авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Сборник научных трудов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский физико-технический институт ...»

-- [ Страница 4 ] --

М.: Наука, 1978. 399 с.

21. Яковенко Г.Н. Теория управления регулярными системами М.: БИ НОМ. Лаборатория знаний, 2008. 264 с.

22. Щипанов Г.В. Теория и методы проектирования автоматических регу ляторов // Автоматика и телемеханика 1939. № 1. С. 49–66.

23. Ишлинский А.Ю. Вступительное слово при открытии совещания. В кн. Труды первого Всесоюзного совещания по теории инвариантности.

Киев.: АН УССР, 1959. С. 5–9.

24. Петров Б.Н. Принцип инвариантности и условия его применения при расчете линейных и нелинейных систем. В кн. Труды I Международ ного конгресса по автоматическому управлению. М.: Наука, 1961.

С. 259–271.

25. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. Киев: Госте хиздат УССР, 1963. 125 с.

26. Розоноэр Л.И. Вариационный подход к проблеме инвариантности си стем автоматического управления//Автоматика и телемеханика. 1963.

№ 6. С. 744–756.

27. Величенко В.В. О вариационном методе в проблеме инвариантности управляемых систем. Автоматика и телемеханика. 1972. № 4.

С. 22–35.

28. Елкин В.И. Реализация, инвариантность и автономность нелинейных управляемых динамических систем//Автоматика и телемеханика. 1981, № 7. С. 36–44.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 29. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифферен циально-геометрический подход. М.: Наука, 1997. 317 с.

30. Елкин В.И. Методы алгебры и геометрии в теории управления. Аф финные распределения и аффинные системы. М.: МФТИ, 1996.

256 с.

31. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Декомпози ция и инвариантность по возмущениям. М.: Фазис, 2003. 207 с.

32. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции при управлении механиче скими системами//ДАН. 1988. Т. 300, № 2. С. 300–303.

Получено 26.06. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 517. В.Ф. Зайцев, Л.В. Линчук Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена valentin_zaitsev@mail.ru, lidiya_linchuk@mail.ru СОВРЕМЕННЫЙ ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ – УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПОДХОД Для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в част ных производных предлагается универсальный подход к описанию сим метрий на основе задания правил дифференцирования нелокальных пе ременных.

На протяжении более чем столетней истории любое направ ление в науке претерпевает существенную эволюцию, затраги вающую все сферы деятельности отрасли – идеологию, теорию, методы и алгоритмы.

Не избежал этого и групповой анализ дифференциальных уравнений – предложенный в конце XIX века Софусом Ли подход к точному интегрированию, основан ный на инвариантности уравнений относительно непрерывных групп преобразований. В более широком смысле ключевым яв ляется наличие симметрии модели, описываемой дифференци альным уравнением, и учет этой симметрии, по существу, яв ляется одним из условий адекватности математического описа ния изучаемого процесса. Это обстоятельство сближает чисто теоретическую дисциплину – групповой анализ – с многочис ленными приложениями. К тому же предложенная С. Ли тех ника – переход к инфинитезимальному оператору – позволя ет построить регулярный замкнутый алгоритм поиска группы, допускаемой дифференциальным уравнением.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., К концу XX века потенциал, заложенный 100 лет назад, оказался почти исчерпанным. Подавляющее большинство но вых результатов достигалось не за счет внутренних ресурсов теории, а за счет ее экспансии – группового анализа ранее не исследованных уравнений, в первую очередь из прикладных областей, в которых групповой анализ ранее не применялся.

