авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики ...»

-- [ Страница 4 ] --

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Isotherms Ra=1.e+6 Isotherms Ra=1.e+7 Isotherms Ra=2.e+ Isotherms Ra=1.e+3 Isotherms Ra=1.e+4 Isotherms Ra=1.e+ Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, продолжение на следующей странице В. О. Пиманов и И. С. Калачинская Iso-v contours Ra = 1.e+3 Iso-v contours Ra = 1.e+4 Iso-v contours Ra = 1.e+5 Iso-v contours Ra = 1.e+6 Iso-v contours Ra = 1.e+7 Iso-v contours Ra = 2.e+ Iso-u contours Ra = 1.e+3 Iso-u contours Ra = 1.e+4 Iso-u contours Ra = 1.e+5 Iso-u contours Ra = 1.e+6 Iso-u contours Ra = 1.e+7 Iso-u contours Ra = 2.e+ Streamline Ra = 1.e+3 Streamline Ra = 1.e+4 Streamline Ra = 1.e+5 Streamline Ra = 1.e+6 Streamline Ra = 1.e+7 Streamline Ra = 2.e+ Задача о свободной конвекции Iso-u contours Ra = 4.e+ Isotherms Ra=4.e+ Iso-v contours Ra = 4.e+ Streamline Ra = 4.e+ Iso-u contours Ra = 1.e+ Isotherms Ra=1.e+ Iso-v contours Ra = 1.e+ Streamline Ra = 1.e+ Таблица 3. В первой колонке изолинии функции тока, во второй x-проекции скорости (u), В третьей y-проекции скорости (v), в температуры (T ). Число Релея принимает значения последней Ra = 103, 104, 105, 106, 107, 2107, 4107, Качественно решение, полученное в [2], и представленное решение совпадают. Наблюдается центральная симметрия.

Сравнение Решения с другими авторами Все таблицы для сравнения взяты из статьи [2], добавлен столбец Пр., в котором представлены результаты расчета пре зентуемого метода. Результаты для метода конечных элемен тов (МКЭ), метода дискретной сингулярной свертки (ДСС) и других методов (Другие) представлены в статье [2] для срав нения.

В таблицах представлены максимальная вертикальная про екция скорости на горизонтальной линии, проходящей через центр каверны (y = 0.5) (Таблица 4), максимальная горизон тальная проекция скорости на вертикальной линии, проходя щей через центр каверны (x=0.5) (Таблица 5), максимальное значение вертикальной и горизонтальной проекций скорости и их координаты (Таблица 6, 7), а также максимальное, мини мальное и среднее значения числа Нуссельта на горячей стен Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 182 В. О. Пиманов и И. С. Калачинская ке (Таблица 8). В скобках указанны координаты, в которых достигается экстремум. Расчеты были проведены при числах Релея 103, 104, 105, 106, 107, 2107, 4107, 108.

Таблица 4. Максимум вертикальной проекции скорости на горизон тальной прямой, проходящей через центр каверны, и его координата в скобках. Пр. представляемый метод Другие [2] МКЭ [2] ДСС [2] Пр.

103 3.679 3.692 3.73 3.6962 3.686 3.686 3. (0.179) (0.1827) (0.1790) (0.188) (0.183) (0.181) 104 19.51 19.63 19.9 19.6177 19.79 19.98 19. (0.12) (0.1246) (0.1195) (0.12) (0.117) (0.120) 105 68.22 68.85 70.0 68.6920 70.63 70.81 68. (0.066) (0.068) (0.0665) (0.072) (0.070) (0.066) 106 216.75 221.6 228 220.833 227.11 227.24 220. (0.0287) (0.039) (0.0280) (0.040) (0.040) (0.041) 107 - 702.3 698 703.253 714.48 714.47 699. (0.0235) (0.0215) (0.022) (0.021) (0.022) 2107 - - - - 995.33 1017.84 990. (0.0156) (0.02) (0.019) 4107 - 1417 - - 1435.5 1419.84 1400. (0.0156) (0.0133) (0.0179) 108 - - - 2223.44 2259.08 2290.13 2226. (0.013) (0.012) (0.013) (0.0127) Таблица 8. Максимальное, минимальное и среднее значения числа Нуссельта на горячей стенке при числах Релея. В скобках указаны координаты, в которых достигается экстремум.

Ra Nu Другие [2] МКЭ [2] ДСС [2] Пр.

103 Макс 1.50 1.47 1.5062 1.501 1.444 1. (0.092) (0.109) (0.089) (0.08) (0.091) (0.087) Мин 0.692 0.623 0.6913 0.691 0.665 0. (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (0.999) Ср. 1.12 1.074 - 1.117 1.073 1. продолжение на следующей странице Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Задача о свободной конвекции Ra Nu Другие [2] МКЭ [2] ДСС [2] Пр.

104 Макс 3.53 3.47 3.5305 3.579 3.441 3. (0.143) (0.125) (0.1426) (0.13) (0.1333) (0.147) Мин 0.586 0.497 0.5850 0.577 0.582 0. (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (0.999) Ср. 2.243 2.084 - 2.254 2.155 2. 105 Макс 7.71 7.71 7.7084 7.945 7.662 7. (0.08) (0.08) (0.0835) (0.08) (0.085) (0.079) Мин 0.729 0.614 0.7282 0.698 0.678 0. (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (0.999) Ср. 4.52 4.3 - 4.598 4.352 4. 106 Макс 17.92 17.46 17.5308 17.86 17.39 17. (0.038) (0.039) (0.0376) (0.03) (0.04) (0.039) Мин 0.989 0.716 0.9845 0.9132 0.903 0. (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (0.999) Ср. 8.8 8.743 - 8.976 8.632 8. 107 Макс - 30.46 41.0247 38.6 31.02 39. (0.024) (0.0389) (0.015) (0.02) (0.018) Мин - 0.787 1.3799 1.298 0.997 1. (1.0) (1.0) (1.0) (1.0) (0.999) Ср. - 13.99 - 16.656 13.86 16. 2107 Макс - - - 48.84 39.347 50. (0.015) (0.015) (0.013) Мин - - - 1.437 1.106 1. (1.0) (1.0) (0.999) Ср. - - - 19.97 15.46 19. 4107 Макс - - - 61.69 49.908 64. (0.015) (0.015) (0.011) Мин - - - 1.59 1.245 1. (1.0) (1.0) (0.999) Ср. - 23.46 - 23.96 18.597 23. 108 Макс - - 91.2095 91.16 68.73 89. (0.067) (0.010) (0.010) (0.076) Мин - - 2.044 1.766 1.428 1. (1.0) (1.0) (1.0) (0.999) Ср. - - - 31.486 23.67 30. Сравнивая результаты представленного метода с результа тами других авторов, можно заметить, что максимальное зна Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 184 В. О. Пиманов и И. С. Калачинская Таблица 5. Максимум горизонтальной проекции скорости на верти кальной прямой, проходящей через центр каверны, и его координата в скобках. Пр. представляемое решение Другие [2] МКЭ [2] ДСС [2] Пр.

103 3.634 3.68 3.6493 3.489 3.6434 3. (0.813) (0.817) (0.8125) (0.813) (0.8167) (0.818) 104 16.2 16.1 16.1798 16.122 15.967 16. (0.823) (0.817) (0.8235) (0.815) (0.8167) (0.831) 105 34.81 34.0 34.7741 33.39 33.51 34. (0.855) (0.857) (0.8535) (0.835) (0.85) (0.856) 106 65.33 65.4 64.6912 65.40 65.55 64. (0.851) (0.875) (0.8460) (0.86) (0.86) (0.856) 107 - 139.7 145.2666 143.56 145.06 147. (0.919) (0.8845) (0.922) (0.92) (0.879) 2107 - - - 175.28 175.22 192. (0.93) (0.93) (0.912) 4107 - - - 216.85 216.67 254. (0.93) (0.92) (0.938) 108 - - 283.689 296.71 295.67 310. (0.9455) (0.93) (0.94) (0.933) чение горизонтальной проекции скорости несколько завыше но, а максимальное значение вертикальной проекции скорости несколько занижено. Этот факт объясним тем, что расчеты МКЭ были проведены на сетке 301301, в то время как пред ставленные расчеты были проведены на сетке 128128. При числах Релея 108, по сравнению с МКЭ, результаты отличают ся примерно на 2-4%, что сравнимо с отличиями между резуль татами МКЭ и другими приведенными методами.

Заключение Был реализован и исследован конечно-разностный метод для решения системы уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска. Метод показал хорошие результаты по сравнению с другими авторами, и его можно успешно использовать на практике. Говоря о достоинствах метода, нельзя не отметить Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Задача о свободной конвекции Таблица 6. Максимальное значение горизонтальной проекции ско рости, в скобках координата точки экстремума. Пр. представ ляемое решение МКЭ [2] ДСС [2] Пр.

103 3.657 3.648 3. (0.512, 0.812) (0.516, 0.816) (0.490, 0.184) 104 16.14 15.968 16. (0.489, 0.812) (0.5, 0.816) (0.485, 0.826) 105 41.88 41.82 43. (0.281, 0.881) (0.29, 0.88) (0.300, 0.890) 106 114.3 114.53 128. (0.164, 0.927) (0.173, 0.93) (0.187, 0.935) 107 339.45 339.67 387. (0.108, 0.963) (0.106, 0.96) (0.120, 0.967) 2107 463.58 472.95 537. (0.079, 0.968) (0.093, 0.97) (0.106, 0.973) 4107 668.74 663.75 742. (0.075, 0.974) (0.08, 0.97) (0.093, 0.976) 108 1055.47 1006.26 1125. (0.07, 0.978) (0.066, 0.98) (0.076, 0.981) следующее:

• На сравнительно небольших сетках можно получить до статочно точное решение.

• Метод прост для понимания и реализации.

• Если использовать многосеточные методы решения урав нения для давления, их можно сравнительно легко и эф фективно распараллелить.

