авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный университет Лаборатория сверхмедленных процессов Записки ...»

-- [ Страница 3 ] --

внешним для прежнего культурного проекта, каноном. На самом же деле это - типичная бифуркационная технология воздействия на культурный проект, что должно было породить и очередной тип национального характера. Новый культурный проект должен был обеспечить присоединение русской культуры к иной письменной традиции, которая считалась способной включить стра ну в некое общечеловеческое единство. Но это и есть задача Просвещения, которое на Западе, как известно, во многом осуществлялось руками масонов 84 Формирование национального характера и розенкрейцеров, использовавшими довольно специфические и, в основном, антиклерикальные технологии (см. об этом, в частности: Йейтс Ф. Розенкрей церское Просвещение. М., 1999). Как видим, в отечественной традиции меха низмы Просвещения были принципиально иными и вели к усилению церкви, а не к ее ослаблению. Тем самым и церковь, и государство, и народ - в идеале - должны были выйти за границы своего локального существования и начать служить вселенской (т.е. наднациональной) идее. Без денационализирован ной православной церкви и религиозной санкции на полиэтническую струк туру государства реформы царя Петра I были бы невозможны. Но именно эти реформы завершают формирование культурного проекта ”Россия как импе рия”. Примечательно, что он снова формируется ”сверху”, путем воздействия на прежний культурный проект, тогда как национальный характер должен лишь следовать за его изменениями. То, что требовалось от нового нацио нального характера, - не праведность, не созидание и не соборность. Даже воинственность в борьбе за ’правильную веру’ отходит на задний план. Глав ными добродетелями становятся господство и подчинение, поскольку высшей ценностью выступает государственная власть, ориентированная на ’мировые стандарты’. На самом же деле Россия начинает ориентироваться отнюдь не на вселенский универсализм с его ’мировыми стандартами’, а всего лишь на некую новую локальность - Запад. Таким образом, страна добровольно изби рает состояние ученичества и надолго подчиняется схеме ’догоняющего раз вития’. В итоге русская культура начинает незаметно для себя втягиваться в зону кризиса: наблюдается усиливающийся раскол между культурным про ектом и национальным характером, обнаружившим значительную инерцион ность и не пожелавшим следовать на ’европеизаторами’. Этот раскол породил прозападную элиту и ее особую часть - русскую интеллигенцию, отделившую себя от народа. Ее отличительной - и удивительной - особенность является то, что в массе своей она из поколения в поколения с удовольствием восприни мает и распространяет стереотип брезгливо-презрительного отношения к соб ственной национальной культуре. Существенно также, что патриарх Никон действовал ’сверху’, изменяя культурный проект, а царь Петр I - и ’сверху’, и ’снизу’, воздействуя и на национальный характер.

Ибо что такое, скажем, бритье бород и насильственное приучение к курению табака, как не бифур кационные технологии воздействия на национальный характер? Отрезвление наступило уже при царе Александре III, который, вероятно, первый из ди настии Романовых с пронзительной ясностью понял, что, несмотря на все усилия ’европеизации’, русская империя Западу совершенно не нужна. Более того, как цивилизованная и сильная держава она для него крайне опасна в качестве конкурента в борьбе за господство и ресурсы. Поэтому понятно, что со стороны Запада неизбежны долгосрочные меры с целью ослабления и рус ской государственности, и русской культуры. Впрочем, для осознания этого достаточно обычного житейского опыта, и удивительно, что понимание ре ального положения дел возникло так поздно. Как бы то ни было, в результате, похоже, возникает стремление возвратиться к первому культурному проекту в надежде ’войти в резонанс’ с остатками русского национального характе ра, соответствующего культурному проекту ’Русь как монастырь’. Однако, созидательного потенциала этого старого культурного проекта в новых усло виях оказалось явно недостаточно. Продолжающееся обострение кризисных 11.4 Национальный характер в современных условиях тенденций вполне закономерно привело к революциям 1917 г. и их следствию - ужасам гражданской войны. Анализ взаимосвязи культурного проекта и национального характера после большевистской революции еще ждет своего исследователя. Однако, уже предварительное рассмотрение показывает, что в течение десятилетий советской власти использовались фрагменты практи чески всех перечисленных культурных проектов, прежде чем сформировал ся тот тип национального характера, который получил название ’советский человек’. Следует также подчеркнуть, что, несмотря на множество критиче ских стрел, выпущенных в сам феномен ’советского человека’, его суть до сих пор остается все еще недостаточно понятой. Важно, однако, что он был, поскольку в противном случае совершенно непонятны были бы усилия За пада по разрушению и советского культурного проекта, и соответствующего ему национального характера.

11.4 Национальный характер в современных условиях Примененные в ходе этого разрушения бифуркационные технологии также имеют отношение к проблеме сверхмедленных процессов. Любопытно, что теория таких воздействий была сформулирована в иных терминах и задолго до утверждения синергетической парадигмы. Речь идет об идеях итальянско го мыслителя и политического деятеля А. Грамши, сформулировавшего уче ние о гегемонии. Его суть заключается в том, что всякая власть основывается не только на насилии, но и на согласии. Иными словами, те, над кем властву ют, должны быть согласны на то, чтобы над ними властвовали. Положение, когда достаточный для стабильности уровень согласия достигнут, и называ ется гегемонией. Следовательно, для подрыва власти проще всего разрушать не саму власть, а именно гегемонию. Характерно, что этот процесс называ ется молекулярной агрессией, поскольку он представляет собой невидимое сверхмедленное (’молекулярными’ порциями) изменение наиболее устойчи вых мнений и настроений каждого отдельного человека. Не менее характерно и то, что молекулярная агрессия направлена на так называемое ’культурное ядро’ общества, которое при ближайшем рассмотрении оказывается совпада ющим с ’национальным характером’. Об этом же свидетельствует и то, что, согласно А. Грамши, изменять нужно не теории, а полубессознательные или полностью бессознательные обыденные представления, незаметно внедрен ные через посредство идеологий. Но именно поэтому главным действующим лицом в установлении или разрушении гегемонии является интеллигенция.

Ведь именно она является производителем, распространителем и разрушите лем идеологий, и именно в ее массе следует искать точку бифуркации (пре словутое ’слабое звено’). Тогда получается, что именно на интеллигенцию в первую очередь и должна быть направлена молекулярная агрессия. (К сожа лению, работы А. Грамши, в которых излагается учение о гегемонии, не пе реведены на русский язык;

см. краткое изложение его идей: Кара-Мурза С.Г.

Манипуляция сознанием. М., 2001. С. 61-69). Нетрудно убедиться, что уче ние о гегемонии А. Грамши точно описывает те бифуркационные технологии разрушения национального характера, использование которых неоднократ но фиксировалось в новейшей истории разных стран (правда, к сожалению, лишь задним числом). В итоге войны становятся преимущественно культур 86 Формирование национального характера ными войнами, в которых центр тяжести смещается к так называемому ор ганизационному оружию, поскольку оно направлено на разрушение любых человеческих групп и объединений. Кроме того, современное состояние че ловечества характеризуется очевидным слиянием власти, денег и информа ции. И первое, и второе, и третье не вещественно и не персонифицировано, распределено в пространстве, но и первое и второе - особенно в своих вир туальных формах - может быть понято как информация, конвертируется в нее. Подлинный субъект и власти, и экономики в современном мире - тот, кто оперирует информацией. Культурные войны - это информационные войны, а они представляют собой войны смыслов. Поэтому нет ничего удивительного, что важнейшим элементом культурных войн оказывается разрушение смысла культурных проектов через посредство воздействия на национальный харак тер в качестве ’выученного’. Оно осуществляется через посредство сетевых информационных структур, которые, как правило, мимикрируют, принимая самые неожиданные облики. Понятно, почему эти структуры проявляют осо бый интерес к ’первому циклу’ формирования национального характера образованию. Ведь именно оно, собственно, и завершает превращение нацио нального характера, формирующегося с детства (т.е. в ходе ’нулевого цикла’), в ’выученный’. Таким образом, исследование бифуркационных технологий в образовании - первый шаг к пониманию не только способов разрушения на ционального характера, но и факторов его формирования.

A.I. Pigalev, Factors Forming National Character Abstract. The factors that determine the peculiarities and development of national character are analysed in the light of philosophy and sociology. It is emphasized that historical challenges inuence upon the basis patterns of culture which in its turn become matrix of the national character. Religion is also considered to be the important element of this matrix. The special goal of the paper consists in the exposition of the means that could change some aspects of national character.

It is shown that the slow changes of everydayness such as the so called ’molecular agression’ modify the set of traditional factors which create the uniqueness of national character in dierent civilizations.

12 Памятники и память: мемориальная функция архитектуры, А.И. Макаров, 8 декабря c А.И. Макаров, 8 декабря Обсуждается роль городской архитектуры в проблеме групповой идентич ности.

12.1 Архитектура и идентичность Тема этого доклада вращается вокруг проблемы групповой идентичности, проблемы коллективных структур памяти. Проблема памяти рассматрива ется нами как социокультурная проблема формирования, закрепления и пе редачи образов мира, обеспечивающих коллективную идентичность целому ряду сменяющих друг друга поколений, которые принято обозначать в обы денной речи словом народ. Нас будет интересовать тема коллективной памя ти в ее связи с задачей пространственно- материальной фиксации и передачи информации, способной связывать во времени человеческие сообщества. При этом мы рассмотрим лишь один вид таких материальных носителей соци альной информации - традиционное архитектурное наследие. "Традицион ное наследие", - термин, обозначающий совокупность материальных объек тов, которые обеспечивают поддержание устойчивого состояния той или иной культурной традиции. Другими словами, это - система вещей, являющаяся базовой подсистемой системы региональной, национальной, цивилизационной системы идентичности.

Монумент переводится с лат - ”памятник”. Интересно, что одним из значе ний латинского слова monumentum является значение "сетка улиц города".

