авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
-- [ Страница 1 ] --

Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

И ХАОТИЧЕСКИЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Издательство ГосУНЦ «Колледж»

Саратов, 2005

УДК

530.182 + 001.891.57

ББК 22.31

Б40 Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и

хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с. ISBN 5-94409-

045-6.

В книге излагаются общие вопросы моделирования и проблемы создания математических

моделей эволюции (движений, процессов) по временным рядам – дискретным последовательностям экспериментально измеренных значений наблюдаемых величин.

Основное внимание уделяется динамическому (детерминистическому) подходу к моделированию с присущей ему претензией на точность прогноза будущей эволюции, хаотическим сигналам и нелинейным моделям. Демонстрируются описательные возможности различных видов математического аппарата. Представлены технологические приемы построения модельных разностных и дифференциальных уравнений при различных уровнях предварительной информированности об объекте.

Книга адресована тем, кто желает ввести в свою практику прогноз, количественную проверку адекватности имеющихся представлений о механизмах функционирования объекта, «измерение» недоступных прибору величин и решение других задач по экспериментальным данным. Кроме ссылок на публикации по этой проблематике и Интернет-ресурсы, на сайте авторов представлены отдельные обучающие программы и систематизированный компьютерный практикум, дополняющие изложение. Наличие этого материала и широкое использование иллюстративных примеров должны сделать книгу полезной также студентам и аспирантам.

Bezruchko B.P., Smirnov D.A. Mathematical modeling and chaotic time series.

Saratov: «College», 2005. 320 p. ISBN 5-94409-045-6.

General questions of modeling and problems in constructing mathematical models of evolution (motions, processes) from times series, i.e. from discrete sequences of experimentally measured values of observed quantities, are considered in the book. The authors focus on chaotic signals, nonlinear models, and dynamical (deterministic) approach to modeling with its intrinsic claim on exact forecast of the future evolution. Descriptive abilities of different mathematical tools are demonstrated.

Techniques for construction of difference and differential model equations under various amounts of a priori information about an object are exposed.

The book is directed to people who wish to introduce into their practice such things as forecast, quantitative validation of available ideas about the mechanisms underlying an object behavior, «measurement» of quantities inaccessible to a measuring device, and solution of other problems based on experimental data. Apart from references to publications and Internet resources concerning these topics, separate teaching programs and a united set of computer practical works are presented at the site of the authors as a supplementary stuff. All those sources and the extensive use of illustrative examples should make the book also useful for undergraduate and postgraduate students.

Рецензенты: д.ф.-м.н. С.П. Кузнецов, д.ф.-м.н. Н.Г. Макаренко, д.ф.-м.н. А.Г. Роках УДК 530.182 + 001.891. ББК 22. ISBN 5-94409-045-6 © Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов, Содержание Предисловие........................................................................................................................... Введение................................................................................................................................. ЧАСТЬ I. МОДЕЛИ И ПРОГНОЗ Глава 1. Понятие модели. Чем замечательны модели математические.................. 1.1. Что будем называть моделью и моделированием................................................... 1.2. Наука, научное знание, систематизации научных моделей................................... 1.3. Обман чувств и интуиция. Спасение математикой................................................. 1.4. Сколько моделей может быть у одного объекта..................................................... 1.5. Как рождаются модели.............................................................................................. 1.6. Структурная схема процесса математического моделирования............................ 1.7. Выводы из исторической практики моделирования. Показательная судьба моделей механики....................................................................................................... Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз........................................................ 2.1. Основные понятия и особенности динамического моделирования...................... 2.1.1. Определение динамической системы............................................................................ 2.1.2. Нестрогий пример. Переменные и параметры............................................................. 2.1.3. Фазовое пространство. Консервативные и диссипативные системы. Аттракторы, мультистабильность, бассейны притяжения................................................................ 2.1.4. Характеристики аттракторов......................................................................................... 2.1.5. Пространство параметров. Бифуркации. Комбинированные пространства, бифуркационные диаграммы......................................................................................... 2.2. Основания для объявления процессов случайными............................................... 2.2.1. Теоретико-множественный подход............................................................................... 2.2.2. Признаки случайности, традиционные для физиков................................................... 2.2.3. Алгоритмический подход............................................................................................... 2.2.4. Случайность как непредсказуемость............................................................................ 2.3. Концепция частичной детерминированности.......................................................... 2.4. Ляпуновские показатели и пределы предсказуемости........................................... 2.4.1. Практическая оценка дальности прогноза.................................................................... 2.4.2. Предсказуемость и ляпуновский показатель: случай малых возмущений................ 2.5. Масштабы рассмотрения: как они определяют оценку свойств процесса (сложная динамика или случайность)....................................................................... 2.6. Пример с монетой....................................................................................................... Глава 3. Динамические модели эволюции...................................................................... 3.1. Терминология............................................................................................................. 3.1.1. Оператор, отображение, уравнение, оператор эволюции........................................... 3.1.2. Функции, непрерывное и дискретное время................................................................ 3.1.3. Отображение последования, итерация.......................................................................... 3.1.4. Потоки и каскады, сечение и отображение Пуанкаре................................................. 3.1.5. Иллюстративный пример............................................................................................... 3.2. Систематизация некоторых видов модельных уравнений..................................... 3.3. Явные функциональные зависимости...................................................................... 3.4. Линейность и нелинейность...................................................................................... 3.4.1. Линейность и нелинейность функций и уравнений.................................................... 3.4.2. Природа нелинейности................................................................................................. 3.4.3. Иллюстрация на маятниках.......................................................................................... 3.5. Модели – обыкновенные дифференциальные уравнения................................... 3.5.1. Виды решений............................................................................................................... 3.5.2. Популярный класс модельных уравнений – осцилляторы........................................ 3.5.3. «Стандартная форма» обыкновенных дифференциальных уравнений................... 3.6. Модели – точечные отображения........................................................................... 3.6.1. Введение........................................................................................................................ 3.6.2. Эталонные нелинейные отображения......................................................................... 3.6.3. Место дискретных моделей......................................................................................... 3.7. Модели пространственно развитых систем........................................................... 3.7.1. Решетки связанных отображений................................................................................ 3.7.2. Клеточные автоматы.........................................................

