авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |

«Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Издательство ГосУНЦ «Колледж» Саратов, 2005 УДК ...»

-- [ Страница 9 ] --

Для простоты обозначений положим, что среднее значение наблюдаемой равно нулю. Векторы w (t i ) = ( i, i +1,..., i + w1 ) строятся в пространстве достаточно большой размерности k, причем время задержки полагается равным интервалу выборки l = 1. Компоненты этих векторов в случае малого интервала выборки сильно коррелированы. На рис.10.6 для иллюстрации представлен гармонический сигнал и восстановление фазовой траектории в трехмерном пространстве (k = 3).

Часть II. Моделирование по временным рядам Рис.10.6. Гармонические колебания при отсутствии шума: а) восстановление векторов w методом задержек по скалярному ряду (размерность k = 3);

б) восстановленная траектория – плоский эллипс, вытянутый вдоль главной диагонали пространства R k ;

в) восстановленная траектория в новой системе координат (после преобразования поворота), составляющая векторов вдоль направления s 3 равна нулю В этом пространстве производится преобразование поворота, причем направления новых осей координат (это {s1, s 2, s 3 } на рис.10.6,б,в) выбираются в соответствии с теми направлениями, вдоль которых наиболее интенсивно развивается движение. Количественно эти характерные направления и протяженность вдоль них можно определить, анализируя матрицу ковариаций компонент вектора w. Это – квадратная N k i+n j +n, i, j = 1,..., k. Она симметрична, матрица порядка k: i, j = n= вещественна, положительно определена. Следовательно, ее собственные векторы образуют полный ортонормированный базис пространства R k, а ее собственные значения являются неотрицательными величинами.

Обозначим собственные значения в порядке невозрастания 12, 2,..., k, а2 соответствующие собственные векторы – s1, s 2,..., s k. Переход к базису s1, s 2,..., s k можно выполнить путем преобразования x (t i ) = S T w (t i ), где S – матрица со столбцами s1, s 2,..., s k. Это преобразование известно в теории информации как преобразование Карунена – Лоэва. Нетрудно показать, что при этом переходе матрица ковариаций компонент векторов x примет диагональный вид:

12 0...

0 2... = S S = T,............

... k 0 т.е. компоненты векторов x некоррелированы, что является признаком «хорошей» реконструкции. Диагональные элементы матрицы ковариаций в новом базисе i2 – это средние квадраты проекций траектории w (t i ) на координатные оси {s i }. Они определяют протяженность траектории вдоль соответствующего направления. Ранг матрицы равен числу ненулевых собственных значений (для ситуации, представленной на рис.10.6,б, ненулевые только 12 и 2 ) и равен размерности подпространства, в котором происходит движение.

Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

При наличии измерительного шума все i отличны от нуля, так как в направлениях, которые не «осваиваются» детерминированной составляющей траектории, представлена шумовая компонента. В этом случае размерность движения можно оценить как Возможный число D существенных собственных значений, Рис.10.7.

характер иллюстрацию для произвольного случая см. на качественный зависимости значений рис.10.7. Проекции вектора на w (t i ) собственных чисел матрицы ковариаций от их соответствующие направления (т.е. первые D номера при k = 9. «Точка компонент вектора x ) называют его главными излома» D на графике компонентами. Остальные собственные служит оценкой значения составляют так называемый размерности наблюдаемого «шумовой пьедестал», а соответствующие компоненты можно отбросить. Таким образом, получим D-мерные векторы x(t i ) с компонентами xk (ti ) = s k w (ti ), k = 1,..., D.

Если на графике (рис.10.7) нет характерного излома, то следует увеличивать пробную размерность k, пока он не появится. Оценка размерности D более надежна, если при увеличении k излом наблюдается при одном и том же значении D.

Метод главных компонент – частный случай фильтрованного вложения. Он очень полезен в случае наличия измерительных шумов, поскольку позволяет их в значительной степени отфильтровать:

реализация x1 (t ) – более плавная, чем (t). Примеры и обсуждение представлены также в [37].

10.1.2.4. Последовательное дифференцирование и другие методы восстановления фазовой траектории. Использование векторов (10.4) имеет привлекательные черты, связанные с их «физичностью». Многие процессы описываются модельным ОДУ (9.4) высокого порядка (п. 9.1), т.е. с последовательными производными единственной переменной.

Некоторые системы ОДУ (например, система Ресслера, см. п. 10.2.2) могут быть приведены к такому виду аналитически. Но существенным недостатком метода является высокая чувствительность к наличию измерительных шумов, т.к. производные должны рассчитываться численно (пп. 7.4.2, 9.1).

Вообще говоря, методов восстановления векторов состояния очень много. Как уже сказано, имея только скалярный временной ряд, можно использовать метод последовательных производных или метод временных задержек. Причем для каждого из них имеются некоторые подстраиваемые параметры, значения которые можно подбирать (например, время задержки и схема численного дифференцирования). Кроме этого, есть Часть II. Моделирование по временным рядам методы взвешенного суммирования [299, 201] и интегрирования [9, 247], целесообразные для сильно неоднородных сигналов. Часто используют главные компоненты, эмпирические моды, сопряженный сигнал и фазу (п. 6.4.3). Можно использовать и комбинации всех методов, например, часть переменных получать методом задержек, часть – интегрированием, часть – дифференцированием [201].

Если же наблюдаемая – векторная, то по каждой ее компоненте можно восстанавливать переменные с помощью любой комбинации описанных методов и число вариантов значительно возрастает [204, 209].

10.1.2.5. Выбор динамических переменных. Какой из вариантов выбора переменных предпочесть? Этот вопрос очень важен и давно привлекает к себе внимание [268, 264, 311]. Пробовать поочередно все возможные варианты и для каждого аппроксимировать зависимость вида dx dt = f ( x, c) или x n +1 = f ( x n, c) не реально, поскольку решение задачи аппроксимации занимает часто очень значительное время и требует специальных подходов и усилий. Желательно было бы заранее выбрать относительно небольшое число наиболее подходящих вариантов и только для них проводить аппроксимацию. Для осуществления такого выбора предложен ряд процедур, основанных на предварительном анализе экспериментально полученных зависимостей, подлежащих аппроксимации [297, 314]. Эти процедуры опираются на то очевидное обстоятельство, что для построения модели нужен такой набор переменных, который обеспечивает однозначность и непрерывность зависимостей наблюдаемых (или рассчитанных по наблюдаемым) значений величин, стоящих в «левых частях» модельных уравнений, от наблюдаемых (или рассчитанных по наблюдаемым) значений динамических переменных.

Обозначим «левую часть» модельных уравнений z. Для ОДУ вида dx dt = f ( x, c) это z (t ) = dx(t ) dt ;

для отображений вида x (t n +1 ) = f ( x (t n ), c) – это z (t n ) = x(t n+1 ). Восстановив векторы x по наблюдаемой, следует получить по ряду {x(t i )} ряд «левых частей» {z (ti )}. Для ОДУ это делают численным дифференцированием ряда {x(t i )}, а для отображений – сдвигом {x(t i )} на один шаг по времени. Далее нужно проверить, соответствуют ли близким значениям x близкие (одновременные) значения z. Остановимся на одной из таких процедур, которая состоит в следующем [314].

Область V, внутри которой содержится множество векторов {x(t i )}, разбивается на одинаковые «гиперкубические» ячейки со стороной (рис.10.8,а). Из них выбираются все ячейки s1,..., s M, содержащие больше одного вектора x(ti ) каждая, т.е. имеющие хотя бы две точки в нижней клетке на рис.10.8,а. Разность между максимальным и минимальным Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

значениями z (одной из компонент вектора z) в пределах ячейки s k назовем локальным разбросом k. По величине максимального разброса max = max k и графику max ( ) оценивается пригодность величин x и z 1 k M для глобального моделирования. Для построения глобальной модели переменные нужно выбирать так, чтобы график max ( ) стремился к началу координат плавно, без изломов (рис.10.8,б, жирная линия), для каждой из аппроксимируемых зависимостей z k (x), k = 1,..., D.

Рис.10.8. а) Иллюстрация методики проверки однозначности и непрерывности зависимости z(x) при D = 2. б) Типичные графики max ( ) для различных переменных.

Жирная линия – лучший случай, штриховая – худший (неоднозначность или разрывность), тонкая линия соответствует зависимости с областями быстрого изменения. в) Графики первой, второй и третьей итераций квадратичного отображения (помечены цифрами). г) Графики max ( ) для зависимостей x(t n +1 ) от x(t n ) в этих трех случаях При этом желательно, чтобы наклон графика max ( ) был как можно меньшим, потому что для аппроксимации тогда достаточно использовать более простую модельную функцию, например, многочлен низкого порядка. На рис.10.8,в,г это проиллюстрировано на простом примере – аппроксимации зависимости следующего значения наблюдаемой от предыдущего, когда наблюдаемая генерируется первой, второй или третьей итерацией квадратичного отображения x(t n+1 ) = x 2 (t n ). График Часть II. Моделирование по временным рядам первой итерации «наименее осциллирующий», а потому наклон max ( ) – самый маленький. Именно в этом случае проще всего получить «хорошую» модель (действительно, достаточно многочлена второго порядка, тогда как для описания третьей итерации нужен многочлен 8-го порядка). Особенно различаются эти три случая по трудности реконструкции при наличии шумов. Дополнительные подробности и примеры представлены в [314, 26].