Однако оставались немногочисленные, но яркие примеры про интегрированных уравнений, для которых методы группового анализа оказались неэффективными. Эпизодически (в частности, в промежуточных выкладках) возникали опера торы, структура которых “не укладывалась” в рамки привыч ных локальных представлений [1, 2] – наряду с “обычными” переменными (x, y, y и т. д.) в координаты оператора входи ли “нелокальные” переменные, например, полные интегралы – обращения полных производных (Dx ). При этом стройность построений группового анализа несколько нарушается – нам, как правило, не удается решить уравнения Ли и восстановить группу по инфинитезимальному оператору (что, в свою оче редь, не позволяет “размножать” неинвариантные частные ре шения исходного уравнения, если они известны). Но основная идея оставалась незыблемой – если можно найти базис инва риантов (а для экспоненциального нелокального оператора – ЭНО – это так), то можно и понизить порядок уравнения, пе рейдя к инвариантам как к новым переменным. С точки зре ния поиска координат инфинитезимального оператора переход к нелокальным переменным является вполне естественным – это полная аналогия обобщения решения обыкновенного диф ференциального уравнения (ОДУ): от элементарных функций к квадратурам.

Вполне логичен и следующий шаг – ни у кого не возни кает неудобства, если решение ОДУ выражено, например, в функциях Бесселя: дальнейшим обобщением квадратур явля ется представление в терминах решений линейных ОДУ с пере менными коэффициентами. Точно так же координаты операто ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., ра (точнее, входящие в них “нелокальные” переменные) можно задавать не явной формулой, а правилами дифференци рования, которые представляют собой систему уравнений в полных производных (для обыкновенных дифференциальных уравнений) и в полных частных производных (для уравнений в частных производных) [3]. Эти переменные, в принципе, можно представить в виде рядов (вспомним определения специальных функций).

Легко видеть, что предлагаемый нами подход полностью со держит в себе как классические методы, так и метод, использу ющий нелокальные операторы, – координаты любого допуска емого оператора являются решениями линейных уравнений в полных производных, но не любое такое решение представимо в виде полного интеграла или суперпозиции полных интегралов.

Мы уже не говорим о том, что в ряде случаев даже наличие решения в виде полного интеграла не гарантирует упрощение исходного уравнения.

Вместе с тем сохраняется основное преимущество группо вого анализа – его алгоритмичность. Действительно, хорошо известно, что любое уравнение может быть записано в инва риантах допускаемого оператора. Для обыкновенного диффе ренциального уравнения (ОДУ) это означает, что оно факто ризуется на систему более простых уравнений, а следователь но, можно существенно упростить процессы интегрирования и исследования свойств исходного ОДУ. Если целью поиска до пускаемого оператора является факторизация исходного ОДУ, то требование явного вида допускаемого оператора яв ляется избыточной информацией. Покажем это.

Рассмотрим процедуру факторизации ОДУ n-го порядка y (n) = F (x, y, y,..., y (n1) ) (1) с помощью оператора вида X = (x, y, y,...)y, (2) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., где – функция конечного или бесконечного числа перемен ных. Сначала мы должны найти оператор (2), допускаемый уравнением (1), решив определяющее уравнение F F F n1 n + Dx +... + Dx (n1) Dx = 0.

y y y [y (n) =F ] (3) Если нам удалось найти в явном аналитическом виде, мы переходим к вычислению инвариантов допускаемого оператора (2). Инварианты удовлетворяют уравнению J J J n + Dx +... + Dx (n1) = 0. (4) y y y [y (n) =F ] Выберем из найденного множества решений уравнения (4) ре шение J = J(x, y, y,..., y (k) ), (k n), старшая производная в котором имеет наименьший порядок (этот инвариант называется младшим). Тогда исходное урав нение (1) можно записать в виде фактор-системы [4]:

u = J(x, y, y,..., y (k) ), (5) u(nk) = G(x, u, u,..., u(nk1) ).

Заметим, что уравнения (3) и (4) имеют схожую структуру, а именно, в них линейно входит функция и ее полные произ водные, с той лишь разницей, что в уравнении (3) функция является искомой, а в уравнении (4) считается известной. Если поделить эти уравнения почленно на, получим выражения, в которые функция входит лишь в виде отношений 2 Dn Dx Dx,..., x.