• В настоящей работе при числах Релея до 108 и сетках до 128128 расчеты выполнялись на персональном ком пьютере (1.83Гц) и максимальное время расчета часов. Персональный компьютер двуядерный, оба ядра по 1.83Гц, но, так как программа последовательная, од но ядро было не задействовано. Операционная система Windows.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 186 В. О. Пиманов и И. С. Калачинская Таблица 7. Максимальное значение вертикальной проекции скоро сти, в скобках координата точки экстремума. Пр. представляе мое решение МКЭ [2] ДСС [2] Пр.

103 3.962 3.69 3. (0.188, 0.488) (0.183, 0.483) (0.178, 0.490) 104 19.91 20.1 19. (0.119, 0.465) (0.116, 0.467) (0.116, 0.485) 105 70.81 70,83 68. (0.07, 0.488) (0.07, 0.49) (0.064, 0.500) 106 228.05 227.88 221. (0.037, 0.441) (0.04, 0.47) (0.035, 0.470) 107 720.54 720.43 701. (0.021, 0.439) (0.02, 0.44) (0.021, 0.470) 2107 1020.13 1019.08 991. (0.018, 0.438) (0.02, 0.48) (0.018, 0.485) 4107 1446.39 1435.36 1406. (0.016, 0.438) (0.013, 0.43) (0.013, 0.455) 108 2291.05 2293.67 2233. (0.013, 0.438) (0.013, 0.48) (0.011, 0.470) • Метод может быть использован для расчета трехмерных задач. Программу, решающую двухмерную задачу, доста точно легко модифицировать для решения трехмерной задачи. Если решать поставленную в статье задачу, то по третьей координате разумно ввести равномерную сет ку и периодические граничные условия. Тогда для реше ния уравнения для давления можно использовать быст рое преобразование Фурье.

Список литературы [1] N. Nikitin. Finite-dierence method for incompressible Navier–Stokes equations in arbitrary orthogonal curvilinear co ordinates // J. Comput. Phys. 217 (2006) 759–781.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Задача о свободной конвекции [2] D. C. Wan, B. S. V. Patnaik, G. W. Wei. A new benchmark quality solution for the buoyancy-driven cavity by discrete singular convolution // Numerical Heat Transfer, Part B:

Fundamental: An International Journal of Computation and Methodology, 40:3, 199-228. (2001)— http://dx.doi.org/ 10/1080/ Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 188 Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, УДК 517.956. О различных типах граничных условий для одномерного уравнения колебаний © 2013 г. А. М. Рогожников axelr@mail.ru Кафедра общей математики 1 Введение Настоящая работа связана с публикацией [9], где авто ром было получено решение смешанной задачи, описываю щей возбуждение продольных колебаний в составном стержне для трех классических типов граничных условий. Было показа но [10], что решение может быть модифицировано для исследо вания продольных колебаний нагруженных составных стерж ней, т.е. стержней с присоединенными точечными массами.

Актуальной в приложениях задачей является граничное управление колебаниями. Последнее подразумевает нахож дение функций граничного управления, переводящих стер жень из заданного начального состояния в заданное конечное за фиксированный промежуток времени T. При достаточно большом времени T решение задачи не единственно и есте ственным становится вопрос о нахождении в каком-то смыс ле оптимального управления. Оптимальность часто понимает ся в смысле минимизации энергии граничного управления, как это было сделано в работе [11], где на основании решения из ра боты [9] для частного случая представлен аналитический вид оптимального граничного управления. Последнее удается сде лать крайне редко, обычно результат в оптимальном управле нии это численный метод, строящий приближенное решение.

Формулы, описывающие решение смешанной задачи для волнового уравнения, представляют собой весьма уни версальный конструктор, отдельные компоненты которого Граничные условия для уравнения колебаний меняются в соответствии с конкретной задачей: её граничными условиями, количеством отрезков, наличием точечных масс.

Настоящая статья призвана внести ясность в часть, связанную с граничными условиями, а также послужить доступным введением в работу с этим конструктором. Попутно будет продемонстрирована применимость метода к широкому классу граничных условий.

2 Классические граничные условия Начнем исследование с простейшего случая, обычно излага емого в курсах математической физики, а именно, рассмотрим продольные колебания однородного стержня, расположенного на отрезке [x0, x1 ], с линейной плотностью и модулем Юнга k.

Последние описываются уравнением utt (x, t) = a2 uxx (x, t) при (x, t) Q = (x0, x1 ) (0, T ) (1) где a = k/ скорость распространения сигнала в стержне.

Волновое уравнение (1) было исследовано ещё в XVIII-м ве ке, тогда же было установлено, что его произвольное решение представимо в виде бегущих волн [12, стр. 55]:

u(x, t) = f1 (x at) + f2 (x + at).

В большинстве современных работ ищутся обобщенные реше ния, принадлежащие таким классам, где уравнение (1) бес смысленно, поскольку производные, входящие в него, не опре делены. Вместо этого вводится определение слабого решения, но в данном очерке для простоты мы эти детали опустим, хотя заметим, что решения смешанных задач, которые будут пред ставлены, являются также и слабыми решениями и будут при надлежать соответствующим классам. Будем далее занимать ся поиском классических решений, например, принадлежащих классу C 2 (Q) C 1 (Q).

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 190 А. М. Рогожников Чтобы сконцентрировать наше внимание на граничных условиях, будем считать стержень изначально покоящимся, что соответствует случаю однородных начальных условий.

(2) u(x, 0) = 0 ut (x, 0) = 0 x [x0, x1 ] Классическими являются граничные условия следующих трех родов:

1. Управление смещением. На левом и правом концах усло вие будет иметь вид:

u(x0, t) = µ(t) u(x1, t) = (t).

В классическом случае функции граничного управления µ(t) и (t) должны быть согласованы с однородными на чальными условиями: µ(0) = (0) = µ (0) = (0) = 0, однако для слабых решений эти условия необязательны, поэтому на условиях согласования мы тоже не станем за острять внимание, просто полагая их выполненными 2. Управление упругой силой, условие записывается следу ющим образом:

ux (x0, t) = µ(t) ux (x1, t) = (t) 3. Условия упругого закрепления следующего вида (h 0) ux (x0, t) hu(x0, t) = µ(t) ux (x1, t) + hu(x1, t) = (t) Разумеется, граничные условия на разных концах могут быть различных типов, более того, никаких ограничений на вы бор пар граничных условий нет конкретные граничные усло вия должны диктоваться моделью прикладной задачи. Оста новим свое внимание на примере конкретной пары граничных условий, например, первого и второго рода:

(3) u(x0, t) = µ(t) ux (x1, t) = (t) Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний Как уже говорилось, решение смешанной задачи (1), (2), (3) раскладывается в сумму бегущих волн, которую мы на сей раз запишем в следующем виде:

x x0 x x (4) u(x, t) = U t +U t+ a a Для простоты мы можем считать, что функции U (t) и U (t) определены на всей прямой и равны нулю при t 0, что сразу гарантирует выполнение однородных начальных условий. За пишем, какие условия на функции U (t) и U (t) накладывают граничные условия (3):

x0 x u(x0, t) = U (t) + U t+ = µ(t) a 1 x1 x U t + U (t) ux (x1, t) = = (t) a a Утверждается, что эти условия могут быть удовлетворены, и притом единственной парой функций U (t) и U (t). Введем обозначение t1 = (x1 x0 )/a для времени прохождения волны от одного конца стержня до другого и перепишем полученные условия, проинтегрировав второе и приняв во внимание, что U (t) = U (t) = 0 при t 0:

U (t) + U (t t1 ) = µ(t) t U (t t1 ) + U (t) = a ( )d и запишем систему в следующем виде:

(5) U (t) = U(t t1 ) + µ(t) U (t) = U (t t1 ) + (t), Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 192 А. М. Рогожников где введены обозначения для известных функций в правой ча сти:

0 t 0 t0 t µ(t) = (t) = a ( )d t µ(t) t 0 Примечательно, что выражения µ(t) и (t) представляют собой волны, порождаемые граничными условиями. Рассмотрим, на пример, волновое уравнение на полуоси (, x1 ], и избавимся от левого граничного условия, оставив только правое:

ux (x1, t) = (t), полубесконечный стержень будем снова считать изначально покоящимся. Тогда возбужденные единственным граничным условием колебания будут иметь вид x x u(x, t) = t +, a и подобная ситуация является общей: в правой части систе мы (5) (или аналогичной ей) будут находиться функции, опи сывающие волны, порожденные отдельными локальными гра ничными условиями. Решение системы с задержками (5), как и многих других схожих систем неявно было получено акаде миком В.А. Ильиным, академиком Е.И. Моисеевым и их уче никами при рассмотрении различных пар граничных условий (см. например обзорную работу [2]), однако до настоящего вре мени регулярной процедуры решения предложено не было. Из лагаемый далее метод решения претендует на регулярность и опирается на следующие определения:

Определение 1. Введем V линейное пространство непре рывных вещественнозначных функций, заданных на R, и об ращающихся в нуль при t t0, где величина t0 может быть различна у разных функций.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний Определение 2. Линейное пространство, состоящее из век торов с элементами из V, обозначим через V n.

Определение 3. Введем оператор задержки P ( R вре мя задержки), действующий в пространстве V следующим образом:

(P f )(t) = f (t ) f V Пример 1. Следующие функции принадлежат V : f1 (t) = = (t) sin(t), f2 (t) = (t) t cos(t), f3 (t) = 0 (здесь (t) функ ция Хевисайда), также справедливо f1 + f f f2, V 3.

f3 2f f Обратим внимание, что аргумент функции не пишется, ес ли она рассматривается как элемент пространства V. Запишем систему (5) в новых терминах:

= Pt1 U + µ U = Pt1 U +.

U Введя оператор C, действующий в пространстве V 2 :

U Pt1 U = C, U Pt1 U снова упростим систему (E тождественный оператор):

U µ (6) (E C) = U Если бы, например, оператор C был сжимающим, и простран ство V 2 было бы полным, решение можно было бы записать в виде ряда Неймана + U µ Cm (7) =.

