авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |

«[Эта страница заменяет титульный лист, изготовленный издательством] В. В. ПРАСОЛОВ ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ...»

-- [ Страница 9 ] --

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что для любой точки x B най дётся такое открытое множество U x, что отображение p над U являет ся тривиальным расслоением. Выберем на прямой m произвольную точку x = x и выбросим из CP 2 прямую ax. На оставшемся множестве, го меоморфном C2, в качестве координатных осей выберем прямую m и одну из прямых в CP 2, проходящих через точку a. В таких координатах проек a l0 l l1 l x m a0 a1 a2 a l Рис. 129. Проекция кривой C на прямую m 310 Глава VI. Фундаментальная группа ция из точки a на прямую m имеет вид (z, w) (z, 0). Если окрестность U B достаточно мала, то над ней ветви кривой C достаточно хоро шо приближаются прямыми w = i z + i, i = 1,..., n. Прямых z = const здесь нет, потому что мы исключили касательные к кривой C. Точек пересечения прямых wi = i z + i над достаточно малой областью U нет, потому что над ней нет особых точек кривой C. Поэтому ветви кривой C над малой областью U B достаточно хорошо приближаются прямыми w = ci, i = 1,..., n. «Достаточно хорошо» означает, в частности, что множество p 1 (U) гомеоморфно U (C \ {c1,..., cn }), причём гомеомор физм согласован с отображением p. Пространство B = m \ {a0,..., as } гомотопически эквивалентно бу кету s окружностей. Образующими группы 1 (B, x0) служат петли h1,..., hs, каждая из которых охватывает ровно одну из точек ai, i = 1,..., s;

между этими образующими нет никаких соотношений, но если добавить петлю h0, охватывающую точку a0, то возникает соотношение h0 h1... hs = 1.

В качестве образующих группы 1 (F, x0) выберем петли g1,..., gn, каждая из которых охватывает ровно одну из точек, выколотых из C.

Более того, для дальнейших целей нам потребуется, чтобы композиция этих петель в CP 1 была гомотопна петле, охватывающей точку a (слой F представляет собой комплексную проективную прямую CP 1, из которой выколоты точка a и n точек пересечения этой прямой с кривой C). Такой выбор образующих означает, что после добавления точки a возникает соотношение g1... gn = 1.

Чтобы вычислить группу 1 (E, x0), воспользуемся точной последова тельностью расслоения p i 2 (B, x0) 1 (F, x0) 1 (E, x0) 1 (B, x0) 0 (F, x0).

Слой F связен, поэтому 0 (F, x0) = 1. Кроме того, пространство B гомотопически эквивалентно букету окружностей, а универсальное на крывающее пространство букета окружностей стягиваемо. Поэтому 2 (B, x0) = 1. В результате получаем p i 1 1 (F, x0) 1 (E, x0) 1 (B, x0) 1.

Группа 1 (F, x0), порождённая свободными образующими g1,..., gn, мономорфно отображается в 1 (E, x0). Поэтому можно отождествить группу 1 (F, x0) с подгруппой G = i 1 (F, x0) 1 (E, x0). Группа 1 (B, x0) порождена свободными образующими h1,..., hs. В рассматриваемой ситуации пространство B содержится в E, поэтому в 1 (E, x0) можно выбрать элементы, представленные теми же самыми петлями, что и эле § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой менты h1,..., hs группы 1 (B, x0);

для этих элементов группы 1 (E, x0) мы будем использовать те же самые обозначения.

Вычисление группы 1 (E, x0) существенно облегчается тем, что группа 1 (B, x0) свободная. Действительно, для свободной группы любое отображение свободных образующих в некоторую группу (однозначно) продолжается до гомоморфизма групп. Поэтому существует единствен ный гомоморфизм : 1 (B, x0) 1 (E, x0), для которого (hi) = hi.

Подгруппа H = 1 (B, x0) 1 (E, x0) изоморфна 1 (B, x0), поскольку p = id1 (B,x0) и p |H = idH.

Каждый элемент 1 (E, x0) однозначно представляется в виде = gh, где g G и h H. А именно, h = p () и g = 1 h. Кроме того, (gh) (g h ) = (ghg h1)hh, где hg h1 G.

Поэтому группа 1 (E, x0) полностью определяется группами G и H и сле дующим действием группы H на G: h(g) = hgh1 G. Следовательно, группа 1 (E, x0) задаётся образующими g1,..., gn, h1,..., hs и соот ношениями h j gi h1 = i j (g1,..., gn), где i j (g1,..., gn) – выражение j элемента h j gi h1 G через образующие g1,..., gn.

j Мы вычислили группу 1 (E, x0). Следующий шаг – вычисление груп пы 1 (E, x0), где E = CP 2 \ (C l0) = E E (l1... ls).

Множество E (l1... ls) является подмногообразием коразмерности 2 многообразия E, поэтому вложение E E индуцирует эпиморфизм 1 (E, x0) 1 (E, x0). Действительно, li любая петля в E гомотопна петле, не пересекающей l1,..., ls. Следова тельно, группа 1 (E, x0) задаётся теми же самыми образующими g1,..., gn, hi h1,..., hs, но к прежним соотношениям могут добавиться новые соотношения. x Например, в E петля hi стягиваема (рис. 130), поэтому получаем новые соотношения hi = 1, i = 1,..., s. По кажем, что никаких других новых соот- Рис. 130. Стягиваемая петля ношений не возникает. Рассмотрим в E произвольную гомотопию некоторой петли в постоянную петлю x0.

Можно считать, что петля гладкая и не пересекает прямых l1,..., ls.

Сначала заменим рассматриваемую гомотопию гладкой гомотопией, а затем слегка пошевелим гладкую гомотопию так, чтобы для по лученной гомотопии точки a1,..., as не были бы критическими 312 Глава VI. Фундаментальная группа li a¤ i k(s) ai   Рис. 131. Стандартная петля Рис. 132. Путь из ai в ai точками отображения p, где p – проекция из точки a на прямую m.

Отображение : I 2 E обладает следующим свойством: прообраз множества l1... ls состоит из конечного числа внутренних точек квадрата I 2 (граничные точки квадрата отображаются в точку x0 или в другие точки петли ;

все эти точки не лежат на прямых l1,..., ls).

Основная трудность связана с тем, что произвольную петлю в U \ li, где U – достаточно малая окрестность точки ai li \ C, нужно посред ством гомотопии в пространстве E заменить на стандартную петлю, ле жащую на окружности с центром ai, расположенной на комплексной прямой m \ {a0 } (рис. 131);

здесь пока подразумевается гомотопия пе тель в классе всех отображений S 1 E, т. е. образ отмеченной точки при гомотопии может сдвигаться. Для построения такой гомотопии рас смотрим путь k(s) на комплексной прямой li \ {a}, соединяющий точ ки ai и ai и не проходящий через точки li C (рис. 132). Требуемая гомотопия строится следующим образом. В пространстве C2 = CP 2 \ l проекция из точки a на комплексную прямую m \ {a0 } в некоторых коор динатах имеет вид (z, w) (z, 0). При этом ai = (z0, 0) и ai = (z0, w0).

Петля в U \ li, заданная формулой (t) = (z(t), w(t)), гомотопна петле (t) = (z(t), w0). Предположим, что петля достаточно мала, а ми нимальное расстояние от пути k(s) то точек li C достаточно велико, а именно, max |z(t) z0 |. Тогда формула s (t) = (z(t), k(s)) задаёт го мотопию в пространстве E петли 0 = в петлю 1, целиком лежащую на комплексной прямой m \ {a0 }. При этом петля 1 расположена в малой окрестности точки ai и не проходит через эту точку. Такая петля гомотопна петле, расположенной на окружности с центром ai.

От гомотопности в классе всех петель можно следующим образом перейти к гомотопности в классе петель с фиксированной начальной точ кой x0. Пусть s (t) – гомотопия петли 0 (t) в петлю 1 (t), µ() – путь § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой     x Рис. 134. Построение гомотопии Рис. 133. Гомотопные петли из точки x0 в точку 0 (0), (s) = s (0) – путь из точки 0 (0) в точку 1 (0).

Тогда петли µ0 µ1 и µ1 1 µ1 гомотопны (рис. 133).

Вернёмся к гомотопии, построенной на с. 311. В пространстве E µk k µ1, петля, стягиваемая в пространстве E, гомотопна петле k где k – петля в малой окрестности точки прямой li(k) ;

построение этой гомотопии ясно из рис. 134. На языке заданий групп образующими и со отношениями это означает, что слово, представляющее единичный эле µk k µ1, пользуясь мент группы 1 (E, x0), можно привести к виду k только соотношениями между элементами группы 1 (E, x0);

здесь мы предполагаем, что обе группы заданы одними и теми же образующими (указанными ранее). Выше было показано, что петля µk k µ1 гомотоп k на в E петле µk hr (µk) 1, где hi(k) – петля, входящая в набор обра i(k) зующих h1,..., hs, r – некоторое целое число. Это означает, что слово µk k µ1 можно привести к виду µk hr (µk) 1, пользуясь только соотно i(k) k шениями между образующими группы 1 (E, x0). Наконец, из соотноше ния hi(k) = 1 следует, что µk hr (µk) 1 = 1. Это означает, что если слово i(k) представляет единичный элемент группы 1 (E, x0), то равенство = следует из соотношений между элементами группы 1 (E, x0) и соотно шений h1 = 1,..., hs = 1.

Последний шаг – вычисление группы 1 (CP 2 \ C), где CP 2 \ C = = E (l0 \ C). Как мы уже упоминали (см. с. 310), после добавления точки a l0 \ C возникает соотношение g1... gn = 1. Те же самые рас суждения, что и на предыдущем шаге, показывают, что никаких других соотношений не возникает.

Сформулируем теперь окончательный результат. Напомним, что опре деление i j (g1,..., gn) дано на с. 311.

Т е о р е м а 22.1 (ван Кампен [132]). Пусть C – кривая степе ни n в CP 2, a CP 2 \ C – некоторая точка, l0, l1,..., ls – прямые, каждая из которых проходит через точку a и либо касается кривой C в одной точке, либо проходит через одну особую точку кривой C. Тогда группа 1 (CP 2 \ C, x0) задаётся образующими 314 Глава VI. Фундаментальная группа g1,..., gn и ns + 1 соотношениями g1... gn = 1, gi = i j (g1,..., gn), i = 1,..., n, j = 1,..., s.

22.3. Применения теоремы ван Кампена Теорема ван Кампена даёт алгоритм вычисления группы 1 (CP 2 \ C, x0). Наибольшую сложность при пользовании этим алго ритмом представляет вычисление выражений i j (g1,..., gn). Поэтому мы начнём с того, что более подробно обсудим геометрический смысл выражения i j (g1,..., gn).

