авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ВОДОПЬЯНОВ В. И., САВКИН А. Н., КОНДРАТЬЕВ О. В.

КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН, О. В. КОНДРАТЬЕВ

КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ

Учебное пособие

Волгоград

2012

1 УДК 539. 3(075) Рецензенты:

зав. кафедрой «Общепрофессиональные дисциплины» Волгоградского филиала Российского государственного университета туризма и сервиса канд. техн. наук В. А. Рыгин;

профессор кафедры «Информационные системы в экономике» Волгоградского кооперативного института Российского университета кооперации д–р техн. наук Е. П. Богданов Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета Водопьянов, В. И.

К ур с с о п р о ти вл е н и я м а те р и а л о в с п р и м е р а м и и з а д а ча м и : учеб. пособие / В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В.

Кондратьев ;

ВолгГТУ. – Волгоград. 2012. – 147 с.

ISBN 978-5-9948-1099- Содержит основной теоретический материал и примеры практической реализации теоретических положений. Составлены контрольные задания, по зволяющие студентам приобрести навыки первых самостоятельных расчетов на прочность и жесткость.

Предназначено для студентов немеханических специальностей безотрыв ной формы обучения.

Ил. 69. Табл. 4 Библиогр.: 5 назв.

© Волгоградский государственный ISBN 978-5-9948-1099-6 технический университет, © В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В. Кондратьев, ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ...................................... 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСА...................... 1.1. Общие определения............................ 1.2. Гипотезы и допущения, принятые в сопротивлении материалов 1.3. Типы схематизаций, используемые в сопротивлении материалов 1.4. Внутренние усилия. Метод сечений................... 1.5. Понятие о напряжениях.......................... 1.6. Виды деформаций и деформирования................. 2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ........................... 2.1. Внутренние усилия, напряжения, деформации.

........... 2.2. Связь напряжений и деформаций................... 2.3. Механические характеристики конструкционных материалов... 2.4. Расчеты на прочность при растяжении................. 2.5. Расчеты на жесткость при растяжении................ 3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ........... 3.1. Понятие о напряженном состоянии.................... 3.2. Линейное напряженное состояние.................... 3.3. Плоское напряженное состояние..................... 3.4. Свойства нормальных и касательных напряжений........... 3.5. Графическое определение напряжений на наклонных площадках.. 3.6. Графическое определение главных напряжений........... 3.7. Объемное напряженное состояние................... 3.8. Деформированное состояние...................... 3.9. Обобщенный закон Гука для изотропного тела............ 3.10. Изменение объема тела......................... 3.11. Примеры различных видов напряженного состояния......... 3.12. Понятия о теориях прочности..................... 4. СДВИГ, СМЯТИЕ............................... 5. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 5.1. Внутренние усилия при кручении................... 5.2. Напряжения при кручении....................... 5.3. Расчет на прочность при кручении................... 5.4. Деформация вала при кручении.................... 5.5. Расчет валов на жесткость........................ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ 6. СЕЧЕНИЙ.....................................

6.1. Статический момент площади сечения................. 6.2. Момент инерции сечения........................ 6.3. Момент сопротивления......................... 6.4. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей............................ 6.5. Изменение моментов инерции при повороте осей........... 6.6. Главные оси инерции и главные моменты инерции.......... 7. ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ....................... 7.1. Внутренние усилия при изгибе..................... 7.2. Дифференциальные зависимости при изгибе............. 7.3. Правила проверки построения эпюр Q и M.............. 7.4. Нормальные напряжения при изгибе.................. 7.5. Расчеты на прочность при изгибе по нормальным напряжениям.. 7.6. Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе...... 8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ........................ 8.1. Косой изгиб.............................. 8.2. Изгиб с растяжением......................... 8.3. Изгиб с кручением............................ 9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ СИЛ..................... 9.1. Равноускоренное движение тела. Динамический коэффициент... 9.2. Ударное действие нагрузки...................... 9.3. Прочность при переменных нагрузках................ 10. ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ................ 10.1. Рекомендации к выполнению контрольной работы......... 10.2. Условия задач к контрольной работе.................. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Примеры решения задач.................... ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Справочные данные........................ ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов – практически первая учебная дисципли на общеинженерной подготовки, с которой сталкивается студент. Это нау ка о прочности и жесткости элементов и деталей конструкций, которая ставит задачу разработать простые, удобные для практического примене ния методы расчетов типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций.

Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисцип линам общеинженерной подготовки специалистов с высшим техническим образованием. Без фундаментального знания сопротивления материалов немыслимо создание различного рода машин и механизмов, гражданских и промышленных сооружений, мостов, линий электропередач и антенн, ан гаров, кораблей, самолетов и вертолетов, турбомашин и электрических машин, агрегатов атомной энергетики, ракетной и реактивной техники и др.

В условиях постоянно сокращающегося в учебных планах времени, отводимого на изучение общетехнических дисциплин, и в то же время не обходимости формирования у будущих инженеров базового объема знаний о прочности и надежности создаваемых и находящихся в эксплуатации из делий, важно иметь обеспечение студентов пособиями, небольшими по объему, но охватывающими основные разделы знаний в соответствии с за дачами формирования у студентов необходимой подготовки по прочности и надежности конструкций.

Настоящее пособие предназначено преимущественно для студентов, обучающихся по безотрывной форме обучения для немеханических специ альностей, включающей в себя курс сопротивления материалов по сокра щенной программе или входящей в состав курса «Прикладная механика».

Пособие содержит основной материал по изучаемой дисциплине.

В основные разделы курса включены примеры, позволяющие от за дач простейших переходить к более сложным параллельно с изучением теоретического материала. Приложением к изучаемому материалу предла гается контрольная работа с методическими указаниями по ее выполне нию. В зависимости от специальности преподаватель может варьировать объем контрольных заданий.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСА 1.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Сопротивление материалов – раздел более общей науки – механики деформируемого твердого тела, в котором излагаются основы и методы инженерных расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость, устойчивость и выносливость при одновременном удовлетворении требо ваний надежности, экономичности и долговечности. Кроме сопротивле ния материалов в механику деформируемого твердого тела входят: теория упругости, теория пластичности и ползучести, теория сооружений, строи тельная механика, механика разрушения и др.

Прочность – способность материала (образца, детали, элемента конструкции…) не разрушаясь сопротивляться действию внешних сил.

Часто под прочностью понимают способность сопротивляться развитию пластических деформаций под действием внешних сил. Целью расчета на прочность является определение размеров деталей или величины внешних нагрузок, при которых исключается возможность разрушения элемента конструкции.

Жесткость – способность конструктивных элементов деформиро ваться без существенного изменения геометрических размеров. Целью расчета на жесткость является определение нагрузок и размеров деталей, при которых исключается возможность появления недопустимых с точки зрения нормальной работы конструкции деформаций.

Устойчивость – способность конструктивного элемента сохра нять под нагрузкой первоначальную форму равновесия. При потере устой чивости возникает продольный изгиб – изгиб первоначально прямолиней ного стержня под действием центрально приложенных продольных сжи мающих сил.

Выносливость или циклическая прочность – способность мате риала противостоять усталости.

Усталость – процесс постепенного накопления повреждений под действием переменных напряжений, приводящий к изменению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению.

Надежность – свойство объекта сохранять работоспособное со стояние в течение некоторого времени или некоторой наработки.

Долговечность – свойство элемента или системы длительно сохра нять работоспособность до наступления предельного состояния при оп ределенных условиях эксплуатации.

В теоретической части сопротивление материалов базируется на математике и теоретической механике, в экспериментальной части – на физике и материаловедении и применяется при проектировании машин, приборов и конструкций. Обе части, относящиеся к этой науке, имеют оди наково большое значение. Практически все специальные дисциплины под готовки инженеров по разным специальностям содержат разделы курса сопротивления материалов, так как создание работоспособной новой техники невозможно без анализа и оценки ее прочности, жесткости и на дежности.

Задачей сопротивления материалов, как одного из разделов механики сплошной среды, является определение деформаций и напряжений в твер дом упругом теле, которое подвергается силовому или тепловому воздей ствию. Сопротивление материалов базируется на ряде гипотез геометри ческого или физического характера. Такой метод позволяет получить, хотя и не во всех случаях, вполне точные, но достаточно простые формулы для вычисления напряжений.

1.2. ГИПОТЕЗЫ И ДОПУЩЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ 1. Гипотеза сплошности и однородности — материал представ ляет собой однородную сплошную среду;

свойства материала во всех точ ках тела одинаковы и не зависят от размеров тела. Атомистическая тео рия дискретного строения вещества во внимание не принимается. Гипотеза позволяет не учитывать особенности кристаллической структуры металла, разный химический состав и прочностные свойства связующего и напол нителей в пластмассах, бетонах (щебень, песок, цемент), наличие сучков в древесине.

