авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 23 |

«А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Избранные труды Том 3 СТАТЬИ РАЗНЫХ ЛЕТ Новосибирск «Наука» 2008 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Очевидно, что g(R) содержится в замыкании f (R) в R. Покажем, что g(R) = f (R). (13) Пусть x f (R) f (R). Поскольку пространство R вполне регулярно, точка x является пересечением замкнутых множеств F, каждое из которых содержит ее вместе с некоторой ее окрестностью. Пересечения F f (R) образуют в f (R) исчезающее направление, которому в R соответствует исчезающее направление, состоящее из множеств f 1 (F ). Дополнив это направление до максимального {F } = x, мы получим f (F ) f f 1 (F ) = F = {x }.

g(x) = F {F } Тем самым доказано равенство (13), а значит, g является отображением R на f (R).

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, 3. Теорема 3. Если R вполне регулярно, то R можно непрерывно отобразить на любое вполне регулярное компактное расширение R про странства R, причем так, что точки пространства R останутся неподвиж ными, а R R отобразится на R R.

Если R — компактное вполне регулярное расширение пространства R, R то R R и R = R (замыкание R в R совпадает с R ). Мы попадаем в условия предыдущей теоремы для случая тождественного отображения R в R. По доказанному выше его можно продолжить на R;

при этом R R отобразится на R = R. Остается показать, что R R отобразится на R R. Пусть {F } = x R R. Мы имеем R g(x) = f (F ) = F, (14) F x F x так как отображение f является тождественным. Далее, R RF = F, (15) а поскольку пересечение всех F {F } пусто, из (14) и (15) следует, что R g(x) =, т. е. g(x) R R, ч. т. д.

Теорема 4. Для того чтобы R было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы R было нормальным.

Необходимость. Пусть R нормально и пусть F1 и F2 — замкнутые множества в R, не имеющие общих точек. Тогда по лемме 3 мы имеем F1 F2 =, и в силу нормальности R существуют открытые в R множества G1 и G2, содержащие F1 и F2 соответственно и не имеющие общих точек. Множества RG1 и RG2 открыты в R, содержат F1 и F2 и не имеют общих точек.

Достаточность. Пусть F и F — замкнутые множества в R и F F =. Они представляются в виде пересечений замыканий в R замкнутых в R множеств. Среди этих замыканий имеются непересекающие ся, так как в противном случае ввиду равенства F F = их пересечения образовывали бы исчезающее направление вопреки компактности R. Пусть F1 F, F2 F и F1 F2 =. Если R нормально, то существует функция f (x), связывающая F1 с F2. По теореме 2 эта функция может быть продол жена на R. Функция f (x) представляет собой непрерывное отображение пространства R в отрезок [inf f (x), sup f (x)]. Пусть g(x) — соответствую щая функция на R. Тогда открытые множества g(x) 1, g(x) 2 содержат F1, F2 и не имеют общих точек.

Теорема 5. Для того чтобы R было вполне регулярным, необходимо и достаточно, чтобы R было вполне регулярным и нормальным.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Необходимость вполне регулярности R очевидна. По теореме 6, § вполне регулярное компактное пространство нормально. Следовательно, если R вполне регулярно, то оно нормально и тогда по предыдущей теореме таковым является и R.

Пусть теперь R вполне регулярно и нормально. По предыдущей теореме R нормально. Для того чтобы обосновать вполне регулярность R, мы покажем, что, во-первых, для любой точки x R и любого множества F, замкнутого в R и не содержащего x, существует функция, равная нулю в x и единице на F, и, во-вторых, для любой пары точек x1 и x2 пространства R существует функция, равная нулю в x1 и единице в x2.

Пусть F1 замкнуто в R, x F1. Множество F1 является пересечением / множеств F — замыканий в R замкнутых в R множеств. Следовательно, существует такое множество F F1, что x F. Если x R, то ввиду вполне / регулярности R существует функция, непрерывная на R, равная нулю в x и равная единице на F = R F. Продолжив ее на R, мы получим функцию, равную нулю в x и единице на F F. Если x R, то одноточечное / множество {x} замкнуто и, следовательно, требуемая функция существует в силу нормальности R.

Пусть x1 = x2. Если, скажем, x1 R R, то одноточечное множество {x1 } замкнуто, и тогда функция, равная единице в x2 и нулю в x1, существует в силу доказанного выше. Если же x1, x2 R, то такая функция существует благодаря вполне регулярности R (лемма 1, § 2) и тому факту, что ограниченная непрерывная функция, определенная на R, продолжается на R.

§ 4. Компактные расширения совершенно нормальных пространств и их продолжения 1. Теорема 1. Для любого совершенно нормального T1 -пространства R существует компактное совершенно нормальное T1 -расширение (т. е. рас ширение, являющееся T1 -пространством) (R), обладающее следующими свойствами:

1. Всякое непрерывное отображение пространства R в компактное совершенно нормальное T1 -пространство продолжается на (R).

2. Если R — компактное совершенно нормальное T1 -расширение про странства R, то (R) можно непрерывно отобразить на R так, что точки пространства R останутся неподвижными, а (R) R отобразится на R R.

3. Если R — компактное совершенно нормальное T1 -расширение про странства R, причем такое, что любая непрерывная ограниченная функция, определенная на R, продолжается на R, то упомянутое в пункте 2 отобра жение (R) на R будет гомеоморфизмом.

Пусть R — совершенно нормальное T1 -пространство. Устройство про странства (R) уже отражено в его обозначении. А именно, мы строим § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, уолменовское расширение R пространства R и затем берем соответству ющее ему совершенно нормальное пространство (R). Поскольку по тео реме 2, § 3 любая непрерывная ограниченная функция, определенная на R, продолжается на R, всякое функционально замкнутое множество в R явля ется пересечением R с некоторым функционально замкнутым множеством в R. Поскольку R совершенно нормально, отсюда следует, что оно будет подпространством (R), причем плотным, так как R плотно в R.

Будучи совершенно нормальным T1 -пространством, R является вполне регулярным, а значит, по теореме 5, § 3 пространство R вполне регулярно.

Следовательно, как легко видеть, (R) также вполне регулярно и, в частности, является T1 -пространством.

Теперь, когда природа пространства (R) уже прояснилась, мы последо вательно докажем все три утверждения теоремы.

(1) Пусть R — компактное совершенно нормальное T1 -пространство.

Тогда R является вполне регулярным. Пусть R отображается в R. По теореме 2, § 3 это отображение продолжается на R. Но поскольку R совершенно нормально, а R — нормально по теореме 4, § 3, согласно теореме 5, § 1, это отображение будет непрерывным отображением (R) в R. Первое утверждение теоремы доказано.

(2) Пусть теперь R обладает теми же свойствами, причем содержит R как плотное подпространство. Тогда по теореме 3, § 3 пространство R можно непрерывно отобразить на R, оставив точки пространства R неподвижными и отобразив R R на R R. Согласно доказанному выше, это отображение можно интерпретировать как непрерывное отображение (R) на R, что доказывает второе утверждение теоремы.

(3) Пусть теперь R обладает теми же свойствами, что и в (2), причем мы можем продолжить на R любую непрерывную ограниченную функцию, определенную на R. Пусть g — отображение (R) на R, фигурирующее в (2). Оно является продолжением на (R) тождественного отображения R в R, а значит, согласно теореме 2, § 3, может быть выражено в виде если x R;

x, R 18) g(x) = (1), если {F } = x (R) R.

F {F } Пусть x1 = {F }1 и x2 = {F }2, x1 = x2. Среди элементов направлений {F }1 и {F }2 встречаются множества F1, F2, не имеющие общих точек. Пусть f (x) — функция, связывающая F1 с F2. По условию она может быть продолжена на R. Пусть h(x ) — функция f (x), продолженная на R. Множества {h(x ) = 0}, {h(x ) = 1} не имеют общих точек и, очевидно, содержат 18) Символ R, расположенный на уровне черты над символом множества, обозначает замыкание в R.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ R R множества F1, F2. Следовательно, два последних множества также не имеют общих точек. На основании (1) отсюда следует, что g(x1 ) = g(x2 ).

Тем самым доказана взаимная однозначность отображения g.

Любая функция f (x), ограниченная и непрерывная на R, может быть продолжена на R, причем единственным способом ввиду плотности R в R.

Пусть h(x ) — продолженная функция, x0 = g(x0 ), x0 = {F }0 и h(x0 ) = a.

Множество F = R {|h(x ) a| } замкнуто в R и непусто, так как R плотно в R. Оно входит в {F }0, поскольку в противном случае в {F } нашлось бы множество F, не имеющее общих с ним точек, и тогда на F, R, мы бы имели |h(x ) a| а значит и на F вопреки тому факту, R что x0 F согласно (1). Следовательно, F {F }0 для всех 0.

Отсюда вытекает, что значение функции h(x ) в точке x0 = g(x0 ) (x0 = {F }0 ) является пределом в смысле Мура — Смита по направлению {F } значений функции f (x) на множествах, входящих в {F }0. С другой стороны, очевидно, что по тем же причинам значение функции h1 (x), полученной продолжением f (x) на R, в точке x0 = {F }0 будет равно этому же пределу.

Следовательно, в точках x и g(x) функции h(x ) и h1 (x) совпадают для точек x R R это доказано, а для x R мы имеем h(x) = h1 (x) = f (x).

Пусть теперь F замкнуто в (R) и пусть функция h1 (x) такова, что F = {h1 (x) = 0}. Тогда ввиду доказанного выше множество g(F ) совпадает с {h(x ) = 0} и поэтому замкнуто. Следовательно, доказана непрерывность отображения g в обоих направлениях.

2. Теорема 2. Для любого вполне регулярного пространства R суще ствует компактное вполне регулярное расширение R, обладающее следую щими свойствами:

1. У пространства R нет продолжений, содержащих R как подпростран ство, помимо самого R.

2. Любое непрерывное отображение пространства R в компактное вполне регулярное пространство продолжается на R.

3. Если R — компактное вполне регулярное расширение пространства R, то R можно непрерывно отобразить на R так, что точки пространства R останутся неподвижными, а R R отобразится на R R.

4. Если R — компактное вполне регулярное расширение пространства R, обладающее свойством 1 и такое, что любая непрерывная ограниченная функция, определенная на R, продолжается на R, то упомянутое в пункте отображение будет гомеоморфизмом.

(1) Пусть R — вполне регулярное пространство. Оно является продолже нием совершенно нормального T1 -пространства, а именно, своего собствен ного R :

R = pR.

