авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 10 |

«[Эта страница заменяет титульный лист, изготовленный издательством] В. В. ПРАСОЛОВ ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ...»

-- [ Страница 4 ] --

Чтобы построить реализацию n-мерного абстрактного симплициального комплекса (с вершинами v1,..., vk) в R2n+1, достаточно указать точки x1,..., xk в R2n+1 в общем положении. Помимо той явной конструкции точек в общем положении, которая приведена в доказательстве теоремы 8.4, можно использовать, например, следующую конструкцию. Сначала возь мём две различные точки x1 и x2 в RN. Затем возьмём точку x3, не лежа щую на прямой x1 x2. Затем возьмём точку x4, не лежащую в плоскости x1 x2 x3, и т. д. Так мы построим точки x1,..., xN +1. После этого проведём гиперплоскости через все наборы N построенных точек и возьмём точку xN +2, не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей. В дальнейшем снова проводим гиперплоскости через все наборы N точек и выбираем точку, не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей.

Симплициальный подкомплекс L K называют полным, если он обладает следующим свойством: на любой набор вершин комплекса L, на который натянут симплекс комплекса K, натянут также и симплекс комплекса L.

З а д а ч а 8.2. Докажите, что симплициальный подкомплекс L K полный тогда и только тогда, когда он обладает следующим свойством:

если граница симплекса комплекса K лежит в L, то и сам он лежит в L.

З а д а ч а 8.3. Пусть L K – симплициальный подкомплекс, L и K – барицентрические подразделения L и K. Докажите, что подкомплекс L K полный.

8.4. Симплициальные аппроксимации Симплициальные отображения устроены гораздо проще, чем непре рывные отображения. Например, для любых двух симплициальных комплексов K и L имеется лишь конечное число симплициальных отоб ражений K L. Тем не менее, любое непрерывное отображение можно приблизить симплициальным отображением. Но при этом, возможно, от комплексов K и L придётся перейти к их подразделениям. Для гомотопической топологии наиболее важно то, что любое непрерывное отображение симплициальных комплексов гомотопно некоторому сим плициальному отображению. Это утверждение существенно облегчает изучение гомотопических классов отображений, но его доказательство требует определённых усилий.

118 Глава III. Топологические пространства Пусть K и L – симплициальные комплексы, f : |K | |L| – непрерыв ное отображение. Для каждой точки x |K | рассмотрим точку f(x) |L|.

Точке f(x) соответствует ровно один симплекс из L, внутренней точкой которого она является. Будем говорить, что симплициальное отображение : K L является симплициальной аппроксимацией отображения f, если для всех x |K | точка (x) принадлежит симплексу, соответствую щему точке f(x).

Т е о р е м а 8.5. Симплициальная аппроксимация отображе ния f гомотопна f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ft (x) – точка, делящая в отношении t : (1 t) отрезок с концами (x) и f(x). Тогда ft – гомотопия, связыва ющая отображения f0 = и f1 = f. Для работы с симплициальными аппроксимациями более удобно дру гое определение симплициальной аппроксимации, использующее понятие звезды. Пусть K – симплициальный комплекс, – симплекс из K. Звез дой симплекса называют объединение внутренностей всех симплексов из K, содержащих симплекс. Звездой точки x |K | называют звез ду того симплекса из K, внутренней точкой которого является точка x.

Звезду симплекса обозначают st, а звезду точки x обозначают st x.

Т е о р е м а 8.6. Симплициальное отображение : K L явля ется симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения f : |K | |L| тогда и только тогда, когда f(st v) st (v) для любой вершины v комплекса K.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что – симплици альная аппроксимация отображения f и v – вершина комплекса K. Пусть x st v. Рассмотрим симплекс K с вершиной v, внутри которого лежит точка x, и симплекс L, внутри которого лежит точка f(x). С одной стороны, точка (x) лежит внутри симплекса (K ) с вершиной (v), а с другой стороны, точка (x) принадлежит симплексу L. Поэтому L (K ) (v), а значит, f(x) int L st (v).

Предположим теперь, что для любой вершины v комплекса K вы полняется условие f(st v) st (v). Пусть x |K | и v0,..., vn – вершины симплекса из K, внутри которого лежит точка x. Тогда n n n st vi f(st vi) st (vi) = int ().

f(x) f i=0 i=0 i= Поэтому () – это как раз тот симплекс, внутри которого лежит точка f(x). Остаётся заметить, что (x) (), поскольку x. С л е д с т в и е. Пусть : K L и : L M – симплициальные аппроксимации непрерывных отображений f : |K ||L| и g : |L||M|.

Тогда – симплициальная аппроксимация отображения gf.

§ 8. Симплициальные комплексы Пусть K – конечный симплициальный комплекс, K (n) – его n-е ба рицентрическое подразделение. Отметим, что при n максимальный диаметр симплекса из K (n) стремится к нулю (см. с. 93).

Т е о р е м а 8.7 (о симплициальной аппроксимации). а) Пусть K и L – симплициальные комплексы, причём комплекс K конечен, f : |K | |L| – непрерывное отображение. Тогда для некоторого n 0 существует симплициальное отображение : K (n) L, явля ющееся симплициальной аппроксимацией отображения f.

б) Если ограничение отображения f на подкомплекс K1 K сим плициально, то симплициальную аппроксимацию можно выбрать так, чтобы она совпадала с f на K1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Звёзды вершин комплекса L образуют от крытое покрытие топологического пространства |L|. Прообраз этого по крытия при отображении f является открытым покрытием U компактно го подмножества |K | евклидова пространства. Согласно теореме Лебега об открытых покрытиях (теорема 4.6 на с. 70) существует такое число 0, что любое подмножество B |K |, диаметр которого меньше, содержится в одном из элементов покрытия U.

Выберем число n так, что диаметр любого симплекса из K (n) меньше /2. Симплициальное отображение : K (n) L определим следующим образом. Пусть v – вершина K (n). Тогда диаметр множества st v мень ше, поэтому множество f(st v) целиком принадлежит некоторому множеству вида st w, где w – вершина L. Положим (v) = w (если в качестве w можно выбрать несколько вершин, то выбираем любую из них). Мы определили отображение 0-мерных остовов. Нужно про верить, что это отображение допустимо, т. е. если v1,..., vk – вершины некоторого симплекса из K (n), то (v1),..., (vk) – вершины некоторого симплекса из L. Для этого мы воспользуется тем, что вершины v1,..., vk k образуют симплекс тогда и только тогда, когда st vi = st =.

i= k Пусть v1,..., vk – вершины симплекса из K (n). Тогда st vi =, а зна i= k k k чит, f(st vi) =. Но st (vi) f(st vi) =, поэтому вершины i=1 i=1 i= (v1),..., (vk) образуют в L некоторый симплекс.

Теорема 8.6 показывает, что симплициальное отображение : K (n) L является симплициальной аппроксимацией отображения f.

б) Пусть v – вершина K1. Тогда f(v) = w – вершина L. Если разби ение K (n) достаточно мелкое (т. е. число n достаточно велико), то для такого разбиения f(st v) st w, поэтому можно положить (v) = w. 120 Глава III. Топологические пространства С помощью теоремы о симплициальной аппроксимации можно дока зать следующее утверждение.

Т е о р е м а 8.8. Любое непрерывное отображение f : S n S m, где n m, гомотопно постоянному отображению (т. е. отобра жению в одну точку).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что отображение f го мотопно отображению, которое не является сюръективным. Действи тельно, если (x) = 0 S m при всех x S n, то t(x) (1 t) t (x) = t(x) (1 t) представляет собой гомотопию, связывающую отображение и постоян ное отображение S n 0 S m.

Сферу S n можно представить в виде симплициального комплекса K, который является n-мерным остовом (n + 1)-мерного симплекса. Сфе ру S m аналогично представим в виде симплициального комплекса L. Для непрерывного отображения f : |K | |L| существует симплициальная ап проксимация : K (N) L. Отображение не сюръективно, потому что его образ содержится в n-мерном остове комплекса L. Отображение гомотопно отображению f согласно теореме 8.5. П р и м е р. Пусть K – триангуляция n-мерного симплекса L с вер шинами v0, v1,..., vn. Предположим, что вершины K помечены числами 0, 1,..., n. Построим симплициальное отображение : |K | |L|, сопо ставив каждой вершине a K вершину vi, где i – пометка вершины a.

Отображение является симплициальной аппроксимацией тождествен ного отображения |K | |K | = |L| тогда и только тогда, когда набор по меток такой, как в условии леммы Шпернера, т. е. пометка вершины a, принадлежащей некоторой грани симплекса L, совпадает с одной из вер шин этой грани.

Следующая теорема выводится из леммы Шпернера (в уточнённой форме: теорема 6.9 на с. 95), но её формулировка без использования понятия симплициального отображения выглядела бы слишком неесте ственно.

Т е о р е м а 8.9 (комбинаторная формула Лефшеца [85]). Пусть K – триангуляция n-мерного симплекса L, : K L – симплици альное отображение, i – количество i-мерных симплексов i K, для которых i (i), с учётом знака). Тогда 0 1 + 2... + + (1) n n = 1.

) Если симплексы i и (i) одинаково ориентированы, то берётся знак плюс, а если они ориентированы противоположно, то берётся знак минус. Отметим, что если i (i), то симплекс (i) имеет ту же размерность, что и i.

§ 8. Симплициальные комплексы   ¤ ¤ ¤ ¤     ¤ ¤ Рис. 44. Построение комплекса K Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v0, v1,..., vn – вершины симплек са L, m – его центр масс, точка ai выбрана так, что m лежит на отрезке [ai, vi ] и |ai m| = k|mvi |, где k 0 – фиксированное число. Если k до статочно велико, то симплекс L = [v0,..., vn ] лежит внутри симплек са [a0,..., an ].

Рассмотрим симплициальный комплекс K1, вершинами которого яв ляются точки a0,..., an и вершины комплекса K (напомним, что K – триангуляция L);

симплексами K1 являются симплексы K и симплексы, одной из вершин которых служит ai, а остальными вершинами служат вершины симплекса из K, расположенного на грани [v0,..., vi,..., vn ].

Пример построения комплекса K1 при n = 2 приведён на рис. 44. Опре делим симплициальное отображение : K1 L так, чтобы оно совпадало с на K K1 и переводило ai в vi. Поме- ¦ тим каждую вершину a комплекса K1, сопо ставив ей номер i вершины vi = (a). Такой набор пометок удовлетворяет лемме Шпер нера, поэтому n = 1. Остаётся доказать, что  © n = 0 1 + 2... + (1) n n.   §© Рассмотрим сначала для наглядности слу чай n = 2 (рис. 45). Каждой вершине vi K1, ¦© помеченной числом i, соответствует симплекс § [vi, a j, ak ] в K1 с полным набором пометок.

