авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 23 |
-- [ Страница 1 ] --

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ

Избранные труды

Том 3

СТАТЬИ

РАЗНЫХ ЛЕТ

Новосибирск

«Наука»

2008

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Отделение математических наук Сибирское отделение

УДК 51(01) + 514

ББК 22.1

А46

Серия основана в 1932 г.

Редакционная коллегия тома

О. А. Ладыженская (ответственный редактор), Ю. Г. Решетняк (ответственный редактор), В. А. Александров, Ю. Д. Бураго, С. С. Кутателадзе, Н. Н. Уральцева Александров А. Д. Статьи разных лет / А. Д. Александров. — Ново сибирск: Наука, 2008. — iv + 804 с. — (Избранные труды;

Т. 3).

ISBN 5–02–XXXXXX–X (т. 3).

ISBN 5–02–XXXXXX–X.

Академик А. Д. Александров (1912–1999) — один из крупнейших геометров ХХ века.

В том 3 включен перевод его выдающихся статей об аддитивных функциях множеств в абстрактных пространствах и об одном обобщении римановой геометрии, ранее не публи ковавшихся на русском языке, его избранные статьи по философским и мировоззренче ским проблемам математики, теории относительности и квантовой механики, проблемам организации науки и образования, положению науки в обществе и ее взаимоотношениям с религией, а также его публицистические выступления.

Предназначена научным работникам в области математики, физики, философии и истории науки, аспирантам и студентам старших курсов физико-математических и фило софских специальностей, преподавателям средней и высшей школы и читателям, интере сующимся общими проблемами науки.

Alexandrov A. D. Articles of the dierent years / A. D. Alexandrov. — Novosibirsk: Nauka, 2008. — iv + 804 p. — (Selected Works;

Vol. 3).

Academician A. D. Alexandrov (1912–1999) is one of the greatest geometers of the XXth century. Volume 3 contains the Russian translations of his famous papers on additive set functions and on one generalization of Riemannian geometry which were never published in Russian before. The volume also contains his selected papers on the philosophy of science, relativity, quantum mechanics, management in science, and high education. His essays on the place and role of science in society are included together with as a few articles of publicism.

The book is aimed at the wide readership and will be of use to reseachers as well as graduate and postgraduate students in mathematics, physics, philosophy, and history of science.

Утверждено к печати Ученым советом Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН c А. Д. Александров, c Российская академия наук, c ТП–0X–X–№XX Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, c ISBN 5–02–XXXXXX–X (т. 2) Оформление. «Наука». Сибирская ISBN 5–02–XXXXXX–X издательская фирма РАН, От редколлегии В конце 2003 г. Российская академия наук приняла решение издать в трех томах избранные труды Александра Даниловича Александрова.

Творчество академика А. Д. Александрова исключительно многогран но. В его трудах по теории смешанных объемов и теории поверхностей «в целом», теории многообразий ограниченной кривизны и теории уравнений Монжа — Ампера, в работах по принципу максимума для эллиптических дифференциальных уравнений и основаниям теории относительности реше ны фундаментальные проблемы и поставлены новые принципиальные во просы, вызвавшие к жизни огромное число публикаций. А. Д. Александров стал одним из основателей отечественной школы геометрии «в целом».

В том 1 избранных трудов, увидевший свет в 2006 г., вошли математи ческие статьи А. Д. Александрова, опубликованные им на русском языке, а также библиография его трудов и очерк его жизни и творчества. Том 2, вышедший в 2007 г., представляет собой переиздание его знаменитой книги «Выпуклые многогранники». Том 3 открывается переводами знаменитых статей А.Д. Александрова «Аддитивные функции множеств в абстрактных пространствах» и «Об одном обобщении римановой геометрии» ранее не пуб ликовавшихся на русском языке, но оказавших значительное влияние на раз витие математики. Специально для настоящего издания части I–III первой из этих статей перевел с английского А.Е. Гутман, часть IV — С.А. Малюгин;

вторую из обсуждаемых статей перевел с немецкого И.Ф. Майник. Помимо этого, в том 3 вошли избранные статьи А.Д. Александрова по философским проблемам науки, общим вопросам математики, теории относительности и квантовой механики, проблемам организации науки и образования, поло жению науки в обществе и ее взаимоотношениям с религией, а также его публицистические выступления. В этих статьях и выступлениях А.Д. Алек сандров рассматривает вечные мировоззренческие и этические проблемы на уки, человека и общества, руководствуясь своими идеалами универсального гуманизма, научности и объективности.

ОТ РЕДКОЛЛЕГИИ Укажем некоторые особенности настоящего издания. Прежде всего отме тим, что в нем использованы современные стандарты правописания, оформ ления библиографии и, по мере возможности, — современные математиче ские обозначения. Например: вместо «итти» мы пишем «идти», «форму лированные результаты» — «сформулированные результаты», «эвклидово пространство» — «евклидово пространство», «двухмерное многообразие» — «двумерное многообразие». В процессе редактирования были также устра нены замеченные опечатки, очевидные описки и стилистические погрешно сти.

Мы благодарим всех, кто содействовал подготовке этой книги к печати, и прежде всего сотрудников отдела анализа и геометрии Института матема тики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научное наследие А. Д. Александрова вошло в золотой фонд отечествен ной науки, стало неотъемлемой частью современной математики. Мы наде емся, что издание трудов первого геометра России XX в. будет способство вать сохранению и развитию науки в нашей стране.

В. А. Александров, С. С. Кутателадзе, Ю. Г. Решетняк Аддитивные функции множеств в абстрактных пространствах. I Математический сборник. 1940. Т. 8, № 2. С. 307– Введение. Согласно известной теореме Рисса — Радона, любой линей ный функционал L(f ) на пространстве C непрерывных функций f может быть представлен в виде интеграла Радона по некоторой аддитивной функ ции множества (E):

L(f ) = f (x) (dE), (1) R где R — множество (например, в n-мерном евклидовом пространстве), на котором определены функции f. Таким образом, в функциональном анализе аддитивные функции множества связаны с системами непрерывных функций и линейными функционалами на этих системах. С другой стороны, аддитивные функции множества являются объектом исследования теории меры, где их свойства связываются со свойствами пространства, на котором они определены.

Отправным пунктом нашего исследования является соединение этих то чек зрения и последующее изучение связей, возникающих между упомяну тыми выше понятиями, а именно, системами функций, линейными функци оналами, пространствами и аддитивными функциями множества. Таким об разом, нам необходимо адекватно специализировать эти понятия, поскольку в противном случае наша задача стала бы слишком неопределенной. Сразу отметим, что мы будем рассматривать только ограниченные функции f (x) и линейные функционалы L(f ), удовлетворяющие условию |L(f )| N sup |f (x)|.

Рассмотрим связь между пространствами и системами функций. Мы рас полагаем, с одной стороны, топологическими пространствами, а с другой — линейными системами функций как естественными областями определения линейных функционалов. Тем не менее мы не видим никакой простой свя зи между этими двумя общими понятиями. Стало быть, нам необходимо А. Д. АЛЕКСАНДРОВ расширить понятие топологического пространства и одновременно специа лизировать рассматриваемые линейные системы функций так, чтобы каж дая такая система была системой всех ограниченных непрерывных функций, заданных на пространстве, и наоборот, чтобы каждой системе функций соот ветствовало некоторое пространство, все ограниченные непрерывные функ ции на котором образуют данную систему функций. Все это, конечно же, следует понимать в том смысле, что функции определены на некотором мно жестве R, которое становится пространством, как только мы указываем в нем подмножества, объявляемые замкнутыми. Предполагаемое обобщение понятия топологического пространства состоит в том, что мы требуем за мкнутость пересечения лишь счетного числа замкнутых множеств, в то вре мя как в топологических пространствах, рассматриваемых до сих пор, требу ется замкнутость пересечения любого числа замкнутых множеств (см. опре деление 1, § 1). В качестве систем функций мы берем обычные полные или, как их еще называют, бэровские системы функций, и тогда требуемая связь между пространствами и системами функций описывается некоторой уже известной теоремой (см. теорему 1, § 1) 1).

Что касается специализации рассматриваемых функций множества и установления их связи с линейными функционалами, мы исходим из ра боты А. А. Маркова [9] 2), где это уже было сделано в несколько более част ном случае. Мы рассматриваем функции множества (E), определенные на алгебре 3) множеств E, порожденной замкнутыми подмножествами какого либо пространства R, и удовлетворяющие следующим условиям: 1) адди N для всех E) и 3) регулярность 4), тивность, 2) ограниченность (|(E)| т. е. для любых E и 0 существует открытое множество G, содержащее E, такое, что |(E) (G)|. Последнее условие по своему характе ру является требованием определенного рода непрерывности и происходит, разумеется, от аналогичного свойства меры Лебега, которая, как известно, равна точной нижней грани мер открытых множеств, содержащих данное множество. Если принять это определение, то связь между такими функция ми множества и линейными функционалами на ограниченных непрерывных функциях, определенных на этом же пространстве, может быть установлена 1) Указанная здесь связь, конечно же, не является единственно возможной. О связи между топологическими пространствами и системами функций см. [7] и п. 3, § 4 данной работы.

2) Как отмечает автор упомянутой работы, она, в свою очередь, базируется на идеях статьи Дж. Неймана [11].