............................................ 3.7.3. Дифференциальные уравнения с запаздыванием...................................................... 3.7.4. Дифференциальные уравнения в частных производных.......................................... 3.8. Искусственные нейронные сети.............................................................................. 3.8.1. Стандартный формальный нейрон.............................................................................. 3.8.2. Архитектура и классификации нейронных сетей...................................................... 3.8.3. Основные свойства и решаемые задачи...................................................................... 3.8.4. Обучение........................................................................................................................ Глава 4. Стохастические модели эволюции.................................................................. 4.1. Элементы теории случайных процессов................................................................ 4.1.1. Понятие случайного процесса..................................................................................... 4.1.2. Характеристики случайного процесса........................................................................ 4.1.3. Стационарность и эргодичность случайных процессов............................................ 4.1.4. Статистические оценки характеристик случайных процессов................................. 4.2. Базовые модели случайных процессов................................................................... 4.3. Уравнения эволюции распределения вероятностей.............................................. 4.4. Процессы авторегрессии – скользящего среднего................................................ 4.5. Стохастические дифференциальные уравнения и белый шум............................ ЧАСТЬ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ Глава 5. Постановки задач моделирования по рядам................................................ 5.1. Схема процесса построения модели по временному ряду................................... 5.2. Систематизация задач по объему априорной информации.................................. 5.3. Особенности задач эмпирического моделирования............................................. 5.3.1. Прямые и обратные задачи.......................................................................................... 5.3.2. Корректно и некорректно поставленные задачи........................................................ 5.3.3. Плохо обусловленные задачи...................................................................................... Глава 6. Ряды наблюдаемых – источник данных для моделирования................... 6.1. Наблюдаемые и модельные величины................................................................... 6.1.1. Наблюдения и измерения............................................................................................. 6.1.2. Методы увеличения и уменьшения числа характеризующих величин................... 6.2. Аналого-цифровые преобразователи...................................................................... 6.3. Временные ряды....................................................................................................... 6.3.1. Термины......................................................................................................................... 6.3.2. Примеры......................................................................................................................... 6.4. Элементы анализа временных рядов...................................................................... 6.4.1. Визуальный экспресс-анализ....................................................................................... 6.4.2. Методы спектрального анализа (фурье-анализ и вейвлеты)..................................... 6.4.3. Фаза сигнала и разложение на эмпирические моды.................................................. 6.4.4. Анализ на стационарность/нестационарность........................................................... 6.4.5. Анализ взаимной зависимости (корреляция, когерентность, синхронизация)....... 6.5. Экспериментальный пример вместо заключения................................................. Глава 7. Восстановление временных зависимостей.................................................... 7.1. Оценка параметров................................................................................................... 7.1.1. Методы оценивания...................................................................................................... 7.1.2. Сопоставление методов................................................................................................ 7.1.3. Оптимальное оценивание............................................................................................. 7.1.4. Устойчивое оценивание............................................................................................... 7.1.5. Выводы........................................................................................................................... 7.2. Аппроксимация......................................................................................................... 7.2.1. Две постановки задачи и термины.............................................................................. 7.2.2. Расчет параметров......................................................................................................... 7.2.3. Выбор размера модели, переобучение и «бритва Оккама»...................................... 7.2.4. Выбор класса аппроксимирующих функций.............................................................. 7.3. Диагностическая проверка модели......................................................................... 7.3.1. Проверка независимости остатков.............................................................................. 7.3.2. Проверка нормальности остатков................................................................................ 7.4. Примеры применения моделей............................................................................... 7.4.1. Прогноз.......................................................................................................................... 7.4.2. Численное дифференцирование.................................................................................. Глава 8. Модельные уравнения: оценка параметров................................................. 8.1. Оценки параметров и их точность.......................................................................... 8.1.1. Динамический шум....................................................................................................... 8.1.2. Измерительный шум..................................................................................................... 8.2. Скрытые переменные............................................................................................... 8.2.1. Методы........................................................................................................................... 8.2.2. Что дают успехи и какая польза от неудач моделирования?.................................... Глава 9. Модельные уравнения: восстановление нелинейных характеристик.... 9.1. Процедуры восстановления и особенности задачи............................................... 9.2. Оптимизация структуры модели............................................................................. 9.3. Восстановление характеристик нелинейного элемента электрической цепи.... 9.4. Специфические подходы к выбору структуры модели........................................ 9.4.1. Системы под регулярным внешним воздействием.................................................... 9.4.2. Системы с запаздыванием............................................................................................ Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик».............................................. 10.1. Реконструкция фазовой траектории..................................................................... 10.1.1. Теоремы Такенса......................................................................................................... 10.1.2. Практические алгоритмы реконструкции................................................................. 10.2. Аппроксимация функций многих переменных................................................... 10.2.1. Модельные отображения............................................................................................ 10.2.2. Модельные дифференциальные уравнения.............................................................. 10.3. Прогноз с помощью различных видов моделей.................................................. 10.4. Диагностическая проверка модели....................................................................... Глава 11. Практические приложения эмпирических моделей................................. 11.1. Сегментация нестационарных временных рядов................................................ 11.2. Конфиденциальная передача информации.......................................................... 11.3. Определение характера связи между осцилляторами........................................ 11.4. Другие приложения................................................................................................ Заключение.......................................................................................................................... Библиографический список............................................................................................. Table of contents Preface...................................................................................................................................... Introduction............................................................................................................................ PART I. MODELS AND FORECAST Chapter 1. The concept of model. What is remarkable in mathematical models........... 1.1. What is called “model” and “modeling”...................................................................... 1.2. Science, scientific knowledge, systematization of scientific models........................... 1.3. Delusion and intuition. Rescue with mathematics....................................................... 1.4. How many models for a single object can exist..............................

............................. 1.5. Ways the models are born............................................................................................ 1.6. Structural scheme for the process of mathematical modeling...................................... 1.7. Conclusions from historical practice of modeling. Indicative destiny of models in mechanics.................................................................................................................. Chapter 2. Two approaches to modeling and forecast....................................................... 2.1. Basic concepts and peculiarities of dynamical modeling............................................. 2.1.1. Definition of dynamical system........................................................................................ 2.1.2. Nonrigorous example. Variables and parameters............................................................. 2.1.3. State space. Conservative and dissipative systems. Attractors, multistability, basins of attraction........................................................................................................................... 2.1.4. Characteristics of attractors............................................................................................... 2.1.5. Parameter space. Bifurcations. Combined spaces, bifurcation diagrams.......................... 2.2. Foundations to claim a process “random”.................................................................... 2.2.1. Set-theoretic approach....................................................................................................... 2.2.2. Signs of randomness traditional for physicists.................................................................. 2.2.3. Algorithmic approach....................................................................................................... 2.2.4. Randomness as unpredictability........................................................................................ 2.3. Concept of partial determinancy.................................................................................. 2.4. Lyapunov exponents and limits of predictability......................................................... 2.4.1. Practical estimate of prediction time................................................................................. 2.4.2. Prdictability and the Lyapunov exponent: The case of infinitesimal perturbations.......... 2.5. Scales of consideration: How they determine appraisal about process properties (complex deterministic dynamics or randomness)....................................................... 2.6. Example with coin........................................................................................................ Chapter 3. Dynamical (deterministic) models of evolution................................................ 3.1. Terminology................................................................................................................. 3.1.1. Operator, map, equation, evolution operator..................................................................... 3.1.2. Functions, continuous and discrete time........................................................................... 3.1.3. Return map, iteration......................................................................................................... 3.1.4. Flows and cascades, Poincare section and Poincare map................................................. 3.1.5. Illustrative example........................................................................................................... 3.2. Systematization of some kinds of model equations..................................................... 3.3. Explicit functional dependencies.................................................................................. 3.4. Linearity and nonlinearity............................................................................................ 3.4.1. Linearity and nonlinearity of functions and equations...................................................... 3.4.2. The nature of nonlinearity............................................................................................... 3.4.3. Illustration with pendulums............................................................................................. 3.5. Models – ordinary differential equations................................................................... 3.5.1. Kinds of solutions........................................................................................................... 3.5.2. Popular class of model equations – oscillators................................................................ 3.5.3. “Standard from” of ordinary differential equations........................................................ 3.6. Models – discrete maps.............................................................................................. 3.6.1. Introduction..................................................................................................................... 3.6.2. Exemplary nonlinear maps.............................................................................................. 3.6.3. Role of discrete models................................................................................................... 3.7. Models of spatially extended systems........................................................................ 3.7.1. Coupled map lattices....................................................................................................... 3.7.2. Cellular automata............................................................................................................ 3.7.3. Delay differential equations............................................................................................ 3.7.4. Partial differential equations........................................................................................... 3.8. Artificial neural networks........................................................................................... 3.8.1. Standard formal neuron................................................................................................... 3.8.2. Architecture and classification of neural networks......................................................... 3.8.3. Basic properties and solvable tasks................................................................................. 3.8.4. Learning.......................................................................................................................... Chapter 4. Stochastic models of evolution......................................................................... 4.1. Elements of theory of random processes.................................................................... 4.1.1. Concept of random process............................................................................................. 4.1.2. Characteristics of random process.................................................................................. 4.1.3. Stationarity and ergodicity of random processes............................................................ 4.1.4. Statistical estimates of characteristics of random processes........................................... 4.2. Base models of random processes.............................................................................. 4.3. Evolutionary equations for probability distribution laws........................................... 4.4. Autoregression – moving average processes.............................................................. 4.5. Stochastic differential equations and white noise...................................................... PART II. MODELING FROM TIME SERIES Chapter 5. Problem settings in modeling from data series.............................................. 5.1. Scheme for process of model construction from time series...................................... 5.2. Systematization of problems according to amount of a priori information............... 5.3. Specific features of empirical modeling problems..................................................... 5.3.1. Direct and inverse problems............................................................................................ 5.3.2. Well-posed and ill-posed problems................................................................................. 5.3.3. Ill-conditioned problems................................................................................................. Chapter 6. Observed series – source of data for modeling............................................... 6.1. Observable and model quantities................................................................................ 6.1.1. Observations and measurements..................................................................................... 6.1.2. Methods to increase and decrease number of characterizing quantities......................... 6.2. Analogous-to-digital converters................................................................................. 6.3. Time series.................................................................................................................. 6.3.1. Terms.............................................................................................................................. 6.3.2. Examples......................................................................................................................... 6.4. Elements of time series analysis................................................................................. 6.4.1. Visual express-analysis................................................................................................... 6.4.2. Methods of spectral analysis (Fourier analysis and wavelets)........................................ 6.4.3. Phase of signal and empirical mode decomposition.

