авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Сборник научных трудов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский физико-технический институт ...»

-- [ Страница 2 ] --

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 531: А.Н. Голубятников Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова golubiat@mail.ru МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ СВЯЗЯМИ Рассматриваются приложения понятия аффинной симметрии к по строению анизотропных моделей механики сплошной среды при наличии геометрических связей. Теория основана на классификации моделей сред по группам нечувствительности – непрерывным подгруппам полной груп пы трехмерных линейных преобразований – с вычислением их инвариан тов, составленных из лагранжевых компонент метрического тензора. При ведена таблица возможных вариантов, которая содержит около 100 типов симметрий (считая по одной как отдельные группы, так и непрерывные серии). Исследован вопрос о сильных разрывах, согласованных со связя ми. При наличии связей во всех случаях симметрии указан класс точных решений уравнений движения среды с однородной деформацией. Рассмат ривается плоская задача для моделей с однопараметрическими группами симметрий. Показано, что в этом случае построение решения сводится к анализу линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами.

В качестве примера дано решение задачи о стационарном обтекании пре пятствия несжимаемой волокнистой средой.

Введение. Этап построения моделей анизотропных сплош ных сред и полей с ортогональными симметриями был, по существу, завершен в работе В.В. Лохина и Л.И. Седова [1], где было выполнено полное описание тензорных инвариантов подгрупп ортогональной группы O3. Эти результаты, как из Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 08-01 00026, 08-01-00401) и грантом Президента РФ (проекты НШ-610.2008.1).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., вестно, нашли широкое применение в самых различных вопро сах механики, физики, химии и биологии.

Дальнейшее развитие теории симметрии, связанное с ис следованием более широкого класса преобразований и их ин вариантов – аффинных симметрий, включающих кроме орто гональных преобразований также растяжения и сдвиги, было предложено в работах [2, 3], посвященных теории анизотроп ных жидкостей и жидких кристаллов. Однако в этих работах были использованы лишь отдельные подгруппы полной груп пы трехмерных линейных преобразований GL3. Позже авто ром данной работы была дана полная классификация таких подгрупп, как непрерывных, так и с учетом дискретных эле ментов конечного порядка, а также их инвариантов. На этом пути была построена общая теория анизотропных сплошных сред и их взаимодействий с электромагнитным полем (см. ра боты [4, 5, 6]).

Эти исследования значительно расширили представления о возможных видах материальной симметрии сплошных сред, в том числе, дали более уточненное описание анизотропии в тео рии мягких сред типа жидких кристаллов, магнитных и поля ризующихся жидкостей, коллоидных растворов, наномехани ческих материалов и других естественных или искусственных структурных образований.

Отдельно следует выделить приложения аффинной сим метрии к теории анизотропно жестких материалов как сред с полным набором, при заданной группе симметрии, геометри ческих связей. Сюда относятся, например, абсолютно твердое тело, несжимаемая жидкость и др. При этом тензор напряже ний, помимо дисторсии, содержит также искомые множители Лагранжа, например, давление. Возможны, конечно, и смешан ные виды сред типа несжимаемого упругого материала.

Наличие линейной группы симметрии и соответствующих ограничений на закон движения приводит, вообще говоря, как к конечномерным, так и бесконечномерным множествам воз ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., можных движений. Простейшим примером, кроме известных движений абсолютно твердого тела, является инвариантность свойств среды относительно однопараметрической группы од нородных трехосных растяжений, которая приводит к движе нию на 10-параметрической группе конформных преобразова ний.

Важным классом решений уравнений движения со связя ми можно считать решения с однородной деформацией, что показывает полную совместность уравнений для всех случаев симметрии.

Для трехмерных движений полное решение уравнений гео метрических связей представляется сложным. Ниже разрабо тан алгоритм решения задач с плоским законом движения для сред, обладающих двумерными однопараметрическими груп пами симметрии. В это случае два уравнения связей, представ ляющие собой уравнения первого порядка, квадратичные по производным, могут быть сведены к линейной системе с посто янными коэффициентами. Затем из уравнений движения опре деляются множители Лагранжа. В частности, в случае груп пы всесторонних растяжений получаются уравнения Коши– Римана.

1. Аффинная симметрия Построение моделей тесно связано с наложением определен ных свойств инвариантности на вид уравнений: кинематиче ской симметрии наблюдателя, внешних силовых полей и энер гетических воздействий, а также материальной симметрии, от вечающей преобразованиям выделенного репера или, просто, лагранжевых переменных.

Так, для "простых"сред удельная внутренняя энергия име ет вид U = U (S, g ), (1.1) где S – удельная энтропия, g = ij xi xj – сопутствующие компоненты метрического тензора, xi = xi / – элементы ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., матрицы дисторсии, xi = xi (, t) – закон движения среды в эйлеровых декартовых координатах xi и лагранжевых коорди натах ;

i, = 1, 2, 3, t – время.

Ниже при исследовании общих вопросов структуры функ ции (1.1) мы рассмотрим только непрерывные подгруппы пол ной линейной группы, классификация которых приведена в [6], и дадим результаты вычислений инвариантов Is (q ), состав ленных из компонент симметричного тензора второго ранга q (табл. 1). При задании вида функции U = U (S, Is ) следует по ложить q = g.

В табл. 1 в первом столбце указано число независимых па раметров ak, k = 1,..., r, группы (ее размерность), во втором – порядковый номер, далее – матрицы Ck, которые образуют базис алгебры Ли как линейного пространства, содержащего бесконечно малые преобразования в окрестности единичного элемента группы E. Матрицы Ck выражены через элементар ные матрицы e, у которых на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, остальные элементы равны нулю. Общий вид конечного преобразования группы A(a) имеет вид матричной экспоненты A(a) = exp(ak Ck ) = E + ak Ck + (ak Ck )2 + · · · (1.2) Здесь и далее по повторяющимся индексам проводится сум мирование. Оператор d = e1 + e2 + e3 отвечает однородному 1 2 растяжению. Величины x, y, z – параметры непрерывных или дискретных серий подгрупп. Ограничения на них указаны в таблице. Величина q = det(q ) и (q ) = (q )1 как матри цы.

По сравнению с работой [6] здесь проведено уточнение пара метра z группы G2.8, исправлена опечатка в инвариантах груп пы G4.4.

Вычисление инвариантов связано с решением системы урав ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., нений вида I p p Cr(k) qpl + Cl(k) qrp = 0, (1.3) qrl rl в которую входят матрицы Ck ;

l, p, r = 1, 2, 3.

Классификация дана с точностью до сопряженности в пол ной линейной группе. В принципе группа симметрии может быть группой преобразований векторов некоторого выделен ного репера [6], меняющегося от точки к точке. Однако далее предполагается, что эти преобразования есть просто линейные преобразования некоторого фиксированного класса лагранже вых координат, например, выбранных как начальные декарто вы = x, = 1, 2, 3, так что начальная метрика g =, плотность = 0 /|xi | и т.д. Здесь и далее нулем отмечено на чальное состояние.

В приложениях, в зависимости от ситуации, группа может иметь вид hA(a)h1, где h – постоянная матрица, A(a) – од на из канонических матриц (1.2) в соответствии с табл. 1. Та кие среды можно назвать средами с однородной симметрией.

Ниже будем для простоты предполагать, что h = E. Однако часто приходится иметь дело просто с переменным вморожен ным репером. В этом случае удобней записывать уравнения в эйлеровых координатах xi.

2. Анизотропно жесткие среды Если на движение среды наложены связи вида Is (g ) = Is ( ) Is, (2.1) где Is – один или несколько инвариантов одной из подгрупп полной линейной группы, указанных в табл. 1, то соответству ющие инварианты выпадут из формулы для внутренней энер гии, а также упростится вид диссипации.

Такие связи можно назвать геометрическими. В отличие от механики систем с конечным числом степеней свободы их ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., нельзя назвать голономными, так как уже интегрирование та ких связей часто представляет собой отдельную большую про блему. Конечно, в механике сплошной среды могут возникать и динамические связи, в которые входит тензор скоростей де формаций. Последние мы здесь рассматривать не будем.

Групповая классификация позволяет упорядочить процес сы наложения или разрушения связей, а в некоторых важных случаях свести их интегрирование к простым уравнениям в частных производных. При решении практических задач на ложение связи на решение (иногда с небольшим изменением системы уравнений) может привести к существенному упро щению решения. Так, например, при анализе дозвукового ста ционарного обтекания тела можно использовать вместо модели сжимаемого газа модель несжимаемой жидкости и т.д.

Отдельно следует выделить теорию полностью анизотропно жестких материалов, подчиненных всем геометрическим свя зям с данной группой симметрии, внутренняя энергия которых зависит лишь от энтропии U = U (S) и вообще не дает вклада в уравнения движения. Сюда относятся, например, абсолютно твердое тело, несжимаемая жидкость и др. Такого рода моде ли могут применяться к построению общей теории хрупкого разрушения материалов, начиная с абсолютно твердого тела и кончая "пылью" средой без механических напряжений, путем постепенного разрушения связей. Здесь возникают как проблемы разрешимости уравнений связей, так и вопросы пол ного решения конкретных задач.

Обратимся к моделям полностью жестких сред. Если для простоты ограничиться процессами без вязкого сопротивления и опустить уравнение притока тепла, которое может быть ре шено на последующем этапе, система уравнений примет вид Is Is (xi xj ij ) = Is, 0 xi,tt = 0 Fi s, (2.2) xi где Fi – заданная массовая сила, индексы,, t обозначают производные.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Здесь интересны случаи, когда число механических связей, содержащих лишь компоненты метрического тензора, больше или равно размерности пространства. При этом мы полностью, во всяком случае с точностью до краевых условий, можем опре делить закон движения среды. Пример абсолютно твердого те ла, когда имеется 6 связей, показывает, что здесь также су щественны интегральные соотношения, содержащие внешние силовые воздействия.

В указанных случаях возможны разрывы производных за кона движения среды xi. Необходимые условия на разрыве да ет непрерывность значений инвариантов [Is (g )] = 0. (2.3) Следует учитывать, что в силу непрерывности лагранжевых переменных = (x, t) скачки производных i = /xi ] = [ ]n, где n – единичная нормаль к поверхности равны [i ni i разрыва. Таким образом, например, скачок [g ] = [n n ] (2.4) и т.п.

3. Решения с однородной деформацией В общем случае уравнения связей Is (g ) = Is ( ) могут быть представлены в виде xi = O ()A (a), i (3.1) где O() – ортогональная матрица, зависящая от трех пара метров вращения m, и A(a) – матрица группы материальной симметрии среды, зависящая от r параметров ak.

Рассмотрим класс решений уравнений (3.1) при отсутствии массовых сил (Fi = 0). Будем предполагать, что xi = bi (t) + l (t), i l = O ((t))A (a(t)), i i ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., s = Ls (t) + M (t) + N (t).

s s (3.2) Подставляя формулы (3.2) в уравнения (3.1) и приравнивая при степенях, получим систему обыкновенных дифференци альных уравнений j d2 l d2 bj s Is Is s ij 2 + M i = 0, ij + 2N = 0, (3.3) dt2 i dt l l ij где используется матрица (g ) = (ij l l ).