Напомним определение элемента i j (g1,..., gn) 1 (F, x0), где F – слой над точкой x0. Слой F представляет собой C без n точек. Пусть g1,..., gn – петли, каждая из которых обходит вокруг одной из этих точек (в одном и том же направлении). База B представляет собой C без s точек;

петли h1,..., hs получаются аналогично. Петля h j gi h1 j гомотопна петле, расположенной в слое F. Запись элемента h j gi h1 j в алфавите g1,..., gn – это и есть i j (g1,..., gn). Гомотопию петли h j gi h1 можно представит следующим образом (см. рис. 135). Мы берём j петлю gi и проносим её вдоль петли h j (так, чтобы для каждой точки петли h j получалась петля в слое над этой точкой). После обхода вокруг точки a j мы возвращаемся в слой над точкой x0 и получаем петлю в этом слое. Эта новая петля и есть i j (g1,..., gn).

П р и м е р. Пусть C2 – невырожденная коника в CP 2 (например, её можно задать уравнением z1 + z2 + z3 = 0). Тогда 1 (CP 2 \ C2) = Z2.

2 2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Из любой точки a C2 к конике C2 мож но провести ровно две касательные (рис. 136). Группа 1 (CP 2 \ C2) по рождена образующими g1 и g2, связанными соотношениями g1 g2 = и gi = i1 (g1, g2), i = 1, 2.

gj aj hj x h  j Рис. 135. Гомотопия петли h j gi h j § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой   ¤ ¤ ¦ § ¤    Рис. 137. Обход вокруг Рис. 136. Касательные к конике начала координат Вместо того чтобы рассматривать обход вокруг касательной к ко нике можно рассмотреть более простую ситуацию: обход вокруг ком плексной прямой z = 0, касающейся кривой z = w 2 в C2. Если z = e i, то w = ±e i/2, поэтому при обходе вокруг начала координат в веществен ной плоскости w = 0 ветви функции w(z) переставляются, но ориента ции петель в вещественной плоскости z = const при этом сохраняются (рис. 137). Это означает, что 11 (g1, g2) = g2 и 21 (g1, g2) = g1, т. е.

g1 = g2. П р и м е р. Пусть Cn – кривая в CP 2, заданная уравнением z1 + n + z2 + z3 = 0. Тогда 1 (CP 2 \ Cn) = Zn.

n n Д о к а з а т е л ь с т в о. В CP 2 проекция на вещественную плоскость z3 = 0 из точки a = (0 : 0 : 1) задаётся формулой (z1 : z2 : z3) (z1 : z2 : 0).

Количество прообразов точки (z1 : z2 : 0), лежащих на кривой Cn, равно n n n тогда и только тогда, когда z1 + z2 = 0. Точки, для которых z1 : z2 = k, n где k = 1, соответствуют касательным, но не простым, а n-кратным (в точке касания сливаются n ветвей). Обход вокруг n-кратной касатель ной устроен так же, как обход вокруг начала координат в плоскости w = для алгебраической функции w(z), где z = w n. Такой обход приводит к повороту вещественной плоскости z = 0 на угол 2 /n. При этом ветви циклически переставляются и в результате получается соотношения g1 = g2, g2 = g3,..., gn1 = gn, gn = g1. Кроме того, есть соотно шение g1 g2... gn = 1. Таким образом, получаем группу с образующей g и соотношением g n = 1. З а д а ч а 22.3.* [102] Пусть p и q – взаимно простые числа, при чём p 2 и q 2. Рассмотрим в CP 2 кривую C p,q, заданную уравнением p p q q (z1 + z2 ) q + (z1 + z2 ) p = 0.

Докажите, что группа 1 (CP 2 \ C p,q) задаётся двумя образующими a и b и соотношениями a p = 1 и b q = 1.

Решения и указания 0.1. Множество S n+m1 \ S n1 состоит из точек (x1,..., xn+m) Rn+m, для 2 2 2 которых x1 +... + xn 1 и x1 +... + xn+m = 1. Сопоставим точке (x1,..., xn+m) n+m1 n точку (y1,..., yn+m), где y1 = x1,..., yn = xn, yn+1 = xn+1/a, S \S 2..., yn+m = xn+m/a и a = 1 x1... xn. Ясно, что 2 xn+1 +... + xn+m 2 = 1, yn+1 +... + yn+m = 2 1 x1... xn поэтому мы получаем гомеоморфизм S n+m1 \ S n1 D n S m1, где D n – от крытый единичный шар;

он гомеоморфен Rn.

0.2. Рассмотрим функцию F : K R, заданную формулой F(x) = x, f(x).

Эта функция на компакте достигает минимума в некоторой точке x0. Если F(x0) = 0, то x0 – неподвижная точка. Предположим, что F(x0) = d 0. Тогда F f(x0) = f(x0), f(f(x0)) x0, f(x0) = d. Приходим к противоречию.

1.1. Да, можно. Требуемые вложения изображены на рис. 138.

1.2. Выберем прямую, не параллельную ни одной из прямых, соединяющих вершину одного цикла с вершиной другого цикла. Один из циклов будем сдвигать параллельно этой прямой. Индекс пересечения при этом не изменяется. Дей ствительно, из каждой вершины цикла выходят ровно два ребра, поэтому при прохождении вершины через ребро число точек пересечения изменяется на ±2, а значит, остаток от деления на 2 не изменяется.

Если цикл сдвинуть достаточно далеко, то циклы не будут пересекаться. В та ком случае индекс пересечения равен 0.

1.3. а) Предположим сначала, что вершины графа фиксированы, а изменяется лишь расположение рёбер. Два положения одного и того же ребра образуют цикл. Согласно задаче 1.2 индекс пересечения этого цикла с циклом, образован Рис. 138. Вложения графов K3,3 и K § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой ным несмежными рёбрами, равен 0. Поэтому индекс самопересечения не зависит от расположения одного ребра, а значит, и от расположения всех других рёбер.

От расположения вершин индекс самопересечения тоже не зависит, посколь ку можно построить гомеоморфизм плоскости, переводящий данные n точек в лю бые другие n точек.

б) Графы K3,3 и K5 обладают свойством, сформулированным в условии за дачи б), поэтому их индекс самопересечения не зависит от их расположения на плоскости. Значит, индекс самопересечения можно посчитать для произволь ной картинки. Он для обоих графов оказывается равным 1. В частности, всегда есть точка самопересечения.

1.4. а) Достаточно доказать, что в графе G любой цикл C имеет чётную длину.

Цикл C содержит внутри себя несколько граней. Выбросим одну внутреннюю грань цикла C, имеющую с циклом C общее ребро. В результате участок цик ла C, состоящий из n1 рёбер, заменится на участок, состоящий из n2 рёбер, где n1 + n2 – число сторон выброшенной грани, т. е. чётное число. Поэтому при ука занном преобразовании чётность длины цикла не изменяется. После нескольких таких преобразований получим цикл, ограничивающий одну грань. Длина такого цикла чётна.

б) Выберем в каждой области по одной точке и соединим рёбрами те точки, которые лежат в областях, граничащих по некоторой дуге. В результате получим граф G, все грани которого содержат чётное число рёбер. (Грани соответствуют точкам самопересечения кривой ;

k-кратной точке самопересечения соответ ствует грань, содержащая 2k рёбер.) 1.5. Для графа K5 любая грань должна содержать не менее 3 рёбер, поэтому e 3v 6, но e = 10 и v = 5. Для графа K3,3 любая грань должна содержать не менее 4 рёбер, поэтому e 2v 4, но e = 9 и v = 6.

2.1. Требуемая гомотопия задаётся формулой 0 cos t sin t 1 0 cos t sin t A ht (A, B) =, 0 1 sin t cos t 0 sin t cos t B где 0 t /2.

2.2. Достаточно доказать, что в рассматриваемых пространствах каждую мат рицу можно соединить путём с единичной матрицей In. Для а) и б) требуемая конструкция содержится в доказательстве леммы об однородности многообра зий (см. с. 244). Для унитарных матриц можно воспользоваться тем, что любая унитарная матрица в некотором ортонормированном базисе диагональна с эле ментами вида e i на диагонали. Требуемый путь задаётся в этом базисе матрицами с диагональными элементами e it, t [0, 1]. Для пространства SU(n) годится та же самая конструкция, поскольку если e i1... e in = 1, то e i1 t... e in t = 1.

2.3. а) Предположим, что число листов накрытия p : Kn G равно 2m. В та ком случае прообраз любой вершины v графа G состоит из 2m вершин v1,..., v2m и эти вершины порождают в Kn граф K2m, содержащий m(2m 1) рёбер. Каждое из этих рёбер проецируется в петлю с началом и концом в точке v. Пусть в ре 318 Глава VI. Фундаментальная группа Рис. 139. Накрытие с группой автоморфизмов Z Рис. 140. Накрытие с груп- Рис. 141. Накрытие с группой авто морфизмов Z Z пой автоморфизмов Zn Рис. 142. Накрытие с группой автоморфизмов Z2 Z зультате получается l таких петель. Прообраз каждой такой петли состоит из 2m рёбер, поэтому 2ml = m(2m 1), т. е. l = (2m 1) /2, чего не может быть.

б) Накрытие p : K2m+1 G, где граф G состоит из одной вершины и m петель, обладает требуемыми свойствами.

2.4. Предположим, что отображение f гомотопно нулю. Пусть x0 S 1 – фик сированная точка и y0 = f(x0). Рассмотрим петлю (t) = x0 exp(2it) с нача лом x0. Отображение f переводит эту петлю в стягиваемую петлю (t). Фиксиру ем точку z0 R, для которой exp(2iz0) = y0, и рассмотрим путь (t) – поднятие пути (t) с началом z0. Петля (t) стягиваема, поэтому путь (t) замкнут. Это означает, что формула f2 ( (t)) = (t) корректно задает отображение f2 : S 1 R.

Остается положить f1 (t) = exp(2it).

2.5. Требуемые накрытия изображены на рис. 139–142;

на всех этих рисунках, кроме первого, изображено только накрывающее пространство.

2.6. Рассмотрим букет rk G окружностей, т. е. 1-мерный комплекс с одной вершиной и rk G рёбрами. Затем построим накрытие этого комплекса, соответ ствующее подгруппе H. Группа H изоморфна фундаментальной группе накрываю щего пространства X. Пространство X гомеоморфно букету окружностей, поэтому группа H свободная.

Рассматриваемое накрытие k-листно, поэтому X имеет k вершин и k(rk G) рёбер. Максимальное дерево в X содержит k 1 рёбер, поэтому после стяги § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой вания максимального дерева в точку получаем 1-мерный комплекс, состоящий из одной вершины и k(rk G) (k 1) = (rk G 1)k + 1 рёбер. Это число и есть ранг группы H.

2.7. Чтобы построить мономорфизм Fn F2, достаточно построить накры 1 тие с базой Sa Sb и накрывающим пространством, гомотопически эквивалент 1 ным S1... Sn. Это накрытие можно построить, 1 например, так. Разместим окружности S2,..., Sn на S1 равномерно (рис. 143);

полученное про- S S 1 странство гомотопически эквивалентно S1... Sn. S 1 Окружность S1 отобразим (n 1)-листно на Sa, 1 а остальные окружности S2,..., Sn тождественно отобразим на Sb.

