авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«ФИЗИКА Ю.Н. Прошин кафедра теоретической физики Казанского федерального университета yurii.proshin ...»

-- [ Страница 2 ] --

В тексте квалификационной работы рекомендуется чаше применять красную строку, выделяя законченную мысль в самостоятельный абзац. Слишком много цитат в работе приводить не следует, цитирование используется как прием аргументации. В случае необходимости можно излагать чужие мысли своими словами, но и в этом варианте надо делать ссылку на первоисточник.

Для наглядности в дипломную работу обязательно должны быть включены таблицы, рисунки и графики. Графики выполняются четко, красиво, желательно в цвете, в строгом соответствии с требованиями деловой документации.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Оформление выпускной квалификационной работы.

Нумерация таблиц, графиков и рисунков (отдельно для таблиц, рисунков и графиков) должна быть сквозной на протяжении всей дипломной работы.

Слово "таблица" и ее порядковый номер (без знака №) пишется сверху самой таблицы в правой стороне. Затем дается ее название и единица измерения (если она общая для всех граф и строк таблицы). При ссылке на таблицу следует указать номер таблицы. Разрывать таблицу и переносить часть ее на другую страницу можно только в том случае, если она целиком не умещается на одной странице. При этом на другую страницу переносится и шапка таблицы, а также заголовок "Продолжение таблицы". Если таблица или рисунок заимствованы, делается обязательная ссылка на первоисточник (по правилам цитирования). Формулы расчетов в тексте надо выделять, записывая их более крупным шрифтом и отдельной строкой, давая подробное пояснение каждому символу (когда он встречается впервые).

Рекомендуется нумеровать формулы в пределах каждого раздела, особенно, если в тексте приходится на них ссылаться.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Оформление выпускной квалификационной работы.

Объём В бакалаврской работе или магистерской диссертации должно быть не менее 30 страниц. Верхний предел не регламентируется, но разумно не более страниц для бакалаврской и 80 страниц для магистерской работ. Приложения имеют произвольную длину (в пределах разумного).

Страницы должны быть переплетены, подшиты или иным образом культурно скреплены. Желательно, чтобы работа была в обложке. Нельзя представлять работу в виде россыпи листов! Пусть даже положенных в папочку. Или в папке, из которой работу надо извлекать, чтобы читать.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Оформление выпускной квалификационной работы.

Стиль изложения Стиль работы должен быть академическим, без риторических вопросов, многоточий, обращений к читателю и лирических отступлений.

Речь должна идти от третьего лица. Не следует писать: “Я получил следующие результаты:…”. Надо писать: “Были получены следующие результаты:…”. Либо: “Автором были получены следующие результаты:…”.

Либо: “В данной работе были получены следующие результаты:…”. И т.п.

Когда описываются текущее состояние дел в изучаемой области или научной группе, в которой выполнялась работа, следует использовать настоящее время. А когда речь идет о результатах, полученных лично автором, следует использовать прошедшее время. Например: “Имеющийся алгоритм быстрого преобразования Фурье не позволяет осуществлять двумерное преобразование Фурье. Разработанный алгоритм позволил проводить такое преобразование”.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Оформление выпускной квалификационной работы.

Титульный лист Министерство образования и науки Российское Федерации КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НАЗВАНИЕ ФАКУЛЬТЕТА НАЗВАНИЕ КАФЕДРЫ Специальность (направление): шифр -- название Специализация: шифр — название ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА (Дипломная, бакалаврская работа или магистерская диссертация) ТЕМА Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Оформление выпускной квалификационной работы.

Титульный лист Работа завершена:

«_»_201_г. (И.О. Фамилия) Работа допущена к защите:

Научный руководитель, ученая степень, ученое звание, должность «_»_201_г. (И.О. Фамилия) Заведующий кафедрой, ученая степень, ученое звание «_»_201_г. (И.О. Фамилия) Казань — Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Оформление выпускной квалификационной работы.

Доклад. Содержание Начинать следует с актуальности темы.

Первую фразу доклада следует заучить наизусть, чтобы не пришлось мучительно изобретать, о чем начинать говорить.

После актуальности следует сформулировать цель работы и решаемые задачи (прямо по тексту работы).

Далее рассказывать по очереди по решаемым задачам – в основном об оригинальных результатах, полученных докладчиком.

В конце четко сформулировать полученные результаты (прямо по тексту работы). Их можно заучить, но разрешается и зачитать.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Оформление выпускной квалификационной работы.

Доклад. Репетиция Следует подготовить 3-7 слайдов с важнейшими рисунками и формулами.

Учтите, что при показе мелкие детали рисунков и мелкий шрифт будут не видны! Следует писать как можно крупнее, а линии на рисунках делать жирными.

Время доклада определяется ведущим заседание и обычно составляет для бакалаврских работ 8-10 минут, для магистерских 10-15 минут.

Доклад следует 1-2 раза отрепетировать вслух без свидетелей, засекая время выступления. При этом учитываются все паузы и сбои в рассказе. Если удается уложиться в запланированное время (лучше рассчитывать на минимальное, а не на максимальное), можно попробовать рассказ перед зрителями.

Во время репетиции следует выступать по слайдам!

Рассказывая, не пытайтесь рассказать все, что вы знаете. Излагайте только самое главное.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Оформление выпускной квалификационной работы.

Доклад. Выступление Старайтесь стоять лицом к аудитории. Не поворачивайтесь спиной к аудитории.

Если во время доклада вы сбились и не можете закончить предложение, не пытайтесь его закончить. Начинайте следующую мысль. Это произведет гораздо лучшее впечатление на слушателей, чем долгие паузы и попытки закончить предложение.

Не чешитесь, не ковыряйте в носу или ухе, не переминайтесь с ноги на ногу, не ходите туда и обратно, и т.п. Это не шутка: в момент напряжения люди часто себя не контролируют.

Говорите громко и отчетливо, чтобы вас было слышно. Говорите не торопясь, не тараторьте! Но в то же время не слишком медленно, без больших пауз.

В самом конце доклада скажите: “Спасибо за внимание”.

Не следует в конце доклада выражать благодарности. По регламенту после доклада идут вопросы к докладчику, выступления научного руководителя, рецензента, а затем студенту предоставляется заключительное слово.

Благодарности следует выражать именно во время заключительного слова. И не надо это делать слишком долго.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Презентации (ну, очень субъективно) (советы "знающих" людей) Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # I Содержание подготовки Этапы подготовки презентации:

1. Продумывание структуры 2. разработка содержания 3. Выбор стиля 4. Подбор иллюстративного материала.

Компоненты презентации:

1. Открывающая часть 2. Введение 3. Основная часть 4. Заключение · Подведение итогов · Список использованных источников · Благодарности Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Части Открывающая часть - приглашает аудиторию уделить внимание сообщению и представляет докладчика ("Культура щелчка") Введение - мост, ведущий к основной части, предвосхищает главные мотивы презентации.

Открывающая часть и введение готовят аудиторию к восприятию основной части.

Основная часть - информационный блок - состоит из трех элементов:

· Ключевые пункты · Поддерживающий материал · Переход - мост, по которому аудитория переключается от одного ключевого пункта к другому Заключение - решающее давление на аудиторию и церемониальные действия Подведение итогов - вновь перечисляет ключевые пункты (кратко) и выводы Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Порядок разработки:

Основная часть представляет цели работы и концепцию исследования Введение - объявляет о ключевых пунктах (в подведении итогов они повторяются) Открывающая часть - тема сообщения и подготовка аудитории Благодарности – возможность выразить признательность руководителю, консультантам, а также тем авторам, чьи материалы были использованы.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Совет психолога Правило Трех: любое крупное сообщение передает не более трех ключевых пунктов (не перенасыщать сообщение – все равно запоминается 10% от услышанного) Свежие идеи по разработке:

· свободный набросок · индексные карточки · самоклеящиеся листки · хождение и разговор Открывающая часть - остроумная шутка, цитата, декларация, определение, риторический вопрос, аудиовизуальный эффект.

Это называется «эффект края»: лучше всего запоминаются яркое начало и (или) конец.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # II Подготовка компьютерной презентации Не поддавайтесь искушению заменить презентацию ТЕХНОЛОГИЕЙ!

Презентация - это процесс установления связей через общение.

Чем больше внимания привлекает техника и наглядность, тем меньше внимания аудитория обращает на оратора.

И наоборот, чем лучше выбраны эффекты для подчеркивания отдельных тезисов, тем выше эффект, произведенный презентацией.

1. 6 подпунктов максимум 2. Специальное выделение (буллиты) 3. Используйте для названий и текста только ключевые слова!

4. Следует ограничить использование ТОЛЬКО ЗАГЛАВНЫХ БУКВ 5. Не злоупотребляйте ярким фоном там, где это отвлекает от содержания.

Помните о сочетаемости цветов и физиологии восприятия.

6. Выбирая эффекты, думайте о тех, на кого они рассчитаны!

7. Подумайте об управлении презентацией – ассистент может облегчить Ваш доклад 8. Продумайте заранее, где Вы будете стоять во время показа.

И помните: не следует читать содержание слайда (это могут сделать 9.

сами слушатели), лучше комментируйте его тезисы!

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # говорим только про самое важное (цели, постановки, способы достижения, доказательства, выводы), перед ключевыми моментами обязательно делаем паузы, обязательно зрительный контакт с аудиторией :) Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # • Идеально никаких лишних деталей, заголовок, содержание, логотип организации, может быть какие-то линии отделяющие элемены друг от друга. Никакого фона.

