каком состоянии он находится. Если кубит Бориса в состоянии | или |, то это значит, что Алиса использовала ба зис вверх-вниз. Если кубит Бориса в состоянии | или |, то это значит, что Алиса использовала базис влево-вправо. Таким образом, если почти на полпути между Алисой и Борисом расположен источник, который испуска ет к ним запутанные кубиты, которые прибывают к Алисе чуть раньше, чем к Борису, то Алиса может практически мгновенно передавать Борису ин формацию, кодируя е выбором базиса (вверх-вниз — 1, влево-вправо — 0).

е Если у Бориса нет клонирующего устройства, то у него нет возмож ности узнать угадал ли он базис, который использовала Алиса. Если Борис использует тот же базис, то он будет всегда получать другое направление спина, чем Алиса. Корреспонденты при этом получают две цепочки случай ных значений,, так что каждому значению Алисы соответствует проти воположное Бориса. Однако Алиса не может влиять на то, выпадет ли ей при очередном измерении или 20, таким образом, она не может пе редать информацию. Если же используются разные базисы, то результаты измерений корреспондентов оказываются и вовсе никак не связаны. Воз можны промежуточные ситуации, при использовании других базисов, но в любом случае (см. 7.5.3 «Зацепленные состояния при неселективном из мерении (ф*)») Алиса не может передать Борису информацию, производя любые манипуляции над своей частью запутанной системы.

Другое доказательство невозможности клонирования (ф*) Рассуждения предыдущего раздела можно рассматривать не только как вывод следствий из теоремы о невозможности клонирования квантового 20 Обсуждение этого см. в разделах 8.3.2 «“Ж сткость” формулы для вероятностей (фф)», е 9.3.9 «Активное сознание (фф*)».

238 ГЛАВА состояния, но и как альтернативное доказательство этой теоремы. В разде ле 7.6 «Теорема о невозможности клонирования квантового состояния**»

при доказательстве использовалось описание результата измерения с по мощью проекционного постулата. Однако проекционный постулат в кван товой механике «на плохом счету»: многие физики смотрят на него как на некоторое довольно сомнительное приближение, в отличие от унитар ной эволюции и формул для расч та вероятностей. В предыдущем разделе е мы привели иное доказательство невозможности клонирования квантового состояния, не используя проекционный постулат, заменив его предположе нием о невозможности квантовой телепатии.

7.7. Квантовая телепортация** Квантовая телепортация — эффект переноса квантового состояния с од ного объекта на другой без непосредственного взаимодействия. В процес се квантовой телепортации осуществляется измерение, но сам по себе ре зультат этого измерения не позволяет определить передающееся квантовое состояние, однако позволяет определить, какому воздействию должен под вергнуться второй объект, чтобы очутиться в состоянии, в котором ранее пребывал первый.

Рассмотрим простейший случай квантовой телепортации, при котором телепортируется спиновое состояние одного квантового бита. Квантовый бит, q-бит или кубит — система, для которой в данных условиях суще ственны лишь два линейно ортогональных состояния, например частица со спином 1 (спин вверх и спин вниз), фотон (две ортогональные поляриза ции), два близких (или вырожденных) энергетических уровня какой-либо молекулы и т. п. Два ортонормированных состояния кубита обозначим как 1 |0 = |1 =,.

0 В процессе квантовой телепортации участвуют три кубита — исход ный (1-й), вспомогательный (2-й) и конечный (3-й), а также два макроско пических экспериментатора, которых, следуя криптографической традиции, мы будем называть Алиса и Борис (он же Боб в иностранной литературе), и классическая линия связи между ними.

В начале эксперимента исходный кубит находится в некотором неиз вестном состоянии |0 = |0 + |1 = ||2 + ||2 = 1.

, 7.7. КВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ** Конечный и вспомогательный кубит находятся в запутанном ЭПР-состоянии |1 |0 |0 | |1 =.

Здесь 1-й множитель соответствует вспомогательному кубиту, а 2-й — ко нечному. Таким образом, состояние всех тр х кубитов описывается волно е вой функцией |0 = |0 |1 = (|0 + |1 )(|1 |0 |0 |1 ).

Множители расположены в порядке номеров кубитов.

