авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

А. В. Домрин, А. Г. Сергеев

Лекции по комплексному анализу

Первое

полугодие

Москва

2004

УДК 517.5

ББК (В)22.16

Д66

Домрин А. В., Сергеев А. Г.

Д66 Лекции по комплексному анализу : В 2 частях. / А. В. Домрин,

А. Г. Сергеев. — М.: МИАН, 2004.

ISBN 5-98419-006-0

Часть I : Первое полугодие. — 2004. — 176 с.

ISBN 5-98419-007-9 Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-01-14126).

c Домрин А. В., Сергеев А. Г., 2004 ISBN 5-98419-007-9 (ч. I) c Математический институт ISBN 5-98419-006-0 им. В. А. Стеклова РАН, Памяти Анатолия Георгиевича Витушкина Содержание Первое полугодие Лекция 1. Комплексная плоскость.............. 1.1. Определение..................... 1.2. Алгебраическая структура............. 1.3. Полярное представление.............. 1.4. Топология комплексной плоскости........ 1.5. Компактификация комплексной плоскости... Лекция 2. Комплексная дифференцируемость. Геометри ческий смысл производной............. 2.1. R-дифференцируемость.............. 2.2. C-дифференцируемость. Условия Коши–Римана 2.3. Производная по направлению........... 2.4. Голоморфные функции и конформные отобра жения......................... 2.5. Геометрический смысл комплексной производной 2.6. Голоморфность и конформность отображений расширенной комплексной плоскости...... Лекция 3. Дробно-линейные функции............ 3.1. Дробно-линейные отображения расширенной ком плексной плоскости................. 3.2. Конформность дробно-линейных отображений. 3.3. Группа дробно-линейных отображений..... 3.4. Круговое свойство дробно-линейных отображений 3.5. Сохранение симметрии при дробно-линейных отображениях.................... 3.6. Свойство трех точек................ 3.7. Дробно-линейные изоморфизмы основных обла стей.......................... Лекция 4.

Интеграл и первообразная............. 4.1. Определение интеграла вдоль пути........ 4.2. Свойства интеграла вдоль пути.......... 4.3. Лемма Гурса..................... 4.4. Первообразная.................... 4.5. Первообразная вдоль пути............. Лекция 5. Теорема Коши.................... 5.1. Теорема Коши о гомотопии............ 5.2. Теорема Коши для многосвязной области.... vi Содержание 5.3. Интегральная формула Коши........... Лекция 6. Ряды Тейлора.................... 6.1. Напоминание..................... 6.2. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора 6.3. Неравенства Коши................. 6.4. Теорема Лиувилля................. 6.5. Множество точек сходимости степенного ряда. 6.6. Голоморфность суммы степенного ряда..... 6.7. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций....................... 6.8. Коэффициенты ряда Тейлора........... 6.9. Интегральная формула Коши для производных 6.10. Теорема Морера................... 6.11. Три эквивалентных определения голоморфной функции....................... 6.12. Разложение голоморфной функции в окрестно сти нуля....................... 6.13. Теорема единственности.............. 6.14. Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций....................... 6.15. Аппроксимация голоморфных функций полино мами......................... Лекция 7. Ряды Лорана и особые точки........... 7.1. Разложение голоморфной функции в ряд Лорана Сходимость рядов по целым степеням z a... 7.2.

7.3. Неравенства Коши для коэффициентов Лорана 7.4. Замечание о рядах Лорана и Фурье....... 7.5. Изолированные особые точки. Определение... 7.6. Описание устранимых особых точек....... 7.7. Описание полюсов................. 7.8. Теорема Сохоцкого................. a = как изолированная особая точка..... 7.9.

7.10. Целые функции с полюсом на бесконечности.. 7.11. Мероморфные функции с полюсом на бесконеч ности......................... Лекция 8. Вычеты........................ 8.1. Теорема Коши о вычетах.............. 8.2. Вычет в терминах ряда Лорана.......... 8.3. Формулы для вычисления вычетов........ Вычет в точке a =................ 8.4.

Содержание vii 8.5. Теорема о полной сумме вычетов......... 8.6. Лемма Жордана................... 8.7. Пример на вычисление преобразования Фурье от рациональных функций............. Лекция 9. Аналитическое продолжение. Постановка задачи 9.1. Постановка задачи................. 9.2. Аналитическое продолжение -функции..... 9.3. Аналитическое продолжение логарифма..... Лекция 10. Теория Вейерштрасса................ 10.1. Постановка задачи................. 10.2. Элементы и их аналитическое продолжение.. 10.3. Свойства непосредственного аналитического про должения....................... 10.4. Продолжение канонических элементов вдоль пути.......................... 10.5. Эквивалентность аналитического продолжения по цепочке и вдоль пути.............. 10.6. Теорема о продолжении вдоль гомотопных путей......................... Лекция 11. Аналитические функции.............. 11.1. Определения....................

. 11.2. Пример: аналитическая функция z....... 11.3. Пример: аналитическая функция ln z...... 11.4. Действия над аналитическими функциями... 11.5. Изолированные особые точки аналитической функции....................... 11.6. Классификация изолированных особых точек. 11.7. Примеры аналитических функций и их особых точек......................... 11.8. Ряды Пюизо..................... Лекция 12. Римановы поверхности..............

. 12.1. Риманова поверхность функции w = z..... 12.2. Риманова поверхность функции w = ln z.... 12.3. Риманова поверхность функции w = arcsin z.. 12.4. Риманова поверхность аналитической функции 12.5. Одномерные комплексные многообразия.... 12.6. Неразветвленные голоморфные накрытия.... 12.7. Риманова поверхность аналитической функции (продолжение).................... Список литературы........................ viii Содержание Второе полугодие Лекция 13. Принцип аргумента................. 13.1. Логарифмический вычет.............. 13.2. Принцип аргумента................. 13.3. Теорема Руше.................... Лекция 14. Принцип сохранения области и обращение голо морфных функций................. 14.1. Принцип сохранения области........... 14.2. Локальное обращение голоморфных функций. 14.3. Теорема Гурвица.................. Лекция 15. Принцип максимума модуля и его следствия.. 15.1. Принцип максимума модуля............ 15.2. Лемма Шварца................... Лекция 16. Принцип компактности. Последовательности го ломорфных функций................ 16.1. Принцип компактности............... 16.2. Теорема Монтеля.................. 16.3. Непрерывные функционалы на семействах го ломорфных функций................ Лекция 17. Теорема Римана................... 17.1. Автоморфизмы основных областей........ 17.2. Теорема Римана................... Лекция 18. Соответствие границ и принцип симметрии... 18.1. Принцип соответствия границ........... 18.2. Принцип симметрии................ Лекция 19. Конформное отображение полуплоскости на мно гоугольник...................... 19.1. Конформное отображение полуплоскости на пря моугольник...................... 19.2. Интеграл Кристоффеля–Шварца......... Лекция 20. Эллиптические функции.............. 20.1. Эллиптический синус................ 20.2. Периоды мероморфных функций......... 20.3. Определение и свойства эллиптических функций....................... Лекция 21. Функция Вейерштрасса.............. 21.1. Определение и основные свойства........ 21.2. Описание эллиптических функций с заданной решеткой периодов................. Содержание ix 21.3. Дифференциальное уравнение для функции Вей ерштрасса...................... Лекция 22. Реализация тора в виде кубической кривой в C2..................... 22.1. Определения тора и кубической кривой в C2.. 22.2. Параметризация кубической кривой с помощью функции Вейерштрасса.............. 22.3. Сложение точек на кубической кривой..... Лекция 23. Модулярная функция и теорема Пикара.... 23.1. Построение модулярной функции......... 23.2. Теорема Пикара................... Лекция 24. Гармонические функции.............. 24.1. Определение и основные свойства гармониче ских функций.................... 24.2. Задача Дирихле................... Дополнение. Физическая интерпретация голоморфных функ ций и доказательство теоремы Римана...... Д.1. Гидродинамическая интерпретация конформных отображений..................... Д.2. “Физическое” доказательство теоремы Римана................... Д.3. Другие физические интерпретации голоморф ных функций.................... Список литературы........................ Предисловие В основу книги легли записи лекций по комплексному анализу, которые на протяжении ряда лет читались авторами студентам механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносо ва. Мы решились издать ее по предложению Петра Лаврентьеви ча Ульянова.

При ее написании мы, конечно, испытали влияние многих кур сов комплексного анализа, изданных ранее (перечисление всех этих курсов заняло бы слишком много места, поэтому в спис ке литературы приведены лишь основные). Однако наибольшее воздействие оказали на нас лекции Бориса Владимировича Ша бата (книга “Введение в комплексный анализ” в списке литера туры) и оставшиеся, к сожалению, неизданными лекции Анато лия Георгиевича Витушкина. Их воздействие проявилось даже не столько в конкретных заимствованиях (хотя и таких приме ров, по-видимому, достаточно), сколько в самих идеях построения лекционного курса. Б. В. Шабату в его лекциях удалось найти “золотую середину” между строгостью и доступностью, общно стью и конкретностью в изложении материала. Крен в любую из указанных сторон приводит, как известно, к неизбежным поте рям. От А. Г. Витушкина мы восприняли идею о том, что задачи, включаемые в курс, должны составлять с ним единое целое, до полняя, расширяя и углубляя текст лекций (но не заменяя его, как в некоторых курсах). Исходя из этого, задачи должны со провождать каждую лекцию (а не составлять отдельный список в конце книги).

Несколько замечаний о структуре книги. Весь годовой курс разделен на два полугодия, отвечающие двум стандартным се местрам (лекции по комплексному анализу читаются ныне сту дентам мехмата 3-го года обучения). В то же время деление на лекции является в достаточной мере условным — они соответ ствуют, скорее, темам, нежели “реальным” лекциям.

xii Предисловие Приводимые задачи носят в основном “теоретический” харак тер. При этом мы постарались исключить стандартные задачи, решаемые на практических семинарах по комплексному анализу (которые можно найти в известных задачниках по комплексному анализу, см., например, [10], [5]).

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фон да фундаментальных исследований (гранты № № 04-01-00236, 02-02-04002, 02-01-01291), Программы поддержки ведущих науч ных школ (гранты № № НШ-1542.2003.1, НШ-2040.2003.1) и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН “Математические методы в нелинейной динамике”.

