авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«А. Л. ЗЕЛЬМАНОВ ХРОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ О ДЕФОРМАЦИИ И КРИВИЗНЕ СОПУТСТВУЮЩЕГО ПРОСТРАНСТВА AMERICAN ...»

-- [ Страница 3 ] --

= (19.13) j j Рассмотрим снова окрестности любой точки (19.1). Пусть, в произвольной точке в этих окрестностях, uj есть х.и.-скорость данного пространства относительно системы, локально стационарной в точке (19.1). По-прежнему, ij есть х.и.-тензор скоростей деформации пространства относительно названной локально-стационарной системы, k х.и.-вектор угловой ско рости вращения пространства относительно той же системы, наконец, aij антисимметричный х.и.-тензор, отвечающий х.и. вектору k. Эти величины связаны между собою соотношения ми (18.9) и (18.10). В самой точке (19.1) i 0, (19.14) i u 0 (19.15) и, следовательно, ij hij ij a =, (19.16) j j 0 Ri ( ) = hij ij. (19.17) j Вследствие же (19.13) мы можем написать окончательно ij hij D Dij, a = (19.18) j j Ri ( ) = hij D Dij. (19.19) j Как видно из самого вывода, неединственность системы от счета, локально-стационарной в данной точке не влияет на по Как отмечено в §2.11, эта система определена с точностью до произвольного вращения около данной точки.

Глава 2 Математические средства лученный результат. Этот результат, очевидно, сохранит свою силу и в случае, когда мы возьмем локально-стационарную (в данной точке) систему, невращающуюся в данной точке относи тельно данного пространства, так что в данной точке k = 0, (19.20) ij a = 0. (19.21) §2.20 Система локально-независимых величин При рассмотрении вопроса о кривизне пространства нам придет ся воспользоваться некоторыми предположениями, которые мы выскажем здесь, впрочем, в несколько более общей форме, чем это нужно для упомянутого вопроса. Согласно §2.4, в любой за данной мировой точке можно придать потенциалам (в данной си стеме отсчета при данной системе пространственных координат) любые, наперед заданные значения с помощью соответствую щего преобразования временн й координаты. Легко видеть, что о распоряжаться подобным же образом значениями первых произ водных от потенциалов мы не можем, т. к. 16 производных свя заны 6-ю условиями, утверждающими инвариантность силовых величин относительно преобразований временн ой координаты Fi = F i, (20.1) Aik = Aik. (20.2) Очевидно, на 16 производных от потенциалов мы можем на ложить лишь 10 дополнительных условий. Поэтому мы введем 10 х.и.-величин, зависящих от потенциалов и их первых произ водных и могущих, в результате преобразования временн ой ко ординаты, принимать в данной мировой точке любые значения.

Так как нас интересуют первые производные от потенциалов, то мы можем положить 1 B + B x0 = B 2, (20.3) i i x =x где B, B и B постоянные, причем B0 = 1, = x a, (20.4) Мы везде подразумеваем оговорку, что для скалярного потенциала w ис ключаются значения, большие или равные c2.

2.20 Система локально-независимых величин в то время как координаты данной мировой точки x = a. (20.5) Очевидно, вообще x0 2 x B B B = +, =, (20.6) x x x B B B и в данной мировой точке x0 2 x B B =, =. (20.7) x x B x B a a Так как x0 x0 x g00 = g, g0i = g + g0i, (20.8) x0 x xi тогда c2 w Bi + Bi c2 w = B c w, vi = vi +, (20.9) 1+ B0 1 + B c Bi c2 w = B c2 w c w a. (20.10), (i )a = (vi )a + v a a c Займемся теперь х.и.-производными и х.и.-ковариантными производными потенциалов c2 w w w B BB + c = = 2. (20.11) 0 0 c2 w x x x 1 + B0 (1 + B0 ) Для данной мировой точки, исключая B, находим c2 c2 c w w = + B00. (20.12) x0 x0 (c2 w)a 2 (c2 w)a (c2 w)a a a Введем обозначение c2 w Y=, (20.13) (c2 w)2 x тогда c (Y )a = (Y )a + 2 B00. (20.14) (c2 w)a Далее w w w c vi w B w = = +2 = + i i i xi c w x x x x 1 + B Глава 2 Математические средства (c2 w)BB0i c vi B w + + + 2 c2 ) x w (1 + B ) (1 + B cvi BB00 B w cvi w + = +2 + (20.15) 2 c w x xi 1 + B ) (1 + B (c2 w)B c vi + B0i + B00.

2 c2 w ) (1 + B Так как очевидно, что c2 c 2 c vi w c vi w + c vi Y +2 = Fi + 2 w xi c w x0 c2 w x c, (20.16) c2 c2 c vi w cvi w + cvi Y +2 = Fi + 2 w xi c w x0 c w x c тогда c2 c vi Fi + + c vi Y = c2 w x a (20.17) c2 cvi c vi B00 + c2 B0i.

