авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«ВОДОПЬЯНОВ В. И., САВКИН А. Н., КОНДРАТЬЕВ О. В. КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ...»

-- [ Страница 3 ] --

По III теории прочности (наибольших касательных напряжений) М прив, III M 2 M z T 2.

(14) y По IV теории прочности (энергетической) М прив, IV M 2 M z 0,75 T 2.

(15) y Приведенного момента в действительности не существует, изобра зить его нельзя, вектора он не имеет. Величина приведенного момента за висит от используемой теории прочности. Результаты расчетов по III и IV теориям прочности близки, отличаются примерно на 5–10 %.

Пример 8.9. (Вольмир А. С. Сборник задач … 6.52). Вал с кривоши пом подвергается действию силы F = 3,5 кН. Определить диаметр вала по третьей теории прочности при [] = 160 МПа;

= 50 см, а = 10 см.

Решение. Внутренние усилия оп ределяем методом сечений.

F Р ассекаем вал на две части в произ вольном сечении х, а О тбрасываем одну из частей (поз. б ри сунка), a З аменяем действие отброшенной части y x внутренними усилиями и в коорди F T натной системе xyz составляем Mz б У равнения статики:

z X 0;

N = 0;

M x 0 ;

T = –Fa;

Q x F a Qy = F;

M y 0 ;

My = 0;

Y 0 ;

Z 0;

Qz = 0;

M z 0 ;

Mz = –Fx.

в Mz Строим эпюры изгибающего и Fa крутящего моментов, действующих в поперечных сечениях вала (поз. в и г г рисунка). Находим приведенный мо T мент в опасном сечении – в защемлении:

F 2 Fa M прив M z T F 2 a 2 3500 0,52 0,12 1785 Нм.

M прив Из условия прочности при изгибе с кручением экв [ ] находим Wос M прив Wос d, [ ] 32 M прив 32 d 3 3 0,0484 м.

откуда 160 [ ] Округлив до большего значения, принимаем диаметр вала d = 50 мм.

9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ СИЛ Нагрузка статическая – постоянная или изменяющаяся так медленно, что силами инерции вследствие ускорения, мож но пренебречь.

Нагрузка динамическая – быстро меняющая свое значение или место приложения.

Метод расчета на динамическую нагрузку основан на принципе Даламбера: всякое движущееся тело можно рассматривать как находя щееся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, равную произведению массы тела на его ускорение (J = am), направленную в сторону, противоположную ускорению. Для определения динамических напряжений при ударе ис пользуют закон сохранения энергии.

9.1. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИ Е ТЕЛА.

ДИНАМИЧЕСКИЙ КОЭФ Ф ИЦИЕНТ Пример. Груз Q поднимают с постоянным ускоре Nдин нием а тросом с площадью поперечного сечения A, изго товленным из материала с объемным весом (рис. 10.1). A, Определить напряжение в тросе.

x Решение. Методом сечений определяем внутреннее усилие в произвольном сечении троса a Q a N дин Q J Q a Q 1, Q g g Рис. 9. где g – ускорение свободного падения.

В покое статическое усилие Nст = Q. За счет движения с ускорением усилие возрастает в отношении N дин a К дин 1. (9.1) N ст g Отношение динамического значения некоторого фактора (усилия, напряжения, перемещения) к соответствующему ста тическому значению этого фактора называют динамическим коэффициентом.

Напряжение в тросе Q a дин 1. (9.2) A g Если учитывать вес троса, то внутренние усилия в нем:

N ст Q A x.

Динамическое напряжение в тросе N дин N ст K дин ст K дин.

дин (9.3) A A Условие прочности дин ст К дин.

Для нашего примера Q a дин x 1. (9.4) A g 9.2. УДАРНОЕ ДЕЙ СТВИЕ НАГ РУЗКИ Удар – взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно возникают конечные изме нения скорости соударяемых тел.

Приняты следующие допущения.

Удар неупругий, то есть тела после соударения не отделяются друг от друга и движутся совместно. После соударения в некоторый момент времени скорость перемещения ударяющего груза становится равной ну лю;

x F Вид деформированной системы (эпюра пере мещений) при ударе в любой момент времени подо- ст x ст бен виду деформированного состояния системы при Q= F статическом нагружении (рис. 9.2): H х дин дин К дин, x дин дин х ст ст Рис. 9. где х дин, х ст – динамический и статический прогиб в произвольном сечении х;

дин, ст – динамический и статический прогиб в точке соударения;

Масса ударяемого тела считается малой по сравнению с массой уда ряющего тела;

Напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности так, что закон Гука при ударе сохраняет силу;

Потерей части энергии, перешедшей в теплоту и колебания, пренеб регают.

Динамический коэффициент без учета сил инерции ударяемого тела Груз Q, падая с высоты Н, деформирует систему на дин (рис. 9.3).

Работа, совершаемая грузом Q на перемещении (Н+дин) определяется как W = Q(H + дин).

F Q Q H H Qдин дин U дин дин Н – высота падения груза Q;

дин – деформация стержня (балки) в месте соударения Рис. 9. Сила, деформирующая стержень (или балку) от момента соударения до остановки груза, изменяется от нуля до значения Qдин.

При этом потенциальная энергия упругой деформации стержня U Qдин дин.

На основании закона сохранения энергии работа W внешних сил равна потенциальной энергии U системы: W = U Q H Q дин Q дин дин.

Принимая допущения Qдин Q K дин и дин ст K дин, получим Q H ст K дин K дин ст K дин 0.

2 H 2 ст K дин ст K дин 0;

2H K дин 2 K дин 0.

ст Решая уравнение относительно динамического коэффициента, получим 2H K дин 1.

ст Так как динамический коэффициент отрицательным быть не может, то 2H K дин 1 1. (9.5) ст При свободном падении тела mV 2 V.

mg H H, откуда 2g V K дин 1 1.

Тогда (9.6) g ст 9.3. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ Большинство деталей машин, энергетических установок, химических аппаратов испытывают переменные напряжения, циклически изменяю щиеся во времени. В некоторых случаях доля циклической составляющей в общей нагрузке невелика и при расчетах на прочность не учитывается. В других случаях пренебрежение переменной составляющей нагрузки или ее неправильный учет приводит к авариям и разрушениям подчас с тяжелыми последствиями и человеческими жертвами.

Анализ случаев поломок машин свидетельствует о том, что боль шинство поломок (по литературным данным 80–90 %) происходит вслед ствие усталости металлов. Этот вид разрушения металлов наблюдается при повторном и повторно-переменном действии нагрузки.

Усталость материалов Усталость – процесс постепенного накопления поврежде ний под действием переменных напряжений, приводящий к изме нению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению.

Выносливость – свойство материала противостоять ус талости.

Весь диапазон чисел циклов, где возникает разрушение от переменных нагрузок, условно разбит на две области: малоцик ловой и многоцикловой усталости.

Усталостное повреждение – необратимое изменение фи зико-механических свойств материала объекта под действием переменных напряжений. Накопление повреждений начинается задолго до окончательного разрушения. Разрушение, как прав и ло, наступает внезапно.

Усталостное разрушение – разрушение материала нагру жаемого объекта до полной потери его прочности или работо способности вследствие распространения усталостной трещины.

Усталостная трещина – частичное разделение материала под действием переменных напряжений.

Циклы напряжений В подавляющем числе случаев напряжение в элементах механических систем изменяется периодически. Законы изменения во вре мени t переменных напряжений могут быть различными, что обусловле но кинематикой механизма и взаимодействием движущихся систем. Неко торые виды циклов представлены на рис. 9.4: треугольный (а);

трапецеидальный (б);

гармонический (в);

результирующий от сложения трех гармонических циклов с различной частотой и амплитудой (г).

Совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения Т называют циклом напряжений или просто циклом.

Циклом называют замкнутую однократную смену напряжений, проходящих непрерывный ряд значений.

Время Т, в течение которого протекает один цикл, называют периодом.

а б в г Период Т Время t Рис. 9. Максимальное напряжение цикла ma x – наибольшее по алгебраическому значению напряжение цикла.

Минимальное напряжение цикла mi n – наименьшее по алгебраическому значению напряжение цикла.