Построим уолменовское расширение R пространства R, рассмотрим § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, (R ) и продолжим это пространство, объявив замкнутыми те пересечения замкнутых в (R ) множеств, чьи общие части с R замкнуты в R. Тот факт, что в результате мы получим пространство, можно легко доказать с помощью формулы (4), § 3 точно так же, как это было сделано для R в § 3.

Полученное пространство мы и возьмем в качестве R:

R = p(R ).

В силу теорем § 2 о продолжении пространств пространство R будет ком пактным, вполне регулярным и будет содержать R как плотное в R мно жество. Непосредственно из определения замкнутых в R множеств ясно, что R является подпространством R и никакое продолжение пространства R, кроме самого R, не может содержать R как подпространство.

Остается доказать утверждения 2–4 теоремы.

(2) Пусть f — непрерывное отображение пространства R в компактное вполне регулярное пространство R1. По теореме 5, § 1 оно в то же время будет непрерывным отображением R в R1. Согласно теореме 1, его можно продолжить на (R ). Пусть g — полученное в результате отображение (R ) в R1. Покажем, что оно также является непрерывным отображением R в R1. Пусть F1 замкнуто в R1. Пространство R1 является продолжением R1, а значит, F1 = F1, где F1 замкнуты в R1. Поскольку прообраз пересечения совпадает с пересечением прообразов, g 1 (F1 ) = g 1 (F1 ).

(2) Благодаря непрерывности g на (R ) мы имеем здесь пересечение замкну тых в (R ) множеств. Так как g продолжает отображение f, непрерывное на R, справедливо равенство R g 1 (F1 ) = f 1 (F1 ), а значит, f 1 (F1 ) замкнуто в R. Следовательно, множество g 1 (F1 ) = R g 1 (F1 ) R замкнуто в R. В силу (2) по определению замкнутых множеств в R отсюда вытекает, что g 1 (F1 ) замкнуто в R. Следовательно, g является непрерывным отображением R в R1.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Согласно теореме 2, § 3 заключаем, что g отображает R на замыкание образа R в R1. Поскольку пространство R1 вполне регулярно, оно является продолжением R1, а значит, замыкание в R1 совпадает с замыканием в R1.

Следовательно, g отображает R на замыкание образа R в R1.

(3) Пусть R1 — компактное вполне регулярное расширение пространства R. Тогда R отображается тождественно в R1. По доказанному выше это отображение можно продолжить на R, и тем самым R будет отобра жаться на замыкание R в R1, т. е. на R1. Остается показать, что R R отобразится на R1 R. Для этого заметим, что мы изначально опреде лили продолжающее отображение как отображение R в R1, продолжен ное на R. Это продолжение устанавливается формулой (5), § 3 и для {F } = x R R = R R определяется по правилу R R (F замкнуты в R ), F F g(x) = = {F } {F } поскольку, как мы уже отмечали, замыкания в R1 и в R1 совпадают. Ввиду R = F, того что R является подпространством R1, мы имеем R F а поскольку {F } — исчезающее направление, R g(x) = F =, т. е. g(x) R1 R, ч. т. д.

(4) Теперь дополнительно предположим, что R1 не имеет продолжений (кроме себя самого), содержащих R как подпространство, и что любая функ ция продолжается с R на R1. Тогда, очевидно, R является подпростран ством R1, причем R1 — компактное совершенно нормальное T1 -расширение пространства R. Следовательно, по теореме 1 оно гомеоморфно (R ), причем гомеоморфизм оставляет точки пространства R неподвижными. Но поскольку пространства R1 и R являются продолжениями R1 и (R ), уже не допускающими дальнейших продолжений, содержащих R, они с оче видностью гомеоморфны.

3. Теорема 3. Для любого вполне регулярного пространства R суще ствует топологическое пространство tR, обладающее следующими свой ствами:

1. Пространство tR компактно.

2. Топологическое продолжение пространства R является подпростран ством tR, плотным в нем.

3. Пространство tR вполне регулярно.

4. Любое непрерывное отображение пространства tR в совершенно нормальное пространство индуцирует непрерывное отображение R в это же пространство.

5. Любое непрерывное отображение пространства R в компактное вполне регулярное пространство продолжается на tR.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, 6. Пространство tR можно непрерывно отобразить на любое простран ство R1, обладающее свойствами 1–4, так, что точки пространства R оста нутся неподвижными, а tR R отобразится на R1 R.

7. Любое топологическое пространство R1, обладающее свойствами 1–5, гомеоморфно tR, если в пунктах 4 и 5 упомянутые там произвольные отображения заменить непрерывными функциями. Этот гомеоморфизм оставляет точки пространства R неподвижными.

Пусть R вполне регулярно: R = pR. Устройство пространства tR уже отражено в его обозначении: мы берем топологическое продолжение пространства R, т. е. — с учетом определения R — топологическое продолжение пространства (R ) :

tR = t(R ).

Из теорем о продолжении компактных пространств непосредственно выте кают первые три свойства tR. Далее, если tR отображается в совершенно нормальное пространство R1, то, поскольку прообразы функционально замкнутых множеств функционально замкнуты, это будет непрерывное отображение (R ) в R1. Следовательно, оно индуцирует непрерывное отображение пространства R в R1 и, более того, пространства R в R1. Тем самым доказано четвертое свойство tR.

Любое непрерывное отображение пространства R в компактное вполне регулярное пространство можно, согласно теореме 2, продолжить на R, а тогда и на tR.

Пусть R1 обладает свойствами 1–4. Поскольку по свойству 4 любая функция, непрерывная на R1, индуцирует в точках, принадлежащих R, функцию, непрерывную на R, пересечение с R множества, функционально замкнутого в R1, является функционально замкнутым в R. Следовательно, R тождественно и непрерывно отображается в R1. Это отображение можно продолжить на (R ). А поскольку tR является топологическим продолжением (R ), прообраз пересечения любого числа замкнутых в R множеств будет замкнут в tR. Следовательно, у нас имеется непрерывное отображение tR на R1. Тот факт, что оно отображает tR R на R1 R, может быть доказан в точности так же, как и аналогичное утверждение в предыдущей теореме.

Пусть R1 — топологическое пространство, обладающее свойствами 1–5.

Из свойств 1–4 мы заключаем, как и раньше, что R тождественно и непре рывно отображается в R1. Из свойства 5 следует, что R содержится в R как подпространство, т. е. каждое замкнутое в R множество является пе ресечением с R множества, замкнутого в R1. Следовательно, по теореме пространства R1 и (R ) гомеоморфны. Тогда их топологические продол жения также гомеоморфны, т. е. R1 гомеоморфно tR.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Только что доказанная теорема позволяет, например, отобразить интер вал (0, 1) в некоторое компактное вполне регулярное пространство R так, что между непрерывными функциями на R и ограниченными бэровскими функциями на интервале будет установлено взаимно однозначное соответ ствие: каждая ограниченная бэровская функция на (0, 1) продолжается до функции, непрерывной на R, и каждая непрерывная на R функция индуци рует бэровскую функцию на (0, 1).

Если пространство R является вполне регулярным топологическим про странством, то теоремы 2 и 3 с очевидностью совпадают и представляют со бой результат, ранее полученный Э. Чехом [6]. С другой стороны, теорема позволяет связать с каждой полной системой функций некоторое компактное топологическое пространство 19). Тем не менее эта важная связь не является более простой, нежели связь между полными системами и пространствами, более общими чем топологические, введенными нами в § 1. Дело в том, что возникающие здесь компактные пространства уже в самых простых случаях имеют весьма сложное устройство.

4. В теоремах 1 и 2 мы предполагаем, что пространство является T1 пространством. Тем не менее это требование не является существенным.

В теореме 1 мы можем рассмотреть произвольное совершенно нормальное пространство, а в теореме 2 — продолжение такого пространства.

Чтобы это показать, рассмотрим операцию, предложенную для тополо гических пространств Э. Чехом [6] и позволяющую связать с каждым про странством некоторое вполне регулярное пространство. Пусть задано про странство R. Факторизуем его, разместив точки x1 и x2 в одном классе в том случае, когда любая непрерывная на R функция принимает в этих точ ках равные значения. Иными словами, в один класс попадают точки, не разделяемые никакими функционально замкнутыми множествами. Тогда в каждое функционально замкнутое множество такой класс будет входить полностью. Рассмотрим эти классы точек как точки нового пространства, а замкнутыми множествами объявим функционально замкнутые множества пространства R. Мы получим, очевидно, нормальное T1 -пространство, ко торое будем обозначать символом rR.

Продолжим теперь пространство rR следующим образом. Объявим замкнутым каждое замкнутое в R множество, которое является пересече нием множеств, замкнутых в rR (несмотря на то что элементы множеств в rR являются уже классами точек пространства R, мы тем не менее можем, конечно же, мыслить множества в rR составленными из точек пространства R, что мы и будем делать в дальнейшем). Нам необходимо показать, что определенные таким способом замкнутые множества удовлетворяют всем 19) Этот результат получен в значительно более общей форме И. М. Гельфандом [7].

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. I, четырем условиям в определении пространства. Тот факт, что R и пустое множество замкнуты, а также что пересечение счетного числа замкнутых множеств замкнуто, в нашем случае с очевидностью выполнены.

Пусть F1 = F1, F2 = F2, где F1 и F2 замкнуты в rR. Справедлива формула F1 (F1 F2 ).

F2 = (1) Если F1 и F2 замкнуты в R, то их объединение замкнуто в R, причем, согласно (1), оно в то же время является пересечением множеств F1 F2, замкнутых в R. Следовательно, объединение множеств, замкнутых по нашему определению, замкнуто.

Таким образом, мы имеем пространство, которое будем обозначать сим волом rR. По теореме 1, § 2 оно вполне регулярно.

Из построения пространства rR ясно, что если R является продолжением совершенно нормального пространства, т. е. если R = pR, то всякое множество, замкнутое в R, будет замкнутым в rR. Если же R вполне регулярно, то имеет место равенство rR = R, которое непосредственно вытекает из того факта, что во вполне регулярном пространстве для любых двух точек существует непрерывная функция, равная нулю в одной из них и единице в другой (лемма 1, § 3).

Далее, очевидно, что сопоставив каждой точке x из R тот класс r(x), которому она принадлежит по построению rR, мы получим непрерывное отображение r пространства R в rR. Всякое непрерывное отображение f пространства R в произвольное вполне регулярное пространство R1 является в то же время непрерывным отображением rR в R1 или, иначе говоря, существует непрерывное отображение g пространства rR в R1 такое, что f = gr. Действительно, предположим, что две точки x, y R отображаются в различные точки x1, y1 R1. Тогда в R1 существует непрерывная функция h, равная нулю в x1 и единице в y1. При этом hf будет функцией, непрерывной на R и принимающей в точках x, y значения ноль и один.