, Следовательно, для поиска фактор-системы нам достаточно знать эти отношения, а не искать собственно функцию. Бо лее того, достаточно знать лишь первое отношение, так как ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., остальные могут быть получены из него простым дифферен цированием.

Если, например, отношение Dx / = (x, y, y ), то мы по лучаем определение ЭНО в каноническом виде:

X = exp (x, y, y ) dx y.

В данном случае мы восстанавливаем явный вид функции (квадратурой), хотя для факторизации, как мы показали, это не принципиально, и вид оператора не имеет значения ни для прямой, ни для обратной задачи, а ключевую роль играет вы ражение Dx = (x, y, y ), которое можно назвать правилом дифференцирования функции.

Введём в рассмотрение оператор вида k i (x, y, y,..., y (p) )Ai, X = y, где = (6) i= где Ai (i = 1,..., k) – нелокальные переменные, правила диф ференцирования которых задаются линейными выражениями k ij (x, y, y,..., y (p) )Aj.

D(Ai ) = (7) j= По сути, эти правила дифференцирования задают правило диф ференцирования координаты оператора.

Предположим, что необходимо найти оператор (6), допус каемый заданным ОДУ n-го порядка (1). Для этого мы можем составить определяющее уравнение по формуле (3), которое в силу линейности, а также в силу линейности правил диффе ренцирования (7) будет имеет вид k i (x, y, y,..., y (n1) )Ai = 0.

i= ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Так как нелокальные переменные являются независимыми, то мы можем расщепить это уравнение до системы 1 (x, y, y,..., y (n1) ) = 0,..........................

k (x, y, y,..., y (n1) ) = 0.

Эти уравнения уже не содержат нелокальных переменных, а поэтому из них могут быть найдены функции ij и i (x, y, y,..., y (p) ), задающие оператор (6). Если найденный оператор имеет нетривиальный инвариант порядка ниже n, то можно построить фактор-систему исходного ОДУ. Этот инвариант мо жет быть найден из соотношения (4), которое по аналогии с определяющим уравнением имеет линейную структуру, а сле довательно, будет иметь вид k J i0 (x, y, y,..., y (n1) ) +...

y i= J... + i(n1) (x, y, y,..., y (n1) ) Ai = 0.

y (n1) Расщепив это уравнение по нелокальным переменным, мы по лучаем систему для поиска инвариантов (x, y, y,..., y (n1) ) J +...

y J... + 1(n1) (x, y, y,..., y (n1) ) y(n1) = 0,.......................................................

k0 (x, y, y,..., y (n1) ) J +...

y J... + k(n1) (x, y, y,..., y (n1) ) y(n1) = 0.

Если эта система имеет только тривиальное решение, то най денный оператор оказывается пустым с точки зрения факто ризации, в противном случае можно построить фактор-систе му (5).

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Существенным упрощением указанного алгоритма являет ся то, что число нелокальных переменных и порядок производ ных p можно ограничить порядком уравнения (1), а координа ту оператора можно считать равной одной из нелокальных переменных. Эти условия никак не ограничивают универсаль ность этого метода, так как и в этом случае операторов вида (6) оказывается достаточным для построения всех фактор-систем заданного ОДУ. Более того, тип факторизации определяется числом нелокальных переменных. Поэтому если заранее задать структуру фактор-системы, то тем самым можно сузить класс искомых допускаемых операторов.

Так, например, все фактор-системы ОДУ 3-го порядка y = F (x, y, y, y ) вида u = J(x, y, y, y ), u = G(x, u) могут быть найдены с помощью операторов вида Dx A = B, X = Ay, Dx B = (x, y, y, y )A + (x, y, y, y )B.

В качестве примера приведем решение прямой задачи для ОДУ 2-го порядка y = (xy 3 + x1 )y в классе операторов X = Ay, где правило дифференцирования нелокальной переменной A:

Dx A = (x, y)A.