2. Гипотеза об изотропности материала – физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям. В некоторых слу чаях предположение об изотропии неприемлемо, материал является анизо тропным. Так, анизотропными являются древесина, свойства которой вдоль и поперек волокон различны, а также армированные (композицион ные) материалы.

3. Гипотеза об идеальной упругости материала – тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устране ния причин, вызвавших его деформацию.

4. Гипотеза о совершенной упругости материала – перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропор циональны силам, вызывающим эти перемещения (справедлив закон Гука).

В действительности реальные тела можно считать упругими только до оп ределенных величин нагрузок, и это необходимо учитывать, применяя формулы сопротивления материалов.

5. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях – поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, ос таются плоскими и нормальными к его оси в деформированном состоянии;

при изгибе сечения поворачиваются не искривляясь.

6. Принцип Сен-Венана – в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки. Резко выраженная неравномерность распределения напряжений по сечению 2-2, показанная на рисунке, постепенно выравнивается (сечение 3-3) и на удалении, равном ширине сечения (сечения 4-4 и 5-5), исчезает.

F F F F 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 h 3 3 3 F 0, A 4 4 4 F 2 F F A F h 0,7 1, A A A 5 5 5 А – площадь поперечного сечения Рис. 1.1. Распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня при растяжении сосредоточенной силой 7. Принцип Д’Аламбера – если к активным силам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоеди нить силы инерции, то получится уравновешенная система сил. Принцип используется в расчетах на прочность при динамическом действии сил.

8. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) – результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме ре зультатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения. Это же справедливо и в отношении деформаций.

9. Принцип начальных размеров (гипотеза о малости деформа ций) – деформации в точках тела настолько малы по сравнению с разме рами деформируемого тела, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу. Допущение при меняют при составлении условий статики, считая тело абсолютно твердым.

10. Допущение об отсутствии начальных внутренних усилий в теле до приложения нагрузки. Почти во всех реальных деталях и элемен тах конструкций указанное допущение полностью не выполняется. Внут ренние напряжения возникают в деревянных конструкциях вследствие не равномерного высыхания;

в стальных и чугунных отливках – вследствие неравномерного охлаждения;

в стальных деталях – вследствие термиче ской (закалка…) и механической (шлифование…) обработок. Формирова ние колесных пар для железнодорожных вагонов осуществляют путем за прессовки колес на ось. За счет натяга создаются напряжения в ступице колеса и подступичной части оси.

Замечание о точности расчетов и округлении результатов. С учетом изложенных гипотез и допущений, а также разбросов результатов экспериментов по определению механических свойств, точность инженер ных расчетов не превышает 3–5 %. В некоторых случаях погрешность 10–15 % считают приемлемой. На практике, если нет специальных указа ний, результат округляют до трех значащих цифр. Например, результат 568 234 следует округлить до 568 000, а результат 0,00237648 – до 0, или 2,3810-3.

1.3. Типы схематизаций, используемые в сопротивлении Же л е зн о д о р о ж н ы й в а г о н материалов Реальный объект – иссле дуемый элемент конструкции, взя тый с учетом всех своих особен ностей: геометрических, физиче- а ских, механических и других.

Расчет реального объекта F F является или теоретически невоз можным, или практически непри емлемым по своей сложности. По- б этому в сопротивлении материа- Пролёт балки лов используют расчетные схемы, Консоль Консоль Рис. 1.2. Пример реальной конструкции (а) в которых применяют упрощения, и соответствующей ей расчётной схемы (б) облегчающие расчет.

Расчетная схема – идеализированная схема, отражающая наиболее существенные особенности реального объекта, определяющие его поведе ние под нагрузкой. В зависимости от постановки задачи и требуемой точ ности ее решения для одной и той же конструкции может быть предложе но несколько расчетных схем. Так же и одна расчетная схема может соот ветствовать различным конструкциям.

Основная цель сопротивления материалов – создать практически приемлемые простые приемы (методики) расчета типовых наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость перехода от ре ального объекта к расчетной схеме (с целью упрощения расчетов) застав ляет вводить схематизацию понятий. Выделяют следующие типы схемати зации:

физическая схематизация;

геометрическая схематизация;

силовая схематизация.

Физическая схематизация (модель материала) Все изучаемые тела считают выполненными (изготовленными) из материалов, наделенными идеализированными свойствами. Материал эле ментов конструкций считают сплошным, однородным, изотропным и ли нейно упругим (см. выше гипотезы 1, 2, 3, 4).

Геометрическая схематизация (модель формы) Виды конструктивных элементов, встречающихся в сооружениях и машинах, при всем их разнообразии, можно свести к четырем основным категориям.

Массивное тело – тело, у которого все три размера величины одного порядка (рис. 1.3). Это – фундаменты сооружений, подпорные стенки, станины станков и т. п.

Брус – тело, одно из измерений которо го, значительно больше двух других. Брусья с прямолинейной осью постоянного сечения (а), Рис. 1.3. Массивное тело переменного сечения (б), ступенчатый (в), тонкостенный (толщина стенок значительно меньше габаритных размеров сечения) стержень (г), с криволинейными осями (д), (е), (ж) (рис. 1.4).

Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхно стями, расположенными на близком расстоянии одна от другой (рис. 1.5).

Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих поверхностей обо лочки, называют срединной поверхностью. По форме срединной поверхно сти различают оболочки цилиндрические, конические, сферические и др. К оболочкам относятся тонкостенные резервуары, котлы, купола зданий, обшивки фюзеляжей, крыльев (и других частей летательных аппаратов), корпуса судов и т. п.

а б в г д е ж Рис. 1.4. Примеры брусьев различной формы Рис. 1.5. Оболочка Рис. 1.6. Пластина Пластина – тело, ограниченное двумя параллельными поверхностя ми (рис. 1.6). Пластины могут быть круглыми, прямоугольными и иметь другие очертания. Толщина пластин, как и оболочек, может быть постоян ной или переменной. Пластинами являются плоские днища и крышки ре зервуаров, перекрытия инженерных сооружений, диски турбомашин и т. п.

Тела, имеющие эти основные формы, и являются объектами расчета на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем учебном пособии рассматриваются разделы, связанные с расчетом брусьев с прямолинейной геометрической осью.

Схематизация опор Схемы реальных опорных устройств можно свести к трем типам.

Шарнирно-подвижная опора балки (рис. 1.7, а) препятствует только вертикальному перемещению конца балки, но ни горизонтально му перемещению, ни повороту. Такая опора при любой нагрузке дает одну реакцию.

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.7, б) препятствует вертикаль ному и горизонтальному перемещениям конца балки, но не препятствует повороту сечения. Дает две реакции: вертикальную и горизонтальную.

Заделка (защемление) (рис. 1.7, в). Опора препятствует вертикаль ному и горизонтальному перемещениям конца балки, а также повороту се чения. Дает три реакции: вертикальную и горизонтальную силы и пару сил.

б в а Рис. 1.7. Схемы опорных устройств варианты их изображения:

а – шарнирно-подвижная опора;

б – шарнирно-неподвижная опора;

в – защемление (жесткая заделка) Силовая схематизация (модель нагружения) В нагруженном теле, находящемся в равновесии, внешние нагрузки стремятся вызвать деформацию тела, а внутренние усилия стремятся со хранить тело как единое целое.

Внешние нагрузки – силы взаимодействия между рассматривае мым элементом конструкции и другими телами, связанными с ним.

Классификация внешних нагрузок производится по трем признакам:

способу приложения, продолжительности действия, характеру изменения.

По способу приложения: сосредоточенные, распределенные.

Сосредоточенными (рис. 1.8, а) называют силы, приложенные к площадкам, размеры которых малы по сравнению с размерами объекта, например, давление обода колеса на рельс. Размерность Н, кгс (ньютон, ки лограмм силы).

Распределенными по площади (поверхностными) (рис. 1.8, б) на зывают силы, приложенные к площадкам контакта, например, давление жидкости или газа на стенки сосуда, снеговая нагрузка на кровлю здания.

Давление выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади, Н/м2, кгс/см2. Производная единица Паскаль: 1 Па = 1 Н/м2.

Распределенные по длине (рис. 1.9, а) равномерно или по заданному закону (треугольному, параболическому…). Размерность Н/м, кгс/м.