3) Современными аналогами используемых автором терминов являются «кольцо» и «решетка» соответственно. Учитывая, что все возникающие в данной работе кольца под множеств R оказываются алгебрами (т. е. содержат R), мы посчитали уместным исполь зовать именно этот, более распространенный в теории меры, термин. — Прим. перев.

4) Этот термин заимствован у К. Каратеодори, который, впрочем, использовал его в несколько более узком смысле;

см. [5].

АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I в точности так же, как это было сделано А. А. Марковым в [9]. Эта связь, конечно же, устанавливается формулой (1). Теперь полное имя рассматрива емой функции множества — аддитивная ограниченная регулярная функция множества, определенная на алгебре множеств, порожденной замкнутыми множествами, — оказывается довольно длинным, в то время как называть ее мерой представляется неудобным, поскольку ее сходство с мерой в обычном смысле недостаточно полно (мы не предполагаем ни ее положительности, ни счетной аддитивности). Поэтому, руководствуясь естественной физической аналогией, мы будем называть ее зарядом.

Впрочем, раскрываемая здесь взаимосвязь общих идей возникает не сама по себе, а из исследования слабой сходимости аддитивных функций множе ства. Последовательность аддитивных функций множества 1 (E), 2 (E),...

на пространстве R называется слабо сходящейся к функции (E), если f (x) n (dE) = f (x) (dE) lim n R R для каждой ограниченной непрерывной функции f (x), определенной на R.

Например, в теории выпуклых тел с каждым выпуклым телом естествен ным образом связаны определенные аддитивные функции множества, име ющие простой геометрический смысл (см., например, [1] и [2]). Сходящейся последовательности выпуклых тел соответствует слабо сходящаяся последо вательность таких функций множества. Было бы желательно, а в определен ных случаях и необходимо 5), рассмотреть слабую сходимость этих функций множества с чисто геометрической точки зрения и, в частности, дать чи сто геометрические (т. е. не привлекающие понятия непрерывной функции, интеграла и т. п., а использующие лишь понятия замкнутого множества, вло жения и т. п.) критерии слабой сходимости. Анализ этой конкретной задачи показал, что получающиеся в этом направлении результаты имеют очень общую природу. Стремясь выделить предположения — или, если угодно, аксиомы, — которые оказались бы достаточными для получения этих резуль татов, мы и пришли к тому общему подходу, который был изложен выше.

Исследование слабой сходимости аддитивных функций множества является одной из основных задач данной работы.

Работа разделена на 6 глав, содержание которых сводится к следующему.

Глава I. Пространства. В § 1 этой главы мы рассматриваем простран ства в их связи с непрерывными функциями, определенными на них. Мы выделяем два вида пространств, играющих особо важную роль в дальней шем изложении: нормальные пространства, определяемые в соответствии с заимствованной терминологией (определение 4, § 1), и совершенно нормаль ные пространства — в которых каждое замкнутое множество представимо в 5) В статье [3] имеется ссылка на один из результатов данной работы.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ виде множества нулей непрерывной функции. Результаты этого параграфа являются основой для всей работы. В отличие от них остальные три пара графа главы I лишь отчасти необходимы для дальнейшего изложения. Их цель — прояснить некоторые вопросы, тесно связанные с результатами гла вы III, и показать, что введенные нами пространства, несколько более общие, чем топологические пространства, допускают столь же содержательное ис следование, как и последние. В основном мы рассматриваем компактные 6) пространства и компактные расширения пространств (определения 4, § 2 и 1, § 3). Здесь имеются не только простые обобщения фактов, уже известных из топологии, но и некоторые новые результаты.

Глава II. Линейные функционалы и заряды. В этой главе после рас смотрения некоторых свойств линейных функционалов и зарядов, необхо димых для дальнейшего изложения, мы доказываем следующую основную теорему: в нормальном пространстве R для любого линейного функционала L(f ) на непрерывных ограниченных функциях, определенных на R, суще ствует, и притом единственный, заряд (E) такой, что L(f ) = f (x) (dE).

R Здесь нет ничего существенно нового, если не принимать во внимание предложенный нами более общий подход, тем более, что доказательство упомянутой теоремы является всего лишь модификацией доказательства, данного А. А. Марковым в [9] для аналогичного факта.

Глава III. Счетно аддитивные и реальные заряды. Здесь мы до казываем, в том числе, следующие теоремы о счетно аддитивных зарядах.

1. В нормальном пространстве каждый заряд счетно аддитивен тогда и только тогда, когда оно счетно компактно (см. определение 7, § 2).

2. В совершенно нормальном пространстве заряд, соответствующий дан ному линейному функционалу по формуле (1), является счетно аддитив ным тогда и только тогда, когда этот функционал непрерывен относитель но ограниченной сходимости функций, т. е. когда из lim fn (x) = f (x) и n |fn (x)| N для всех n следует, что lim L(fn ) = L(f ).

n 3. Если пространство R гомеоморфно борелевскому подмножеству какого либо компактного совершенно нормального пространства, то всякий счетно аддитивный заряд в R сосредоточен на объединении счетного числа ком пактных множеств, т. е. заряд любого множества, не имеющего общих точек с этим объединением, равен нулю.

6) Мы заменили используемые автором термины «бикомпактность» и «компактность»

их современными версиями — «компактность» и «счетная компактность» соответствен но. — Прим. перев.

АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I Например, в полном сепарабельном метрическом пространстве любой заряд сосредоточен на объединении счетного числа компактных множеств.

4. Если пространство R удовлетворяет свойству, фигурирующему в предыдущей теореме, то любой заряд в нем однозначно представляется в виде суммы счетно аддитивного заряда и заряда, равного нулю на каждом компактном множестве.

Одновременно с известным условием счетной аддитивности мы вводим более сильное условие реальности заряда.

Определение реального заряда звучит следующим образом. Исчезающим направлением в пространстве мы называем совокупность непустых замкну тых множеств {F }, имеющую пустое пересечение и такую, что для любых двух множеств из {F } существует содержащееся в них множество из {F } (см. определение 5, § 2). Мы называем заряд реальным, если точная ниж няя грань значений его вариации (определяемой обычным образом) на мно жествах произвольного исчезающего направления равна нулю. Если для какого-либо исчезающего направления эта точная нижняя грань отлична от нуля, то это означает, что некоторая часть заряда расположена как бы вне пространства и в этом смысле не является реальной. Этому утверждению можно придать точную математическую форму, использовав понятие ком пактного расширения пространства. Именно из такого интуитивного пред ставления и возникает термин «реальный».

Четыре сформулированные выше теоремы могут быть перенесены на ре альные заряды, и изменения, которые необходимо для этого внести в указан ные теоремы, по существу состоят, помимо замены условия счетной аддитив ности условием реальности, в замене счетной компактности компактностью, а сходимости в обычном смысле — сходимостью в смысле общего предела по Муру — Смиту. Кроме того, введение понятия реального заряда и со ответствующего ему функционала позволяет в некоторой степени обобщить основную теорему главы II на пространства, не являющиеся нормальными, но, скажем, вполне регулярные (в смысле Тихонова). Такое частичное обоб щение заслуживает внимания еще и потому, что вместе с ним мы доказываем существование в каждом пространстве, не являющемся нормальным, такого линейного функционала, что процесс, используемый нами для определения в каждом нормальном пространстве (а в упомянутом выше случае и в каж дом вполне регулярном пространстве) заряда, соответствующего данному функционалу, приводит к неаддитивной функции множества.

Заметим, что понятия направления и предела по направлению в смысле Мура — Смита 7) играют в нашей работе важную роль, и без них мы бы едва ли легко пришли ко многим из наших результатов. Мы напомним опреде 7) См.[10]. Используемые нами свойства предела по Муру — Смиту доказываются совершенно очевидным образом.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ ления направления и предела по направлению. Направлением называется система {x} каких-либо элементов x, в которой для некоторых пар элемен тов установлено транзитивное отношение следования x y (x следует за y), причем выполнено следующее условие: для любых двух элементов из {x} существует элемент из {x}, следующий за ними обоими. Пусть каждо му элементу x направления {x} сопоставлена некоторая совокупность чисел f (x) (эти совокупности предполагаются непустыми). Говорят, что число a является пределом f (x) по направлению {x}: a = lim f (x), если для всякого {x} 0 существует элемент x0 {x} такой, что для любого x x0 (x {x}) и любого выбора элемента b f (x) имеет место неравенство |b a|. Легко показать, что f (x) не может иметь двух пределов по одному направлению.

Кроме того, легко видеть, что все фундаментальные теоремы теории пре делов могут быть перенесены на пределы по направлению. Выше мы опре делили понятие исчезающего направления в пространстве. Очевидно, что если интерпретировать отношение включения как отношение следования, то направление в пространстве, состоящее из замкнутых множеств, будет направлением в смысле Мура — Смита.

Глава IV. Необходимые и достаточные условия слабой сходи мости зарядов. Эта глава никак не связана с главой III, в ней используют ся лишь результаты главы II. Сначала мы показываем, что исследование сла бой сходимости произвольных аддитивных функций множества в нормаль ном пространстве может быть сведено к исследованию слабой сходимости зарядов. Мы получаем ряд необходимых и достаточных условий слабой схо димости зарядов в нормальном пространстве. Чтобы продемонстрировать характер полученных результатов, сформулируем два из этих условий.

