авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Сборник научных трудов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский физико-технический институт ...»

-- [ Страница 3 ] --

Введение. Хорошо известно, что исследование процессов, описываемых обыкновенными линейными дифференциальны ми уравнениями с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа, может быть сведено к анализу алгеб раических уравнений. Характеристические многочлены, пере даточные функции, границы устойчивости в пространстве па раметров – все эти объекты анализа классической теории ав томатического управления – так или иначе связаны с алгебра ическими уравнениями. В последнее время было опубликова но ряд работ (см., например, [11, 12]), в которых предпринята попытка упрощения (редукции) возникающих алгебраических уравнений с помощью анализа размерностей исходной диффе ренциальной системы (-теоремы). Последняя, с точки зрения теории непрерывных групп преобразований, является инстру ментом выявления хотя и весьма важной, но все же достаточно узкой группы однородных растяжений. Поэтому представляет интерес изучение этого вопроса с более широких позиций, а именно – с точки зрения изучения группы эквивалентностей, действующей в пространстве "переменные–параметры".

В настоящей статье коснемся классической проблемы поис ка корней алгебраического уравнения F (x, a) = an xn + an1 xn1 +... + a1 x + a0 = 0. (1) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Здесь и в дальнейшем для простоты будем полагать an = 1. Ал горитмически подходы к решению этой задачи разнятся в зави симости от наших предположений о коэффициентах (an1,..., a0 ) уравнения (1). Если коэффициенты имеют кон кретные числовые значения (или, как принято говорить в груп повом анализе, задана специализация уравнения (1)), то для решения задачи нам достаточно иметь устойчивый численный алгоритм, который позволяет находить корни с приемлемой точностью. Подобные алгоритмы имплементированы в боль шинство современных математических пакетов. Например, в системе MAPLE-12 компании Maplesoft (Canada) есть специ альный инструмент (Precalculus-Polynomials and Roots), при вводе в поле которого некоторого уравнения вида (1) с за данными коэффициентами строится соответствующий график и производится автоматическое вычисление всех его действи тельных корней. Если же считать, что коэффициенты уравне ния (1) заданы в самом общем, т.е. буквенном виде, то воз никает проблема поиска некоей формулы x = x(a), связываю щей корни уравнения (1) с его коэффициентами. Многовековая история решения этой проблемы имеет, как известно, весьма скромные результаты: в общем случае при n 5 решений в радикалах не существует. Тем не менее попытки решения этой проблемы привели к открытию важных инструментов анализа – резольвент Лагранжа, групп Галуа и т.д. А, кроме того, меж ду этими двумя полярными подходами проявилась некая "про межуточная" стратегия, а именно – с помощью эквивалентных преобразований привести уравнение (1) к последовательности более простых задач, содержащих, по возможности, меньшее число параметров и уравнений более низкого порядка. Анали зируя возможные здесь подходы, Ф. Клейн писал [7, с. 152]:

"Предметом каждого из них является изучение корней общего уравне ния пятой степени как функций коэффициентов уравнения. Оба исходят из идеи упростить эти функции так, чтобы вместо пяти коэффициентов уравнения можно было ввести меньшее количество независимых величин.

Различают только используемые для этой цели средства: в первом случае ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., – это преобразование уравнений 7, а во втором – построение резольвент".

Что же касается возможности применения к анализу про блемы групп непрерывных преобразований С. Ли, то Ф. Клейн подобной перспективы не видел. Он отмечал [7, с. 20]:

"Хотя теория таких групп весьма интересна и важна во многих отно шениях, в наших исследованиях она не будет играть роли".

Первым, кто нарушил этот прогноз Ф. Клейна, был, вероят но, Л. Диксон, посвятивший завершающую часть работы [13] анализу инвариантов бинарных форм. Ему же принадлежит идея вовлечь в групповые преобразования коэффициенты. Он назвал эту расширенную группу "Total group". В современной литературе прижился другой термин – “Группа эквивалентно стей”, а работу Л. Диксона по непонятным причинам не цити руют в данном контексте. Тем не менее общую тенденцию по следнего времени можно охарактеризовать как взаимопроник новение идей дискретно-группового анализа в теорию диффе ренциальных уравнений (отметим, прежде всего, работы В.Ф.

Зайцева, см., например, [4]), а идей групп непрерывных преоб разований – в теорию алгебраических уравнений (см., напри мер, работу Н.Х. Ибрагимова [5] и П. Олвера и И. Берченко [10]). В развитие этих идей написана и настоящая работа.

1. Необходимые определения Дальнейший анализ будем проводить на инфинитезималь ном уровне, т.е. характеризовать непрерывную группу с помо щью инфинитезимального оператора X = (x)x + i (a)ai, (2) а симметрию многообразия F (x, a) = 0 понимать в классиче ском смысле:

XF |F =0 = 0, (XF = (x, a)F ). (3) Здесь условие F = 0 после черты означает, как всегда, "переход на многообразие F = 0". Однако в случае исследования алгеб Имеются в виду преобразования Чирнгауза.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., раических (не дифференциальных) многообразий, для точного его выполнения нам потребуется привлечь еще одно понятие, а именно – понятие результанта. Напомним [6, с.8–9], что если для полиномов f (x) = xn + an1 xn1 + · · · + a0 (4) и g(x) = xm + bm1 xm1 + · · · + b0 (5) составить матрицу коэффициентов M порядка (m+n)(m+n) 1 an1 an2...... a0 0... 0 0 0 1 an1...... a1 a0... 0..... m...

. 0 0... 1......... a1 a 0 0... 1 bm1...... b1 b M =, 0 0... 1 bm1...... b0.. n..

..... 0 0 1...... b0......

1...... b0 0... то выражение R(f, g) = (1)n(n1)/2 det M (6) называется результантом (в форме Сильвестра) полиномов f и g. Соответственно субрезультанты определяются как опре делители матриц, полученных в результате вычеркивания со ответствующих столбцов и строк матрицы M (см., например, [6, с. 19–25]), а дискриминант – как результант полинома F и его производной F (так как в рассматриваемом случае an = 1). В этих терминах свойство двух полиномов иметь k об щих корней характеризуется как равенство нулю соответству ющего числа субрезультантов: R(j) = 0, (j = 0, k 1). Именно это условие мы будем использовать при "переходе на многооб разие".

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 2. Идея расслоения Расслоение, т.е. представление (декомпозиция) исходного уравнения в виде некоторой эквивалентной системы уравне ний более простого вида, используется в явном или неявном виде давно. Различие – в понятии об эквивалентности и ис пользуемой терминологии. 8 Цель рассмотрения нижеупомяну тых примеров – несколько унифицировать технику расслоения с использованием вышеприведенных определений.

Итак, рассмотрим, например, уравнение f = x4 + ax2 + 1 = 0. (7) Сразу видно, что оно – биквадратное (допускается симметрия отражений x = x) и расслаивается в систему x2 y = 0, y 2 + ay + 1 = 0, (8) где y – есть не что иное, как инвариант (минимальный) допус каемой группы отражений, второе уравнение системы (8) – раз решающее уравнение, а первое уравнение – единственное урав нение автоморфной системы. Возникает вопрос: единственно ли такое расслоение? Ответ: нет. Действительно, на уравнение (7) можно смотреть как на возвратное (допускается симмет рия инверсий x = 1/x). Тогда минимальный инвариант этой группы может быть взят в виде y = x + 1/x. Теперь рассло ение исходного уравнения уже не столь тривиальная задача.

Например, в работе [4, с. 32] предлагается несколько путаный алгоритм: деление уравнения (7) на x2 и последующее его пре образование к виду, содержащему только y и его степени. Более точный рецепт состоит в том, чтобы переписать уравнение для инварианта в виде g = x2 yx + 1 = 0 (9) Например, в работе В.Ф. Зайцева [4, с. 32–33] используется термин "система специального вида".

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., и получить разрешающее уравнение на y, воспользовавшись условием R(f, g, x) = 0. Для нашего примера получим x2 yx + 1 = 0, y 2 + a 2 = 0. (10) Подобным образом может быть получено и расслоение для еще одной симметрии этого уравнения ( = 1/x).

x В этом же духе можно трактовать и использование сим метрических многочленов при решении систем алгебраических уравнений и т.д. Заметим, что расслоение по дискретной груп пе – это "расслоение порядка": разрешающее уравнение со держит те же коэффициенты, что и исходное, но его порядок – ниже порядка исходного уравнения. Резольвенты Лагранжа для уравнений 3-го и 4-го порядков также укладываются в эту схему (есть даже терминологическое сходство – "разрешающее уравнение"и "резольвента"имеют один и тот же смысл). В на шей работе несколько иная цель – проанализировать возмож ные “параметрические расслоения”, когда уравнения разреша ющей системы имеют тот же порядок, но содержат меньшее число параметров.

3. Основной результат Предложение 1. Алгебраическое уравнение n-й степени (1) допускает трехмерную алгебру (эквивалентностей) с обра зующими:

n X1 = x nan1 (n k + 1)ank+1 ank, k= n X2 = xx + kank ank, (11) k= n X3 = x2 x + (k + 1)ank1 an1 ank ank a0 an1 a0.

k= ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Доказательство9. Действие оператора (2) на уравнение (1) приводит к соотношению G(x, a) = (x)F/x + i (a)F/a, в котором (n + 1) неизвестных функций, i. Поскольку (x) – функция единственной переменной, то она должна быть взята в виде (x) = C1 + C2 x + C3 x2 (максимальная группа на пря мой – проективная). Далее, переход на многообразие F для G означает выполнение n условий R(j) (F, G, x) = 010, j = 0, n 1, из которых и найдены недостающие n значений i = i (a, C1, C2, C3 ).