Первое полугодие Лекция 1. Комплексная плоскость 1.1. Определение. Комплексная плоскость C есть множе ство упорядоченных пар (x, y) вещественных чисел. Точки ком плексной плоскости называются комплексными числами и обо значаются z = (x, y). Вещественные компоненты x и y называют ся соответственно вещественной и мнимой частью комплексного числа z = (x, y) и обозначаются через x = Re z, y = Im z.

Каждому комплексному числу z = (x, y) сопоставляется ком плексно сопряженное к нему число z := (x, y).

Множество вещественных чисел (вещественную ось) R приня то отождествлять с подмножеством C вида R = {(x, 0)}, которое, иначе, можно определить как R = {z C : z = z}.

Выделим, кроме того, подмножество iR = {(0, y)} = {z : z + z = 0}, состоящее из комплексных чисел, называемых чисто мнимыми.

Его можно также отождествить с R.

Рассматривая множество комплексных чисел C как вещест венную плоскость R2, можно ввести на нем структуру векторно го пространства (над полем вещественных чисел R). Естествен ный базис в C R2 задается векторами 1 := (1, 0) и i := (0, 1), = так что любое комплексное число z = (x, y) в этом базисе запи сывается в виде z = (x, y) = x · 1 + y · i x + iy.

2 Лекция 1. Комплексная плоскость 1.2. Алгебраическая структура. Введем на множестве ком плексных чисел C умножение, которое на базисных элементах 1 и i задается по правилу 1 · 1 = 1, 1 · i = i · 1 = i, i · i = 1, а далее продолжается по линейности на все C. Иначе говоря, произведение произвольных комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равно z1 · z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).

Это произведение на множестве комплексных чисел вместе с опе рацией сложения, задаваемой отождествлением C R2, удовле = творяет, как нетрудно проверить, всем аксиомам поля. Тем са мым, C является полем комплексных чисел. Роль единицы в этом поле выполняет число 1 := (1, 0), а роль обратного к произволь ному комплексному числу z = x + iy, не равному нулю 0 := (0, 0), играет комплексное число z 1, равное 1 x y z 1 =2 +i 2.

x + y2 x + y z Основным отличием поля комплексных чисел от полей рацио нальных чисел Q и вещественных чисел R, известных из курса алгебры, является его алгебраическая замкнутость. Это означа ет, что каждый полином с комплексными коэффициентами име ет в C корень. Указанное свойство вытекает из основной теоре мы алгебры, несколько доказательств которой будут предложены в курсе (см., например, указание к задаче в п. 1.3).

Задача. Докажите теорему Гаусса: корни производной многочле на лежат внутри выпуклой оболочки корней самого многочлена.

Указание: если точки z1,..., zn лежат в одной полуплоскости (т.е.

по одну сторону от прямой, проходящей через начало координат), 1 то z1 + · · · + zn = 0 и z1 + · · · + zn = 0.

1.3. Полярное представление. Каждое комплексное число z = 0 может быть записано в полярной форме z = rei := r(cos + i sin ), (1.1) 1.3. Полярное представление Рис. где положительное число x2 + y r = |z| := называется модулем комплексного числа z = x + iy, а в каче стве R можно взять угол = arg z, arg z, между положительным направлением оси R и вектором z (см. рис. 1).

Заметим, однако, что число z, записанное в виде (1.1), не изме нится, если в качестве взять любое решение системы x y cos =, sin =.

r r Эти решения составляют множество Arg z := {arg z + 2k : k Z}, arg z, каждый из элементов которого называется аргументом комплек сного числа z.

Формула умножения комплексных чисел приобретает в по лярной форме удобный вид. Произведение комплексных чисел z1 = r1 ei1 и z2 = r2 ei2 равно z1 · z2 = r1 ei1 · r2 ei2 = r1 r2 ei(1 +2 ).

Задача. Докажите основную теорему алгебры: любой комплекс ный полином имеет комплексный корень.

Указание: рассмотрите точку минимума модуля полинома и вос пользуйтесь тем, что для любых a C \ {0}, k N, найдется комплексное число z такое, что az k имеет заданный аргумент.

4 Лекция 1. Комплексная плоскость Рис. 1.4. Топология комплексной плоскости. Введем на про странстве C евклидову метрику, отождествляя C с евклидовой плоскостью R2 (т.е. декартовой плоскостью, наделенной стандар тной евклидовой метрикой). Эта метрика определяет и естествен ную топологию на C, в которой база окрестностей произвольной точки z0 C задается кругами с центром в z0 (см. рис. 2):

U = U (z0 ) = {z C : |z z0 | }, 0.

Пользуясь указанной метрикой и отвечающей ей топологией, можно перенести на множество комплексных чисел C общие определения и свойства, относящиеся к топологическим и метрическим пространствам. Приведем те из них, которые постоянно используются в этом курсе.

Пути на комплексной плоскости.

Определение. Путем на комплексной плоскости C называ ется непрерывное отображение : [, ] C, где, R,. Два пути 1 : [1, 1 ] C, 2 : [2, 2 ] C называются эквивалентными (см. рис. 3), если найдется непре рывная строго возрастающая функция : [1, 1 ] [2, 2 ], задающая гомеоморфизм [1, 1 ] на [2, 2 ], для которой 2 ( (t)) 1 (t), t [1, 1 ].

Класс эквивалентности путей называется кривой.

1.4. Топология комплексной плоскости Рис. Заметим, что путь : [, ] C и тот же путь, пройденный в обратном направлении, не эквивалентны в указанном выше смысле.

Задача. Какие из следующих путей эквивалентны:

e2it, (1) 0 1;

t e4it, (2) 0 1;

t e2it, (3) 0 1;

t e2i sin t, (4) 0 t /2?

Определение. Путь : [, ] C называется жордановым, если осуществляет взаимно однозначное отображение отрезка [, ] на его образ ([, ]). Путь : [, ] C называется замкну тым жордановым, если () = () и осуществляет взаимно однозначное отображение полуинтервала [, ) на ([, )).

Рассматривая путь : [, ] C как отображение [, ] в ев клидову плоскость R2, определим понятие гладкого и кусочно гладкого пути.

Определение. Предположим, что путь задается отображе нием [, ] C, для которого в каждой точке t [, ] суще ствует производная (t) (применительно к концевым точках, это означает, что в точке существует производная (t) спра ва, а в точке — производная (t) слева). Путь называется гладким, если производная (t) непрерывна по t и (t) = 0 при t [, ]. Путь : [, ] C называется кусочно гладким (см.

рис. 4), если отрезок [, ] можно разбить точками = t0 t1 · · · tn1 tn = 6 Лекция 1. Комплексная плоскость Рис. на конечное число отрезков [tj1, tj ] так, что ограничение на каждый из них является гладким путем.

Эквивалентность гладких и кусочно гладких путей определя ется так же, как в случае непрерывных путей, с дополнительным условием, что замена параметра и обратная к ней замена должны задаваться гладкими (соответственно кусочно гладкими) функциями.

Задачи. (1) Покажите, что теорема Лагранжа неверна для C значных функций. А именно укажите непрерывно дифференцируемую функцию f : [0, 1] C такую, что f (t) = f (1) f (0) ни при каком t [0, 1].

(2) Докажите следующий аналог теоремы Лагранжа для C-знач ных функций. Если функция f : [0, 1] C непрерывно дифференциру ема, то число f (1) f (0) принадлежит замыканию выпуклой оболочки множества значений f (t): f (1) f (0) ch f ([0, 1]).

Области на комплексной плоскости.

Определение. Областью на комплексной плоскости C назы вается открытое линейно связное подмножество D C. Линей ная связность D означает, что для любых двух точек a, b D найдется путь, соединяющий a с b и лежащий в D.

В частности, всякое выпуклое открытое подмножество D C является областью.

Предложение. Для открытых множеств D C линейная связность множества D эквивалентна его связности. Послед нее означает, что D нельзя представить в виде объединения 1.4. Топология комплексной плоскости двух непустых непересекающихся открытых (или, эквивалент но, замкнутых ) подмножеств.

Рис. Доказательство. Пусть множество D открыто и линейно связно. Покажем, что оно связно. Допустим, что существуют не пустые открытые множества D1, D2 D такие, что (см. рис. 5) D1 D2 = и D1 D2 = D.

Выберем любые точки a D1, b D2, и пусть : [0, 1] D есть непрерывный путь из определения линейной связности такой, что (0) = a, (1) = b. Рассмотрим множество K := {t [0, 1] : (t) D1 } и обозначим через t0 число t0 := sup{t : t K}. Имеем t0 1, так как оба множества D1 и D2 открыты. Точка z0 := (t0 ) не может принадлежать ни D1, ни D2. Действительно, в первом случае мы имели бы, что t0 + K для всех достаточно малых 0, а во втором случае — что t0 K / для всех достаточно малых 0.

Следовательно, (t0 ) D вопреки определению. Это противо / речие доказывает связность D.

Обратно, пусть множество D открыто и связно. Фиксируем точку z0 D и определим D1 D как множество всех то чек z D, которые можно соединить с z0 непрерывным путем 8 Лекция 1. Комплексная плоскость : [0, 1] D. Положим D2 := D \ D1. Поскольку каждая точка z D содержится в D вместе с некоторым кругом, а каждую точ ку круга можно соединить по радиусу с его центром, мы видим, что оба множества D1, D2 открыты. Но тогда из связности D вытекает, что одно из них, а именно D2, должно быть пусто. По лученное равенство D1 = D означает, что D линейно связно.

Из доказанного утверждения вытекает Теорема об открыто-замкнутом подмножестве. Пусть G C — область и F G — непустое подмножество. Если F одновременно открыто и замкнуто в G, то F = G.

Напомним, что границей области D называется множество D := D \ D. В этом курсе мы рассматриваем, в основном, об ласти, ограниченные гладкими или кусочно гладкими контурами.

В частности, мы будем называть D областью с простой границей, если она ограничена конечным числом кусочно гладких замкну тых жордановых путей (контуров). Ориентация D всегда выби рается так, чтобы область D оставалась слева при обходе вдоль ограничивающих ее замкнутых путей. Иными словами, внешняя граница области D должна быть ориентирована против часо вой стрелки, а внутренние компоненты границы — по часовой стрелке.

Приведем еще одно определение, относящееся к областям на комплексной плоскости. Будем говорить, что множество G ком пактно принадлежит области D (и записывать это как G D), если G D.

