авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный университет Лаборатория сверхмедленных процессов Записки ...»

-- [ Страница 4 ] --

Точка x = 0 принадлежит области D. Мы выберем ее в качестве простого конца e0. В качестве множества E выберем простые концы, имеющие телами бесконечно удаленную точку плоскости R2, их ровно два. В качестве функции исчерпания функцию h = |x1 |. Тогда | h(x)| 1 при |x1 | 0 и множество уровня Et при t = 0 состоит из двух компонент связности – вертикальных отрезков {x = (x1, x2 ) D : x1 = ±t}. Легко видеть, что | h(x)| |dx| = (t), (t) = (t) + (t).

Et Таким образом, мы получаем Следствие 20.1. Пусть fk (x1, x2 ) (k = 1, 2) непрерывные в D решения уравнения A[f ] = 0 и пусть всюду на границе D выполнено f1 f2.

Предположим, что множество U = {x D : f1 (x) f2 (x) 0} не пусто и для почти всех x U имеет место неравенство (2) с = f1, = f и µ(x) 1. Предположим, что + M 2 (t) (t) =, dt где M (t) = max{0, f1 (x) f2 (x)}.

xEt Тогда для почти всех x U имеет место (6).

Заметим, что даже в "слабой" форме альтернативы Фрагмена – Линделе фа может присутствовать сколь угодно высокая скорость роста решения. Это может случиться, например, если в условиях следствия 20.1 функция 0, а функция (t) быстро растет при t.

d) Рассмотрим случай спиралеобразных областей вида:

D = {(r, ) R2 : 1 (r) 2 (r), 0 r }, 20.2 Уравнение газовой динамики где +, 0 r полярные координаты на плоскости и 1 (r), 2 (r) непрерывные монотонно возрастающие на [0, +) функции.

В качестве простого конца e0 выберем конец области D с телом в начале координат, в качестве множества E выберем простой конец с телом в беско нечно удаленной точке R2. В качестве функции исчерпания положим h = |x|.

Тогда | h| 1 и Et = {(r, ) R2 : 1 (t) 2 (t), r = t}, | h(x)| |dx| = 2 (t) 1 (t).

Et Здесь имеем Следствие 20.2. Пусть fk (x1, x2 ) (k = 1, 2) непрерывные в D решения уравнения A[f ] = 0 и пусть всюду на границе D выполнено f1 f2.

Предположим, что множество U = {x D : f1 (x) f2 (x) 0} не пусто и для почти всех x U имеет место неравенство (2) с = f1, = f и µ(x) 1. Предположим, что M 2 (t) (2 (t) 1 (t)) =, dt где M (t) = max{0, f1 (x) f2 (x)}.

xEt Тогда для почти всех x U имеет место (6).

20.2 Уравнение газовой динамики В качестве примера рассмотрим уравнение газовой динамики 1 2 A [f ] = div ((| f |) f (x)) = 0, (t) = 1 t. (7) Здесь постоянная, +, характеризующая поток субстанции.

Для различных значений это может быть поток газа, жидкости, пласти ка, электрического или химического полей в различных средах и т.п. (см, например, [LSh, §15 главы IV]).

Для предельного случая = 1 ± 0 мы полагаем exp | f | div f = 0.

128 Теоремы типа Фрагмена – Линделефа В случае = 1 уравнение (12) есть классическое уравнение минимальных поверхностей f div = 1 + | f | (газ Чаплыгина).

В предельном случае = уравнение (12) превращается в уравнение Лапласа.

В общем случае, когда функция переменных (x1, x2 ), решения урав нения (12) называются -гармоническими функциями. Подобные функции изучались во многих работах (см., например, [AN1], [Far]).

Положим = R2 при 1 и = R2 : ||, = при 1.

Будем говорить, что функция f (x) класса Lip D является обобщенным суб решением (суперрешением) уравнения (12), если f при x D и для любой неотрицательной функции (x) Lip0 D выполнено (3) с Ai = (| f |) fxi, i = 1, 2. (8) Введем в рассмотрение неравенство 2 ((||)i (||)i ) ((||)i (||)i ) (i i ),,. (9) i=1 i= Здесь = (1, 2 ), = (1, 2 ) и 0 постоянная, не зависящая от и.

Неравенство (9) есть специальный случай неравенства (2) при (8) и µ(x).

Обозначим через B () множество точек {(, ) :, }, удовлетворя ющих (9).

В [Kl] установлено, что B () = R4 для всех 1, 1, а также указаны двусторонние оценки множества B () для 1.

20.3 Основная теорема Сформулируем основной результат работы.

Теорема 20.2. Пусть f1 (x1, x2 ) и f2 (x1, x2 ) локально липшицевы в об ласти D супер- и субрешения уравнения (12), соответственно. Предполо жим, что для любой последовательности {an } точек D, не имеющей n= предельных точек в множестве простых концов E D, выполнено lim sup (f1 (an ) f2 (an )) 0.

n 20.3 Основная теорема i) Тогда, если 1, то либо f1 f2 всюду в области D, либо + 1 dt |dx| | fi | M (x) | h(x)| 2 +, i= 1 Et где обозначено M (x) = max{0, f1 (x) f2 (x)}.

ii) Если = 1, то либо f1 f2 всюду в области D, либо + dt M 2 (x) | h(x)| |dx|. (10) 1 Et iii) Пусть 1. Предположим, что множество U = {x D : f1 (x) f2 (x) 0} не пусто и для некоторого 1 выполнено соотношение ( f1, f2 ) B () для почти всех x U.

Предположим, что имеет место свойство (10). Тогда (| f1 |) f1 = (| f2 |) f2 для почти всех x U.

ЛИТЕРАТУРА [Fe] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, М.: Наука, 1987.

[LSh] М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат, Проблемы гидродинамики и их мате матические модели, М.: Наука, 1973.

[AN1] G. Alessandrini and V. Nesi, Univalent -harmonic mappings, Arch.

Ration. Mech. and Anal., v. 158, 155-171, 2001.

[Far] D. Faraco, Beltrami operators and microstructure, Academic dissertation, Depart. of Math., Faculty of Sci., University of Helsinki, Helsinki, 2002.

[Su] Г.Д. Суворов, Семейства плоских топологических отображений, СО АН СССР, Новосибирск, 1965.

[Ev] М.А. Евграфов, Аналитические функции, Наука, М.:1968.

[Mik] В.М. Миклюков, Об одном новом подходе к теории Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности, Матем. сб., 1979, т. 108(150), 268-289;

см. также сборн. статей "Научные школы Вол гоградского государственного ун-та. Геометрический анализ и его приложе ния", Волгоград, Изд-во ВолГУ, 1999, 22-51.

130 Теоремы типа Фрагмена – Линделефа [Kl] V.A. Klyachin, A.V. Kochetov, V.M. Miklyukov, Some elementary inequa lities in gas dynamics equation, Reports of the Department of Mathematics, University of Helsinki, Preprint 402, 2004, 26pp.

A.V. Kochetov, V.M. Miklyukov, "Weak"form of Phragmn – Lindelf e o type theorem for dierence of solutions of gas dynamics equation Abstract. A Phragmn – Lindelf type theorem for dierence of solutions of e o gas dynamics equation is presented.

21 Местное время, сверхмедленные процессы и зоны стагнации, В.М. Миклюков, 1 октября c В.М. Миклюков, 1 октября Рассматриваются проблемы, возникающие при анализе сверхмедленных про цессов в природных и социальных структурах.

21.1 Кстати, о времени ’ - Кстати, о времени. Не заметили ли вы, как ученый, что категория его изменилась: сегодняшняя минута, все так же состоящая из 60 секунд, стала как бы плотнее? Многие теперь жалуются, что успевают сделать за день гораздо меньше, чем прежде.

-Я бы сказал так: секунда осталась секундой, а минута – минутой. Но тут есть два аспекта. Первый: для людей старшего поколения время, действи тельно, как бы убыстряется. Так должно и быть, потому что у человека нет другого измерения деятельности, кроме собственной жизни. Каждый день он сравнивает с прожитыми им годами.

Много времени прошло или мало – по сравнению с чем? Со своей жизнью.

У трехлетнего ребенка день очень длинный по отношению к его трем годам. А у тридцатилетнего человека день уже другой, намного короче, по сравнению с его 30 годами. Поэтому в детстве время идет сравнительно медленно, а потом оно как бы все ускоряется.

Конечно, жизнь стала более интенсивной, темп ее ускоренным, и, есте ственно, та же минута стала намного насыщеннее. Например, раньше счита лось, что поехать в Америку – это почти на тот свет отправиться. Собираясь в эту страну, люди плакали, словно прощались на всю жизнь. А сейчас? Сел в самолет и через несколько часов ты – в США, снимаешь трубку и говоришь домашним: я уже прилетел. Ощущение времени и расстояния изменилось.

Планета как бы съежилась, и теперь вопрос только в деньгах, как попасть из одного земного полушария в другое. Для Колумба или для людей вре мен Пушкина такие передвижения в столь короткие сроки были немыслимы.

Словом, все стало доступно, ощущение каких-то бесконечных далей ушло. Не осталось как бы стран, в которые нужно было бы долго и опасно добираться.

Техника многое дала человеку, но, наверное, не сочтете меня ретроградом, многого и лишила его.’ (Б. Раушенбах, Я не жду последнего часа, из интер вью, http://www.newsweekly.ru/person/article.shtml?2005/04/25/314.) ’Абсолютное время различается в астрономии от обыденного солнечного времени уравнением времени. Ибо естественные солнечные сутки, принимае мые обычно за равные для измерения времени, на самом деле между собою не 132 Сверхмедленные процессы и зоны стагнации равны. Это неравенство и исправляется астрономами, чтобы при измерени ях движений небесных светил применять более правильное время. Возмож но, что не существует такого равномерного движения, которым время мог ло бы измеряться с совершенной точностью. Все движения могут ускорять ся или замедляться, течение же абсолютного времени измениться не может.