На алгебраическом языке отображение Fn F2 S выглядит следующим образом. Пусть x1,..., xn – образующие группы Fn, a и b – образующие груп пы F2. Тогда x1 an1, x2 b, x3 aba1, Рис. 143. Накрывающее x4 a2 ba2,..., xn an2 ban2. Для группы F пространство отображение следующее: xk ak bak.

4.1. Нет, не верно. Пусть, например, A = {0}, B = [0, 1] и C = {1}. Тогда d(A, B) = d(B, C) = 0 и d(A, C) = 1.

4.2. Пусть dH (A, B) = и dH (B, C) =. Тогда для точки a A можно вы брать точку b B так, что a b + (для любого 0). Для точки b B можно выбрать точку c C так, что b c +. Поэтому a c + + + 2. Аналогично для точки c C можно выбрать точку a A так, что a c + + 2.

4.3. Пусть задано 0. Для каждой точки x f(A) рассмотрим множество Ux = A f 1 (Dx,/2), где Dx,/2 – открытый шар радиуса /2 с центром x. Эти n n множества образуют открытое покрытие топологического пространства A. Пусть 0 – число Лебега этого покрытия. Тогда если a1, a2 A и |a1 a2 |, то a1, a2 Ux для некоторой точки x. В таком случае точки f(a1) и f(a2) лежат в открытом шаре радиуса /2 с центром x, поэтому |f(a1) f(a2)|.

6.1. Пусть r : A X – ретракция, f : A Y – произвольное непрерывное отображение. Тогда fr – продолжение отображения f на X. С другой стороны, если любое непрерывное отображение f : A Y можно продолжить на X, то, в частности, отображение idA : A A можно продолжить до отображения r : A X. Это и есть требуемая ретракция.

6.2. Пусть f : A A – произвольное непрерывное отображение. Согласно за даче 6.1 это отображение можно продолжить до отображения F : X A X.

По условию отображение F имеет неподвижную точку x0. При этом x0 = F(x0) A и f(x0) = F(x0) = x0.

7.1. Пусть {U } – открытое покрытие множества C;

U – открытое множе ство в K, для которого U = U C. Множества U вместе с открытым мно жеством U = K \ C покрывают K. Из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие U1,..., Un, U. Ясно, что множества U1,..., Un покрывают C.

320 Глава VI. Фундаментальная группа 7.2. а) Введём на пространстве X следующее отношение эквивалентности:

x1 x2, если образы точек x1 и x2 при любом непрерывном отображении X в хаусдорфово пространство совпадают. Тогда X H = X/ и – естественная про екция X на X/.

б) Рассмотрим сюръективное отображение Matn (C) Cn, которое сопостав ляет матрице A коэффициенты многочлена det(A + I), где I – единичная мат рица. Это отображение постоянно на орбитах, поэтому оно индуцирует отоб ражение c : X/G Cn. Отображению c соответствует сюръективное отображе ние c H : (X/G) H Cn.

Если матрицы A и B диагональные, то c H (A) = c H (B) тогда и только тогда, когда A и B принадлежат одной и той же орбите.

В любой орбите можно выбрать верхнюю треугольную матрицу 1...

.............

0... n Пусть m = diag(1, m, m2,..., mn1) – диагональная матрица. Тогда lim m A1 = diag(1,..., n).

m m Из хаусдорфовости пространства (X/G) H следует, что матрицы A и diag(1,..., n) представляют в нём одну и ту же точку.

в) Отображение f индуцирует отображение f : X/G C. Отображению f соответствует отображение F : (X/G) H = Cn C.

8.1. Пусть v0, v1,..., vn – упорядоченный набор вершин симплекса n. Ему соответствует симплекс барицентрического подразделения, который в барицен трических координатах задаётся неравенствами x0 x1... xn. Этот симплекс имеет следующие вершины: v0, барицентр [v0, v1 ], барицентр [v0, v1, v2 ],...

8.2. Полный подкомплекс, очевидно, обладает указанным свойством. Пред положим теперь, что любой симплекс комплекса K, граница которого лежит в L, сам лежит в L. Пусть все вершины некоторого симплекса комплекса K лежат в L. Тогда все его рёбра лежат в L. Поэтому все его 2-мерные грани тоже лежат в L и т. д.

8.3. Симплекс n комплекса K однозначно задаётся набором симплексов 0 1... n комплекса K (вершины n являются барицентрами этих сим плексов). Предположим, что все вершины симплекса n лежат в L. Тогда, в част ности, барицентр симплекса n лежит в L. Это означает, что сам симплекс n лежит в L. Симплекс n является одним из симплексов барицентрического под разделения симплекса n, поэтому он лежит в L.

8.4. а) [139] Мы будем предполагать, что I = [1, 1]. Тогда I n состоит из таких точек (x1,..., xn), что |xi | 1 для всех i и xi = ±1 для некоторого i.

Положим (I n) n1 = {(x1,..., xn) I n | xi = +1 для некоторого i}.

+ § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой Легко проверить, что ((I n) n1) состоит из таких точек (x1,..., xn) I n, что + xi = +1 и x j = 1. Определим (I n) n2 как объединение (n 2)-мерных гра + ней куба, заданных соотношениями xi = +1 и x j = 1 для i j. Аналогично n j определим (I n) + как объединение (n j)-мерных граней куба, заданных со отношениями xa1 = +1, xa2 = 1, xa2 = +1,..., xa j = (1) j+1 для некоторых 1 a1 a2 a3... a j n. Легко проверить, что ((I n) n j) = (I n) + j n + n n j ((I ) + ).

Пусть Sk (i0, i1,..., ik) – количество k-мерных симплексов с пометками i0,..., ik, принадлежащих (I n) k. Выведем соотношение между S1 (i, j) и S0 (i), + посчитав двумя разными способами число N(i) – количество пар, состоящих из 1-мерного симплекса, принадлежащего (I n) 1, и его вершины с пометкой i 1.

+ Рассмотрим сначала сумму по 1-мерным симплексам, принадлежащим (I n) 1. + В результате получим N(i) = 2S1 (i, i) + S1 (i, i) + (S1 (i, j) + S1 (i, j));

(1) j=i, j при этом S1 (i, i) = 0 по условию. Рассмотрим теперь сумму по вершинам три ангуляции, принадлежащим (I n) 1. В результате получим + N(i) = 2K + S0 (i) + S0 (i), (2) (I n) где K – количество внутренних вершин с пометкой i. Действительно, гра + ница (I n) 1 состоит из (I n) 0 и (I n) 0 ;

при этом если вершина v (I n) 0 имеет + + + + пометку k, то вершина v (I n) 0 имеет пометку k. Сравнивая равенства (1) + и (2) и суммируя по i от 1 до n, получаем n (S1 (i, j) + S1 (i, j)) (S0 (i) + S0 (i)) (mod 2);

1 i j n i= слагаемые вида S1 (i, j) уничтожились, потому что каждое такое слагаемое встречается дважды: сначала в выражении для i, а затем в выражении для j.

(S0 (i) + S0 (i)) = 1, поскольку (I n) 0 состоит из одной точ Ясно также, что + ки (+1, 1, +1,...).

В дальнейшем будем производить вычисления по модулю 2. Подсчитаем в (I n) 2 количество пар, состоящих из 2-мерного симплекса и его 1-мерной + грани с метками i и j, где 1 i j. Сначала рассмотрим сумму по 2-мерным симплексам. В результате получим (по модулю 2) (S2 (i, j, k) + S2 (i, j, k)).

k=i, j,k Рассматривая сумму по 1-мерным симплексам с метками i и j, получим S1 (i, j) + S1 (i, j);

здесь снова внутренние 1-симплексы по модулю 2 взаимно уничтожаются и оста ются только граничные симплексы. Приравняем полученные выражения и про 322 Глава VI. Фундаментальная группа суммируем по всем парам i j. После приведения по модулю 2 получим (S2 (i0, i1, i2) + S2 (i0, i1, i2)) = (S1 (i, j) + S1 (i, j)) = 1 i0 i1 i2 1 i j (S0 (i) + S0 (i)) = 1.

= 1i n Аналогичные вычисления можно продолжить дальше и получить Sn1 (1, 2,..., ±n) + Sn1 (1, 2,..., n) 1 (mod 2). (3) При доказательстве каждый раз нужно использовать то, что если числа ia и ia+ одного знака, то выражение Sk (i0,..., ia, ia+1,..., ik) встречается дважды.

Чтобы прийти к противоречию, вычислим во всём кубе I n количество пар, состоящих из n-мерного симплекса и его (n 1)-мерной грани с метками 1, 2, 3,..., ±n. Противолежащая этой грани вершина не может иметь меток 1, 2, 3,..., n, потому что иначе было бы ребро с метками i и i. Таким образом, ровно одна из меток 1, 2, 3,..., ±n встречается дважды. Поэтому рассматриваемое количество пар чётно (мы вычисляем количество пар, суммируя по n-мерным симплексам). С другой стороны, вычисляя то же самое количество пар, суммируя по (n 1)-мерным симплексам с метками 1, 2, 3,..., ±n, полу чим выражение, стоящее в левой части сравнения (3). Приходим к противоречию.

б) Предположим, что существует непрерывное отображение f : I n I n, пе реводящее антиподальные точки I n в антиподальные точки. Рассмотрим столь мелкую триангуляцию I n, симметричную на I n, что если v1 и v2 – смежные вер шины триангуляции, то f(v1) f(v2) 2;

в частности, образы смежных вершин триангуляции не могут лежать на противоположных гранях куба. Пометим вер шины триангуляции числами ±1, ±2,..., ±n следующим образом: точке v I n сопоставим номер грани, которой принадлежит точка f(v);

при этом подразуме вается, что противоположные грани имеют номера i и i. Согласно лемме Такера существуют смежные вершины триангуляции, имеющие номера i и i. Приходим к противоречию.

8.5. Из теоремы Борсука– Улама следует, что n m. Пусть – произволь ное (m + 1 n)-мерное линейное подпространство в Rm+1 S m. Покажем, что множество (S n) содержит по крайней мере две точки. Пусть – ортого нальное дополнение к пространству, p : Rm+1 – ортогональная проекция.

Тогда отображение p : S n Rn нечётно, поэтому по теореме Борсука – = Улама существует точка x S n, для которой p((x)) = 0, т. е. (x). В таком случае (x) = (x), причём (x) = 0, так как (x) S m.

Почти все (m + 1 n)-мерные линейные подпространства в Rm пересекают фиксированное (n + 1)-мерное линейное подпространство по прямой, т. е. они пересекают стандартно вложенную в Rn+1 Rm сферу S n ровно в двух точках.

Таким образом, для почти всех (m + 1 n)-мерных подпространств число то чек пересечения с (S n) не меньше, чем с S n. Из этого следует, что n-мерный объём (S n) не меньше, чем n-мерный объём S n. Для доказательства этого утверждения нужно ввести на множестве Gm+1n (Rm) всех (m + 1 n)-мерных § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой линейных подпространств в Rm инвариантную меру µ и для каждого множества X S m рассмотреть интеграл |X | dµ. Если для множества X опре Gm+1n (Rm) делён n-мерный объём, то этот интеграл конечен и пропорционален n-мерному объёму множества X.