...................................................... 6.4.4. Analysis of stationarity/nonstationarity.......................................................................... 6.4.5. Analysis of cross-dependence (correlation, coherence, synchronization)...................... 6.5. Experimental example instead of conclusions........................................................... Chapter 7. Reconstruction of explicit temporal dependencies......................................... 7.1. Parameter estimation.................................................................................................. 7.1.1. Methods of estimation..................................................................................................... 7.1.2. Comparison of methods.................................................................................................. 7.1.3. Optimal estimation.......................................................................................................... 7.1.4. Robust estimation............................................................................................................ 7.1.5. Conclusions..................................................................................................................... 7.2. Approximation............................................................................................................ 7.2.1. Two problem settings and terms..................................................................................... 7.2.2. Calculation of parameters............................................................................................... 7.2.3. Model size selection, overlearning, and “Occam’s razor”.............................................. 7.2.4. Selection of class of approximating functions................................................................ 7.3. Model validation......................................................................................................... 7.3.1. Checking independence of residuals............................................................................... 7.3.2. Checking normality of residuals..................................................................................... 7.4. Examples of model applications................................................................................. 7.4.1. Forecast........................................................................................................................... 7.4.2. Numerical differentiation................................................................................................ Chapter 8. Model equations: parameter estimation......................................................... 8.1. Parameter estimates and their accuracy...................................................................... 8.1.1. Dynamical noise.............................................................................................................. 8.1.2. Measurement noise......................................................................................................... 8.2. Hidden variables......................................................................................................... 8.2.1. Methods........................................................................................................................... 8.2.2. What benefit is got from successes and failures in modeling?........................................ Chapter 9. Model equations: reconstruction of nonlinear characteristics..................... 9.1. Reconstruction procedures and peculiarities of problem........................................... 9.2. Model structure optimization..................................................................................... 9.3. Reconstruction of characteristics for nonlinear element of electric circuit................ 9.4. Specific choice of model structure............................................................................. 9.4.1. Systems under regular external driving........................................................................... 9.4.2. Time-delay systems......................................................................................................... Chapter 10. Reconstruction of equations: “black box”.................................................... 10.1. Reconstruction of phase orbit................................................................................... 10.1.1. Takens’ theorems.......................................................................................................... 10.1.2. Practical algorithms of reconstruction.......................................................................... 10.2. Approximation of multivariable functions............................................................... 10.2.1. Model maps................................................................................................................... 10.2.2. Model differential equations......................................................................................... 10.3. Forecast with models of different kinds................................................................... 10.4. Model validation....................................................................................................... Chapter 11. Practical applications of empirical models................................................... 11.1. Segmentation of nonstationary time series............................................................... 11.2. Confidential information transmission..................................................................... 11.3. Characterization of coupling between oscillators..................................................... 11.4. Other applications..................................................................................................... Conclusion............................................................................................................................. Bibliography......................................................................................................................... Предисловие Математическое моделирование всеобъемлюще. Им занимаются математики и прикладники, профессионалы и любители, физики и вооруженные компьютерами лирики. Любая книга по точным наукам затрагивает математические модели некоторого круга объектов или явлений, более или менее специфические подходы к их построению и исследованию, или вопросы их приложений. Как и многие учебники с похожими названиями, первая часть нашей книги посвящена общим вопросам моделирования, а вторая отражает профессиональные пристрастия авторов – физиков, долгое время занимавшихся нелинейной динамикой и сосредоточившихся в последние годы на ее актуальном направлении – «реконструкции уравнений» по дискретным последовательностям экспериментальных данных (временным рядам). Под названием «идентификация систем» это направление давно развивается в рамках математической статистики и теории автоматических систем управления, а своими корнями уходит в задачу о замене (аппроксимации) набора экспериментальных точек на плоскости гладкой кривой или подходящей формулой. Благодаря современным компьютерам с большими объемами памяти и скоростями обработки данных, теперь речь идет о получении модельных систем нелинейных уравнений, об обработке сложных (даже хаотических) зашумленных сигналов, типичных для реальных объектов и ситуаций, о приложениях в различных областях человеческой деятельности – от экономики до медицины.

Книга посвящена моделированию процессов эволюции (движений, изменений во времени). Она рассчитана на читателя, нацеленного на использование техники эмпирического моделирования для решения практических задач. Поэтому в ней освещены проблемы и «технические»

приемы моделирования по данным наблюдений, описаны возможные приложения, и даже представлен компьютерный практикум и отдельные обучающие программы, помещенные на сайт [347]. В книге затронуты и мировоззренческие вопросы, неизбежно возникающие при «занятиях моделированием». Содержание и стиль изложения материала сформировались в процессе научной деятельности и многолетнего чтения лекций по моделированию на факультете нелинейных процессов и физическом факультете Саратовского госуниверситета. Некоторые главы использовались при обучении будущих геологов, биологов, экономистов;

планируется использование книги студентами факультета нано- и биомедицинских технологий.

Мы надеемся, что книга будет полезна широкой аудитории, поэтому ее материал имеет различный уровень сложности. Первые главы вполне доступны читателю, имеющему подготовку на уровне современной средней школы, но изложенная в ней информация о моделировании вообще, мировозренческие вопросы и примеры современных динамических моделей, наверное, будут интересны и специалистам. Более формализованная вторая часть предназначена тем, кто намерен строить модели по временным рядам и использовать их для прогноза, проверки адекватности имеющихся представлений о динамике объекта, измерения величин, недоступных приборам, классификации сигналов, и т.д. В книге нет строгих доказательств, обсуждение математических результатов чаще ведется на уровне наглядных иллюстраций и пояснений, при необходимости даются ссылки на математические работы. Более полному освоению материала некоторых разделов должны помочь материалы, размещенные на сайтах нашей и других научных групп [339-350].

