авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Сборник научных трудов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

СИММЕТРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Сборник научных трудов

МОСКВА 2009

УДК 519:517

ББК 22.161.6

C37

Рецензенты:

Кафедра прикладной математики (№ 31) Московского инженерно физического института (государственного университета) Доктор физико-математических наук, профессор В.К. Исаев Отражены результаты научных исследований, ведущихся в учебных и научных учреждениях России и стран СНГ в области ма тематического и имитационного моделирования. Все результаты касаются симметрий дифференциальных уравнений, как обыкновен ных, так и с частными производными.

Сборник статей предназначен для широкого круга специали стов, занимающихся проблемами математического моделирования и интересующихся симметриями дифференциальных уравнений.

Редакционная коллегия:

д.ф.-м.н., проф. Г.Н. Яковенко (отв. редактор), д.ф.-м.н., проф. А.В. Аксёнов (зам. отв. редактора), д.ф.-м.н., проф. В.А. Дородницын, д.ф.-м.н., проф. А.И. Егоров, д.ф.-м.н., проф. И.С. Емельянова, д.ф.-м.н., проф. Н.Х. Ибрагимов, д.ф.-м.н., проф. А.Г. Петров, д.ф.-м.н., проф. В.В. Сидоренко, д.ф.-м.н., проф. А.С. Сумбатов, к.ф.-м.н., доц. Д.А. Притыкин (отв. секретарь) ISBN 978-5-7417-0234- © Московский физико-технический институт (государственный университет), ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник научных трудов ”Симметрии дифференциальных уравнений” посвящен актуальным задачам современного груп пового анализа дифференциальных уравнений. В сборнике со браны статьи ведущих специалистов, работающих в высших учебных заведениях и институтах РАН России.

Изучение теоретико-групповых свойств дифференциальных уравнений связано с именем выдающегося норвежского мате матика Софуса Ли (1842–1899). Им была создана теория групп непрерывных преобразований. Эта теория возникла на стыке трех крупнейших математических дисциплин – теории диффе ренциальных уравнений, алгебры и дифференциальной геомет рии. Софус Ли создавал свою теорию как аналог теории Галуа применительно к дифференциальным уравнениям. Дальней шее развитие теории групп непрерывных преобразований свя зано с именем академика Л.В. Овсянникова. Им была создана крупнейшая в мире научная школа.

Отметим, что термин груп повой анализ был также введен Л.В. Овсянниковым. По ини циативе Л.В. Овсянникова и благодаря стараниям его ученика Н.Х. Ибрагимова регулярно проводятся конференции, посвя щенные теоретико-групповым свойствам дифференциальных уравнений Modern Group Analysis (MOGRAN). Серия конфе ренций MOGRAN началась с двух конференций по теоретико групповым методам механики, проходивших в г. Калгари (Ка нада) в 1974 году и в г. Новосибирске (СССР) в 1978 году. По следующие MOGRAN-конференции проводились (список непол ный): в 1988 (Красноярск, СССР), 1989 (Баку, СССР), (Уфа, СССР), 1992 (Катания, Италия), 1993 (Сызрань, Рос сия), 1994 (Йоханнесбург, ЮАР), 1996 (Йоханнесбург, ЮАР), 1997 (Нордфиорд, Норвегия), 2000 (Уфа, Россия), 2002 (Москва, Россия), 2004 (Кипр), 2007 (Карлскрона, Швеция ) и в (Порто, Португалия). Ближайшая конференция предполагает ся в июне 2009 в Уфе.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Большинство авторов настоящего сборника являются ак тивными участниками конференций MOGRAN.

Групповой анализ дифференциальных уравнений находит широкое применение при исследовании уравнений, возникаю щих в различных областях механики и физики. Ему посвящена обширная литература. Классическими являются монографии Л.В. Овсянникова (1978), Н.Г. Чеботарева (1940), Л.П. Эйзен харта (1947). Последние достижения и приложения группово го анализа отражены в монографиях Н.X. Ибрагимова (1983), П. Олвера (1989), В.И. Фущича, В.М Штелень, Н.И. Серова (1989), В.К. Андреева, О.В. Капцова, В.В. Пухначева, А.А. Ро дионова (1994) и др. Допускаемая исходными уравнениями груп па преобразований используется для построения частных точ ных решений. Наиболее широко используются инвариантные относительно подгруппы допускаемой группы преобразований решения (Л.В. Овсянников (1978)). Используемые в механике сплошной среды автомодельные решения, обычно находящие ся с использованием анализа размерностей (Л.И. Седов (1978)), являются инвариантными решениями относительно преобразо ваний растяжения зависимых и независимых переменных. От метим, что центральное утверждение анализа размерностей ( теорема) также может быть доказано на основе использования групп непрерывных преобразований (Н.Г. Чеботарев (1949)).

В сборнике представлены 14 статей, которые можно услов но разделить на две части. В первой части рассматриваются симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом рассматриваются задачи из различных областей теоре тической и прикладной механики, теории управления. Вторая часть сборника посвящена исследованию симметрий уравнений с частными производными. Рассматриваемые уравнения при меняются к решению задач механики сплошной среды, иссле дованию различных физических моделей. В сборнике собраны статьи, представляющие как теоретическое, так и прикладное значение.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Сборник научных трудов “Симметрии дифференциальных уравнений” представляет интерес как для специалистов в об ласти групповых свойств дифференциальных уравнений, так и специалистов в области математической физики, теоретиче ской и прикладной механики, механики жидкости и газа, тео рии управления. Общность теоретико-группового подхода при исследовании различных свойств дифференциальных уравне ний делает сборник полезным как математикам, работающим в физических, технических и информационных направлениях, так и специалистам по экспериментальным и численным мето дам.

Авторы благодарят А.Г. Сенаторова за содействие в изда нии настоящего сборника.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 517. А.В. Аксенов Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет aksenov@mech.math.msu.su СИММЕТРИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Приведен обзор полученных ранее результатов. Представлено реше ние задачи нахождения симметрий линейных неоднородных дифференци альных уравнений с -функцией в правой части. Приведен алгоритм по строения инвариантных фундаментальных решений. В качестве примера применения алгоритма рассмотрены неоднородные с -функцией в пра вой части классические уравнения математической физики: одномерное уравнение теплопроводности, двумерное бигармоническое уравнение, дву мерное волновое уравнение и трехмерное уравнение Лапласа. Найдены их симметрии и с их помощью построены новые нетривиальные параметри ческие семейства фундаментальных решений. Изложен метод построения функции Римана на основе использования симметрий фундаментальных решений. Рассмотрен пример построения функции Римана.

Введение. Групповой анализ дифференциальных уравне ний находит широкое применение при исследовании уравнений математической физики. Ему посвящена обширная литерату ра. Классическими являются монографии Л.В. Овсянникова, Н.Г. Чеботарева, Л.П. Эйзенхарта [1–5]. Последние достиже ния и приложения группового анализа отражены в моногра фиях [6–20]. Допускаемая исходными уравнениями группа пре Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (проекты 06-01 00707 и 08-01-00401) и гранта Президента РФ поддержки ведущих науч ных школ (НШ-610.2008.1).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., образований используется для построения частных точных ре шений. Наиболее широко используются инвариантные относи тельно подгруппы допускаемой группы преобразований реше ния [1]. Используемые в механике сплошной среды автомодель ные решения, обычно находящиеся с использованием анализа размерностей [21], являются инвариантными решениями отно сительно преобразований растяжения зависимых и независи мых переменных. Отметим, что центральное утверждение ана лиза размерностей (-теорема) также может быть доказано на основе использования групп непрерывных преобразований [22].

Было замечено, что фундаментальные решения классиче ских линейных уравнений математической физики (например, уравнение Лапласа, волновое уравнение, уравнение теплопро водности) обычно являются инвариантными решениями (см., например, [23, 24]). Фундаментальные решения требуют ис пользования аппарата теории обобщенных функций [25–30].

Это, в свою очередь, потребовало обобщения теории локаль ных групп преобразований в пространстве обобщенных функ ций [31].

В работах [32–35] был предложен метод нахождения сим метрий линейных неоднородных дифференциальных уравне ний с -функцией в правой части, приведен алгоритм построе ния инвариантных фундаментальных решений. Отметим, что в этих работах для нахождения симметрий уравнений с -функ цией в правой части использовались конечные преобразования.

Примеры построения инвариантных фундаментальных ре шений приведены в работах [24, 35–41].

В работе [42] применительно к частному гиперболическому уравнению второго порядка с двумя независимыми переменны ми Б. Риман предложил ”метод интегрирования Римана”, по лучивший в дальнейшем широкое развитие [43, 44]. Для приме нения метода необходимо построить так называемую функцию Римана, являющуюся решением специальной характеристиче ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ской задачи Коши. Общего метода построения функции Рима на не существует. В работе [45] дан подробный анализ шести известных способов построения функции Римана для частных типов уравнений. Например, один из способов был предложен Ж. Адамаром. Им было показано, что функция Римана сов падает с коэффициентом при логарифмическом члене в эле ментарном решении уравнения [46]. Н.Х. Ибрагимовым [47] на основе использования результатов Л.В Овсянникова по груп повой классификации однородных гиперболических уравнений второго порядка [2] было предложено находить функцию Ри мана с помощью симметрий уравнения.

В настоящей работе показана инвариантность функции Ри мана относительно симметрий фундаментальных решений и предложен метод ее построения.

1. Нахождение симметрий линейных дифференци альных уравнений с -функцией в правой части. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с частными про изводными p-го порядка:

p A (x) D u = 0, x Rm.

Lu (1) ||= Здесь приняты стандартные обозначения: = (1,..., m ) – мультииндекс с целочисленными неотрицательными компонен тами, || = 1 + · · · + m, 1 m D ···.

x1 xm Фундаментальные решения уравнения (1) являются решения ми уравнения Lu = (x x0 ). (2) В работе [48] было показано, что линейное однородное урав нение (1) может допускать операторы симметрии только сле ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., дующего вида:

m i (x) X= + (x, u), = 0.

i u x u i= Основная алгебра Ли операторов симметрии уравнения (1) как векторное пространство есть прямая сумма двух подалгебр: по далгебры, состоящей из операторов вида m i (x) X= + (x) u, (3) i x u i= и бесконечномерной подалгебры, порожденной операторами X = (x), (4) u где (x) – произвольное решение уравнения (1). Отметим, что операторы (4), очевидно, являются операторами симметрии уравнения (2). В дальнейшем рассматриваются лишь операто ры вида (3).