1.5. Компактификация комплексной плоскости. По са мому определению комплексной плоскости C она не является ком пактным множеством, поэтому удобно ввести в рассмотрение ее компактификацию.

Определение. Расширенной комплексной плоскостью C называется одноточечная компактификация C, получаемая до бавлением к C новой точки. База окрестностей точки на C := C{} задается внешностями кругов {z C : |z| R}{}.

С учетом этого определения все основные топологические по нятия, введенные выше для C, переносятся и на расширенную плоскость C.

1.5. Компактификация комплексной плоскости Рис. Стереографическая проекция. Наглядное геометрическое изо бражение C можно получить с помощью стереографической проекции. Пусть 1 (,, ) R3 : 2 + 2 + S= = 2 — сфера в евклидовом пространстве R3 с центром в точке 0, 0, радиуса 1 (см. рис. 6). Отождествим комплексную плоскость C с плоскостью { = 0} в R3 и сопоставим каждой точке z = x + iy точку Z = (,, ) пересечения сферы S с лучом, соединяющим z с северным полюсом N = (0, 0, 1) сферы S. Для того чтобы выра зить координаты точки Z через z, запишем луч параметрически в виде = 1 t.

= tx, = ty, Его точка пересечения со сферой S отвечает значению парамет ра t, которое находится из уравнения 1 1 t2 (x2 + y 2 ) + t = = t=.

1 + |z| 2 10 Лекция 1. Комплексная плоскость Следовательно, координаты искомой точки Z = (,, ) вычисля ются по формуле |z| x y =, =, =.

1 + |z|2 1 + |z|2 1 + |z| Обратное отображение находится из соотношения t = 1, откуда x=, y=.

1 Из приведенных формул следует, что стереографическая про екция Z z устанавливает взаимно однозначное соответ ствие между точками сферы S \ {N } без северного полюса N и комплексной плоскости C. Более того, при этом отображении базе проколотых окрестностей точки C, состоящей из внеш ностей кругов {z C : |z| R}, будет отвечать база проколотых окрестностей северного полюса N на сфере S. Таким образом, если продлить стереографическую проекцию S \ {N } C до соответствия S C, сопоставляя северному полюсу N точку C, то полученное отображение будет осуществлять гомео морфизм сферы S с расширенной комплексной плоскостью C.

Построенная модель расширенной комплексной плоскости C на зывается сферой Римана.

Задачи. (1) Какие точки комплексной плоскости отвечают диа метрально противоположным точкам сферы Римана?

(2) Какому преобразованию сферы Римана отвечает преобразова ние комплексной плоскости вида z 1/z?

(3) Во что проектируются при стереографической проекции окруж ности на сфере Римана?

Сферическая метрика. Пользуясь стереографической проек цией, мы можем ввести на C помимо евклидовой метрики, опре деляемой посредством |z1 z2 |2 = (x1 x2 )2 + (y1 y2 )2 z1, z2 C, для еще и сферическую метрику. Расстояние (z1, z2 ) между точка ми z1, z2 C в этой метрике по определению равно евклидову расстоянию (в R3 ) между их сферическими образами.

1.5. Компактификация комплексной плоскости Задача. Покажите, что |z1 z2 | (z1, z2 ) =.

1 + |z1 |2 1 + |z2 | Из этой формулы видно, что в конечной части C (т.е. для то чек z1, z2, принадлежащих некоторому кругу {|z| R}) сфериче ское расстояние (z1, z2 ) эквивалентно евклидову в том смысле, что C1 (R)|z1 z2 | (z1, z2 ) C2 (R)|z1 z2 | (конкретно: C1 (R) = 1/(1+R2 ), C2 (R) = 1). В то же время рассто яние от произвольной точки z C до в сферической метрике является конечным:

(z, ) = 1.

1 + |z| База проколотых окрестностей точки C в метрике задается множествами 2 1.

{z C : (z, ) } = z C : |z| Иначе говоря, топология расширенной комплексной плоскости C, которую мы определили раньше, эквивалентна топологии C, задаваемой сферическим расстоянием.

12 Лекция 2. Комплексная дифференцируемость Лекция 2. Комплексная дифференцируемость.

Геометрический смысл производной 2.1. R-дифференцируемость. Рассмотрим C-значную фун кцию f : C C на комплексной плоскости как отображение R2 R2, сопоставляющее каждой точке z = x + iy точку f (z) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = Re f (x, y) + i Im f (x, y).

Определение. Функция f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), опреде ленная в окрестности точки z0 = x0 + iy0, называется R-диффе ренцируемой в точке z0, если u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (x0, y0 ) как функции от x, y.

Более подробно, рассмотрим точку z = x+iy, достаточно близ кую к z0, и положим x := x x0, y := y y0. Кроме того, обозначим z := z z0 = x + iy, f := f (z) f (z0 ) = f (x, y) f (x0, y0 ).

Тогда R-дифференцируемость f в точке z0 эквивалентна сущест вованию констант a, b C таких, что f = a · x + b · y + o(|z|) при z 0.

Более формально, это соотношение означает, что для всякого 0 существует 0 такое, что |f a · x b · y| |z| для всех z, удовлетворяющих неравенству |z z0 |. Из него вытекает, в частности, что функция f имеет частные производные по x и по y в точке z0, причем f f f f (z0 ) = lim = a, (z0 ) = lim = b.

x0, y=0 x y0, x=0 y x y Задача. Покажите, что из существования этих частных произ водных еще не следует R-дифференцируемость f в точке z0.

Указание: Например, функция f (z) = z 3 /|z|2, доопределенная в точке z0 = 0 по непрерывности, имеет частные производные f (0) = 1 и f (0) = i, но не является R-дифференцируемой x y в точке z0 = 0.

2.2. C-дифференцируемость. Условия Коши–Римана Если выразить x и y через z := x + iy и z := x iy, то условие R-дифференцируемости f в точке z0 примет вид 1 f f 1 f f (z0 ) i (z0 ) z + f = (z0 ) + i (z0 ) z + o(z).

2 x y 2 x y (2.1) Введем дифференциальные операторы (формальные частные производные по z и z) f 1 f f f 1 f f i :=, := +i.

z 2 x y z 2 x y Из формулы (2.1) вытекает следующее выражение для диффе ренциала df (z0 ) : Tz0 C Tf (z0 ) C функции f, R-дифференцируе мой в точке z0 :

f f df (z0 ) = (z0 ) dz + (z0 ) dz.

z z Если отождествить касательные пространства Tz0 C и Tf (z0 ) C с комплексной плоскостью C, то дифференциал df (z0 ) : Tz0 C Tf (z0 ) C будет определять линейное отображение C C, действу ющее по формуле f f df (z0 ) : C df (z0 ) = (z0 ) · + (z0 ) · z z для всех C Tz0 C.

2.2. C-дифференцируемость. Условия Коши–Римана.

Определение. Функция f, определенная в окрестности точ ки z0, называется C-дифференцируемой в точке z0, если найдется комплексное число a такое, что в окрестности точки z0 имеет ме сто представление f = f (z) f (z0 ) = a · z + o(z).

Эквивалентная переформулировка этого определения:

f при z 0, = a + o(1) z т.е. существует предел f (z) f (z0 ) f lim = lim =: f (z0 ).

z z z0 z zz 14 Лекция 2. Комплексная дифференцируемость Число f (z0 ) называется комплексной производной функции f в точке z0.

Теорема. Функция f, определенная в окрестности точки z0, является C-дифференцируемой в этой точке f является R-дифференцируемой в точке z0 и выполняется условие Коши– Римана f (z0 ) = 0.

z f В этом случае имеем z (z0 ) = f (z0 ).

Доказательство. =. По определению C-дифференциру емость f в точке z0 означает, что функция f является R-диффе ренцируемой в точке z0 и ее дифференциал в этой точке имеет специальный вид:

для всех C Tz0 C.

df (z0 ) = a Отсюда следует, что f (z0 ) = 0.

z =. R-дифференцируемость функции f в точке z0 означает, что f f f = (z0 )z + (z0 )z + o(z) z z в окрестности точки z0. Отсюда в силу условия Коши–Римана вытекает, что f f = (z0 )z + o(z), z т.е. функция f C-дифференцируема в точке z0.

Подставляя f = u + iv в формулу f 1 f f = +i z 2 x y и отделяя вещественную и мнимую части, можно записать усло вие Коши–Римана в вещественной форме (т.е. в терминах ве щественнозначных функций u = Re f, v = Im f и вещественных переменных x = Re z, y = Im z):

f f f u v u v = 0 = 0 +i +i + = 0.

z x y x y y x 2.3. Производная по направлению Таким образом, f (z0 ) = z u v u v (x0, y0 ) = (x0, y0 ).

(x0, y0 ) = (x0, y0 ), x y y x Выпишем также условие Коши–Римана в полярных коорди натах r,, связанных с z, z формулами z = rei, z = rei.

Дифференцируя эти формулы по z и решая полученную систему двух линейных уравнений, находим, что ei iei r =, =.

z 2 z 2r Следовательно, по теореме о производной сложной функции ei r i = + = +.

z z r z 2 r r Применяя этот оператор к f = u + iv, получаем:

f f i f =0 + = z r r u 1 v v 1 u = =,.

r r r r Задачи. (1) Найдите все функции вида f (z) = u(x) + iv(y), явля ющиеся C-дифференцируемыми в каждой точке z0 C.

(2) Пусть функция f (z) является C-дифференцируемой в окрест ности точки z0. Определим R-значные функции u(z), v(z), (z), (z) в окрестности z0 формулой f = u + iv = ei. Докажите, что если хотя бы одна из функций u, v,, постоянна в окрестности z0, то и f (z) постоянна в окрестности z0.