Соответствующее определяющее уравнение имеет вид A (y + 3xy 4 )y + x + 2 (xy 3 + x1 ) = 0.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Расщепив по переменной y выражение в квадратных скобках, получаем систему y + 3xy 4 = 0, x + 2 (xy 3 + x1 ) = 0, решением которой будет = xy 3.

Используя полученный результат, найдем дифференциальный инвариант допускаемого оператора J = J(x, y, y ) из уравне ния Jy + xy 3 Jy = 0.

Его решение x J =y +.

2y Отсюда вытекает, что исходное уравнение факторизуется сле дующим образом:

x u = y + 2, 2y xu u = 0.

Для уравнений в частных производных (УрЧП) классиче ские алгоритмы приводят не к понижению порядка, а к по нижению размерности [5]. При этом мы находим не общее, а некоторый класс частных решений, зато найденные решения инвариантны относительно допускаемых групп, что существен но повышает их прикладную знчимость.

а Тем не менее ряд технологий, разработанных для ОДУ (в том числе теоремы о факторизации), можно с успехом применять и для УрЧП. Как было показано в [3], УрЧП 2-го порядка uxx = F (x, y, u, ux, uy, uxy, uyy ) (8) ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., можно представить в виде фактор-системы w = w(x, y, u, ux, uy ), (9) wx = G(x, y, w, wy ) с помощью оператора X = Au, где нелокальная переменная A определяется правилами диф ференцирования Dx A = (x, y, u, ux, uy, uxy, uyy )A, Dy A = (x, y, u, ux, uy, uxy, uyy )A.

В такой формулировке эта задача достаточно сложно реша ется, так как зависимость функций и практически от всех производных, входящих в уравнение (8), не даёт возможность расщепить определяющее уравнение и найти искомый опера тор. Но практика показывает, что если всё же удалось най ти допускаемый оператор, то в результате мы находим целый класс операторов, среди которых либо много “пустых”, т.е. не дающих никакой факторизации, либо много таких, которые по рождают одну и ту же фактор-систему. Поэтому естественным образом возникает задача поиска условий на структуру коэф фициентов и, при которых мы бы находили все фактор системы, но не получали “лишних” операторов.

Если допускаемый оператор найден, то для построения фак тор-системы (9) нам нужно найти его дифференциальный ин вариант 1-го порядка из уравнения wu + wux + wuy = 0.

Примером может служить факторизация уравнения Монжа– Ампера [6]:

2w 2w 2w a =.

x2 y 2 (y + b) xy ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Инвариантами допускаемого оператора являются функции w a w w ax U = 1 +,x + (y + b) u+, x y+b x y y+b w V = y, T=, x где 1 (z1, z2 ) – произвольная функция. Исходное уравнение может быть записано в инвариантах в виде линейного уравне ния в частных производных первого порядка U U (V + b)2 +a = 0, V T решение которого имеет вид a U = 1 T +.

V +b Таким образом, исходное уравнение Монжа–Ампера сводится к уравнению в частных производных первого порядка:

w a w w ax +,x + (y + b) u+ = 0, x y+b x y y+b где (z1, z2 ) – произвольная функция.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, сер. Мате матика и кибернетика, 1991. №7. 48 с.

2. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям.

М.: Мир, 1989. 640 с.

3. Линчук Л.В. Факторизация обыкновенных дифференциальных урав нений и уравнений в частных производных // Материалы научной конференции “Герценовские чтения 2006”. СПб.: БАН, 2006.

С. 108 115.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 4. Зайцев В.Ф. Формальные операторы и теоремы о факторизации обык новенных дифференциальных уравнений // Труды III Международ ной конференции “Симметрии и дифференциальные уравнения”.

Красноярск, 2002. С. 101 105.

5. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелиней ных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. 256 с.

6. http://eqworld.ipmnet.ru.