Этот симплекс ориентирован положительно Рис. 45. Ориентации сим (т. е. так же, как и симплекс [a0, a1, a2 ]). Если плексов одномерный симплекс [x, y] в K1 с пометками p и q даёт вклад в 1, то он по условию лежит на отрезке [v p, vq ]. Ребру [x, y] соответствует сим плекс [x, y, ar ], r = p, q, с полным набором пометок. Ориентация этого симплекса противоположна ориентации ребра [x, y] на ребре [v p, vq ], потому что ориентации симплексов [a0, a1 ] и [v0, v1 ] противоположны (эти симплексы расположены на параллельных прямых, поэтому име 122 Глава III. Топологические пространства ет смысл говорить о согласованности их ориентаций). Наконец, если симплекс [x, y, z] в K1 даёт вклад в 2, то он имеет полный набор поме ток. При этом ориентации симплекса [x, y, z] относительно [v0, v1, v2 ] и относительно [a0, a1, a2 ] совпадают, поскольку симплексы [v0, v1, v2 ] и [a0, a1, a2 ] одинаково ориентированы.

Для произвольного n рассуждения аналогичны. Чередование знаков происходит из-за того, что симплексы [vi0, vi1,..., vik ] и [ai0, ai1,..., aik ] одинаково ориентированы при чётном k и противоположно ориентирова ны при нечётном k. 8.5. Нерв покрытия Произвольному семейству подмножеств U = {U } множества X можно сопоставить симплициальный комплекс N = N(U), вершины {v } кото рого находятся во взаимно однозначном соответствии с множествами {U }, причём набор v0,..., vk является симплексом тогда и только тогда, когда U0... Uk =. Если X – топологическое пространство и U – его покрытие (не обязательно открытое), то N называют нервом покрытия U.

П р и м е р. Пусть K – симплициальный комплекс с вершинами {v }, U = st v – звезда вершины v, т. е. объединение внутренностей всех симплексов, содержащих v. Тогда нерв покрытия {U } совпадает с K.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вершины v0,..., vk образуют симплекс k тогда и только тогда, когда st v0... st vk = st k =. Будем называть открытое покрытие U пространства X стягивае мым, если все непустые конечные пересечения U0... Uk стягива емы. Нерв стягиваемого покрытия несёт много информации о гомото пическом строении пространства X. Например, справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а 8.10. Пусть U = {U } – стягиваемое локально ко нечное покрытие паракомпактного пространства X. Тогда нерв N = N(U) гомотопически эквивалентен X.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Стягиваемость покрытия и паракомпакт ность пространства используются в разных местах доказательства.

Поэтому будем считать, что U – произвольное локально конечное от крытое покрытие произвольного пространства X. Построим вспомога тельное пространство XU следующим образом. Для каждого непустого пересечения U0... Un = U0...n рассмотрим прямое произведе ние U0...n n 0...n, где n 0...n – симплекс с вершинами 0,..., n. Затем в дизъюнктном объединении таких топологических про странств произведём следующую склейку: отождествим точку (x, y), где § 8. Симплициальные комплексы x U0...n и y [0... i... n ] n 0...n, с соответствующей точкой n пространства U0...i...n 0...i...n ;

здесь мы пользуемся тем, что U0...n U0...i...n.

Ш а г 1. Если пространство X паракомпактно, то X XU.

Пусть p : XU X – отображение, индуцированное естественными проекциями U0...n n 0...n U0...n. Это отображение непрерывно, поскольку покрытие U открытое. Каждую точку множества p 1 (x) можно записать в виде суммы t x, где t 0, t = 1 и x = x для U x.

Эта сумма конечная, поскольку покрытие локально конечное.

Из паракомпактности пространства X следует, что существует разби ение единицы { }, подчинённое покрытию {U }, т. е. supp U. По строим отображение s : X XU следующим образом: s(x) = (x)x ;

здесь имеется в виду, что если (x) = 0, то соответствующее слагаемое нулевое, а если (x) = 0, то x U и мы полагаем x = x. Ясно, что p s = idX. Нужно лишь проверить, что s p idXU. Пусть точка x при надлежит множествам U0,..., Un и не принадлежит никаким другим множествам U. Тогда точки y = t x и s p(y) = x принадле жат симплексу с вершинами x0,..., xn. Требуемая гомотопия строится следующим образом: мы соединяем точки y и s p(y) отрезком и равно мерно подтягиваем точку s p(y) к точке y.

Ш а г 2. Если покрытие U стягиваемое, то XU |N(U)|.

Возьмём пространство XU. Сначала над каждой вершиной стянем в точку множество U, затем над каждой внутренней точкой ребра [, ] стянем в точку множество U,, затем над каждой внутренней точкой сим плекса [,, ] стянем в точку множество U,, и т. д. В итоге получим пространство |N(U)|. 8.6. Псевдомногообразия Конечный симплициальный комплекс K называют n-мерным псев домногообразием, если выполняются следующие условия:

– однородность: каждый симплекс из K является гранью некото рого n-мерного симплекса ;

– неразветвлённость: каждый (n 1)-мерный симплекс из K яв ляется гранью не более чем двух n-мерных симплексов ;

– сильная связность: для любых двух n-мерных симплексов n и a b найдётся последовательность симплексов n = n, n,..., n = n, n 1 a k b в которой соседние члены n и n имеют общую (n 1)-мерную грань.

i i+ Объединение всех (n 1)-мерных симплексов n-мерного псевдом ногообразия Mn, которые являются гранью ровно одного n-мерного 124 Глава III. Топологические пространства симплекса, называют краем и обозначают Mn. Если Mn =, то псев домногообразие Mn называют замкнутым. В замкнутом псевдомно гообразии Mn любой (n 1)-мерный симплекс является гранью ровно двух n-мерных симплексов.

Назовём ориентацией симплекса n Rn семейство всех одинако во ориентированных реперов в Rn с началами в точках симплекса n.

При n 0 каждый симплекс имеет ровно две ориентации. Если симплекс снабжён ориентацией, то эту ориентацию называют положительной, а противоположную ориентацию называют отрицательной.

Ориентация симплекса n индуцирует ориентацию его грани n n следующим образом. Выберем в точке x n1 положительно ориентированный репер, первые n 1 векторов которого принадле жат n1, а последний вектор направлен внутрь n. Ориентацию, заданную в n1 первыми n 1 векторами, будем считать положи тельной.

Псевдомногообразие Mn называют ориентируемым, если во всех его n-мерных симплексах можно выбрать ориентацию так, что любые два симплекса, имеющие общую (n 1)-мерную грань, индуцируют на ней противоположные ориентации. Из условия сильной связности следует, что если псевдомногообразие ориентируемо, то его ориентацию можно выбрать ровно двумя способами. Ориентируемое псевдомногообразие Mn с фиксированной ориентацией называют ориентированным.

П р и м е р. Представим лист Мёбиуса в виде абстрактного симпли циального комплекса с шестью вершинами (рис. 46). Реализовав этот абстрактный симплициальный комплекс в R5 (это можно сделать со гласно теореме 8.4 на с. 116), получим неориентируемое псевдомного образие.

П р и м е р. Пусть Mn Rm – псевдомногообразие (возможно, с краем). Вложим Rm в Rm+1 и выберем в Rm+1 \ Rm точку a. Объ единение всех отрезков вида [a, x], где x Mn, является (n + 1)-мерным псевдомногообразием. Его называют надстройкой над Mn и обозначают Mn.

  ¤   Рис. 46. Триангуляция листа Мёбиуса § 8. Симплициальные комплексы З а м е ч а н и е. Надстройка над обычным (топологическим или глад ким) замкнутым многообразием Mn может быть многообразием лишь в том случае, когда Mn – гомологическая сфера. Таким образом, псев домногообразия образуют более широкий класс, чем многообразия.

С другой стороны, если Mn – псевдомно гообразие и (Mn) n2 – его (n 2)-мерный остов, то Mn \ (Mn) n2 является много образием, т. е. псевдомногообразие стано вится многообразием после выбрасывания множества коразмерности 2.

П р и м е р. Надстройка над 2-мер ным псевдомногообразием, изображенным на рис. 47, является 3-мерным псевдом ногообразием, край которого – не псев домногообразие (не выполняется условие Рис. 47. Край надстройки – не псевдомногообразие сильной связности).

8.7. Степень отображения в евклидово пространство Пусть Mn – псевдомногообразие размерности n. Будем называть отображение f : Mn Rm симплициальным, если ограничение f на каж дый симплекс является линейным отображением (в аффинном смыс ле). Симплициальное отображение Mn Rm полностью определяется ограничением на 0-мерный остов (Mn) 0, причём любое отображение (Mn) 0 Rm продолжается до симплициального отображения Mn Rm.

Рассмотрим симплициальное отображение f : Mn Rn (размерности одинаковые). Назовём точку y Rn регулярным значением отображе ния f, если точка y не принадлежит образу (n 1)-мерного остова псев домногообразия Mn. Регулярные значения образуют в Rn всюду плотное подмножество.

Пусть Mn – ориентированное псевдомногообразие, f : Mn Rn – симплициальное отображение и y – регулярное значение отображения f.

Назовём степенью отображения f относительно точки y число deg(f, y) = sgn J f (x), x f 1 (y) где sgn J f (x) – знак якобиана отображения f в точке x, т. е. sgn J f (x) = 1, если симплекс n, внутри которого лежит точка x, отображается на сим плекс f(n) Rn с сохранением ориентации;

в противном случае sgn J f (x) = 1.

126 Глава III. Топологические пространства Т е о р е м а 8.11. Пусть Mn – ориентированное псевдомного образие, f : Mn Rn – симплициальное отображение, y1 и y2 – регулярные значения отображения f. Тогда если точки y1 и y принадлежат одной и той же компоненте связности множества Rn \ f(Mn), то deg(f, y1) = deg(f, y2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Образ (n 2)-мерного остова псевдомного образия Mn не разбивает Rn, поскольку (n 2)-мерное подпространство в Rn не разбивает Rn. Поэтому в Rn существует конечнозвенная лома ная L с концами y1 и y2, которая не пересекает образ (n 2)-мерного остова, не пересекает f(Mn) и пересекает образ (n 1)-мерного остова лишь в конечном числе точек a1,..., ak. Множество f 1 (ai) не содержит точек, принадлежащих симплексам размерности n 2, поэтому множе ство f 1 (ai) является объединением конечного числа множеств, каждое из которых либо состоит из одной внутренней точки (n 1)-мерной грани, либо представляет собой отрезок внутри n-мерной грани, соединяющий внутренние точки двух его (n 1)-мерных граней.