Объемные силы (рис. 1.9, б) непрерывно распределены по объему, занимаемому элементом, например, сила тяжести, сила инерции. Характе ризуются интенсивностью, то есть отношением единицы силы к единице объема, Н/м3, гс/см3.

По продолжительности действия: постоянные и временные.

Постоянные действуют в течение всего времени существования конструкции, например, нагрузка на фундамент здания.

q, МПа 1,5 кН 2,5 кН 1,5 кН 2,5 кН а б Рис. 1.8. Примеры сосредоточенной (а) и равномерно распределенной по площади (б) нагрузок Собственный вес 1 см 1 см 1 см 7,85 г 7,85 г 7,85 г а б Рис. 1.9. Виды распределенной по длине (а) и объему (б) нагрузок Временные действуют на протяжении отдельных периодов экс плуатации объекта, например, давление газа в баллоне.

По характеру изменения в процессе приложения Статические – постоянные (нагрузка от собственного веса), или медленно изменяющиеся так, что силами инерции вследствие ускорения можно пренебречь (изменение давления от снеговой нагрузки).

Динамические – вызывающие в конструкции или отдельных ее эле ментах большие ускорения, которыми пренебречь нельзя. Величина этой нагрузки значительно изменяется за малые промежутки времени, напри мер, ударная.

Повторно-переменные – изменяющиеся по некоторому закону.

Примеры: изменение натяжения ветви ремня (или цепи) в зависимости от ее положения в текущий момент времени – сбегающая или набегающая ветвь на ведущий шкив (звездочку). Изменение натяжения спицы велоси педного колеса в зависимости от ее положения (верхнее или нижнее в дан ный момент вращения колеса).

1.4. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ Величиной внутренних усилий определяется степень деформации элемента конструкции и возможность разрушения в том или ином опасном сечении элемента конструкции.

Внутренние усилия – силы взаимодействия между частицами тела (кристаллами, молекулами, атомами), возникающие внутри элемента кон струкции, как противодействие внешним нагрузкам.

Для выявления внутренних усилий пользуются методом сечений.

1. Рассечь нагруженное тело плоскостью Р на две части (рис. 1.10, а).

2. Отбросить одну из частей q P (рис. 1.10, б). Реальное тело пред- F ставляет собой конгломерат различно F ориентированных зерен, от граней F которых в разных направлениях дей а M ствуют элементарные внутренние F усилия.

3. Заменить действие отбро- F шенной части внутренними усилия ми. При этом используется аппарат F теоретической механики: определе б ние равнодействующей системы схо дящихся сил, параллельных сил, пе- F ренос сил в заданную точку – центр y R F тяжести сечения 0 (рис. 1.10, в). По лученные в результате приведения F x главный вектор R и главный момент z в M спроецировать на главные оси M инерции z, y и геометрическую ось x. F y My 4. Уравнения равновесия по F зволяют определить внутренние уси- Qy Т лия. Всего их шесть: три силы – x F Mz проекции главного вектора R N (рис. 1.10, г): г z Qz F Рис. 1.10. Определение внутренних усилий методом сечений N = … Продольное усилие от англ. normal X = 0;

Qy =… Поперечное усилие Y = 0;

от нем. querlaufend Z = 0;

Qz =… Поперечное усилие и три момента – проекции главного момента М:

Mx = 0;

T = … от англ. torsional, torque Крутящий момент My = 0;

My =… Изгибающий момент от англ. moment Mz = 0;

Mz =… Изгибающий момент Таким образом, можно сформулировать правило определения внутренних силовых факторов: внутренние силы N, Qy, Qz численно равны алгебраической сумме проекций всех внешних сил (в том числе и ре акций), приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сече ния. Аналогично: внутренние моменты T, My, Mz численно равны алгеб раической сумме моментов от внешних сил, действующих по одну сторо ну от рассматриваемого сечения. Какую именно сторону, правую или ле вую, верхнюю или нижнюю следует рассматривать, зависит от схемы на гружения. Предпочтение следует отдавать более простому варианту.

Принимая во внимание важность описанных выше процедур, запи шем кратко последовательность основных этапов метода сечения:

Р – рассечь тело на две части плоскостью;

О – отбросить одну из частей тела;

– заменить действие отброшенной части внутренними усилиями;

З У – уравнения равновесия составить.

Единица измерения усилий – ньютон (обозначение: Н). Это произ водная единица. Исходя из второго закона Ньютона (F = m·a) она опреде ляется как сила, изменяющая за 1 с скорость тела массой 1 кг на 1 м/с в на правлении действия силы. Таким образом, 1 Н = 1 кг·м/с2. Измерять силу в ньютонах стали спустя два века после смерти великого ученого, когда бы ла принята система СИ. 1 Н = 0,10197162 кгс;

1 кгс = 9,80665 Н.

Каждая компонента внутренних усилий характеризует сопротивле ние тела какому-либо одному виду деформации – простому сопротивле нию. Например, при N 0, будет растяжение или сжатие. При Q 0 имеет место сдвиг, при Т 0 – кручение, а при М 0 – изгиб. При наличии двух и более компонентов будет сложное сопротивление тела.

1.5. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ Напряжение в точке по сечению – внутренняя сила взаимодействия, приходя y щаяся на единицу площади у этой точки.

Напряжение – величина, характеризую- dQ dR щая интенсивность внутренних усилий в точке.

dА Рассмотренные ранее усилия N, Qy, Qz, dN My, Mz, T являются интегральным эквивален- том внутренних сил, распределенных по пло- x z щади сечения. Эти силы характеризуются их интенсивностью (рис. 1.11) Рис. 1.11. Разложение эле ментарного внутреннего R N Q p lim ;

lim ;

lim. усилия на составляющие A 0 A A 0 A A 0 A Напряжение нормальное – перпендикулярное к сечению, харак теризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элементов конст рукции.

Напряжение касательное – действующее в плоскости сечения, характеризует интенсивность сил, сдвигающих эти части в плоскости се чения.

Напряжение полное p 2 2.

y Суммируя элементарные усилия ·dA, My Qy y·dA, z·dA (рис. 1.12), распределенные по се ydA чению и их моменты относительно координат y dА ных осей, получим (рис. 1.14) ·dA zdA y z z y d A;

N d A;

T N z x Mz A A T Q y y d A;

M y z d A;

z A A Qz Q z z d A;

M z y d A.

Рис. 1.12. Связь напряжений A A с внутренними усилиями Единица измерения давления и меха нического напряжения паскаль (обозначение Па). Паскаль – давле ние, вызываемое силой 1 Н, равномерно распределенной по поверх ности площадью 1 м 2.

1 Па = 1 Н/м2;

1 МПа = 0,102 кгс/мм2;

1 МПа = 10,2 кгс/см2;

1 МПа = 1 Н/мм2;

1 кгс/мм2 = 9,81 МПа.

1.6. ВИДЫ ДЕФОРМАЦИЙ И ДЕФОРМИРОВАНИЯ Реальные тела не являются абсолютно твердыми и под действием приложенных сил могут изменять свое положение в пространстве.

Перемещение – изменение положения в пространстве точки или поперечного сечения.

Деформация – изменение формы и размеров тела под действием приложенных F F сил.

Деформация упругая e – исчезаю щая после снятия нагрузки (от англ. elastic).

Деформация пластическая p – p e остающаяся после снятия нагрузки Рис. 1.13. Составляющие (от англ. plastic).

деформации растяжения Деформация абсолютная (полная) – S = e + p. Q Деформация относительная = /. S – абсолютный сдвиг.

a – относительный сдвиг, угловая деформация, Q S угол сдвига tg Рис.1.14. Деформа.

a ция сдвига Растяжение (сжатие) – вид сопротивления (деформирования), при котором из шести внутренних усилий не равно нулю одно – продольное усилие N. Стержень – брус, работающий на растяже ние или сжатие.

Сдвиг – вид сопротивления (деформирования), характеризующийся взаимным смещением параллельных слоев материала под действием прило женных сил при неизменном расстоянии между слоями. Внутреннее усилие одно – поперечная сила Q.

Кручение – вид сопротивления (деформирования), при котором из шести внутренних усилий не равно нулю одно – крутящий момент Т. Кру чение возникает при действии на брус внешних сил, образующих момент относительно его продольной оси. Вал – брус, работающий на кручение.

Вал – вращающаяся (обычно в подшипниках) деталь машины, передающая крутящий момент.

Изгиб – вид сопротивления (деформирования), при котором происхо дит искривление оси прямого бруса, или изменение кривизны кривого бруса.