Предполагается, что 1-й и 2-й кубиты находятся в распоряжении Али сы, а 3-й в распоряжении Бориса. 2-й и 3-й кубиты находятся в запутанном состоянии (когда-то раньше они были приведены в это состояние). Напри мер, Борис мог до начала эксперимента (даже до того, как 1-й кубит попал в состояние |0 ) приготовить кубиты 2, 3 и отдать 2-й Алисе.

Алиса совершает измерение над двумя имеющимися у не кубитами.

е Измеряется физическая величина, соответствующая двухчастичному опера тору n |n n |, A= n= где состояния |n образуют ортонормированный базис двухчастичных за путанных состояний (одно из них — |1 — нам уже встречалось):

|1 |0 |0 | |1 =, |1 |0 + |0 | |2 =, |1 |1 |0 | |3 =, |1 |1 + |0 | |4 =, n |m = nm.

240 ГЛАВА Оператор A — двухчастичный. Чтобы указать, какие именно частицы изме ряются, мы можем выписать его тр хчастичный вариант, написав тензорное е произведение с одночастичным единичным оператором A12 = A 1.

Оператор A12 действует на первые две частицы как оператор A, а состояние третей не изменяет.

Собственные функции оператора A12 имеют вид A12 |n = n|n, |n = |n |, n {1, 2, 3, 4}, где | — произвольная одночастичная волновая функция.

Измеряя A12, мы определяем число n {1, 2, 3, 4}, при этом состояние системы после измерения принимает вид |n :

|0 = |0 |1 = (|0 + |1 )(|1 |0 |0 |1 ) = 1 (|0 |1 |0 |0 |0 |1 + |1 |1 |0 |1 |0 |1 ) = = |2 |1 |4 | 1 |0 |1 + = 2 2 |4 + |3 |2 + | |0 | + = 2 = 1 (|1 [|0 |1 ] + |2 [|0 |1 ] + + |3 [|0 + |1 ] + |4 [|0 |1 ]).

Таким образом, исходное состояние |0 разлагается на собственные состояния оператора A12 следующим образом:

1 | |.

|0 = 2nn n= Здесь |1 = |0 |1 =, 7.7. КВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ** |2 = |0 |1 =, |3 = |0 + |1 =, |4 = |0 |1 =.

После измерения A12 частицы 1 и 2 с равной вероятностью = 4 попадают в одно из состояний |n, а частица 3 в соответствующее состоя ние |n. Каждое из состояний |n содержит оба числа и, и оно может быть превращено в исходное состояние |0 с помощью соответствующего унитарного оператора:

|0 = Un |n, где 1 0 = E, U1 = U2 = = z, 0 1 0 0 = iy.

U3 = = x, U4 = 10 Эти четыре матрицы выражаются через матрицы Паули и единичную мат рицу.

Поскольку состояние вс равно определяется с точностью до фазово е го множителя, мы можем не обращать внимание на фазовые множители в формулах для унитарных операторов Un.

Если кубиты реализованы как частицы со спином 1, то, с точностью до фазовых множителей, матрицы Un для n {2, 3, 4} совпадают с опе раторами поворота на угол вокруг осей z, x и y соответственно. Такие повороты можно реализовать, накладывая на определ нное время магнит е ное поле вдоль соответствующей оси координат. В случае n = 1 третья частица сразу оказывается в состоянии |0 с точностью до знака.

Заметим, что если исходный кубит, который подвергается телепорта ции, находился в зацепленном состоянии с другими системами, то теле портация переносит зацепленность на 3-й кубит, а 1-й кубит оста тся за е цепленным только со вторым. Благодаря этому, систему квантовых кубитов в запутанном состоянии можно телепортировать в несколько при мов, пе е редавая за раз по одному кубиту.

242 ГЛАВА Квантовая телепортация одного кубита (спинового состояния фотона) была успешно осуществлена на эксперименте с вероятностью 1 : на экспе рименте пока удалось осуществить измерение, отличающее первый исход измерения (состояние |1 ) от остальных тр х, но не различить оставшие е ся три состояния между собой. Таким образом, телепортацию удавалось осуществить только в случае n = 1.

ГЛАВА Место теории измерений Эта глава продолжает предыдущую главу 7 «Эффекты теории измере ний» и в существенной степени перекликается с главой 9 «На грани физи ки и философии (фф*)», поскольку философские споры вокруг квантовой теории в существенной степени связаны с пониманием процесса измере ния. Различие между эти главами состоит в том, что здесь больше физики, а там — философии. Те рассуждения, которые приводят к конкретным фи зическим выводам, а не просто к удивлению и философскому озарению были помещены сюда, а нестрогие рассуждения о реальности, сознании и познании — в следующую главу.