Число этих уравнений обычно значительно меньше числа неизвестных. Необходимые функции времени должны задавать ся краевыми условиями. В частности, для несжимаемой жид кости, когда число связей равно 1 (r = 8), произвол составляет 9 функций времени t.

Данный класс решений, обобщающий случай движения твер дого тела с шестью степенями свободы, указывает на суще ствование решения при всех возможных видах связей, форму лировка которых основана на представлениях о материальных симметриях, представленных в табл. 1.

4. Плоское движение Рассмотрим случай плоского движения с однопараметриче скими группами нечувствительности. Этот класс решений для несжимаемых анизотропно жестких сред рассматривался в ра боте [7]. В этой работе обсуждались вопросы интегрирования уравнений при наличии сильных разрывов и было дано ре шение задачи о стационарном обтекании препятствия средой, состоящей из нерастяжимых нитей. Однако полного анализа уравнений связей еще проведено не было.

Покажем, что в этом случае уравнения связей вместе с урав нениями движения всегда могут быть эффективно проинте грированы. Здесь имеется 3 типа однопараметрических сим метрий: 1) вращение с однородным растяжением, 2) сдвиг с однородным растяжением и без него, а также 3) двуосное рас тяжение.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Приведем соответствующие канонические типы матриц ко нечных преобразований A(a). Отдельно указана матрица вра щений O().

exa cos a exa sin a exa exa a 1) ;

2) ;

(4.1) exa sin a exa cos a exa ea 0 cos sin 3) O=.

0 exa sin cos Для первого типа параметр серии групп x 0, для второго x = 0;

1 и для третьего 1 x 1.

Имеются следующие инварианты:

2g 1) (g11 + g22 )2 g, g = det(g );

g exp 2x arctg, g11 g 2x g12 x 2 2) g11 g, g11 exp ;

3) g12 g, g22 g11.

g Используем уравнения связи в виде (3.1), где a, – функ ции (переменную t опускаем). Очевидно, первый случай при x = 0, благодаря перемножению матриц O() и A(a) и линей ной замене параметров, сводится к третьему случаю с x = 1, что приводит к конформным преобразованиям xi = xi ( ) (в этом случае вид метрического тензора конформно-плоский), удовлетворяющим уравнениям Коши–Римана.

Если же в первом случае x = 0, то можно вообще считать матрицу A = E (т.к. происходит перемножение ортогональных матриц). В этом случае мы имеем дело с твердотельным дви жением, когда параметр = (t).

В остальных случаях система (3.1) может быть решена раз личными способами, например исключением xi. При этом по лучается система квазилинейных уравнений первого порядка для a и. Далее, исключая, получим равенство нулю тензо ра кривизны пространства как уравнение для a.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Можно также искать общее решение, используя переменные a и как параметры, в виде xi = Oi A + q a, )), 0 = dO /d A + q + O q /, i i (4.2) 0 = Oi dA /da + q /a.

Имея в виду невырожденность матриц dO/d и A, из вто рого уравнения выразим вектор = A1 q + (dO/d)1 O q (4.3) и подставим его в третье, умноженное слева на матрицу O1.

Тогда в векторном виде имеем qa = dA/da A1 q + (dO/d)1 O q. (4.4) В силу свойства коммутативности всякой однопараметриче ской группы Ли линейных преобразований при таком выборе параметра, когда операция умножение элементов группы сво дится к сложению значений параметра, имеет место постоян ство матрицы A1 dA/da = const, которая является матрицей C бесконечно малого преобразования (п. 1). То же – и для мат рицы O.

В результате получим следующие линейные уравнения для вектора q (a, ), причем с постоянными коэффициентами, огра ничившись вторым и третьим случаями:

1 x x 2) qa = q + q. (4.5) x0 0x 0 1 3) qa = q + q. (4.6) x0 0x ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Решив уравнения (4.5), (4.6), затем из соотношения (4.3) и первого из равенств (4.2) находим в неявной форме xi = xi (a, ), = (a, ).

Исследование типов уравнений (4.5), (4.6) дает следующее.

Уравнения (4.5) при x = 0 имеют вырожденный гиперболиче ский тип, причем решение имеет вид q 1 = f () + g(a + ), q 2 = f ().

При x = 1 эта система – эллиптическая.

Уравнения (4.6) при x 0 имеют гиперболический тип;

при x = 0 – вырожденный гиперболический, причем решение имеет вид q 1 = f () + g()ea, q 2 = f (), а при x 0 система – эллиптическая.

После определения закона движения среды для двух мно жителей Лагранжа в силу уравнений движения мы имеем про сто два линейных уравнения с переменными коэффициентами.

5. Обтекание препятствия В качестве примера приведем решение плоской стационар ной задачи об обтекании абсолютно твердого кругового препят ствия несжимаемой однородной средой, состоящей из нерастя жимых нитей. В этом случае мы имеем группу симметрии G второго типа (4.1) при x = 0.

В эйлеровых переменных уравнения имеют вид i vj vj i = Ak i iv = 0, j |A| = 0, jA kv, (5.1) v j i p ik + qAi Ak = 0.

jv + k ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Здесь вектор v – скорость, вектор A, характеризующий анизо тропию, вморожен в среду, p – давление и q – дополнительный множитель Лагранжа.

Рассмотрим декартову систему координат x, y с началом в центре препятствия. Пусть слева от него имеется однородный поступательный поток, направленный вдоль оси x со скоро стью V, параллельной вектору анизотропии A = (1, 0), а так же p = q = 0. Тогда в силу вмороженности всегда будем иметь Ai = v i /V.

Если (x, y) есть функция тока, то vi = ij i j, i = V, (5.2) ij где – двумерный тензор Леви–Чивита.

Ограничимся анализом обтекания передней части препят ствия (x 0). В отличие от изотропной несжимаемой жид кости непрерывное обтекание невозможно. Из условия типа (2.4) при 2 = (с учетом соотношений g 22 = g g11, g = 1, g11 = |A|2 = 1) линия разрыва может быть направлена только вдоль биссектрисы скачка вектора A.

Пусть в полярных координатах r, (x = r cos, y = r sin ) уравнение гранцы препятствия имеет вид r = R. Тогда в об ластях, ограниченных этой окружностью и двумя параболами, выходящими из передней точки препятствия, y = ±(x2 R2 )/(2R), как линиями разрыва, имеем ± = ±V (r R). (5.3) Уравнения (5.1) имеют интеграл Бернулли:

|v|2 p + q + = h() (5.4) 2 и легко интегрируются. Две произвольные функции находятся из условия сохранения потока количества движения [vvn + pn + qAAn ] = 0. (5.5) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Тогда распределение напряжений позади линий разрывов есть R r(1 | sin |) R| sin | p = V 1 ln +, r R r(1 | sin |) R q = p V.

r Важной особенностью данной задачи является присутствие при = /2 бесконечного значения компоненты перерезываю щего напряжения prr = p. Если выставить какой-нибудь кри терий разрушения, например, вида p = K, где K – постоянная, то получим границу области существования данного решения, справа от которой надо уже применять другую модель среды, например, если происходит разрушение волокнистой структу ры, изотропную несжимаемую жидкость. Правда, дальнейшее течение будет в этом случае вихревым и достаточно сложным.

Заключение. Обсудим кратко вопросы исследований, остав шихся за пределами данной работы. Прежде всего необходим полный анализ гиперболичности уравнений (с четырьмя неза висимыми переменными), полученных анизотропно жестких мо делей, которые связаны с распространением слабых разрывов и термодинамической устойчивостью среды, особенно когда за кон движения полностью определяется условиями жесткости.

Это может служить средством отбора моделей, пригодных для описания действительности, в противном случае такие среды при бездиссипативном подходе мгновенно саморазрушаются.

Проведение анализа условий на сильных разрывах, согласован ных с уравнениями связей. Формулировка физически обосно ванных силовых критериев разрушения. А также согласование с моделями вязко-упруго-пластических нежестких или частич но жестких сред.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Таблица Непрерывные подгруппы полной линейной группы N dim Алгебра Ли Инварианты x(e1 + e2 ) + ye3 + e1 e2, q33 (q11 + q22 )2 q, q33 q 33, 1 1 1 2 3 2 (q11 + q22 ) exp(xarctg q 2q12 ), x 11 q x (q11 + q22 )y q33, (q11 + q22 )(q 11 + q 22 ) x(e1 + e2 ) + ye3 + e1, q33 q11 q, q11 q13 q, q13 q 23, 2 2 1 2 3 q11 exp( 2xq12 ), q33 exp( 2yq12 ), x = 0;

1 q11 q 2 2 e1 + xe2 + ye3, 3 q11 q22 q12, q11 q33 q13, q22 q33 q23, 1 2 y x 1xy q22 q11, q33 q11, 1 + e2, q11 q, q11 q 33, (q22 2q13 )q 33, 4 xd + e2 q11 q 23 + q12 q 33, q 33 exp( 2xq12 ) x = 0;

1 q x(e1 + e2 2e3 ) + e1 e2, q33 (q11 + q22 )2 q, q 33 (q 11 + q 22 )2 q 1, 2 1 1 2 3 2 q33 q 33, q33 q exp(6xarctg q 2q12 ), d, x 11 q x(e1 + e2 2e3 ) + e1, d, 2 q, q q 2 q 1/2, q q 23, 2 q33 q11 11 13 1 2 3 6xq x = 0;

1 q11 q exp( q ) e1 + xe2 (1 + x)e3, d, 2 3 q11 q23 q, q22 q13 q, q11 q22 q33 q, 1 2 1+x (q33 q11 )3 q 2+x, 1/2 x 1 + e2, d q11 q, q 1 (q 33 )3, (q22 2q13 )3 q, 4 e2 q11 q 23 + q12 q e1 + e2 2e3 + yd, q33 (q11 + q22 )2 q, q 1 q 33 (q 11 + q 22 )2, 5 1 2 3y q33 q 33, q33 q y2 exp(6zarctg q 2q12 ), e1 e2 + zd 2 1 11 q e1 e2 + yd, 2 q, q q 2 q, q q q q, 6 q11 q23 22 13 11 22 1 3y 3(zy) 12y+z e1 e3 + zd q11 q33 q 1 e1 + e2 + yd, e1 + zd, q11 q, q 1 (q 33 )3, q11 q 23 + q12 q 7 2 3 2yq12 +z(2q13 q22 ) q 33 exp( y = 0;

1, z = 0;

1 ) q e1 + e2 2e3 + yd, e1 + zd, 2 q, q q 2 q, q q 23, 8 q33 q11 11 13 1 2 3 3y q11 q 1+y exp( 6zq12 ), z = 0;

y q e1 + yd, e1 + zd, q11 q, q 1 (q 22 )3, q 1 (q 23 )3, 9 2 2(yq12 +zq13 ) q 11 exp( y = 0;

1, z = 0;

1 ) q e1 + yd, e2 + zd, 3 q, q 3 q, q 3 q, 10 q 3 3 12 2zq q 11 exp( 2yq13 + y = 0;