8.6. a) Непосредственное применение теоремы Борсука – Улама не приводит к желаемому результату, потому что противоположно направленные лучи, вы ходящие из внутренней точки многогранника P, могут пересекать P в точках, принадлежащих пересекающимся граням. Предварительно многогранник P нужно симметризовать. А именно, рассмотрим множество Q = {x = z w | z, w P}.

Ясно, что Q – выпуклый многогранник, симметричный относительно начала ко ординат.

Определим отображение h : Q P следующим образом. Пусть z = (z1,...

..., zn+1) и z = (z1,..., zn+1). Будем считать, что z z, если z1 = z1,..., zk1 = = zk1 и zk zk (возможно k = 1). Положим h(x) = max {z | x = z w, где z, w P}.

Геометрически отображение h можно описать так. Если x = z w, то z = x + w x + P, поэтому h(x) – максимальная точка множества P (x + P). При этом максимальная точка находится следующим образом: сначала находим точки с максимальной координатой z1, затем среди них находим точки с максимальной координатой z2, и т. д.

Легко проверить, что x = h(x) h(x). Действительно, если x = h(x) w0, то w0 = h(x) x P (x + P) x = (x + P) P. При этом из того, что h(x) – максимальная точка множества P (x + P), следует, что w0 – максимальная точ ка множества (x + P) P.

Докажем теперь, что отображение h непрерывно. Пусть xn Q и lim xn = n = x Q. Представим xn в виде xn = zn wn, где zn = h(xn). Пусть zni – произ вольная сходящаяся подпоследовательность. Тогда подпоследовательность wni тоже сходящаяся. Положим z = lim zni и w = lim wni. Тогда x = z w, поэто i i му z h(x). Предположим, что z h(x). Рассмотрим точки z = zni + (h(x) z) и w = wni + (h(x) w), где 0. Из того, что h(x) h(x) = x = z w, сле дует, что z w = zni wni = xni. Ясно также, что z zni, так как h(x) z и 0. Покажем, что числа 0 и ni можно выбрать так, что z, w P. Для точки z P можно выбрать 0 так, что если z v и точка v лежит на лу че, выходящем из точки z и идущем в точку t P, то v P. Пусть C – множество всех таких точек v. Выберем 0 так, что h(x) z /2, а ni выберем так, что zni z /2. Тогда точки zni и z + (h(x) z) принадлежат C/2. Из выпук лости множества C/2 следует, что середина отрезка с концами в этих точках тоже принадлежит C/2, поэтому z = zni + (h(x) z) C P. Аналогично получаем w P. Но если z, w P и z w = xni, то z h(xni ) = zni, что противоречит 324 Глава VI. Фундаментальная группа неравенству z zni. Полученное противоречие показывает, что z = h(x). Таким образом, любая сходящаяся подпоследовательность последовательности zn схо дится к h(x). Из компактности множества P, содержащего точки zn, следует, что вне сколь угодно малой окрестности точки h(x) может лежать лишь конечное число точек zn. Поэтому lim zn = h(x), т. е. отображение h непрерывно.

n Пусть a = 0 – произвольный вектор и max (a, x) = (a, x0). Из равенства xQ x0 = h(x0) h(x0) следует, что (a, h(x0)) + (a, h(x0)) = (a, x0) = max (a, x) = xQ = max (a, z w) = max (a, z) max (a, w).

z,wP zP wP Поэтому (a, h(x0)) = max (a, z) и (a, h(x0)) = max (a, w). Это означает, что zP wP точки h(x0) и h(x0) принадлежат двум различным опорным гиперплоскостям многогранника P. В частности, точки h(x0) и h(x0) принадлежат непересекаю щимся граням многогранника P.

Теперь уже можно применить теорему Борсука– Улама к отображению g(x) = f(h(x)). В результате получим, что существует точка x0 Q, для которой g(x0) = g(x0). Точка x0 принадлежит некоторой опорной плоскости много гранника Q, поэтому существует вектор a = 0, для которого max (a, x) = (a, x0).

xQ В таком случае точки z = h(x0) и w = h(x0) принадлежат непересекающимся граням многогранника P и f(z) = f(h(x0)) = g(x0) = g(x0) = f(h(x0)) = f(w), что и требовалось.

б) Пусть B и C – непересекающиеся грани симплекса n+1, для которых f(B) f(C) =. Грани n не принадлежит лишь одна вершина симплекса n+1.

i Эта вершина не может одновременно принадлежать граням B и C, поэтому B n или C n (или B, C n), а значит, f(n) f(B) f(C).

i i i i З а м е ч а н и е 1. Если отображение f : n+1 Rn линейно, то утвержде ние задачи б) – это частный случай теоремы Хелли. Но это как раз тот частный случай, который является шагом индукции при доказательстве теоремы Хелли по индукции. Поэтому он, по сути дела, эквивалентен теореме Хелли.

З а м е ч а н и е 2. Другое решение задачи 8.6 и её обобщение приведено в [87].

9.1. Рассмотрим характеристическое отображение f : D 2n CP n, опреде лённое на с. 136. Его ограничение на int D 2n является гомеоморфизмом int D 2n на CP n \ CP n1. Ясно также, что при указанном отождествлении точек сферы S 2n1 из неё получается CP n1.

9.2. Можно считать, что S состоит из точек x = (x1, x2,...) R, у кото xi2 = 1. Пусть рых лишь конечное число ненулевых координат и (x) = (0, x1, x2,...) и ht (x) = (1 t)x + t(x). Легко проверить, что ht (x) = при x = 0. Поэтому формула x ht (x) / ht (x) задаёт гомотопию, связываю § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой M2 M 1 Рис. 144. Поверхности M2 и M 1 щую тождественное отображение idS с отображением |S. Пусть, далее, gt (x) = (1 t)(x) + (t, 0, 0,...). Тогда снова gt (x) = 0 при x = 0. Поэтому формула x gt (x) / gt (x) задаёт гомотопию, связывающую отображение |S с постоянным отображением в точку (1, 0, 0,...).

9.3. Если данное компактное множество K пересекает открытую клетку n n n int e, то выберем одну точку x K int e. Требуется доказать, что множество n T = {x } конечно.

Из свойства (c) следует, что любая замкнутая клетка пересекается лишь с конечным числом открытых клеток, поэтому пересечение любого подмножества T T с любой замкнутой клеткой состоит из конечного числа точек, а значит, оно замкнуто. Теперь из свойства (w) следует, что любое подмножество T T замкнуто, а значит, T дискретно. С другой стороны, множество T компактно как замкнутое подмножество компактного пространства. Остаётся заметить, что дискретное компактное множество конечно.

10.1. Сферу S n можно представить как CW -комплекс с одной 0-мер ной клеткой и одной n-мерной клеткой. Поэтому S p S q можно представить как CW -комплекс с клетками размерностей 0, p, q и p + q. Клетки размерностей 0, p и q образуют подкомплекс S p S q. После стягивания этого подкомплекса в точку получается CW -комплекс с клетками размерностей 0 и p + q, т. е.

(p + q)-мерная сфера.

n2 11.1. а) Если n чётно, то nP 2 T # 2P 2, а если n нечётно, то nP n T 2 # P 2. Поэтому достаточно рассмотреть поверхности 2P 2 и P 2, для ко торых требуемые кривые строятся очевидным образом.

б) Нужно доказать, что если после разрезания по замкнутой кривой поверх ность nP 2 становится ориентируемой, то в случае чётного n край полученной поверхности состоит из двух компонент, а в случае нечётного n – из одной. При таком разрезании эйлерова характеристика поверхности не изменяется. Если край состоит из двух компонент, то можно приклеить ручку S 1 I, а если край состоит из одной компоненты, то можно приклеить диск D 2. В обоих случаях в резуль тате получится замкнутая ориентируемая поверхность (имеющая чётную эйле рову характеристику). В первом случае эйлерова характеристика не изменяется, а во втором она увеличивается на 1.

326 Глава VI. Фундаментальная группа 11.2. Да, могут. Поверхности M2 и M2, изображённые на рис. 144, не гомео 1 морфны, поскольку край поверхности M2 состоит из трёх связных компонент, а край поверхности M2 связен. Пространства M2 I и M2 I гомеоморфны, 2 2 потому что «ручку» можно перетащить по пунктирной линии.

11.3. Поверхность nP 2 можно представить как сферу S 2, из которой выреза но n дисков и вместо них вклеено n листов Мёбиуса;

эти листы Мёбиуса попарно не пересекаются.

Предположим, что на поверхности nP 2 размещено p непересекающихся ли стов Мёбиуса. Проведём разрезы по краям этих листов Мёбиуса, а затем к этим разрезам приклеим диски. В результате получим замкнутую поверхность M2, эйлерова характеристика которой равна (nP 2) + p = 2 n + p. Но (M2) 2, поэтому k n.

12.1. а) Универсальное накрытие плоскости с двумя выколотыми точками устроено так, как показано на рис. 145. Ясно, что универсальное накрывающее пространство гомеоморфно плоскости.

Для плоскости с произвольным (конечным) числом выколотых точек доказа тельство аналогично.

б) Пусть fa1...an : C C \ {a1,..., an } – универсальное накрытие. Рассмот рим отображение (w1,..., wn) (z1,..., zn), где z1 = w1, z2 = fz1 w2, z3 = fz1 z2 w3, z4 = fz1 z2 z3 w4,...

n Это отображение является накрытием C.

12.2. Если накрытие p можно представить в требуемом виде p = p2 p1, 1 1 то множества I1 = p1 (y1),..., In = p1 (yn), где {y1,..., yn } = p2 (x), искомые.

В самом деле, если – замкнутый путь в X, то его поднятие в Y соединяет некоторые точки yi и y j. Поэтому поднятие пути в X соединяет точки множеств Ii и I j.

Предположим теперь, что I1 = {t11,..., t1m },..., In = {tn1,..., tnm } – разби ение множества p 1 (x), обладающее указанными свойствами. Пусть x1 X – произвольная точка, – путь из x в x1, Jk – множество концов поднятий пути с началом в Ik. Нумерация множеств Jk зависит от выбора пути, но сам набор Рис. 145. Универсальное накрытие плоскости без двух точек § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой этих множеств не зависит от выбора пути. В самом деле, предположим, что одно поднятие пути с началом в Ik заканчивается в Jk, а другое заканчивается в Jl, где l = k. Тогда одно поднятие замкнутого пути 1 с началом Ik заканчивается в Ik, а другое заканчивается в Il, где l = k. Этого не может быть.

Отобразим все точки каждого множества Jk в одну точку. В результате полу чим накрытие p1 : X Y. Накрытие p2 строится теперь очевидным образом.

13.1. Эйлерова характеристика взрезанных квадратов графов K3,3 и K5 лег ко вычисляется. Все грани четырёхугольные, причём каждое ребро принадле жит ровно двум граням. Поэтому 2e = 4f. Количество вершин v равно n2 n, где n – количество вершин графа. Поэтому v = для взрезанного квадрата графа K3,3 и v = 20 для D n+ взрезанного квадрата графа K5. Количество граней f равно количеству упорядоченных пар непересекаю щихся рёбер. Поэтому f = 36 для взрезанного квад рата графа K3,3 и f = 30 для взрезанного квадрата Sn графа K5.

