авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный университет

Лаборатория сверхмедленных процессов

Записки

семинара

Сверхмедленные процессы

Под редакцией

доктора физико-математических наук, профессора В.М. Миклюкова

Выпуск 1

Волгоград 2006

ББК 22.313.3я43

М59

Данная работа является объектом авторского права и находится под охраной Закона РФ ”Об авторском праве и смежных правах”. Использование данной работы или любой ее части без ссылок на авторов запрещается.

Нарушители авторских прав авторов настоящей работы могут быть подвергнуты административному или уголовному преследованию в порядке ст. 7.12 КоАП РФ (Нарушение авторских и смежных прав) или ст. 146 УК РФ (Нарушение авторских и смежных прав).

Защита авторских прав осуществляется силами коллектива студентов юридического фа культета Волгоградского государственного университета.

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук Е.Г. Григорьева д-р физ.-мат. наук В.А. Клячин Записки семинара ”Сверхмедленные процессы” [Текст]: Вып. 1 ВолГУ.

М59 /ВолГУ, Лаб. сверхмедленных процессов;

под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. В.М. Миклюкова. Волгоград : Изд-во ВолГУ. 2006. 184 c.

ISBN 5-9669-0163- В сборнике представлены доклады участников научного семинара, посвященного сверх медленным процессам в природе и жизни общества, а также смежным вопросам.

Для студентов, аспирантов, преподавателей и всех читателей, интересующихся пробле мой.

ISBN 5-9669-0163-5 ББК 22. c Миклюков В.М., c Волгоградский государственный университет, Содержание 1 Парадоксы реального и исторического времени, И.О. Тюменцев, 10 сентября 2003 1.1 Проблемы истории Смуты...................... 1.2 Графики интенсивности записей.................. 1.3 Выводы................................ 2 Зоны стагнации гармонических функций в узких и длинных областях, В.М. Миклюков, 17 сентября 2003 2.1 Понятие зоны стагнации....................... 2.2 Поверхности.............................. 2.3 Постановка краевой задачи..................... 2.4 Основная теорема.......................... 2.5 Зоны стагнации мира-экономики.................. 3 Математические аспекты простейшей рыночной задачи, В.И.Пелих, 22 октября 2005 3.1 Формулировка рыночной задачи.................. 3.2 Строгая постановка задачи..................... 3.3 Своеобразие вариационной задачи................. 3.4 Анализ разрешимости уравнений (6)-(10)............. 4 Российско-Казахстанское приграничье: природный, экономический и социальный потенциал, С.В. Голунов, 12 ноября 2003 4.1 Граница................................ 4.2 Приграничный транспорт...................... 4.3 Взаимозависимость систем..................... 4.4 Переговоры по делимитации границы............... 4.5 Коммуникационная контактность................. 4.6 Потенциал трансграничного взаимодействия........... 4.7 Другие инфраструктурные связи.................. 5 Зоны стагнации гармонической функции на поверхности и предлиувиллевы теоремы, В.М. Миклюков, 10 декабря 2003 5.1 Зоны стагнации............................ 5.2 Области приложения......................... 5.3 Предлиувиллевы теоремы...................... 5.4 Транспарентность границы..................... 6 Таможенные уравнения, В.И. Пелих, 17 декабря 2003 6.1 Постулаты модели.......................... 6.2 Уравнения баланса продуктов I................... 6.3 Уравнения баланса продуктов II.................. 6.4 Интегральное представление I................... 6.5 Интегральное представление II................... 7 Зоны стагнации решений параболических уравнений и их размеры, В.М. Миклюков, 11 февраля 2004 7.1 Зоны стагнации функции...................... 7.2 Уравнение теплопроводности.................... 7.3 Основное утверждение........................ 8 Время и традиции, А.И. Макаров, 24 апреля 2004 8.1 Традиция и революция....................... 8.2 Радикальная критика принципа традиции в философии модерна........................ 8.3 Отрицание традиции в теории постмодерна............ 9 Многомерные слабые решения вблизи непрозрачной границы, В.М. Миклюков, 19 мая 2004 9.1 Спрямляемые множества...................... 9.2 Поверхности.............................. 9.3 Емкость и модуль.......................... 9.4 Обобщенные решения........................ 9.5 Монотонность вблизи границы................... 9.6 Предлиувиллевы теоремы...................... 9.7 Граничные множества емкости нуль................ 10 Восприятие, интерпретация и использование времени в различных культурах, Н.Л. Шамне, 13 октября 2004 10.1 Территориальность и темпоральность............... 10.2 Аспекты жизненного ориентирования............... 11 Факторы формирования национального характера, А.И. Пигалев, 17 ноября 2004 11.1 Понятие национального характера................. 11.2 Национальный характер и культурный проект.......... 11.3 Технология слабых воздействий.................. 11.4 Национальный характер в современных условиях........ 12 Памятники и память: мемориальная функция архитектуры, А.И. Макаров, 8 декабря 2004 12.1 Архитектура и идентичность.................... 12.2 Архитектура и власть........................ 12.3 Власть архитектуры......................... 12.4 Эффектом остановленного времени и сверхбыстрые процессы. 13 Размеры зон стагнации решений с особенностями, В.М. Миклюков, 22 декабря 2004 13.1 Постановка задачи.......................... 13.2 Приведенная граница........................ 13.3 Формула Остроградского–Гаусса для липшицевых функций.. 13.4 Особенности векторного поля.................... 14 О разности функций с времениподобными графиками, А.Н. Кондрашов, 18 марта 2005 14.1 Метрика................................ 14.2 Условия близости........................... 14.3 Единственность и принцип сравнения............... 14.4 Эффект ”слипания” решений.................... 15 Проблема сравнения качества веб-страниц, А.А. Клячин, 11 марта 2005, 25 марта 2005 15.1 Конкурс интернет-сайтов...................... 15.2 Схема оценки веб-сайтов....................... 16 Апологетика юзера, В.М. Миклюков, 8 апреля 2005 16.1 Формы обучения и новые технологии............... 16.2 Забыли о математике........................ 16.3 Наше предложение – подготовка экспертов............ 17 Зоны стагнации почти решений, В.М. Миклюков, 22 апреля 2005 17.1 Почти решения............................ 17.2 Иллюстрирующий пример...................... 17.3 Принцип максимума для почти решений............. 17.4 Основной результат......................... 18 О статье А. Карбоне и М. Громова "Математические срезы молекулярной биологии", Ю.М. Перевозкина, 20 мая 2005 и др. 19 К понятию нерегулярной абстрактной поверхности, В.М. Миклюков, 15 сентября 2005 19.1 Модуль и емкость на гладкой поверхности............ 19.2 Нерегулярные поверхности..................... 19.3 Псевдометрика............................ 19.4 Финслерова метрика......................... 19.5 Модуль семейства кривых...................... 19.6 Емкость конденсатора........................ 20 ”Слабая” форма теорем типа Фрагмена – Линделефа для разности решений уравнения газовой динамики, А.В. Кочетов, В.М. Миклюков, 24 сентября 2005 20.1 Подготовительные результаты................... 20.2 Уравнение газовой динамики.................... 20.3 Основная теорема.......................... 21 Местное время, сверхмедленные процессы и зоны стагнации, В.М. Миклюков, 1 октября 2005 21.1 Кстати, о времени.......................... 21.2 Геологическое время......................... 21.3 Пространство-время живого организма.............. 21.4 Ход времени.............................. 22 Двумерное время в описании банковской деятельности, В.И. Пелих, 22 октября 2005 22.1 Двумерное время........................... 22.2 Функции внутреннего управления................. 22.3 Движение средств конечной длины................. 22.4 Динамика бессрочных денег..................... 22.5 Задача Коши............................. 22.6 Целевые функционалы........................ 23 Статья Б. Делоне ”О пустой сфере. К мемуару Георгия Вороного”, перевод с фр. А.Ю. Игумнова, 29 октября 2005 24 Некоторые задачи, возникающие в проблеме триангуляции пограничного слоя, В.М. Миклюков, 5 ноября 2005 24.1 Кубатурные формулы........................ 24.2 Правильная граница......................... 24.3 Квазиконформные поверхности................... 24.4 Сохранение ориентации.........

.............. 24.5 Квазиизометрические отображения................ 24.6 Отображения, близкие к квазиизометриям............ 24.7 Условие регулярности........................ 25 Некоторые способы продвижения сайта, А.А. Клячин, 26 ноября, 3 декабря 2005, 10 декабря 2005 25.1 Качество сайта............................ 25.2 Советы по подготовке проекта................... 25.3 Советы по продвижению сайта................... 25.4 Поисковые системы......................... 26 Измерение длины границы, Е.В. Архипова, 10 марта 2006 26.1 Государственная граница...................... 26.2 К истории понятия ”границы”.................... 26.3 Измерение длины границы..................... 26.4 Определение границы........................ 27 Некоторые алгоритмы деления ”по-честному”, В.В. Попов, 17 марта 2006 27.1 Формальная постановка задачи................... 27.2 Деление поровну ”на двоих”..................... 27.3 Как разделить на n ”равных” частей?............... 28 Глобализация и национальная культура, Н.Л. Шамне, 22 марта 2006 28.1 Глобализация и национальная идентификация.......... 28.2 Формирование ”общечеловеческой культуры”........... 28.3 Учение Трубецкого......................... Авторский указатель................................... Предисловие Прошло почти три года как начал работать наш научный семинар "Сверх медленные процессы". Несмотря на проблемы с наличием свободных ауди торий и трудностями с согласованиями расписаний участников, в основном, нам удавалось выдерживать еженедельный график заседаний. Правда, мне, как руководителю семинара, нередко приходилось, закрывая лакуны, высту пать с докладами самому. Смею надеяться, что это не слишком сказалось на широте охвата проблемы.