2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 2.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИ Я, НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФ ОРМАЦИИ Растяжение (сжатие) – вид деформации, при котором из шести внутренних усилий не равно нулю одно – продольное усилие N. Растяжение возникает, если противоположно направленные силы приложены вдоль оси стержня. Растягивающие продольные силы принято считать положи тельными, а сжимающие – отрицательными.

Стержень – брус, работающий на растяжение или сжатие. Для определения опасного участка строят эпюры внутренних усилий и напря жений.

Эпюра – график, изображающий закон изменения внутренних усилий или напряжений по длине бруса, а также напряжений по поперечному се чению бруса.

Деформация – изменение формы и размеров тела под действием приложенных сил.

Деформация упругая e – исчезающая после снятия нагрузки (от англ. elastic).

Деформация пластическая p – остающаяся после снятия нагруз ки (от англ. Plastic).

Деформация абсолютная (полная) = e + p (рис. 2.1).

Деформация относительная = /. ;

b b a a1 a 0;

F F 1 а a a 1 b b1 b а 0.

2 Рис. 2.1. Изменение размеров b b стержня при его растяжении При растяжении стержня происходит увеличение его длины и уменьшение поперечных размеров (рис. 2.1).

Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) – абсолютная величина отношения поперечной относительной деформации к продольной (упругая постоянная материала) 1. (2.1) 0 – кора пробкового дерева, min;

0,28 – стали;

0,5 – каучук, парафин, max.

2.2. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ На основании гипотезы Бернулли (плоских сечений) и принципа Сен-Венана (о равномерном распределении напряжений по сечению) внут ренние усилия:

N d A;

N d A;

N A, A A N откуда. (2.2) A Закон Гука – нормальное напряжение прямо пропорционально от носительной линейной деформации E. (2.3) Подставив = N/A и = /, получим иную форму записи закона Гука:

N. (2.4) EA Здесь Е – модуль нормальной уп ругости, модуль упругости перво- Е = 200 ГПа – стали;

го рода, модуль Юнга – константа Е = 110 ГПа – титановые сплавы;

материала.

Е = 100 ГПа – медные сплавы;

Произведение EA – жест Е = 70 ГПа – алюминиевые сплавы.

кость сечения при растяжении.

Модуль упругости характеризует сопротивление материала дефор мированию растяжением (сжатием) в упругой области.

Геометрический смысл моду- N N ля упругости – тангенс угла наклона A начального участка диаграммы растя жения Е ~ tg.

Физический смысл модуля упругости – напряжение, требующее- Рис. 2.2. Линейный участок ся для удлинения стержня вдвое: диаграммы растяжения Е = при = 1, то есть при =.

Реально достижимые напряжения в упругой области деформирования примерно в тысячу раз меньше.

2.3. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Основные прочностные и деформационные характеристики материа лов, используемых в элементах конструкций, определяют эксперименталь но. Проводят испытания лабораторных образцов на растяжение, сжатие, срез, кручение, изгиб при статическом и циклическом нагружении, на воз духе и в агрессивных средах, при комнатной, высоких и низких температу рах. Наиболее распространенным является испытание на растяжение ста тической нагрузкой, позволяющей определить большинство механических характеристик материала.

Машинная диаграмма – диаграмма растяжения стандартного об разца в координатах F –, автоматически записываемая диаграммным аппаратом испытательной машины.

Стандартами предусмотрены образцы плоские и цилиндрические различной длины, размеров поперечного сечения и конструктивного ис полнения. Судить лишь о механических свойствах материала, исключая особенности формы и размеров образца, позволяет диаграмма растяжения, представляемая в координатах –.

F ;

. (2.5) A Здесь – условное напряжение;

– относительное удлинение, А0 – началь ная площадь поперечного сечения образца;

0 – начальная длина образца.

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали (рис. 2.3, а) имеет несколько характерных участков: 1 – участок упругих деформаций;

2 – площадка текучести;

в 3 – участок упрочнения;

4 – участок образова 3 т ния шейки и разрушения. Диаграммы растяже ния большинства конструкционных металлов: а легированных и углеродистых сталей в зака ленном и нормализованном состоянии, цвет ных сплавов, полимеров и других материалов площадки текучести не имеют (рис. 2.3, б).

По результатам испытаний определяют 0, характеристики прочности и пластичности.

Приведем некоторые из характеристик проч- б ности.

Предел текучести физический т – на = 0, пряжение, при котором образец деформиру ется при практически постоянной нагрузке Рис. 2.3. Виды диаграмм (рис. 2.3, а). растяжения Предел текучести условный 0,2 – на пряжение, при котором остаточное удлинение достигает 0,2 % расчет ной длины образца (рис. 2.3, б).

Временное сопротивление (предел прочности) в – напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрыву образца F F F т т ;

0,2 0,2 ;

в в. (2.6) A0 A0 A Пластичность – способность материала получать большие пла стические деформации без разрушения. Мерой пластичности являются от носительное остаточное удлинение и относительное сужение.

Относительное удлинение после разрыва – отношение прираще ния расчетной длины образца ( к 0 ) после разрушения к начальной рас четной длине 0, выраженное в процентах к к 100. (2.7) Относительное сужение после разрыва – отношение разности A0 и минимальной Aк площади поперечного сечения после разрушения к на чальной площади поперечного сечения образца A0, выраженное в процен тах А Ак 0 100. (2.8) А Чем пластичнее материал, тем больше относительное удлинение и относительное сужение после разрыва. Материалы условно подразделяют на пластичные (к 5 %) и хрупкие (к 5 %).

2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации.

Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми:

с с, р р ;

(2.9) где р и с – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напря жения;

[р] и [с] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии.

Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы:

пред. (2.10) n Здесь пред – предельное напряжение (состояние), при котором кон струкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям;

им мо гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре дел ползучести и др.

Для конструкций из пластичных материалов при определении допус каемых напряжений используют предел текучести т (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удов летворять условиям эксплуатации.

+ + Допускаемое напряжение в этом т вр случае определяют как т.

- - (2.11) nт + + Для хрупких материалов (чу т гун, бетон, керамика) а б р nвр;

с вс, вс (2.12) nв Рис. 2.4. Диаграммы растяжения и сжа в тия пластичного (а) и хрупкого (б) где вр и вс – пределы прочности материалов при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б).

Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напря жение, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести т и [n в ] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности в.

Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретиче ской нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов.

Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят:

от класса конструкции (капитальная, временная), намечаемого срока эксплуатации, условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) неточности задания величины внешних нагрузок, неточности расчетных схем и приближенности методов расчета и других факторов.

Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях обще го машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2;

[nв] = 3 – 5.

Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помо щью коэффициента запаса в условии прочности:

n=1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %;

n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %;

n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %;

n=2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %.

Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало.

Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно па дение.

При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности N :

(2.13) A а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют = N/A и, сравнивая его с предельным т или в (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят факти ческий коэффициент запаса прочности т, nв в, nт который затем сопоставляют с нормативным [n];

б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение []. Определяют требуемую площадь попе речного сечения стержня N A A ;

(2.14) в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение []. Вычисляют внутреннее усилие N N A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагруз ки F [F].

2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости max, где [] – величина допускаемого перемещения (изме нение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения.

Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2.4) закона Гука.

Пример 2.1. Выполнить поверочный и A3 A2 A g d e f проектный расчеты ступенчатого бруса.

а По результатам проектного расчета по F R F3 F2 строить эпюру перемещения сечений. Ис b с a ходные данные представлены в таблице:

III II I А1 = 5,4 см2;

F1 = 45 кН;

a = 0,3 м;

б А2 = 2,7 см2;

F2 = 80 кН;

b = 0,2 м;

x F NI А3 = 3,1 см2;

F3 = 30 кН;

c = 0,4 м;

E = 2105 МПа Мат-л: сталь т = 250 МПа в x Решение F NII F Разбиваем брус на участки. Границей г участка считают: а) точку приложения сило x вого фактора;

б) изменение размеров или F NIII F F3 формы поперечного сечения;

в) изменение д материала бруса. Брус одним концом защем + N, лен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5, кН – а). Для нахождения внутренних усилий при подходе слева направо, придется определять опорную реакцию R. Указанную процедуру,0 е + можно избежать при подходе справа налево, МПа – то есть со свободного конца.

83, 350 1. Поверочный расчет 217 ж, А. Определение внутренних усилий.

мкм Применяем методом сечений. Рассекаем Рис. 2.5. Схемы к определе- брус на две части в произвольном сечении нию внутренних усилий, участка I. Отбрасываем одну из частей (ле напряжений и перемеще вую). Заменяем действие отброшенной части нию сечений внутренним усилием NI. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим;

его вектор направ лен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем, проецируя все силы на продольную ось x бруса X 0;

N I F1 0;

N I F1 45 кН.

Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим.

Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участ ках (рис. 2.5, в и г):

X 0;

N II F1 F2 0;

N II F1 F2 45 80 35 кН.

X 0;

N III F1 F2 F3 0;

N III F1 F2 F3 45 80 30 65 кН.

Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изме нения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем най денные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбран ном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат гра фика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны.

Б. Определение напряжений на каждом из участков:

N I 45 103 Н 8,33 107 2 83,3 МПа;

I A1 5,4 10 м N 35 10 Н 1,30 108 2 130 МПа;

II II A2 2,7 10 м 65 N III Н 2,10 108 2 210 МПа.

III A3 3,1 10 4 м Строим эпюру напряжений.

В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу те кучести:

I участок : nт т 3,0;

прочность избыточна;

I 83, т II участок : nт 1,92;

прочность обеспечена;

II т III участок : nт 1,19;

прочность недостаточна.

III Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих уча стков выполняем проектный расчет.

2. Проектный расчет N выполняем под Из условия прочности при растяжении A бор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назна чив допускаемое напряжение т 350 175 МПа.

nт Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомен дуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2.

N I 45 2,57 10 4 м 2.

AI 175 10 65 N III 3,71 10 4 м 2.

AIII 175 3. Определение перемещений сечений А. Удлинения каждого из участков 45 103 0, NI a I 263 мкм.

E AI 2 1011 2,57 10 35 103 0, N II b II 130 мкм.

E AII 2 1011 2,7 10 65 103 0, N III c III 350 мкм.

E AIII 2 1011 3,71 10 Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d.

Оно защемлено, его перемещение равно нулю d = 0.

e III 350 мкм;

f III II 350 130 480 мкм;

g III II I 350 130 263 217 мкм.

Строим эпюру перемещений.

Выводы 1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность од ного из элементов обеспечена;

другого – избыточна;

третьего – недоста точна.

2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе речных сечений двух элементов конструкции.

3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каж дого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления.

F1 = 40 кН;

Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сече F2 = 60 кН;

ния вдоль его оси приложены две силы. По условиям экс a = 0,5 м;

плуатации введено ограничение на величину перемещения [] = 180 МПа;

[] концевого сечения С. Из условий прочности и жест [] = 1 мм.

кости подобрать размер поперечного сечения.

Решение 1. Определение внутренних усилий Покажем возникающую в опоре реакцию R;

определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – про дольная ось бруса (на рисунке не показана).

I участок: X 0;

N I F1 0;

N I F1 40 кН.

II участок: X 0;

N II F1 F2 0;

N II F1 F2 40 60 20 кН.

Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково со противляются деформации растяжения и сжатия).

2. Проектный расчет из условия прочности F1 N, кН C Из условия прочности при растяжении N max – 2а A I находим требуемую площадь поперечного сечения стержня F N I 40 2,22 10 4 м 2.

II + а A 180 R 3. Проектный расчет из условия жесткости Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых:

N 2a N II a a N I 2 N II, С I II I EA EA EA откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня a 0, 40 103 2 20103 1,5 10 4 м 2.

N I 2 N II A E 2 10 0, Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного се чения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А 2,22 см2.

а 2а Пример 2.3. Жесткая балка (ее F деформацией пренебречь) подперта стальным стержнем (подкосом). Про а верить прочность стержня. Опреде лить допускаемую нагрузку F для за данного размера поперечного сечения а 2а Ry F стержня. Выполнить F = 80 кН;

проектный расчет из А = 15 см2;

B Rx условия прочности и N a = 1 м;

жесткости ([F] – до б пускаемая величина пе- = 30°;

D B C ремещения балки в точ- т = 340 МПа;

F C [F] = 10 мм.

ке приложения силы).

D C в C Решение 1. Поверочный расчет А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из час тей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две состав ляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равнове сия, в которое не вошли бы опорные реакции:

M B 0;

F 3a N a sin 0;

F 3a 80 3 N 480 кН.

a sin 1 0, Усилие в стержне сжимающее.

Б. Определение напряжения N 480 10 320 МПа.

15 10 A В. Коэффициент запаса прочности Фактический коэффициент запаса n т т 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений n т 1,32,3. Вывод:

прочность недостаточна.

2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня N находим допус Из условия прочности при растяжении A каемую нагрузку на стержень N A 15 10 4 170 10 6 255 кН.

Здесь допускаемое напряжение т 170 МПа. Нормативный n т коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона n т 1,3 2,3.

Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускае мой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне:

F N a sin 255 0, 42,5 кН.

3a 3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия проч ности при растяжении:

480 10 N 2,82 10 3 м 2 28,2 см 2.

A 170 10 4. Проектный расчет из условия жесткости Под действием внешней нагрузки стержень деформируется;

сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы F связано с перемещением уз ла С точки прикрепления стержня к балке соотношением:

DD 3a 3, что следует из подобия треугольников BDD и BCC.

CC a Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на CC sin.

N N 2a Деформацию стержня определяем по закону Гука:.

E A E A cos Здесь – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции:

N 2a F находим требуемое значение F DD 3CC E A sin cos площади поперечного сечения стержня 6 480000 3 N 2a 3,33 10 3 м 2 33,3 см 2.

A F E sin cos 0,01 210 0,5 0, Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовле творяющее обоим условиям, то есть А 33,3 см2.

Выводы 1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента кон струкции недостаточна.

2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, прило женная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН.

3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено зна чение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетво ряющее обоим условиям: 33,3 см2.

3. НАПРЯЖЕННО–ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ Если твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точ ку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения, вызывающие линейные и угловые деформации.


3.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ Напряженное состояние – совокупность напряжений, действую щих по всевозможным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку.

Напряжение – величина, характеризующая интенсивность внут ренних усилий, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий, то есть внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в окрестности рассматриваемой точки.

Напряжение полное p – уравновешивающее внешнюю нагрузку. На пряжение р – величина векторная, раскладывается на составляющие: по нормали к сечению и в плоскости сечения, причем p2 = 2 + 2.

Напряжение нормальное – перпендикулярное к сечению.

y Напряжение касательное – дейст y вующее в плоскости к сечению.

yx yz Обозначение индексов при напряже xy zy ниях: первый соответствует площадке, нор dy маль к которой совпадает с направлением x z оси (адрес площадки);

второй указывает на zx xz правление напряжений. Нормальные на z x пряжения имеют только первый индекс.

dz dx Правила знаков Рис. 3.1. Нормальные и каса Нормальные напряжения вызывают уд тельные напряжения, дейст вующие по граням элементар линение или укорочение граней параллеле ного параллелепипеда пипеда. Растягиваю- + + щие напряжения считают положительными.

Касательные напряжения вызывают смещение граней, их сдвиг, изменение углов прямых на тупые и острые. Касательное напряжение положительно, ес- + + ли изображающий его вектор стремится вращать грань по ходу часовой стрелки.

Напряженное состояние характеризуют тензором напряжений.

Тензор (от лат. tensus напряженный, натянутый) – величина особого рода, задаваемая числами и законами их преобразования;

является разви тием и обобщением векторного исчисления и теории матриц.

В первой строке тензора ставят напряже x xy xz ния на первой площадке (х);

во второй – на площадке у;

в последней строке – на площадке T yx y yz z. Тензор содержит девять компонентов.

z zx zy Параллелепипед, выделенный в окрест ности рассматриваемой точки, должен нахо диться в равновесии при действии сил, приложенных к его граням. Нор мальные силы, приложенные к граням параллелепипеда, взаимно уравно вешены и, следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовле творяются. Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z, можно получить следующие три равенства:

xy yx ;

yz zy ;

xz zx.

Эти равенства называют законом парности касательных напря жений: если по какой-либо площадке действует некоторое касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку.

Вследствие закона парности касательных x xy xz напряжений тензор становится симметричным относительно главной диагонали. Вместо девя- T xy y yz ти компонентов независимыми оказываются xz yz z только шесть.

С изменением ориентации параллелепи педа в пространстве выделенного объема напряженного тела соотношение между нормальными и касательными напряжениями будет изменяться.

Следовательно, и запись тензора для одного и того же напряженного со стояния будет различной.

Примером сказанного могут служить разные n варианты описания одного и того же вектора R на Ro плоскости в зависимости от выбранной системы p координат (рис. 3.3). В системе k, : R(3, 4);

в сис теме m, n: R(4, 3);

в системе o, p: R(5, 0). Очевидно, последний вариант описания более удобен, по m скольку одна из проекций вектора равна его длине, k Рис. 3.2. Варианты опи- а другая – равна нулю.