Получено 01.08. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., УДК 519. Г.Н. Яковенко Московский физико-технический институт (государственный университет) yakovenko_g@mtu-net.ru ДЕСЯТЬ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ СЛЕДСТВИЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ДИВЕРГЕНТНЫХ СИММЕТРИЙ Рассматривается случай однопараметрического семейства (не обяза тельно группы) дивергентных симметрий лагранжевой системы. Показы вается, что этому случаю в отличие от теоремы Нтер и теоремы Бессель е Хагена соответствует семейство первых интегралов, в котором может со держаться несколько независимых первых интегралов. Приводится при мер, когда однопараметрическое семейство порождает десять первых ин тегралов, соответствующих законам сохранения в консервативной замкну той системе полной механической энергии, вектора импульса, вектора мо мента импульса и вектора Галилея.

Для вычисления первого интеграла по теореме Эмми Нтер е [1, 2] или е обобщению теореме Бессель-Хагена [2, 3] требуется, е чтобы уравнения Лагранжа допускали однопараметрическую группу вариационных или более общих дивергентных симмет рий (определения даны ниже). Изучается случай, когда урав нения Лагранжа допускают гладкое семейство (не обязательно группу) дивергентных симметрий [2–4]. Возможный эффект:

по однопараметрическому семейству вычисляется несколько не зависимых первых интегралов. В приведнном примере е де сять. В основу настоящей работы легли статьи [5–9]. Далее Работа поддержана РФФИ, грант 07-01-00217.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., предполагается, что участвующие в построениях функции до статочно гладкие. Рассуждения, определения, утверждения локальны.

Семейство преобразований t = t (t, q, ), (1) q i = q i (t, q, ), i = 1, n, есть решение системы обыкновенных дифференциальных урав нений dt = t, q,, d dq i (2) = i t, q,, i = 1, n, d dR = r t, q,, d при начальных условиях t (0) = t, q i (0) = qi, R (0) = 0. (3) Определение 1. Отдельно взятое преобразование семей ства (1) называется преобразованием дивергентной симмет рии лагранжевой системы d L L = 0, (4) dt qi qi определённой функцией Лагранжа L (t, q, q), если существует такая функция R (t, q), что преобразование связано с функцией Лагранжа соотношением dq dt dR dq L t, q, + = L t, q,. (5) dt dt dt dt ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Если в (5) R 0, преобразование называется вариационной симметрией.

Замечание 1. Для проверки условия (5) требуется, во первых, убедиться, что после перехода к переменным t, qi при некоторых функциях f (t, q), gi (t, q) справедливо соотношение n dq dq dt L t, q, L t, q, = f (t, q) + gi (t, q)qi, dt dt dt i= во-вторых, для функций f (t, q), gi (t, q) тождественно выпол няются равенства gj (t, q) f (t, q) gi (t, q) gi (t, q) =, =, i, j = 1, n.

qi t qi qj Функция R (t, q) решение вполне интегрируемой системы R R = f (t, q), = gi (t, q), i = 1, n.

t qi Теорема 1. Пусть преобразования (1) и лагранжева систе ма с функцией Лагранжа L (t, q, q) удовлетворяют условию (5) дивергентной симметрии. Тогда у системы есть семейство пер вых интегралов n w (t, q, q, ) = pi i (t, q, ) (t, q, ) H + r (t, q, ), (6) i= где (t, q, ), i (t, q, ), r (t, q, ) функции из (2), pi и H со ответствующие системе обобщенные импульсы и функция Га мильтона [4]:


L pi =, qi (7) n n L H (t, q, p) = pi qi L (t, q, q) = qi L (t, q, q).