Поначалу слово "сверхмедленные" в названии семинара вызывало у неко торых из коллег, настаивающих на обозначении времени исключительно бук вой t, реакции недоумения и отторжения: "Это еще что такое и зачем?" От голоски былой дискуссии еще и сегодня можно найти в интернете. Ныне, кажется, все привыкли и, спустя три года, поисковые машины на интернете выдают весьма внушительные списки тем, связанных со сверхмедленными процессами.

Под "сверхмедленными" мы понимаем процессы, текущие величины в ко торых меняются столь незначительно, что зафиксировать эти изменения труд но или даже совсем невозможно, ввиду их малости по сравнению с погреш ностью измерений. Изменения величин становятся заметными лишь по про шествию достаточно длительного времени.

Типичные примеры таких процессов доставляет гомеопатия. Однако, cверх медленными являются не только, и не столько, физиологические процессы, но и значительный ряд других природных процессов, ввиду их сверхмедли тельности выпадающих за пределы традиционных естественнонаучных ис следований. Уважаемый читатель сам укажет подобные примеры, имеющие место в физике, механике, экономике, истории, лингвистике, экологии и др.

Мы старались не ограничивать искусственно тематику докладов, ставя на семинар доклады, даже, на первый взгляд, не имеющие прямых выходов на заявленный круг вопросов. Проблема слишком сложна, чтобы диктовать априори список возможных подходов к ее решению. Тем не менее, опыт ока зался вполне удачным. Из приводимых ниже текстов будет видно как фор мировались и как развивались необходимые междисциплинарные связи.

К примеру, при течениях жидкости в тонких и длинных трубках возника ют "зоны стагнации" области, в которых потоки почти неподвижны. Если отношение длины трубки к ее диаметру велико, то потенциальная функция и функция тока почти неизменны на весьма протяженных участках. Ситуация кажется мало интересной, однако, если мы вспомним, что эти незначитель ные изменения происходят на сверхдлинных интервалах, то мы увидим здесь целую серию первоклассных задач, требующих разработки специальных ма тематических методов.

Априорная информация относительно зон стагнации способствует более оптимальной организации вычислительного процесса за счет замены искомых функций соответствующими постоянными в таких зонах. Иногда это делает возможным существенно сократить объем вычислений, что было замечено ранее, к примеру, при приближенных вычислениях конформных отображе ний сильно вытянутых прямоугольников.

Получаемые результаты оказываются небесполезными, в частности, для приложений в экономической географии. В случае, когда функция характе ризует интенсивность товарообмена на том либо ином географическом про странстве, теоремы об ее зонах стагнации дают (при надлежащих ограниче ниях на выбираемую модель) оценки геометрических размеров зоны стагна ции мира-экономики. К примеру, если поддуга границы области абсолютно нетранспарентна, а поток векторного поля градиента функции через осталь ную часть границы достаточно мал, то область является для этой функции зоной стагнации.

Теоремы о зонах стагнации оказываются тесно связанными с предлиувил левыми теоремами оценками колебания решений, прямыми следствиями которых являются различные версии классической теоремы Лиувилля об об ращении в тождественную постоянную целой двояко – периодической функ ции.

Выяснение параметров влияния на размеры зон стагнации, открывает воз можность практических рекомендаций к целенаправленным изменениям кон фигурации и, в частности, уменьшению либо увеличению таких зон.

В заключение, нам хотелось бы поблагодарить ректора Волгоградского государственного университета О.В. Иншакова за поддержку и за содействие в издании настоящих ”Записок”.

Мы глубоко признательны Е.А. Пелих за проверку правильности перевода на английский язык аннотаций докладов.

Естественно, что нам не удалось включить в "Записки семинара" все до клады его участников. Тем не менее, мы надеемся, что даже частично собран ные вместе материалы семинара окажутся полезными для наших молодых последователей, только еще вступающих на тропу научных исследований.

"Нужно просто честно работать. Каждый день, как святой Франциск, моты жить свой небольшой участок и удача придет." (В.В. Путин, из интервью нидерландскому телеканалу "Недерланд 1" и газете "НРЦ Хандельсблатт" 31.10.2005.) Мы будем рады, если "Записки семинара" окажутся нужными читателю.

Руководитель семинара д.ф.-м.н. проф.

Владимир Михайлович Миклюков miklyuk@mail.ru 10 Парадоксы реального и исторического времени 1 Парадоксы реального и исторического времени, И.О. Тюменцев, 10 сентября c И.О. Тюменцев, 10 сентября Настоящая работа – этюд с изложением отдельных наблюдений, связанных с историей Русской Смуты.

1.1 Проблемы истории Смуты Предлагаемая вниманию читателя работа в строгом смысле этого слова не является научной статьей. Это скорее небольшой историко - математический этюд с изложением отдельных наблюдений без развернутой аргументации теоретических положений и выводов. Надеюсь, что, после более чем тридца ти лет штудий по истории русской Смуты начала XVII в., могу себе позволить поделиться своими "удивлениями" восприятия ушедшего времени современ никами событий, их описателями и историками.

Современники событий русские публицисты и летописцы начала XVII в.

причину в постигшем страну лихолетье видели в Божьих карах последовав ших из-за ослабления веры, стремления многих русских людей получить в этой жизни "честь" большую, нежели определена Богом, в "безумном молча нии" русского "мира" по поводу творимых грехов.

Иноземцы, в представлении современников, были врагами православно го христианства, которые, воспользовались смутами, чтобы разорить Мос ковское государство и нажиться за счет грабежа русского народа. Нетруд но заметить, что авторы первых сочинений о Смуте не были историками и осмысляли пережитое сквозь призму традиционного для средневековой Рос сии провиденциалисткого взгляда на мир. Их не интересовало реальное вре мя и последовательность событий, они не анализировали факты прошлого, а использовали их исключительно для обличений грехов "русского мира" и учительных поучений.

Классическим примером такого сочинения является духовно-историческая эпопея келаря Троице-Сергиева монастыря Авраамия Палицына. Рассказы вая об обороне Троице-Сергиева монастыря в 1608-1610 гг., этот известный писатель смутного времении, изменил последовательность реальных событий измени, перепутал даты в угоду своим литературным образцам. ( Хронограф 1617 г. // Попов А. Изборник славянских и русских сочинений и статей, вне сенных в хронографы русской редакции. М., 1869;

Палицын А. Сказание. М.;

Л., 1955;

Новый летописец // Полное собрание русских летописей (ПСРЛ).

СПб., 1910. Тюменцев И.О. "Сказание об осаде Троице-Сергиева монастыря" А. Палицына как исторический источник // Вестник ЛГУ. Сер. 2. 1988. Вып.

3 (№ 16). С. 3-8. ) Иначе воспринимали события Смуты в России иноземцы, т.к. благода ря Ренесансу уже в XVI в. в Европе утвердился прагматический взгляд на окружающий мир и время. Проблема в том, что большинство сочинений современников-иноземцев, писавших о смуте, являются мемуарами, которые 1.2 Графики интенсивности записей написаны много лет спустя после окончания смуты. В этих мемуарах много хронологических смещений, путаницы и неточностей. Исключения составля ют "Дневник Марины Мнишек", "Дневник дороги польских послов М. Олес ницкого и А. Гонсевского в Москву" (1606-1609 гг.) и "Дневник Яна Сапеги" (1608-1611 гг.), которые велись по горячим следам событий и, несмотря на последующую литературную обработку, отразили их реальную хронологию.

(Дневник Марины Мнишек. СПб., 1995;

Дневник польских послов // Ска зания современников о Дмитрие Самозванце. СПб., 1859. Ч. 2. С. 199-262;

Sapieha J.P. Dziennik // Hirschberg A. Polska a Moskwa w piewszej polowie wieku XVII. Lwow, 1901. См.: Табл. №№ 1-2.

Парадокс заключается в том, что до недавнего времени российские и со ветские историки, как правило, с большим недоверием относились к показа ниям иноземцев, считая их взгляд на события Русской Смуты поверхностным и крайне тенденциозным и пытались строить свои исследования на данных русских повестей, сказаний и летописей.

Зарубежные авторы в свою очередь с бльшим доверием относились к по о казаниям иноземцев, отмечая прагматизм их мировоззрения, и скептически относились к данным русских историков, объяснявших все происходящее Бо жиим проведением.

1.2 Графики интенсивности записей Построив график, где на оси 0x использована помесячная градация в диапа зоне описанного в дневнике отрезка времени, а по оси 0y - число ежедневных записей за месяц, можно графически выразить соотношение реального (зеле ная) и отраженного (синяя линия) в источнике времени.

Диагр. 1. 12 Парадоксы реального и исторического времени Кривая обнаруживает, что частота записей в дневниках, как правило, воз растает по мере роста напряженности в ходе переживаемых событий и осла бевает по мере наступления более спокойных времен. Причем графики ин тенсивности записей в разных дневниках коррелируются между собой, что подтверждает правильность исходной гипотезы о зависимости частоты запи сей в дневниках от интенсивности и драматизма переживаемых событий.

Диагр. 1. Пик интенсивности записей, как видно из данных графиков, приходится на поворотные исторические события Смуты: восстание в Москве и гибель са мозванца (май 1606 г.), начало осады Москвы повстанцами (октябрь 1606 г.), разгром повстанцев под Москвой (конец 1606 г.), разгром правительственных войск у Калуги (весна 1607 г.), появление Лжедмитрия II и осада повстанцев в Туле (июль 1607 г.), осада Москвы Вором (июнь 1608 г.), захват сапежин цами Замосковья (октябрь 1608 г.), победы земских ополчений в Замосковье над тушинцами (апрель 1609 г.), победы правительственных войск над ту шинцами у Твери, Калязина, Переяславля и Александровой слободы (июль, сентябрь, ноябрь 1609 г.).