2.3. Производная по направлению. Пусть функция f R-дифференцируема в точке z0. Тогда f f f = (z0 )z + (z0 )z + o(z).

z z Воспользуемся полярным представлением z = |z|ei, так что z = z = |z|ei = z · e2i, 16 Лекция 2. Комплексная дифференцируемость Рис. и перепишем предыдущую формулу в виде f f (z0 )e2i z + o(z).

f = (z0 ) + z z Разделим обе ее части на z и перейдем к пределу при z при фиксированном аргументе arg z = = const. Получим, что из R-дифференцируемости f в точке z0 вытекает существование предела f f f (z0 )e2i =: f (z0 ), lim = (z0 ) + z0 z z z arg z= называемого частной производной f по направлению. Послед няя формула показывает, что при изменении от 0 до 2 точка f (z0 ) описывает дважды пройденную окружность с центром в точке f (z0 ) радиуса f (z0 ) (см. рис. 7). Этим доказано сле z z дующее Предложение. Пусть функция f является R-дифференци руемой в точке z0. Ее производная f (z0 ) в этой точке по на правлению не зависит от направления тогда и только тогда, когда f (z0 ) = 0. В этом случае имеем z f R.

f (z0 ) = (z0 ) = f (z0 ) для всех z 2.4. Голоморфные функции и конформные отображения 2.4. Голоморфные функции и конформные отобра жения.

Определение. Функция f называется голоморфной в точке z0 C, если она C-дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция f называется голоморфной в области D, если она голоморфна в каждой точке этой области.

Множество функций, голоморфных в области D, обозначается через O(D).

Определение. Пусть функция f R-дифференцируема в точ ке z0. Отображение окрестности этой точки в C, задаваемое функ цией f, называется конформным в точке z0, если его дифферен циал df (z0 ), рассматриваемый как линейное отображение плоско сти R2 на себя, невырожден (т.е. взаимно однозначен) и является композицией поворота и растяжения. Отображение, задаваемое функцией f, конформно в области D, если оно конформно в каж дой точке этой области.

Связь между конформными отображениями и C-дифферен цируемыми функциями устанавливается следующим предложе нием.

Предложение. Отображение, задаваемое R-дифференциру емой функцией f, конформно в точке z0 функция f явля ется C-дифференцируемой в точке z0 и f (z0 ) = 0.

Доказательство. =. Пусть функция f C-дифференци руема в точке z0 и f (z0 ) = 0. Тогда ее дифференциал df (z0 ) : f (z0 ) = |f (z0 )| ei arg f (z0 ) является композицией поворота на угол arg f (z0 ) и растяжения в |f (z0 )| раз. Кроме того, он невырожден, так как эта компози ция взаимно однозначно отображает R2 на себя. Следовательно, отображение f конформно в точке z0.

=. Пусть функция f R-дифференцируема в точке z0. Ее дифференциал в этой точке имеет вид df (z0 ) : A + B, где A := f (z0 ), B := f (z0 ). Отображение i геометрически z z является поворотом на 90 против часовой стрелки. Поскольку 18 Лекция 2. Комплексная дифференцируемость любые повороты и растяжения коммутируют с этим отображени ем, то и дифференциал df (z0 ) должен коммутировать с ним ввиду конформности f, т.е. должно выполняться равенство Ai + Bi = i(A + B ) для всех C.

Отсюда следует, что 2iB = 0 для всех C и, следовательно, B = 0. Таким образом, всякое конформное в точке z0 отображе ние f является C-дифференцируемым в этой точке. При этом f (z0 ) = 0, так как иначе отображение df (z0 ) обращалось бы в тождественный нуль, что невозможно ввиду его невырожден ности.

Задачи. (1) Пусть отображение f конформно в точке z0. Покажи те, что проходящие через точку z0 линии уровня {z : u(z) = u(z0 )} и {z : v(z) = v(z0 )} функций u(z) := Re f (z) и v(z) := Im f (z) являют ся гладкими кривыми в окрестности z0 и пересекаются в точке z0 под прямым углом.

(2) Покажите, что якобиан Jf (z0 ) всякой R-дифференцируемой в точке z0 функции f, рассматриваемой как отображение R2 R2, равен 2 f f Jf (z0 ) = (z0 ) (z0 ).

z z В частности, если f конформно в точке z0, то Jf (z0 ) 0. (Эквива лентная формулировка последнего утверждения: конформные отобра жения сохраняют ориентацию.) Рис. 2.5. Геометрический смысл комплексной производной.

Изучим геометрические свойства конформных отображений.

Пусть f конформно в некоторой окрестности U точки z0 и производная f (z) непрерывна в U. Рассмотрим гладкий путь 2.5. Геометрический смысл комплексной производной в U с началом в z0, т.е. гладкое отображение (см. рис. 8) : [0, 1] U, (0) = z0, удовлетворяющее условию (t) = 0 при t [0, 1]. Композиция := f : [0, 1] f (U ) является гладким путем в f (U ), так как (t) = f ((t))(t).

(2.2) Геометрически (t) представляет собой касательный вектор к кривой ([0, 1]) в точке (t);

аналогичную интерпретацию имеет и производная (t). Поскольку элемент длины дуги в точке (t) равен ds (t) = |(t)| dt и, аналогично, ds (t) = |(t)| dt, то |(0)| ds (0) = |f (z0 )|, = |(0)| ds (0) т.е. модуль производной f (z0 ) есть коэффициент растяжения длины дуги в точке z0 при отображении f.

Из последнего утверждения следует, в частности, что все ду ги, проходящие через точку z0, растягиваются в этой точке в од но и то же число раз. Поэтому отображение f переводит малые окружности с центром z0 в гладкие кривые, совпадающие в пер вом порядке с окружностями с центром f (z0 ). Впрочем, это выте кает уже из описания дифференциала конформного отображения в п. 2.4.

Из формулы (2.2) вытекает также, что arg f (z0 ) = arg (0) arg (0), т.е. аргумент производной f (z0 ) есть угол поворота касатель ных к дугам в точке z0 при отображении f.

В частности, все дуги, проходящие через z0, поворачивают ся на один и тот же угол. Иными словами, конформное отобра жение сохраняет углы: угол между двумя дугами, проходящими через z0, равен углу между их образами.

Замечание. Геометрические свойства конформных отобра жений не переносятся на голоморфные отображения f с f (z0 ) = 0.

Например, отображение f (z) = z 2 голоморфно в точке z0 = 0, но не сохраняет углы в этой точке.

20 Лекция 2. Комплексная дифференцируемость 2.6. Голоморфность и конформность отображений рас ширенной комплексной плоскости.

Определение. Комплекснозначная функция f, заданная в окрестности точки C, называется голоморфной (соответ ственно конформной) в точке z =, если функция g(z) := f z голоморфна (соответственно конформна) в нуле.

Задача. Докажите, что если функция f голоморфна в точке, то limz f (z) = 0.

Определение. Отображение f : C C, обращающееся в бес конечность в точке z0 C, называется голоморфным (соответ ственно конформным) в точке z0, если функция F (z) := f (z) голоморфна (соответственно конформна) в z0. В частности, если f () =, то голоморфность (соответственно конформность) f в точке z0 = означает голоморфность (соответственно кон формность) функции 1 G(z) := = g(z) f (1/z) в нуле.

3.1. Дробно-линейные отображения Лекция 3. Дробно-линейные функции Геометрия евклидовой плоскости R2 (планиметрия) тесно свя зана с линейными преобразованиями, переводящими прямые на плоскости снова в прямые. В случае комплексной плоскости C эту роль выполняют комплексные линейные преобразования вида z az + b с комплексными a, b. Точно так же, геометрия расши ренной комплексной плоскости C (конформная геометрия) связа на с дробно-линейными преобразованиями, задаваемыми дробно линейными функциями вида az + b z с комплексными a, b, c, d.

cz + d Роль “прямых” в конформной геометрии C играют обобщен ные окружности, т.е. прямые или окружности на комплексной плоскости C. (Они отвечают окружностям на сфере Рима на C.) Дробно-линейные преобразования переводят обобщенные окружности снова в обобщенные окружности (см. п. 3.4).

3.1. Дробно-линейные отображения расширенной ком плексной плоскости.

Определение. Дробно-линейное отображение задается фун кцией вида az + b где a, b, c, d C, ad bc = 0.

w = f (z) =, cz + d Условие ad bc = 0 исключает вырожденный случай постоян ного отображения w const. Случай c = 0 отвечает линейному отображению a b w= z+ d d (заметим, что в этом случае d = 0).

Дробно-линейное отображение определено во всех точках рас ширенной комплексной плоскости C, кроме z = d/c (в случае c = 0) и z =. Доопределим его в этих точках. Если c = 0, то положим d a w = при z= при z =.

и w= c c Если же c = 0, то положим w = при z =.

22 Лекция 3. Дробно-линейные функции Предложение 3.1. Дробно-линейное отображение задает гомеоморфизм (т.е. взаимно однозначное непрерывное отобра жение, обратное к которому тоже непрерывно) расширенной комплексной плоскости C на себя.

Доказательство. Пусть c = 0 (случай c = 0 разберите само стоятельно). Проверим взаимнооднозначность рассматриваемого отображения. Действительно, каждому значению w = a, отве c чает единственное dw b z= cw + a такое, что w = f (z) (заметим, что z = d, ). Точке w = a от c c вечает, по определению, z =, а точке w = отвечает z = d.c Проверим теперь непрерывность отображения z w. В точках z = d, она очевидна, а в точках z = d, вытекает из пре c c дельных соотношений az + b az + b a =, lim lim =.

zd/c cz + d cz + d c z Непрерывность обратного отображения w z проверяется ана логично.

3.2. Конформность дробно-линейных отображений.

При z = d, конформность отображения c az + b w = f (z) = cz + d вытекает из голоморфности w = f (z) и того, что комплексная производная ad bc dw = (cz + d) dz не равна нулю в этих точках. (Мы видим, что условие ad bc = необходимо для конформности отображения w = f (z).) Проверим конформность w = f (z) в точке z = d, считая, c что c = 0 (случай c = 0 разберите самостоятельно). Для этого согласно п. 2.6 надо проверить конформность отображения 1 cz + d W= = w az + b 3.3. Группа дробно-линейных отображений в точке z = d. Она вытекает из того, что производная c bc ad dW = (az + b) dz при z = d существует и равна bcad = 0. Следовательно, исход c c ное отображение w = f (z) конформно в точке z = d.

c Конформность w = f (z) в точке z = (снова в предположе нии, что c = 0) эквивалентна конформности отображения 1 a + bz g(z) = f = z c + dz в нуле, которая проверяется так же, как и выше. Можно доказать ее и по-другому, сославшись на конформность обратного отобра жения dw b z= cw + a в точке w = a, которая вытекает из предыдущего случая. Итак, c доказано следующее Предложение 3.2. Дробно-линейное отображение конформ но во всех точках расширенной комплексной плоскости.