Это видимо, и есть главное значение этого термина. Монумент - это "точка крепления коллективной памяти". Любая система власти опирается, в част ности, на систему монументальной скульптуры и мемориальной архитектуры, которая служит сетью, накинутой на территорию страны. Эта сеть органи зует постоянный поток сообщений о том, каково местом роль той или иной группы в ’нашей стране’, в ’нашем мире’. Благодаря ей (но конечно, не только ей) территория страны становится миром во всех смыслах: миром-как-общим пространством и в миром-как-общим временем, т.е. миром и пространством как- невоенным временем-пространством. Если выражаться древнеримскими метафорами, монументы - это фразы отеческой энциклики urbi et orbi (горо ду и миру)о том, на каких столпах, ценностях стоят Urbis и Orbis (Город и Мир).

12.2 Архитектура и власть Монументальность как качество архитектурного сооружения состоит в том, что его форма утверждает, осаждает в памяти такие образы действительно сти, которые способны активизировать глубинные мировоззренческие слои 88 Памятники и память культурной памяти. Так как монументы должны обеспечить сохранность системы культуры посредством сохранности своей формы, то перед созда телями монументов стоит особая задача: максимально замедлить процессы разрушения этих носителей. Причем задача консервации рассматривается и как задача прочности материалов, из которых создается тело монумента, так и как задача сохранения смысловой структуры сообщения, которую несет форма или дух монумента. Первую задачу призваны выполнить строители, вторую жрецы. Поэтому, например, архитектор - это и старший строитель и демиург-творец формы монумента. Он должен тот сегмент пространства и времени города, который является монументом, организовать так чтобы максимально замедлить бег времени мира.

Появление градостроительства и архитектуры связано было с попытками манипуляции пространством с целью фиксации и передачи будущим поколе ниям открытых жрецами-астролагами принципов гармонии космоса, способ ных удерживать людей от спонтанного насилия. Архитектура (в основе ко торой лежит градостроительная деятельность) в этом архаическом смысле, - это "машина"канализации спонтанного протекания психических актов со знания, и основанного на этой спонтанности бессмысленного насилия. Другая машина, выполняющая те же функции - это политическая власть, представ ленная, на поздних этапах истории, государством. Государство это система канализации насилия (не устранения насилия, а его распределения). Понят но, что машины власти сложнее и масштабнее архитектуры.

12.3 Власть архитектуры Однако ясно и то, что архитектура выполняет важнейшую для оформления власти функцию канализации психосоматических процессов визуального и тактильного восприятия мира. Другими словами эволюция архитектурных форм совпадает с эволюцией форм власти, будь то политическая, государ ственная или иная форма власти. Архитектура - это системный элемент идео логии как духовного феномена, в отличии от строительства - элемента систе мы жизнеобеспечения тела. Поэтому нужно отличать архитектурный аспект и строительный аспект архитектурного сооружения, будь то генплан города или отдельная статуя. В связи с вышесказанным дадим нужное нам опреде ление архитектуры. Архитектура - это набор строительных средств манипу ляции пространством, применяемых для сообщения потребителю о важней ших принципах устройства бытия. Так как картина мира того или другого архитектурного сообщество имеет этно-национальную специфику, то сообще ние о столпах мира всегда оказывается сообщением об устоях национальной культуры. Человечество нашло два способа решения задачи поддержания устойчивости культурных систем: консервация и дозированная трансформа ция. Этим двум способам соответствуют принцип канонизации и программи рования. В первом случае фиксируются все параметры традиционных форм, показавших свою эффективность в деле поддержания идентичности. Фикси руется это в виде канона - легитимных устойчивых формул. Канон может быть жестким, как в пластических искусствах Древнего Египта, может быть пластичным, как в классицизме. Но канон есть тогда, когда есть границы норм и ’эффект остановки времени’.

12.4 Эффектом остановленного времени и сверхбыстрые процессы 12.4 Эффектом остановленного времени и сверхбыстрые процессы ”Эффектом остановленного времени” мы называем субъективные ощущения воспринимающих архитектуру как визуальную среду, сохраняющую свою структуру (архитектонику) в неизменности, благодаря неким законам гар монии (например, ’золотого сечения’), которым вынуждены следовать архи текторы и строители всех времен. Неизменность числовые пропорций демон стрирует неподвластность времени и энтропии. И даже, когда теория модер на разрушила институт канона, то еще оставалось представление о том, что в архитектуре есть нечто неизменное, например, - функции архитектурного пространства, ’сращенные’ с пропорорциями человеческого тела. Однако со временная архитектура (постмодерн) все более и более перестает выполнять задачу организации максимальных длительностей, длинных волн в истории.

Поэтому если и можно говорить о сверхмедленных процессах на примерах со временной архитектуры, то только как побочном или остаточном фоне сверх быстрых процессов, инициированных теорией авангарда начала ХХ века.

A.I. Makarov, Memorials and memory: memorial function of architec ture Abstract. We discuss the part of urban architecture in the problem of group identity.

Иллюстрирующий пример к докладу А.И. Макарова ”Памятники и па мять: мемориальная функция архитектуры”, В.М. Миклюков Автор рассмативает памятники с точки зрения ”социокультурной пробле мы формирования, закрепления и передачи образов мира, обеспечивающих коллективную идентичность”. В этой связи небольшой пример, иллюстри рующий методы, используемые в этих целях другими народами. Хочу обра тить внимание на скульптурную композицию ”Материнская любовь” (Emil Cedercreutz ), установленную (1928) по предложению генерала Российской Империи и маршала Финляндии Маннергейма в одном из центральных скве ров города Хельсинки, непосредственно вблизи железнодорожного вокзала.

Пример, в котором ”закрепление и передача образов мира” осуществляется на языке, понятном для самых маленьких.

Скульптура изображает жеребенка, тянущегося к лошадиной груди за мо локом, и лошадь пытающуюся распознать ”свой или чужой” по запаху.

http://www.taidemuseo.hel./english/veisto/veistossivu.html?id= Было бы весьма поучительно организоваывать время от времени экскурсии к памятнику для наших высших бюрократов, оперирующих национальными ресурсами. Думаю, что открытие подобного туристического маршрута небез интересно также для других сограждан, традиционно привыкших считать ”своим” каждого, с кем прошлым вечером употребляли национальный напи ток.

90 Решения с особенностями 13 Размеры зон стагнации решений с особенностями, В.М. Миклюков, 22 декабря c В.М. Миклюков, 22 декабря Формулируются некоторые задачи о размерах зон стагнации решений с особенностями.

13.1 Постановка задачи Экономико – географическая трактовка зон стагнации с необходимостью вле чет постановку задачи о влиянии тех либо иных параметров на размеры и форму подобных зон. Прежде всего речь идет о параметрах, регулирование которых со стороны общества возможно и не требует черезмерной длитель ности, с тем, дабы его результаты могли быть прочувствованы населением в течение разумного времени. К числу таких регуляторов товарных потоков может быть отнесено, например, строительство (либо закрытие) на данной территории фабрик или заводов, новых пунктов перехода границы, увеличи вающих ее прозрачность и др.

Соответствующая математическая постановка проблемы состоит в кон струировании и исследовании подходящей математической модели, учиты вающей способы предполагаемого регулирования.

В качестве первого шага на пути создания такой математической модели мы предлагаем рассмотреть задачу о зонах стагнации решений уравнения Ла пласа – Бельтрами с изолированными особенностями, задаваемых в областях с границами достаточно общего вида. Ключевое место в данной задаче за нимает классическая формула Остроградского – Гаусса сведения контурного интеграла к объемному. Мы используем эту формулу применительно к обла стям с нерегулярными границами и локально липшицевым вектор-функциям.

Ниже излагается необходимый математический аппарат.

13.2 Приведенная граница Величина P (A) = inf lim inf j Hp1 (Dj ) называется периметром A. Здесь inmum берется по всем множествам Dj Rp таким, что множества Dj сходятся к A и каждое из Dj является гладким или полиэдральным.

В целях пояснить геометрический смысл периметра P (A) введем опреде ление. Пусть B(u, ) Rp – шар с центром в точке u A и радиусом 0.

Для произвольного единичного вектора n полагаем Bn (u, ) = B(u, ) {v Rp : n, v u 0}, + Bn (u, ) = B(u, ) \ Bn (u, ).

13.3 Формула Остроградского–Гаусса для липшицевых функций Единичный вектор n(u) называется аппроксимативной нормалью к A Rp в точке u A, если lim p Hp A Bn (u, ) = lim p Hp A Bn (u, ) = 0, + vp, 0 где vp = Hp (B(0, 1)). Если этот вектор не существует, то мы полагаем n(u) = 0.

Множество A = {u Rp : |n(u)| = 1} называется приведенной границей A. Ясно, что A A.

Теорема 13.1. Предположим, что A имеет конечный периметр в Rp. То гда A = Kk N, k= где Hp1 (N ) = 0, Kk есть компактное подмножество некоторой C 1 -гиперповерхности Sk и аппроксимативная нормаль n(u)|Sk есть нормаль к Sk (k = 1, 2...).

См. доказательство в раздел 5.7.3 монографии L.C. Evans и R.F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, Studies in Advanced Mathema tics, CRC PRESS, Boca Raton–New York–London–Tokio, 1992.

13.3 Формула Остроградского–Гаусса для липшицевых функций Следующее полезное для применений утверждение вытекает из результатов E. De Giorgi, Nuovi teoremi relativi alle musure (r 1)-dimensionale in un spazio ad r dimensioni. Ricerche di Mat., 4, 1955, p. 95-113, и H. Federer, A note on the Gauss–Green theorem. Proc. Amer. Math. Soc., 9, 1958, p. 447-451.

Теорема 13.2. Для всякого множества A Rp, P (A) = Hp1 ( A) Hp1 (A).

Теперь мы уже можем сформулировать необходимую далее формулу Остро градского – Гаусса.

Теорема 13.3. Пусть D Rp – ограниченная область с (Hp1, p 1) спрямляемой границей D. Тогда для всякого липшицевого векторного поля : D Rp выполнено, n dHp1.

div du1 · · · dup = D D Для доказательства см. теорему 7.7 в O. Martio, V.M. Miklyukov, and M. Vuorinen, Generalized Wiman and Arima theorems for n-subharmonic functi ons on cones, The Jounal of Geometric Analysis, v. 13, n. 4, 2003, 605-629.