Борьба за Москву и Смоленск летом 1610 - в сентябре 1611 гг. и открыв шиеся перспективы подчинения России Речи Посполитой целиком приковали внимание авторов дневников к событиям в стране. В результате записи велись практически ежедневно и достаточно полно отражали ход событий.

Важно отметить, что все упомянутые поворотные (исторические) события оказались в центре внимания и иноземных мемуаристов и русских авторов.

Но они сообщают о них в иной "прямой" причинно-следственной связи. К примеру, в памяти мемуаристов и в изложении русских писателей восстание И.И. Болотникова последовало почти сразу в ответ на убийство Лжедмит 1.2 Графики интенсивности записей Диагр. 1. рия I. В действительности, как видно из анализируемых графиков, между этими событиями было 4 относительно "малозаметных" месяца, в течение которых будущие противники накапливали силы и пытались ослабить друг друга перед решающим столкновением. (Татищев В.Н. История Российская.

М.;

Л., 1964. Т.6. С. 301-303, 308, 314-318, 323, 326, 367;

Sammlung Russicher Geschichte. St.-Peterburg, 1761;

Миллер Г.Ф.О новейшей истории России // Ежемесячные сочинения пользе и увеселению служащие. 1761. Ч.1. С. 3-64;

Щербатов М.М. Краткая повесть о бывших в России самозванцах. СПб., 1774;

Его же История Российская с древнейших времен. СПб., 1791. Т.7.

Ч2. С. 147, 180-186, 205, 207, 238, 295-356;

Карамзин Н.М. История госу дарства Российского. СПб. 1989. Кн. 3. Т.XII. Стб. 1-20, 35-36, 43-130;

Ср.:

Maciczewski J. Polska a Moskwa 1603-1618. Warschawa 1968. Czerska D. Boris Godunov. Wroclaw;

Warszawa;

Krakow;

Gdansk;

Lodz, 1988;

Andrusiewicz A.

Dzieje Dymitriad 1602-1614. Warszawa, 1990;

Его же Dymitr I Samozwaniec.

Triumf i upadek. Lodz, 1993;

Czerska D. Dymitr Samozwaniec. Wroclaw, 1995;

Polak W. O Kreml i Smolenszczyna. Polityka Rzeczpospolitey wobec Moskwy w latach 1607-1612. Torun, 1995;

Скрынников Р.Г. 1) Минин и Пожарский. М., 1981;

2) Россия накануне "Смутного времени". Изд. 1 и 2. Л., 1981, 1985;

3) Социально-политическая борьба в Русском государстве в начале XVII в. Л., 1985;

4) Самозванцы в России в начале XVII ст. Григорий Отрепьев. Ново сибирск, 1986;

5) Смута в России в начале XVII ст.: Иван Болотников. Л., 1988;

6) Россия в начале XVII в. "Смута". М., 1988. 7) The Time of Troubles:

Russia in Crisis, 1604-1618. Academic International Press, 1988;

8) Спорные про блемы восстания Болотникова // История СССР. 1989. № 5. С.92-110;

9) The Civil War in Russia at The Beginning of the Seventeenth Century (1603-1607): its Character and Motive Forces". London, 1993 и др.;

10) Василий Шуйский. М., 14 Парадоксы реального и исторического времени Диагр. 1. 2002;

Perrie M. "Popular Socio-Utopian Legend"in the Time of Troubles //The Slavonic and East Europian Review. 1982. № 2.;

Idem Pretenders and popular monarchism in early modern Russia: the False the Time of Troubles. Cambridge, 1995.) Если соединить между собой пики возмущений на графиках между собой (желтая линия) можно получить ход исторического времени как оно пред ставлялось современникам мемуаристам и русским писателям при осмысле нии пережитого на склоне лет.

1.3 Выводы Изучение истории Смуты, как известно, началось именно с литературных, летописных сочинений и мемуаристики, поэтому не составляет труда уста новить, что именно так представляли себе ход лихолетья первые историки XVIII - нач. XIX вв. Затем по мере ввода в научный оборот дневников и документальных источников хронология событий уточнялась. Вскрывались ранее незаметные, но более глубокие причинно-следственные связи. Воспри ятие исторического времени стало все более коррелироваться и сближаться с отраженным в источниках временем, а отраженное к реальному. И хотя реальное время никогда не может в полном объеме отразиться в источниках, поскольку повторение событий прошлого просто не возможно, а отраженное время в свою очередь никогда полностью не воплотится в историческом вре мени, так как научное познание неисчерпаемо. Но именно в этом и состоит суть прогресса в исторической науке.

1.3 Выводы I.O. Tyumentsev, Paradoxes of real and historic time Abstract. Smuta in Russia at the beginning of the 17th century: temporal paradoxes.

16 Зоны стагнации гармонических функций 2 Зоны стагнации гармонических функций в узких и длинных областях, В.М. Миклюков, 17 сентября c В.М. Миклюков, 17 сентября Под зонами стагнации (или s-зонами) функции понимаются области, где функция отличается от тождественной постоянной на величину s. В докла де приводятся оценки размеров некоторых зон стагнации решений уравне ния Лапласа-Бельтрами на узких и длинных лентах. Обсуждаются связи со сверхмедленными процессами, исследуемыми в газовой динамике, геологии, экономической географии и др.

2.1 Понятие зоны стагнации При течениях жидкости или газа в канале зачастую возникают зоны стагна ции области, в которых потоки почти неподвижны. Иногда подобные зоны имеют значительные размеры. Так, если отношение длины прямоугольного канала к его ширине велико, то потенциальная функция идеального несжи маемого потока почти постоянна (и сам поток почти не меняется) на участках большой протяженности. Подобная ситуация возникает, к примеру, при ста ционарных течениях жидкости в длинных трубопроводах или микроканалах.

В настоящей работе мы изучаем зоны стагнации решений уравнения Ла пласа – Бельтрами на узких и длинных лентах.

Следующее понятие было введено в работах [1], [2]. Подобласть U D называется зоной стагнации (sзоной) функции f : D R, если колебание f на U не превосходит некоторой, наперед заданной, потоянной s 0.

Для произвольной непрерывной функции f : D R и всякого s каждая точка области D имеет окрестность, являющуюся sзоной. Нас бу дут интересовать лишь зоны стагнации больших размеров. По сути, s-зоны стагнации воспринимаются как реально существующие объекты лишь при сопоставлении величины параметра s с геометрическими размерами зоны.

Классическая теорема Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гар моническая функция, определенная во всей плоскости R2, является тожде ственной постоянной. Теоремы о расположении и размерах зон стагнации могут быть истолкованы как почти лиувиллевы теоремы.

s-Зоны служат препятствиями в вычислениях с ошибкой порядка s, если порядок мал. К примеру, если этот порядок сравним с компьютерным нулем.

Так, уже при вычислениях с точностью до s = 1015 гармонической функции в прямоугольнике D с нулевыми граничными данными на длинных сторонах и 0, 1 на коротких, достаточно большие s-зоны начинают возникать при характерном размере l2 /l1 50. Здесь l1 – ширина и l2 – длина прямоуголь ника D.

Априорная информация относительно места расположения и размеров s зоны способствует более оптимальной организации вычислительного процес са.

2.2 Поверхности Близкие явления, возникающие при вычислениях конформных отображе ний прямоугольников, исследовались в [3], [5], [6] и др. Ряд связанных с ними вопросов можно найти также в разделах 2.6 и 3.4 монографии [4].

2.2 Поверхности Пусть D – поверхность, заданная над D R2 линейным элементом ds2 = A2 (x, y) dx2 + B 2 (x, y) dy 2, (x, y) D. (1) D Здесь A, B – измеримые в смысле Лебега в области D функции, подчиненные условию A ess sup + 1, =. (2) B D Для всякой подобласти D символом Lip ниже обозначаем множе ство функций f, удовлетворяющих условию Липшица (x x )2 + (y y ) |f (x, y ) f (x, y )| C для всех (x, y ), (x, y ) с некоторой постоянной C = C(f, ). Функция f : D R называется локально липшицевой в D, если f Lip для всякой подобласти D. Специальный вид метрики (1) означает, что координатные линии x = const и y = const на поверхности D взаимно ортогональны.

Укажем несколько простых примеров таких метрик, иллюстрирующих ши роту рассматриваемого класса нерегулярных поверхностей.

Пример 1. Пусть D = (D, ds2 ) поверхность, полученная вращением гра фика функции u = µ(w) вокруг wоси в евклидовом (u, v, w)–пространстве.

Предположим, что µ(w) определена на отрезке 0 w µ0, неотрицательна и удовлетворяет условию Липшица на этом отрезке.

Обозначим через y = (w) длину дуги w 1 + µ 2 ( ) d.

y = (w) = Пусть w = 1 (y) = (y) – обратная к ней функция. Легко видеть, что также удовлетворяет условию Липшица.

Введем специальные координаты (x, y) точки (u, v, w) на D, полагая v x = arctg, y = (w).

u Если мы обозначим через r(y) = µ (y), то функция r 0 и липшицева.

При этом, как легко видеть, u = r(y) cos x, v = r(y) sin x, w = (y).

Символ D означает, что подобласть ограничена и ее замыкание D.

18 Зоны стагнации гармонических функций Ясно, что линии x = const и y = const на D ортогональны. Таким образом, для элемента длины dsD имеем ds2 = r2 (y) dx2 + dy 2.

D Пример 2. Пусть z = (x) – липшицева функция и D – ее график в ев клидовом (x, y, z)-пространстве. Индуцированная из R3 метрика на D имеет вид ds2 = (1 + 2 (x)) dx2 + dy 2.