= Fi + 2 + c vi Y +c c w x0 c2 w a С другой стороны c2 vi c2 vi vi vi c w 2 = =2 = x0 x0 c w x0 c w x0 c w x (20.18) Bi + Bi (1 + B0 ) B0i B00 (Bi + Bi ) +c.

1 + B0 (1 + B0 ) Так как очевидно c2 c v i c2 w = Fi + 2 c2 w x 0 c w xi, (20.19) 2 c c vi c w = Fi + c2 w x0 c w xi тогда c2 w c2 w Fi + = Fi + c2 c w xi w xi a a (20.20) c2 w 2 + c B00 Bi + c B0i 2 w x c a 2.20 Система локально-независимых величин и, вследствие (20.10), (20.13) и (20.14), получаем c2 w F i + + c vi Y = c2 w xi a (20.21) c2 w c vi B00 + c2 B0i.

= Fi + 2 + c vi Y +c c2 w a c w xi a Складывая почленно (20.17) и (20.21), получаем c2 c w vi +c 0 + 2c vi Y = c2 c i w x w x a (20.22) w vi cvi + c 0 + 2c vi Y + 2c B00 + B0i.

c2 w a xi x a Введем обозначение c2 w vi i = +c 0 + 2cvi Y, (20.23) c2 w i x x тогда c vi i a = i a + 2c2 B00 + B0i. (20.24) c2 w a Х.и.-ковариантная производная векторного потенциала vk cvi vk l ik vl = i vk = i vk = +2 c w x xi 1 w Bk + Bk vk = + xi c xi 1 + B c2 w (1 + B0 )Bik B0i (Bk + Bk ) + + c (1 + B0 ) (20.25) vi w Bk + Bk cvi vk + + c2 w x0 c w x0 1 + B (1 + B0 )B0k B00 (Bk + Bk ) + vi (1 + B0 ) Bl + Bl l vl c w l, ik ik 1 + B c Глава 2 Математические средства и, с другой стороны, vk c vi vk l ik vl = +2 c w x xi a (c2 w)a vk cvi vk l ikvl = +2 0 c i c w x x a (20.26) c2 w cvi w c vi + c2 +2 B00 + (c2 w)a c w x0 a xi c w a (c2 w)a Bk Bik l + c2 B0i + (vi )a B0k + Bl.

ik a c c Симметрирование обеих частей равенства дает c 1 vk vi 1 c vk c vi + k + 22 vi + vk x0 x 2 xi 2c c w x c 1 vk vi l vl ik = +k + 2c2 c2 w i 2 x x a (c2 w)a c vk c vi l vl vi + vk ik x0 x0 2c a c2 w cvi w c vi + c +2 B00 + (20.27) (c2 w)a c w x0 2 w i x c a a c Bk w c vk w + c2 B0i + +2 + (c2 w)a c w x xk c a cvk Bi + c2 B00 + c2 B0k + (vi )a B0k + c2 w a c c w a Bik l a Bl.

+ (vk )a B0i + ik c Вследствие (20.10), (20.16) и (20.17), мы имеем (c2 w)a c2 w cvi w +2 + 2c2 (c2 w)a c w x i x a cvi Bk + c2 B00 + c2 B0i = c2 w c a c2 c vi 1 = 2 (k )a Fi + v + c vi Y + c w x 2c a c2 c vi + (vk )a Fi + 2 + c vi Y + 2 c w x 2c a 2.20 Система локально-независимых величин 1 cvi vk + B00 + (vk )a B0i, (20.28) 2 c2 w a 1 vk vi vk i c vi Y + +k + 2c 2 xi x 1 vk vi l vl + vi k c vk Y ik = +k + 2 xi x a 1 (20.29) l vl + 2 vk i c vi Y + vi k c vk Y + ik 2c a cvi vk + B00 + (vk )a B0i + (vi )a B0k + c2 w a (c2 w)a Bik l + Bl, ik a c или, иначе, 1 vk vi + k + 2 v k i + v i k i 2 x x 2c 1 1 vk vi vi vk Y l vl = ik + k+ i c 2 x x a 1 + 2 vk i + vi k vi vk Y l vl + (20.30) ik 2c c a cvi vk + B00 + (vk )a B0i + (vi )a B0k + c2 w a (c2 w)a Bik l a Bl.