10.2. Аппроксимация функций многих переменных 10.2.1. Модельные отображения Векторы [ n, n+, n+ 2,..., n+( D 1)l ], полученные методом задержек, часто используются для построения многомерных модельных отображений xn = f ( xn1, xn2,..., xn D, c), (10.5) где переменная x соответствует наблюдаемой, а время задержки принято равным l = 1 для простоты обозначений. Возможны различные варианты выбора вида функции f в (10.5). Говорят, что функция f, заданная в замкнутой форме (п. 3.5.1.2) во всем фазовом пространстве, обеспечивает глобальную аппроксимацию. В этом случае говорят также о глобальной модели и глобальной реконструкции. Используют и локальную аппроксимацию – функцию со своим набором параметров для каждой небольшой области фазового пространства.18 В этом случае говорят о локальной модели.

Один из известных видов глобальной аппроксимации – алгебраические многочлены [36] – зачастую плохо работает на практике при аппроксимации функций уже двух переменных [206, 250, 193, 218, 134, 136]. Число их параметров и ошибки быстро растут с ростом размерности D. Подобные методы называют методами слабой аппроксимации. К ним относятся также тригонометрические многочлены и вейвлеты. При моделировании «черного ящика» нередко приходится использовать значения D, по меньшей мере, около 5-6. Поэтому алгебраические многочлены не нашли широкого практического применения.

Много усилий исследователей было потрачено на поиск методов сильной аппроксимации, т.е. относительно слабо чувствительных к росту размерности D. К ним относятся локальные методы низкого порядка [224, 206, 181, 260, 298, 303], радиальные, «цилиндрические» и «эллиптические»

базисные функции [230, 317, 249-251, 308, 309] и искусственные нейронные сети [112, 200, 335]. Эти конструкции также содержат много Обычно используются функции простого вида: постоянная или линейная.

Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

параметров и для них особенно актуален вопрос выбора размера модели и оптимизации ее структуры (пп. 7.2.3, 9.2).

10.2.1.1. Обобщенный многочлен. Для построения глобальной модели (10.5) выбирают вид f и рассчитывают параметры обычным МНК N (i f (i1,i2,...,i D, c) ) min.

S (c) = (10.6) i = D + Для простоты расчетов желательно выбрать функцию f, линейную по c.

Это имеет место для так называемого обобщенного многочлена P f ( x) = ck f k ( x) (10.7) k = по некоторой системе базисных функций f1, f 2,..., f P. При этом задача (10.6) линейна и не возникает проблемы локальных минимумов. К такому способу относится использование алгебраического многочлена, порядок которого увеличивается, пока не будет найдена адекватная модель или пока не выполнится другое условие (о выборе размера модели см. п. 7.2.3).

Подробности этого подхода представлены в лабораторной работе [36].

10.2.1.2. Радиальные базисные функции. Это функции вида k (x) = ( x a k rk ), где означает норму (длину) вектора, в качестве «материнской» функции обычно берется хорошо локализованная функция, например, «гауссиана» ( y ) = exp( y 2 2), величины a k называют «центрами», а rk – «радиусами».

Модельная функция f представляет собой обобщенный многочлен по системе функций k : f (x, c) = ck k (x ). Каждое k слагаемое существенно отлично от нуля только на расстоянии, не большем rk от центра a k (рис.10.9). Интуитивно ясно, что с помощью такой суперпозиции можно приблизить очень сложный (но гладкий) рельеф. Радиальные Рис.10.9. Графики базисные функции имеют много радиальных базисных привлекательных свойств и часто используются функций (качественно), в практике аппроксимации. Однако мы зависящих от двух ограничимся сказанным и остановимся переменных: три «гауссовских холма» несколько подробнее на двух других, еще более распространенных методах.

10.2.1.3. Искусственные нейронные сети. Модели с ИНС (п. 3.8) широко и успешно используются для решения многих задач. Они представляют собой не сумму базисных функций, а композицию (см. с.96 97). В отличие от обобщенного многочлена, они обязательно нелинейно Часть II. Моделирование по временным рядам зависят от оцениваемых параметров. Это «наиболее универсальный»

способ аппроксимации функций многих переменных в том смысле, что он не только теоретически обоснован, но и нередко успешно работает на практике.

Введем здесь ИНС формально (в дополнение к п. 3.8) на примере многослойного персептрона. Пусть x = ( x1,..., x D ) – аргумент искомой функции f. Составим набор функций f j(1) (x), j = 1,..., K 1 :

( ) D f j(1) (x) = w (j0i) xi (j0) x T w (j0) (j0), (10.8), i =1 где постоянные w(j0) называют весами, (j0) – порогами, – функцией,i активации. Функция обычно нелинейна и имеет график ступенчатого вида. Часто используется так называемый классический сигмоид ( ) ( x) = 1 1 e x. Будем говорить, что каждая функция f j(1) представляет выход стандартного формального нейрона с номером j, на вход которого подан вектор x (живой нейрон суммирует внешние стимулы и реагирует на их совокупность пороговым образом, отсюда и свойства функции ), см.

рис.10.10,а. Система функций f1(1),..., f K1) – это набор нейронов первого ( слоя (рис.10.10,б). Назовем значения функций f j(1) выходными значениями нейронов первого слоя и обозначим их совокупность вектором y (1) с компонентами y (j1) = f j(1) (x).

Рис.10.10. а) Стандартный формальный нейрон. б) Схема однослойной искусственной нейронной сети с одним выходом (один прямоугольник – один нейрон). в) Схема многослойной ИНС с одним выходом Определив в качестве функции f линейную комбинацию f j(1), получим так называемую однослойную ИНС:

D K1 K f ( x) = w (j1) y (j1) + (1) w (j1) w (j0i) xi + i( 0 ) + (1), (10.9), i =1 j =1 j = где параметры w (j1), (1) – дополнительные веса и порог. Свободных P = K 1 ( D + 1) + ( K 1 + 1) параметров в такой модели штук. Это Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

представление похоже на обобщенный многочлен (10.7), но ИНС нелинейно зависит от параметров w(j0) и (j0).

,i f j( 2), j = 1,..., K 2, Рассмотрим теперь еще одну систему функций имеющих вид (10.8), но зависящих от K 1 -мерного аргумента. Это нейроны второго слоя, на вход которых подаются выходы нейронов первого слоя y (1) (рис.10.10,в). Обозначим их выходные значения вектором y ( 2 ) размерности K 2 и определим функцию f как линейную комбинацию выходных значений нейронов второго слоя:

K1 (1) D (0) K ( 2) + (j0) + (j1) + ( 2). (10.10) ( 2) ( 2) ( 2) + wj w w x f ( x) = w y j =1 j2, j1 i =1 j1,i i 1 1 j2 = Это двухслойная ИНС, которая включает в себя уже композиции функций, что существенно отличает ее от псевдолинейной модели (10.7).

Увеличение числа слоев достигается очевидным образом (см. рис.10.10,в).

Чаще всего для решения задач аппроксимации используют двухслойные ИНС (10.10), реже – трехслойные [115]. Увеличение числа слоев не приводит к существенному улучшению. Улучшения добиваются за счет увеличения числа нейронов в слоях K 1, K 2. Теоретическая основа использования ИНС – обобщенная аппроксимационная теорема (ее частным случаем является теорема Вейерштрасса), которая утверждает, что любая непрерывная функция может быть сколь угодно точно равномерно приближена с помощью ИНС, строгое изложение см. в [63].

Процедура расчета параметров ИНС путем минимизации (10.6) – ее «обучение» – это сложная задача многомерной нелинейной оптимизации, для решения которой развиты специальные «технологии»: алгоритм обратного распространения ошибки, обучение с расписанием, обучение с шумом, стохастическая оптимизация (генетические методы, метод имитации отжига), см. подробности и ссылки в [79]. ИНС может содержать очень много лишних элементов, и структуру этой модели (архитектуру сети) желательно сделать более компактной. Для этого нейроны, веса и пороги которых слабо меняются в процессе обучения, исключаются из сети.

Если имеется несколько альтернативных ИНС с разной архитектурой, полученных в результате обучения по тренировочному ряду, то лучшую из них обычно выбирают по наименьшей тестовой ошибке аппроксимации (п. 7.2.3.2). Для получения «честного» показателя прогностической эффективности модели используют еще один ряд (не тренировочный и не тестовый, т.к. оба они использовались для построения модели), который называют «экзаменационным».

Превосходство ИНС над другими конструкциями при решении задач Часть II. Моделирование по временным рядам моделирования нелегко понять интуитивно [115]. Если получена хорошо работающая модель с ИНС, то, как правило, неясно, за счет чего она так хороша. Это проблема «прозрачности сети»: модель «черного ящика» и сама оказывается часто «черным ящиком». Тем не менее, модель можно исследовать численно и использовать для прогноза, см. п. 10.2.1.6.

10.2.1.4. Локальные модели. Локальные модели строятся из соображения минимизации суммы квадратов типа (10.6) в локальной области фазового пространства.