• Основные цвета — чёрный и белый, соответственно текст и фон. Эти цвета обладают максимальной контрастностью, поэтому видны практически во всех условиях. Ещё стоит помнить, что цвет экрана белый, поэтому сделав чёрный фон вы получите его цвета равной общей освещенности в зале, а она далеко всегда равна нулю. Вы не Стив Джобс, не выпендривайтесь:) • Естественно никакой анимации, это раздражает, если это только не демонстрация какого-то процесса. 3D картинки — это впечатляет и очень красиво, главное чтобы крупные и контрастные.

• На каждом слайде добавьте колонтитул с названием доклада и авторами.

Если кто-то опоздал или проболтал начало он хотя бы будет знать как найти докладчика для вопросов.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # • Минимум текста? Его читать?

В аудитории наверняка будет несколько визуалов, которые написанное на слайде воспримут/запомнят гораздо лучше, чем слова докладчика.

• Далее, правильный текст на слайде (то есть краткий) позволяет быстро понять, о чём будет речь ближайшие 2-3 минуты.

• Хорошо бы еще иметь и карту (map) презентации Кроме того, структура текста на слайде дополняет «плоскую» речь: сразу понятно, что к чему относится и подклассом чего является.

• Хорошей идей будет на последнем слайде расположить маленькие изображения всех слайдов. Потому что вопросы обычно начинаются типа: на таком-то слайде, где было то-то.

• Ну и формат желательно pdf, вы не столкнётесь с тем что на компьютере не будет нужных шрифтов, нужной версии PP или что-то подобного.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # 1.Принцип 10/20/30.

Коротко принцип расшифровывается как 10 слайдов в презентации, 20 минут времени на презентацию, 30 шрифтом набран текст на слайде.

Проблема в том, что это правило в основном нацелено на крупные презентации для клиентов, инвесторов. Для демонстрации малых презентаций, в узком, «семейном» кругу, нужно уложиться в 2 раза меньшие сроки. Самые красивые мини-презентации, которые я видел, укладывались на 3 слайдах и в 5- минутах. Главное в цифрах 10/20, это продолжительность слайда. Она должна быть не более 2х минут, но и желательно не менее этого же времени. Если вы не можете объяснить слайд за 2 минуты, разбейте его на несколько слайдов.

Если вы о слайде говорите менее минуты – соедините его с другим слайдом, или выбросьте его.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # 2. Лучшая презентация – отсутствие презентации.

На презентацию народ собрался выслушать вас и увидеть шоу. Не подсовывайте ему презентацию. Это главный принцип презентаций. Если вы показываете макет – покажите макет. Если показываете рабочую систему – покажите как хороша ваша система. Если фишку – покажите фишку и как её сделать. Если готовите гимн компании – спойте его, наконец. А вот если вам нечего показать, или показать что-то в живую очень сложно, соберите презентацию. Ну а уж если пошла такая сборка, то запомните: Презентация – это вы и ваш рассказ, то, что показывается на стене — это дополнительные материалы. Поэтому предпочтительнее использовать на презентационных слайдах объекты в следующем порядке: схема, рисунок, график, таблица, текст. Да, да, текст на презентации нужно использовать только тогда, когда по-другому сказать не получается, а не тогда когда нужно что то сказать.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # 3. Не создавайте кашу на слайде Вы помните магическое число семь плюс-минус два? Этот психологический принцип понимания должен лежать и в ваших слайдах. Слайд должен состоять не более чем из 5 объектов. Именно из пяти, а не из семи или, упаси вас бог, из девяти, т.к. «кошелек» памяти человека состоит из 5 односложных слов.

Если на слайде нарисована схема, то попробуйте упростить схему до (5-N) блоков или связей между ними, в зависимости от того на чем вы заостряете внимание. Если на слайде рисунок, то на нем должно быть не более (5-N) различимых отдельных объектов.

Графики, диаграммы и таблицы способны в 1,5 раза лучше запоминаться мозгом, т.к. состоят преимущественно из цифр. Поэтому если вы используете графики в своей презентации, то, на мой взгляд, допустимо использовать не более (5 N)*1.5 значений. Не поленитесь подписать вашу диаграмму, лично я, да и не я один, не люблю графики без подписей и чисел, когда я не вижу цифр, я пугаюсь, чувствуя, что меня обманывают.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # 4. Не клепайте пустой слайд.

Тут я выскажу свое мнение. В институте, на дипломе, нас учили, что презентация должна заканчиваться пустым слайдом со словами «Ваши вопросы?». Так вот, нет ничего понятнее и приятнее когда слайды закончатся, и возникнет черный цвет или общая диаграмма презентации и возникший из темноты ведущий скажет: «Пожалуйста, задавайте ваши вопросы». Зачем это еще и читать? Они же, в конце концов, не даун-дауны… Также не надо создавать «дзен» презентации, состоящие из слайдов, на которых есть только один заголовок, без схем и детализирующих рисунков. По крайней мере, это просто глупо выглядит.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # 5. Будьте стильными.

Почти в каждой фирме есть «брендбук», по которому дизайнером любовно подготовлен шаблон для презентаций. На худой случай, в Microsoft PowerPoint 2003 существует около 40 стандартных тем и 6 цветовых оформления к ним. И все же, подавляющее большинство программистов используют стандартную схему: белый цвет презентаций и черные буквы на нем.

Контрпример этого пункта – презентация в стиле детских блогов на LiveInternet.

Не сочетающаяся смесь шрифтов, цветов и фоновых картинок бьет по мозгу также как heavy metal, исполненный классическим симфоническим оркестром.

Конечно же, есть любители такого креатива, но большинство все же предпочитает классику. Пытайтесь избегать в деловых презентациях ярких цветов и неестественных шрифтов.

Особое внимание уделите заголовку. Идеальным заголовком считается заголовок, выполненный тем же самым шрифтом, почти тем же самым цветом и немного, процентов на 30, увеличенным размером.

Немного по картинкам. Ваши слушатели догадываются, что вы знаете, где находиться пункт меню вставки рисунка. Поэтому, прежде чем вставлять рисунок в каждый слайд, подумайте, стоит ли он того. Подумали? Подумайте еще раз.

Конечно, одна картинка заменяет 1000 слов, но заменит ли она их в данном случае? И самое главное: гармонично ли она сочтется стилем и цветовой Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # 6. Избегайте излишней анимации Я не знаю, какой злой гений придумал движущуюся анимацию в презентациях.

Никаким вылетом фразы из-за границы экрана не заменить оратора, а вот отвлечь от хода повествования – запросто.

Движущейся объект для человека, как для любого животного, это либо еда, либо опасность.

Поэтому человек отвлекается на него подсознательно, забыв и ход повествования и что нужно слушать рассказчика, особенно, если дело идет к обеду. Не стоит отвлекать внимание человека от темы. Оставьте анимацию профессионалам. Лично я ни разу не видел уместное использование такой анимации в презентациях, которую готовил «не дизайнер».

И самый главный принцип: Ни одна презентация не заменит человеческого общения.

Удачных вам выступлений.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Магическое число семь плюс-минус два «Магическое число семь плюс-минус два»

(«кошелёк Миллера») — закономерность, обнаруженная американским учёным-психологом Джорджем Миллером, согласно которой кратковременная человеческая память, как правило, не может запомнить и повторить более 7 ± элементов.

Эта закономерность была изложена в его работе The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on our Capacity for Processing Information, увидевшей свет в 1956 годув Psychological Review.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Магическое число семь плюс-минус два Джордж Миллер во время своей работы в Bell Laboratories провел ряд экспериментов, целью которых был анализ памяти операторов. В результате опытов он обнаружил, что кратковременная память человека способна запоминать в среднем девять двоичных чисел, восемь десятичных чисел, семь букв алфавита и пять односложных слов — то есть человек способен одновременно помнить 7 ± 2 элементов.

Таким образом, кратковременная память — «кошелёк», в который можно «положить» одновременно семь «монет». Причём память не пытается анализировать смысл информации, важны лишь внешние, физические характеристики, то есть не важно, какие «монеты»

находятся в «кошельке» — доллар или цент, главное чтобы их было семь. Если количество элементов больше семи (в крайнем случае, девяти), то мозг разбивает элементы на группы таким образом, чтобы количество запоминаемых элементов было от 5 до 9.

Неожиданно, аналогичное правило было обнаружено для муравьёв: они способны запоминать и передавать сообщения длиной до 7 бит Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Успехов!

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # Вместо эпилога:

Если птица ходит, как утка, крякает, как утка, то, возможно, это и есть утка Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5 # ФИЗИКА Ю.Н. Прошин кафедра теоретической физики Казанского федерального университета yurii.proshin@kpfu.ru 2004-2013, Казань Kazan University 1804- Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6 # Решение дифференциальных уравнений Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Основные определения dy f ( y, x) (1) y ( x0 ) y0 (2) dx где y – зависимая переменная, x – независимая переменная, f(y,x ) – функция производной = правая часть, x0 - начальное значение независимой переменной, y0 - начальное значение зависимой переменной.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Основные определения Метод Эйлера • Пусть задано уравнение dy f (t, y ), t0 t tn, y ( t0 ) y dt Решение будет искаться в виде yk+1 k yk yk 1 y (tk ) h f (tk, yk ), yk k где h – шаг сетки, f (tk, yk) = tg k и h*tg k = yk • Ошибка дискретизации ~ h h tk tk+ Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Основные определения dy e t y (3) y (t0 ) y0 (4) dt Уравнение (3) – дифференциальное уравнение •первого порядка •линейное •в обыкновенных производных •с зависящими от нез. переменной коэффициентами Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Основные определения dy e t y (3) y (t0 ) y0 (4) dt Метод численного решения – замена производных разностями Простейший метод – метод Эйлера – погрешность ~t = h y k 1 y k f (tk ) yk 1 yk tk 1 tk f (tk ) (5) t k 1 t k y (t0 ) y0, tk 1 tk t h (6) yk 1 yk exp( tk ) yk h, y (t0 ) y0 (7) Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Решения 2. 2. 2. 2. 1. Euler 1. y RK 1. 1. 1. 0. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1. t Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Решения 2. 2. 2. 2. 1. Euler 1. y RK 1. Точное решение 1. 1. 0. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1. t Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Дифференциальные уравнения.