Из таблицы коммутаторов алгебры:

[X1, X2 ] = X1, [X1, X3 ] = 2X2, [X2, X3 ] = X3, следует, что группа эквивалентностей алгебраического уравне ния n-й степени изоморфна группе SL(2), которая, как извест но, неразрешима.

4. Пример Приведем дословно несколько наивный, но в тоже время весьма поучительный пример из книги Блехмана и соавторов [1, с. 198–199].

"Пусть, например, – отмечают авторы указанной работы, – мы хотим составить таблицу, по которой можно было бы решать полное кубическое Оператор X1 с учетом значения an = 1 может быть записан в бо лее компактной форме: X1 = x n (n k + 1)ank+1 ank ;

ана k= логично, оператор X3 с учетом значения a1 = 0 может быть запи сан как X3 = x2 x + n k=1 (k + 1)ank1 an1 ank ank. Эти же операторы, записанные в терминах корней (x1, x2,..., xn ) для уравнения (x x1 )(x x2 ) · · · (x xn ) = 0, примут вид:

n n n X3 = x2 x + x2 xk.

X1 = x + xk, X2 = xx + xk xk, k k=1 k=1 k= Третий аргумент в скобках (x) означает исключаемую переменную, часто такое обозначение применяют в системах аналитических вычисле ний.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., уравнение a3 z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0. (12) Если допустить, что каждый из параметров ai (i = 0, 3) может принимать 50 значений, а это не так уж много, то всего получится 504 6 · 105 ком = бинаций этих значений. Средней ЭЦВМ для выдачи результатов потре буется около месяца непрерывной работы (основное время будет уходить на печать), в результате чего получится набор рулонов лент общей дли ной в 200 км и весом в 2 тонны... На самом деле положение с таблицей для решения уравнения (12) совсем не такое уж печальное. С помощью подстановки a2 a0 a2 a1 2a + z q 1/3, z= q= +, (13) 3a2 27a 3a3 a3 3 можно перейти к уравнению a a z 3 + r + 1 = 0, q 2/3, z r= (14) a3 3a содержащему всего один параметр r;

таблицу значений решений послед него уравнения в зависимости от этого параметра уже нетрудно соста вить с помощью ЭЦВМ, даже если ему придать не 50, а 5000 значений.

В результате решение уравнения (12) будет находиться с помощью двух одновходовых таблиц (кубических корней и z (r)) и простых арифметиче ских действий;

это, конечно, несравненно проще, чем применение таблицы с четырьмя входами".

Проинтерпретируем приведенный пример с точки зрения полученного выше результата. Во-первых, следует заметить, что из четырех коэффициентов (a0, a1, a2, a3 ) существенными (в смысле работы [9, с. 16–19]) являются только три (в насто ящей работе принято an = 1). Тогда уравнение (12) допускает, в соответствии с (11), операторы:

X1 = z 3a2 2a2 a1 a1 a0, X2 = zz + a2 a2 + 2a1 a1 + 3a0 a0, (15) X3 = z 2 z + 2a1 (a2 )2 a2 + (3a0 a1 a2 )a1 a2 a0 a0.

Можно убедиться, что замены (13) – (14) есть не что иное, как расслоение исходной системы с помощью инвариантов опера торов X1, X2. Возникает естественный вопрос о возможности ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., дальнейшего расслоения с использованием не задействованно го оператора X3. Для анализа такой возможности представим его в новых переменных (, r). Получим z X3 = (92 + 2r2 + 6r)z + (27 + 4r3 )r.

z z (16) Теперь ясно, что для определения инварианта оператора X нам придется проинтегрировать дифференциальное уравнение 92 + 2r2 + 6r d z z z =, (17) 27 + 4r dr которое является уравнением Риккати. Попытки найти реше ние указанного уравнения в известной автору справочной лите ратуре к успеху не привели. Заметим, что коэффициент при r в формуле (16) есть не что иное, как дискриминант уравнения (12).

Заключительные замечания Другие возможные приложения найденных операторов сим метрии возникают при рассмотрении "усеченных" (без "x") ва риантов (будем обозначать их как Xi ). В частности, справед ливы следующие утверждения:

Предложение 2. Уравнение для результанта двух полино мов (6) R = 0 инвариантно относительно трехмерной алгебры Z = C1 Z1 + C2 Z2 + C3 Z3, где Zi = Xi + Yi, а Xi, Yi – соответ ствующие "усеченные"операторы симметрии соответствующих уравнений.

Предложение 2 может быть использовано при анализе гра ниц устойчивости многочленов в пространстве их коэффициен тов (условия Льенара–Шипара, см., например, [3]). Например, при n = 3 граница устойчивости (критерий Вышнеградского) имеет вид a2 a1 a0 = 0, которое есть не что иное, как условие Предложения 2 для полиномов f = a2 x2 + a0 и g = x2 + a1.

Предложение 3. Уравнение для дискриминанта полино ма (1) D = 0 инвариантно относительно трехмерной алгебры "усеченных" операторов Xi.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Относительно Предложения 3 сделаем следующее замеча ние: при n = 2 имеет место ситуация, когда условие D = 0 – т.н. "вырожденный инвариант". Действительно, в этом случае, D = (a1 )2 4a0, а операторы симметрии имеют вид:

X1 = 2a1 a1 a0, X2 = a1 a1 + 2a0 a0, (18) X3 = (2a0 (a1 )2 )a1 a0 a1 a0.

В общем случае они связаны: a0 X1 + a1 X2 + X3 = 0, одна ко при D = 0 ранг соответствующей матрицы коэффициентов становится равным единице, и, следовательно, D = 0 – вырож денный инвариант.

Автор выражает признательность проф. П. Олверу за по мощь с литературой и проф. А. Утешеву за обсуждение резуль татов работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика:

предмет, логика, особенности подходов. – Киев: Наукова думка, 1976.

– 270 с.

2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976. – 648 с.

3. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем.– М.: Наука, 1979. – 304 с.

4. Зайцев В. Ф. Введение в современный групповой анализ. Ч. 1. Группы преобразований на плоскости. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 1996. – 40 с.

5. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. – М.: Знание, 1989. – 48 с.

6. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения – СПб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. – 72 с.

7. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. – М.: Наука, 1989. – 336 с.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 8. Крафт Х. Геометрические методы в теории инвариантов. – М.: Мир, 1987. – 312 с.

9. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. – М.: ИЛ, 1947.

– 359 с.

10. Berchenko I., Olver P. Symmetries of Polynomials, J. Symbolic Computation (2000), 29. P. 485–514.

11. Brennan S., Alleyne A. Dimensionless Robust Control With Application to Vehicles, IEEE Trans. on Control Systems Technology, Vol. 13, № 4, July 2005. P. 624–630.

12. Brennan S., Alleyne A. Using a scale testbed: controller design and evaluation.

IEEE Control Systems Magazine, 2001;

21: 15–26.

13. Dickson L.E. Dierential equations from the group standpoint, Annals of Math., 1924, ser. 2, 25. P. 287–378.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 512.622+512.816+53.072. В.И. Лёгенький†, Г.Н. Яковенко‡ † Институт проблем математических машин и систем НАНУ victor.lehenkyi@gmail.com ‡ Московский физико-технический институт (госуниверситет) yakovenko_ g@mtu-net.ru БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ:

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ПОДХОД Предлагается трансформация (обобщение) задачи о введении безраз мерных переменных к задаче о минимально-параметрической форме си стем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами и раз вивается алгоритм решения этой задачи на основе теории группового рас слоения.

Введение. Как может показаться из названия, в статье пойдет речь о том, как вводить безразмерные переменные. Это не совсем так. Дело в том, что введение безразмерных перемен ных достаточно часто воспринимается как некий промежуточ ный акт, позволяющий несколько упростить дальнейшие вы кладки. Показательно в этом смысле замечание авторов кни ги [12, с. 90]: “Существенным шагом в процессе преобразова ния модели является ее приведение к безразмерному виду. При этом часто достигается уменьшение числа параметров”. Итак, что же все-таки является целью – обезразмерить переменные или уменьшить количество параметров модели? Непредвзятый взгляд на этот вопрос подсказывает, что цель состоит имен но в уменьшении числа параметров, а обезразмеривание – все го лишь средство, которое позволяет в ряде случаев достичь именно такого результата. Поэтому сразу же уточним поста новку задачи. Пусть задана система обыкновенных дифферен ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., циальных уравнений:

dxi = f i (t, x, p), i = 1, n, (1) dt где t – время, xi – фазовые координаты, p = (p1,..., pr ) – r-мерный вектор параметров. Наша задача будет состоять в том, чтобы указать конструктивный алгоритм введения таких новых переменных и параметров, xi = xi (t, x, p), ps = ps (p), t = t(t, x, p), (2) при котором число новых параметров (s) в преобразованной модели di x = f i (t, x, p) (3) dt было бы по возможности меньше, чем в исходной: s r. Иногда (см., напр., [15, с. 42]) эту задачу называют “задачей приведе ния к минимально-параметрической форме”.