Определение 1. Симметриями уравнения (2) называют ся преобразования, переводящие любое решение уравнения (2) в его решение. При этом предполагается, что точка x = x является неподвижной.

Симметрии оставляют инвариантным вид уравнения (2).

Обозначим через X продолжение порядка p оператора (3).

p Предложение 1. Для того чтобы инфинитезимальный оператор вида (3) являлся оператором симметрии уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция = (x), удовлетворяющая тождеству X (Lu) (x) Lu (5) p для любой функции u = u(x) из области определения уравне ния (1).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Справедливость предложения 1 следует из структуры фор мул продолжения [1] для инфинитезимального оператора ви да (3).

Сформулируем основной результат работы [35].

Теорема 1. Алгебра Ли операторов симметрии уравнения (2) является подалгеброй алгебры Ли операторов симметрии уравнения (1), выделяемой соотношениями i (x0 ) = 0, i = 1,..., m, (6) m i (x0 ) (x0 ) + = 0. (7) xi i= Замечание 1. В работе [39, p. 61] вместо условия (7) пред ложено другое условие. Авторы использовали определение сим метрии, справедливое только для линейных дифференциаль ных уравнений [20], и для получения своего условия применя ли инфинитезимальный критерий инвариантности дифферен циального уравнения. Подчеркнем, что в работе [35] при дока зательстве теоремы 1 использовались конечные (не инфините зимальные) преобразования левой и правой частей линейного дифференциального уравнения с -функцией в правой части.

Определение 2. Симметриями фундаментальных реше ний (или симметриями уравнения (2)) будем называть сим метрии уравнения (1), удовлетворяющие соотношениям (6), (7).

Сформулируем алгоритм нахождения фундаментальных ре шений на основе использования симметрий:

1. Нахождение общего вида оператора симметрии линейного дифференциального уравнения (1) и соответствующей ему функции (x), удовлетворяющей тождеству (5).

2. Получение на основе ограничений (6), (7) алгебры Ли опе раторов симметрии уравнения (2).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 3. Построение инвариантных фундаментальных решений с по мощью симметрий уравнения (2).

4. Получение новых фундаментальных решений из известных с помощью симметрий уравнения (2) (производство решений).

Замечание 2. При нахождении обобщенных инвариант ных фундаментальных решений необходимо решать редуциро ванные уравнения (эти уравнения записываются в инвариантах соответствующих групп преобразований) в классе обобщенных функций.

Замечание 3. Построение фундаментальных решений с помощью симметрий линейных уравнений с -функцией в пра вой части особенно эффективно для многомерных линейных уравнений (даже с постоянными коэффициентами) и для урав нений с переменными коэффициентами, когда традиционный метод интегральных преобразований неприменим.

2. Примеры построения инвариантных фундамен тальных решений. Рассмотрим несколько примеров нахож дения симметрий фундаментальных решений и построения ин вариантных фундаментальных решений классических уравне ний математической физики.

Пример 1. Рассмотрим одномерное уравнение теплопро водности u 2 u 2 = 0. (8) t x Фундаментальные решения уравнения теплопроводности удо влетворяют уравнению u 2 u 2 = (x, t). (9) t x Выпишем конечномерную часть базиса алгебры Ли опера ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., торов симметрии уравнения (8) [49]:

X1 =, X2 =, X3 = x + 2t, x t x t + 4t2 (x2 + 2t)u X4 = 4xt, x t u X5 = 2t xu, X6 = u.

x u u Найдем операторы симметрии, допускаемые уравнением (9).

Для этого запишем общий вид оператора симметрии, допуска емого уравнением (8), X = ai Xi (i = 1,..., 6) или X = (a1 + a3 x + 4a4 xt + 2a5 t) + x (10) + (a2 + 2a3 t + 4a4 t ) a4 (x2 + 2t) + a5 x a6 u, t u где ai (i = 1,..., 6) – произвольные постоянные. Оператору симметрии (10) соответствует функция (x, t) = 2a3 + a4 (x2 + 10t) + a5 x a6.

Тогда, используя теорему 1, находим a1 = a2 = 0, a3 + a6 = 0.

В результате получаем следующее предложение.

Предложение 2. Уравнение (9) допускает алгебру Ли опе раторов симметрии с базисом конечномерной части Y1 = x + 2t u, x t u + 4t2 (x2 + 2t)u Y2 = 4xt, (11) x t u Y3 = 2t xu.

x u ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Фундаментальное решение уравнения теплопроводности из вестно (см. [28, с. 198]) :

x (t) u = e 4t, (12) 2 t где (t) – функция Хевисайда. Очевидно, что оно является ин вариантным относительно однопараметрической группы пре образований, соответствующей оператору симметрии Y1 (опе ратору симметрии Y1 соответствует однопараметрическая груп па неоднородных растяжений x = ea x, t = e2a t, u = ea u, где a – групповой параметр).

Покажем, что фундаментальное решение (12) является ин вариантным относительно однопараметрических групп преоб разований, соответствующих операторам симметрии Y2, Y3.

Оператору симметрии Y2 соответствует однопараметрическая группа преобразований [7, с. 166] :

x x=, 1 4at t t=, (13) 1 4at ax u = u 1 4at e 14at.

Непосредственной проверкой проверяется инвариантность фун даментального решения (12) относительно однопараметриче ской группы преобразований (13). Аналогично, оператору сим метрии Y3 соответствует однопараметрическая группа преоб разований [7, с. 166] :

x x=, t = t, 1 4at (14) u = u eaxa t, и фундаментальное решение (12) инвариантно относительно однопараметрической группы преобразований (14).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Предложение 3. Фундаментальное решение (12) инвари антно относительно группы преобразований, соответствую щей алгебре Ли операторов симметрии с базисом (11).

Пример 2. Рассмотрим двумерное бигармоническое урав нение 4u 4u 4u u = + 2 2 2 + 4 = 0. (15) x4 x y y Фундаментальные решения двумерного бигармонического урав нения удовлетворяют уравнению 4u 4u 4u + 2 2 2 + 4 = (x, y). (16) x4 x y y Выпишем конечномерную часть базиса алгебры Ли опера торов симметрии уравнения (15) [16, c. 324;

50] :

X1 =, X2 =, X3 = x +y, x y x y X5 = (x2 y 2 ) X4 = y x, + 2xy + 2xu, x y x y u + (y 2 x2 ) X6 = 2xy + 2yu, X7 = u.

x y u u Найдем операторы симметрии, допускаемые уравнением (16).

Для этого запишем общий вид оператора симметрии, допуска емого уравнением (15), X = ai Xi (i = 1,..., 7) или X = a1 + a3 x + a4 y + a5 (x2 y 2 ) + 2a6 xy + x + a2 + a3 y a4 x + 2a5 xy + a6 (y 2 x2 ) + (17) y + (2a5 x + 2a6 y + a7 )u, u где ai (i = 1,..., 7) – произвольные постоянные. Оператору симметрии (17) соответствует функция (x, y) = a7 4a3 6a5 x 6a6 y.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Тогда, используя теорему 1, находим a1 = a2 = 0, a7 2a3 = 0.

Предложение 4. Уравнение (16) допускает алгебру Ли операторов симметрии с базисом конечномерной части:

Y1 = x +y + 2u, x y u Y2 = y x, x y Y3 = (x2 y 2 ) + 2xy + 2xu, x y u + (y 2 x2 ) Y4 = 2xy + 2yu.

x y u Фундаментальное решение бигармонического уравнения из вестно (см. [51, с. 177]) :

x2 + y ln (x2 + y 2 ).

u= (18) Оператору симметрии Y1 соответствует однопараметриче ская группа неоднородных растяжений x = ea x, t = ea t, u = e2a u, где a – групповой параметр. Под действием этой однопараметрической группы фундаментальное решение (18) преобразуется в фундаментальное решение:

x2 + y ln (x2 + y 2 ) + 2a.

u= Очевидно, что решение (18) инвариантно относительно од нопараметрической группы вращений, соответствующей опера тору симметрии Y2.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Рассмотрим оператор симметрии Y3. Оператору симметрии Y3 соответствует однопараметрическая группа преобразований:

x a(x2 + y 2 ) x=, 1 2ax + a2 (x2 + y 2 ) y y=, (19) 1 2ax + a2 (x2 + y 2 ) u u=, 1 2ax + a2 (x2 + y 2 ) где a – групповой параметр.

Под действием однопараметрической группы преобразова ний (19) фундаментальное решение (18) преобразуется в нетри виальное фундаментальное решение:

x a(x2 + y 2 ) + y [x a(x2 + y 2 )]2 + y u= · ln.

16[1 2ax + a2 (x2 + y 2 )] 1 2ax + a2 (x2 + y 2 ) (20) Аналогично можно рассмотреть оператор симметрии Y4.

Оператору симметрии Y4 соответствует однопараметрическая группа преобразований:

x x=, 1 2ay + a2 (x2 + y 2 ) y a(x2 + y 2 ) y=, (21) 1 2ay + a2 (x2 + y 2 ) u u=, 1 2ay + a2 (x2 + y 2 ) где a – групповой параметр.

Под действием однопараметрической группы преобразова ний (21) фундаментальное решение (18) преобразуется в нетри виальное фундаментальное решение:

2 1 x2 + y a(x2 + y 2 ) x2 + y a(x2 + y 2 ) u= · · ln.

16 1 2ay + a2 (x2 + y 2 ) 1 2ay + a2 (x2 + y 2 ) (22) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Замечание 4. Можно рассмотреть композицию преобразо ваний (19), (21). Тогда вместо однопараметрических семейств (20), (22) фундаментальных решений бигармонического урав нения можно получить двухпараметрическое семейство фун даментальных решений.