1. Для того чтобы последовательность положительных зарядов 1 (E), 2 (E),... слабо сходилась к заряду (E), необходимо и достаточно, чтобы 1) lim n (R) = (R), где R — все пространство, на котором определены n заряды, и 2) (F ) lim n (F ) для каждого замкнутого множества F.

n 2. Для того чтобы последовательность зарядов 1 (E), 2 (E),... в совер шенно нормальном пространстве слабо сходилась к заряду (E), необходи мо и достаточно, чтобы для каждого замкнутого множества F и любого содержащего его открытого множества G существовала последовательность замкнутых множеств F1, F2,... такая, что 1) F Fn G для всех n, 2) для каждого n существует m такое, что Fn Fn+k при k m, 3) n=1 Fn = F и 4) lim n (Fn ) = (F ).

n Интуитивный смысл этой теоремы состоит в том, что заряды как бы плы вут в пространстве, стремясь к предельному распределению, в то время как АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I множества Fn в некотором роде вталкивают заряд в множество F, который в пределе оказывается внутри F. Эта интуитивная картина по существу объясняет природу всех полученных нами теорем о слабой сходимости. На пример, первая из сформулированных теорем может быть интерпретирована следующим образом. Заряды, движущиеся в пространстве, могут проник нуть в пределе в замкнутое множество F, затронув его границу, но выйти из него они не могут лишь в пределе, ведь для этого они вынуждены отда литься от этого замкнутого множества, а это невозможно в пределе и осу ществимо лишь на некотором этапе их движения, т. е. до перехода к пределу.

Если вообразить точечный заряд, непрерывно движущийся в пространстве, то это становится уже совершенно очевидным.

Глава V. Некоторые теоремы о слабой сходимости зарядов. В этой главе мы прежде всего вводим важное понятие ускользающей нагруз ки. Оно имеет следующее определение. Последовательность замкнутых множеств Fn назовем расходящейся, если никакие два из этих множеств не имеют общих точек и объединение любого числа множеств этой последова тельности является замкнутым множеством. Будем говорить, что в данной совокупности зарядов имеется ускользающая нагрузка, если в этой совокуп ности можно выделить последовательность зарядов n (E) так, что найдутся число a = 0 и расходящаяся последовательность замкнутых множеств Fn, для которых при каждом n n (Fn ) 1.

a Например, представим себе последовательность единичных точечных зарядов, сосредоточенных на прямой в последовательных целочисленных точках и уходящих в бесконечность. В этом случае возникает ускользающая нагрузка.

Мы доказываем следующую теорему, которая в дальнейшем играет важ ную роль: в слабо сходящейся последовательности зарядов нет ускользаю щей нагрузки.

Приложения этого результата приводят, в частности, к следующим теоремам.

1. Предел слабо сходящейся последовательности счетно аддитивных за рядов в совершенно нормальном пространстве является счетно аддитивным зарядом.

2. Предположим, что в локально счетно компактном метрическом пространстве со счетной базой последовательность зарядов n (E) слабо сходится к заряду (E). Тогда счетно аддитивные части зарядов n (E) слабо сходятся к счетно аддитивной части заряда (E).

Упомянутые в этой теореме счетно аддитивные части зарядов опреде ляются однозначно — в соответствии с теоремой, доказанной в главе III и сформулированной выше.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ 3. Для того чтобы совокупность зарядов в локально счетно компактном метрическом пространстве со счетной базой была слабо счетно компактной (т. е. чтобы всякое ее бесконечное подмножество содержало слабо сходящу юся последовательность зарядов), необходимо и достаточно, чтобы заряды этой совокупности были равномерно ограничены (т. е. |(E)| N, где N одно и то же для всех и E) и чтобы в ней не было ускользающей нагрузки.

В частном случае, когда пространство счетно компактно, ускользающая нагрузка невозможна и поэтому необходимым и достаточным условием слабой счетной компактности совокупности зарядов в таком пространстве является их равномерная ограниченность 8).

В последнем параграфе главы V мы прилагаем наши общие результаты и методы к рассмотрению слабой сходимости функций ограниченной вариации многих переменных. Мы единообразным способом получаем обобщения ряда результатов, уже известных для функций одной переменной, а также некоторые результаты, которые, насколько нам известно, оказываются новыми даже для функций одной переменной.

Глава VI. Дополнение. В этой главе рассмотрены некоторые обобще ния и модификации теории, развитой в предшествующих главах. Кроме того, приведены различные конструкции зарядов и мер. (Мерой мы называ ем положительную, счетно аддитивную, регулярную, но, вообще говоря, не ограниченную функцию множества.) Здесь целью является в том числе по строение примеров для общей теории, развитой в предшествующих главах.

Впрочем, упомянутые конструкции представляют самостоятельный интерес.

Особо важную роль играет приведенная нами конструкция инвариантной меры в компактных группах. Эта конструкция является естественным обоб щением конструкции, приведенной А. Хааром для групп со счетной базой, и основана на замене обычного предела пределом в смысле Мура — Смита.

Важность полученного результата состоит в том, что в рамках теории счет но компактных топологических групп он позволяет избавиться от второй аксиомы счетности, оставив лишь условие компактности.

Мы стремились к достаточно детальному изложению и привели некоторые доказательства во всех подробностях не потому, что они кажутся нам оригинальными, а лишь с целью достичь ясности и упростить понимание.

Почти все результаты, принимаемые в дальнейшем без доказательств, можно найти в книге Ф. Хаусдорфа [8].

Обозначения. Почти всегда мы будем иметь дело с некоторым про странством, обозначаемым символом R. Буквы x, y, z обозначают точки этого пространства. Слово «множество» всегда означает подмножество про странства R. Все прочие множества, возникающие в ходе изложения (мно 8) Впрочем, этот результат является прямым обобщением одной теоремы Хелли и содержится в известной теореме функционального анализа о слабой счетной компактности сферы в пространстве, сопряженном к сепарабельному пространству.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, жества функций, зарядов, множеств и т. д.), мы будем именовать совокуп ностями, системами и т. п. Таким образом, говоря о множестве, мы не будем всякий раз уточнять, что речь идет о множестве, содержащемся в R. Пустое множество обозначается символом. Объединение, пересечение и разность множеств обозначаются соответственно через A B, A ;

A B, A ;

A B, причем в последнем случае мы не предполагаем, что A B. Символ включения (A B) всегда понимается в широком смысле, т. е. соотношение A B не исключает равенства A = B. Индексы, принимающие положи тельные целочисленные значения, обозначаются буквами i, k и т. п., в то время как индексы, пробегающие некоторую, вообще говоря, произвольную и не обязательно счетную совокупность, обозначаются буквами,,.

Символ { (x)} обозначает множество всех тех точек x рассматриваемого пространства R, которые удовлетворяют условию (x). В случае возможной двусмысленности мы будем писать {x R : (x)}.

Символы sup f (x) и inf f (x) обозначают точные верхнюю и нижнюю грани значений функции f (x) на пространстве R.

Символы вида sup f (A) и inf f (A) обозначают точные верхнюю и (A) (A) нижнюю грани значений функции f (A) переменной A (множества, функции) по всем значениям этой переменной, удовлетворяющим условию (A).

ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА § 1. Пространства и непрерывные функции 1. Определение 1. Множество R назовем пространством, если в нем выделена система подмножеств F, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) пересечение счетного или конечного числа множеств F принадлежит F ;

2) объединение конечного числа множеств F принадлежит F ;

3) пустое множество принадлежит F ;

4) само R принадлежит F.

Множества F будем называть замкнутыми в пространстве R. Их до полнения будут называться открытыми и обозначаться буквой G. В даль нейшем символы F и G всегда обозначают соответственно замкнутые и от крытые множества некоторого пространства. Элементы множества R мы называем точками пространства R. Очевидно, что вместо замкнутых мно жеств в определении пространства мы могли бы взять открытые множества, потребовав, чтобы их совокупность выдерживала счетные объединения, ко нечные пересечения и содержала R и пустое множество.

Определение 2. Каждому множеству M сопоставим его замыкание M — пересечение всех замкнутых множеств, содержащих M. Замыкание, вообще говоря, не является замкнутым множеством.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Из аксиом, описывающих замкнутые множества, и из определения замы кания легко вывести следующие его свойства:

1) M1 M2 = M1 M2 ;

2) M M ;

3) M = M ;

4) =, которые представляют собой аксиомы топологического пространства (см. [8, § 22.1, с. 110]). Тем самым каждому пространству R сопоставляется топологическое пространство, которое мы будем называть топологическим продолжением R и обозначать символом tR.

Пространство назовем топологическим, если в нем пересечение любого числа замкнутых множеств оказывается замкнутым. Это одно из традици онных определений топологического пространства. Ясно, что топологиче ское пространство совпадает со своим топологическим продолжением.

По определению пространство имеет счетную базу, если каждое из его от крытых множеств является объединением открытых множеств, принадлежа щих некоторой их счетной системе — базе пространства. В пространстве со счетной базой объединение любого числа открытых множеств представляет ся в виде объединения счетного числа множеств базы и тем самым является открытым. Следовательно, пространство со счетной базой всегда является топологическим.

Окрестностью точки x пространства R мы называем любое открытое множество, содержащее x.

Из того факта, что множество M содержит окрестность каждой своей точки, еще не следует, что оно является открытым.

Ниже мы приведем естественные примеры нетопологических пространств.

2. Определение 3. Отображение пространства R в пространство R назовем непрерывным, если оно однозначно и прообраз любого замкнутого множества замкнут. В случае отображения пространства R в вещественную прямую, которая, очевидно, также является пространством, мы будем гово рить о непрерывной функции. В дальнейшем мы будем часто говорить про сто «функция», всегда подразумевая непрерывную ограниченную функцию.

Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение называется, как обычно, гомеоморфизмом. Ясно, что отображение R в R1 непрерывно тогда и только тогда, когда оно однозначно и прообразы открытых множеств от крыты. Обычный критерий Коши — отображение y = (x) непрерывно, ес ли каждой окрестности V (y) соответствует окрестность U (x), образ которой содержится в V (y), — вообще говоря, недостаточен, поскольку объединение окрестностей может не оказаться открытым множеством.

Лемма 1. Для того чтобы функция f (x) на пространстве R была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы множества {f (x) a}, § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, {f (x) a} были открыты или чтобы множества {f (x) a}, {f (x) a} были замкнуты для любого числа a.

Указанные два условия эквивалентны. Их необходимость очевидна из определения непрерывной функции. Докажем, что первое из них является достаточным.

Каждое открытое подмножество числовой прямой является объединением счетного числа открытых интервалов. Каждый интервал (a, b) имеет прообраз {b f (x) a} = {f (x) b} {f (x) a}, являющийся открытым множеством, поскольку множества {f (x) b} и {f (x) a} открыты по условию. Следовательно, прообраз любого открытого множества открыт, будучи объединением счетного числа открытых множеств вида {b f (x) a}.

Полной системой функций на множестве R назовем (см. [8, § 37.1, с. 224]) систему функций, обладающую следующими свойствами:

1) каждая постоянная функция принадлежит системе;

2) максимум и минимум двух функций системы принадлежат системе;

3) сумма, произведение и частное (если делитель всюду отличен от нуля) двух функций системы также принадлежат системе;

4) предел равномерно сходящейся последовательности функций системы принадлежит системе.

Справедлива следующая важная Теорема 1. Все непрерывные функции на произвольном заданном про странстве образуют полную систему. Для любой полной системы функций существует такое пространство, что все определенные на нем непрерывные функции в точности образуют эту систему. Такое пространство можно по лучить, объявив замкнутыми множества вида {f (x) a}, где f (x) принад лежит данной полной системе и a — произвольное число.

Это известная теорема. Ее первая часть доказывается достаточно про сто. Что касается второй части, несложно доказать, что, взяв множества {f (x) a} в качестве замкнутых, мы действительно получим простран ство. Соответственно нам остается показать, что все непрерывные функции на этом пространстве образуют именно данную полную систему. Все это можно найти у Хаусдорфа. В самом деле, говорят, что f (x) является функ цией класса (G, F ), если множества {f (x) a} являются множествами G, а множества {f (x) a} — множествами F [8, § 37.1, с. 223]. Лемма 1 утвер ждает, что функции класса (G, F ) совпадают с непрерывными функциями на рассматриваемом пространстве. Следовательно, теорема 1 представляет собой переформулировку известной теоремы о классах функций, определен ных указанным способом [8, § 37.1, теорема III и § 37.3, теорема VIII].

Пример. Рассмотрим в качестве полной системы функций f (x) первый класс Бэра на отрезке [0, 1]. Для функций первого класса Бэра множества {f (x) a} и {f (x) a} являются множествами типа G и F соответственно.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Следовательно, мы получаем пространство, чьи точки — числа на отрезке [0, 1], а замкнутые множества — все множества типа G. Замыканием любого множества M в этом случае будет само множество M, поскольку на числовой прямой каждое множество является пересечением всех содержащих его открытых множеств, а значит и множеств типа G.

Таким пространством определяется каждый класс Бэра. Этот пример вскрывает суть цели, к которой направлено наше обобщение понятия про странства. Действительно, при таком подходе мы не можем отделить рас смотрение классов Бэра и других сходных систем функций от рассмотрения непрерывных функций на топологических пространствах и, аналогичным образом, отделить борелевские множества от замкнутых и открытых под множеств пространств.

3. Определение 4. Пространство называется нормальным, если лю бые два непересекающихся замкнутых множества могут быть включены в непересекающиеся открытые множества.

Для нормальных пространств справедлива известная лемма Урысона, доказанная им для случая нормальных топологических пространств. В нашем более общем случае нам придется немного модифицировать его рассуждения, а поскольку эта лемма играет исключительно важную роль для дальнейшего изложения, мы приведем ее полное доказательство.

Скажем, что функция f (x), определенная на пространстве R, связывает множество F0 с множеством F1, если она непрерывна, равна нулю на F0, равна единице на F1 и всюду удовлетворяет неравенствам 0 f (x) 1. Для краткости мы будем в дальнейшем постоянно использовать этот термин, предполагая при этом, что если функцию f (x) можно выбрать так, чтобы F0 = {f (x) = 0} и F1 = {f (x) = 1}, то f (x) выбирается именно с этими условиями.

Лемма 2. В нормальном пространстве для любых двух замкнутых множеств, не имеющих общих точек, существует функция, связывающая эти множества.

Пусть в нормальном пространстве R заданы два замкнутых множества F и F, не имеющие общих точек. Достаточно рассмотреть случай, когда оба множества непусты. В силу нормальности пространства существуют открытые множества, содержащие F и F и не имеющие общих точек. Пусть G 1 F, G1 F, G 2 G 1 =. (1) 2 2 Если положить F = F0, R G1 = F1, R F = G1, то в силу (1) мы получим F0 G 1 F 1 G1.

2 § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, Продолжим построение по индукции, вводя новую пару для каждой пары F G. А именно, предположим, что мы уже определили множества F 2n и m G m+1, F 2n G m+1. Тогда существуют множества G и G, содержащие F 2n m m 2n 2n и R G m+1 соответственно и не имеющие общих точек. Положим n G = G 2m+1, R G = F 2m+1 ;

2n+1 2n+ тогда F 2n G 2m+1 F 2m+1 G m+1.

m n n 2n+ 2 Тем самым мы построили систему множеств Fp и Gp, где p — двоично рациональная дробь. Кроме того, положим G0 =, F1 = R. Из построения с очевидностью следует, что Gp Fp Gq при q p. (2) Для каждой точки x положим f (x) = inf p, (3) xFp т. е. определим значение f (x) как точную нижнюю грань тех двоично рациональных дробей p, для которых x Fp. Покажем, что определенная таким способом функция удовлетворяет всем необходимым условиям.

Уже из определения f (x) видно, что 0 f (x) 1. Далее, поскольку F = F0, на F мы имеем f (x) = 0, а поскольку, напротив, F не пересекается ни с одним из множеств Fp для p 1, на F мы имеем f (x) = 1.

Теперь покажем, что {f (x) a} = Fp (4) pa для каждого вещественного a. Пусть f (x) a. Согласно (3) это означает, что для каждого 0 существует p a + такое, что x Fp. Поскольку из (2) следует Fq Fp при q p, мы имеем x pa Fp, а значит, {f (x) a} Fp. (5) pa Наоборот, если x pa Fp, то в силу (3) мы имеем f (x) a, так как точная нижняя грань всех p, больших чем a, равна a. Следовательно, {f (x) a} Fp. (6) pa А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Из (5) и (6) следует (4).

Покажем, что {f (x) a} = Gp. (7) pa Пусть f (x) a. Согласно (3) это означает, что существует p a, для которого x Fp. Но для p a существует двоично-рациональная дробь q между p и a. В силу (2) мы тем самым имеем x Gq и, следовательно, {f (x) a} Gq. (8) qa Пусть x qa Gq, т. е. существует q a, для которого x Gq. Но тогда в силу (2) мы имеем x Fq, а значит, f (x) q a благодаря (3).

Следовательно, {f (x) a} Gq. (9) qa Из (8) и (9) следует (7).

Поскольку множество рациональных дробей счетно, в формулах (4) и (7) задействованы счетные пересечения замкнутых и счетные объединения открытых множеств. Следовательно, они являются замкнутым и открытым множествами соответственно. По лемме 1 отсюда следует, что функция f (x) непрерывна.

Как и в случае топологических пространств, из только что доказанной леммы немедленно вытекает теорема о продолжении непрерывной функции (см. [8, § 25.3, с. 133]).

Теорема 2. Если непрерывная ограниченная функция f (x) определена на замкнутом подмножестве F нормального пространства R, то существует непрерывная ограниченная функция, определенная на всем R и совпадаю щая с f (x) в точках множества F.

4. Определение 5. Подмножество F пространства R назовем функ ционально замкнутым, если существуют определенная на R непрерывная функция f (x) и число a такие, что F = {f (x) a}. Дополнения к совершен но замкнутым множествам будем называть функционально открытыми 9).

Ясно, что функционально открытые множества могут быть определены как множества, представимые в виде {f (x) a}.

9) А. Д. Александров использовал термины «totally closed set» и «totally open set»

соответственно, которые стали малоупотребительными. Отметим еще, что в современной топологии функционально замкнутые множества называют также нуль-множествами. — Прим. ред.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, Мы теперь установим некоторые свойства функционально замкнутых множеств, необходимые для дальнейшего изложения. Функционально за мкнутые множества мы условимся обозначать символами F, а функцио нально открытые — символами G.

Лемма 3. Для любого F существует определенная на R непрерывная функция f (x) такая, что 0 f (x) 1 и F = {f (x) = 0}.

Если F = {g(x) a}, то, полагая h(x) = a min[g(x), a] и затем f (x) = min[h(x), 1], мы получаем 0 f (x) 1 и F = {f (x) = 0}.