92 Решения с особенностями 13.4 Особенности векторного поля Предположим, что в области D Rp задан набор изолированных точек A = (a1,..., aN ). Для произвольного i = 1,..., N и 0 (ai, D) мы полагаем, n dHp (ai, ) = S(ai,) и, далее, (ai ) = lim (ai, ).

Величины (ai ) характеризуют величины источников (стоков) векторного поля (x) в точках ai. Векторная величина (A) = ((a1 ),..., (aN )) может быть использована в качестве регулирующего параметра.

В областях указанного вида формула Остроградского – Гаусса принимает вид N p div du1 · · · dup =, n dH + (ai ).

i= D D\A Данная формула является ключевой в описанных ранее подходах к оценкам размеров зон стагнации для решений уравнения Лапласа – Бельтрами. Мы надеемся вернуться к таким оценкам несколько позже.

V.M. Miklyukov, Sizes of stagnation zones for solutions with singulari ties Abstract. We discuss some problems of stagnation zone sizes for solutions with singularities.

14 О разности функций с времениподобными графиками, А.Н. Кондрашов, 18 марта c А.Н. Кондрашов, 18 марта Изучаются свойства разности функций с времениподобными графиками.

14.1 Метрика Пусть Rn+1 (n + 1)-мерное пространство-время Минковского, т.е. линейное пространство, снабженное лоренцевой метрикой ds2 = dx2 + dx2 + · · · + dx2, (1) 0 1 n где (x0, x1,..., xn ) Rn+1. Положим x = (x1,..., xn ).

Всюду далее D Rn ограниченная область с кусочно-гладкой границей D.

График функции x0 = f (x) C 1 (D) в Rn+1 будем обозначать через f.

Метрика (1) индуцирует на нем первую квадратичную форму n ds2 = (ij fxi (x)fxj (x))dxi dxj. (2) f i,j= Всюду далее (·, ·) скалярное произведение векторов в метрике ds2, ·, · f стандартное евклидово скалярное произведение в Rn, а |·|2, · 2 соответ ствующие им скалярные квадраты;

Df = (fx1,..., fxn ) градиент функции f (x) в евклидовой метрике.

Поверхности класса C 1 в Rn+1, в зависимости от свойств первой квадра тичной формы, классифицируются следующим образом [1, глава 2, § 2.5].

Если форма невырождена и положительно определена, то поверхность назы вается пространственноподобной;

если невырождена и индефинитна вре мениподобной. В настоящей работе нас интереcуют только времениподобные графики и функции описывающие их.

График f Rn+1 функции x0 = f (x) времениподобен в точке x D если Df (x) 1.

14.2 Условия близости Отметим, что матрицы {Gij (x)} = {ij fxi (x)fxj (x)} и {Gij (x)} = {ij fxi (x)fxj (x)/( Df (x) 2 1)} взаимно обратны при Df = 1.

94 О разности функций Пусть h(x) C 1 (D). Величина n | h(x)|2 = Gij (x)hxi (x)hxj (x) = i,j= n fxi (x)fxj (x) = ij hxi (x)hxj (x) Df (x) 2 i,j= представляет собой скалярный квадрат градиента функции h(x) в метри ке (2).

Для пары функций f (x), g(x) C 1 (D) с времениподобными графиками будем рассматривать следующие условия:

2 Df (x), Dg(x) 1 + ( Df (x) 1)( Dg(x) 1), (3) и n Gij (x)hxi (x)hxj (x) 0 (h(x) = g(x) f (x)).

| h(x)| = (4) i,j= Эти условия характеризуют степень близости метрик ds2 и ds2, т.е. внут f g ренних геометрий графиков f и g. Можно показать, что условие (3) силь нее (4).

14.3 Единственность и принцип сравнения Если график f Rn+1 времениподобен, то его средняя кривизна равна (см., например, [2, глава 4, § 18, 19]) 1 Df (x) H(x) = div.

n Df (x) Пусть H(x, t) (x D, t R) невозрастающая по t функция. Будем рас сматривать следующее дифференциальное уравнение в частных производных Df (x) div = H(x, f (x)), x D. (5) Df (x) Заметим, что при H(x, t) 0 мы имеем уравнение минимальных поверх ностей в пространстве Минковского [3, глава 1, §1.5].

Будем предполагать, что граница области D представлена в виде D = E0 E1, (int (E0 E1 ) = ), допуская возможность E1 =, E0 = D.

Пусть в D заданы два решения (5) f (x) и g(x), удовлетворяющие на D краевым условиям () f (x) = g(x) на E0 ;

f g () n 2 = n на E1, где n внешняя нормаль к D.

Dg(x) 2 Df (x) 14.4 Эффект ”слипания” решений Будем обозначать через D(E0, f ) множество таких точек x D, что у любой непродолжаемой изотропной геодезической в метрике (2), проходящей через x, хотя бы один из концов лежит в E0.

Следующее утверждение есть теорема единственности для уравнения (5), в классе функций удовлетворяющих (3) и граничным условиям (), ().

Теорема 1. Пусть f (x), g(x) C 2 (D) решения уравнения (5), для ко торых выполнено (3) и краевые условия (), (). Тогда разность h(x) = g(x) f (x) удовлетворяет уравнению | h(x)|2 = 0, x D, (6) причем на множестве D(E0, f ) выполнено h(x) 0.

Отметим, что если E0 = D, E1 =, то D(E0, f ) = D.

Следующая теорема представляет собой принцип сравнения функций, удо влетворяющих условию (4) в односвязных областях.

Теорема 2. Пусть область D Rn односвязна, f (x), g(x) C 1 (D), и h(x) = g(x) f (x) C n (D). Пусть h(x) удовлетворяет условию (4). Тогда, если f (x) g(x) на D, то f (x) g(x) всюду в D.

14.4 Эффект ”слипания” решений Минимальные графики в Rn+1 описываются дифференциальным уравнени ем (5) при H(t, x) Df div = 0, (7) Df или, равносильным ему на функциях с Df (x) 1, n fxi fxj ij + fxi xj = 0. (8) 1 Df i,j= Уравнение (7) является квазилинейным, эллиптическим на своих решени ях [4, с. 240]. В то же время другая его форма записи (8), также квазилиней ного вида, имеет гиперболический тип на решениях. Сказанное дает основа ния полагать, что решения данного уравнения должны обладать свойствами присущими как уравнениям эллиптического (например, для них справедлив принцип максимума минимума), так и уравнениям гиперболического типа.

К последним относится эффект ”слипания” решений, т.е. совпадения различ ных (в целом) решений на подобластях.

Очевидно, всякая линейная функция g(x) = a0 + n ai xi, с | g(x)|2 = i= n a2 1 удовлетворяет (7). Следующий результат иллюстрирует свойство i=1 i ”слипания”, если одно из решений (7) линейная функция.

96 О разности функций Пусть D Rn область, n1 D гладкая, пространственноподобная n относительно метрики ds2 = (ij ai aj )dxi dxj, поверхность.

g i,j= Для всякого y = (y1,..., yn ) Rn введем обозначение n K(y) = {x : (ij ai aj )(xi yi )(xj yj ) = 0}.

i,j= Поверхность K(y) конус с вершиной в точке y.

Обозначим, через D(n1 ) D множество состоящее из n1 и точек y Rn, для которых n1 отсекает от одной из половин конуса K(y) конечную область, содержащую вершину y.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть f (x) C 2 -решение уравнения (7), заданное в D. Пусть на множестве n1 выполнены условия 1) f (x) = g(x), 2) f (x) = g(x) = (a1,..., an ). Тогда f (x) g(x) в D(n1 ).

ЛИТЕРАТУРА [1] Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985, 400 С.

[2] Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивисткой струны в фи зике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987, 176 С.

[3] Клячин В.А., Миклюков В.М. Трубки и ленты в пространстве-времени.

Волгоград, Изд-во ВолГУ, 2004, 326 С.

[4] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравне ния с частными производными второго порядка, М.: Наука, 1989.

A.N. Kondrashov, On dierence of functions with timelike graphs Abstract. Some properties of dierence of functions with timelike graphs are discussed.

15 Проблема сравнения качества веб-страниц, А.А. Клячин, 11 марта 2005, 25 марта c А.А. Клячин, В докладе обсуждаюся вопросы качественного анализа интернет-сайтов и определения количественных характеристик для возможности сравнения сайтов.

Различные способы сравнения веб-страниц используют, например, рейтин ги и поисковые системы для их сортировки. Главным образом, они ранжи руют сайты по некоторым количественным признакам – посещаемости, со ответствию запросу, индексу цитирования, последнему обновлению страниц сайта и т. д. В докладе мы приводим несколько примеров того, каким образом можно осуществлять качественный анализ сайта и даем собственную схему оценки качества сайта.

15.1 Конкурс интернет-сайтов Рассмотрим несколько примеров качественного и количественного сравнения сайтов. В начале остановимся на конкурсе интернет-сайтов "Электронный Волгоград", который проводится в трех классах: профессиональном, люби тельском и школьном. При этом оценка сайтов по каждой группе произво дится отдельно. В Положении о конкурсе определены номинации в каждом классе. Например, к профессиональному классу отнесены номинации: луч шие бизнес-сайты, лучшие IT -сайты, лучшие информационно-справочные сайты, лучшие некоммерческие сайты, лучшие образовательные сайты, луч шие спортивно-развлекательные сайты. Именно в профессиональном классе принимал участие в этом конкурсе сайт Волгоградского государственного университета в номинации лучший образовательный сайт и по итогам кон курса занимал 2-е и 1-е места в 2003 и 2004 годах.

Нас интересуют признаки, по которым определяются места участников и какие характеристики сайта при этом учитываются. Снова обратимся к примеру профессионального класса. Все участники (владельцы сайта или их представители), подавшие заявку, оценивают сайты других участников по той же номинации. При этом они обязаны результаты своей оценки представить по следующей форме:

98 Сравнение качества веб-страниц Название сайта URL сайта Место Баллы Комментарии 1.

2.

3.

...

N.

Отметим один существенный момент. По Положению все участники долж ны мотивировать свои оценки. При невыполнении этого условия каким либо участником все его заявленные сайты отстраняются от участия в Конкурсе.