Среднее напряжение цикла m – постоянная составляющая Напряжение цикла напряжений, равная алге a браической полусумме максималь max ного и минимального напряжений a min цикла:

m max min m. (9.7) Время Цикл Амплитуда напряжений цикла a – наибольшее числовое Рис. 9. положительное значение перемен ной составляющей цикла, равной алгебраической полуразности:

max min a. (9.8) Коэффициент асимметрии цикла напряжений R – отношение минимального R= напряжения цикла к максимальному min R. (9.9) t max R=- Рис. 9. При лабораторных испытаниях на выносливость наиболее употре бительны симметричный и отнулевой циклы (рис. 9.6).

Симметричный цикл напряжений – цикл, у которого максимальное и минимальное напряжения равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку R = –1.

Отнулевой цикл напряжений – знакопостоянный цикл напряжений, изменяющихся от нуля до максимума R = 0.

Кривая усталости и предел выносливости Кривая усталост и – график, характеризующий зависи мость между максимальными напряжениями ma x или амплиту дами цикла a и циклической долговечностью N одинаковых об разцов, построенный при фиксированном среднем напряжении цикла m = const, или при заданном коэффициенте асимметрии цикла напряжений R = const.

Кривую усталости представляют как в полулогарифмических ( g N), так и в двойных (g g N) логарифмических координатах (реже). Благодаря особенности логарифмической шкалы на ней можно от ложить циклическую долговечность, исчисляемую как единицами, так де сятками и сотнями миллионов циклов без потери физической сущности явления.

Зависимость между действующими напряжениями и числом циклов до разрушения имеет вид, называемый в литературе S-образным, что обу словлено наличием на кривой усталости двух перегибов и трех основных участков, отличающихся типом разрушения (рис. 9.7).

В пределах I участка происходит выделение и накопление односто ронней деформации, приво дящей к разрушению, по всем I II III признакам аналогичному ста тическому растяжению. Из-за max этого участок получил назва или a ние участка (области) квази статического разруше ния. Протяженность I участка R зависит от характеристик прочности и пластичности ма g N териала, а также от коэффици Рис. 9.7 ента асимметрии цикла на пряжений. При R 1 его протяженность может составлять до нескольких десятков или сотен тысяч циклов. Если R –1 участок I укорачивается до нескольких тысяч циклов. При симметричном цикле напряжений (R = –1) участок I вырождается.

В пределах участка III остаточное удлинение и сужение почти отсутствуют ( 0, 0). Разрушение имеет хрупкий характер и проис ходит от усталостной трещины (усталостное разрушение). В некоторых случаях участок кривой усталости переходит в горизонтальную линию, со ответствующую пределу выносливости R. Этот участок получил название участка (области) многоцикловой усталости.

Многоцикловая усталость – усталость материала, при которой усталостное повреждение или разрушение происходит в основном при упругом деформировании.

На участке II происходит переход от квазистатического типа разру шения (участок I) к усталостному (участок III). Для участка II характерны признаки двух типов разрушения: хрупкого от усталостной трещины и вязкого – от накопленной односторонней деформации. На фоне развитой шейки можно наблюдать трещины разной длины и степени раскрытия.

Этим участком ограничивается область малоцикловой усталости.

Малоцикловая усталость – усталость материала, при которой усталостное повреждение или разрушение происходит при упругопластическом деформировании.

Предел выносливости R – максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором еще не происходит усталостное разрушение до базы испытаний (см. рис. 9.7). Для симметричного цикла R –1. Для отнулевого цикла R 0.

База испытаний – предварительно задаваемая наибольшая продолжительность испытаний на усталость. Для черных метал лов принята база, равная 107 циклов;

для цветных металлов – 108 циклов.

Иногда для оценки усталостной прочности назначают другую базу испы таний, например 104 или 105. Тогда определяют ограниченный предел выносливости, соответствующий заданному числу циклов.

Предел выносливости определяют по результатам испытаний. При рода накопления усталостных повреждений такова, что результаты испы таний могут иметь значительный случайный разброс, на порядок и более.

Для получения достоверных характеристик прочности материала при цик лическом нагружении требуется от нескольких десятков до нескольких со тен однотипных образцов. Метод трудоемок и продолжителен по времени.

Так, при испытании на изгиб с вращением при частоте нагружения n = = 3000 мин-1 для наработки базы испытаний 107 циклов одним образцом требуется 3333 минуты, или 55,5 часов, или 2,3 суток при безостановочной работе. Полный цикл испытаний занимает несколько недель или месяцев.

Разработаны ускоренные методы испытаний, а также предлагаются эмпирические зависимости, устанавливающие связь предела выносливости с характеристиками прочности и пластичности, например, при изгибе и кручении соответственно 1 0,43 в ;

1 0,24 в. (9.9) в 0,6 в ;

1 0,55 1. (9.10) Расчеты на выносливость при переменном нагружении Из многочисленных факторов, влияющих на усталостную прочность детали наряду с механическими свойствами материала, особо выделим следующие:

1) концентрация напряжений;

2) качество обработки поверхности (шероховатость) и состояние по верхностного слоя;

3) абсолютные размеры детали (масштабный фактор);

4) состояние внешней среды: температура, облучение, агрессивность;

5) технологические методы упрочнения.

Рассмотрим первых три фактора несколько подробнее.

Концентрация напряжений – явление повышения напря жений по сравнению с номинальными. Концентрация напряжений возникает в местах резкого изменения формы и размеров детали: выточки надрезы, отверстия, шпоночные пазы, галтели. Показателем повышения напряжения служит теоретический коэффициент концентрации для нормальных и касательных напряжений соответственно max ;

max.

ном ном Теоретический коэффициент концентрации определяют методами теории упругости из предположения однородности материала и совершен ной упругости при его деформировании. Структура реального конструкци онного материала содержит микрообъемы (феррит, перлит, мартенсит,…), имеющие разные размеры и по-разному сопротивляющиеся деформации. В некоторых из них начинают появляться пластические деформации при об щем упругом деформировании детали, из-за чего реальные максимальные напряжения в зоне концентратора оказываются ниже рассчитанных по теоретическим формулам. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений К и К связаны с теоретическими и позволяют учитывать См. ГОСТ 25.504–82 Методы расчета характеристик сопротивления усталости.

чувствительность материала к концентрации напряжений (хрупкие и высо копрочные более чувствительны).

Шероховатость поверхности, зависящая от вида механической обработки, оказывает сильное влияние на усталостную прочность. Трещи ны усталости, как правило, начинают развиваться с поверхности. Качество поверхности оценивается коэффициентом п, равным отношению предела выносливости образцов с данной шероховатостью поверхности -1п к пре делу выносливости образцов -1 с поверхностью не грубее Ra = 0,35 (по ГОСТ 2789–73) 1п п.

Абсолютные размеры поперечного сечения заметно влияют (так называемый масштабный фактор) на усталостную прочность при из гибе и кручении. При одном и том же напряжении max (рис.10.8) долго вечность образца малого размера поперечного сечения больше. Это явле ние можно объяснить бльшим градиентом 2 снижения напряжения у образца малого (М) диаметра grad M max (рис.

r r а 10.8, а) по сравнению с градиентом в образце max большого (Б) диаметра grad Б max (рис. 10.8, R R б). Темп роста, зародившейся с поверхности тре б щины, быстрее замедляется в образце малого диа метра. В образце большого диаметра трещина про должает развиваться, что приводит к уменьшению долговечности образца. При циклическом растя Рис. 9. жении масштабный фактор не проявляется (гра диент равен нулю). Масштабный фактор оценивают коэффициентом м 1 d м, 1 d где 1 d – предел выносливости гладкого лабораторного образца диа метром 7–10 мм;

1 d – предел выносливости рассматриваемой детали диаметром d d0.

[от латин. gradiens — восходящий]. Изменение какой-н. величины на какую-н. единицу длины В связи с этим расчеты на усталость выполняют, как правило, пове рочные. Вычисляют коэффициенты запаса прочности отдельно по нор мальным напряжениям при растяжении или изгибе и по касательным на пряжениям при кручении:

1 (9.11) n n..

K K 1 a m a m м п в м п в В случае одновременного действия нормальных и касательных на пряжений общий коэффициент запаса прочности находят с учетом обоих частных коэффициентов n n n. (9.12) 2 n n Деталь считают работоспособной, если n [n]. Нормативный запас прочности [n] может зависеть от следующих факторов:

1) достоверной точности определения усилий и напряжений;

2) однородности материала;

3) культуры производства и технологии изготовления детали.