D Если (y) – другая липшицева функция, то график функции z = max{(x), (y)} имеет метрику вида (1) с измеримыми коэффициентами, удовлетворяющими (2). Пример 3. Метриками вида (1) обладают все конфокальные поверхности второго порядка. Так, например, линейный элемент сферы в R3 радиуса a имеет вид x2 + y 2 2 dsD = dx + dy 1+.

4a Условия представимости метрик, конформно эквивалентных эвклидовой, в форме ds2 = 2 ( x2 + y 2 ) (dx2 + dy 2 ) D изучались в недавней статье И.Х. Сабитова [11]. Вместе с тем, метрики, конформно эквивалентные евклидовой, могут быть введены на нерегулярных поверхностях весьма широкого класса. Рассмотрим следующий пример.

Пример 4. Пусть D – график локально липшицевой функции z = f (x, y), заданной над односвязной областью D R2. Cуществует гомеоморфизм T = ((x, y), (x, y)) : D U со свойствами:

1,2 1, T 1 Wloc (U ) T Wloc (D), (3) и такой, что в координатах (, ) метрика поверхности D имеет вид ds2 = 2 (, )(d 2 + d 2 ). (4) D 1, Здесь символом Wloc (A) обозначено множество функций, имеющих обоб щенные в смысле Соболева частные производные,, локально суммируе мые с квадратом в области A R2 ;

– некоторая измеримая функция такая, что 0 ess inf (, ) ess sup (, ) для любых U.

2.2 Поверхности В случае функций класса Lip(D) данное утверждение может быть получе но как следствие общих результатов о существовании решений комплексно го уравнения Бельтрами, подчиненного условию равномерной эллиптичности (см., например, главу 2 монографии И.Н. Векуа [12]). В случае локально лип шицевых функций необходимы небольшие дополнительные рассуждения.

Пусть D – график локально липшицевой в области D R2 функции z = f (x, y) и пусть ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = D (5) = (1 + fx2 ) dx2 + 2fx fy dx dy + (1 + fy2 ) dy индуцированная из R3 метрика на D.

Выберем произвольно точку a D, где f имеет полный дифференциал.

Функция f локально липшицева, а потому по теореме Радемахера имеет пол ный дифференциал почти всюду в D.

Квадратичная форма ds2 положительно определена, и бесконечно малая D окружность в метрике ds2 с центром в точке a есть бесконечно малый эллипс D в евклидовой метрике. Пусть (a), 0, и p(a), p 1, характеристики этого эллипса, т.е. угол между его наибольшей осью и осью 0x и отношение его большей оси к меньшей, соответственно.

Не трудно видеть, что fy (a) 1 + | f (a)|2.

(a) = + arctg, p(a) = 2 fx (a) Рассмотрим квазиконформное отображение T = ((x, y), (x, y)) области D в плоскость переменных (, ) с характеристиками, почти всюду в D сов падающими с (x, y) и p(x, y). Поскольку ess supD p(x, y) для произ вольной подобласти D D, такое отображение существует и определено с точностью до конформного отображения в (, )-плоскости (см. монографию П.П. Белинского [13]).

Известны следующие свойства квазиконформного отображения T : D R:

i) Отображение T (x, y) имеет полный дифференциал почти всюду в D и в каждой точке дифференцируемости преобразует бесконечно малый эллипс с характеристиками (x), p(x) в бесконечно малые круги §1, [13].

1, ii) Отображение T Wloc (D) (см. §4, [13]).

Рассмотрим образ U = T (D) области D при отображении T и обратное отображение T 1 (, ) = (x(, ), y(, )). Характеристика p(, ) обратного отображения T 1 : U D локально ограничена в области U (см. §1, [13]) 1, и, в силу свойства ii), отображение T 1 также принадлежит классу Wloc (U ).

Так что (3) действительно справедливо.

20 Зоны стагнации гармонических функций Положим z(, ) = f (x(, ), y(, )). Так как функция f локально липши 1, цева в D, то, в силу сказанного, функция x3 (, ) Wloc (U ).

Из ii) вытекает, что вектор-функция (, ) = (x(, ), y(, ), z(, )) : U R 1, также принадлежит классу Wloc (U ). Ясно, что (, ) имеет дифференциал почти всюду.

Вектор-функция : U D осуществляет взаимно-однозначное отобра жение области U = T (D) на поверхность D. Пусть a U – точка диффе ренцируемости. Обозначим через j : D D проекцию поверхности D на область D. Отображение : U D является композицией отображений j и T 1, а потому преобразует бесконечно малый круг с центром в точке a сна чала в бесконечно малый эллипс в (x, y)-плоскости (по свойству i)) и, далее, в бесконечно малый круг на поверхности D (по определению характеристики p(x, y)).

Тем самым, : U D конформно почти всюду и почти всюду на U обладает следующими свойствами:

=,, = 0. (6) Здесь символ.,. означает скалярное произведение в R3.

Легко видеть что, переменные (, ) являются изотермическими координа тами на D, а метрика (5) переписывается в виде (4). Элемент площади поверхности D с метрикой (1) подсчитывается по фор муле dD = A(x, y)B(x, y) dx dy. (7) Скалярный квадрат градиента функции f в метрике ds2 имеет вид D 12 fx + 2 fy2.

| Df | = A2 B С использованием (7) и (15) базисная вариационная проблема | D f | dD min (8) f D может быть переписана в виде E( f ) dx dy min.

f D Уравнение (9) описывает экстремальные функции в задаче (8) и называется уравнением Лапласа–Бельтрами в метрике (1).

2.3 Постановка краевой задачи Для произвольной локально липшицевой функции f : D R, мы обозна чаем через Db (f ) множество всех точек a D, в которых f не имеет полного дифференциала.

Ниже рассматриваются решения уравнения 1 f f A + = 0, =, (9) x x y y B где A и B – некоторые измеримые функции, подчиненные условию (2).

Данное уравнение мы интерпретируем как уравнение Лапласа-Бельтрами в метрике (1) с измеримыми коэффициентами A и B. В частности, это позво ляет рассматривать гармонические функции на графиках локально липши цевых функций и исследовать потоки на негладких поверхностях.

2.3 Постановка краевой задачи Пусть i : R R – локально липшицевы функции, i = 0, 1. Рассмотрим криволинейную полосу D = {(x, y) R2 : 0 (y) x 1 (y)}.

Положим i = {(x, y) R2 : i (y) = x}, i = 0, 1.

Для произвольных (, +) и t 0 пусть ( ) = {(x, y) D : y = }, D(t) = {(x, y) D : t y t}, i (t) = {(x, y) i : t y t}, i = 0, 1.

Зафиксируем 0. Пусть – произвольная подобласть области D(), удовлетворяющая условию (() 1 () ()) =. (10) Положим = \ 0. Зафиксируем непрерывную в D() \, локально липшицеву в D() \ функцию h : D() R так, чтобы 0 если (x, y), h(x, y) = (11) 1 если (x, y) () 1 () () и для всякого компактного множества Q D() \ было выполнено 0 ess inf | h(x, y)| ess sup | h(x, y)|. (12) (x,y)Q (x,y)Q 22 Зоны стагнации гармонических функций Для произвольного t (0, 1) обозначим через E(t) компоненту связности множества {(x, y) D : h(x, y) = t}, разделяющую в D() множества и () 1 () ().

Каждая дуга E(t) разбивает область D() на подобласти. Символом (t) мы обозначаем ту из подобластей, которая содержит.

Удобно пользоваться следующим определением обобщенного решения урав нения (9) с "естественным" граничным условием (14).

Определение 2.1. Локально липшицева в D() функция f называется обоб щенным решением уравнения (9) с граничным условием (14), если для про извольной ограниченной подобласти D(), D() 0 (), со спрям ляемой границей, mes1 ( Db (f )) = 0, и для произвольной функции Lip, mes1 b () = 0, выполнено x 1 fx + y fy dx dy = fy dx + 1 fx dy. (13) Мы предполагаем, что решение f = f (x, y) уравнения (9) удовлетворяет на 0 () следующему "естественному" граничному условию:

1 fx cos + fy sin = 0, (14) 0 () где – угол между внутренней нормалью к границе D() и осью ox.

На горизонтальных участках границы (), (), а также на 1 () ни каких априорных ограничений не предполагается.

Под решениями уравнения (9) с граничным условием (14) мы понимаем локально липшицевы функции, удовлетворяющие интегральному соотноше нию (13). Подчеркнем, что требование (13) в определении обобщенного реше ния не предполагает существования производных fx, fy (и даже предельных значений самой функции f ) на 0 (). Выполнение (13) для произвольной функции указанного в определении 2.1 вида означает обращение в нуль по тока градиента f через дугу 0 (). В гладком случае выполнение (13) влечет одновременное выполнение обоих соотношений (9) и (14).

Положим A E( f ) = 1 fx2 + fy2, = (15) B и I(t) = E( f ) dx dy.

(t) 2.4 Основная теорема 2.4 Основная теорема Следующе утверждение составляет основной результат данной работы.

Теорема. Пусть – подобласть D(), удовлетворяющая условию (10).

Пусть h : D() R – функция, подчиненная требованиям (11) и (12).

Зададим s 0. Предположим, что f – обобщенное решение уравнения (9) c граничным условием (14). Тогда, если для некоторого 0 выполнено dt 1 I(1) s exp 2 E( h) dx dy, (16) Q(t) ( )\ или существуют 0 t 1, для которых E( h) dx dy E( h) dx dy 2 (1 ) ( )\ D()\(t) (17) t dt s exp 2, Q(t) то область является s-зоной f.

Здесь 1/ hx A2 + hy2 B A2 dx2 + B 2 dy 2, Q(t) = E(t) = sup f inf f.