Лучшими в каждой номинации (1, 2, 3 место) становятся сайты, набрав шие наименьшие средние баллы (сумма набранных сайтом баллов делится на количество присланных форм, в которых сайт был оценен).

Оценка участников по номинациям в любительском и школьном классах производится специально сформированным экспертным советом. Данный со вет формируется Оргкомитетом Конкурса по представлению владельцев сай тов, ставших победителями или призерами прошедших конкурсов. Каждый член экспертного совета оценивает сайты, представленные на конкурс, по де сятибальной системе. При этом он обязан учитывать следующие параметры:

- содержание (полнота и качество представления информации, ее акту альность и полезность для пользователя);

- навигация ("прозрачность"структуры сайта, доступность восприятия и удобство навигации);

- дизайн (стиль представления материалов, графического решения).

Лучшими в номинациях признаются сайты, набравшие наибольшее коли чество баллов по результатам голосования.

Если не вдаваться в детали, то схему оценивания сайтов в Конкурсе можно представить таким образом. Количество баллов kj, которое получает сайт j участника, равна среднему арифметическому баллов, которые ему поставят конкуренты:

N kj = kij, N i= где kij – оценка i-го участника (или эксперта), выставляемая сайту j-го участ ника, N – общее количество участников по одной номинации.

Отметим, что данный подход к качественной оценке сайта был бы более объективным, если бы в оценке принимали участие и его посетители. При чем, чем больше посетителей оставят свое мнение о ресурсе, тем объективнее 15.2 Схема оценки веб-сайтов оценка. Однако полностью полагаться на посетителя то же нельзя. Напри мер, пользователь может оказаться на вашем сайте случайно или, специально зайдя на сайт, преднамеренно занизить (завысить) его оценку.

Рассмотрим теперь способ количественной оценки веб-сайта. Например, можно определить его технические параметры: размер html-кода, количе ство картинок, суммарный объем графической информации, количество и суммарный размер подключенных файлов (css, js, ash), суммарный размер веб-странички и время ее загрузки, позиция сайта в поисковых системах и рейтингах, другая статистика, наличие программного кода и т. д. В насто ящее время в сети Интернет существует ряд сервисов, которые позволяют сравнить сайты по тем или иным формальным параметрам (например, см.

сервисы на Регионинфо). Пожалуй наиболее значимым из перечисленных ха рактеристик сайта являются его позиции в поисковых системах и рейтингах, а также статистика посещаемости. Во всяком случае, это точно относится к сайтам, содержащим интернет-рекламу, каталогам, информационным сай там, интернет-магазинам и т. д., то есть ко всем, кто заинтересован в привле чении большего числа посетителей.

Интересную методику вычисления КПД сайта дает группа компаний "АРБ Консалтинг", г. Челябинск. На основе определенной статистической инфор мации ими рассчитывается то количество потенциальных посетителей Ин тернета, которые увидят ссылку на ваш сайт. В частности, они используют позицию сайта в поисковых системах по определенным запросам, а так же ряд предположений относительно ”поведения” посетителей (например, 70% посетителей не идут дальше первой страницы с результатами поиска, не бо лее 90% их не заглядывает далее третьей страницы и т.д.) Нельзя говорить, что этот подсчет является точным, однако общую картину такой анализ сайта дает.

15.2 Схема оценки веб-сайтов На сегодняшний день существует довольно большое количество разнообраз ных компаний, дизайн-студий, которые предлагают различные услуги по про движению сайта: оптимизация содержимого страниц сайта для наиболее пол ного их соответствия ключевым запросам, улучшение внутренней ссылочной структуры, работа с внешними факторами, влияющими на ранжирование до кументов в выдаче поисковых систем.

Укажем схему оценивания веб-сайтов, которая, на наш взгляд, является наиболее полной и объективной. Следует отметить, что предложенная схема не предполагает качественного анализа самой информации, расположенной на сайте. С другой стороны, мы не принимаем во внимание так же и ’ви димость’ или ’доступность’ сайта в Интернете. Короче говоря, наш подход заключается в том, что-бы ответить на простой, казалось бы, вопрос – что и как должно располагаться на вашем сайте?

Итак, рассмотрим схему подробнее.

1. Цели и задачи. Определение целей создания сайта и задач, которые пред полагается с помощью него решать. Для уже имеющегося сайта выби рается тема или направление, по отношению к которой мы собираемся оценивать сайт.

100 Сравнение качества веб-страниц 2. Предполагаемые пользователи. На этом шаге очерчивается круг потен циальных пользователей сайта, исходя из. Пользователи разбиваются на группы или категории. Например, если мы имеем образовательный сайт, то пользователями могут быть – школьники, абитуриенты, студенты, ас пиранты, преподаватели, первокурсники, выпускники вуза, математики, физики, филологи, историки и т.д.

При этом, конкретный пользователь может подходить сразу ко многим категориям (например – аспирант и преподаватель, студент и матема тик).

3. Набор информации и услуг. Для каждой категории пользователей опре деляется совокупность информационных элементов и услуг, предостав ляемых для данного типа пользователя. Например, для выпускника вуза может быть полезной такая информация: вопросы к государственному эк замену, расписание экзаменов и консультаций, информация о вакансиях рабочих мест, перспективы дальнейшего обучения, наличие электронных версий конспекта лекций, тесты, позволяющие определить свой уровень подготовки и т. д.

Следует подчеркнуть, что приведенная схема оценивает только наличие или отсутствие нужной информации или определенных услуг, которые пред полагаемый пользователь старается найти на вашем сайте.

Доклад подготовлен на основе материалов, взятых с интернет-источников:

1. Сайт группы компаний ”АРБ-Консалтинг”: http://www.arbconsulting.ru/ 2. Регионинфо: http://www.regioninfo.ru/ 3. Конкурсы интернет-сайтов Волгограда: http//www.infovolga.ru/ A.A. Klyachin, Comparison Problem of Web Pages Abstract. Some questions of the comparison problem of web pages and their quantitative characteristics are discussed.

16 Апологетика юзера, В.М. Миклюков, 8 апреля c В.М. Миклюков, 8 апреля Обсуждаются проблемы обучения математике на математическом факуль тете университета.

16.1 Формы обучения и новые технологии Сознаюсь, я уже более 50 лет не открывал крышки часов и пользуюсь часами, не зная, что внутри. Только в далеком детстве я паял радиосхемы и с тех пор пользуюсь радио и телевизором, не зная в деталях как они работают. Уве рен, моя жена не знает до мелочей устройства швейной и стиральной машин, пылесоса, но успешно ими пользуется. Убежден, что большинство из чита телей пользуется стальным молотком, имея весьма смутные представления о процессе варки стали и не имея понятия о диаграмме Fe-C, а подавляющее большинство жителей Германии даже под пытками не вспомнят названий городов Новый Уренгой, Когалым, Тюмень, откуда к ним тянется газовая труба...

Современный мир это мир юзеров, без каких-либо комплексов пользую щихся достижениями цивилизации и самых современных технологий. Я буду сегодня говорить о юзерах реальных пользователях информационными технологиями, юзерах, которых наблюдаю давно вблизи и к которых при надлежу сам.

Главное отличие университетской от других форм обучения состоит в ее наитеснейшей связи с наукой. Ни выпускающая кафедра, ни факультет не имеют права на существование в качестве самостоятельного подразделения без наличия в данном подразделении серьезных научных исследований, соот ветствующих профилю обучения. В противном случае – как учить студента?

Не халтуря и не предоставляя фантики в качестве дипломов об окончании университета?

Напор шарлатанов и мошенников от образования так велик, что желая сохранить набор студентов и коллектив преподавателей, мы сами вынуждены иногда прогибаться под ним. Рать прохиндеев, возглавляемая дву-на-десятью академиками семи-на-семдесят академий требует, чтобы с ней считались и ее уважали...

Новые технологии меняют мир, а меняющийся мир ставит перед универси тетами проблемы анализа возможностей этих технологий в процессе исполь зования. Подчеркну, что именно использования, но не всегда обучения.

Несколько лет назад я был в США свидетелем того, как молодые девушки из Южной Америки (не помню из Перу или Чили) обращались к учительни це английского языка с просьбой посоветовать как правильно реагировать, 102 Апологетика юзера когда во время собеседования при приеме на работу босс вдруг издает непри личный звук и начинает распространять вокруг себя специфический запах.

Училка страшно возмутилась: "Это возмутительно! В этих корпорациях пол ное бескультурье!" Однако, на самом деле, это совсем не отдельные экстремальные случаи.

Девчушки столкнулись с одной из новейших (информационных) технологий, используемых кадровыми службами при найме на работу. Действительно, с точки зрения тестирования поведения потенциального сотрудника данный прием весьма эффективен, поскольку позволяет выяснить в кратчайшие сро ки возможные реакции сотрудника в будущем на ошибки или недостатки босса.

И я не уверен, что данная технология уже не освоена для подбора и рас становки кадров нашими ведущими корпорациями и что не следует на этом примере пояснять нашим студентам специфические издержки супервысокой заработной платы работников отдельных категорий.

16.2 Забыли о математике Как и ароматы восточных пряностей во времена Колумба, запахи заморского annulus’а возбуждают, завлекая молодых людей, не отягощенных достаточ ным опытом интеллектуальной работы и не обладающих знанием. В прин ципе здесь нет ничего плохого. С нашей стороны необходимо лишь понимать природу любопытства и попытаться использовать это любопытство в целях более эффективного обучения. Общий подход давно и хорошо известен вовлечение студентов в науку.

Не помню чье: "О если б знать нам из какого сора растут стихи, не ведая стыда..."

Ключевой вопрос какие задачи мы можем решать сами и предлагать нашим студентам в этой связи. Случай, в котором мы предлагаем студентам в качестве курсовой или дипломной работы задачу, далекую от наших научных интересов, я исключаю из рассмотрения, поскольку в этом случае студенты автоматически обречены на работу с устаревшей (и, возможно, намеренно искаженной) информацией.