Пример 3. Рассмотрим двумерное волновое уравнение 2u 2u 2u = 0. (23) t2 x2 y Фундаментальные решения двумерного волнового уравнения удовлетворяют уравнению 2u 2u 2u = (x, y, t). (24) t2 x2 y Выпишем конечномерную часть базиса алгебры Ли опера торов симметрии уравнения (23) (см. [7, с. 171]) :

X1 =, X2 =, X3 =, x y t X4 = x +y +t, X5 = y x, x y t x y X6 = t +x, X7 = t +y, x t y t X8 = (x2 y 2 + t2 ) + 2xy + 2xt xu, x y t u + (y 2 x2 + t2 ) X9 = 2xy + 2yt yu, x y t u + (x2 + y 2 + t2 ) X10 = 2xt + 2yt tu, x y t u X11 = u.

u Найдем операторы симметрии, допускаемые уравнением (24).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Для этого запишем общий вид оператора симметрии, допуска емого уравнением (23), X = ai Xi (i = 1,..., 11) или X = a1 + a4 x + a5 y + a6 t + a8 (x2 y 2 + t2 ) + + 2a9 xy + 2a10 xt + x + a2 + a4 y a5 x + a7 t + 2a8 xy + + a9 (y 2 x2 + t2 ) + 2a10 yt + (25) y + a3 + a4 t + a6 x + a7 y + 2a8 xt + 2a9 yt + + 2a10 (x2 + y 2 + t2 ) t (a8 x + a9 y + a10 t a11 )u, u где ai (i = 1,..., 11) – произвольные постоянные. Оператору симметрии (25) соответствует функция (x, y, t) = 2a4 5(a8 x + a9 y + a10 t) + a11.

Тогда, используя теорему 1, находим a1 = a2 = a3 = 0, a4 + a11 = 0.

В результате получаем следующее предложение.

Предложение 5. Уравнение (24) допускает алгебру Ли операторов симметрии с базисом конечномерной части:

Y1 = x +y +t u, x y t u Y2 = y x, x y Y3 = t +x, x t ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Y4 = t +y, y t Y5 = (x2 y 2 + t2 ) + 2xy + 2xt xu, x y t u + (y 2 x2 + t2 ) Y6 = 2xy + 2yt yu, x y t u + (x2 + y 2 + t2 ) Y7 = 2xt + 2yt tu.

x y t u Фундаментальное решение двумерного волнового уравне ния известно (см. [28, с. 200]) :

x2 + y 2 ) (t u=. (26) t2 x2 y Оператору симметрии Y1 соответствует однопараметриче ская группа неоднородных растяжений x = ea x, y = ea y, t = ea t, u = ea u, где a – групповой параметр. Фундамен тальное решение (26) инвариантно относительно действия этой однопараметрической группы преобразований.

Оператору симметрии Y2 соответствует однопараметриче ская группа вращений в плоскости (x,y) :

x = x cos a + y sin a, y = x sin a + y cos a, (27) t = t, u = u.

Оператору симметрии Y3 соответствует однопараметрическая группа гиперболических вращений в плоскости (x,t) :

x = x ch a + t sh a, t = x sh a + t ch a, (28) y = y, u = u.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Оператору симметрии Y4 соответствует однопараметрическая группа гиперболических вращений в плоскости (y,t) :

y = y ch a + t sh a, t = y sh a + t ch a, (29) x = x, u = u.

Фундаментальное решение (26) инвариантно относительно дей ствия однопараметрических групп преобразований (27), (28), (29).

Оператору симметрии Y5 соответствует однопараметриче ская группа преобразований [7, с. 172] :

x + a(t2 x2 y 2 ) x=, 1 2ax a2 (t2 x2 y 2 ) y y=, 2 (t2 x2 y 2 ) 1 2ax a (30) t t=, 2 (t2 x2 y 2 ) 1 2ax a 1 2ax a2 (t2 x2 y 2 ) u.

u= Под действием однопараметрической группы преобразований (30) фундаментальное решение (26) преобразуется в нетриви альное фундаментальное решение:

1 2ax a2 (t2 x2 y 2 ) u= t2 [x + a(t2 x2 y 2 )]2 y 2 (31) [x + a(t2 x2 y 2 )]2 + y 2.

t Можно показать, что оператору симметрии Y6 соответству ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ет однопараметрическая группа преобразований:

x x=, a2 (t2 x2 y 2 ) 1 2ay y + a(t2 x2 y 2 ) y=, 1 2ay a2 (t2 x2 y 2 ) (32) t t=, 2 (t2 x2 y 2 ) 1 2ay a 1 2ay a2 (t2 x2 y 2 ) u.

u= Под действием однопараметрической группы преобразований (32) фундаментальное решение (26) преобразуется в нетриви альное фундаментальное решение:

1 2ay a2 (t2 x2 y 2 ) u= t2 x2 [y + a(t2 x2 y 2 )] 2 (33) x2 + [y + a(t2 x2 y 2 )]2.

t Можно показать, что оператору симметрии Y7 соответству ет однопараметрическая группа преобразований:

x x=, a2 (t2 x2 y 2 ) 1 2at + y y=, a2 (t2 x2 y 2 ) 1 2at + (34) t a(t2 x2 y 2 ) t=, 1 2at + a2 (t2 x2 y 2 ) 1 2at + a2 (t2 x2 y 2 ) u.

u= Под действием однопараметрической группы преобразований (34) фундаментальное решение (26) преобразуется в нетриви ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., альное фундаментальное решение:

1 2at + a2 (t2 x2 y 2 ) u= [t a(t2 x2 y 2 )]2 x2 y 2 (35) t a(t2 x2 y 2 ) x2 + y 2.

Замечание 5. Можно рассмотреть композицию преобра зований (30), (32), (34). Тогда вместо однопараметрических се мейств (31), (33), (35) фундаментальных решений двумерного волнового уравнения можно получить трехпараметрическое се мейство фундаментальных решений.

Пример 4. Рассмотрим трехмерное уравнение Лапласа:

2u 2u 2u + + = 0. (36) x2 y2 z Фундаментальные решения трехмерного уравнения Лапласа удо влетворяют уравнению 2u 2u 2u + + = (x, y, z). (37) x2 y2 z Выпишем конечномерную часть базиса алгебры Ли опера торов симметрии уравнения (36) (см. [6, с. 94]) :

X1 =, X2 =, X3 =, x y z X4 =x +y +z, X5 = y x, x y z x y X6 =z x, X7 = z y, x z y z = (x2 y 2 z 2 ) X8 + 2xy + 2xz xu, x y z u + (y 2 x2 z 2 ) X9 = 2xy + 2yz yu, x y z u ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., + (z 2 x2 y 2 ) X10 = 2xz + 2yz zu, x y z u X11 = u.

u Найдем операторы симметрии, допускаемые уравнением (37).

Для этого запишем общий вид оператора симметрии, допуска емого уравнением (36), X = ai Xi (i = 1,..., 11) или X = a1 + a4 x + a5 y + a6 z + a8 (x2 y 2 z 2 ) + + 2a9 xy + 2a10 xz + x + a2 + a4 y a5 x + a7 z + 2a8 xy + + a9 (y 2 x2 z 2 ) + 2a10 yz + (38) y + a3 + a4 z a6 x a7 y + 2a8 xz + 2a9 yz + + a10 (z 2 x2 y 2 ) z (a8 x + a9 y + a10 z a11 )u, u где ai (i = 1,..., 11) – произвольные постоянные. Оператору симметрии (38) соответствует функция (x, y, z) = 2a4 5(a8 x + a9 y + a10 z) + a11.

Тогда, используя теорему 1, находим a1 = a2 = a3 = 0, a4 + a11 = 0.

В результате получаем следующее предложение.

Предложение 6. Уравнение (37) допускает алгебру Ли ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., операторов симметрии с базисом конечномерной части:

Y1 = x +y +t u, x y t u Y2 =y x, x y Y3 =z x, x z Y4 =z y, y z = (x2 y 2 z 2 ) Y5 + 2xy + 2xz xu, x y z u + (y 2 x2 z 2 ) Y6 = 2xy + 2yz yu, x y z u + (z 2 x2 y 2 ) Y7 = 2xz + 2yz zu.

x y z u Фундаментальное решение трехмерного уравнения Лапласа известно (см. [28, с. 202]) :

u=. (39) x2 + y2 + z Оператору симметрии Y1 соответствует однопараметриче ская группа неоднородных растяжений x = ea x, y = ea y, t = ea t, u = ea u, где a – групповой параметр. Фундамен тальное решение (39) инвариантно относительно действия этой однопараметрической группы преобразований.

Операторам симметрии Y2, Y3, Y4 соответствуют однопара метрические группы вращений в плоскостях (x, y), (x, z), (y, z) соответственно. Фундаментальное решение (39) инвариантно относительно действия этих однопараметрических групп пре образований.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Можно показать, что оператору симметрии Y5 соответству ет однопараметрическая группа преобразований:

x a(x2 + y 2 + z 2 ) x=, 1 2ax + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) y y=, 1 2ax + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) (40) z z=, 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1 2ax + a 1 2ax + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) u.

u= Под действием однопараметрической группы преобразований (40) фундаментальное решение (39) преобразуется в нетриви альное фундаментальное решение:

1 2ax + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) u=. (41) [x a(x2 + y 2 + z 2 )]2 + y 2 + z Можно показать, что оператору симметрии Y6 соответству ет однопараметрическая группа преобразований:

x x=, 1 2ay + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) y a(x2 + y 2 + z 2 ) y=, 1 2ay + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) (42) z z=, 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1 2ay + a 1 2ay + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) u.

u= Под действием однопараметрической группы преобразований (42) фундаментальное решение (39) преобразуется в нетриви альное фундаментальное решение:

1 2ay + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) u=. (43) x2 + [y a(x2 + y 2 + z 2 )]2 + z ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Можно показать, что оператору симметрии Y7 соответству ет однопараметрическая группа преобразований:

x x=, a2 (x2 + y2 + z2) 1 2az + y y=, a2 (x2 + y2 + z2) 1 2az + (44) z a(x2 + y 2 + z 2 ) z=, 1 2az + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1 2az + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) u.

u= Под действием однопараметрической группы преобразований (44) фундаментальное решение (39) преобразуется в нетриви альное фундаментальное решение:

1 2az + a2 (x2 + y 2 + z 2 ) u=. (45) x2 + y 2 + [z a(x2 + y 2 + z 2 )] Замечание 6. Можно рассмотреть композицию преобра зований (40), (42), (44). Тогда вместо однопараметрических се мейств (41), (43), (45) фундаментальных решений трехмерного уравнения Лапласа можно получить трехпараметрическое се мейство фундаментальных решений.