Так, для прогноза значения i+ D, которое последует за состоянием x i = [ i, i +1,..., i + D 1 ], используется следующая процедура. Из всех векторов тренировочного ряда отыскивают k Рис.10.11. Иллюстрация для трехмерной локальной модели (D = 3): ближайшие ближайших соседей текущего соседи (черные кружки) вектора x i вектора x i. Это векторы с (черные квадраты), найденные по nj, временными индексами тренировочному ряду расстояния от которых до x i меньше всего (аналоги x i, рис.10.11, 10.12):

x n j x i x l x i, j = 1,..., k, l i, l n j. (10.11) Значения наблюдаемой, которые следовали в прошлом за соседями x n j, известны. По ним можно построить модель (10.5). Обычно используют простую функцию f (x, c), параметры которой находят обычным МНК, хотя используют и более Рис.10.12.

сложные методики оценки [260]. Полученную Ближайшие соседи функцию f (x, c i ) используют для прогноза значения (белые кружки) i+ D xi + D = f (x i, c i ), рис.10.12.

по формуле вектора x i (черный кружок) и Параметры c i снабжены нижним индексом i, т.к.

следующие за ними соответствуют только окрестности текущего вектора векторы (белые x i. Согласно так называемому итерационному треугольники). По этим данным способу прогноза (см. п. 10.3), чтобы предсказать осуществляют прогноз следующего В первую очередь обычно возникает задача – предсказать значение N +1, которое вектора x i + последует сразу за последним значением в тренировочном ряде, т.е. за вектором (черный x N D +1 = [ N D +1, N D + 2,..., N ]. ) Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

следующее значение i +D +1, необходимо для нового вектора состояния модели x i +1 = ( i +1,..., i + D 1, xi + D ) повторить процедуру поиска соседей и оценки параметров. Таким образом, получают новый прогноз:

xi + D+1 = f (x i +1, c i +1 ).

Опираясь на теорему Тейлора, используют следующие аппроксимирующие функции: константа f ( x, c) = c1 ;

линейная функция D f ( x, c) = c1 + c j +1 x j ;

многочлены более высоких порядков K. С одной j = стороны, погрешность аппроксимации тем меньше, чем ближе найденные соседи к текущему вектору. Поэтому она должна уменьшаться с ростом длины ряда, т.к. происходят все более близкие возвраты в окрестность каждой точки. С другой стороны, для борьбы с шумом следует использовать большее число соседей k. Возникает необходимость соблюдать компромисс: нельзя использовать слишком далеких «соседей», чтобы погрешность аппроксимации многочленом низкого порядка не стала слишком большой, но нельзя брать и слишком малое число близких соседей.

Локально-постоянные модели менее требовательны к числу данных и более устойчивы к действию шумов, т.к. они содержат всего один свободный параметр для каждой окрестности. При небольших шумах и достаточно больших длинах ряда (конкретные величины зависят от необходимой размерности модели D) преимущество имеют локально линейные модели. Для их построения нужно использовать минимум k = D + 1 соседей, т.к. они содержат D + 1 параметров в каждой «ячейке».

Погрешность аппроксимации для них в случае очень длинного и «чистого»

ряда – порядка 2, где – характерное расстояние между близкими векторами в тренировочном ряде. Локальные модели с многочленами более высокого порядка используются крайне редко, т.к. они имеют преимущества только в (почти нереалистичном) случае огромных объемов очень «чистых» данных.

В описанном подходе модельная функция f, как правило, разрывна, т.к. различные «куски» локальной аппроксимации не сшиваются между собой. Иногда это приводит к нежелательным особенностям динамики модели, которые не наблюдаются у исходной системы. Устранить разрывность можно с помощью триангуляции и других методов [308]. При этом модель приобретает некоторые глобальные свойства ( f становится непрерывной), и ее тогда называют глобально-локальной. Но это сильно усложняет алгоритм и редко используется на практике.

Локальные модели часто используются на практике для прогноза.

Есть разнообразные варианты алгоритмов их построения, учитывающие тонкие детали. Это современный вариант прогностического метода Часть II. Моделирование по временным рядам «аналогов» (см. рис.10.11 и с. 261-262). Познакомиться подробнее с процедурой их построения можно в лабораторной работе [36].

10.2.1.5. Поиск близких соседей. Поиск соседей может занять очень много времени, если тренировочный ряд велик. Искать расстояния от каждого текущего вектора до каждого вектора в тренировочном ряде и выбирать наименьшие – очень долго (число операций порядка N 2 ). Здесь мы изложим эффективный алгоритм быстрого поиска [254], основанный на предварительном разбиении тренировочного множества на ячейки.

Описанные выше локальные модели – это модели с фиксированным числом соседей. Рассмотрим здесь другой (но очень близкий) вариант локальных моделей – модели с фиксированным размером окрестности.

Согласно ему для текущего вектора x i ищутся соседи, которые находятся на расстоянии от x i не большем (рис.10.12):

xn j xi. (10.12) Число соседей может быть разным для разных x i. Главное, чтобы оно было не меньше D + 1. Если соседей слишком мало, то надо увеличить размер окрестности. При увеличении уровня шума и размерности модели для фиксированной длины ряда N оптимальный размер окрестности сдвигается в сторону больших. Оптимальное значение подбирают методом проб и ошибок. Норму вектора в (10.11) или (10.12) можно использовать любую. Удобнее всего норма x = max{ x1, x2,..., x D }, поскольку она вычисляется быстро. Для нее окрестность (10.12) – это гиперкуб со стороной 2.

Расчет расстояний от текущего вектора до всех векторов тренировочного ряда требует значительных затрат машинного времени. Желательно было бы не рассчитывать расстояния до тех векторов тренировочного ряда, которые заведомо не могут быть соседями. Для этого векторы тренировочного ряда предварительно сортируют. Для сортировки используют первую и последнюю координаты векторов. Рис.10.13. Векторы Пусть min и max – минимальное и тренировочного ряда максимальное значения наблюдаемой в сортируются по значениям первой и последней тренировочном ряде. Тогда на плоскости координат: создается ( x1, x D ) фазовая траектория лежит внутри квадратный массив, в сторонами элементы которого квадрата со записывается информация о x1 = min, x1 = max, x D = min, x D = max (см.

количестве векторов в Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

рис.10.13). Этот квадрат разбивается на квадратные ячейки размером.

Определяется, какой вектор в какую ячейку попадает. Создается массив, элементы которого соответствуют ячейкам разбиения. В каждый элемент записываются временные индексы векторов, попавших в соответствующую ячейку. Теперь, чтобы отыскать ближайших соседей вектора x, нужно определить, какой ячейке принадлежит этот вектор, и рассчитать расстояния от него только до тех векторов, которые принадлежат той же ячейке или имеющим с ней общую вершину (всего нужно проверить максимум 9 ячеек). Такой алгоритм существенно ускоряет процесс поиска соседей и требует всего порядка N операций при отсутствии слишком густо и слишком редко «населенных» областей в восстановленном пространстве.

10.2.1.6. Практический пример прогноза. Наблюдаемый процесс – хаотическая динамика лазера (рис.10.14) – был предложен организаторами конференции в Санта-Фе (США) в 1993 году всем желающим посоревноваться в области прогноза сложных сигналов [326]. Авторы должны были представить продолжение ряда, которое не было им заранее известно (100 следующих точек по имеющимся 1000 точкам). Конкурс выиграл аспирант Э. Ван, который использовал ИНС прямого распространения [335].

Рис.10.14. Данные с кольцевого лазера в хаотическом режиме [243], t = 40 нс На рис.10.15,а представлены графики наблюдаемого ряда (пунктир) и прогноза (сплошная линия) с помощью модели с ИНС для различных стартовых моментов. Близкую точность прогноза, а по некоторым параметрам и лучшее воспроизведение динамики [326], обеспечили локально-линейные модели [298], см. рис.10.15,б. Локально-линейная модель «работает» лишь чуть хуже ИНС для стартовых моментов 1000 и 2180 и лучше для других трех случаев. Относительный успех модельного прогноза на разных отрезках зависит от того, насколько точно они предсказывают момент переключения колебаний с высокоамплитудных на низкоамплитудные. Кроме того, оказывается, что локальная линейная модель лучше воспроизводит долговременную динамику, что можно увидеть на верхней панели рис.10.15,б, где представлен итерационный прогноз на 400 точек вперед и видно хорошее соответствие с Часть II. Моделирование по временным рядам экспериментом на всем интервале, для ИНС результаты несколько хуже [298, 335]. Таким образом, в данном случае модельные отображения с ИНС и локальной линейной аппроксимацией примерно одинаково хороши. Их примерно одинаковая эффективность наблюдается и во многих других случаях.

Ряд примеров применения локальных моделей для прогноза можно найти в [224, 254, 260]. Модели с ИНС применяются все же несколько чаще, т.к. они менее требовательны к длине ряда и уровню шумов. Есть примеры их успешного применения для прогноза в геофизике и области финансов (курсы валют) [99, 112]. Успешные результаты построения моделей в виде (10.5) см. также в [251, 308].