+ ik c Введя обозначение 1 vk vi vi k + v k i Xik = +k + 2c i 2 x x (20.31) vi vk Y l vl, ik c можно написать c v i vk Xik = Xik a + B00 + (vk )a B0i + c2 w a a (20.32) (c w)a Bik l + (vi )a B0k + B.

al ik c Глава 2 Математические средства Каковы бы ни были в данной мировой точке значения ве личин w, vi, Y, i, Xik, всегда можно, и притом единственным образом, подобрать коэффициенты B, Bi, B так, чтобы вели чины w, vi, Y, i, Xik принимали любые наперед заданные зна чения. В самом деле: задавая w, из первого из равенств (20.10) находим B;

задавая vi, из второго из равенств (20.10) находим Bi ;

задавая Y, из равенства (20.14) находим B00 ;

далее, задавая i, из (20.24) при любом B00 находим B0i ;

задавая Xik, из (20.32) при любых B00, B0l и Bl находим Bik. Таким образом, в любой данной мировой точке каждой из наших 14-ти ко-величин мож но придать любое значение, независимо от значений остальных.

Поэтому совокупность этих величин мы можем назвать систе мой локально-независимых ко-величин.

Как легко видеть, величина Y есть суб-инвариант, 3 величи ны i образуют суб-вектор, 6 величин Xik образуют симметрич ный суб-тензор 2-го ранга.

§2.21 Х.и.-тензоры кривизны Выделим в х.и.-тензоре Римана-Кристоффеля часть, антисим метричную не только относительно индексов внутренней пары, но также относительно индексов внешней пары и, кроме того, симметричную относительно перестановки внешней и внутрен ней пар индексов. Прежде всего, мы имеем 1 Hkjin = (Hkjin Hnjik ) + (Hkjin + Hnjik ), (21.1) 2 причем, см. (15.12), 1 (Hkjin + Hnjik ) = 2 Aji Dkn, (21.2) 2 c и кроме того ik,n 1 1 in,k (Hkjin Hnjik ) = j xj 2 2 x (21.3) jk,n jn,k ik,l l + jk,l l.

+ jn in xi xi Так как ik,n 1 in,k jk,n jn,k + = j j i xi 2 x x x 2 2 2 1 hkn hin hik hnk + j k j n j i = xj xi 4 x x x x x x 2.21 Х.и.-тензоры кривизны 2 2 2 hik hin hkn hjn + j k i j i k+ j xn x x x x x x x 2 2 2 hjk hnk hjk hjn + i j+ i n i k + = (21.4) xi xn x x x x x x 2 2 2 1 hin hjk hik hjn + i n j n i k =, j xk 2 x x x x x x x следовательно 2 1 1 hin hjk (Hkjin Hnjik ) = + i n j xk 2 2 x x x (21.5) 2 hik hjn ik,l l jk,l l j n i k +.

jn in x x x x Из части х.и.-тензора Римана-Кристоффеля, антисимметри чной относительно индексов как внутренней, так и внешней па ры, выделим часть, симметричную относительно перестановки внешней и внутренней пар индексов. Имеем 1 11 Hkjin Hnjik = Hkjin Hnjik + Hjkni Hiknj + 2 22 (21.6) 1 1 (Hkjin Hnjik ) (Hjkni Hiknj ).

+ 2 2 Как легко видеть 1 1 (Hkjin Hnjik ) (Hjkni Hiknj ) = 2 2 2 2 2 1 hin hjk hik hjn + i n j n i k = j xk 4 x x x x x x x (21.7) 2 2 2 hni hkj hnj hki k j n i+ k i+ n j = x x x x x x x x = 2 (Ajk Din + Ain Djk Aik Djn Ajn Dik ), c 1 1 (Hkjin Hnjik ) + (Hjkni Hiknj ) = 2 2 2 2 2 1 hin hin 1 hjk hjk = +kj + +ni xj xk xi xn 4 x x 4 x x Глава 2 Математические средства 2 2 2 1 hik hik 1 hjn hjn +nj +ki j xn i xk 4 x x x 4 x x x (21.8) ik,l l jk,l l +.

jn in Обозначив Skjin выделенную нами часть х.и.-тензора Римана Кристоффеля 1 2 hin hin Skjin = +kj + j xk 4 x x x 1 2 hjk 1 2 hik hjk hik (21.9) + ni + +nj i xn j xn 4 x x x 4 x x x 1 2 hjn hjn + l jk,l l jn,l, +ki in ik 4 xi xk x x мы можем записать Hkjin = Skjin + 2Aji Dkn + Ain Djk + c2 (21.10) + Anj Dik + Ajk Din + Aki Djn.

Так как Hkjin, Apq и Dpq суть х.и.-тензоры, то и Skjin есть х.и. тензор. Мы назовем его х.и.-тензором кривизны 4-го ранга. Та ким образом, мы будем делать различие между х.и. тензором Римана-Кристоффеля и х.и.-тензором 4-го ранга, то гда как ко-тензор Римана-Кристоффеля и ко-тензор кривиз ны 4-го ранга суть различные названия одного и того же суб тензора, для которого мы можем написать также выражение 2 hin 2 hjk 2 hik 2 hjn + i n j n i k Kkjin = + xj xk 2 x x x x x x (21.11) l jk,l l jn,l +, in ik равносильное (15.9) и сходное с (21.9). Величину Skjin мы опре делим так, чтобы Skjin = Skijn, (21.12) Skjin = Snjik, (21.13) Skjin = Sjkni, (21.14) где из (21.9) легко усмотреть, что эти соотношения действитель но выполняются.