Поэтому точки x, y принадлежат разным классам. Следовательно, точки одного и того же класса отображаются в одну точку пространства R1, и мы тем самым имеем отображение g пространства rR в R1. Относительно отображения f прообраз множества, функционально замкнутого в R1, функционально замкнут в R. Функционально замкнутому множеству в R соответствует функционально замкнутое множество в rR (составленное из тех же точек). Следовательно, g представляет собой непрерывное А. Д. АЛЕКСАНДРОВ отображение rR в R1. Поскольку R1 вполне регулярно, оно является продолжением R1. Поэтому если F1 замкнуто в R1, то F1 = F, где F замкнуты в R1. Следовательно, f 1 (F1 ) = f 1 (F ).

Благодаря непрерывности f каждое множество f 1 (F ) замкнуто в R, а множество f 1 (F1 ) замкнуто в R. Поэтому из определения замкнутых в rR множеств следует, что f 1 (F1 ) замкнуто в rR. Иными словами, если считать множество f 1 (F1 ) состоящим из классов точек r(x), то g 1 (F1 ) замкнуто в rR. Тем самым доказана непрерывность отображения g.

Теперь совершенно ясно, как можно строить компактные расширения со вершенно нормальных пространств и их продолжений в случае, когда они не являются T1 -пространствами. Предположим, что R совершенно нормаль но. Построим пространство rR, которое будет уже совершенно нормаль ным T1 -пространством. Затем построим его уолменовское расширение rR и возьмем (rR). Наконец, заменим точки пространства rR теми классами точек пространства R, которые они представляют. Обозначим полученное пространство символом bR. Непрерывное отображение пространства R в совершенно нормальное T1 -пространство R1 является в то же время непре рывным отображением rR в R1. Теперь любое из таких отображений rR в компактное R1 можно продолжить на (rR). Следовательно, любое непре рывное отображение пространства R в компактное совершенно нормальное T1 -пространство R1 можно продолжить на bR.

Дальнейшее приведение теоремы 1 к пространству bR представляется излишним. Мы лишь сформулируем результат. В следующей формулировке под T1 -расширением пространства R мы понимаем такое его расширение R1, что R1 R является T1 -пространством. Тогда справедлива Теорема 1. Для любого совершенно нормального пространства R суще ствует компактное совершенно нормальное T1 -расширение bR, обладающее следующими свойствами:

1. Всякое непрерывное отображение пространства R в компактное совершенно нормальное T1 -пространство продолжается на bR.

2. Если R1 — компактное совершенно нормальное T1 -расширение про странства R, то bR можно отобразить на R1 так, что точки пространства R останутся неподвижными, а bR R отобразится на R1 R.

3. Если помимо свойств, указанных в пункте 2, пространство R1 обладает также тем свойством, что любая непрерывная ограниченная функция, ГЛ. I, § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ.

определенная на R, продолжается на R1, то bR можно гомеоморфно отобразить на R1 так, что точки R останутся неподвижными.

Совершенно аналогично теорема 2 может быть приведена к случаю продолжений совершенно нормальных пространств, не являющихся T1 пространствами.

5. В заключение мы укажем характеристическое свойство совершенно нормальных счетно компактных пространств.

Теорема 4. Совершенно нормальное пространство является счетно ком пактным тогда и только тогда, когда в любом его компактном совершенно нормальном расширении отсутствуют (непустые) замкнутые множества, не имеющие с ним общих точек.

Пусть R — компактное совершенно нормальное пространство и пусть R плотно в R. Возьмем произвольное непустое замкнутое множество F в R.

Пусть f (x ) — непрерывная функция на R такая, что F = {f (x ) = 0}.

Поскольку R плотно в R, каждое множество Fn = |f (x )| имеет n общие с R точки. Пересечения R Fn замкнуты в R и образуют убывающую последовательность. В то же время R Fn = R F.

n= Следовательно, если R счетно компактно, то R F непусто.

Предположим, что R не является счетно компактным. Пусть Fn — непу стые замкнутые в R множества, образующие исчезающую последователь ность. Каждое из них представляется в виде R Fn, где Fn замкнуто в R.

Пересечение всех множеств Fn замкнуто в R и непусто в силу компактности R, но не имеет общих с R точек.

Статья поступила в редакцию 17.IV. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. I: Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел // Мат. сб. 1937. Т. 2, вып. 5. С. 947–970. (См.

также т. 1 наст. изд., с. 30–58.) 2. Александров А. Д. О поверхностной функции выпуклого тела: Замечание к работе «К теории смешанных объемов выпуклых тел» // Мат. сб. 1939. Т. 6, вып. 1. С. 167–173.

(См. также т. 1 наст. изд., с. 144–151.) 3. Александров А. Д. Применение теоремы об инвариантности области к доказатель ствам существования // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1939. № 3. С. 243–255.

4. Alexandro P., Urysohn P. Mmoire sur les espaces topologiques compacts // Verhan e delingen Amsterdam. 1929. T. 14, No. 1. P. 1–93. (Русский перевод: Александров П. С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука, 1971.) 5. Carathodory C. Vorlesungen uber reelle Funktionen. 2. Au. Leipzig: Teubner, 1927.

e 6. Cech Ed. On bicompact spaces // Ann. Math. 1937. Bd 38. S. 823–844.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ 7. Gelfand I. On normed rings // Докл. АН СССР. 1939. Т. 23. С. 430–432.

8. Хаусдорф Ф. Топология. М.: ОНТИ, 1937.

9. Marko A. On mean values and exterior densities // Мат. сб. 1938. Т. 4, № 1. С. 165– 190. (Русский перевод: Марков А. А. О средних значениях и внешних плотностях // В кн.: Марков А. А. Избранные труды. Т. 1. Математика, механика, физика. М.: Изд-во МЦНМО, 2002. С. 150–179.) 10. Moore E. H., Smith H. L. A general theory of limits // American J. 1922. Vol. 44.

P. 102–121.

11. von Neumann J. Zum Haarschen Mass in topologischen Gruppen // Compos. Math.

1934. Vol. 1. P. 106–114.

12. Vedeniso N. Sur un probl`me de M. Paul Alexandro // Ann. Math. 1936. Vol. 37.

e P. 427–428.

13. Wallman H. Lattices and topological spaces // Ann. Math. 1938. Vol. 39. P. 112–126.

Аддитивные функции множеств в абстрактных пространствах. II, III Математический сборник. 1941. Т. 9, № 3. С. 563– ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЗАРЯДЫ § 5. Линейные функционалы 1. Определение 1. Пусть — система вещественных ограниченных функций f (x), определенных на некотором множестве R и обладающих следующими свойствами:

1) если f1 (x), f2 (x), то f1 (x) + f2 (x) ;

2) если f (x), то f (x) для любого вещественного ;

3) если f1 (x), f2 (x), то min[f1 (x), f2 (x)] ;

4) если e(x) — функция, равная единице для всех x R, то e(x).

Пусть каждой функции f сопоставлено вещественное число L(f ) так, что 1) L(f + g) = L(f ) + L(g);

2) |L(f )| N sup |f (x)|, где N одно и то же для всех f.

Будем говорить, что L(f ) является линейным функционалом на.

Наименьшее из чисел N, для которых выполнено условие 2), называется нормой L(f ).

Линейный функционал L(f ) назовем положительным, если L(f ) 0 для любой функции f, принимающей лишь положительные значения 1).

Добавив к пределы всех равномерно сходящихся последовательностей функций из, мы получим систему функций, обладающую теми же четырьмя свойствами, что и, и дополнительным пятым свойством: предел равномерно сходящейся последовательности функций из принадлежит. Систему ограниченных функций, обладающую всеми пятью свойствами, можно назвать замкнутой.

1) Напомним, что положительными мы условились называть числа, бльшие или о равные нулю. — Прим. перев.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Как легко видеть, линейный функционал, определенный на, может быть единственным образом продолжен на. По этой причине мы не нарушим общность, если будем рассматривать линейные функционалы только на замкнутых системах функций.

— замкнутая система функций на множестве R.

Теорема 1. Пусть Объявив замкнутыми все множества вида F = {f (x) (f ) a} (1) и только такие множества, мы превратим R в совершенно нормальное про странство R, на котором все функции системы окажутся непрерывными.

Подставляя в (1) вместо f (x) функцию g(x) = max[f (x) a, 0], а затем h(x) = min[g(x), 1], мы видим, что каждое множество F представимо в виде F = {h(x) = 0}, h.

h(x) 0 1, Пусть Fn = {fn (x) = 0} (n = 1, 2,... ) fn (x) (0 1).

Ряд fn (x) = f (x) 2n n= сходится равномерно, а значит, {f (x) = 0} является одним из множеств F.

В то же время очевидно, что {f (x) = 0} = {fn (x) = 0}.

n= Следовательно, пересечение счетного числа множеств F вновь является одним из множеств F. Сохраняя обозначения, мы имеем {min[f1, f2 ] = 0} = {f1 = 0} {f2 = 0}.

Следовательно, объединение двух множеств F тоже является одним из мно жеств F. Тот факт, что само R и пустое множество являются множествами F, вполне очевиден. Таким образом, доказано, что R превращается в про странство R с замкнутыми множествами F.

непрерывны на R в силу леммы 1, § 1, а значит, Все функции из R является совершенно нормальным непосредственно по определению совершенно нормального пространства.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Система всех ограниченных непрерывных функций на пространстве R представляет собой замкнутую систему R (она, вообще говоря, шире систе мы, с помощью которой мы определили пространство R в теореме 1). Ли нейный функционал на этой системе мы будем называть линейным функци оналом в R. По известной теореме о продолжении линейных функционалов каждый линейный функционал, определенный на, может быть продолжен на систему всех ограниченных непрерывных функций на пространстве R.

Поэтому во многих случаях рассмотрение лишь линейных функционалов в пространстве не приводит к ограничению общности.

В данном параграфе мы фиксируем некоторую систему функций указанного выше вида (не обязательно замкнутую), и все рассматриваемые функции предполагаются принадлежащими этой системе. Символ L(f ) обозначает произвольный линейный функционал на.

Отметим некоторые свойства линейных функционалов, которые мы при мем без доказательства.

1. Для любого вещественного мы имеем L(f ) = L(f ).

2. Если L1 (f ) и L2 (f ) — линейные функционалы, то 1 L1 (f ) + 2 L2 (f ) для любых вещественных 1 и 2 также является линейным функционалом.

3. Если линейный функционал L(f ) является положительным и f1 (x) f2 (x) для всех x, то L(f1 ) L(f2 ).

Лемма 1. Если для всех положительных f (x) мы имеем L1 (f ) L2 (f ) и L1 (e) = L2 (e), то для всех f (x) L1 (f ) = L2 (f ).