Некоторые исторически связанные рассуждения оказались разнесены по двум главам. Введ нное Эвереттом понятие относительного состояния и е моделирование измерительного прибора по фон Нейману имеют смысл при любой интерпретации квантовой механики. Однако мотивированные этими построениями многомировая интерпретация Эверетта и «абстрактное Я»

фон Неймана уже не физика, а философия физики.

8.1. Структура квантовой теории (ф) 8.1.1. Понятие классического селективного измерения (ф) Выше в разделе 2.3 «Две ипостаси квантовой теории» мы уже при водили разбиение квантовой теории на разделы, согласно тому, как в них описывается процесс измерения.

В предыдущей главе 7 «Эффекты теории измерений» мы установили, что селективное измерение естественно рассматривать как неселективное до тех пор, пока нам не известны его результаты. Это позволяет разбить квантовое селективное измерение на два этапа: квантовое неселективное измерение и классическое селективное измерение.


«Классическое» селективное измерение подобно измерению в класси ческих теориях, оно описывается выбором одной из альтернатив, описыва ющихся классическим распределением вероятностей. Поэтому мы и назва ли его «классическим».

244 ГЛАВА Неселективным является любое измерение, проводимое с помощью удал нного прибора (удал нное измерение), до тех пор, пока информация е е об его исходе не получена наблюдателем. Таким образом, если квантовое неселективное измерение соответствует процессу квантового взаимодей ствия системы и прибора, классическое селективное измерение соответ ствует процессу передачи классической информации от прибора к наблю дателю1.

8.1.2. Квантовая теория крупными блоками Привед м обновл нное разбиение квантовой теории на разделы, со е е гласно тому, как в них описывается процесс измерения, указав попутно степень разработанности разделов, и их связь с увеличением/уменьшением энтропии, как мерой неопредел нности состояния системы.

е • Теория замкнутой квантовой системы — очень хорошо разработанная фундаментальная теория (обратима, полностью детерминистрична, не содержит вероятностных понятий, энтропия постоянна);

• Теория измерений — полуфеноменологическая теория взаимодействия ранее замкнутой системы с измерительным прибором (необратима, содержит вероятностные понятия, энтропия возрастает):

– вычисление вероятностей различных исходов измерения (правило Борна) — фундаментальная закономерность, лежащая в основе вероятностной интерпретации, – изменение состояния системы после измерения — феноменология, есть разные модели:

если (пока) результат измерения неизвестен (квантовое несе лективное измерение) — феноменология, есть хорошо разра ботанные модели (необратима, полностью детерминистрич на, не содержит вероятностных понятий, энтропия возраста ет), если (после того как) результат измерения известен (клас сическое селективное измерение) — загадка: (само)сознание, эвереттовская интерпретация и т.п. (необратима, вероят ностна, энтропия уменьшается).

В соответствующем измерению базисе квантовое неселективное изме рение обнуляет недиагональные члены матрицы плотности, а классическое 1 Переда тся ли информация по классическому или квантовому каналу для нас не важно.

е Впрочем при достаточно внимательном рассмотрении любой классический канал окажется, в конечном итоге, квантовым.

8.1. СТРУКТУРА (Ф) КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ селективное измерение обнуляет диагональные члены матрицы плотности, соответствующие нереализовавшимся исходам измерения.

При квантовом селективном измерении на первом этапе квантовое неселективное измерение «расцепляет» между собой состояния, отвечаю щие разным исходам измерения, а на втором этапе классическое селектив ное измерение производит выбор одной из альтернатив.

Классическое селективное измерение имеет прямую аналогию в клас сической физике, но при этом оказывается наиболее загадочным. В литера туре по квантовой механике его часто игнорируют, сводя обсуждение тео рии измерений к рассмотрению квантового неселективного измерения. При этом вопрос о выборе одной из взаимоисключающих альтернатив в процес се селективного измерения оста тся открытым.

е 8.1.3. Квантовая локальность (ф) Что такое локальность? Мы будем считать, что локальность — это те свойства теории, которые не позволяют мгновенную передачу классической информации.