Длительность или продолжительность существования вещей одна и та же, быстры ли движения (по которым измеряется время), медленны ли или их совсем нет, поэтому она надлежащим образом и отличается от своей доступ ной чувствам меры, будучи из нее выводимой при помощи астрономического уравнения. Необходимость этого уравнения обнаруживается как опытами с часами, снабженными маятниками, так и по затмениям спутников Юпите ра.’ (И. Ньютон, Математические начала натуральной философии, М., 1989, стр. 31) 21.2 Геологическое время ’Если в физических механических закономерностях, согласно указанию и предписанию Ньютона, не содержится причины времени или длительности, то в естественных земных процессах причина где-то как раз и крылась. Сам принцип актуализма, или униформизма, зиждился на представлении о соб ственных геологических процессах, которые, не ускоряясь и не замедляясь, идут в одном темпе, и не обороты планеты вокруг Солнца и не вращение ее вокруг своей оси диктуют их продолжительность, а внутренние события на ее поверхности и в ближайших недрах. Этот темп и есть время. Медлен но накапливаются речные сносы и осадки на дне океана, дно поднимается, возникают отмели, затем они становятся сушей, она в результате действия подземных сил сминается, вспучивается, вздыбливается, растут горы, кото рые под действием вод и ветра снова разрушаются и в виде речных сносов и пыли отправляются в обратный путь на дно морей. Этих вековечных од нообразных событий необходимо и достаточно для всех изменений в разных частях планеты. Законы неизменны, и не нужно умножать сущности и искать ’скрытые субстанции’.

... Незаметные в течение человеческой жизни сдвиги в окружающем релье фе должны были привести к грандиозным изменениям до неузнаваемости.’ (Г.П. Аксенов, Причина времени, М.: Эдиториал УРСС, 2001, 89-90.) ’Воображение утомлялось и изнемогало от усилий постигнуть всю громад ность времени, потребного для уничтожения целых материкрв таким нечув ствительным процессом;

ум, блуждая в нескончаемых периодах, не находил себе места отдохновения в далеком прошлом. Древнейшие горные породы представлялись породами производными, происходившими из предшествую щих серий, которые в свою очередь, быть может, произошли от других до них существовавших. Такой взгляд на громадность прошедших времен, по добно взгляду Ньютона на пространство, был слишком обширен, и не мог вызвать идеи о величии без примеси тягостного сознания нашей неспособно сти постигнуть цель такого бесконечного пространства-времени.’ (Ч. Лайель, Основные начала геологии, т. 1, М., 1866, стр. 58.) 21.3 Пространство-время живого организма 21.3 Пространство-время живого организма ’... наш разум не может охватить полного смысла, связанного с выражением ’миллион лет’;

он не может подвести итог и усмотреть конечный результат многочисленным незначительным изменениям, накоплявшимся в течение по чти безграничного числа поколений’ (Ч. Дарвин, Зоологические работы. Гео логические работы, Соч. т. 2, М.-Л., 1936, стр. 660.) ’Изучать живой организм только как пространственное тело, не учитывая в нем одновременного проявления времени, натуралист не имеет возможности, к сожалению, сознательно он это не подчеркивает. В случае всякого живого вещества, будь то многоклеточное живое вещество – секвойя или слон, или одноклеточный, невидимый глазом мельчайший организм – бактерия, инфу зория или гриб, натуралист имеет дело с его телом или с совокупностью его тел, не с пространством, а с пространством-временем.

Это пространство-время не есть то пространство-время, которое характе ризуется временем как четвертым измерением трехмерного эвклидова про странства - времени. Оно не отвечает и эйнштейнову пространству четырех измерений.

Это реальное пространство-время, которое выявляется симметрией живо го вещества, резко отличной от симметрии косных природных тел. Это есть единственный случай, когда натуралист в окружающей его природе реально сталкивается с пространством - временем, а не с пространством только.

Выражается в живой природе это в том, что во всех организмах мы сталки ваемся со сменой поколений, причем для одноклеточных организмов можно поднимать реально вопрос об их бессмертии, т.е. они могут погибнуть только от случая, а в природных условиях клетка может сохраняться неопределенно долгое время, так как одна клетка, дробясь, не имеет конца. Эти организмы не имеют возраста, не стареют.

Физически совершенно ясно, что время, выражающееся в биогеохимии сме ной поколений, входит в свойства живого вещества в такой степени, в какой оно не входит ни в какое другое явление на нашей планете. Для живого орга низма, всякого без исключения, мы не можем говорить только о пространстве, но всегда должны говорить о пространстве-времени. Для многоклеточных ор ганизмов оно проявляется в действительности всегда в смерти, в старении и в смене поколений.

Чрезвычайно характерно то основное различие, которое проявляется в жи вых организмах, одноклеточных и многоклеточных. Здесь резко проявляется то физическое их различие, которое указывалось раньше и которое связано с проявлением в их жизни всемирного тяготения. Бактерия или инфузория живет в мире, где наряду с тяготением, иногда противоречиво ему, прояв ляются молекулярные силы или поверхностные натяжения. Благодаря этому мы подходим к научному парадоксу, что для них тяготение иногда может играть второстепенную роль и даже в предельных случаях молекулярные силы определяют все условия их жизни. Это проявляется, между прочим, в том, что явление смерти для отдельных их индивидуумов может и для неко торого их числа должно отсутствовать. Размножение делением заменяет старение, и пределы жизни отдельной клетки чрезвычайно колеблются. Мыс лимо сейчас, что существуют живые одноклеточные организмы, которые для 134 Сверхмедленные процессы и зоны стагнации данного индивидуума ’случайно’ имеют непрерывное существование тысячи и миллионы лет.’ (В.И. Вернардский, Химическое строение биосферы Земли и ее окружения, М.: Наука, 2001, 207.) ’Время представляет собой, вероятно, абстрактную форму сознания того, чем является жизнь в невыразимой, лишь переживаемой непосредственной конкретности. Время есть жизнь в отвлечении от ее содержания, посколь ку лишь жизнь из вневременной точки настоящего по двум направлениям трансцендирует любую действительность и тем самым реализует временную длительность, т.е. само время.’ (Г. Зиммель, Созерцание жизни, Избранное, т. 2, М., 1996, 14.) 21.4 Ход времени ’1. Принцип причинности позволяет определить ход времени, т.е. темп те чения времени как скорость превращения причины в следствие. Требование независимости этого определения от систем счета времени и пространства устанавливает, что ход времени представляет собой псевдоскаляр, имеющий размерность скорости....

2. Дальнейшие наблюдения показали, что степень необратимости процесса, вводимого в систему для установления различий причин и следствий, часто меняется из-за каких-то внешних обстоятельств, не связанных с постановкой опытов. Оказалось, что подобные изменения условий появления дополнитель ных сил можно получить, осуществляя вблизи системы различного рода до статочно энергичные, необратимые процессы. Эти опыты прямо доказывают возможность воздействия одной материальной системы на другую с помощью времени. Поскольку время не передает импульса, такие воздействия не могут распространяться и их существование означает возможность мгновенной свя зи. Передача воздействий через время показывает, что, помимо постоянного хода времени c2, у времени есть еще и переменное свойство, которое может быть названо плотностью времени. В окрестности необратимого процесса изменяется плотность времени, и это обстоятельство действует на другие про цессы и другие системы. Нарушения плотности времени медленно убывают с расстоянием, скорее всего, обратно первой степени расстояния.

Перечисленные здесь результаты лабораторных исследований показыва ют, что в природе могут происходить воздействия не только через силовые поля. Источником таких воздействий являются необратимые процессы, т.е.

причинно-следственные отношения.’ (Н.А. Козырев, Возможная асимметрия в фигурах планет, Доклады АН СССР, т. 50, n. 3, 1950, 389 - 392.) ’ Объективный анализ основных характеристик звезд: массы, светимости, радиуса позволяет заключить, что в звездных конфигурациях отсутствуют ограничения, которые должны быть при источниках энергии, не зависимых от теплопередачи. Выделение энергии и ее передача оказались в звездах еди ным процессом, как это бывает при остывании тел. Но звезды не остывают и тем самым не переходят в равновесное состояние с окружающим их простран ством. Таким образом, свечение звезд оказывается частным случаем общего и чрезвычайно глубокого свойства Вселенной, исключающего возможность 21.4 Ход времени равновесных состояний, т.е. возможность тепловой смерти. Отсутствие рав новесных состояний означает, что в системах Вселенной всегда существует различие между прошедшим и будущим. Такой общий принцип возможен, если само время имеет объективное, не зависящее от нашей психологии, свой ство направленности, различающее прошедшее от будущего. Реальность и объективность таких свойств времени, как направленность, плотность, озна чают, что эти свойства должны проявляться в материальных системах. Вре мя становится не просто одной из компонент четырехмерной арены, на ко торой разыгрываются события Вселенной, но и активным участником этих событий. Иными словами, через время может осуществляться связь между процессами, происходящимися в различных удаленных друг от друга систе мах. Чем меньше расстояния между системами, тем заметнее должны быть их взаимодействия.’ (Н.А. Козырев, О связи тектонических процессов Земли и Луны, Изв. Гл. астрон. обсерв. в Пулкове, n. 186, 1971, 81-87.) ’ Эти наблюдения только начаты, и результаты их совершенно предвари тельны. Но они открывают перспективу нового и глубокого проникновения в свойства звездного мира. Время не распространяется, а появляется сразу во всей Вселенной, поэтому связь через время должна быть мгновенной и явления на самых далеких объектах могут изучаться без запаздывания, од новременно с нашими наблюдениями. Эта перспектива не противоречит спе циальной теории относительности, потому что при мгновенной связи через время ничто не движется и нет никаких материальных перемещений. Время несет в себе целый мир новых неизвестных явлений, поэтому, несмотря на большое значение и интерес астрономических наблюдений, главной задачей сейчас остается разностороннее изучение его свойств в физической лабора тории.’ (Н.А. Козырев, Природа звездной энергии на основе анализа наблю дательных данных, Избранные труды, Л.: изд-во Лениградск. ун-та, 1991, 191-204.) ’ Что собой представляет время, до сих пор еще не известно. В физике по этому вопросу существуют смутные соображения, тогда как в силу важности вопроса следовало бы иметь написанными о времени целые тома. Физик уме ет измерять только продолжительность времени, поэтому для него время понятие совершенно пассивное. Теперь мы пришли к заключению, что время имеет и другие, активные, свойства. Время является активным участником Мироздания....