Вместе с тем мы должны понимать, что в некоторых направлениях без надежно отстаем и вряд ли можем работать на равных. Да и стоит ли, к примеру, конкурировать с Малазией по сборке компьютеров из готовых де талей, если там по природно-климатическим условиям это можно делать в сарае, а в наших условиях необходимы фундаментальные строения, требую щие в зимних условиях еще и затрат на отопление. Так что, наша продукция автоматически будет дороже и менее конкурентноспособна на рынке.

Что касается работ более высокого интеллектуального уровня (к приме ру, создание программного продукта), то это возможно, но мы встречаемся с серьезной конкуренцией со стороны корпораций, уже давно занявших и освоивших эту нишу. Хочу пояснить, что я вовсе не призываю отказаться от попыток реализации серьезных коммерческих проектов, связанных с раз работкой программного продукта. Однако, там нас не ждут и иного места, кроме как ”у параши”, нам на ближайшие десятилетия не светит.

16.2 Забыли о математике Но ”... у собаки, что там сидит на деревянном сундуке, глаза каждый с Круглую башню. Вот это собака! Злющая-презлющая! Но ты ее не бой ся... ” выговаривает старая ведьма солдату в ”Огниво”, Ганса Христиана Андерсена.

Старейший вопрос, вынесенный еще Чернышевским в название книги, "Что делать?"Предлагаю ответить на этот вопрос формулой "Да здрав ствует юзер!", ибо в конечном счете спрос на те либо иные научные исследо вания определяется потребностями нескольких миллиардов юзеров.

Нам необходимо только предугадать, что именно будет востребовано ими лет через десять и учесть при этом, что сегодняшние потребности массы юзе ров определяются, во многом, прошлой и нынешней рекламой, развернутой корпорациями, заинтересованными в продвижении товара.

Непонимание значения рекламной составляющей в оценках потребностей продукта приводит иногда к анекдотическим ситуациям. Недавно на нашей кафедре я увидел объявление, призывающее записываться на изучение "Mic rosoft Power Point". В США подобные занятия проводятся со слушателями курсов английского языка и имеют свой целью продвижение программного продукта на рынки Африки и Латинской Америки... А это обращение к пре подавателям математики в государственном университете (не Островов Зе леного Мыса) России! России традиционно славящейся своим высочайшим научным уровнем в области математики. Вот вчерашняя информация о ”программистах, защищающих честь на шей страны в финале командного студенческого чемпионата мира по про граммированию в Шанхае, организованного Всемирной компьютерной ассо циацией (АСМ)”. Я зачитаю заметку из ”C-News”.

”К сожалению, программисты из Китая оказались сильнее россиян: именно им досталось первое место. Второе и третье места заняли российские коман ды: мехмат МГУ и ЛИТМО соответственно. Соревнования чемпионата мира АСМ являются наиболее престижными в мире интеллектуальными состяза ниями молодых программистов и имеют почти тридцатилетнюю историю.

Команды российских университетов принимают участие в этих соревнова ниях с 1996 года и являются одними из лидеров чемпионата. Они регулярно завоевывали в нем призовые места, а в 2000-2001 и 2004 гг. становились абсо лютными чемпионами. В этом году в числе соревнующихся были 11 россий ских команд и 1 команда из Белоруссии. Это наибольшее представительство региона на чемпионате, если учесть, что всего в нем участвует 70 команд из 32 регионов.

Во время соревнования команды, состоящие из трех участников, решают предложенные задачи (обычно 8-12 задач). Решением является программа (файл с исходным текстом), написанная на одном из разрешенных языков программирования - Pascal, C, C++, Java.” Алексей Сухарев, президент компании AURIGA, считает, что необходи мо создавать условия для развития кадров, в которых нуждается рынок.

Г-н Сухарев так прокомментировал результаты финала чемпионата мира по программированию: ”Мы все возлагали большие надежды на наших ребят, Кстати, все ли читатели умеют правильно носить памперсы? Если нет, то можно пред ложить трехмесячные курсы 350 у.е. с учетом НДС, оплата в руб., занятия по пятницам, 18:00 – 19:30.

104 Апологетика юзера особенно на команду мехмата МГУ, которая лидировала до последнего часа турнира. К сожалению, на последнем этапе у наших ребят что-то не сложи лось. И это, безусловно, огорчило всё российское сообщество программистов.” Вместе с тем, г-н Сухарев высказался за важность поддержки молодых специалистов: ”Традиционно наша компания уделяет значительное внимание работе с молодыми талантами технических факультетов МГУ, поскольку се годняшние студенты имеют все шансы стать будущим российского ИТ-рынка.

В ближайшие несколько лет Россия станет одним из лидеров глобального рынка аутсорсинга программных разработок именно благодаря талантливым программистам, способным решать нетривиальные задачи. Задача всех ком паний - лидеров рынка, а также Российской ассоциации разработчиков про граммного обеспечения РУССОФТ заключается в том, чтобы создать наибо лее благоприятные условия для развития будущих кадров отрасли, именно поэтому такое внимание уделяется международному чемпионату по програм мированию.” Замечательнейшаая и умнейшая позиция бизнеса. Но их поддержки на всех не хватит. Должна быть поддержка корпорации, к которой мы принад лежим. Но, вот, в положении о конкурсе ”Лучший исследователь” нашего университета вообще отсутствует математика. Имеются ”Естественные нау ки”, ”Гуманитарные науки”, ”Общественные науки”. Математики нет. Забыли нечаянно или это и есть та самая форма поддержки...? И это не ”голово тяпство со взломом”, разгулявшееся в стенах отдельно взятого университета – это, насколько я сумел выяснить, общая практика ”Министерства высших преобразований”.

Итак, ”лучший друг российских математиков” Жора Буш предлагает при встрече с нашим Президентом ”дружить домами”, ”поскольку в России такие сильные математики”, и в то же время, наш дорогой Минвуз делает попытки исключить из упоминания само слово ”математика”. Что же все это значит и нельзя ли выяснить имена министерских чиновников, являющихся членами студенческого сообщества Йельского университета ”Череп и Кости” ?

16.3 Наше предложение – подготовка экспертов Нам вряд ли стоит обижаться на такое обращение с высококлассными спе циалистами. Есть одна ведическая мудрость – если вы обидитесь, заболеете вы, а если не станете обижаться, заболеет тот, кто хотел вас обидеть.

Что же может соответствовать нашей подготовке и что именно мы можем развивать в настоящих условиях? Мое предложение экспертизы.

На семинаре уже рассказывал о своих разработках в экспертизе качества написания сайтов А.А. Клячин. Безусловно перспективны для применений разработки подходов к экспертизе компьютерных сетей, комплексов изда тельских программ, программ для изготовления шрифтов, символов и граф фити, баз данных и т.п.

Как человек "боящийся подойти к компьютеру"могу предложить в каче стве одного из направлений разработку принципов экспертизы нулевого уров ня экспертизы на уровне "чайника". Это могло бы включать, например, разработку следующих вопросов.

16.3 Наше предложение – подготовка экспертов Эксперт среди ”чайников” (знания и умения, основные навыки работы) Уровень безопасности компьютера для пользователя (и членов его семьи, включая детей, в случае, если компьютер находится дома).

Основные параметры компьютера:

модель, вес, частота, память, емкость диска, мониторы, клавиатура, принтеры и др.

Оптимизация покупки компьютера (по соотношению цена – параметры).

Составные части компьютера, их характеристики.

Возможности их замены.

Разборка и сборка компьютера.

Ремонт компьютера, оптимальные цены.

Хранение информации.

Основные принципы защиты информации.

Электронная почта.

Иные способы выхода в Интернет.

Защита от вируса.

Защита от спама и т.д.

Я ограничиваюсь здесь лишь кратким перечислением, поскольку подроб ный вопросник может занять несколько десятков страниц. Его составление задача весьма непростая и трудоемкая. Но имея такой вопросник, под держиваемый постоянно на необходимом научном уровне, можно было бы организовывать обучение студентов (в первую очередь, на факультетах гу манитарного профиля) с выдачей сертификатов от имени университета по результатам обучения.


Кроме того должны быть осмыслены возможности подготовки экспертов более высоких уровней. И это тоже требует наисерьезнейших научных иссле дований, связанных, в частности, с изучением реальных потребностей основ ной массы юзеров. В том числе и на перспективу.

Потребностей настоящих, а не надутых в уши чужой рекламой. Задача выяснения истинных потребностей, на мой взгляд, является научной пробле мой высшего порядка сложности, требующей разностороннего исследования (в частности, сверхмедленных) цивилизационных процессов. В общем, здесь мы входим в соприкосновение с самыми общезначимыми разделами науки.

Безусловно, здесь сразу же возникает вопрос как подойти к этой зада че? Не знаю как сейчас, но когда я был маленьким и еще не ходил в школу, 106 Апологетика юзера то на вопрос ”Как?” друзья отвечали: ”Как, как? Как накакал, так и смя кал!” 5 В студенчестве мы уже на подобный вопрос отвечали : ”Как? Думать надо!” и ссылались на знаменитый афоризм Козьмы Пруткова: ”Бросая в во ду камешки, смотри на круги, ими образованные. Иначе занятие твое будет бесполезным!” Сегодня на этот вопрос я бы ответил: ”Как? Вглядывайся в процессы, про исходящие в мире, и думай, думай! И будь готов к тому, что в отличие от тебя твои коллеги, вглядывающиеся не в мир, а в спину начальника, будут над тобой посмеиваться вот, мол, недоумок!” Я вовсе не призываю бросить все и переключиться на новые задачи. Это было бы крайне неправильно. Думаю, что правильно поступить это посту пить как А.А. Клячин защитить (докторскую) диссертацию, обеспечить свои тылы, а потом начинать развивать свою вторую научную тематику. И это тем более, что в отличие от программирования данная проблематика тре бует бльшего жизненного опыта, приходящего с возрастом. Не зря диссерта о ции по философии, истории, лингвистике и др. защищаются в более зрелом возрасте, чем по математике.

Вырастить в короткий срок преподавательские кадры, готовые к реализа ции данной программы задача непростая. Безусловно, здесь также требу ется содействие и помощь университета "в целом".

В перспективе следует думать о своем научном журнале, к примеру, под названием "Юзер" (я не знаю существует ли сейчас такой журнал). Быть может, сперва в электронной форме.