Рис.10.15. Прогноз интенсивности излучения лазера: а) модель с ИНС [335], б) локально-линейная модель [298]. По горизонтальной оси – время в единицах интервала выборки. Тонкие линии – измеренные значения, жирные линии – прогноз. Разные панели соответствуют прогнозу с различных стартовых моментов: 1000, 2180, 3870, 4000, 5180. Число в левом верхнем углу каждой панели – средний квадрат ошибки прогноза на первых 100 точках представленного фрагмента. Верхние панели показывают фрагмент, который требовалось предсказать в соревновании 1993 года (точки № 1001-1100) 10.2.2. Модельные дифференциальные уравнения По скалярному временному ряду модельные ОДУ часто строят, восстанавливая векторы состояния методом последовательных Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

производных [, d dt,..., d D 1 dt D 1 ] в так называемой стандартной форме (п. 3.5.3):

d D x dt D = f ( x, dx dt,..., d D 1 x dt D 1, c), (10.13) где наблюдаемая = x. О выборе аппроксимирующей функции здесь можно сказать все то же самое, что и выше для модели (10.5). Но здесь чаще наблюдаются «плавные» аппроксимируемые зависимости и используются алгебраические многочлены D K D l l j K.

cl1,l2,...,lD x jj, f ( x1, x2,..., x D, c) = (10.14) l1,l2,...,lD =0 j = j = Почти не используют модельные ОДУ (10.13) с ИНС и т.п. [309].

Некоторые системы могут быть приведены к стандартному виду (10.13) даже аналитически. Так, эталонная хаотическая система – система Ресслера – имеет вид:

dx dt = y z, dy dt = x + C1 y, (10.15) dz dt = C 2 C3 z + xz.

Можно показать, что ее можно свести к трехмерной же системе с последовательными производными координаты y и многочленом второго порядка в правой части:

dx1 dt = x2, dx2 dt = x3, (10.16) dx3 dt = C 2 C3 x1 + (C1C3 1) x2 + (C1 C3 ) x3 C1 x12 + + (C12 + 1) x1 x2 C1 x1 x3 C1 x2 + x2 x3, где x1 = y. Для последовательных производных координат x и z также можно получить уравнения (10.16), но с дробно-рациональными функциями в правой части [232, 37].

Стандартные модели часто использовались на практике [65, 66, 135, 178, 231-233, 265-267], но успехов остается считанное число. Очень часто структура (10.13) с алгебраическим многочленом (10.14) в правой части приводит к громоздким уравнениям.

При построении ОДУ по векторному ряду нужно аппроксимировать D скалярных функций, а не одну (см. п. 9.1). Практические примеры построения модельных ОДУ представлены в лабораторных работах [37].

Часть II. Моделирование по временным рядам 10.3. Прогноз с помощью различных видов моделей Бросая общий взгляд на проблему прогноза временных рядов и сопоставляя различные подходы, следует сказать, что новые методы, развитые в рамках нелинейной динамики и обсуждавшиеся выше, нередко оказываются наиболее эффективными для прогноза сложных реальных процессов. Это имеет место в тех случаях, когда достаточно ограничиться моделью невысокой размерности. Многочисленные «нелинейно динамические» подходы можно отличать по целому ряду признаков:

итерационный прогноз – прямой прогноз;

модельные отображения различного вида (например, глобальные модели – локальные модели);

модельные отображения – модельные ОДУ. Далее мы кратко обсудим преимущества и недостатки различных вариантов. Забегая вперед, отметим, что наиболее эффективным инструментом прогноза, как правило, являются модельные отображения (глобальные или локальные, в зависимости от объема данных и необходимой размерности модели) при использовании итерационного, прямого или комбинированного способа прогноза (в зависимости от необходимого упреждения). Но сначала вспомним и о более «старых» подходах.

Методы, не использующие нелинейную динамику. Для очень простых сигналов задача прогноза может успешно решаться даже с помощью явных функций времени (глава 7). Для нерегулярных стационарных сигналов без признаков нелинейности наиболее уместны линейные модели авторегрессии – скользящего среднего (пп. 4.4, 8.1, лабораторные работы в [39]), хотя эти возможности весьма ограничены. Можно показать, что прогноз с помощью линейной АРСС-модели может быть более или менее точным только на интервале порядка времени корреляции процесса cor [12] (это время спадания автокорреляционной функции, см. п. 2.3, рис.2.8).

Для хаотического ряда время корреляции cor может быть очень мало, а потому и дальность прогноза с помощью АРСС-модели будет мала. Хотя хаотический процесс в принципе нельзя предсказать очень далеко, для нелинейных моделей дальность прогноза может быть значительно больше cor. Напомним, что эту дальность прогноза можно оценить из простых (но не всегда верных, подробнее см. п. 2.4) соображений [96, 318] по формуле ( ) (2.34): pred = (1 21 )ln x 2 + µ + M. Если шумы и погрешности 2 2 модели не велики, то pred может значительно превышать время корреляции, которое может быть грубо оценено как cor ~ 1 1.

Итерационный, прямой и комбинированный способы прогноза.

Предсказать значения наблюдаемой, следующие за последним в ряде значением N, с помощью (нелинейной) модели (10.5) можно уже упомянутым (п. 10.2.1.4) итерационным способом:

Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

1) получают прогноз на один шаг вперед x N +1 = f ( x N D +1, c) = f ( N D +1, N D + 2,..., N, c), (10.17) 2) принимают предсказанное значение x N +1 в качестве последней координаты нового вектора состояния x N D + 2 = ( N D + 2, N D +3,..., N, x N +1 ), 3) используют вектор x N D + 2 как аргумент функции f, получают новый прогноз x N + 2 = f ( x N D + 2, c), и так далее.

В итоге получим прогноз x N +l с любым упреждением l (число шагов) Есть и альтернатива: для прогноза с упреждением l можно вместо итерирования формулы (10.5) строить модель, l-кратного аппроксимирующую непосредственно (прямо) зависимость i+l от x i.

Форма этой зависимости при большом l может быть очень сложной в случае хаотической динамики из-за чувствительной зависимости будущего поведения i+l от начальных условий x i. В результате для очень большого l будет получена модельная функция примерно равная среднему значению наблюдаемой f, т.е. совсем невысокая точность прогноза.20 Однако для умеренных l прямой метод может иметь преимущества.

Как зависит дальность прогноза для обоих способов от длины тренировочного ряда N и других факторов? На этот вопрос можно ответить теоретически для локальных моделей с многочленом порядка K. По оценкам [224, 206] ошибка прогноза при итерационном методе растет с упреждением l как M e 1 l t, а при прямом методе – как M e ( K +1) H l t, где H –сумма положительных ляпуновских показателей. Отсюда видно, что скорость роста ошибки для прямого метода больше (причина указана:

трудно аппроксимировать зависимость далекого будущего от настоящего).

Однако следующий отсюда вывод о преимуществе итерационного способа прогноза справедлив не всегда, а только при некоторых условиях, а именно, модель должна давать одношаговый прогноз с большой точностью, для чего нужен, как правило, очень длинный тренировочный временной ряд и отсутствие шумов. Если же эти условия нарушаются, то, как показывает практика, для прогноза с упреждением l, превышающим один шаг, но меньшим характерного времени разбегания близких траекторий, лучше использовать прямой метод [251]. Это объясняется тем, что «одношаговая» эмпирическая модель (10.5) может содержать систематические ошибки (например, из-за неудачного выбора вида функций для аппроксимации или недостаточной размерности модели), Нетрудно увидеть, что для l, превышающих длину тренировочного временного ряда, прямой метод использовать невозможно из-за отсутствия нужных данных.

Часть II. Моделирование по временным рядам накопление которых при итерациях может дать больший вклад в ошибку прогноза, чем ошибка аппроксимации при прямом способе.

Для улучшения прогнозов с умеренным упреждением предложен комбинированный подход «предиктор – корректор» [251], который состоит в следующем. Делают прогноз итерационным или прямым путем с помощью имеющейся модели, назовем ее «базовым предиктором». Затем «подправляют» предсказанные значения с помощью дополнительного модельного отображения – так называемого «корректора», – которое строится по тренировочному ряду и связывает ошибки прогнозов базового предиктора для упреждения l с самими прогнозами. Для корректора используют значительно более простую структуру, чем для базового предиктора. Комбинация «предиктор – корректор» может дать существенно более точный прогноз по сравнению с «чистыми» прямым и итерационным способами.

Наконец, отметим одно существенное, с точки зрения прогноза, различие между динамическими моделями типа (10.5) и явными функциями времени (п. 7.4.1.3). В отличие от явной экстраполяции временной зависимости динамическая модель (10.5) опирается на интерполяцию в фазовом пространстве и потому оказывается намного эффективнее. Действительно, значение вектора состояния x i, с которого нужно начинать прогноз, лежит обычно «между» многими векторами тренировочного ряда, которые используются для построения модели (см., например, рис.10.12). Но если при итерациях модельного отображения значение x выйдет из области, в которой лежат векторы тренировочного ряда, то дальнейшее использование модели для прогноза означает экстраполяцию в фазовом пространстве. Тогда надежность прогноза резко снизится, а траектория модели может вести себя без всякого сходства с наблюдаемым процессом, например, уйти на бесконечность.

Последнее особенно часто имеет место при использовании алгебраических многочленов, которые очень плохо экстраполируют.

Сопоставим Различные виды модельных отображений.

прогностические возможности моделей (10.5) с различными видами функции f.

Алгебраические многочлены умеренного порядка K очень эффективны для аппроксимации функций одного переменного, причем плавно меняющихся – без скачков и изломов. Лучше них в этом случае только сплайны порядка 3 и выше [85, 153]. Чем больше необходимая размерность модели D и порядок многочлена K, тем меньше вероятность успеха.