Конкретное овладение временем, разумеется, станет возможным только после тщательного изучения его свойств. ’ ( Н.А. Козырев, Причинная или несимметричная механика в линейном приближении, Пулково, 1958.) ’ Наука ХХ столетия находится в такой стадии, когда наступил момент изучения времени, так же как изучается материя и энергия, заполняющие пространство.’ (В.И. Вернадский, Проблемы биогеохимии. II. О коренном материально-энергетическом отличии живых и косных естественных тел био сферы, М. Наука: 1980, 55-84. ) ’Кабы не нефтяные цены, можно бы сказать, что мы опять погружаемся в стагнацию, которая, как учит исторический опыт, является самым желанным 136 Сверхмедленные процессы и зоны стагнации для громадного большинства социальным состоянием. Любимые народные герои лучшее время жизни проводят на печи.’ (С. Лесков [Les05]) ’... даже мудрый Сталин, давая определение нации, ставшее на десятиле тия хрестоматийным, умудрился опустить в нем самый главный, конструи рующий признак нации: общность происхождения’ ( ’Есть проект русского государства, но он никому не нужен’ http : //www.stringer.ru/P ublication.mhtml) План работы :

1. Почему финны не итальянцы ? Вселенная. Абсолютное и локальное вре мя. Потоки локального времени. Время жизни Вселенной и его оценки в тер минах потоков. Оценки других характеристик Вселенной.

2. Почему мы не можем вычислять потоки локального времени для на шей Вселенной сегодня? Сверхмедленные процессы. Следы сверхмедленных процессов в природных и социальных структурах. Устойчивость и неустой чивость в Мире. Миграция.

3. Зоны стагнации. Примеры зон стагнации в экономической географии.

Прозрачные и непрозрачные границы.

4. Идеальные потоки. Граничные задачи для идеальных потоков. Особые точки. Оценки размеров зон стагнации вблизи непрозрачных границ.

5. Параметры влияния на размеры зон стагнации. Возможность практиче ских рекомендаций. Слабые силы в процессах большой длительности. Пред сказания катастроф и пути их предотвращения как суперпроблема.

ЛИТЕРАТУРА [BVGK02] А.Ю. Быков, Л.Б. Вардомский, С.В. Голунов, А.М. Кирю хин, В.А. Колосов, А.И. Кубышкин, А.С. Макарычев, В.Д. Остапченко и др., Прозрачные границы. Безопасность и трансграничное сотрудничество в зоне новых пограничных территорий России, М.-Волгоград: 2002.

[Mik92] В.М. Миклюков, Максимальные трубки и ленты в пространстве Минковского, Матем. сб., 1992, т. 183. n. 12, с. 45-76.

[KM03] V.A. Klyachin, V.M. Miklyukov, Geometric structure of tubes and bands of zero mean curvature in Minkowski space, Annales Academ. Scientiarum Fenn., Mathematica, vol. 28, 2003, 239-270.

[KM04] В.А. Клячин, В.М. Миклюков, Трубки и ленты в пространстве времени, Юбилейная серия "Труды ученых ВолГУ", Волгоградский государ ственный университет, Волгоград, 2004, – 325 стр.

[Bro] F. Brodel, Time of World. Material civilization, economics and kapita lizm. XV - XVII cc., v. 3, 1968.

[Les05] С. Лесков, Здоровое общество и конченые козлы, http://www.izvestia.ru/columnist/article 21.4 Ход времени [Mik02] В.М. Миклюков, Зоны стагнации решений уравнения Лапласа Бельтрами в длинных полосах, Математические Труды, т. 5, N. 1, 2002, с. 84 101.

[Mik03] В.М. Миклюков, s-Зоны гармонических функций на узких и длинных лентах, Математический и прикладной анализ, вып. 1, Тюменск.

гос. ун-т, 2003, 89-118.

[MCS] V.M. Miklyukov, S.-S. Chow, V.P. Solovjov, s-Zones of ideal ows in capillary bands, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, v. 62, 2004, p. 3339-3356.

V.M. Miklyukov, Local time, superslow processes and stagnation zones Abstract. We consider some problems arising from analysis of superslow proces ses in natural and social structures.

138 Двумерное время 22 Двумерное время в описании банковской деятельности, В.И. Пелих, 22 октября c В.И. Пелих, 22 октября Моделируются непрерывные процессы кредитно-депозитных операций бан ка,учитывающие внутренние возможности банка по управлению финансовы ми потоками. Выводятся интегро-дифференциальные уравнения для них. Об суждаются задачи оптимизации этих процессов.

Основой наших построений является модель банковской деятельности Мон ти – Кляйна (Конюховский П.В. ”Микроэкономическое моделирование бан ковское деятельности”, Спб. ”Питер” 2001г.). В её рамках действует банк, который занимается только кредитными и депозитными операциями и обла дает возможностями по изменению величин процентных ставок на кредиты и депозиты (rL и rD ), регулируя, таким образом, их потоки.

Эта модель является статической, в ней отсутствует учёт реального вре мени и величины сроков проведения производимых банком операций. Мы предлагаем дополнить эту модель, как календарным временем, так и време нем проведения операций, что позволит, на наш взгляд, более точно описать процессы, происходящие в банке выбранной структуры.

22.1 Двумерное время Введём в рассмотрение двумерное время (t, ), например (”день”, ”День”), где ”день” это момент времени, в который банк получает или отдаёт деньги, а ”День” это длина промежутка времени, на который банк получает или отдаёт деньги.

Используем в кредитно-депозитной деятельности банка схему непрерывно го начисления процентов, а саму деятельность банка будем считать непрерыв ной по времени. Обозначим символом D(t, ) – скорость поступления депози тов в момент t со сроком. При 0 эта величина описывает всевозможные срочные вклады, а при = 0 – вклады до востребования. Размерность такой скорости рубль/(деньДень). Заметим, что функция D(t, ) может содер жать производные скачков. Если эту величину проинтегрировать (в смысле интеграла Стилтьеса) по второй переменной, то полученное таким образом значение D(t) = D(t, ) d t будет представлять собой скорость поступления всех депозитов в момент t, размерность её рубль/день. Ясно, что бесконечный промежуток интегрирования здесь усло вен, так как не существует вкладов "навсегда", но и верхнего предела для 22.1 Двумерное время длины вклада мы априори указать не можем, понимая в каждом конкрет ном случае, что функция D(t, ) финитна по второй переменной, а интеграл в этом выражении собственный. Средства D(t, ) предоставляются банку на срок.

При идеальной финансовой дисциплине, средства D(t, ) с оговоренным приростом должны быть изъяты у банка депозитором в момент t +. Для учёта возможных отклонений обозначим символом D (t,, ) долю депози та D(t, ), реально пролежавшего в банке до момента t +, очевидно, это плотность распределения востребований депозитов. Пусть rD (t,, ) обозна чает коэффициент прироста депозитов (по оговоренной процентной ставке), полученных банком в момент t на срок и реально хранящихся в банке дней. Таким образом, в соответствии с принятыми обозначениями, в момент времени t + скорость возврата по депозитам D(t, ) составит величину D(t, ) D (t,, ) rD (t,, ), причём, изымать их будем из средств длины.

Символом L(t, ) обозначим скорость выдачи кредитов в момент t на срок (свойства и размерность величины рубль/(деньДень) – те же, что и у D(t, )), а интеграл L(t) = L(t, ) d t является скоростью выдачи всех кредитов в момент t (размерность L(t) рубль/день). Будем выдавать кредиты на срок из средств той же длины.

Среди множества схем возврата по кредитам выберем самую простую. Сред ства L(t, ) возвращаются банку в момент t + с оговоренным приростом.

Для учёта возможных отклонений в сроках возврата кредитов, как и для депозитов, введём плотность L (t,, ), определяющую долю кредита L(t, ), возвращённую с процентами в банк в момент t +. Символом rL (t,, ) обо значим коэффициент прироста возврата по кредиту, выданному в момент t на срок и возвращённому в момент t +. Поскольку платежи по кредитам приходят в банк ’на всегда’, то их естественно зачислять на счёт для бес срочных денег, т.е. денег бесконечной длины. Таким образом, в соответствии с принятыми обозначениями, в момент времени t + скорость прихода в банк платежей по кредитам L(t, ) составит величину L(t, ) L (t,, ) rL (t,, ), причём, поступать они будут на счет бессрочных денег.

Введём необходимые обозначения для описания банковских счетов. Пусть B(t, ) есть количество банковских денег длины в момент t (т.е. средств на ходящихся в этот момент на счетах именно банка, а не использованных в его операциях с клиентами ) (размерность этой величины рубль/День). Кро ме этих средств банк располагает собственными (’бесконечными’ или ’бес срочными’) деньгами B (t), срок владения которыми ничем не ограничен (размерность этой величины рубль).

140 Двумерное время Заметим, что деньгами B(t, ) банк владеет только в течении дней, по истечении которых банк вообще говоря должен вернуть их депозиторам. Если же этого события не наступает, то рассматриваемые деньги превращаются в средства с нулевым и далее с отрицательным сроком владения, т.е. - в депозиты ’до востребования’.

Инфляционные потери будем учитывать, используя показатель инфляции j(t) изменяющийся во времени. Инфляции подвержены все средства, находя щиеся на счетах банка в равной степени. Деньги, ушедшие к заёмщику, для банка являются безинфляционными.

Скорость собственного потребления банка будем описывать функцией P (t), включая в неё все расходы банка на функционирование, оплату труда и т.п.

22.2 Функции внутреннего управления Естественным требованием бескризисного функционирования банка являет ся неотрицательность всех его счетов. Поддержание счетов на таком уровне потребует от банка своевременного и оптимального в каком-то смысле пере распределения средств по срокам. Для описания процесса перераспределе ния введём функции внутреннего управления (t, s, ), (t, s, ) и (t,, ).

Первая из них определяет величиной B(t, s) (t, s, ) скорость перевода в момент времени t средств длины s в средства длины (размерность функ ции (t, s, ) 1/(деньДень2 )). Вторая величиной B(t, s) (t, s, ) скоростью перевода в момент времени t средств длины s в средства беско нечной длины (размерность функции (t, s, ) 1/день). Третья вели чиной B (t) (t,, ) скоростью перевода в момент времени t средств бесконечной длины в средства длины (размерность функции (t,, ) 1/(деньДень)).

Кроме внутренних управляющих функций у банка сохраняются функции внешнего управления rD (t,, ) и rL (t,, ), как и в модели Монти - Кляйна, влияющие на потоки D(t, ) и L(t, ).