• Общий случай dy F( y, x, a, b, c,...,,,,...) dx y(x 0 ) y •Роль дифф. уравнений в физике (рост, убывание, стремление к равновесию,…, механика, молекулярная физика, квантовая механика, электродинамика, …. ).

•Примеры Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Танцы звезд • Задача многих тел.

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

N N d ri mi m j mi ri Fij rij, i 1,, N mi 2 dt rij j 1 j H p j q N N 2 2 pix piy piz mi mk H j j 1,, n, 2mi rik q j H i 1 i,k i k p j Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Танцы звезд • Задача многих тел. (3 тела).

Уравнения Ньютона или Гамильтона Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Танцы звезд • Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Танцы звезд • Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Танцы звезд • Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Сеточные функции y yn y 0 y1 y g(x)...

a x b x1 x • Пусть задана непрерывная функция g(x) на участке [a,b].

• Введем дискретный набор точек xi, сетку.

• Точки {x0,x1,x2,…xn} – узлы сетки • Сетка с одинаковым расстоянием между произвольной парой соседних точек – равномерная сетка.

• yi=g(xi) – сеточная функция, задаваемая в виде таблицы.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Разности • Можно ввести аналог производной для сеточной функции df dx yi yi 1 yi - правая разность dx xi • Также задается yi yi yi 1 - левая разность 1 yi (yi yi ) ( yi 1 yi 1 ) - центральная разность 2 • В общем случае m yi ( m 1 yi ) Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Разности Полезные выражения • Производные второго порядка yi yi 1 2 yi yi 1 yi 2 yi 2 yi yi 2 2 yi 1 yi • Дифференцирование произведения ( yi vi ) yi vi vi 1yi yi 1vi vi yi ( yi vi ) yi vi vi 1yi yi 1vi viyi • Суммирование по частям N 1 N 1 N y v vi yi y N 1vN y0v1 vi yi y N vN y0v i i i 0 i 1 i Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Разностные уравнения • Линейное разностное уравнение m-го порядка a0 (i ) yi a1 (i ) yi 1 a2 (i ) yi 2... am (i ) yi m f (i ) или 0 (i ) yi 1 (i )yi 2 (i )yi2... m (i )yim f (i ) • Например a0 (i ) yi a1 (i ) yi 1 f (i ) - уравнение первого порядка yi 1 (i ) (i ) yi Решение Если задано граничное условие y0=const, все остальные значения находятся последовательно Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Разностные уравнения Граничные условия • Аналогично дифференциальным уравнениям чтобы найти частное решение требуется задать граничные условия.

- уравнение первого порядка – один параметр - уравнение второго порядка – два параметра и т.д.

• Согласно заданным условиям уравнения второго порядка можно классифицировать как - Задача Коши. Заданы граничные условия в двух соседних точках.

- Краевая задача. Заданные точки не являются соседними.

• Граничные условия могут быть первого, второго и третьего рода.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Уравнения первого порядка Метод Эйлера • Пусть задана система уравнений dyi yi ( a ) i f i ( x, y1 ( x ), y2 ( x ),... yn ( x )), i 1,..., n, a x b, dx (здесь yi – разные функции) • Решение будет искаться в виде yi ( xk 1 ) yi ( xk ) h f i ( xk, y1 ( xk ), y2 ( xk ),... yn ( xk )), где h – шаг сетки • Ошибка дискретизации ~h Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Методы Рунге-Кутта q y ( xk 1 ) y ( xk ) pi ki (h) - общая формула, где i k1 (h) h f x;

y ;

k 2 (h) h f x 2 h;

y 21k1 ;

k3 (h) h f x 3 h;

y 31k1 32 k 2 ;

..........................................................

k n (h) h f x 3 h;

y n1k1 n 2 k 2 n 3 k3...;

2... q ij 0 jiq - константы p1... pq Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Методы Рунге-Кутта Выбор параметров Введем функцию погрешности метода i (h) y ( x h) y ( x) p1k1 (h) p2 k 2 (h)... pi ki (h);

Будем искать коэффициенты из условия чтобы (0) (0)... ( s ) (0) 0, ( s 1) (0) тогда ( s ) ( 0) ( s 1) (h) ( s 1) (h) s ( h) s h s h s h ( s 1)! ( s 1)!

s!

i Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Уравнения первого порядка Методы Рунге-Кутта • Метод Рунге-Кутта второго порядка (Метод Хьюна) ~ h h y ( xk 1 ) y ( xk ) f ( xk, y ( xk )) f xk 1, y ( xk ) h f ( xk, y ( xk )), • Метод Рунге-Кутта-Фельберга ~ h 1 9 16 k0 h f xi ;

yi ;

y ( xi 1 ) y ( xi ) k0 k 2 k3 k 9 20 45 2 2 1 k1 h f xi h;

yi k0 ;

k 2 h f xi h;

yi k0 k1 ;

9 9 12 3 69 k3 h f xi h;

yi k0 k1 k 2 ;

4 128 128 17 27 k 4 h f xi h;

yi k0 k1 k 2 k3 ;

12 4 5 Ю.Н. Прошин С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ.

и # Линейные уравнения второго порядка • Например уравнение дрифт-диффузии n J t x n 2n n E D 2 qn E qn n n t x x x J q n nE n k BT x это уравнение в частных производных. Можно решать стационарное уравнение, приравняв нулю производную по времени.

2n n A Bn x 2 x n( xi 1 ) 2n( xi ) n( xi 1 ) n( xi 1 ) n( xi 1 ) Ai Bi n( xi ) h 2h Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Линейные уравнения второго порядка 2D уравнение Пуассона 2u 2u - уравнение в частных производных 2 f ( x1, x2 ) x1 x Функция u определена на всей границе – задача Дирихле u | B ( x1, x2 ) Разностное уравнение y (i1 1, i2 ) 2 y (i1, i2 ) y (i1 1, i2 ) y (i1, i2 1) 2 y (i1, i2 ) y (i1, i2 1) f (i1, i2 ) 2 h1 h Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Линейные уравнения второго порядка Метод прогонки • ai yi 1 ci yi bi yi 1 f i Разностное уравнение y0 1 y1 1, y N 2 y N 1 с граничными условиями можно представить в виде матричного уравнения 1 1 0 y0 0... 0 0 y1 f a1 c1 b1... 0 0 y2 f 0 a c2... 0.........

..................

0 y N 2 f N 0... c N 2 bN 0 0 bN 1 y N 1 f N 0 c N... a N 0 2 1 y N 0 0 0... Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Метод прогонки Алгоритм • yi i 1 yi 1 i Выберем соотношение где коэффициенты определены как a fi bi i 1 ;

i 1 i i ;

ci ai i ci ai i с граничными условиями 1 1 ;

1 1 ;

• За один проход - можно расcчитать все коэффициенты i i.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Метод прогонки Алгоритм • yi i 1 yi 1 i Теперь идем - и считаем где yN находится из граничных условий 2 2 N yN 1 N Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Пример Структура Gate Metal Schottky Layer AlxGax-1As n (~20nm) Doping Layer AlxGax-1As n+ (~8nm) Buffer Layer AlxGax-1As n- (~6nm) Source Drain Channel Layer GaAs n- (~20nm) Substrate Layer AlxGax-1As n- (~50nm) Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Пример Задача Рассчитать константы спин-орбитального взаимодействия в полупроводниковой гетероструктуре с металлическим затвором, как функции напряжения на затворе.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Спин-орбитальное взаимодействие V ( p ) H SO - общий вид (2m0 c) - формула специфичная для III-V H D ( k zi ) k y k x x y полупроводниковых гетероструктур ( k zi ) k zi - константа спин-орбитального взаимодействия Параметр определяется зонной структурой полупроводника Задача сводится к нахождению волновых функций электронов локализованных в квантовой яме Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Band structure Металл/полупроводник Полупроводник/полупроводник Xs E o X m Xs Vb o X b i s E c E METAL Semiconductor f E v Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Уравнения qE qE n n n k BT kBT Уравнение дрифт-диффузии:

J n qn nE n k B T n 0 r e ( p n N d N a ) Уравнение Пуассона:

, 2 1 k (V Ek ) k Уравнение Шрёдингера: 2 m* Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Алгоритм Initialize doping concentration Микроскопическая Efn calculation Poisson Equation модель Schrцdinger Equation Does electron density converge No Yes Continuity and Transport Equations Макроскопическая No Does electron density converge модель Yes Calculate Spin Orbit terms End Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Результаты Vg = 0 V Vg = 0.5 V 1.6 1. 1. 0. 1. 0. Energy (eV) Energy (eV) psi_sch 1 ef Esub# 0. Esub# Esub# psi_sch ef 0. Esub#1 0. Esub# Esub# 0. 0. 0. 0. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 x (nm) x (nm) Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Результаты Константы С-О взаимодействия Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # Литература Д. Поттер, Вычислительные методы в физике.

Н. Н. Калиткин, Численные методы.

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные методы.

Р.П. Федоренко, Введение в вычислительную физику.

Самарский А.А., Введение в численные методы.

Ортега Дж., Пул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.

Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # The End Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция ЧМММ. # ФИЗИКА Ю.Н. Прошин кафедра теоретической физики Казанского федерального университета yurii.proshin@kpfu.ru 2004-2013, Казань Kazan University 1804- Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # MatLab: решение дифференциальных уравнений и другие демонстрации (?) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Простой пример В качестве самого простого примера приведем решение следующего уравнения dy 2 xy dx y (0) с начальным условием x y ( x) e и аналитическим решением Возможный формат вызова процедуры решателя в MatLab:

[T,Y]=ode45(@DiffEquatFunc,[Tstart,Tfinal],StartVector).

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Простой пример Снимок экрана, который соответствует численному решению этой задачи в системе MatLab.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # В общем случае, процедура ode45 может решать систему уравнений следующего вида:

d X(t ) F (t, x1, x2,..., xn ), dt x1 (t ) x2 (t ) где X (t ) – вектор-столбец....

xn (t ) F(t, x1, x2, …, xn) – функция-столбец, зависящая от времени и компонент вектора x.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Заметим, что уравнение (1) можно решить в MatLab и символьно.

Приведем часть командного окна, где была вызвана стандартная процедура dsolve dsolve('Dy=-2*t*y','y(0)=1') ans = exp(-t ) Здесь также использовано начальное условие.

Видим, что с точностью до переобозначения x t результат совпадает с приведенным выше.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Решатели диф. уравнений в MatLab (solvers) Для решения систем ОДУ в MatLAB реализованы различные методы.

Их реализации названы решателями ОДУ. Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений:

dy F( y, t ) dt y (t0 ) y y (t ) { y1 (t ), y2 (t ),... yn (t )} ?

Все решатели (ode45, ode23, ode133, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb ) могут решать системы уравнений явного вида y’ = F(t, y).

Решатели ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb могут решать уравнения неявного вида F(t, y, y’ ) = 0.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Решатели диф. уравнений в MatLab (solvers) • ode45 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка {начальная проба решения}. Во многих случаях он дает хорошие результаты;

• ode23 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 3-го порядка. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот метод может дать выигрыш в скорости решения;

• ode133 – многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения;

• ode15s – многошаговый метод переменного порядка (от 1-го до 5-го, по умолчанию 5), использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения;

• ode23s – одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности;

• ode23t – метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты при решении задач, описывающих осцилляторы с почти гармоническим выходным сигналом;

• ode23tb – неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем. При низкой точности этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Пусть некоторая точка массы m с зарядом q движется в электрическом поле двух неподвижных зарядов Q1 и Q Q m,q V r R Q r Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона qQ1 qQ mR 3 R r1 3 R r R r1 R r Q m,q V R-r r R-r R Q r Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона qQ1 qQ mR 3 R r1 3 R r R r1 R r R V V Q1 R r Q 3 R r R r1 R r Пусть масса частицы m = 1, ее заряд q = 1. Перейдем к безразмерным единицам, и будем считать, что данная задача является "плоской".

Введем следующие обозначения:

r1 (C1x,C1y )ВычФиз Лекции 2 x,C2 y ),r (C V ( x3, x4 ) R ( x1, x2 ) Ю.Н. Прошин # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона x1 x x x Q1 ( x1 C1 x ) Q2 ( x2 C2 x ) x3 ( x1 C1x ) ( x2 C1 y ) ( x1 C2 x ) ( x2 C2 y ) 2 22 2 Q1 ( x1 C1 y ) Q2 ( x2 C2 y ) x4 ( x1 C1 x ) 2 ( x2 C1 y ) 2 2 ( x1 C2 x ) 2 ( x2 C2 y ) 2 Пусть масса частицы m = 1, ее заряд q = 1. Перейдем к безразмерным единицам, и будем считать, что данная задача является "плоской".

Введем следующие обозначения:

r1 (C1x,C1y )ВычФиз Лекции 2 x,C2 y ),r (C V ( x3, x4 ) R ( x1, x2 ) Ю.Н. Прошин # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Рассмотрим простейший случай финитного движения с Q1 = –50, Q2 = 0, С1 = (5,0) и С2 = (0,10). При таких начальных параметрах (Q2 = 0 и Q1 0) наша точка движется в притягивающем поле только первого заряда и, как мы помним из классической механики, должна описывать вокруг него эллипс. Проверим, запишем правую часть системы уравнений как файл-функцию, назвав ее pointq12.

function f=pointq12(t,x) global Q1 Q2 C1x C1y C2x C2y f=[x(3);

x(4);

...

Q1*(x(1)-C1x)/(sqrt((x(1)-C1x)^2+(x(2)-C1y)^2))^3+...

Q2*(x(1)-C2x)/(sqrt((x(1)-C2x)^2+(x(2)-C2y)^2))^3;

...

+Q1*(x(2)-C1y)/(sqrt((x(1)-C1x)^2+(x(2)-C1y)^2))^3+...

Q2*(x(2)-C2y)/(sqrt((x(1)-C2x)^2+(x(2)-C2y)^2))^3];

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Решим систему дифференциальных уравнений, вызвав процедуру ode45 из "пустой" файла-функции pointDyn.m function pointDyn() clear all global Q1 Q2 C1x C1y C2x C2y Q1=-50;

Q2=-0.;

C1x=5;

C1y=0;

C2x=0;

C2y=10;

x0=0;

y0=0;

vx0=0;

vy0=4.3;

T1=4000;

[t,h]=ode45(@pointq12,[0,T1],[x0,y0,vx0,vy0]);

x=h(:,1);

y=h(:,2);

x1=C1x;

y1=C1y;

x2=C2x;

y2=C2y;

plot(x,y,'b-');

% отрисовка траектории hold on % отрисовка положения неподвижных зарядов plot(x1,y1,'r+',x2,y2,'r*','MarkerSize',15);

plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'ro','MarkerSize',15);

% comet(x,y);

% отрисовка "движения" hold off;

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Для данного примера относительной точности 10-3, заложенной по умолчанию в процедуре ode45, недостаточно. Придется либо уменьшать этот параметр, либо пробовать другие процедуры.

- - - - -10 0 10 20 30 40 50 60 Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Изменим относительную точность решения на три порядка 10-6 :

tol = 1e-6;

[t,h]=ode45(@pointq12,[0,T1],[x0,y0,vx0,vy0],...odeset('RelTol',tol)) - - - - -10 0 10Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции 20 30 40 50 60 70 # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Время расчета увеличилось, но теперь мы получили вполне приемлемый результат.

Теперь можно поэкспериментировать с начальными условиями и зарядами тел (например, можно убедиться, что при последовательном увеличении на единицу заряда Q1 с –50 до – движение становится инфинитным).

Естественно, что движение станет также инфинитным, если взять заряды одного знака, т.е. Q1 0.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Введем значение Q2 = –0.2.

Это внесет возмущение в орбиту движущейся точки.

- - Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции 0 10 20 30 40 50 60 70 # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Введем значение Q2 = +0.2.

Траектория становится незамкнутой.

- - - - - Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции -10 0 10 20 30 40 50 60 70 # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Q1 = –50 и Q2 = –1.5. T1 = 8000.

- -60 -40 Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции -20 0 40 60 # Движение заряженной частицы.

Закон Кулона Следует подчеркнуть, что мы использовали модель точечных зарядов, т.е. пренебрегали возможностью "попадания" зарядов друг в друга. Дальнейшее улучшение программы связано с контролем в ходе решения выполнения закона сохранения энергии (особенно это существенно при решении задачи многих тел).

Теперь можно экспериментировать самостоятельно !

Ю.Н. Прошин, И.М. Еремин. Вычислительная физика (Практический курс) Казань: Казанский государственный университет, 2009.

("Задание 4. Движение заряда в кулоновском поле") Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Движение под действием сил тяжести и трения Рассмотрим траекторию движения пули под действием силы тяжести. При отсутствии сопротивления воздуха это будет парабола. При скорости пули больше скорости звука сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости и противоположна направлению движения. Уравнение движения пули массой m будет следующим mw mr G F mg kVV Примем для простоты, что коэффициент пропорциональности k в силе трения зависит от плотности воздуха, которая, в общем случае, может меняться с высотой y, площади поперечного сечения пули S и некоторого постоянного безразмерного параметра b порядка единицы, учитывающего форму пули.

Из соображений размерности k = bS. Лекции Ю.Н. Прошин ВычФиз # Движение под действием сил тяжести и трения Пусть масса пули - m = 9 грамм, S = 0.5 см2 (~ калибр 7.62 мм).

Пусть = (0) = 1.22 кг/м3, g = 9.8 м/с2, коэффициент b = 0.5.

При t0 = 0: x0=0, y0=0, а vx0 = 800 м/с, vy0 = 100 м/с.

Переведем все в систему Си и обезразмерим.

По осям - метры - - - - ode45, + + + + ode113.

0 100 200 300 Прошин ВычФиз Лекции 400 500 700 800 Ю.Н. # Движение под действием сил тяжести и трения Теперь можно проводить компьютерные "эксперименты", меняя параметры задачи. Например, можно учесть изменение плотности воздуха с высотой, или даже осевое вращение пули, возникающее в нарезном стрелковом оружии, и оценить как это влияет на точность стрельбы 0 100 200 300 Прошин ВычФиз Лекции 400 500 700 800 Ю.Н. # I. Как изменится траектория пули с учетом распределения Движение под действием плотности воздуха по высоте. Построить аппроксимацию (y) по следующим данным: в Европе плотностьтрения поверхности сил тяжести и воздуха у Земли равна 1.258 кг/м3, на высоте 5 км – 0.735 кг/м3, на высоте Теперь можно проводить компьютерные "эксперименты", меняя км – 0.087 кг/м3, на высоте 40 км – 0.004 кг/м параметры задачи. Например, можно учесть изменение плотности II. При каком угле вылета пуля достигает максимальной воздуха с высотой, или даже осевое вращение пули, возникающее в дальности?