Дробно-рациональные функции эффективны в тех же случаях, но могут лучше описывать зависимости с областями быстрого изменения.

Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

Тригонометрические многочлены и вейвлеты (п. 6.4.2) тоже являются способами слабой аппроксимации и хороши для аппроксимации функций с определенными свойствами (п. 7.2.4).

Радиальные базисные функции [250] несравнимо эффективнее упомянутых подходов при большой размерности модели (ориентировочно, больше 3). ИНС имеют примерно такие же свойства, а по некоторым указаниям [206, 335] ИНС аппроксимируют сложные зависимости даже лучше. Требования к объему данных и уровню шума для всех перечисленных моделей относительно не строгие, т.к. это глобальные модели.

Локально-линейные модели очень эффективны при умеренных размерностях вектора состояния (больше 1, но меньше некоторого небольшого числа, зависящего от длины тренировочного ряда), длинных рядах (чтобы найти значительное число близких соседей каждого вектора) и малом измерительном шуме. Требования к объему данных и уровню шума очень строгие. Локально-постоянные модели лучше, чем локально линейные при большем шуме и более коротком ряде.

Все подходы страдают от уже упоминавшегося «проклятия размерности». Очень высокоразмерные системы (ориентировочно, размерности около 10 и выше) на настоящем этапе не могут быть сколько нибудь успешно описаны такими эмпирическими моделями.

Сопоставление модельных отображений и дифференциальных уравнений. В общем случае отображения дают лучший прогноз с умеренным упреждением, чем ОДУ [309]. Это можно понять по аналогии с тем, что итерационный прогноз хуже прямого при значительных погрешностях модели (10.5), обеспечивающей одношаговое предсказание.

Модельные ОДУ строят так, чтобы точнее аппроксимировать скорость изменения вектора состояния dx(t i ) dt в зависимости от x (9.3) и, следовательно, дать наилучший прогноз на ближайший момент времени:

x(t i +1 ) (dx(t i ) dt )t. Если использовать ОДУ для прогноза более далекого будущего, это похоже на итерационный прогноз. Он может оказаться совсем не точным при наличии систематической погрешности аппроксимации ОДУ.

Для долговременного описания динамики эмпирические модельные отображения тоже зачастую оказываются лучше [309]. Кроме того, их проще строить и использовать – не нужно численного дифференцирования рядов и численного интегрирования уравнений.

Модельные ОДУ могут быть хороши, если они «родные» для объекта, т.е. его динамика действительно почти точно подчиняется системе ОДУ со структурой, используемой при моделировании. Но это более типично для постановки «прозрачный» или «серый ящик» и очень маловероятно без априорной информации.

Часть II. Моделирование по временным рядам Тот факт, что многие авторы все-таки занимаются построением модельных ОДУ для «черного ящика», отчасти связан с проблемой «прозрачности». После получения «хорошей» модели желательно понять, как она «работает» и физически интерпретировать ее переменные и параметры. Для ОДУ с многочленами в правой части есть надежда на такое физическое истолкование, т.к. асимптотические модели многих реальных процессов имеют вид ОДУ с многочленом в правой части, например, в уравнения химической кинетики и динамики лазеров. Потому же часто используют ОДУ с последовательными производными (10.13), а не векторами задержек: последовательным производным можно придать смысл скорости, ускорения и т.д. Но обычно надежда на физические интерпретации не оправдывается: если в структуру ОДУ заранее не заложены физические соображения [38, 194], то «вытащить» физический смысл из алгебраического многочлена (10.14) или подобной универсальной структуры невозможно.

10.4. Диагностическая проверка модели Хотя в предположении о наличии динамического шума уместно проводить анализ остатков (проверка их некоррелированности и нормальности, п. 7.3), при проверке адекватности динамических моделей обычно опираются на расчет и сопоставление с экспериментом тех характеристик модели, которые популярны в теории динамических систем.

Перечислим основные возможности.

1) Для детерминированной модели дальность прогноза можно ( ) оценить по формуле pred = (1 21 )ln x 2 + µ + M. Эта оценка 2 2 совпадает с экспериментально полученной величиной для адекватной модели.

2) Качественное сходство проекций траекторий на плоскости различных переменных. Это – субъективный критерий, хотя и очень важный. Он направлен на оценку сходства существенных особенностей динамики объекта и модели. Разные варианты придания ему более точного количественного выражения приводят к разным способам проверки адекватности модели и указаны ниже, следуя обзору [233].

3) Сравнение инвариантных мер (плотностей распределения векторов в пространстве состояний) или их проекций – плотностей распределения одной из переменных. Подход применим и для стохастических моделей.

4) Сравнение старшего ляпуновского показателя модели с оценкой, полученной по наблюдаемому временному ряду.

5) Сравнение фрактальных размерностей и энтропий аттрактора модели с оценками, полученными по наблюдаемому временному ряду.

6) Сравнение топологических свойств. Это тонкий подход, основанный на поиске и анализе неустойчивых периодических орбит, Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»

вложенных в аттрактор, и на определении их взаимного расположения в фазовом пространстве. Он применим, строго говоря, только для детерминированных систем размерности не выше 3 и представляет собой очень строгий тест для модели. Если она воспроизводит большую часть неустойчивых орбит, найденных по наблюдаемому временному ряду, это уже существенное свидетельство в пользу ее адекватности.

7) Сравнение отображений Пуанкаре. Это легко сделать для одномерных отображений Пуанкаре. Как правило, анализируется зависимость следующего максимума наблюдаемой величины от предыдущего. Подход имеет отношение к анализу топологических свойств аттракторов и часто используется в связке с ним.

8) Синхронизация модели сигналом от объекта. Модель признается адекватной, если она синхронизуется (с заданной точностью) наблюдаемым временным рядом при умеренной интенсивности воздействия [201].

9) Предлагалось также выяснять, имеет ли модель то же самое количество аттракторов того же типа, что и объект;

расположены ли эти аттракторы в соответствующих областях фазового пространства;

совпадают ли бассейны их притяжения. Это очень строгие требования к модели и ни одна эмпирическая модель в типичном случае их не выдержит.

В заключение главы 10 отметим, что мы почти обошли вопросы моделирования распределенных систем в виде дифференциальных уравнений в частных производных и других конструкций, хотя этой задаче в последнее время уделяется пристальное внимание [189, 284, 306, 330].

Мы только кратко коснулись построения стохастических модельных уравнений [329, 327, 307]. Разнообразную полезную информацию по этим и смежным вопросам можно найти в статьях, помещенных на сайты [341, 349, 348, 342].

Глава 11. Практические приложения эмпирических моделей Области знаний, в которых моделирование по рядам данных имеет приложения, трудно перечислить (от астрофизики до медицины и техники). Очень разнообразны и цели моделирования. Поэтому мы ограничимся лишь несколькими примерами, демонстрирующими большую практическую значимость этого направления.

Самым известным приложением является, конечно же, прогноз будущего по наблюдаемому временному ряду. Мы уже обсуждали это вопрос в пп. 7.4.1, 10.2.1, 10.3 и здесь ограничимся лишь краткими комментариями. Это действительно наиболее интригующая задача, которая рассматривается в различных отраслях науки и практики [142, 112, 277, 281, 326]. У всех на слуху задачи прогноза погоды и климата, землетрясений, курсов акций и валют и пр. Но применительно к таким сложным процессам эмпирические модели оказались полезными пока только в отдельных случаях. Основные причины трудностей – «проклятие размерности» (возрастающие трудности моделирования при увеличении размерности исследуемого движения), дефицит экспериментальных данных, значительные шумы, нестационарность. Однако в более простых и определенных прикладных ситуациях вероятность успеха возрастает.

Другой полезной возможностью, которую дает моделирование по временным рядам, является проверка адекватности имеющихся представлений об «устройстве» исследуемого объекта. Это позволяет улучшить понимание «механизмов» его функционирования. Речь идет о том, что положительный результат построения модели (ее высокое качество) может быть истолкован как одно из доказательств правильности физических соображений, заложенных в ее структуру (см. пп. 8.2.2 и 9.3).

Это самодостаточная фундаментальная ценность, которая может привести впоследствии к разнообразным практическим приложениям.

Мы не будем подробнее иллюстрировать успехи эмпирических моделей для решения задач этих двух типов (отчасти мы коснулись их в пп. 8.2.2, 9.3, 9.4, 10.2.1.6), а рассмотрим менее известные приложения, развитые в последние годы. Это выделение квазистационарных участков в нестационарном сигнале (п. 11.1), многоканальная передача информации (п. 11.2), определение направленности взаимодействия между осцилляторами (п. 11.3) и некоторые другие (п.11.4).

11.1. Сегментация нестационарных временных рядов С позиций теории случайных процессов нестационарность процесса означает изменение его многомерных функций распределения на интервале наблюдения. На практике большинство процессов нестационарны, особенно в биологии, геофизике или экономике.

Глава 11. Практические приложения эмпирических моделей Нестационарность приводит к значительным трудностям для моделирования, едва ли не столь же большим, как «проклятие размерности». В то же время, сам характер нестационарности может представлять интерес при исследовании объекта.

Под динамической нестационарностью понимают ситуацию, когда исходный объект (процесс) может быть описан дифференциальными или разностными уравнениями, но с переменными параметрами [301, 302].