22.3 Движение средств конечной длины Опишем скорость движения средств B(t, ) в момент t со сроком, используя принятые соглашения и введённые обозначения. В момент времени t в банк поступают депозиты со скоростью D(t, ). Кроме этого, банк может перерас пределить имеющиеся у него средства с другими сроками владения B(t, s) в деньги длины с помощью управляющей функции (t, s, ), превращая часть средств конечной длины s в средства длины, причисляя к последним сумму W1 (t, ) = B(t, s) (t, s, ) ds, t 22.4 Динамика бессрочных денег а также, преобразуя часть средств бесконечной длины в средства длины :

B (t) (t,, ).

Перераспределение средств будет вызывать и убыль величины B(t, ) со скоростью W2 (t, ) = B(t, ) (t,, s) ds t перевода денег длины во все другие конечные длины s, а также, в беско нечные средства:

B(t, ) (t,, ).

Инфляция вызовет убыль со скоростью B(t, ) j(t).

Предоставление кредитов из средств B(t, ) будет иметь скорость L(t, ), что также вызывает убыль.

Помимо этого, из средств B(t, ) будут изъяты выплаты по прошлым де позитам D(s, ) D (t,, ) rD (t,, ), когда s + = t, а = при любых 0 s t. Суммарные выплаты по старым депозитам и средств длины в момент t составят t W3 (t, ) = D(s, + t s) D (s, + t s, t s) rD (s, + t s, t s) ds.

Учитывая, что = const t, легко записать скорость изменения величины B(t, ). Здесь мы имеем B(t, ) B(t, ) = D(t, ) + W (t, ) L(t, ) t W2 (t, ) W3 (t, ) j(t) B(t, ) B(t, ) (t, ) + B (t) (t,, ). (1) 22.4 Динамика бессрочных денег Теперь формализуем изменение средств B (t). Получаемые банком выплаты по кредитам, выданным ранее, поступают на счёт B (t). Они могут быть вычислены по формуле t W5 (t) = L(s, ) L (s,, t s) rL (s,, t s) d ds, 0 142 Двумерное время отражающей тот факт, что в момент времени t в банк возвращаются кредиты с процентами. В этой формуле не исключаются как досрочные возвраты, так и просроченные платежи со штрафными выплатами.

Помимо этой прибыли к ’бесконечным’ деньгам будут приходить перерас пределённые средства со скоростью W6 (t) = B(t, ) (t,, ) d, t а уходить по перераспределению со скоростью W7 (t) = B (t) (t,, ) d.

t Скорость изменения величины B (t) с учётом инфляции и собственных расходов банка будет следующей dB (t) = W5 (t) + W6 (t) W7 (t) j(t) B (t) P (t), (2) dt где P (t) скорость собственного потребления банка.

22.5 Задача Коши Запишем подробно банковские уравнения (1), (2) и задачу Коши для них. Мы имеем B(t, ) B(t, ) = B(t, s) (t, s, ) ds t t B(t, ) j(t) + (t,, ) + (t,, s) ds + t +B (t) (t,, ) + D(t, ) L(t, ) t D(s, + t s) D (s, + t s, t s) rD (s, + t s, t s) ds, (3) B(0, ) = b( ) ;

(4) 22.5 Задача Коши t dB (t) = L(s, ) L (s,, t s) rL (s,, t s) d ds+ dt 0 B(t, s) (t, s, ) ds j(t) + (t,, s) ds B (t) P (t), + (5) t t B (0) = b. (6) Задача (3)-(4) может быть сведена к интегральному уравнению для функ ции B(t, ). После решения линейного уравнения (5), записанного в виде dB (t) + f (t) B (t) = g(t), dt где f (t) = j(t) + (t,, s) ds, t t g(t) = L(v, ) L (v,, t v) rL (v,, t v) d dv+ 0 + B(t, v) (t, v, ) dv P (t), t решение задачи (5)-(6) представимо функцией t t B (t) = exp f (v) dv b + (g(s) exp (f (v) dv)) ds.

0 Вводя обозначения t b1 = exp j(v) + (v,, s) ds dv, v 144 Двумерное время t b2 = exp j(s) + (s,, u) du ds s t s L(v, ) L (v,, s v) rL (v,, s v) ddv P (s) 0 0 s exp ds, [j(u) + (s,, v) dv]du s t j(w) + (s,, v) dv dw b3 (t, s, u) = exp (s, u, ) w u j(s) + (s,, v) dv ds exp, u можно записать полученное выражение короче t b3 (t, s, u) B(s, u) du ds.

B (t) = b b1 (t) + b2 (t) + (7) s После чего из уравнения (3) можно исключить функцию B (t) и перепи сать уравнение (3) в виде B(t, ) B(t, ) = t t = a1 (t,, s, u) B(s, u) duds+ (8) 0 s + B(t, s) (t, s, ) ds a2 (t, ) B(t, ) + a3 (t, ), t 22.6 Целевые функционалы где a1 (t,, s, u) = b3 (t, s, u) (t,, ), a2 (t, ) = j(t) + (t,, ) + (t,, s) ds, t a3 (t, ) = (b b1 (t) + b2 (t)) (t,, ) + D(t, ) L(t, ) t D(s, + t s) D (s, + t s, t s) rD (s, + t s, t s) ds.

Решая задачу Коши для уравнения (8) с начальным условием (4):

B(t, ) B(t, ) = W (t, ), B(0, ) = b( ), t где t W (t, ) = a1 (t,, s, u) B(s, u) duds+ 0 s + B(t, s) (t, s, ) ds a2 (t, ) B(t, ) + a3 (t, ), t приходим окончательно к нашей главной цели интегральному уравнению для функции B(t, ) t B(t, ) = b(t + ) + W (t x, + x) dx. (9) Решение полученного интегрального уравнения вместе с (7) позволяет най ти окончательный вид функции B (t).

22.6 Целевые функционалы Уравнения (7) и (9) могут быть использованы для различных задач оптимиза ции работы банка. Например, если банк заинтересован только в собственной выгоде, то задача оптимизации должна быть следующей:

t max P (t) dt, t 146 Двумерное время при ограничениях B(t, ) 0, B (t) c.

Решая проблему максимального удовлетворения инвестиционных потреб ностей своих клиентов, банк должен использовать целевой функционал t L(t) dt, t с теми же ограничениями и условием собственного ”безбедного” существова ния: P (t) c2.

Средствами управления в этих и подобных задачах являются управляющие функции, перечисленные в п.2.

V.I. Pelikh, Two-dimensional time in descriptions of a bank activity Abstract. The continuous processes of credit-deposit bank operations are modelled, which take into account inner bank resources on managing cashow.

Integral-dierential equations are derived for them. The optimization of these processes are under discussion.

23 Статья Б. Делоне ”О пустой сфере. К мемуару Георгия Вороного”, перевод с фр. А.Ю. Игумнова, 29 октября Известия Академии Наук СССР, 1934, n. 6, стр. 793- BULLETIN DE L’ACADEMIE DES SCIENCES DE L’URSS Отделение математических и естественных наук (Представлено И.В. Виноградовым, членом Академии) c Перевод на русский язык, А.Ю. Игумнов, Пусть дана какая-либо система точек в n-мерном пространстве. Я предла гаю рассматривать сферу, перемещающуюся между точками этой системы, как угодно сужающуюся и расширяющуюся и подчиненную только условию "быть пустой", другими словами, не содержать внутри себя точек этой систе мы. Это и есть "метод пустой сферы", который я предложил в первый раз в сообщении, сделанном на конгрессе в Торонто.

Я показываю ниже, что "фундаментальная теорема", которая изложена в большом мемуаре Вороного о квадратичных формах, помещенном в то мах 134 и 136 Журнала Крелля, есть почти непосредственное следствие из некоторой весьма общей леммы. Думаю, что предлагаемое мною более про стое доказательство фундаментальной теоремы Вороного будет способство вать распространению среди геометров исключительно важных результатов, полученных Вороным в упомянутом мемуаре в Журнале Крелля, который был его последней работой.

§1. Основная лемма. Пусть T совершенно произвольные тетраэдры, регулярно разбивающие n-мерное пространство, полностью соприкасающи еся (n 1)-мерными гранями, и такие, что любая ограниченная область (т.е. область ограниченного диаметра) имеет общие точки только с ко нечным числом этих тетраэдров;

тогда необходимое и достаточное усло вие того, что никакая из сфер, описанных вокруг любого из этих тетра эдров, не содержит внутри себя никаких вершин других тетраэдров, есть уловие, что это будет иметь место для каждой пары двух тетраэдров, со прикасающихся по (n 1)-мерной грани, иначе говоря, в каждой такой паре вершина одного из тетраэдров не должна быть внутри сферы, описанной вокруг другого тетраэдра, и обратно.

Очевидно, что это условие необходимо. Но оно также и достаточно. Дей ствительно, пусть T1 один из этих тетраэдров, и A вершина какого-либо из них. Пусть B внутренняя точка тетраэдра T1. Если отрезок прямой AB, проходящей сквозь тетраэдры, пересекает грань размерности, меньшей чем n 1, то можно изменить положение точки B внутри T1 таким образом, что это не будет иметь место. Обозначим T1, T2, T3... Tk следующие друг за другом тетраэдры, пересекаемые отрезком BA, проведенным из точки B в точку A, и положим F12, F23,... Fk1 k n 1-мерные грани, по которым соприкасаются эти последовательно следующие тетраэдры, и которые пере секает отрезок BA, проходящий от одного из них к другому. Очевидно, что 148 О пустой сфере точка A всегда будет расположена на той же стороне одной из этих n 1 мерных "плоскостей"Fi i+1, что и следующий из тех двух последовательных тетраэдров Ti, Ti+1, которые являются смежными относительно этой плоско сти. Будем называть эту сторону плоскости "верхней". Легко показать, что если вершина тетраэдра Ti не является внутренней точкой сферы, описан ной вокруг тетраэдра Ti+1, и обратно, то либо сферы, описанные вокруг этих тетраэдров, совпадают, либо вектор Ci Ci+1, соединяющий центры этих сфер, направлен от "нижней"стороны плоскости Fi i+1 к верхней ее стороне. Но легко показать, что в этом случае "степень"(квадрат длины касательной) i точки A относительно сферы (Ti ), не меньше (алгебраически), чем степень i+1 этой точки относительно сферы (Ti+1 ). Мы получаем, таким образом:

1 2............ k1 k, но так как точка A расположена на самй поверхности сферы (Tk ), то k = о и, значит, 1 0, т.е. точка A не является внутренней точкой сферы (T1 ).