1, z = 0;

1 ) q q e1 + e2, e1 e3 + yd (q 33 )3 q11 q 2, (q22 2q13 ))2 q, 11 2 31 3y 1+y 1, q q11 (q11 q 23 + q12 q 33 ) q11 q 2 1 1 e1, xe1 + (1 + x)e2 q13 q11 q33, (q 23 )2 q11 q 1, 12 2 1 23 )6y q 1, q x q 1+2x q x+1/ (1 + 2x)e3 + yd (q13 q 3 33 3y 3 e1, e1 + e2 2e3 + e1 + yd (q 23 )3 q11 q 2, q 33 q11 q 1, q11 q 1+y, 13 31 2 3 3 q exp( 6q12 ) q11 q 3y 4 e1, 2e1 + e2 + e3 + e2 + yd q11 q22 q, q12 q11 q, q11 q y2, 14 3 1 2 3 q 1 (q 33 )3 exp( 6q ) q ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Т а б л и ц а 1 (продолжение) N dim Алгебра Ли Инварианты e1 + e2 2e3, q33 (q11 + q22 )2 q, q33 q 33, 3 1 1 2 e1 e2, d q 33 (q 11 + q 22 )2 q 2 1, e2, e3 2 2 e1 2 3 q11 q22 q33 q, q11 q23 q, q22 q13 q e1 + e2, e1, d q11 q, q 1 (q 33 )3, q11 q 23 + q12 q 3 2 e1 + e2 2e3, e1, d q11 q33 q, q11 q13 q 1, q13 q 23 q 2 4 1 2 1, e1, d q11 q, q 1 (q 22 )3, q 1 (q 23 ) 5 e2 e1, e 2, d 3 3 6 q11 q, q12 q, q22 q e1 e3, e1 + e2, d (q33 )3 q11 q 2, (q22 2q13 )3 q, 7 1 32 q 1 (q11 q 23 + q12 q 33 )q 2 x 1+2x xe1 + (1 + x)e2 (1 + 2x)e3, q11 q33 q13, q33 q11 q x+1/3, 8 1 2 e1, d (q 23 )2 q11 q 3 e1 + e2 2e3 + e1, (q 23 )3 q11 q 2, q 33 q11 q 1, 9 1 2 3 3 q exp( 6q12 ) e1, d q 3 q 4 2e1 + e2 + e3 + e2, 10 q11 q22 q, q12 q11 q, 1 2 3 q 1 (q 33 )3 exp( 6q ) e1, d 3 q 3y y e1 + e2, e1, q11 q 1+y, q11 (q 33 )y+1, 11 2 23 + q q 33 )2(1+y) q e1 e3 + yd (q11 q 1 3 2 1, e1 e2 + yd, q11 q33 q13, (q 23 )2 q11 q 1, 12 e2 1 3(y2z) 2+y2z e1 e3 + zd (q13 q 23 )6y q33 q 1 23 )2 q 1 q 1, q 3y q 1x+y, (1 + x)e1 + xe2 + e3 + yd, 13 (q 1 2 3 11 3x e1, e1, |x| 1, x = 1/2 (q 22 )3(1+x) q11 q (1+2x) 23 )2 q 1 q 1, q q 22, e1 + e2 2e3 + zd, 14 (q 1 2 3 q11 q 1+z exp( 6yq12 ) e1 + yd, e1, y = 0;

1 3z 2 3 q e1, e1 + yd, e2 + zd, q11 q, (q 33 )3 q 1, 15 32 2zq q11 exp( 2yq12 + y = 0;

1, z = 0;

1 ) q q 1 1 3y y 2e1 + e2 + e3 + e2 + yd, (q 33 )2 q11 q, q11 q 16, 1 2 3 q 1 (q 33 )3 exp( 6q ) e1, e 23 q 3y x(2e1 + e2 + e3 )+ (q 22 + q 33 )2 q11 q 1, q11 q 2x+y, 17 1 2 3 q exp(6xarctg 2q +e2 e3 + yd, e1, e1 (q11 ) ) 3 2 23 q 22 q 2 3 3x xe1 + e2 (1 + x)e3 + yd, q11 q22 q12, q11 q22 q 1x, 18 1 2 e1, e2, |x| 1, x = 1/2 (q11 q12 )3y q 1+2x+3y 2 e1 2e2 + e3 + zd, 19 q11 q22 q12, q11 q22 q, 1 2 q11 q 1+z exp( 6yq13 ) e1 + yd, e2 3z 3 3 q 3y e1 + e2 2e3 + e1 + yd, q 33 q11 q 1, q11 q 1+y, 20 1 2 3 q11 q exp( 6yq12 ) e1, e 2 33 q x(e1 + e2 2e3 )+ q 33 (q11 + q22 )2 q 1, (q 33 )3y q 2xy, 21 1 2 q 1 (q 33 )3 exp(6xarctg q 2q12 ) +e1 e2 + yd, e1, e 2 1 33 11 q e1 + e2, e1 + e3, e2 e3 q, q11 q22 q33, q 11 q 22 q 22 2 13 13 1 e2, e1, e2 23 e1 q, q33, q e1 e2, e2 e3, e3 e1 q, q11 + q22 + q33, q 11 + q 22 + q 24 2 13 21 ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Т а б л и ц а 1 (продолжение) N dim Алгебра Ли Инварианты e1 + e2, e1 + e3, e2 e3, d (q11 q22 q33 )3 q, q 1 (q 11 q 22 q 33 ) 4 1 2 13 13 e1 e2, e1, e2, d (q33 )3 q, q 1 (q 33 ) 2 1 1 e2, e2 e3, e3 e1, d (q11 + q22 + q33 )3 q, q 1 (q 11 + q 22 + q 33 ) 3 e2 13 21 3 e1 + e2, e1, e1 e3, d (q 33 )3 q 2 q11, q 1 (q11 q 23 + q12 q 33 )2 q 4 2 331 2 1, e1, e2, e3 q11 q33 q13, (q 23 )2 q11 q 5 e2 1 2 1 3x (1 + x)e1 + xe2 + e3, e1, (q 23 )2 q11 q 1, (q 22 )3(1+x) q11 q (1+2x) 6 1 2 e1, d, x (q 33 )2 q11 q 1, q 1 (q 33 )3 exp( 6xq ) x(2e1 + e2 + e3 ) + e2, e1, 7 1 2 3 32 q e3, d x = 0;

x(2e1 + e2 + e3 )+ (q 22 + q 33 )2 q11 q 1, 8 1 2 2q +e2 e3, e1, e1, d (q11 )3 q exp(6xarctg q22 q33 ) 3 2 3 3x xe1 + e2 (1 + x)e3, q11 q22 q12, q11 q22 q 1x 9 1 2 e1, e 2, d x q 33 q11 q 1, q11 q exp( 6q12 ) e1 + e2 2e3 + e1, e1, e2, d 10 1 2 3 233 q x(e1 + e2 2e3 ) + e1 e2 q 33 (q11 + q22 )2 q 1, 11 1 2 3 2 q 1 (q 33 )3 exp(6xarctg q 2q e1, e 2, d ) 33 q 11 3y e1 e2 + yd, e2 e3 + zd, (q 23 )2 q11 q 1, (q 33 )3z q11 q 1+yz 12 1 2 2 e1, e 1 + e2 + e3 + yd, (q 22 + q 33 )2 q11 q 1, 13 2e1 2 2q e2 e3 + zd, e1, e1 (q11 )3y q y1 exp(3zarctg q22 q33 ) 3 2 3(zy) 1+y+2z 2 3z 6y e1 e2 + yd, e2 e3 + zd, 14 q11 q22 q12, q11 q12 q22 q 1 2 2 e1, e 1 + e2 2e3 + yd, (q11 + q22 )2 (q 33 )1 q, 15 e1 2 2q e1 e2 + zd, e1, e2 (q 33 )3y q 2y exp(6zarctg q ) 2 1 33 11 q 33 )3 q 1, q 3y q 1+y e1 e2 + yd, e1, e1, e 16 (q 1 2 233 3y (1 + x)e1 + xe2 + e3 + yd, (q 33 )3(1+x) q11 q (2+x), q11 q 1+xy 17 1 2 e1, e1, e2 x 1, x = 1/ q 33 q11 q 1, (q11 )3y q 1+y exp(6z q12 ) e1 + e2 2e3 + yd, 18 1 2 3 q e1 + zd, e1, e 2 3y (q 33 )2 q11 q 1, q11 q y2 exp( 12zq ) 2e1 + e2 + e3 + yd, e1, 19 1 2 3 2 q e1, e2 + zd 3y e1 e2, e1, e2, e2 e3 + yd q33 q 33, q33 q y 20 1 2212 ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Т а б л и ц а 1 (продолжение) N dim Алгебра Ли Инварианты e1, e1, e1, e2, e3 (q 23 )2 q11 q 5 1 e1, e1, 2e1 + e2 + e3, (q 22 + q 33 ))2 q11 q 2 23 1 2 e2 e3, d 3 1, e2, e1, e2, e 3 e3 3 1 2 3 q11 q22 q e1, e2, e1 + e2 2e3, q 33 (q11 + q22 )2 q 4 331 2 e1 e2, d 2 1, e1, e2, e1 e2, d (q 33 )3 q 5 e2 3 3 1 (1 + x)e1 + xe2 + e3, (q 33 )3(1+x) q11 q (2+x) 6 1 2 1, e1, e2, d, e2 3 3 x e1, e2, e1, e2, e3 q33 q 7 3y e1, e1, e2, e1 e2 + yd (q 33 )3z q11 q 1+yz 8 2331 e2 e3 + zd 2 1, e2, e1, e2, e1 e2 q, q 9 e2 1 3 3 1 e1, e1, e2, e3, e2 e 10 q, q 23322 e1, e1, e2, e1, e2, e 6 1 e1, e1, e2, e2, e1 e2, d q 1 (q 33 ) 2 23311 e1, e1, e2, e3, e2 e3, d 3 q11 q 23322 e1, e1, e2, e2, e1 e2, e3 + yd q (1+y) (q 33 )1+3y 4 23311 1+3y e1, e1, e2, e3, e2 e3, e1 + yd q 1+y q 5 23322 e1, e1, e2, e2, e1, e2, e 7 1 e1, e1, e2, e3, e1, e2, e 2 e1, e2, e1, e3, e2, e3, e1 e2, 8 1 q 2131321 e2 e 2 e1, e2, e3, e1, e2, e1, e3, e2, e 9 1 ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от несколь ких тензорных аргументов // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3.

С. 393 417.

2. Coleman B.D. Simple liquid crystals // Arch. Ration. Mech. Anal. 1965.

V. 20. No. 1. P. 41 58.

3. Wang C.-C. A general theory of subuids // Arch. Ration. Mech. Anal.

1965. V. 20. No. 1. P. 1 40.

4. Голубятников А.Н. Непрерывные группы симметрии жидких кристал лов // Докл. АН СССР. Т. 240. No. 2. С. 298 301.