Представленный список литературы по вопросам моделирования не претендует на полноту;

в него включены лишь некоторые из множества статей и монографий по проблеме. При его формировании мы часто отдавали предпочтение легко доступным изданиям, особенно если их тексты имеются в Интернете, на что также даны ссылки.

При подготовке книги использованы результаты исследований нашей научной группы «нелинейного динамического моделирования», объединяющей преподавателей, научных сотрудников, аспирантов и студентов Саратовского государственного университета и Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН. Наши нынешние и бывшие коллеги Е.П. Селезнев, В.И. Пономаренко, М.Д. Прохоров, Т.В.

Диканев, М.Б. Бодров, И.В. Сысоев, А.С. Караваев, В.В. Астахов, С.А.

Астахов, А.В. Красков, А.Ю. Жалнин, В.С. Власкин – в той или иной степени соавторы этого издания. Мы признательны докторам физико математических наук Н.Г. Макаренко, С.П. Кузнецову и А.Г. Рокаху за критическое чтение рукописи, полезные советы и замечания.

В заключение мы хотим поблагодарить чл.-корр. РАН Д.И.

Трубецкова, к научной школе которого принадлежим, а также многих коллег, сотрудничество или общение с которыми способствовало формированию наших представлений по рассматриваемым проблемам:

В.С. Анищенко, В.Н. Белых, О.Я. Бутковского, А.Ф. Голубенцева, Ю.А. Данилова, А.С. Дмитриева, М.В. Капранова, Ю.А. Кравцова, А.А. Кипчатова, А.П. Кузнецова, П.С. Ланду, Ю.Л. Майстренко, В.И. Некоркина, А.Н. Павлова, А.С. Пиковского, В.П. Пономаренко, А.Г. Рожнева, М.Г. Розенблюма, Д.А. Усанова, А.М. Фейгина, В.Д. Шалфеева, Н.Б. Янсон.

Подготовка книги осуществлена при поддержке Федеральной целевой программы «Интеграция». Исследования авторов, результаты которых вошли в книгу, поддержаны грантами Российского фонда фундаментальных исследований, Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF) для государств бывшего СССР, Министерства образования РФ, Президента РФ и Фонда содействия отечественной науке.

Саратов, ноябрь 2005 г.

Часто используемые сокращения и обозначения АЦП аналого-цифровой преобразователь ДС динамическая система ДУ дифференциальное уравнение ДУЗ дифференциальное уравнение с запаздыванием ИНС искусственная нейронная сеть ММП метод максимального правдоподобия МНК метод наименьших квадратов МП-оценки оценки, полученные с помощью ММП НК-оценки оценки, полученные с помощью МНК ОДУ обыкновенное дифференциальное уравнение матрица (буквы прописные, полужирные) A векторная величина (буквы строчные, полужирные) x скалярная величина (буквы строчные, курсив) x производная величины x по времени ( dx dt ) & x оценка величины a по выборке (по временному ряду) a M [x] математическое ожидание величины x Введение В предлагаемой вниманию читателя книге мы смотрим на проблему математического моделирования глазами прикладников, используя математику как инструмент для получения практически полезных решений. Математическая модель – это знаковая конструкция, свойства которой должны совпадать с интересующими нас свойствами объекта. С прикладной точки зрения главное – создать такую конструкцию, которая позволяла бы достичь цели моделирования. При этом может оказаться, что сама модель или способ ее получения недостаточно совершенны в смысле научной эстетики: постановка задачи не совсем корректна, решение не единственно и т.п. Но стоит ли говорить о единственной «истинной»

математической модели реальной системы, если сама математика появилась сравнительно недавно, а Вселенная и объекты моделирования много раньше? Этот и другие полемические вопросы, часть из которых принадлежит к категории «вечных», обусловили появление главы 1. В ней рассматриваются общие проблемы моделирования: определения и систематизации моделей, роль математики и причины ее всесилия, пути построения моделей. К вопросам этого круга можно отнести затронутые во второй части книги понятия некорректно поставленных и плохо обусловленных задач (глава 5).

Глава 2 посвящена вопросам, касающимся различных «мировоззренческих» подходов к моделированию, которые в определенной степени альтернативны и отличаются уровнем оптимизма при суждении о принципиальной предсказуемости явлений и процессов.

Первый, очень оптимистичный, детерминистический (динамический) подход ранее «утверждал» практическую возможность точного прогноза будущего по точно определенному настоящему. Сейчас, после обнаружения явления динамического хаоса, когда термин «нелинейная динамика» стал очень популярным, претензии на практически достижимую точность прогноза стали более умеренными. Второй подход – вероятностный (стохастический) – менее оптимистичен: здесь отказываются от претензий на точный прогноз, ограничиваясь указанием вероятности того или иного варианта будущего. В главе 2 обсуждаются оценки возможностей прогноза и основания для объявления исследуемого процесса случайным. На примере известной задачи о подбрасывании монеты иллюстрируется необходимость «сотрудничества» динамической и вероятностной позиций и ограниченность возможностей каждой из них в отдельности.

В книге описываются, главным образом, динамические модели и пропагандируются приемы нелинейной динамики – достаточно молодого научного направления, которое еще развивается и терминология которого до конца не устоялась. Человеку, начинающему заниматься этими Введение вопросами, может помешать то, что даже ведущие специалисты иногда используют один и тот же термин почти в противоположных смыслах (см., например, подборку определений динамической системы – одного из основных понятий нелинейной динамики – в п. 2.1.1). Поэтому мы часто обсуждаем термины и привели краткий обзор основных понятий нелинейной динамики и ее способов представления информации.

Глава 3 представляет основные возможности математического аппарата, реализующего динамический подход, и некоторые эталонные модели. Основное внимание уделено дифференциальным уравнениям и точечным отображениям как наиболее популярному аппарату для динамического моделирования, а отчасти и из-за субъективных привязанностей авторов. Глава 4, заключительная в первой части книги, преследует аналогичную цель, представляя эталонные стохастические модели.

Если целью первой части книги (главы 1 – 4) является представление общей картины моделирования процессов изменения во времени, то вторая часть (главы 5 – 11) посвящена только одному подходу к моделированию – эмпирическому. Ранее он не относился к числу самых «уважаемых», как шитье платья путем обматывания клиента куском материи, затем сшиваемой по бокам. Но сейчас, когда стали доступны высокопроизводительные компьютеры, сформировалась концепция динамического хаоса и стало ясно, что сложное поведение может описываться и достаточно простыми нелинейными моделями, он переживает второе рождение. Зачастую такой подход – единственно возможный, поскольку далеко не всегда удается реализовать наиболее проверенный и надежный путь – записать модельные уравнения, исходя из так называемых «первых принципов» (общих законов для данной области явлений, таких как законы сохранения, законы Ньютона в механике, уравнения Максвелла в электродинамике, и т.п.) с учетом особенностей объекта. На практике типичны ситуации, когда основным источником информации о поведении объекта являются данные измерений наблюдаемой величины, сделанных в последовательные моменты времени, – временные ряды.

Создание моделей по экспериментальным временным рядам в математической статистике и теории автоматического управления получило название идентификации систем [111], а в нелинейной динамике – реконструкции динамических систем1 [6, 115, 212].