В зависимости от перечисленных выше факторов выделяют три группы значений допускаемого коэффициента запаса прочности при рас четах на выносливость:

1) группа [n] = 1,3–1,5 назначается при повышенной точности расче та с использованием экспериментальных данных определения усилий для деталей, изготовленных из однородного материала при качественной тех нологии и высокой культуре производства (например, коленчатые валы);

2) группа [n] = 1,5–2 назначается при недостаточно полном объеме экспериментальной информации о нагрузках и прочности детали, при среднем уровне культуры производства, но в условиях систематического дефектоскопического контроля;

3) группа [n] = 2–3 назначается при малом объеме или отсутствии экспериментальной информации, высоком уровне производства.

10. ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 10.1. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Приступать к выполнению задания необходимо лишь после изуче ния соответствующего учебного материала.

Студенты заочного отделения выполняют работу на одной стороне листа формата А4 или в тетради чернилами, разборчивым почерком. Ти тульный лист оформить согласно примеру. Студенты заочного обучения дополнительно указывают дату отсылки работы и почтовый адрес.

Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее усло вие, составить аккуратно схему в масштабе и указать на ней величины, не обходимые для расчета.

Решение должно сопровождаться краткими и грамотными, без со кращения слов, пояснениями и чертежами, ссылками на рисунки и исполь зованную литературу. Необходимо избегать механического пересказа учебника.

Все вычисления следует проводить с точностью до трех значащих цифр. Размеры подобранных сечений округлить согласно ГОСТу.

Размерность величин, получаемых в результате вычислений, должна соответствовать Международной системе единиц.

Контрольная работа должна быть выполнена в установленные гра фиком сроки, представлена в деканат и зарегистрирована не позднее неде ли до начала зачетно-экзаменационной сессии. При защите студент должен уметь решать задачи по соответствующим разделам курса.

Студенты выполняют одну контрольную работу, состоящую из шес ти задач: с первой по шестую включительно. В зависимости от специаль ности и объема курса преподаватель может варьировать количество кон трольных задач.

Выбор варианта производить с использованием номера зачетной книжки по табл.10.1. Исходные данные для расчета выбирать из табл. 10. Таблица 10. Выбор варианта контрольной работы Последняя цифра номера зачетной книжки Предпоследняя цифра номера 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0–3 1 4 7 10 13 16 19 22 25 4–6 2 5 8 11 14 17 20 23 26 7–9 3 6 9 12 15 18 21 24 27 Таблица 10. Марка чугуна Марка стали Нагрузка, № варианта № схемы Длины участков, кН/м Силы, кН Моменты, кНм м F F1 F2 F3 М0 M1 M2 M3 q a b c e 1 1 30 15 35 60 12 10 15 50 38 0,6 0,7 1,0 0,9 Ст3 СЧ 2 2 28 20 30 65 20 15 10 45 40 0,7 0,9 1,1 1,2 Ст4 СЧ 3 3 26 25 35 10 14 20 25 60 44 1,0 1,1 1,2 1,2 Ст5 СЧ 4 4 24 20 35 20 16 50 30 25 42 1,1 1,2 1,3 1,4 Ст6 СЧ 5 5 22 25 10 35 35 40 30 20 30 1,0 1,2 1,3 1,4 Ст2 СЧ 6 6 20 10 30 15 15 30 45 10 24 1,3 1,4 1,5 1,5 Ст3 СЧ 7 7 18 35 40 30 30 15 30 45 20 1,2 1,3 1,4 1,6 Ст4 СЧ 8 8 16 20 15 55 14 10 40 15 36 1,2 1,4 1,6 1,6 Ст5 СЧ 9 9 14 45 10 65 13 25 20 50 49 0,9 1,0 1,1 1,7 Ст6 СЧ 10 10 12 50 60 20 20 20 10 35 20 1,5 1,6 1,7 1,8 Ст2 СЧ 11 1 32 23 22 60 6 15 20 40 25 0,5 0,6 0,9 0,9 Ст3 СЧ 12 2 30 25 15 55 40 5 30 45 10 0,6 0,7 0,7 1,0 Ст4 СЧ 13 3 28 30 45 15 12 10 35 60 46 1,1 1,2 1,3 1,1 Ст5 СЧ 14 4 26 45 55 25 14 50 60 8 44 1,2 1,3 1,4 1,2 Ст6 СЧ 15 5 24 40 15 60 30 35 45 5 25 0,9 1,1 1,2 1,3 Ст2 СЧ 16 6 22 20 35 20 13 15 20 10 30 1,0 1,1 1,3 1,4 Ст3 СЧ 17 7 20 15 35 45 20 10 20 40 15 1,1 1,2 1,3 1,5 Ст4 СЧ 18 8 18 20 10 55 12 15 35 20 34 1,1 1,3 1,4 1,5 Ст5 СЧ 19 9 16 25 15 60 12 25 30 60 50 1,0 1,2 1,3 1,6 Ст6 СЧ 20 10 14 35 50 30 20 10 15 30 20 1,4 1,6 1,7 1,8 Ст2 СЧ 21 1 40 35 10 65 12 5 15 60 28 0,7 0,9 1,1 1,1 Ст3 СЧ 22 2 38 40 15 70 40 15 30 50 30 0,8 0,9 1,1 1,2 Ст4 СЧ 23 3 36 20 35 25 10 10 35 60 48 1,2 1,3 1,4 1,1 Ст5 СЧ 24 4 34 35 45 40 12 40 60 10 46 1,3 1,4 1,5 1,4 Ст6 СЧ 25 5 32 35 20 65 30 50 70 15 25 1,1 1,3 1,4 1,5 Ст2 СЧ 26 6 30 22 42 15 14 15 30 5 23 1,2 1,3 1,5 1,6 Ст3 СЧ 27 7 28 45 55 30 16 20 30 50 36 1,2 1,4 1,5 1,5 Ст4 СЧ 28 8 24 15 20 55 18 25 50 20 18 1,4 1,5 1,6 1,7 Ст5 СЧ 29 9 22 45 15 70 11 40 30 80 51 1,1 1,2 1,4 1,2 Ст6 СЧ 30 10 20 50 65 30 14 22 13 20 20 0,7 0,9 1,2 1,3 Ст2 СЧ 10.2. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ К КОН ТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ Расчеты на прочность и жесткость при растяжении Задача 1. Стальной ступенчатый брус нагружен сосредоточенными силами. Соотношение между площадями поперечных сечений приведены на рис. 12.1. Из условия прочности при растяжении найти площадь попе речного сечения А. Определить удлинение стержня.

F1 F1 F1 F F а А А 2А 3А 3А b F2 F F2 F2 F 3А А 2А 2А А F3 F3 F3 F F c 2А 3А 3А А 2А 1 2 8 6 7 c 3А 3А А 2А F3 F 2А F3 F F b F2 F 3А А 2А 2А А F2 F F 3А 3А а А 2А А F1 F1 F F F Рис. 10. Порядок выполнения задачи.

1. Методом сечений определить внутренние усилия и напряжения на каждом из участков. Найти наиболее напряженный участок.

2. Из условия прочности при растяжении найти требуемое значение площади поперечного сечения.

3. Вычислить фактические напряжения на каждом из участков. Постро ить эпюры внутренних усилий и напряжений.

4. Найти удлинения каждого из участков в отдельности. Определить пе ремещение характерных сечений. Построить эпюру перемещений.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении Задача 2. К стальному ступенчатому валу с отношением диаметров D/d = 2 приложены вращающие моменты. Из условия прочности при кру чении найти диаметры D и d участков вала. Определить деформацию вала.

М1 М2 М3 М1 М2 М D d 1 М1 М2 М3 М1 М2 М М1 М2 М М1 М2 М М1 М2 М3 М1 М2 М 4 М М1 М3 М1 М2 М 5 c a b e a b c e Рис. 10. Порядок решения задачи.

1. Методом сечений определить внутренние усилия и напряжения на каждом из участков. Найти наиболее напряженный участок.

2. Из условия прочности при кручении найти требуемое значение мо мента сопротивления полярного, а затем и диаметры участков.

3. Вычислить фактические напряжения на каждом из участков. Постро ить эпюры внутренних усилий и напряжений.