Суммируя результаты предыдущей главы 7, касающиеся квантовой ло кальности и нелокальности можно сказать, что квантовая локальность ос новывается на тр х «китах»:

е • локальность унитарной эволюции (локальность гамильтониана: отсут ствие членов, описывающих мгновенное дальнодействие), • локальность неселективного квантового измерения (линейность, тео рема о невозможности клонирования, правило Борна), • локальность «классического» измерения (локальность канала передачи классической информации о результате удал нного измерения).

е 8.1.4. Вопросы о самосогласованности квантовой теории (ф) Поскольку квантовая теория состоит из существенно разнородных бло ков, естественно возникает ряд вопрос о том, насколько хорошо эти блоки подогнаны друг к другу. Поскольку теория замкнутых систем давно заслу жила статус фундаментальной теории, то эти вопросы адресуются в первую очередь к теории измерений.

Квантовая теория измерений описывает взаимодействие квантовой си стемы с измерительным прибором. Теория измерений строится на основе постулатов, которые не выводятся из квантовой теории замкнутых кванто вых систем, тем не менее, теорию измерений исследуют с точки зрения квантовой механики. При этом могут ставиться следующие вопросы:

246 ГЛАВА • Согласована ли теория измерений с теорией замкнутых систем?

• Как можно модифицировать теорию измерений?

• Может ли теория измерений быть выведена из теории замкнутых си стем?

• Можно ли модифицировать теорию замкнутых систем так, чтобы она включила в себя теорию измерений?

8.2. Моделирование измерительного прибора* Сам процесс измерения, который обычно рассматривается в соответ ствии с проекционным постулатом как мгновенный процесс, иногда сам становится предметом изучения с точки зрения квантовой механики. При этом вводится модель измерительного прибора (точнее его микроскопичес кой части), который описывается как квантовая система. В волновую функ цию вводятся дополнительные переменные, описывающие прибор, а в га мильтониан включаются дополнительные члены, описывающие сам прибор и его взаимодействие с микрообъектом.

Однако такое моделирование само по себе не способно объяснить, чт о такое измерение над квантовой системой: процесс взаимодействия кванто вой системы и микроприбора описывается как унитарная эволюция, а про екционный постулат снова проявляется уже при рассмотрении считывания показаний прибора (измерении положения «стрелки»).

Таким образом, моделирование измерительного прибора сдвигает гра ницу между системой и наблюдателем, рассматривая прибор не как часть наблюдателя, а как часть квантовой системы. Вопрос о природе процесса измерения при этом оста тся открытым.

е Последовательное применение такого метода демонстрирует, что кван товая механика позволяет по-разному проводить границу между системой и наблюдателем (часто кроме «системы» и «наблюдателя» выделяют ещ е и «среду»). В «систему» иногда включается даже часть организма самого наблюдателя, но здесь мы уже вступаем в область интерпретаций кванто вой механики, которые мы обсудим подробнее в главе 9 «На грани физики и философии (фф*)».

8.2.1. Измерительный прибор по фон Нейману** Простейшая модель процесса измерения была рассмотрена фон Ней маном в книге «Математические основы квантовой механики». Рассмат ривается система, состоящая из двух одномерных квантовых частиц, одна из которых (m) — измеряемая система, а другая (M ) — стрелка прибора.

8.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА* Наблюдатель хочет измерить координату частицы q, но непосредственно наблюдает только координату стрелки Q. Гамильтониан системы имеет вид p2 + P + P.

q H= 2m 2M Здесь маленькими буквами обозначаются параметры и наблюдаемые, отно сящиеся к частице, а большими — к стрелке.

Параметр определяет силу взаимодействия. Мы считаем, что в на чальный момент времени взаимодействие выключено (|t0 = 0), потом на протяжении времени T взаимодействие включено (|t[0,T ] = ), после чего — снова выключено (|t0 = 0).

Сразу после выключения взаимодействия наблюдатель производит над стрелкой идеальное определение координаты Q.

Будем считать, что массы m и M достаточно велики, чтобы за время T (при заданном начальном состоянии) можно было пренебречь кинетической энергией частицы и стрелки.

Оператор эволюции за время взаимодействия в координатном пред ставлении можно переписать как T iT q qP Q UT = e h =e.