Использование слова «реконструкция» полностью адекватно лишь случаю восстановления уравнений по их решениям. При моделировании реальных систем больше подходит термин «построение модели». Но поскольку термин «реконструкция»

широко представлен в литературе, мы также будем его часто употреблять и в отношении практических задач.

Введение Предшественницами современных задач реконструкции были задачи аппроксимации и статистического исследования зависимостей между наблюдаемыми величинами, которые рассматривались уже в середине XVIII века в работах И. Ламберта (см. например исторический очерк [61]).

Первоначально наблюдаемые процессы моделировались с помощью явных = f (t ), функций времени аппроксимирующих множество экспериментальных точек на плоскости (t, ). Целью моделирования были прогноз будущего развития процесса или сглаживание наблюдаемых зашумленных данных. В начале XX века серьезный шаг в развитии методов эмпирического моделирования сложных процессов был сделан в математической статистике, когда было предложено использовать линейные стохастические модели [338]. Этот подход был основным в течение полувека (1920-е – 1970-е) и нашел многочисленные приложения, особенно для автоматического управления [45, 111, 146]. Формирование концепции динамического хаоса и развитие вычислительной техники привели к тому, что в последние годы эмпирическое моделирование проводится уже на основе нелинейных разностных и дифференциальных уравнений, в том числе многомерных. Пионерскими в этой области являются работы [196, 216, 215, 224, 200, 206, 181, 197, 273, 231, 230, 317, 187]. Рассматриваемые проблемы актуальны как в фундаментальном, так и в прикладном плане. Эмпирические модели востребованы в различных областях науки и практики [142]: в физике, метеорологии, сейсмологии, экономике, медицине, физиологии и др.

В главах 5 – 11 проводится обзор проблем и методов построения эмпирических моделей по временным рядам, дополняющий обзорные материалы, имеющиеся в избранных главах из книг [281, 326, 180, 254, 212, 115, 280, 277, 6] и статьях [182, 291, 135, 10, 193, 233, 305, 334, 38]. В основном, мы говорим о конечномерных детерминированных моделях в виде точечных отображений или обыкновенных дифференциальных уравнений. Материал излагается с опорой на типовую схему процесса моделирования, представленную в главе 5. Глава 6 посвящена вопросам получения экспериментальных данных и их предварительному анализу с целью извлечения дополнительной информации об объекте, полезной для формирования структуры модельных уравнений. В главе 7 многие важные проблемы эмпирического моделирования обсуждаются на примере самого простого вида моделей – явных функций времени. Дальнейшее изложение проведено по принципу «от простого к сложному» – по мере уменьшения априорной информации об объекте: от случая, когда известно почти все и остается только вычислить значения параметров в модельных уравнениях (глава 8) через промежуточный вариант (глава 9) до ситуации, когда о «подходящем» виде уравнений ничего не известно априори (глава 10). В Введение главе 11 представлены примеры полезных приложений эмпирических моделей.


В списке источников для удобства читателя, вооруженного компьютером и имеющего доступ к сети Интернет, приведены адреса ресурсов, содержащих полезную информацию по рассматриваемой тематике: статьи, методические пособия, обучающие и иллюстративные компьютерные программы, которые дополняют изложенный материал.

Часть I. Модели и прогноз Но неизвестно будущее, и стоит оно пред человеком подобно осеннему туману, поднявшемуся из болот.

Н.В. Гоголь. «Тарас Бульба», гл. V Угадывание уравнений, по-видимому, – очень хороший способ открывать новые законы.

Р. Фейнман. «Характер физических законов»

Глава 1. Понятие модели. Чем замечательны модели математические 1.1. Что будем называть моделью и моделированием Словарь иностранных слов сообщает, что слово «модель» происходит от латинского «modulus» – мера, образец, норма. Этот термин использовался в трудах по строительному искусству за несколько веков до нашей эры. В современном употреблении с ним связан практически необозримый круг материальных объектов, знаковых структур и идеальных образов – от образцов одежды и стройных женщин, уменьшенных копий кораблей и самолетов, различных рисунков и графиков, до математических уравнений и вычислительных алгоритмов.

Приступая к определению модели, вспомним о трудностях строгого введения понятий и о классических примерах. Так, при определении «колебаний» и «волн» среди лекторов соответствующего учебного курса принято повторять шутку Л.И. Мандельштама, иллюстрировавшего проблему на примере термина «куча» (сколько и каких сваленных предметов заслуживают этого названия?), а также его сравнение введения строгих определений на начальном этапе изучения вопроса с «пеленанием колючей проволокой». К классическим примерам безнадежности попыток дать всеобъемлющие формулировки относятся термины «лысина», «лес» и т.п. Поэтому мы не будем подробно останавливаться на анализе многих существующих определений «модели» и «моделирования». Любое из них отражает цели и вкусы автора и по-своему правильно, но остается ограниченным, оставляя в стороне часть достойных внимания объектов или свойств.

Мы будем понимать под моделью – нечто (идеальные образы, материальные или знаковые конструкции), чье множество свойств пересекается с множеством свойств оригинала (объекта) в области существенной для достижения цели моделирования, а под моделированием – процесс создания и использования модели. Здесь Часть I. Модели и прогноз оригиналом или объектом названо то, на что направлено моделирование – предмет, явление, процесс. Идеальным – мыслимое человеком, существующее в его голове;

знаковыми конструкциями – абстракции в виде формул, графиков, последовательностей символов и т.п. Множеством свойств – совокупность, набор свойств, а пересечением – их совпадение.

Другими словами, модель – нечто, похожее по своим свойствам на оригинал, создаваемое и/или используемое человеком для реализации своих целей.

Сказанное иллюстрирует рис.1.1 на примере моделирования авиалайнера. Будем считать, что каждая точка плоскости рисунка соответствует некоторому свойству: белый, синий, большой, металлический, планирует, и т.д., а линии ограничивают множества свойств объекта и моделей. Модели могут быть разными, более или менее богатыми свойствами. Они могут быть устроены даже сложнее, чем объект. Разными по величине могут быть и области пересечения свойств модели и объекта – от микроскопических до полного включения одного множества в другое. Выбор той или иной модели определяется целью моделирования. Так, для моделирования формы лайнера подойдет его уменьшенная копия на подставке (модель 1);

при этом в область пересечения попадают точки плоскости, соответствующие, например, пропорциям элементов и цвету.

Рис.1.1. Иллюстрация определения модели. Заштрихованы области пересечения свойств, для объекта они ограничены жирной линией, для моделей – более тонкими Способность планировать лучше моделирует бумажная «галка»

(модель 2) – специальным образом свернутый лист бумаги. В области пересечения свойств в этом случае окажутся свойства, ответственные за такой полет, а цвет и форма становятся несущественными. Способность крыльев самолета вибрировать может быть промоделирована с помощью Глава 1. Понятие модели. Чем замечательны модели математические математических уравнений (модель 3). В этом случае совпадает колебательно-волновой характер движений крыльев и решений модельных уравнений. Способностью перемещаться по воздуху самолет похож на птицу (модель 5), хотя принцип полета совсем другой, да и биологические системы имеют иной, более высокий, уровень организации. В качестве достаточно полных моделей лайнера могут быть использованы любые другие самолеты (модель 4), но полностью идентичен себе лишь он сам.

Представленный рисунок тоже является моделью – моделью нашего определения.