U m= Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 194 А. М. Рогожников Нетрудно убедиться, что после введения следующей метрики на V n, оба эти условия будут выполнены:

n (xi, yi ) x, y V n, n (x, y) = i= где (x, y) метрика на пространстве V, заданная следующим образом:

при f = g (f, g) = etmin иначе, здесь tmin = inf{t | t R, f (t) = g(t)}, более того, ряд, стоящий в правой части (7) будет сходиться в этой метрике. Смысл такой сходимости в следующем: если n (xm, x) 0 при m +, то для любой заданной полу оси (, t0 ] начиная с некоторого номера M (t0 ) векторы xm и x начнут совпадать на этой полуоси. Это свойство позволяет заключить, что на промежутке [0, T ] функции U и U задают ся конечным числом слагаемых ряда, стоящего в правой части (7). Зная конкретный вид оператора C, можно заключить, что слагаемые с m T /t1 уже не дают вклад.

Полученное решение можно привести к более привычному виду, однако мы этого делать не будем. Формула (7) дает один из способов точного вычисления решения (правда при извест ной функции (t), но последняя может быть получена весьма точно при помощи численного интегрирования). Ряд, фигури рующий в правой части, надо ограничить до первых T /t членов, и в них раскрыть степени оператора C, которые в дан ном случае будут иметь довольно простой вид. Другой способ, тоже дающий точный ответ, значительно проще реализуется на ЭВМ, и состоит в использовании формулы (5), которая позво ляет свести вычисление U (t) к вычислению U (t t1 ), а вычис ление U (t) к U (t t1 ). В результате мы получаем цепочку ре курсивных вызовов, которая обрывается при t 0: как мы до говорились, функции U (t) и U (t) обращаются в нуль при t t0.

К вопросу вычислений мы ещё вернемся.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний 3 Граничные условия третьего рода В качестве второго примера рассмотрим систему с двумя граничными условиями третьего рода (при h1, h2 0) ux (x0, t) h1 u(x0, t) = µ(t) ux (x1, t) + h2 u(x1, t) = (t).

Решение снова представляется в виде бегущих волн (4). На кладываемые граничными условиями ограничения на функции U (t) и U (t) выглядят следующим образом:

ux (x0, t) h1 u(x0, t) = U (t) + U (t t1 ) h1 U (t) + U(t t1 ) = µ(t) = a ux (x1, t) + h2 u(x1, t) = U (t t1 ) + U (t) + h2 U (t t1 ) + U (t) = (t) = a Проинтегрировав получившиеся дифференциальные уравне ния первого порядка, получим:

t 2h1 aU (t t1 ) aµ(t ) eh1 a d U (t) = U (t t1 ) + t (2h2 aU (t t1 ) + a(t )) eh2 a d U (t) = U (t t1 ) + Продолжим функции µ(t) и (t) нулем при t 0, тогда эти вы ражения можно значительно упростить, используя операцию свертки:

= Pt1 U 2h1 a U (t)eh1 at aµ (t)eh1 at U = Pt1 U 2h2 a U (t)eh2 at + a (t)eh2 at U Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 196 А. М. Рогожников Снова обозначим фигурирующие в правых частях известные функции через µ и :

µ = aµ (t)eh1 at = a (t)eh2 at Также введем оператор эха E, который строит по приходящей волне отраженную при граничном условии третьего рода:

E f = f 2 f (t)et f V, 0, тогда уравнения можно записать следующим образом:

= Pt1 Eh1 a U + µ U = Pt1 Eh2 a U + U Снова можно ввести оператор C и, убедившись, что он сжима ющий, записать с его помощью решение:

+ U U µ PE U = t1 h1 a Cm = C.

U Pt1 Eh2 a U U m= Подобная техника позволяет, например, получить решения смешанных задач, рассмотренных в [4, 6, 7].

4 Граничные условия с участием скорости на конце Часто также в приложениях используются локальные гра ничные условия, в которых фигурирует значение скорости. На пример, граничное условие (8) ut (x0, t) aux (x0, t) = называется поглощающим, поскольку полностью поглощает волну, пришедшую в левый конец. В вычислительных прило жениях подобные условия нужны для возможности ограничить Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний моделируемую часть пространства при этом волны, кото рые должны покинуть регион, будут просто поглощены. Иные граничные условия при этом породили бы нежелательную от раженную волну. В модельных задачах (см., например, [13]) также используется условие ut (x0, t) + cux (x0, t) = 0 0 c a, a+c которое отражает волну, увеличивая её амплитуду в раз.

ac Рассмотрим линейные условия с участием функции и её первых производных:

ut (x0, t) + c1 ux (x0, t) + h1 u(x0, t) = µ(t) ut (x1, t) c2 ux (x1, t) + h2 u(x1, t) = (t).

Проводя дальнейшие рассуждения как в случае граничных условий третьего рода, получим:

c1 c U (t) 1 + h1 U (t) + U (t t1 ) 1 + + a a +h1 U (t t1 ) = µ(t), c2 c U (t) 1 + h2 U (t) + U (t t1 ) 1 + + a a +h2 U (t t1 ) = (t) Чтобы уравнения имели ограниченные решения, потребуем вы a a полнения c1 a, c2 a. Обозначим 1 =, 2 =, a c1 a c перепишем систему c U (t) + 1 h1 U (t) = 1 µ(t) 1 1 + U (t t1 ) 1 h1 U (t t1 ) a c U (t) + 2 h2 U (t) = 2 µ(t) 2 1 + U (t t1 ) 2 h2 U (t t2 ) a и запишем решение (для второго уравнения аналогично):

c 1 h1 U (t)e1 h1 t U = Pt1 2 h1 1 + a c Pt1 U + 1 µ (t)e1 h1 t 1 1 + a Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 198 А. М. Рогожников Таким образом, решение снова может быть выписано в виде ряда Неймана (7) с оператором (здесь ci легко восстанавли ваемые константы) c P U (t)e1 h1 t + c2 Pt1 U U = 1 t C, c3 Pt1 U (t)e2 h2 t + c4 Pt1 U U и порожденными граничными управлениями волнами µ = 1 µ (t)e1 h1 t = 2 (t)e2 h2 t.

5 Нагруженные концы Концы с прикрепленными точечными грузиками представ ляют ещё один распространенный класс граничных условий.

Представим, что на концах стержня находятся точечные гру зики с массами m1 и m2, при этом с левого конца управление происходит при помощи силы, а на правом конце имеется упру гое закрепление:

kux (x0, t) m1 utt (x0, t) = µ(t) kux (x1, t) + hu(x1, t) + m2 utt (x1, t) = (t).

Получаемые уравнения на функции волн уже второго порядка:

k (U (t) + U (t t1 )) m1 (U (t) + U (t t1 )) = µ(t) a k (U (t) U (t t1 )) + h(U (t) + U (t t1 )) + m2 (U (t)+ a + U (t t1 )) = (t) Проинтегрируем, например, первое уравнение:

t k k µ( )d U (t t1 ) + U (t) + U (t) = U (t t1 ) am1 m1 am Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний t 1 k kt kt µ( )d +Pt1 U + U = (t)e am1 U (t)e am m1 am Здесь мы воспользовались следующим свойством свертки:

P (f g) = (P f ) g = f (P g). Возможность перебрасы t вать производные в свертке, а также представление µ( )d = = (t) µ(t) позволяют упростить выражение:

a am k kt kt U= 1 1 (t)µ+Pt 1 U + 2 U (t)e am1 = e k am a amkt = Pt1 E k U + 1 1 (t) µ e k am Решение второго уравнения несколько более громоздко, однако получающийся в результате оператор C будет сжимающим.

6 Нелокальные граничные условия Рассмотрим нелокальные граничные условия, наиболее простой пример которых граничные условия Бицадзе– Самарского (см. [1]). Эти условия, связывающие значение функции на конце и в фиксированной внутренней точке стерж ня y0, могут принимать на левом конце следующий вид:

u(x0, t) = u(y0, t) u(x0, t) = u(y0, t) ux (x0, t) = ux (y0, t) ux (x0, t) = ux (y0, t).

Рассмотрим обобщения этого условия, т.н. многоточечные нелокальные граничные условия (здесь yi (x0, x1 ) внут ренние точки):

I u(x0, t) = ci u(yi, t) + µ(t) i= I ux (x0, t) = ci ux (yi, t) + µ(t) i= Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 200 А. М. Рогожников В качестве конкретного примера рассмотрим следующую пару условий:

I J u(x0, t) = ux (x1, t) = dj ux (zj, t)+(t), ci u(yi, t)+µ(t) i=1 j= которая приводит к системе I y i x0 y i x U (t) + U (t t1 ) = ci U (t ) + U (t + ) + µ(t) a a i= J zj x1 zj x U (t) U (t t1 ) = dj U (t + ) U (t )+ a a j= (9) t + a( )d Последнюю можно переписать в короткой форме (6), введя обо значения:

0, t 0, t0 t (10) µ(t) = (t) = a ( )d, t µ(t), t 0 I ci Py U + Py+ U Pt1 U U i i =, i= (11) C J U dj Pz U + Pz + U + Pt1 U j j j= y x0 + x1 y где y =,y = время прохождения сигнала a a от некоторой точки y до левого и правого концов стержня со ответственно. Нетрудно убедиться, что оператор C снова сжи мающий, и снова ответ может быть выписан в форме ряда (7).

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний Численное решение может быть получено раскрытием сте пеней оператора C (последнее приведет к алгоритму, аналогич ному представленному в работе [3]), но более простой в плане реализации метод состоит в использовании соотношений (9), которые позволяют свести вычисление U и U к ним же, но с меньшими аргументами. Краевым условием, не позволяю щим впасть в бесконечную рекурсию, опять выступает U (t) = = U (t) = 0 при t 0. Наивная реализация этого алгоритма имеет экспоненциальную по T сложность, небольшой модифи кацией можно добиться, чтобы его сложность стала O(tI+J+1 ), однако последнее также неприемлемо для приложений.

Поэтому приходится отказаться от точного нахождения ре шения и проводить вычисление функций U и U на решетке используя все те же соотношения (9) и интерполируя выраже ния в правых частях.