2.21 Х.и.-тензоры кривизны Введем также х.и.-тензор кривизны 2-го ранга (отличный, вообще говоря, от х.и.-тензора Эйнштейна) l Skj = Skjin hin = Skjl. (21.15) Из (21.14) следует, что Skj = Sjk. (21.16) Так как 1 1 (Hkjin Hnjik ) + (Hjkni Hiknj ), Skjin = (21.17) 2 2 то, вследствие (21.2), имеем 1 (Hkjin + Hjkni ) 2 (Aji Dkn + Akn Dji ), Skjin = (21.18) 2 c 1 1 l l (Hkj + Hjk ) 2 Ajl Dk + Akl Dj.

Skj = (21.19) 2 c Вследствие (15.21) 1 l l Skj = Hkj Ajk D + Ajl Dk + Akl Dj, (21.20) c 1 l l Hkj = Skj + Ajk D + Ajl Dk + Akl Dj, (21.21) c что также можно получить и непосредственно из (21.10).

Введем также х.и.-инвариант кривизны S = hkj Skj. (21.22) Из (21.19) следует, что S = H. (21.23) Вследствие свойств симметрии (21.12–21.14), аналогичным свойствам симметрии ко-тензора кривизны 4-го ранга, число су щественных (отличных друг от друга) компонент Skjin равно чи слу существенных компонент Kkjin, т. е. равно шести. Поэтому, по аналогии с контравариантным и ковариантным ко-тензорами Риччи (сравн. [8], стр. 110) 1 aij bkn C ab = Kkjin, (21.24) Crs = hra hsb C ab (21.25) Глава 2 Математические средства можно ввести х.и.-тензоры 1 aij bkn Z ab = Skjin, (21.26) Zrs = hra hsb Z ab, (21.27) которые мы назовем х.и.-тензорами Риччи. Ко-тензор Риччи связан с ко-тензором кривизны 2-го ранга и ко-инвариантом кривизны соотношением Crq = Krq hrq K. (21.28) Аналогичная связь существует между х.и.-тензором Риччи, х.и.-тензором кривизны 2-го ранга и х.и.-инвариантом кривизны Zrq = Srq hrq S. (21.29) В самом деле 1 aij apq brs Z ab = apq bkn brs Skjin = 1 ij h h hi hj hk hn hk hn Skjin = = 4 pq qp rs sr (21.30) 1 ij h h hi hj (Srjis Ssjir ) = = 4 pq qp 1 ij h h hi hj Srjis = (Srqps Srpqs ) = Srqps, = 2 pq qp так что Srq = hps apq brs Z ab. (21.31) Но, вследствие (16.3), 1 ijp kls hps = hik hjl, (21.32) таким образом, 1 ijp apq kls brs hik hjl Z ab = Srq = 1 ij h h hi hj hk hl hk hl hik hjl Z ab = = (21.33) 2 aq qa br rb = (hak hql hkq hal ) hl Z ak hk Z al = Zrq hrq Z, r r 2.22 Кривизна пространства Z = hik Zik, (21.34) S = 2Z. (21.35) Из (21.33) и (21.35) вытекает (21.29).

§2.22 Кривизна пространства Установим связь между х.и.-тензором кривизны 4-го ранга и ко тензором кривизны 4-го ранга. Прежде всего, имеем 2 2 hin hin hin = + 2 vk Din = + xj xk xj xk xj xk c vj 2 hin 2 vk vj vk + +2 +2 Din + c2 w t xk xj c w t c 2 hin 2 Din 2 vj w + vk = Din + 2 j j xk c c w xk c x x (22.1) Din vk Din 2 2 vk vj vk + vj +2 + Din + c2 c xj c2 w t xk c t 2 hin 2 Din 2 vk 2 Fk vj Din + + vk = + c2 xj xj xk xj c c 2 Din Din 2 Din + vj + vk vj v k, c2 c xk xj t а также 2 2 hin 1 hin hin +kj = + 2 jk Din + j xk j xk 2 x x x x c 2 2 Din ( vj k Din + vk j Din ) 4 vj vk + + c c t (22.2) + 2 l Din vl + l Dnl vj + l Dil vj + jk ki kn c + l Dnl vk + l Dil vk, ji jn где 1 vk vj (Fk vj + Fj vk ) l vl.