Лемма доказана. Мы приложим эту лемму к теории параллелепипедальных систем точек.

§2. Тетраэдры L параллелепипедальных систем E. Пусть E па раллелепипедальная система точек размерности n. Легко видеть, что радиус пустой сферы в E величина ограниченная, например, он не может быть больше, чем половина наибольшей диагонали фундаментального параллеле пипеда системы E, содержащего ее центр. Если на поверхности пустой в E сферы нет точек системы E, то ее радиус может быть увеличен. Он может также быть увеличен, если на поверхности пустой сферы есть точки систе мы E, но все эти точки расположены в "плоскости"размерности меньшей n, это имеет место, например, когда центр сферы расположен на некотором удалении от этой плоскости. Отсюда следует, что в E должны существовать пустые сферы, на поверхности которых есть n-мерная группа n + 1 точек си стемы E. Обозначим пустую в E сферу, которая имеет на своей поверхности n-мерное семейство n + 1 точек из L, как сфера (L), и тетраэдр, образо ванный n-мерной группой из n + 1 таких точек, как тетраэдр L системы E.

Очевидно, что количество негомологичных тетраэдров системы L, т.е. таких, которые не получаются один из другого посредством переноса вдоль вектора из E, должно быть ограниченным, поскольку иначе можно предположить, что все эти тетраэдры L имеют общую точку O из E, и тогда все вершины этих тетраэдров являются точками системы E, находящимися внутри сферы с центром в точке O и радиуса, превосходящего наибольший диаметр пустой в E сферы.

§3. О специальных параллелепипедальных системах. Может ока заться, что в E существуют пустые сферы, которые имеют на своей поверх ности n-мерное семейство из более чем n + 1 точек. Систему E для которой это имеет место, будем называть "специальной".

Предложение I: Если система E специальная, то всегда можно осуще ствить такое бесконечно малое аффинное преобразование пространства, в результате которого система E станет неспециальной.

Доказательство. Пусть ij коэффициенты аффинного преобразования S нашего n-мерного пространства. Рассмотрим n-мерное семейство n + 2 конс ферических точек, то есть точек, расположенных на поверхности некоторой сферы. Если мы выпишем уравнение, которому в этом случае удовлетворяют координаты этих точек, и произведем в этом уравнении преобразование S, то мы получим уравнение (ij ) = 0, связывающее коэффициенты ij преобра зования S, которому они должны удовлетворять, если n + 2 точки остаются консферическими после преобразования S. Это алгебраическое уравнение не может быть тождеством, так как иначе мы получим, что совершенно произ вольное аффинное преобразование сохраняет консферичность рассматривае мых n + 2 точек, что, как легко видеть, невозможно. Рассмотрим теперь все n-мерные семейства из n+2 точек системы E, точки каждого из которых рас положены на одной и той же пустой в E сфере, и которые имеют общую точку O. Как мы видели, количество различных таких семейств должно быть огра ниченно некоторым числом k. Пусть 1 (ij ) = 0, 2 (ij ) = 0,..., k (ij ) = рассматриваемые уравнения для всех этих семейств. Так как ни одно из этих алгебраических уравнений не выполняется тождественно, то, как известно, всегда можно указать сколько угодно систем величин ij, мало отличающих ся от данной системы, для которых ни одно из этих уравнений не будет выполнено. Рассматривая из них системы, мало отличающиеся от системы 11 = 22 =... = 1, ij = 0 (если i = j), мы получаем преобразование S, указанное в предложении. (Этот вариант доказательства первого предложе ния был получен в соавторстве с В. Тартаковским и О. Житомирским).

Таким образом, мы можем, изучать только неспециальные системы, и рас сматривать специальные системы как предельные случаи неспециальных.

Всюду далее система E будет предполагаться неспециальной.

§4. Разбиение пространства тетраэдрами L для неспециальной си стемы. Предложение II: Тетраэдры L системы E регулярно разбивают все n-мерное пространство и являются смежными относительно целых гра ней. В самом деле: 1 пусть n 1-мерная грань такого тетраэдра L;

если мы будем перемещать центр пустой сферы, описанной вокруг этого тетраэд ра, перпендикулярно этой грани, изменяя ее радиус таким образом, что она всегда проходит через точки из E, являющиеся вершинами этой грани, то она покинет вершину тетраэдра L, противолежащую этой грани, и, в конце кон цов, наткнется на какую-то точку из E, находящуюся на противоположной от этой грани стороне. Эта новая точка образует с гранью новый тетраэдр L, примыкающий к L по грани ;

2 очевидно, что если сферы, описанные во круг тетраэдров L1 и L2, не имеют общих точек или же только соприкасаются, то тетраэдры L1 и L2 не имеют общих внутренних точек, а в случае, когда эти сферы пересекаются, тетраэдры L1 и L2 имеют вершины на сегментах своих сфер, расположенных по разные стороны от "плоскости", проведенной через "окружность"пересечения этих сфер, или же на самой этой "окруж ности", ибо иначе эти сферы не будут пустыми, потому что другой сегмент каждой из сфер расположен внутри противоименной сферы;

таким образом, два тетраэдра L не могут иметь общих внутренних точек.

§5. Области D Рассмотрим область D0 всех точек пространства, каж дая из которых расположена от точки O системы E не далее, чем от всякой другой точки системы E. Очевидно, что D0 выпуклый полиэдр, потому что его можно получить, например, соединяя точку O со всеми точками из 150 О пустой сфере E отрезками прямых и проводя через середины этих отрезков "плоскости", им перпендикулярные, тогда область D0 будет частью пространства, распо ложенной внутри всех этих плоскостей, иначе говоря, по ту же сторону этих плоскостей, что и точка O. Области D, построенные для других точек из E являются одинаковыми с D0 и параллельны ей. Полиэдры D разбивают n мерное пространство регулярно, так как каждая точка пространства отстоит по крайней мере от одной из точек системы E не далее, чем от любой другой, и не существует таких точек, которые были бы одновременно к двум точкам системы E ближе, чем к другим. Полиэдры D смежны по целым граням.

Действительно, если бы два полиэдра D и D были бы смежны полиэдру D относительно одной и той же n 1-мерной грани полиэдра D, то их цен тры были бы расположены на перпендикуляре, опущенном из центра D на плоскость этой грани, и, как следствие, они должны были совпасть, потому что иначе точка, равноудаленная от центров многогранников D и D, была бы в то же время равноудаленной от центров D и D.

Так как полиэдры D имеют центры симметрии и являются одинаковыми и параллельными, то середина отрезка, соединяющего центры двух полиэдров D, соприкасающихся по n 1-мерной грани, является центром этой грани.

§6. Тетраэдры L и области D неспециальных систем.

В случае, когда система E не является специальной, имеется очень простое соответствие между тетраэдрами L и областями D.

Предложение III: Тетраэдры L неспециальной системы E являются кор релятивными вершинам полиэдров D этой системы. Действительно, каж дая вершина полиэдра D принадлежит менее чем n+1 различным полиэдрам D, центры которых образуют n-мерную группу точек системы E. Эта верши на является, очевидно, центром пустой сферы, проведенной через эти n + точки системы E, потому что если эта сфера не будет пустой, то рассмат риваемая вершина будет ближе к точке системы E, лежащей внутри этой сферы, чем упомянутые n + 1 точки, и не может принадлежать их областям D. Тетраэдр, построенный на n + 1 центрах n + 1 областей D, имеющих об щую вершину, есть, следовательно, тетраэдр L системы E. Также видно, что в неспециальной системе E все вершины областей D являются "простыми", иначе говоря, в каждой вершине соприкасаются только n + 1 областей D. Во роной называет такие вершины первичными. Каждая вершина области D яв ляется, таким образом, коррелятивной тетраэдру (L) и обратно. Группа всех тетраэдров (L), которые имеют общую вершину, является коррелятивной об ласти D семейства E. Если известно разбиение системы E тетраэдрами L, то также известно разбиение пространства областями D.

§7. Количество топологических типов n-мерной системы E конеч но.

Предложение IV: Количество n 1-мерных граней области D не превос ходит 2 · (2n 1).

Никакая середина двух точек системы E, т.е. точка, координаты которой относительно базисной системы n векторов имеют знаменателем число 2, не может быть внутренней точкой области D. Это непосредственно следует из упомянутой конструкции области D посредством плоскостей, проходящих че рез середины векторов системы E. Существует лишь 2n 1 середин между точками системы E, которые не будут гомологичными относительно группы переносов системы E. Если мы построим, исходя из каждой из этих 2n точек, систему, равную и параллельную системе E, то в каждой из этих си стем не может быть двух точек, которые которые были центрами двух граней полиэдра D, и не были бы симметричны относительно центра этой области D, поскольку в противном случае середина этих двух точек, всегда являю щаяся серединой двух точек системы E, была бы, по причине выпуклости D, внутренней точкой области D, не будучи ее центром. Это доказывает пред ложение. (Теорема Минковского.) Предложение V: Количество возможных топологических типов области D n-мерной параллелепипедальной системы конечно. Это следует из обще го утверждения о том, что количество топологических типов выпуклых n мерных полиэдров, имеющих конечное число k (n 1)-мерных граней, ко нечно. Действительно, количество (n 2)-мерных граней (n 1)-мерной грани такого полиэдра не может быть большим, чем k 1 (равенство бу дет только в том случае, если полиэдр является пирамидой и вышеупомяну тая (n 1)-мерная грань является основанием этой пирамиды). Количество (n 3)-мерных граней (n 2)-мерных граней не может быть большим, чем k 2, и так далее. Таким образом, количество их смежностей тоже конечно.

Топологический тип области D определяет топологический тип разбиения системы E тетраэдрами L. Будем называть его топологическим типом систе мы E.