Одна из причин, по которой понятие динамической нестационарности может быть практически востребовано, это – возможность более точного обнаружения момента изменения параметров системы, чем по статистическим характеристикам. Если при изменении параметров существовавший динамический режим системы потерял устойчивость, система может еще некоторое время оставаться в прежней области фазового пространства. Статистические свойства наблюдаемого ряда при этом сильно не меняются. Однако со временем обязательно установится другой динамический режим, и может быть важно как можно раньше обнаружить грядущее изменение.

Основная идея исследования подобных процессов состоит в разделении исходного ряда на M сегментов длиной L N st, на которых система признается стационарной. Затем проводится статистическое оценивание или реконструкция уравнений по каждому из этих сегментов отдельно. Статистические тесты основаны на расчете некоторых статистик (эмпирических моментов, спектров мощности и т.п.) в каждом сегменте N j и последующем сравнении сегментов по близости значений этих статистик. Вводится расстояние d между сегментами и составляется матрица расстояний d i, j = d ( N i, N j ). По величине этих расстояний судят о стационарности процесса. Часто используют следующие характеристики.

1) Сравнение эмпирических вероятностных распределений по критерию 2 [237]. Для его вычисления диапазон значений наблюдаемой, принимаемых ею на всем временном ряде, разбивается на H ячеек.


Рассчитывается количество точек, попавших в каждую ячейку из каждого из двух сравниваемых сегментов;

отличие распределений вычисляется как k,i nk, j ) H (n di, j = = 2, где nk,i и nk, j – количество точек, попавших в k =1 nk,i + nk, j k-ю ячейку из i-го и j-го сегмента ряда соответственно. Эта статистическая мера может показывать нестационарность при постоянстве оператора эволюции в случае переходных процессов.

2) Сравнение по близости/отличию эмпирических моделей – построение глобальных моделей с векторами параметров с i, с j и введение Часть II. Моделирование по временным рядам расстояния между сегментами как евклидова расстояния между векторами параметров [235]: d i2 j = k =1 (ck,i ck, j ) 2.

P, Результаты анализа ряда (рис.11.1,а) удобно отображать на так называемой «диаграмме возвратов» (рис.11.1,б), где по осям отложены начальные точки участков ряда i и j, а величины расстояния между участками показаны в серых полутонах. Белый цвет соответствует сильно различающимся сегментам ряда (большим расстояниям), черный цвет – практически одинаковым (нулевым расстояниям). Проиллюстрируем возможности методики, используя в качестве объекта одномерное отображение xn+1 = c0 (n) cos xn. (11.1) Наблюдается величина = x, наблюдаемый ряд имеет длину 2000 точек.

Рис.11.1. а) Временная реализация отображения (11.1). б)-г) Результаты ее исследования на стационарность: б) расстояния между сегментами рассчитываются как расстояния между эмпирическими плотностями распределения по критерию 2, в) параметры одномерных эмпирических моделей вида x n +1 = f ( x n, c) с многочленом f порядка K = 2, г) то же самое для K = В момент n = 1000 параметр с меняет значение c0 = 2.1, которому соответствует хаотический аттрактор в фазовом пространстве, на c0 = 2.11735, при котором устанавливается режим периода 7. Однако новый режим устанавливается после достаточно длительного (около итераций) переходного процесса, так что большинство статистических свойств, например, среднее и дисперсия, меняются только к моменту n = 1400 (рис.11.1,а). На рис.11.1,б-г представлены диаграммы возврата.

Глава 11. Практические приложения эмпирических моделей Сравниваются участки ряда длиной по 200 точек. Большая темная область на такой диаграмме означает квазистационарный сегмент, а границы между двумя темными областями – момент изменения свойств сигнала, влияющих на величину расстояния. На рис.11.1,б диаграмма получена на основе меры 2, а на рис.11.1,в,г – на основе параметров менее и более совершенных моделей xn+1 = f ( xn, c) с алгебраическими многочленами.

Видно, что статистическая мера 2 обнаруживает происшедшие в системе изменения с опозданием, по сравнению с хорошей динамической моделью.

Рис.11.1,в,г показывает также, что методы, направленные на обнаружение динамической нестационарности, правильно работают только при достаточно высоком качестве модели. Пример использования описанного динамического подхода для выделения участков стационарности внутричерепной электроэнцефалограммы (ЭЭГ) пациента с височной эпилепсией представлен в [219].

Выделение квазистационарных участков имеет ценность и для построения модели. При моделировании желательно использовать весь имеющийся временной ряд, чтобы получить более точные оценки параметров, но в случае нестационарности модель с постоянными параметрами неадекватна. Нужно строить ее по квазистационарному участку, причем как можно более длинному. Как заранее узнать максимальную длину участка ряда, на которой он еще квазистационарен?

Это можно сделать с использованием диаграммы возвратов, отыскав наиболее протяженный черный квадрат, расположенный на диагонали. К нему можно добавить «похожие» на него сегменты из других временных отрезков и построить модель повторно по полученному максимально длинному квазистационарному участку. Такой подход был реализован в применении к ЭЭГ в [235].

«Родственные» задачи выделения моментов резких изменений рассмотрены в работах [136, 11].

11.2. Конфиденциальная передача информации Актуальным направлением исследований в радиофизике является разработка систем связи с использованием хаотической несущей [77]. В связи с этим отметим интересную прикладную возможность методов оценки параметров модели по нестационарным хаотическим временным рядам для многоканальной конфиденциальной передачи информации [8, 185]. Основная идея состоит в следующем. Пусть имеется некоторая нелинейная динамическая система dx dt = f (x, c 0 ), параметры c 0 которой медленно меняются во времени c 0 = c 0 (t ). Хаотическая временная реализация этой системы (например, одна из координат (t ) = x1 (t ) ) Часть II. Моделирование по временным рядам является передаваемым сигналом, а изменения параметров c 0 (t ) – информационными сигналами, которые не передаются непосредственно.

Необходимые условия для возможности извлечения информационных сигналов из хаотического наблюдаемого сигнала:

1) должна быть полностью известна структура динамической системы, используемой в качестве передатчика, т.е. для генерации хаотического временного ряда с меняющимися параметрами, 2) ее параметры c 0 должны меняться гораздо медленнее характерного времени колебаний этой системы.

Тогда, оценивая параметры модели соответствующего вида dx dt = f (x, c 0 ) по последовательным квазистационарным участкам ряда (t ) с помощью одного из методов, изложенных в главах 8-10, можно получить реализации всех параметров системы по единственной наблюдаемой реализации (t ).

В [185] рассмотрен пример передачи графического изображения в серых полутонах. В качестве системы, генерирующей хаотический сигнал, были взяты уравнения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью (генератора Анищенко – Астахова):

x = mx + y xz, & y = x, (11.2) & z = gz + 0.5 g (x + x )x.

& Информационный сигнал представлял собой значения интенсивности окраски пикселов (256 возможных значений в шкале серого) на портрете Эйнштейна (рис.11.2,а). Информационным сигналом модулировались значения параметра g в интервале [0.15, 0.25] при m = 1.5. Информация передавалась с помощью переменной (t ) = y (t ), к которой добавлялся слабый шум. Сигнал в канале связи выглядит просто шумом (рис.11.2,б).

Если структура динамической системы – генератора сигнала – неизвестна, то восстановить передаваемую информацию невозможно, или, по крайней мере, очень сложно. Результаты восстановления сигнала «в приемнике» с помощью реконструкции по временному ряду представлены на рис.11.2,в.

Глава 11. Практические приложения эмпирических моделей Рис.11.2. Передача информации с помощью реконструкции: а) исходное изображение (500 на 464 пиксела);

б) сигнал y в канале связи;

в) восстановленное изображение [185] В рассмотренном примере передавался только один скалярный информационный сигнал g (t ), хотя можно менять одновременно несколько параметров генератора. На практике возникают связанные с наличием шумов в канале связи ограничения на количество одновременно передаваемых сигналов c0,k (t ), которые можно успешно восстановить по наблюдаемой реализации (t ) [185]. Развитие тематики представлено в [139, 288].

11.3. Определение характера связи между осцилляторами Из параметров эмпирических моделей может быть извлечена и полезная физическая информация. В работе [295] предложен подход к решению важной во многих областях практики задачи – определение направления взаимодействия между двумя колебательными системами только по их временным рядам. Это важно, например, для локализации эпилептического фокуса (очага патологии) по записям электро- или магнитоэнцефалограмм, поскольку предположительно для некоторых видов эпилепсии (фокальной эпилепсии) именно усиление воздействие очага патологии на соседние области может вызывать эпилептические припадки. Определив, какая из областей активнее действует на другие перед припадком, можно было бы сказать, что близко к ней расположен эпилептический фокус.