1. Редукция модели к минимально-параметрической форме как задача группового расслоения Наш подход к задаче редукции будет опираться на теорию группового расслоения, основы которой были заложены еще самим С. Ли и впоследствии развиты в работах Л.В. Овсянни кова [7, 8] и Ю.Н. Павловского [9, 10]. Существо метода состоит в том, что если исходная система дифференциальных уравне ний допускает некоторую непрерывную группу преобразований G, то она (система уравнений) может быть эквивалентным об разом представлена в виде разрешающей и автоморфной си стемы. Разрешающая система содержит только инварианты (в том числе дифференциальные) группы G и описывает пове дение фактор-множества множества решений по действию G, а автоморфная система описывает множество решений внут ри классов. Корректное применение техники группового рас слоения предполагает два ключевых действия: во-первых, мы ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., должны описать точно класс исследуемых объектов (т.е. за фиксировать класс анализируемых дифференциальных урав нений), а во-вторых, ввести на этом классе отвечающее на шим целям понятие об эквивалентности (на инфинитезималь ном уровне это означает зафиксировать класс операторов сим метрии). Для удовлетворения первому требованию мы допи шем к нашей системе (1) дополнительную систему:

dpj = 0, j = 1, r, (4) dt фиксирующую тот факт, что входящие в систему уравнений (1) параметры – константы. Выбор класса операторов – более сложная задача, и мы остановимся на ней подробнее. На этом пути нам придется идти, по меткому выражению Р. Беллмана, “узкой тропой между Западнями Переупрощения и Болотом Переусложнения” [1, с. 11]. Сразу же заметим, что наиболее общий класс точечных операторов симметрии может быть за дан в виде X = (t, x, p)t + i (t, x, p)xi + j (t, x, p)pj, (5) где (, i, j ) – дифференцируемые функции указанных аргу ментов. Для упрощения дальнейшего анализа введем систему следующих обозначений. Во-первых, обозначив t = x0, отнесем время к координатам. Тогда указанный выше оператор примет более простой вид:

X = i (x, p)xi + j (x, p)pj, (6) только индекс i уже будет пробегать все значения от 0 до n. Те перь различные подалгебры этой алгебры симметрий будут от личаться функциональной зависимостью коэффициентов (·), (·). Для удобства ссылок на эти подалгебры будем характери зовать их специальным индексом внизу оператора X, а именно:

в квадратных скобках через запятую будем перечислять пара метры, от которых зависят коэффициенты (·), (·). Будем от мечать при этом нулевые значения коэффициентов знаком (“пустое множество”).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Таблица Подалгебры и их свойства Обозн. Свойства X[xp,xp] Алгебра симметрий систем (1)+(4). В общем случае – бес конечномерна. Из-за наличия в ней подалгебры X[xp,], ее вычисление неэффективно.

X[xp,p] Классическая (в смысле Л.В. Овсянникова) алгебра экви валентностей уравнения (1). Ее вычисление может стать эффективным при вычислении симметрий ОДУ высших порядков, т.е. тогда, когда алгебра X[xp,] становится ко нечномерной.

X[xp,] Алгебра точечных симметрий уравнения (1). Коэффици енты ее операторов могут быть вычислены по первым ин тегралам системы (1), поэтому задача их нахождения не проще задачи интегрирования исходной системы.

X[x,p] Проектируемая алгебра (координаты x и параметры p ме няются раздельно). В случае, если все параметры суще ственны, – конечномерна. Наиболее известна ее подалгеб ра однородных растяжений, для размерных переменных ее существование гарантируется Пи-теоремой.

X[x,] “Фазовое” ядро алгебры X[x,p] допускается системой при любых значениях параметров;

если параметры "управля ющие" (не существует первого интеграла, не зависящего от параметра), алгебра конечномерна.

X[,p] “Параметрическое” ядро алгебры X[x,p] допускается си стемой при любых значениях фазовых координат. Ее на личие свидетельствует о “несущественности” части пара метров;

играет ключевую роль в т.н. проблеме “парамет рической идентифицируемости”.

Тогда, например, в этих обозначениях оператору (5) соответ ствует класс X[xp,xp], оператору X = i (x)xi + j (p)pj – класс X[x,p], а оператору X = i (x, p)xi – класс X[xp,] и т.п. В работе [9] были предложены буквенные обозначения для различных подалгебр: A0, A, K, B, L,..., однако их ассоциативные обозначения были понятны только весьма узкому кругу специалистов.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Алгоритмы вычисления и свойства различных подалгебр исследовались в связи с различными задачами – интегрируе мости, управляемости, идентифицируемости [2–6, 8–10]. Крат ко эти результаты суммированы в таблице 1.

Выявленные свойства и опыт решения прикладных задач позволяют рекомендовать следующий алгоритм группового рас слоения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами.

1. Вычисляем алгебру X[,p] и “избавляемся” от несуще ственных параметров.

2. Вычисляем подалгебру однородных растяжений, гаран тированную Пи-теоремой;

обезразмериваем систему, тем самым уменьшая число параметров.

3. Для редуцированной системы находим алгебру X[x,p], по которой производится окончательное расслоение.

При небольшом количестве параметров этапы 2 и 3 могут быть объединены.

2. Пример Рассмотрим математическую модель движения воздушного шара в вертикальной плоскости [11]. Ограничимся рассмотре нием движения его центра масс под действием следующих сил:

силы тяжести (G), архимедовой силы (FA ) и силы аэродинами ческого сопротивления (Fx ). Силы через параметры движения и среды выражаются следующим образом:

(h)cx S dh G = mg, FA = gW (h), Fx =.

2 dt В приведенных формулах приняты обозначения: h – высота подъема шара, dh/dt – вертикальная скорость, m – масса, g – ускорение свободного падения, W – объем шара, cx – коэф фициент лобового сопротивления, S – характерная площадь сопротивления (площадь Миделя). Зависимость плотности воз духа от высоты будем полагать экспоненциальной: (h) = 0 eh, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., где 0 – плотность воздуха на нулевой высоте, – коэффици ент. Сила тяжести направлена вниз, архимедова сила – вверх, а сила аэродинамического сопротивления всегда направлена “против движения”, т.е. ее корректный учет в уравнениях дви жения требует введения множителя sign(dh/dt). Однако для наших целей этот факт не имеет принципиального значения и мы ограничимся рассмотрением только этапа подъема шара, когда сила аэродинамического сопротивления направлена вниз и, следовательно, будет учтена в уравнениях движения со зна ком минус. Теперь уравнение движения может быть записано в виде d2 h 0 cx S dh = mg + gW 0 eh eh.

m (7) dt2 2 dt Итак, наша модель содержит семь параметров: m, g, W, 0, cx, S,. Поставим задачу о приведении нашей модели к минимально параметрической форме.

Дополнительно предположим, что воздушный шар пред ставляет собой однородное тело радиуса R с плотностью b.

Тогда величина площади, определяющая его аэродинамическое сопротивление, определится как S = R2, объем как = 4 R3 = 4 RS, а масса соответственно как W 3 m = b W = 4 b RS. Теперь видно, что каждый член уравне ния (7) содержит в качестве множителя величину S. С точки зрения развитой выше теории это означает, что уравнение до пускает бесконечномерный оператор симметрии X1 = (S)S, а сам параметр S является несущественным. Следовательно, каждый член уравнения движения может быть сокращен на величину множителя S, а само уравнение примет вид d2 h 4 4 4 0 cx dh b R 2 = b Rg + g R0 eh eh. (8) 3 dt 3 3 2 dt Полученное уравнение, которое уже содержит 6 параметров, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., допускает два оператора из алгебры X[,p], а именно:

X2 = b b + 0 0, X3 = RR + cx cx. (9) Это означает, что из четырех параметров b, 0, R, cx можно образовать два существенных, которые являются инварианта ми указанных операторов:

0 3cx p1 =, p2 =.

b 8R Переписывая уравнение (8) в виде двух уравнений (системы) первого порядка, с учетом обозначений для p1, p2 получим dh dV = g + gp1 eh p2 p1 V 2 eh.

= V, (10) dt dt В этой системе уже все четыре параметра (g, p1, p2, ) суще ственны. Это означает, что дальнейшее расслоение возможно с привлечением операторов симметрии из более общего класса X[x,p], т.е. выполнение пунктов 2–3 предлагаемого алгоритма.

Можно показать 12, что максимальной алгеброй инвариантно сти (симметрий) системы (10) в классе X[x,p] является 4-мерная алгебра с образующими:

X4 = hh + V V p2 p2 + gg, X5 = tt V V 2gg, X6 = h + p1 p1, (11) X7 = t.

В полученной алгебре симметрий оператор X7 принадлежит классу X[x,], а оставшиеся операторы X4, X5, X6 могут быть Вычисление симметрий производится на основе классического алго ритма Ли;

в возможности довести расчеты “до конца” принципиальной является именно “проектируемость”, т.е. различная зависимость коэффи циентов искомых операторов от координат и параметров.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., использованы для дальнейшего расслоения. Операторы X4, X – это классические операторы однородных растяжений, кото рые могут быть получены на основе известной Пи-теоремы (“соображений размерности”): оператор X4 характеризует ин вариантность уравнений к изменению масштаба “длины”, а опе ратор X5 – “времени”. Попутно заметим, что к операторам ал гебры тоже применимо понятие размерности: например, опера торы X4, X5 – “безразмерные” операторы, размерность опера тора [X7 ] = c1, а [X4 ] = m1. Этот факт может быть исполь зован при проверке вычисленных операторов: если слагаемые оператора имеют разную размерность, то это означает, что при вычислении была допущена ошибка.

Расслоение проведем в два этапа. На первом этапе исполь зуем инварианты операторов X4, X5. Их можно определить так, как это принято делать в “анализе размерностей”. Матрица ко эффициентов операторов A (“матрица размерностей”) примет вид thV p2 g X 1 0 1 0 2 A= 2, X1 0 1 1 1 1 а матрица решений B (нуль-пространство) уравнения Ay = соответственно запишется в в виде h t V p t 1 0 0 h 0 1 0 V 0 1.