§8. Основная теорема. Необходимым и достаточным условием того, чтобы система из n фундаментальных векторов n-мерной параллелепипе дальной системы точек E была однозначно связана с областью D этой си стемы, иначе говоря, с этой же самой системой, является то, что попар ные скалярные произведения этих векторов, т.е. коэффициенты квадратич ной формы, соответствующей указанной системе векторов, удовлетворя ют конечному числу линейных неравенств, которые определяются тополо гическим типом системы E и характером связи этой системы векторов с областью D, зависящей от наших соглашений. Рассмотрим систему, состо ящую из n фундаментальных векторов системы E, которые связаны данным образом с областью D системы E. Количество негомологичных пар тетраэд ров L системы E, соприкасающихся по (n1)-мерным граням, есть величина ограниченная.


Для каждой такой пары тетраэдров L (n + 1)-я вершина одного из них не является внутренней точкой сферы, описанной вокруг другого, и обратно, это следует из самог определения тетраэдров L. Наоборот, если это име о ет место для каждой пары тетраэдров, соприкасающихся по (n 1)-мерной грани, то это тетраэдры L, потому что по общей лемме, приведенной в на чале статьи, никакая вершина никакого из этих тетраэдров, иначе говоря, ни одна из точек системы E, не находится внутри сферы, описанной вокруг такого тетраэдра, т.е., эта сфера пустая. Эти условия являются, таким об разом, необходимыми и достаточными. Остается выразить их посредством коэффициентов положительной квадратичной формы f (x1, x2,..., xn ) = aik xi xk, соответствующей выбранной фундаментальной системе n векторов системы 152 О пустой сфере E.

(1) (2) (n+1) Пусть xi ;

xi ;

... xi (i = 1, 2... n) координаты относительно этой системы векторов вершин первого тетраэдра L1 из этой пары и (2) (3) (n+1) (n+2) xi ;

xi ;

... x i ;

xi координаты вершин второго тетраэдра L2. Несложное вычисление показы вает, что указанное условие записывается следующим образом:

f f f f (xi (1) ),,,..., x1 (1) x2 (1) xn (1) f (xi (2) ),.............

................ 0. (1)................

................

f f f f (xi (n+2) ),, x2 (n+2),..., x1 (n+2) xn (n+2) В самом деле, если i координаты центра сферы (L2 ) и r2 ее радиус, то (m) f (xi i ) = r2 (m = 2, 3... n + 2) или же f f (m) f (xi ) · 1... · n + f (i ) r2 = 0, (m) (m) x1 xn и если ti точка на (L2 ), то имеем также уравнение f f f (ti ) · 1... · n + f (i ) r2 = 0.

t1 tn Таким образом, получено следующее уравнение сферы (L2 ):

f f f f (ti ), t1, t2,... tn, f f f f (xi (2) ),,,..., x1 (1) x2 (1) xn (1)................ = 0. (2)................

................

f f f f (xi (n+2) ),, x2 (n+2),..., x1 (n+2) xn (n+2) Если вершины тетраэдра T2 пронумерованы так, что минор элемента f (ti ) в выражении (2) будет положительным, то получаем условие (1).

Детерминант (1) легко может быть преобразован в следующее произведе ние:

1 0 0...... 0 0 1 0...... 0 0 0 a11 a12...... a1n.. a21 a22...... a (1)n ·.............. 2n (3).

...............

...............

0 0 an1 an2...... ann (1) (1) (1) (1) f (xi ), x1, x2,... xn, (2) (2) (2) (2) f (xi ), x1, x2,... xn,................

................ 0.

................

................

................

(n+2) (n+2) (n+2) (n+2) f (xi ), x1, x2,... xn, Но первый детерминант есть дискриминант положительной формы f (xi ), здесь он положителен, условие (1) сводится, таким образом, к тому, что вто рой детерминант в (3) не отрицателен. Разлагая этот детерминант по первому столбцу, получаем неравенство:

(1) (1) (1) (1) (1) xi · xk, x1, x2... xn, = (1)n................ 0.

aik · (n+2) (n+2) (n+2) (n+2) (n+2) xi · xk, x1, x2... xn, Пусть 1, 2,..., линейные относительно aik формы (4), соответствую щие всем парам упомянутых негомологичных тетраэдров. Тогда искомые условия записываются так:

1 0;

2 0;

...... 0. Б. Делоне. О пустой сфере. К мемуару Георгия Вороного. Знаме нитая посмертная работа Вороного, помещенная в 134 и 136-м томах Жур нала Крелля, очень трудна для чтения. Даже Бахмани, включивший в свой компендиум все важнейшие русские работы по теории квадратичных форм, пишет, что он не решается излагать это трудное исследование.

Только что исполнилось 25-летие со дня смерти Вороного. Я думаю, что лучшим способом почтить эту дату явилось бы опубликование исследований, продолжающих и упрощающих трудные исследования Вороного.

Настоящая работа содержит простой вывод теоремы указанного большого мемуара Вороного, которая в нем названа "фундаментальной". Оказывается, что эта теорема является непосредственным следствием одной совсем общей леммы, которая, может быть, найдет себе приложения и в анализе. ) А.Ю. Игумнов Докладчик выражает глубокую благодарность старшему преподавателю ка федры романской филологии ВолГУ А.В. Простову за помощь при переводе данной статьи с французского.

29 октября 154 Триангуляция пограничного слоя 24 Некоторые задачи, возникающие в проблеме триангуляции пограничного слоя, В.М. Миклюков, 5 ноября c В.М. Миклюков, 5 ноября Формулируются некоторые задачи, связанные с проблемой триангуляции пограничного слоя.

24.1 Кубатурные формулы Пусть D Rn – некоторая область, f – непрерывная функция. Пусть d(x) – некоторая мера над D. Обычно предполагается, что существует плотность меры d(x) = w(x) dx1 · · · dxn.

Для вычисления интеграла f (x) d(x) D пользуются приближенной формулой, называемой кубатурной (квадратур ной):

M f (x) d(x) cm f (xm ).

m= D Величины cm называются весовыми коэффициентами, а точки xm (m = 1, 2,..., M ) узлами кубатурной формулы. При этом всегда требуется, чтобы M cm = d (x).

m=1 D Об этом свойстве кубатурной формулы говорят, что она точна на констан тах. При специальном выборе узлов и весовых коэффициентов правая часть кубатурной формулы может превратиться в интегральную сумму Римана.

Без сомнения, римановские интегральные суммы были исходными при воз никновении теории кубатурных формул. (К.И. Бабенко, Основы численного анализа, Москва – Ижевск: НИЦ ’Регулярная и хаотичная динамика’, 2002, стр. 367.) Функционал M M (f ) = f (x) d(x) cm f (xm ) m= D называется функционалом погрешности кубатурной формулы.

24.2 Правильная граница 24.2 Правильная граница Будем говорить, что (ограниченная) область Rn имеет правильную гра ницу, если справедливо следующее.

Пусть 0 – некоторая постоянная. Построим область, состоящую из всех точек пространства Rn, отстоящих от не более чем на, и область, состоящую из тех точек, которые отстоят от дополения к больше чем на :

= {x Rn : (x, ) }, = {x : (x, Rn \ ) }.

Мы имеем.

Пусть теперь = \.

Множество называется пограничным слоем.

Если справедливо неравенство Hn ( ) = Hn ( \ ) K Hn1 (), (XV, 1.3) верное для всех 0 с одной и той же постоянной K, то граница называется правильной.

Будем говорить, что область имеет порядок толщины пограничного слоя q, 0 q 1, если Hn ( ) K q. (XV I, 4.10) Нетрудно проверить, что если граница – липшицевская, то область име ет правильную границу. Области с порядком толщины пограничного слоя, равным 1, имеют правильную границу. (С.Л. Соболев "Введение в теорию кубатурных формул", М.: Наука, 1974, с. 668-669, 696.) Для областей с правильными границами доказан ряд утверждений, харак теризующих оценки погрешности кубатурных формул (теорема Н.С. Бахва лова и др.).

Заметим, что у С.Л. Соболева предполагается, что области имеют кусоч но-гладкие границы (см. примечание на стр. 668).

24.3 Квазиконформные поверхности 1,n Пусть D Rn – область и пусть f : D Rn – отображение класса Wloc (D).

Символом W 1,n (D) обозначается множество функций f, имеющих в об loc ласти D Rn обобщенные производные в смысле С.Л. Соболева f /xi (i = 1,..., n), суммируемые локально в D со степенью n. Вектор - функция f = (f1,..., fm ) : D Rn принадлежит классу W 1,n (D), если каждая из loc функций fi (i = 1,..., m) принадлежит этому классу.

156 Триангуляция пограничного слоя W 1,n (D). Положим Пусть f : D Rn Rm – отображение класса loc f1 f...

x1 xn......

f (x) = f fm m...

x1 xn и, далее, 1/ m n fi |f (x)| = (x), f = ess supxD |f (x)|.

D xj i=1 j= Отображение f называется квазиконформным (Ю.Г. Решетняк, Простран ственные отображения с ограниченным искажением, Наука, Сибирск. Отде ление, Новосибирск, 1982, стр. 24-25), если почти всюду в D выполнено |f (x)|n Q det (f (x)) (Q const). (Q) Поверхность n1 Rn называется квазиконформной, если существует квазиконформное отображение f : Rn Rn такое, что f (Sn1 (0, 1)) = n1, Sn1 (a, r) = {x Rn : |x a| = r}.

При n = 2 понятие квазиконформной кривой (квазиокружности, квазипря мой) было введено Бьерлингом и Альфорсом (см. A. Beurling and L. Ahlfors, The boundary correspondence under quasiconformal mappings, Acta Math., 96, 1956, 125-142). Квазиконформные кривые обладают многими замечательны ми свойствами, к примеру, кривая 1 R2 является квазиконформной пря мой тогда и только тогда, когда существует постоянная C = C(K) такая, что для произвольных трех точек z1, z2, z3 1 выполнено 3 C 1, 3, 2.

2 Существуют примеры квазиконформных окружностей, не спрямляемых ни в каких своих связных частях.