Все может быть моделью всего при условии, что свойства модели и объекта в чем-то совпадают и это способствует достижению цели. Модель может существовать, например, или у нас голове в виде определенной связи между нейронами, или в виде символов на бумаге, или в профиле намагничения на магнитном диске компьютера, а может быть изготовлена, например, из металла или из дерева. Так, кирпич хорошо моделирует форму базового блока персонального компьютера, и наоборот. Компьютер моделирует многие интеллектуальные способности человека и наоборот.

Сформулированное нами определение модели, в отличие от формулировок типа «модель – избирательное абстрактное копирование свойств оригинала», «упрощенное представление оригинала», «карикатура на объект», не предполагает пассивного копирования действительности, вроде получения плоских изображений «объемного» мира на фотографиях.

Модели сами играют роль «фотоаппаратов», «очков», «фильтров», через которые мы рассматриваем мир. «Активность» моделей состоит в том, что результаты наблюдения – то, как мы воспринимаем факты, – зависят от имеющихся на момент «съемки» представлений. Фиксирование следующего кадра ведется через предыдущий и под влиянием предыдущего. То есть само отражение, восприятие действительности зависит от моделей, имеющихся у наблюдающего эту действительность субъекта. Более того, нас самих, как личности, характеризует набор моделей, которыми мы оперируем, используем на практике.

Хорошей аналогией активной познавательной роли модели является фонарь, освещающий некоторую область в окружающей тьме (в общем случае – тьме незнания). Другим удобным образом, хорошо иллюстрирующим некоторые черты познания мира человеком, является «укутывание» предмета изучения в «одежды» имеющихся моделей.

Знания, которые накопил каждый из нас у себя в голове, подобны нашему гардеробу – набору платьев и обуви в шкафу. Чем разнообразнее и больше этот набор, тем шире наши возможности в оценке происходящих событий.

По этому поводу уместно пересказать следующую фантастическую историю.

Часть I. Модели и прогноз «…За окном сильно зашипело, затем со звоном разлетелось большое оконное стекло и вместе со свежим летним воздухом в комнату влетело нечто непонятное – полупрозрачное, почти невидимое, размазанное и студенистое – и шлепнулось прямо посреди зала. «Пришелец!» – вырвалось у кого-то из любителей фантастики, присутствующих на распродаже. Отошедшие от испуга продавцы и покупатели, просто зеваки, пара оказавшихся рядом полицейских и несколько откуда-то появившихся репортеров сгрудились около неведомого. Оно почти не шевелилось и постепенно становилось практически невидимым, как стекло на окне ранней весной и поздней осенью после первой и последней в году моек.

Толпа все разрасталась и заполняла магазин. В ней шло оживленное обсуждение: кого к нам прислал Космос. Большинство, неиспорченное чтением фантастики, склонялось к мысли, что оно совсем не «Оно», а «Он»

– человек, только какой-то деформированный, необычный, не совсем наш. Но тогда у Него должна быть голова! Наиболее смелые и настырные из первых рядов предложили проверить версию. Чтобы не обжечься или не подцепить какой-нибудь заразы, решили, не прикасаясь, примерить на Него имеющиеся модели одежды, которой было полно на прилавках и в шкафах магазина. На полке ближайшего шкафа быстро разжились несколькими Рис.1.2. Иллюстрация к рассказу экземплярами головных уборов разных фасонов и размеров и начали прилаживать на Него сверху. Шляпы действительно садились на место – не совсем ровно, но и не скатывались.

Лучше всего сидела небольшая подростковая лыжная шапочка. Поэтому решили, что голова действительно есть, хоть и очень маленькая для такого тела (рис.1.2). Репортеры из толпы растолкали соседей и побежали к телефону первыми сообщать в редакции новость о человекообразности пришельца. Между тем исследователи в первых рядах, следуя логике, проверили и наличие других, присущих человеку черт. На пришельца после небольших усилий налезли и пиджак и брюки. Это уже было неопровержимым доказательством визита родственного человеку существа – у нас тоже есть руки и ноги, которые мы по утрам засовываем в костюм.

Исследовательские эксперименты силами энтузиастов из первого ряда не прекращались. Сели на место – ниже штанин – и сапоги, но они плохо фиксировались, проворачивались на ногах по кругу и быстро сваливались.

Глава 1. Понятие модели. Чем замечательны модели математические Удивляться было особенно нечему: ясно, что прилетел не совсем обычный человек или, может быть, инвалид с недоразвитыми ступнями.


С этой версией согласились все, включая зевак из задних рядов толпы, которым и так ничего не было видно. Интерес к проблеме стал затихать, толпа постепенно рассасывалась. Умчались в поисках новых сенсаций репортеры. Рядом с пришельцем, кроме представителя местной администрации, который организовывал охрану и эвакуацию гостя в ближайший институт Академии наук, десятка зевак и продавцов магазина, остался единственный самый упорный исследователь – довольно растрепанный и не совсем нормального вида. С помощью помощников – мальчишек, которые доставали с полок и подавали ему разную одежку и обувь, – он настойчиво прикладывал, прилаживал, примерял оказавшиеся в его руках модели к пришельцу. Упорство было вознаграждено открытием – кроме ног, сапоги хорошо пристраивались на боках «почти человека» – рядом с боковыми карманами пиджака! Это не осталось незамеченным оставшимися зеваками. По комнате пошел шепоток, а потом прорезались и громкие голоса: «А человек ли это? У людей на боках ног не бывает!» На шум стали подтягиваться любопытные, откуда-то опять примчались и убежали звонить в редакции репортеры – пришелец из «Он» опять превращался в «Оно» и это не могло не волновать читателей. Недоумение в магазине продолжалось до того момента, как один из зевак – бывший моряк, избороздивший океаны и повидавший многое, – не предположил:

«Да это же, похоже, осьминог!» Упорный растрепанный исследователь с помощниками быстро проверили версию. Результаты обнадеживали – обнаружилось много «щупалец», на которые надевались штаны и пиджаки, повисали шляпки и сапоги, которые ранее по недомыслию принимали за человеческие голову и конечности. Столько конечностей у человека не бывает. Через час новая сенсация потрясла читателей газет и слушателей радио…»

Рассказанная история поучительна. Ее даже можно было бы продолжить. Люди искали в пришельце то, о чем имели сформировавшееся представление. Образ человека – первое, что пришло всем в голову. Не было бы в толпе моряка, в голове которого уже существовал образ осьминога, вторая версия или не появилась бы совсем или появилась бы много позже. Так и в процессе познания природы ведущую роль играет ученый, сумевший «сгенерировать» модель пока неведомого. Мы – люди – воспринимаем из увиденного только то, о чем знаем, моделью чего мы располагаем. Тысячелетние наблюдения ученых древности подтверждали правильность геоцентрической теории: и сегодня Солнце на наших глазах «облетает» Землю, двигаясь с востока на запад по небосклону. Но сейчас любой школьник объяснит это вращением Земли вокруг своей оси и найдет дополнительные доказательства. «Глаза того не зрят, чего не видит Часть I. Модели и прогноз разум. Чем ум твой овладел, то и увидишь глазом» (М.А. Бедель) [149, с.19]. Из современных примеров правильности этих слов индийского поэта XVII века можно привести обнаружение феномена динамического хаоса.