Перечисленными примерами, разумеется, нелокальные условия не исчерпываются. Например, может быть рассмот рено следующее условие на левом конце:

c0 ut (x0, t) + d0 ux (x0, t) + h0 u(x0, t)+ I (ci ut (yi, t) + di ux (yi, t) + hi u(yi, t)) = µ(t) (12) + i= смешанная задача с таким условием решается ровно так же (просто), как и предыдущие примеры. Отметим, что коэффи циенты, участвующие в (12), не совсем произвольны: физи ческие соображения требуют наличия ограниченных решений (это ограничение может быть записано как (ac0 d0 )h0 0).

Второе ограничение: при ac0 = d0, т.е. когда коэффициент при U (t) в получающемся уравнении обнулится, необходимо потребовать, чтобы никакие другие производные также не вхо дили в уравнение, что с неизбежностью влечет ci = di = при i = 0, 1,... I, в противном случае решение потеряет глад кость и мы не сможем включить его в какой-нибудь разумный класс.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 202 А. М. Рогожников Поскольку вместо двумерной сетки вычисления во всех приведенных случаях проводятся на одномерной, то произво дительность таких алгоритмов будет неизмеримо выше, чем у распространенного метода конечных разностей. Можно по казать, что точность при одинаковом шаге по времени также при этом будет выше.

7 Нелокальные по времени условия В выражении для граничного условия можно включить также слагаемые со значениями функции u(x, t) или её про изводных в разные моменты времени, к примеру, условие u(x0, t) = c u(y1, t 1 ) y1 (x0, x1 ), 1 связывает значение функции на левом конце и значение во внутренней точке в предшествующий момент времени. Ап проксимация поглощающего граничного условия (8) малое u(x0 + a, t ) u(x0, t) = 0 может рассматриваться как простейшее управление при гра ничном условии первого рода, когда в качестве управления выбирается функция µ(t) = u(x0 + a, t ), значения кото рой получаются из непосредственного наблюдения за стерж нем в точке x0 + a, близкой к концу стержня. Рассмотрим, например, следующую пару условий:

I (13) u(x0, t) = ci u(yi, t i ) + µ(t) i= I ux (x1, t) = di ux (yi, t i ) + (t).

i= Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний Представив, как и ранее, решение в виде бегущих волн, придем к системе I + U (t) + U (t t1 ) = ci U (t yi i ) + U (t yi i ) + µ(t) i= I + U (t) U (t t1 ) = di U (t yi i ) U (t yi i ) + i= t + a( )d, решение которой, разумеется, снова можно представить в ви де ряда Неймана с порожденными граничными волнами (10) и оператором C, который выписывается по формуле, анало гичной (11):

I ci Py +i U + Py+ +i U Pt1 U U i i =.

i= C I U di Py +i U + Py+ +i U + Pt1 U i i i= Здесь стоит отметить, что совершенно необязательно требо вать, чтобы величины i были неотрицательными. Чтобы опе ратор C был сжимающим, достаточно выполнения неравенств + yi + i 0 и yi + i 0, т.е. чтобы пары величин (yi, i ) ле жали в области, изображенной на рисунке 1. Случай i является нефизичным, поскольку в граничном условии фигу рируют данные из будущего. Тем не менее, если считать, что решение определено при t 0, оно дает корректную постанов ку. Объяснить это можно следующим образом: для решений волнового уравнения справедливо равенство (14) u(y1, t1 ) + u(y3, t3 ) = u(y2, t2 ) + u(y4, t4 ), Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 204 А. М. Рогожников Рис. 1. Допустимые значения (y, ) если точки (y1, t1 ), (y2, t2 ), (y3, t3 ) и (y4, t4 ) образуют параллело грамм со сторонами, параллельными характеристикам волно вого уравнения. Тогда слагаемое с i 0 в граничном условии можно заменить на три, но с i 0 у каждого. На самом деле почти любые комбинации I ci u(yi, t i ) = i= могут играть роль граничного условия, хотя, казалось бы, зна чение функции на конце не входит в выражение. Однако ис пользуя (14), можно преобразовать условие к выражению ви да (13).

8 Интегральные условия Не последнюю роль играют условия, в которые входят ин тегралы. Простейший пример интегральное условие с памя тью, например:

t u(x0, t) + ux (x0, )s(t )d = µ(t), Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний где s(t) заданная функция, определенная и непрерывно дифференцируемая при t 0. Доопределим её нулем при t 0, тогда U + Pt1 U s = µ.

U + Pt1 U + a Воспользовавшись свойством дифференцирования свертки, можем записать как s s(0) s(0) Pt1 U Pt1 U s, (15) 1 U U = µ 1 + a a a a где под s подразумевается классическая производная. При s(0) a последняя формула является интегральным уравне нием Вольтерра второго рода относительно неизвестной функ ции U с разностным ядром. Последнее решается, например, через преобразование Лапласа, его запаздывающее фундамен тальное решение1 G для уравнения (15) удовлетворяет равен ству s s(0) 1 G =, a a в котором два раза участвует дельта-функция Дирака. Реше ние же записывается с его помощью:

s(0) Pt1 U G Pt1 U s G.

U =µG 1+ a a Имея второе граничное условие, мы получим ещё одно соот ношение на функции U и U, после чего решение представим в виде (7) со сжимающим оператором C.

Также интерес представляют нелокальные интеграль ные условия, например условие Самарского (см. [5, стр. 140]) x вида x01 u(x, t)dx = 0, более общий вид которого (например, G, вообще говоря, является обобщенной функцией, однако представи ма в виде линейной комбинации дельта-функции и регулярной функции Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 206 А. М. Рогожников встречается в [8]):

x (16) K(x)u(x, t)dx = µ(t) x также несложно иcследовать. Подставив решение в виде бегу щих волн, получим x x x0 x x µ(t) = t +U t+ dx = K(x) U a a x t1 t =a K(x0 + a )U (t )d + a K(x1 a )U (t )dx = 0 = U K1 + U K2, введя дополнительно обозначения aK(x0 + at) t [0, t1 ], K1 (t) = 0 t [0, t1 ], aK(x1 at) t [0, t1 ], K2 (t) = 0 t [0, t1 ].

и продолжив µ(t) нулем при t 0, можем записать кратко U K1 + U K2 = µ, что является2 уравнением Вольтерра первого рода с разност ным ядром относительно U :

U K1 = µ U K2.

Если бы в граничном условии (16) было слагаемое u(x0, t), мы бы снова получили уравнение Вольтерра второго рода.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний Предположим, что мы знаем его запаздывающее фундамен тальное решение G, удовлетворяющее соотношению K1 G =.

В таком случае U = µ G U K2 G.

Обратим внимание, что оператор f (U ) = µG U K2 G не яв ляется сжимающим во введенной метрике, поэтому при на личии двух подобных условий сходимость ряда Неймана надо будет отдельно обосновывать. Если же, например, на правом конце поставлено условие Дирихле u(x1, t) = (t), то также имеется соотношение U + Pt1 U = (функцию также продол жим нулем при t 0). Запишем их вместе:

(17) = K2 G U + µ G U = Pt1 U + U Попытка непосредственно повторить уже привычные рассуж дения и ввести оператор U K2 G U = C Pt1 U U пока ничего нам не даст, потому что оператор C не является сжимающим3 в метрике 2. Рассмотрим квадрат оператора C:

Pt1 K2 G U U C2 =.

Pt1 K2 G U U Поскольку он является сжимающим, то ряд Неймана сходится и дает решение уравнений.

Тем не менее, в эквивалентной метрике (x, y) = (x1, y1 ) + et1 /2 (x2, y2 ) оператор C сжимающий, и для решения конкретной зада чи этим замечанием можно было ограничиться.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 208 А. М. Рогожников Рассмотрим пример ещё одного вида интегральных усло вий, нелокальных как по времени, так и по пространству, за даваемый формулой t x u(x0, t) + f (x, t )u(x, )dxd = µ(t) 0 x с некоторой фиксированной функцией f (x, t), которую доопре делим нулем при t 0. Подставляя вновь решение в виде (4), получим:

x1 + f (x, t )U ( x )d + µ(t) = U (t) + U (t t1 ) + dx x0 x1 + f (x, t )U ( x+ )d = + dx x0 x + f (x, t x )dx+ = U (t) + U (t t1 ) + d U ( ) x x + f (x, t x+ )dx, + d U ( ) x что можно кратко записать как интегральное уравнение Воль терра второго рода U + Pt1 U + U f1 + U f2 = µ, приняв обозначения для функций f1 и f2 (заметим, что обе равны нулю при отрицательных аргументах):

x1 x f (x, t x+ )dx f1 (t) = f (x, t x )dx f2 (t) = x0 x Решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода на ми уже было разобрано.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний 9 Нелинейные граничные условия Представленные примеры граничных условий ни в коем случае не претендуют на полноту: читатель может сложить несколько левых частей из приведенных граничных условий и получить новое, а затем исследовать его теми же (или схожи ми) средствами. Однако во всех примерах фигурируют линей ные условия, которыми приложения, увы, не ограничиваются.

Например, в статье [14] рассматривается следующее условие с памятью t u(x1, t) + (ux (x1, t))s(t )d = (t) с нелинейной функцией, а в статье [15] рассматривается ло кальное нелинейное условие ux (x1, t) = |u(x1, t)| u(x1, t) (18) c положительным коэффициентом. Рассмотрев произволь ное граничное условие и подставив в него представление реше ния в виде бегущих волн, мы получим некоторое уравнение (линейное, дифференциальное, интегро-дифференциальное и т. п.). Не вдаваясь в природу этого уравнения, потребуем, что бы оно было разрешимо для левого граничного условия отно сительно U при известном U, а для правого относительно U при известном U, при этом решения задаются (вообще говоря нелинейными) операторами C1 и C2.

U = C1 (U, µ) U = C2 (U, ) Второе требование состоит в том, чтобы операторы C1 и C не выводили функции из допустимого для них класса (напри мер, для классического решения бегущие волны дважды непре рывно дифференцируемы). Для физически осмысленных гра ничных условий операторы C1 и C2 не увеличивают расстояние Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 210 А. М. Рогожников, т.е.