5. Голубятников А.Н. Аффинная симметрия сплошных сред. М.: Изд-во МГУ, 2001. 94 с.

6. Голубятников А.Н. Симметрии сплошных сред // Успехи механики.

2003. Т. 2. No. 1. С. 126 183.

7. Голубятников А.Н. Плоские течения анизотропно несжимаемых ма териалов // Механика твердого деформируемого тела и родственные проблемы анализа: Сб. ст. / МИХМ. М., 1980. С. 116 122.

Получено 19.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 532.517. И.А. Ефремов, О.В. Капцов, Г.Г. Черных СФУ, ИВМ СО РАН, ИВТ СО РАН kaptsov@icm.krasn.ru, chernykh@ict.nsc.ru СИММЕТРИИ И РЕШЕНИЯ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В работе найдены группы симметрий двух моделей турбулентности.

На основе группового анализа построены автомодельные решения и произ ведено сопоставленние полученных решений с экспериментальными дан ными.

Рассмотрим сначала модель плоского турбулентного следа [1–9] в пассивно стратифицированной среде. Для описания те чения используется следующая система уравнений:

u1 w u0 =, (1) x y k 2 k k u u0 = (cµ )+w e, (2) x y e y y k 2 e e e u u0 = (cµ ) + (c1 w c2 e), (3) x y e y k y k 2 w w e u u0 = (cs ) cf 1 w + cf 2 k, (4) x y e y k y c k k u0 = (c ), (5) x y e y y e Работа поддержана РФФИ, гранты 07-01-00489, 07-01- ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., k 2 k e 1)2 cT, u0 = (c ) + 2c ( (6) x y e y e y k где u0 – скорость набегающего потока, u1 – осредненный де фект продольной компоненты скорости, k – кинетическая энер гия турбулентности, e – скорость диссипации кинетической энергии, w – касательное турбулентное напряжение Рейнольд са, – осредненный дефект плотности, = – дисперсия флуктуаций плотности;

черта означает осреднение;

= 1.3, cµ = 0.09, cs = 0.09, c1 = 1.44, c2 = 1.92, cf 1 = 2.8, cf 2 = 0.252, c = 0.208, c = 0.087, cT = 1.25 – эмпириче ские константы. В дальнейшем считаем скорость набегающе го потока равной единице. Первые четыре уравнения системы представляют собой уравнения трехпараметрической модели турбулентности [3] в приближении дальнего следа [1]. Уравне ния (5) (6) описывают трансформацию поля плотности под действием турбулентной диффузии. Замыкание осуществлено с применением простейшей градиентной гипотезы;

использу ется также приближение дальнего следа. Слагаемые, содер жащие в качестве сомножителей коэффициенты ламинарной вязкости и диффузии отброшены в предположении малости рассматривается развитое турбулентное течение.

Для системы (1) (6) ставятся следующие краевые усло вия:

а) условия невозмущенного потока u1 = k = e = w = = = 0 при y ;

(7) б) условия симметрии u1 k e = = = = w = = 0 при y = 0. (8) y y y y Стандартными методами [10] находим базис алгебры Ли для системы (1) (6):

X1 =, X2 =, X3 =, X4 =, x y u1 ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., X5 = x u1 2k 3e 2w, x u1 k e w X6 = y + u1 + 2k + 2e + 2w + + 2.

y u1 k e w Перейдем к редукции системы (1)–(6) и построению инва риантных решений. Рассмотрим допускаемый оператор растя жения xx + yy + ( 1)u1 u1 + 2( 1)kk + +(2 3)ee + 2( 1)ww + + 2, где – произвольная постоянная. Решение системы (1) – (6), инвариантное относительно преобразования, порожденного этим оператором, имеет вид u1 = x1 U (t), k = x22 K(t), e = x23 E(t), w = x22 W (t), = x H(t), = x2 R(t), (9) y где t = – автомодельная переменная.

x Подставляя представление (9) в исходную систему (1) – (6), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравне ний. Редуцированная система допускает первый интеграл W = tU + b1. b1 R. (10) Из краевых условий (7), (8) системы (1) – (6) следует, что b1 = 0.

Учитывая (10), приходим к следующей системе обыкновен ных дифференциальных уравнений cf 1 E 2 U ( 2)EU tEU U= + + cs K 2 cs K cf 2 EU 2U E 2K U + +( )(U + ), cs tK t E K t ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ((2 3)E 2 K tEE K + c1 tE 2 U U + c2 E 3 ) E= + cµ K E 2K +E ( ), E K (2 2)EK + tE(U U K ) + E 2 E 2K K= +K ( ), cµ K E K (11) E(H tH ) 2K E H= + (1 H )( ), c K 2 K E cT RE 2c E(2R tR ) 2K E (H 1)2 + R= R ( )+.

2 c K c K K E c Для системы (11) ставим следующие краевые условия:

W (0) = H(0) = 0, U (0) = K (0) = E (0) = R (0) = 0, (12) U (0.45) = K(0.45) = E(0.45) = W (0.45) = (13) = H(0.45) = R(0.45) = 0.

Поскольку система (11) допускает оператор растяжения t +U + 2K + 2E + 2W +H + 2R, t U K E W H R то граничные условия (13) можно ставить в любой ненулевой точке.

Интегрируя уравнение (1) по y от до +, получим закон сохранения u1 dy = const, (14) при условии, что w 0 при y.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Используя закон сохранения (14) и представление (9) для функции u1, находим = 1/2. Следовательно, автомодельная переменная t равна y/x1/2. Такая автомодельность согласуется с экспериментальными данными [1] и известными представле ниями о законах автомодельного вырождения плоских следов.

Для решения системы (11) с краевыми условиями (12), (13) нами был использован метод стрельбы. Дополнительные слож ности возникают из-за того, что при t = 0 и t = 0.45 система (11) имеет особенности. Автомодельные решения для системы (1) – (4) построены в работе [11].

Теперь рассмотрим дальний турбулентный след за нагре тым цилиндром. Для описания течения привлекается следую щая математическая модель:

k 2 u u1 u0 = (cµ ), (15) x y e y k 2 k k 2 u1 k u0 = (cµ ) + cµ ( ) e, (16) x y e y e y cµ k 2 e e e u1 u0 = ( ) + cµ c1 k( ) c2, (17) x y e y y k T (v T ) u0 =, (18) x y k 2 (v T ) 2k T (v T ) e u0 = c1 c1T v T, (19) x y e y 3 y k 2 k 2 (T ) T T e u0 = c1 2v T cT T, (20) x y e y y k где u0 – по-прежнему скорость набегающего потока, u1 – де фект осредненной продольной компоненты скорости, k – ки нетическая энергия турбулентности, e – скорость диссипации кинетической энергии, T – осредненная температура, v T ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., – турбулентный поток тепла, T – дисперсия флуктуаций температуры. Эмпирические константы модели = 1.3, cµ = 0.09, c1 = 1.43, c2 = 1.92, cT = 1.25, c1 = 0.087, c1T = 3.2.

В дальнейшем, как и ранее, считаем скорость набегающего по тока равной единице. Первые три уравнения системы – уравне ния классической (k ) модели турбулентности в приближе нии дальнего следа. Уравнения (18) (20) описывают транс формацию поля температуры под воздействием турбулентной диффузии в следе.

Для системы (15) (20) ставятся следующие краевые усло вия:

а) условия невозмущенного потока u1 = k = e = T = v T = T = 0 при y ;

(21) б) условия симметрии u1 k e T T = = = = = v T = 0 при y = 0. (22) y y y y y Находим базис алгебры Ли для системы (15) (20):

X1 =, X2 =, X3 =, X4 =, x y u1 T X5 = x u1 2k 3e + T + 2T, x u1 k e T T X6 = y + u1 + 2k + 2e T 2T, y u1 k e T T 2 X7 = T + 2T +v T.

T v T T Перейдем к редукции системы (15) (20) и построению ин вариантных решений. Рассмотрим допускаемый оператор рас тяжения ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., xx + yy + ( 1)u1 u1 + 2( 1)kk + (2 3)ee + +( + 1)T T + v T v T + 2( + 1)T, T где, – произвольные постоянные. Решение системы (15) – (20), инвариантное относительно преобразования, порожденно го этим оператором, имеет вид u1 = x1 U (t), k = x22 K(t), e = x23 E(t), T = x+1 G(t), v T = x M (t), = x22+2 F (t), T (23) y где t = – автомодельная переменная.

x Интегрируя уравнения (15) и (18) по y от до +, имеем два закона сохранения u1 dy = const, T dy = const, (24) k 2 u при условии, что v T 0 и 0 при y.

e y В силу (24) и представления (23) для функций u1, T нахо дим = 1/2, = 1.

Подставляя представление (23) в систему (15) – (20), прихо дим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Эта система имеет два первых интеграла, которые с учетом краевых условий дают следующие соотношения:

cµ U K 2 + tU = 0, (25) E ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., M = tG. (26) Используя (25),(26), приходим к системе cµ U K 2 + tU = 0, E 1 E2 E tK E E 2K K= ( 2 )+K ( )U, cµ K K 2K E K U E c2 E 3 2E 2 tE E E 2K E =E( ) c1 + ( 3 2 ), (27) 2K E K K cµ K K 4E G( 2) 3Kc E 2K G G =( )(G + ) + + E K t t c1T E GE( 3/2) tEG K +, 2 2c1 K c1 K E(F + tF ) tGG E c F E E 2K 2 T F =F ( ) + +.

K 2 c1 c1 K 2 c1 K E K Краевые условия для системы (27) выглядят следующим обра зом:

K (0) = E (0) = G (0) = F (0) = 0, (28) U (0.45) = K(0.45) = E(0.45) = G(0.45) = F (0.45) = 0. (29) Заметим, что система (27) допускает оператор растяжения t +U + 2K + 2E + 2G + 2F.

t U K E G F Система (27) имеет особенности в точках t = 0 и t = 0.45, поэтому для решения задачи (27) с краевыми условиями (28), (29) нами был также использован метод стрельбы.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Основные результаты работы сводятся к следующему. Вы полнен теоретико-групповой анализ математических моделей дальнего плоского турбулентного следа за цилиндром в пас сивно-стратифицированной среде и следе за нагретым цилин дром. Построены автомодельные решения, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хинце И.О. Турбулентность. М.: Физматгиз, 1963.

2. Курбацкий А. Ф., Онуфриев А. Т. Моделирование турбулентного пе реноса импульса в следе за цилиндром с привлечением уравнений для третьих моментов // Журн. прикладной механики и технической фи зики. 1979. №6. С. 99 107.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

4. Букреев В. И., Деменков А. Г., Костомаха В. А., Черных Г. Г. Рас пространение тепла от линейного источника в плоском турбулентном следе // Прикладная механика и техническая физика. 1996. № 5.

С. 115 126.

5. Гиневский А. С. Теория турбулентных струй и следов. М.: Машино строение, 1969. 400 с.

6. Chernykh G. G., Demenkov A. G. Numerical models of jet ows of a viscous incompressible uid // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling.