Какова бы ни была функция f (x), мы имеем f (x) inf f (x) 0, а значит, L1 (f inf f ) L2 (f inf f ), или L1 (f ) L1 (e) inf f (x) L2 (f ) L2 (e) inf f (x).

Но поскольку L1 (e) = L2 (e), мы имеем L1 (f ) L2 (f ). Заменяя f (x) на f (x), мы точно так же докажем, что L1 (f ) L2 (f ), т. е. L1 (f ) L2 (f ).

Следовательно, L1 (f ) = L2 (f ).

2. В этом пункте мы покажем, что каждый линейных функционал является разностью двух положительных функционалов 2).

Лемма 2. Для любых L(f ) и f (x) 0 существуют 3) L+ (f ) = sup L(h), L (f ) = sup L(h). (2) 0hf 0hf 2) Этот результат не является новым. Его доказательство при очень общих предполо жениях дано, например, в работе Л. В. Канторовича [4].

3) В авторском варианте вместо L+ и L используются менее традиционные обозначе ния Lp и Ln. — Прим. перев.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Это следует из второго условия в определении линейного функционала.

Лемма 3. Если L1 (f ) = L2 (f ), то L+ (f ) = L (f ), L (f ) = L+ (f ).

1 2 1 Это вытекает непосредственно из (2).

Лемма 4. Для f (x) 0 и g(x) 0 мы имеем L+ (f ) + L+ (g) = L+ (f + g), L (f ) + L (g) = L (f + g).

Благодаря предыдущей лемме достаточно показать эти соотношения для L+ (f ). Пусть 0 h(x) f (x) + g(x). Положим hg (x) = h(x) hf (x) hf (x) = min[h(x), f (x)], и значение L(f ) (с учетом свойств системы эти функции принадлежат для них определено). Ясно, что hf (x) f (x), hg (x) g(x), hf (x) + hg (x) = h(x).

0 0 (3) Пусть теперь функция h(x) такова, что для заданного L+ (f + g) L(h) +.

Тогда в силу (3) и (2) мы имеем L+ (f + g) L(hf ) + L(hg ) + L+ (f ) + L+ (g) +. (4) С другой стороны, если мы определим hf (x) и hg (x) так, что hf (x) f (x), hg (x) g(x) 0 и L+ (f ) L(hf ) +, L+ (g) L(hg ) +, 2 то, сложив два последних неравенства, мы получим L+ (f ) + L+ (g) L(hf + hg ) +. (5) hf (x) + hg (x) f (x) + g(x) мы имеем С учетом L+ (f + g).

L(hf + hg ) § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Следовательно, из (5) мы получаем L+ (f ) + L+ (g) L+ (f + g) +.

Это неравенство вместе с неравенством (4) ввиду произвольности 0 дает L+ (f + g) = L (f ) + L+ (g).

Определение 2. Формулой (2) мы определили функционалы L+ (f ), L (f ) для f (x) 0. Для знакопеременной функции f (x), f (x) = f1 (x) f2 (x), где f1 (x), f2 (x) 0, положим L+ (f ) = L+ (f1 ) L+ (f2 ), L (f ) = L (f1 ) L (f2 ). (6) Это определение является однозначным, так как в случае f1 (x) f2 (x) = = f (x) f (x), где все функции положительны, мы имеем L+ (f1 + f ) = L+ (f2 + f ), а значит, по лемме L+ (f1 ) + L+ (f ) = L+ (f2 ) + L+ (f ), т. е.

L+ (f1 ) L+ (f2 ) = L+ (f ) L+ (f ).

Определенные таким образом функционалы L+ (f ) и L (f ) мы называем положительной и отрицательной частями линейного функционала L(f ).

Лемма 5. L+ (f ) и L (f ) являются положительными линейными функ ционалами.

Разумеется, достаточно показать это для L+ (f ).

0. Если h(x) = 0 для всех x R, то L(h) = 0, откуда 1) Пусть f (x) следует, что L+ (f ) = sup L(h) 0.

0hf 2) Тот факт, что L+ (f ) + L+ (g) = L+ (f + g), вытекает из леммы 4 и определения L+ (f ).

3) Пусть задана функция f (x). Положим f2 (x) = f1 (x) f (x).

f1 (x) = max[f (x), 0], А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Тогда sup |f (x)| = max[sup f1 (x), sup f2 (x)], (7) |L+ (f )| = |L+ (f1 ) L+ (f2 )| = sup L(h) sup L(h) 0 h f1 0 h f sup L(h), sup L(h).

max 0 h f1 0 h f Привлекая второе условие из определения линейного функционала и исполь зуя (7), получаем |L+ (f )| N sup |f (x)|.

Тем самым лемма доказана.

Теорема 2. Каждый линейный функционал является разностью двух положительных линейных функционалов, а именно L(f ) = L+ (f ) L (f ).

Достаточно доказать эту формулу для положительных функций f (x).

Пусть заданы f (x) 0 и 0. Пусть f (x) f (x), f (x) f (x) 0 и L+ (f ) L(f ) +, L (f ) L(f ) +.

L(f ) L(f ) Возьмем функцию f (x) f (x) f (x) и прибавим ее к f (x) или к f (x) в зависимости от того, положительно число L(f f f ) или нет. Тогда мы получим две функции f1 (x) и f2 (x) такие, что f1 (x) f (x), f2 (x) f (x), 0 f1 (x) + f2 (x) = f (x) и |L(f1 ) L+ (f )|, |L(f2 ) + L (f )|.

Из этих неравенств следует, что |L(f ) L+ (f ) + L (f )| 2.

Поскольку 0 произвольно, теорема доказана.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Лемма 6. Если L(f ) = L1 (f ) L2 (f ), где L1 (f ), L2 (f ) — положительные линейные функционалы, то для всех f (x) 0 мы имеем L+ (f ), L (f ).

L1 (f ) L2 (f ) Действительно, поскольку L2 (f ) — положительный функционал, то для h(x) 0 мы имеем L(h) L1 (h), а значит, L+ (f ) = sup L(h) sup L1 (h).

0hf 0hf Но L1 (h) — тоже положительный линейный функционал, и поэтому sup L1 (h) = L1 (h).

0hf L+ (f ).

Следовательно, L1 (f ) Точно так же доказывается, что L2 (f ) L (f ).

Очевидно, что положительная и отрицательная части линейного функци онала единственным образом определяются их свойствами, установленными в последней лемме.

§ 6. Заряды 1. В настоящем параграфе мы рассматриваем произвольное множество R, в котором выделена система подмножеств F такая, что объединение и пе ресечение любых двух множеств F является одним из множеств F и пустое множество также является одним из множеств F. В дальнейшем буквой F обозначается произвольное множество этой системы. Множества, дополни тельные (относительно R) к F, мы обозначаем буквами G. Все множества F и G порождают некоторую алгебру множеств E (т. е. совокупность множеств, получающихся из F и G с помощью операций объединения, пересечения и разности, примененных конечное число раз). В дальнейшем символ E будет обозначать произвольную алгебру множеств, содержащую E, а буквы E — произвольные множества из E.

В следующих параграфах R будет пространством (см. определение 1, § 1), а буквы F и G будут обозначать его замкнутые и открытые множества. Но в данном параграфе счетные пересечения множеств F не будут рассматри ваться вовсе.

Определение 1. Функцию множества (E), определенную на алгебре множеств, содержащей алгебру E, назовем зарядом, если она 1) аддитивна, т. е. (E1 E2 ) = (E1 ) + (E2 ) в случае E1 E2 = ;

2) ограничена, т. е. |(E)| N, где N одно и то же для всех E;

3) регулярна 4), т. е. для любых E и 0 существует множество F E такое 5), что |(E) (F )|.

4) Этот термин заимствован у К. Каратеодори. Как будет показано ниже, для положи тельных зарядов это условие в точности означает регулярность в смысле Каратеодори [5].

5) В любом E содержится по меньшей мере одно множество F, а именно пустое.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Заряд назовем положительным, если (E) 0 для всех E.

В том случае, когда R является пространством, а множества F — замкнутыми в нем множествами, функция (E) будет называться зарядом в R. При этом она предполагается определенной (и удовлетворящей трем сформулированным выше условиям) по меньшей мере на алгебре E, но в некоторых случаях более удобно рассматривать ее на более обширной алгебре — например, на алгебре борелевских множеств.

Лемма 1. Условие регулярности заряда эквивалентно следующему усло вию: для любых E и 0 существует множество G E такое, что |(E) (G)|.

Пусть (E) удовлетворяет условию регулярности. Возьмем произвольные E E и 0. Множество R E также принадлежит E, так как E содержит R и E. Следовательно, значение (R E) определено, и в силу аддитивности (R E) = (R) (E). Пусть множество F R E таково, что |(R E) (F )|. (1) Множество R F является одним из множеств G, что позволяет нам положить R F = G. Поскольку F R E, мы имеем G E. В силу соотношений (R E) = (R)(E) и (R)(F ) = (G) неравенство (1) эквивалентно следующему: |(E) (G)|, ч. т. д.

Если выполнено условие леммы, то доказательство регулярности можно провести в точности так же, как это было сделано выше — необходимо лишь поменять ролями множества F и G.

2. В этом пункте мы докажем некоторые простые леммы об аддитивных положительных функциях множества, определенных на кольце множеств. В леммах 3–5 символ (E) обозначает произвольную функцию такого вида.

Лемма 2. Если (E) — аддитивная функция множества, чье значение определено, в частности, для пустого множества, то () = 0.

Лемма 3. Если E1 E2, то (E1 ) (E2 ).

Если E1 E2, то в силу аддитивности (E1 ) = (E2 ) + (E1 E2 ), а поскольку рассматриваемая функция положительна, (E1 E2 ) 0.

Лемма 4. Справедливо неравенство (E1 E2 ) (E1 ) + (E2 ).

По лемме 3 мы имеем (E1 E2 ) (E1 ) и в силу аддитивности (E1 E2 ) + (E2 ) = (E1 E2 ).

Лемма 5. Если Ei Ei и (Ei ) + i (Ei ) (i = 1, 2), (2) то (E1 E2 ) + 1 + 2 (E1 E2 ), (E1 E2 ) + 1 + 2 (E1 E2 ).

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Поскольку Ei Ei, неравенства (2) могут быть переписаны следующим образом:

(Ei Ei ) i (i = 1, 2). (3) Мы имеем (E1 E2 ) = (E1 E2 ) + (E1 E2 ) (E1 E2 ), (4) (E1 E2 ) (E1 E2 ) (E1 E1 ) (E2 E2 ).