qi i=1 i= ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Потребуются формулы (учтены перестановочность диф ференцирования по независимым переменным и t и уравне ния (2)) d t, q, d t, q, d t d dt d dt = = =, (8) d dt dt d dt dt dt dr t, q, dr t, q, d t d dR d dR = = =, (9) d dt dt d dt dt dt d dq i dt dq i d dt dq i d dt dt dt d dt d dq i d dt = = = d d t d d t dt dt dt d dq i dt dq i d dt dt d dt dt dt d = = dt (10) dt di t, q, d t d q i d t, q, dt dt dt dt = = dt dt di t, q, d q i d t, q, =.

dt dt dt Потребуется также формула [4] L H dH = =. (11) t t dt ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Продифференцируем условие (5) по (учтены уравнения (2), (4) и формулы (8) (11)):

n L L t, q, + i t, q, + qi t i= L di t, q, d t, q, n dt + + qi dt dt dt q i=1 i d t, q, d t dr(t, q, ) dt +L + = dt dt dt dt n L d L = t, q, + t, q, + i dt q i t i= L di t, q, d t, q, n dt + + qi dt dt dt q i=1 i d t, q, d t dr(t, q, ) dt (8) +L + = dt dt dt dt n dH d L = t, q, + t, q, i dt dt qi i= dr(t, q, ) d t (9) d t, q, n L q L + = i dt dt dt q i=1 i n dH d = t, q, + p i i t, q, dt dt i= dr(t, q, ) d t d t, q, H + = dt dt dt n d dt = p i i t, q, t, q, H + r(t, q, ) = 0.

dt dt i= ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Как следует из (3), при малых значениях выполняется d t /dt = 0, поэтому на решениях лагранжевой системы, соот ветствующей функции Лагранжа L t, q, q, сохраняется фор мула, находящаяся в фигурных скобках последнего выраже ния, что доказывает наличие первого интеграла (6) для лагран жевой системы с функцией Лагранжа L (t, q, q).

Замечание 2. Совокупность симметрий, которая не явля ется группой, рассматривалась ранее (например, в [10, с. 81;

11, с. 106]), но для построения первого интеграла привлека лась только инфинитезималь правые части системы (2) при = 0, не приводящая к семейству (6) первых интегралов.

Пример 1. Положение материальных точек замкнутой кон сервативной системы задатся в ортогональной декартовой си е стеме координат ri = xi i + yi j + zi k.

Потенциальная энергия (rik ) зависит только от расстояний rik между точками:

rik = (xi xk )2 + (yi yk )2 + (zi zk )2.

Функция Лагранжа:

N mi x2 + yi + zi (rik ).

2 L=T = i (12) i= Обобщённые импульсы:

py = mi yi, px = mi xi, pz = mi zi.

(13) i i i Функция Гамильтона:

N mi x2 + yi + zi + (rik ).

2 H =T + = i (14) i= ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Для введённой в примере материальной системы известна деся типараметрическая группа симметрий [12] группа Галилея:

t = t + 1, xi = xi + 2, y i = yi + 3, zi = zi + 4 ;

t = t, xi = xi, y i = yi cos 5 zi sin 5, zi = yi sin 5 + zi cos 5 ;

t = t, xi = xi cos 6 zi sin 6, y i = yi, zi = xi sin 6 + zi cos 6 ;

t = t, xi = xi cos 7 yi sin 7, yi = xi sin 7 + yi cos 7, z i = zi ;

t = t, xi = xi + t8, y i = yi + t9, zi = zi + t10.

Специализация параметров 1 = 3, 2 = 0, 3 = 0, 4 = 0, 5 =, 6 =, 7 = 0, 8 = 0, 9 = 0, 10 = 4 и суперпозиция в следующей последовательности: 5, 6, 10, 1 приводит к однопараметрическому семейству (1) преобразований t = t 3, x i = xi cos (yi sin + zi cos ) sin, 2 2 (15) y i = yi cos zi sin, z i = xi sin + (yi sin + zi cos ) cos + t 4.

2 Условие (5) дивергентной симметрии удовлетворяется при (см.