B= p2 0 0 g 1/2 0 1/2 1/2 1 1/2 Столбцы матрицы – это искомые векторы y, а элементы этих столбцов – показатели степени соответствующих координат и параметров. Инварианты операторов X4, X5 получаются таки ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ми:

p t = t g, h = h, V =V, p2 = p =.

g Система (10) в этих переменных принимает вид dh dV = 1 + (1 pV 2 )p1 eh, =V, (12) dt dt и в ней осталось только два параметра – (p, p1 ). С помощью еще незадействованного оператора X6, который в новых пере менных принимает вид X6 = h + p1 p1, (13) дополнительное преобразование (инвариант оператора X6 ) мож но представить в виде h = h ln p1 = h ln, (14) b а исходная система (7) примет окончательный вид:

dh dV = 1 + (1 pV 2 )eh, =V, (15) dt dt с единственным параметром p = 3cx. Поскольку параметр 8R p не зависит от плотности заполняющего шар газа b, можно сказать, что в приведенном расслоении нам удалось отделить “форму” (т.е. размеры шара R и коэффициент cx ) от “содержа ния” (точнее – наполнения шара). Другими словами, для моде лирования движения воздушных шаров одинакового размера, но с разными “наполнителями”, достаточно использовать мо дель (15) с одним и тем же значением коэффициента p. Это, в известном смысле, реализует идею, высказанную в работе [16].

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Заключение. По мнению авторов, алгоритм группового расслоения создает адекватную методологическую основу для решения задач приведения систем обыкновенных дифферен циальных уравнений с параметрами к минимально-параметри ческому виду. Ключевая роль в этой процедуре принадлежит классу операторов симметрии вида X[x,p], которые могут быть эффективно вычислены с помощью алгоритма Ли. Предложен ный в статье алгоритм расслоения позволяет также легко ак цептировать классические результаты, которые могут быть по лучены на основе Пи-теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: Изд–во ИЛ, 1960.

– 400 с.

2. Кунцевич А.Д., Кудашев В.Р., Спивак С.И., Горский В.Г. Группо вой анализ идентифицируемости параметров математической модели нестационарной химической кинетики // Докл. РАН – 1992. – Т. 326, № 4. – С. 658–661.

3. Легенький В.И. Точечные симметрии и управляемость динамических систем с управлением // Доклады НАН Украины. – 1995. – N 3. – С. 15–17.

4. Легенький В.И. О минимально–параметрической форме уравнений дви жения летательных аппаратов // Прикл. механика. – 1995. – N 10. – С. 81–87.

5. Легенький В.И. Теоретико-групповой критерий редукции уравнения G(t, x, x,...) + F (t, x, x,...) = 0 к виду G(t, x, x,...) = 0 // Проблемы управления и информатики. 2004. № 2. С. 94–102.

6. Легенький В.И. -теорема в проблеме параметрической редукции ди намических систем. В кн.: Симетрiя i iнтегровнiсть рiвнянь матема тичної фiзики // Зб. праць Iнституту математики НАН України. Т. 3, № 2. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2006. С. 187–196.

7. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 8. Овсянников Л.В. О свойстве Х-автономии // Докл. РАН. – 1993. – Т. 330, № 5. – С. 559–561.

9. Павловский Ю.Н., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамически ми системами. – В кн.: Методы оптимизации и их приложения. – Но восибирск: Наука, 1982. – С. 155–189.

10. Павловский Ю.Н. Проблема декомпозиции в математическом модели ровании // Матем. моделирование. 1991. Т. 3, № 6. С. 93–122.

11. Рыжиков Ю.И. Современный Фортран. СПб.: Корона принт, 2004. – 288 с.

12. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нели нейных динамических моделей. – М.: Мир, 1991. – 368 с.

13. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. – М.: ИЛ, 1947.

– 359 с.

14. Яковенко Г.Н. Симметрии уравнений Гамильтона и Лагранжа. – М.:

МЗ Пресс, 2006. – 120 с.

15. Seshadri R., Na T.Y. Group Invariance in Engineering Boundary Value Problems. – Springer–Verlag New York Inc., 1985. – 224 p.

16. Sonin A. A. A Generalization of the –Theorem and Dimensional Analysis.

Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS), Vol. 101. No. 23. (Jun. 8, 2004). P. 8525–8526.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 519. Ю.Н. Павловский Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН jpvlsk@redline.ru МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ИХ РЕДУКЦИИ И СИММЕТРИИ Рассматриваются математические модели процессов, которые являют ся совокупностью соотношений между его характеристиками. Характери стики разделены на внутренние, значения которых намереваются узнать с помощью модели, и внешние, от которых внутренние характеристики за висят, но обратной зависимости в пределах необходимой точности не имеет места. Модели считаются замкнутыми, что означает возможность опреде лить из соотношений модели внутренние характеристики, если известны внешние. Факт независимости внешних характеристик от внутренних, ко торый называется здесь “гипотезой об инвариантности” или “инвариант ностью”, лежит в основе многих моделей, а некоторые из них являются просто записью этого факта. Обсуждается положение, состоящее в том, что “инвариантность” связана с симметриями реального мира, причем ин вариантами этих симметрий являются внешние характеристики модели.

Соотношения dy i /dt = f i (t, y 1,..., y n, u), i = 1, 2,..., n, (t, y) M Rn+1, (1) считаются моделью некоторого процесса, в которой y 1,..., y n ее внутренние характеристики, u совокупность внешних ха рактеристик. Это означает, что характеристики y не влияют на u. Природа внешних характеристик нас не будет интересовать.

Работа поддержана РФФИ, грант 07-01-00217.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., В частности, это могут быть и управления. Считается, что зна чения u принадлежат некоторому множеству U, относительно которого не делается никаких предположений. Считается, что правые части (1) определены в области D Rn+1 при любых u U и столь гладки, что все дальнейшие рассуждения и опе рации корректны. Пусть формулы y i = F i (t, C 1,..., C n, u), i = 1,..., n (2) дают общее решение системы (1) при каждом фиксированном u из U. Считается, что функции (2) определены в некоторой области E Rn+1, при любых u U являются достаточно гладкими в ней, при любых (t, C) из E и при любых u U имеет место F i det| j | = 0, (3) C и соответствующие (t, C) из E в силу (2) значения (t, y) = (t, F (t, C, u)) принадлежат D.

Далее области, в которых определены появляющиеся в рас смотрении функции, не будут более конкретизироваться. Будет считаться, что такие области не пусты. Разрешая (2) относи тельно C, получим n независимых первых интегралов C i = i (t, y 1,..., y n, u), i = 1,..., n (4) системы (1).

Перейдем в (1) к новым переменным C 1,..., C n по формулам (4). Система (1) примет вид dC i /dt = 0, i = 1,..., n. (5) Совокупность преобразований вида C i = C i + ai, i = 1,..., n, t = t, (t, C) E, (6) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., где ai, i = 1,..., n параметры преобразований, является ло кальной группой L симметрий системы (5) [1]. Локальность преобразований группы (6) состоит в том, что каждому зна чению параметра a = (a1,..., an ) соответствует, вообще говоря, своя, содержащаяся в E область Ea определения преобразова ния (6), а также область Ea значений этого преобразования, так что преобразование C = C + a + b определено, когда имеет место a Ea, b Eb, a + b Ea+b. Запишем локальную группу (6) в исходных переменных t, y 1,..., y n :

i (t, y, u) = i (t, y, u) + ai, i = 1,..., n (7) или, разрешая (7) относительно y, y i = F i (t, 1 (t, y, u) + a1,..., n (t, y, u) + an ), i = 1,..., n. (8) Очевидно, что формулы (8) дают локальную n-параметрическую группу автоморфизмов системы (1), поскольку на любом ре шении системы (1) первые интегралы (1 (t, y, u),..., n (t, y, u)) принимают постоянные значения и преобразования (8) “сдви гают” константы интегрирования, определяющие решение y(t) = (y 1 (t),..., y n (t)).

Далее рассматривается случай, когда существует сохраня ющая t невырожденная замена:

z k = I k (t, y 1,..., y n, u), k = 1,..., m, (9) xl = J l (t, y 1,..., y n, u), l = 1,..., n m, (10) где 0 m n, такая, что система (1) в переменных (9), (10) принимает вид dz k /dt = k (t, z 1,..., z m, u), i = 1, 2,..., n, (11) dxl /dt = l (t, z 1,..., z m, x1,..., xnm, u), l = 1, 2,..., n m. (12) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Общее решение системы (11),(12) можно записать в виде z k = P k (t, A1,..., Am, u), k = 1,..., m, (13) xl = S l (t, A1,..., Am, B 1,..., B nm, u), l = 1,..., n m. (14) Разрешая (13),(14) относительно A1,..., Am, B 1,..., B nm, полу чим первые интегралы системы (11), (12):

Ak = Gk (t, z 1,..., z m, u), k = 1,..., m, (15) B l = H l (t, z 1,..., z m, x1,..., xnm, u), l = 1, 2,..., n m. (16) В координатах (15), (16) система (11), ( 12) имеет вид dAk /dt = 0, k = 1,..., m, (17) dB l /dt = 0, l = 1, 2,..., n m. (18) Локальная n-параметрическая группа симметрий системы (17), (18) имеет вид A k = Ak + ak, k = 1,..., m, (19) B l = B l + bl, l = 1, 2,..., n m. (20) Группа (19), (20) в переменных (t, z 1,..., z m, x1,..., xnm ) имеет вид Gk (t, z 1,..., z m, u) = Gk (t, z 1,..., z m, u) + ak, k = 1,..., m, (21) S l (t, z 1,..., z m, x 1,..., x nm, u) = = S l (t, z 1,..., z m, x1,..., xnm, u) + bl, l = 1, 2,..., n m. (22) Разрешая (21), (22) относительно z 1,..., z m, x 1,..., x nm, полу чим следующую запись группы (19), (20):

z k = P k (t, G1 (t, z, u) + a1,..., Gm (t, z, u) + am ), k = 1,..., m, (23) x l = S l (t, G1 (t, z, u) + a1,..., Gm (t, z, u) + am, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., H 1 (t, z, x, u) + b1,..., H nm (t, z, x, u) + bnm l = 1,..., n m. (24) Если подставить в (23), (24) вместо z и x их выражения че рез y по формулам (9), (10), то получим группу симметрий исходной системы (1). Эту группу обозначим через. Через обозначим подгруппу группы, которая соответствует ну левым значениям параметров ak, k = 1,..., m. Из (23) следу ет, что полным набором независимых инвариантов подгруп пы в координатах t, z 1,..., z m, x1,..., xnm являются функции z k, k = 1,..., m., поскольку из (23) при ak = 0, k = 1,..., m сле дует z k = z k, k = 1,..., m. Значит, в переменных t, y 1,..., y n полным набором инвариантов группы будут функции (9):

z k = I k (t, y 1,..., y n, u), k = 1,..., m.