3. Метод построения функции Римана на основе ис пользования симметрий фундаментальных решений.

Рассмотрим общее линейное гиперболическое уравнение второ го порядка с двумя независимыми переменными:

Lu = uxy + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f (x, y). (46) Метод Римана основывается на следующем тождестве:

2(vLu uL v) = (vuy uvy + 2auv)x + (vux uvx + 2buv)y ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., и вытекающей из него формулы Грина:

(vLu uL v) dxdy = 2 [(vux uvx + 2buv) dx + G + (vuy uvy + 2auv) dy].

Здесь L v = vxy (av)x (bv)y + cv – сопряженное с Lu диффе ренциальное выражение;

G – область интегрирования с кусочно гладким контуром.

Метод Римана сводит задачу интегрирования уравнения (46) к построению вспомогательной функции Римана v = = R(x, y;

x, y ), удовлетворяющей однородному сопряженно му уравнению (по переменным x, y) :

L R = и следующим условиям на характеристиках:

(Ry aR)|x=x = 0, (Rx bR)|y=y = 0, R(x, y ;

x, y ) = 1.

С помощью функции Римана для уравнения (46) строятся об щие решения задачи Коши и характеристической задачи Коши (задачи Гурса).

Функция Римана обладает следующим свойством взаимно сти:

R (x, y;

x, y ) = R(x, y ;

x, y), (47) где R (x, y;

x, y ) – функция Римана сопряженного уравнения, которая является решением следующей характеристической за дачи Коши:

LR = 0, (Ry + aR ) = 0, x=x (48) (Rx + bR )|y=y = 0, R (x, y ;

x, y ) = 1.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Оператор симметрии однородного уравнения (46) имеет вид [52] :

X = 1 (x) + 2 (y) + (x, y) u.

x y u и при этом должны быть выполнены следующие соотношения:

(b 1 ) b + + = 0, x x y (a 2 ) a + 1 (49) + = 0, y y x 2 (c 1 ) (c 2 ) +a +b + + = 0.

xy x y x y Функция = (x, y), удовлетворяющая тождеству X (Lu) Lu, имеет вид d 1 d =. (50) dx dy Рассмотрим уравнение Lu = (x x ) (y y ), (51) описывающее фундаментальные решения однородного уравне ния (46). Тогда операторы симметрии фундаментальных ре шений (или симметрии уравнения (51)) удовлетворяют в силу теоремы 1 следующим дополнительным соотношениям:

1 (x ) = 0, 2 (y ) = 0, (52) d 1 (x ) d 2 (y ) (x, y ) + + = 0.

dx dy Покажем, что соотношения на характеристиках для зада чи Коши (48) инвариантны относительно оператора симметрии (48) при условиях (52). Отметим, что характеристики x = x, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., y = y инвариантны относительно операторов симметрии фун даментальных решений. Из соотношений (50) и (52) следует, что (x, y ) = 0. Это означает инвариантность последнего со отношения характеристической задачи Коши (48).

Запишем условие инвариантности соотношения на характе ристике x = x :

X (uy + au) x = x = u = R или d (uy + au) + dy (53) (a 2 ) a + +u + x = x = 0.

y y x u = R Условие инвариантности (53) выполнено в силу второго соот ношения (49). Аналогично доказывается инвариантность соот ношения на характеристике y = y.

Таким образом, доказана теорема, представляющая основ ной результат работы [53].

Теорема 2. Симметрии фундаментальных решений ли нейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными оставляют инвариантной функ цию Римана сопряженного уравнения.

Из теоремы 2 следует, что функция Римана сопряженно го уравнения является инвариантным относительно симмет рий фундаментальных решений решением исходного уравне ния. Тогда функция Римана исходного уравнения находится из соотношения взаимности (47).

Сформулируем алгоритм построения функции Римана на основе использования симметрий фундаментальных решений:

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 1. Нахождение симметрий линейного однородного уравне ния (46).

2. Вычисление симметрий фундаментальных решений.

3. Построение инвариантных решений с помощью симметрий фундаментальных решений.

4. Выделение функции Римана из найденных инвариантных решений, используя условие непрерывности функции Рима на и ее первых производных в точке (x, y ) и условие, что R(x, y ;

x, y ) = 1.

Замечание 7. Данный алгоритм позволяет находить функ цию Римана гиперболического уравнения, не переходя к харак теристическим переменным. Это подчеркивает инвариантную природу данного метода построения функции Римана.

4. Пример построения функции Римана. Рассмотрим уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу:

2 t 2 + 1 t 2t + 2 = 0. (54) r2 r r z Построим функцию Римана уравнения (54). При этом не будем переходить к характеристическим переменным.

Предложение 7. Уравнение (54) допускает при = ±1/ следующий базис алгебры Ли операторов симметрии:

Y1 =, Y2 = r +z, z r z + (r2 + z 2 ) Y3 = 2rz (2 + 1)zt, r z t Y4 = t, Y = b(r, z), t t где b(r, z) – произвольное решение уравнения 2 b (2 + 1) b 2b + 2 = 0.

r2 r r z ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Рассмотрим уравнение 2 t 2 + 1 t 2t + 2 = (r r0 )(z z0 ). (55) r2 r r z Предложение 8. Уравнение (55) допускает оператор сим метрии + r2 + (z z0 )2 r0 Y = 2r(zz0 ) (2+1)(zz0 )t.

r z t (56) Построим инвариантное относительно оператора симмет рии (56) решение уравнения (54).

Предложение 9. Оператор симметрии (56) имеет два функционально независимых инварианта r2 (z z0 )2 + r0 2 = r+ 2 t.

=, 2rr Инвариантные решения уравнения (54) ищем в виде = f (), или t = r 2 f ().

Предложение 10. Решения Эйлера–Пуассона–Дарбу (54), инвариантные относительно оператора симметрии (56), име ют следующий вид :

t = r 2 C1 P () + C2 Q (), (57) 1 2 где P1/2 (), Q1/2 () – функции Лежандра первого и второго рода [54];

C1, C2 – произвольные постоянные.

Из инвариантных решений (57) можно легко выделить функ цию Римана уравнения (54).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Предложение 11. Функция Римана уравнения (54) име ет следующий вид :

r R(r, z;

r0, z0 ) = P (). (58) r0 Замечание 8. Функция Римана (58) описывает с точно стью до постоянного множителя t0 решение характеристиче ской задачи для взаимного проникновения двух центрирован ных волн разрежения [55].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.

М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 400 с.

2. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.

Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 240 с.

3. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференци альных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. 132 с.

4. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.–Л.: Государственное изд-во тех нико-теоретической лит-ры, 1940. 396 с.

5. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: Изд-во ИЛ, 1947. 360 с.

6. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике.

М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. 280 с.

7. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям.

Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 639 с.

8. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точ ные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев:

Наукова думка, 1989. 336 с.

9. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Примене ние теоретико–групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука, 1994. 319 с.

10. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. 352 с.

11. Киряков П.П., Сенашов С.И., Яхно А.Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Ново сибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 192 с.

12. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Dierential Equations. Edited by N.H. Ibragimov. CRC Press. USA :

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Vol. 1. Symmetries, exact solutions, and conservation laws. 1994. 429 p.

Vol. 2. Applications in engineering and physical sciences. 1995. 546 p.

Vol. 3. New trends in theoretical developments and computational methods. 1996. 536 p.

13. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Dierential Equations. John Wiley & Sons Ltd. Great Britain. 1999. 347 p.

14. Ibragimov N.H. Introduction to Modern Group Analysis. Ufa: Изд-во ”Тау”.

2000. 113 p.

15. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Dierential Equations. Springer– Verlag New York, Inc. 1989. 412 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 81).

16. Bluman G.W., Anco St.C. Symmetry and Integration Methods for Dieren tial Equations. Springer–Verlag New York, Inc. 2002. 419 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 154).

17. Cantwell Br. J. Introduction to Symmetry Analysis. Cambridge. Cambrid ge University Press. 2002. 654 p.

18. Euler N., Steeb W.–H. Continuous Symmetries, Lie Algebras and Dieren tial equations. Leipzig. Wissenschaftsverlag. 1992. 320 p.

19. Hydon P.E. Symmetry Methods for Dierential Equations. A Beginner’s Guide. Cambridge. Cambridge University Press. 2000. 213 p.

20. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. 344 с.

21. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. 10-е издание.

М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 432 с.

22. Чеботарев Н.Г. Доказательство –теоремы. Собрание сочинений. Т. II.

М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1949. С. 414–416.

23. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. 44 с.

(Новое в жизни, науке, технике. Серия Математика, кибернентика.

№ 8).

24. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи математических наук. 1992. Т. 47. Вып. 4. С. 83–144.

25. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Обобщенные функции. Выпуск 1. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры, 1958. 439 с.

26. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. Обобщенные функции. Выпуск 2. М.: Государственное изд во физико-математической лит-ры, 1958. 307 с.

27. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференци альных уравнений. Обобщенные функции. Выпуск 3. М.: Государствен ное изд-во физико-математической лит-ры, 1958. 274 с.

28. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. 320 с.

29. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функ ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ций. Секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. 312 с.

30. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с при ложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

31. Берест Ю.Ю. Слабые инварианты локальных групп преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 10. С. 1796–1803.

32. Аксенов А.В. Симметрии и фундаментальные решения многомерно го обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа. IX коллокви ум ”Современный групповой анализ. Методы и приложения”. Нижний Новгород, 24–30 июня 1992 г.: Тезисы докладов. Нижний Новгород:

НИРФИ, 1992. С. 3.

33. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производ ными и фундаментальные решения // Успехи математических наук.

1994. Т. 49. Вып. 4. С. 143–144.

34. Аксенов А.В. Симметрии фундаментальных решений линейных урав нений с частными производными. В кн.: Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. М.: Изд-во Московского универ ситета, 1994. С. 213–215.

35. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производ ными и фундаментальные решения // Доклады АН. 1995. Т. 342. № 2.

С. 151–153.

36. Берест Ю.Ю. Групповой анализ линейных дифференциальных урав нений в обобщенных функциях и построение фундаментальных реше ний // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 11. С. 1958–1970.

37. Berest Yui Yu., Ibragomov Nail H. Group Theoretic Determination of Fundamental Solutions // Lie Groups and their Applications. 1994. Vol. 1.

№ 2. P. 65–80.

38. Берест Ю.Ю. Построение фундаментальных решений для гюйгенсо вых уравнений как инвариантных решений // Доклады АН СССР.

1991. Т. 317. № 4. C. 786–789.

39. Berest Y.Y., Ibragimov N.H. and Oganesyan A.O. Conformal invariance, Huygens principle and fundamental solutions for scalar second order hyper bolic equations. In: Modern Group Analysis: Advanced Analytical and Computational Methods in Mathematical Physics. Edited by N.H. Ibragi mov et al. Kluwer Academic Publishers. 1993. P. 55–69.

40. Аксенов А.В. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа // Дифференци альные уравнения. 1995. Т. 31. № 10. С. 1697–1700.

41. Аксенов А.В. Периодические инвариантные решения уравнений абсо лютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела.

1997. № 2. С. 14–20.

42. Риман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды // В кн.: Риман Б. Сочинения. М.–Л.: ОГИЗ, 1948. C. 376–395.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 43. Darboux G. Leons sur la thorie gnrale des surfaces et les applications c e ee gomtriques du calcul innitsimal. T. II. Paris. 2 ed. 1915 (1 ed., 1888).

ee e 579 p.

44. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. III. ч. 1. М.–Л.: ГТТИ, 1933. 276 c.

45. Copson E.T. On the Riemann–Green Function // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1957/58. V. 1 P. 324–348.

46. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными про изводными гиперболического типа. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 352 с.

47. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, сер. Матема тика и кибернетика, 1991. № 7. 48 с.

48. Bluman G. Simplifying the form of Lie groups admitted by a given dieren tial equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1990.

Vol. 145. N. 1. P. 52–62.

49. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partieller Dierentialgleichungen // Archiv der Mathematik. 1881.

Bd. 6. Heft 3. S. 328–368.

50. Bluman G.W., Gregory R.D. On transformations of the biharmonic equa tion // Mathematica. 1985. Vol. 32. Pp. 118–130.

51. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений М.–Л.:

ОГИЗ. Гостехиздат, 1948. 296 с.

52. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения С.А. Чаплыгина // Журнал прикладной механики и технической физики. 1960. № 3. С. 126– 145.

53. Аксенов А.В. Метод построения функции Римана гиперболического уравнения второго порядка // Тезисы докладов международной кон ференции ”Дифференциальные уравнения, теория функций и прило жения”, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Ве куа. 28 мая–2 июня 2007. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2007. С. 47–48.

54. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 296 с.

55. Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.:

Изд-во ИЛ, 1950. 426 с.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 517. А.В. Беляев Донецкий институт рынка и социальной политики nika@vnet.dn.ua ОБ ОДНОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕГО УСЛОВИЯМ ГЕССА Доказано отсутствие однозначных решений задачи о движении тяже лого твердого тела, удовлетворяющего условиям Гесса, при отличном от нуля интеграле Гесса.

Задача о движении тяжелого твердого тела задается урав нениями, полученными Эйлером и Пуассоном:

Ap = Ap p + r, (0.1) = p, здесь p = (p1, p2, p3 ) C3, = (1, 2, 3 ) C3, r = (r1, r2, r3 ) R3, A = diag(A1, A2, A3 ), 0 Ai Aj + Ak для различных i, j, k.

Эти уравнения (см., например, [1]), называемые далее урав нениями Эйлера–Пуассона, задают закон изменения угловой скорости p вращения тела и вектора силы тяжести в координа тах, связанных с телом, в которых оператор инерции A имеет диагональный вид.

Уравнения Эйлера–Пуассона при всех значениях исходных параметров имеют три первых интеграла:

H= Ap, p +, r, M = Ap,, T =,.

Вообще говоря, этих интегралов недостаточно для полной ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., интегрируемости системы, но при специальных условиях на па раметры задачи дополнительный четвертый интеграл может существовать.

В настоящее время известно 14 общих и частных решений задачи, приведенных в монографии [1] и обзоре [2]. Невыяснен ным остается вопрос о существовании новых частных решений.

Несколько сужая поиск, мы желаем найти полный список однозначных решений рассматриваемой задачи (см. [3]). Для этого мы используем идею Ковалевской [4], рассмотревшей ре шения уравнений Эйлера–Пуассона как функции комплексного переменного в особых точках комплексной плоскости времени, а также идею факторизации фазового пространства ([5]) для его компактификации. Это дает возможность получить пол ную классификацию особых точек решений уравнений Эйлера– Пуассона, на основе которой и строится классификация одно значных решений [5–7]. Для ряда случаев получены полные списки однозначных решений в [8–11].

Случай Гесса ([12]), задаваемый интегралом I = Ap, r = 0, (0.2) интересен тем, что при выполнении условий Гесса на твердое тело 2 A1 B23 r1 = A2 B31 r2, r3 = 0, (0.3) некоторые особые точки оказываются однозначными при всех значениях свободных параметров. Это является причиной су ществования однозначных решений, полный список которых имеется в [13]. Доказательство полноты этого списка приведе но в [9].

В случае, когда функция I отлична от нуля, она уже не является первым интегралом, но однозначность особых точек сохраняется, а значит остается возможность существования од нозначных решений. Поиск таких решений и является той зада чей, которую мы решаем в настоящей статье. Мы доказываем, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., что не существует однозначных решений задачи о движении тяжелого твердого тела, удовлетворяющего условиям Гесса при отличном от нуля интеграле Гесса.

Далее для краткости эту задачу мы называем задачей Гесса.

Определение 1. Следующая алгебраическая система:

0 0 0 Ap p + r + A p = 0, (1.1) 0 0 p +2 = называется характеристической системой для уравнений Эй лера–Пуассона.

Теорема 1. ([6]) Пусть выполнено условие (B12 r1 ) = 0.

Тогда характеристическая система (1.1) имеет ровно восемь корней с учетом их кратностей, которые могут быть найдены при условии решения уравнения восьмой степени:

[r1 B23 (A1 )4 (2A2 )2 (2A3 ) P( ) = 2r2 r3 B12 B31 (A2 )2 (A3 )2 (2A1 ) (2A1 )] = 0, (2A2 )(2A3 ) 0 0 0 0 p1= = (A p p ) p, r,,, B12 B здесь означает циклическую перестановку индексов (1,2,3), Bij = Ai Aj. При этом каждому корню k полинома P( ) 0 соответствует ровно одно решение ( p, ) характеристической системы. Доказательство теоремы 1 приведено в [6].

Теорема 2. Асимптотика -особых точек имеет следующий вид:

p(t) = p t1 + 1 u1 + 2 i t lni t + 4 i vi t + o(t), 0 0 0 2 i (t) = 1 v1 t + 1 p ln t + 0 v1 + 4 p +t 0 i ln t+ +5 v1 t + o(t), ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 0 здесь ( p, ) – -решения характеристической системы (1.1), 1,...5 – свободные параметры, u1, vi, i, i, i выражаются через Ai, ri.


Асимптотика -особых точек имеет следующий вид:

p(t) =0 t1 + u t0 1 + 0 u0 t0 1 + u t + u t2 + p 00 22 + u t3 +... + i0 +j0 i 0j 0 ( ) ij t +..., i+j (t) = 0 t2 + v t0 2 + 0 v 0 t0 2 + v + v t+ 00 22 +4 v4 t2 +... + 0 ( 0 )j ij ti0 +j 2 +..., i i+j 0 здесь ( p, ) – -решения характеристической системы (1.1), i, 0, 0 – свободные параметры, ui, vi, ij, ij выражаются че 0 рез Ai, ri, p,.

Доказательство теоремы 2 приведено в [7].

2. Особые точки решений задачи Гесса Исходя из результатов, сформулированных в Теоремах 1 и 2, получаем аналогичные им предложения для задачи Гесса.

Предложение 1. В задаче Гесса полином P( ) имеет вид 2 (A1 + A2 ) + 3A2 A1 )( 2A3 ))2.

P( ) = ( ( Предложение 2. Асимптотика однозначных -особых то чек удовлетворяет условию A p, r = 0 и имеет следующий вид:

p(t) =0 t1 + 1 0, r 0 + p p p i vi t + o(t), (t) = A 0 t1 1 0, r A 0 + 0 + v t + o(t), p p p 4p 1 5 ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., здесь 1,...5 – свободные параметры, vi выражаются через Ai, ri, и p – -решения характеристической системы (1.1).

Параметры 0, 0 для корней полинома P( ) -особых точек равны:

0 = 3, = 0, 0 = 2, 4B23 B 0 = = 2A3, 0 = ±ki, ki, k=, A1 A (0) = 2 ± 1 S, 2 2 (A1 + A2 ) + 3A2 A1 = 0, 0 S = ((A1 + A2 A3 )(4A2 + 4A2 2A1 A3 2A2 A3 A1 A2 ) 1 (A2 ) + A1 A2 3A1 A3 3A2 A3 ))/ 3A2 A1 (2 (A1 (A3 )).

Замечание 1. Параметры асимптотики 0, 0 сопряжен ных -особых точек при = 2A3 являются заведомо не це лыми и приводят к ветвлению. Следовательно, для однознач ных решений 0, 0 равны нулю. В этом случае первые интег ралы H, M, T однозначно определяют единственное однознач ное решение с соответствующей особой точкой. Это решение относится к случаю Гесса A p, r = 0 и рассмотрено в [9].

Следовательно, однозначные решения A p, r = 0 не содер жат особых точек = 2A3.

Теорема 3. Параметры 0, 0, соответствующие корням 1, 2 полинома 2 (A1 + A2 ) + 3A2 A1 = 0, (2.1) не могут быть одновременно целыми ни при каких значениях параметров A1, A2, A3 твердого тела.