Поэтому необходимо найти такое положение сания вектора R в раз ных системах коор- элементарного объема, чтобы количество дейст динат вующих по его граням напря 1 0 жений было минимальным. Можно найти такую ори ентацию параллелепипеда, при которой по его граням T 0 2 0 0 действуют только нормальные напряжения (рис. 3.3).

Количество независимых компонент тензора в этом случае уменьшается до трех.

Главные площадки – площадки, на y которых касательные напряжения отсут ствуют.

Главные напряжения – нормальные напряжения, действующие по главным пло- x щадкам.

z Главные напряжения – нормальные напряжения, принимающие экстремальные значения.

2 2 Рис. 3.3. Ориентация элементарно го параллелепипеда, при которой 1 1 по граням действуют только нор мальные напряжения Главные напряжения а б в нумеруют в порядке убыва Рис. 3.4. Виды напряженного состояния:

ния 1 2 3.

а – линейное (одноосное);

б – плоское (двухосное);

в – объемное (трехосное) 3.2. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Рассмотрим простейший случай нагружения – растяжение (рис. 3.5, а).

Площадь А наклонного сечения (рис. 3.5, в) больше площади А попереч ного сечения (рис. 3.5, б):

A m n A.

cos F F Полное напряжение p в на- а клонном сечении (рис. 3.5, в) n m меньше нормального напря m n n жения в поперечном сече нии (рис. 3.5, б): p N p N N N p ;

. A A A A m n n Полное напряжение p рас- б в г кладывают на проекции Рис. 3.5. Пример линейного напряженного состояния (которые всегда меньше) и (рис. 3.5, г) N N cos cos 2 cos 2 ;

p cos A A N N p sin sin cos sin sin 2.

A A cos 2, (3.1) Таким образом sin 2. (3.2) Выводы:

а) любое из значений напряжений на наклонных площадках p,, меньше напряжения в поперечном сечении, следовательно, не столь опасны;

б) напряжения на наклонных площадках p,, зависят от угла наклона площадки, а таких площадок в нагруженном теле можно выделить бесчисленное множество, значит, и вариантов описания одного и того же напряженного состояния множество.

Для практики интересны площадки, на которых возникают экстре мальные значения напряжений. Для их отыскания приравнивают нулю первую производную нормального напряжения по углу.

Экстремальные нормальные напряжения d 2 cos sin sin 2;

d d 0 при sin 2 0;

sin 0;

0.

d На этой площадке =0 = 0;

max=. Следовательно, эта площадка являет ся главной.

Экстремальные касательные напряжения d cos 2;

d d 0 при cos 2 0;

2 90 ;

45.

d На площадке под углом = 45° max= /2. Полученным соотношением объ ясняется связь между допускаемыми напряжениями: 0,5, которую используют в расчетах при кручении и сдвиге.

1 0 0 0 0 1 Т 0 0 0 Т 0 0 0 0 0 0 0 1 Рис. 3.6. Изображение одноосного растяжения (слева), сжатия (справа) и соответствующие им тензоры напряжений и круги Мора 3.3. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Если к выделенному эле 2 менту приложено только 1, то 2 напряжение на наклонной пло 1 щадке 1 cos 2.

Если действует только 2, то +90° 2 cos2 90 2 sin 2.

Рис. 3.7. Нормальные и касательные напря жения при плоском напряженном состоянии В случае, когда действуют оба главных напряжения 1 и 2, то, пользуясь принципом суперпозиций, по лучим 1 cos2 2 sin 2. (3.3) Для касательных напряжений только от 1 или только от 2, 2 sin 2 90.

1 sin 2;

2 В случае действия обоих главных напряжений 1 sin 2. (3.4) Экстремальные значения нормальных и касательных напряжений находят, приравнивая к нулю первые производные напряжений по углу d d 0 и 0.

d d Получают max = 1 при = 0, = 0. Это – главная площадка.

при 45.

max Площадки, по которым касательные напряжения имеют экстре мальные значения, называют площадками сдвига.

3.4. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Свойство суммы нормальных напряжений Для площадки, ориентированной под углом = + 90° 1 cos 2 sin 2 ;

1 1 cos 2 90 2 sin 2 90.

1 sin 2 2 cos 2.

2 (3.5) Сложив и 1 cos2 2 sin 2 1 sin 2 2 cos и преобразовав, получим: 1 2 const. (3.6) Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, инвариантна по отношению к наклону этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Свойство второе 2 2 sin 2 90 ;

1 sin 2;

1 sin 2.

2 2 Получен закон парности касательных напряжений (см. п. 3.1). (3.7) 3.5. ГРАФ ИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИ Е НАПРЯЖЕНИЙ НА НАКЛОННЫХ П ЛОЩ АДКАХ. КРУГ МОРА Известны значения главных напря D жений 1 и 2, требуется найти напряжения на наклонных площадках. В системе координат – построен круг диаметром C А E В АВ, равным разности главных напряжений 0 2 АВ = 0B – 0A = 1 – 2 (рис. 3.8). Из левой F точки (А) пересечения круга с осью абсцисс проведен луч под углом.

Абсциссой точки D пересечения луча с кругом определяется нормальное напря Рис. 3.8. Круг Мора для опреде- жение на наклонной площадке, ления напряжений на наклон ординатой точки D – касательное.

ных площадках Напряженное состояние перпенди кулярной площадки определяется координатами точки F(, –). Радиус круга равен полуразности главных напряжений CD CB 1.

Абсцисса центра круга – среднее арифметическое главных напряжений 0C 1.

Нормальное напряжение на наклонной площадке равно сумме отрезков 2 1 0 E 0C CE 0C CD cos 2 1 cos 2;

2 1 1 cos 2 2 2 cos 2;

2 2 2 1 1 cos 2 1 cos 2.

2 2 cos2 2 sin 1 cos2 2 sin2. (3.3) Касательное напряжение на наклонной площадке = DE = CDsin 1 sin 2. (3.4) Приведенные формулы по виду и нумерации совпадают формулами п. 3.3.

На практике нахождение напряжений на наклонных площадках иногда называют прямой задачей.

Пример 3. Известны два главных напряжения (МПа), приложенных к элементарному параллелепипеду.

B Требуется найти нормальные и касательные напряжения, действующие на площадке, наклоненной C под заданным углом = –30°.

n Решение аналитическое Руководствуясь соотношением 1 2 3, присваиваем индексы главным напряжениям: 1 = 200 МПа, 2 = 0, 3 = –400 МПа.

1 cos2 2 sin 2 200 cos2 30 400 sin 2 30 50 МПа.

200 1 sin 2 30 260 МПа.

sin 2 Решение графическое В координатных осях – откладываем напряженное состояние площадок В и С, выраженное парой координат (, ): В(–400;


0);

С(200;

0). Эти точки принадлежат диаметру круга. Из левой точки пересечения круга с осью абсцисс проводим луч под углом = –30°.

В С Координаты точки пересечения луча с кругом – искомые напряжения и.

Вывод. Аналитическим и графическим способами найдены нормальные и касательные напряжения, действующие на наклонной площадке. Результаты решений совпали.

3.6. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ По сравнению с материалом, изложенным в § 3.5, такую задачу иногда называют обратной, поскольку на практике чаще встречается ситуация, при которой напряжения на наклонных площадках известны (например, по результатам тензометрических испытаний), а главные напряжения требуется найти. Напряженное состояние грани D (рис. 3.9, а) характеризуется парой координат в системе – (рис. 3.9, б): D (x, xy).

Аналогично для грани F (y, yx).

Прямая DF – диаметр круга с центром в точке С. Круг отсекает на оси абсцисс максимальное 1 и минимальное 2 напряжения:

1 0С СВ;

2 0С АС.

y D xy x 0 А C E D 2 В xy F yx F yx y Р x а б Рис. 3.9. Напряженное состояние на произвольно выделенных площадках (а) и построение круга Мора (б) для определения величины главных напря жений и положения главных площадок x y Расстояние до центра круга 0С.

Радиус круга СA CB CD CE 2 DE 2.

x y Катеты треугольника CDE: CE ;

DE xy.

Радиус круга – гипотенуза треугольника CDE x y 2.

CA CB xy Таким образом, величина главных напряжений x y x y 2 xy.

max,min (3.7) 2 Положение главных площадок находим с использованием полюса Р. Через точку D на круге проводим вертикальную линию (штриховка), соответствующую вертикальному положению грани D (рис. 3.9, а). Для грани F, ориентированной горизонтально, проводим горизонтальную линию до пересечения с кругом. Точка пересечения этих линий является полюсом Р. Соединив полюс Р с точкой В, найдем положение главной площадки 1, а с точкой А – главной площадки 2.