D n+ Остаётся проверить, что взрезанные квадраты гра фов K3,3 и K5 ориентируемы. Это можно непосред ственно проверить, но такая проверка довольно утоми тельна, потому что одна поверхность склеивается из 36 Рис. 146. Вложение взрезанного квад четырёхугольных граней, а вторая из 30. Этой провер ки можно избежать, воспользовавшись следующими рата во взрезанный соображениями. Взрезанный квадрат графа естествен- джойн ным образом вкладывается в его взрезанный джойн.

Действительно, паре несмежных рёбер во взрезанном джойне соответствует тет раэдр, в во взрезанном квадрате – параллелограмм;

этот параллелограмм можно рассматривать как сечение тетраэдра (рис. 146). Взрезанные джойны графов K3,3 и K5 гомеоморфны S 3. Для графа K5 это – частный случай (при n = 1) теоремы 10.2 на с. 149. Для графа K3,3 это легко выводится из того, что вре занный джойн джойна – это то же самое, что джойн взрезанных джойнов (см.

доказательство теоремы 10.3 на с. 150). Действительно, граф K3,3 – это джойн sk0 2 sk0 2, поэтому J2 (K3,3) = J2 (sk0 2 sk0 2) = J2 (sk0 2) J2 (sk0 2) 2 2 2 1 1 3 2 2 S S S, поскольку J2 (sk0 ) S.

Итак, взрезанные квадраты графов K3,3 и K5 вкладываются в S 3. А замкнутые неориентируемые поверхности в S 3 не вкладываются (следствие теоремы 17. на с. 239).

13.2. На взрезанном квадрате есть инволюция без неподвижных точек, со j j ответствующая отображению i i. Неподвижных точек у этой j инволюции нет, потому что симплексы i и не пересекаются.

Если на двумерной поверхности есть инволюция без неподвижных точек, то её эйлерова характеристика чётна.

14.1. Отображение idY гомотопно отображению Y y0. Зададим на X отоб ражение f0 = idX, а на Y зададим гомотопию, связывающую отображения idY 328 Глава VI. Фундаментальная группа и Y y0. Построим гомотопию ft данного отображения, продолжающую данную гомотопию. В результате получим отображение f1 : X X, которое гомотопно отображению idX, причём f1 (Y) = y0. Это отображение индуцирует отображение q : X/Y X, для которого qp = f1, где p : X X/Y – каноническая проекция.

Итак, qp = f1 idX. Поэтому остаётся проверить, что pq idY. По построению ft (Y) Y. Значит, отображение ft определяет отображение gt : X/Y X/Y. При этом g0 = idY и g1 = pq.

14.2. По индукции можно считать, что у n-связного CW -комплекса X есть ровно одна вершина и нет k-мерных клеток, где 1 k n 1 (при n = 0 никаких предварительных предположений мы не делаем). Нужно «уничтожить» n-мерные клетки X. Пусть : S n X – характеристическое отображение некоторой n-мер ной клетки комплекса X. Из n-связности X следует, что отображение можно продолжить до отображения : D n+1 X. (При n = 0 мы предполагаем, что : S 0 X отображает одну точку S 0 в фиксированную вершину x0, а другую точку – в данную вершину xi комплекса X;

тогда – путь из вершины x в данную вершину xi.) Будем считать, что S n – экватор сферы S n+1 = D n+2, а D n+1 – половина сферы S n+1 (рис. 147). Тогда можно приклеить D n+1 к X по отображению. В результате получим CW -комплекс X Y, гомотопиче ски эквивалентный X (для n = 0 на рис. 148 комплекс Y заштрихован). В Y есть стягиваемый подкомплекс Y, соответствующий «верхним» полусферам D n+1 (на рис. 148 этот подкомплекс выделен жирными линиями). Согласно задаче 14.1 (X Y) /Y X Y X. Ясно также, что CW -комплекс (X Y) /Y не имеет n-мерных клеток (и клеток меньших положительных размерностей).

При n = 0 эта конструкция приводит к тому, что мы получаем CW -комплекс с одной вершиной.

14.3. Согласно теореме о клеточной аппроксимации любое отображение S n X гомотопно отображению S n X n X, а в данном случае n-мерный остов X n состоит из одной точки.

14.4. Пространство (A B) получается из A B стягиванием в одну точку двух конусов CA и CB с общей образующей {a0 } {b0 } I (рис. 149). Ясно, что пространство CA CB стягиваемо (сначала можно стянуть в точку один конус, а потом другой). Поэтому согласно задаче 14.1 AB AB/ (CACB) (AB).

x D n+ x0 x Sn D n+ x Рис. 147. Диск D n+1 Рис. 148. Комплекс Y § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой     Рис. 149. Два конуса 14.5. а) Согласно задаче 14.2 X X, где X – CW -комплекс с одной вер шиной x0 и без k-мерных клеток, где 1 k n. Ясно также, что X X.

В комплексе X/x0 X нет клеток размерностей от 1 до n + 1. Поэтому согласно задаче 14.3 он (n + 1)-связен.

б) Можно считать, что X и Y не имеют клеток положительных размерностей, не превосходящих n и m. Тогда клетки положительной размерности CW -ком плекса X Y, не лежащие в X Y, являются произведениями клеток p q, где p n + 1 и q m + 1;

после факторизации X Y по X Y помимо 0-мерной клетки остаются только такие клетки. Значит, X Y не имеет k-мерных клеток, где 1 k n + m + 1.

в) Согласно задаче 14.4 X Y (X Y). Остаётся воспользоваться задача ми а) и б).

14.6. Задача а) является частным случаем задачи б). Будем решать сразу задачу б).

Джойн X Y содержит выделенные подпространства X и Y ;

приклеим к ним CX и CY. Если каждый из конусов CX и CY стянуть в точку, то в резуль тате получим (X Y). Эти конусы – стягиваемые подпространства, поэтому X Y CX CY (X Y).

Пусть x0 X и y0 Y – отмеченные точки. Рассмотрим в X Y подпростран ство Z, состоящее из {x0 } Y и X {y0 }. Пространство Z стягиваемо, поскольку после стягивания в Z отрезка [x0, y0 ] в точку получается пространство, гомото пически эквивалентное букету двух конусов. Ясно также, что если в пространстве X Y CX CY стянуть в точку подпространство Z, то в результате получится X Y (X Y).

14.7. По теореме о клеточной аппроксимации любое отображение S k X, k n, гомотопно отображению S k X n X, причём можно считать, что в про цессе гомотопии точка x0 X n неподвижна. При k n1 отображение S k I X, которое представляет собой гомотопию, связывающую два отображения 330 Глава VI. Фундаментальная группа Рис. 150. Универсальное накрывающее пространство f0, f1 : S k X, гомотопно отображению S k I X n X, причём при t = 0 и это отображение совпадает с f0 и с f1.

14.8. При n 2 универсальное накрывающее пространство для S n S 1 пред ставляет собой прямую R, к которой в точках с целочисленными координатами приклеены n-мерные сферы (рис. 150). Это пространство гомотопически эквива лентно букету счётного множества n-мерных сфер.

При n 2 гомотопические группы размерности n базы накрытия и накрыва ющего пространства изоморфны.

14.9. Группа n (S n S 1, x0) является свободной группой со счётным набо ром образующих k, k Z. Под действием образующей фундаментальной группы 1 (S n S 1, x0) элемент k переходит в k±1, т. е. действие нетривиально.

14.10. Сделаем замену переменных x1 = u1 + u2, x4 = u1 u2, x2 = u3 + u4, x3 = u3 u4. Эта замена переменных задаёт гомеоморфизм рассматриваемой сфе ры на сферу u2 + u2 + u2 + u2 =. При этом уравнение x1 x4 x2 x3 = 0 переходит 1 2 3 в уравнение u2 u2 u2 + u2 = 0, т. е. u2 + u2 = u2 + u2.

1 2 3 4 1 4 2 14.11. На с. 136 объясняется, что CP 2 получается посредством приклеи вания D 4 = {(z1, z2) C2 | |z1 |2 + |z2 |2 1} к CP 1 = {(z1 : z2 : z3) CP 1 | z3 = 0} по отображению f : S 3 CP 1, заданному формулой f(z1, z2) = (z1 : z2). Но отоб ражение f совпадает с p.

14.12. Из задачи 14.11 следует, что ретракции r : CP 2 CP 1 соответствует отображение r : D 4 CP 1, для которого r(x) = p(x) при x S 3. Поэтому r – продолжение на D 4 отображения p, т. е. отображение p гомотопно постоянному.

Но отображение p индуцирует изоморфизм p : 3 (S 3) 3 (S 2), где 3 (S 3) = Z (см. с. 256), поэтому оно не может быть гомотопно постоянному.

14.13. Требуемый изоморфизм следует из точной последовательности пары n (CX) n (CX, X) n1 (X) n1 (CX), поскольку конус CX – стягиваемое пространство.

14.14. Представим S m и S n как I m /I m и I n /I n. Тогда S m S n пред ставляется как куб I n+m, у которого некоторые точки границы I n+m отож дествляются;

при отождествлении этих точек из I n+m получается S m S n.

Пусть a I n+m \ I n+m. Деформационная ретракция I n+m \ {a} на I n+m строится § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой очевидным образом. Она даёт деформационную ретракцию S m S n с выколотой точкой на S m S n.

15.1. Множество N n Mn одновременно замкнуто (поскольку N n компактно) и открыто (поскольку N n не имеет края и размерность многообразия N n равна размерности многообразия Mn). Поэтому оно совпадает с Mn.

15.2. а) Многообразие G+ (n, 1) диффеоморфно S n1, а G+ (3, 2) G+ (3, 1).

Поэтому в дальнейшем будем считать, что k 2 и n 4. Вычислим 1 G(n, k) с помощью теоремы 20.1. Нас интересует только 2-мерный остов G(n, k).

В 2-мерный остов входят клетки Шуберта следующих видов:, 0t x100 и ;

здесь предполагается, что остальная часть y010 0xy матрицы состоит из нулей и единиц, поэтому она нас не интересует. Покажем, что обе 2-мерные клетки приклеиваются к 1-мерной клетке точно так же, как 1000 1 0 в RP 2. При x, y получаем и 0xy1 0 x/y 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 x x.

0 1 0 0 1 0 0 1 y/x y/x y В обоих случаях диаметрально противоположные точки границы 2-мерной клетки приклеиваются к одной и той же точке 1-мерной клетки.

Таким образом, группа 1 G(n, k) задаётся одной образующей, которая удовлетворяет соотношению 2 = 1 (обе 2-мерные клетки задают одно и то же со отношение). Значит, 1 G(n, k) = Z2.

Пространство G+ (n, k) двулистно накрывает G(n, k), поэтому 1 G+ (n, k) = = 0. Из этого следует ориентируемость G+ (n, k).