4. Найти углы закручивания каждого из участков в отдельности. Опре делить угловое перемещение характерных сечений. Построить эпюру перемещений.

Расчеты на прочность при плоском изгибе Задача 3. Для стальной балки, лежащей на двух опорах, подобрать размеры поперечных сечений в нескольких вариантах исполнения: дву таврового, прямоугольного с отношением высоты к ширине h/b = 1,5, круглого и трубчатого c отношением d/D = 0,8. Варианты исполнения по перечных сечений сопоставить по металлоемкости. Выполнить проверку прочности всех вариантов по касательным напряжениям.

q q M0 M q q M0 M q q M0 M q q M M q q M0 M a c a c Рис. 10. Порядок решения задачи.

1. Найти опорные реакции и выполнить проверку правильности расчета.

2. Методом сечений определить внутренние усилия на каждом из участ ков. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Най ти опасное сечение.

3. Из условия прочности при изгибе найти требуемое значение момента сопротивления осевого.

4. С использованием найденного момента сопротивления подобрать раз меры поперечных сечений указанных в задании форм. Размеры не стандартных профилей округлить согласно ГОСТу.

5. Вычислить максимальные касательные напряжения. Построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте по перечного сечения.

6. Варианты исполнения поперечного сечения балки сопоставить по ме таллоемкости.

Расчеты на прочность при сложном сопротивлении Задача 4. Плоскость Р - Р действия внешних нагрузок наклонена под углом = 15 к вертикальной плоскости (рис. 10.4, а). Подобрать раз меры поперечного сечения стального бруса в форме прямоугольника с от ношением h/b = 1,5 или двутавра (в зависимости от варианта задания). Со поставить напряжения в сечении при косом изгибе с напряжениями при плоском изгибе.

Порядок решения задачи.

Методом сечений определить внутренние усилия Q и M на участках балки.

1.

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M. Найти опасное сечение и величину изгибающего момента в нем.

2. Из условия прочности при косом изгибе найти требуемый момент сопро тивления, подобрать размер поперечного сечения. Определить положение нейтральной линии, провести ее, найти опасные точки и напряжения в них.

Построить эпюру напряжений в сечении.

3. Сопоставить напряжения, возникающие при косом и плоском изгибах.

Задача 5. Короткий брус двутаврового (выполнен из стали) или прямоугольного b h = 6 9 см (выполнен из чугуна) сечения нагружен сжимающей силой F, направленной параллельно его геометрической оси и приложенной в полюс Р (m = 1 см;

n = 1,5 см) (рис. 10.4, б). Выполнить поверочный расчет. Определить допускаемую нагрузку на брус. Сопоста вить напряжения, возникающие при внецентренном и осевом нагружениях.

Порядок решения задачи.

1. Выбрать направления осей координат с учетом схемы нагружения. Вычис лить координаты полюса и отрезков, отсекаемых нейтральной линией;

по строить нейтральную линию. Найти опасные точки в сечении.

2. Вычислить напряжения в опасных точках сечения. Построить эпюру рас пределения напряжений в сечении. Определить запасы прочности, либо значения перегрузки или недогрузки.

3. Определить допускаемую нагрузку, прикладываемую к брусу.

4. Сопоставить напряжения при внецентренном нагружении с осевым.

Задача 6. Подобрать размеры круглых поперечных сечений двух участков стального бруса с ломаной геометрической осью (рис. 10.4, в).

Порядок решения задачи.

1. Методом сечений определить внутренние усилия, действующие на участках бруса. В расчетах учитывать лишь изгибающие и крутящие моменты.

2. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов. Определить вид со противления на каждом из участков, найти положение опасного сечения.

3. Выполнить проектный расчет для каждого из участков. Найденные размеры округлить до стандартных значений.

m P F P q F с h № a c a P F b P F a q № M 2 h с a c P P m F b m P P q F с h F1 F № a c a P P P F q № F с h a a c P F P m b m P q P F M0 с a h a c № F P b a б в Рис. 10.4 (начало) P m F с q M0 P n h a c a F b P P m F q F P с n h 7 a c a F b P P b q с F a F h n P a c F m P P b a q M0 F h с n P c a F m P P b F q с F h n P c a a F m P a в б Рис. 10.4 (окончание) Пример оформления титульного листа МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет _ Кафедра «Сопротивление материалов»

Контрольная работа по сопротивлению материалов Расчеты на прочность и жесткость элементов конструкций Вариант № _ Зачетная книжка № _ Выполнил студент группы Проверил _ Волгоград ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача № 1. Ступенчатый брус из стали Ст4 ([р] = 140 МПа) на гружен, как показано на рис. П.1.1, а. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения. Построить эпюру перемещения сечений.

Дано: F1 = 28 кН;

F2 = 15 кН;

F3 = 22 кН;

a = 0,6 м;

b = 0,8 м;

c = 1,1 м.

Решение I. Определение внутренних усилий и напряжений. В за щемлении возникает опорная реакция R (рис. П.1.1, а), вычислять которую нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рас сматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внутрен ние усилия на каждом из участков, проецируя силы на продольную ось бруса (см. пример 1.1). Строим эпюру внутренних усилий (рис. П.1.1, б).

N, кН, МПа, мкм F1 –0+ –0+ –0+ g 3А I а f 28 F2 b II А e 13 F 2А III c d 9 48, R а б в г Рис. П.1. N I 28 кН I 9,33 ;

NI = –F1 = –28 кН;

AI 3A А N 13 кН II II 13 ;

NII = –F1 + F2 = –28 + 15 = –13 кН;

AII A A N III 9 кН NIII = –F1 + F2 + F3 = –28 + 15 + 22 = 9 кН;

III 4,5.

AIII 2 A A Проверка. Сечениям, к которым приложена сосредоточенная сила, на эпюре N соответствуют скачки на величину приложенной силы и в на правлении ее действия:

Сечение g: Ng = (NI – 0) = (–28 – 0) = –28 кН = F1 (скачок в минус).

Сечение f: Nf = (NII – NI) = (–13 – (–28)) = 15 кН = F2 (скачок в плюс).

Сечение e: Ne = (NIII – NII) = (9 – (–13)) = 22 кН = F3 (скачок в плюс).

Определив напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок II. Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пла стичных материалов роли не играет, поскольку они сопротивляются растя гивающим и сжимающим нагрузкам одинаково.

II. Проектный расчет. Из условия прочности при растяжении на ходим требуемое значение площади поперечного сечения 13 10 N N 9,286 10 5 м 2.

;

A 140 A Допускаемое напряжение назначено согласно рекомендациям табл. П.2.4.

Вычислив фактические напряжения на каждом из участков, строим эпюру напряжений (рис. П.1.1, в).

NI AI = 3A = 30,929 = 2,787 см2;

I 100,4 МПа ;

AI 2,787 10 N II II AII = A = 0,929 см2;

140 МПа ;

AII 0,929 10 N III AIII = 2A = 20,929 = 1,858 см2;

III 48,4 МПа.

AIII 1,858 10 III. Деформации бруса. Удлинения каждого из участков опреде лим, используя закон Гука при растяжении:

28 103 0, NI a 3,01 10 4 м ;

I 11 E AI 2 10 2,787 13 103 0, N II b 5,60 10 4 м ;

II E AII 2 1011 0,929 10 9 103 1, N III c 2,66 10 4 м.

III 11 E AIII 2 10 1,858 Для построения эпюры перемещения сечений начало отсчета выбе рем в сечении d, поскольку оно неподвижно (защемлено).

d 0;

e III 266 мкм ;

f III II 266 560 294 мкм ;

g III II I 266 560 301 595 мкм.

Строим эпюру перемещения сечений (рис. П.1.1, г).

Вывод. Найдено положение опасного участка в ступенчатом брусе.

Из условия прочности подобрана площадь поперечного сечения опасного участка. Исходя из заданного соотношения площадей, вычислены площади поперечных сечений остальных участков. Рассчитаны деформации каж дого из участков, построена эпюра перемещений сечений;

полная длина бруса уменьшилась на 0,595 мм.

Задача № 2. К ступенчатому валу из стали Дано:

Ст5 ([кр] = 125 МПа) с отношением диаметров M1 = 15 кН;

a = 0,6 м;

D/d = 2 приложены вращающие моменты, как M2 = 22 кН;

b = 0,8 м;

показано на рисунке П.1.2, а. Из условия прочно M3 = 28 кН;

c = 1,1 м;

сти при кручении определить диаметры вала. e = 1,2 м.