И наш математический факультет тогда, безусловно, сможет устоять под напором рати мошенников от образования.

V.M. Miklyukov, User apologial Abstract. We discuss some problems of mathematical education at Mathe matical Departments of Universities.

Тезис не требует пояснений. Было бы также целесообразно просить наших парламента риев внести в Уголовный Кодекс статью: ”Жри сам, паразит !” для применений в спектре правонарушителей от повара университетской столовой до министра – реформатора.

17 Зоны стагнации почти решений, В.М. Миклюков, 22 апреля c В.М. Миклюков, 22 апреля Исследуются зоны стагнации почти решений в n-мерных областях.

17.1 Почти решения Пусть D Rn – область и пусть w(x) : D R – измеримая по Лебегу функция такая, что для всякой подобласти D D выполнено 0 ess inf w(x) ess sup w(x). (1) D D Пусть A : D Rn Rn – отображение, удовлетворяющее следующим предположениям:

(i) для почти всех x D отображение Rn A(x, ) определено и непрерывно, (ii) отображение x D A(x, ) измеримо для всех Rn ;

(iii) для почти всех x D и всех Rn выполняются следующие струк турные ограничения:

µ1 w(x) ||p, A(x, ), (2) |A(x, )| µ2 w(x) ||p1, (3) где µ1, µ2 0 и p 1 – некоторые постоянные.

Удобно обозначить µ = µ2 /µ1. Ясно, что всегда µ 1.

Рассмотрим уравнение div A(x, h) = 0. (4) Будем говорить, что непрерывная функция h класса Wp,loc (D) является в D обобщенным решением уравнения (4), если для всякой непрерывной функции (x) Wq1 (D), 1/p + 1/q = 1 (при p = 1 величина q = ), с компактным носителем supp D выполнено:

, A(x, h) dx = 0, (5) D где dx = dx1... dxn – элемент объема.

Предположения (i) и (ii) гарантируют измеримость отображения x D A(x, g(x)) для произвольного измеримого на D векторного поля g. Пред положения (2), (3) говорят об эллиптичности (4) (детали см. раздел 3 в J. Heinonen, T. Kilpelinen and O. Martio, Nonlinear potential theory of degenera a te elliptic equations, Oxford: Clarendon Press. 1993. ). Обобщенные реше ния всевозможных уравнений описанного вида будем называть A-решениями.

108 Стагнация почти решений Множество A-решений содержит, в частности, класс p-гармони- ческих функ ций и при p = 2 гармонических. Отметим, что при определении A-решений в цитированной монографии предполагается, что p 1, и класс A-уравнений не содержит, к примеру, уравнения газовой динамики.

Фиксируем 0. Будем говорить, что непрерывная функция h класса Wp,loc (D) является почти решением уравнения (4), если для всякой непре рывной функции (x) Wq1 (D), 0 (x) 1, с компактным носителем supp D выполнено:

, A(x, h) dx. (6) D Величину 0 будем называть уклонением почти решения h.

В большинстве приложений дифференциальных уравнений в естествозна нии на самом деле мы имеем дело не с (идеальными) решениями, но с почти решениями. Ниже устанавливается, что при определенных условиях всякое A-решение с особенностями является почти решением. Даются оценки его уклонения.

Один из ключевых вопросов, возникающих при анализе перспективности приложений теории ”почти решений” в практических разработках это во прос об объеме информации, содержащихся в неравенствах вида (6) по срав нению с соотношениями (5). Мы проиллюстрируем содержательность нера венств (6) на примере стандартного принципа максимума – минимума.

17.2 Иллюстрирующий пример Итак, пусть D область в Rn, пусть h Wp,loc (D) C 0 (D) – почти решение уравнения (4), удовлетворяющего предположениям (2) (3) в D. Пусть его уклонение.

Пусть h|D 0. Предположим, что множество O = {x D : h(x) 0} не пусто. В силу условия h|D 0, имеем O D =.

Положим M = sup h(x).

xD Зафиксируем произвольно функцию Wp (D) со свойствами:

0 (x) 1, supp компакт. (7) 17.2 Иллюстрирующий пример Функция h(x) при x O, M h(x) = при x D \ O имеет носителем O, принадлежит классу Wp,loc (D) и удовлетворяет условию 0 h(x) 1.

Указанными свойствами обладает функция = p h причем ее носитель ком пактен и содержится в D. Тем самым, на основании (6), мы можем записать, A(x, h) dx.

D Так как p p = p h + h при x O, M и = 0 при x D \ O, отсюда находим p p1 |h| | h, A(x, h) dx p, A(x, h) | dx +.

M O O Пользуясь предположениями (2), (3), получаем µ p w(x) | h(x)|p dx pµ2 p1 w(x)| (x)| | h(x)|p1 dx +.

M O O Пусть p 1. В силу неравенства 1a p p (b)p/(p1), ab + a, b 0, p p где 0 – произвольная постоянная, данное соотношение переписываем в виде µ p w(x) | h(x)|p dx p/(p1) (p 1)µ2 p w(x)| h(x)|p dx+ M O O + p µ2 w(x) | (x)|p dx + O 110 Стагнация почти решений или, p w(x) | h(x)|p dx p/(p1) (p 1)µ M p w(x)| h(x)|p dx+ O O M + p µ M w(x) | (x)|p dx + µ O Выберем 0 столь малым, чтобы (p 1)M µ p/(p1) = 1/2. Тогда вы полнено M p w(x) | h(x)|p dx + 2 µ O (8) +2p1 µp M p (p 1)p1 w(x) | (x)|p dx.

O Пусть 0 r R. В частности, выбирая в (8) функцию 1 на {|x| r} O и 0 при {|x| R} O, приходим к соотношению M w(x)| h|p dx 2 + µ {|x|r}O +2p1 µp M p (p 1)p1 w(x) | (x)|p dx.

O{r|x|R} Если обозначить через w(x) | u|p dx, capp,w (A, L) = inf u|A 0, u|L 1, u D взвешенную p-емкость конденсатора (A, L;

D) и через w(x) | u|p dx O u C 1 (O) C 0 (O), p,w (O) = inf, u|O = 0, u p w(x) u dx O основную частоту порядка p 1 открытого множества O Rn, то в описан ных предположениях имеем w(x) hp (x) dx w(x) | h(x)|p dx, p,w (O) O O 17.3 Принцип максимума для почти решений и, в силу (8), мы получаем 1 M w(x) | h(x)|p dx + 2 µ (9) {|x|r}O +2p1 µp M p (p 1)p1 capp,w (Or, O \ OR ), где Ot = {|x| t} O.

Будем говорить, что неограниченная область D Rn является (p, w)-узкой в окрестности бесконечно удаленной точки Rn, если при всяком r 0 выпол нено lim capp,w (Dr, D \ DR ) = 0.

R 17.3 Принцип максимума для почти решений Мы приходим к следующей форме принципа максимума для почти решений.

Теорема 17.1. Пусть h – почти решение с уклонением 0 в области D Rn уравнения (4) с ограничениями (2) – (3), удовлетворяющее на гра нице области предположению h|D 0. Тогда либо h 0 всюду в D, либо для всякой функции Wp (D) со свойствами (7) выполнено (8) и, в част ности, если D ограничена или является узкой на бесконечности, то для любого r 0 выполнено 2M w(x) hp (x) dx. (10) µ1 p,w (O) {|x|r}O В случае, когда h есть обобщенное A-решение, т.е. уклонение = 0, мы имеем w(x) hp (x) dx = 0.

O Отсюда, h(x) 0, что противоречит предположению hD 0 и мы прихо дим к стандартной форме принципа максимума для A-гармонических функ ций. Другими словами, свойство (10) для почти решений представляет собой специальную форму обобщеного принципа максимума для A-гармонических функций.

Соотношение (10) дает оценку размеров открытого множества O = {x D : h(x) 0} и характеризует насколько почти решение h уравнения A гармонических в области D функций со свойствами:

h|D 0, max h(x) = M, xD отличается от 0 на нем.

112 Стагнация почти решений Величина p,w (O) не возрастает с расширением множества O и потому p,w (D) p,w (O).

17.4 Основной результат Пусть D Rn – область и u : D R – некоторая функция. Пусть s 0 – некоторое число. Подобласть D называется s-зоной (зоной стагнации) функции u, если существует постоянная C такая, что эта функция отличается (в каком-либо смысле) от C в не более, чем на s.

К примеру, можно положить sup |u(x) C| s x или 1/p = |u(x) C|p u(x) C s.

Lp () Соотношения (7), (10) служат также источниками оценок размеров обла стей стагнации почти решений h. Именно, имеет место Теорема 17.2. В условиях теоремы 17.1 выполнено 2M w(x) hp (x) dx. (11) µ1 p,w (D) O В частности, если величина 0 столь мала, что 2M s, µ1 p,w (D) то w(x) hp (x) dx s O и множество O является s-зоной.


V.M. Miklyukov, Stagnation zones of almost solutions Abstract. Stagnation zones of almost solutions on n-dimensional domains are investigated.

18 О статье А. Карбоне и М. Громова "Математические срезы молекулярной биологии", Ю.М. Перевозкина, 20 мая 2005 и др.

Institut des Hautes Etudes Scientiques 35, route de Chartes 91440 - Bures-sur-Yvette (France) Janvier 2001, 1- IHES/M/01/ c Ю.М. Перевозкина, Наследственная память и программа, управляющая ячейкой, кодируется в ДНК длинной цепью из 4 нуклеотидов - A, T, C, G. При этом слово ДНК в пределах хромосомы запутано, свернуто и пространственно организованно высоко структурированным способом, и, следовательно, функции долей ДНК зависят как от самой последовательности A, T, C, G, так и от пространствен ной её запутанности.

В реферируемой статье высказаны некоторые идеи относительно возмож ных направлений изучения жизнедеятельности клетки с точки зрения мате матики, и даны первоначальные определения и ”теоремы”.

К примеру, имеет место (стр. 43) следующая ”Теорема”. Рассмотрим случайный водоем воды (V = 10003 ), содер жащий химические составы, необходимые для жизни и избытка свободной энергии. Тогда с вероятностью P 1 1010 в водоёме содержится жизнь в одноклеточной форме.