нарезном стрелковом оружии и оценить как это влияет на точность III. Если одну пулю выстрелить горизонтально из ствола, а стрельбы (см. Вычислительная физика "Задание 2. Полет пули", другую пулю бросить с той же самой высоты в тот же самый на стр. 26).

момент, упадут ли обе из них в одно и то же время?

IV. Если пулю выстрелить из винтовки вертикально вверх, какой будет ее окончательная скорость, когда она попадет в макушку чьей-то головы во время своего полета вниз?

Построить фазовую диаграмму (y, Vy) при разных параметрах задачи. Зависит ли дальность от массы пули? Какая пуля улетит дальше, более тяжелая или более легкая?

Учесть осевое вращение пули, возникающее в нарезном стрелковом оружии. Как это влияет на дальность и точность стрельбы?

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ Разберем известный пример осциллятора Ван дер Поля и увидим, что применение ode45 либо сильно удлиняет время решения, либо, вообще, не может привести к решению. Итак ДУ, описывающее осциллятор Ван дер Поля, выглядит следующим образом d 2x 2 dx 1 x x dt dt здесь – параметр. Перепишем dx dt x dx2 1 x 2 x x dt 1 2 Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ Используем в качестве функции, описывающей систему ДУ (13), функцию vanderpoldemo, входящую в стандартный демонстрационный пример MatLab – odedemo.

function dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu) %VANDERPOLDEMO Defines the van der Pol equation % Copyright 1984-2002 The MathWorks, Inc.

% $Revision: 1.2 $ $Date: 2002/06/17 13:20:38 $ dydt = [y(2);

Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

dx dt x dx2 1 x 2 x x dt 1 2 Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ Для малых порядка единицы практически любой MatLab решатель ОДУ сможет эффективно решить уравнение Ван дер Поля. Для больших значений 100 система ОДУ становится жесткой. Для быстрого и эффективного интегрирования таких систем должны быть использованы специальные методы, реализованные в ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb. Сравним работу двух процедур ode (синяя сплошная линия на графиках) и ode15s (прерывистая красная) при разных значениях … Начальные условия x10 x0 0.5 dx dt x x20 x10 x0 dx2 1 x 2 x x dt 1 2 Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ tspan = [0, 100];

x0 = [0.5;

0];

Mu = 0.0;

disp(['Fig0 tspan = [0, 100];

mu=', num2str(Mu)]) tic % Засекаем время [t,x] = ode45(@vanderpoldemo, tspan, x0,[],Mu);

toc % Останавливаем и печатаем время % Plot of the solution plot(t,x(:,1),'b','LineWidth',4) xlabel('t');

ylabel('solution x') title(['van der Pol Equation, \mu = ', num2str(Mu)]) hold on;

tic [t,x] = ode15s(@vanderpoldemo, tspan, x0,[],Mu);

toc;

plot(t,x(:,1),'r--','LineWidth',4);

hold off Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ van der Pol Equation, = solution x - - - 0 20 40 60 80 t tspan = [0,100];

mu= периодическое решение для ode45 = 0.103 sec.

гармонического осциллятора с ode15s = 0.284 sec.

амплитудой 0.5 ВычФиз Лекции Ю.Н. Прошин # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ van der Pol Equation, = 0. solution x - - - 0 20 40 60 80 tspan = [0,100];

mu=0. t ode45 = 0.112 sec.

ode15s = 0.447 sec.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ van der Pol Equation, = solution x - - - 0 20 40 60 80 t tspan=[0,100];

mu= ode45 = 0.191 sec.

ode15s = 0.796 sec.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ van der Pol Equation, = solution x - - - Система становится жестче – малое 0 20 40 80 t изменение параметра, приводит к tspan=[0,100];

mu= сильному изменению функции. ode45 =0.450 sec.

Хотя по-прежнему ode45 быстрее ode15s. ode15s = 1.07 sec.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ van der Pol Equation, = solution x - - - 0 500 1000 1500 t tspan =[0,2000];

mu = ode45 = 190.4 sec.

ode15s = 2.631 sec.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ van der Pol Equation, = solution x - - - При 0 = 1000 ode45 отказывается 2000 4000 8000 работать, а время работы ode15st tspan=[0,10000];

mu= ode45 = Not solved!

увеличился на треть при увеличении временного диапазона почти в 5ВычФиз Лекции ode15s 3.166 sec.

Ю.Н. Прошин раз: # Осциллятор Ван дер Поля.

Жесткость системы ОДУ Причина в том, что при увеличении параметра начинают сильно различаться порядки коэффициентов при разных слагаемых.

Именно степень этого различия чаще всего и определяет жесткость d системы ОДУ X(t ) F (t, X) dt В качестве соответствующей характеристики выбирают матрицу Якоби (якобиан) векторной функции F(t,X), определяющей правую часть системы ОДУ. Чем сильнее вырождена матрица Якоби, т.е.

функциональная матрица, составленная из производных F(t,X), тем жестче система уравнений.

При = 1000 ode45 отказывается работать, а время работы ode15s tspan=[0,10000];

mu= увеличился на треть при увеличении ode45 = Not solved!

временного диапазона почти в 5ВычФиз Лекции ode15s 3.166 sec.

раз:

Ю.Н. Прошин # Система Лоренца (С.П.Кузнецов, Динамический хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (Г.Шустер, Детерминированный хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (C.Кузнецов, Динамический хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (C.Кузнецов, Динамический хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (C.Кузнецов, Динамический хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (C.Кузнецов, Динамический хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (C.Кузнецов, Динамический хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (C.Кузнецов, Динамический хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (C.Кузнецов, Динамический хаос) Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца (C.Кузнецов, Динамический хаос) O O O Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца function lorenz(action) %LORENZ Plot the orbit around the Lorenz chaotic attractor.

% This demo animates the integration of the three coupled nonlinear differential % equations that define the "Lorenz Attractor", a chaotic system first described % by Edward Lorenz of the Massachusetts Institute of Technology.

% Copyright 1984-2005 The MathWorks, Inc.

% $Revision: 5.13.4.3 $ $Date: 2005/12/15 20:52:53 $ % The values of the global parameters are global SIGMA RHO BETA SIGMA = 10.;

BETA = 8./3.;

RHO = 30;

% % 28 1 13.927 24.06 24.74 Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # = SIGMA = 10;

b = BETA = 8/3 = 2.66;

r = RHO = Система Лоренца function lorenz(action) %LORENZ Plot the orbit around the Lorenz chaotic attractor.

% This demo animates the integration of the three coupled nonlinear differential % equations that define the "Lorenz Attractor", a chaotic system first described % by Edward Lorenz of the Massachusetts Institute of Technology.

% Copyright 1984-2005 The MathWorks, Inc.

% $Revision: 5.13.4.3 $ $Date: 2005/12/15 20:52:53 $ % The values of the global parameters are global SIGMA RHO BETA SIGMA = 10.;

BETA = 8./3.;


RHO = 30;

% % 28 1 13.927 24.06 24.74 Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # RHO = 0.9 Система Лоренца O Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # RHO = 7.5 13. Система Лоренца O Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # RHO = 7.5 13. Система Лоренца O Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # RHO = 19 13. Система Лоренца O Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # 24.06 RHO = 24.5 24. Система Лоренца O Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # 24.06 RHO = 24.5 24. Система Лоренца O Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # 24.06 RHO = 24.5 24. Система Лоренца Множество странный аттрактор Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # RHO = 28 24. Система Лоренца Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Система Лоренца Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # Литература Ю.Н. Прошин, И.М. Еремин. Вычислительная физика (Практический курс) - Казань: Казанский государственный университет, 2009. – 180 с.

С. П. Кузнецов, Динамический хаос. М: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 356 с.

А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов, Основы теории сложных систем. – М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007. – 620 с.

Г. Шустер Детерминированный Хаос: Введение. М.: Мир, 1988. - 253 с.

Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # The End Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции # ФИЗИКА Ю.Н. Прошин кафедра теоретической физики Казанского федерального университета yurii.proshin@kpfu.ru 2004-2013, Казань Kazan University 1804- Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Численные решения:

алгоритмы, методы и неприятности … Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # КУЛЬТУРА ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ЭВМ •До сих пор = Постановки задач и алгоритмы их решения.

•Однако, мы имеем цепочку «модель — алгоритм — программа».

•Одна из возможных причин несовпадения желаемого и получаемого = несовпадение машинной арифметики с обычной из-за конечности разрядной сетки ЭВМ.

Возникающие ошибки могут привести к большим неприятностям, если их не контролировать и не соблюдать некоторые элементарные правила организации вычислений. Правила эти неформальны и напоминают правила хорошего тона. Уровень их выполнения определяет уровень вычислительной культуры пользователя ЭВМ. Поясним на примерах основные из этих правил.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 1.

Коммутативность, ассоциативность, … Вычислим (на обычном калькуляторе или на ЭВМ) 1016 + 1 — 1016, 1032 + 1010 — 1016 — 1016 + 1, 1032 — 1032 + 10^16 + 1 - 10^16 single(10^8) + 1 - single(10^8) ans = ans = 0 10^32 + 10^10 - 10^ ans = Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 1.

Коммутативность, ассоциативность, … Вычислим (на обычном калькуляторе или на ЭВМ) 1016 + 1 — 1016, 1032 + 1010 — 1016 — 1016 + 1, 1032 — 1032 + 10^16 + 1 - 10^16 10^16 - 10^16 + ans = ans = 0 10^32 + 10^10 - 10^32 10^32 - 10^32 + 10^ ans = ans = 0 1.0000e+ Таким образом, в машинной арифметике нарушаются законы коммутативности и ассоциативности действий.