Построить эпюру углов закручивания.

Решение I. Определение внутренних усилий и напряжений. В за щемлении возникает опорный момент М (рис. П.1.2, а), вычислять кото рый нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внут ренние усилия на каждом из участков, составляя сумму моментов относи тельно продольной оси бруса (см. пример 1.3). Строим эпюру внутренних усилий (рис. П.1.2, б).

I II III IV TI = –M1 = –15 кНм;

М1 М2 М3 М d D TII = –M1 = –15 кНм;

а TIII = –M1 – M2 = –15 – 22 = –37 кНм;

TIV = –M1 – M2 + M3 = –15 –22 + 28 = g f m h k = –9 кНм;

a b c e Т, + 0 б кНм – T 15 16 кН м I I 240 ;

d WI d T 15 16 кН м II II 30 ;

, + WII 2d 3 d 3 в МПа – 9, 15, T 37 16 кН м III III 74 ;

38, d WIII (2d ) T 9 16 кН м 124, IV IV 18.

d 3 + WIV ( 2d ) 10-3 0 г – 1, Проверка. Сечениям, к ко 7, 31, 9, торым приложена пара сила, на Рис. П.1. эпюре Т соответствуют скачки на величину приложенного момента и в направлении его действия.

Сечение m: Tm = (TI – 0) = (–15 – 0) = –15 кН = M1 (скачок в минус).

Сечение h: Th = (TII – TI) = (–37 – (–15)) = –22 кН = M2 (скачок в минус).

Сечение g: Tg = (TIII – TII) = (–37– (–9)) = –28 кН = M3 (скачок в плюс).

Определив касательные напряжения, приходим к выводу, что опас ным является участок I. Знак напряжения в расчетах на прочность элемен тов из пластичных материалов роли не играет.

II. Проектный расчет. Из условия прочности при кручении нахо дим требуемое значение полярного момента сопротивления сечения 15 T T 1,2 10 4 м3.

;

W p 125 10 Wp d3 16 W p 3 16 1,2 3 0,0849 м.

Поскольку W p, то d 16 Принимаем полученное значение диаметра вала, округлив до стандартного значения: d = 85 мм, D = 170 мм. Допускаемое напряжение для стали Ст при кручении назначено согласно рекомендациям табл. П.2.4.

Вычислив фактические напряжения на каждом из участков, строим эпюру напряжений (рис. П1.2, в).

T 853 I I 124,4 МПа.

120,6 103 мм 3 ;

W pI W pI 120,6 10 TII 1703 II 15,5 МПа.

964,7 103 мм 3 ;

W pII W pII 964,7 10 T 1703 III 964,7 103 мм3 ;

III 38,4 МПа.

W pIII W pIII 964,7 10 1703 TIV 964,7 103 мм 3 ;

IV W 9,3 МПа.

W pIV 964,7 10 16 pIV III. Деформации вала. Угол закручивания каждого из участков определим, используя закон Гука при кручении, вычислив предварительно полярные моменты инерции. Для участков II, III и IV они одинаковы.

d 4 0,0854 ( 2d ) 4 0, 6 82,010 6 м 4.

I pI 5,1210 м ;

I pII 32 32 32 T a 15 10 0, I I 0,02197;

G I pI 8 1010 5,12 10 15 103 0, TII b II 0,00183;

G I pII 8 1010 82,0 10 37 103 1, TIII c III 0,00620;

G I pIII 8 1010 82,0 10 9 103 1, TIV e IV 0,00164.

G I pIV 8 1010 82,0 10 Здесь G = 80 ГПа – модуль касательной упругости.

Для построения эпюры перемещения сечений начало отсчета выбе рем в сечении f, поскольку оно неподвижно (защемлено):

f 0;

g IV 1,64 10 3 ;

h IV III ( 1,64 6,20) 10 3 7,84 103 ;

k IV III II 1,64 6,20 1,83 10 3 9,67 10 3 ;

m IV III II I 1,64 6,20 1,83 21,97 10 3 31,64 10 3.

Строим эпюру углов закручивания сечений (рис. П.1.2, г).

Вывод. Найдено положение опасного участка в ступенчатом вале. Из условия прочности подобран диаметр вала опасного сечения. Исходя из заданного соотношения диаметров, вычислены размеры поперечных сече ний остальных участков. Рассчитаны деформации каждого из участков, построена эпюра углов закручивания сечений;

крайнее левое сечение вала повернулось относительно защемления на угол 0,03164 радиана.

Задача № 3. Для балки из стали Ст Дано:

([из] = 150 МПа), схема которой представ лена на рис. П.1.3, а, подобрать поперечное M0 =12 кНм;

q = 24 кН/м;

а = 0,9 м;

с = 0,6 м.

сечение в нескольких вариантах исполнения:

двутавровое, прямоугольное с отношением высоты к ширине h/b = 1,5, круг лое и трубчатое c отношением d/D = 0,8. Варианты исполнения сопоста вить по металлоемкости. Выполнить проверку прочности по касатель ным напряжениям.

I II q M RА RB Решение I. Определение опорных реакций А В а x x Шарнирно-подвижная опора А накла a c дывает одну связь, имеет одну реак Q, + б цию RA. Шарнирно-неподвижная опо кН 0 – ра В накладывает две связи, имеет две составляющие реакции: горизонталь- 8, 14, ную и вертикальную. Согласно усло вию задачи в горизонтальном направ- 7, лении нагрузки отсутствуют. Следова- – в M, тельно, горизонтальная реакция равна кНм + нулю, поэтому нет необходимости в ее Рис. П.1. изображении.

M A 0;

M 0 q ca c / 2 RB a 0, M 0 qc a c / 2 12 24 0,60,9 0,6 / откуда RB 5,867 кН.

a 0, M B 0;

M 0 q c( c / 2) R A a 0, M 0 qc 2 / 2 12 24 0,6 2 / откуда R A 8,533 кН.

a 0, Проверка найденных реакций:

y 0;

R A RB qc 0;

Реакции найдены верно.

8,533 5,867 24 0,6 0.

Фактическое направление опорных реакций обратно показанному на рис. П.1.3, а, так как значения реакций оказались со знаком минус.

II. Определение внутренних усилий Удобно на первом участке рассматривать равновесие левой, а на вто ром – правой отсеченной части балки.


I участок;

0 x a;

Q(x)= RA = –8,533 кН – величина постоянная.

M(x)= RAx – уравнение прямой линии;

Mx=0 = 0;

Mx=a = RAa = –8,5330,9 = –7,68 кНм.

II участок;

0 x c;

Q(x)= –qx – уравнение прямой линии;

Q x 0 0;

Q x c q c 24 0,6 14,4 кН.

x M x M 0 qx – уравнение параболы;

M x 0 M 0 12 кН м;

q M x c M 0 c 2 12 0,62 7,68 кН м.

2 Приравняв первую производную функции момента по абсциссе, на ходим экстремум этой функции:

d M (x) d M ( x) qx;

0;

qx 0 x экстр 0.

dx dx В этом сечении находится вершина параболы.

Строим эпюры Q и M (рис. П.1.3, б и в) и выполняем проверку пра вильности их построения:

на участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q па раллельна базисной линии, а эпюра моментов – наклонная прямая;

на участках, где равномерная распределенная нагрузка действует, эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра моментов ограничена параболой, выпуклость которой совпадает с направлением распределенной нагрузки;

на участках, где Q отрицательна, значения М убывают;

в сечениях, где приложены сосредоточенные силы (в конкретном случае реакции в опорах), на эпюре Q скачки в направлении этих сил и на их величину, а на эпюре М – изломы в направлении действия этих сил;

в том сечении, где приложен момент на эпюре М ему соответствует скачок на величину приложенного момента и в направлении его действия.

Из эпюры моментов следует, что опасным является крайнее правое се чение, где момент принимает значение Mmax = 12 кНм.

III. Проектный расчет Из условия прочности при изгибе (формула (7.11)) находим требуе мое значение момента сопротивления, ориентируясь на рекомендуемые значения допускаемого напряжения [из] = 150 МПа, взятого из табл. П.2. M max 12 M max 8 10 5 м 3.