Лемма 4. Если множества F0 и F1 не имеют общих точек, то существует непрерывная функция f (x) такая, что 0 f (x) 1, F0 = {f (x) = 0}, F1 = {f (x) = 1}.

Пусть F0 = {f0 (x) = 0} и F1 = {f1 (x) = 0}, где 0 f0 (x), f1 (x) (см. лемму 3). Тогда f0 (x) f (x) = f0 (x) + f1 (x) будет искомой функцией.

Лемма 5. Прообраз функционально замкнутого множества относитель но непрерывного отображения является функционально замкнутым множе ством.

Пусть — непрерывное отображение R в R1. Рассмотрим функционально замкнутое подмножество F1 = {f (x1 ) a} пространства R1, где f (x1 ) — непрерывная функция, определенная на R1. Функция f (x) непрерывна на R, поскольку она является композицией двух непрерывных отображений и f. Прообразом множества F1 будет множество 1 (F1 ) = f (x) a, являющееся функционально замкнутым.

Лемма 6. Если множества Fi (i = 1, 2,... ) образуют убывающую (в широком смысле) последовательность, то существует убывающая последо вательность множеств G такая, что G Fi и i i G = Fi.

i i=1 i= Пусть Fi = {f i (x) = 0}, 0 f i (x) 1 (i = 1, 2,... ). Положим n f i (x).

fn (x) = i= А. Д. АЛЕКСАНДРОВ fn+1 (x) и Fn = {fn (x) = 0} (n = 1, 2,... ). Положим Тогда fn (x) fn+1 (x) следует G G, а из Gn = fn (x) n. Из fn (x) n n+ Fn = {fn (x) = 0} следует Gn Fn. Таким образом, последовательность G убывает и n G Fn.

n n=1 n= Покажем, что выполнено обратное включение. Пусть G.

x n n= Тогда для всех n и m мы имеем fn (x) fn+m (x) n+m, откуда в силу произвольности m следует fn (x) = 0 для всех n. Таким образом, x Fn для всех n. Следовательно, G Fn.

n n=1 n= Доказанная выше лемма является усилением утверждения о том, что каждое множество F является пересечением счетного семейства множеств G : достаточно взять F1 = F2 = · · ·.

Лемма 7. Для того чтобы замкнутое подмножество нормального про странства было функционально замкнутым, необходимо и достаточно, что бы оно было пересечением счетного семейства открытых множеств.

Необходимость этого условия, как уже было отмечено, содержится в лемме 6. Докажем его достаточность. Пусть F= Gn.

n= Если функции fn (x) связывают F с R Gn (а такие функции существуют в силу нормальности пространства), то, полагая f (x) = fn (x), 2n n= мы получаем непрерывную функцию f (x), удовлетворяющую равенству F = {f (x) = 0}.

Лемма 8. Каждое множество, принадлежащее алгебре G, порожден ной 10) множествами F, является пересечением счетного числа множеств G и одновременно объединением счетного числа множеств F.

10) Алгебра множеств, порожденная множествами F, является совокупностью всех множеств, получаемых из F с помощью операций объединения, разности и пересечения, примененных конечное число раз (см. [8, гл. V, § 17]).

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, Пусть F — совокупность всех объединений счетных семейств множеств F данного пространства и пусть G — совокупность всех пересечений счет ных семейств множеств G. Обе эти совокупности являются решетками мно жеств, так как множества F и G образуют решетки. Каждое множество из G является дополнением к некоторому множеству из F и наоборот. Сле довательно, общая часть этих решеток является алгеброй множеств. По скольку в силу леммы 6 каждое множество F входит в G и вместе с тем очевидным образом входит в F, мы заключаем, что рассматриваемая ал гебра содержит все множества F. Тем самым лемма доказана.

5. Определение 6. Пространство называется совершенно нормаль ным, если каждое его замкнутое множество является функционально за мкнутым.

Теорема 3. Для того чтобы пространство было совершенно нормаль ным, необходимо и достаточно, чтобы 1) оно было нормальным и 2) каж дое его замкнутое множество было пересечением счетного числа открытых множеств 11).

Необходимость нормальности следует из леммы 4. Действительно, если множества F0 и F1 функционально замкнуты и не пересекаются, а функция f (x) такова, что F0 = {f (x) = 0} и F1 = {f (x) = 1}, то множества f (x) и f (x) 1 открыты и разделяют F0 и F1. Необходимость второго условия обосновывается леммой 6.

Достаточность условий теоремы вытекает из леммы 7.

Теорема 4. Если объявить замкнутыми только функционально замкну тые множества данного пространства, то в результате получится простран ство, причем совершенно нормальное.

Согласно определению совершенно нормального пространства эта теорема представляет собой переформулировку теоремы 1.

Рассмотрим всю систему непрерывных функций на пространстве R и построим по нему пространство, объявив замкнутыми множества {f (x) a}.

Построенное таким способом пространство мы всегда будем обозначать символом R. Ясно, что R и R имеют одни и те же непрерывные функции.

Не менее очевидно, что рассмотрение функционально замкнутых множеств пространства R и связанных с ними понятий эквивалентно рассмотрению пространства R.

Теорема 5. Всякое непрерывное отображение пространства R в про странство R1 является непрерывным отображением R в R1. Согласно определениям непрерывного отображения и пространства R эта теорема представляет собой переформулировку леммы 5.

11) Для случая топологических пространств эта теорема была доказана Н. Б. Ведени совым [12], а также Э. Чехом.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ В дальнейшем мы установим еще несколько важных свойств совершенно нормальных пространств.

Приведем один пример нормального пространства R и соответствующего совершенно нормального пространства R. Пусть точками R будут числа на отрезке [0, 1], а в качестве замкнутых множеств рассмотрим суслинские множества A на этом отрезке. Открытыми в этом случае будут дополне ния cA суслинских множеств. Мы действительно получим пространство, поскольку пересечение и объединение счетного числа A-множеств являет ся A-множеством. Пространство является нормальным, так как по теореме Лузина два A-множества без общих точек разделяются борелевскими множе ствами, которые вместе с тем являются дополнениями борелевских, а значит и суслинских множеств. По лемме 7 функционально замкнутыми в нашем пространстве будут множества, являющиеся одновременно A-множествами и счетными пересечениями множеств cA. Но счетное пересечение cA-множеств вновь является cA-множеством. Следовательно, функционально замкнуты ми будут те A-множества, которые одновременно являются cA-множествами.

По теореме Суслина это будут борелевские множества.

§ 2. Некоторые специальные виды пространств 1. В общей теории топологических пространств выделение специальных видов пространств в целом следует трем направлениям: 1) введение различ ных аксиом отделимости, 2) ограничение мощности базы пространства, 3) постулирование возможности извлечения из покрытия пространства откры тыми множествами подпокрытия меньшей мощности. Мы не будем сосре доточивать внимание на рассмотрении пространств с базами данной мощно сти. Пространства со счетной базой всегда являются топологическими. Из аксиом отделимости мы рассмотрим только те, которые будут использова ны в дальнейшем изложении. Наиболее важная из них уже была введена в определении нормального пространства. Затем мы обратимся к счетно компактным и компактным пространствам.

Определение 1. Пространство R называется T1 -пространством, если для любых двух его точек x, y существует окрестность точки x, не содержащая y, и — из соображений симметрии — существует окрестность точки y, не содержащая x. Или, что то же самое, для любых двух точек x, y существует замкнутое множество, содержащее точку x и не содержащее точку y. Это равносильно совпадению любого одноэлементного множества с его замыканием. Отсюда тем не менее не вытекает замкнутость любого одноэлементного множества, как это имеет место в случае топологических T1 -пространств.

Определение 2. Пространство называется вполне регулярным, если оно, во-первых, является T1 -пространством и, во-вторых, для любого его § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, замкнутого множества F и любой точки x F существует непрерывная / функция, равная нулю на F и равная единице в точке x.

Это — дословное повторение определения, введенного Тихоновым в случае топологических пространств.

Лемма 1. Во вполне регулярном пространстве для любой пары точек x, y существует непрерывная функция, равная нулю в x и единице в y.

Поскольку вполне регулярное пространство является T1 -пространством, для каждой пары точек x, y существует замкнутое множество, содержащее x и не содержащее y. Следовательно, по определению вполне регулярного пространства отсюда вытекает существование требуемой функции.

Определение 3. Пусть пространство R1 имеет те же точки, что и пространство R. Предположим, что замкнутые множества пространства R являются замкнутыми и в R1, но R1 может иметь и другие замкнутые множества, которые тем не менее являются пересечениями замкнутых множеств пространства R. В этом случае мы будем называть пространство R1 продолжением пространства R и писать R1 = pR.

Всякое пространство R имеет единственное продолжение, не допускающее дальнейшего продолжения;

таковым является не что иное, как топологиче ское продолжение tR.

Лемма 2. Пространство pR является T1 -пространством тогда и только тогда, когда R является T1 -пространством.


Действительно, как легко видеть, определение 1 эквивалентно следующе му: R является T1 -пространством, если каждая его точка совпадает с пересе чением содержащих ее замкнутых множеств. Следовательно, утверждение леммы непосредственно вытекает из определения 3.

Аналогично из определения продолжения можно легко заключить, что если пространство R является продолжением совершенно нормального про странства, то оно является продолжением своего собственного R.

Теорема 1. Для того чтобы пространство R1 было продолжением совершенно нормального пространства, необходимо и достаточно, чтобы для любого его замкнутого множества F1 и любой точки x1 F1 существовала / функция, непрерывная на R1, равная нулю на F1 и равная единице в x1.