В силу лемм 2 и 3 из этого включения следует, что (E1 E2 ) (E1 E2 ) (E1 E1 ) + (E2 E2 ).

Согласно (3), правая часть этого неравенства меньше 1 + 2, а значит, благодаря (2) мы имеем (E1 E2 ) (E1 E2 ) + 1 + 2. Аналогичным образом, исходя из соотношений (E1 E2 ) = (E1 E2 ) + (E1 E2 ) (E1 E2 ), (E1 E2 ) (E1 E2 ) (E1 E2 ) (E2 E1 ), мы получаем (E1 E2 ) (E1 E2 ) + 1 + 2.

3. Теорема 1. Для того чтобы функция множества (E), определен ная на E, была положительным зарядом, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующим двум условиям:

1) (E1 E2 ) = (E1 ) + (E2 ) в случае E1 E2 =, 2) для всех E (E) = sup (F ) (5) F E или для всех E (E) = inf (G). (6) GE (Эти формулы осмыслены, так как каждое E содержит некоторое множество F — например, пустое множество — и каждое E содержится в R, являющемся одним из множеств G.) Необходимость. Необходимость первого условия очевидна, так как оно является условием аддитивности. Мы докажем необходимость второго условия, показав, что оно следует из регулярности.

Пусть (E) — положительный заряд. Возьмем произвольное E. По лемме 3 для любого F E мы имеем (F ) (E), а значит, (E) sup (F ). (7) F E А. Д. АЛЕКСАНДРОВ В то же время по условию регулярности для каждого 0 существует множество F E такое, что |(E) (F )|, а значит, (E) sup (F ). (8) F E Формулы (7) и (8) дают (5).

Вторая форма второго условия, выражаемая соотношением (6), доказы вается точно так же — нужно лишь воспользоваться леммой 1.

Достаточность. Пусть функция (E) удовлетворяет условиям теоремы.

Докажем, что она удовлетворяет трем условиям, участвующим в определе нии заряда, и, кроме того, является положительной.

Аддитивность функции (E) уже дана. Докажем ее ограниченность. Из формулы (5) или формулы (6) следует, что если E1 E2, то (E1 ) (E2 ), а поскольку все E содержатся в R, мы имеем (E) (R). Регулярность (E) вытекает непосредственно из формулы (5). Из (6) регулярность получается точно так же, но с помощью леммы 1.

Покажем, что (E) 0. Поскольку функция (E) аддитивна, по лемме мы имеем () = 0. Пустое множество является одним из множеств F и содержится в любом E. Следовательно, из (5) следует, что (E) 0. Если же исходить из формулы (6), то можно рассуждать следующим образом.

Так как пустое множество содержится в любом G, в формуле () = inf (G) G инфимум берется по всем G. Поскольку () = 0, мы получаем (G) для всех G, а значит в силу (6) мы имеем (E) 0 для всех E.

4. В этом пункте мы покажем, что каждый заряд является разностью двух положительных зарядов.

Лемма 6. Линейная комбинация положительных зарядов является за рядом.

Пусть 1 (E), 2 (E) — два положительных заряда и 1, 2 — числа.

Функция множества (E) = 1 1 (E) + 2 2 (E) определена на элементах алгебры E, аддитивна и ограничена. Покажем, что она регулярна. Возьмем E и 0. По теореме 1 имеются F1 и F2, содержащиеся в E и такие, что i (Fi ) i (Ei ) i (E) (i = 1, 2).

В то же время F1 и F2 содержатся в множестве F1 F2, которое, в свою очередь, содержится в E. Следовательно, по лемме i (F1 F2 ) i (E) i (E) (i = 1, 2).

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Домножая на i и складывая, получаем |(E) (F1 F2 )| (|1 | + |2 |), что доказывает регулярность (E).

Лемма 7. Пусть (E) — заряд. Для любого E0 существуют 6) + (E0 ) = sup (E) = sup (F ), (9) EE0 F E (E0 ) = sup (E) = sup (F ). (10) EE0 F E Это следует из ограниченности заряда и из того факта, что для любого E E0 существуют F E E0, для которых значения (F ) сколь угодно близки к (E).

Определение 2. Функции множества + (E) и (E), определяемые формулами (9) и (10), называются соответственно положительной и отри цательной частями (E). Их сумму мы называем вариацией заряда (E) и обозначаем ее символом ||(E).

Легко видеть, что такое определение вариации эквивалентно традицион ному определению.

Лемма 8. Функции множества + (E), (E), ||(E) являются положи тельными зарядами.

Докажем это для + (E). Пусть E1 E2 =. Тогда (E E1 ) + (E E2 ).

(E) = sup sup (11) EE1 E2 EE1 E Но если E — произвольное множество, содержащееся в E1 E2, то множества E E1 и E E2 являются произвольными множествами, содержащимися в E1 и E2. Следовательно, (E E1 ) + (E E2 ) = sup (E) + sup (E).

sup (12) EE1 E2 EE1 EE Формулы (11) и (12), согласно определению + (E), влекут + (E1 E2 ) = + (E1 ) + + (E2 ). (13) Из определения + (E) вытекает, что + (F ) + (E) при F E. Поэтому + (E) sup + (F ). (14) F E В то же время согласно (9) мы имеем + (E) = sup (F ), F E 6) В авторском варианте вместо + и используются менее традиционные обозначе p и n. — Прим. перев.

ния А. Д. АЛЕКСАНДРОВ + (F ) следует, что откуда в силу очевидного неравенства (F ) + (E) sup + (F ).

F E Это вместе с (14) дает + (E) = sup + (F ). (15) F E На основании теоремы 1 из формул (13) и (15) следует, что + (E) является положительным зарядом.

Точно так же доказывается, что (E) является положительным заря дом — нужно лишь заменить (E) на (E). Тот факт, что ||(E) является положительным зарядом, теперь следует из леммы 4.

Теорема 2. Каждый заряд является разностью двух положительных зарядов, а именно, его положительной и отрицательной частей, т. е.

(E) = + (E) (E). (16) Возьмем произвольные E и 0. Пусть E и E содержатся в E и таковы, что + (E) (E ) +, (E) (E ) +. (17) Вычтем множество E E из E или из E в зависимости от того, положительно число (E E ) или нет. Аналогично, добавим множество E (E E ) к E или к E в зависимости от того, положительно число E (E E ) или нет. Мы получим два таких множества E1 и E2, что (E1 ) (E ), (E2 ) (E ), (18) E1 E2 =, E1 E2 = E. (19) Объединяя неравенства (17) и (18), мы получаем + (E) (E1 ), (E) + (E2 ). (20) Кроме того, из определения + (E) и (E) следует, что + (E) (E1 ) (E) + (E2 ) 0, 0. (21) Наконец, из (19) вытекает, что (E1 ) + (E2 ) = (E). Поэтому неравен ства (20) и (21) с очевидностью влекут |(E) + (E) + (E)|, откуда в силу произвольности 0 мы получаем (16).

Среди всевозможных представлений данного заряда в виде разности двух положительных зарядов каноническое представление, выраженное формулой (16), характеризуется следующим свойством минимальности.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Лемма 9. Если (E) = 1 (E) 2 (E), где 1 (E) и 2 (E) — положитель ные заряды, то 1 (E) + (E), 2 (E) (E).

Учитывая, что 2 (E) 0, мы имеем (E) 1 (E) и, следовательно, для каждого E + (E0 ) = sup (E) sup 1 (E). (22) EE0 EE Но поскольку заряд 1 (E) является положительным, 1 (E) 1 (E0 ) при E E0, а значит, sup 1 (E) 1 (E0 ).

EE Объединяя это неравенство с (22), мы получаем + (E0 ) 1 (E0 ).

Неравенство (E0 ) 2 (E0 ) доказывается аналогично.

Заметим также, что поскольку каждый заряд является разностью двух положительных зарядов, лемма 6 может быть сразу обобщена на произволь ные заряды, и мы получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Линейная комбинация зарядов является зарядом.

5. Теорема 4. Пусть (E) — заряд. Для любых E0 и 0 существуют F и G такие, что F E0 G и для всякого E, заключенного между 7) F и G, справедливо неравенство |(E) (E0 )|.

Пусть (E) — заряд и + (E), (E) — его положительная и отрицатель ная части. По предыдущей теореме имеем (E) = + (E) (E) (см. (16)).

Возьмем произвольные E0 и 0. Так как + (E) и (E) — положитель ные заряды, то, согласно (5), существуют F1 и F2, содержащиеся в E0, такие, что + (E0 ) + (F1 ) +, (E0 ) (F2 ) +. (23) 2 Аналогично, существуют G1 и G2, содержащие E0, такие, что + (E0 ) + (G1 ), (E0 ) (G2 ). (24) 2 Положим F = F1 F2, G = G1 G2. Тогда F E0 G. Пусть E заключено между F и G. Тогда оно заключено между F1 и G1, а значит, + (G1 ) + (E) + (F1 ). Сравнивая это соотношение с первыми неравенствами в (23) и (24), получаем + (E0 ) + + (E) + (E0 ). (25) 2 Совершенно аналогично из соотношения (G2 ) (E) (F2 ) и вторых неравенств в (23) и (24) получаем (E0 ) + (E) (E0 ). (26) 2 7) Будем говорить, что множество A заключено между множествами B и C, если B A C или B A C.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Если теперь вычесть неравенства (26) из неравенств (25), то, используя формулу (16), получим (E0 ) + (E) (E0 ), ч. т. д.

6. Теорема 5. Пусть функция (E), определенная на E, удовлетворяет следующим двум условиям:

1) (E1 E2 ) = (E1 ) + (E2 ), если существует множество F E1 такое, что F E2 =, 2) для любого E имеет место равенство (E) = sup (F ) или (E) = F E = inf (G).

GE Тогда (E) — положительный заряд.

Поскольку условие 2) совпадает с условием 2) теоремы 1, нам остается лишь доказать аддитивность функции (E). Мы сделаем это, доказав, что если функция (E), определенная на E, удовлетворяет условию 1) теоремы, то она аддитивна. Имея в виду дальнейшие приложения, мы дадим соответствующее доказательство в несколько более общей форме.


Пусть (M ) — функция множества, определенная на произвольной ал гебре 8) подмножеств R 9). Множество A называется -измеримым 10), если (A) определено и для любого M, для которого (M ) определено, выполня ется равенство (M ) = (M A) + (M A).

Лемма 10. Если A -измеримо, то R A также -измеримо.

Это следует из определения.

Лемма 11. Если A и B -измеримы, то A B -измеримо.

Пусть M — произвольное подмножество R, для которого (M ) определе но. Поскольку A измеримо, (M B) = (M B A) + (M B) A. (27) Поскольку B также измеримо, (M ) = (M B) + (M B) (28) и (A B) = M (A B) B + M (A B) M B= (29) = (M B) A + (M B).