Итак, если система (1) заменой (9), (10) приводится к виду (11), (12), то в группе симметрий системы (1) имеется подгруппа, инвариантами которой являются функции (9).

Обратное утверждение имеет место в следующей форме.

Если у системы (1) имеется непрерывная группа Ли сохра няющих t симметрий, полный набор независимых инвариантов которой дается формулами (9), то некоторой заменой перемен ных вида (9), (10) система (1) приводится к виду (11), (12) [2].

Для этого к (9) нужно добавить гладкие функции (10) так, что бы замена (9), (10) была невырождена, что всегда возможно.

В самом деле, пусть i X = (t, y, u), = 1,..., A, (25) y i оператор группы. Поскольку операторы (25) по условию до пускаются системой (1), то имеет место (X0, X ) = 0, = 1,..., A, (26) где X0 оператор, ассоциированный с системой (1):

+ f i (t, y, u) i.

X0 = t y ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Отсюда вытекает, что X (X0 (I k )) = 0. Значит переход в (1) к переменным, полученным добавлением к инвариантам (9) про извольным образом функций (10), так только, чтобы замена (9), (10) была невырождена, приведет систему (1) к виду (11), (12).

Представим себе следующую ситуацию. Пусть необходимо составить модель, с помощью которой можно было бы прогно зировать изменение со временем значений характеристики x1, фигурирующей в системе (12). При этом модель (1) неизвест на, в связи с чем эта модель будет именоваться ‘природой’ или “надмоделью”. В этих условиях для составления нужной моде ли необходимо обнаружить, что на характеристику x1 оказы вают влияние характеристики x1,..., xnm реального мира, а также его характеристики z 1,..., z m. При этом характеристики x1,..., xnm образуют систему взаимно влияющих друг на дру га характеристик. В то же время характеристики x1,..., xnm на z 1,..., z m не влияют, т.е. характеристики z 1,..., z m должны быть внешними в составляемой модели. Далее нужно опре делить каким-то образом функции l (t, z 1,..., z m, x1,..., xnm ), l = 1, 2,..., n m, дающие значения скоростей изменения ха рактеристик x1,..., xnm.

Тот факт, что модель (12) взаимно однозначно связана с группой симметрий модели (1), инвариантами которой явля ются характеристики z 1,..., z m, можно сформулировать в сле дующей форме: в основе факта существования модели (12) ле жит некоторая симметрия “природы”, инвариантами которой являются фигурирующие в ней внешние характеристики. Ав тор выдвигает гипотезу, состоящую в том, что высказанное утверждение относится не только к моделям, являющимся си стемами дифференциальных уравнений, но и ко всем моделям реальных процессов, относящихся к тому их классу, который был описан в начале статьи. Напомним, что речь шла о за мкнутых моделях процессов, в основе которых лежит гипотеза об инвариантности.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., При всяком фиксированном значении u существует замена переменных (9), (10), приводящая систему (1) к виду (11), (12).

При этом правые части системы (11), (12) можно задать “прак тически” произвольно. При заданной системе (1) и заданных правых частях системы (11), (12) замена (9), (10) определяется с некоторым не очень существенным произволом. С другой сто роны, при заданных функциях (10) не обязательно существуют функции (9), приводящие (1) к виду (11), (12), так что состав ление модели, с помощью которой можно получить прогноз ха рактеристик x1,..., xnm, вообще говоря, приводит к системе, эквивалентной системе (1). В этом случае внешними характе ристиками в составленной модели будут u. Если высказанная выше гипотеза верна, то наличие в модели (1) внешних харак теристик u определяется симметриями “природы”, но уже по отношению к модели (1). Таким образом, в “природе” имеет место некоторая иерархия симметрий, которую должны отра жать имеющиеся в нашем распоряжении модели.

Соотношения (11), (12) можно трактовать как декомпози цию модели (1) [3–5]. Система (11) в этой декомпозиции являет ся фактор-объектом [3], система (12) совокупностью подобъ ектов, параметризованную решениями фактор-объекта. Пере ход от исходного объекта к его подобъекту или фактор-объекту в [4] предложено называть “редукцией” исходного объекта. В [5] понятие о редукции сформулировано в рамках бурбаковского формализма: P-редукция есть подобъект объекта, F-редукция есть его F-объект, PF-редукция есть F-объект P-объекта, FP редукция есть P-объект F-объекта и так далее.

Возвратимся к проблеме составления модели, с помощью которой можно дать прогноз изменения со временем характе ристики x1. Для этого достаточно воспользоваться моделью (12). Нужно только знать фигурирующие в ней внешние ха рактеристики, в частности, характеристики z 1,..., z m. При из вестных z 1,..., z m модель (12) является подобъектом модели (1) или ее P-редукцией. Не исключено, что система (12) при задан ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ных функциях z 1 (t),..., z m (t) в свою очередь допускает деком позицию. Если среди характеристик фактор-объекта, участву ющего в этой декомпозиции присутствует характеристика x1, то модель, с помощью которой прогнозируется ее изменение, еще более упрощается. Эта последняя модель является PF декомпозицией модели (1). Если представить себе, что сама модель (1) является F-объектом по отношению к некоторой “надмодели”, то модель для прогноза характеристики x1 ста новится FPF-редукцией этой “надмодели”.

Из всех выполненных построений и рассуждений делает ся вывод, носящий методологический и, конечно, интуитивный характер: имеющиеся в нашем распоряжении математические модели являются редукциями по отношению к некоторой “над модели” и основаны на иерархии симметрий, имеющих место в природе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.

М.: Наука, 1978. 399 с.

2. Яковенко Г.Н. Групповые свойства динамических систем. М.: МФТИ, 1994. 108 c.

3. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в матема тическом моделировании. М.: Фазис, 1998. 272 с.

4. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифферен циально-геометрический подход. М.: Наука, 1997. 317 c.

5. Павловский Ю.Н. Редукции и декомпозиции математических моделей и объектов. ДАН, 2008. Т. 418, № 5. С.592 595.

6. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Введение в геометрическую теорию декомпозиции. М.: Фазис, 2006. 169 с.

7. Elkin V.I., Pavlovsky J.N. Decomposition of models of control processes.

Journal of Mathematical science. 1998. Vol. 88. No. 5. P. 723 761.

Получено 15.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 519. Ю.Н. Павловский Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН jpvlsk@redline.ru ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЕКОМПОЗИЦИИ И СИММЕТРИЙНОЕ СВОЙСТВО СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ На конспективном уровне излагается геометрическая теория декомпо зиции. Симметрийным свойством семейств отображений называется факт, состоящий в том, что с каждой подгруппой группы их автоморфизмов ас социируется их факторизация, а с каждой факторизацией их декомпо зиция на дизъюнктивную сумму. Отмечается связь симметрийного свой ства с групповым анализом дифференциальных уравнений, а также с про блемами управляемости, наблюдаемости, реализации, инвариантности ди намических систем с управлениями.

1. Поскольку симметрийное свойство семейств отображений формулируется с помощью понятия “декомпозиция на дизъ юнктивную сумму”, в разделах 1–7 предпринимается попытка дать представление о языковой среде [1–14], в которой возни кает это понятие. В рамках этой среды реализуется следую щий подход к проблеме декомпозиции математических объек тов и моделей: объект, модель загружается в класс в некото ром смысле “родственных” объектов, где определено понятие об изоморфизме и его декомпозицией считается его сохраняюще еся при изоморфизмах “представление” с помощью семейства в некотором смысле более “простых” объектов из данного клас са, причем по этому “представлению” исходный объект должен восстанавливаться однозначно. Ниже будут даны точные экви Работа поддержана РФФИ, грант 07-01-00217.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., валенты тому, что здесь сказано.

Эта среда, которая будет называться геометрической тео рией декомпозиции, возникла из практических потребностей.

В отделе Имитационные системы ВЦ РАН, который возглав ляет автор, ведутся работы по продвижению средств матема тического имитационного компьютерного моделирования в но вые сложные области исследований и практической деятельно сти. Одним из главных направлений работы является состав ление моделей сложных управляемых систем, главным обра зом организационно-технических и социально-экономических, по заказам ведомств, организаций. И не только составление моделей, но и их компьютерная реализация в форме имитаци онных систем и внедрение технологии имитационного компь терного моделирования в практику деятельности соответству ющих организаций. Приведем некоторые примеры моделей и соответствующих имитационных систем: имитация экономиче ской динамики древнегреческих полисов (с целью понять при чины Пелопоннесской войны в 431–404 г.д.н.э. [15]), имитация процессов проектирования, производства, эксплуатации слож ных технических систем (с целью согласования различных сто рон этих процессов) [16], имитация функционирования проти воракетной обороны, основанной на технологии “бриллианто вых камней” (с целью изучения ее возможностей) [17] и т.д.

Модели реальных процессов и соответствующие имитационные системы получаются сложными. В связи с этим возникло же лание ориентироваться в вопросе о том, когда модель сложно го процессса можно “представить” эквивалентно (изоморфно) с помощью семейства более простых моделей. Ниже характе ризуется простое “ядро” геометрической теории декомпозиции:


некоторые важные обобщения выходят за рамки статьи.