До середины 20 века сложное непредсказуемое поведение связывалось со сложностью, многоэлементностью рассматриваемых систем (толпа, совокупность молекул и т.п.). Но, когда в 60-е годы сложились современные представления о хаосе и появились простые маломерные динамические модели с хаотическим поведением, началось массовое прозрение и нерегулярные, неповторяющиеся движения стали наблюдать даже на маятниках дедушкиных часов. Для этого потребовалось, чтобы в «гардероб» моделей внедрились образцы нелинейных отображений и дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, о которых мы поговорим в следующих главах.

Для полноты картины в заключение обсуждения терминов «модель» и «моделирование» приведем некоторые слова по этому поводу специалистов разного профиля. Вот высказывание одного из представителей мира философии, М. Вартофского: «В отличие от других животных, люди сами создают себе репрезентации (представления) того, что мы делаем или хотим, – артефакты или модели. Модель – это не просто копия существующего, но и представление будущей практики. Мы приобретаем знания с помощью моделей» [52]. В определении, почерпнутом из книги академика Н.Н. Моисеева – выдающегося специалиста по математическому моделированию, существенно повлиявшего на умы власть имущих своими исследованиями модели «ядерной зимы», – тоже подчеркивается место моделей в познавательном процессе. «…Мы можем мыслить только образами, приближенно отражающими реальность. Любое абсолютное знание, абсолютная истина, как говорят философы, познается через бесконечную асимптотическую цепочку истин относительных, приближенно отражающих те или другие черты объективной реальности. Вот эти относительные истины и называются моделями или модельным описанием. Модели могут формулироваться на любых языках: русском, английском, французском и др. Они могут использовать язык графических построений, язык химии, биологии, математики и т.д.» [121]. В качестве примера высказываний людей, настроенных более технически, можно привести слова из учебника по математическому моделированию В.С. Зарубина, недавно изданного в МГТУ им. Н.Э. Баумана [80]: «С достаточно общих позиций математическое моделирование можно рассматривать как один из методов познания реального мира в период формирования так называемого информационного общества, как интеллектуальное ядро быстро развивающихся информационных технологий. Под математическим моделированием в технике понимают адекватную замену исследуемого Глава 1. Понятие модели. Чем замечательны модели математические технического устройства или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением средств современной вычислительной техники. Поскольку такое изучение математической модели можно рассматривать как проведение эксперимента на ЭВМ при помощи вычислительно-логических алгоритмов, то в научно-технической литературе термин «вычислительный эксперимент» часто выступает как синоним термина «математическое моделирование». Содержание этих терминов принято считать интуитивно понятным и обычно его подробно не раскрывают». Можно согласиться с автором последней книги и в том, что интуитивное понятие «модели» и «моделирования» имеется практически у каждого студента технического вуза. Сюда можно добавить и любого представителя точных наук и просто грамотного человека, т.к.

все существующее знание об окружающем человека мире модельно по своей сути и форме. Мы же для определенности, говоря о моделях и моделировании, будем придерживаться определений, данных в начале параграфа, а закончим его цитатой из М. Вартофского. «Каждая модель фиксирует определенное отношение к миру или моделируемому объекту и вовлекает в это отношение своего творца или пользователя. Поэтому из модели всегда можно реконструировать субъекта моделирования – это индивид, который находится с миром … в отношении, выраженном в данной модели» [52]. Другими словами, мы – то, чем (какими моделями) мы оперируем.

1.2. Наука, научное знание, систематизации научных моделей Все знание модельно, но мы ограничим рассмотрение лишь моделями, отражающими научное знание. Наука – сфера человеческой деятельности, функцией которой является выработка и систематизация объективных знаний о действительности;

она использует специфические методы и опирается на определенную этику. Объективным, в соответствии с материалистическими взглядами, считают такое содержание человеческих представлений, которое «… не зависит от субъекта, не зависит ни от человека, ни от человечества». Возможно ли это в принципе, оставим на обсуждение философам, а сами лишь упомянем два более конкретных критерия научности знания (его объективности, истинности).

Это принцип верификации (подтверждения) – нахождение подтверждения в эксперименте. Такой подход отвергается, например, сторонниками школы известного западного философа Карла Поппера [141]. Их довод – всегда можно подобрать примеры подтверждающие, а поэтому следует использовать противоположный подход, а именно, принцип фальсификации (дискредитации), согласно которому научная система знаний должна допускать опровержение опытным путем. Другими Часть I. Модели и прогноз словами, научные теории должны допускать рискованный эксперимент.

Согласно этому принципу, например, астрономия – наука, т.к. можно поставить эксперимент, который может дать отрицательный результат (вопреки сделанному прогнозу) и позволит опровергнуть высказывание, а астрология – не наука. Но и на школу Поппера нападают другие философы и теоретики науки, говоря, что «…сам принцип фальсифицируемости не выдерживает проверку на фальсифицируемость». Даже эта полемика демонстрирует сложность поднятого вопроса, т.к. он имеет отношение к одному из вечных вопросов философии – проблеме объективности истины.

Мы же далее ограничимся примерами моделирования объектов, рассматриваемых классической физикой, биологией и другими отраслями знаний, традиционно считающихся научными, и уклонимся от ситуаций, моделирование которых требует профессиональной постановки мировоззренческих вопросов.

Науку отличает стремление к максимально обобщенному, обезличенному знанию и использование методов, способствующих этому (измерение, математические выкладки, расчеты). В некотором смысле максимально обезличено знание, представленное на языке математики, в основе которой лежит максимально формализованное понятие – число.

Выражение 1 + 1 = 2 (в десятичной системе счисления) одинаково воспринимают и ученый, изучающий колебания маятника, и торговец фруктами на базаре. Существуют даже экстремистские высказывания крупных ученых о том, что в том или ином занятии столько науки, сколько там математики [167].

В противоположность науке, искусству (эстетическому, художественному подходу) свойственно индивидуально-личностное восприятие действительности. При таком подходе один и тот же объект наблюдения, например, картина, одним покажется тяжелым и мрачным, другим видится утонченным и светлым, а третьим – просто неинтересным.

Но между наукой и искусством нет резкой границы. Так, в построениях науки (структуре теории, в математической формуле, схеме, идее эксперимента) существенную роль нередко играет эстетический элемент, что специально отмечалось многими выдающимися учеными. Например, критерий внутреннего совершенства Эйнштейна (см. ниже, п. 1.7) близок к эстетическому. Наука тоже вторгается на территории, ранее безраздельно принадлежащие искусству. Так, современные подходы нелинейной динамики к оценке сложных объектов с помощью таких специальных мер, как корреляционная и обобщенная размерность, применяются к массивам нотных записей и текстов для оценки красоты музыки и «интересности»

текстов.

Часто, когда не известно, как дать четкие рекомендации (алгоритм) решения задачи, говорят об искусстве. В эти слова вкладывается Глава 1. Понятие модели. Чем замечательны модели математические необходимость присутствия мастера, интуиция и индивидуальные природные качества которого облегчают достижение цели. Этот смысл вкладывается и в слова «искусство моделирования», которые присутствуют во многих книгах по математическому моделированию. Но проходит время, растет знание и обычно то, что раньше было «искусством», переходит в разряд техники, ремесла, доступного многим или всем. Например, с развитием полупроводниковых технологий искусство создания хороших транзисторов, ранее доступное лишь избранным мастерам, стало рутинной работой промышленных роботов.

Очень важной особенностью научного подхода является систематизация1 знания. Из существующих систематизаций научных моделей отметим четыре: по степени общности, по закону функционирования, по основанию для переноса результатов моделирования, а в следующей главе фактически добавим к этому списку систематизацию «по происхождению».