8) Воригинальной версии статьи автор говорит о «кольце подмножеств R, содержа щем само R». Такие кольца принято сейчас называть алгебрами подмножеств R. — Прим. перев.

9) Для нас важны два случая: когда эта алгебра совпадает с E и когда она состоит из всех подмножеств R.

10) Это определение и дальнейшие заключения об измеримых множествах принадлежат по существу К. Каратеодори, см. [5], с. 258.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Подставив в (28) выражение для (M B) из (27) и выражение для (M B) из (28), получим (M ) = (M B A) + M (A B), что и означает измеримость A B.

Лемма 12. Если A -измеримо и A B =, то 11) (A B) = (A) + (B). (30) В силу измеримости A мы имеем (AB) = (AB)A + (AB) A, а поскольку A B =, это в точности равенство (30).

Лемма 13. Пусть (E) — функция, определенная на произвольной алгебре подмножеств множества R. Множества, измеримые относительно этой функции, образуют алгебру множеств, причем (M ) аддитивна на этой алгебре.

Это следует из лемм 9–11. Действительно, если совокупность измеримых множеств содержит их дополнения и пересечения, то она также содержит их объединения и разности 12), а значит, является алгеброй.

Лемма 14. Если функция (E) определена на E (или на алгебре, содержащей алгебру E) и удовлетворяет первому условию теоремы 5, то все множества E E являются -измеримыми и, следовательно, эта функция аддитивна на E.

Убедимся прежде всего в том, что каждое множество F измеримо.

Действительно, для всякого M мы имеем M F F, (M F ) F =, а значит, согласно первому условию теоремы 5, справедливо равенство (M ) = = (M F ) + (M F ). Это означает, что F -измеримо. Тогда по лемме каждое множество G также является -измеримым и, наконец, по лемме каждое множество E -измеримо, поскольку алгебра E порождается всеми множествами F и G.

Теорема 5 непосредственно вытекает из леммы 14.

7. Выкладки предшествующего пункта не были связаны с тем фактом, что рассматриваемая функция определена только на элементах алгебры E.

Поэтому мы можем утверждать, что если функция (E), удовлетворяющая условиям теоремы 5, определена на всех подмножествах R, то на E эта функ ция представляет собой положительный заряд. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 6. Положительный заряд (E) можно продолжить на алгебру всех подмножеств R, полагая 13) для произвольного M (M ) = sup (F ) (31) F M 11) В предположении, что значение (A B) определено. — Прим. перев.

12) A B = R (R A) (R B), A B = A (R B).

13) Корректность доопределения с помощью формул (31) и (32) вытекает из теоремы 1.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ или (M ) = inf (G). (32) GM В результате мы получим функции, удовлетворяющие двум условиям теоре мы 5, где второе из условий будет выполняться в форме, соответствующей той из формул (31) и (32), которая была выбрана для продолжения заряда.

Второе условие будет выполнено непосредственно в силу определения по формуле (31) или (32), поскольку (F ) = (F ) 14). Нам остается доказать, что первое условие также выполняется. Мы будем рассуждать, исходя из формулы (31);

в случае, когда продолжение осуществляется в соответствии с формулой (32), доказательство будет аналогичным. Заметим, (M2 ) при M1 M2. Возьмем два что формула (31) влечет (M1 ) произвольных множества M1 и M2 без общих точек и любое 0. В силу формулы (31) существуют F1 M1, F2 M2 такие, что (F1 ) (M1 ), (F2 ) (M2 ). Тогда, поскольку F1 F2 M1 M2, мы имеем (M1 M2 ) (F1 F2 ) = (F1 ) + (F2 ) (M1 ) + (M2 ) 2. (33) Здесь мы использовали аддитивность для множеств F1 и F2, что допустимо ввиду равенства (F ) = (F ). В силу произвольности из (33) следует (M1 M2 ) (M1 ) + (M2 ). (34) Предположим теперь, что существует F M1 такое, что F M2 =. Со гласно (31), имеется множество F3 M1 M2, удовлетворяющее неравенству (F3 ) (M1 M2 ). (35) Поскольку F M2 = и F3 M1 M2, мы имеем F F3 M1 и F3 F M2.

Следовательно, (F F3 ) + (F3 F ) = (F ).

(M1 ) + (M2 ) (36) Здесь мы использовали аддитивность функции для множеств F F3 и F3 F, что допустимо, так как эти множества входят в E. Из (35) и (36) следует (M1 ) + (M2 ) (M1 M2 ), и в силу произвольности 0 мы имеем (M1 M2 ).

(M1 ) + (M2 ) (37) 14) Формуле (32) соответствует аналогичное равенство (G) = (G). — Прим. перев.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Эта формула вместе с (34) дает (M1 ) + (M2 ) = (M1 M2 ), и теорема тем самым доказана 15).

Эта теорема легко обобщается на произвольные заряды. Разложив данный заряд (E) на его положительную и отрицательную части, мы можем продолжить их на все подмножества R и затем взять разность полученных функций. Тем самым мы продолжим заряд (E) до функции (E) или (E). Эти функции являются аналогами внутренней и внешней меры, что подтверждается следующим утверждением.

Теорема 7. Для того чтобы множество M было измеримым относитель но (или ) по Каратеодори в смысле приведенного выше определения, необходимо и достаточно, чтобы (+ ) (M ) = (+ ) (M ), ( ) (M ) = ( ) (M ), где индексы + и указывают, что функция является продолжением соответственно положительной и отрицательной части данного заряда.

Множества, измеримые относительно (или ), образуют алгебру множеств, причем функция (M ) и (M ) аддитивна на этой алгебре.

Более того, любая алгебра подмножеств R, на которой (M ) или (M ) аддитивна, содержится в этой алгебре 16).

Мы опустим доказательство этой теоремы. Фигурирующее здесь продол жение заряда, очевидно, является существенным только для счетно адди тивных зарядов, поскольку для них все борелевские множества будут изме римыми. Но счетно аддитивный положительный заряд есть не что иное, как регулярная мера Каратеодори, а для таких мер наша теорема по существу содержится в [5].

В § 8 и 11 мы увидим, что заряды могут быть продолжены с сохранением аддитивности некоторым совершенно иным методом, нежели рассмотренный здесь.

§ 7. Связь между линейными функционалами и зарядами в нормальных пространствах 1. Пусть R — нормальное пространство. Рассмотрим совокупность всех ограниченных непрерывных функций на этом пространстве и линейные 15) Теоремы 5 и 6 устанавливают взаимно однозначное соответствие между положи тельными зарядами, удовлетворяющими условию (R) = 1, с одной стороны, и внешними плотностями, рассмотренными А. А. Марковым, с другой. Как легко видеть из наших ре зультатов, первое условие в определении Маркова внешней плотности следует из второго и четвертого условий, участвующих в формулировке теоремы 4 из [6].

16) Для колец множеств это не так, поскольку любая функция аддитивна на кольце, состоящем из произвольного множества и пустого множества.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ функционалы в R, т. е. функционалы, определенные на этой совокупности.

Как известно (см. теорему 1, § 1), совокупность ограниченных непрерывных функций на пространстве удовлетворяет всем условиям определения 1, § 5.

Поэтому мы можем применять все результаты § 5. Замкнутые множества F пространства удовлетворяют всем условиям, налагаемым на множества F в § 6. Поэтому мы можем рассматривать заряды в пространстве R и применять к ним все результаты § 6.

В дальнейшем R будет обозначать заданное нормальное пространство, F и G — соответственно замкнутые и открытые множества в R, E — произ вольное множество из алгебры E, порожденной замкнутыми множествами пространства R. Символы f (x), g(x) и т. д. будут обозначать ограниченные непрерывные функции на R. Никакие другие функции мы в дальнейшем не рассматриваем, и поэтому мы будем часто называть их просто функциями.

Пусть в R задан заряд (E). Для любой непрерывной функции f (x) множества {a f (x) b}, {a f (x) b} принадлежат алгебре E, а значит, заряд определен на них. Следовательно, мы можем обычным образом определить интеграл Лебега — Радона:

f (x) (dE) = fi (Ei ), lim max |fi fi1 | R где Ei = {fi+1 f (x) fi }, inf f (x) f1 f2 · · · fn sup f (x).

Как известно, интеграл Лебега — Радона является линейным функционалом, определенным на совокупности ограниченных непрерывных функций;

а именно, мы имеем f (x) + g(x) (dE) = f (x) (dE) + g(x) (dE), R R R ||(R) sup |f (x)|.

f (x) (dE) R Заметим также, что если (E) = 1 (E) 2 (E), то f (x) 1 (dE) f (x) (dE) = f (x) 2 (dE). (1) R R R Введем следующее определение, которым сразу же воспользуемся.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Определение 1. Будем говорить, что функция f (x) охватывает мно жество M, если она непрерывна, ограничена, положительна и всюду на M не меньше единицы.

Условимся говорить, что f (x) следует за g(x), если всюду f (x) g(x).

Тогда совокупность всех функций, охватывающих M, становится направ лением. Действительно, если f (x) и g(x) охватывают M, то min[f (x), g(x)] также охватывает M и следует за f (x) и g(x). Обозначим это направление символом D(M ).

Теорема 1. Для любого линейного функционала L(f ) в нормальном пространстве R существует, и притом единственный, заряд (E) в R такой, что L(f ) = f (x) (dE). (2) R Этот заряд выражается через L(f ) следующим образом: для всех F (F ) = lim L(f ) (3) D(F ) предел по направлению D(F ).

Согласно условию регулярности, задание заряда на замкнутых множе ствах пространства полностью определяет его, так что заряд (E) полно стью определяется формулой (3).


Если функционал L(f ) положителен, то формула (3) может быть перепи сана в более простом виде:

(F ) = inf L(f ). (4) D(F ) Действительно, в этом случае при f (x) g(x) мы имеем L(f ) L(g), так что L(f ) представляет собой монотонно убывающую функцию на направлении D(F ). Предел такой функции совпадает с ее точной нижней гранью.

Доказательство сформулированной теоремы будет завершено, если мы докажем следующие утверждения.

1) Каждому положительному функционалу L(f ) соответствует заряд, определенный формулой (4).

2) Функционал L(f ) выражается через этот заряд формулой (2).

3) Разложив произвольный линейный функционал L(f ) на его положи тельную и отрицательную части, мы можем определить по ним соответ ствующие заряды и, основываясь на формуле (1), представить L(f ) в виде интеграла по разности этих зарядов, т. е. по некоторому заряду. Этот заряд является единственным и определяется формулой (3).