2. В качестве инструментального средства при раз работке геометрической теории декомпозиции использовался бурбаковский формализм [18], поскольку в нем имеются удобные средства для формализации понятий, которые выше ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., использовались для описания подхода к проблеме декомпози ции.

В частности, “класс родственных объектов” формализуется с помощью понятия род структуры. Род структуры в бур баковском формализме с содержательной точки зрения описы вает “устройство” математического объекта (модели), трактуе мого по Н. Бурбаки как множество, снабженное “структурой”.

С формальной точки зрения род структуры является записью в том смысле, в котором это понятие определяется, например, в языке программирования Паскаль.

Ниже написан взятый в ломаные скобки род структуры, обозначенный. Поля записи разделены точкой с запятой, необязательные, как это принято, взяты в квадратные скобки:

= X;

[(A, )];

(X, A);

[R(X,, A, )].

Поясним синтаксис и семантику полей рода структуры.

Первое поле X называется базисным множеством. Синтакси чески X буква или несколько букв, разделенных запятыми.

Для простоты далее будет считаться, что базисное множество одно. Второе необязательное поле вспомогательный бурба ковский математический объект. Что такое бурбаковский ма тематический объект, будет определено ниже с помощью по нятия “род структуры”. Здесь имеет место обычная рекурсия.

Вспомогательных объектов может быть несколько, тогда они разделяются запятыми. Третье поле называется соотношением типизации. Их тоже может быть несколько, тогда они разделя ются запятыми. Слева в соотношении типизации стоит буква, которая и есть структура, которой снабжается X. Справа сто ит множество, построенное по схеме S из основного и вспомога тельного с помощью двух операций: взятия множества частей и прямого произведения. Поясним, что такое схема. Схемой ба зисного множества X считается число 1, схемой множества A, фигурирующего во вспомогательном объекте, считается число 2, схемой булеана (X) является знакосочетание (1), схемой ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., прямого произведения X A является знакосочетание 1 и т.д.. Для иллюстрации этих поясненний в приведенном ниже списке выписаны множества, построенные из базисного и вспо могательного с помощью операций взятия множества частей и прямого произведения, а над этими множествами написаны их схемы.

(1) (12) 1 X, A, (X), X A, (X A).

Пусть имеется множество X и отображение f : X X.

Пусть имеется схема S и множество S(X, A), построенное по этой схеме, а также множество S(X, A), построенное по той же схеме. Отображение f : X X и тождественное отображение idA : A A множества A в себя всегда можно распространить по схеме S до отображения S(f, idA ) : S(X, A) S(X, A).

Ниже приводится иллюстрация сказанного:

X A S(X, A) f idA S(f, idA ) X A S(X, A) Для того чтобы определить все такие распространения, доста точно определить распространение отображений f1 : X1 X1 f2 : X2 X на прямое произведение f1 f2 : X X2 X1 X2.

Оно дается формулой f1 f2 (x1, x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )). Нуж но также определить распространение (f ) : (X) (X ) отображения f : X X на множество частей. Оно дается формулой (f )(U ) = f (U ).

Последнее поле рода структуры является соотношением, называемым аксиомой этого рода структуры, предъявлющим к структуре некоторые требования. Аксиома A(X, A, ) рода структуры должна быть биективно переносима:

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., (f : X X биекция) (A(X, A, ) A(X, A, )), где = S(f, idA )().

Примеры родов структур:

X;

X X род структуры бинарного отношения (ориентированного графа).

X;

X X;

(x X)(!x X)((x, x ) ) род структуры отображения множества в себя.

X;

X X;

рефлексивно, симметрично, транзи тивно род структуры отношения эквивалентности.

X;

X X;

рефлексивно, антисимметрично, тран зитивно род структуры частичного порядка.

X, Y ;

X Y ;

(x X)(!y Y )((x, y ) род структуры отображения множеств.

X;

X X X;

задает на X всюду определенную алгебраическую операцию, с нейтральным элементом, относи тельно которой каждый элемент обратим род структуры абстрактной группы.

Отметим также род структуры действия на множестве X абстрактной группы (G, ), трактуемой как вспомогательное множество, X;

(G, );

G X X;

A(X,, G, ), род структуры линейного векторного пространства над полем (C,, µ), комплексных чисел, X;

(C,, µ);

XXX CXX;

A(X,, C,, µ) род струкуры линейного оператора в линейном векторном про странстве над полем комплексных чисел.

X;

(C,, µ);

X X X C X X;

X X;

A(X,,, C,, µ).

Известные аксиомы этих родов структуры вследствие их громоздкости не выписываются.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 3. Математический объект это экземпляр записи рода структуры. Именно, пусть имеется пара (E, ) множеств и для них выполняется соотношение S(E, A) типизации ро да структуры и ее аксиома A(E, A, ). Тогда пара (E, ) на зывается -объектом, или про нее говорят, что множество E снабжено структурой рода, или, что есть структура рода на множестве E.

С каждым родом структуры, таким образом, ассоциирует ся класс -объектов. В этом классе единым образом для всех родов структур определяется понятие об изоморфизме: биек ция f : E E называется изоморфизмом -объекта (E, ) в -объект (E, ), если имеет место = S(f, idA )( ), где S(f, idA ) : S(E, A) S(E, A) распространение отображе ния f : E E и тождественного отображения множества A по схеме S.

С каждым -объектом ассоциируется множество Aut(E, ) его автоморфизмов. Оно снабжается структурой GA(E, ) ро да абстрактной группы, продуцируя тем самым абстрактную группу (Aut(E, ), GA(E, ), а множество E снабжается структурой T A(E, )) действия этой группе на нем. Тем самым продуцируется группа преобразова ний (E, Aut(E, ), GA(E, ), T A(E, )), которая называется группой симметрий объекта (E, ).

4. Для того чтобы воспользоваться средствами геометри ческой теории декомпозиции, необходимо в классе -объектов ввести бурбаковские морфизмы, т.е. с каждой парой ((E, ),(E, )) сопоставить множество M (E,, E, ) отобра жений из E в E, называемых морфизмами так, чтобы супер позиция морфизмов была морфизмом и биекция тогда и толь ко тогда была изоморфизмом, когда она и обратная к ней морфизмы.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Все конструкции геометрической теории декомпозиции вво дятся с помощью морфизмов. Возникающая среда родственна среде теории категорий [19], но не сводится к ней. Соотноше ние между теорией категорий и геометрической теорией деком позиции изучалось, но изложение результатов этого изучения выходит за рамки статьи. Скажем лишь, что теория катего рий тривиальным образом доступна из геометрической теории декомпозиции, поскольку класс -объектов с бурбаковскими морфизмами удовлетворяет аксиомам теории категорий. В гео метрической теории декомпозиции теория категорий совершен но не используется.

5. Характеризуемая языковая среда основана только на двух двойственных друг другу понятиях: понятиях о P-декомпо зиции и F-декомпозиции.

Определение. Пусть (E, ) -объект. Семейство ((Ei, i ), fi )iI, где (Ei, i ) -объекты, fi : Ei E морфизмы, называет ся P-декомпозицией объекта (E, ), реализуемой семейством ((Ei, i ))iI, посредством морфизмов (fi )iI, если для всякого -объекта (E, ) и всякого отображения g : E E имеет место: ( i)(g fi ) морфизмы g морфизм. Декомпози ция называется конечной, если множество I конечно, триви альной, если в семействе (fi )iI имеется изоморфизм. Двой ственным образом определяется F-декомпозиция -объекта (E, ).

Ниже приводится схема, поясняющая определение P- и F декомпозиций.

fi g g fi (Ei,i )iI (E, ) (E, )|(E, ) (E, ) (Ei,i )iI.

Из приведенных определений сразу следует, что, если объект (E, ) обладает декомпозицией (если вид P или F, декомпозиции не указывается, то формулируемое утверждение или вводимая конструкция относятся к обоим видам декомпо зиции), то всякий изоморфный объект обладает декомпозици ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ей, реализуемой тем же семейством, а морфизмы нужно умно жить на изоморфизм, справа или слева в зависимости от того, о P- или F-декомпозиции идет речь. Кроме того, столь же тривиальным является то, что по своей декомпозиции объект (E, ) восстанавливается единственным образом: суще ствует не более одной структуры на множестве E, для которой заданное семейство ((Ei, i ), fi )iI является его декомпозицией.

-объект, ( d Ei, d ) Определение. Пусть (E, ) iI декартово произведение семейства множеств (Ei )iI, d pri : Ei Ei iI канонические проекции. -объект ( d Ei, d ) называется iI декартовым произведением семейства (Ei, i )iI -объектов, если семейство ((Ei, i ), pri )(iI) является F-декомпозицией для ( d Ei, d ). Двойственным образом определяется дизъ iI юнктивная сумма семейства (Ei, i )iI.

Ниже приводится схема, поясняющая сформулированные определения:

d g pri ji Ei, d ) (Ei, i )|(Ei, i ) (E, ) ( iI c ji g Ei, c ) (E, ).

( iI c Напомним, что дизъюнктивная сумма Ei семейства iI множеств (Ei )iI есть iI Ei {i}.

Определение. Пусть (E, ) -объект, E подмноже ство множества E, : E E каноническая инъекция. объект (E, ) называется P-объектом -объекта (E, ), если семейство ((E, ), )) является F-декомпозицией для (E, ).

Двойственным образом определяется F-объект объекта (E, ).

(Вместо подмножества множества E в двойственном опре делении фигурирует его фактор-множество по некоторому ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., отношению Q, вместо канонической инъекции канониче ская проекция.) Приводимая ниже схема поясняет сформулированное опре деление:


(E, ) (E, ) | (E, ) (EQ, Q ).