Причем особенно важно уметь выявлять слабую связь, т.к. для обнаружения сильной связи существует достаточно много хорошо зарекомендовавших себя методов (взаимная корреляционная функция, функция когерентности и т.д.). Для определения слабой связи была предложена методика, основанная на реконструкции модельных уравнений фазовой динамики. В качестве модельных переменных выступают именно фазы колебаний осцилляторов (см. п. 6.4.3), поскольку они наиболее чувствительны к внешним воздействиям [137]. Теоретической основой методики является предположение, что фазовая динамика систем X и Y Часть II. Моделирование по временным рядам подчиняется следующей достаточно простой и, в то же время, универсальной системе стохастических дифференциальных уравнений:

d x dt = x + Fx ( x, y ) + x, (11.3) d y dt = y + Fy ( x, y ) + y, где x, y (t ) – «развернутые» фазы колебаний систем X и Y, x, y – параметры, определяющие циклические частоты колебаний, Fx, y – функции, 2-периодические по обоим аргументам (из-за физического смысла фаз), x, y – нормальные белые шумы. Система (11.3) адекватно отражает свойства широкого круга колебательных процессов в случае, когда исследуемые системы X и Y имеют ярко выраженные основные ритмы колебаний [286, 174], что требуется для корректного определения фазы, см. п. 10.1.

Методика выявления связи по временному ряду состоит в следующем.

По имеющимся временным рядам от первой и второй систем – x(t ) и y (t ) – рассчитываются реализации фаз сигналов – x (t ) и y (t ) – с помощью известных методов (п. 6.4.3) [137, 262]. Модель строится не точно в виде (11.3), а в похожей форме, которая более удобна для построения по временному ряду. Это системы стохастических разностных уравнений:

x (t + ) x (t ) = f x ( x (t ), y (t ), c x ), (11.4) y (t + ) y (t ) = f y ( x (t ), y (t ), c y ), где – фиксированный интервал, примерно равный характерному периоду колебаний, f x, y – тригонометрические многочлены невысокого порядка:

( ) f x ( x, y ) = a0x ) + amx,) cos(m x + n y ) + bmx,n sin (m x + n y ), ( ( () n m,n (11.5) + (a )).


cos(m x + n y ) + bmy,n sin (m x + n y f y ( x, y ) = a0 y ) ( ( y) () m,n m,n Это тот случай, когда тригонометрическая система – наилучший базис для аппроксимации, т.к. функции f x, y, входящие в уравнения (11.4), должны быть 2-периодичны из-за физического смысла своих аргументов – фаз.

Коэффициенты многочленов оценивают обычным МНК. По (, полученным оценкам a mx,,ny ), bmx,ny ) рассчитываются оценки силы ( воздействия систем друг на друга. Степень влияния с 2 x системы Y на y систему X определяется крутизной зависимости функции f x от фазы y и аналогично для с x y :

Глава 11. Практические приложения эмпирических моделей 2 (f x ( x, y, am,n, bm,n ) y ) d x d y, 1 ( x) ( x) с y x = 2 0 (11.6) 2 (f y ( x, y, am,n, bm,n ) x ) d x d y.

1 ( y) ( y) с x y = 2 0 Нормированный индекс направленности связи определяется как с x y с y x d ( x y ) =. (11.7) с x y + с y x Он принимает значения от -1 до 1 (т.к. величины с y x, x y положительны по способу их расчета). Он положителен, если сильнее действует система X на систему Y, отрицателен – в противоположном случае;

равен 1 по модулю при однонаправленной связи, нулю – при симметричной связи.

Чувствительность методики к слабой связи была показана в численных экспериментах [295]. Условием ее применимости при существенных уровнях динамических шумов x, y в исходных системах является большая длина тренировочного ряда (типичные числа – порядка 1000 характерных периодов). Она уже дала интересные результаты при исследовании сложного реального процесса, где такие ряды были доступны. Речь идет о взаимодействии между сердечно-сосудистой и дыхательной системами человека в [294]. Согласно проведенным исследованиям, характер этого взаимодействия у младенцев меняется с возрастом от симметричного до преимущественного воздействия дыхательной системы на сердечно-сосудистую. Такая информация представляет интерес для физиологов, т.к. дает дополнительные аргументы для той или иной теоретической точки зрения.

Но применение методики на практике часто сталкивается с существенными трудностями, когда исследуемые временные ряды нестационарны. Важно выявлять взаимодействие между областями мозга по электроэнцефалограммам, но интервал их квазистационарного поведения (порядка десятка секунд) не более примерно 100 характерных периодов для любых «физиологических ритмов». Этого слишком мало для получения надежных результатов. При анализе нестационарных рядов приходится делить их на относительно короткие сегменты и рассчитывать направление связи отдельно для каждого сегмента. Попытка применить описанную методику к таким коротким рядам приводит к получению смещенных оценок. Причины показаны в работе [313], где введены поправки к оценкам с x y и с y x. Новые оценки обозначены x y и y x.

2 Для характеристики направленности связи использована величина = x y y x. Выведены формулы и для 95%-ных доверительных Часть II. Моделирование по временным рядам интервалов, что позволяет оценивать статистическую значимость результатов, полученных по отдельной реализации.

Пример применения уточненных оценок для анализа двухканальной ЭЭГ пациента с височной эпилепсией представлен на рис.11.3. Перед эпилептическим припадком выявляется усиление воздействия височной доли коры на гиппокамп (рис.11.3,в). Результат согласуется с предварительной информацией клиницистов о том, что очаг патологии расположен в коре. Это позволяет рассчитывать на то, что методика окажется полезной как дополнительное средство для локализации эпилептического фокуса (очага патологии) [315]. Однако для такого вывода требуется исследование больших ансамблей данных, которое пока отсутствует.

Представленные результаты представляют интерес для фундаментальных физиологических исследований и для прикладных задач медицинской диагностики [213]. Сопоставление описанного метода с другими известными методами анализа связанности проведено в работе [312].

Рис.11.3. Внутричерепные ЭЭГ: а) гиппокамп, б) височная доля коры (эпилептический фокус). в) Индекс направленности связи со своим 95%-ным доверительным интервалом (серый шлейф). Пунктиром отмечены начало и конец эпилептического припадка.

Индекс значимо меньше нуля (влияние неокортекса на гиппокамп) перед припадком 11.4. Другие приложения В заключение, кратко отметим еще некоторые из разнообразных приложений эмпирических моделей.

1) «Прогноз бифуркаций» в слабонеавтономных системах [206, 123, 166, 225]. В ситуации медленного изменения параметров объекта по последовательным сегментам временного ряда строятся модели одинаковой структуры. Оценки их параметров медленно меняются при переходе от одного сегмента к другому. По полученному временному ряду значений параметров с j, j = 1,..., M строят модель для прогноза будущего изменения параметров, например, в виде явной временной зависимости (п. 7.4.1). Для каждого будущего момента времени j получают предсказанное значение параметров и фиксируют, какому режиму Глава 11. Практические приложения эмпирических моделей динамики автономной системы оно соответствует. Таким образом, можно предсказать изменение наблюдающегося динамического режима, т.е.

бифуркацию в автономной системе, которая произойдет, когда значение c пересечет границу области значений параметров, соответствующую этому динамическому режиму. Прогноз бифуркаций возможен при тех жестких условиях, что модель адекватна для описания динамики объекта в широкой области пространства параметров, включая и динамический режим, который должен наблюдаться после бифуркации, и границы области существования текущего динамического режима в пространстве параметров.

2) Восстановление сигнала внешнего воздействия по хаотической временной реализации одной динамической переменной неавтономной системы. Это полезно, если сигнал воздействия несет важную информацию и не может быть измерен непосредственно, а доступен наблюдению только результат его воздействия на некоторую нелинейную систему. В работе [67] проиллюстрирована на численном примере принципиальная возможность такого восстановления, где внешнее воздействие – не обязательно медленно меняющееся.

Необходимые условия: структура системы, на которую осуществляется воздействие, и способ внесения этого воздействия должны быть известны априори;

должен быть доступен и временной ряд от автономной системы. Сначала по этому ряду оцениваются параметры автономной системы. Затем, используя полученные оценки, восстанавливается реализация внешнего воздействия по наблюдаемому ряду от неавтономной системы.

3) Классификация сигналов. Одной из важных задач является задача разделения объектов на группы (классы) схожих между собой на основе экспериментальных данных. Общим подходом к классификации сигналов является введение понятия расстояния между двумя сигналами, расчет расстояний попарно между всеми сигналами и на основании матрицы расстояний разбиение их на группы (кластеры) с помощью одного из известных алгоритмов. Различные алгоритмы кластеризации изучаются таким разделом статистики как кластерный анализ [87]. Одним из вариантов введения расстояния между сигналами может быть оценка отличия эмпирических моделей, построенных по сигналам [252].

В этих терминах можно сформулировать и задачу выделения квазистационарных сегментов п. 11.1: различные сегменты одного сигнала рассматриваются как различные сигналы, которые на основе диаграммы возвратов объединяются в кластеры – квазистационарные участки.

4) Управление техническими объектами реализуется регулировкой параметров объекта, к которым имеется доступ. Поиск оптимальных Часть II. Моделирование по временным рядам параметров реального устройства на практике может быть реализован следующим образом:

• провести измерения при различных параметрах объекта;

• построить эмпирическую модель с заданной структурой по каждому набору данных;

• выявить параметры модели, изменение которых соответствует изменению управляющих параметров объекта;

• исследуя модель, выявить параметры, оказывающие наибольшее влияние на характер ее динамики;

• исследуя модель, найти такие значения последних, которые обеспечивают «наилучший режим функционирования объекта»;

• задать значения параметров объекта, соответствующие найденным.