Пункты 2, 3 и 4 содержат доказательства этих утверждений в указан ном порядке.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ — замкнутая система функций, определенных на множестве R Пусть (см. п. 1, § 5). По теореме 1, § 5 мы можем с помощью превратить R в пространство R, на котором функции системы будут непрерывны.

Линейный функционал на может быть продолжен на все непрерывные ограниченные функции на R, а по нашей теореме такой функционал представляется в виде интеграла по заряду в R. Следовательно, из теоремы 1 следует, что каждый линейный функционал на представляется в виде интеграла по заряду в R.

2. Пусть L(f ) — положительный линейный функционал в R. Для каждого F положим (F ) = inf L(f ), (4) D(F ) а для всех остальных E положим (E) = sup (F ). (5) F E Такое определение возможно, так как функция f (x), охватывающая F, по определению положительна и, следовательно, L(f ) 0, поскольку L(f ) — положительный функционал. Поэтому inf L(f ) существует.

D(F ) В этом пункте (E) обозначает функцию, определенную формулами (4) и (5). Нам предстоит доказать, что она представляет собой положительный заряд в R. Согласно теореме 5, § 6, для этого достаточно показать, что 1) (E) = sup (F ) для всех E, и F E 2) (E1 E2 ) = (E1 ) + (E2 ), если существует множество F E1, не имеющее общих с E2 точек.

Лемма 1. Если F1 F2, то (F1 ) (F2 ).

Каждая функция, охватывающая F1, охватывает также и F2 F1.

Поэтому лемма является прямым следствием формулы (4).

Лемма 2. Для каждого E мы имеем (E) = sup (F ).

F E Непосредственно по определению (E) эта формула справедлива для всех E, не являющихся множествами F. Но для множеств F она тоже выполняется. По предыдущей лемме из F F0 вытекает (F ) (F0 ), в то время как F0 является одним из множеств F, содержащихся в F0. Поэтому для всех F0 мы имеем (F0 ) = sup (F ).

F F Лемма 3. Если F1 F2 =, то (F1 F2 ) (F1 ) + (F2 ).

Пусть задано 0. По формуле (4) существует функция f (x), охватывающая F1 F2, такая, что L(f ) (F1 + F2 ) +. (6) § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Пусть f (x) — функция, связывающая F1 с F2, т. е. равная нулю на F1, единице на F2 и заключенная всюду между нулем и единицей. Такая функция существует в силу леммы 2, § 1. Положим f1 (x) = f (x) 1 f (x), f2 (x) = f (x)f (x). Тогда, как это с очевидностью вытекает из свойств функции f (x), f1 (x) D(F1), f2 (x) D(F2), f1 (x) + f2 (x) = f (x).

Следовательно, во-первых, (Fi ) L(fi ) (i = 1, 2) (7) и, во-вторых, L(f ) = L(f1 ) + L(f2 ). (8) Объединяя (6)–(8), получаем (F1 F2 ) + L(f ) = L(f1 ) + L(f2 ) (F1 ) + (F2 ), и ввиду произвольности 0 лемма доказана.

Лемма 4. Если E1 E2 =, то (E1 E2 ) (E1 ) + (E2 ).

Пусть задано 0. По лемме 2 существуют Fi Ei (i = 1, 2) такие, что (Fi ) (Ei ) (i = 1, 2). (9) Поскольку E1 E2 =, мы имеем F1 F2 = и по предыдущей лемме (F1 F2 ) (F1 ) + (F2 ). (10) В то же время в силу включения F1 F2 E1 E2 по лемме 2 мы имеем (F1 F2 ) (E1 E2 ). (11) Объединяя (9)–(11), получаем (E1 E2 ) (E1 ) + (E2 ) 2, и в силу произвольности 0 лемма доказана.

Лемма 5. Если для E1 и E2 существует множество F, содержащее E1 и не имеющее общих с E2 точек, то (E1 E2 ) = (E1 ) + (E2 ).

Пусть F E1 и F E2 =. Возьмем F1 E1 E2 и рассмотрим произвольную функцию f (x), охватывающую пересечение F1 F. Пусть, кроме того, задано, 0 1. Положим {f (x) 1 } = F2. (12) Возьмем функцию g(x), охватывающую пересечение F1 F2. Пусть x F1.

Тогда либо x F1 F2, либо x F1 F2. В первом случае f (x) 1, так как А. Д. АЛЕКСАНДРОВ каждая точка x, для которой f (x) 1, по условию (12) принадлежит F2.

Во втором случае g(x) 1, так как g(x) охватывает F1 F2. Следовательно, f (x) + g(x) 1 (x F1 ), (13) а значит, f (x) + g(x) D(F1).

В силу (4) отсюда следует, что L(f ) + L(g) = L(f + g) (1 )(F1).

Поскольку g(x) обозначает здесь произвольную функцию, охватывающую F1 F2, мы можем заменить L(g) точной нижней гранью всех L(g) и получить L(f ) + (F1 F2 ) (1 )(F1 ). (14) Из соотношений F1 E1 E2 и E2 F = следует, что F1 F E1 F, а поскольку F E1, мы имеем F F1 E1. (15) Остальная часть множества F, т. е. F1 (F F1 ), тем самым содержится в E2.

Функция f (x) охватывает F F1, а значит, множество F2 = {f (x) 1 } не имеет общих с F F1 точек. Следовательно, F1 F2 F1 (F F1 ), а последнее множество, как уже было отмечено, содержится в E2. Поэтому F1 F2 E2, а значит, (F1 F2 ) (E2 ). Из (14) следует, что (1 )(F1 ).

L(f ) + (E2 ) В этой формуле обозначает произвольное число между нулем и единицей, и поэтому мы можем утверждать, что L(f ) + (E2 ) (F1 ). Но здесь f (x) обозначает произвольную функцию, охватывающую F F1, а значит, мы можем заменить L(f ) точной нижней гранью всех L(f ) и получить (F F1 ) + (E2 ) (F1 ). В силу (15) мы имеем F F1 E1 и поэтому (F F1 ) (E1 ). Следовательно, (E1 ) + (E2 ) (F1 ). Множество F1 — произвольное замкнутое подмножество в E1 E2. Поэтому (F1 ) можно заменить точной верхней гранью всех (F1 ), и мы тем самым (E1 E2 ). В то же время по лемме 4 (E1 )+ получаем (E1 ) + (E2 ) +(E2 ) (E1 E2 ) и, следовательно, (E1 ) + (E2 ) = (E1 E2 ), ч. т. д.

Из лемм 2 и 5 на основании теоремы 5, § 6 вытекает Лемма 6. Если L(f ) — положительный линейный функционал в R, то формулы (F ) = inf L(f ), (E) = sup (F ) D(F ) F E определяют положительный заряд в R.

§ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, В следующем пункте мы покажем, что L(f ) является интегралом от f (x) по этому заряду.

3. Лемма 7. Пусть L(f ) — положительный линейный функционал и (E) — заряд, соответствующий ему по лемме 6. Тогда для любой положительной функции f (x) f (x) (dE) L(f ).

R Пусть f (x) 0. Возьмем произвольное натуральное число n и определим целое число mn так, чтобы mn sup f (x). Положим n k Fk = f (x) (k = 0, 1,..., mn ). (16) n Тогда k+1 k Fk Fk+1 = f (x).

n n Поскольку (E) — положительный заряд, из определения интеграла с очевидностью следует, что mn k f (x) (dE) (Fk Fk+1 ) (17) n k= R k является наименьшим среди возможных значений f (x) на Fk Fk+1, n а значит, с последовательными подразбиениями интервала [0, mn ] суммы n могут только возрастать, но в то же время они стремятся к интегралу.

Заметив, что (Fk Fk+1 ) = (Fk ) (Fk+1 ) и что Fmn пусто, легко установить равенство mn 1 mn k (Fk Fk+1 ) = (Fk ), n n k=0 k= а тогда вместо (17) мы получаем mn f (x) (dE) (Fk ). (18) n k= R По лемме 6 мы можем для каждого множества Fk найти такую охватываю щую его функцию fk (x), что (Fk ) L(fk ) (k = 1, 2,..., mn ).

mn А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Суммировав эти неравенства и разделив на n, мы получим mn mn 1 1 (Fk ) L fk. (19) n n n k=1 k= Из определения Fk см. (16) ясно, что Fl Fk при l k. Поэтому функция fl (x), охватывающая Fl, охватывает также и Fk. Следовательно, на Fk все функции fl (x) больше либо равны единице при l k, а так как в то же время все функции fi (x) всюду положительны, на Fk мы имеем mn (x Fk ).

fi (x) k i= С другой стороны, f (x) k+1 на Fk Fk+1. Следовательно, f (x) нигде не n mn 1 может превосходить n i=1 fi (x) более чем на n, т. е.

mn 1 fi (x) + f (x).

n n i= Поскольку функционал L(f ) является положительным, отсюда следует, что mn N L fi L(f ), + n n i= где N — норма функционала L(f ). Объединяя это неравенство с неравен ством (19), получаем mn N + (Fk ) L(f ), n n k= откуда в силу неравенства (18) следует, что N + f (x) (dE) L(f ).

n R Но здесь n является произвольным натуральным числом, а значит, f (x) (dE) L(f ), ч. т. д. (20) R § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Интеграл в левой части неравенства (20) представляет собой положитель ный линейный функционал, так как заряд (E) является положительным.

Неравенство (20) выполняется для всех положительных f (x), а если мы возь мем f (x) = 1 на R, то в (20) будет иметь место равенство. Следовательно, на основании леммы 1, § 5 строгое неравенство в (20) исключается и мы получаем следующее утверждение.

Лемма 8. Если L(f ) — положительный линейный функционал и (E) — заряд, соответствующий ему по лемме 6, то L(f ) = f (x) (dE).

R 4. Пусть теперь L(f ) — произвольный линейный функционал в R.

По теореме 2, § 5 его можно представить в виде разности положительных функционалов:

L(f ) = L+ (f ) L (f ). (21) По лемме 8 функционалам L+ (f ) и L (f ) соответствуют заряды + (E) и (E) такие, что L+ (f ) = L (f ) = f (x) + (dE), f (x) (dE) (22) R R и для всех F + (F ) = inf L+ (f ), (F ) = inf L (f ). (23) D(F ) D(F ) Положим (E) = + (E) (E). (24) По теореме 3, § 6 функция (E) будет зарядом. Из соотношений (21), (22), (24) следует, что L(f ) = f (x) (dE). (25) R Как мы уже отмечали в п. 1, формулы (23) эквивалентны следующим:

+ (F ) = lim L+ (f ), (F ) = lim L (f ).