из ;

Wz max из 150 Wz Форма сечения Момент сопротивления Размер Двутавр Wz 80 см по таблице сортамента b h 2 b1,5b 2 Wz Прямоугольник с 0,375b3 b Wz отношением h/b = 1,5 0, 6 3 Wz D 0,0982 D Wz D Круг 32 0, 4 Wz 3 d Кольцо c отноше D 1 0,0579 D 3 D Wz 0, нием d/D = 0,8 32 D Найденному значению момента сопротивления соответствуют сле дующие размеры поперечных сечений:

Принятые Форма Площадь А, см Требуемые размеры размеры, сечения см Двутавр Wz = 81,7 см № 14 17, 8 10 5 b=6 bh Прямо b 0,0598 м h= угольник 6 9 = 0, 4 D 8 10 D = 9, Круг D3 0,0934 м 0,0982 4 9,52 70, 4 D 2 1 0, D = 11, 8 10 D3 d = 9, Кольцо 0,111 м 0,0579 4 11,52 0,36 37, t = 1, Требуемые размеры округлены в соответствии с ГОСТ 6636– (табл. П.2.2) и занесены в третий столбец. Здесь d – внутренний диаметр полого сечения, а t – толщина его стенки. Металлоемкость балки определяется ее объемом, то есть произведением длины на площадь поперечного сечения. Поскольку длины балок одинаковы, сопоставим площади поперечных сечений различных форм с двутавровым:

Акруга Апрям Акольц 37, 70,9 4,07;

2,59;

2,15.

Адвут Адвут Адвут 17, 17,4 17, Самое неэкономичное сечение – круг.

IV. Распределение напряжений по высоте поперечного сечения Опасным для заданной схемы нагружения является крайнее правое сечение с максимальным изгибающим моментом. Однако поперечная сила в этом сечении равна нулю (см. рис. П.1.3, б и в). На примере одного из рассматриваемых сечений (прямоугольного) на рис. П.1.4 показаны эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте попе речного сечения в фактически разных по длине балки местах: эпюра в крайнем правом сечении, а эпюра – в сечении над опорой В.

1. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сече ния определяют по формуле (7.9) M z y, Iz где Mz – изгибающий момент;

Iz – момент инерции.

Переменным параметром в формуле является у – ордина – 0 + та точки поперечного сечения.

y – 0+ Зависимость напряжения от h/ ординаты точки – линейная, y поскольку переменная у в z 0 первой степени. Максималь h/ max ные напряжения max в точках, наиболее удаленных от цен max b тральной оси (рис. П.1.4, б).

б в а В симметричных сечениях Рис. П.1. (круг, прямоугольник, дву тавр и др.) напряжения равны по величине, но противоположны по знаку.

Знак напряжения зависит как от знака изгибающего момента, так и от положения рассматриваемой точки относительно оси z. Изгибающий момент в опасном сечении отрицателен (см. рис. П.1.3, в), изогнутая ось балки выпукла вверх, верхняя часть растянута (знак напряжения положительный), нижняя часть балки сжата.

2. Касательные напряжения в произвольной точке вычисляют по формуле (7.12) Q y S z, b Iz где Qy – поперечная сила;

b – ширина сечения на уровне той точки, в которой вычисляют напряжение;

Iz – момент инерции.

Переменным параметром в формуле является S z – статический мо мент отсеченной части площади;

зависит от ординаты у во второй степени.

Поэтому касательные напряжения описываются уравнением параболы.

Поперечная сила во всех сечениях балки отрицательна (см. рис. П.1.3, б);

она определяет знак касательных напряжений (рис. П.1.4, в).

На основе приведенной формулы для некоторых часто применяемых сечений найдены выражения, по которым вычисляют максимальные каса тельные напряжения и выполняют проверку прочности, сопоставляя их с допускаемыми касательными напряжениями. Для стали Ст3 согласно ре комендациям, приведенным в табл. П.2.4, [] = 75 МПа.

max Форма Максимальные касательные напряжения сечения max Q S max 14,4 103 46,8 10 6, max 24,0 МПа Двутавр - d Iz 0,0049 572 3 Q 3 14,4 103 Прямо- 31, max 4,8 МПа угольник 4, 2 A 2 45 10- 4 Q 4 14,4 103 max 2,63 МПа Круг 3 A 3 70,9 10- 4 2, 2 14,4 103 2Q 19, max 7,70 МПа Кольцо 7, d 0t 0,1035 0, Здесь d0 – средний диаметр трубчатого сечения, а t – его толщина.

Прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим за пасом. Тем самым подтверждается положение о том, что при расчете на прочность длинных балок ( 5h) влиянием поперечных сил можно пре небречь (см подразд. 7.6).

Выводы Из условия прочности найдены размеры поперечных сечений балок различных вариантов исполнения. Размеры округлены до стандартных значений.

Сопоставлены металлоемкости балок, имеющих различные формы перечных сечений. По сравнению с двутавровым сечением самым неэкономичным является круг.

Задача № 4. Консольная II I балка нагружена силами, ле q P F жащими в плоскости P-P, на клоненной под углом = 10° к х х главной плоскости инерции. По c а добрать размер двутаврового поперечного сечения. Сопоста P 8,8 вить напряжения в поперечных Q, + сечениях балки при косом и кН – плоском изгибах. Материал – 16, сталь Ст6 с допускаемым на 3, пряжением [из] = 230 МПа.

М, –0 Дано: F = 1,2 кН;

q = 11 кН/м;

кН·м + a = 0,8 м;

c = 1,3 м.

Рис. П.1. Решение Определение внутренних усилий. Поиск опасного сечения В опоре – защемлении возникают две опорных реакции, однако, если рассматривать внутренние усилия со свободного конца, определять реак ции нет необходимости.

I участок: 0 x a Q x qx;

Qx 0 0;

Q x a qa 11 0,8 8,8 кН.

x q M x qx ;

M x 0 0;

M x a a 2 0,82 3,52 кНм.

2 2 II участок: 0 x с Q x qа F 11 0,8 1,2 10 кН;

q M x 0 a 2 ;

a M x qa x F x;

2 M x c 11 0,8 1,7 1,2 1,3 16,5 кНм, Опасное сечение в защемлении, где действует Mmax = –16,5 кН·м.

Проектный расчет Из условия прочности при косом изгибе:

M W max max cos z sin [ ] Wz Wy находим требуемый момент сопротивления, назначив в первом приближе нии отношение Wz/Wy = M max cos Wz sin 16,5 10 0,985 10 0,174 1,957 10 4 м3.


Wz [ ] 230 Wy Wz = 203 см3;

Wy = 28,2 см3.

Принимаем двутавр № 20a:

Поверочные расчеты а) по условию прочности 16,5 103 203 max 0,985 0,174 182 МПа.

6 28, 203 10 230 unl 100 20,8 %.

Недогрузка (underload) Следующая проба – двутавр № 18a: Wz = 159 см3;

Wy = 22,8 см3.

16,5 10 3 159 max 0,985 0,174 228 МПа.

159 10 6 22,8 Недогрузка при сопоставлении с [] = 230 МПа менее 1 %. Принимаем двутавр № 18a.

б) в опасных точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, положение которой найдем по формуле I tg 10 2,212;

65,7.

tg z tg Iy Направление координатных осей выбираем так, y P н.л чтобы в первом квадранте координатной систе- B мы z0y изгибающий момент вызывал растяги вающие напряжения (рис. П.1.6). Опасными яв z ляются точки В и С, напряжения в которых рав h ны по модулю, но противоположны по знаку. Напряжение в точке В: zB = b/2 =10/2 = 5 см;

C yB = h/2 = 18/2 = 9 см b y cos z B sin P B M B н.л Iy Iz Рис. П.1. 0,09 cos10 0,05 sin 16500 228 МПа.

1430 10 8 114 Результаты проверки совпали.

Сопоставление напряжений при косом и плоском ( = 0) изгибах:

M max cos Wz sin Wz кос Wy cos Wz sin 0,985 159 0,174 2,20.

max пл M max Wy 22, max Wz Вывод: напряжения при косом изгибе больше, чем при плоском из гибе в 2,2 раза. Косой изгиб опаснее плоского.