Таким образом, эволюция сводится к сдвигу координаты стрелки на рас стояние T q, пропорциональное координате частицы q. Если начальное состояние системы факторизуемо 0 (q, Q) = = 0 (q) 0 (Q), то после взаимодействия получается перепутанное сос тояние 1 (q, Q) = UT 0 (q, Q) = 0 (q, Q q) = 0 (q) 0 (Q T T q).

После обнаружения стрелки в точке Q0 (т. е. обнаружения стрелки в состоя нии (Q Q0 )) частица оказывается в состоянии 1 (q) = 0 (q) 0 (Q0 T q), а система в состоянии 2 (q, Q) = PQ0 1 = 0 (q) 0 (Q q) (Q Q0 ), T iT импульсном представлении получаем другой взгляд на процесс: UT = e h q P = 2В T P p, что соответствует сдвигу импульса частицы на величину T P, пропорциональ =e ную импульсу стрелки.

248 ГЛАВА с плотностью вероятности (скалярное произведение не возводится в квад рат, т. к. состояние 2 нормировано на плотность вероятности) w1 (Q0 ) = 2 |1 = dq dQ 0 (q) 0 (Q q) (Q Q0 ) 0 (q) 0 (Q T T = q) = dq 0 (q) 0 (Q0 = 1 |1.

T = q) Если начальное распределение вероятности для стрелки (w0 (Q) = |(Q)|2 ) было достаточно узко и локализовано около нуля, то конечное состояние частицы умножается на 0 (Q0 T q) — узкий всплеск, локализованный около измеренного значения координаты q, которое равно q0 = Q0.

T В пределе, когда wlim 0 (Q) = (Q), мы получаем идеальное измере ние величины с непрерывным спектром.

Можно рассмотреть более реалистичную процедуру обнаружения стрелки в чистом состоянии 1 (Q) = f (Q0 Q). После такого измерения система попадает в факторизуемое состояние |1 1 |1, а частица в состояние |2f = 1 |1.

Такое состояние можно назвать относительным состоянием частицы, от носительно состояния |1 стрелки (см. (7.20) в 7.5.5 «Относительные сос тояния (ф*)»).

Поскольку 1 — одночастичное состояние, а 1 — двухчастичное, их скалярное произведение да т не число, а одночастичное состояние:

е dQ f (Q0 Q) 0 (q) 0 (Q T 2f (q) = q) = dQ f (Q0 Q) 0 (Q T = q) 0 (q).

dQ f (Q0 Q) 0 (Q T 2f (q) = F (q) 0 (q), F (q) = q). (8.1) 8.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА* Таким образом, исходная волновая функция частицы в результате из мерения умножается на св ртку3 0 (• T q) и f.

е Например, при св ртке двух гауссовых пакетов е Q2 Q 2 a = 1 · e 2a, a = 1 · e 2b 4 a2 b шириной a и b получаем гауссов пакет шириной c = a2 + b2 :

Q2 Q 4a2 b2 = 4a2 b 2ab · e 2 2(a2 +b2 ) ·e 2(a +b ) 4 =.

c a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 (a2 + b2 ) Если f зада тся прямоугольным импульсом, е 1, |Q Q0 | Q, f (Q Q0 ) = 0, |Q Q0 | Q, 2 Q а 0 — гауссовым пакетом Q 0 = 1 · e 2a, a то в результате мы получаем сглаженный «почти прямоугольный» импульс шириной 2 Q с размытыми краями (a — ширина размытия), локализован ный около точки Q0 :

+Q T q) 1 · e (QQ2a F (q) = 1 dQ.

2 Q a Q Ранее (уравнение (3.9) в разделе 3.1.4 «Распределения вероятностей и вол новые функции при измерении») мы уже постулировали, что при измере нии волновая функция умножается на прямоугольный импульс (характерис тическую функцию), который «вырезает» из не часть, соответствующую е диапазону, в который попала измеренная величина. Теперь, пут м анали е за квантового процесса измерения с точки зрения квантовой механики, мы (f g) двух функций f и g определяется соотношением 3 Св ртка е (f g)(t) = f ( ) g(t ) d.

R 250 ГЛАВА получили обобщение этого правила, которое допускает замену прямоуголь ного импульса на сглаженный импульс, либо на волновую функцию общего вида4.