jk = +k (22.3) jk 2c j 2 x x Глава 2 Математические средства Поэтому 2 hin 2 hjk 2 hik 2 hjn + i n j n i k = j xk 2 x x x x x x x 2 2 2 1 hin hin 1 hjk hjk = +kj + +ni j xk i xn 4 x x x 4 x x x 1 2 hik 1 2 hjn hik hjn +nj + ki j xn i xk 4 x x x 4 x x x 2 (jk Din + in Djk jn Dik ik Djn ) c 2 ( vj k Din + vk j Din + vi n Djk + vn i Djk c vj vn Dik vi vk n Dik k Djn i Djn ) + j 1 Din Djk Dik Djn v j vn vi v k + v j vk + vi vn c t t t t 2 l Din vl +l Dnl vj +l Dil vj +l Dnl vk + jk ki kn ji c + l Dil vk + l Djk vl + l Dkl vi + l Djl vi + jn in nj nk + l Dkl vn + l Djl vn l Dik vl l Dkl vj ij ik jn ni l Dil vj l Dkl vn l Dil vn l Djn vl nk ji jk ik l Dnl vi l Djl vi l Dnl vk l Djl vk = kj kn ij in 2 2 2 1 hin hin 1 hjk hjk = +kj + +ni j xk i xn 4 x x x 4 x x x 1 2 hik 1 2 hjn hik hjn +nj + ki j xn i xk 4 x x x 4 x x x 2 ( jk Din + in Djk jn Dik ik Djn ) c 2 vj ( k Din n Dik ) + vk ( j Din i Djn ) + c + vi ( + vn ( n Djk k Djn ) i Djk Dik ) + j 1 Din Djk Dik Djn v j vn vi vk + v j vk + vi vn + c t t t t 2.22 Кривизна пространства 1 l (Dil vn + Dnl vi Din vl ) + l (Djl vk + + jk in c (22.4) + Dkl vj Djk vl ) l (Dil vk + Dkl vi Dik vl ) jn l (Djl vn + Dnl vj Djn vl ).

ik Далее l jk,l l jn,l = l Dl vn +Dn vi Din v l l in ik in c2 i jk,l Djl vk + Dkl vj Djk vl c l 2 Di vk + Dk vi Dik v l l l ik c jn,l 2 Djl vn + Dnl vj Djn vl = l jk,l in c l jn,l 2 jk,l Di vn + Dn vi Din v l l l (22.5) ik c 1 2 l Djl vk + Dkl vj Djk vl + 2 jn, l Di vk + l in c c + Dk vi Dik v l + 2 l Djl vn + Dnl vj Djn v l + l ik c + 4 Djl vk +Dkl vj Djk vl Di vn + Dn vi Din v l l l c Djl vn + Dnl vj Djn vl Di vk + Dk vi Dik v l l l, следовательно, Kkjin = Skjin jk Din + in Djk c jn Dik in Djk 2 vj ( k Din n Dik ) + c + vk ( Din + vi ( i Djn ) n Djk k Djn ) + j 1 Din + vn ( i Djk Dik ) + vj v k + j c4 t Djk Dik Djn vj v n vi v k + v i vn + t t t 1 l l l vj vk Dil Dn vi vn Djl Dk + vj vn Dil Dk + + c Глава 2 Математические средства l v l Djl vk + Dkl vj Djk vl Din + vi vk Djl Dn + c vl Dj vn + Dn vj Djn v l Dik + v l Dil vn + Dnl vi l l (22.6) Din vl Djk + vl Di vk + Dk vi Dik v l Djn + l l 1l v vl Djk Din + Djn Dik.

+ c Вводя вместо jk 1 vk vj (Fk vj + Fj vk ) l vl, jk = +k (22.7) jk 2c j 2 x x так что Dj vk + Dk vj Djk v l vl, l l jk = jk (22.8) c и решая уравнение (22.6) относительно Skjin, мы можем напи сать окончательно jk Din + in Djk jn Dik Skjin = Kkjin + c vl v l Djk Din Djn Dik + ik Djn + c 1 Din Djk l l + 4 vj vk Dil Dn + vi vn Djl Dk c t t (22.9) Dik Djn l l vj vn Dil Dk vi vk Djl Dn + t t + 2 vk ( j Din i Djn ) + vj ( k Din n Dik ) + c + vi ( + vn ( n Djk k Djn ) i Djk Dik ).

j Сравнивая (22.7) и (20.31), мы убеждаемся, что условия vi = (22.10) jk = и условия vi = (22.11) Xjk = 2.22 Кривизна пространства равносильны. Следовательно, существует 5 систем значений коэффициентов B, Bi, B в (20.3), при которых в данной миро вой точке выполняются условия (22.10) и имеет место равенство Skjin = Kkjin. (22.12) Заметим, что, как легко сообразить, условия (22.10) или (22.11) равносильны условиям g0i =. (22.13) 0k g 0j g = + xj xk Теперь мы можем заняться определением понятия кривиз ны пространства (см. определение пространства в начале §2.2).