В работе [66] такой подход предложен и отчасти реализован в отношении системы стабилизации резонансной частоты и температуры секции линейного ускорителя электронов.

5) Расчет статистических характеристик аттракторов по коротким временным рядам [136]. Одной из важных задач нелинейного анализа хаотических временных рядов является расчет таких характеристик аттрактора, как ляпуновские показатели и фрактальная размерность [220-222, 253, 254, 337]. Но для надежной оценки этих величин без помощи математических моделей необходимы очень длинные (чтобы траектория много раз возвращалась в окрестность каждой своей точки) и достаточно «чистые» временные ряды, которые на практике не всегда могут быть получены по техническим причинам. Глобальная динамическая модель может быть успешно построена по гораздо более короткому ряду, если она содержит небольшое число параметров. Получив модель, рассчитывают ляпуновские показатели и размерность ее аттрактора (п. 2.1.4) и принимают полученные значения в качестве искомых оценок.

6) Тестирование на нелинейность и детерминизм [310, 326]. При исследовании динамики сложных объектов часто не удается получить адекватной модели, надежно оценить размерность и т.д. Приходится ставить более скромные вопросы, но они также могут быть достаточно важны и содержательны. Один из таких вопросов: является ли динамика исследуемой системы нелинейной? Ответ на него возможен с помощью эмпирических моделей. Одна их методик выглядит следующим образом.

Строятся локальные линейные модели с различным числом соседей k (пп. 10.2.1.4, 10.2.1.5). Строится график зависимости среднеквадратичной одношаговой ошибки прогноза, рассчитанной по тестовому ряду или «перекрестным прогнозом» (п. 7.2.3.4), от k. При значениях k, близких к длине тренировочного ряда, получаем глобальную линейную модель. При малых k – разные наборы коэффициентов в различных малых областях Глава 11. Практические приложения эмпирических моделей фазового пространства. Если исходный процесс – линейный, то ошибка прогноза уменьшается с ростом k, т.к. уточняются оценки параметров (используется большая окрестность) без нарушения адекватности модели.

Если процесс – нелинейный, то ошибка минимальна при некотором промежуточном k, когда оно достаточно велико, чтобы усреднить шум, но окрестность достаточно мала, чтобы линейная аппроксимация была пригодна. Таким образом, по графику (k ) можно сделать вывод о наличии нелинейности и оценить масштаб, на котором она проявляется [326].

7) Адаптивная фильтрация шума [223, 259, 217]. В наиболее общей постановке имеется наблюдаемый сигнал (t ), который состоит из смеси «полезного» сигнала X (t ) и «мешающего» сигнала (t ) – шума:

(t ) = X (t ) + (t ). (11.8) Задача состоит в том, чтобы выделить сигнал X(t), т.е. получить сигнал X (t ), который меньше отличается от X(t), чем наблюдаемый сигнал (t ) [223]. Выражение (11.8) соответствует часто обсуждавшейся в главах 7 и 8 ситуации измерительного шума. Особенно этот шум мешал численному дифференцированию, где для его снижения использовался фильтр Савицки – Голэя (п. 7.4.2) – вариант линейной фильтрации [147].

Но все линейные фильтры основаны на предположении о том, что «интересная» динамика X (t ) и шум (t ) имеют различные характерные масштабы, т.е. их мощности сосредоточены в различных полосах частот (п. 6.4.2.1). Как правило, шум предполагается очень высокочастотным (на этом основано применение фильтра Савицки – Голэя для дифференцирования) или очень низкочастотным (медленный дрейф среднего значения и т.п.).

Однако может оказаться, что шум имеет те же временные масштабы, что и сигнал. При этом линейная фильтрация не поможет, но может быть эффективной нелинейная фильтрация, которая основана на построении и использовании нелинейных моделей. Основная идея очень проста.

Остатки модели (t ) (п. 7.3) являются оценками шума (факторов, которые не объясняются построенной моделью). Тогда можно получить оценку сигнала, вычитая из наблюдаемой (t ) оценки шума (t ) :

X (t ) = (t ) (t ).

(11.9) Вариантов реализации подхода множество. В одной из первых работ [223] использовались локальные линейные модели. Здесь играют ключевую роль проблемы подбора размерности модели и вида аппроксимирующих функций, поскольку неадекватная модель дает Часть II. Моделирование по временным рядам смещенные оценки X (t ), которые могут быть совсем не похожими на истинный сигнал X (t ), т.е. происходит не фильтрация шума, а дальнейшее искажение сигнала.

8) Наконец, напомним еще раз такую перспективную возможность приложений, как восстановление характеристик нелинейных элементов электрических цепей и других систем с помощью моделирования в постановке «серый ящик» (см. п. 9.3). Характеристики восстанавливаются с помощью модели даже в режимах больших амплитуд и хаоса, когда они могут быть недоступны измерению с помощью обычных средств. Этот подход успешно реализован для исследования динамических характеристик конденсатора с сегнетоэлектриком [236], полупроводниковых элементов [322, 328], волоконно-оптических систем [333].

Заключение Математическое моделирование – один из основных методов научного исследования, которому посвящено множество учебников и монографий. В каждом из них выделяются те или иные аспекты темы:

модели, разработанные в конкретной области науки, особенности того или иного вида математического аппарата, приложения в технике, использование в задачах системного анализа и автоматического управления и т.д. Главной особенностью данной книги является обращение к развиваемым в последние годы в рамках нелинейной динамики методам построения динамических моделей сложных (включая хаотические) процессов по временным рядам.

Это направление исследований, начавшись с задач аппроксимации экспериментальных зависимостей гладкими функциями, переживало взлеты и падения интереса со стороны научной общественности. Так, взлет 1980-х – начала 1990-х был связан с надеждами на концепцию динамического хаоса, с доказательством известных теорем Такенса, с появлением мощной вычислительной техники. Казалось, что вот-вот – и конструирование моделей по рядам данных будет поставлено «на поток».

Но затем последовало разочарование, вызванное частыми практическими неудачами разрабатывавшихся универсальных подходов.

Задачи математического моделирования сложных процессов в общем случае не могут быть решены с помощью готовой технической процедуры.

Они остаются, и, по всей видимости, всегда останутся в значительной степени искусством. Здесь вряд ли возможны универсальные методики, пригодные на все случаи жизни. Но для определенных классов объектов удается разработать рецепты решения таких задач, и это представляется перспективным направлением исследований. Давайте вспомним, что пятьдесят лет тому назад изготовление элементов полупроводниковой техники тоже было искусством, а получение двух одинаковых диодов – неразрешимой проблемой. Теперь же достижения технологии позволяют формировать идентичные процессоры, состоящие из миллионов транзисторов.

Не все специалисты разделяют такое оптимистическое отношение к проблеме. Но, какие бы ни были перспективы, уже то, что достигнуто в этой области, достойно изучения и применения в практике. Наш опыт преподавания в университете показывает, что эта тематика вызывает большой интерес у студентов и аспирантов. Доклады по затронутым в книге проблемам на научных конференциях различного профиля также вызывают содержательное обсуждение. Мы надеемся, что предлагаемая книга усилит этот интерес и привлечет внимание не только тех, кто хочет «предсказать курс доллара на завтра», но и специалистов из различных отраслей науки, техники, медицины. Естественно, она является лишь «экскурсом в…», а не исчерпывающим изложением, наверное, вечного вопроса о возможностях математического моделирования объектов и явлений природы.

Библиографический список 1. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968.

2. Андрееев К.В., Красичков Л.В. Моделирование электрической активности нейрона с помощью кусочно-непрерывных отображений // Письма в ЖТФ.

2002. Т. 29, № 13. С. 46-52.

3. Андреев Ю.В., Дмитриев А.С. Запись и восстановление изображений в одномерных динамических системах // Радиотехника и электроника. 1994.

Т. 39, вып. 1. С. 104-113. См. сайт [343].

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

5. Анищенко В.С. Аттракторы динамических систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, № 1. С. 109-127.

6. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

7. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. Взаимосвязь частотных и фазовых характеристик хаоса. Два критерия синхронизации // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, № 1. С. 1-7. См. сайт [348].

8. Анищенко В.С., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации // ЖТФ. 1998.

Т. 68, № 12. С. 1-8. См. сайт [348].

9. Анищенко В.С., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 7. С. 1-6. См.

сайт [348].

10. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор) // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т.8, № 1. С. 29-51.

11. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, вып. 3.

С. 313-319.

12. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Пределы предсказуемости для линейных авторегрессионных моделей // Радиотехника и электроника. 1995.

Т. 40, вып. 12. С. 1866-1873.

13. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

14. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.

Библиографический список 15. Арнольд В.И. О представлении функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных // Математическое просвещение. 1958. Вып. 3. С. 41-61.

16. Астафьев Г.Б., Короновский А.А., Храмов А.Е. Клеточные автоматы (учебно-методическое пособие). Саратов: «Колледж», 2003. 24 с.

17. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

18. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнёв Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15, вып. 3. С. 60-65. См. сайт [347].

19. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах // Изв. вузов. Радиофизика. 1991. Т. 34, № 1.

С. 35-39. См. сайт [347].

20. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П.

Мультистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36, № 11.

С. 2167-2170. См. сайт [347].

21. Афраймович В.С., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький: ИПФ АН СССР, 1989. 254 с.



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.