По условию f 1 (ai) Mn =, поэтому как внутренней точке (n 1)-мерного симплекса, так и отрезку внутри n-мерного симплекса соответствуют два n-мерных симплекса. Если образы этих симплексов имеют одинаковые ориентации, то при прохождении через точку ai количество прообразов не изменяется и знаки якобианов в них тоже не изменяются: см. рис. 48 (а);

при этом мы имеем в виду только прообразы, принадлежащие двум рассматриваемым симплексам. Если же образы симплексов имеют разные ориентации, то либо возникают, либо исчезают два прообраза с противоположными знаками якобиана (рис. 48 (б)). Сумма знаков якобианов при этом не изменяется. Т е о р е м а 8.12. Пусть Mn – ориентированное псевдомногооб разие, f, g : Mn Rn – симплициальные отображения, ограничения которых на Mn совпадают. Предположим, что y – регулярное значение отображений f и g. Тогда deg(f, y) = deg(g, y).

        ¤ ¤ Рис. 48. Прохождение через критическое значение § 8. Симплициальные комплексы Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим семейство отображений ft = = (1 t) f + tg. Ясно, что f0 = f, f1 = g и ограничение отображения ft на Mn не зависит от t.

Пусть X – компонента связности множества Rn \ ft (Mn), содержа щая точку y (множество X не зависит от t, потому что множество ft (Mn) не зависит от t). Множество X открытое, поэтому регулярные значения отображения ft образуют в нём всюду плотное подмножество. В частно сти, каждое отображение ft имеет регулярное значение yt X. Соглас но теореме 8.11 deg(ft, yt) не зависит от выбора регулярного значения yt X, поэтому можно определить функцию (t) = deg(ft, yt).

Для любого регулярного значения yt X отображения ft существует 0, обладающее следующими свойствами: при всех (t, t + ) [0, 1] точка yt является регулярным значением отображения f и про образ f (yt ) при всех состоит из одного и того же числа точек с одними и теми же знаками якобианов. Действительно, если yt – внутренняя точка образа n-мерного симплекса при линейном отображении в Rn, то при малом шевелении линейного отображения точка yt останется внутренней точкой образа. Итак, функция (t) постоянна на множестве Ut = (t, t + ) [0, 1]. Семейство множеств {Ut }, t [0, 1], образует открытое покрытие отрезка [0, 1]. Выбрав из этого покрытия конечное подпокрытие, легко убедиться, что функция (t) постоянна на всём отрезке [0, 1], поэтому (0) = (1), т. е. deg(f, y1) = deg(f, y0). С помощью теоремы 8.12 легко доказывается лемма Шпернера, при чём даже в уточнённой форме (теорема 6.9 на с. 95). Основная идея дока зательства ясна уже в случае 2-мерных симплексов, поэтому мы ограни чимся этим случаем (подробное доказательство для n-мерных симплексов приведено в [130]). Вложим триангулированный симплекс в больший симплекс и триангулируем этот новый объект (рис. 49). При этом нуж но, чтобы не появилось новых симплексов с полными наборами поме                                                                                                       Рис. 49. Дополнительная триангуляция симплекса 128 Глава III. Топологические пространства ток;

этого легко добиться. Большой триангулированный симплекс являет ся ориентированным псевдомногообразием. Рассмотрим симплициальное отображение f этого псевдомногообразия на фиксированный симплекс в Rn с полным набором пометок (вершина с номером i отображается в вершину с номером i). На крае отображение f совпадает с тожде ственным отображением, поэтому его степень (относительно внутренней точки симплекса ) равна 1. Но степень отображения f как раз и равна разности между количествами симплексов с полным набором пометок с положительной и отрицательной ориентациями. А по построению новых симплексов с полным набором пометок не появилось.

8.8. Теорема Борсука– Улама В 1933 г. К. Борсук [38] доказал следующее утверждение, предполо жение о справедливости которого высказал ранее С. Улам.

Т е о р е м а 8.13 (Борсук– Улам). Пусть f : S n Rn – непрерыв ное отображение. Тогда f(x) = f(x) для некоторой точки x S n.

Точки x и x называют антиподами, поэтому теорему Борсука– Улама иногда называют теоремой об антиподах.

Отображение g : S n Rn называют нечётным, или антиподаль ным, если g(x) = g(x). Легко видеть, что теорема Борсука– Улама эквивалентна следующему утверждению.

Т е о р е м а 8.14. Пусть g : S n Rn – нечётное отображение.

Тогда g(x) = 0 для некоторой точки x S n.

Действительно, если f : S n Rn – произвольное отображение, то отображение g(x) = f(x) f(x) нечётно, а равенство f(x) = f(x) эк вивалентно равенству g(x) = 0. Наоборот, если g : S n Rn – нечётное отображение и теорема Борсука– Улама верна, то g(x) = g(x) для неко торой точки x S n. С другой стороны, g(x) = g(x), поэтому g(x) = 0.

Теорему 8.14 мы выведем из следующего утверждения.

Т е о р е м а 8.15. Пусть h : D n Rn – отображение, ограниче ние которого на S n1 = D n нечётно. Тогда h(x) = 0 для некоторой точки x D n.

Чтобы вывести теорему 8.14 из теоремы 8.15, нужно в качестве D n взять сечение шара D n+1 (с краем S n) плоскостью, проходящей через центр, а в качестве h взять композицию проекции D n на полусферу и отображения g.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 8.15. Вместо D n мы будем рас сматривать n-мерный куб I n, где I = [1, 1]. Этот куб симметричен отно сительно начала координат. Предположим, что ограничениеотображения § 8. Симплициальные комплексы h : I n Rn на I n нечётно и 0 h(I n). Множество h(I n) компактно, по этому оно не пересекается с некоторым шаром с центром 0. Пусть r – радиус этого шара.

Из равномерной непрерывности отображения h следует, что для до статочно мелкой триангуляции куба I n образ любого симплекса лежит в шаре диаметра r. Для каждой вершины v такой триангуляции по ложим h (v) = h(v) и продолжим отображение h на каждый симплекс по линейности. Любая точка x I n принадлежит какому-то симплексу триангуляции, поэтому точки h(x) и h (x) принадлежат одному и тому же шару диаметра, а значит, h(x) h (x).

Триангуляцию куба I n можно построить так, что она будет симметрич на относительно начала координат. В таком случае ограничение отобра жения h (x) на I n нечётно. Кроме того, из неравенства h(x) h (x) следует, что 0 h (I n).

Чтобы прийти к противоречию, достаточно построить симплици альное отображение : I n Rn, ограничение которого на I n совпа дает с h и для которого deg(, 0) – нечётное число. Действительно, с одной стороны deg(h, 0) = 0;

с другой стороны, по теореме 8. deg(, 0) = deg(h, 0).

Ясно, что если : I n Rn – нечётное отображение и 0 – его регу лярное значение, то deg(, 0) – нечётное число. Действительно, 1 (0) состоит из точки 0 и пар вида (x, x), а чётность суммы ±1 зависит лишь от количества слагаемых.

Построить нечётное отображение совсем просто. Нужно взять вну тренние вершины симметричной триангуляции, полученной при постро ении отображения h, и произвольно отобразить симметричные верши ны в симметричные точки Rn. При этом для вершины v I n полагаем (v) = h (v). Затем продолжаем отображение по линейности.

Остаётся последняя чисто техническая трудность: точка 0 является вершиной триангуляции, поэтому 0 = (0) – не регулярное значение.

Сделать точку 0 регулярным значением можно следующим образом.

Пусть W – объединение всех симплексов с вершиной 0. Можно считать, что W I n =. Для вершины v W положим (v) = v. Тогда |W – тождественное отображение, поэтому оно останется симплициальным при любой триангуляции множества W. Теперь малым шевелением вершин, не принадлежащих I n, можно добиться того, что точка 0 Rn будет регулярным значением отображения. Приведём ещё одно утверждение, эквивалентное теореме Борсука– Улама.

Т е о р е м а 8.16. Пусть m n 1. Тогда не существует нечёт ного отображения f : S m S n.

130 Глава III. Топологические пространства Действительно, если m n 1, то нечётное отображение S m S n яв ляется также и нечётным отображением S m S n Rn+1 \ {0} Rm \ {0}.

Поэтому из теоремы Борсука– Улама следует теорема 8.16. Наоборот, по нечётному отображению S m Rm \ {0} легко построить нечётное отоб ражение S m S m1.

З а м е ч а н и е. Весьма простое доказательство теоремы Борсука– Улама приведено в [95]. Приведённое нами доказательство теоремы 8. имеет много общего с [61].

З а д а ч а 8.4.* а) (лемма Такера [127]) Пусть задана такая триан гуляция n-мерного куба I n, что его граница I n триангулирована сим метрично относительно центра. Предположим, что вершины этой три ангуляции помечены числами ±1, ±2,..., ±n, причём если v I n – вершина триангуляции, то вершины v и v помечены числами, сумма которых равна 0. Докажите, что тогда существуют смежные (т. е. со единённые ребром) вершины триангуляции, помеченные числами, сумма которых равна 0.

б) Докажите теорему Борсука– Улама с помощью леммы Такера.

З а м е ч а н и е. Чисто алгебраическое доказательство теоремы Бор сука– Улама для полиномиальных отображений приведено в [16].

8.9. Следствия и обобщения теоремы Борсука– Улама Из теоремы Борсука– Улама можно вывести много интересных след ствий. Одно из них Борсук привёл в той самой статье [38], в которой он доказал теорему Борсука– Улама. Но ранее эту теорему уже доказали Люстерник и Шнирельман [9, с. 26].

Т е о р е м а 8.17 (Люстерник– Шнирельман). Пусть сфера S n по крыта замкнутыми множествами F1,..., Fn+1. Тогда одно из них содержит пару диаметрально противоположных точек сферы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Fi множество, симмет ричное Fi относительно центра сферы. Покажем, что если Fi (Fi) = при i = 1,..., n, то Fn+1 (Fn+1) =.