Задача. Можно ли дробно-линейно отобразить:

(1) единичный круг U на расширенную комплексную плоскость C;

(2) единичный круг U на комплексную плоскость C;

(3) комплексную плоскость C на расширенную комплексную плос кость C?

3.3. Группа дробно-линейных отображений. Множест во всех дробно-линейных отображений является группой от носительно операции композиции. Действительно, прямое вычис ление показывает, что если a1 z + b 1 a2 z + b f1 (z) = и f2 (z) = c1 z + d1 c2 z + d — два дробно-линейных отображения, то их композиция f1 f2 и обратное отображение f1 тоже дробно-линейны.

Это утверждение становится очевидным, если реализовать дробно-линейные отображения в виде комплексных 22-матриц.

24 Лекция 3. Дробно-линейные функции Указанная реализация строится следующим образом. Сопостав ляя каждой обратимой матрице a b GL(2, C) c d дробно-линейное отображение az + b w=, cz + d мы получим гомоморфизм групп GL(2, C).

Этот гомоморфизм сюръективен, а его ядро состоит из всех нену левых скалярных матриц, т.е. совпадает с {I : C }, где C := C\ {0}, а I — единичная 2 2-матрица. Более того, сужение указанного гомоморфизма на группу SL(2, C) всех матриц с опре делителем 1 тоже сюръективно (поскольку числитель и знамена тель в формуле для w можно делить на одно и то же ненуле вое комплексное число), а его ядро состоит всего из двух элемен тов: ±I. Это означает, что имеют место изоморфизмы групп GL(2, C) SL(2, C) =: PSL(2, C).

= = C {±I} Группа дробно-линейных отображений не коммутативна.

Линейные отображения образуют подгруппу 0, состоящую в точности из отображений, оставляющих точку z = непо движной. В матричной реализации элементы 0 изображаются верхнетреугольными матрицами из GL(2, C) или SL(2, C).

3.4. Круговое свойство дробно-линейных отображе ний.

Определение. Обобщенной окружностью (или окружно стью на расширенной комплексной плоскости C ) называется любая окружность или прямая на комплексной плоскости C.

Это определение мотивируется тем, что при стереографиче ской проекции окружностям и прямым на C отвечают окружно сти на сфере Римана.

Предложение 3.3. Каждое дробно-линейное отображение переводит любую окружность на C снова в окружность на C.

3.4. Круговое свойство дробно-линейных отображений Доказательство. При c = 0 (т.е. для линейных отобра жений) это утверждение очевидно. С другой стороны, всякое дробно-линейное отображение az + b w = f (z) = cz + d с c = 0 можно записать в виде ad bc a B f (z) = =: A +, c c(cz + d) z+C т.е. представить как композицию f = f1 f2 f3 отображений вида f1 (z) = A + Bz, f2 (z) =, f3 (z) = z + C.

z Иначе говоря, всякое дробно-линейное отображение можно пред ставить в виде композиции линейных отображений и отобра жения z.

z Для движений плоскости (представляемых в виде композиции сдвига с поворотом) утверждение предложения 3.3 очевидно. По этому остается доказать его для отображений z 1 и z z, z 0.

Заметим, что в терминах стереографической проекции отоб ражение z 1 является поворотом сферы Римана вокруг одно z го из диаметров на угол (проверьте это!) и потому сохраняет окружности на сфере Римана.

Можно проверить круговое свойство для отображения z z и непосредственно. Воспользуемся тем, что в координатах z = x+iy любая окружность на C записывается в виде A(x2 + y 2 ) + B1 x + B2 y + C = 0, (3.1) где коэффициенты A, B1, B2, C R не равны нулю одновременно и определены однозначно с точностью до умножения на общую ненулевую вещественную константу. (Заметим, что случай A = отвечает прямым, случай A = 0 — обычным окружностям.) Вы деляя полные квадраты, легко видеть, что, обратно, всякое урав нение (3.1) с не равными одновременно нулю коэффициентами A, B1, B2, C R задает либо окружность на C, либо точку или пустое множество.

26 Лекция 3. Дробно-линейные функции В комплексных координатах уравнение (3.1) переписывается в виде Azz + Bz + Bz + C = 0, (3.2) где B = 1 (B1 iB2 ). При отображении w = 1 окружность, задан 2 z ная уравнением (3.2), переходит в множество, задаваемое уравне нием того же вида:

A + Bw + Bw + Cww = 0.

При этом окружность в C не может перейти в точку или пустое множество, так как дробно-линейные отображения взаимно одно значны. Следовательно, всякая окружность на C переходит при отображении z 1 снова в окружность на C.

z Для отображения z z, 0, это утверждение проверяется аналогичным образом.

Задача. Покажите, что уравнение (3.2) с не равными одновремен но нулю коэффициентами A, C R, B C задает обычную окруж ность A = 0, |B|2 AC 0. Центр этой окружности есть z0 = B/A, а радиус равен R = |B|2 AC/|A|.

Замечание. Как отмечалось выше (п. 2.5), любое конформ ное отображение f обладает круговым свойством в первом поряд ке, т.е. переводит малые окружности с центром z0 в замкнутые кривые, совпадающие в первом порядке с окружностями с цен тром f (z0 ). Для дробно-линейных отображений образом окруж ности (на C) является в точности окружность (на C), но центр окружности уже не обязательно переходит в центр (приведите пример).

3.5. Сохранение симметрии при дробно-линейных ото бражениях. В евклидовой геометрии R2 имеется естественное понятие симметрии относительно прямых, которое сохраняется при движениях плоскости. Поскольку в C роль “прямых” играют обобщенные окружности, можно ожидать, что в конформной гео метрии должно существовать понятие симметрии относительно обобщенных окружностей, сохраняющееся при дробно-линейных преобразованиях C. Поскольку симметрия относительно прямых в C вводится так же, как на евклидовой плоскости, остается опре делить симметрию относительно окружностей на C.

Определение. Точки z1, z2 C называются симметричны ми относительно окружности = {|z z0 | = R} (см. рис. 9), 3.5. Сохранение симметрии если они лежат на одном луче с началом в точке z0 и произведе ние их расстояний до z0 равно R2 :

|z1 z0 | · |z2 z0 | = R2.

Центр z0 окружности будем считать симметричным точке относительно.

Рис. Лемма. Точки z1, z2 C симметричны относительно обоб щенной окружности = {z : Azz + Bz + Bz + C = 0} (см.

формулу (3.2) из п. 3.4) тогда и только тогда, когда Az1 z 2 + Bz1 + Bz 2 + C = 0.

Иными словами, чтобы получить условие симметричности то чек z1, z2 относительно окружности, надо в уравнении заме нить z на z1, а z на z 2.

Доказательство. 1. Рассмотрим вначале случай, когда = {z : |z z0 | = R} является обычной окружностью. Тогда условие симметричности z1, z2 относительно состоит в том, что аргу мент z1 z0 совпадает с аргументом z2 z0, а модуль z1 z0 равен R2 /|z2 z0 |, т.е.

R z1 z0 =.

z2 z Записывая это условие в виде (z1 z0 )(z 2 z 0 ) = R2 z1 z 2 z 0 z1 z0 z 2 + z0 z 0 = R и сравнивая его с уравнением исходной окружности :

(z z0 )(z z 0 ) = R2 zz z 0 z z0 z + z0 z 0 = R2, мы убеждаемся в том, что утверждение леммы верно в рассмат риваемом случае.

28 Лекция 3. Дробно-линейные функции 2. Предположим теперь, что есть прямая с уравнением Bz + Bz + C = 0, т.е. Re(Bz + 1 C) = 0. Деля все коэффици енты на |B|, можно без потери общности считать, что |B| = 1.

Заметим, что в частном случае B = 1, C = 0 утверждение леммы становится очевидным: точки z1, z2 симметричны относительно мнимой оси {Re z = 0} z1 + z 2 = 0. Общий случай сво дится к рассмотренному, поскольку отображение w = Bz + 1 C, будучи композицией поворота и сдвига, сохраняет симметрию от носительно прямых: точки z1, z2 симметричны относительно пря мой = {Re(Bz + 1 C) = 0} точки w1 = Bz1 + 1 C и 2 w2 = Bz2 + 1 C симметричны относительно прямой {Re w = 0}.

Последнее равносильно тому, что w1 + w 2 = 0, т.е.


1 Bz1 + C + Bz 2 + C = 0 Bz1 + Bz 2 + C = 0, 2 что и требовалось доказать.

Пользуясь приведенной леммой, докажем Предложение 3.4. Дробно-линейные отображения w = f (z) сохраняют симметрию относительно обобщенных окружно стей, т.е. если z1, z2 C симметричны относительно, то f (z1 ), f (z2 ) симметричны относительно f ().

Доказательство. Всякое дробно-линейное отображение есть композиция отображений вида w = az + b и w = 1 (см. доказа z тельство предложения 3.3). Поскольку сохранение симметрии при движениях плоскости (задаваемых композицией сдвига с поворо том) ясно из определения, остается проверить его для отображе ний вида w = z и w = z, 0. Будем считать, что ни одна из точек z1, z2 не равна (случай, когда это не так, разберите сами). Требуемое утверждение вытекает из предыдущей леммы.

Например, при отображении w = f (z) = z произвольная обоб щенная окружность = {Azz + Bz + Bz + C = 0} переходит в обобщенную окружность f () = {A + Bw + Bw + Cww = 0}.

Поэтому если точки z1, z2 симметричны относительно, т.е. если Az1 z 2 + Bz1 + Bz 2 + C = 0, 3.5. Сохранение симметрии 1 то w1 = f (z1 ) = и w2 = f (z2 ) = удовлетворяют уравнению z1 z A + Bw 2 + Bw1 + Cw1 w 2 = 0, т.е. точки w1, w2 симметричны относительно f (). Доказатель ство сохранения симметрии при отображении w = z проводится аналогично.

Предложение 3.4 можно доказать более геометричным спосо бом, пользуясь следующим критерием симметричности, доказа тельство которого мы оставляем в виде задачи.

Утверждение. Пусть — окружность на C (т.е. окруж ность или прямая на C). Точки z1, z2 C \ симметричны от носительно любая обобщенная окружность на C, про ходящая через z1, z2, ортогональна (см. рис. 10).