1997. V. 12, № 2. P. 111 125.

7. Freymuth P., Uberoi M S. Structure of temperature uctuations in the turbulent wake behind a heated cylinder // Phys. Fluids. 1971. V. 14, No. 12, P. 2574 2580.

8. Бабенко В. А. Моделирование квазиоднородной свободной турбулент ности в стратифицированных и реагирующих потоках. Автореферат дисс. на соиск. уч. степени докт. физ.-мат. наук, 2001, ИТМО им. А.В. Лыкова НАНБ. 40 с.

9. Durbin P. A., Hunt J. C. R., Firth D. Mixing by a turbulent wake of a uniform temperature gradient in the approach ow // Phys. Fluids.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 1982. V. 25, №. 4. P. 588 591.

10. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.

М.: Наука, 1978. 399 c.

11. Капцов О.В., Ефремов И.А., Шмидт А.В. Автомодельные решения модели второго порядка дальнего турбулентного следа // Прикладная механика и техническая физика. 2008. № 2. T. 49. С. 74 78.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 519. В.И. Елкин Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской академии наук vl_elkin@ccas.ru ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ Изучаются симметрии нелинейных управляемых систем: преобразо вания фазовых переменных, переводящие решения в решения. На основе симметрий доказываются условия, при которых управляемая система до пускает декомпозицию.

Рассматриваются нелинейные системы, которые линейны по управлениям, т.е. системы вида y M Rn, u Rr.

y = f (y)u, (1) Здесь y фазовые переменные, u управления, M фазовое пространство системы, являющееся областью. Предполагается, что f nr-матрица, столбцы которой f, = 1,..., r глад кие векторные поля и rank f (y) = const. Решением или фазо вой траекторией системы (1) называется непрерывная кусочно гладкая функция y(t), для которой существует такое кусочно непрерывное управление u(t), что функции y(t), u(t) удовле творяют соотношениям (1).

Симметрии систем вида (1) определим как автоморфизмы в категории SAS. Объектами этой категории являются систе мы вида (1), а морфизмы определяются следующим образом.

Рассмотрим наряду с системой (1) систему x L Rm, v Rs.

x = g(x)v, (2) Работа поддержана РФФИ, грант 07-01- ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Гладкое отображение : M L называется морфизмом систе мы (1) в систему (2), если как только y(t) решение системы (1), соответствующее управлению u(t), то x(t) = (y(t)) ре шение системы (2), соответствующее некоторому управлению v(t). Морфизм называется изоморфизмом, если диффео морфизм и 1 морфизм. Изоморфные системы называются также эквивалентными. Изоморфизм : M M системы (1) на себя называется автоморфизмом или симметрией системы (1) в категории SAS. Таким образом, симметрией системы (1) в категории SAS называется диффеоморфизм : M M, пе реводящий решение y(t) системы (1), соответствующее управ лению u(t), в некоторое решение y (t) = (y(t)) системы (1), соответствующее, вообще говоря, другому управлению u (t).

Далее, в более общем смысле под симметриями понимаются также локальные диффеоморфизмы, переводящие решения в решения. Нас будут интересовать такие локальные однопара метрические группы s, R1, что каждый локальный диф феоморфизм s является симметрией. Векторные поля, порож дающие однопараметрические группы симметрий, называют ся инфинитезимальными симметриями системы (1). Про такие векторные поля говорят также, что они допускаются системой (1). Для формулировки условия, которому должны удовлетво рять инфинитезимальные симметрии, следует ввести некото рые дифференциально-геометрические понятия, связанные с системой (1).

Ассоциированным распределением системы (1) называет ся распределение D, порождаемое векторными полями f, т.е.

D(y) = span{f (y), = 1,..., r} T My, где T My касатель ное пространство векторов в точке y M. (Векторные поля f (y), = 1,..., r также называются ассоциированными.) Ве личина dimD(y) называется рангом D в точке y M. Без ограничения общности будем считать, что dimD(y) = r, т.е.

векторные поля f являются линейно несвязанными и состав ляют базис в каждом линейном пространстве векторов D(y), ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., y M. Такие семейства полей называются базисными для рас пределения D. Базисные семейства определены, конечно, неод нозначно. С помощью любого базисного семейства векторных полей распределения D можно построить некоторую управля емую систему вида (1), используя эти поля в качестве ассоции рованных. Все такие системы будут эквивалентны в категории SAS. Говорят, что векторное поле принадлежит распределе нию D и пишут D, если (y) D(y) y M. Следова тельно, каждое такое поле выражается в виде линейной ком бинации (с переменными коэффициентами) векторных полей любого базисного семейства.

Ассоциированным кораспределением системы (1) называет ся кораспределение K, являющееся двойственным кораcпреде лением к D, т.е. K = D. Таким образом, K порождается в каждой точке y M такими формами Пфаффа (ковекторами) T My, где T My кокасательное пространство области M в точке y M, что () = 0 D(y). Обычно базисное семей ство форм Пфаффа k, k = 1,..., q = n r кораспределения K записывают в виде системы Пфаффа:

k = i (y)dy i = 0, k k = 1,..., q = n r. (3) (Здесь и далее по повторяющемуся индексу производится сум мирование.) Формально соотношения (3) можно получить из (1) исключением переменных u и умножением на dt. Для диф ференциальных форм k = i (y)dy i, k = 1,..., q выполняется k k условие rank i (y) = q. Поэтому они определяют в каждой точке y M линейно независимые ковекторы k (y) T M. В этом случае говорят, что дифференциальные y формы k = i (y)dy i и соответствующая система Пфаффа яв k ляются линейно несвязанными. Система уравнений Пфаффа (3) называется ассоциированной системой Пфаффа управляе мой системы (1). Она связана с ассоциированным семейством векторных полей соотношениями k i i (y)f (y) = 0. (4) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Соотношения (4) позволяют переходить от вида (1) к двой ственному представлению (3) и наоборот (неоднозначно, но при этом получаются эквивалентные объекты).

Вернемся к системе (1). Справедлива Теорема 1 [1]. Векторное поле является инфинитези мальной симметрией системы (1) тогда и только тогда, когда [, D] D (т.е. [, ] D D).

Под внутренними симметриями будем понимать преобра зования из однопараметрических групп, порождаемых инфи нитезимальными симметриями, принадлежащими ассоции рованному распределению D, т.е. D. Такого рода инфи нитезимальные симметрии также будем называть внутренни ми. Внутренние симметрии ответственны за важную декомпо зицию системы (1), к рассмотрению которой и переходим.

Заметим, внутренние инфинитезимальные симметрии по рождают так называемое характеристическое распределение CD ассоциированного распределения D. Двойственное корас пределение (CD) является характеристическим кораспреде лением CK ассоциированного кораспределения K. Особенно стью CK является конструктивность его нахождения. Оказы вается [2], что CK порождается системой Пфаффа, состоящей из уравнений (3) и уравнений k 11... qq ] dy i = 0, (5) i[j j j k = 1,..., q, 1 j j1... jq n.

Здесь k k j k = i, ij y i y j а квадратные скобки означают, что произведено альтерниро вание по заключенным в них индексам, т. е. над индексами j, j1,..., jq в произведении k 11... qq сделано (q + 1)! пере ij j j становок и взята сумма полученных выражений, причем выра жения, полученные при помощи нечетных перестановок, взяты ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., с обратным знаком. Эту операцию можно записать в виде фор мулы k k 1... k q ij ij ij 1 11... 1q j j j k 11... qq ] =.

...

..

i[j j...

j.

...

q q1 qq...

j j j Ранг CK, равный максимальному числу линейно несвязан ных уравнений Пфаффа в системе уравнений Пфаффа (3), (5), называется классом кораспределения K и обозначается через classK. Будем считать, что он постоянный в области M. Класс определяет следующее важное свойство кораспределения K:

Теорема 2 [2]. Пусть classK = p. Тогда в некоторой си стеме координат x1,..., xn кораспределение K (локально) по рождается базисной системой Пфаффа, зависящей только от p переменных:

k = k (x1,..., xp )dxj = 0, k = 1,..., q, j = 1,..., p, (6) j причем класс определяет минимальное число p среди всевоз можных систем координат.

Рассмотрим теперь в системе координат x1,..., xn соотно шения типа (4) для определения ассоциированных полей g, = 1,..., r управляемой системы x = g(x)v, для которой система Пфаффа (6) является двойственным представлением.

В переменных x1,..., xp из соотношения k (x1,..., xp )g j = j можно получить p q линейно несвязанных полей. Расширим их до векторных полей в пространстве переменных x1,..., xn, полагая недостающие компоненты, равными нулю. Добавляя к этому семейству векторные поля /xp+1,..., /xn, получим искомые ассоциированные поля. Очевидно, что соответствую щая управляемая система будет иметь вид x1 = g(x1 )v1, (7) x2 = v2.

(8) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Здесь x1 = (x1,..., xp ), x2 = (xp+1,..., xn ), v1 = (v 1,..., v pq), v2 = (v pq+1,..., v r ). По построению система (7), (8) эквива лентна системе (1). Таким образом, доказана Теорема 3. Пусть класс ассоциированного кораспределе ния управляемой системы (1) равен p n. Тогда система (1) (локально) эквивалентна системе вида (7), (8).

Обратим внимание на то, что системы (7), (8) независимы как по фазовым переменным, так и по управлению, причем си стема (8) имеет тривиальный вид. Таким образом, декомпози ция (7), (8) как бы отделяет от исходной системы тривиальную часть. Это позволяет при исследовании той или иной задачи управления, связанной с системой (1), разложить эту задачу на две: тривиальную, связанную с системой (8), и нетривиальную, связанную с системой (7). Можно сказать, что класс ассоцииро ванного кораспределения системы (1) является инвариантом, характеризующим степень нетривиальности этой системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Симметрии и классификация. М.: Фазис, 2006. 240 с.

2. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными произ водными. М.–Л.: Гостехиздат, 1947. 354 с.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 531. В.Д. Иртегов, Т.Н. Титоренко Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск irteg@icc.ru, titor@icc.ru АНАЛИЗ ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ Для вполне интегрируемых систем, уравнения движения которых до пускают полиномиальный первый интеграл четвертой степени, рассмот рены задачи выделения стационарных решений, инвариантных многооб разий стационарных движений и исследования их на устойчивость по Ля пунову. Для решения вычислительных задач использовались средства си стемы компьютерной алгебры Mathematica.

Рассмотрим динамическую систему [1], дифференциальные уравнения которой имеют вид:

s1 = 2 r2 r3 + r1 s2 (r3 s2 )(r2 + s3 ), s2 = = (2 + 2 )r1 r3 (r1 +r2 )s1 +(r3 s1 )s3, s3 = (r1 r2 )s3, r1 = r2 (r1 + r2 + 2s3 ) r3 s2 ((2 + 2 )r3 s2 + s2 )x, r2 = r3 s1 r1 (r1 + r2 + 2s3 ) + ((2 + 2 )r3 s1 + s2 )x, r3 = r1 s2 r2 s1 + (s1 s2 )s3 x.