Необходимость. Пусть R1 — продолжение совершенно нормального про странства R. Пусть F1 — замкнутое множество в R1 и x1 F1. Поскольку / F1 является пересечением замкнутых в R множеств, существует множество F, замкнутое в R, содержащее F1 и не включающее x1. В силу совершенной нормальности R существует непрерывная на R — и тем самым непрерывная на R1 — функция f (x) такая, что F = {f (x) = 0}. Положим f (x) g(x) =.

f (x1 ) Эта функция непрерывна, равна единице в точке x1 и равна нулю на F1.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Достаточность. Пусть R1 удовлетворяет условию теоремы. Пусть R1 — совершенно нормальное пространство, которое мы получаем из R1, объявляя замкнутыми лишь функционально замкнутые множества.

Пусть F1 замкнуто в R1 и x1 F1. По условию существует непрерывная / функция f (x), равная единице в x1 и равная нулю на F1. Множество {f (x) = 0} функционально замкнуто, содержит F1, но не включает x1. Тогда F1 совпадает с пересечением всех функционально замкнутых множеств, содержащих его. Следовательно, R1 является продолжением R1.

Из теоремы 1, определения 2 и леммы 2 вытекает Теорема 1. Пространство вполне регулярно тогда и только тогда, когда оно является продолжением совершенно нормального T1 -пространства.

Следовательно, пространство pR вполне регулярно тогда и только тогда, когда R вполне регулярно.

2. Определение 4. Пространство называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 2. Продолжение компактного пространства компактно.

Пусть R1 = pR, где R компактно. Очевидно, что продолжение мож но определить исходя из открытых множеств: pR представляет собой про странство, в котором каждое открытое множество является объединением множеств, открытых в R, и каждое множество, открытое в R, открыто и в pR. Пусть теперь {G,1 } является покрытием R1. Из только что при веденного определения продолжения следует, что каждое множество G, представляется в виде G,1 = G,, где G, открыты в R. Множества G, образуют покрытие R. В силу компактности R из этого покрытия мож но выбрать конечное подпокрытие. Оно будет одновременно покрытием R1, поскольку всякое множество, открытое в R, является открытым и в R1.

Как обычно, мы будем называть точку x точкой полного накопления множества M, если в каждой окрестности точки x содержится часть множества M, равная ему по мощности.

Лемма 3. Точка x является точкой полного накопления множества M в pR тогда и только тогда, когда она является точкой полного накопления M в R.

Поскольку каждое открытое в R множество открыто в pR, любая окрестность точки x в R является ее окрестностью и в pR. Следовательно, если x — точка полного накопления M в pR, то она является таковой и в R. С другой стороны, каждое открытое множество в pR содержит открытое множество в R. Следовательно, если x — точка полного накопления M в R, то она является таковой и в pR.

Теорема 3. Пространство является компактным тогда и только тогда, когда каждое бесконечное множество в нем имеет точку полного накопления.

Для случая топологических пространств эта теорема доказана П. С. Алек § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, сандровым и П. С. Урысоном [4]. Пусть R компактно. Тогда по теореме его топологическое продолжение также является компактным. Обратное утверждение — о том, что из компактности tR следует компактность R, — очевидно. Поскольку доказываемая теорема справедлива для tR, в силу леммы 3 она справедлива и для R.

Определение 5. Направлением в пространстве R мы называем всякую систему непустых замкнутых множеств в R такую, что для любых двух множеств этой системы существует содержащееся в них множество этой си стемы. Направление назовем исчезающим, если пересечение всех входящих в него множеств пусто.

Понятие направления заимствовано нами из общей теории пределов, раз витой С. О. Шатуновским, Э. Муром и Г. Смитом. А именно, направлением в этой теории называется система элементов, для которых определено по нятие следующего элемента, причем для любых двух элементов системы в ней имеется элемент, следующий за этими двумя. Если интерпретировать отношение включения как отношение следования, то становится ясно, что направление в смысле нашего определения является направлением в смысле общей теории пределов. Эта связь будет для нас весьма существенной.

Теорема 4. Пространство является компактным тогда и только тогда, когда в нем нет исчезающих направлений.

Пусть R компактно и {F } — направление в R. Если бы оно было исче зающим, то множества R F образовывали бы покрытие R, не содержащее конечного подпокрытия. В противном случае пересечение конечного числа множеств из {F } было бы пустым, что, конечно же, противоречит опреде лению направления.

Предположим, что R не является компактным и что имеется покрытие пространства R открытыми множествами {G}, не содержащее конечного подпокрытия. Тогда дополнения к объединениям конечных семейств мно жеств этого покрытия образуют исчезающее направление, поскольку в про тивном случае {G} не являлось бы покрытием пространства R.

Характеристическое свойство компактного пространства, устанавливае мое последней теоремой, играет фундаментальную роль в дальнейшем из ложении, и мы будем использовать его без явных ссылок на нашу теорему.

Теорема 5. Если пространство компактно, то произвольное его продол жение является нормальным тогда и только тогда, когда нормальным явля ется само пространство.

Пусть R — компактное нормальное пространство. Пусть F0 и F1 — замкнутые множества в pR, не имеющие общих точек. По определению продолжения множества F0 и F1 являются пересечениями всех замкнутых в R множеств, содержащих их:

F0 = F0, F1 = F1. (1) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Среди F0 и F1 встречаются множества, не имеющие общих точек. Дей ствительно, предположим, что F0 F1 всегда непусты. Тогда эти пересече ния образуют направление, поскольку в F01 F11 и F02 F12 содержится (F01 F02 )(F11 F12 ), а множества F01 F02 и F11 F12 замкнуты в R и содержат F0 и F1 соответственно. Поскольку F0 и F1 не имеют общих точек, это направление должно быть исчезающим согласно (1), что противоречит компактности R. Следовательно, найдутся множества F0 F0, F1 F1, замкнутые в R и не имеющие общих точек. Благодаря нормальности R они разделяются открытыми множествами. Но это означает, что F0 и F1 также разделяются.

Пусть теперь R компактно и pR — нормальное пространство. Пусть F и F1 замкнуты в R и не имеют общих точек. Поскольку они замкнуты также и в pR, в силу нормальности pR имеются следующие открытые в pR множества:

G0 F0, G1 F1, G0 G1 =.

В то же время по определению продолжения мы имеем G0 = G0, G1 = G1, где G0 и G1 открыты в R. Эти множества образуют покрытия множеств F и F1. Очевидно, что благодаря компактности R из этих покрытий мы можем выбрать конечные подпокрытия G01,..., G0n и G11,..., G1n. Множества n n i=1 G0i и i=1 G1i открыты в R, содержат F0 и F1 соответственно и не имеют общих точек. Нормальность R тем самым доказана.

Из теорем 5 и 1 вытекает Теорема 6. Вполне регулярное компактное пространство является нор мальным.

В то же время из леммы 1 непосредственно следует, что во вполне регу лярном пространстве любые две точки можно окружить непересекающими ся окрестностями. Пространство, обладающее этим свойством, называется хаусдорфовым или T2 -пространством. Справедлива следующая теорема:

Теорема 6. Компактное T2 -пространство является нормальным.

Эта теорема доказывается в точности так же, как и в случае топологиче ских пространств (см. [8, § 27.5, с. 145]).

Теорема 7. Если R компактно, то (pR) = R, т. е. всякое множество, функционально открытое (функционально замкнутое) в продолжении про странства R, является функционально открытым (функционально замкну тым) в самом R. Иными словами, всякая функция, непрерывная на pR, непрерывна и на R.

Пусть R компактно и G — функционально открытое множество в pR. Каждое функционально открытое множество является объединением § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, счетного числа замкнутых множеств, как это следует из леммы 8, § 1.

Следовательно, G= Fn, (2) n= где Fn — замкнутые множества в pR. По определению продолжения мы имеем G = G, (3) где G — открытые множества в R. Множества G образуют покрытие каждого из Fn. Но в силу компактности R пространство pR также компактно, а значит, в любом покрытии каждого из множеств Fn мы можем выбрать конечное подпокрытие. Объединение всех этих конечных покрытий в силу (2) и (3) будет счетным покрытием множества G. Следовательно, G представляется в виде объединения счетного числа открытых в R множеств и тем самым является открытым в R.

Таким образом, всякое множество, функционально открытое в pR, явля ется открытым в R.

Если функция f (x) непрерывна на pR, то прообразы открытых подмно жеств вещественной прямой функционально открыты в pR. Значит, они от крыты в R. Следовательно, f (x) непрерывна на R, и упомянутые множества являются функционально открытыми в R. Тем самым теорема доказана.

3. Определение 6. Направлением в системе функций мы называем такую совокупность функций из, что для любых двух функций из этой совокупности имеется функция из этой же совокупности, не превосходящая (всюду) обе эти функции.


Здесь мы вновь имеем направление в смысле общей теории пределов. В полном соответствии с этой теорией вводится понятие сходимости направле ния в системе функций. Будем говорить, что такое направление сходится к f (x), если для любого 0 и любого x существует такая функция этого направления, что для нее и для всех следующих за ней функций h(x) имеет место неравенство |f (x) h(x)|. Направление сходится к f (x) равномер но, если такую функцию можно выбрать одной и той же для всех x.