По степени общности модели отличаются широтой охвата явлений и объектов реального мира. В соответствии с этой классификацией модели можно выстроить в виде пирамиды [131]. На ее вершине находится научная картина мира, ярусом ниже – космологическая, физическая, биологическая картины мира. Еще ниже – теории высшего уровня общности, к которым отнесены теория относительности, квантовая теория, теория твердого тела, теория непрерывных сред. Ярусом ниже – теории среднего уровня общности, к которым автор относит термодинамику, теорию упругости, теорию колебаний, теорию устойчивости и т.п.

Последние нижние ярусы пирамиды занимают частные теории (например, тепловых машин, сопротивления материалов, автоматического регулирования) и научные законы (например, Ньютона, Кирхгофа, Кулона). В самом низу, в основании пирамиды, располагаются частные модели объектов и явлений – технических процессов, непрерывные и дискретные модели процессов эволюции и т.д. Чем выше место модели в этой пирамиде, тем больше объектов она охватывает. Но каждый уровень имеет значимость при решении определенного круга задач. Так владение квантовой теорией не гарантирует изготовления хорошего лазера, для этого требуются еще и частные модели. Наряду с понятием систематизации существует понятие классификации. Второе отличается от первого большей строгостью – жесткостью границ между классами. В основу того и другого кладется некоторый набор признаков, свойств. Например, пуговицы можно классифицировать по цвету, форме, числу дырочек, способу крепления и т.п.

Следует заметить, что в литературе существует мнение о необходимости более узкого понимания термина «модель» – оставить за ним лишь то, что не покрывается терминами «теория», «гипотеза», «формализм».

Часть I. Модели и прогноз По закону функционирования модели делятся на логические (идеальные [59]) и материальные. Первые функционируют по законам логики в сознании человека, а вторые – по законам природы3. В свою очередь, логические модели делятся на образные, знаковые и образно знаковые. Образные (иконические) выражают свойства оригинала с помощью наглядных элементов, имеющих прообразы в материальном мире. Пользуясь определением «понятного», как привычного и чувственно воспринимаемого [117], можно сказать, что образные модели наиболее «понятны» людям.4 Так, в кинетической теории газов частицы наглядно моделируются упруёгими шариками. Для наглядного моделирования электроемкости (способности тела порождать электрическое поле при заряде, C = q, где q – заряд, – потенциал заряженного тела) удобно использовать в качестве прообраза ведро с водой, опыт общения и чувственного восприятия которого имеется у всех.

При этом установившийся уровень воды в сосуде h используется как аналог значения потенциала, а объем налитой воды Vв – как аналог заряда q. Тогда в качестве аналога электроемкости выступает величина Cв = Vв h = S, равная площади поперечного сечения сосуда S, а не объему, как подсказывает при слове «емкость» бытовой опыт. Величина Cв тем больше, чем шире дно цилиндрического сосуда (ведра). Предельное количество жидкости, которое может накопить сосуд-аналог, ограничена лишь предельным давлением, которое могут выдержать его стенки. Это аналогично тому, как предельный заряд конденсатора определятся электрической прочностью окружающего диэлектрика. При неизменном поперечном сечении сосуда величина Cв = const, а если поперечное сечение меняется c высотой S = S (h), величина Cв становится функцией уровня жидкости h. Аналогичным свойством обладает, например, электроемкость варактора – полупроводникового конденсатора, – с помощью которого мы переключаем телевизионные каналы. Она является функцией напряжения на этом популярном элементе. Так, наглядная образная модель в виде сосуда с жидкостью может быть использована для формирования представления о нелинейности [40].

Отражают ли логические модели закономерности природы? Судя по тому, что вид «homo sapiens» успешно конкурирует с другими биологическими видами, не обремененными сознанием и логикой, распространился по всем континентам, достиг глубин океана и космоса, он правильно оценивает закономерности эволюции и взаимосвязи объектов в природе. Значит, логические модели имеют объективное содержание.

Сказанное в первую очередь можно отнести к людям с более развитым «левым»

полушарием мозга, у которых чувственное преобладает над логическим.

Глава 1. Понятие модели. Чем замечательны модели математические Знаковые (символические) модели выражают свойства оригинала с помощью условных знаков и символов. К ним относятся математические выражения и уравнения, физические и химические формулы. К образно знаковым моделям относятся схемы, графики, чертежи, графы и т.п.

В свою очередь, материальные модели могут быть физическими, если они материально однородны с оригиналом, или формальными. В свою очередь материальные модели делят на функциональные – отражающие функции оригинала (бумажная «галка» как модель самолета);

геометрические – отражают геометрические свойства объекта (вспомним настольную модель самолета);

функционально-геометрические – как, например, летающая модель, отражающая и форму самолета. Встречается также разделение на функциональные и структурные модели [59] и пр.

[126, 173].

По классификационному признаку основания для переноса свойств модели на оригинал модели делятся на следующие группы:

1) условные – выражают свойства оригинала на основании соглашения, договоренности о смысле, который приписывается элементам модели. Так, все знаковые модели, в том числе математические, являются условными. Например, в качестве модели роста популяций одного вида, регулируемого эпидемической болезнью, Мэй в 1976 г. предложил одномерное отображение xn+1 = xn exp(r (1 xn )), где xn характеризует число особей в n-й момент времени, а параметр r связан с условиями заражения в соответствии с договоренностью, сопровождающей моделирование;

2) аналогичные – обладают сходством с оригиналом, достаточным для перехода к оригиналу на основании умозаключения «по аналогии».

Так, если объект O1 обладает свойствами c1, c2,..., c N 1, c N, а объект O2 – свойствами c1, c2,..., c N 1, то можно предположить, что второй объект будет обладать и свойством c N. Это умозаключение имеет гипотетический характер. Оно может привести как к истинному, так и к ложному результату. Пример неудачи: аналогия между движением жидкости ( O1 ) и процессом распространения тепла ( O2 ) привела в свое время к неправильному выводу о существовании теплорода. Позитивным примером является успешное замещение организма человека организмом животного при изучении влияния лекарственных препаратов;

3) подобные – позволяют обеспечить строгий пересчет данных модели в данные оригинала [23]. Речь идет о полной математической аналогии при наличии пропорциональности между сходственными переменными, которая сохраняется при всех значениях переменных. Два объекта подобны, если выполняются два условия:

Часть I. Модели и прогноз а) они имеют сходственное математическое описание. Например, из выражений z = x cos y, u = 2v cos 3w, и p = s cos(2 p 1) первые два сходственные, а третье не сходственно с ними. Сходственными являются уравнения движения, записанные для пружинного и математического маятников: d 2 x dt 2 + ( g l )x = 0 и d 2 x dt 2 + (k m )x = 0 ;

б) сходственные переменные, содержащиеся в математических выражениях, связаны постоянным коэффициентом пропорциональности (постоянной подобия). Например, формула x 2 + y 2 = R 2 при различных R определяет подобные друг другу (концентрические) окружности.

1.3. Обман чувств и интуиция. Спасение математикой Люди воспринимают не непосредственно наблюдаемый объект, а информацию о нем, которую дают органы чувств;

т.е. получают не картину объективной реальности, а картину отношений между человеком и реальностью. На основе чувственного восприятия формируются образные модели. Но, говоря об образных моделях, не следует их полностью отождествлять с образами, рожденными через органы чувств необремененного научным знанием человека, как это делали наши предки.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.