(1) Уравнения (1) допускают следующие первые интегралы:

2V0 = (s2 + s2 + 2s2 ) + 2(r1 + r2 )s3 (2 + 2 )r3 = 2h, 1 2 V1 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = c1, V2 = x(s2 + s2 + s2 ) + r1 + r2 + r3 = c2, 2 2 1 2 Работа поддержана INTAS-СО РАН, грант 06-1000013- ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 2V3 = (r1 s1 + r2 s2 ) (2 + 2 )(r1 s1 + r2 s2 )+ +2(s1 + s2 )s3 ) + s2 (s2 + s2 + 31 +(r1 + r2 + s3 )2 + xs2 (s1 s2 )2 = 2c3. (2) Здесь si, ri – компоненты двух трехмерных векторов,,, x – постоянные.

Случаи x 0 и x 0 соответствуют уравнениям Эйле ра на алгебрах Ли so(4) и so(3, 1). При x = 1 уравнения (1) совпадают с уравнениями Пуанкаре–Жуковского, описываю щими движение твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной вихревой несжимаемой жидкостью, а при x = рассматриваемая система соответствует интегрируемому слу чаю в задаче Кирхгофа [2].

Уравнения (1) исследовались в работах [3]–[5]. В них про веден бифуркационный анализ данной системы для алгебр Ли e(3) и so(4).

Нами рассмотрена задача выделения решений уравнений (1), на которых элементы алгебры первых интегралов задачи принимают стационарное значение. Такие решения мы назы ваем стационарными. Для уравнений (1) мы находим стацио нарные решения и инвариантные многообразия стационарных движений (ИМСД). Для случая x = 0 проведено исследование полученных стационарных решений и ИМСД на устойчивость на основе методов Ляпунова. Для произвольного x рассмотре на задача получения “резонансных” ИМСД.

1. Выделение стационарных решений и инвариант ных многообразий стационарных движений 1.1. Случай x = Дифференциальные уравнения (1) и первые интегралы (2) при x = 0 примут вид ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., s1 = 2 r2 r3 + r1 s2 (r3 s2 )(r2 + s3 ), s2 = (2 + 2 )r1 r (r1 + r2 )s1 + (r3 s1 )s3, s3 = (r1 r2 )s3, r1 = r2 (r1 + r2 + 2s3 ) r3 s2, r2 = r3 s1 r1 (r1 + r2 + 2s3 ), r3 = r1 s2 r2 s1.

(3) 2V0 = (s2 + s2 + 2s2 ) + 2(r1 + r2 )s3 (2 + 2 )r3 = 2h, 1 2 2 2 V1 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = c1, V2 = r1 + r2 + r3 = c2, 2V3 = (r1 s1 + r2 s2 )((2 + 2 )(r1 s1 + r2 s2 ) + 2(s1 + s2 )s3 )+ + s2 (s2 + s2 + (r1 + r2 + s3 )2 ) = 2c3. (4) 31 Здесь переменные si, ri приобретают следующий физический смысл: s = (s1, s2, s3 ), r = (r1, r2, r3 ) представляют собой (с точностью до линейного преобразования) векторы “импульсив ного момента” и “импульсивной силы” соответственно.

Для уравнений (3) рассмотрим задачу выделения стацио нарных решений и инвариантных многообразий стационарных движений. Для ее решения будем использовать метод Рауса– Ляпунова и его модификации [6], [7].

В соответствии с указанным методом из базовых первых интегралов задачи образуются некоторые их комбинации се мейства первых интегралов K. Мы ограничимся линейными комбинациями первых интегралов (для полного анализа ста ционарных множеств нужно использовать и нелинейные ком бинации (см. [6])):

K = 0 V0 1 V1 V2 3 V3 (i = const). (5) Запишем условия стационарности K по переменным s1, s2, s3, r1, r2, r3 :

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., K/s1 = 0 s1 1 r1 3 [(2 + 2 )r1 (r1 s1 + r2 s2 )+ +s1 s3 (r2 + r1 ) + s2 s3 (2r1 + s3 )] = 0, K/s2 = 0 s2 1 r2 3 [(2 + 2 )r2 (r1 s1 + r2 s2 )+ +s1 s3 (r2 + r1 ) + s2 s3 (2r2 + s3 )] = 0, K/s3 = 0 (r1 + r2 + 2s3 ) 1 r 3 [(r1 s2 s1 + s2 )(s1 r1 + s2 r2 )+ +s3 (r1 + r2 )2 + s3 (s2 + s2 + 2s2 ) + 3s2 (r1 + r2 )] = 0, 1 3 K/r1 = 0 s3 1 s1 2 r1 3 [(2 + 2 )s1 (r1 s1 + r2 s2 )+ +s2 (r2 + r1 ) + s3 (s2 + s2 ) + 3 s1 s2 s3 ] = 0, 3 1 K/r2 = 0 s3 + 1 s2 + 2 r2 + 3 [(2 + 2 )s2 (s1 r1 + r2 s2 )+ +s2 s3 (s1 + s2 ) + s2 (r1 + r2 ) + s3 ] = 0, 3 K/r3 = ((2 + 2 )0 + 2 )r3 + 1 s3 = 0. (6) Согласно [7], решения уравнений (6) определяют семейства ста ционарных решений и семейства ИМСД дифференциальных уравнений (3), соответствующих семейству первых интегралов K. Задача выделения стационарных решений и ИМСД для (3), таким образом, сводится к нахождению решений системы нели нейных алгебраических уравнений (6).

Существует ряд методов (см. [8], [9] и библиографию) реше ния подобных систем в аналитическом виде. В последнее де сятилетие в компьютерной алгебре широкое распространение получил метод базисов Гребнера [10], который позволяет при вести систему нелинейных алгебраических уравнений к виду, удобному для ее решения, например, когда решения уравнений можно получить последовательным исключением переменных.

Программная реализация метода базисов Гребнера имеется во ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., многих системах компьютерной алгебры. В предлагаемой рабо те для построения базиса Гребнера системы (6) использовалась программа “GroebnerBasis” системы Mathematica. Все вычисле ния проводились на Pentium 1100 MHz (256 MB RAM) в среде Windows XP.

Предварительно были проведены простейшие преобразова ния уравнений (6): с помощью последнего линейного уравнения исключена переменная r3 из оставшихся уравнений системы.

Базис Гребнера, построенный для получившейся в результате такого преобразования системы уравнений, имеет вид:

f1 (s1, s2, s3, r1 ) = 0, f2 (s1, s2, s3, r2 ) = 0, (a1 s1 +a2 s2 +a3 s3 ) (a4 +a5 s2 +a6 s2 +a7 s1 s3 +a8 s2 s3 +a9 s2 ) = 0, 1 2 s3 (b1 s1 +b2 s3 )(b3 +b4 s2 +b5 s2 +b6 s1 s3 +b7 s2 s3 +b8 s2 ) = 0, 1 2 s3 f3 (s1, s2, s3 ) = 0, f4 (s1, s2, s3 ) = 0, f5 (s1, s2, s3 ) = 0, s3 f6 (s1, s2, s3 ) = 0, f7 (s1, s2, s3 ) = 0, s3 f8 (s1, s2, s3 ) = 0, (7) где fi (i = 1,..., 8) – полиномы 4 6 степени относительно rj, sj ;

ai, bj (i = 1,..., 9), (j = 1,..., 8) – некоторые выражения от i,,. Время вычисления составило 14.13 мин.

Как видно из (7), данная система уравнений факторизует ся, то есть разделяется на несколько подсистем, которые мож но исследовать по-отдельности. Для каждой подсистемы был построен базис Гребнера. Последнее позволило провести неко торый качественный анализ множества решений каждой под системы (например, получить ответ на вопрос о совместности подсистемы уравнений, конечное или бесконечное число реше ний имеет подсистема и др.) и найти сами решения.

Следует отметить, что данный подход позволяет установить общее число решений системы, которое включает и действи тельные, и комплексные решения, так как все вычисления про водятся над полем C. Поскольку нас интересуют только дей ствительные решения, то из найденных решений были выделе ны именно такие. Удалось установить, что исследуемая система ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., уравнений (7) (и, следовательно, (6)) имеет бесконечное число решений (переменная s3 входит в решения одной из подсистем как свободная, что равносильно существованию у системы (3) инвариантных многообразий). Всего было выделено 21 реше ние (включая инвариантные многообразия). Ниже приведены некоторые из полученных решений:

p 0 p1 0 p {r1 = ±, r2 =, r3 = 0, s1 =, a 2 a 2 a p1 0 p2 0 p s2 = ±, r2 = ±, s3 = 0}, {r1 =, a a 2 a 2 p2 p r3 = 0, s1 = ±, s2 =, s3 = 0}, a a (8, 9) 1 s3 1 s3 0 3 s3 (r2 + s3 ) {s1 =, s2 =, r1 =, a a 3 s 1 s r3 = } и 2 = 0, (10) a 22 s3 22 s3 20 1 s, r2 = 2 0 2, r3 = {r1 =, 2 2 a0 a a0 1 20 1 s3 20 1 s3 } и 2 = a0 1, 3 = 0, s1 =, s2 = 2 a2 2 a0 2 2 0 1 (11) s3 s3 0 s3 1 s {r1 = 2, r2 = 2, r3 =, s1 =, + 2 + 2 1 a 1 s } и 2 = 0 1, s2 = a (12) a 0 0 {r1 = s1, r2 = s1, r3 = 0, s2 = s1, s3 = 0} 1 1 и 2 =, 3 = 0. (13) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Здесь и далее для более компактной записи формул использо ваны следующие обозначения:

a = 2 + 2.

p1 = 2 +1 2 /0, p2 = 2 +1 2 /0, Решения (9) являются семействами стационарных решений системы дифференциальных уравнений (3). С механической точки зрения элементы данных семейств можно проинтерпре тировать как винтовые движения твердого тела в жидкости.

Решения (10) – (13) представляют семейства ИМСД систе мы дифференциальных уравнений (3). С геометрической точки зрения, элементы каждого семейства ИМСД (11) – (13) – при фиксированных значениях параметров 0, 1, 2, 3 – опреде ляют прямые, лежащие в R6 на пересечении 5-ти гиперплос костей. Кроме того, поскольку на каждом семействе ИМСД (11), (12) определено векторное поле вида s3 = 0, а на ИМ СД (13) – s1 = 0, то каждая точка данных прямых будет вы рожденным стационарным решением исходных дифференци альных уравнений. Последнее означает, что на этих решениях якобиан уравнений (6) тождественно равен нулю.

Аналогично, элементы семейства ИМСД (10) (при фикси рованных значениях параметров i ) определяют в R6 поверх ности размерности 2. Каждая такая поверхность лежит на пе ресечении 3-х гиперплоскостей и поверхности 2-го порядка.

1.2. Об инвариантных многообразиях в случае произвольного x Рассмотрим задачу выделения инвариантных многообразий системы (1) в случае произвольного x. Ограничимся здесь вы делением “резонансных” ИМСД с помощью следующей проце дуры.