Рис. Доказательство предложения 3.4 с помощью приведен ного критерия становится элементарным. Рассмотрим семей ство обобщенных окружностей {}, которые проходят через точ ки z1, z2 C, симметричные относительно окружности (мы предполагаем, что z1 = z2 ). Согласно приведенному критерию все эти окружности ортогональны. Отображение w = f (z) перево дит окружности в обобщенные окружности f () на C (круговое свойство!), которые проходят через точки w1 = f (z1 ), w2 = f (z2 ) и ввиду конформности f ортогональны обобщенной окружности f (). С другой стороны, применяя обратное отображение z = f 1 (w), мы видим, что любая окружность, проходящая через точ ки w1 и w2, есть образ обобщенной окружности из семейства {} 30 Лекция 3. Дробно-линейные функции и потому ортогональна. Поэтому по указанному критерию сим метричности точки w1 и w2 симметричны друг другу относитель но, что и требовалось доказать.

Задачи. (1) Пусть z1, z2 C, z1 = z2. Выведите из предложе ния 3.4, что следующие свойства обобщенной окружности эквива лентны:

(а) z1, z2 симметричны относительно ;

(б) задается уравнением |z z1 |/|z z2 | = k для некоторого k 0.

(2) Докажите утверждение предыдущей задачи прямым вычисле нием и дайте, исходя из этого, другое доказательство предложения 3.4.

3.6. Свойство трех точек. Множество дробно-линейных отображений az + b w = f (z) = cz + d описывается тремя независимыми комплексными параметрами (так как числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же ненулевое комплексное число). Поэтому можно ожидать, что для задания дробно-линейного отображения достаточно за фиксировать его значения в трех различных точках.

Предложение 3.5. Каковы бы ни были три различные точ ки z1, z2, z3 C и три различные точки w1, w2, w3 C, суще ствует единственное дробно-линейное отображение w = f (z) такое, что wk = f (zk ) для k = 1, 2, 3.

Доказательство. Предположим для простоты, что ни од на из точек zk, wk не совпадает с (случай, когда это не так, разберите сами).

Докажем существование f. Дробно-линейное отображение z z1 z3 z · f1 (z) = z z2 z3 z переводит точки z1, z2, z3 в точки 0,, 1 на расширенной ком плексной плоскости C. Аналогично, дробно-линейное отображе ние w w1 w3 w · f2 (w) = w w2 w3 w переводит точки w1, w2, w3 в 0,, 1 C. Следовательно, дробно линейное отображение f (z) = f2 f1 (z) переводит точки z1, z2, z в точки w1, w2, w3.

3.7. Дробно-линейные изоморфизмы Докажем единственность f. Пусть дробно-линейное отобра жение f переводит точки z1, z2, z3 в w1, w2, w3. Тогда дробно линейное отображение F := f2 f f1 оставляет точки 0,, неподвижными. Из F () = следует, что F (z) = Az + B. Усло вие F (0) = 0 дает B = 0, а тогда условие F (1) = 1 влечет A = 1.

Таким образом, F (z) = z и, следовательно, f = f2 f1, т.е. ис комое отображение f определено единственным образом.

Задачи. (1) Число z2 z3 z1 z :

z2 z4 z1 z называется перекрестным отношением четырех точек z1, z2, z3, z4. По кажите, что перекрестное отношение сохраняется при дробно-линей ных отображениях.

(2) Покажите, что точки z1, z2, z3, z4 лежат на одной окружности в C их перекрестное отношение вещественно.

3.7. Дробно-линейные изоморфизмы основных обла стей.

Определение. Дробно-линейным автоморфизмом области D C называется дробно-линейное отображение области D на себя.

Из этого определения немедленно следует, что дробно-линей ные автоморфизмы произвольной области D C образуют под группу в группе всех дробно-линейных отображений.

Изучим дробно-линейные автоморфизмы основных областей, к которым мы причисляем расширенную комплексную плос кость C, комплексную плоскость C, единичный круг U := {z C :

|z| 1} и верхнюю полуплоскость H := {z C : Im z 0}.

Первые два из следующих утверждений очевидны.

Утверждение 3.1. Группа дробно-линейных автоморфиз мов C совпадает с группой всех дробно-линейных отображе ний.

Утверждение 3.2. Группа дробно-линейных автоморфиз мов C совпадает с подгруппой 0 всех линейных отображе ний.

Следующее утверждение уже требует доказательства.

32 Лекция 3. Дробно-линейные функции Рис. Утверждение 3.3. Группа дробно-линейных автоморфизмов круга U состоит из всех отображений вида za |a| 1, R.

w = f (z) = ei, где (3.3) 1 az Доказательство. 1. Пусть w = f (z) есть дробно-линейный автоморфизм U. Рассмотрим точку a := f 1 (0) U и точку a := 1/a, симметричную a относительно единичной окружно сти S := U (см. рис. 11). Поскольку f отображает S на себя, точка f (a ) должна в силу предложения 3.4 быть симметрична точке f (a) = 0 относительно f (S) = S, т.е. f (a ) =. Так как f (z) есть отношение линейных функций, то из равенств f (a) = 0, f (a ) = вытекает, что za f (z) = z a для некоторой константы C или za f (z) = 1 az для некоторой другой константы 1. Подставляя сюда z = и пользуясь тем, что |f (1)| = 1 (ибо f (S) S), получаем, что |1 | = 1, т.е. всякий дробно-линейный автоморфизм U имеет вид (3.3).

2. Покажем, что всякое отображение w = f (z) вида (3.3) есть автоморфизм круга U. Заметим, что если |z| = 1 (т.е. zz = 1), то |z a| |z a| |f (z)| = = = 1, |z| · |1 az| |z a| т.е. f (S) S. Поскольку f (S) есть обобщенная окружность, полу чаем, что f (S) = S, т.е. |f (z)| = 1 |z| = 1. Отсюда следует, что 3.7. Дробно-линейные изоморфизмы |f (z)| 1 для всех z U. (Действительно, допустим, напротив, что |f (z0 )| 1 для некоторой точки z0 U. Так как |f (a)| = 0, то по теореме о промежуточном значении непрерывная функция |f (z)| должна принимать значение 1 в некоторой точке отрезка [a, z0 ] U, вопреки тому, что |f (z)| = 1 |z| = 1.) Аналогично получаем, что |f (z)| 1 для всех z C \ U (если |f (z0 )| 1 для некоторой точки z0 C \ U, то соединим z0 с точкой a = 1/a непрерывным путем в C \ U и опять придем к противоречию).

Следовательно, f (U ) = U.

Утверждение 3.4. Группа дробно-линейных автоморфизмов верхней полуплоскости H состоит из всех отображений вида az + b a, b, c, d R, ad bc 0.

w = f (z) =, где (3.4) cz + d Доказательство. 1. Пусть w = f (z) есть дробно-линейный автоморфизм H. Тогда f и f 1 переводят расширенную веще ственную ось R := R {} в себя, так что точки x1 := f 1 (0), x2 := f 1 (), x3 := f 1 (1) принадлежат R. Будем считать, что ни одна из точек x1, x2, x не равна (случай, когда это не так, разберите сами). Тогда согласно предложению 3.5 f записывается в виде z x1 x3 x · f (z) =, z x2 x3 x т.е.

az + b f (z) = cz + d для некоторых a, b, c, d R. При этом f (i) H, т.е. Im f (i) 0.

Это означает, что ad bc ai + b Im = 0, c2 + d ci + d откуда ad bc 0. Таким образом, f имеет вид (3.4).

2. Нужно показать, что всякое отображение w = f (z) ви да (3.4) есть автоморфизм H. Это можно сделать так же, как 34 Лекция 3. Дробно-линейные функции в п. 2 доказательства утверждения 3.3. Другой способ: покажи те, что всякая функция w = az+b с вещественными a, b, c, d cz+d удовлетворяет соотношению ad bc Im w = Im z |cz + d| для всех z C. Отсюда снова вытекает, что отображение (3.4) есть автоморфизм верхней полуплоскости H.

Определение. Дробно-линейным изоморфизмом области D1 C на область D2 C называется дробно-линейное отобра жение области D1 на D2.

Задачи. (1) Обобщенным кругом (или кругом на C) называется область, ограниченная окружностью на C (т.е. круг, внешность круга или полуплоскость на C). Покажите, что любые два круга на C дробно линейно изоморфны. В частности, верхняя полуплоскость H дробно линейно изоморфна единичному кругу U.

(2) Найдите все дробно-линейные изоморфизмы верхней полуплос кости на единичный круг.

4.1. Определение интеграла вдоль пути Лекция 4. Интеграл и первообразная 4.1. Определение интеграла вдоль пути. Пусть : I C — кусочно гладкий путь, параметризованный отрезком I = [, ].

Рассмотрим функцию f : (I) C такую, что композиция f непрерывна на I. Тогда комплекснозначная функция g(t) = f ((t))(t) интегрируема по Риману на I = [, ] и ее интеграл f dz := f ((t))(t) dt (4.1) называется интегралом от функции f вдоль пути.

Напомним (см. п. 1.4), что путь : I C называется кусочно гладким, если отрезок I = [, ] можно разбить точками = t0 t1 · · · tn1 tn = на конечное число отрезков [tj1, tj ] так, что ограничение на каждый из них является гладким путем. Поэтому интеграл, за даваемый формулой (4.1), можно представить в виде суммы n1 tj f dz = f ((t))(t) dt tj j= интегралов от непрерывных функций.


Замечание 4.1. Мотивируя обозначение f dz, мы можем представить интеграл (4.1) в виде предела интегральных сумм, отнесенных к пути. А именно рассмотрим произвольное разби ение = t 0 t 1 · · · tn = отрезка I = [, ] и перенесем его на образ (I) (см. рис. 12), полагая z0 := a = (), z1 := (t1 ),..., zn1 := (tn1 ), zn := b = ().

Выберем произвольным образом точки j := (j ), где tj1 j tj при j = 1,..., n.

36 Лекция 4. Интеграл и первообразная Рис. Тогда n f dz = lim f (j )zj, j= где zj := zj zj1, а := maxj=1,...,n |zj |. (Заметим, что соглас но определению кусочно гладкого пути (t) = 0 для всех точек t I, кроме конечного числа;

поэтому условие 0 эквивалент но тому, что maxj=1,...,n |tj tj1 | 0.) Замечание 4.2. Можно также понимать f dz как криволи нейный интеграл от комплекснозначной дифференциальной фор мы. А именно для f = u + iv и dz = (t) dt = dx + i dy имеем (u dx v dy) + i f dz = (u dy + v dx), где в правой части стоят криволинейные интегралы от веществен ных дифференциальных форм.