Пусть дана мировая точка x = a, = 0, 1, 2, 3. (22.14) Проведем через нее пространственное сечение мира x0 = a0. (22.15) На этом сечении индуцируем метрику, определяемую суб тензором g0i g0k hik = gik +. (22.16) g Очевидно, что кривизна этого пространственного сечения бу дет определяться суб-тензором Kkjin. Преобразуя временную координату, мы получим другое пространственное сечение (так же проходящее через данную мировую точку), для которого в данной мировой точке значения hik будут те же, но значения компонент тензора кривизны Kkjin, вообще говоря, другие. Бу дем ограничивать круг рассматриваемых пространственных се чений. Ограничимся сечениями, ортогональными к линии вре мени данной системы отсчета (в данной мировой точке), т. е. та кими, для которых в данной мировой точке g0i = 0.

(22.17) В этом случае vi = 0, (22.18) Глава 2 Математические средства и также jk Din + in Djk jn Dik ik Djn. (22.19) Skjin = Kkjin + c Так как при (22.18) jk = Xjk, (22.20) следовательно, в данной мировой точке Xjk Din + Xin Djk Xjn Dik Xik Djn. (22.21) Skjin = Kkjin + c Очевидно также, что 2 j l XD Xj Dl, S=K+ (22.22) c где X = Xik hik. (22.23) Меняя значения Xik, мы тем самым будем менять значения Kkjin и K. Следовательно, разные пространственные сечения, ортогональные в данной мировой точке к линиям времени, име ют в этой точке, вообще говоря, разные кривизны (причем не только римановы, но и скалярные, т. е. средние кривизны). Огра ничимся теперь сечениями, удовлетворяющими в данной миро вой точке условиям (22.10). Для всех этих сечений — мы будем называть их максимально-ортогональными пространственны ми сечениями в данной мировой точке, — имеют место (22.10) и (22.12). Следовательно, их кривизны (как римановы, так и сред ние) одинаковы.

Понимая “пространство” в смысле определения §2.2, мы под его “кривизной” в данной мировой точке будем понимать кри визну любого пространственного сечения, максимально ортогонального в данной мировой точке. Такое определение кри визны пространства оправдывает употребляемые нами названия х.и.-тензоров Skjin и Skj как х.и.-тензоров кривизны, х.и.-инварианта S как х.и.-инварианта кривизны, а также х.и. тензора Риччи Zkj.

Пусть в данной точке U j есть единичный х.и.-вектор, ортого нальный рассматриваемому двумерному направлению. Для ри мановой кривизны CR (U ) пространственного сечения в указан Римановой кривизной — в данном двумерном направлении, скалярной кри визной — в среднем.

2.22 Кривизна пространства ном направлении мы можем написать CR (U ) = Crq U r U q = Krq U r U q K, (22.24) учитывая (21.28) и hrq U r U q = 1. (22.25) Для средней кривизны CN пространственного сечения в дан ной точке имеем 1 CN = C = K, (22.26) 3 где C = hik Cik. (22.27) Поэтому, в силу сказанного выше, для римановой кривизны CR пространства в данной точке (в рассматриваемом двумерном направлении) и для средней кривизны CN пространства в данной точке мы можем написать CR (U ) = Zrq U r U q = Srq U r U q S (22.28) и, соответственно, 1 Z = S.

CN = (22.29) 3 Глава РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ §3.1 Метрический тензор Ставя в данном параграфе своей целью приведение уравнений общей теории относительности к хронометрически инвариантно му (х.и.-тензорному) виду, мы начнем с мирового метрического тензора.

В Главе 2 мы уже получили: для ковариантного метрического тензора выражения (2.9), (2.10) и (8.9) w g00 = 1, (1.1) c w vi g0i = 1, (1.2) c2 c vi v k gik = hik + 2, (1.3) c для контравариантного метрического тензора (8.25), (8.24), (8.14) vj v j g 00 = 1, (1.4) c 1 w c vi g 0i =, (1.5) 1 w c c g ik = hik, (1.6) и, наконец, для фундаментального определителя g (8.19) w g = 1 h. (1.7) c 3.2 Символы Кристоффеля первого рода §3.2 Символы Кристоффеля первого рода Так как g00 2 w w = 2 1 2, (2.1) x0 c x c тогда 1 w w 00,0 = 1 2. (2.2) c3 c t Далее g00 2 w w = 2 1 2, (2.3) xi c xi c g0i 1 w 1 w vi = 3 vi 0 1 2 (2.4) x0 c x c x c и также g0i 1 g00 1 w 1 w w vi = 3 vi 0 + 2 1 2 c 0 = 0 i i x 2 x c x c c x x (2.5) 1 w 1 w = 2 1 2 Fi + 4 vi c c c t вследствие (6.5) из §2.6. Таким образом, 1 w 1 w 1 00,i = Fi + vi. (2.6) c2 c c t Так как g00 2 w w = 2 1 2, (2.7) xi c xi c тогда 1 w w 0i,0 = 1 2, (2.8) c2 xi c Далее, g0j 1 w 1 w vj = 3 vj i 1 2, (2.9) xi c xi c x c gij 2 w 1 vi vj = 2 1 2 Dij + 2 vj 0 + vi 0 (2.10) x0 c c c x x Глава 3 Релятивистские физические уравнения и, следовательно, 1 gij g0j g0i 1 w = 1 + 0 i xj 2 x x c c 1 vj vi 1 vi 1 w Dij + j 3 vj i + + vj 2c2 x xi 2 x 2c x 1 w 1 vj 1 vj 1 w 2 vi 0 + 2 vi 0 + 3 vi j + v 3 j xi c 2c x c x 2c x (2.11) 1 w 1 w 1 vj vi 3 vi j = 1 2 Dij + j+ i c x c c 2 x x 1 1 1 w (Fi vj Fj vi ) + 2 Fj vi + 3 vj i = + 2c2 c c x 1 w 1 1 w = 1 2 Dij + Aij + F v + 3 vj i.