Задача № 5. Короткий брус прямоугольного сечения размером b h = 4 6 см, выполненный из серого чугуна СЧ30, нагружен сжимаю щей сосредоточенной силой F = 18 кН, направленной параллельно его геометрической оси. Центр давления Р расположен на расстоянии m = 0,5 см и n = 1 см от угла. Выполнить поверочный расчет бруса. Со поставить напряжения при осевом и внецентренном нагружениях. Опре делить допускаемую нагрузку на брус.

Решение. Выпишем из таблицы вр= 300 МПа;

вс = 1150 МПа вр П.2.5 характеристики прочности материа [ р ] 100 МПа nв ла бруса и определим допускаемые на пряжения, назначив коэффициент запаса [ с ] вс 383 МПа прочности [nв] = 3 (см. подразд. 2.4). n 3 в Поверочный расчет. В соответствие с b рекомендациями (подразд. 8.2) направ T ление осей координат выбираем так, чтобы полюс Р находился в первом yP yн.л квадранте (рис. П.1.7). Для вычисления z h C P напряжений в произвольной точке се n S чения по формуле zн.л m F 1 y P y z P z y 24, zP i A iz н.л y 39, найдем координаты полюса Р (центра Рис. П.1. давления) z P b 2 m 4 / 2 0,5 1,5 см ;

y P h 2 n 6 / 2 1 2 см и квадраты радиусов инерции I z bh 3 1 h 2 62 I y b 3h 1 b 2 4 2 2 1,333 см 2.

iz 3 см ;

i y A 12 bh 12 12 A 12 bh 12 Опасные точки в сечении найдем, построив нейтральную линию, предварительно вычислив отрезки, отсекаемые ею на осях координат i iz 3 1, y yн.л 1,5 см;

zн.л 0,889 см.

yP zP 2 1, Откладываем отрезки yн.л, zн.л на осях координат и проводим ней тральную линию н.л. Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии: S, в которой возникают сжимающие (stress) напряже ния и T по другую сторону от нейтральной линии, где действуют растяги вающие (tension) напряжения. Координаты точки S: zS = b/2 = 4/2 = 2 см;

yS = h/2 = 6/2 = 3 см. Координаты точки T: zT = –b/2 = –4/2 = –2 см;

yT = –h/2 = –6/2 = –3 см.

Напряжения в опасных точках F 1 y P y S zP zS F 1 2 3 1,5 2 ;

S i2 A A 3 1, iz y F S 5,25 5,25 39,38 МПа.

A 0,04 0, F 1 y P yT z P zT F 1 2( 3) 1,5( 2) ;

T i2 A A 3 1, iz y F T 3,25 3,25 24,38 МПа.

A 0,04 0, Нагрузка F сжимающая, ее числовое значение подставляли со знаком (–).

Напряжения при внецентреном нагружении превышают напряжения при осевом нагружении в 3,25 – 5,25 раз.

Определяем фактические запасы прочности по сжимающим и растя гивающим напряжениям по отношению к пределам прочности чугуна СЧ30 и сравниваем их с рекомендуемыми для хрупких материалов [nв] = 3-5.

nS вс 29,2. Запас прочности избыточен.

S 39, вр nT 12,3. Запас прочности избыточен.

T 24, Определение несущей способности. Используя полученные на пре дыдущем этапе зависимости, запишем условия прочности в опасных точ ках сечения, откуда найдем допускаемые значения силы A [с ] 0,04 0,06 383 F S 5,25 [ с ], [ F ] 175 кН.

A 5,25 5, A [ р ] 0,04 0,06 100 F T 3,25 [ р ], [ F ] 73,8 кН.

A 3,25 3, Из двух значений допускаемой нагрузки выбираем меньшее, удовлетво ряющее обоим значениям.

Выводы. Выполнен поверочный расчет короткого чугунного бруса при внецентренном приложении к нему сжимающей нагрузки. Запас проч ности избыточен. В случае центрального приложения силы, возникающие напряжения будут в 5,25 раз меньше;

внецентренное приложение силы опаснее центрального. Найдено значение допускаемой нагрузки – 73,8 кН.

Задача № 6. Для бруса из стали Ст4 определить внутренние усилия на каждом участке. Построить эпюры внутренних уси F лий (значения усилий в буквенном выражении), определить по F2 a ложения опасных сечений. Вы- F1 = 12 кН F2 = 18 кН полнить подбор размеров попе- а = 0,5 м с = 0,8 м с речных сечений;

найденные раз- [р] = 140 МПа меры сечений округлить согласно Сталь Ст [из] = 170 МПа ГОСТ 6636–69.

Решение I. Определение внутренних усилий В общем случае нагружения пространственного бруса в защемлении возникает шесть опорных реакций: три силы и три момента. Если опреде лять внутренние усилия со свободного конца бруса, то нет необходимости в нахождении опорных реакций. Пронумеруем участки римскими цифрами I и II (рис. П.1.8, а). В произвольном сечении х каждого участка Рассечем брус на две части. Отбросив ту из частей, где находится защемление, За меним ее действие внутренними усилиями, Уравновешивающими дейст вие отброшенной части.

Для длинных балок ( 5h) влиянием поперечных сил Q z, Q y, а также продольной силой N, обычно пренебрегают, поскольку каса тельные напряжения от Q и нормальные напряжения от N на порядок меньше касательных и нормальных напряжений от моментов Mx, My, Mz (cм. примеры 7.5 и 8.7).

Поместим в сечение прямоугольную систему координат x y z. Знаки внутренних усилий Mx, My, Mz и моментов от внешних нагрузок устанав ливаем с о г л а с н о п р а ви л у те о р е т и че с ко й м е ха н и ки : момент считают положительным, если он стремится повернуть рас сматриваемую систему против хода часовой стрелки при взгля де на нее со стороны положительного направления оси.

Запишем уравнения равновесия, в которые входят как внешние нагрузки, так и внутренние усилия.

y F F1 F My a F1·a I F1·a x a Mx F2 F Mz z x My y II x с z F1·с F2·с x Mx Mz а б в г д Рис. П.1. I участок: 0 х а. M x 0;

M x T 0;

(рис. П.1.8, б) M y 0;

M y F1 x 0;

M y F1 x;

M z 0;

M z 0.

II участок: 0 х с. M x 0;

M x F1 a 0;

M x T F1 a;

(рис. П.1.8, в) M y 0;

M y F1 x 0;

M y F1 x;

M z 0;

M z F2 x 0;

M z F2 x.

Найденные значения внутренних усилий используем для по строения эпюр крутящего и изгибающих моментов.

II. Построение эпюр внутренних усилий Каждую из эпюр строим на своих базисных линиях. Эпюры изги бающих моментов строим в плоскости их действия на растянутых волок нах бруса (рис. П.1.8, г, д).

Сопоставив эпюры внутренних усилий, можно заключить, что опас ными являются следующие сечения:

участок I – при x = a, плоский изгиб;

участок II – при x = с, совместное действие изгиба в двух плоскостях и кручение.

III. Проектный расчет Для использования условия прочности на первом участке потребуется допускаемое напряжение на изгиб. На втором участке ломаного бруса име ет место совместное действие изгиба и кручения. В этом случае эквива лентное напряжение, найденное по теориям прочности, сопоставляют с допускаемым, определенным при растяжении. Поэтому, воспользовавшись табл. П.2.4, выпишем и будем использовать рекомендуемые значения до пускаемых напряжений для стали Ст4 как при изгибе [из] = 170 МПа (на участке I), так и при растяжении [р] = 140 МПа (на участке II). В расчетах на прочность конструкций из пластичных материалов знаки моментов ро ли не играют.

Участок I Из условия прочности при плоском изгибе определяем требуемое зна чение момента сопротивления M max F1 a 12 10 3 0, M max 3,53 10 5 м 3.

из Wz max из из 170 Wz Момент сопротивления круглого сплошного сечения d 3 32 3,53 10 5 0,0711 м.

, откуда d 3 Wос W y W z Wос 32 Округлив размер до ближайшего стандартного значения, принимаем d = 71 мм. Оценим величину перегрузки (overload). Действительное на пряжение M 12000 0,5 max max 170,7 МПа.

0, Wос max [] 170,7 Перегрузка ovl 100 0,41% допустима.