Применимость основных выводов элементарной математики ставится под сомнение.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 2. Предел.

Известно, что n=single([1 1e5 1e7 1.1e7 1.2e7 2e7 3e7]) n= 1 100000 10000000 11000000 12000000 20000000 (1+1./n).^n ans = 2.0000 2.7220 3.2940 3.7110 4.1808 1.0000 1. Вывод: при вычислениях с ЭВМ применимость основного понятия высшей математики — предела — также ставится под сомнение.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Правило 1.

Определение. Машинным эпсилоном называется наименьшее представимое в ЭВМ число, удовлетворяющее условию Правило 1.

Величина М характеризует наименьшую относительную погрешность вычислений и зависит от конкретной ЭВМ и разрядности вычислений (single, double,... ).

Требовать БОЛЬШЕГО невозможно!

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Задача и комментарий к правилу 1.

Задача. Найти минимальное число М, используемое компьютером при вычислениях по умолчанию, определить количество значащих цифр используемых при численных расчетах, выяснить возможности его увеличения (уменьшения). (На примере любого языка программи рования Си, Паскаль, Фортран, Дельфи или вычислительного пакета MatLab, Maple, Mathematica, MathCad, Origin, Derive).

•Очевидно, если М 10-k, то на данной ЭВМ нельзя гарантировать, что в результатах будет содержаться не менее k верных значащих цифр.

•Напомним, что цифра числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы того разряда, в котором эта цифра находится.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Чувствительность к исходным данным.

Корни полинома • Задача может быть чувствительна к малым ошибкам, допущенным при представлении исходных данных.

• Пример, корни уравнения p(x) = (x-2)2 = 0 равны двум, при изменении свободного члена на малую величину = 10- (x-2)2 = изменение в корнях много больше: x1,2 = 2 10-3.

• Этот тип неустойчивости еще более выражен у полиномов более высокой степени. Корни следующего полиномиального уравнения p(x) = 0, где p(x) = (x-1)(x-2)...(x-20) = x20 - 210x19 + … суть реальные числа от 1 до 20 и хорошо разделены.

Задача: Измените коэффициент при x19: (-210) (-210 + 10-7) и проследите численно за катастрофическим изменением решения.

[Уилкинсон, 1963] Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Чувствительность к исходным данным.

Корни полинома (Кондрашов) Пусть vn=1:n, где n1 - целочисленный параметр, и pn=poly(vn') - полином с корнями 1:n, которые хорошо отделены друг от друга, wn=roots(pn) - вектор-столбец с вычисленными корнями полинома pn.

Проведем сравнение vn' и wn для различных n.

n=2;

vn=1:n;

pn=poly(vn');

wn=roots(pn);

[vn',wn] ans = откуда видно, что элементы в wn нужно упорядочить.

n=3;

vn=1:n;

pn=poly(vn');

wn=roots(pn);

R=[vn',sort(wn)] R= 1.0000 1. 2.0000 2. 3.0000 3. Появившиеся после десятичной точки цифры 0 в первом столбце R как бы "наведены" значениями из второго столбца (шероховатость команды format).

Погрешность в втором столбце R еще очень мала:

((R(:,2)-R(:,1))./R(:,1))' ans = 1.0e-015 * дает относительную ошибку для корней 0.2220 -0.9992 0. Это означает, что в численном результате верны примерно 14 знаков.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Чувствительность к исходным данным.

Корни полинома Для n=10 выполнение "программы" дает n=10;

vn=1:n;

pn=poly(vn');

wn=roots(pn);

R=[vn',sort(wn)];

R1=(R(:,2)-R(:,1))./R(:,1);

R1' ans = 1.0e-009 * -0.0000 0.0011 -0.0129 0.0711 -0.2270 0.4464 -0.5501 0.4132 -0.1725 0. говорит о том, что точность результата постепенно падает.

me=max(abs(R1)) me = 5.5015e-010, т.е. теперь для всех корней верны только 9 знаков (me – max. error). Но корни еще остаются вещественными, поскольку iwn=sum(abs(imag(wn))) iwn = Повторим для n=20 и найдем максимальную относительную ошибку me=0.0016, так что теперь для всех корней верны только 2 знака, но результат пока еще остается вещественным, поскольку iwn=0. Сравним точные и вычисленные корни графически:

plot(R), grid Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Чувствительность к исходным данным.

Корни полинома 13. y 13. 13. 13.04 X: Y: 13. 13. 12. 12. 12. 12. 12. x 12.88 12.9 12.92 12.94 12.96 12.98 13 13.02 13.04 13.06 13. Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Чувствительность к исходным данным.

Корни полинома R= Пусть n=20 pn(2)= -210 (это коэффициент при 1.0000 1. x19). Прибавим к нему 1e-7, т.е. внесем в него 2.0000 2. малое возмущение примерно в 10-м знаке, и 3.0000 3. повторим расчет : 4.0000 4. 5.0000 5. n=20;

vn=1:n;

pn=poly(vn');

pn(2)=pn(2)+1e-7;

6.0000 6. wn=roots(pn);

R=[vn',sort(wn)], plot(R,'*'), grid 7.0000 7. R= … 8.0000 7. 9.0000 9. 10.0000 9. Несмотря на такое малое возмущение в 11.0000 10.9206 - 1.1013i коэффициенте pn(2), некоторые корни стали 12.0000 10.9206 + 1.1013i комплексными.

13.0000 12.8460 - 2.0622i • их мнимые части достигают по модулю 2.7, 14.0000 12.8460 + 2.0622i • теперь iwn=sum(abs(imag(wn)))=18.6631, 15.0000 15.3147 - 2.6987i • и из графика. 16.0000 15.3147 + 2.6987i 17.0000 18.1572 - 2.4702i 18.0000 18.1572 + 2.4702i 19.0000 20.4220 - 0.9992i 20.0000 20.4220 + 0.9992i Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Чувствительность к исходным данным.

Корни полинома Imx - - - 0 5 10 15 20 Rex Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Чувствительность к исходным данным.

Корни полинома Выясним, почему так сильно изменились результаты при внесении столь малого возмущения. Обозначим через p(x) наш невозмущенный полином pn при n= и через a его второй коэффициент:

p(x)=prod(x-k),k=1:20, или p(x)=x20+ax19+... +20!, a=-210.

Тогда для корней x=1:20 по теореме о производной неявной функции будем иметь, откуда, а полином находится как polyder(pn). Поэтому для У нас вычисления dxda на множестве vn наших корней сначала выполним строку n=20;

vn=1:n;

pn=poly(vn');

а затем строку (на графике значения функции определены только для x=1:20) dpn=polyder(pn);

dxda=-(vn.^19)./polyval(dpn,vn);

plot(log10(abs(dxda)),'*'), grid и увидим, что уже при x=8 dx/da=105 и будет еще больше с ростом x. Поэтому внесение в коэффициент a возмущения 10-7 должно в обязательном порядке заметно сказаться на значениях некоторых корней, каким бы методом они ни находились.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Чувствительность к исходным данным.

Корни полинома log(dx/da) - - - - 0 5 10 15 x Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 3. Эквивалентные формулы – разные результаты ?!

Пусть М = 10-2 и требуется решить уравнение:

Округляем до двух значащих цифр.

Формулы для решения уравнения Результат:

Верный ответ -- ошибка получена при вычитании близких чисел.

Эквивалентная формула получаем Правда, по этой формуле уже х2 будет вычислено с двукратной погрешностью.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 4. Эквивалентные формулы – разные результаты ?!

Оценка дисперсии случайной величины по измерениям :

(2) (1) Пусть х 1 = 12345.1, х 2 = 12345.2, х 3 = 12345.3.


x= single([12345.1 12345.2 12345.3]) x = 1.0e+004 * 1.2345100 1.2345200 1. x1=mean(x) Находим среднее x1 = 1.2345200e+ y1=sum((x).^2)/3, y2=x1^ И считаем СКО (1) y1 = y2 = y1-y Чушь!

ans = - y22=sum((x-x1).^2)/ Верный ответ y22 = 0. а СКО (2) ?!

y = std(x,1)^ Истинно так!

y = 0. Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Правило 2.

Правило 2.

При выборе формулы и порядка вычислений избегать вычитания близких чисел и деления на малые величины.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 5. Решения СЛАУ % Решение в MatLab a1=[1,5;

1.5 7.501];

b1=[17;

25.5];

x1=a1\b x1 = 25,503.

Столь большие отличия в ответах возникли из-за того, что матрицы коэффициентов систем 1 и 2 плохо обусловлены: определители i = det|ai| малы. Действительно, 1 = 0.001, 2 = -0.001.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 5. Решения СЛАУ 25,503.

Столь большие отличия в ответах возникли% Решение в MatLab a2=[1,5;

1.5 7.499];

b2=[17;

25.503];

x2=a2\b2 из-за того, что матрицы коэффициентов систем 1 и 2 плохо обусловлены: определители x2 = 32. i = det|ai| малы. Действительно, 1 = 0.001, 2 = -0.001.

-3. Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 5. Решения СЛАУ 25,503.

Столь большие отличия в ответах возникли из-за того, что матрицы коэффициентов систем 1 и 2 плохо обусловлены: определители i = det|ai| малы. Действительно, 1 = 0.001, 2 = -0.001.

Правило 3.

disp([det(a1) det(a2)]) 0.0010 -0. Избегать плохо обусловленных матриц.

Использовать специальные методы.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Переполнение, исчезновение порядка,… Пример 6. Числа, представимые в ЭВМ, лежат в диапазоне minD |х| maxD.

При выходе результата за minD = underflow (исчезновение порядка), при выходе за maxD = overflow (переполнение).