Пусть система дифференциальных уравнений xi = Xi (x1,..., xn ) допускает два первых интеграла: V (x) = c1, W (x) = c2.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Рассмотрим некоторое гладкое многообразие, определяемое уравнениями j (x1,..., xn ) = 0 (j = 1,..., k). (14) Исключим с помощью уравнений j = j (x1,..., xn ) k пере менных xi (i = 1,..., k) из первых интегралов и уравнений движения. В результате первые интегралы примут вид:

V = V (1,..., k, xk+1,..., xn ), W = W (1,..., k, xk+1,..., xn ).

Пусть на многообразии (14) между интегралами V и W су ществует некоторое полиномиальное соотношение, например:

V 2 (0,..., 0, xk+1,..., xn ) = W (0,..., 0, xk+1,..., xn ). (15) Рассмотрим линейную связку наших первых интегралов K = V (1,..., k, xk+1,..., xn ) W (1,..., k, xk+1,..., xn ).


Тогда справедлива Теорема. Если при некоторых значениях система урав нений K V W = = 0 (j = 1,..., k) j j j удовлетворяется при любых xk+1,..., xn на многообразии j = 0 (j = 1,..., k) и имеет место соотношение (15), то дифференциальные уравнения имеют семейство инвариант ных многообразий j (x1,..., xn ) = 0 (j = 1,..., k), V (0,..., 0, xk+1,..., xn ) = c1, на которых функция K принимает стационарное значение.

Воспользуемся данной теоремой для выделения ИМСД в нашем случае. Для этого запишем равенство V02 = V3 для пер вых интегралов уравнений (1):

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., s2 + s2 + 2s2 + 2s3 (r1 + r2 ) (2 + 2 )r3 )2 = 1 2 = (r1 s1 + r2 s2 ) a(r1 s1 + r2 s2 ) + 2(s1 + s2 )s3 + +s2 s2 + s2 + (r1 + r2 + s3 )2 + xs2 (s1 s2 )2.

3 1 2 Из последнего выражения видно, что равенство выполняется, например, при s1 = s2 = r3 = 0. Легко проверить, что условия приведенной выше теоремы здесь удовлетворяются, и уравне ния (1) имеют семейство ИМСД:

s1 = s2 = r3 = 0, s3 (s3 + (r1 + r2 )) = 1 = c3. (16) Элементы этого семейства ИМСД существуют при всех зна чениях параметра x, а дифференциальные уравнения на них определяют периодические движения. Такого вида периодиче ские движения для уравнений Кирхгофа обсуждались в [11].

3. О бифуркации и устойчивости стационарных решений и инвариантных многообразий В этом разделе представлены некоторые результаты каче ственного анализа полученных решений уравнений (3). Мы огра ничились здесь рассмотрением задачи ветвления и устойчиво сти семейств стационарных решений и инвариантных много образий в окрестности тривиального решения. Для исследо вания устойчивости решений мы применяли методы Ляпуно ва. Для решения систем неравенств, возникающих в процессе исследования устойчивости, был использован пакет “Algebra‘ InequalitySolve‘” системы Mathematica.

3.1. О бифуркации решений в окрестности тривиального решения Поставим задачу определить семейства стационарных ре шений и ИМСД, примыкающих к тривиальному решению си стемы (3).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Необходимые условия существования интересующих нас ре шений, соответствующих семейству первых интегралов K (5), можно получить, приравнивая к нулю якобиан системы (6), вычисленный при ri = 0, si = 0 (i = 1, 2, 3). Этот якобиан при указанных условиях можно записать так:

J = (2 + 0 2 )(2 + 2 + 0 2 )(2 + 2 + 20 2 ).

a0 a 1 1 Полагая J = 0, найдем выражения для 2 как функции остальных параметров i :

2 2, 2) 2 = a0 1, 3) 2 = 0 1. (17) 1) 2 = a 0 2 20 Последние и будут условиями, при которых можно получить нужные нам семейства стационарных решений и ИМСД как решения уравнений стационарности (6).

Сравнивая ограничения на i (при которых были получе ны семейства ИМСД (11)–(13)) с (17), можно заключить, что данные семейства ИМСД примыкают к 0-му решению (точнее, инвариантные многообразия, входящие в семейства, при вся ком фиксированном наборе параметров i просто пересекают тривиальное решение).

При 1 = 0 к 0-му решению будет примыкать подсемейство семейства ИМСД (10):

0 3 s3 (r2 + s3 ) {s1 = 0, s2 = 0, r1 =, r3 = 0}.

3 s Легко проверить, что первые два семейства стационарных решений (9) примыкают к тривиальному решению при 2 = 2 /0.

Последнее соответствует первому условию (17). Для последних 2-х семейств стационарных решений (9) таким условием будет 2 = 1 = 0. Как легко видеть, первое условие (17) также ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., выполняется, когда указанное соотношение между параметра ми имеет место.

Таким образом, мы указали семейства ИМСД и семейства стационарных решений (определяемые условиями стационар ности (6)), которые примыкают к тривиальному решению при всех соотношениях на параметры i (17).

Представляет интерес исследование устойчивости, примы кающих к 0-му решению семейств стационарных решений и инвариантных многообразий. Отметим, что само нулевое реше ние устойчиво по Ляпунову. Получение достаточных условий его устойчивости, как условий знакоопределенности полинома K с использованием компьютерной техники, достаточно три виально и поэтому мы приводим только сами условия.

Достаточные условия устойчивости 0-го решения выглядят так:

0 0 0 2 1 1 + 0 2 ( = 0(2 + 2 )0 +2 0)( = 0 = 0 2 0 +2 0).

Простой анализ последних условий показывает, что они сво дятся к требованию 2 + 2 = 0 и, следовательно, всегда вы полняются.

3.2. Об устойчивости стационарных решений Исследуем на устойчивость по первому приближению эле менты 1-го семейства стационарных решений (9). В соответ ствии с теоремой Ляпунова об устойчивости по 1-му прибли жению запишем для уравнений (3), линеаризованных в окрест ности исследуемого решения, характеристическое уравнение:

(2(2 + 2 )0 + 2 )(1 1 / 0 2 ) + (2 + 2 )a 0 ((2 + 2 )0 + 2 )(1 1 / 0 2 )2 + = 0. (18) (2 + 2 )a ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Уравнение (18) имеет четыре ненулевых и два нулевых корня:

0 + 1 0 /2 0 + 1 0 / =, =, 3 (0 + 2 )(1 1 / 0 2 ) a =, a (0 + 2 )(1 1 / 0 2 ) a =, = 0, = 0.

a При выполнении следующих условий:

0 0 2 0 3 0 0 2 1 0 0 0 2 0 3 0 0 2 1 0 2 (19) хотя бы один корень из первой пары корней будет веществен ным и положительным. Соответствующие условия для второй пары корней имеют более громоздкий вид и мы их здесь не приводим.

Таким образом, при выполнении, например, условий (19) элементы рассматриваемого семейства стационарных решений будут неустойчивыми.

Попытаемся теперь получить необходимые условия устой чивости исследуемого решения.

Среди корней характеристического уравнения (18) есть ну левые кратные корни. Проверка показала, что этим корням соответствует диагональная жорданова форма матрицы лине аризованной системы уравнений. Следовательно, устойчивость исследуемого решения в этом случае возможна, если биквад ратное уравнение (1-й сомножитель в уравнении (18)) имеет только нулевые и чисто мнимые корни. Корни биквадратного уравнения будут удовлетворять этому требованию при выпол нении, например, следующих условий на параметры задачи.

При 3 0 :

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ( 0 2 = 1 (( = 0 0 + 2 / 0) a ( = 0 = 0 0 + 2 / 0)) (2 0 (2 0 0 0))) a ( 0 2 1 (( = 0 0 + 2 / 0) a ( = 0 = 0 0 + 2 / 2 0)) (2 (0 0 2 0))).

При 3 0:

1 + 0 2 0 (( = 0 0 + 2 / 0) a ( = 0 = 0 0 + 2 / 2 0)) (2 0 (0 0 2 0)).

Последнее означает, что имеет место устойчивость в линей ном приближении элементов исследуемого семейства решений.

Аналогичные результаты были получены и для остальных семейств стационарных решений (9).

3.3. Об устойчивости инвариантных многообразий Для исследования устойчивости инвариантных многообра зий (10) – (13) использовался метод Рауса–Ляпунова. Здесь приведены некоторые результаты исследования на устойчивость элементов семейства ИМСД (12) указанным методом.

Векторное поле на элементах этого семейства описывается уравнением s3 = 0, (20) которое получается из уравнений (3) с помощью выражений (12).

Как было отмечено выше, геометрически рассматриваемое семейство ИМСД представляет собой некоторые прямые в R6, каждая точка которых соответствует вырожденному стацио нарному решению уравнений (3). Введем в качестве параметра на данном семействе ИМСД: s3 = s0 = const.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Исследуем на устойчивость решения, принадлежащие се мейству ИМСД (12), указанным выше методом. Вторая вари ация K в окрестности решения, соответствующего s0, в откло нениях s3 s3 0 s3 1 s z1 = r1 +, z2 = r2 +, z3 = r3, z4 = s 1 +, a a 1 a 1 s, z6 = s3 s z5 = s2 + a запишется так:

2 K = a1 z1 +a2 z1 z2 +a3 z2 +a4 z3 +a5 z1 z4 +a6 z4 +a7 z2 z5 +a8 z4 z5 + 2 2 2 2 +a9 z5 + a10 z1 z6 + a11 z2 z6 + a12 z3 z6 + a13 z6, а соответствующие вариации первых интегралов V0, V1, V2 со ответственно V0 = (b1 z1 + b2 z2 + b3 z3 + b4 z4 + b5 z5 + b6 z6 )s0 = 0, V2 = (b13 z1 + b14 z2 + b15 z3 )s0 = 0, V1 = (b7 z1 + b8 z2 + b9 z3 + b10 z4 + b11 z5 + b12 z6 )s0 = 0. (21) Здесь ai, bi некоторые выражения от i,,.

s Полагая = 0, исключим переменные z1, z5 с помощью уравнений (21) (среди которых только два независимые) из 2 K. В результате получим квадратичную форму:

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., a(2 + 2 ) 2 (2 + 2 ) a 0 aa 2K = 1 z2 z2 z3 + 2 2 2 (4 (6 + 32 2 a + 6 )+ +2 2 0 2 +2 2 (4 + 22 2 + 4 ) + 2 4 2 a(2 + 2 )0 3 s0 )z3 + a 01 1 1 a(0 3 s0 ) 1 1 a +( + )z2 z4 z3 z4 + z 2 0 (0 3 s0 ) a (0 (2 2 ) z4 z6 + a0 2 1 0 a (2 + 2 )3 s0 )z3 z6 z2 z6 + 2 2 2 (3 (3 2 + 2 2 a2 ) a0 a0 1 2 a0 1 (2 a2 4 + 2 a2 2 + 2 4 )3 s0 )z6.