[ ] Участок II Опасным является сечение в конце участка, в защемлении. Опреде ляем приведенный момент по III теории прочности F1 с 2 F2 с 2 F1 a M прив,III M 2 M z T y 12 0,82 18 0,82 12 0, 11,94 кНм.

Из условия прочности при совместном действии изгиба и кручения M прив (8.13) экв р Wос требуемое значение диаметра 32 11,94 32 M прив d 3 0,954 м.

140 [ р ] Округлив до стандартного значения, принимаем D = 95 мм.

Поверочный расчет. Действительное напряжение M прив 11940 max 141,8 МПа.

0, Wос [ ] 141,8 Перегрузка ovl max 100 1,29 % допустима.

[ ] Вывод. Из условий прочности подобраны размеры поперечных се чений ломаного бруса при различных сочетаниях внутренних усилий. Раз меры округлены в соответствие со стандартом. Диаметр бруса на I участке 71 мм, а на II участке – 95 мм.

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П.2. y Двутавры стальные горячекатаные (ГОСТ 8239–89) d A – площадь поперечного S – статический момент x h сечения;

полусечения;

t bd I – момент инерции;

i – радиус инерции;

W – момент сопротивления;

b m – масса одного погонного метра.

h, b, d, t, A, m, Ix, Wx, ix, Sx, Iy, Wy, iy, № мм мм мм мм см2 см4 см3 см3 см4 см кг см см проф 10 100 55 4,5 7,2 12,0 9,46 198 39,7 4,06 23,0 17,9 6,49 1, 12 120 64 4,8 7,3 14,7 11,5 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1, 14 140 73 4,9 7,5 17,4 13,7 572 81,7 5,73 46,8 41,9 11,5 1, 16 160 81 5,0 7,8 20,2 15,9 873 109 6,57 62,3 58,6 14,5 1, 18 180 90 5,1 8,1 23,4 18,4 1290 143 7,42 81,4 82,6 18,4 1, 18а 180 100 5,1 8,3 25,4 19,3 1430 159 7,51 89,8 114 22,8 2, 20 200 100 5,2 8,4 26,8 21,0 1840 184 8,28 104 115 23,1 2, 20а 200 110 5,2 8,6 28,9 22,7 2030 203 8,37 114 155 28,2 2, 22 220 110 5,4 8,7 30,6 24,0 2550 232 9,13 131 157 28,6 2, 22а 220 120 5,4 8,9 32,8 25,8 2790 254 9,22 143 206 34,3 2, 24 240 115 5,6 9,5 34,8 27,3 3460 289 9,97 163 198 34,5 2, 24а 240 125 5,6 9,8 37,5 29,4 3800 317 10,1 178 260 41,6 2, 27 270 125 6,0 9,8 40,2 31,5 5010 371 11,2 210 260 41,5 2, 27а 270 135 6,0 10,2 43,2 33,9 5500 407 11,3 229 337 50,0 2, 30 300 135 6,5 102 46,5 33,5 7080 472 12,3 268 337 49,9 2, 30а 300 145 6,5 10,7 49,5 39,2 7780 518 12,5 292 436 60,1 2, 33 330 140 7,0 11,2 53,8 42,2 9840 597 13,5 339 419 59,9 2, 36 360 145 7,5 12,3 61,9 48,6 13380 743 14,7 423 516 71,1 2, 40 400 155 8,3 13,0 72,6 57,0 19062 953 16,2 545 667 86,1 3, 45 450 160 9,0 14,2 84,7 66,5 27696 1231 18,1 708 808 101 3, 50 500 170 10 15,2 100 78,5 39727 1589 19,9 919 1043 123 3, 55 550 180 11 16,5 118 92,6 55962 2035 21,8 1181 1356 151 3, 60 600 190 12 17,8 138 108 76806 2560 23,6 1491 1725 182 3, Таблица П.2. Нормальные линейные размеры (выписка из ГОСТ 6636–69) Ряды Ra5 Ra10 Ra20 Ra40 Ra5 Ra10 Ra20 Ra 1,0 1,0 1,0 1,0 4,0 4,0 4,0 4, 1,05 4, 1,1 1,1 4,5 4, 1,15 4, 1,2 1,2 1,2 5,0 5,0 5, 1,3 5, 1,4 1,4 5,6 5, 1,5 6, 1,6 1,6 1,6 1,6 6,3 6,3 6,3 6, 1,7 6, 1,8 1,8 7,1 7, 1,9 7, 2,0 2,0 2,0 8,0 8,0 8, 2,1 8, 2,2 2,2 9,0 9, 2,4 9, Примечания:

2,5 2,5 2,5 2, 1. Размеры, кратные 2, приведенным в таблице, 2,8 2,8 получаются умножением на 0,01;

0,1;

10;

100.

3, 2. При выборе размеров 3,2 3,2 3, предпочтение следует отдавать 3,4 числам из рядов с более крупной градацией (Ra5 – Ra10).

3,6 3, 3, Таблица П.2. Механические свойства сталей углеродистых качественных (выписка из ГОСТ 1050-88) Марка, МПа в, МПа %, % 10 210 340-420 31 20 250 420-500 25 30 300 500-600 21 40 340 580-700 19 45 360 610-750 16 50 380 640-800 14 60 410 690-900 12 Е = 190–210 ГПа;

G = 79–81 ГПа Модули упругости:

Таблица П.2. Допускаемые напряжения при статической нагрузке для углеродистых сталей обыкновенного качества в горячекатаном состоянии * Допускаемые напряжения, МПа при Марка растяжении изгибе кручении срезе смятии стали [р] [из] [см] [кр] [ср] Ст2 115 140 85 70 Ст3 125 150 95 75 Ст4 140 170 105 85 Ст5 165 200 125 100 Ст6 195 230 145 115 * Горский А. И., Иванов-Емин Е. Б., Кареновский А. И. Определение допускаемых напряжений при расчетах на прочность. М.: НИИмаш, 1974.

Таблица П.2. Механические свойства чугунов с пластинчатым графитом (выписка из ГОСТ 1412-85) Пределы прочности, (МПа) при Марка растяжении вр изгибе ви сжатии вс чугуна СЧ 10 100 260 СЧ 15 150 320 СЧ 20 200 380 СЧ 25 250 440 СЧ 30 300 500 СЧ 35 350 560 Модули упругости: Е = 115-125 ГПа;

G = 45 ГПа Таблица П.2. Кратные и дольные единицы Милли Микро Санти Гекто Кило Деци Нано Мега Дека Гига Приставка Обозначение Г М к г да д с м мк н 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10- Множитель Таблица П.2. Единицы механических величин в Международной системе единиц (СИ) Величина Единица СИ Обозна- Обозна- Соотношение Наименование Наименование чение чение единиц F, Q, N Сила Ньютон Н 1 Н = 0,102 кгс 1 Па = 1 Н/м Напряжение Паскаль Па, Модуль кгс 1 МПа 0,102 E, G Паскаль Па упругости мм M, T Момент силы Ньютон-метр Н·м 1 Н·м = 0,102 кгс·м Погонная q Ньютон на метр Н/м 1 Н/м = 0,102 кгс/м нагрузка СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александров, А. В. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высш. шк., 2003. – 560 с.

2. Горшков, А. Г. Сопротивление материалов : учеб. пособие / А. Г. Горшков, В. Н. Трошин, В. И. Шалашилин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 544 с.

3. Сопротивление материалов : учеб пособие / Н. А. Костенко [и др]. – М.: Высш. шк., 2004. – 430 с.

4. Подскребко, М. Д. Сопротивление материалов : учеб. / М. Д. Под скребко. – Минск : Выш. шк., 2007. – 797 с.

5. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов / Н. М. Беляев. – М.:

Наука, 1976. – 607 с.

Учебное издание Алексей Николаевич Савкин Валентин Иванович Водопьянов Олег Викторович Кондратьев ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ Учебное пособие Редактор А. К. Саютина Темплан 2012 г. (учебники и учебные пособия). Поз. № 75.

Подписано в печать. 20. 12. 2012. Формат 6084 1/16. Бумага газетная.

Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 9 п. л Уч.-изд. л. 9,76. Тираж 130 экз. Заказ Волгоградский государственный технический университет.

400005 Волгоград, просп. В. И. Ленина, 28, корп. 1.

Отпечатано в типографии ИУНЛ ВолгГТУ 400005 Волгоград, просп. В. И. Ленина, 28, корп.

Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.