Теорема 8. Если пространство компактно, то любое направление в си стеме непрерывных на нем функций, сходящееся к нулю, сходится равно мерно. Если в пространстве, являющемся продолжением совершенно нор мального пространства, каждое сходящееся к нулю направление в системе непрерывных на нем функций сходится равномерно, то такое пространство компактно.

Пусть R компактно и {f } — направление в системе непрерывных на R функций, сходящееся к нулю. Зададим 0 и рассмотрим множества А. Д. АЛЕКСАНДРОВ {f (x) }, где f {f }. Если f3 (x) f1 (x) и f3 (x) f2 (x), то {f3 (x) } {f1 (x) } {f2 (x) }.

Следовательно, если бы множества {f (x) } были непусты, то они образовывали бы направление. Вместе с тем, поскольку направление {f } сходится к нулю, направление множеств {f (x) } было бы исчезающим вопреки компактности R. Отсюда следует, что среди этих множеств должно встретиться пустое — например, {f0 (x) } =. Тогда это же соотношение справедливо для всех функций f {f }, не превосходящих f0, т. е. f (x) для всех таких f. Функции сходящегося к нулю направления, очевидно, положительны 12), а значит, из только что доказанного вытекает равномерная сходимость направления {f }.

Пусть R1 — продолжение совершенно нормального пространства R, удо влетворяющее условиям второй части теоремы. Всякая функция, непрерыв ная на R, непрерывна и на R1, а значит, R тоже удовлетворяет условиям теоремы. Если мы докажем компактность R, то в силу теоремы 2 тем са мым будет доказана и компактность R1.

Пусть R компактно и пусть {F } — исчезающее направление в R. По скольку R является совершенно нормальным, каждое множество F {F } представляется в виде пересечения открытых множеств:

F= Gn. (4) n= Для каждой пары F, Gn мы построим функцию f (x), связывающую R Gn с F, т. е.

f (x) 0 1, (5) если x R Gn ;

0, f (x) = (6) если x F.

1, Рассмотрим все такие функции и всевозможные произведения их ко нечных наборов. В силу неравенства (5) мы получаем направление {h} в семействе непрерывных функций на пространстве R. Если h(x) = = f1 (x)f2 (x) · · · fn (x), fi (x) = 1 на Fi {F } (i = 1, 2,..., n), то h(x) = на F1 F2 · · · Fn. Поэтому каждая функция направления {h} равна еди нице на одном из множеств направления {F } (на множестве, содержащемся 12) Адаптируя терминологию, связанную с отношением порядка, мы сочли уместным перевести термины «non-negative», «non-increasing» и т. п. как «положительный», «убы вающий» и т. п. — Прим. перев.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, в F1 F2 · · · Fn ). В то же время, ввиду того, что пересечение всех мно жеств F пусто, пересечение всех множеств Gn также пусто. Но поскольку в силу (6) каждая функция из {h} зануляется вне некоторого Gn, направ ление {h} сходится к нулю. Коль скоро каждая функция из {h} допускает значение 1, сходимость не является равномерной вопреки условию теоремы.

Следовательно, пространство R должно быть компактным.

Если пространство R не представляет собой продолжение совершенно нор мального пространства, то из условия последней теоремы, вообще говоря, нельзя заключить, что пространство является компактным. Пусть, напри мер, точками пространства R будут все натуральные числа 1, 2,..., а за мкнутыми множествами — все сегменты натурального ряда, начинающие ся с любого числа 13). Такое пространство не является компактным. В то же время любая непрерывная функция на нем равна константе, поскольку единственным замкнутым множеством, содержащим единицу, является само R. Следовательно, каждое сходящееся к нулю направление в системе этих функций автоматически сходится равномерно.

4. Определение 7. Пространство называется счетно компактным, если из любого его счетного покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 9. Пространство является счетно компактным тогда и только тогда, когда в нем нет исчезающих последовательностей 14) непустых замк нутых множеств.

Доказательство очевидно. Сформулированное в теореме характеристиче ское свойство счетно компактных пространств будет в дальнейшем исполь зоваться как определяющее.

Теорема 10. Если пространство является счетно компактным, то любая сходящаяся к нулю убывающая последовательность непрерывных на нем функций сходится равномерно. Если пространство является совершенно нормальным и любая сходящаяся к нулю убывающая последовательность непрерывных на нем функций сходится равномерно, то это пространство является счетно компактным.

Доказательство этой теоремы представляет собой лишь упрощение дока зательства теоремы 8. Нужно только вместо направления в пространстве рассмотреть исчезающую последовательность замкнутых множеств, а вме сто направления в системе непрерывных функций — убывающую последо вательность этих функций.

Точкой накопления множества M в пространстве R называется точка, в любой окрестности которой содержится бесконечное множество точек из M.

В точности так же, как и лемма 3, доказывается 13) Т. е. множества вида {i : i n}. — Прим. перев.

14) Т. е. F1 F2 F3 · · · и Fn =.

n= А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Лемма 4. Точка x является точкой накопления множества M в pR тогда и только тогда, когда она является точкой накопления M в R.

Теорема 11. Если любое бесконечное множество в пространстве R имеет точку накопления, то R является счетно компактным.

Из леммы 4 непосредственно следует, что если R обладает указанным в теореме свойством, то его топологическое продолжение tR также обладает этим свойством. Но для топологических пространств наша теорема уже известна 15). С другой стороны, если tR счетно компактно, то, очевидно, R также счетно компактно.

В случае топологических пространств теорема 11, как известно, допускает обращение. Для пространств нашего более общего вида это не так.

Мы приведем пример, доказывающий это утверждение, который окажется поучительным и в других отношениях.

16) Пример. Возьмем последовательность всех ординалов, снаб женную обычной рассматриваемой на них топологией, и последовательность ординалов 1, 2,..., 0 также с обычной топологией (все одноточечные мно жества {1}, {2},... открыты, а окрестностями точки 0 являются сегменты рассматриваемой последовательности, начинающиеся с любого n). Постро им топологическое произведение этих двух пространств. Его точками будут пары (, ) (, 0 ). Удалим точку (, 0 ). Мы получим топологиче ское пространство R. Оно вполне регулярно и не является счетно компакт ным. Последовательность (, 1), (, 2),... не имеет точки накопления.

Легко убедиться в справедливости того известного факта, что каждая функция, непрерывная на последовательности ординалов, становится постоянной начиная с некоторой точки.

Таким образом, для любой последовательности непрерывных функций на R существует ординал такой, что на всех сегментах {(, ) : }, = 1, 2,..., 0, все функции этой последовательности постоянны. Если эта последовательность монотонно сходится к нулю, то на указанных сегментах она сходится равномерно, в то время как на оставшейся части пространства она тоже сходится равномерно в силу компактности этой части. Следовательно, каждая последовательность непрерывных функций на R, монотонно сходящаяся к нулю, сходится равномерно. Тем не менее R не является счетно компактным.

15) См. [8, § 27.1, с. 141 (русское издание)]. Впрочем, необходимо отметить, что в этом месте в книге Хаусдорфа имеется ошибка. Вместо понятия предельной точки, введенного на с. 124 этой книги, следует использовать понятие точки накопления. В противном случае теоремы Кантора и Гейне — Бореля не будут верны. В этом можно убедиться на примере пространства, рассмотренного нами в конце п. 3. Оно — топологическое и не является счетно компактным, хотя любое его непустое подмножество имеет предельную точку (в смысле определения Хаусдорфа на с. 124);

таковой будет любое число, большее чем наименьшее из чисел, входящих в данное множество.

16) Здесь — первый несчетный ординал. — Прим. перев.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, Если мы теперь возьмем пространство R, то оно уже будет счетно ком пактным в силу теоремы 9. Тем не менее последовательность его точек (, 1), (, 2),... не имеет точки накопления. Несмотря на то, что R явля ется совершенно нормальным T1 -пространством, одноточечные множества (, n) в нем не замкнуты. Далее, R, будучи вполне регулярным простран ством, является продолжением R. Следовательно, мы видим, что продол жение счетно компактного пространства может не быть счетно компакт ным. Наконец, R не является нормальным. Множества {(, n) : n 0 } и {(, 0 ) : } замкнуты в R и не имеют общих точек, но, как легко видеть, они не разделяются непересекающимися открытыми множествами. Следова тельно, продолжение нормального счетно компактного пространства может не быть нормальным.

§ 3. Компактные расширения пространств 1. Определение 1. Всякое подмножество M пространства R можно превратить в пространство, рассмотрев в качестве его замкнутых множеств пересечения M с замкнутыми подмножествами R. Определенное таким спо собом пространство называется подпространством пространства R. Про странство R называется расширением пространства R1, если R1 является подпространством R и плотно в R, т.е. каждое открытое в R множество пересекается с R1.

Определение 2. Максимальным направлением в пространстве R мы называем всякое направление в R (см. определение 5, § 2), не содержащееся ни в каком отличном от него направлении.

Лемма 1. Если {F } — максимальное направление и F0 {F }, то/ существует множество F {F } такое, что F0 F =.

Если бы это было не так, то, добавив к {F } множество F0 и все его пересечения с множествами из {F }, мы бы получили направление, содержащее {F }, что противоречит максимальности {F }.

Лемма 2. Любое направление может быть дополнено до максимального.

Доказательство проведем трансфинитной индукцией. К данному направ лению {F } добавляем некоторое не принадлежащее ему замкнутое множе ство F1, пересекающееся со всеми множествами из {F }, а также все пересе чения F1 с множествами из {F }. Получаем направление {F }1. Повторяем построение для него и т. д.