б) При k n любые k ортонормированных векторов в Rn можно перевести в любые другие k ортонормированных векторов в Rn преобразованием из SO(n), поэтому группа SO(n) транзитивно действует на G(n, k), т. е. любое k-мерное подпространство k в Rn можно перевести в любое другое k-мерное подпро странство преобразованием из SO(n).


Стационарная подгруппа каждой точки k G(n, k), состоящая из преобра зований, переводящих k в себя, изоморфна O(k) O(n k) SO(n). Действи тельно, любое ортогональное преобразование, переводящее k в себя, представ ляет собой прямую сумму ортогонального преобразования k и ортогонального преобразования (k).

Выберем в точке k G(n, k) ориентацию и попытаемся разнести её на всё многообразие G(n, k) посредством действия группы SO(n). Это удастся сделать, если под действием всей стационарной подгруппы ориентация в точке k не из меняется.

Пусть U1 O(k) и U2 O(n k). Пара матриц (U1, U2) действует на матрицу (Ik, X), где Ik – единичная матрица порядка k, X – матрица размером k (n k), следующим образом: (Ik, X) (U1, XU2) (Ik, U1 XU2). Поэтому в простран стве, координатами которого служат элементы матрицы X, получаем отображение 332 Глава VI. Фундаментальная группа 1 X U1 XU2. Это отображение задаётся матрицей U2 (U1 ) T = A, определи T 1 nk k тель которой равен (det U2) (det U1 ) (см. [15, с. 172]).

Мы рассматриваем случай, когда матрица U1 U2 лежит в SO(n), т. е. её определитель равен 1. Это означает, что det U1 = det U2 = ±1. Если det U1 = = det U2 = 1, то det A = 1. Если же detU1 = detU2 = 1, то detA = (1) k (1) nk = = (1) n. Поэтому в случае чётного n стационарная подгруппа сохраняет ори ентацию, а в случае нечётного n часть стационарной подгруппы изменяет ориентацию. В случае нечётного n теперь легко построить петлю, при обходе вдоль которой ориентация изменяется. А именно, возьмём в связной группе SO(n) путь (t) из точки In в точку U1 U2, где U1 O(k) и U2 O(n k) – матрицы с определителем 1. Этому пути соответствует петля (t)k в G(n, k).

При обходе вдоль этой петли ориентация изменяется.

15.3. Сопоставим паре векторов (v11, v12, v13, v14) и (v21, v22, v23, v24) шесть v v1 j чисел xi j = 1i, i j. Эти числа – координаты Плюккера плоскости, натя v2i v2 j нутой на данные векторы. Они связаны единственным соотношением Плюккера:

x12 x34 x23 x14 + x13 x24 = 0. (1) Поэтому нужно доказать, что пересечение гиперповерхности (1) с 5-мерной сфе xi2j = 1 диффеоморфно S 2 S 2.

рой Введём новые координаты y1,..., y6 следующим образом: 2x12 = y1 + y4, 2x34 = y1 y4, 2x23 = y2 + y5, 2x14 = y2 y5, 2x13 = y3 + y6, 2x24 = y3 y6. В этих 2 2 2 2 2 координатах уравнение (1) запишется в виде y1 + y2 + y3 = y4 + y5 + y6, а урав нение 5-мерной сферы запишется в виде yk = 2. Полученная система урав 2 2 2 2 2 нений эквивалентна следующей: y1 + y2 + y3 = 1, y4 + y5 + y6 = 1. Эта система 2 уравнений задаёт S S.

15.4. Пусть 2 G+ (n, 2) – ориентированная плоскость в Rn. Выберем в ней векторы v1 и v2 так, что |v1 | = |v2 |, v1 v2 и базис v1, v2 положительно ориентиро ван. Если плоскость 2 отождествить с C, то пара v1, v2 определена с точностью до умножения на ненулевое комплексное число.

Сопоставим паре векторов v1, v2 вектор v1 + iv2 в Cn, а затем сопоставим этому вектору соответствующую ему точку в CP n1. Так мы получим взаимно од нозначное отображение G+ (n, 2) на некоторое подмножество в CP n1. Покажем, 2 что это множество и есть квадрика, заданная уравнением z1 +... + zn = 0.

(xk + iyk) 2 = xk Пусть v1 = (x1,..., xn) и v2 = (y1,..., yn). Тогда yk + 2i xk yk = 0, т. е. точка v1 + iv2 принадлежит указанной квадрике. На оборот, если zk = xk + iyk и zk = 0, то векторы v1 = (x1,..., xn) и v2 = (y1,..., yn) имеют равную длину и ортогональны.

Комплексное сопряжение соответствует замене базиса v1, v2 на базис v1, v2.

В результате получается та же плоскость, но с противоположной ориентацией.

16.1. Точка TS n задаётся парой векторов x, y Rn+1, для которых (x, x) = 1 + y 2 + iy Cn+1.

и (x, y) = 0. Сопоставим этой паре векторов точку x § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой Пусть zk = xk 1+ y + iyk. Тогда +iyk) 2 = (1+ y 2) 2 1+ y 1+ y yk = 1, 2 2 xk yk xk xk +2i поскольку xk = 1 и xk yk = 0.

(uk + ivk) 2 = 1, т. е.

Наоборот, возьмём точку u + iv Cn+1, для которой u 2 v 2 = 1 и (u, v) = 0. Сопоставим точке u + iv пару векторов u u и y = v. Тогда x = 1 и (x, y) = 0.

x= = 1+ v 1+ v 16.2. Пусть v0 = (x1, x2, x3, x4) S 3. Положим v1 = (x2, x1, x4, x3), v2 = = (x3, x4, x1, x2) и v3 = (x4, x3, x2, x1). Тогда (vi, v j) = 0 при i = j. Из это го следует, что v1, v2, v3 – попарно ортогональные единичные векторы, касатель ные к S 3 в точке v0.

На S 4n+3 три линейно независимых векторных поля строятся аналогично:

координаты разбиваются на n + 1 четвёрку, с каждой из которых производятся те же самые операции.

16.3. а) Пусть v(x) – векторное поле без особых точек на S 2n+1. Мож но считать, что v(x) = 1. Положим H(t, x) = (cos t)x + (sin t)v(x). Тогда H(t, x) = 1, т. е. H(t, x) S 2n+1. При этом H(0, x) = f(x) и H(1, x) = g(x).

б) Пусть x2k+1 (t) = x2k+1 cos t + x2k+2 sin t и x2k+2 (t) = x2k+1 sin t + +x2k+2 cos t. Положим H(t, x) = x0, x1 (t),..., x2n (t). Тогда H(0, x) = g(x) и H(1, x) = f(x).

16.4. а) Рассмотрим проекцию вектора f(x) на касательное пространство в точке x S 2n. Если f(x) = ±x для всех x, то в результате получим векторное поле на S 2n без особых точек, чего не может быть.

б) Точку x RP 2n можно рассматривать как пару точек ±x S 2n. Сопоставим каждой из точек ±x пару точек ±f(x). В результате получим либо два отображе ния f 1,2 : S 2n S 2n (при этом f 2 = f 1), либо одно отображение f : S 2n S 2n, 2n двулистно накрывает S 2n. Второй вариант невозможен, где пространство S поскольку 1 (S 2n) = 0.

Если отображение f не имеет неподвижных точек, то отображение f 1 обла дает тем свойством, что f 1 (x) = ±x для всех x S 2n. Согласно задаче а) таких отображений нет.

16.5. [105] Можно считать, что K, как линейное пространство, отождествле но с Rn. Прежде всего докажем, что число n чётно. Соединим в Rn точки e и e путём (t), не проходящим через 0. Каждой точке (t) этого пути соот ветствует невырожденное линейное преобразование A (t) : x µ x, (t). Точ кам e и e соответствуют линейные преобразования In и In, причём det In = и det(In) = (1) n. Предположим, что n нечётно. Тогда det(In) = 1. С дру гой стороны, det(A (t) ) = 0 для всех t. Поэтому если в начальной точке пути det(A (t) ) 0, то в конечной точке пути тоже det(A (t) ) 0. Получено противо речие.

Каждому вектору v Rn \ {0} можно сопоставить вектор f(v) Rn \ {0}, для которого µ v, f(v) = e. При этом v = e f(v) = e. Таким образом, f – го 334 Глава VI. Фундаментальная группа меоморфизм Rn \ {te}, t R, на себя. Далее, f переводит луч tv, t 0, в луч tf(v), t 0, поскольку f(tv) = t 1 f(v) при t = 0. Поэтому можно рассмотреть отображение f : S n1 \ {±e} S n1 \ {±e}, которое переводит точку v в точку пересечения луча tf(v), t 0, со сферой S n1. Наконец, перейдём к отображению g : S n2 S n2, которое переводит точку v в точку пересечения сферы S n2, состоящей из единичных векторов, ортогональных e, с большой окружностью, проходящей через точки ±e и f (v).

Число n 2 чётно, поэтому согласно задаче 16.4 g(v) = ±v для некото рой точки v S n2. Это означает, что f(v) = v + e, где, R и = 0.

Согласно определению e = µ v, f(v) = µ(v, v + e) = µ(v, v) + v, поэтому µ(v, v) = 1 e 1 v. Таким образом, подпространство, натянутое на векторы e и v, является подалгеброй. Эта подалгебра ассоциативна, коммутативна, имеет двустороннюю единицу и не имеет делителей нуля, т. е. она является полем.

Но любое поле, которое как вещественное пространство имеет размерность 2, изоморфно C.

16.6. В малой окрестности любой точки сферы S n1 = {x Rn : x = 1/2} отображение f (с точностью до линейных членов) выглядит как симметрия отно сительно гиперплоскости, касательной к S n1 в данной точке.

18.1. Отображение f гомотопно постоянному отображению, потому что 2 (M2) = 0. Из этого следует, что deg f = 0.

18.2. Пусть x0 – регулярное значение отображения fg, f 1 (x0) = {a1,..., ak }, g (ai) = {bi1,..., bil(i) }, i = sgn J f (ai), i j = sgn J g (bi j). Тогда 1 +... +k = deg f и i1 +... + il(i) = deg g для всех i = 1,... k. Поэтому deg(fg) = i i j = = i (deg g) = (deg f) (deg g).

18.3. Пусть P(z) = an z n + an1 z n1 +... + a0, an = 0. Отображение z P(z) продолжается до отображения P : CP 1 CP 1, заданного формулой A (z : w) (an z n + an1 z n1 w +... + a0 w n : w n).

A Пусть (u0 : 1) – регулярное значение отображения P. Степень отображения A вычисляется следующим образом. Сначала нужно взять прообразы точки P (u0 : 1), т. е. такие точки z0,..., zk, что P(z j) = u0. Регулярность означает, что P(z j) = 0. Поэтому у многочлена P(z) u0 нет кратных корней, т. е. k = n. Затем в каждой точке z j нужно вычислить знак якобиана отображения z P(z). Если a b P (z j) = a + bi, то матрица Якоби этого отображения в точке z j равна.

b a Её определитель равен a2 + b 2 0, поэтому якобиан во всех точках z1,..., zn положителен. Значит, степень отображения равна n.