замечание 1) N mi xi sin + (yi sin + zi cos ) cos R= 2 i= N 2 t 8 mi.

i= Функции t, x i, y i, z i, R есть решение системы дифференци ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., альных уравнений (2), (3):

dt = 3 2, = d dxi x t + 3 4 zi = i = y i sin, d 2 dyi y = i = x i sin z i cos + d 2 + ( t + 3 ) 4 cos, (16) dzi = x i + y i cos + 4 t + 3 3, z = i d 2 N N dR = 4 mi x i =r mi y i cos d 2 i=1 i= N 4 3 mi z i i= при начальных условиях (3). Отметим, что функции в правой части системы (16) не выражаются в виде i (, x) = fi (x)h( ) (h( ) скалярная функция), поэтому семейство (15) не есть группа.


Первый интеграл (6) с учтом (13), (14), (16) равен е w ( ) = Kx cos Ky + Kz sin + 2 2 + Px 7 + Py 7 cos + 4Pz 6 + (17) + Gx 4 + Gy 4 cos + 4Gz 3 + 3H 2.

Введены обозначения для проекций кинетического момента KO, ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., импульса P, вектора Галилея G:

N Kx = mi (yi zi zi yi ), i= N N Ky = mi (zi xi xi zi ), Kz = mi (xi yi yi xi ), (18) i=1 i= N N N Px = mi xi, Py = mi yi, Pz = mi zi, i=1 i=1 i= Gx = Px t mxc, Gy = Py t myc, Gz = Pz t mzc.

Подстановка в (17) = ±1, ±2, ±3, ±4, ±5 приводит к ал гебраической системе из 10 уравнений и к выводу, что механи ческая система с функцией Лагранжа (12) обладает десятью первыми интегралами: функцией Гамильтона (14) и функци ями (18). Отметим, что если путь в пространстве параметров выбрать “не мудрствуя лукаво”: 1 =, 2 = 0, 3 = 0, 4 = 0, 5 =, 6 =, 7 = 0, 8 = 0, 9 = 0, 10 =, то семейство первых интегралов, аналогичное (16), содержало бы только че тыре функционально независимых первых интеграла: H, Kx, K y, Gz.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Noether E. Invariante Variationsprobleme. Nachr. Knig. Gesell. Wissen.

o Gttingen, Math-Phys. Kl. 1918. S. o 257. (Перевод в кн.: Вариаци онные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959. С. 611 630.) 2. Яковенко Г.Н. Симметрии уравнений Гамильтона и Лагранжа. М.:

Изд. МЗ Пресс, 2006. 120 с.

3. Bessel-Hagen E. Uber die Erhaltungstze der Electrodynamic // Math.

a Ann., 1921. Bd. 84. S. 258 276.

4. Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. М.: БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2004. 238 с.

5. Яковенко Г.Н. Модификация теоремы Эмми Нётер на случай негруп повых симметрий // Механика твёрдого тела. 2005. Вып. 35.

С. 92 97.

ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., 6. Яковенко Г.Н. К теореме Эмми Нётер: “одним махом семерых убива хом” // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. “Герценовские чтения – 2006”. СПб., 2006. С. 112 119.

7. Яковенко Г.Н. Синергетический вариант теоремы Бессель-Хагена // Синергетические идеи в образовании: Сборник научных трудов Пер вой Всероссийской научно-практической конференции “Образование.

Синергетика и новое мировидение”. 13 15 апреля 2006 г. / Под ред.

Н.В. Аммосовой, Б.Б. Коваленко. Астрахань: Изд-во АИПКП, 2006.

С. 63 68.

8. Яковенко Г.Н. Теорема Эмми Нётер негрупповой вариант // Совре менные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. 9 14 октября 2006 г., Орёл. Т. 1. Орёл: Издательство ОГУ, 2006. С. 140 143.