Вместе с тем на областях, ограниченных квазиокружностями, можно до статочно хорошо оценивать скорость аппроксимации функций многочленами (см., например, В.И. Белый, В.М. Миклюков, Некоторые свойства конформ ных и квазиконформных отображений и прямые теоремы конструктивной теории функций, Изв. АН СССР. сер. матем. 1974, т. 38, n. 6, 1343-1361, а так же П.М. Тамразов, Гладкости и полиномиальные приближения, Киев: Науко ва Думка, 1975 и В.В. Андриевский, В.И. Белый, В.К. Дзядык, Конформные инварианты в конструктивной теории функций комплексного переменного, Киев: Наукова Думка, 1998.) 24.4 Сохранение ориентации Задача 1. Выяснить соотношения между областями на плоскости, огра ниченными квазиокружностями, и областями с правильной границей. В част ности, cправедлива ли теорема Н.С. Бахвалова для областей с квазиконформ ной границей ?


Современное состояние проблемы для Rn см. в работах:

F.W. Gehring, Uniform domains and the ubiquitous quasidisk, Jahrsb. Deutsch.

Math.-Verein, 89, 1987, 88-103;

G.D. Anderson, M.K. Vamanamurthy, and M. Vuorinen, Conformal Invariants, Inequalities, and Quasiconformal Maps, Canadian Math. Soc., Ser. of Monographs and Advanced texts, A Wiley - Interscience Publication, John Wiley&Sons, Inc., New-York – Chichester – Weinheim – Brisbane – Singapore – Toronto, 1997;

С.Л. Крушкаль, Квазиконформные зеркала, Сиб. матем. ж., т. 40, n. 4, 1999, 880-892;

В.В. Асеев, Д.Г. Кузин, Достаточные условия квазисимметричности отоб ражений прямой и плоскости, Сиб. матем. журн., т. 39, no. 6, 1998, 1225-1235;

В.В. Асеев, Д.Г. Кузин, Континуумы с ограниченным искривлением: усло вия цепей и инфинитезимальной связности, Сиб. матем. журн., т. 41, no. 5, 2000, 984-996;

М. Вуоринен, О. Мартио и В.М. Миклюков, К геометрической структуре квазиплоскостей, Труды кафедры математического анализа и теории функ ций Волгоградского государственного университета, Изд-во Волгоградского гос. ун-та, 2002, с. 21-31;

O. Martio, V. Miklyukov, S. Ponnusamy, and M. Vuorinen, On Some Properties of Quasiplanes, Results in Mathematics, v. 42, 2002, 107-113;

В.М. Миклюков, О квазиконформно плоских поверхностях в римановых многообразиях, Изв. РАН (сер. матем.), т. 67, no. 5, 2003, 83-106;

O. Martio, V. Miklyukov, and M. Vuorinen, On quasiplanes in Euclidean spaces, Reports in Mathematics, Preprint 401, November 2004, Depart. of Math. and Statis., University of Helsinki, Finland;

Proc. Amer. Math. Soc. (to app.).

24.4 Сохранение ориентации 1, Пусть f : D R2 – гомеоморфное отображение класса Wloc (D). Данное отображение дифференцируемо почти всюду в D и в точках существования полного дифференциала df (a) = fz (a) dz + fz (a) dz преобразует бесконечно малые эллипсы в бесконечно малые круги. Отношения больших полуосей 158 Триангуляция пограничного слоя этих эллипсов к меньшим вычисляются по формуле |fz | + |fz | Df = |fz | |fz | и называется отклонением в точке a D. Условие квазиконформности (Q) означает, что почти всюду в области D выполнено Df Q.

Доказательство следующего утверждения см. в монографии Л. Альфорса "Лекции по квазиконформным отображениях", М.: Мир, 1969, стр. 60.

Теорема Пусть f : R2 R2 – Q-квазиконформное отображение, A.

причем Q 3. Тогда вершины любого равностороннего треугольника отоб ражаются на вершины некоторого треугольника с той же ориентацией.

Если кривая 1 является образом окружности S(0, 1) при квазиконформ ном отображении с коэффициентом Q 3, то устраивая измельчение тре угольников посредством разбиений их на более мелкие равносторонние тре угольники в окрестности S(0, 1), в качестве образа этой триангуляции при отображении f : R2 R2 мы будем получать триангуляцию пограничного слоя вблизи 1.

Задача 2. Описать класс кривых, являющихся образами окружности при Q-квазиконформных отображениях с Q 3. Найти достаточные усло вия для таких кривых, заданных графиками, параметрическим и неявным способами.

Задача 3. Расширить постановку задачи 2, заменив окружности за мкнутыми кривыми типа кривых Коха, составленными из прямолинейных отрезков одинаковой длины и расположенными под одним и том же углом /3 друг к другу.

24.5 Квазиизометрические отображения Пусть D – область в Rn. Говорят, что отображение f : D Rm, m 1, удовлетворяет условию Липшица в D, если |f (x ) f (x )| sup = L.

|x x | x,x D Отображение f удовлетворяет условию Липшица локально в D, если f лип шицево на всякой подобласти D D с некоторой постоянной L(D ).

Пусть C, C 0 – некоторые постоянные. Отображение f : D Rn называется (C, C )-квазиизометрическим, если C |x x | |f (x ) f (x )| C |x x | x, x D.

Отображение f : D Rn называется локально квазиизометричным, если оно (C, C )-квазиизометрично на всякой подобласти U D с некоторыми постоянными 0 C (U ) C (U ) ).

24.6 Отображения, близкие к квазиизометриям Согласно теореме Радемахера – Степанова всякая локально липшицева функция f : D R дифференцируема почти всюду и, как легко усмот реть, всякое локально липшицево отображение f : D Rm принадлежит классу W 1,n (D).

loc Задача 4. Указать аналог теоремы A для квазиизометрических отобра жений.

Частично задача решена в работе А.В. Лыгина и В.М. Миклюкова, (см.

A.V. Lygin, V.M. Miklyukov, Distortion triangles under quasiisometries. Advances in grid generations, Advances in Grid Generation, Edited by Olga V. Ushakova, To memory of Sergey A. Ivanenko, Ekaterinburg, February 2005, 57-72).

Пусть U – область в -плоскости и w = () – гомеоморфное отображение области U на область D. Условие квазиизометричности не дает гарантии, что ориентация тройки точек не изменится после отображения. Для опреде ления условия сохранения ориентации не достаточно знать, как далеко друг от друга будут располагаться образы точек, необходимо знать, как далеко они будут располагаться от своих прообразов.

Теорема B. Предположим, что существует константа P 0, такая, что для любой точки U выполнено:

P |() |, T где T - длина большей стороны треугольника U. Тогда, если углы не меньше величины, причем 4P arctan, T то вершины переходят при отображении в тройку точек с той же ориентацией, что и вершины.

В частности, предположим, что область U выпукла, 0 U, а отобра жение оставляет неподвижной точку = 0 и удовлетворяет условию I A, где I M2,2 – единичная матрица. Тогда вершины произвольного треуголь ника с одной из вершин в точке = 0 и углами, более, чем arctan 4(1+A), T переходят при отображении в тройку точек с той же ориентацией, что и вершины.

В многомерном случае каких-либо результатов в данном направлении для квазиизометрий (мне сейчас) не известно.

24.6 Отображения, близкие к квазиизометриям Следуя Кэллендеру (E.D. Callender, Hlder-continuity of N -dimensional quasi o conformal mappings, Pacic J. Math., v. 10, 1960, 49-515), будем говорить, что 160 Триангуляция пограничного слоя отображение f : D Rn Rn класса W 1,n (D) является почти квазикон loc формным в D с постоянной K 0 и локально интегрируемой функцией (x) : D R, если почти всюду в области D выполнено |f (x)|n Q det (f (x)) + (x). () При 0 это требование означает, что отображение f является отобра жением с ограниченным искажением или, в другой терминологии (Heinonen J., Kilpelinen T. and Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic a equations. Oxford: Clarendon Press. 1993. ), квазирегулярным отображением.

Подчеркнем, что требование () не предполагает постоянства знака якоби ана det (f (x)). Таким образом, почти квазиконформные отображения могут менять ориентацию.

Задача 5. Указать аналоги теоремы A для почти квазконформных отоб ражений.

Пусть f, g : D Rn – отображения класса W 1,n (D). Будем говорить, loc что отображение g является почти квазиконформно близким к f в D с по стоянной K 0 и локально интегрируемой функцией, если отображение = (f g) : D Rn почти квазиконформно с постоянной K 0 и функцией, т.е. почти всюду в области D выполнено |f (x) g (x)|n Q det (f (x) g (x)) + (x). () Отображения f и g будем называть почти квазиконформно близкими, если g близко к f или f близко к g.

Если тождественно постоянное отображение g const почти квазикон формно близко в области D Rn с постоянной K 0 и локально интегри руемой функцией к отображению f, то f почти квазиконформно с теми же постоянной K 0 и функцией.

При n = 2 и K = 2, = 0 неравенство () означает, что функция f g является голоморфной.

Мы получаем аналоги теоремы A для отображений, почти квазиконформно близких к квазиизометриям с помощью следующей теоремы.

Теорема C. Пусть a1, a2 Rn – произвольная пара точек такая, что d = |a2 a1 | 0. Пусть D = B(a1, d) B(a2, d) – область в Rn и b : D Rn – (A, A )-квазиизометрическое отображение.

Пусть f : D Rn – непрерывное отображение класса W 1,n (D), почти loc квазиконформно близкое к b с постоянной K 0 и функцией (x), удовле творяющей условию (x) dHn (x) dHn1, 0 r d, r B(ai,r) S(ai,r) для любого i = 1, 2 и некоторой постоянной n/K.

Пусть h(a1, a2 ) 24.7 Условие регулярности n n n |f (x) b (x)|n dHn + dn+ K + (x) dHn, max |B(0, d)| i=1, B(ai,d) B(ai,r) где |B(0, d)| = Hn (B(0, d)), + (x) = max{0, (x)}, и пусть (n, K) h(a1, a2 ) A.

Тогда f (a1 ) = f (a2 ) и, более того, C |a2 a1 | |f (a2 ) f (a1 )| C |a2 a1 |.

Здесь Hk (E) – k-мерная мера Хаусдорфа множества E Rn, C = A (n, K) h(a1, a2 ), C = A + (n, K) h(a1, a2 ) и µn = Hn (B(1, 1) B(2, 1)), |1 2 | = 1, 2K(nK K + 1)n. n1 = Hn1 (S(0, 1)).