18.4. Пусть R(z) = P(t) /Q(t), где deg P = m и deg Q = n. Тогда гладкое отоб ражение CP 1 CP 1 задаётся формулой (z : w) w m+n P(z/w) : w m+n Q(z/w).

Как и в задаче 18.3, во всех прообразах регулярного значения якобиан положи телен, поэтому нужно лишь найти число прообразов. В общем положении число корней уравнения P(z) = cQ(z) равно max {m, n}.

§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой 18.5. Будем рассматривать S n S n+1 как гладкое многообразие. Рассмот рим в S n+1 экваториальную сферу S n = S n {1/2} и выберем на ней регуляр ное значение x0 отображения f ;

оно является также и регулярным значением отображения f. Более того, если J – матрица Якоби отображения f в точке J y0 f 1 (x0), то – матрица Якоби отображения f.


18.6. Покажем, что deg f = k1... kn. Если одно из чисел k1,..., kn равно нулю, то это очевидно. В дальнейшем будем считать, что k1... kn = 0. Прообраз точки (r1 e i1,..., rn e in ) состоит из |k1... kn | точек r1 e i(1 +2l1)/k1,..., rn e i(n +2ln)/kn, где 0 li |k1 | 1. Ясно также, что знак якобиана отображения f совпадает со знаком числа k1... kn.

18.7. Равенство f(A) = f(A) показывает, что степень отображения f чётна.

Поэтому отображение f не гомотопно тождественному.

18.8. Можно считать, что C – единичная окружность. Вместо векторного по ля v на C удобнее рассматривать векторное поле w, которое получается при пово роте вектора v в точке (cos, sin ) на угол. Например, если векторное поле v касается C, то векторное поле w имеет постоянное направление – под углом ±90. Ясно, что ind v = ind w + 1, поэтому нужно доказать, что 2 ind w = i e.

Точки касания окружности C с интегральными траекториями соответствуют векторам w, направленным под углом ±90. Легко проверить, что в точке внеш него касания вектор w вращается в противоположном направлении по отношению к направлению обхода окружности. Это означает, что в этой точке якобиан от рицателен. В точке внутреннего касания якобиан положителен. Точки внешнего и внутреннего касания являются прообразами двух точек, соответствующих на правлениям ±90. Поэтому для одной точки количество прообразов (с учётом знака) равно (i e) /2.

18.11. Случай n = 1 очевиден, поэтому будем считать, что n 2. Рассмотрим на Mn векторное поле v с невырожденными особыми точками. Особые точки можно разбить на пары, состоящие из точек с индексами разного знака. Покажем, как можно уменьшить на 2 число особых точек (если они есть). Возьмём две особые точки x+ и x с индексами 1 и 1. Соединим их путём, не про ходящим через другие особые точки. Пусть – -окрестность пути. Если достаточно мало, то D n и не содержит особых точек, кроме x+ и x.

Можно считать, что множество покрыто одной картой и все векторы v(x), x, имеют единичную длину. Рассмотрим отображение S n1, заданное формулой x v(x). Степень этого отображения равна сумме индексов особых точек x+ и x, т. е. она равна нулю. Значит, отображение S n1 гомотопно постоянному отображению. Эту гомотопию можно рассматривать как векторное поле w на, которое состоит из векторов единичной длины и на совпадает с исходным векторным полем v. Поэтому можно рассмотреть векторное поле, которое совпадает с v вне и с w на. Это векторное поле имеет на 336 Глава VI. Фундаментальная группа особые точки меньше, чем v. Повторяя такую конструкцию, можно уничтожить все особые точки.

18.12. Ясно, что если на Mn есть векторное поле без особых точек, то на Mn есть и поле направлений. Предположим, что на Mn есть поле направлений. Введём на Mn риманову метрику и в каждом выделенном 1-мерном подпространстве возьмём оба вектора единичной длины. Множество всех таких векторов является замкнутым многообразием Mn, которое 2-листно накрывает Mn и на котором задано векторное поле без особых точек. (Многообразие Mn либо связно, либо состоит из двух связных компонент, диффеоморфных Mn.) Пусть – сумма ин дексов особых точек векторного поля на Mn. Согласно тереме 18.7 на с. 251 сумма индексов особых точек векторного поля на Mn равна 2. Но на Mn есть векторное поле без особых точек, поэтому 2 = 0, а значит, = 0. Теперь задача 18. показывает, что на Mn есть векторное поле без особых точек.

18.13. В примере 14.3 на с. 187 показано, что расслоение Хопфа p : S 3 S является образующей группы 3 (S 2) Z. Чтобы описать соответствующее = оснащённо многообразие в 1 (3), рассмотрим на сфере S 2 две близкие точки.

fr Их прообразы – две окружности, образующие зацепление Хопфа. Поэтому соответствующее оснащённое многообразие представляет собой окружность S со следующим оснащением. Рассмотрим в R3 зацепление Хопфа, одной из ком понент которого является наша окружность S 1 (мы предполагаем, что окруж ность S 1 стандартно вложена в R3, а вторая компонента зацепления Хопфа лежит на границе -окрестности S 1, причём каждый ортогональный к S 1 круг радиуса пересекает вторую компоненту ровно в одной точке). Конец вектора e оснащения перемещается по второй компоненте зацепления Хопфа ( e1 = );

вектор e2 оснащения лежит в нормальной к S 1 плоскости и ортогонален век тору e1.

19.1. а) Из стягиваемости конуса CY следует, что X/Y = (X CY) /CY X CY для любого подкомплекса Y X. Несложно убедиться, что в доказательстве леммы 19.2 можно заменить S i1 на Y, а D i на CY. Поэтому если отображения f, g : Y X гомотопны, то X f CY X g CY. По условию вложение f : Y X гомотопно постоянному отображению g : Y x0 X. Но X f CY = X CY, а X g CY = X Y.

б) Экваториальная сфера S k стягиваема в S k+1. Поэтому при n m сфе ра S m, канонически вложенная в S n, стягиваема в S n. Остаётся воспользоваться задачей а).

20.2. Легко видеть, что отображение i : 1 (A) 1 (X) задаётся формулой a 2a, где a – образующая групп 1 (A) и 1 (X). Поэтому отображение r i не может быть тождественным.

20.3. а) Из стандартного представления тора T 2 посредством склейки сторон квадрата видно, что отображение i : 1 (A) 1 (X) задаётся форму лой a 1 1, где a – образующая группы 1 (A), и – образующие свободной группы 1 (X). Таким образом, для коммутантов фундаментальных групп получаем нулевое отображение. Поэтому отображение r i не может быть тождественным.

§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой б) В этом случае отображение i : 1 (A) 1 (X) задаётся формулой a 1 1 1 1... g g 1 1. Отображение коммутантов тоже нулевое.

g g 20.4. Отображение коммутантов, индуцированное отображением i : 1 (A) 1 (X), имеет вид a 21 + 22 +... + 2 g. Поэтому отображение r i не мо жет быть тождественным.

20.5. Касательный вектор в точке x S n1 Rn ортогонален вектору x. По этому точка многообразия M3 представляет собой упорядоченную пару ортого нальных векторов e1, e2 R3 единичной длины. Эта пара однозначно дополняется до положительно ориентированного ортонормированного базиса e1, e2, e3. Поэто му M3 SO(3).

Гомеоморфизм SO(3) RP 3 устанавливается следующим образом. Любое преобразование из SO(3) имеет собственный вектор, поэтому он является поворо том на угол вокруг оси l, проходящей через начало координат. Каждому вектору e3 R3 длины, где 0, можно сопоставить поворот на угол вокруг оси e3 ;

направление вращения при этом выбирается так, чтобы базис e1, e2, e3, где e1 – вектор, ортогональный e3, а e2 – образ вектора e1 при данном повороте, был положительно ориентирован. Нулевому вектору сопоставим тождественное преобразование. Так устанавливается соответствие между точками шара D радиуса и преобразованиями из SO(3). Но при этом каждые две диаметрально противоположные точки шара соответствуют одному и тому же преобразованию.

21.1. Пространство R3 \ S 1 гомотопически эквивалентно S 2 I, где I – диа метр сферы S 2. Пусть I1 – дуга на сфере, соединяющая концы диаметра I. Тогда S 2 I (S 2 I) /I1 S 2 S 1.

22.1. Пространство R3 \ L гомотопически эквивалентно букету n экземпляров пространства D 3 \ S 1, где S 1 D 3 – стандартно вложенная окружность (триви альный узел). Согласно задаче 21.1 D 3 \ S 1 S 2 S 1.

22.2. При обсуждении свойств расслоения Хопфа мы получили представление сферы S 3 в виде объединения двух полноторий T1 = D1 S 1 и T2 = D2 S 1. При 2 этом окружности {0} S, лежащие в этих полноториях, образуют рассматрива емое зацепление. Учитывая, что R3 = S 3 \, получаем, что пространство R3 \ L получается выбрасыванием из полнотория T1 окружности {0} S 1 и ещё одной точки. Такое пространство гомотопически эквивалентно T 2 S 2.

Литература A l e x a n d r o f f P. S. ber stetige Abbildungen kompakter Rume. // Math.

1.

Ann. 96 (1927), 555–571.

2. А р н о л ь д В. И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:

Фазис, 1997.

3. Б о т т Р., Т у Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической тополо гии. М.: Наука, 1989.

4. Б у р б а к и Н. Общая топология. Вып. 3. М.: Наука, 1975.

5. в а н д е р В а р д е н Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

6. В а с и л ь е в В. А. Введение в топологию. М.: Фазис, 1997.

7. В е с е л о в А. П., Д ы н н и к о в И. А. Интегрируемые градиентные пото ки и теория Морса. // Алгебра и анализ. Т. 8, Вып. 3. (1996), 78–103.

8. Г у р е в и ч У., В о л м э н Г. Теория размерности. М.: ИЛ, 1948.

9. Л ю с т е р н и к Л. А., Ш н и р е л ь м а н Л. Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Госиздат, 1930.

10. М и л н о р Д ж. О многообразиях, гомеоморфных семимерной сфере // Математика. Сб. перев. 1959 Т. 1, Вып. 3. с. 35–42.

11. М и л н о р Д ж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.

12. М и л н о р Д ж., У о л л е с А. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972.

13. П о с т н и к о в М. М. Лекции по алгебраической топологии. Теория гомо топий клеточных пространств. М.: Наука, 1985.

14. П р а с о л о в В. В. Наглядная топология. М.: МЦНМО, 1995.

15. П р а с о л о в В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1996.

16. П р а с о л о в В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2000.

17. П р а с о л о в В. В., С о с и н с к и й А. Б. Узлы, зацепления, косы и трех мерные многообразия. М.: МЦНМО, 1997.

18. П р а с о л о в В. В., Т и х о м и р о в В. М. Геометрия. М.: МЦНМО, 1997.

19. Р о х л и н В. А., Ф у к с Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977.

U r y s o h n P. S. ber die Machtigkeit der zusammenkngenden Mengen // 20.

Math. Ann. 1925. Bd. 94. S. 262–295.

21. Ф о м е н к о А. Т., Ф у к с Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.: На ука, 1989.