D() D() 2.5 Зоны стагнации мира-экономики В работах [1], [2] рассматривались задачи, в которых наряду с граничным условием (14) предполагалось выполнение аналогичного условия на дуге 1 ().

Было показано, что при выполнении некоторых ограничений на интеграл энергии решения и узость D(), области D(t) являются зонами стагнации.

Данная теорема указывает иные s-зоны. Эти зоны примыкают только к одному из вертикальных участков 0 () границы D(). По своим размерам такие s-зоны уже, однако вместе с тем, как несложно усмотреть из примера, приводимого в конце работы, могут быть и существенно длиннее, чем зоны стагнации D(t).

24 Зоны стагнации гармонических функций В случае, когда решение f описывает интенсивность товарообмена на том либо ином географическом пространстве, граничное условие (14) описыва ет линию, "пересекать которую как с той, так и с другой ее стороны быва ло выгодно с экономической точки зрения лишь в исключительных случа ях"(см. стр. 18-19 монографии [10]2 ). Указанная теорема дает (при надлежа щих ограничениях на выбираемую модель) оценки геометрических размеров зоны стагнации мира-экономики, примыкающей к этой линии.

ЛИТЕРАТУРА [1] В.М. Миклюков, Зоны стагнации решений уравнения Лапласа-Бельтра ми в длинных полосах, Математические Труды, т. 5, n. 1, 2002, 84-101.

[2] В.М. Миклюков, s-Зоны гармонических функций на узких и длинных лентах, в печати, 2003, 25 с.

[3] D. Gaier, Ermittlung des konformen Modulus von Vierecken mit Dierenzen methoden, Numer. Math., 1972, v. 19, 179-194.

[4] T.A. Driscoll, L.N. Trefethen, Schwarz-Christoel Mapping, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, 2002.

[5] R. Meniko and C. Zemach, Methods for numerical conformal mapping, J.

Comput. Phys., 1980, v. 36, 366-410.

[6] L.N. Trefethen, Numerical computation of the Schwarz - Christoel trans formation, SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1980, v. 1, 82-102.

[7] И. Пригожин, И. Стенгерс, Время, хаос, квант, М.: Эдиториал УРСС, 2001.

[8] В.И. Вернадский, Химическое строение биосферы Земли и ее окруже ния, М.: Наука, 2001.

[9] Г.П. Аксенов, Причина времени, М.: Эдиториал УРСС, 2001.

[10] Ф. Бродель, Время мира, Материальная цивилизация, экономика и капитализм. XV - XVII вв., т. 3, М.:Прогресс, 1992.

[11] И.Х. Сабитов, Двумерные многообразия с метриками вращения, Ма тем. сб., т. 191, n. 10, с. 87–104, 2000.

[12] И.Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, госуд. изд-во Физ. мат. лит., М., 1959.

Глубоко признателен А.И. Пигалеву, указавшему мне на эту книгу.

2.5 Зоны стагнации мира-экономики [13] П.П. Белинский, Общие свойства квазиконформных отображений. Но восибирск: "Наука", Сибирское отделение, 1974.

V.M. Miklyukov, Stagnation zones of harmonic functions in narrow and long domains Abstract. A stagnation zone (or s-zone) of a function is called a domain, on which the function is dierent from an identical constant lesser then s. In the lecture we bring sizes of some stagnation zones of harmonic functions on narrow and long bands. Attitudes with superslow processes in the gas dynamics, geology, economic geography are discussed.

26 Простейшая рыночная задача 3 Математические аспекты простейшей рыночной задачи, В.И.Пелих, 22 октября c В.И. Пелих, 22 октября Моделируется процесс оптимального управления ценой с информацион ным лагом. Обсуждаются возможности оптимизации функционала с запаз дыванием.

3.1 Формулировка рыночной задачи Предположим, что продавец-монополист располагает в момент времени t некоторым количеством товара p(t). Он устанавливает на него цену c(t), пла тит за хранение в единицу времени сумму µp(t) и за аренду торгового места. Таким образом, за период времени [0, tk ] выручка торговца составит вели чину tk V (tk ) = (pc(t) µp(t) )dt.

(1) Интуитивные действия продавца по оптимизации своих доходов таковы: в течение некоторого отрезка времени торговец продает товар по интуитив ной цене, затем он её меняет и течение такого же отрезка времени наблюдает за изменением скорости продаж. Ясно, что скорость продаж - это стохасти ческий процесс, поэтому сравнивать его траектории имеет смысл только в среднем. Продавец вычисляет среднюю скорость за период [2, ]:

(p(2 ) p( )) и за период [, 0]:

(p( ) p(0))), находит их разность = (2p( ) p(2 ) p(0)) и меняет цену товара в момент t = 0 в зависимости от знака. Повышает цену, если 0 и снижает если 0. Очевидно, существуют границы изменения цены 0 c c(t) c. Нижняя граница обусловолена затратами продавца, а верхняя - покупательной способностью рынка. Можно рекомен довать, например, такую стратегию cc c+c c(t) = arctan() +.

3.2 Строгая постановка задачи Эта функция всегда будет оставлять цену в нужных пределах и обеспечит необходимое качественное поведение, а скорость изменения цены можно ре гулировать положительным множителем. Ясно, что возможны и другие стратегии, но в любом случае, будем полагать, что существует два раза диф ференцируемая функция c(t) = m(p(t), p(t ), p(t 2 )). (2) При этом, величина "информационного" лага может быть различной, но всегда положительной.

3.2 Строгая постановка задачи Пусть на начальном множестве [2, 0] задана функция p(t) = f (t).Требуется найти максимум функционала (1) и момент окончания торговли tk такие, что p(tk ) = 0. Средством управления, как уже отмечалось, является цена, однако в силу (2) это средство можно исключить и управлять скоростью продаж.

Чисто математически эти задачи эквивалентны, хотя с экономической точки зрения такая замена может показаться противоестественной. Итак, продавцу предлагается решить такую задачу: Найти максимум по p и tk tk V (p) = (pm(p(t), p(t ), p(t 2 )) µp(t) ) (3) при условиях p(tk ) = 0, p(t) = f (t), t [2, 0]. (4) 3.3 Своеобразие вариационной задачи Если бы в функционале (3) не было запаздывающих аргументов, т.е. он был бы линеен по p в классическом смысле, то такая вариационная задача ре шения не имела бы. Однако, из-за наличия отклоняющихся аргументов всё не так очевидно. Для сокращения записи обозначим лагранжиан задачи (3) через L, его часть, не содержащую p, – через n(p). Производные функций n и m будем обозначать большими буквами с указанием номера аргумента, если их несколько, например, m(p(t), p(t ), p(t 2 )) M3 =.

p(t 2 ) 28 Простейшая рыночная задача Запишем вариацию функционала (3) с подвижным правым концом V = (L pm)|tk tk + [(N M2 · p(t ) M3 · p(t 2 )) · p(t) + M2 · p(t ) · p(t ) +M3 · p(t 2 ) · p(t 2 )] dt.

(5) Вариации p(t), p(t ), p(t2 ) не являются независимыми на промежутке [0, tk ], поэтому уберём сдвиги аргументов линейными заменами переменных:

tk tk M2 · p(t) · p(t )dt = M2 · p(t + ) · p(t)dt;

0 tk tk M3 · p(t) · p(t 2 )dt = M 2 · p(t + 2 ) · p(t)dt.

0 Здесь M = M (p(t + ), p(t), p(t )), а M = M (p(t + 2 ), p(t + ), p(t)).

Нижние пределы интегрирования остались неизменными потому, что p(t) = 0 на отрезке [2, 0]. Теперь представим интеграл из (5) в виде суммы трёх интегралов по неналегающим промежуткам:

tk [N M2 · p(t ) M3 · p(t 2 ) + M2 · p(t + ) + M 2 · p(t + 2 )] · p(t)dt+ tk + [N M2 · p(t ) M3 · p(t 2 ) + M2 · p(t + )] · p(t)dt+ tk tk + [N M2 · p(t ) M3 · p(t 2 )] · p(t)dt.

tk Пользуясь независимостью вариаций на различных отрезках и леммой Лагран жа, мы заключаем, что каждое подинтегральное выражение в квадратных скобках на интервалах своего определения обязано равняться в экстремаль ном случае нулю. Таким образом, вместо одного обыкновенного дифферен циального уравнения Эйлера в классической задаче, мы получаем три урав нения с отклоняющимися аргументами. Два первых уравнения содержат как запаздывание, так и упреждение. Сдвигом аргументов приведём эти уравне ния к каноническому виду уравнений с запаздыванием. Необходимые условия 3.4 Анализ разрешимости уравнений (6)-(10) экстремальности будут следующими:

N M2 · p(t 3 ) M3 · p(t 4 ) + M2 · p(t ) + M3 · p(t) = 0;

t [2, tk ];

(6) N M2 · p(t 2 ) M3 · p(t ) + M2 · p(t) = 0;

t [tk, tk ];

(7) N M2 · p(t ) M3 · p(t 2 ) = 0;

t [tk, tk ];

(8) (L pm)|tk = 0;

(9) p(tk ) = 0, p(t) = f (t), t [2, 0]. (10) Здесь N = N (p(t + )), N = N (p(t + 2 )).

3.4 Анализ разрешимости уравнений (6)-(10) Необычность полученной задачи состоит в том, что на промежутке [0, 2 ] нет никаких уравнений, зато на отрезке [tk, tk ] их сразу три. Тем не менее, ситуация не так безнадёжна. Предположим, что нам известны две функции p(t) = (t) на отрезке [0, ] и p(t) = (t) на отрезке [, 2 ].