Определение 3. Уолменовским расширением пространства R мы на зываем пространство R, получаемое с помощью следующей конструкции, предложенной по существу Г. Уолменом [13]. К точкам пространства R в качестве новых точек добавляются исчезающие максимальные направления пространства R. Замкнутые множества в R определяются следующим об разом. К каждому замкнутому в R множеству F добавляем все исчезающие А. Д. АЛЕКСАНДРОВ максимальные направления, в которые входит F ;

в результате получаем мно жество F. Замкнутым множеством в R объявляется пересечение любого числа множеств F, если только общая часть этого пересечения и R замкнута в R.

Чтобы обосновать это определение, мы должны показать, что R действи тельно является пространством и что R — его плотное подпространство. Для этого необходимо показать, что множества в R, объявленные замкнутыми, удовлетворяют всем четырем условиям, участвующим в определении про странства. Очевидно, что пустое множество и само R замкнуты. Очевидно также, что пересечение счетного числа множеств, объявленных замкнутыми, является замкнутым.

Символом F мы будем обозначать множество, замкнутое в R и соглас но нашему построению соответствующее некоторому замкнутому в R мно жеству F. Непосредственно из определения следует, что оно является пе ресечением всех замкнутых в R множеств, содержащих F, и тем самым представляет собой замыкание множества F в R. Покажем, что F1 F2 = F1 F2. (1) Если x F1, то либо x F1, и тогда x F1 F2 F1 F2, либо x F1 F1, и тогда по определению множества F1 мы имеем F1 {F } = x, где {F } — исчезающее направление, являющееся рассматриваемой точкой x.

Поскольку {F } максимально, вместе с F1 оно должно содержать и F1 F2.

Таким образом, x F1 F2. Точно так же можно показать, что из x F следует x F1 F2. Следовательно, F1 F2 F1 F2. (2) Пусть x F1 F2. Если x F1 F2, то либо x F1, либо x F2. Пусть x F1 F2 F1 F2. Это означает, что F1 F2 {F } = x. Если ни F1, ни F2 не принадлежат {F }, то по лемме 1 имеются F, F {F } такие, что F F1 = F F2 =. Но тогда F F (F1 F2 ) = вопреки тому факту, что все три множества F, F, F1 F2 входят в одно и то же направление.

Поэтому либо F1, либо F2 принадлежит {F }, а значит, x = {F } принадлежит либо F1, либо F2. Следовательно, F1 F2 F1 F2. (3) Включения (2) и (3) доказывают равенство (1).

Пусть теперь F и F — два замкнутых в R множества. Имеет место следующая очевидная формула:

F F F.

F = (4) § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, По условию R F и R F замкнуты в R и тем самым из (4) следует, что R F F также является замкнутым в R. Согласно формуле (1), множества F F замкнуты в R. Следовательно, по нашему определению множество F F замкнуто, а значит, формула (4) доказывает, что объединение двух замкнутых в R множеств замкнуто в R.

Тем самым мы показали, что R является пространством.

Тот факт, что R является подпространством R, непосредственно выте кает из определения замкнутых в R множеств. Поскольку R принадлежит каждому максимальному направлению в нем, пересечение всех замкнутых в R множеств, содержащих его, совпадает с самим R. Следовательно, R плотно в R.

Лемма 3. Если F1 F2 =, то F1 F2 =.

Действительно, если F1 F2 =, то не существует направления, в которое одновременно входили бы F1 и F2, а значит, непосредственно по определению множеств F1 и F2 мы имеем F1 F2 =.

Лемма 4. Пространство R компактно.

Рассмотрим направление в R. Удалим из этого направления всякое мно жество, не имеющее вид F, и заменим его теми множествами вида F, пересе чением которых оно является. Кроме того, добавим пересечения конечных наборов таких множеств. В результате мы получим направление {F }. На основании леммы 3 легко видеть, что множества F = R F также образу ют направление {F }. Если оно не является исчезающим, то первоначально рассмотренное направление также не является исчезающим. Предположим, что {F } — исчезающее направление. Дополним его до максимального на правления {F }1. По определению R направление {F }1 является точкой пространства R, причем если F {F }1, то {F }1 F. Следовательно, {F } принадлежит пересечению всех множеств из {F }. Тогда направление {F }, а значит и первоначально рассмотренное направление, не является исчеза ющим. Тем самым доказана компактность R.

Лемма 5. Если x R R, то одноточечное множество {x} замкнуто.

Если x1 R R, то x1 = {F }1, где {F }1 — исчезающее максимальное направление в R. Если F {F }1 = x1, то x1 F, а значит, x1 = {F }1 F.

F {F } С другой стороны, если x2 = {F }2 = {F }1, то по лемме 1 существуют F1 {F }1, F2 {F }2 такие, что F1 F2 =. Но тогда по лемме 3 мы имеем F1 F2 = и тем самым x2 F {F }1 F. Следовательно, / {x1 } = F, F {F } и замкнутость одноточечного множества {x1 } доказана.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Полученные выше результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Для любого пространства R существует компактное расши рение R такое, что 1) если F1 и F2 замкнуты в R и не пересекаются, то их замыкания в R не пересекаются;

2) если x R R, то одноточечное множество {x} замкнуто.

2. Теорема 2. Пусть f — непрерывное отображение пространства R в компактное вполне регулярное пространство R. Тогда это отображение можно продолжить на R. А именно, полагая если x R;

f (x), g(x) = (5) если x = {F } R R 17), f (F ), F x мы получаем непрерывное отображение R на замыкание образа R в R.

Пусть x = f (x) — непрерывное отображение пространства R в компакт ное вполне регулярное пространство R. Пусть {F } — исчезающее макси мальное направление в R. Рассмотрим пересечение f (F ) = X, F {F } где f (F ) — замыкание образа F. Пересечение конечного числа множеств f (F ) непусто, так как пересечение конечного числа множеств F направления {F } непусто. А поскольку R компактно, X непусто. Мы покажем, что оно состоит из одной точки.

Предположим, что имеются две точки x1 и x2, принадлежащие X. В силу регулярности R существует непрерывная на R функция h(x ), равная нулю в x1 и единице в x2. Положим 1 F0 = h(x ), F1 = h(x ).

3 Пусть F {F }. Тогда F0 f (F ) =, поскольку x1 f (F ) и, следовательно, каждая окрестность точки x1, а значит и множество F0, пересекается с f (F ).

17) В случае x R R нам следовало бы написать {g(x)} = f (F ), поскольку в F x правой части фигурирует множество, а не точка. Символ f (F ) обозначает замыкание образа множества F в R. Мы берем пересечение таких замыканий для всех множеств, принадлежащих тому направлению, которое является точкой x.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, Следовательно, F f 1 (F0 ) = для всех F {F }. Ввиду максимальности направления {F } отсюда вытекает, что f 1 (F0 ) {F }. Но точно так же мы можем показать включение f 1 (F1 ) {F }, которое не может выполняться, поскольку f 1 (F0 ) f 1 (F1 ) =. Полученное противоречие показывает, что X состоит из одной точки.

Теперь определим отображение R в R формулой (5). Из доказанного выше следует однозначность этого отображения. Покажем, что оно непре рывно.

Пусть F0 — замкнутое множество в R. Поскольку R вполне регулярно, множество F0 является пересечением всех функционально замкнутых мно жеств, содержащих его. Каждое из таких множеств представимо в виде {h(x ) = 0} и является пересечением множеств |h(x )| n. Следователь но, F0 является пересечением замкнутых множеств F, каждое из которых содержит некоторую окрестность множества F0, F0 = F. (6) Покажем, что g 1 (F0 ) = f 1 (F ). (7) Пусть x0 g 1 (F0 ). Если x0 R, то x0 f 1 (F0 ) = f 1 (F ) f 1 (F ). (8) Но если x0 R R, то x0 = {F }, где {F } — исчезающее максимальное направление в R. На основании определения отображения g мы имеем g(x0 ) f (F ) для всех F {F }. Следовательно, каждая окрестность точки g(x0 ) имеет общую точку с f (F ). Тогда согласно выбору множеств F мы имеем f (F ) F =, т. е. для всех F и F {F } f 1 (F ) F =.

Согласно лемме 1, это означает, что все множества f 1 (F ) принадлежат {F } и тем самым {F } = x0 f 1 (F ). (9) Из (8) и (9) следует, что g 1 (F0 ) f 1 (F ). (10) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Пусть теперь x0 f 1 (F ). (11) Если x0 f (F ), то по определению отображения g имеем x0 g 1 (F ), а поскольку это верно для всех, отсюда вытекает x0 g 1 (F0 ). Если, с другой стороны, x0 = {F }, то из (11) следует, что все множества f 1 (F ) принадлежат {F } = x0. Но тогда по формуле (5) мы имеем f (F ) f f 1 (F ) = g(x0 ) = F = F0.

F {F } Тогда из (11) следует, что g(x0 ) F0, а значит, g 1 (F0 ) f 1 (F ). (12) Формулы (10) и (12) дают (7).

Более того, мы с очевидностью имеем f 1 (F ) = f 1 (F0 ), f 1 (F ) = R а это множество замкнуто в R благодаря непрерывности отображения f.

Поэтому на основании определения замкнутых множеств в R отсюда вытекает, что множество f 1 (F ) замкнуто. Следовательно, множество g 1 (F0 ) замкнуто, что доказывает непрерывность отображения g.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 23 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.