Перечислим рассматриваемые группы вопросов6 :

"Crick’s dogma", "Static and dynamic structures": DNA, Crick-Watson complementarity, RNA, Proteins, Translations from mRNA to proteins, Metabolic pathways and genetic networks, Macromlecular ensembles, Taxonomic structures, "Scales and parameters", "Design and control of macromolecules in vitro": Ligase, DNA polymerase, Restriction enzyme EcoRI, Synthesis of polynucleotides, Polymerase Chain Reac tion (PCR), Sequencing, Molecular beacons, Microarrays, Recombinant techniques, 6 Ввиду неустоявшейся терминологии мы формулируем затрагиваемые вопросы на языке оригинала.

114 Математические срезы биологии "Formalizable structures": Complementarity and self-assembly, Compartment alisation, Homeostasis and replicative stability (с математической точки зре ния, устойчивость высоко организованных систем без копирования структур ных компонент соверщенно в духе ’Oceanus sapientissimus’ Станислава Ле ма), Information and amplication, Universality of production: translation and replication, Separation of energy scales, Specity of scales and numbers, "Modeles and problems": Hybridization (involution), Hybridization surfaces, Dynamics of hybridization, Complementary strands, Triple junctions, The moduli space of diagrams, Temperature, entropy and Gibbs measures, The road to equili brium, cleavage, ligation and emergence of stochastic symmetry, Toy DNA symme trization, Self - assembly (tilings, several tilings, qualities of an assembly), Program med design, Liposomes and minimal surfaces, Tilings, energies and variational equations, Minimal surfaces, Bending, curvature and multi-jets spaces, Comple mentary, anity and protein design, Design of antibodies, States, dynamisc and relaxation, Involutive dynamics, Reduced dynamics, Isoperimetry, Cheeger constant and the transition rate, Population states and population dynamics, Fibered measures, Parametric measures.

В заключение приведем цитату из Введения: ”В этой статье мы попробова ли передать математической аудитории наш энтузиазм к цитобиологии и био молекулярным методам. Несмотря на наше ограниченное (чтобы не сказать менее) знание ячейки, мы пробуем уплотнить картину в определённые утвер ждения, и не боимся высказать что-то не так. Мы надеемся, что читатель найдет эти высказывания достаточно развлекательными и провокативными”.

(A. Carbone, M. Gromov, ”Mathematical slices of molecular biology”, p. 2.) 19 К понятию нерегулярной абстрактной поверхности, В.М. Миклюков, 15 сентября c В.М. Миклюков, 15 сентября Обсуждаются способы введения абстрактной поверхности в случае, когда коэффициенты метрики разрывны, связи с поверхностями Нэша и Кейпера, физические интерпретации особых множеств.

19.1 Модуль и емкость на гладкой поверхности Пусть D – область в Rn и пусть n ds = gij (x) dxi dxj i,j= – квадратичная форма с непрерывными в D коэффициентами gij, i, j = 1,..., n, положительно определенная в каждой точке x D.

Положим g = det (gij ) и (g ij ) = (gij )1 – обратная матрица с кэффициен тами adj gij g ij = (i, j = 1,..., n).

g Пара = (D, ds2 ) называется абстрактной поверхностью.

Для произвольного семейства локально спрямляемых дуг (или кривых), лежащих в D, можно определить модуль в метрике поверхности n (x) g dx1... dxn mod = inf D n, inf (x) ds где точная нижняя грань берется по всем 0.

Пусть P, Q D – замкнутые относительно D, непересекающиеся множе ства. Если задана абстрактная поверхность, то можно определить емкость конденсатора (P, Q;

D) в метрике :

| |n cap (P, Q;

D) = inf g dx1... dxn, D 116 Абстрактная поверхность где точная нижняя грань берется по всем локально липшицевым в D функ циям таким, что |P = 0, Q = 1.

Модуль и емкость конденсатора, вообще говоря, совпадают (см.

B. Fuglede, Extremal length and functional completetion, Acta Math., v.98, n.3-4, 1957, 171-219, в случае евклидовой метрики, В.М. Миклюков, Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности, Матем. сб. 1979. т. 108.

n. 2, 268-289;

см. также сборн. статей "Научные школы Волгоградского госу дарственного ун-та. Геометрический анализ и его приложения", Волгоград, Изд-во ВолГУ, 1999, 22-51, – для римановой метрики и В.Г. Ткачев, А.Н. Ушаков, Теорема Фюгледе в финслеровых простран ствах, в "Теория потенциала", Киев, 1991, c. 15 – для финслеровой метрики).

Использование той или иной величины в исследовании диктуется, как пра вило, соображениями удобства. Так, емкость широко используется при иссле довании решений эволюционного уравнения f = f, t где есть дифференциальный оператор Лапласа – Бельтрами в метрике поверхности n n 1 g ij (x) = g.

g xi xj i=1 j= 19.2 Нерегулярные поверхности Для мотивировки нерегулярности:

С.К. Годунов, Е.И. Роменский, Элементы механики сплошных сред и за коны сохранения, Новосибирск: Научная книга, 1998 (дислокации + анизо тропность).

Д. Нэш, C 1 -изометричные вложения, в сб. переводов "Математика", т. 1, n, 2, 1957, 3-16.

Н.Х. Кейпер, О C 1 -изометричных вложениях, в сб. переводов "Математи ка", т. 1, n. 2, 1957, 17-28.

Пусть D Rn – область. Определим абстрактную поверхность над областью D. Поверхность будет задана, если для нее будут заданы элементы длин кривых и элемент площади.

19.2 Нерегулярные поверхности Обозначим через (D) множество всевозможных жордановых спрямляе мых дуг или кривых, лежащих в D. При этом, если имеет концевые точки, то они могут принадлежать границе D. Будем считать также, что на каждой из указано направление (в частности, от одной концевой точки к другой) и каждая из дуг задается в виде x = x(s) = (x1 (s),..., xn (s)) : (0, length ) D, где 0 s length – длина дуги, отсчитываемой от начальной точки x(0) до текущей точки x(s) в указанном вдоль направлении.

Предположим, что вдоль каждой из дуг (D) задана некоторая неот рицательная, измеримая по Лебегу, вещественнозначная функция µ (x). Со вокупность всех таких функций для семейства дуг (D) будем обозна чать символом M = {µ }.

Зафиксируем неотрицательную измеримую (по Лебегу) функцию : D R, заданную почти всюду в D.

Под абстрактной поверхностью далее будем понимать всякую тройку (D, M, ) описанного вида.

Величину ds = µ (x(s)) ds, 0 s length, (1) будем называть элементом длины дуги на, а величину d = (x) dx1... dxn (2) – элементом площади абстрактной поверхности.

Для произвольной пары точек x, x D полагаем length d (x, x ) = inf ds = inf µ (x(s)) ds, (3) где точная нижняя грань берется по всевозможным (ориентированным) ду гам (D), ведущим из точки x в точку x.

Так как плотность µ M зависит от направления на дуге, то, вообще говоря, d (x, x ) = d (x, x ).

Пример 1. Пусть D Rn – область. Для произвольной дуги (D) полагаем µ (x) 1. Выберем (x) 1.

Рассмотрим абстрактную поверхность = (D, 1, 1). Здесь расстояние d (x, x ) совпадает с точной нижней гранью длин дуг, соединяющих точки x, x в области D, и площадь измеримого подмножества A D подсчиты вается станартным образом Hn (E) = dx1... dxn.

E 118 Абстрактная поверхность Пример 2. Пусть – поверхность, задаваемая посредством локально липшицевого погруження f : D R2 Rm, m 3.

Для произвольной дуги (D) сужение f = f | локально липшицево и потому абсолютно непрерывно вдоль. Тем самым, определен элемент длины дуги (1), где 1/ dxi dxj µ (x) = gij (x) ds ds i,j= и f g11 =, x f f g12 = g21 =,, x1 x f g22 =.

x В качестве функции можно выбрать величину = g, g = g11 g22 g12.

19.3 Псевдометрика Функция d : D D R является псевдометрикой. Напомним необходимые понятия.

Пусть X – произвольное непустое множество и пусть p : X X R – функция, обладающая свойствами:

) p(x, x) = 0 и p(x, y) 0 при всех x, y X ;

) p(x, y) p(x, z) + p(z, y) при всех x, y, z X.

Пара (X, p) называется псевдометрическим пространством, а функция p – псевдометрикой. На множестве X мы вправе ввести топологию, ассоциированную с псевдо метрикой p, как топологию, определяемую системой окрестностей U (x) = {y X : p(x, y) }.

Заметим, что здесь мы не предполагаем выполнения симметрии псевдометрики p, то есть, в общем случае p(x, y) = p(y, x).

19.4 Финслерова метрика Тем самым, стандартным образом определяются предел функции f : X R в точке, ее непрерывность, равномерная непрерывность и т.п. К примеру, последовательность {xk }, k = 1, 2,..., является фундаментальной относи тельно псевдометрики p тогда и только тогда, когда для любого 0 най дется номер N () такой, что при n m N () выполнено p(xn, xm ).

19.4 Финслерова метрика Следующий пример абстрактной поверхности мы свяжем с финслеровыми метриками.

Пусть D Rn – область, P D – замкнутое относительно области D множество нулевой линейной меры H1 (P ) = 0. Пусть (x, ) – функция, определенная для всех x D \ P и всех Rn. Предположим, что подчи нена условиям:

a) (x, ) = (x, ) для всех 0, всех R2 и в каждой точке x D \ P;

b) c1 || (x, ) c2 ||, c1 (D ), c2 (D ) = const 0, почти всюду в каждой из подобластей D D;

c) в каждой точке x D \ P множество (x) = { Rn : (x, ) 1} является выпуклым.

Определим двойственную функцию H(x, ) = sup,, (x) где, есть скалярное произведение векторов и.

Положим h(x) = sup sup,.

||=1 (x,)= Несложно проверить, что функция H(x, ) обладает свойствами a), b), c).

Определим множество C(x) = { Rn : H(x, ) 1}.