(C1 (f, µ), C1 (g, µ)) (C2 (f, ), C2 (g, )) (f, g) (f, g), поскольку при f, g, совпадающих на полуоси (, t], функ ции C1 (f, µ), C1 (g, µ) также должны совпадать на этой полуоси (аналогично для C2 ). Противное означало бы использование данных из будущего. Поскольку операторы не являются ли нейными, вместо (во многих отношениях более удобного) ряда Неймана ответ будет записываться как предел итерационной последовательности с нововведенным оператором C:

Un+1 Un C1 (Un, µ) µ =C =, C2 (Un, ) Un+1 Un и с произвольными начальными данными U1, U1.

Если же хотя бы один из операторов является сжимающим (это довольно частая ситуация, как мы видели), то, рассуждая как в предыдущей части, можно показать, что итерационная последовательность будет сходиться к решению. При этом, ес ли нас интересует решение на отрезке [0, T ], мы сможем ограни читься конечным числом итераций, которое несложно оценить.

10 Вычислительные аспекты Уже упоминалось, что в частных случаях полученные фор мулы дают алгоритм, который может вычислить точно u(x, t), или, что то же самое, вычислить U (t x ) и U (t x+ ). В более общем случае линейных условий решение, как мы помним, за писывается в виде ряда Неймана, из которого нас интересуют только первые M членов.

M U µ Cm = U m= Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний Фигурирующий оператор C хоть и линеен, но нетривиален.

Разумеется, можно последовательно вычислять слагаемые ря да в правой части, однако, скажем, многократное вычисле ние свертки вряд ли можно назвать эффективным решением, тем более для такой простой задачи. Как демонстрировалось в частных случаях, более простой способ состоит в численном решении промежуточных соотношений на U и U.

Например, для граничных условий первого и второго ро да наиболее просто использовать уравнения (5), и одновремен но вычислять функции U и U с шагом, при этом величи ны в правых частях, например U (t t1 ), могут быть получе ны при помощи аппроксимации по нескольким ближайшим уз лам на основе многочленов Лагранжа, точно так же проводят ся вычисления для приведенных нами примеров нелокальных точечных граничных условий. В более сложных случаях, ко гда промежуточные соотношения на функции U и U являют ся дифференциальными уравнениями, ответ находится при по мощи их численного решения, при этом правые части восста навливаются при помощи интерполяции. Этот подход работает при граничном условии с точечной массой, с граничными усло виями третьего рода, но самое ценное он не завязан на кон кретный вид дифференциальных уравнений и потому также может быть применен при нелинейных граничных условиях, как например (18). Справедливости ради надо заметить, что решали линейные дифференциальные уравнения мы не зря:

вычисление свертки с экспонентой можно провести эффектив но и при этом с меньшей погрешностью.

Ситуация с интегральными уравнениями несколько слож нее, в отличие от сверток с экспонентой, произвольные свертки вычисляются, например, при помощи преобразования Фурье, что и медленнее, и менее точно. Усугубляет ситуацию необходи мость считать свертку для каждого слагаемого. На самом деле эти проблемы решаются единовременно при помощи перехода к преобразованию Фурье или Лапласа, когда в качестве про Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 212 А. М. Рогожников межуточной задачи мы ставим вычисление функций–образов L[U ](p), L[U ](p). Как это часто случается в физике, уравне ния с запаздыванием, дифференциальные уравнения, уравне ния с разностным ядром в терминах образов превращаются в простые алгебраические уравнения.

11 Заключение Отметим, что все результаты, изложенные в статье, опира ются на замечательное свойство (4) решений волнового урав нения.

Мощности современной вычислительной техники таковы, что одномерное волновое уравнение вряд ли может представ лять для неё какую-то сложность. Тем не менее, последнее ча сто выступает в статьях в роли пробного камня для демон страции различных идей: убывания решения, свойств какого то граничного условия и т.п. В терминах бегущих волн подоб ные рассуждения обычно проводятся значительно проще, ча сто при этом возможно даже решить задачу аналитически. Ав тор надеется, что прием, описанный в статье, войдет в арсенал читателя наравне с часто применяемым рядом Фурье.

Эффективные алгоритмы приближенного решения являют ся приятным дополнением, и возможно пригодятся при числен ных экспериментах.

Список литературы [1] Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР 1969. Т. 185, № 4 С. 739–740.

[2] Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи математиче ских наук 2005. Т. 60, № 6 С. 89–114.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Граничные условия для уравнения колебаний [3] Кулешов А. А. Смешанные задачи для уравнения колеба ний струны с однородными граничными и неоднородными нелокальными условиями // Дифференциальные уравне ния 2010. Т. 46, № 1 С. 98–104.

[4] Моисеев Е. И., Тихомиров В. В. О волновом процессе с ко нечной энергией при заданном граничном режиме на од ном конце и упругом закреплении на другом конце // Нелинейная динамика и управление, 2007. Т. С. 141–148.

[5] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.

М.: Высш. шк., 1995. 301 с. ISBN 5–06–002670– [6] Нестеренко Ю. Р. О смешанной задаче для волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // Докла ды Академии наук 2009. Т. 426, № 1 С. 29–31.

[7] Никитин А. А., Кулешов А. А. Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференциальные уравнения 2008. Т. 44, № С. 681–690.

[8] Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным усло вием для гиперболического уравнения // Математические заметки 2003. Т. 74, № 3 С. 435–445.

[9] Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными длинами // До клады Академии Наук 2012. Т. 444, № 5 С. 488–491.

[10] Рогожников А. М. Смешанная задача о возбуждении коле баний в составном стержне с присоединенными точечными массами // Доклады Академии Наук 2013. Т. 449, № 4.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 214 А. М. Рогожников [11] Рогожников А. М. Оптимальное управление продольными колебаниями составных стержней с равным временем про хождения волны по каждому из участков // Дифференци альные уравнения 2013. Т. 49, № 5 С.633–642.

[12] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математиче ской физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. 799 с.

ISBN 5–211–04138–0.

[13] Chen G., Hsu S., Zhou J. Snapback repellers as a cause of chaotic vibration of the wave equation with a van der Pol boundary condition and energy injection at the middle of the span // Journal of Mathematical Physics 1998. vol. P. 6459–6489.

[14] Rivera J., Andrade D. Exponential decay of non-linear wave equation with a viscoelastic boundary condition // Mathematical Methods in the Applied Sciences 2000.

vol. 23, № 1 P. 41–61.

[15] Vitillaro E. Global existence for the wave equation with nonlinear boundary damping and source terms // Journal of Dierential Equations 2002. vol. 186, №1 P. 259–298.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 2013 УДК 517. Внутренние оценки множеств достижимости билинейных систем © 2013 г. В. В. Синяков vladimir.siniakov@gmail.com Кафедра системного анализа 1 Введение Вычисление множеств достижимости для управляемых си стем является одной из ключевых задач математической тео рии процессов управления [1–9]. Её решения могут быть, в частности, использованы для построения синтезирующих управлений. При этом известно [10], что решение проблемы достижимости может быть сведено к вычислению функции це ны для соответствующей задачи динамической оптимизации.

И указанная функция цены V (t, x) может быть, в частности, определена как решение в классическом или обобщённом смыс ле подходящего уравнения типа Гамильтона–Якоби. Тогда ис комое множество достижимости X[t] = X(t, t0, X 0 ) системы (из начального множества x(t0 ) = x0 X 0 ), будет некоторым множеством уровня функции V (t, x), например, вида X[t] = {x | V (t, x) 1}.

Таким образом, задача достижимости может быть решена пу тем нахождения упомянутой функции цены, и возникает про блема её вычисления..

Для нелинейных систем общего вида функия V (t, x) мо жет быть вычислена с помощью численных методов решения уравнения Гамильтона–Якоби (см., например, [11], [12]). Од нако, при нынешних средствах, эти методы трудно примени мы к задачам высокой размерности из-за экспоненциального 216 В. В. Синяков роста вычислительной нагрузки с ростом размерности зада чи.. Отметим, что для линейных систем разработан ряд ме тодов аппроксимации множеств достижимости, где последние представлены в виде объединения или пересечения множеств стандартной формы, таких как, например, эллипсоиды [3, 4] или параллелепипеды [13, 14]. Для реализации подобных ме тодов удобно использовать параллельные вычисления. Одна ко, для нелинейных систем задача получения подходящих оце нок принципиально сложнее, тем более, что здесь необходи мо учитывать свойства конкретных классов нелинейностей. а также из-за невыпуклости искомых областей. Для получения удобных оценок поэтому целесообразно выяснить, могут ли они быть эффективно вычислены как множества уровня су перрешения соответствующего уравнения Гамильтона–Якоби [15, 16]. Последнее следует из того, что любое суперрешение w+ (t, x) и решение такого уравнения (то есть функция це ны) связаны соотношением w+ (t, x) V (t, x). Поэтому мно жество X [t] = {x | w+ (t, x) 1 } содержится в X[t]. Получить же функции w+ (t, x) можно, например, с помощью принципа сравнения для уравнений Гамильтона–Якоби [18, 19], либо пу тем выбора конкретного вида суперрешения и непосредствен ной проверки определения.

В настоящей статье рассматривается определенный класс систем, билинейных по фазовым координатам и управлени ям. Задача достижимости для таких систем исследовалась в [20, 21]. Для такого класса систем ставится задача о постро ении внутренних оценок множества достижимости. Её реше ние здесь осуществляется путем нахождения вязкостных су перрешений соответствующего уравнения Гамильтона–Якоби– Беллмана, множества уровня которых как раз и являются внутренними оценками множества достижимости. Подобные суперрешения ищутся в виде кусочно-линейных функций спе циального вида.

Известно, что достаточно широкий класс управляемых си Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем стем можно билинеаризовать, то есть для таких систем су ществуют динамически эквивалентные им билинейные систе мы [22]. Такой системой, в частности, является динамический уницикл. В данной статье, на примере упомянутой системы, рассматриваются возможности построения внутренних оценок множеств достижимости для билинеаризуемых систем.