9. Яковенко Г.Н. Теорема Нётер–Бессель-Хагена концентрированный вариант // Труды IX Международной Четаевской конференции “Ана литическая механика, устойчивость движения и управление движени ем” (Иркутск, 12 16 июня 2007 г.), Т. 2 / Иркутск: ИДСТУ РАН СО, 2007. С. 321 326.

10. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное вычисление. М.: Государ ственное издательство физико-математической литературы, 1961. 228 с.

11. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во Моск.

ун-та, 1984. 296 с.

12. Engel F. Uber zehn algemeinen Integrale der klassischen Mechanik, Nachr.

Knig. Gesell. Wissen. Gttingen, Math-Phys. Kl. 1916. S. 270 275.

o o Получено 10.08. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., СОДЕРЖАНИЕ Предисловие................................................. Аксенов А.В. Симметрии фундаментальных решений уравнений с частными производными....................... Беляев А.В. Об однозначных решениях задачи о движении тяжелого твердого тела, удовлетворяющего условиям Гесса.............................................. Бурлакова Л.А. К вопросу о гироскопической стабилизации................................................ Голубятников А.Н. Модели сплошных сред с геометрическим связями.................................. Ефремов И.А., Капцов О.В., Черных Г.Г. Симметрии и решения полуэмпирических моделей турбулентности...... Елкин В.И. Внутренние симметрии и декомпозиция нелинейных управляемых систем.......................... Иртегов В.Д. Анализ вполне интегрируемых систем с использованием компьютерной алгебры.................... Кусюмов А.Н., Романова Е.В. Течение между двумя вращающимися дисками, ограниченное цилиндрической поверхностью.............................................. Лёгенький В.И. О расслоении алгебраических уравнений................................................. Лёгенький В.И., Яковенко Г.Н. Безразмерные переменные: теоретико-групповой подход................. ISBN 978–5–7417–0234– Симметрии дифференциальных уравнений. М., Павловский Ю.Н. Математические модели, их редукции и симметрии............................................... Павловский Ю.Н. Геометрическая теория декомпозиции и симметрийное свойство................................. Зайцев В.Ф., Линчук Л.В. Современный групповой анализ универсальный подход.......................... Яковенко Г.Н. Десять первых интегралов классической механики следствие однопараметрического семейства дивергентных симметрий................................. СИММЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Сборник научных трудов Редакторы В.А. Дружинина, И.А. Волкова, О.П. Котова Корректор И.А. Волкова Подписано в печать 28.10.2008. Формат 60 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 12,0. Уч.- изд. л. 11,8. Тираж 300 экз. Заказ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ГУП МО «Орехово-Зуевская типография»

142603, Московская область, г. Орехово-Зуево, ул. Дзержинского, д. В январе 2009 года исполняется 70 лет ответственному редактору настоящего сборника профессору кафедры тео ретической механики Московского физико-технического ин ститута, доктору физико-математических наук Геннадию Николаевичу Яковенко. На кафедре Г.Н. Яковенко читает основной курс «Теоретическая механика» и ведет семинар ские занятия. Научные интересы Г.Н. Яковенко связаны с изучением симметрий дифференциальных уравнений в различных вопросах механики и теории управления. В ме ханике Г.Н. Яковенко обобщил теорему Эмми Нётер на слу чай нестандартных симметрий. В теории управления Г.Н. Яковенко ввёл понятие L-систем, которые по сравне нию с произвольными управляемыми системами обладают рядом особенных свойств. За 45 лет научно-педагогической деятельности Г.Н. Яковенко опубликовал более 200 работ.

За последние 5 лет (2004–2008 годы) опубликовано 6 книг, 32 научные статьи, принято участие (с публикацией) в 27 научных конференциях.

Коллектив МФТИ и авторы сборника сердечно поздрав ляют Геннадия Николаевича с юбилеем и желают ему доб рого здоровья, новых творческих достижений.

I SBN 5 - 741 7 - 0 23 4 - 9 785741

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.