Доказательство. Корни полинома (2.1) равны = A1 + A2 ± D, 1, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., A2 A1 A2 + A2. Обозначим где D = 1 s = S( 1 ) + S( 2 ), d = S( 1 ) S( 2 ).

Если параметры 0, 0 целые, то целыми будут и числа s, d.

При этом мы заменяем A1 = a, A2 = b, A3 = 1, что не ограни чивает общности, так как степень однородности S равна нулю.

4(a + b 1)(a2 ab + b2 ) s=, ab 2D(2a2 + 2b2 + ab 2a 2b) d=.

ab Чтобы избавиться от корня D, рассмотрим еще одно представ ление некоторого целого числа d2 s2 12s = a2 ab + b2.

Мы имеем систему a2 ab + b2 = n1, a+b1 n =, ab n в которой числа n1, n2 – целые. Делая замену a = u + v, b = u v, получаем u2 + 3v 2 = n1, (2.2) 4n2 u2 + 24n1 u 12n1 n1 n2 = 0.

Подставляя из первого уравнения системы u2 во второе и учитывая, что 2u = a + b 1, получим 4v 2 n1 0. Поскольку 4v 2 = (a b)2 1, мы получаем n1 1 = n1 = 0, что противоречит первому уравнению системы (2.2).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Определение 2. Будем называть -особую точку опреде ляющей, если ее асимптотика такова, что параметры 0, не являются целыми.

Смысл этого определения заключается в том, что, если в од нозначном решении рассматриваемой задачи (0.1) встречаются хотя бы две такие особые точки, решение обязательно перио дично;

если есть три такие точки, не лежащие на одной пря мой, то решение – двоякопериодично. Это объясняется тем, что в асимптотике определяющей -точки коэффициенты при t0, t равны нулю в силу однозначности решения, а оставшиеся параметра однозначно определяются значениями трех первых интегралов решения.

Теорема 4. Параметры 0, 0, соответствующие корням 1, 2 полинома (2.1), не могут равняться 0, 1, 2 или 3 ни при каких значениях параметров твердого тела.

Доказательство этой теоремы представляет собой неслож ную проверку, поскольку в рассматриваемой задаче Гесса ха рактеристическая система (1.1) полностью решается.

3. Теорема об однозначных решениях задачи Гесса Теорема 5. Не существует однозначных решений задачи Гес са, не имеющего ни одной определяющей -особой точки.

Доказательство. Как следует из результатов предыдущего па раграфа, однозначные решения без определяющей особой точ ки могут иметь три пары сопряженных особых точек:

-особые точки, -особые точки ( = 0) и -особые точки (P( ) = 0). Для первых двух пар особых точек функция (Ap, r), как функция времени, имеет нуль первого порядка в окрестностях этих то чек, для третьей пары можно подобрать вектор c R3 так, что тем же свойством обладает функция (Ap, c). Тогда функ ция J = (Ap, r) (Ap, c) вообще не имеет особенностей и поэтому является целой. Рассуждение, аналогичное приведенному в [5] (теорема 3.11), влечет равенство этой функции константе, то есть функция J оказывается первым интегралом. Ее произ ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., водная с точностью до коэффициента равна (Ap, r)(B23 p3 r1 (Ap, c)+A2 r2 (p3 (B23 c1 p2 +B31 c2 p1 )+B12 c3 p1 p2 + +(c2 3 c3 2 )r1 (c1 3 c3 1 )r2 )) = 0.

Так как функция J отлична от нуля, то первым интегралом должна быть и функция J/(Ap, r). Далее, подставляя в эту функцию асимптотики особых точек, убеждаемся, что это не так.

Теорема 6. Пусть решение p(t), (t) уравнений Эйлера– Пуассона (0.1) имеет хотя бы одну определяющую -особую точку. Тогда это решение имеет представление 0 p f(t t ) + p f(t t ) + p0, p(t) = N M (3.1) 0 (t) = A p f(t t ) f(t t ) + 0, N M где функция f(t) есть t1, ctg(t), cth(t) или -функция Вейер 0 штрасса, {( p (), () )} – ()-решения характеристической системы (1.1), N, M – конечные множества интексов, нуме рующих, – особые точки решения, – свободные парамет ры, p0, 0 – подходящие константы.

Доказательство. Предположим, что рассматриваемое реше ние содержит одну определяющую особую точку. Если остав шихся особых точек бесконечное число, то существует предель ное однозначное решение без определяющей особой точки, что невозможно по доказанной теореме. Разница между имеющим ся решением и представлением (3.1) может быть только конс тантой в силу рассуждения из [5] (теорема 3.11).

Если решение имеет две определяющие особые точки, то оно периодично. Предположим, что оно не двоякопериодично.

Тогда в полосе периода будет конечное число не определяющих ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., особых точек, а иначе мы повторяем выше приведенное рас суждение.

Наконец, если решение имеет три определяющие особые точки, не лежащие на одной прямой, то решение двоякоперио дично с конечным числом особых точек в параллелограмме пе риодов.

Теорема 7. Не существует однозначных решений задачи Гесса при отличном от нуля интеграле Гесса.

Доказательство. Если решение имеет вид (3.1), причем функ ция f(t) равна t1, ctg(t), cth(t), то определяемая им траекто рия обязательно входит в особую точку дифференциальных уравнений (0.1), асимптотика которой вычисляется по асимпто тикам особых точек решения с точностью до неизвестных коор динат t, t этих точек. С другой стороны, та же асимптоти ка вычисляется, исходя из системы (0.1). Сравнивая получен ные таким образом асимптотики, убеждаемся, что полученные условия согласования асимптотик не могут быть выполнены.

Если решение двоякопериодическое, то сумма вычетов осо бых точек в параллелограмме периодов должна равняться ну лю ([14]). Но тогда в рассматриваемом решении не должно быть -точек. Этот случай рассмотрен в [11], где доказано, что однозначных решений соответствующего вида нет.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи ди намики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1978.

2. Лесина М.Е., Кудряшова Л.В. О некоторых направлениях исследова ний в донецкой школе динамики твердого тела // Механика твердого тела. Институт прикл. матем. и мех. НАН Украины. 2000. T. 30.

C. 35 68.

3. Belyaev A.V. On single-valued solutions of the Euler – Poisson’s equations // Mat. Studii. 2001. T. 15. №1. C. 93 104.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 4. Ковалевская С.В. Научные труды. M.: Изд-во АН СССР, 1948.

5. Belyaev A.V. The factorization of the ow dened by the Euler–Poisson’s equations // Methods of Functional Analysis and Topology. 2001.

T. 7. №4. P. 18 30.

6. Belyaev A.V. The characteristic system for the Euler–Poisson’s equations // Nonlinear Boundary problems. National Academy of Sciences of Ukraine institute of Appl. Math and Mech. 1999. №9. P. 135 147.

7. Беляев А.В. Асимптотика решений уравнений Эйлера–Пуассона в осо бых точках решений // Математическая физика. Анализ. Геометрия.

2001. Т. 8. №2. C. 128 142.

8. Belyaev A.V. The entire solutions of the Euler – Poisson’s Equations // Укр. мат. журн. 2004. T. 56 №5. C. 677 686.

9. Belyaev A.V. Analytic properties of the solutions of the Euler – Poisson equations in the Hessian case // Ukr. Math. Bull. 2005. V. 2. №3.

P. 301 321.

10. Беляев А.В. О решениях уравнений Эйлера – Пуассона в эллиптичес ких функциях Якоби // Нелинейные граничные задачи. Инст. прикл.

матем. и мех. НАН УССР. 2001. Т. 11. C. 9 18.

11. Belyaev A.V. On solutions of the Euler – Poisson’s equations which are linear combinations of and functions of Weierstrass // Mat. Studii.

2002. V. 18. №2. P. 187 196.

12. Hess W. Uber die Eulerschen Bewegungsgleichungen und uber eine neue partikulre Lsung des Problems der Bewegung eines starren schweren a o Krpers um einen festen Punkt // Math. Ann.

o 1890. 37. H. 2.

S. 153 181.

13. Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера–Пуассо на. Киев: Наукова думка, 1992.


14. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Мир, 1979.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 531. Л.А.Бурлакова Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск irteg@icc.ru К ВОПРОСУ О ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ Обсуждаются проблемы, связанные с решением задачи стабилизации потенциальных систем гироскопическими силами.

1. Постановка задачи. Матричное уравнение Ляпунова Рассматривается задача об устойчивости тривиального ре шения дифференциального уравнения M x + Gx + Kx = Q(x, x), (1) где M = M T 0, G = GT, K = K T (n n) матрицы гироскопических и потенциальных сил;

x, x (1n) матрицы координат и скоростей;

Q(x, x) матрица-столбец нелинейных сил, Q(0, 0) = 0.

Система (1) является критической по Ляпунову. Для таких систем актуальной является задача о стабилизации гироскопи ческими силами [1], [2]. Эта задача имеет важное приклад ное значение, но до сих пор не получила полного решения [3].

Большое внимание задаче устойчивости и стабилизации гиро скопических систем уделено в монографии [4]. Краткий обзор результатов, полученных для этой задачи методом функций Ляпунова, приведен в статье [5].

Введем функцию V :

V = xT N x + xT Lx + xT B T x + xT B x + F (x, x), (2) Работа поддержана ИНТАС-СО РАН, грант 06-1000013- ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., здесь F (x, x) – функция порядка (степени) более двух, L = LT, N = NT.

Вычислим производную от функции (2) для уравнения (1) и представим ее в виде V = xT W1 x + xT W2 x + xT W3 x + xT W3 x + (x, x), T здесь (y) – нелинейная функция, порядок которой более двух.

Тогда получим систему уравнений :

B + B T + G M 1 N N M 1 G = W1 ;

M 1 N N M 1 K + B T M 1 G + G M 1 B = W3 W3 ;

T K 1 B + B T M 1 K = 0;

W2 + K M 1 N + N M 1 K + B T M 1 G G M 1 B + W + W T ;

2L = K M 3 QT M 1 (N x + Bx) + (xT N + xT B T )M 1 Q + (F /x)x (F / x)M 1 (Gx + K x Q) = (x, x).