В этом случае уравнение (6) превращается в алгебраическое относительно p(t) на отрезке [2, 3 ], т.к. все другие значения функции p(t) и её производ ных сдвинуты назад и выражаются через f (t), (t) и (t). Таким образом, методом шагов мы получаем цепочку алгебраических уравнений, формально позволяющих однозначно найти на отрезке [2, tk ] функцию p(t) = p(t,, ).

Подставляя это решение в (7) и (8), получим два алгебраических уравнения для отыскания функций (t) и (t).

Попутно мы можем сделать немного эпатажный "философский" вывод о том, что оптимальное настоящее зависит от будущего. Условие трансверсаль ности (9) позволяет найти значение tk, т.е. оптимальное время торговли. На чальное условие (10) уже удовлетворено и только равенство p(tk ) = 0 вообще говоря удовлетворить нечем. Повторяется классическая ситуация с линейным функционалом. Однако, если отказаться от равенства p(tk ) = 0 и в некоторый оконечный промежуток времени устроить "дешёвую распродажу", то зада ча перейдёт в класс вариационных задач с ломанной экстремалью и станет корректной.


V.I. Pelikh, Mathematical aspect of a simple marketing problem Abstract. The process of optimal price control with information lag is modelled.

The peculiarities of optimising the functional with delay are under discussion.

30 Российско Казахстанское приграничье 4 Российско-Казахстанское приграничье: природный, экономический и социальный потенциал, С.В. Голунов, 12 ноября c С.В. Голунов, 12 ноября В докладе подвергается анализу феномен границ между постсоветскими государствами, анализируется процесс их превращения из административ ных границ внутри одного государства в рубежи, разделяющие независимые страны.

4.1 Граница Граница между Россией и Казахстаном является уникальным, не имеющим аналогов политико-географическим феноменом евразийского и мирового мас штаба. По своей протяженности она является самой длинной в мире сплош ной сухопутной границей [1], к которой добавляется участок на Каспийском море. Ее огромная протяженность затрудняет ответ даже на, казалось бы, самый очевидный вопрос о ее длине в хотя бы относительно точном число вом выражении. Имеющиеся оценочные данные различаются между собой более чем на 1000 км. [1’]. Так, согласно оценке Федеральной пограничной службы РФ, эта протяженность составляет более 7500 км. [2];

сходные дан ные приводит Федеральная служба геодезии и картографии, в соответствии с которой общая длина составляет 7512,8 км., в том числе: на суше - 5936, км., на реках - 1516,7 км., на озерах - 60 км. [3] В то же время, данные ряда других источников существенно расходятся с упомянутой цифрой [4], что от части может быть объяснено различными оценками протяженности участка на Каспийском море.

В административно-территориальном плане к российско-казахстанской гра нице примыкают 12 регионов РФ: Астраханская, Волгоградская, Саратов ская, Самарская, Оренбургская, Челябинская, Курганская, Омская, Тюмен ская и Новосибирская области, а также Алтайский край и Республика Алтай.

Вопрос о том, считать ли пограничной Самарскую область, выходящую к границе на стыке Саратовской и Оренбургской областей, был официально решен положительно, и, хотя данные о протяженности самарского отрезка, по всей видимости, отсутствуют, созданная региональная структура ФПС осуществляет контроль над небольшим участком приграничной зоны протя женностью 5 км.

Упомянутые пограничные регионы РФ входят в состав четырех федераль ных округов: Южного, Приволжского, Уральского и Сибирского. Охрана границ в пределах этих субъектов РФ до 2004 г. была подведомственна трем региональным управлениям Федеральной пограничной службы РФ: Северо Кавказскому (Астраханская и Волгоградская области), Забайкальскому (Рес публика Алтай) и Юго-Восточному (все остальные регионы). В результа те проводимого в 2004-2005 реформирования Юго-Восточное региональное 4.2 Приграничный транспорт управление будет преобразовано в три региональных управления, зона ответ ственности которых соответствует Приволжскому (Саратовская, Самарская и Оренбургская области), Уральскому (Челябинская, Курганская и Тюмен ская области) и Сибирскому (Омская и Новосибирская области, Алтайский край и Республика Алтай) федеральным округам.

Приграничные регионы входят в зону ответственности четырех региональ ных таможенных управлений: Северо-Кавказского (Астраханская, Волгоград ская области), Поволжского (Саратовская, Самарская области), Уральского (Оренбургская, Челябинская, Курганская, Тюменская области) и Западно Сибирского (Омская, Новосибирская области, Алтайский край и Республика Алтай).

С казахстанской стороны к границе примыкают 7 областей из 14, а имен но, области Атырауская, Западно-Казахстанская (административный центр - Уральск), Актюбинская, Кустанайская, Северо-Казахстанская (Петропав ловск), Павлодарская и Восточно-Казахстанская (Усть-Каменогорск). В от личие от России, административно-территориальная система Казахстана яв ляется унитарной, что предоставляет центру возможность осуществления территориальных изменений посредством решений сверху. Это произошло, в частности, с Восточно-Казахстанской областью, укрупненной посредством присоединения к ней области Семипалатинской и с ранее примыкавшей к гра нице областью Кокчетавской, часть которой стала административным цен тром Акмолинской области, тогда как прилегающие к границе районы были переданы области Северо-Казахстанской.

4.2 Приграничный транспорт Явно преобладающая часть границы расположена в сходных ландшафтных условиях степной и полупустынной зоны в сочетании с малым количеством естественных препятствий. Пограничные реки, такие как Кигач (Астрахан ская область), Малый Узень (Саратовская область), Урал и Илек (Оренбург ская область), Уй (Челябинская и Курганская области), выполняют функцию рубежа на участках протяженностью не более 150 км.

Выраженной ландшафтной барьерностью обладают лишь часть участка Алтайского края и участок Республики Алтай. Оба они расположены в гор ной местности, что существенно затрудняет трансграничное сообщение. Имен но, в целом благоприятные для такого сообщения ландшафтные условия де лают российско-казахстанскую границу достаточно контактной в плане воз можности транспортного сообщения.

Ее пересекают 16 железнодорожных магистралей, примерно 200 автодорог.

Из последних 6 являются автомагистралями, являясь участками междуна родных автомобильных дорог СНГ. Кроме того, через границу проходят дорог с твердым покрытием, 33 - без покрытия, остальные - грунтовые, ко торые в плохих погодных условиях становятся труднопроходимыми [5]. Ко личество таких дорог с трудом поддается учету;

приводимые Федеральной пограничной службой данные отражают наличие далеко не всех дорог, изоб ражаемых даже на картах приграничных регионов, не говоря уже о картах местности.

32 Российско Казахстанское приграничье Строившаяся в советский период транспортная инфраструктура создава лась как единый комплекс, составляющие которого порою проектировались без учета административных границ между союзными республиками. Как результат, некоторые автомобильные и железные дороги на коротких участ ках пересекают теперь уже государственную границу, возвращаясь, затем, на территорию ’своей’ страны.

Тесно связаны между собою энергетические системы двух стран, после че тырехлетнего перерыва переведенные в 1996 г. в режим параллельной рабо ты. В ноябре 2003 г. была восстановлена высоковольтная линия Экибастуз Барнаул (которая была выведена из строя в 1996 г. и впоследствии приведе на в негодность нелегальными сборщиками металлолома), являющаяся ча стью трансконтинентальной линии Барнаул-Экибастуз-Кокчетав-Кустанай Челябинск.

В ряде случаев (особенно когда речь идет о железнодорожных магистра лях) такая взаимозависимость создает серьезные проблемы в плане зависи мости от сопредельной стороны транспортного сообщения между частями одного и того же государства, а также несовпадения ведомственной принад лежности таких участков с государственной.

4.3 Взаимозависимость систем Достаточно очевидно, что зависимость Казахстана от РФ в рассматриваемой сфере весьма велика: именно через Россию пролегают наиболее важные для страны международные пути сообщения западного направления. По россий ской территории проходят и участки железнодорожных магистралей, соеди няющих различные части казахстанской территории.

Так, сообщение между областными центрами Уральском и Актюбинском осуществляется через территорию Оренбургской области, проходящий по ко торой участок, включая станцию Илецк, принадлежит казахстанской компа нии ’Темiр жолы’. Таков же статус и участка, соединяющего Семипалатинск с Усть-Каменогорском (включая станцию Локоть), расположенного на тер ритории Алтайского края.

Через российскую же территорию осуществляется сообщение между северо восточной частью Казахстана, включая его столицу Астану, и северо-западными районами страны. Так, Южно-Уральская железная дорога девять раз пере секает границы Казахстана, в основном по территории Казахстана прохо дит, в частности, 74-километровый участок Оренбургского отделения Южно Уральской железной дороги Орск-Никельтау.

Главная ветка Транссибирской магистрали между Курганом и Омском на протяжении более чем 100 км идет по территории Северо-Казахстанской об ласти. Среднесибирская магистраль (от Челябинска через Костанай и Кок четав до Камня-на Оби) и Южный Транссиб (Магнитогорск - Астана - Пав лодар - Барнаул) пересекают от 700 до 1200 км территории северного Казах стана.

Единственная дублирующая ветка через Тюмень, которая идет только по территории России, пока не способна пропускать значительные грузопотоки.

Таким образом, внутрироссийский транзит в восточные регионы зависит от Казахстана.

4.4 Переговоры по делимитации границы В нескольких случаях сходные проблемы имеют место на локальном уровне.

Границу с Казахстаном пересекают проходящий по территории Оренбургской области участок Союзное-Домбаровский, а также расположенный в Челябин ской области участок Южно-Уральской железной дороги.

Дважды пересекает границу проходящая через Волгоградскую и Астра ханскую области железнодорожная магистраль, соединяющая прикаспийские регионы с центром России. Этот участок, в том числе и его казахстанские от резки, подведомственны российской Приволжской железной дороге.