Замечание 4.3. Данное выше определение интеграла сохра няет смысл и для спрямляемого пути, т.е. пути : I C, зада ваемого функцией (t) такой, что производная (t) существует почти всюду на I и функция |(t)| интегрируема по Лебегу на I.

Интеграл f dz снова задается формулой (4.1), в правой части которой стоит интеграл Лебега от f ((t))(t). При этом от функ ции f достаточно требовать лишь, чтобы композиция f была измерима и ограничена на I.

4.1. Определение интеграла вдоль пути Рис. Разберем два примера вычисления интегралов вдоль пути, ко торые будут постоянно встречаться в дальнейшем.

Пример 4.1. Напомним, что в п. 1.3 мы формально ввели экспоненциальную функцию комплексного переменного, полагая для любых x, y R.

ex+iy := ex (cos y + i sin y) Из этого определения немедленно следует, что:

(1) ez+2i = ez для всех z C;

(2) для каждого R производная функции eit по параметру t R равна ieit.

Запишем окружность радиуса r с центром в точке a C в пара метрическом виде (см. рис. 13):

z = (t) = a + reit, 0 t 2, и вычислим интеграл вдоль от функции f (z) = (z a)n для всех целых n. Имеем (t) = ireit, f ((t)) = rn eint, откуда (z a)n dz = irn+1 ei(n+1)t dt.

Применяя к полученному интегралу формулу Ньютона–Лейбни ца (которая, очевидно, сохраняет силу для комплекснозначных функций вещественного переменного), получим при n = e2i(n+1) ei(n+1)t dt =, i(n + 1) 38 Лекция 4. Интеграл и первообразная что равно нулю в силу периодичности функции ez с периодом 2i (свойство (1) выше). При n = 1 непосредственное вычисление дает:

2 ei(n+1)t dt = dt = 2.

0 Следовательно, при n Z \ {1}, (z a)n dz = 2i при n = 1.

Пример 4.2. Пусть : I C — произвольный гладкий путь.

Вычислим интеграл вдоль от функции f (z) = z n для n = 0, 1, 2,.... Пользуясь опять формулой Ньютона–Лейбница для комплекснозначных функций вещественного переменного, имеем 1 d n+ z n dz = n (t)(t) dt = [ (t)] dt n+1 dt n+1 () n+1 () bn+1 an+ = =.

n+1 n+ z n dz зависит лишь от начала a и Таким образом, интеграл конца b пути. В частности, интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Следующая задача показывает, что при n = 1 это уже не так.

Задача. Для b C \ {0} положим L(b) := {c C : ec = b}. Пока жите, что для произвольного b = rei с r 0 и R это множество совпадает с {c = log r + i + 2in : n Z} и для любого c L(b) суще ствует путь : [0, 1] C \ {0} с началом в точке 1 и концом в точке b dz такой, что = c.

z 4.2. Свойства интеграла вдоль пути. Перечисляемые ни же свойства интеграла очевидны и приводятся нами без доказа тельства (исключение составляет лишь последнее свойство 5 ).

1. Линейность. Если функции f, g непрерывны вдоль ку сочно гладкого пути и a, b C, то (af + bg) dz = a f dz + b g dz.

4.2. Свойства интеграла вдоль пути Рис. 2. Аддитивность. Пусть 1 : [, 1 ] C, 2 : [1, ] C — кусочно гладкие пути с 1 (1 ) = 2 (1 ) (см. рис. 14). Определим кусочно гладкий путь = 1 2 : [, ] C, полагая 1 (t) при t 1, (t) = 2 (t) при 1 t.

Если функция f непрерывна вдоль = 1 2, то f dz = f dz + f dz.

1 2 1 Замечание 4.4. Пользуясь этой формулой, определение ин теграла из п. 4.1 можно распространить на “несвязные” кусочно гладкие пути = 1 · · · n, состоящие из нескольких связных кусочно гладких компонент 1,..., n. А именно интеграл по по добному пути определяется как сумма интегралов по 1,..., n.

При таком определении интеграл будет аддитивен по отношению к объединениям = 1 2 любых кусочно гладких путей 1, 2.

3. Независимость от параметризации. Пусть : [, ] C 40 Лекция 4. Интеграл и первообразная Рис. есть кусочно гладкий путь, полученный из кусочно гладкого пути 1 : [1, 1 ] C заменой параметра, т.е.

= 1, где : [, ] [1, 1 ] — непрерывно дифференцируемая строго возрастающая функция, осуществляющая гомеоморфизм [, ] на [1, 1 ] (см. рис. 15). Если функция f : ([, ]) C непрерывна вдоль, то она непрерывна вдоль 1 и f dz = f dz.

1 Замечание 4.5. Напомним (см. п. 1.4), что кусочно гладкая кривая — это класс эквивалентности кусочно гладких путей отно сительно замен параметра указанного выше вида. Свойство позволяет говорить об интеграле вдоль пути как об интеграле вдоль кривой, не уточняя параметризации кривой.

4. Зависимость от ориентации. Пусть кусочно гладкий путь 1 : [, ] C получается из кусочно гладкого пути : [, ] C сменой ориен тации, т.е.

1 (t) = ( + t) при t.

Если функция f : ([, ]) C непрерывна вдоль, то она непре рывна вдоль 1 и f dz = f dz.

1 4.2. Свойства интеграла вдоль пути 5. Оценка интеграла. Пусть функция f непрерывна вдоль кусочно гладкого пути : [, ] C. Тогда справедлива оценка |f (z)| |dz|, f (z) dz где |f (z)| |dz| := |f ((t))| |(t)| dt есть криволинейный интеграл первого рода от функции |f | вдоль пути. В частности, если |f (z)| z ([, ]), M при всех то M · ||, f (z) dz где || — длина пути.

Доказательство. Положим J := f (z) dz и запишем J в полярной форме J = |J|ei, R. Тогда |J| = ei J = ei f ((t))(t) dt.

Взяв вещественную часть, получим Re{ei f ((t))(t)} dt |J| = |ei f ((t))(t)| dt = |f ((t))| |(t)| dt, т.е. справедлива оценка |f (z)| |dz|.

f (z) dz Второе утверждение немедленно вытекает из этой оценки, по скольку || = |(t)| dt.

42 Лекция 4. Интеграл и первообразная Задача. Покажите, что в последнем свойстве нельзя заменить |dz| на dz. А именно пользуясь примером 4.1 из п. 4.1, укажите гладкий путь : I C и непрерывную вдоль (и даже голоморфную в окрест ности (I)) функцию f : (I) C, для которых не справедливо нера венство f (z) dz |f (z)| dz, хотя обе его части и вещественны.

4.3. Лемма Гурса. В примере 4.2 из п. 4.1 мы отмечали, что интеграл от функции f (z) = z n с натуральным n по любому замкнутому контуру равен нулю. Указанное утверждение пред ставляет собой один из частных случаев интегральной теоремы Коши, занимающей центральное место в первой части данного курса. На протяжении этой части мы приведем несколько вариан тов указанной теоремы, постепенно уточняя и обобщая ее форму лировку. Первый вариант, получающийся применением формулы Стокса, можно дать уже сейчас.

Допустим, что C 1 -гладкая функция f голоморфна в обла сти D и G D — компактная подобласть в D, граница кото рой описывается замкнутым кусочно гладким путем : I D с (I) = G. Тогда, применяя формулу Стокса к комплексно значной дифференциальной форме = f dz, получим df dz = d = d(f dz) = G G G G (fz dz + fz dz) dz = fz dz dz = 0.

= G G Последний интеграл равен нулю ввиду уравнения Коши–Римана, выполняющегося для голоморфных функций.

Приведенное рассуждение имеет один существенный недоста ток — чтобы применение формулы Стокса было законным, нужно предполагать (как это и было сделано выше), что f C 1 (D). Мы увидим далее, что это условие является совершенно излишним — теорема Коши верна и без него. В данном параграфе мы сделаем первый шаг в направлении этой общей теоремы Коши (не вклю чающей дополнительных предположений о гладкости подынте гральной функции f ), а именно докажем ее в случае, когда под область G является треугольником. Указанный вариант теоремы Коши принято называть леммой Гурса.

4.3. Лемма Гурса Рис. Лемма Гурса. Если функция f голоморфна в области D, то ее интеграл по границе любого треугольника D равен нулю:

f dz = 0.

Доказательство. Допустим, напротив, что найдется тре угольник 0 D такой, что f dz = M 0. (4.2) Разобьем треугольник 0 средними линиями на четыре треуголь ника (см. рис. 16). Тогда интеграл от f по 0 будет равен сумме интегралов от f по границам этих четырех треугольников (свой ства 2 и 4 из п. 4.2). Из оценки (4.2) вытекает, что хотя бы один из четырех полученных интегралов по модулю будет больше или равен M. Обозначим соответствующий треугольник через 1, так что M f dz.

Треугольник 1 снова разобьем средними линиями на четыре меньших треугольника и выберем из них треугольник 2 такой, что M f dz.

44 Лекция 4. Интеграл и первообразная Продолжая это построение, получим на n-м шаге треугольник n со свойством M f dz, n = 0, 1, 2,.... (4.3) 4n n Треугольники 0 1 · · · n · · · образуют вложенную систему компактов в D, и потому их пересечение содержит неко торую точку z0 D.

Воспользуемся теперь условием C-дифференцируемости f в точке z0. Согласно этому условию для всякого 0 найдется 0 такое, что в окрестности U точки z0 вида U = U (z0 ) := {z C : |z z0 | } функция f представляется в виде f (z) = f (z0 ) + f (z0 )(z z0 ) + (z)(z z0 ), (4.4) где |(z)| для всех z U. Пользуясь представлением (4.4), мы можем записать интеграл по границе любого треугольника n с n U в виде f (z0 )(z z0 ) dz f dz = f (z0 ) dz + n n n (z)(z z0 ) dz.

+ n Первые два интеграла в правой части равны нулю — это частные случаи интеграла, вычисленного в примере 4.2 из п. 4.1, отвеча ющие n = 0 и n = 1. Третий интеграл в силу свойства 5 из п. 4. допускает оценку |n |2, (z)(z z0 ) dz |z z0 | |dz| n n где |n | есть периметр треугольника n. (В последнем неравен стве мы воспользовались тем, что |z z0 | |n | при z n.) Итак, |n |2.

f dz (4.5) n 4.4. Первообразная Но периметр n легко выразить через периметр исходного тре угольника 0. А именно |0 | |n | =.