0 01 1 Условия знакоопределенности 2 K будут достаточными усло виями устойчивости исследуемых решений. Записанные в фор ме неравенств Сильвестра, они имеют вид a(2 + 2 ) a 0 0, 1) 22 a(2 + 2 ) a 0 2 1 + 4 3 (0 3 s0 ) + 4 3 (0 3 s0 )+ 2) 0 3 0 42 2 2 + 2 0 2 (0 3 s0 ) + 2 0 (2 2 2 + 2 )(0 3 s0 ) 0, 1 3 0 1 a2 (3 (2 + 2 )3 s0 ) a0 a0 1 + 4 3 (0 3 s0 )+ 1 3) 0 82 2 2 2 + 4 3 (0 3 s0 ) + 2 0 2 (0 3 s0 ) + 2 0 (2 2 2 + 0 3 1 3 +2 )(0 3 s0 ) 0, 1 a(2 + 2 )3 (3 (2 + 2 )3 s0 ) a 0 a0 a 1 1 4) 0. (22) 2 2 4 16 ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Неравенства (22) совместны при выполнении следующих усло вий:

0 ( 0 p 0 p) 0 ( 0 p 0 p), где 3/ a s p = 0 0 1 0 (3 0 (2 2 ) a0 + 3/2 3/ a a ) 1 0 (3 0 (2 + 2 )3 (2 + 2 ) a0 a 1 3/ a s0 ).

(2 + 2 ) a0 Таким образом, устойчивыми в смысле Ляпунова будут только те исследуемые решения, принадлежащие элементам семейства ИМСД (12), для которых параметр s0 удовлетворяет послед ним условиям.

Аналогичное исследование на устойчивость было проведе но и для семейств ИМСД (11), (13), на которых векторное по ле описывается уравнениями s3 = 0 и s1 = 0 соответственно.

Здесь для решений, принадлежащих элементам семейств дан ных ИМСД, получены условия неустойчивости и устойчивости по 1-му приближению. Для того чтобы получить достаточные условия устойчивости методом Рауса–Ляпунова здесь требует ся привлечение членов порядка выше 2-го в разложении инте грала K. В данной работе эта задача не рассматривалась.

Таким образом, результаты анализа стационарных решений (9) и ИМСД (11) – (13) показывают, что к устойчивому 0-му ре шению примыкают как устойчивые, так и неустойчивые семей ства стационарных решений и ИМСД. Простых закономерно стей смены устойчивости, примыкающих к нулевому решению рассмотренных семейств решений, нам установить не удалось.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Для ИМСД (10), векторное поле на котором описывается уравнениями 3 (2 2 + a2 )s4 + 2 (3 s2 + 0 )r2 s3 a 0 3 a0 1 r2 =, 2 s 0 3 a 0 3 (r2 + s3 )s a s3 =, (23) допускающими первый интеграл 2 s2 (0 3 (r2 + s3 )s3 ) 2 V = r2 + +, a2 2 2 2 s 0 рассмотрена задача выделения и исследования на устойчивость методом Рауса–Ляпунова стационарных решений 2-го уровня.

Приведем полученные здесь результаты.

Уравнения (23) имеют следующие семейства стационарных решений:

a1/4 p1 p {{r2 = ±, s3 = ± }, {r2 = ±, 5/4 p3/4 1/4 5/4 p3/ a 3 p3 a 33 a1/4 s3 = }, (24) 1/ 3 p где p1 = 2 + 0 (0 p2 = 2 + 0 (0 + a ap3 ), a ap3 ), 1 p3 = a2 + 2.

0 Достаточными условиями устойчивости, например, элемен тов 1-го семейства стационарных решений (24) будут: = 0, 0 = 0 и 3 0.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Борисов А.В., Мамаев И.С., Соколов В.В. Новый интегрируемый слу чай на so(4) // Доклады РАН. 2001. Т. 381. №5. С. 614 615.

2. Соколов В.В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа // Теоретическая и математическая физика. 2001. Т. 129. №1.

С. 31 37.

3. Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134. №2.

С. 207 226.

4. Морозов В. П. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова // Матем. сборник. 2004. Т. 195. №3.

С. 69 114.

5. Хагигатдуст Г. Топология изоэнергетических поверхностей для ин тегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4) // Доклады РАН.

2005. Т. 401 №5. С. 599 602.

6. Румянцев В.В. Сравнение трех методов построения функций Ляпу нова // Прикладная математика и механика. 1995. Т.59. №6.

С. 916 921.

7. Иртегов В.Д. Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость. Новосибирск: Наука, 1985.

8. Быков В.И., Кытманов А.И., Лазман М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов. Новосибирск: Наука, 1991.

9. Aubry P. and Maza M.M. Triangular Sets for Solving Polynomial Systems:

a Comparative Implementation of Four Methods // J. Symbolic Computa tion. 1999. №28. P. 125 154.

10. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы.

М.: Мир, 2000.

11. Новиков С.П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирх гофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расши ренная теория Люстерника–Шнирельмана–Морса (ЛШМ) // Функ циональный анализ и его приложения. 1981. Т. 15. № 3.

С. 54 66.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 532. А.Н. Кусюмов, Е.В. Романова Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева postbox7@mail.ru, Lenarom2004@mail.ru ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ДИСКАМИ, ОГРАНИЧЕННОЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Рассматривается задача моделирования течения около поверхности вращающегося диска, ограниченного поверхностью замкнутого объема, на основе уравнений Навье–Стокса. Частным случаем данной постановки задачи является задача о вращении бесконечного диска в неограничен ном пространстве. В этом случае использование симметрий имеет сугу бо прикладной смысл: система уравнений допускает группу непрерывных пребразований и сводится к фактор-системе обыкновенных дифференци альных уравнений. Решение задачи в общем случае строится с помощью пакета "Fluent"и сравнивается с решением фактор-системы.

Рассматривается стационарное течение между двумя дис ками, ограниченное боковой цилиндрической поверхностью.

Рассматривается случай, когда один из дисков является непо движным, а другой диск вращается с заданной угловой скоро стью.

Математическая модель задачи определяется уравнениями Навье–Стокса. Вследствие осевой симметрии течения уравне ния Навье–Стокса и уравнение неразрывности в цилиндриче ских координатах упрощаются и принимают вид [1]:

u v 2 2u 2u u 1 p u u +w = + + + 2, r r z r r r r z ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 2v 2v v uv v v u +w = + + 2, (1) r r z r r r z 2 w 1 w 2 w w w 1 p u +w = + + +, r2 z r z z r r u u w ++ = 0.

r r z Здесь u скорость в радиальном направлении, v скорость в окружном направлении, w скорость в осевом направлении, r расстояние от оси вращения диска, z координата вдоль оси вращения жидкости.

Граничные условия к системе (1) запишем в форме u(r, 0) = 0, v(r, 0) = r, w(r, 0) = 0, (0 r r0 );

u(r, zk ) = 0, v(r, zk ) = 0;

(2) u(r0, z) = 0, v(r0, z) = 0, w(r0, z) = 0, где частота вращения, r0 радиус цилиндрической боко вой поверхности, zk расстояние между дисками.

Предположим в начале, что ограничивающая боковая ци линдрическая поверхность удалена на бесконечно большое рас стояние от оси вращения, т.е. r0 =. В этих условиях боковая цилиндрическая поверхность не оказывает влияния на течение жидкости и рассматриваемая задача эквивалентна задаче те чения жидкости между двумя бесконечными дисками. Тогда граничные условия к системе (1) можно переписать в виде u(r, 0) = 0, v(r, 0) = r, w(r, 0) = 0;

u(r, zk ) = 0, v(r, zk ) = 0.

Введем безразмерное расстояние от поверхности вращаю щегося диска = z/, где = /. Отсюда =z /. (3) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Преобразованная система (1) допускает группу непрерыв ных преобразований с оператором X=r +u +v. (4) r u v Инвариантные переменные группы с оператором (4) можно записать в виде (переменные Кармана) u = rF (), v = rG(), w = H(), (5) p = p(z) = P (), где F, G, H и P безразмерные функции переменной.

После подстановки (5) в систему (1), с учетом (3), полу чим систему дифференциальных уравнений для определения функций F, G, H и P :

2F + H = 0, F 2 + F H G2 F = 0, (6) 2F G + HG G = 0, P + HH + 2F = 0.

Граничные условия для системы (6) примут вид F (0) = 0, G(0) = 1, H(0) = 0, P (0) = 0;

(7) F (k ) = 0, G(k ) = 0, где k безразмерное расстояние от поверхности вращающе гося диска.

Решение задачи (6), (7) приведено в [1] для случая k = (течение около вращающегося бесконечного диска), а решение задачи (6), (7) для случая конечного расстояния между диска ми рассматривалось, например, в [2].

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Касательное напряжение на поверхности вращающегося дис ка определяется величиной G (0) (производная безразмерной окружной скорости). Из [1] следует, что G (0) = 0, 616 при k =.

В полной постановке задача (1), (2) решалась численно с по мощью пакета "FLUENT"(версия 6.2.16). Диаметр дисков по лагался r0 = 1 м, угловая частота вращения = 0,01 рад/с.

В качестве рабочей жидкости рассматривалась вода с плотно стью = 998,2 кг/м3, динамическим коэффициентом вязкости µ = 0,00103 кг/м·с.

Число Рейнольдса Rew, вычисленное при указанных пара метрах течения, составляло Rew = R2 / = 9, 708 · 103.

Неподвижный диск располагался на достаточно большом удалении от вращающегося диска: zk = 1 м. При этом усло вии влияние верхнего диска на характеристики течения около вращающегося диска невелико и можно предполагать, что на относительно небольшом расстоянии от оси вращения харак теристики течения близки к характеристикам течения около одиночного вращающегося неограниченного диска.

Для сравнения результатов численного моделироавания за дачи (1), (2) с результатами решения задачи (6), (7) определим безразмерную окружную скорость течения v и производную v безразмерной окружной скорости:

v v v=, v =.

r Сравним величину v (r, 0) с безразмерной окружной ско ростью G (0) на поверхности неограниченного вращающегося диска. Результаты расчета v (r, 0) представлены в таблице 1.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Таблица r 0,1 0,5 0,8 0, v 0, 594 0, 594 0, 594 0, r 0,95 0,97 0, v 0, 538 0, 444 0, Из сравнения результатов расчета следует, что результаты решения задачи с помощью пакета "FLUENT"(при определен ном выше Rew ) хорошо совпадают с решением, представлен ным в [1], в области достаточно большого интервала изменения радиальной координаты r (от 0 до 0,9). Таким образом, при исследовании течения между вращающимися дисками, огра ниченном цилиндрической поверхностью, для оценки момен та сопротивления вращающегося диска в первом приближении можно использовать решения фактор-системы, полученной в условиях неограниченного цилиндрической поверхностью по тока.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

2. Романова Е.В. Характеристики ламинарного течения между двумя вращающимися дисками при различных числах Рейнольдса//Труды конф. “Математическое моделирование и краевые задачи”. Самара.

2007. С. 223 225.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 512.622+512. В.И. Лёгенький Институт проблем математических машин и систем НАНУ victor.lehenkyi@gmail.com О РАССЛОЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Изучаются группы, допускаемые алгебраическими уравнениями, и ана лизируются алгоритмы расслоения уравнений по найденным группам.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.