В ряде случаев серьезную проблему создало несовпадение балансовой и территориальной принадлежности линий электропередач. Это вызвало се рьезные затруднения при проведении ремонтно-эксплуатационных работ, ис полнители которых вынуждены проходить таможенный досмотр и даже упла чивать пошлины. Для решения вопроса в 2003 г. была создана совместная комиссия [6].


В настоящее время обеими странами взят курс на уменьшение зависимости внутреннего транспортного сообщения от использования сопредельной тер ритории. Например, 9 сентября 2003 г. в Частоозерском районе Курганской области была введена в эксплуатацию дорога Макушино - Частоозерье - Бер дюжье (часть магистрали Макушино - Частоозерье - Бердюжье - Ишим, кото рая запланирована с выходом на автомобильную трассу федерального значе ния Тюмень - Ялуторовск - Ишим - Омск), что обеспечило выход на границу с Тюменской областью и сквозной проезд по дорогам с твердым покрыти ем в объезд Казахстана, проходящим которому 190-километровым участком важнейшей широтной магистрали ’Байкал’ ранее приходилось пользоваться российским перевозчикам.

4.4 Переговоры по делимитации границы Как будет более подробно рассмотрено далее, в ходе переговоров по делими тации границы российская сторона неоднократно выдвигала предложения о передаче ей (как правило, на условиях обмена) некоторых приграничных тер риторий Казахстана, через которые проходят железнодорожные пути внутри российского значения. Однако эти участки являются важной частью и казах станской транспортной инфраструктуры, обеспечивая сообщение между при граничными населенными пунктами РК. Поэтому такие предложения, также как и пожелания относительно изменения статуса подведомственных Казах стану участков железной дороги на российской территории, удовлетворялись не во всех случаях.

Со своей стороны, Казахстан, желая сократить зависимость своей транс портной инфраструктуры от сопредельной стороны, также предпринял ряд конкретных шагов в этом направлении. В конце 2000 г. был введен в эксплу атацию участок, соединивший Семипалатинск с Павлодаром, что позволило осуществлять сообщение между ними без использования территории Алтай ского края.

В планах казахстанской стороны строительство ветки, предназначенной для соединения напрямую Семипалатинска с Усть-Каменогорском. В этом случае коммуникационная зависимость всего Северо-Восточного Казахстана от России существенно уменьшится.

34 Российско Казахстанское приграничье С другой стороны, имеет место и тенденция развития новых трансгранич ных транспортных путей, призванных облегчить сообщение между пригра ничными территориями России и Казахстана. Даже Республика Алтай, име ющая наиболее барьерный участок границы, заинтересована в завершении строительства автодороги Карагай - Лениногорск, позволившей бы устано вить постоянное сообщение с Казахстаном.

Довольно широкомасштабные планы имеются у нижневолжских регионов - Астраханской и Волгоградской областей, - стремящихся к развитию связей с Атырауской областью Казахстана, которая является богатейшим нефте носным регионом страны и, к тому же, территорией, через которую прохо дят стратегически важная железнодорожная магистрали, соединяющая Юго Западную Россию с Центральной Азией.

Речь идет о довольно дорогостоящих проектах: в астраханском случае оцениваемом в 25-30 млн. долл. строительстве моста через пограничную реку Кигач, в волгоградском - о многократно более затратном проекте строитель ства второго моста через Волгу, обосновываемом во многом именно перспек тивами переориентации на регион транспортных потоков с центральноазиат ского направления.

Администрация Оренбургской области, имеющей наиболее тщательно про работанную программу приграничного сотрудничества, выступила с идеей со здания магистрали Москва-Азия на основе уже существующей дороги Орен бург - Соль-Илецк - Акбулак - Актюбинск [7].

4.5 Коммуникационная контактность Степень коммуникационной контактности региональных участков границы довольно существенно различается. Наименее контактны участки Республи ки Алтай (1 второстепенная автодорога) и Волгоградской области (5 вто ростепенных автодорог и одна железнодорожная магистраль, идущая вдоль приграничной зоны и несколько раз пересекающая границу), тогда как Тю менская область (по насыщенности трансграничными коммуникациями), Ом ская область (по качественному сопоставлению протяженности границы с упомянутой насыщенностью), Челябинская область и Алтайский край (по числу железных дорог) в рассматриваемом отношении, напротив, являются лидерами.

Было бы, однако, упрощением оценивать уровень контактности участка границы, основываясь, прежде всего на его ландшафтно-коммуникационном потенциале. Показателен пример Астраханской области, участок которой (как части Поволжья) российская исследовательница Н. Зубаревич, отнесла к ба рьерным, фактически основываясь именно на ландшафтно-коммуникационном критерии [8]. Между тем, Астраханская область, как будет показано в ниже, по качественным параметрам является одним из лидеров в сфере развития трансграничного сотрудничества с Казахстаном.

4.6 Потенциал трансграничного взаимодействия 4.6 Потенциал трансграничного взаимодействия Такая ситуация во многом объясняется тем, что при оценке потенциала транс граничного взаимодействия (как конструктивного, так и конфликтного) тре буется конкретный учет многих факторов, в числе которого ресурсная база, наличие, взаимосвязанность и возможности развития экономической инфра структуры, политический фон, практические шаги, предпринимаемые для развития такого сотрудничества официальными и другими структурами и т.п. Учет этих и ряда других факторов должен осуществляться в реальном времени с поправкой на вероятные изменения в будущем.

В числе долгосрочных факторов, влияющих на характер упомянутого вза имодействия, важную роль играет ресурсный потенциал приграничных тер риторий. Этот потенциал весьма значителен, включая такие ценные ресурсы, как нефть (Астраханская, Оренбургская области), рудные ископаемые (Орен бургская и Челябинская области, уголь (Алтайский край), лес (республика Алтай), сельскохозяйственная продукция (в первую очередь, зерно), продук ция животноводства (скот) и задействованные для ее производства террито рии (поля, пастбища), используемая для орошения вода.

Фактор наличия этих и других ресурсов способствует, с одной стороны, развитию трансграничного сотрудничества и сохранению сложившихся в со ветский период производственных и технологических связей (особенно в сфе рах машиностроения, добычи и переработки полезных ископаемых, энерге тики), с другой - благоприятствует нелегальной трансграничной активности (теневая торговля зерном, вырубка казахстанскими леса и т. п.) и становит ся камнем преткновения на переговорах по делимитации. Так, на астрахан ском участке предметом спора стали территории Каспийского шельфа, ост ров Укатный (месторождения нефти) и территории совхоза ’Родина’ (паст бища), на челябинском - территория Бускульского рудоуправления пос. Ог неупорный, на омском - несколько участков пахотных земель и т. п.

Даже после распада СССР и частичного разрыва сложившихся производ ственных связей сохраняется тесная взаимозависимость производственного комплекса приграничных территорий РФ и РК, особенно значительно прояв ляющаяся в уральской и сибирской зонах российско-казахстанского пригра ничья.

Такая взаимозависимость уже сама по себе говорит о достаточно высокой степень совместимости производственного потенциала приграничных регио нов. В западной зоне сырьевая ориентация казахстанских регионов с явно преобладающей долей ТЭК хорошо сочетается с развитостью машинострои тельного и металлообрабатывающего комплекса (в том числе производящего буровое оборудование и трубы) сопредельных российских областей, во мно гом обеспечивающих, к тому же, потребность казахстанских соседей в про дукции легкой и пищевой промышленности.

В северной зоне, как было отмечено выше, созданная в советский период структура промышленности подразумевает сохранение тесных трансгранич ных связей для обеспечения производственного цикла в сферах металлургии, машиностроения, топливной промышленности и других.

В то же время, сопоставление потенциала приграничных регионов с дру гими аналогичными показателями дает менее оптимистичную картину. Во 36 Российско Казахстанское приграничье первых, большинство примыкающих к границе субъектов РФ существенно превосходят в этом отношении своих казахстанских партнеров. Наиболее по казателен пример Тюменской области, ВРП которой к концу 1990-х гг. при мерно в полтора раза превосходил ВВП всего Казахстана [9].

Если не считать явного аутсайдера - Республику Алтай, - только самые слабые в рассматриваемом отношении российские пограничные регионы (в частности, Курганская область) сравнимы с соседями и даже по ключевым параметрам уступают таким сопредельным регионам, как Павлодарская и Восточно-Казахстанская области.

Еще разительнее в данном плане различаются приграничные регионы внут ри одной страны. Один из ’полюсов’, Тюменская область, превосходит, напри мер, по ВРП другой - Республику Алтай, - почти в 240 раз [10].

В целом, можно условно выделить 3 группы граничащих с Казахстаном субъектов РФ, обладающих, в сопоставлении по ВРП, высоким (Тюменская, Самарская, Челябинская), средним (Волгоградская, Оренбургская, Новоси бирская, Саратовская, Омская области, Алтайский край) и относительно низ ким (Астраханская, Курганская области) потенциалом [11].

По Казахстану картина несколько иная: по данным на начало 2003 г. сум марный ВРП семи граничащих с РФ областей Казахстана составил 43,1 про центов от общенационального [12]. Еще в 1995 г. данная цифра составляла 66,8 процентов [13], а в 1998 - 54,4 процентов. Это свидетельствует об умень шении доли северных и западных регионов в республиканской экономике, которая в советский период была полностью зависима от промышленного и сельскохозяйственного потенциала прилегающих к РФ территорий.

4.7 Другие инфраструктурные связи Инфраструктурные связи между Россией и Казахстаном не ограничиваются транспортной и производственной сферами. Определенное значение имеет, например, связь между объектами военной инфраструктуры в приграничной зоне.