(3) Система (3) является расширенным вариантом матричного уравнения Ляпунова. В стандартной ситуации уравнение Ля пунова используется для получения функции Ляпунова при исследовании асимптотической устойчивости. В рассматрива емом случае для линейных систем возможна только устойчи вость, и наиболее эффективной функцией Ляпунова являет ся знакоопределенный первый интеграл системы (1). В общем случае нельзя выразить в матричном виде общее решение си стемы (3) [6]. Рассмотрим некоторые варианты для системы (3).

Вариант 1. Пусть N = 0. Если B = B T, то обязательно W1 = 0. Если B = B T, то W1 = 2B и по заданному W1 найдутся W2, W3. Если матрица B общего вида, то B = 1/2W1 +, где = T произвольная косо-симметричная матрица, и по заданной матрице W1 найдется W3 W3 = (1/2W1 )M 1 G + GM 1 (1/2W1 + ), T ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., W2 = K M 1 (1/2W1 + ) (1/2W1 )M 1 K.

Пример 1. Зададим W1 = 2M. Тогда для системы (3) имеем решение N = 0, B = M, W3 = G + G, L = G. Следователь но, для уравнения (1) можем записать соотношение dT (x M x + xT G x) = (x + M 1 P x)T M (x + M 1 P x) dt xT A1 x + xT Q, (2P = G + GT + G, A1 = K + P T M 1 P ), произвольное число ( 0 или 0);

G где матрица такая, что G = G GT, причем все элементы в G ниже диагонали равны нулю. В соответствии с теоремой Ляпунова о неустойчивости из этого соотношения следует теорема:

Теорема 1. Если A1 = K + 1/4( GT + G + G)T M 1 ( GT + G + G) 0, где произвольное число, то решение x = x = 0 системы (1) неустойчиво при любых нелинейных силах.

При = 0 из теоремы 1 следует известный результат [7]: три виальное решение системы (1) неустойчиво, если 4K GM 1 G 0.

Если 4K GM 1 G = 0, то для линейного уравнения (1) имеем следующую цепочку соотношений:

dT (x M x)/2 = xT M x = V1, dt V1 = xT M x xT Gx 1/4xT GM 1 Gx = V2, V2 = 0.

Система допускает первый интеграл V2 = c1, и из приведенной последовательности соотношений следует xT M x = c t2 + c2 t + c3, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., т.е. имеет место неустойчивость по x, x. Следовательно, спра ведлива Теорема 2. Если 4K GM 1 G 0, то линейная система (1) неустойчива.

Из теорем 1 и 2 можно получить достаточные условия, при которых невозможна гироскопическая стабилизация неустой чивой потенциальной системы. В частности, если линейная по тенциальная система имеет нечетную степень неустойчивости (detK 0), то гироскопическая стабилизация невозможна [1].

Вариант 2. Пусть N = 0. Если B = 0, то W2 = 0. Ес ли B = B T, то для первого уравнения (3) по заданному W1 решение для N всегда существует. Система, соответству ющая третьему уравнению (3), может быть не совместной. Ес ли B = B T, то по заданным матрицам W1, W2 определятся матрицы N, B, W3. Если B матрица произвольной структу ры, то по заданной матрице W2 всегда найдется решение для матрицы B (не единственное). Подставим это решение в пер вое уравнение (3), из которого найдем решение для N. Остав шееся уравнение (3) служит для выбора W3. Если выбрать W3 = K M 1 N + B T M 1 G, то получим L = W3 + W3.

T 2. Первые интегралы и теоремы об устойчивости Пусть Wi = 0 (i = 1, 2, 3). Тогда из (3) получим условия существования первого интеграла линейной системы (1). Для нелинейной системы к (3) можно присоединить уравнения:

xT ((F /x) + 2N M 1 Q + GM 1 (F / x)) 0, T (2B T M 1 Q K M 1 (F / x)) 0, T M 1 (F / x) x Q (4) как достаточные условия для того, чтобы (x, x) 0. Урав нения (4) служат для определения функции F (x, x), если она существует, или для нахождения Q, при которых функция (2) является первым интегралом.

Система (3) при Wi = 0 всегда имеет кроме тривиально го решения N = 0, B = 0 (B T = 0) множество решений. Если ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., существует нетривиальное решение N, B, то решением явля ются N1 = N ± N T, B1 = B ± B T, (i) N = PN QT + QN PT, B = PT B Q + QT B P, (ii) где P, Q – матрицы, перестановочные с M 1 G, M 1 K.

Утверждение. Линейная система (1) имеет n1 n независи мых квадратичных первых интегралов.

Выпишем некоторые решения системы (3) и первые инте гралы в матричном виде, так как решение конкретных задач может быть осложнено громоздкостью вычислений.

Известно, для системы (3) (Wi = 0) существуют решения:

a) N = M, B = 0, тогда L = K, и, следовательно, линейная система (1) имеет интеграл энергии h = V1 = xT M x + xT K x = const ;

(5) b) N = K G M 1 G, B = GT M 1 K, L = K M 1 K +G M 1 G;

этому решению соответствует интеграл линейной системы:

V2 = xT K x + (K x + Gx)T M 1 (K x + Gx) = const;

(6) c) N = M K 1 M, B = M K 1 G ;

тогда первый интеграл ли нейной системы имеет вид:

V3 = xT M K 1 M x+xT (M GK 1 G)x+2xT M K 1 G x = const.

Для нелинейной системы (1) интеграл энергии h1 = h U (x) = const имеет место, если нелинейные силы являются гироcкопически ми и/или потенциальными Qp = U (x)/x. Это следует из уравнений (4).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Рассмотрим другие решения системы (3) (Wi = 0).

2.1. B = 0, N = N, где N удовлетворяет уравнениям G M 1 N N M 1 G = 0, K M 1 N N M 1 K = 0.

Пусть на матрицы системы (1) наложено одно из следую щих ограничений:

(i) G M 1 K = K M 1 G;

(7) (ii) G M 1 K = K M 1 G;

(8) (iii) K(M 1 G)2 = (G M 1 )2 K, (9) и одновременно не выполняются условия det G = 0, det K = 0.

2.1.1. N = (GM 1 )p1 GM 1 G(M 1 G)p1 (p = 0, 1,...);

реше ние имеет место при выполнении любого из условий (7) (9).

Этому решению соответствует первый интеграл линейной си стемы V4 = xT (G M 1 )p1 G M 1 G(M 1 G)p1 x+ + xT K(M 1 G)2p x = const.

2.1.2. N = (G M 1 )p K M 1 K(M 1 G)p ;

решение имеет место при выполнении (7) или (8). Этому решению соответствует пер вый интеграл линейной системы V5 = xT (G M 1 )p K M 1 K(M 1 G)p x+ + xT (G M 1 )p K M 1 K M 1 K(M 1 G)p x = const при (7);

V5 = xT (G M 1 )p K M 1 K(M 1 G)p x + +(1)p (xT (GM 1 )p KM 1 KM 1 K(M 1 G)p x) = const при (8);

2.1.3.

N = (GM 1 )p (KM 1 )m K(M 1 K)m (M 1 G)p (p, m = 0, 1,... );

решение имеет место, если (GM 1 )2p+1 K(M 1 K)2m = (KM 1 )2m K(M 1 G)2p+ ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., и для четного p выполнено условие (9), а для нечетного p вы полнено (7) или (8). Этому решению соответствует интеграл линейной системы V6 = xT (GM 1 )p (KM 1 )m K(M 1 K)m (M 1 G)p x+ + xT (GM 1 )p (KM 1 )m KM 1 K(M 1 K)m (M 1 G)p = const.

2.2. Пусть N = 0. Тогда система (3) имеет решения B = B T :

2.2.1. B = (GM 1 )p G(M 1 G)p (p = 0, 1,...);

решение имеет место при выполнении условия (7). Этому решению соответ ствует первый интеграл линейной системы V7 = 2xT (G M 1 )p G(M 1 G)p x + xT G(M 1 G)2p+1 x = const.

(10) 1 )m G(M 1 K)m (m = 0, 1,...);

решение имеет 2.2.2. B = (K M место при выполнении условия (7). Этому решению соответ ствует первый интеграл линейной системы V8 = 2xT (K M 1 )m G(M 1 K)m x+ + xT GM 1 G)(K M 1 )m G(M 1 K)m x = const.

2.2.3. B = G M 1 K, решение имеет место при выполнении условия (7). Этому решению соответствует первый интеграл линейной системы:

V9 = 2xT G M 1 Kx xT G M 1 K M 1 Gx = const;

2.2.4. B = G K 1 M (detK = 0) при выполнении условия (7);

этому решению соответствует первый интеграл линейной си стемы:

V10 = 2xT M K 1 Gx xT G K 1 G x = const;

2.2.5. B = M K 1 G M 1 G M 1 G;

решение имеет место, если detK = 0, detG = 0, (i) выполнено (7) или (ii) выполнены ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., условия (9) и (G M 1 )3 K = K(M 1 G)3. Этому решению соот ветствует первый интеграл линейной системы:

V11 = 2xT M K 1 G M 1 G M 1 G x = = xT G K 1 G M 1 G M 1 G x = const;

2.2.6. B = M G1 K;

решение имеет место, если det G = 0 и выполнено (7). Этому решению соответствует первый интеграл линейной системы:

V12 = 2xT K G1 M x xT K x = const;

Решения группы 2.2 интересны тем, что дают интегра лы линейной системы, которые сохраняются и для нелиней ной системы (1), если нелинейные силы Q(x) удовлетворяют второму уравнению (4): xT B T M 1 Q = 0. Для интегралов (10) и V8, V9 этому уравнению удовлетворяет Q = f (xT M x)M x (где f (xT M x) скалярная функция);

для интегралов V7 (при p = 0 ) и V10, V11, V12 этому уравнению удовлетворяет Q = f (xT K x)K x (где f (xT K x) скалярная функция) [8].

2.3. Если detG = 0 и K M 1 G M 1 K G1 M = = M G1 K M 1 G M 1 K, (G M 1 )2 K = K(M 1 G)2, то ли нейная система (1) допускает первый интеграл V13 = xT GT M 1 K G1 M x + 2xT K M 1 Gx+ +xT (K M 1 G M 1 G K M 1 G M 1 K G1 M )x = const.