Направление главного напряжения определяют тангенсом угла xy DE tg 2.

CE x y Для рассматриваемого случая главное напряжение 1 повернуто по ходу часовой стрелки относительно большего алгебраически напряжения х. Следовательно, в формуле должен быть знак минус:

2 xy tg 2. (3.8) x y Примечание. Согласно приведенной формулы значение аргумента 2 функции тангенса не может превышать 90°, следовательно, значение угла не может превышать 45°. Из этого следуют правила:

направление большего из главных напряжений откладывают от большего из заданных напряжений х, или у;

положительное значение угла откладывают против хода часовой стрелки;

направление max всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки xy и yx;

если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то полученные напряжения обозначают 1 и 3;

если отрицательны оба, то 2 и 3.

Пример 3. Известны нормальные и ка x = –200 МПа;

сательные напряжения, действую- = 300 МПа;

y щие на двух парах граней выделен xy = –250 МПа;

ного элементарного объема мате- = 250 МПа.

200 yx риала. Требуется определить по ложение главных площадок и величину главных на пряжений.

Решение аналитическое Величины главных напряжений 2 x y x y 200 300 200 300 250 ;

2 xy max, min 2 2 max 50 354 404 МПа 1;

2 0;

min 50 354 304 МПа 3.

Индексы главным напряжениям присваиваем исходя из соотношения между ними 1 2 3, а также учитывая, что одно из трех напряжений на площадке, обращенной к зрителю, равно нулю.

Положение главных площадок 2 2 xy 1,0;

2 45,0 ;

22,5.

tg 2 x y 200 Изображаем площадку под действием главных напряжений. Знак угла отрицательный, поэтому угол откладываем по ходу часовой стрелки от вертикали, то есть от направления большего алгебраически из заданных напряжений (у направлено вертикально). Линия действия максимальных главных напряжений 1 проходит через I и III квадранты, где расположены ребра параллелепипеда, к которым стягиваются касательные напряжения, стремящиеся сдвинуть грани так, чтобы преобразовать квадрат в ромб.

Решение графическое В координатной системе –, используя выбранный масштаб, отложим напряженное состояние граней xy D(x, xy) и F(y, yx), то есть D(–200;

–250) и F(300;

250).

D Отрезок DF – x F диаметр круга;

yx точка пересече y 300 F P ния отрезка DF с осью абсцисс – центр круга. Рас стояниями от начала координат до точек пересечения окружности с 3 осью абсцисс определяются вели чины главных напряжений. Полюс D Р находим, продлевая до пересече 3 ния с окружностью линий, соответ ствующих положению грани D (вертикальная) и грани F (горизонтальная).

Линия, соединяющая полюс Р с точкой, соответствующей 1, определяет положение первой главной площадки, а с точкой, соответствующей 3 – положение второй главной площадки.

Вывод. Аналитическим путем и графическим построением опреде лена ориентация главных площадок в выделенном объеме нагруженного тела. Найдены значения главных нормальных напряжений. Результаты аналитического и графического решения совпали.

3.7. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ При объемном напряженном состоянии, когда 1 2 3 0 в окрестности исследуемой точки выделяют элементарный кубик с гранями, параллельными главным площадкам. Через кубик проводят площадку (заштирихована) параллельно 3 (рис. 3.10, а). Напряжения, на этой площадке зависят только от 1 и 2. Используют приемы и формулы (3.3–3.8) для плоского напряженного состояния. Диаметр круга напря жений LI (рис. 3.11) равен разности 1 – 2. Аналогично для площадки, параллельной 1 (рис. 3.10, б);

диаметр круга напряжений LII определяется разностью 2 – 3. То же для площадки, параллельной 2 (рис. 3.10, в).

Для произвольно ориентированной площадки D напряжения опреде ляют по формулам 2 2 1 1 3 LI LII LIII а б в Рис. 3.10. Выделение в элементе, находящемся в трехосном состоянии, а площадок, напряженное состояние которых не зависит от главного напряжения: а – 3;

б – 1;

в – 1 cos2 1 2 cos2 2 3 cos2 3 ;

(3.9) 1 cos2 1 2 cos2 2 cos2 3 2.

2 3 Здесь 1, 2 и 3 – углы между нормалью к рассматриваемой площадке и нормалями к главным площадкам.

D max Для объемного напряженного состо LII яния справедливо свойство суммы нормальных напряжений, инвариант 0 ной по отношению к наклону площадок:

3 x y z 1 2 3 const. (3.10) LI 2 Сумма нормальных напряжений, LIII действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, прохо Рис. 3.11. Круги Мора, построенные дящим через рассматриваемую точку, для объемного напряженного со- есть величина постоянная.

стояния Из круга Мора (рис. 3.11) следует, что экстремальные касательные напряжения действуют по площадкам, параллельным главному напряжению 2. Площадки наклонены к главным напряжениям 1 и 3 под углом 45°. Значения экстремальных касательных напряжений:

max,min 1. (3.11) 3.8. ДЕФ ОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ Наряду с напряженным состоянием различают и деформированное состояние – совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через рассматриваемую точку. Нормальные напряжения вызывают удлинение граней, оценивае мое относительной линейной деформацией.

y y Касательные напряжения вызывают сдвиг yx yz граней, оцениваемый 1 xy относительным zy x xy xz 2 углом сдвига. z x 1 yx y yz Главные де- T zx xz x формации – отно- 1 1 z zx zy z сительные удлинения 2 2 ребер параллелепипе да, параллельные главным напряжениям;

в направлении 1 0 T 0 2 главных деформаций углы сдвига отсутствуют;

1 2 3.

0 0 Для главных направлений тензор деформаций имеет вид:

3.9. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА Согласно закону Гука в направлении каждого нормального напряжения 1, 2, 3 происходит продольная деформация 1, 2, 3.

Одновременно согласно эффекту Пуассона, в поперечных направлениях происходят противоположные по знаку деформации. Таким образом, в каждом из трех направлений проходит по одной продольной и по две поперечных деформации.

Напряжения, вызвавшие удлинения ребер 2 2 a a a c c b b 1 b 3 3 1 c 1 Деформации ребер 1 1 ;

1 2 ;

;

a E E E 1 3 3 ;

1 ;

;

b 2 2 E E E 3.

1 1. 2.

с 3 3 E E E Используя принцип суперпозиции и, складывая эти деформации, по лучим суммарные относительные удлинения в направлениях напряжений:

1 2 3 ;

E 2 2 3 1 ;

(3.12) E 3 3 1 2.

E Если грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главны ми площадками, то по ним действуют касательные напряжения, не удли няющие или укорачивающие грани, а вызывающие лишь изменение пря мых углов между его гранями. На основании инвариантности суммы нор мальных напряжений (3.6) обобщенный закон Гука может быть представ лен в виде:

xy xy ;

x x y z, G E yz y y z x, yz ;

(3.13) E G 1, xz.

z z x y xz E G 3.10. ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА Объем параллелепипеда до деформации 2 V a bc. a c Объем в деформированном состоянии V a1 b1 c1, a1 a a a a1 a 1 1 ;

b b1 b b b b 2 b1 2 ;

где c1 c c c c 3 c 1 3. Изменение объема тела V V1 V a1 b1 c1 a b c V V abc a b c1 1 1 2 1 3 abc 1 1 1 2 1 3 1.

a bc Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости (произведе V 1 2 3.

ниями i), получим (3.14) V Относительное изменение объема равно сумме трех главных деформаций.

Подставив i из обобщенного закона Гука, получим V 1 1 2 3.

(3.15) V E Для произвольно ориентированных площадок V 1 x y z.

(3.16) V E Анализ формул приводит к выводам:

для материалов (каучук, парафин) с большим значением = 0,47 де формация будет происходить без изменения объема при любом из спосо бов нагружения;

для любого материала деформация происходит без изменения объе ма, если 1+2+3 = 0. Например, при кручении 2 = 0, 3 = –1. Изменяется лишь форма (углы между гранями);

изменение объема происходит без изменения формы, если 1 = 2 = 3 = 0 (гидростатическое сжатие);

коэффициент Пуассона не может превышать значения 0,5, поскольку при 0,5 материал уменьшается в объеме при растяжении.

Примечание: формулы действительны при напряжениях, не превы шающих предела пропорциональности 3.11. ПРИМЕРЫ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ Один и тот же материал может проявлять резко различные характе ристики прочности и пластичности в зависимости от схемы напряженного состояния.