Некоторые из этих объектов имеют ключевое значение в контексте разви тия военного сотрудничества, что можно иллюстрировать на примере распо ложенного в Астраханской области полигона Ашулук, на котором регулярно проводятся совместные учения сил ПВО СНГ.

В отдельных случаях части одного и того же объекта располагаются на территориях обоих государств, как это имеет место, в частности, в случае с полигоном Капустин Яр, относящийся к которому трассоизмерительный ком плекс государственного летно-испытательного центра и другие объекты ухо дит далеко вглубь Казахстана (2 млн. га территорий Атырауской и Западно Казахстанской областей) и, в соответствии с подписанными в 1995 г. согла шениями о разделе военного имущества, используется российской стороной на правах аренды.

Особенности инфраструктуры и экономического развития оказывают се рьезное влияние на происходящие в приграничье демографические процес сы. В граничащих с Казахстаном российских регионах проживает около млн. чел. [14], из которых более 3 млн. - в непосредственно прилегающих к границе административных районах [15].

4.7 Другие инфраструктурные связи Население северных и западных приграничных регионов Казахстана со ставляет 5,8 млн. чел., из них более 1,7 млн. - в непосредственно граничащих с РФ административных районах [16]. Демографические пропорции в непо средственно прилегающей к границе зоне можно считать, таким образом, со поставимыми, хотя соответствующий потенциал приграничных регионов по чти в пять раз различается в пользу России.

Наиболее соизмеримым в этом отношении является демографический по тенциал ряда северо-восточных участков, например, Алтайского края (2, млн. чел. [17]) с одной стороны и Восточно-Казахстанской области (1,5 млн.) [18].

Напротив, самый разительный контраст наблюдается на северо-западном участке, где с относительно слабонаселенной Западно-Казахстанской обла стью (630 тыс. чел.) имеют протяженные границы такие регионы, как Вол гоградская, Саратовская и Оренбургская область с суммарным населением около 7,6 млн. чел.

Другой северо-западный регион Казахстана - Актюбинская область ( тыс. чел.), - уступает единственному сопредельному субъекту РФ - области Оренбургской (2,2 млн. чел.), - более чем в три раза.

При этом выраженная демографическая барьерность (затрудняющая транс граничное взаимодействие ввиду слабой заселенности приграничных терри торий) характерна лишь для частей западного и восточного участков. В первом случае (приграничная зона, включающая территории, с одной сто роны, Астраханской и Волгоградской, с другой - Атырауской и Западно Казахстанской областей) сказывается ландшафтная и коммуникационная ба рьерность полупустынного Заволжья, во втором (зона, включающая часть приграничных территорий Алтайского края, Республики Алтай, а также Восточно Казахстанской области) - Горного Алтая.

Особенно сильна такая барьерность во втором случае, учитывая, что сред няя плотность населения в приграничных районах Республики Алтай состав ляет менее 1 чел. на кв. километр.

В целом, росссийско-казахстанское пограничье обладает огромными при родными, коммуникационными, экономическими, социальными и культурны ми ресурсами, тесно взаимосвязанными между собой. Огромная стратегиче ская важность границы и в дальнейшем будет определять ее ключевую роль в системе безопасности и трансграничного взаимодействия, включающей не только РФ и РК, но также постсоветское пространство, а в некоторых отно шениях и значительную часть всего евразийского континента.

Примечания:

[1] Большей протяженностью обладает лишь граница между США и Кана дой (8893 км.), но из них 2477 км. приходится на участок канадской границы с Аляской. См.: The World Factbook. Central Intelligence Agency, http:www.cia.gov/ factbook.html/ [1’] Прим. В.М. Миклюкова: Возможно, что эти различия являются след ствием сильной изрезанности границы, наличием у нее определенного числа ’выпуклостей’ и ’впадин’. В таком случае ’длина’ границы существенно зави сит от способа ее измерения. Подобные факты уже отмечались в математи 38 Российско Казахстанское приграничье ческой литературе, см., например, B.B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco, 1982. По-видимому, при указании ’длины’ гра ницы имеет смысл указывать также и способ ее измерения, а различия между результатами измерений могут характеризовать ’геометрическую сложность’ границы.

[2] Так, в конце 2001 г. оценочная цифра, фигурирующая в официальной информации ФПС, составляла 7598,6 км. См.: Эксперт. 2001, 17 декабря, с.

62.

[3] Федеральная пограничная служба Российской Федерации. Справочный материал о российско-казахстанских отношениях в пограничной сфере. Б.м., 2003.

[4] По данным ежегодно публикуемой страноведческой базы данных Цен трального разведывательного управления (Year Factbook) протяженность рос сийско - казахстанской границы составляет 6846 км. (см. The World Factbook.

Central Intelligence Agency, http: www.cia.gov/factbook.html/). Еще более скром ная цифра - 6477 км. - фигурирует в географическом разделе одного из попу лярных казахстанских информационных сайтов -/ http: www.kaz.newmail.ru/ HMAGEOGR.HTM/, что примерно соответствует официальной казахстан ской оценке.

[5] Рассчитано по: Человек и граница. Российско-Казахстанское приграни чье. Социальный паспорт и одномерные статистические распределения. Че лябинск, 2001, с. 6, 11, 14-16, 24, 29, 34, 43, 48;

а также по данным автора.

[6] Пора привести балансовую принадлежность ЛЭП в соответствие с гос границей - совещание энергетиков РК и РФ // Казинформ, http: www.kazaag.kz/ showarticle2.php?articleID=39853, 25.06.2003.

[7] Там же. С. 38.

[8] Зубаревич Н. Указ. соч. Вышеупомянутые и многие другие положе ния работы исследовательницы содержатся (с многочисленными дословными совпадениями) в работе профессора Уральской Академии государственной службы (г. Екатеринбург) В.П. Тимошенко. См.: Тимошенко В.П. Респуб лика Казахстан и Российская Федерация: грани взаимодействия// Границы безопасности:. С. 122-137. При этом ни один из авторов не ссылается на работы другого.

[9] См.: Зубаревич Н. Указ. соч.

[10] Рассчитано по: Энциклопедия СНГ. Выпуск "Регионы России". М., 2001, с. 209-235.

[11] Там же.

[12] Регионы Казахстана в 2002 году. Основные социально-экономические показатели (буклет). Алматы: Агентство Республики Казахстан по статисти ке, б.г.

[13] Рассчитано по: Региональный статежегодник Казахстана. Статистиче ский сборник 1995-1998. Алматы, 1999. С. 90, 150-151.

[14] По оценке на 1999 г. Рассчитано по: Энциклопедия СНГ.

[15] Муллаянов Р.Ш. Актуальные проблемы пограничной политики совре менной России. - Границы безопасности и безопасность границ. Челябинск, 2001. С. 44.

[16] Информация на 1 января 1998 г. Рассчитана по материалам сайта Brief 4.7 Другие инфраструктурные связи Research Group. http: www.brif.kz.

[17] Данные Всероссийской переписи населения 2002 г. См.: Государствен ный комитет РФ по статистике, http: www.gks.ru [18] То же;

Энциклопедия СНГ.

Sergey V. Golunov, Russian-Kazakhstan border: innate, economic and social potential Abstract. The presentation examines the phenomenon of post-Soviet borders, the process of their development from internal administrative lines.

40 Зоны стагнации гармонической функции 5 Зоны стагнации гармонической функции на поверхности и пред лиувиллевы теоремы, В.М. Миклюков, 10 декабря c В.М. Миклюков, 10 декабря Вводятся понятия зоны стагнации функции. Устанавливаются связи с пред лиувиллевыми теоремами. Указываются размеры некоторых зон стагнации, примыкающих к границе области. Обсуждаются вопросы приложений полу ченных результатов в экономической географии.

5.1 Зоны стагнации При течениях жидкости в тонких и длинных трубках возникают зоны стагна ции области, в которых потоки почти неподвижны. Если отношение длины трубки к ее диаметру велико, то потенциальная функция и функция тока почти неизменны на весьма протяженных участках. Ситуация кажется мало интересной, однако, если мы вспомним, что эти незначительные изменения происходят на сверхдлинных интервалах, то мы увидим здесь целую серию первоклассных задач, требующих разработки специальных математических методов.

Мы изучаем зоны стагнации идеальных потоков на поверхности. Такие области мы называем s-зонами.

Именно, следующее понятие является ключевым.

Пусть D R2 – область и u : D R – некоторая функция.

Определение.

Пусть s 0 – некоторое число. Подобласть D называется s-зоной (зоной стагнации) функции u, если существует постоянная C такая, что эта функция отличается (в каком-либо смысле) от C в не более, чем на s.

К примеру, sup |u(x) C| s x или, 1/p = |u(x) C|p u(x) C s.

Lp () Для всякой непрерывной функции f : D R и всякого s 0 каждая точка области D имеет окрестность, являющуюся sзоной. Нас будут инте ресовать только sзоны достаточно больших размеров. Такие sзоны могут служить препятствиями в вычислениях с ошибкой порядка s (к примеру, если этот порядок сравним с компьюторным нулем).

5.2 Области приложения Так, при вычислении с точностью до 105 гармонической функции в пря моугольнике D с нулевыми граничными данными на его длинных сторонах, s-зоны начинают возникать уже при характерном размере длина D 50.

ширина D Априорная информация относительно зон стагнации способствует более оптимальной организации вычислительного процесса за счет замены f соот ветствующими постоянными в sзонах. Иногда это делает возможным суще ственно сократить объем вычислений.

Близкие явления возникают в процессе приближенных вычислений кон формных отображений прямоугольников (D. Gaier, Ermittlung des konformen Modulus von Vierecken mit Dierenzenmethoden, Numer. Math., 1972, v. 19, 179-194;

L.N. Trefethen, Numerical computation of the Schwarz - Christoel transformation, SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1980, v. 1, 82-102 ).



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.