С каждым -объектом ассоциируется класс P-декомпозиций и класс F-декомпозиций. На этих классах можно ввести три ‘стандартных’ отношения. Здесь будут упомянуты два.

Определение. Пусть ((Ei, i ), fi )iI и ((Ei, i ), fi )iI две P-декомпозиции -объекта (E, ) с одним и тем же множе ством индексов. Если существует семейство отображений (hi )iI, такое, что имеет место fi = fi hi, то декомпозиция ((Ei, i ), fi )iI называется более близкой к объекту (E, ), чем декомпозиция ((Ei, i ), fi )iI. Двойственным образом опреде ляется отношение “более близкая на классе” F-декомпозиций -объекта (E, ).

Ниже приводится схема, поясняющее это определение:

f f h h i i i i (Ei,i ) (Ei,i )(E, )|(E, ) (Ei,i )(Ei,i ).

Определение. Пусть ((Ei, i ), fi )iI и ((Ej, j ), fj )jJ две P-декомпозиции -объекта (E, ), причем J I. Тогда де композиция ((Ej, j ), fj )jJ -объекта (E, ) называется более простой, чем декомпозиция ((Ei, i ), fi )iI.

Определение. -объект (E, ) называется P-компакт ным, если для всякой его P-декомпозиции существует более простая конечная P-декомпозиция. -объект (E, ) называет ся F-компактным, если для всякой его F-декомпозиции су ществует более простая конечная F-декомпозиция.

Компактность топологического пространства относительно непрерывных морфизмов есть его Р-компактность.

Пусть f : (E, ) (E, ) морфизм из -объекта (E, ) в -объект (E, ). Как отображение, морфизм f каноническим ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., образом разлагается на суперпозицию проекции, биекции, инъ екции: f = b. Если на фактор-множестве EQ множества E по ассоциированному с f отношению эквивалентности Q суще ствует F-объект объекта (E, ), на множестве f (E) существует P-объект объекта (E, ), то биекция b обязательно является морфизмом, но не обязательно изоморфизмом. Если b явля ется морфизмом, то морфизм f называется PF-морфизмом, ес ли b изоморфизм, то f называется HPF-морфизмом. Если все морфизмы являются PF-морфизмами, то род структуры отно сительно этих морфизмов называется PF-родом структуры, ес ли все морфизмы являются HPF-морфизмами, то род структу ры относительно этих морфизмов называется HPF-родом струк туры. Ниже приводится поясняющая ситуацию схема:

b (E, ) (EQ, Q ) (f (E), ) (E, ).

В PF-, а значит, и в HPF-родах структур, с каждой P декомпозицией ассоциируется более близкая к объекту деком позиция, реализуемая его P-объектами, посредством канониче ских инъекций. Аналогично, в PF-, а значит, и в HPF-родах структур, с каждой F-декомпозицией ассоциируется более близ кая к объекту декомпозиция, реализуемая его F-объектами, посредством канонических проекций. Поэтому в этих родах структур свойство объектов иметь декомпозиции исчерпываю щим образом описывается множеством его P-объектов и мно жеством его F-объектов.

6. Существуют “естественные” способы ввести морфизмы в класс -объектов [11], а среди них естественный канониче ский.

Определение. Отображение f : (E, ) (E, ) -объекта (E, ) в -объект (E, ) называется естественным канониче ским морфизмом (ЕКМ), если имеет место S(f, idA )( ).

Примеры ЕКМ 1. Для отображений f : X Y f : X Y ЕКМ есть пара отображений mX : X X, mY : Y Y, таких, что ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., mY f = f mX.

2. Для упорядоченных множеств ЕКМ монотонные отоб ражения.

3. Для алгебраических объектов ЕКМ гомоморфизмы.

4. Для топологических пространств ЕКМ зависит от ак сиом, которыми задается топология. Если топология задается указанием открытых множеств, то ЕКМ открытые отобра жения. Если топология задается указанием замкнутых мно жеств, то ЕКМ замкнутые отображения. Если топология задается указанием пар (подмножество, его точка прикосно вения), то ЕКМ непрерывные отображения. И так далее.

5. Для линейных векторных пространств ЕКМ линейные отображения.

6. Для групп преобразований ЕКМ эквивариантные отоб ражения.

7. Для дифференцируемых многообразий ЕКМ гладкие отображения отображения.

Все известные автору роды структур относительно ЕКМ являются или PF- или HPF-родами структур. То, что в тео риях конкретных объектов именуется подобъектами суть P объекты относительно ЕКМ, соответственно фактор-объекты суть F-объекты относительно ЕКМ.

Далее рассматриваются роды структур с естественными ка ноническими морфизмами, являющиеся PF- или HPF-родами структур. В таких родах структур способность объекта (E, ) иметь декомпозиции исчерпывающим образом описывается мно жеством P (E, ) подобъектов, множеством F (E, ) фактор-объ ектов, множеством P D(E, ) P-декомпозиций, реализуемых по добъектами, множеством F D(E, ) F-декомпозиций, реализуе мых фактор-объектами. Эти множества естественным образом снабжаются структурами, соответственно V (E, ), W (E, ), SP D(E, ), SF D(E, ), ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., частичного порядка. Эти множества, снабженные указанны ми структурами, называются декомпозиционными структура ми объекта.

Пусть (Ei,i )iI P-декомпозиция для (E, ) (сейчас уже нет смысла упоминать про канонические инъекции, посред ством которых реализуется P-декомпозиция), такая, что семей ство (Ei )iI является классами эквивалентности по некоторо му отношению эквивалентности Q. Если рассматриваемый род структуры является родом с дизъюнктивной суммой, то объект (E, ) изоморфен дизъюнктивной сумме семейства Ei, i)iI своих подобъектов. В этом случае декомпозиция (Ei, i)iI на зывается декомпозицией на дизъюнктивную сумму, а отноше ние Q СС-декомпозирующим. Тем самым появляется мно жество CC(E, ) декомпозиций на дизъюнктивную сумму, ко торое снабжается структурой CV (E, ) частичного порядка по включению СС-декомпозирующих отношений. Двойственной конструцией для декомпозиции на дизъюнктивную сумму яв ляется декомпозиция на декартово произведение. Множество таковых обозначается DP (E, ). Оно снабжается структурой CW (E, ) частичного порядка. Возникшие объекты (CC(E, ), CV (E, )), (DP (E, ), CW (E, )) также называются декомпозиционными структурами.

В характеризуемой среде возникают по крайней мере 6 ти пов “простоты” объекта (E, ): P-простота, F-простота, PD-про стота, FD-простота, CC-простота, DP-простота когда соот ветствующие декомпозиционные структуры состоят из един ственного элемента (они не пусты, поскольку объект (E, ) яв ляется посредством тождественного отображения своими три виальными подобъектом, фактор-объектом, P-декомпозицией, F-декомпозицией, декомпозицией на дизъюнктивную сумму и декомпозицией на декартово произведение).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Часть содержания теорий конкретных математических объ ектов трактуется как изучение их декомпозиций и, в частности, декомпозиционных структур относительно ЕКМ. Для подтвер ждения этого утверждения переведем на язык геометрической теории декомпозиции некоторые хорошо известные понятия.

Открытому покрытию топологического пространст ва соответствует P-декомпозиция этого пространства на под объекты относительно как непрерывных, так и открытых мор физмов, индуцируемых исходным пространством на множест вах покрытия. Компактность топологического пространства свойство его декомпозиционной PD-структуры. Биектив ная циклическая подстановка конечного множества Р-простое отображение в себя. Простая группа, простая ал гебра F-простые объекты. Простое поле Р-простой объект. Любое поле F-простой объект. Любая абстракт ная группа СС-простой объект. Связное топологиче ское пространство СС-простой объект. Связный граф СС-простой объект. Транзитивная группа преобразо ваний P-простой объект. Примитивная группа преоб разований F-простой объект. Нильпотентный операто ра A в ЛВП СС-простой объект, если трактовать его как отображение в себя абстрактного множества. Семейство тран зитивных групп преобразований, генерируемых группой пре образований на классах эквивалентности по ассоциированно му с ней отношению эквивалентности максимальная СС декомпозиция этой группы преобразований на СС-простые подобъекты. Жорданово представление линейного оператора A в конечномерном ЛВП над C максимальная DP-деком позиция A на декартово произведение DP-простых фактор объектов. Нетривиализуемое расслоение дифференцируемого многообразия такая Р-декомпозиция DP-простого объ екта, каждый элемент которой не является DP-простым.

7. Для произвольных отображений, их семейств, для отоб ражений в себя, их семейств (в частности, для групп преоб ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., разований) имеет место следующий факт, который далее будет именоваться “симметрийным” свойством этих объектов. С каж дой подгруппой группы симметрий объекта, соответствующей некоторой подгруппе группы автоморфизмов объекта, трактуе мой как абстрактная группа, ассоциируется факторизация это го объекта, а с каждой факторизацией его декомпозиция на дизъюнктивную сумму. Ниже приведена схема, иллюстрирую щая симметрийное свойство указанных объектов:

P AS P (Aut(E, ), GA(E, )) (E, Aut(E, ), GA(E, ), T A(E, )), P SF F CC P (E, Aut(E, ), GA(E, ), T A(E, )) F (E, ) CC(E, ).

Поскольку множество решений произвольной системы диф ференциальных уравнений можно трактовать как семейство отображений, то симметрийное свойство можно сформулиро вать в терминах диференциальных уравнений, где оно соот ветствует некоторым конструкциям и утверждениям группо вого анализа дифференциальных уравнений [20]. В частности, пусть система обыкновенных уравнений dy i /dt = f i (t, y 1,..., y n ), i = 1, 2,..., n, сохраняющим t диффеоморфизмом z = (t, y) x = (t, y) приводится к виду dz k /dt = k (t, z 1,..., z m ), k = 1,..., m, dxl /dt = l (t, z 1,..., z m, x1,..., xnm ), l = 1,..., n m.