Мы сдвинули границу между системой и наблюдателем, включив в сис тему «стрелку» прибора. Взаимодействие системы и стрелки мы рассмот рели в рамках унитарной квантовой механики (с помощью оператора эво люции). Однако результат измерения положения стрелки наблюдателем мы снова были вынуждены постулировать как неунитарный процесс, не опи сываемый унитарной квантовой механикой.

Таким образом, мы «вывели» проекционный постулат для системы, но в качестве исходного положения использовали аналогичный проекционный постулат, но уже для стрелки прибора. Тем не менее, новый проекционный постулат имеет более общий вид, чем исходный. Теперь волновые функции, получаемые при взаимоисключающих результатах измерения, могут быть уже не ортогональными. Однако по-прежнему конечная волновая функция линейна по начальной.

8.3. Возможна ли иная теория измерений? (фф) Прежде всего следует отметить, что теория измерений состоит из двух частей:

• формула для вероятности определ нного исхода измерения;

е • формула для волновой функции после измерения с определ нным исхо е дом (проекционный постулат).

Статус этих двух частей теории измерений в рамках квантовой меха ники различен.

Формула для вероятностей едва ли может быть модифицирована. По всей видимости она столь же фундаментальна, как унитарная эволюция.

Единственность этой формулы была выведена при определ нных предпо е ложениях Эвереттом (см. раздел 8.3.1 «Эвереттовский “вывод” теории из мерений (фф*)»). Ниже мы продемонстрируем «ж сткость» этой формулы е с точки зрения отсутствия релятивистских парадоксов.

Проекционный постулат является естественным приближением. Мы можем рассматривать модифицированные теории измерений, в которых 4 Замена характеристической функции на функцию R [0, 1] общего вида соответствует замене обычного множества, неч тким множеством (fuzzy set), когда для точек определяется е не принадлежность/непринадлежность к множеству, а вероятность принадлежности. Впрочем, классические неч ткие множества не позволяют описать умножение на волновую функцию е произвольного вида, а значит уместнее рассматривать квантовые (неч ткие) множества, для е попадания точек в которые зада тся не вероятность, а амплитуда вероятности.

е 8.3. ВОЗМОЖНА (ФФ) ЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ?

проекционный постулат измен н (см. правило (8.1) в разделе 8.2.1 «Изме е рительный прибор по фон Нейману**»), или выводится из иных постула тов. (Если эти «иные постулаты» представляются кому-то более естествен ными.) Помимо фундаментальных аспектов теории следует помнить и о прос той корректности е применения: при анализе конкретного эксперимента е надо аккуратно исследовать, какие именно физические величины мы мерим на самом деле.

8.3.1. Эвереттовский «вывод» теории измерений (фф*) Если строить теорию измерений, опираясь только на те понятия, кото рые уже были введены для описания эволюции замкнутой системы (линей ное пространство чистых состояний, на котором задано скалярное произве дение), то формула для вероятностей фиксируется однозначно при некото рых разумных (по крайней мере пока) предположениях.

Такого рода вывод был проделан Х. Эвереттом. Мы обобщим этот вы вод и сформулируем в виде теоремы, явно оговорив условия, которые были опущены Эвереттом.

Теорема Эверетта. Вероятность исходу измерения может быть при писана единственным способом | | |2 | | p = =, (8.2) 2 2 | | при условии, что:

• вероятность исхода p [0, 1] определяется только векторами сос тояния до измерения | и после измерения |, прич м состояния е определяются с точностью до ненулевого множителя;

• зависимость вероятности от состояний непрерывна;

• вероятность инвариантна относительно произвольных унитарных пре образований пространства состояний;

• p = 1;

• суммарная вероятность равна 1, т. е. если дан максимальный набор вза имоисключающих чистых состояний |i (ортогональный базис), то суммарная вероятность равна 1:

pi = 1;

i • размерность пространства состояний не меньше 3.

252 ГЛАВА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Поскольку состояния определены с точностью до ненулевого множи теля, мы можем перейти к рассмотрению векторов состояний |, |, |i, нормированных на единицу. Более того, мы можем считать, что скалярное произведение | вещественно и неотрицательно, т. е. | = | | |.

Поскольку формула не должна зависеть от унитарных преобразований, ис комая вероятность p = p должна выражаться через скалярное произ ведение |, т. е.

| | p = g(| | |2 ) = g.

| | Для суммарной вероятности получаем g(| i | |2 ) = 1 = | i | |2.