2 ji c c c c x Таким образом 1 w 1 1 w 0i,j = 1 2 Dij + Aij + Fj vi + 3 vj i. (2.12) c c c c x Вследствие (2.9) и (2.10) мы имеем 1 g0j g0i gij 1 w w + = vj + vi j x0 2c i j i 2 x x x x 1 w vj vi 1 w 1 2 1 2 Dij +j + xi 2c c x c c (2.13) 1 vi vj 1 w 2 1 vj 0 + vi 0 = 2c x x c c 1 vj vi Dij +j + (Fi vj + Fj vi ), 2c xi 2 x так что 1 w 1 vj vi Dij ij,0 = 1 2 + j + 2 (Fi vj +Fj vi ). (2.14) i c c 2 x x 2c Наконец, т. к.

gij hij 1 vi vj = k + 2 vj + vi k, (2.15) xk xk x c x 3.2 Символы Кристоффеля первого рода тогда 1 gjk gik gij 1 hjk hik hij = + + + i j xk i j xk 2 x x 2 x x 1 vk vj vk vi k k + vi + vj + 2c2 j i x x x x (2.16) vj vi + 4 vi (Fj vk Fk vj ) + + vk +j xi x 2c + vj (Fi vk Fk vi ) vk (Fi vj + Fj vi ) + 2Fk vi vj и в результате мы имеем 1 1 vj vi ij,k = ij,k + vi Ajk +vj Aik + vk + c2 xi xj (2.17) 1 2 vk (Fi vj + Fj vi ) + 4 Fk vi vj.

2c c Соберем формулы (2.2), (2.6), (2.8), (2.12), (2.14) и (2.17) в окончательном виде 1 w w 00,0 = 1 2, (2.18) c3 c t 1 w 1 w 1 00,i = Fi + vi, (2.19) c2 c c t 1 w w 0i,0 = 1 2, (2.20) c2 xi c 1 w 1 1 w 0i,j = 1 2 Dij + Aij + F v + 3 vj i, (2.21) 2ji c c c c x 1 w 1 vj vi Dij ij,0 = 1 2 + + 2 (Fi vj +Fj vi ), (2.22) 2 xi xj c c 2c 1 1 vj vi ij,k = ij,k + vi Ajk + vj Aik + vk + c2 xi xj (2.23) 1 2 vk (Fi vj + Fj vi ) + 4 Fk vi vj.

2c c Глава 3 Релятивистские физические уравнения §3.3 Символы Кристоффеля второго рода Вследствие (2.18) и (2.19) имеем c2 vj v j 1 w g 00 00,0 + g 0k 00,k = 1 2 3 c2 w c c t 1 c 1 w w 1 2 v k Fk 5 2 vj v j (3.1) = c3 c c w c t c2 w 1 w + 1 2 vk F k, = 3 c c w t c следовательно c2 w 1 w 0 = + 1 2 vk F k. (3.2) 00 3 c2 w t c c Кроме того, т. к.

1 k w 1 w 1 k w g k0 00,0 + g kl 00,l = Fk 2 1 v v, (3.3) 4 c c t c c t мы имеем 1 w k = F k.

1 2 (3.4) c2 c Вследствие (2.20) и (2.21) 1 c2 vj v j w g 00 0i,0 + g 0k 0i,k = 1 2 + c2 c2 w xi c 1 vk v k w 1k 1 (3.5) v Dik + Aik + 2 Fk vi 2 + = 2 c c w xi c c 1 c2 w 1 + 2 vk Di + Ak + 2 vi F k, k = 2 2 i i c c w x c c следовательно c2 w 1 + vk Di + Ak + 2 vi F k 0 = k 2 (3.6) 0i i 2 i c w x c c и, кроме того, 1 w Di +Ak + g k0 0i,0 +g kl 0i,l = k vi F k, 1 2 (3.7) i c c c 1 w Di + Ak + k = k vi F k.