22. Х а у с д о р ф Ф. Теория множеств. М.–Л.: ОНТИ, 1937.

23. Х и р ш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.

Литература 24. A d a c h i M. Embeddings and immersions. Providence: AMS. 1993.

25. A l b e r t A. A. Non–associative algebras // Ann. Math. 1942. V. 43.

P. 685–707.

26. A l e x a n d e r J. C. Morse functions on Grassmanians // Illinois J. Math.

1971. V. 15. P. 672–681.

27. A p p e l K., H a k e n W. Every planar map is four colorable. Part I: Discharg ing // Illinois J. Math. 1977. V. 21. P. 429–490.

28. A p p e l K., H a k e n W. Every planar map is four colorable // Providence:

AMS. (Contemp. Math. 1989. V. 98.) 29. A p p e l K., H a k e n W., K o c h J. Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility // Illinois J. Math. 1977. V. 21. P. 491–567.

30. A r c h d e a c o n D., i r J. Characterizing planarity using theta graphs // J. Graph Theory 1998. V. 27. P. 17–20.

31. B a l i n s k i M. L. On the graph structure of convex polyhedra in n-space // Pacic J. Math. 1961. V. 11. P. 431–434.

32. B a n c h o f f T. F. Global geometry of polygons. I: The theorem of Fabricius Bjerre // Proc. AMS. 1974. V. 45. P. 237–241.

33. B a j m c z y E. G., B r n y I. On a common generalization of Borsuk’s theorem and Radon’s theorem // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1979. V. 34.

P. 347–350.

34. B r n y I., L o v s z L. Borsuk’s theorem and the number of facets of centrally symmetric polytopes // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1982. V. 40.

P. 323–329.

35. B a r n e t t e D. W., G r n b a u m B. On Steinitz’s theorem concerning convex 3-polytopes and on some properties of planar graphs. // In: Lecture Notes in Math. V. 110. Springer, 1969. P. 27–40.

36. B o h l P. ber die Bewegung eines mechanisches Systems in die Nhe einer Gleihgewichtslage // J. Reine Angew. Math. 1904. V. 127. P. 279–286.

37. B o n d y J. A., M u r t y U. S. R. Graph theory with applications. London, Macmillan: 1976.

38. B o r s u k K. Drei Stze ber die n-dimensionale euklidische Sphre // Fund.

Math. 1933. V. 20. P. 177–190.

39. B o t t R. Two new combinatorial invariants for polyhedra // Portugualiae Math.

1952. V. 11. P. 35–40.

40. B r e d o n G. E., W o o d J. W. Non-orientable surfaces in orientable 3-man ifolds // Invent. Math. 1969. V. 7. P. 83–110.

41. B r e i t e n b a c h J. R. A criterion for the planarity of a graph // J. Graph Theory 1986. V. 10. P. 529–532.

42. B r o u w e r L. E. J. ber Abbildung von Mannigfaltigkeiten // Math. Ann.

1912. Bd. 71. S. 97–115.

43. B r o u w e r L. E. J. ber den natrlichen Dimensionsbegrif // J. Reine Angew.

Math. 1913. Bd. 142. S. 146–152.

44. B r o w n A. B., C a i r n s S. S. Strengthening of Sperner’s lemma applied to homology theory // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1961. V. 47. P. 113–114.

340 Литература 45. C a i r n s S. S. A simple triangulation method for smooth manifolds // Bull.

AMS. 1961. V. 67. P. 389–390.

46. C h e n i o t D. Le theoreme de van Kampen sur le groupe fondamental du complementaire d’une courbe algebrique projective plane. In: Lecture Notes in Math. 1974. V. 409. P. 394–417.

47. C o h e n D. I. A. On the Sperner lemma // J. Combinatorial Theory 1967. V. 2.

P. 585–587.

48. C o n w a y J. H., G o r d o n C. M c A. Knots and links in spatial graphs // J. Graph Theory 1983. V. 7. P. 445–453.

49. C r e i g h t o n J. H. C. An elementary proof of the classication of surfaces in the projective 3-space // Proc. AMS. 1978. V. 72. P. 191–192.

50. C r o w e l l R. H. On the van Kampen theorem // Pacic J. Math. 1959. V. 9.

P. 43–50.

51. D i e u d o n n J. Une gnralization des espace compact // J. Math. Pures Appl. 1944. V. 23. P. 65–76.

52. E n g e l k i n g R. Dimension theory. Norh– Holland Pub. Company, 1978.

53. F a b r i c i u s - B j e r r e F r. On the double tangents of plane closed curves // Math. Scand. 1962. V. 11. P. 113–116.

54. F a b r i c i u s - B j e r r e F r. A proof of a relation between the numbers of singularities of a closed polygon // J. Geom. 1979. V. 13. P. 126–132.

55. F r y I. On stright line representation of planar graph // Acta Sci. Math.

(Szeged). 1948. V. 11. P. 229–233.

56. F a t h i A. Partitions of unity for countable covers // Amer. Math. Monthly.

1997. V. 104. P. 720–723.

57. F l o r e s A. ber die Existenz n-dimensionaler Komplexe, die nicht in den R2n topologisch einbettbar sind // Ergeb. Math. Kolloq. 1932/33. Bd. 5. S. 17–24.

58. F l o r e s A. ber n-dimensionale Komplexe, die im R2n+1 absolut selbstver schlungen sind // Ergeb. Math. Kolloq. 1933/34. Bd. 6. S. 4–6.

59. F r e u d e n t h a l H. Die Fundamentalgruppe der Mannigfaltigkeit der Tan gentialrichtungen einer geschlossenen Flche // Fund. Math. 1962. V. 50.

P. 537–538.

60. F r i t s c h R., P i c c i n i R. A. Cellular structures in topology. Cambridge:

CUP, 1990.

61. G e b a K., G r a n a s A. A proof of the Borsuk antipodal theorem // J. Math.

Analysis Appl. 1983. V. 96. P. 203–208.

62. G r a m a i n A. Le thorme de van Kampen // Cahiers Top. et Geom. Di.

Categoriques 1992. V. 33. P. 237–250.

63. G r o s s J. L., T u c k e r T h. W. Topological graph theory. New York: John Wiley, 1987.

64. G r n b a u m B. Immbeddings of Simplicial Complexes // Comment. Math.

Helv. 1969. V. 44. P. 502–513.

65. H a l p e r n B. An inequality for double tangents // Porc. AMS. 1979. V. 76.

P. 133–139.

Литература 66. H a n g a n T h. A Morse function on Grassmann manifolds // J. Di. Geom.

1968. V. 2. P. 363–367.

67. H a r r i s G., M a r t i n C. The roots of a polynomial vary continuously as a function of the coecients // Proc. AMS. 1987. V. 100. P. 390–392.

68. H a t c h e r A. Algebraic topology. Cambridge: CUP, 2002.

69. H e a w o o d P. J. Map colour theorem // Quart. J. Math. 1890. V. 24.

P. 332–338.

70. H i r s h M. W. A proof of the nonretractibility of a cell onto its boundary // Proc. AMS. 1963. V. 14. P. 364–365.

71. H o C h u n g - W u A note on proper maps // Proc. AMS. 1975. V. 51.

P. 237–241.

72. H o C h u n g - W u When are immersions dieomorphisms? // Canadian Math. Bull. 1981. V. 24. P. 491–492.

73. H o p f E. ber die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven // Comp. Math. 1935. Bd. 2. S. 50–62.

74. H o p f H. Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten // Math.

Ann. 1927. Bd. 96. S. 209–224.

75. H u S. - T. Elements of general topology. San Francisco: Holden-Day, 1964.

76. J n i c h K. Topology. New York: Springer, 1980.

77. J o r d a n C. Cours d’Analyse de l’cole Polytechnique. Gauthier– Villars, Paris, 1887. Vol. 3, 587–594.

78. K a k u t a n i S h. A generalization of Brouwer’s xed point theorem // Duke Math. J. 1941. V. 8. P. 457–459.

79. K a k u t a n i S h. A proof that there exists a circumscribing cube around any bounded closed convex set in Rn // Ann. Math. 1942. V. 43. P. 739–741.

80. K n a s t e r B., K u r a t o w s k i C., M a z u r k i e w i c z C. Ein Beweis des Fixpunktesatzes fr n-dimensionale Simplexe // Fund. Math. 1929. Bd. 14.

S. 132–137.

81. K n u t s o n G. W. A note on the universal covering space of a surface // Amer.

Math. Monthly 1971. V. 78. P. 505–509.

82. K o c h R. Matrix invariants // Amer. Math. Monthly 1984. V. 91. P. 573–575.

83. K n i g D. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Leipzig, 1936.

84. K u r a t o w s k i K. Sur le problme des courbes gauches en topologie // Fund.

Math. 1930. V. 15. P. 271–283.

85. L e e S h. - N. A combinatorial Lefschetz xed-point theorem // J. Com binatorial Theory, Ser. A. 1992. V. 61. 123–129.

86. L e i g h t o n F. T h. Finite common coverings of graphs // J. Combinatorial Theory. Ser. B 1982. V. 33 231–238.

87. L o v s z L., S c h r i j v e r A. A Borsuk theorem for antipodal links and spectral characterization of linklessly embeddable graphs // Proc. AMS. 1998.

V. 126. P. 1275–1285.

88. M a c L a n e S. A combinatorial condition for planar graphs // Fund. Math.

1937. V. 28. P. 22–32.

342 Литература 89. M a e h a r a H. Why is P 2 not embedable in R3 ? // Amer. Math. Monthly.

1993. V. 100. P. 862–864.

90. M a e h a r a R. The Jordan curve theorem via the Brouwer xed point theo rem // Amer. Math. Monthly 1984. V. 91. P. 641–643.

91. M a k a r y c h e v Y u. A short proof of Kuratovski’s graph planarity criterion // J. Graph Theory 1997. V. 25. P. 129–131.

92. M a r x M. L. The Gauss realizability problem // Proc. AMS. 1969. V. 22.

P. 610–613.

93. M a t h e r M. Paracompactness and partitions of unity. PhD thesis, Cambridge Univ., 1965.

94. M a y e r J. Le problme des regions voisines sur les surfaces closed orienta bles // J. Comb. Theory 1969. V. 6. P. 177–195.

95. M e y e r s o n M. D., W r i g h t A. H. A new and constructive proof of the Borsuk– Ulam theorem // Proc. AMS. 1979. V. 73. P. 134–136.

96. M i l n o r J. Analytic proof of the “hairy ball theorem” and the Brouwer xed point theorem // Amer. Math. Monthly. 1978. V. 85. P. 521–524.

97. M o i s e E. M. Geometric topology in dimension 2 and 3. New York: Springer, 1977.

98. M o r t o n H. R. Symmetric products of the circle // Proc. Cambridge Phil.

Soc. 1967. V. 63. P. 349–352.

99. N a b e r G. L. Topological methods in Euclidean spaces. Cambridge: CUP, 1980.

100. N a s h - W i l l i a m s C. S t. J. A., T u t t e W. T. More proofs of Menger’s theorem // J. Graph Theory 1977. V. 1. P. 13–17.



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.