= i i g0 (| | |2 ) Ясно, что функция g0 (| | |2 ) = | | |2 удовлетворяет этому условию.

Заметим, что g(0) = 0, т. к., выбрав |1 = |, мы получаем 1= 1 + g(0).

i= g(1) Покажем, что функция g единственна.

Мы всегда можем выбрать векторы |i так, чтобы | принадлежал плоскости, натянутой на |1 и |2. Отсюда получаем, что g(x) + g(1 x) = 1, x = | 1 | |2 [0, 1].

Отсюда g( 2 ) = 1.

Мы всегда можем выбрать векторы |i так, чтобы | принадлежал пространству, натянутому на |1, |2 и |3. Пусть | 3 | |2 = 1. Отсюда получаем, что g(x) + g( 2 x) + 1 = 1, x = | 1 | |2 [0, 1 ].

Отсюда g( 4 ) = 1 :

g( 3 ) = 3.

g( 1 ) + g( 3 ) = 4 4 4 / 8.3. ВОЗМОЖНА (ФФ) ЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ?

Аналогично беря значение | 3 | |2 в уже установленных точках, мы мо жем показать, что k = 0, 1,..., 2n.

k k g = 2n, n = 0, 1, 2,..., 2n Это множество точек плотно на отрезке [0, 1]. Из непрерывности функции g заключаем, что g(x) = x, x [0, 1].

Обсуждение Мы доказали теорему Эверетта, использовав весьма общие и естествен ные предположения. Если мы «верим в квантовую механику», т. е. если мы считаем, что разработанная для описания замкнутых систем унитар ная квантовая механика в самом деле позволяет описать Вселенную вокруг нас, и нам не требуется вводить в теорию никаких новых ингредиентов, то теорема должна нас убедить, что никаких других формул для квантовой вероятности в принципе не может быть.

Однако в названии этого раздела слово «вывод» было взято в кавыч ки. Дело в том, что у нас нет достаточных оснований полагать, что про цесс измерения описывается на языке унитарной квантовой механики, без введения дополнительных структур. Например, если процесс измерения ха рактеризуется не только начальным и конечным состояниями системы, но и какими-то выделенными состояниями, характеризующими измеритель ную установку, то привед нное доказательство теоремы уже не работает е (квантовая механика при этом могла бы даже оставаться унитарной). Тем более теорема не должна работать, если мы рассмотрим какое-либо нели нейное обобщение квантовой теории.

8.3.2. «Ж сткость» формулы для вероятностей (фф) е Можем ли мы тем или иным способом (см., например, раздел 9.3.9 «Ак тивное сознание (фф*)») управлять квантовыми случайностями, или хотя бы изменить квантовые вероятности по сравнению со стандартной форму лой |n |2 ?

Продемонстрируем на примере измерения системы (кубита), имеющей два базисных состояния |0 и |1, что управление вероятностями привело бы к возможности передавать информацию на расстоянии со сколь угодно большой скоростью, грубо нарушая постулаты специальной теории отно сительности.

Пусть наш кубит находится в состоянии, зацепленном с другим куби том:

|0 |0 + |1 | | =. (8.3) 254 ГЛАВА Пусть первый кубит находится у Алисы, а второй у Бориса.

Алиса измеряет состояние своего кубита в базисе |0, |1. При этом кубит Бориса оказывается в том же состоянии, что и кубит Алисы:

| |0 |0 или |1 |1.

Таким образом, управляя результатом своего измерения, Алиса тем самым управляет результатом измерения, которое чуть позже производит Борис над своим кубитом.

Мы видим, что если почти на полпути между Алисой и Борисом есть источник запутанных кубитов, которые прилетают к Алисе чуть-чуть рань ше, то Алиса может передавать Борису информацию на любое расстояние со сколь угодно малой задержкой! Для такой передачи не надо даже полнос тью управлять результатом измерения, достаточно лишь чуть-чуть сдви нуть вероятность в желаемую сторону, тогда, повторив передачу несколько раз, удастся передать Борису любое сообщение, закодировав его состояния ми |0 и |1. А если сделать преобразование Лоренца, то окажется, что управляя вероятностями, Алиса может передавать информацию не только со сверхсветовой скоростью, но и в прошлое.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.