Если M единичная матрица, этот интеграл совпадает с [5].

Из теорем второго метода Ляпунова следует: если K 0, то тривиальное решение линейной (и при потенциальных и/или гироскопических нелинейных силах) системы (1) устойчиво по переменным x, x [4]. При этом в качестве функции Ляпуно ва выбран интеграл энергии (5). Если матрица K не является ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., определенно положительной, образуем связку (пучок) интегра лов. Условия знакоопределенности этого пучка дают достаточ ные условия устойчивости рассматриваемой критической си стемы и условия гироскопической стабилизации.

Рассмотрим функцию Ляпунова V = V2 h = xT (K G M 1 G M )x xT G M 1 Kx+ +xT K M 1 Gx + xT (K M 1 K K)x.

Условия Сильвестра определенной положительности этой формы можно записать в виде:

KM 1 K K 0, K M GM 1 G + GM 1 K(K M )1 G 0.

Полученные неравенства содержат неопределенный множитель. Если задать произвольно, то условия устойчивости мо гут быть грубыми. Следуя [2], отметим, что условия существо вания для выполнения выписанных неравенств являются достаточными условиями устойчивости тривиального решения линейной системы (1). Следовательно, справедлива теорема [8]:

Теорема 3. Если существует такое, что KM 1 ( K M ) 0, ( K M ) GM 1 G + GM 1 K( K M )1 G 0, то линейная система (1) устойчива по x, x.

Как показывает пример, рассмотренный ниже, теорема дает условия устойчивости, близкие к необходимым.

Если в теореме Ляпунова об устойчивости использовать связку интегралов (5) и (10) ( при p = 0 ), затем применить теорему 2, то докажем, что справедлива теорема:

Теорема 4. Если GM 1 K KM 1 G = 0, условие 4K GM 1 G ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., является достаточным условием устойчивости линейной си стемы (1) по переменным x, x. Это условие является и необ ходимым [9].

Условия теоремы 4 являются достаточными для устойчиво сти тривиального решения нелинейной системы (1) с ограниче нием (7), если Q = f (y)M x, где y = xT M x, f (y) = f (y)/y или Q = f (z)Kx, где z = xT Kx, f (z) = f (z)/z.

Если полученный первый интеграл не является знакоопре деленным, то можно рассмотреть в качестве функции Ляпуно Vi2 (i = 1, 2,..., p). Тогда необходимо ва комбинацию: V = проверить на совместность уравнения Vi = 0 (i = 1,..., p).

3. Стабилизация системы с тремя степенями свободы Рассмотрим задачу о стабилизации неустойчивых равнове сий зарядов в электрическом поле E стационарным (сильным) магнитным полем H [10].

Дифференциальные уравнения движения в первом прибли жении имеют вид x = /x + [x, H];

= (Ax, x)/2, H = (H1, H2, H3 ). (11) Здесь A = diag(a1, a2, a3 ). Для заряда a1 + a2 + a3 = 0, так как divE = 0. Если это равенство не имеет место, то это общая гироскопическая система. Особенностью таких систем с нечет ным числом степеней свободы является то, что определитель гироскопических сил равен нулю. В работе [10] получены для системы условия устойчивости по характеристическому урав нению ( без анализа) и достаточные условия устойчивости при больших магнитных силах, но их оценка не проведена. Пусть общая гироскопическая система такова, что a1 0, a2 0, a3 0.

Система допускает три первых интеграла, квадратичных по переменным x, x.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Построим связку интегралов V = V2 +V1. Условия Сильве стра положительной знакоопределенности формы V (условия теоремы 3) имеют вид a1 a2 a3 2 0, a1 ( + a1 ) 0, a1 ( + a1 ) a2 ( + a2 ) 0, a1 ( + a1 ) a2 ( + a2 ) a3 ( + a3 ) 0, a1 ( + a1 ) a2 a3 (3 + 2 (a1 + a2 + a3 + H2 + H3 )+ 2 2 +(a1 a3 + a1 a2 + a2 a3 + a2 H2 + a3 H3 ) + a1 a2 a3 ) 0, a1 a2 a3 2 + a1 + a2 + a1 a2 + H3 0, (12) здесь 2 2 = ((a1 a2 a3 + (a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 + a1 H1 + a2 H2 + a3 H3 )+ +(a1 + a2 + a3 + H1 + H2 + H3 ) + 3 ) 2 2 совпадает с характеристическим полиномом системы (11). Как показывает анализ этих неравенств, параметр для выполне ния (12) существует, если выполнены условия существования различных действительных отрицательных корней у полинома = 0. Тогда все корни характеристического уравнения раз личные и чисто мнимые, и система (11) устойчива в критиче ском случае. Достаточные условия из теоремы 3 совпадают с необходимыми (без границы). Такой же результат мы получим, если будем использовать связку W = µh + V3.

2 Пусть a1 = a2 = 1, a3 = 2 H1 = H2 = 10, тогда система неравенств (12) (1 + ) 0, (1 + )2 0, (1 + )2 (2 + ) 0, (1 + ) 2 13 + 102 + 3 + 2H3 + 2 H3 0, 2 2 + H 2 2 23 + 202 + 3 + 2H 2 + 2 H 2 0, 1 2 + 3 3 2 23 + 202 + 3 + 2H3 + 2 H3 имеет решение:

2 + 23 202 2 0, H3.

2 + ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Out[12]= 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0. Рис. Графическое представление этого решения дано на рисунке 1.

Минимальное значение для H3 достигается при = 0.223537, равном корню уравнения (4 4 + 632 + 43 + 4 ) = 0.

2 2 Следовательно, при H1 = H2 = 10, H3 20.472 система (11) устойчива в критическом по Ляпунову случае.

Известно [2], что гироскопическая устойчивость разруша ется при действии диссипативных сил B x (B = B T ) с полной T B x определенно положительна.

диссипацией, когда форма x Но возможно неустойчивую потенциальную систему стабили зировать до асимптотической устойчивости действием гироско пических сил и сил со знакопеременной матрицей B.

Пусть в системе (11) дополнительно действуют силы B x, где B = diag(b1, b2, b3 ). Тогда характеристическое уравнение системы имеет вид 6 + 5 c1 + 4 c2 + 3 c3 + 2 c4 + c5 + c6, (13) где 2 2 c1 = b1 +b2 +b3, c2 = a1 +a2 +a3 +b1 b2 +b1 b3 +b2 b3 +H1 +H2 +H3, c3 = (a2 + a3 )b1 + (a1 + a3 )b2 + (a1 + a2 )b3 + b1 b2 b3 + b1 H1 + 2 +b2 H2 + b3 H3, c5 = a2 a3 b1 + a1 a3 b2 + a1 a2 b3, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., c4 = a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 + a3 b1 b2 + a2 b1 b3 + a1 b2 b3 + a1 H1 + 2 +a2 H2 + a3 H3, c6 = a1 a2 a3.

Вещественные части всех корней уравнения (13) отрица тельны, если выполнены условия Льенара–Шипара:

c1 0, c2 0, c3 0, c4 0, c5 0, c6 0, 5 = c1 c2 c3 c4 c5 c2 c4 c5 c2 c2 c5 c1 c2 c2 + c2 c3 c2 + 3 14 25 +2c1 c4 c2 c3 c1 c2 c2 c6 + c3 c6 + c2 c3 c4 c6 + 2c2 c2 c5 c 5 5 3 3 1 3c1 c3 c5 c6 c3 c2 0, 3 = c1 c2 c3 c2 c2 c4 + c1 c5 0.

3 Разрешая эту систему неравенств относительно коэффици ентов bi, получим условия стабилизации гироскопически устой чивой системы. Пусть в системе (11) параметры имеют следу 2 2 ющие значения: a1 = a2 = 1, a3 = 2, H1 = H2 = 10, H3 = (потенциальная система устойчива в линейном приближении за счет гироскопических сил) и b1 = 0. Тогда система неравенств Льенара–Шипара:

b2 + b3 0, 2b2 + b3 0, 50 + b2 b3 0, 37 b2 b3 0, 11b2 + 28b3 0, 45400b3 125230b2 b3 740b4 b 2 2 77200b2 b2 1980b3 b2 + 20b5 b 3 23 12000b3 3460b2 b3 + 70b4 b 3 23 1200b2 b4 + 20b3 b4 30b2 b5 0, 3 23 ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 390b2 + 1259b2 b3 + 12b3 b3 + 2 +580b2 + 41b2 b2 + 29b2 b3 3 23 дает интервал 2.01828 b2 0;

коэффициент b3 0. При b2 = 1 имеем 1.87647 b3 19.1631 ;

при b2 = 2: 5. b3 6.6987;

при b2 = 0.1: 0.179709 b3 0.414005 и 199. b3 199.924. Следовательно, добавление ускоряющей силы по координате x1 и диссипативной силы по координате x3 мо жет сделать систему асимптотически устойчивой независимо от нелинейных сил Q(x, x).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Thomson, W., Tait, P. Treatise on Natural Philosophy. Part 1. Cambridge University Press. 1879.

2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической меха нике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 586 с.

3. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973. 206 с.

4. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974.

5. Булатович Р.М. Об устойчивости линейных потенциальных гироско пических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет мак симум // ПММ, 1997. Том 61. Вып. 3. С. 385 389.

6. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

7. Hagedorn P. Uber die Instabilitt konservativer Systeme mit gyroskopischen a Krften.// Arch.Rat.Mech.Anal.

a 1975. Vol. 58. No 1. P. 1 9.

8. Banshchikov A., Burlakova L. Application of computer algebra in problems on stabilization of gyroscopic systems. В кн.– Computer Algebra in Scientic Computing/CASC 2000,V.Ganzha,...(eds.) Springer, 2000. P. 35 47.

9. Huscyin K., Hagedorn P., Teschner W. On the stability of linear conservative gyroscopic systems // Journal of Applied Mathematics and Physics.

1983. Vol. 34. No 6. P. 807 815.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 10. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов силь ными магнитными полями // ПММ, 1997. Т 61. Вып. 3.

С. 390 397.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.