Применив лемму Урысона (см. с. 67) к непересекающимся за мкнутым множествам F1 и F1, лежащим в Rn+1, можно постро ить непрерывную функцию 1 : S n [0, 1], для которой 1 (F1) = и 1 (F1) = 1 (лемма Урысона даёт функцию f, для которой f(F1) = и f(F1) = 1;

мы полагаем 1 = (1 + f) /2). Аналогично построим функ ции 2,..., n. Рассмотрим отображение : S n Rn, заданное фор мулой (x) = (1 (x),..., n (x)). Согласно теореме Борсука– Улама су ществует точка x0 S n, для которой (x0) = (x0). Если x ±Fi, i = 1,..., n, то i (x) i (x) = ±1, поэтому i (x) = i (x). Следо § 8. Симплициальные комплексы n n n вательно, x0 Fi и x0 (Fi) = Fi. Поэтому x0 Fn+1 и i=1 i=1 i= x0 Fn+1. Т е о р е м а 8.18. Пусть F1,..., Fn – измеримые подмножества Rn. Тогда существует гиперплоскость, которая делит каждое множество Fi на две части одинакового объёма.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x S n1 Rn и центр сферы S n расположен в начале координат. Для c R положим c (x) = {y Rn | (y, x) = c}.

Легко проверить, что для каждого вектора x S n1 существует един ственное число c R, для которого гиперплоскость c (x) делит F1 на две части равного объёма. Положим 1 (x) = c. Для x и x гиперплоскость, делящая F1 пополам, одна и та же. Ясно также, что c (x) = c (x), поэтому 1 (x) = c. Аналогично определим функции 2,..., n и рас смотрим отображение : S n1 Rn1, заданное формулой (x) = n (x) 1 (x),..., n (x) n1 (x).

Ясно, что (x) = (x). Поэтому по теореме Борсука– Улама суще ствует точка x0 S n1, для которой (x0) = 0, т. е. 1 (x0) = 2 (x0) =... = = n (x0) = c. Гиперплоскость c (x0) обладает требуемыми свойствами. Легко доказать, что длина замкнутой центрально симметричной кри вой на единичной сфере S m не меньше 2 (центрально симметричная кри вая содержит две диаметрально противоположные точки, а длина любой дуги, соединяющей две диаметрально противоположные точки, не мень ше ). Это утверждение имеет следующее обобщение.

З а д а ч а 8.5.* [34] Пусть S n и S m – единичные сферы, : S n S m – нечётное отображение. Докажите, что тогда n-мерный объём множества (S n) не меньше n-мерного объёма S n.

Из теоремы Борсука– Улама можно также вывести утверждение, ко торое является нелинейным обобщением известной теоремы Радона:

«Если множество A Rn содержит по крайней мере n + 2 точки, то в A можно выбрать непересекающиеся подмножества B и C так, что их выпуклые оболочки будут иметь общую точку.» При доказательстве теоремы Радона достаточно ограничиться случаем, ко гда A состоит ровно из n + 2 точек, поэтому её можно сформулировать следующим образом: «Пусть f : n+1 Rn – линейное отображение. То гда в n+1 можно выбрать две непересекающиеся грани, образы которых пересекаются.» Нелинейное обобщение этой теоремы заключается в том, что линейное отображение f можно заменить на произвольное непре 132 Глава III. Топологические пространства рывное отображение f. А именно, справедливо следующее утверждение, которое мы сформулируем в виде задачи.

З а д а ч а 8.6.* [33] а) Пусть P – невырожденный (т. е. содержа щий некоторый (n + 1)-мерный шар) выпуклый многогранник в Rn+1, f : P Rn – непрерывное отображение. Докажите, что тогда существу ют непересекающиеся грани) многогранника P, образы которых пересе каются.

б) Докажите, что если f : n+1 Rn – непрерывное отображение n+ и n,..., n – n-мерные грани симплекса n+1, то f(n) =.

1 i n+ i= § 9. CW-комплексы Для гомотопической топологии во многих отношениях наиболее удоб ны CW -комплексы, введённые Уайтхедом [140]. CW -комплексы строят ся из замкнутых дисков D n посредством склейки их краёв D n = S n1.

Поэтому сначала мы обсудим общую операцию приклеивания по отобра жению.

9.1. Приклеивание по отображению Приклеивание пространства X к пространству Y по отображению : A Y, где A X, определяется следующим образом. Рассмотрим дизъюнктное объединение X Y топологических пространств X и Y.

Введём в X Y следующее отношение эквивалентности: a (a) для всех a A. Факторпространство по этому отношению эквивалентности обозначают Y X.

Естественная проекция Y Y X всегда инъективна, а естествен ная проекция X Y X инъективна лишь в том случае, когда отобра жение : A Y инъективно;

ограничение естественной проекции на X \ A инъективно.

Множество U Y X открыто (замкнуто) тогда и только тогда, ко гда открыты (замкнуты) его прообразы в X и Y при естественной проекции p : X Y Y X.

П р и м е р. Пусть X = R, A = {x R | x 0}, Y = R и : A Y – тождественное отображение, т. е. (x) = x для всех x A (рис. 50). Тогда пространство Y X нехаусдорфово: образы точек 0 X и 0 Y в Y X различны, но любые их окрестности пересекаются.

) Здесь имеются в виду не только грани максимальной размерности n, но и грани меньшей размерности.

§ 9. CW -комплексы   Рис. 50. Приклеивание по отображению Нехаусдорфовость, возникшая в примере 9.1, связана с тем, что склейка производится по незамкнутому множеству.

Т е о р е м а 9.1. Пусть X и Y – нормальные топологические пространства, A X – замкнутое подмножество и : A Y – непрерывное отображение. Тогда пространство Y X нормально.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего докажем, что любая точка c Y X является замкнутым множеством. Если c p(X \ A) или c p(Y) \ p(A), то p 1 (c) состоит из одной точки (лежащей в X или в Y). Если же c p(A), то прообраз c в Y состоит из одной точки c, а прообразом c в X служит множество 1 (c), которое замкнуто, потому что отображение непрерывно.

Пусть C1 и C2 – замкнутые непересекающиеся подмножества про странства Y X. Тогда множество C = C1 C2 замкнуто и функция f : C I, принимающая на C1 значение 0, а на C2 значение 1, непре рывна. Поэтому достаточно доказать, что любую непрерывную функцию f : C I, где C Y X – замкнутое подмножество, можно продолжить на всё пространство Y X.

Пусть C Y X – замкнутое множество, f : C I – непрерывная функция. Рассмотрим замкнутые множества CX = p 1 (C) X и CY = = p 1 (C) Y. На этих множествах функция f определяет функции p f p f fX : CX C I и fY : CY C I. По теореме Титце функцию fY можно продолжить до функции FY : Y I. На множестве A функция FY F определяет функцию fA : A Y I. На множестве CX A непрерывные Y функции fX и fA совпадают, поэтому они определяют непрерывную функцию fXA : CX A I.

Теперь настала пора воспользоваться замкнутостью множества A.

Нам нужно продолжить функцию fXA, определённую на множестве CX A, где CX – замкнутое множество. По условию множество A замкну то, поэтому множество CX A тоже замкнуто. По теореме Титце функцию fXA можно продолжить до функции FX : X I. При этом если x A, то FX (x) = FY ((x)). Поэтому функции FX и FY определяют функцию F на Y X. Из непрерывности функций FX и FY следует непрерывность 134 Глава III. Топологические пространства функции F. По построению F |C = f, т. е. F – требуемое продолжение функции f. 9.2. Определение CW-комплексов Топологическое пространство X называют CW -комплексом, ес X i, где X 0 – дискретное пространство и пространство X i+ ли X = i= получается посредством приклеивания к X i дизъюнктного объедине i+ ния (i + 1)-мерных дисков D по непрерывному отображению A S X i, где S = D. При этом должны выполняться свой i i i+ :

A ства (c) и (w), которые мы сейчас сформулируем.

Назовём образы D и int D при естественной проекции в X i+ i+1 i+ X, соответственно, замкнутой и открытой клетками размерности i + 1. Свойства (c) и (w), о которых шла речь, таковы:

(c) каждая замкнутая клетка пересекает лишь конечное число откры тых клеток;

(w) множество C X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуты все пересечения C с замкнутыми клетками.

Отметим, что если число клеток конечно, то свойства (c) и (w) вы полняются автоматически.

Обозначения (c) и (w) – это сокращения от «closure nite» и «weak topology».

Открытые клетки попарно не пересекаются и покрывают всё про странство X.

Пространство X i называют i-мерным остовом CW -комплекса X.

Если у CW -комплекса X есть клетки размерности n и нет клеток раз мерности более n, то X называют n-мерным CW -комплексом.

Естественную проекцию i+1 : D X i+1 X называют характе i+ ристическим отображением клетки.

П р и м е р. Пусть X 0 = S 1 = D 2 – дискретный набор точек;

X 1 = = X 0, а X 2 = X получается приклеиванием D 2 к X 0 по тождественному отображению S 1 S 1. В таком случае для пространства X выполняется свойство (w), но не выполняется свойство (c).

П р и м е р. Пусть Sn – окружность радиуса 1/n с центром (0, 1/n), X = Sn (рис. 51);

топология пространства X индуцирована n= из R2. Рассмотрим естественное взаимно однозначное отображение f : X Y, где Y – CW -комплекс с одной 0-мерной клеткой и приклеен § 9. CW -комплексы ными к ней (обоими концами) клетками Dn, n = 1, 2,... Отображение f не является гомеоморфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем на каждой окружности Sn точ ку xn, отличную от начала координат. Пусть F – подмножество в X, состоящее из точек xn, n = 1, 2,... Множество F не замкнуто, потому что lim xn = (0, 0) F.

n С другой стороны, множество f(F) замкнуто, потому что его пересечение с каждой замкну той 1-мерной клеткой состоит ровно из одной точки. Одно из важнейших достоинств CW -ком плексов состоит в том, что их непрерывные отоб- Рис. 51. Простран ражения можно строить индукцией по остовам, ство, не гомеоморф непрерывно продолжая внутрь клетки отобра- ное CW -комплексу жение, заданное на её границе. При этом обя зательно получится непрерывное отображение f : X Y всего CW -ком плекса, потому что множество f 1 (C) замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с любой замкнутой клеткой.

Подпространство A X, где X – CW -комплекс, называют подком плексом, если A замкнуто в X и является объединением некоторого се мейства открытых клеток.

Приведём теперь некоторые важнейшие примеры CW -комплексов.

Сфера S n является CW -комплексом с одной 0-мерной клеткой и с од ной n-мерной клеткой. На S n можно также ввести структуру CW -ком плекса с двумя клетками каждой размерности от 0 до n. Это легко сделать по индукции: к экватору S n1 S n приклеивается северное полушарие и южное полушарие.