(n, K) = (n1)/n (nK + 1)µ n n Таким образом, отображения класса W 1,n, почти квазиконформно близ loc кие к квазиизометрическим отображениям, при определенных условиях са ми квазиизометричны. Имеются оценки искажения внутренних расстояний в областях из Rn при таких отображениях. Указаны применения этих оце нок в теории неявных функций. (В.М. Миклюков, Об отображениях, почти квазиконформно близких к квазиизометриям, готовится к печати) Задача 6. Указать простые условия выполнения предположений тео ремы C для различных классов отображений (билипшицевых, отображений класса C k, и др.) 24.7 Условие регулярности Пусть – ограниченная область, а y – какая-либо точка или ее границы.

Опишем вокруг y шар радиуса 0 и рассмотрим множество точек этого шара таких, которые отстоят от границы не более чем на, 0 D, где D означает диаметр области. Обозначим меру этого множества через (y,, ):

(y,, ) = mes{x : (x, ), (x, y) }. (XV I, 6.27) Будем говорить, что область удовлетворяет условию регулярности, если справедлива оценка n q (y,, ) K 2. (XV I, 6.28) ( + 2q )1/2 (D2 + 2 )n/ 162 Триангуляция пограничного слоя Условие регулярности является несколько более ограничительным, чем условие (XVI, 4.10), накладываемое на толщину пограничного слоя. Оно вы ражает тот факт, что приграничная полоса \ распределена равномерно вдоль всей границы и при малом мера той порции ее, которая попадает в шар радиуса, имеет порядок n1 q.

Задача 7. Как изменяется условие регулярности при отображениях вы шеописанных классов. Как меняются другие характеристики пограничного слоя ?

V.M. Miklyukov, Some questions arising from the problem of triangulation of boundary layer Abstract. Some questions are formulated which are connected with the problem of triangulation of boundary layer.

25 Некоторые способы продвижения сайта, А.А. Клячин, 26 ноября, 3 декабря 2005, 10 декабря c А.А. Клячин, 25.1 Качество сайта Любой веб-сайт можно рассматривать как совокупность информации, спосо бов ее представления и услуг (программных средств по ее обработке), предо ставляемых пользователю. Как правило они объеденены одной темой и/или целью, которая дает возможность пользователю, подключенному к сети Ин тернет и имеющему соответствующие технические средства, получить доступ к части или всей информации. Качество сайта включает в себя :

1. "Положение" сайта в интернете (доступность пользователю);

2. Дизайн;

3. Структуру;

4. Наличие полезной информации для предполагаемого пользователя.

Данные характеристики расположены в том порядке, в котором пользова тель с ними знакомится. Необходимо отметить, что часть из них относятся главным образом к периоду подготовки сайта, другие зависят от постоян ной работы с ним. Сайт (или другими словами ресурс) нельзя рассматривать отвлеченно, не учитывая ту информационную среду, в которой он находит ся. Эта среда все время меняется: появляются новые странички или целые интернет-проекты, теряют свои позиции одни ресурсы и повышают другие и т. д. Поэтому, на повышение посещаемости сайта направлена работа боль шинства веб-мастеров. Для этого применяют определенные технологии по продвижению и оптимизации сайтов.

В данном докладе обсуждаются некоторые первоначальные шаги, направ ленные на продвижение сайта.

25.2 Советы по подготовке проекта Цель. Прежде чем приступать за создание своего веб-сайта необходимо четко себе представлять с какой целью вы это будем делать? Именно цель будет определять структуру и дизайн сайта, выбор технических средств.

Информационные компоненты. Структура сайта. Каждая цель или за дача, которую вы ставите, будет определять свой собственный список необхо димых компонентов. Постарайтесь учесть и те составляющие вашего сайта, которые появятся позднее, в процессе его развития. Эти компоненты и бу дут составлять основное информационное наполнение вашего сайта (content).

Этот список должен охватывать все, что будет присутствовать на вашем сай те.

164 Способы продвижения сайта Следующий шаг – это подготовка структуры сайта, которая в дальней шем определит не только систему навигации, но и возможности по расши рению. Количество информационных компонентов бывает очень велико. По этому необходимо их сгруппировать по нескольким разделам и подразделам.

Здесь нужно еще раз подчеркнуть: все разделы и подразделы сайта должны формироваться после того, как вы окончательно определились со списком необходимых вам компонент.

Далее нужно подготовить шаблоны страниц сайта (можно вполне обой тись одним). Шаблон определяет расположение элементов сраницы – текст, картинки, формы, кнопки и т. д.

Следующий этап – подготовка материалов. Прежде чем выкладывать мате риалы на сайт, необходимо их для этого подготовить. Все материалы вашего сайта должны быть единообразны внутри каждого раздела. Сайт, на котором вся информация выглядит написанной в едином стиле, воспринимается зна чительно серьезнее, нежели тот, материалы которого взяты из разнородных источников, без предварительной переработки.

25.3 Советы по продвижению сайта В силу того, что определяющее значение для поискового робота играет реле вантность сайта (или конкретной страницы) запросу пользователя, то необ ходимо составить список вероятных запросов, соответствующие теме вашего сайта и оптимизировать страницы именно под эти запросы. Для дальней ших шагов, направленных на продвижение сайта, будет полезным создать и список ключевых слов и фраз, которые чаще всего встречаются в тексте той страницы, которую вы предполагаете рекламировать (как правило это головная страница сайта). Этот список должен достаточно точно характе ризовать ваш ресурс и соответствовать вероятным запросам пользователей.

После этого переработайте текст на странице так, чтобы выбранные вами ключевые слова там не только встречались, но встречались регулярно, не искажая смысла самого текста и не ухудшая его качества. Этим же спосо бом надо переработать не только сам текст, но и название страницы, которое отображается в заголовке браузера, подписи к рисункам, и др.

Теперь воспользуемся получившимся списком ключевых слов. Для того, чтобы поисковый робот мог найти и понять ваши ключевые слова нужно их оформить в специальную конструкцию. Называется эта конструкция мета тегами и помещается в самый верх страницы между тегами head и /head.

Если мы хотим, что бы на наш сайт приходило как можно большее чис ло посетителей, то необходимо его зарегистрировать в различных каталогах, рейтингах, поисковых системах.

Каталоги. Службы каталогов – это огромные коллекции ссылок, разби тые на тематические разделы. Во всех каталогах существуют специальные формы (с надписями "добавить URL", "добавить ссылку", "зарегистриро ваться"). Заполнив такую форму, где надо указать ряд данных о своем сайте, веб-мастер имеет шанс попасть в соответствующий каталог. В некоторых ка талогах ссылки публикуются сразу, в других - предварительно проверяются 25.4 Поисковые системы администратором, в зависимости от скорости этой процедуры регистрация ресурса может занять 1-3 недели с момента заполнения формы.

Рейтинги. В отличие от каталогов, в рейтинге страницы расположены в порядке увеличения некоторого количественного признака. Чаще всего кри терием оценки является посещаемость сайта. Однако есть рейтинги, в кото рых применяются и другие способы сортировки (например, опрос посетите лей).

Рейтинг имеет большое значение при продвижении нового ресурса и яв ляется далеко не последним источником посетителей сайта: чем выше ваша позиция в рейтинге, тем больше народу к вам придет с него, и, следовательно, тем выше становится ваша позиция.

25.4 Поисковые системы Вероятно, самым сейчас главным средством для нахождения необходимой информации в Интернете являются поисковые машины. Робот - основа поис ковой машины - оценивает текст вашей страницы и определяет его релевант ность (соответствие) введенному запросу. В отличие от каталогов и рейтинго вых систем, при использовании поисковых машин люди попадают непосред ственно на интересующий их материал, который далеко не всегда является головной страницей сайта. Поэтому работа с поисковыми машинами является одним из самых эффективных способов увеличения посещаемости ресурса.

Напомним, что поисковая система включает в себя "паука" (crawler) и ин декс. "Паук" (робот) постоянно "обходит" интернет, все встреченные ресурсы просматривает и заносит специальным образом в свою базу данных – индекс (то есть, индексирует). Таким образом, при запросе на сайте поисковой ма шины поиск происходит не по реальным сайтам, а только по тому, как они представлены в индексе.

Вероятно "паук" когда-либо доберется и то вашего сайта, но никто не знает когда это произойдет. Поэтому рекомендуется зарегистрировать свой ресурс в поисковой системе, т. е. "встать в очередь к пауку" на индексацию.

Остановимся теперь на общей схеме работы поисковой системы. Известно, что база данных, например Яндекса, содержит в себе следующую информа цию о каждом слове текста:

* номер документа;

* номер предложения;

* номер слова в предложении ;

* вес каждого слова.

Поэтому, упрощенно, можно считать, что база поисковой машины содер жит:

1) список проиндексированных страниц:

Номер сайта URL сайта 1. http://example-1.ru/ 2. http://example-2.ru/ 3. http://example-3.ru/......

166 Способы продвижения сайта 2) словарь, который может иметь, например, следующий вид:

Слово Номер сайта (номер предложения, номер слова) 123 (10,1), (15,2) 421 (43,4), (121,5), (130,2) Математика 730 (2,1) 1201 (3,2), (7,1)......

123 (1,1) 224 (3,4), (21,5), (35,1) Математический 689 (23,4), (67,4) 532 (31,8)......

123 (1,2), (15,2) 466 (43,4), (51,7), (129,5) Анализ 610 (2,1), (86,3) 689 (13,4), (37,9), (67,5)......

123 (4,1) 256 (9,2), (51,7), (305,1) Геометрия 345 (24,1), (67,3) 456 (38,1)......

.........

При поиске используется вся имеющаяся информация. При каждом запро се ищутся (и получают более высокий ранг) 1) фразы, точно совпадающие с запросом 2) предложения, содержащие все слова запроса, и т.д.

Важную роль играет относительное положение слов. Так, например, если запрос из четырех слов не имеет точного ответа в базе данных, будут отран жированы выше предложения, содержащие три слова из запроса, в которых слова стоят точно в той же последовательности, что и в запросе. Это да ет возможность решать типичную поисковую задачу - искать документ по "неточному цитированию".

Рассмотрим пример запроса: ’математический анализ’. Из приведенной таблицы видно, что слово ’математический’ встречается на страницах с но мерами 123, 224, 689, 532 и т. д., а слово ’анализ’ – на сайтах с номерами 123, 466, 610, 689 и т. д. Оба эти слова присутствуют на страницах 123 и 689.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.