•При переполнении обычно говорят, что плохи исходные данные, а при исчезновении порядка полагают результат равным нулю.

•Не следует торопиться. Пусть 10-78 |х| 1076 и вычисляется величина x = ab/(cd) при a = 10-30, b = 10-60, c = 10-40, d = l0-50.

= 10-30-60/ c/d = underflow;

•Если x=a•b/c/d •Eсли x = 1/c/d•a•b = 10+40+50•a•b = overflow.

•Если x = a/c•b/d = 1010•10-60/l0-50 = правильный ответ х = 1.

•Этот же ответ можно получить, если отмасштабировать переменные, например, умножив на 1040.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Переполнение, исчезновение порядка,… Пример 6. Числа, представимые в ЭВМ, лежат в диапазоне minD |х| maxD.

При выходе результата за minD = underflow (исчезновение порядка), при выходе за maxD = overflow (переполнение).

•При переполнении обычно говорят, что плохи исходные данные, а при исчезновении порядка полагают результат равным нулю.

1e-318 %Проверка в MatLab 1.0000e- 1e-320 1e+ 9.9999e-321 ans = 1e-321 1.0000e+ 9.9801e-322 1e+ 1e-322 ans = 9.8813e-323 Inf 1e- 9.8813e- 1e- 0 Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Переполнение, исчезновение порядка,… Пример 6. Числа, представимые в ЭВМ, лежат в диапазоне minD |х| maxD.

При выходе результата за minD = underflow (исчезновение порядка), при выходе за maxD = overflow (переполнение).

•При переполнении обычно говорят, что плохи исходные данные, а при исчезновении порядка полагают результат равным нулю.

•Не следует торопиться. Пусть 10-78 |х| 1076 и вычисляется величина x = ab/(cd) при a = 10-30, b = 10-60, c = 10-40, d = l0-50.

= 10-30-60/ c/d = underflow;

•Если x=a•b/c/d •Eсли x = 1/c/d•a•b = 10+40+50•a•b = overflow.

•Если x = a/c•b/d = 1010•10-60/l0-50 = правильный ответ х = 1.

•Этот же ответ можно получить, если отмасштабировать переменные, например, умножив на 1040.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Переполнение, исчезновение порядка,… Пример 6. Числа, представимые в ЭВМ, лежат в диапазоне minD |х| maxD.

При выходе результата за minD = underflow (исчезновение порядка), a = 1e-160, b = 1e-190, c = 1e-170, d = 1e- при выходе заamaxD = overflow (переполнение).

= 1.0000e- x = a*b/(c*d) b = 1.0000e- •При переполнении обычно говорят, что плохи исходные=данные, а x c = 1.0000e- при исчезновении порядка полагают результат равным нулю. a*b x = d = 1.0000e- x= •Не следует торопиться. Пусть 10 -78 |х| 1076 и вычисляется величина x =(c*d) x = ab/(cd) при a = 10 -30, b = 10-60, c = 10-40, d = l0-50.

x= x = a*b/c/d •Если x=a•b/c/d = 10-30-60/ c/d = underflow;

x= •Eсли x = 1/c/d•a•b = 10+40+50•a•b = overflow.

x = 1/c/d*a*b •Если x = a/c•b/d = 1010•10-60/l0-50 = правильный ответ = = 1.

xх 1. •Этот же ответ можно получить, если отмасштабировать x = 1/c/d переменные, например, умножив на 1040. x= Inf Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Переполнение, исчезновение порядка,… Пример 6. Числа, представимые в ЭВМ, лежат в диапазоне minD |х| maxD.

При выходе результата за minD = underflow (исчезновение порядка), a = 1e-160, b = 1e-190, c = 1e-170, d = 1e- при выходе заamaxD = overflow (переполнение).

= 1.0000e- x = a*b/(c*d) b = 1.0000e- •При переполнении обычно говорят, что плохи исходные=данные, а x c = 1.0000e- при исчезновении порядка полагают результат равным нулю. a*b x = d = 1.0000e- x= •Не следует торопиться. Пусть 10 -78 |х| 1076 и вычисляется величина x =(c*d) x = ab/(cd) при a = 10 -30, b = 10-60, c = 10-40, d = l0-50.

x= Проверка в MatLab в пределах от x = a*b/c/d •Если x=a•b/c/d = 10-30-60/ c/d = underflow;

x= minD до maxD •Eсли x = 1/c/d•a•b = 10+40+50•a•b = overflow.

x = 1/c/d*a*b Дает ПРАВИЛЬНЫЙ -50результат!!!

•Если x = a/c•b/d = 10 •10 /l0 = правильный ответ = = 1.

xх 10 - 1. •Этот же ответ можно получить, если отмасштабировать x = 1/c/d переменные, например, умножив на 1040. x= Inf Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Правило 4.

Правило 4.

При переполнении или исчезновении порядка следует попытаться изменить последовательность действий, ввести масштабные множители и т. д.

При исчезновении порядка не всегда следует обнулять результат.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Суммы, произведения… Пример 7. Пусть м = 10-2 и требуется найти S = 100 + 0.1 + … + 0. 2000 слагаемых •Если вести суммирование слева направо, то с учетом округления до двух значащих цифр = S = •Если вычислять справа налево, то после тысячи слагаемых = 100, и дальнейшее {+0.1+0.1+…} ничего не изменит. Результат S = •Правильный результат S = 300 !? Как получить?!

•Сложим 1000 чисел по 0.1, затем еще 1000 чисел по 0.1, а потом сложим промежуточные суммы.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Правило 5.

Правило 5.

При сложении следует располагать слагаемые в порядке возрастания абсолютных величин, стараясь, чтобы при каждом сложении порядки величин различались мало.

При необходимости цикл суммирования разбивается на несколько более коротких.

Аналогичное правило действует при перемножении большого числа сомножителей.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Последовательные приближения Пример 8. При расчетах методами последовательных приближений часто ведут вычисления до тех пор, пока поправка (разность между текущими и последующими приближениями) не станет меньше заданного порога. При этом, как правило, не обеспечивается заданная погрешность результата.

Найти S с точностью до 10-3.

Если вести вычисления до тех пор, пока общий член ряда 1/k2 не станет меньше 10-3, т. е. до kобрыв = 32, и S = 1.610.

Правильно = S = 2/6 = 1,650....

Если же приближенную сумму ряда то погрешность останется бесконечной, как бы мала ни становилась величина l/k, поскольку ряд расходится!

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Правило 6.

Правило 6.

Нужно помнить, что остановка итерационного процесса x1, х2, …. по косвенному критерию (например, по или в задаче решения уравнения F (x) = O, по критерию в задаче оптимизации f (x) и т. д.) не гарантирует достижения заданной погрешности Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 9. Неустойчивость алгоритмов • Проверить неустойчивость алгоритмов (погрешность действия) на примере вычисления интеграла En x n e x1dx (n = 1, 2, 3,...) при помощи рекуррентной формулы 1 n x 1 En x n e x 1dx x e n x n 1e x 1dx 1 n En 1, (n = 2, 3,...), 0 • E0 вычислить аналитически и построить таблицу значений En при n = 1, 2,..., 24. Оценить возникающую ошибку.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 9. Неустойчивость алгоритмов Оценим (вычислим ТОЧНО!) начальное значение E 1 n x 1 En x n e x 1dx x e n x n 1e x 1dx 1 n En 0 1 x 1 E1 x e x 1dx x e e x 1dx 1 E0 0. 0 E0 e x 1dx e 1 1 e 1 e 1 0.367879441171442 0. Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 9. Неустойчивость алгоритмов En = 1 – nEn-1 En = 1 – nEn- n n Уже для n= получен 0.3679 0. 1 бессмысленный 0.2642 0. 2 результат !

0.2073 0. 3 Причина в том, 0.1709 0. 4 что начальная 0.1455 0.0572 ошибка 5 округления 0.1268 -0. 6 быстро 0.1124 1. 7 накапливается:

0.1009 -30. 8 при вычислении 0.0916 635. 9 21 n=18 она 0.0839 -1.3970e+004 умножается на 10 2, затем на 3, 0.0774 3.2131e+ 11 4,..., 0.0718 -7.7114e+ 12 Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 9. Неустойчивость алгоритмов • Проверить неустойчивость алгоритмов (погрешность действия) на примере вычисления интеграла En x n e x1dx (n = 1, 2, 3,...) при помощи рекуррентной формулы 1 n x 1 En x n e x 1dx x e n x n 1e x 1dx 1 n En 1, (n = 2, 3,...), 0 • E0 вычислить аналитически и построить таблицу значений En при n = 1, 2,..., 24. Оценить возникающую ошибку.

• Повторить вычисления, изменив алгоритм на устойчивый En-1 = (1 – En) /n.

Аналитически и численно оценить ошибку при вычислениях En для n = 24, 23,..., 1 при выборе начального значения E25 = (показать, что начальная ошибка E24 1/25 и далее уменьшается !).

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 9. Неустойчивость алгоритмов En = 1 – nEn-1 En = 1 – nEn-1 En-1 =(1 – En)/n n n 0.3679 0.0669 0. 1 0.2642 0.0627 0. 2 0.2073 0.0590 0. 3 0.1709 0.0555 0. 4 0.1455 0.0572 0. 5 0.1268 -0.0295 0. 6 0.1124 1.5596 0. 7 0.1009 -30.1924 0. 8 0.0916 635.0403 0. 9 0.0839 -1.3970e+004 0. 10 0.0774 3.2131e+005 0. 11 0.0718 -7.7114e+006 0. 12 Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Пример 9. Неустойчивость алгоритмов En-1 =(1 – En)/n En-1 =(1 – En)/n После первого шага n начальная ошибка 0.3679 0. уменьшится в 24 0.2642 0. раза, после второго 0.2073 0. — еще в 23 раза, 0.1709 0. для n=20 мы получим все шесть значащих 0.1455 0. цифр верных. 0.1268 0. Формула (2), в отличие 0.1124 0. от (1), определяет 0.1009 0. устойчивый 0.0916 0. вычислительный процесс: погрешность 0.0839 0. результата каждого 0.0774 0. шага меньше 0.0718 0. погрешности исходных данных.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Правило 6.