Вещественным проективным пространством RP n называют факторпространство Rn+1 \ {0} по следующему отношению эквивалентно сти: x x для всех R \ {0}. Заменив в этом определении R на C, по лучим определение комплексного проективного пространства CP n.

Точке (x1,..., xn+1) Rn+1 \ {0} соответствует точка (x1 :... : xn+1) RP n ;

числа x1,..., xn+1 называют при этом однородными коорди натами точки RP n. Для CP n обозначения аналогичны. Отображение (x1 : x2) x1 /x2 является гомеоморфизмом множества RP 1 \ {(1 : 0)} на R1, поэтому RP 1 S 1. Аналогично доказывается, что CP 1 S 2.

Чтобы ввести на RP n структуру CW -комплекса, рассмотрим отобра жение f : D n RP n, заданное формулой 2 f(x1,..., xn) = x1 :... : xn : 1 x1... xn.

136 Глава III. Топологические пространства Образ границы S n1 D n лежит в RP n1 = {(x1 :... : xn : xn+1) RP n : xn+1 = 0}.

Кроме того, отображение f гомеоморфно отображает int D n на RP n \ RP n1 ;

обратное отображение имеет вид (x1 :... : xn+1) (1 x1 xn+1,..., 1 xn xn+1), где 2 = xn+1 (x1 +... + xn), 0. Таким образом, RP n получается из 2 2 RP n1 приклеиванием одной клетки размерности n.

Аналогично можно показать, что CP n получается из CP n1 приклеи ванием одной клетки размерности 2n. Будем считать, что D 2n = {(z1,..., zn) Cn | |z1 |2 +... + |zn |2 1}.

Рассмотрим отображение f : D 2n CP n, заданное формулой 1 |z1 |2... |zn |2.

f(z1,..., zn) = z1 :... : zn :

На CP n \ CP n1 обратное отображение имеет вид (z1 :... : zn+1) (1 z1 zn+1,..., 1 zn zn+1), где 2 = |zn+1 |2 (|z1 |2 +... + |zn |2), 0. Таким образом, на CP n мож но ввести структуру CW -комплекса, имеющего клетки размерностей 2i, где i = 0, 1,..., n.

З а д а ч а 9.1. Докажите, что CP n получается из D 2n Cn отожде ствлением следующих точек D 2n = S 2n1 : x x для всех C, || = 1.

Те же самые конструкции, с помощью которых мы строили CW -ком плексы S n, RP n и CP n, позволяют построить CW -комплексы S, RP и CP.

З а д а ч а 9.2. Докажите, что пространство S стягиваемо.

CW -комплексы во многом похожи на симплициальные комплексы.

Можно даже доказать, что любой CW -комплекс гомотопически эквива лентен симплициальному комплексу (доказательство этого утверждения приведено, например, в [13] и в [19]). Но существуют и CW -комплек сы, не гомеоморфные симплициальным комплексам. Чтобы построить пример такого CW -комплекса, рассмотрим непрерывную функцию на от резке I = [0, 1], заданную формулой f(x) = x sin( /2x) при x 0, f(0) = (рис. 52);

образом отрезка I при отображении f служит отрезок [y1, 1].

Зададим отображение I 2 R3 формулой (x, y) (x, xy, f(y)) (рис. 53). В плоскости x = 1 получаем график функции f. В плоскости x = c, 0 c 1, получаем такой же график, только сжатый в c раз § 9. CW -комплексы §   ¤ = © ¦  Рис. 52. График функции f Рис. 53. График отображения квадрата в направлении оси y. Наконец, в плоскости x = 0 получаем отрезок (0, 0, z), где z [y1, 1].

Рассмотрим CW -комплекс X, 0-мерные клетки которого – образы вершин квадрата I 2 и точка (0, 0, y1), 1-мерные клетки – образы сторон квадрата и отрезок оси z от 0 до y1, 2-мерная клетка – образ квадрата.

Нетрудно убедиться, что построенный CW -комплекс X не гомеомор фен никакому симплициальному комплексу, т. е. X – нетриангулируе мый CW -комплекс. Действительно, X – компактное топологическое про странство, поэтому симплициальный комплекс, гомеоморфный X, обязан иметь конечное число вершин. С другой стороны, все точки (0, 0, yi), где yi – значение функции f в точке локального максимума или миниму ма, обязаны быть вершинами симплициального комплекса, гомеоморф ного X. Это следует из строения малых окрестностей этих точек. В двух наиболее простых случая эти окрестности изображены на рис. 54 (а).

       Рис. 54. Строение окрестности точки yi 138 Глава III. Топологические пространства В остальных случаях добавляется ещё несколько полуплоскостей;

до полнительные полуплоскости изображены на рис. 54 (б).

9.3. Топологические свойства CW -комплексы обладают многими хорошими топологическими свойствами: любой CW -комплекс является хаусдорфовым (и даже нормальным) пространством;

для CW -комплексов нет разницы между связностью и линейной связностью, любой CW -комплекс является локально стягиваемым пространством;

любой CW -комплекс являет ся паракомпактным пространством. Приступим к доказательству этих и других свойств CW -комплексов.

Т е о р е м а 9.2. Любой CW -комплекс X является нормальным топологическим пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что любой остов X n яв ляется нормальным пространством. При n = 0 это утверждение очевидно:

любая точка дискретного пространства X 0 одновременно открыта и за мкнута. Шаг индукции – теорема 9.1.

Докажем теперь нормальность пространства X. Пусть C X – за мкнутое подмножество, f : C I – непрерывная функция. Функция f за даёт на C X 0 функцию f0, которую можно продолжить до функции F на X 0. Функции f и F0 задают на замкнутом множестве (C X 1) X функцию f1, которую можно продолжить до функции на X 1, и т. д. В ре зультате получим функцию F : X I, непрерывную на каждом остове и, в частности, на каждой замкнутой клетке. Из свойства (w) следует, что функция F непрерывна. З а д а ч а 9.3. Докажите, что любое компактное подмножество CW -комплекса пересекает лишь конечное число открытых клеток.

Для CW -комплексов нет разницы между связностью и линейной связ ностью, причём критерий связности CW -комплекса достаточно прост.

Т е о р е м а 9.3. а) CW -комплекс X связен тогда и только то гда, когда связен его 1-мерный остов X 1.

б) CW -комплекс связен тогда и только тогда, когда он линейно связен.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Если n 2, то приклеивание D n к остову n по отображению S n1 X n1 не изменяет количества компонент X связности. Действительно, при n 2 образ S n1 при непрерывном отоб ражении связен, поэтому он целиком лежит в одной компоненте связно сти. Кроме того, при приклеивании D n к связному пространству получа ется связное пространство.

§ 9. CW -комплексы Ясно также, что CW -комплекс X связен, если связны его остовы X n при n 1. Если же все остовы X n несвязны, то CW -комплекс X тоже несвязен.

б) Для 1-мерных CW -комплексов нет разницы между связностью и линейной связностью. В доказательстве утверждения а) можно заме нить слово «связность» на «линейная связность», потому что при n сфера S n1 и диск D n одновременно связны и линейно связны. Топологическое пространство X называют локально стягиваемым, если для любой точки x X и для любого открытого множества U x существует такое стягиваемое открытое множество V, что x V U (стягиваемость множества V означает, что тождественное отображение V V гомотопно постоянному отображению V x). Свойство локаль ной стягиваемости весьма полезно в теории накрытий.

Т е о р е м а 9.4. Любой CW -комплекс X является локально стя гиваемым пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим индукцией по остовам стягивае мую окрестность V данной точки, которая удовлетворяет ещё и дополни тельному условию V U.

Для любой точки x X однозначно определена открытая клетка m m m int e int D, которая содержит точку x. Множество int e U открыто m в топологии пространства X. Пусть Vm – открытый шар с центром x столь малого радиуса, что Vm int e U;

ftm : Vm Vm – гомотопия, m связывающая тождественное отображение и отображение Vm x.

Предположим теперь, что для некоторого n m окрестность Vn в X n и гомотопия ftn уже построены. Займёмся построением окрестности Vn+ в X n+1 и гомотопии ftn+1. Пусть   D n+1 X n+1 – характеристическое :                                                   отображение некоторой клетки. Тогда                                + + ++ + ++ + + + + Vn = 1 (Vn) – замкнутое подмножество в S n D n+1, а U = 1 (U) – откры тое (в топологии D n+1) подмножество D n+1, причём Vn U, так как Vn U.

Множество Vn компактно, поэтому для некоторого (0, 1) множество Vn+1 = {tv | 1 1, v Vn } t содержится в U (рис. 55). Множество Рис. 55. Построение множе Vn+1 = {tv | 1 t 1, v Vn } ства Vn+ открыто в D n+1 и его замыкание совпадает с Vn+1. Легко постро ить гомотопию, связывающую тождественное отображение Vn+1 Vn+ 140 Глава III. Топологические пространства и естественную проекцию Vn+1 Vn. Построив такие окрестности Vn+1 и такие гомотопии для всех (n + 1)-мерных клеток, получим окрестность Vn+1 в X n+1, для которой Vn+1 U;

кроме того, полу чим гомотопию, связывающую тождественное отображение Vn+1 Vn+ с некоторым отображением Vn+1 Vn, тождественным на Vn. Те перь с помощью гомотопии ftn можно построить требуемую гомото пию ftn+1.

Vn открыто в X и гомотопии ftn определяют гомо Множество V = n= топию, связывающую тождественное отображение V V и постоянное отображение V x. Т е о р е м а 9.5. Любой CW -комплекс X является паракомпакт ным пространством.


Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U = {U | A} – открытое покры тие CW -комплекса X. Локально конечное покрытие V = {V | B}, вписанное в U, мы будем строить индукцией по остовам X n, n = 0, 1,...

А именно, на n-м шаге мы построим открытое покрытие {V,n } остова X n ;

при этом V,0 V,1... и V = V,n. Семейство индексов B тоже n= строится индукцией по n: на n-м шаге добавляются индексы Bn (они соответствуют тем множествам V,n, которые нужно добавить, чтобы полностью покрыть X n \ X n1).

При n = 0 положим B0 = X 0 ;

для B0 множество V,0 состоит из од ной точки X 0. Для B0 выберем () A так, что U().

Предположим, что для некоторого n 0 уже построены как се мейства индексов B0,..., Bn, так и множества V,n, B0... Bn.

Мы построим множества V,n+1 двух разных типов. Во-первых, для B0... Bn расширим множество V,n до множества V,n+1 так, чтобы множество V,n+1 было открыто в X n+1 и содержалось в U().