D(F ) D(F ) Вычитая второе равенство из первого и учитывая, что разность пределов равна пределу разности, мы получаем на основании (21) и (24) (F ) = lim L(f ). (26) D(F ) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Тем самым доказано следующее утверждение.

Лемма 9. Для любого линейного функционала L(f ) в R существует заряд (E) в R такой, что L(f ) выражается через (E) формулой (25), а (E) через L(f ) — формулой (26).

Доказательство теоремы 1 теперь будет полностью завершено, если мы докажем следующую лемму.

Лемма 10. Для любого линейного функционала L(f ) существует лишь один заряд (E) такой, что L(f ) = f (x) (dE).

R Предположим, что имеются два таких заряда — 1 (E) и 2 (E). Полагая 1 (E) 2 (E) = (E), мы получаем для всех f (x) f (x) (dE) = 0, R откуда в силу леммы 11 (см. ниже) следует, что (E) = 0, т. е. 1 (E) = 2 (E), ч. т. д.

Лемма 11. Если для всех f (x) f (x) (dE) = 0, R то (E) = 0.

Возьмем произвольные F и 0. Пусть ||(E) — вариация заряда (E).

Вариация сама является положительным зарядом, и поэтому существует такое множество G F, что ||(G F ). (27) Пусть теперь f (x) — функция, связывающая множество R G с F :

если x R G;

0, f (x) f (x) = 0 1, если x F.

1, Тогда, очевидно, f (x) (dE) = f (x) (dE) + f (x) (dE) + f (x) (dE) = R F G F R G (28) = (F ) + f (x) (dE).

G F § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, f (x) Поскольку 0 1, на основании (27) мы получаем ||(G F ).

f (x) (dE) (29) G F Интеграл в левой части равенства (28) по условию равен нулю, а значит, из (28) и (29) следует, что |(F )|. В силу произвольности 0 мы получаем (F ) = 0. Это верно для каждого F. Далее, ввиду регулярности для каждого E существует F такое, что (F ) сколь угодно близко к (E).

Следовательно, для всех E мы также имеем (E) = 0.

5. Теорема 2. Положительная и отрицательная части заряда, соот ветствующего по теореме 1 функционалу L(f ), являются зарядами, соответ ствующими положительной и отрицательной частям L(f ).

Пусть + (E) и (E) — заряды, соответствующие L+ (f ) и L (f ). По построению, приведенному в начале п. 4, зарядом, соответствующим L(f ), будет (E) = + (E) (E). (30) + (E), (E) (E). Следовательно, для По лемме 9, § 6 + (E) каждой положительной функции f (x) L+ (f ) = f (x) + (dE), f (x) + (dE) R R (31) L (f ) = f (x) (dE) f (x) (dE).

R R В то же время, поскольку (E) = + (E) (E), мы имеем f (x) + (dE) f (x) (dE).

L(f ) = R R Интегралы в левых частях являются положительными линейными функци оналами, а значит, по лемме 6, § f (x) + (dE) L+ (f ), f (x) (dE) L (f ). (32) R R Объединяя (31) и (32), мы получаем на основании леммы 10 + (E) = + (E), (E) = (E), ч. т. д.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ § 8. Заряды в R и в R 1. Как уже отмечалось в § 1 (теорема 4), для любого пространства R существует пространство R, в котором замкнутыми множествами являются только функционально замкнутые множества пространства R. Системы всех непрерывных функций на этих двух пространствах совпадают. Поэтому всякий линейный функционал в R будет также линейным функционалом в R и наоборот. Пространство R всегда является нормальным, а значит, к нему применима теорема 1, § 7. Для пространства R есть две возможности:

либо R является нормальным, либо R не является нормальным. В первом случае теорема 1, § 7 может быть применена и к пространству R. Тогда, если мы имеем линейный функционал L(f ) в R, а значит и в R, то ему соответствует заряд (E) в R и заряд (E ) в R. Какова связь между этими зарядами? Ответ на этот вопрос мы дадим ниже в теореме 1, суть которой состоит в том, что заряд (E) является результатом продолжения заряда (E ) на более обширную алгебру E. Алгебра E, порожденная замкнутыми множествами пространства R, т. е. функционально замкну тыми множествами пространства R, содержится в алгебре E, порожденной всеми замкнутыми множествами пространства R.

В дальнейшем символом E мы обозначаем произвольные множества алгебры E, а символами F и G — соответственно замкнутые и открытые множества пространства R.

Теорема 1. Пусть R — нормальное пространство. Всякий заряд (E) в R определяет заряд в R, равный (E) на алгебре E. Наоборот, для любого заряда (E ) в R существует единственный заряд в R, совпадающий с (E ) на алгебре E. Этот заряд в R определяется данным зарядом в R следующим образом: для каждого F (F ) = lim (F ), (1) {F } где {F } — направление всех F, содержащих F.

Сначала мы докажем общую лемму о зарядах, на которой будет основы ваться доказательство этой теоремы, а затем докажем все три утверждения теоремы.

2. Лемма 1. Если на алгебре E задана аддитивная функция (E) такая, что для каждого G (G) = sup (F ), F G то она является положительным зарядом.

Ввиду теоремы 1, § 6 достаточно показать, что для каждого E (E) = sup (F ). (2) F E § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, Заметим прежде всего, что если для некоторого E эта формула выполнена, то для E = R E мы имеем (E ) = inf (G) (3) GE и наоборот. Действительно, (R E) = (R) (E) = (R) sup (F ) = inf (R F ), F E F E причем R F является множеством G R E при E F.

Обозначим через K0 совокупность всех множеств F и G. Далее, обо значим через K1 совокупность всех множеств, являющихся объединениями конечных семейств множеств F и G или дополнениями этих объединений.

По индукции определяется совокупность Kn+1 всех множеств, являющихся объединениями конечных семейств множеств из Kn или дополнений этих объединений. Из определения алгебры E очевидно, что каждое E E при надлежит некоторому Kn 17). Следовательно, мы можем доказывать фор мулу (2) с помощью индукции.

Покажем сначала, что формула (2) справедлива для множеств из K0. Для множеств G она выполняется по условию. В то же время формула (3) имеет место для R G = F, т. е.

(F ) = inf (G).

GF Следовательно, если F1 F2, то (F1 ) (F2 ), откуда следует, что для каждого F (F ) = sup (F ).

F F Таким образом, формула (2), а значит и формула (3), справедлива для множеств F и G.

Пусть теперь обе эти формулы (2) и (3) справедливы для множеств, входящих в Kn. Покажем, что тогда они будут верны для объединений конечных семейств этих множеств. Пусть заданы Ei Kn (i = 1, 2,..., m) и 0. Согласно формулам (2) и (3), которые по предположению справедливы для Ei, существуют такие Fi и Gi, что Fi Ei Gi и (Ei ) (Gi ) (Fi ) + (i = 1, 2,..., m). (4) m m 17) С учетом формулы R (A B) = (R A) (R B) операция пересечения сводится к операциям объединения и дополнения. Поэтому мы получаем все множества, которые можно построить из F и G с помощью этих операций, примененных конечное число раз, т. е. алгебру E.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Положим m m m E= Ei, F= Fi, G= Gi.

i=1 i=1 i= Тогда в силу леммы 5, § 6 на основании неравенств (4) мы можем заключить, что (F ) + (E) (G), где F E G. Следовательно, sup (F ) (E) inf (G).

GE F E Но благодаря формуле (2) для множеств G мы имеем sup (F ) inf (G), GE F E а значит, наконец, (E) = sup (F ) = inf (G).

GE F E Таким образом, формулы (2) и (3) доказаны для объединений конечных семейств множеств из Kn. Согласно сделанному выше замечанию, они тогда выполняются и для дополнений этих объединений. Следовательно, они справедливы для всех множеств из Kn+1, ч. т. д.

3. Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Мы рассматриваем нормальное пространство R;

F и G — замкнутые и открытые множества в R.

Лемма 2. Пусть (E) — заряд в R. Для любого множества F и любого содержащего его множества G существует заключенное между ними множество F (т. е. F F G) такое, что (E) = (F ) для всякого E, заключенного между F и F.

Пусть заданы F0 и G0, G0 F0. На основании теоремы 4, § 6 существует последовательность открытых множеств Gn, заключенных между F0 и G0 и таких, что для всякого E, заключенного между F0 и G0, |(F0 ) (E)| (F0 E Gn G0 ). (5) n Пусть fn (x) — функция, связывающая F0 с R Gn. Множество Fn = = {fn (x) = 0} функционально замкнуто и заключено между F0 и Gn.

Следовательно, для каждого n F0 Fk Gn G0.

k= Поскольку n может быть сколь угодно велико, на основании (5) мы заключа ем, что если F0 E Fk, то (E) = (F0 ). Так как пересечение счетного k= § АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ГЛ. II, числа функционально замкнутых множеств функционально замкнуто, лем ма доказана.

Лемма 3. Пусть (E) — положительный заряд в R. Для любого G мы имеем (G) = sup (F ).

F G Согласно теореме 1, § 6, (G) = sup (F ).

F G Но по лемме 2 для каждого F G существует F G такое, что (F ) = = (F ). Лемма доказана.

Теперь мы можем доказать первую часть теоремы 1, а именно тот факт, что заряд в R определяет на алгебре E заряд в R.

Пусть (E) — заряд в R и пусть + (E), (E) — его положительная и отрицательная части. Поскольку алгебра E содержится в алгебре E, + (E) и (E) определены и аддитивны на E. В то же время по лемме 3 для каждого G + (G ) = sup + (F ) F G и аналогично для (G ). Следовательно, на основании леммы 1 мы заключаем, что + (E) и (E) представляют на E заряды в R. Тогда их разность (E) также представляет на алгебре E заряд в R.

Докажем теперь вторую часть теоремы 1, а именно тот факт, что каждый заряд в R имеет продолжение на алгебру E, являющееся зарядом в R.

Пусть (E ) — заряд в R. Интеграл от ограниченных непрерывных функций на R по этому заряду будет линейным функционалом как в R, так и в R, поскольку непрерывные функции на R и на R одни и те же.

Этому функционалу в R по теореме 1, § 7 соответствует заряд (E) в R.

По доказанному выше этот заряд определяет на алгебре E заряд (E ) в R. Поскольку интегралы по (E) и по (E ) совпадают, а в вычисле нии интеграла участвуют только лебеговские множества подынтегральной функции, причем они являются множествами из E, мы заключаем, что ин тегралы по (E ) и по (E ) совпадают. Следовательно, по лемме 10, § (E ) = (E ), т. е. заряд (E) является продолжением заряда (E ) на алгебру E. Тот факт, что заряд, продолженный на E, определяется форму лой (1), непосредственно вытекает из леммы 2.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 23 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.