Тогда первая система в этом представлении есть фактор объект исходной системы относительно ЕКМ, которые в дан ном случае есть гладкие отображения фазовых пространств, переводящие решения в решения. Если любое решение фактор объекта подставить во вторую систему, то получится подобъект исходной системы, а вся совокупность полученных таким обра зом подобъектов является декомпозицией исходной системы на ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., дизъюнктивную сумму. Указанная декомпозиция исходной си стемы является иллюстрацией симметрийного свойства. Этой декомпозиции ссоответствует подгруппа группы автоморфиз мов исходной системы.

8. Система dy i /dt = f i (t, y 1,..., y n, u, v), i = 1, 2,..., n, (1) (t, y) M Rn+1 ;

u U Rr ;

v V Rs, трактуется как модель управляемого процесса.

С (1) сопоставляется семейство систем дифференциальных уравнений, возникающих, когда u и v в (1) пробегают соответ ственно U и V.

Пусть диффеоморфизмом z = (t, y) x = (t, y) (2) система (1) приводится к виду dz k /dt = k (t, z 1,..., z m, u), k = 1,..., m, (3) dxl /dt = l (t, z 1,..., z m, x1,..., xnm, u, v), l = 1,..., n m. (4) С представлением (3), (4) системы (1) связана ее декомпози ция на дизъюнктивную сумму подобъектов, возникающих при подстановке в (4) решений фактор-объекта (3). Это представле ние является иллюстрацией симметрийного свойства исходной системы: ему соответствует подгруппа группы автоморфизмов системы (1). С декомпозицией (3), (4) управляемой системы (1) ассоциируются следующие классические проблемы теории управления.

А. Управляемость. Если фактор-объект (3) системы (1) не содержит управлений:

dz k /dt = k (t, z 1,..., z m ), k = 1,..., m, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., то исходная система (1) неуправляема, поскольку у нее имеют ся первые интегралы, независящие от управлений [21].

Б. Наблюдаемость. Если при функционировании системы (1) наблюдаются характеристики z = I(t, y), фигурирующие в фактор-объекте, то исходная система, очевидно, ненаблюдаема [21,28].

В. Реализация. Фактор-объект является решением задачи реализации для (1) относительно выходов z = I(t, y) [21,28].

Г. Инвариантность. Очевидно, что наличие декомпозиции (3), (4) системы (1) означает, что управлениями v, фигуриру ющими в (4), нельзя повлиять на характеристики z = I(t, y).

Такая ситуация называется в теории управления “инвариант ностью”. Это свойство управляемых процессов было обнару жено экспериментально в 30-х годах прошлого столетия при конструировании систем управления техническими объектами.

Возникла так называемая теория инвариантности, имевшая драматическую судьбу [22–27]. В настоящее время основные проблем этой теории решены [21, 28–31]. Одной из основных задач теории инвариантности является следующая: предъяв лена система (1). Необходимо узнать, обладает ли она свой ством “инвариантности”, т.е. существуют ли у системы фазо вые характеристики, независящие от части управлений. Эта проблема является примером того, как некоторая проблема “тривиализуется” в рамках определенной языковой среды (вся кая проблема тривиализуется в рамках соответствующей язы ковой среды). В самом деле, возникшие в геометрической тео рии декомпозиции языковые средства позволяют указать путь решения сформулированной проблемы. Декомпозиция (3), (4) является “проявлением” симметрийного свойства и за нее “от вечает” подгруппа группы симметрий объекта (1). Для коор динат инфинитезимальных операторов, характеризующих эту подгруппу в силу того, что ее инварианты z = I(t, y) не зави сят от управлений, можно выписать систему дифференциаль ных уравнений в частных производных. Эта система сильно ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., переопределена. Дописывая к ней условия совместности, мож но конструктивно установить, обладает ли система (1) такими свойствами [28–31].

Д. Возможность иерархизовать управление процессом. Де композиция (3), (4) позволяет предложить для управления про цессом, который описывается системой (1), двухуровневую ор ганизацию. Ее верхний уровень ставит цель в терминах харак теристик z = I(t, y) и добивается ее исполнения с помощью выбора управлений u. Получив свои управления и фазовые пе ременные, он “спускает” свои решения на нижний уровень, т.е.

в систему (4). Поскольку в (4) имеется ресурс управления v, то нижний уровень может также поставить себе цель и добиться ее исполнения. Возможны, конечно, более сложные иерархи ческие организации, основанные на симметрийных свойствах системы (1). Их множество описывается соответствующей де композиционной структурой системы (1).

Заметим, что существование декомпозиции вида (3), (4) яв ляется “исключительным” свойством системы (1). “Произволь ная” система никаких декомпозиций вида (3), (4) не допускает.

В то же время управление достаточно сложными управляемы ми системами, обладающими информационными возможностя ми, т.е. способностью измерять в процессе своего функциони рования некоторые свои характеристики m = I(t, y) и неко торые характеристики v окружающего мира, иерархизовано.

Это в рамках описываемой языковой среды трактуется сле дующим образом: достаточно сложные управляемые системы, обладающие информационными возможностями, часть своих управлений u назначают функциями измеряемых в процессе функционирования характеристик: u = u(I(t, y), v, w). Такое назначение управлений называется “управлением с помощь об ратных связей” или “синтезом управлений”. Здесь w “новые” управления, которые привносятся в систему обратными свя зями, если имеются соответствующие конструктивные и энер гетические возможности. Для очень сложных систем имеется ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., фундаментальная цель такого назначения. Она состоит в том, чтобы сделать некоторую совокупность C k = k (t, y), k = 1, 2,..., a, (5) своих характеристик постоянной. Эту совокупность естествен но назвать “внутренней средой системы”, а обратные связи, ре ализующие их постоянство, механизмами гомеостаза, “охра няющими” внутреннюю среду. В результате исходная система (1) становится изоморфной системе dC k /dt = 0, k = 1, 2,..., a, (6) dz l /dt = l (t, C, z 1,..., z na, w1, v), l = 1, 2,..., n a, (7) где z j = Z j (t, y), l = 1, 2,..., n a, вместе с (5) образуют невырожденную замену в системе (1).

Оставшийся в (7) управленческий ресурс можно вновь под вергнуть синтезу так, чтобы система (7) приобрела декомпо зицию, удобную для достижения иерархии целей, ценностей, предпочтений, стоящих перед системой. У достаточно сложных управляемых систем механизмы гомеостаза и синтез управле ний, придающие системе нужную структуру, встроены в си стему. Поэтому при попытках составить модель функциониро вания такой системы необходимо понять, какими механизмами (обратными связями) поддерживается внутренняя среда систе мы и ее структура.

Сформулированное положение носит методологический ха рактер. Тем не менее именно это положение имеет наиболь шую практическую пользу при составлении моделей сложных управляемых систем. Поэтому автор считает это положение ос новным результатом геометрической теории декомпозиции.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Павловский Ю.Н. Декомпозиция снабженных структурой множеств на свободную сумму и прямое произведение // ДАН. 1995. Т. 340, № 3. С. 314–316.

2. Павловский Ю.Н. О P- и F-декомпозициях объектов // ДАН. 1996.

Т. 351, № 5. С. 603–605.

3. Павловский Ю.Н. О декомпозициях снабженных структурой над под чиненными структурами // ДАН. 1997. Т. 357, № 5. С. 589–591.

4. Павловский Ю.Н. О шкалах родов структур // ДАН. 1998. Т. 363, № 2. С.163–165.

5. Павловский Ю.Н. О HPF- и PF-морфизмах // ДАН. 1999. Т. 369, № 6. С. 745–746.

6. Павловский Ю.Н. О декомпозиционном методе построения образов под множеств снабженных структурой множеств // ДAН. 2000. Т. 374, № 4. С. 450–452.

7. Павловский Ю.Н. Об одном декомпозиционном подходе к построению образов изображений // ДAН. 2003. Т. 392, № 6. С. 733–735.

8. Павловский Ю.Н. О декомпозиционных структурах математических объектов // ДАН. 2004. Т. 399, № 1. С. 15–17.

9. Павловский Ю.Н. Декомпозиции и аттракторы динамических систем, ассоциированные с отображениями в себя // ДАН. 2005. Т. 404, № 2. С. 159–161.

10. Павловский Ю.Н. Редукции и декомпозиции математических объектов и моделей // ДAН. 2008. Т. 418, № 5. С. 592–595.

11. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в матема тическом моделировании. М.: Фазис, 1998. 272 с.

12. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Шкалы родов структур, термы и соотношения, сохраняющиеся при изоморфизмах. М.: ВЦ РАН, 2003.

93 с.

13. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Введение в геометрическую теорию декомпозиции. М.: Фазис, 2006. 169 с.

14. Elkin V.I., Pavlovsky J.N. Decomposition of models of control processes // Journal of Mathematical science. Vol. 88., No. 5. P. 723–761, 1998.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 15. Гусейнова А.С., Павловский Ю.Н., Устинов В.А. Опыт имитационно го моделирования исторического процесса. М.: Наука, 1985. 158 с.

16. Григоров Ю.Н., Данилов П.В., Павловский Ю.Н. Проблемы использо вания математического моделирования в народном хозяйстве (на при мере моделей возрастных парков технических систем) // Математиче ское моделирование. Т. 4, № 4, 1991. С. 57–68.

17. Моисеев Н.Н., Левиков А.А., Павловский Ю.Н., Черевков К.В. Новый виток гонки вооружений или новое мышление // Политические иссле дования. 1991. № 5. С. 5–14.

18. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. 456 с.

19. Букур И., Деляну А. Теория категорий. М.: Мир, 1972. 259 с.

20. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.