После этого часть множества X n+1 \ X n может остаться не покрытой множествами V,n+1. Поэтому, чтобы полностью покрыть X n+1, построим дополнительно множества V,n+1, Bn+1, так, чтобы каждое из них содержалось в некотором множестве U(). При этом подразумевается, что V,0 = V,1 =... = V,n = для Bn+1.

Начнём с расширения множеств V,n. Пусть : D n+1 X n+1 – ха рактеристическое отображение некоторой (n + 1)-мерной клетки, V,n = = 1 (V,n) и U() = 1 (U() ). Множество U = U() открыто n+1 n+ в топологии D, поэтому множество D \ U замкнуто. Кроме то го, S n = D n+1 U. Следовательно, для некоторого (0, 1) множе ство {tv | 1 t 1, v S n } содержится в U. Изменив отображение § 9. CW -комплексы, можно считать, что = 1/2. Положим V,n+1 = {tv | 1/2 t 1, v V,n }.

Множество V,n+1 мы определим как объединение всех множеств (V,n+1) для всех (n + 1)-мерных клеток. Ясно, что V,n V,n+1 U() и множество V,n+1 открыто в X n+1.

Займёмся теперь построением дополнительных множеств V,n+1. При этом мы снова будем предполагать, что характеристическое отображе ние изменено так, что = 1/2. Это означает, в частности, что если B = {tv | 0 t 3/4, v S n }, то множество D n+1 \ B уже покрыто мно жествами V,n+1, полученными при расширении множеств V,n. Остаётся покрыть множество B. Открытые множества int 1 (U) покрывают ком пактное множество B, поэтому можно выбрать конечное множество ин дексов 1,..., k так, что множества int 1 (Ui ), i = 1,..., k, покрыва ют B. Положим Vi,n+1 = (B 1 (Ui )), i = 1,..., k. Такие множества построим для всех (n + 1)-мерных клеток.

Ясно, что V X n = V,n, поэтому V – открытое множество. Кроме того, если Bn и V,n U(), то V U(). Поэтому остаётся лишь доказать, что покрытие V = {U | B} локально конечно. Сначала мы докажем индукцией по n, что Vn = {U,n | B0... Bn } – локально конечное покрытие остова X n. При n = 0 это очевидно. Пусть требуемое утверждение доказано для остовов размерности n. Рассмотрим про извольную точку x X n+1. Пусть : D n+1 X n+1 – характеристическое отображение клетки, содержащее точку x.

Предположим сначала, что точка x лежит на границе (n + 1)-мерной клетки, т. е. x X n. Тогда по предположению индукции существует открытое в X n множество Wn x, которое пересекается лишь с конечным числом множеств V,n. Положим 1, v 1 (Wn)}.

Wn+1 = {tv | 3/4 t Множество Wn+1 определим как объединение множеств (Wn+1) для всех (n + 1)-мерных клеток, содержащих точку x. Множество Wn+1 открыто в X n+1 и это множество не пересекается ни с одним из множеств V,n+1, где Bn+1 (таким множествам соответствуют t 3/4).

Предположим теперь, что точка x лежит внутри (n + 1)-мерной клетки : D n+1 X n+1. Если x – центр шара, то положим Wn+1 = = {tv | 0 t 1/2, v S n } и Wn+1 = (Wn+1);

множество Wn+1 не пе ресекается ни с одним из множеств V,n+1, где B0... Bn. Если же x – не центр шара, то пусть x – проекция точки x на S n из центра шара. По предположению индукции существует открытое в X n множество 142 Глава III. Топологические пространства Wn x, пересекающееся лишь с конечным числом множеств V,n. Поло жим Wn+1 = {tv | 0 t 1, v 1 (Wn)} и Wn+1 = (Wn+1). Множество Wn+1 пересекается лишь с теми множествами V,n+1, B0... Bn, для которых Wn V,n =. По построению каждая (n + 1)-мерная клетка пересекается лишь с конечным числом множеств V,n+1 для Bn+1. Поэтому множество Wn+1 пересекается лишь с конечным числом множеств V,n+1.

Предположим теперь, что точка x X лежит внутри n-мерной клетки.

Описанная выше конструкция позволяет построить последовательность множеств Wn Wn+1... При этом если m n, то x Wm и множество Wm открыто в X m. Кроме того, множество Wm пересекается лишь с те ми множествами V,m, для которых Wn V,n =. Поэтому множество Wm открыто в X и пересекается лишь с теми множествами V, W= m=n для которых Wn V,n =. Таких множеств конечное число. 9.4. Клеточная аппроксимация Пусть X и Y – CW -комплексы. Непрерывное отображение f : X Y называют клеточным, если f(X n) Y n.

Т е о р е м а 9.6 (о клеточной аппроксимации). Пусть X и Y – CW -комплексы, A X – подкомплекс (возможно, A = ), f : X Y – непрерывное отображение, ограничение которого на A явля ется клеточным отображением. Тогда существует клеточное отображение g : X Y, гомотопное f, причём на A гомотопия неподвижна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуемое отображение g и требуемую го n мотопию можно строить индукцией по размерности клетки в X, рас сматривая каждую клетку отдельно и не изменяя отображение, которое уже построено на границе клетки. Чтобы построить отображение g, до m статочно рассмотреть отдельно каждую клетку e в Y, где m n, и «вы n m m давить» из неё образ клетки на границу e так, чтобы вне int e отображение f не изменилось. Поэтому мы ограничимся рассмотрением следующей ситуации. Заданы непрерывное отображение f : D n Y и ха рактеристическое отображение клетки : D m Y, где m n;

при этом f(S n1) Y \ int (D m). Мы хотим построить непрерывное отображение g : D n Y, обладающее следующими свойствами:

1) если f(x) int (D m), то g(x) = f(x);

2) отображение g гомотопно f, причём гомотопия неподвижна вне int (D m);

3) g(D n) Y \ int (D m).

§ 9. CW -комплексы Ш а г 1. Существует отображение g : D n Y, которое обладает свойствами 1 и 2 и образу которого не принадлежит хотя бы одна точка y int (D m).

Пусть D = {x Rm | x m } (мы предполагаем, что D m = D1 ). При m m m 0 1 шар D гомеоморфно отображается на (D ) Y. Чтобы m m сократить обозначения, отождествим D с (D ) Y. На компактном 1 m множестве f (D3/4) отображение f равномерно непрерывно, поэтому можно выбрать 0 так, что если x, y f 1 (D3/4) D n и x y, m то f(x) f(y) 1/4. Рассмотрим достаточно мелкую триангуляцию шара D n (предварительно отождествив его с n-мерным симплексом), чтобы диаметр любого симплекса был меньше. Тогда если образ сим m1 m плекса этой триангуляции при отображении f пересекает S1/2 = D1/2, m m то образ этого симплекса целиком лежит в D3/4 \ D1/4. Симплексы всех размерностей рассматриваемой триангуляции D n разбиваются на три непересекающихся класса:

m а) образ симплекса целиком лежит вне S1/2 ;

m б) образ симплекса целиком лежит внутри S1/2 ;

m в) образ симплекса пересекает S1/2.

Отображение g и гомотопию для каждого симплекса триангуляции будем строить отдельно. В случае а положим g(x) = f(x) для всех то чек симплекса. В случае б положим g(v) = f(v) для всех вершин сим плекса, а затем продолжим это отображение по линейности. Для сим m плекса, образ которого пересекает S1/2, ситуация наиболее сложная, потому что на некоторых его гранях отображение уже определено (если они относятся к случаям а или б), и это отображение нужно продол жать на весь симплекс согласованным образом. Для вершин положим g(v) = f(v). Для 1-мерной грани отображение либо уже определено, либо пока ещё нет. В последнем случае продолжим по линейности на весь симплекс отображение его концов. Если на 2-мерной грани отображе ние g пока ещё не определено, то определим его следующим образом.

Двумерную грань 2 можно покрыть отрезками вида [m, x], где m – ба рицентр симплекса 2, x – точка края 2. В точке x отображение g уже определено. Положим g(m) = f(m) и продолжим отображение отрезка [m, x] по линейности (рис. 56). Затем такую же конструкцию применим к 3-мерным граням, и т. д.

Пусть k – некоторый симплекс триангуляции D n. Ясно, что g(k) принадлежит выпуклой оболочке множества f(k). В случае в выпук лая оболочка множества f(k) не пересекает D1/4. Действительно, если m m k k y0 f( ) S1/2, то f( ) лежит внутри шара радиуса 1/4 с центром y0, m а этот шар не пересекает D1/4.

144 Глава III. Топологические пространства   ¤ Рис. 56. Первый шаг клеточной аппроксимации Гомотопию ft, связывающую отображения f и g, определим следую щим образом. Если f(x) = g(x), то положим ft (x) = f(x) при всех x. Если f(x) = g(x), то обе точки f(x) и g(x) лежат внутри шара D m ;

в таком случае можно положить ft (x) = (1 t) f(x) + tg(x).

m Пересечение шара D1/4 с образом отобра жения g содержится в объединении конечно го числа аффинных плоскостей размерности m n m, поэтому в шаре D1/4 найдётся тре буемая точка y, не принадлежащая образу отображения g.

Ш а г 2. Существует отображение g1 : D n Y, которое обладает всеми тре буемыми свойствами 1, 2 и 3.

Согласно шагу 1 отображение f мож но заменить на отображение g0, образу Рис. 57. Второй шаг кле которого не принадлежит некоторая точка точной аппроксимации y int (D m). Рассмотрим композицию отоб ражения g0 и проекции из точки y на гра ницу шара (рис. 57). Полученное отображение g1 обладает свойством 3 и гомотопно g0 ;

связывающая их гомотопия задаётся формулой gt = (1 t) g0 + tg1. 9.5. Геометрическая реализация CW-комплексов Пусть X – CW -комплекс. Назовём непрерывное отображение i : X Rn вложением, если отображение i является гомеоморфизмом X на i(X).


Т е о р е м а 9.7. Для любого конечного CW -комплекса X размер ности n существует вложение в R (n+1) (n+2) /2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Конечный CW -комплекс X компактен, по этому согласно теореме 7.2 (см. с. 100) любое инъективное отображение X RN является вложением.

§ 10. Конструкции Применим индукцию по n = dim X. При n = 0 утверждение очевидно.