2n Поэтому неравенство (4.5) можно переписать в виде |0 | f dz.

4n n Сравнивая его с (4.3), заключаем, что |0 | M для любого 0, т.е. M = 0 вопреки предположению. Это про тиворечие доказывает теорему.

4.4. Первообразная.

Определение. Первообразной функции f в области D C называется голоморфная в D функция F такая, что F (z) = f (z) для всех z D.

Сначала рассмотрим вопрос о единственности первообраз ной.

Предложение 4.1. Если F — какая-либо первообразная фун кции f в области D, то все остальные первообразные f в этой области отличаются от F на постоянную, т.е. имеют вид F (z) + const.

Доказательство. Пусть F1, F2 — две первообразные функ ции f в D. Тогда функция := F1 F2 голоморфна в D и (z) 0 в D.

Для всякой голоморфной функции ввиду уравнений Коши– Римана (см. п. 2.2) имеем = i = (z).

x y 46 Лекция 4. Интеграл и первообразная Поэтому 0 и 0 в D.

x y Применяя формулу Ньютона–Лейбница по x и по y и пользуясь связностью D, заключаем, что (z) const в D.

Переходя к вопросу о существовании первообразной, рассмот рим сначала случай круга. Оказывается, достаточным условием существования первообразной в круге является именно то свой ство голоморфных функций, выполнение которого гарантируется леммой Гурса. Приводимое ниже доказательство этого утвержде ния по существу копирует доказательство формулы Ньютона– Лейбница для функций f : R R.

Предложение 4.2. Пусть U := {z C : |za| r}, функция f : U C непрерывна в U и f dz = 0 для любого треугольника U.

Тогда функция z z U, F (z) = f () d, a (где интеграл берется по отрезку, соединяющему центр круга a с точкой z) является первообразной функции f в круге U.

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z U и выберем число 0 так, чтобы круг {z + h : h C, |h| } ком пактно содержался в исходном круге U (см. рис. 17). Применяя лемму Гурса к функции f и треугольнику с вершинами в точках a, z и z + h, |h|, получим z+h F (z + h) F (z) = f () d.

z 4.5. Первообразная вдоль пути Рис. С другой стороны, z+h f (z) = f (z) d, h z z+h поскольку d = h (см. пример 4.2 из п. 4.1). Следовательно, z F (z + h) F (z) z+h = f () d h h z z+h {f () f (z)} d.

= f (z) + h z Пользуясь оценкой 5 из п. 4.2 и равномерной непрерывностью f в замыкании круга {z + h : h C, |h| }, будем иметь F (z + h) F (z) 1 z+h f (z) = {f () f (z)} d h hz · |h| max |f () f (z)| 0 при h 0.

|h| [z,z+h] Отсюда следует, что функция F является C-дифференцируемой в точке z и F (z) = f (z).

Следствие. Всякая функция f, голоморфная в круге U C, имеет в U первообразную.

Доказательство вытекает из предложения 4.2 и леммы Гурса.

4.5. Первообразная вдоль пути. Из следствия, доказанно го в конце п. 4.4, вытекает, что функция f, голоморфная в обла сти D, обладает первообразной в любом круге U D. Иными сло вами, она обладает локальной первообразной в области D. Мож но ли утверждать, что в области D существует и глобальная (т.е.

48 Лекция 4. Интеграл и первообразная определенная всюду в D) первообразная функции f ? Как мы уви дим ниже (см. замечание 4.9), ответ на этот вопрос отрицатель ный — иными словами, в формулировке упомянутого следствия круг U нельзя заменить на произвольную область D C. Ока зывается, существуют топологические препятствия к тому, чтобы локальные первообразные функции f “склеивались” в глобальную первообразную этой функции. Тем не менее, пользуясь локаль ными первообразными, можно “склеить” из них первообразную f вдоль любого пути : I D. Приведем точное определение.

Определение. Пусть : I D — произвольный путь в об ласти D и f : D C — произвольная функция в этой области.

Функция : I C называется первообразной функции f вдоль пути, если:

(1) непрерывна на I;

(2) для любого t0 I можно указать круг U D с центром в точке z0 = (t0 ) и первообразную FU функции f в этом круге так, что (t) = FU ((t)) для всех t из некоторого открытого интервала u = u(t0 ) I, содержащего t0 (см. рис. 18).

Рис. Замечание 4.6. Подчеркнем, что является функцией от t, а не от точки z = (t). В частности, если круги U и U, отвечаю щие точкам z = (t ) и z = (t ), пересекаются (см. рис. 19), то 4.5. Первообразная вдоль пути Рис. соответствующие первообразные FU и FU не обязательно сов падают на U U. Они могут отличаться на константу.

Замечание 4.7. Если функция f : D C имеет глобальную первообразную F : D C в области D, то функция (t) := F ((t)) является первообразной f вдоль для любого пути : I D.

Теорема о существовании и единственности первооб разной вдоль пути. Пусть функция f голоморфна в области D и : I D — произвольный путь в этой области. Тогда суще ствует первообразная функции f вдоль и любые две такие первообразные отличаются на константу.

Доказательство. Существование. Выберем столь мелкое разбиение = t0 t1 · · · tn1 tn = отрезка I = [, ], что образ каждого из отрезков Ij := [tj1, tj ] при отображении лежит в некотором круге Uj D (см. рис. 20).

Первообразную функции f вдоль пути будем строить после довательно, начиная с круга U1. Сначала фиксируем первообраз ную F1 функции f в круге U1. Тогда для любой первообразной F функции f в U2 имеем F2 F1 const на U1 U2 =.

Вычитая из F2 эту константу, можно считать, что F2 F на U1 U2. Продолжая это построение по индукции, выберем в каждом круге Uj первообразную Fj так, что Fj Fj1 на Uj1 Uj =.

50 Лекция 4. Интеграл и первообразная Рис. Определим функцию : I C, полагая при t [tj1, tj ].

(t) = Fj ((t)) Тогда непрерывна на I и является первообразной f вдоль.

Единственность. Пусть 1, 2 — две первообразные f вдоль пути. Фиксируем точку t0 I. Тогда в некоторой окрестности u I точки t0 будут справедливы представления 1 (t) = F1 ((t)), 2 (t) = F2 ((t)), где F1, F2 — первообразные f в некотором круге U D с центром в точке (t0 ). Так как F1 F2 const в U, то функция 1 постоянна на u. Ввиду произвольности t0 I получаем, что функ ция 1 2 локально постоянна на I, т.е. 1 2 const.

С помощью первообразной вдоль пути можно обобщить фор мулу Ньютона–Лейбница на функции комплексного переменного.

Формула Ньютона–Лейбница. Пусть : [, ] D — ку сочно гладкий путь в области D и функция f голоморфна в этой области. Обозначим через первообразную f вдоль. Тогда f dz = () ().

Доказательство. 1. Предположим сначала, что путь гладкий и функция f имеет глобальную первообразную F в области D.

4.5. Первообразная вдоль пути Тогда композиция F является первообразной f вдоль (см.

замечание 4.7) и потому в силу единственности первообразной вдоль пути будем иметь t [, ].

(t) = F ((t)) + const, Ввиду гладкости пути отсюда следует, что функция (t) непре рывно дифференцируема и (t) = F ((t))(t) = f ((t))(t).

По определению интеграла вдоль кривой получаем, что (t) dt = () ().

f dz = f ((t))(t) dt = 2. В общем случае можно разбить : [, ] D в объедине ние конечного числа гладких путей j : [tj1, tj ] D так, чтобы функция f имела первообразную в окрестности образа каждо го из этих путей. Тогда к каждому j применимы рассуждения первой части доказательства, откуда ((tj ) (tj1 )) = () ().

f dz = f dz = j j j Замечание 4.8. Пользуясь формулой Ньютона–Лейбница, можно определить интеграл от функции f, голоморфной в области D, вдоль любого непрерывного (даже не обязательно спрямляемого) пути : I D, полагая:

f dz := приращение первообразной функции f вдоль на отрезке I.

Замечание 4.9. Функция f (z) = голоморфна в области z zC: |z| 2, D= 52 Лекция 4. Интеграл и первообразная но не имеет глобальной первообразной F в этой области. Действи тельно, иначе по формуле Ньютона–Лейбница и замечанию 4. мы имели бы для любого замкнутого пути : [, ] D:

f dz = F (()) F (()) = 0, поскольку () = (). Однако dz = 2i z |z|= (см. пример 4.1 из п. 4.1). Покажите, что функция g, голоморфная в указанной области D, будет иметь глобальную первообразную в D, если найдется r ( 1, 2) такое, что g dz = 0.

|z|=r 5.1. Теорема Коши о гомотопии Лекция 5. Теорема Коши 5.1. Теорема Коши о гомотопии. Начнем с определения гомотопных путей. При этом нам будет удобно рассматривать пу ти : I = [0, 1] D в области D, параметризованные единичным интервалом. (Заменой параметризации любой путь : [, ] D приводится к этому виду.) Определение 5.1. Два пути 0 : I D и 1 : I D с об щими концами 0 (0) = 1 (0) = a, 0 (1) = 1 (1) = b называются гомотопными в области D, если существует непре рывное отображение = (s, t) : I I D такое, что (см. рис. 21) (0, t) 0 (t), (1, t) 1 (t), t I, (s, 0) a, (s, 1) b, s I.

Рис. Тем самым, при любом фиксированном s I отображение s (t) := (s, t) : I D задает (непрерывный) путь в D с началом в точке a и концом в точке b.

54 Лекция 5. Теорема Коши Приведем также вариант предыдущего определения для слу чая замкнутых путей.

Определение 5.2. Два замкнутых пути 0 : I D, 1 : I D называются гомотопными в области D, если существует непре рывное отображение = (s, t) : I I D такое, что (см. рис. 21) (0, t) 0 (t), (1, t) 1 (t), t I, s I.

(s, 0) = (s, 1), Отношение гомотопности определяет отношение эквивалент ности на множестве всех путей в области D, разбивающее это множество на классы гомотопных путей. Для нас особый инте рес представляют замкнутые пути, гомотопные нулю, т.е. экви валентные “постоянному” пути : I z0 D.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.