2 Постановка задачи Рассматривается билинейная по управлению и позиции си стема вида t [t0, t1 ]. (1) x = [u1 A1 (t) + · · · + um Am (t)]x, uk [1, 1], Матричные функции Ak (t) предполагаются непрерывными на отрезке [t0, t1 ]. Начальное ограничение x(t0 ) X 0 определено как множество уровня функции (x):

X 0 = {x | (x) (2) 1}.

Считаем выполненным следующее Предположение 1. Функция (x) непрерывна, положитель но однородна и симметрична относительно нуля.

Функция цены (3) V (t, x) = inf (x(t0 ;

t, x)) uU (t) является вязкостным решением уравнения Гамильтона– Якоби–Беллмана (см. [16], [17]):

wt + wx, A1 (t)x +···+ wx, Am (t)x = wt + H(t, x, wx ) = (4) с начальным условием (5) w(t0, x) = (x).

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 218 В. В. Синяков Здесь гамильтониан H(t, x, p) определяется равенством:

H(t, x, p) = p, A1 (t)x + ··· + p, Am (t)x.

Приведем следующее определение [23].

Определение 1. Функция x µA (x) = inf r 0 A r называется функцией Минковского множества A.

Можно прямо проверить справедливость следующих утвер ждений.

Утверждение 1. В условиях предположения 1 множе ство достижимости X(t;

t0, X 0 ) является центрально симметричным относительно нуля и звездным, причем точ ка 0 принадлежит центру этого множества.


Утверждение 2. В условиях предположения 1 функция V (t, ·) является функцией Минковского для множества X(t;

t0, X 0 ).

Задача. Получить представление для множества достижи мости в виде объединения по семейству внутренних оценок.

3 Внутренние оценки множества дости жимости Введем следующие обозначения:

Abs(x) = [|x1 |,..., |xn |]T, sgn(x) = D Abs(x), где D f (x) обозначает субдифференциал функции f в точке x.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем Для решения поставленной задачи будем искать кусочно линейное симметричное относительно нуля суперрешение урав нения (4) вида (6) w(t, x) = (t), Abs(P (t)x).

Далее, для краткости, зависимость параметров от времени ино гда будем опускать.

В дальнейшем нам потребуется следующая лемма, дока зательство которой осуществляется стандартными методами негладкого анализа [24].

Лемма 1. Для значения субдифференциала D w(t, x) воз можны две альтернативы:

1. Существует число 1 m и номера k1,..., km1, m такие что строки матрицы P с этими номерами про порциональны друг другу, вектор P x ортогонален векто рам ek1,..., ekm1 и выполняется неравенство m i P T eki 0.

i= Тогда D w(t, x) =.

2. Такого числа m1 не существует. Тогда D w(t, x) = (q, p) q = · z, P x + · z, P x, p = P T ( · z), z sgn(P x).

По определению суперрешения [16], функции w(t, x) долж на удовлетворять неравенству 0 (q, p) D w(t, x).

q + H(t, x, p) Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 220 В. В. Синяков Записывая это более подробно, получаем:

(7) · z, P x + · z, P x + | · z, P A1 x | +...

· · · + | · z, P Am x | 0, z sgn(P x).

Введем обозначения:

Nf = {x | f (x) = 0 }, d(x, X) = inf x z.

zX Для непрерывной положительно однородной функции множе ство Nf является замкнутым конусом.

Определение 2. Будем говорить, что положительно одно родная функция имеет линейный рост в нуле, если существу ет положительная постоянная, такая что |f (x)| d(x, Nf ).

Справедливы следующие утверждения о положительно од нородных функциях.

Лемма 2. Пусть f положительно однородная функция.

Тогда |f (x)| Ld(x, Nf ), где L константа Липшица для функции f.

Доказательство. Пусть x Nf. Существует положительно однородная по совокупности аргументов функция g(y, z), такая что f (x) = g(P x, x, x ).

Здесь P матрица проекции на подпространство ортогональ ных к x векторов. Функции g(y, 0), g(y, 1), g(y, 1) являются липшицевыми с константой L:

|g(y, 0)| Ly, |g(y, 1)| Ly, |g(y, 1)| Ly.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем При z 0 имеем y y |g(y, z)| = |z||g,1 | =L y.

L|z| |z| |z| Аналогичным образом, |g(y, z)| L y при z 0. Следова тельно, |f (x)| = |g(P x, x, x )| L P x.

Фиксируя точку x, выберем такое x Nf, что d(x, Nf ) = x x = P x.

Тогда |f (x)| Ld(x, Nf ).

Лемма 3. Пусть имеются положительно однородные функ ции f и g, такие что Ng Nf и g имеет линейный рост в нуле. Тогда для некоторой поло жительной постоянной L справедлива оценка:

|f (x)| L|g(x)|.

Доказательство. Имеем цепочку неравенств:

Lf |f (x)| Lf d(x, Nf ) Lf d(x, Ng ) |g(x)| = L|g(x)|.

g Следствие 1. Пусть f и g положительно однородные функции с линейным ростом в нуле, такие что Ng = Nf. То гда они эквивалентны, то есть существуют положительные постоянные c1 и c2, такие что c1 |f (x)| |g(x)| c2 |f (x)|.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 222 В. В. Синяков Лемма 4. Пусть f положительно однородная функция с константой Липшица L. Пусть имеется замкнутый конус K, такой что min f (x) 0.

xK Тогда существуют положительно однородные функции g и h, которые являются липшицевыми с константой L и выполня ются соотношения:

f (x) = g(x) + h(x), g(x) = 0, x K, x Rn.

0, h(x) Лемма 5. Функция f вида f (x) =, Abs(P x) положительно однородна и имеет линейный рост в нуле.

Пусть uk (t) набор из n допустимых управлений. Соот ветствующие им траектории обозначим символами xk (t).

Теорема 1. Существует суперрешение уравнения (4) вида (6) с начальным условием (5), такое что w(t, xk (t)) = 1.

Доказательство. Введем матрицу xn (t).

R(t) = x1 (t)...

Тогда R = A1 (t)RU1 (t) + · · · + Am (t)RUm (t), где Uj (t) = diag(1 (t),..., un (t)), uk (t) [1, 1].

j j uj Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем По условию, векторы xk = R(t)ek являются траекториями си стемы (1). Обозначим S = R1. Выберем матрицу P следую щим образом:

(8) P = QS, j |qjk | = 1.

j Здесь Q некоторая постоянная матрица. Тогда w(t, xk (t)) =, Abs (QSRek ) = j |qjk | = 1.

j Далее проверим, что при x = xk (t) выполняется неравенство (7). С одной стороны,, Abs(P Rek ) =, Abs(Qek ) = j |qjk | = 0.

j С другой стороны, используя соотношения S = S RS, P = QS, получаем неравенство:

uk · sgn(Qek ), P A1 ek + · · · + uk · sgn(Qek ), P Am ek + 1 m +| · sgn(Qek ), P A1 ek | + · · · + | · sgn(Qek ), P Am ek | 0.

Используя леммы 3 и 4, получаем для некоторой положитель ной постоянной L следующую оценку:

· sgn(P x), P x + | · sgn(P x), P A1 x | +...

· · · + | · sgn(P x), P Am x | L1 d(x, K), где K = {x | x = Rek, R, 1 n}.

k Пусть положительно однородная функция f (x) =, Abs(P x) Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 224 В. В. Синяков неотрицательна и Nf = K. Тогда для некоторой положитель ной постоянной L2 имеем следующее неравенство:

f (x) 0.

L2 d(x, K) Таким образом, неравенство (7) выполняется, если L (9) =L.

L Существует множество способов гарантировать выполнение условий (8), (9) и условий на функцию f. Например, можно взять 1 = · · · = n = eLt, n+1 = · · · = 2n +n = eLt 1, 1 1... 1 1 1... 1 n I 2 строк.

B = 2n Q=,............

B 1 1... Тогда искомое суперрешение принимает вид:

w(t, x) = eLt Sx (1 eLt ) Sx (10), где символы · и· обозначают соответствующие нормы 1 Гельдера.

1. Функция цены представима в виде Следствие 2.

V (t, x) = inf w (t, x), A где w (t, x) суперрешения вида (6), построенные в со ответствии с теоремой.

2. Множество достижимости представимо в виде {x | w (t, x) X [t] = X [t] = 1}.

A A Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем 4 Двумерные примеры В этом разделе приведены явные аналитические выраже ния для вязкостных суперрешений уравнений ГЯБ в несколь ких простейших примерах. Рассматривается двумерная били нейная система со скалярным управлением:

x R2.

x = uAx, u [1, 1], Во всех примерах начальное множество задается следующим образом:

X 0 = {x | |x1 | + |x2 | 1 }.

Пример 1. Пусть A=.

Функция 1 w(t, x) = |x1 + (1 + t)x2 | + |x1 (1 + t)x2 | t|x2 |.

2 является вязкостным решением уравнения (4) и удовлетворя ет начальному условию w(0, x) = |x1 | + |x2 |.

Рис. 1. Множество достижимости при t = в двумерном примере 1.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 226 В. В. Синяков Пример 2. Пусть A=.

0 Функция 1 w(t, x) = (et + 2e2t )|x1 | + (et + 2e2t )|x2 | 3 1 t 3t 1 t 3t e (e 1)|x1 x2 | e (e 1)|x1 + x2 | 3 является суперрешением уравнения (4) и удовлетворяет на чальному условию w(0, x) = |x1 | + |x2 |.

Рис. 2. Внутренняя оценка множества достижимости при t = 1/2 и t = 1 в двумерном примере 2.

Пример 3. Пусть 0 A=.

Пусть 2 cos2 t 1 2 cos2 t k =, k = cos t.

cos2 t sin2 t cos t + (1)k+1 sin t Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем Функция w(t, x) = 1 |x1 cos t x2 sin t| + 2 |x1 sin t x2 cos t| 1 |x1 + x2 | 2 |x1 x2 | является суперрешением уравнения (4) и удовлетворяет на чальному условию w(0, x) = |x1 | + |x2 |.

Рис. 3. Внутренние оценки множества достижимости при t = /9 и t = /4 в двумерном примере 3.