1. Растяжение гладких образцов ДО образования шейки. Линейное НС 1 0 1 F F T 0 0 0 0 2. Сжатие образцов при смазке торцевых поверхностей. Линейное НС 0 0 3 T 0 0 F F 0 0 3. Цистерна, сферическая оболочка под давлением. Плоское НС 1 1 0 1 T 0 2 р 2 0 F 4. Вал под действием скручивающих моментов. Плоское НС M 1 0 T 0 0 3 3 M 0 0 5. Растяжение образца с концентратором напряжений (надрезом) Объемное одноименное НС 1 0 2 2 F F T 0 2 3 0 1 3 6. Измерение твердости НВ, закрытая ковка в штампах, прессование Объемное одноименное НС, трехосное сжатие F 3 1 0 2 1 T 0 2 0 0 2 7. Волочение проволоки, труб. Объемное разноименное НС 1 0 F 1 T 0 2 0 2 8. Быстрый нагрев шара. Трехосное растяжение 1 1 0 t T 0 2 3 1 3 0 9. Гидростатическое сжатие. Трехосное сжатие р 1 0 T 0 2 3 1 3 0 0 3.12. ПОНЯТИЯ О ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ Теории прочности используются для оценки прочности конструкций в случае плоского и объемного напряженных состояний. При двух- и трехосном напряженном состояниях соотношения между нормальными и касательными напряжениями настолько разнообразны (тензор напряжений содержит девять компонентов, из которых шесть независимы), что экспе риментальная проверка опасного состояния для каждого из соотношений практически исключается.

Задача несколько упрощается, если вместо шести компонентов на пряжений рассматривать эквивалентные им три главных напряжения и найти такую их комбинацию, которая была бы равноопасной линейному напряженному состоянию, то есть простому растяжению или сжатию. Ха рактеристики прочности и пластичности, полученные при испытании на растяжение, достаточно полно приведены в справочной литературе.

Суть теорий (гипотез, критериев) прочности состоит в том, что, оп ределив главную причину разрушения материала (преимущественное влияние того или иного фактора), можно подобрать соответствующее эк вивалентное напряжение при сложном напряженном состоянии, а затем со Заменить Сравнить [] или пред 1 экв поставить его с простым одноосным растяжением, как показано на схеме.

Эквивалентное напряжение экв – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным с заданным.

Создан ряд теорий (гипотез, критериев) прочности (более 20), позво ляющих определить вид функциональных зависимостей, представляющих сложное напряженное состояние эквивалентным ему одноосным напря женным состоянием.

В качестве причин наступления опасного состояния считают: а) нор мальные напряжения – разрушение хрупкое, путем отрыва;

б) линейные деформации;

в) касательные напряжения – разрушение пластичное, путем сдвига;

г) энергия деформации и другие.

Следует заметить, что опасное состояние как для пластичных мате риалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и для хрупких (момент появления трещин) лежит на границе области упругого деформирования. Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, отно сящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, выведенными при условии применимости закона Гука.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (первая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если максимальное нормальное напряжение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении:

экв(I) = 1 [].

Здесь [] – допускаемое напряжение при растяжении. Эту гипотезу связы вают с именем Г. Галилея (XVII). Гипотеза пренебрегает действием двух других главных напряжений и не учитывает появления пластических де формаций;

дает удовлетворительные результаты для хрупких материалов:

стекло, керамика, камень, кирпич, бетон, гипс.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ (вторая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если наибольшее относительное удлинение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении:

max [].

Гипотеза предложена Э. Мариоттом (1682), развита Б. Сен-Венаном (XIX).

Из первой строки обобщенного закона Гука для объемного напряженного состояния (3.12) 1 2 3 max.

E Для линейного напряженного состояния, когда 2 = 3 = 0, 2 = 3 =.

, E E Решая совместно последние три равенства, получим:

экв(II) 1 2 3.

Экспериментально гипотеза подтверждается слабо, в расчетной практике применялась в начале прошлого века.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (третья теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении max [].

Гипотеза предложена Ш. Кулоном (1773 г.), развита Б. Сен-Венаном (1871). Для объемного напряженного состояния max 1. (3.17) При простом растяжении (линейном напряженном состоянии, 2 = 3 = 0) [] max ;

[].

2 Решая совместно последние два равенства, получим:

экв III 1 3. (3.17) Гипотеза не учитывает действие второго главного напряжения 2. Хорошо согласуется с опытом для пластичных материалов.

ГИПОТЕЗА УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ – ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ (четвертая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если удельная потенциальная энергия деформации, идущая на изменение формы, не превзойдет допускаемого значения, определенного при простом растяжении u ф [u ].

Согласно гипотезе, высказанной Д. Максвеллом в 1856 г. и разработанной М. Хубером в 1930 г., удельную потенциальную энергию деформации сле дует разложить на две компоненты, одна из которых отвечает за изменение объема, а другая – формы. В расчетах учитывать лишь одну из них – по следнюю. Напряжения 1, 2 и 3, действующие по граням параллелепи педа, тоже можно разложить на две компоненты, как показано на схеме:

2-m 2 m = + 1 m 1-m 3 m 3-m Шаровой Девиатор тензор 1 1 m m ;

2 2 m m ;

3 3 m m, 1 2 где m – среднее напряжение.

Первая компонента – шаровой тензор, по граням которого действует среднее напряжение m, отвечает только за изменение объема (одинаковое удлинение всех ребер). Вторая компонента – девиатор (от лат. deviatio – отклонение) отвечает за изменение формы элементарного параллелепипеда.

Энергия формоизменения для объемного напряженного состояния (вывод опускается):

1 2 2 2 3 2 3 1 2.

uф 6E При одноосном растяжении, когда 2 = 3 = 0, приняв экв = 1, получим:

1 uф 1.

3E Тогда условие прочности по четвертой теории можно записать так:

1 2 2 2 3 2 3 1 2.

экв(IV) (3.18) Четвертая теория более точно, чем третья, описывает появление в материале малых пластических деформаций. Опыты хорошо подтвержда ют четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

ГИПОТЕЗА КУЛОНА-МОРА (ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА, 1900) Прочность при любом напряженном [] состоянии будет обеспечена, если круг Мора не выходит за пределы огибающих кругов, построенных на допускаемых на- [] пряжениях при простом растяжении и сжатии.

экв(V) 1 3.

Гипотеза (ее иногда называют пятой Рис. 3.12. Круги Мора: для осе вого растяжения (1);

осевого и обозначают римской цифрой V) приме- сжатия (2);

опасного напряжен няется для материалов, обладающих раз- ного состояния (3);

безопасного ным сопротивлением растяжению и сжа- напряженного состояния (4) тию (чугун, бетон…). В случае, если допускаемые напряжения при растя жении [+] и сжатии [-] одинаковы, теория Мора совпадает с третьей тео рией прочности.

Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать четвертую или третью теории прочности (строго говоря – теории перехода локального объема в пластическое состояние) для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть пластичных, и теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Пример 3.3. В опасном сечении детали, вы 70 полненной из серого чугуна СЧ25, выделен эле мент, по граням которого действуют напряже ния (в МПа), как показано на рисунке. Проверить 30 прочность элемента.

Решение 20 Напряжениям, показанным на рисунке, дадим обо значение согласно координатной системе xyz:

x = –30 МПа;

y = 50 МПа;

z = –70 МПа;

xy = 20 МПа;

yx = –20 МПа.

Площадка, нормаль к которой z параллельна оси z – главная, посколь x D x y ку касательные напряжения на ней от xy сутствуют. Покажем напряженное со F yx стояние на двух других площадках в плоскости x0z.

y Величина главных напряжений:

2 x y x y 30 50 30 2 2 xy max, min 20 ;

2 2 max 10 44,7 54,7 МПа;

min 10 44,7 34,7 МПа.

Назначаем индексы при главных напряжениях:

1 54,7 МПа;

2 34,7 МПа;

3 70 МПа.

Проверка результатов расчета с использованием свойства суммы нормаль ных напряжений:

x y z 1 2 3 const;

30 50 70 54,7 34,7 70 50.

Положение главных площадок 2 xy 2 0,5;

2 26,6 ;

13,3.

tg 2 x y 30 Угол (положительный) откладывается против хода часовой стрелки от на правления большего из заданных напряжений в плоскости x0z, то есть от y.

Проверка прочности Назначим допускаемые напряжения, выбрав коэффициент запаса прочности [nв] = 3, рекомендуемый для хрупких материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию вр с вс 980 327 МПа.

р 83 МПа ;



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.