Предположим, что для (n 1)-мерного остова X n1 построено вложение in1 : X n1 RN. После сдвига можно считать, что 0 in1 (X n1). Вло жение in : X n1 RN Rn R мы построим следующим образом. Для x X n1 положим in (x) = (in1 (x), 0, 0) RN Rn R.

n Рассмотрим теперь n-мерные клетки (D), = 1,..., k. Каждую точ n n1 n ку диска D представим в виде tx, где 0 t 1 и x S = D, т. е.

x = 1. При этом для точки x уже определено вложение in1 ( (x)), n которое мы для краткости обозначим in1 (x). Для точки tx D по ложим (0, tx, ) при t 1/2;

in (tx) = (2t 1)in1 (x), (1 t)x, 2(1 t) при t 1/2;

при t = 1/2 оба выражения совпадают.

Проверим, что отображение in инъективно. Пусть in (t1 x) = in (t2 x).

При t1 1/2 и t2 1/2 можно воспользоваться тем, что in (x) = 0. При t1, t2 1/2 равенства t1 = t2, x = x и = очевидны. При t1, t2 1/ из равенства (1 t1)x = (1 t2)x следует, что t1 = t2 (напомним, что x = x = 1), поэтому x = x и =. З а м е ч а н и е. Можно получить и более точную оценку размерно сти: конечный CW -комплекс размерности n вкладывается в R2n+1. До казательство этого утверждения приведено в [8].

§ 10. Конструкции Нам уже встречались некоторые конструкции, применяемые к топо логическим пространствам, – прямое произведение, букет, приклеивание по отображению. Здесь мы более подробно обсудим эти и другие кон струкции, а также некоторые связи между этими конструкциями. Нас будет также интересовать, как нужно изменить определение конструкции, чтобы она стала симплициальной (или клеточной), т. е. чтобы при при менении конструкции к симплициальным комплексам (или CW -комплек сам) в результате получались симплициальные комплексы (или CW -ком плексы).

10.1. Прямое произведение Напомним, что если X и Y – топологические пространства, то базой топологии пространства X Y служат прямые произведения открытых 146 Глава III. Топологические пространства множеств в X и в Y. При этом обе проекции pX (x, y) = x и pY (x, y) = y являются непрерывными отображениями.

Прямое произведение двух симплексов положительной размерности не является симплексом, но оно является евклидовой клеткой. Теоре ма 8.2 (см. с. 114) показывает, что прямое произведение двух симплексов можно триангулировать, т. е. представить в виде симплициального ком плекса. Замечание после этой теоремы показывает, что при построении этого симплициального комплекса можно обойтись без добавления до полнительных вершин.

Если X и Y – CW -комплексы, то пространство X Y можно есте ственным образом разбить на клетки. А именно, рассмотрим клетки : (D p, S p1) (X p, X p1) и : (D q, S q1) (X q, X q1). Ясно, что D p D q D p+q и S p+q1 D p+q (D p D q) (D p D q).

Поэтому по отображениям и можно построить отображение (D p+q, S p+q1) (X p Y q, X p Y q1 X p1 Y q).

На множестве X Y есть топология прямого произведения. Если X и Y – конечные CW -комплексы, то описанное выше разбиение X Y на клетки обладает свойствами (c) и (w), т. е. X Y – CW -комплекс.

Но для бесконечных CW -комплексов свойство (w) может и не выпол няться.

З а д а ч а 10.1. Пусть S p S q = (S p {}) ({} S q) S p S q.

Докажите, что S p S q /S p S q S p+q.

10.2. Цилиндр, конус и надстройка Пусть I = [0, 1], X – топологическое пространство. Цилиндром над X называют топологическое пространство X I.

Конусом над X называют факторпространство X I/ (X {1});

здесь имеется в виду факторизация по отношению эквивалентности x1 {1} x2 {1} для любых x1, x2 X. Конус над X обозначают CX.

Надстройкой над X называют факторпространство X = X I/ (X {1} X {0}) = CX/ (X {0}).

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что CS n D n+1 и S n S n+1.

Если X – CW -комплекс и A – его подкомплекс, то X/A – CW -ком плекс. Поэтому CX и X – CW -комплексы. Таким образом, цилиндр, конус и надстройка – клеточные конструкции.

§ 10. Конструкции 10.3. Джойн Джойном X Y топологических пространств X и Y называют фак торпространство X I Y по следующему отношению эквивалент ности: (x1, t1, y1) (x2, t2, y2), если либо t1 = t2 = 0 и x1 = x2, либо t1 = t2 = 1 и y1 = y2. Джойн X Y допускает весьма простое геометри ческое описание в том случае, когда X, Y Rn, причём отрезки вида [x, y], x X, y Y, не имеют общих внутренних точек. Действительно, в этом случае X Y – объединение всех отрезков [x, y].

У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что D p D q D p+q+1.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что D 0 X CX и S 0 X X.

(Здесь D 0 – одна точка, S 0 – две точки.) У п р а ж н е н и е 4. Пусть x S p, y S q, t [0, 1]. Докажите, что отображение t t (x, t, y) cos x, sin y 2 является гомеоморфизмом S p S q на S p+q+1.

Пусть a0,..., a p, b0,..., bq – точки общего положения в R p+q+1.

Тогда джойном симплексов с вершинами a0,..., a p и b0,..., bq является симплекс с вершинами a0,..., a p, b0,..., bq. Это замечание показывает, что джойн непересекающихся абстрактных симплициальных комплексов A и B состоит из симплексов вида, где – симплекс из A, – симплекс из B. (Напомним, что симплекс абстрактного симплициального комплекса – это просто некоторый набор вершин.) Т е о р е м а 10.1. Пусть X, Y и Z – конечные симплициальные комплексы. Тогда (X Y) Z X (Y Z).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Реализуем X, Y и Z в Rn так, чтобы их вершины {x }, {y } и {z } были точками общего положения. Тогда оба пространства (X Y) Z и X (Y Z) гомеоморфны объединению всех симплексов с вершинами xi0,..., xi p, y j0,..., y jq, zk0,..., zkr, где p, q, r 0. Пусть K – симплициальный комплекс, p N и 2 j p. Определим взрезанный джойн J jp (K) следующим образом. Рассмотрим p-кратный джойн J p (K) = K... K ;

его симплекс представляет собой упорядочен ный набор (1,..., p) симплексов из K. Выберем среди всех таких наборов те, для которых любые j симплексов попарно не пересекаются.

p Эти наборы и образуют симплексы комплекса J j (K).

Обозначим k-мерный остов симплекса n через skk n ;

симплекс n мы естественным образом рассматриваем как симплициальный ком плекс.

148 Глава III. Топологические пространства Известна конструкция, основанная на взрезанном джойне J2, кото рая позволяет свести к теореме Борсука– Улама доказательство то го, что симплициальный комплекс skn 2n+2 нельзя вложить в R2n, т. е. не существует гомеоморфизма skn 2n+2 на подмножество в R2n.

Напомним, что согласно теореме 8.4 на странице 116 любой конеч ный n-мерный симплициальный комплекс можно вложить в R2n+1.

Теорему о том, что skn 2n+2 нельзя вложить в R2n, независимо доказали ван Кампен [131] и Флорес [57]. Наше изложение следует в основ ном [64].

Предположим, что K – симплициальный комплекс, f : K R2n – вложение (для краткости пространство |K | мы обозначаем K). Пусть CK – конус над K. По отображению f очевидным образом строится отображение f : CK R2n, ограничение которого на K взаимно одно значно и f(K) f(CK \ K) =.

Рассмотрим в CK CK подпространство K, состоящее из произве дений всех пар непересекающихся симплексов в CK, по крайней мере один из которых лежит в K. Легко строится гомоморфизм : K J2 (K).

можно однозначно представить в ви Действительно, любую точку K де t1 x1 + (1 t1)v, t2 x2 + (1 t2)v, где v – вершина конуса CK, точ ки x1, x2 лежат в непересекающихся симплексах 1, 2 K и по крайней мере одно из чисел t1 и t2 равно 1. Положим x1, t2, x при t1 = 1;

t1 x1 + (1 t1)v, t2 x2 + (1 t2)v = x1, 1 t2, x2 при t2 = 1.

На пространствах K и J2 (K) есть естественные инволюции (a, b) (b, a) и x1, t, x2 x2, 1 t, x1. Гомеоморфизм коммутирует с этими инволюциями.

По отображению f можно построить отображение f : K R2n+1, по (a, b) = f(a) f(b). Это отображение антикоммутирует с инволю ложив f цией, т. е. f (a, b) = f (a, b). Кроме того f (a, b) = 0 для всех (a, b) K.

и f(a) = f(b). Тогда f(a) = f(b) f(K), по Действительно, пусть (a, b) K скольку одна из точек a, b лежит в K. Но тогда обе точки a, b лежат в K, поскольку f(K) f(CK \ K) =. Наконец, a = b, поскольку ограничение f на K взаимно однозначно. А по условию a и b лежат в непересекающихся симплексах.

В итоге получаем, что если взрезанный джойн J2 (K) гомеомор 2n+ фен S, причём при этом гомеоморфизме естественная инволюция переходит в симметрию относительно центра сферы, то K нельзя вло жить в R2n. Действительно, если бы K удалось вложить в R2n, то мы § 10. Конструкции смогли бы построить отображение g : S 2n+1 R2n+1 \ {0}, для которого g(x) = g(x) для всех x S 2n+1. А это противоречит теореме Борсука– Улама.

10.2. Пространство J2 (skn 2n+2) гомеоморфно Те о р е м а 2n+, причём при этом гомеоморфизме естественная инволюция S переходит в симметрию относительно центра сферы.   Д о к а з а т е л ь с т в о. Для n = 0 доказа тельство непосредственно видно из рис. 58. Мы берём в качестве одного экземпляра sk0 2 точ ки a, b, c;

в качестве другого экземпляра – точки a, b, c. Чтобы получить взрезанный джойн, нужно соединить a с b и c и т. д. Легко про-   верить, что естественная инволюция переходит в симметрию относительно центра.

Для произвольного n эта конструкция обоб- Рис. 58. Взрезанный щается следующим образом. В качестве одного джойн трёх точек экземпляра skn 2n+2 возьмём n-мерный остов симплекса в R2n+2 с вершинами v0,..., v2n+2. В качестве начала ко ординат выберем центр масс симплекса. Тогда v0,..., v2n+2 можно рас сматривать как векторы, сумма которых равна нулю. В качестве второго экземпляра skn 2n+2 возьмём n-мерный остов симплекса с вершинами v0,..., v2n+2.

Искомое пространство J2 (skn 2n+2) получается следующим образом.