5 Внутренние оценки множеств достижи мости билинеаризуемых систем 5.1 Билинеризуемые системы Известно, что некоторые классы нелинейных систем вида x(0) X 0 (11) x = f (x) + G(x)u, можно билинеаризовать в смысле следующего определе ния [22]:

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 228 В. В. Синяков Определение 3. Нелинейная система (11) называется дина мически эквивалентной билинейной системе m y= A0 + Ai ui (t) y, i= если существуют функция y 0 (x0 ) и матрица C, такие что x(t;

x0 ) = Cy(t;

y 0 (x0 )) для всех t 0, всех x0 X 0 и u(·) U.

Билинеаризуемость в этом смысле позволяет строить внут ренние оценки множеств достижимости таких систем, рассмат ривая их билинейную реализацию. Проиллюстрируем это на примере одной билинеаризуемой системы, так называемого ди намического уницикла.

5.2 Динамический уницикл Рассмотрим следующую пятимерную нелинейную систему, трехмерная упрощенная кинематическая версия которой была рассмотрена в [25, 26]:

= x3, x = x4, x = v cos, (12) x = v sin, x = u, x где u управление, u [1, 1]. Эта управляемая система связана с динамической моделью машиноподобного робота. А именно, x1 и x2 это декартовы координаты ведущего колеса, x3 и x4 соответствующие мгновенные скорости, v абсо лютное значение мгновенной скорости, угол поворота, а это максимальное абсолютное значение мгновенной угловой скорости. В дальнейшем для простоты положим v = 1, = 1.

Вычислим функцию x(t;

t0, x0 ) траекторию уницикла, ко торая соответствует нулевому управлению и в момент t0 про Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем ходит через точку x0 :


= x0 + x0 t + 1 t2 cos x0, x 1 3 x2 = x0 + x0 t + 1 t2 sin x0, 2 4 = x0 + t cos x0, x 3 3 x4 = x0 + t sin x0, 4 = x0.

x5 Сделав замену переменных x x0, получаем следующую си стему:

x0 = 1 t2 u cos x0, 1 0 x = t u sin x0, 2 x0 = tu cos x0, (13) 3 x = tu sin x0, x5 = u.

Легко проверить, что билинейная система y1 = 1 t2 uy7, y = 1 t2 uy, y = tuy, y = tuy, 4 (14) y5 = uy8, y = uy, y = uy, y = динамически эквивалентна системе (13). Пусть w(t, y) суперрешение соответствующего уравнения ГЯБ для си стемы (14), причем проекция на первые пять коорди нат пересечения множества {y | w(t0, y) 1 } с поверхностью {y | y6 = cos y5, y7 = sin y5, y8 = 1 } содержится в начальном Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 230 В. В. Синяков множестве X 0 для системы (13). Тогда справедливо включе ние x0 w(t, x0, x0, x0, x0, x0, cos x0, sin x0, 1) 1 X[t], 12345 5 где X[t] множество достижимости для системы (13). Тогда возвращаясь от координат x0 к координатам x, получаем соот ветствующее включение в исходных координатах. На рисунке 4 изображена внутренняя оценка множества достижимости си стемы (12), полученная таким способом. В этом примере для системы (14) суперрешение w(t, y) уравнения ГЯБ было постро ено с использованием теоремы 1 в виде (10).

Рис. 4. Внутренняя оценка множества достижимости динамического уницикла.

6 Заключение В настоящей статье предлагается метод построения се мейств внутренних оценок множества достижимости билиней ных систем. Приведена теорема о представлении множества до стижимости в виде объединения оценок из данных семейств.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем Указана возможность обобщения этих результатов на случай билинеаризуемых систем.

Список литературы [1] N. N. Krasovski. On the Theory of Controllability and Observability of Linear Dynamic Systems (in Russian).

Prikl. Mat. Mekh. (Applied Math. and Mech.), 28(1):3–14, 1964.

[2] N. N. Krasovski. Rendezvous Game Problems.

Nat.Tech.Inf.Serv., Springeld, VA, 1971.

[3] A. B. Kurzhanski and I. Valyi. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. SCFA. Birkhauser, Boston, 1997.

[4] A. B. Kurzhanski, P. Varaiya. On Ellipsoidal Techniques for Reachability Analysis. Part I: External appoximations, Optim. Methods Software, 17(2):177–206, 2002;

Part II: Internal appoximations. Box-valued constraints, Optim. Methods Software, 17(2):207–237, 2002.

[5] E. B. Lee, L. Markus. Foundations of optimal control theory.

Wiley, 1967.

[6] F. L. Chernousko. State Estimation for Dynamic Systems.

CRC Press, Boca Raton, 1994.

[7] J. Lygeros, C. Tomlin, and S. Sastry. Controllers for reachability specications for hybrid systems. Automatica.

1999. V. 35. N. 3. P. 349–370.

[8] B. H. Krogh, O. Stursberg. Ecient Representation and Computation of Reachable Sets for Hybrid Systems. In O.

Maler and A. Pnueli, editors, Hybrid Systems: Computation and Control HSCC’03, LCNS 2623, pages 482–497. Springer– Verlag, Berlin–Heidelberg, 2003.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 232 В. В. Синяков [9] V. S. Patsko, S. G. Pyatko, and A. A. Fedotov. Three dimensional Reachability Set for a Nonlinear Control System. Journal of Computer And Syst. Sci. Intern., 42(3):

320–328, 2003.

[10] A. B. Kurzhanski, P. Varaiya. Dynamic Optimization for Reachability Problems. Journal of Optim. Theory and Appl., 108(2):227–251, 2001.

[11] J. A. Sethian. Level Set Methods and Fast Marching Methods.

Cambridge Univ. Press, 1999.

[12] S. Osher, R. Fedkiw. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer–Verlag, 2002.

[13] E. K. Kostousova. State Estimation for Dynamic Systems via Parallelotopes: Optimization and Parallel Computations.

Optim. Methods Software, 9(4):269–306, 1998.

[14] E. K. Kostousova. On Tight Polyhedral Estimates for Reachable Sets of Linear Dierential Systems. AIP Conf.

Proc. 1493, pp. 579–586, 2012.

[15] А.И. Субботин. Обобщенные решения уравнений в част ных производных первого порядка. Перспективы динами ческой оптимизации. Москва–Ижевск: Институт ком пьютерных исследований. 2003, 336 стр.

[16] W. H. Fleming, H. M. Soner. Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. N. Y.: Springer, 2006.

[17] H. Ishii, Uniqueness of Unbounded Viscosity Solutions of Hamilton–Jacobi Equations. Indiana U. Math. J., 26, pp.

721–748, 1984.

[18] A. B. Kurzhanski. Comparison Principle for Equations of the Hamilton–Jacobi Type in Control Theory.In Proc. Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, S185–S195, 2006.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Оценивание множеств достижимости билинейных систем [19] М. И. Гусев. Оценки множеств достижимости многомер ных управляемых систем с нелинейными перекрестными связями. Труды ИММ УрО РАН, 15, № 4, 2009, 82–94.

[20] A. B. Kurzhanski, T. F. Filippova. On the theory of trajectory tubes a mathematical formalism for uncertain dynamics, viability and control. Advances in Nonlinear Dynamics and Control. Ser. PSCT 17. Boston: Birkhauser, 1993. P. 122–188.

[21] С.С. Мазуренко. Дифференциальное уравнение на калиб ровочную функцию Минковского звездного множества достижимости дифференциального включения. Докла ды Академии Наук. Математика. 2012. Т. 445, № 2. с.

139–142.

[22] P. M. Pardalos, V. Yatsenko Optimization and Control of Bilinear Systems. Springer, 2008.

[23] А.Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функ ций и функционального анализа. 7-е изд. Москва: ФИЗ МАТЛИТ, 2006.

[24] F. H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R. J. Stern, and P. R. Wolenski.

Nonsmooth Analysis and Control Theory. New York:

Springer–Verlag, 1998.

[25] R. M. Murray, Z. Li, and S. S. Sastry. A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press, Boca Raton, 1994.

[26] A. De Luca, G. Oriolo, and C. Samson. Feedback Control of a Nonholonomic Car–Like Robot. In J.-P. Laumond, editor, Robot Motion Planning and Control, pages 171–249.

Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 1998.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 234 Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, УДК 681. Применение принципа доминирования по характерности в задаче совмещения формальных контекстов © 2013 г. Д. Е. Стельмашенко dashanikolaeva@gmail.com Кафедра алгоритмических языков 1 Введение Принцип доминирования по характерности [1,2] был разра ботан под руководством О. И. Ларичева в 1989 году. Согласно этому принципу объекты некоторой предметной области, пред ставленные наборами своих признаков, могут быть упорядоче ны по характерности этих признаков относительно некоторого класса объектов. Принцип доминирования позволяет косвенно классифицировать объекты путем их сравнения с объектами, классифицированными ранее, что позволяет существенно со кратить вычислительные затраты и производить классифика цию объектов значительно быстрее классических методов. В настоящей работе показано, что наличие шкал характерности позволяет ускорить процесс совмещения формальных контек стов [3–5]. В работе также предложен алгоритм автоматизиро ванного построения этих шкал, что позволяет выявить некото рые неочевидные закономерности распределения признаков по классам объектов.

2 Формальные контексты и формальные понятия Анализ формальных понятий (АФП) был предложен Вилле (Wille) в 1981 году. Для внесения ясности в дальнейшие рас Применение шкал характерности признаков в АФП суждения приведем основные определения теории АФП [3].

Будем использовать букву N для обозначения множества элементов, именуемых признаками. Множество N состоит из подмножеств N1, N2,..., Nk, причем условие Ni Nj = не обязательно.

Объектами будем называть подмножества признаков. Для их обозначения будем использовать строчные буквы латинско го алфавита: a, b, c и т. д. a N, b N и т. д. Любой объект a может быть представлен в виде объединения подмножеств:

a = a1 a2... ak, где a1 = a N1, a2 = a N2,..., ak = a Nk.