Правило 6.

Пользуйтесь только устойчивыми численными алгоритмами!

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # Литература Д. Поттер, Вычислительные методы в физике.

Н. Н. Калиткин, Численные методы.

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М.

Кобельков, Численные методы.

Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # The End Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7 # БИФУРКАЦИИ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА И ПОЯВЛЕНИЕ ХАОСА В ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # отображение– это функция, которая показывает зависимость последующих значений параметров системы от предыдущих значений.

xn+1 = f(xn) Свойства динамической системы определяется свойствами порождаемого ей отображения Они удобны ввиду их наглядности.

Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # отображение– это функция, которая показывает зависимость последующих значений параметров системы от предыдущих значений.

xn+1 = f(xn) C помощью точечных отображений изучают объекты не с непрерывным, а с дискретным временем.

При переходе к отображению размерность изучаемой системы может уменьшаться.

Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # • Ферхюльст (1845 год) - исследование популяции бабочек в замкнутой среде.

xn+1 = f(xn) = r xn(1 - xn) Это квадратичное отображение, где – численность популяции на n–шаге xn (в n год) (0 x 1);

(1- xn) – "свободные" места;

r– коэффициент "плодовитости" (0 r 4) Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # • Ферхюльст (1845 год) - исследование популяции бабочек в замкнутой среде.

xn+1 = f(xn) = r xn(1 - xn) • Задача о банковских процентах zn+1 = (1 + )zn=…=(1 + )n+1z zn – сумма вклада на n–шаге (в n месяц);

– процент роста вклада Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # • Ферхюльст (1845 год) - исследование популяции бабочек в замкнутой среде.

xn+1 = f(xn) = r xn(1 - xn) • Задача о банковских процентах zn+1 = (1 + )zn=…=(1 + )n+1z n = 0(1 – zn/zmax) zn+1 = [1 + 0(1- zn/ zmax)]zn xn = zn 0/zmax(1 + 0) r = zmax(1+ 0)2/ Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # При изменении внешнего параметра r точечные отображения демонстрируют довольно сложное поведение, которое становится хаотическим при достаточно больших r Что такое ХАОС ?

Это очень быстрое разбегание изначально очень близких траекторий в фазовом пространстве Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Свойства точечных отображений Точка x* xn+1 xn+1 = xn называется x*** неподвижной, если x* = f(x*).

xn+1 = f(xn) x* Точка x* неустойчивая?

xn x*** x* x** Точки x** и x*** – устойчивые?

Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Свойства точечных отображений Точка x* xn+1 xn+1 = xn называется x*** неподвижной, если x* = f(x*).

Построение xn+1 = f(xn) Ламерея – x* «лестница Ламерея»

xn x* x0' x*** x** x4 x3 x2 x1 x Точка x* неустойчивая Точки x** и x*** устойчивые x** Прошина ВычФиз. Лекции Ю.Н. Прошин, И.Ю. # Свойства точечных отображений xn+ Точка x* - неустойчива, *** x*** если |f (x*)| 1.

Точки xn+1 = f(xn) x**, x*** - x* устойчивы, если |f (x**,x***)|1.

xn x*** x* x** x Углы **, *** 45, угол x** Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Свойства точечных отображений Цикл 2 порядка образует последовательность xn+1 = f (xn) xn+ точек x1, x2 (или x3, x4), удовлетворяющих:

II x2 = f(x1), x1 = f(x2) I или x4 = f(x3), x3 = f(x4) x1 x3 x* x2 xn Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Свойства точечных отображений Цикл 2 порядка образует последовательность xn+1 = f (xn) xn+ точек x1, x2 (или x3, x4), удовлетворяющих:

II x2 = f(x1), x1 = f(x2)- уст.

I или x4 = f(x3), x3 = f(x4) -неуст.

В принципе, x0' могут быть x x1 x3 x* x4 x2 xn циклы любого ВычФиз. Лекции порядка Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина # Свойства точечных отображений Точки циклов F (x) = f (f (x)) отображения xn+ y = f (x) F (x) являются неподвижными II точками для I F (x) = f (f (x)) f 2(x):

xn+1 = f (xn) x1 = F (x1);

x2 = F (x2) x1 x4 x* x3 x2 xn Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Бифуркация Бифуркация – эти качественная перестройка картины движения.

Значения управляющего параметра, при которых происходят бифуркации, называются критическими или бифуркационными значениями.

Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # xn+1 = r xn(1 - xn) Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # xn+1 = r xn(1 - xn) r = 0.95, x0=0.47 1) 0 r 1.

В этом случае отображение Лестница Ламерея имеет 0. 0. единственную 0. неподвижную 0. n+ точку x* = 0, 0. X 0. которая является 0. устойчивой 0. 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 X Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции n # xn+1 = r xn(1 - xn) 2) 1 r 3.

r = 2.5, x0=0. На отрезке [0, 1] появляется еще Лестница Ламерея одна неподвижная 0. устойчивая точка 0. 0. x*1 = 1-1/r.

0. n+ 0. X 0. 0. 0. 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 X Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # n xn+1 = r xn(1 - xn) 2) 1 r 3.

r = 2.5, x0=0. На отрезке [0, 1] r = 2.5, x0=0. появляется еще Лестница Ламерея одна неподвижная 0. устойчивая точка 0. 0. x*1 = 1-1/r.

0. Неподвижная n+ 0. X 0. точка x* = 0. теряет 0. устойчивость.

0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 X ВычФиз. Лекции Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина # n xn+1 = r xn(1 - xn) 3) 3 r 1+63. Отображение r = 3.43, x0=0. претерпевает Лестница Ламерея для x =r*x *(1-x ) при r = 3. n+1 n n бифуркацию:

0. неподвижная точка 0. x*1 становится 0. 0. неустойчивой, и n+ 0. x вместо нее 0. 0. появляется 0. двукратный цикл.

0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # n xn+1 = r xn(1 - xn) 3) 3 r 1+63. Отображение r = 3.43, x0=0. претерпевает Устойчивый цикл для x =r*x *(1-x ) при r = 3. n+1 n n бифуркацию:

0. неподвижная точка 0. x*1 становится 0. 0. неустойчивой, и n+ 0. x вместо нее 0. 0. появляется 0. двукратный цикл.

0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # n xn+1 = r xn(1 - xn) 4) При переходе параметра r через значение 1+63.45, 2-кратный цикл становится 4-кратным, и т.д.

Лестница Ламерея для x =r*x *(1-x ) при r = 3.54 Лестница Ламерея для x =r*x *(1-x ) при r = 3. n+1 n n n+1 n n 0. 0. 0. 0. n+ 0. x 0. 0. 0. 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции x # n n xn+1 = r xn(1 - xn) 4) При переходе параметра r через значение 1+63.45, 2-кратный цикл становится 4-кратным, и т.д.

Устойчивый цикл для x =r*x *(1-x ) при r = 3.54 Устойчивый цикл для x =r*x *(1-x ) при r = 3. n+1 n n n+1 n n 0. 0. 0. 0. n+ 0. x 0. 0. 0. 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции x # n n xn+1 = r xn(1 - xn) 5) При r = r 3.5699456… возникает устойчивый цикл бесконечного (?!) порядка, при r r отображение в основном ведет себя хаотически.

Например, при 0. конечном 0. значении r = 0. в системе 0. имеются 0. неустойчивые 0. циклы всех 0. возможных 0. порядков 0. 0.4 Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 # Бифуркационная диаграмма Бифуркационная диаграмма – это зависимость положения устойчивых состояний x (либо неподвижных точек, либо точек циклов) от значения параметра r. При переходе параметра через критические значения r2, r3, …, r, …, rконечное происходят бифуркации "удвоения периода" Нажми меня (Program!) Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Бифуркационная диаграмма r1 r r r Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Бифуркационная диаграмма r1 r r r Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Бифуркационная диаграмма Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Бифуркационная диаграмма Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Бифуркационная диаграмма Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Бифуркационная диаграмма:

«окна» с устойчи выми циклами Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # Универсальное число Фейгенбаума rm rm lim rm m r m = 4,669201609… Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # 2) xn+1 = r xn(1 - xn 1) 0 r 1.

отображение r = 0.5, x0=0. имеет =r*x *(1-x 2 ) при r = 0. Лестница Ламерея для x n+1 n n единственную 0. неподвижную 0. точку x* = 0, 0. 0. которая n+ 0. x является 0. 0. устойчивой.

0. 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # n 2) xn+1 = r xn(1 - xn 2) 1 r 1.998...

точка x*1 = r = 1.8, x0=0. теряет =r*x *(1-x 2 ) при r = 1. Лестница Ламерея для x n+1 n n устойчивость, 0. появляется 0. новая 0. 0. устойчивая n+ 0. x 0. точка x* 0. 0. 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции x # n 2) xn+1 = r xn(1 - xn r = 2.2, x0=0. 3) 1.99... r 2.235...

=r*x *(1-x 2 ) при r = 2. Лестница Ламерея для x происходит n+1 n n 0. бифуркация 0. удвоения периода, 0. появляется 2 0. n+ 0. кратный цикл x 0. 0. 0. 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции # n 2) xn+1 = r xn(1 - xn r = 2.2, x0=0. 3) 1.99... r 2.235...



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.