Выберем из каждого набора v0,..., v2n+2 и v0,..., v2n+2 по n + 1 точке так, чтобы все выбранные точки имели попарно различные номера. Рас смотрим выпуклую оболочку выбранных точек;

это будет (2n + 1)-мерный симплекс. Если такие симплексы не имеют общих внутренних точек, то их объединение и есть искомое пространство.

Прежде всего отметим, что ни одна из рассматриваемых выпуклых оболочек не содержит точку 0. Действительно, равенство i vi = 0 мо жет выполняться лишь в том случае, когда все числа i равны, а мы рассматриваем только те выпуклые оболочки, в которые не входит один из векторов vi.

Пусть e – единичный вектор в R2n+2. Покажем, что луч {e : 0} пересекает рассматриваемое множество в одной точке. После изменения нумерации векторов можно считать, что e = i vi, где 0 1...

2n+2. Тогда e = e k+1 vi = (i k+1)vi = i vi, где i k при 0 k, k+1 = 0 и i 0 при k+ 2 2k+ 2. Пусть = i, i i i= 2k+ i и = + ;

хотя бы одно из чисел и отлично от нуля, = i=k+ 150 Глава III. Топологические пространства поскольку e = 0. Точка 2k+ k e i i (vi) + v= i i=0 i=k+ принадлежит одной из рассматриваемых выпуклых оболочек (если = или = 0, то соответствующее слагаемое считается равным нулю).

После перенумерации векторов vi точку y из рассматриваемой вы пуклой оболочки можно представить в виде y = i vi, где i 0 при 0 i k, k+1 = 0, i 0 при k + 2 i 2k + 2 и |i | = 1. Предполо жим, что точка y, 0, тоже принадлежит одной из рассматриваемых выпуклых оболочек. Тогда y = i vi, где |i | = 1 и среди чисел i не более k + 1 положительных и не более k + 1 отрицательных. Ясно, что 2k+ i y = 0, i vi = y i= поэтому все числа i i / равны одному и тому же числу, т. е.

i = (i ). Если 0, то 0... k+1 = 0, а если 0, то 2k+2... k+1 = 0. Это противоречит тому, что среди чисел i не более k + 1 положительных и не более k + 1 отрицательных.

Значит, = 0, т. е. i = i. По условию 0 и |i | = |i | = 1, поэтому = 1.

Таким образом, каждый луч {e | 0} пересекает рассматриваемое множество ровно в одной точке. Значит, оно гомеоморфно S 2n+1. Кроме того, мы доказали, что представление точки в виде i vi, где |i | = и среди точек i не более n + 1 положительных и не более n + 1 отрица тельных, единственно. Это означает, что рассматриваемые (2n + 1)-мер ные симплексы не имеют общих внутренних точек. Приведём ещё одно вычисление взрезанных джойнов.

p Т е о р е м а 10.3 (см. [119]). J j (n) J n+1 (sk j2 p1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если n = 0, то n = (одна точка) и сим p плексы комплекса J j (n) имеют вид (1,..., p), где не более j симплексов i состоят из одной точки, а все остальные симплексы – пустые множества. Это и есть sk j2 p1 = J 1 (sk j2 p1).

Легко проверить, что если A и B – произвольные симплициальные комплексы, то J jp (A B) J jp (A) J jp (B). Действительно, в определении джойна все симплексы из A и B рассматриваются как различные (даже если A = B). Ясно также, что если a b = при всех и, то пере сечение множеств ak1 bl1,..., ak j bl j пусто тогда и только тогда, когда ak1... ak j = и bl1... bl j =.

§ 10. Конструкции Воспользовавшись тем, что n J n+1 (0), получаем J j (n) J j (0... 0) J n+1 J j (0) J n+1 (sk j2 p1).

p p p p С л е д с т в и е 1. J p (n) J n+1 (S p2) S (n+1) (p1)1.

С л е д с т в и е 2. Пространство J jp (n) гомотопически экви валентно букету сфер размерности (n + 1) (j 1) 1.

10.4. Симметрическая степень Пусть X – топологическое пространство. На топологическом про странстве X n = X... X действует группа Sn : (x1,..., xn) = = (x(1),..., x(n) ). Факторпространство X n по этому действию группы Sn называют n-й симметрической степенью пространства X и обознача ют SPn (X).

У п р а ж н е н и е 5. Докажите, что SP2 (R) {(x, y) R2 | y 0}.

Т е о р е м а 10.4. SPn (S 2) SPn (CP 1) CP n.

(a1 : b1),..., (an : bn) CP Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и n n ck x k y nk. При замене пары (ai : bi) на (ai : bi) (ai x bi y) = i=1 k= все коэффициенты ck умножаются на n, поэтому формула (a1 : b1),..., (an : bn) (c0 :... : cn) задаёт отображение CP 1... CP 1 CP n. При перестановке точек (a1 : b1),..., (an : bn) точка (c0 :... : cn) не изменяется, поэтому получаем отображение h : SPn (CP 1) CP n.

Над полем C любой многочлен от одной переменной разлагается n ck x k y nk, где на линейные множители. Поэтому любой многочлен k= n не все числа ck равны нулю, можно представить в виде (ai x bi y), где i= для всех i хотя бы одно из чисел ai и bi отлично от нуля. Это означает, что отображение h сюръективно. Инъективность отображения h следует из того, что коэффициенты многочлена определяют его корни с точностью до перестановки. Ясно также, что отображение h непрерывно.

Итак, h : SPn (S 2) CP n – непрерывное взаимно однозначное отоб ражение. Пространство SPn (S 2) компактно, потому что оно являет ся образом компактного пространства S 2... S 2 при непрерывном отображении. Пространство CP n хаусдорфово, потому что оно яв ляется CW -комплексом. Поэтому согласно теореме 7.2 (см. с. 100) отображение h является гомеоморфизмом. 152 Глава III. Топологические пространства Т е о р е м а 10.5. а) SPn (C) Cn.

б) SPn (C \ {0}) Cn1 (C \ {0}).

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Отображение b (1 : b) задаёт вложе ние C в CP 1 S 2. Это отображение индуцирует вложение SPn (C) в SPn (CP 1) CP n. Точке (b1,..., bn) SPn (C) сопоставляются коэф n (x bi), поэтому образ SPn (C) – это Cn CP n.

фициенты многочлена i= Гомеоморфность отображения SPn (C) Cn следует из гомеоморфности отображения SPn (CP 1) CP n. (Прямое доказательство гомеоморфно сти отображения SPn (C) Cn приведено в [67].) б) Требуется доказать, что если b1,..., bn C \ {0}, то коэффициенты n всех многочленов вида (x bi) образуют множество, гомеоморфное i= Cn1 (C \ {0}). Ясно, что все корни многочлена x n + cn1 x n1 +... + c отличны от нуля тогда и только тогда, когда c0 = 0. Поэтому все коэффи n циенты многочлена (x bi), кроме последнего, могут быть произволь i= ными. Т е о р е м а 10.6. SPn (RP 2) RP 2n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Точке RP 2 можно сопоставить пару диамет рально противоположных точек сферы S 2. При стереографической про екции паре диаметрально противоположных точек сферы S 2 соответству ют точки z и z 1 (или 0 и ), т. е. точки (a : b) и (b : a) в CP 1.

Сопоставим неупорядоченному набору n точек RP 2 многочлен n (ai x bi y) (bi x ai y). (1) f(x, y) = i= Точку (ai : bi) можно заменить на (ai : bi) или на (bi : ai);

при этом многочлен f умножится на ||2 или на 1. Таким образом, многочлен f определён однозначно с точностью до умножения на вещественное число, отличное от нуля.

Легко проверить, что f(y, x) = (1) n f(x, y). (2) Ясно также, что любой однородный многочлен степени 2n, удовлетворя ющий соотношению (2), можно представить в виде (1), потому что его корни разбиваются на пары (a : b), (b : a).

n ck x nk y n+k соотношение (2) эквива Для многочлена f(x, y) = k=n лентно тому, что ck = (1) k ck. Таким образом, многочлен f(x, y) пол § 10. Конструкции ностью задаётся вещественным коэффициентом c0 и комплексными ко эффициентами c1,..., cn. Эти коэффициенты могут быть произвольными (единственное ограничение заключается в том, что они не могут все одно временно обращаться в нуль). Таким образом, пространство всех много членов f, рассматриваемых с точностью до умножения на вещественное число, отличное от нуля, гомеоморфно RP 2n.

Мы построили взаимно однозначное непрерывное отображение h :

SPn (RP 2) RP 2n. Пространство SPn (RP 2) компактно, а пространство RP 2n хаусдорфово, поэтому h – гомеоморфизм. З а м е ч а н и е. Интересные обсуждения свойств гомеоморфизма h : SPn (RP 2) RP 2n содержатся в [2].

В заключение приведём без доказательства описание строения про странства SPn (S 1). Пусть S 1 D n – пространство, которое получается из I D n отождествлением точек (0, x) и (1, h(x)), где h : D n D n – симметрия относительно гиперплоскости, проходящей через центр шара (в качестве h можно взять любой гомеоморфизм, изменяющий ориента цию). Тогда SPn (S 1) S 1 D n1 при нечётном n и SPn (S 1) S 1 D n при чётном n. Доказательство этого утверждения приведено в [98].

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что SP2 (S 1) – лист Мёбиуса.

Глава IV Двумерные поверхности. Накрытия.

Расслоения. Гомотопические группы § 11. Двумерные поверхности 11.1. Основные определения Пусть M2 – двумерное псевдомногообразие без края, у которого каж дая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому диску D 2. В таком случае топологическое пространство X, гомеоморфное M2, называют за мкнутой двумерной поверхностью, или двумерной поверхностью без края.

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что двумерный симплициальный комплекс, изображённый на рис. 59, можно дополнить до замкнутого двумерного псевдомногообразия, которое не является замкнутой двумер ной поверхностью.

Двумерной поверхностью с краем называют топологическое про странство, гомеоморфное двумерному псевдомногообразию M2, у кото рого каждая точка, не принадлежащая краю, имеет окрестность, гомео морфную открытому диску D 2, а каждая точка a, принадлежащая краю, имеет окрестность, гомеоморфную D+ = {(x, y) R2 | x 2 + y 2 1, y 0}, причём точке a соответствует точка (0, 0) D+.

Чтобы убедиться, что край двумерной поверхности определён кор ректно, нужно доказать следующее утверждение.

Рис. 59. Псевдомногообразие, но не поверхность § 11. Двумерные поверхности Т е о р е м а 11.1. Пусть h : M2 N 2 – гомеоморфизм псевдомно гообразий, являющихся двумерными поверхностями. Тогда h(M2) = N 2.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.