Классом назовем непустое подмножество объектов. Обозна чать классы будем заглавными буквами латинского алфавита:

A, B, C и т. д. Пусть A класс, c множество признаков.

Введем операции Con(A) и A[c]:

Con(A) = A[c] = { a A | c a }.

a, aA Определение 1. Формальным контекстом или просто кон текстом называется пара D, N, где D класс объектов, множество признаков и D 2N.

N Не ограничивая общности, будем предполагать, что (1) Con(D) =.

Это требование не повлияет на ход дальнейших рассужде ний, поскольку при наличии у всех объектов контекста общей части ее можно предварительно вывести за рамки рассмотре ния, а затем вернуть в нужный момент.

Контекст D, N принято обозначать в виде таблицы, в первой строке которой перечисляются все признаки контекста, а в первом столбце все объекты. На пересечении объекта i и признака j ставится знак в том случае, если объект i обладает признаком j.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 236 Д. Е. Стельмашенко Пример 1. Приведем пример задания формального контек ста таблицей:

Таблица 1. Пример задания формального контекста 1 2 3 a b c d Определение 2. Формальным понятием в контексте D, N называется такой класс объектов A, A D, для которого справедливо равенство A = { d D | Con(A) d }.

При этом множество Con(A) называется содержанием фор мального понятия A.

Классическое представление формального понятия [3] под разумевает рассмотрение его как пары: объем (экстент, экс тенсионал, ext) и содержание (интент, интенсионал, int). Объ ем понятия соответствует набору входящих в него объектов, а содержание отображает общие для этих объектов призна ки. В настоящей работе, как и в работах [4, 5], объем понятия и его содержание рассматриваются как равносильные множе ства, каждое из которых однозначно определяет понятие. Пара множеств A и Con(A), где A понятие, именуется понятием в-полной-форме или пф-понятием.

Использование операции D[·] позволяет ввести два эквива лентных определения формального понятия:

1. В контексте D, N класс A есть формальное понятие тогда и только тогда, когда A = D[Con(A)].

2. В контексте D, N класс D[c] есть формальное поня тие тогда и только тогда, когда c = Con(D[c]).

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Применение шкал характерности признаков в АФП Согласно требованию (1), в любом формальном контексте D, N класс D является формальным понятием, а его со держание есть пустое множество.

Пусть D, N формальный контекст.

Будем обозначать DF множество всех понятий в контексте D;

C множество содержаний понятий из контекста D;

D D C = { Con(A) | A D F }.

Пример 2. Формальный контекст из примера 1 порождает девять формальных понятий, причем:

F DS = { {()};

{(1, 3, 4)};

{(2, 3, 4)};

{(1, 3, 4), (1, 3)} {(1, 3, 4), (1, 4)} {(1, 3, 4), (2, 3, 4)} {(1, 3, 4), (1, 3), (1, 4)} {(1, 3, 4), (1, 3), (2, 3, 4)} {(1, 3, 4), (1, 4), (2, 3, 4)}}.

C DS = {(), (1), (3), (4), (1, 3), (3, 4), (1, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}.

Определение 3. Решеткой формальных понятий контекста называют совокупность всех его формальных понятий, упо рядоченных по увеличению объема понятия. Верхней грани ре шетки соответствуют общие для всех объектов контекста признаки, нижней множество всех признаков контекста.

Приведем пример решетки формальных понятий, соответ ствующей контексту, заданному в примере 1.

Пример 3. Решетка формальных понятий контекста из примера 1 имеет вид, изображенный на рис. 1.

3 Глобальные и локальные формальные контексты Рассмотрим контекст D, N. Если множество его признаков N задано двумя подмножествами: N1 и N (N = N1 N2 ), то эти подмножества однозначно порож дают пару контекстов D1, N1 и D2, N2, где Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 238 Д. Е. Стельмашенко Рис. 1. Решетка формальных понятий контекста из примера D1 = {d1 | d1 + d2 D} и D2 = {d2 | d1 + d2 D}. Контек сты D1, N1 и D2, N2 будем называть локальными, а контекст D, N глобальным. Количество локальных контекстов прямо пропорционально количеству подмножеств N1, N2,..., Nk множества N. Как было показано выше, под множества N1, N2,..., Nk однозначно конструируют локаль ные контексты D1, N1, D2, N2,..., Dk, Nk. Об ратная задача конструирования глобального контекста по из вестным локальным контекстам, вообще говоря, не имеет од нозначного решения. Для восстановления глобального контек ста по известным локальным контекстам требуется дополни тельная информация, проявляющаяся в закономерностях свя зей между локальными и глобальными контекстами.

В работах [4–6] подробно изучаются свойства локальных и глобальных контекстов, а также связи между наборами их формальных понятий. В работе [7] описан алгоритм однознач Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Применение шкал характерности признаков в АФП ного восстановления глобального контекста по известным на борам локальных контекстов, в основе которого лежат описан ные и доказанные в [4] принципы альтернативного конструи рования и тестирования. Таким образом, в настоящем изло жении будем считать решение задачи восстановления глобаль ного контекста известным и не будем углубляться во все ню ансы описанного в [7] метода. Обратим внимание на тот мо мент, что, в отличие от классических способов решения зада чи совмещения контекстов, приводящихся, к примеру, в рабо те [6], представленный в [7] метод позволяет построить полный и достоверный глобальный контекст. Это означает, что отсут ствие знака на пересечении некоторого объекта и некоторого признака в таблице, задающей контекст, означает, что данный объект не обладает этим признаком, то есть информативно не только наличие отношения между признаком и объектом, но и отсутствие такового.

4 Доминирование по характерности В основе принципа доминирования по характерности [1, 2] лежит идея возможности косвенной классификации объектов на основании заранее заданной информации. Такой инфор мацией являются шкалы характерности признаков и заранее классифицированные объекты. Для описания принципа доми нирования по характерности введем ряд определений.

Пусть множество признаков N разделено на группы при знаков, причем внутри одной группы признаки являются взаи моисключающими, то есть два признака одной и той же груп пы не могут одновременно принадлежать одному и тому же объекту.

Определение 4. Шкалой характерности группы признаков относительно некоторого класса объектов называется поря док этих признаков, согласно которому они упорядочены от Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 240 Д. Е. Стельмашенко наиболее характерного для данного класса объектов признака к наименее характерному.

Приведем пример задания шкалы характерности.

Пример 4. Пусть множество признаков предметной обла сти состоит из характеристик состояния здоровья человека, таких, как пульс, давление и температура. Требуется клас сифицировать множество объектов предметной области по двум классам: “здоровый человек” и “больной человек”. Очевид но, что шкалы характерности логично вводить для каждо го состояния человека, поскольку ни один объект предметной области (показатели здоровья человека) не может быть опи сан одновременно двумя признаками одного состояния (тем пература у человека не может одновременно быть 36 и 39).

Шкала характерности группы признаков, соответствующих состоянию температура для класса “здоровый человек”, имеет следующий вид:

36 35 37 38 Наличие шкал характерности позволяет классифицировать некоторые объекты предметной области как принадлежащие или не принадлежащие некоторому классу объектов путем сравнения их признаков с признаками уже классифицирован ных относительно этого класса объектов и распространению имеющихся знаний при помощи шкал характерности. Именно эта идея лежит в основе принципа доминирования по харак терности. Для более строго описания этого принципа введем следующее определение.

Определение 5. Пусть задан некоторый класс объектов M, про который известно, что все его элементы удовлетворяют набору W шкал характерности признаков. Будем говорить, что объект A доминирует по характерности объект B в том случае, если все признаки объекта A, согласно набору шкал ха рактерности W, являются не менее характерными для объ ектов класса M, чем признаки объекта B.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, Применение шкал характерности признаков в АФП Замечание. Отметим, что необходимым условием вступления в отношение доминирования по характерности двух объектов является наличие у них сравнимых признаков, то есть признаков, принадлежащих одной и той же группе, и отсутствие несравнимых признаков.

Принцип доминирования по характерности. Пусть задан класс объектов M, про который известно, что все его элементы удовлетворяют набору шкал характерности W.

Пусть также известно, что объект A доминирует по харак терности объект B. Принцип доминирования по характерно сти гласит:

1. Если известно, что объект B принадлежит классу M, то объект A также принадлежит классу M 2. Если известно, что объект A не принадлежит классу M, то объект B также не принадлежит классу M Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример 5. Пусть задан класс объектов M, для которого из вестны шкалы характерности признаков W и пусть заданы два объекта: A,BM, причем A = (a, b1, c, d) B = (a, b2, c, d).

Пусть известно, что, согласно шкале характерности B W, признак b1 менее характерен, чем признак b2. В таком случае, согласно принципу доминирования по характерности, в зави симости от известных данных, можно сделать один из двух выводов:

1. Из того, что объект A принадлежит классу M, следу ет, что объект B также принадлежит классу M.

2. Из того, что объект B не принадлежит классу M, сле дует, что объект A также не принадлежит классу M.

Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, № 10, 242 Д. Е. Стельмашенко 5 Применение шкал характерности при знаков в задаче совмещения формаль ных контекстов Не ограничивая общность рассуждений будем полагать, что набор шкал характерности признаков является общим для всех объектов формального контекста. В том случае, когда шка лы характерности признаков различны для некоторых классов объектов контекста, эти классы можно рассматривать как от дельные контексты и совмещать их при помощи описанного в [7] метода. Необходимым условием для применения принци па доминирования является следующее требование к объектам глобального контекста:

Условие 1. Каждый объект должен обладать ровно одним признаком из каждой группы признаков контекста.

Такое ограничение на представление объектов контекста га рантирует возможность их сравнения и, следовательно, при менения принципа доминирования по характерности. Это тре бование не ограничивает общности рассуждений, поскольку в случае отсутствия у объекта формального контекста признака некоторой группы, этот признак может быть искусственно до бавлен в качестве дополнительного признака, отвечающего за отсутствие у объекта признака данной группы.

Проиллюстрируем сказанное на примере:

Пример 6. Пусть формальный контекст имеет вид:

В таком случае, для того, чтобы контекст удовлетворял условию 1, введем вспомогательный признак “безмолвству ет”:



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.