В каждой точке x D \ P выполнено, (x, ) = sup (4) H(x,)=0 H(x, ) 120 Абстрактная поверхность (см. §15 монографии Р. Рокафеллера, Выпуклый анализ, Мир, М.: 1973).

В общем случае функция H(x, ) принимает на DRn значения из R. Бес конечные значения H(x, ) возникают в случаях, когда выпуклое множество (x) неограничено.

С другой стороны, несложно усмотреть, что множество (x) ограничено тогда и только тогда, когда h(x) +.

Пример 3. Пусть (e1, e2 ) – ортонормальный базис в R2 и (x, ) = | e1, |. Тогда (x) = { : | e1, | 1} = { R2 : |1 | 1}.

Здесь двойственная функция имеет вид |1 |, при 2 = H(x, ) = +, при 2 = 0, принимая бесконечные значения. Множество C(x) является открытым ин тервалом (1, 1) на оси O1. Функция h(x) +. Для произвольной пары точек x, y D полагаем d(x, y) = inf H((t), (t)) dt, (5) где точная нижняя грань берется по всем локально спрямляемым дугам :

[0, 1] D, для которых (0) = x, (1) = y.

Ясно, что, вообще говоря, величины d(x, y), d(y, x) не совпадают.

Круг B(x0, r) и окружность S(x0, r) в финслеровой метрике определяются стандартным образом:

B(x0, r) = {x D : d(x0, x) r}, S(x0, r) = {x D : d(x0, x) = r}.

Лемма. Функция d обладает свойствами ) и ) псевдометрики.

Доказательство. Выполнение условия ) очевидно. Покажем, что выпо ляется также и условие ). Пусть x, y, z D и пусть d(x, z), d(z, y).

Фиксируем произвольно 0. Найдем дуги i (t) : [0, 1] R, i = 1, 2, для которых 1 (0) = x, 1 (1) = z, H(1 (t), 1 (t)) dt d(x, z) + и 2 (0) = z, 2 (1) = y, H(2 (t), 2 (t)) dt d(z, y) +.

19.5 Модуль семейства кривых Положим при t [0, 1 ) 1 (2t) 3 (t) = 2 (2t 1) при t [ 2, 1].

Тогда d(x, y) H(3 (t), 3 (t)) dt = 1 = H(1 (t), 1 (t)) dt + H(2 (t), 2 (t)) dt 0 d(x, z) + d(z, y) +.

В силу произвола в выборе 0 приходим к аксиоме треугольника. В случае обращения в + одной из величин d(x, z), d(z, y) неравенство ) очевидно. Мы будем называть далее псевдометрику d вида (5) финслеровой псевдо метрикой.

В случае финслеровой псевдометрики в качестве квадрата элемента длины абстрактной поверхности можно положить ds2 = H 2 (x, dx).

Элемент площади в финслеровой псевдометрике выбирается неоднозначно.

Тем самым, выбор функции для в общем случае также неоднозначен.

В случае, когда H 1, т.е.

d(x, y) = inf | (t)| dt = inf |dx|, (6) метрику d(x, y) часто называют внутренней метрикой8 в области D.

19.5 Модуль семейства кривых Опишем важное для дальнейшего понятие модуля семейства дуг на абстракт ной поверхности. Пусть = (D, M, ) – абстрактная поверхность, заданная над областью D Rn.

или расстоянием Мазуркевича 122 Абстрактная поверхность Будем говорить, что локально ограниченная в существенном в D, измери мая по Лебегу функция 0 допустима для подсемейства дуг (D), если (x) ds 1 для всех.

Величина n d, mod = inf D где точная нижняя грань берется по всем допустимым для функциям, называется модулем семейства.

Часто вместо модуля семейства дуг используют величину, mod называемую экстремальной длиной семейства.

19.6 Емкость конденсатора Пусть P, Q D – замкнутые относительно области D Rn, непересекающи еся подмножества. Произвольную тройку (P, Q;

D) будем называть конден сатором. Определим емкость конденсатора (P, Q;

D).

Рассмотрим абстрактную поверхность = (D, M, ). Вдоль каждой из дуг (D) задана некоторая неотрицательная, измеримая по Лебегу функ ция µ (x) M. Будем говорить, что множество функций M согласовано в точке a D, если для всех кривых (D), проходящих через точку a в одном и том же направлении S(a, 1)9, значения µ (a) совпадают.

Предположим, что множество функций M согласовано почти всюду в об ласти D. Тем самым, для почти всех x D и всех направлений S(x, 1) определена неотрицательная функция H(x, ). Продолжим H по второй пе ременной на все пространство Rn, пользуясь правилом H(x, ) = H(x, ), = const 0.

Если каждое из множеств C(x) = {y Rn : H(x, ) = 1} выпукло, то почти всюду в D по правилу (4) может быть определена двойственная к H функция (x, ).

Емкостью конденсатора (P, Q;

D) на поверхности = (D, M, ) называ ется величина n (x, cap (P, Q;

D) = inf ) dx1... dxn, (7) D т.е. имеющих один и тот же касательный вектор в a 19.6 Емкость конденсатора где точная нижняя грань берется по всевозможным локально липшицевым в D функциям, |P = 0, |Q = 1.

Модулем конденсатора (P, Q;

D) называется модуль семейства дуг, ле жащих в D и соединяющих множества P и Q.

V.M. Miklyukov, On concept of non-regular

Abstract

surface Abstract. We discuss dierent ways of introducing an abstract surface in the case when coecients of its metric are discontinuous, connections with surfaces of Nash and Kuiper, physical interpretations of singular sets.

124 Теоремы типа Фрагмена – Линделефа 20 ”Слабая” форма теорем типа Фрагмена – Линделефа для разности решений уравнения газовой динамики, А.В. Кочетов, В.М. Миклюков, 24 сентября c А.В. Кочетов, В.М. Миклюков, Доказывается теорема типа Фрагмена – Линделефа для разности решений уравнения газовой динамики.

20.1 Подготовительные результаты a) Пусть D R2 область, D ее замыкание, D ее граница. Обозна чим через Lip D множество функций, удовлетворяющих условию Липшица |f (x ) f (x )| c |x x | на всяком компактном подмножестве K D с некоторой постоянной c, зависящей только от K и f. Символом Lip 0 D обозначим множество функций класса Lip D с компактными носителями supp f D. В соответствии с теоре мой Радемахера-Степанова [Fe, 3.1.6] функции класса Lip D имеют полный дифференциал почти всюду в области D.

Пусть µ(x) : D R измеримая функция такая, что для всякой подоб ласти D D выполнено 0 ess inf µ(x) ess sup µ(x). (1) xD xD Пусть A : D R2 R2 измеримая функция. Введем в рассмотрение неравенство 2 (Ai (x, ) Ai (x, )) µ(x) (Ai (x, ) Ai (x, ))(i i ). (2) i=1 i= Обозначим через A дифференциальный оператор, определяемый соотно шением d A[f ] = Ai (x, f ).

dxi i= Будем говорить, что функция f (x) класса Lip D является обобщенным суб решением (суперрешением) уравнения A[f ] = 0, если для любой неотрица тельной функции (x) Lip0 D выполнено xi Ai (x, f ) dx1 dx2 0 ( 0). (3) i= D 20.1 Подготовительные результаты Функция f (x) является обобщенным решением уравнения A[f ] = 0, если она одновременно суб - и суперрешение этого уравнения.

Пусть D R2 односвязная область, отличная от всей плоскости R2.

Обозначим через D ее пополнение простыми концами [Su, §3]. Фиксируем простой конец e0 D и непустое множество простых концов E D \ D, e0 E. Будем говорить, что функция h : D (0, ) класса Lip D является / функцией исчерпания области D, если она обладает свойствами:

(i) для всякой подобласти D D выполнено 0 ess inf | h(x)| ess sup | h(x)| ;

xD xD (ii) lim h(x) = 0, xE h(x) = + и lim xe0 xD xD 0 h(x) + при всех x D ;

(iii) множества уровня {x D : h(x) = t}, t 0, состоят из счетного числа простых жордановых дуг с концами на границе D.

Символом Et, 0 t, будем обозначать минимальную из совокупно стей компонент связности указанного множества уровня, разделяющую в D простой конец e0 и множество E.

b) Следующее утверждение является ключевым в работе.

Теорема 20.1. Пусть f1 (x1, x2 ) и f2 (x1, x2 ) локально липшицевы в обла сти D суб- и суперрешения уравнения A[f ] = 0, соответственно, и пусть для любой последовательности {an } точек D, не имеющей предельных n= точек в множестве простых концов E D, выполнено lim sup (f1 (an ) f2 (an )) 0. (4) n Предположим, что множество U = {x D : f1 (x) f2 (x) 0} не пусто и для почти всех x U имеет место неравенство (2) с = f1, = f2 и некоторой измеримой функцией µ(x), удовлетворяющей (1). Предположим, что + dt µ2 (x)M 2 (x) | h(x)| |dx| =, (5) 1 Et где обозначено M (x) = max{0, f1 (x) f2 (x)}.

Тогда A(x, f1 ) = A(x, f2 ) для почти всех x U. (6) Данное утверждение представляет собой одну из разновидностей "сла бых"теорем типа Фрагмена – Линделефа, обеспечивающую "слабый" рост разности f1 (x) f2 (x) в указанных предположениях. Под "сильным"ростом в альтернативе Фрагмена – Линделефа мы понимаем степенной рост в случае 126 Теоремы типа Фрагмена – Линделефа угла и экспоненциальный рост в случае полосы (см., например, [Ev, §6 главы VIII]).

Утверждения о сильном росте разности f1 (x) f2 (x) решений уравнения A[f ] = 0 справедливы, на наш взгляд, лишь при некоторых дополнительных специальных ограничениях на решения или их градиенты.

c) Отметим отдельные случаи данного утверждения. Рассмотрим сна чала полосообразные области достаточно общего вида. Именно, пусть D – область в D, задаваемая неравенствами 1 (x1 ) (x1 ) x2 (x1 ) + (x1 ) ( x1 ), 2 где (x1 ), (0) = 0, и (x1 ) 0 – непрерывные функции.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.