1 2 (3.8) 0i i c c c 3.3 Символы Кристоффеля второго рода Вследствие (2.22) и (2.23) мы получаем 1 c2 vk v k g 00 ij,0 + g 0k ij,k = 1 2 c c2 w c 1 vj vi Dij +j + (Fi vj + Fj vi ) + 2c xi 2 x 1 c2 c ij,k v k 3 2 vk + vi Ajk + vj Aik + c c2 w c c w 1 vj vi (3.9) + vk +j (Fi vj + Fj vi ) 2c i 2 x x 1 c2 1 c2 vk v k v kFk vi vj = 1 2 Dij 5 c2 w 2w c cc c 1 c2 1 c v k (vi Ajk + vj Aik ) ij 3 c c2 w c c w 1 c v kFk vi vj, c5 c2 w то есть 1 c2 vk v k 0 = ij 1 2 Dij + ij 2w cc c (3.10) 1 + 2 vk vi Ak + vj Ak + 4 vi vj vk F k, j i c c где ij определяется из (22.7), §2.22. Далее, получаем 1k 1 vj vi g k0 ij,0 + g kl ij, l = v Dij + j+ 2 i c 2 x x 1 + 2 (Fi vj + Fj vi ) + k 2 vi Ak + vj Ak + ij j i 2c c (3.11) 1 vj vi 1 k 4 F k vi vj = + j 2 (Fi vj +Fj vi ) +v i 2 x x 2c c 1k 1 v Dij 2 vi Ak + vj Ak 2 F k vi vj, = k ij j i c c c откуда имеем 1 Dij v k + vi Ak + vj Ak + 2 vi vj F k.

k = k (3.12) ij ij j i c2 c Глава 3 Релятивистские физические уравнения Введем ij вместо ij в (3.10) и k вместо k в (3.12). Тогда, ij ij согласно (22.8) из §2.22, мы получаем vk v k vk v k 1 k ij 1 Dij = ij 1 2 Dij + 2 Di vj + c2 c c (3.13) + Dj vi Dij v k vk = ij Dij + 2 vk Dj vi + Di vj, k k k c следовательно 1 c2 vk Dj + Ak vi + 0 = k ij Dij + ij j c c2 w c (3.14) Ak k v j + 2 vi v j F k + Di +.

i c Так как, согласно (13.8) из §2.13, 1 Dij v k = k 2 Di vj + Dj vi, k k k (3.15) ij ij c2 c тогда 1 k = k vi Dj + Ak + vj Di + Ak + 2 vi vj F k.

k k (3.16) ij ij j i c2 c Соберем формулы (3.2), (3.4), (3.6), (3.8), (3.14) и (3.16) в окон чательном виде c2 w 1 w 0 = + 1 2 vk F k, (3.17) 00 3 c2 w t c c 1 w k = F k, 1 2 (3.18) 00 c c c2 w 1 + vk Di + Ak + 2 vi F k 0 = k 2, (3.19) 0i i 2 i c w x c c 1 w Di + Ak + k = k vi F k, 1 2 (3.20) 0i i c c c 1 c2 Dij + 2 vk vi Dj + Ak + 0 = k ij j c c2 w c 1 1 vj vi + vj Di + Ak + 2 vi vj F k + k (3.21) +j i 2 xi c x 2 (Fi vj + Fj vi ) k vk, ij 2c 3.4 Скорость света 1 k = k vi Dj +Ak + vj Di +Ak + 2 vi vj F k.

k k (3.22) ij ij j i c2 c Первое применение символов Кристоффеля будет заключать ся в получении уравнений динамики точки для выяснения ме ханического смысла величин Fi и Ajk. Для этого, однако, нам нужно предварительно рассмотреть вопрос о квадрате величи ны х.и.-скорости света и ввести массу, энергию и импульс точки.

§3.4 Скорость света Как легко видеть, мы можем записать равенство ds2 = g00 dx0 dx0 + 2 g0i dx0 dxi + gik dxi dxk (4.1) в виде g0i g0i g0k ds2 = g00 dx0 + dxi dxi dxk, + gik (4.2) g00 g или, иначе, dx ds2 = hik dxi dxk. (4.3) g Следовательно, dxi dxk ds = 1 hik g00 g00 g00 (4.4) dx0 dx0 dx и, т. к. согласно §2.9, i dxi u g00 =, (4.5) dx0 c то мы имеем 2 i k ds uu = 1 hik g00 (4.6) c dx или, иначе, 2 uj uj ds = g00. (4.7) c dx Для света ds = 0 (4.8) и, следовательно, uj uj = c2. (4.9) Таким образом, квадрат величины х.и.-вектора скорости све та в пустоте равен c2.

Глава 3 Релятивистские физические уравнения §3.5 Масса, энергия и импульс точки Обратив преобразованиями (4.9) из §2.4 потенциалы в нуль в данной мировой точке, мы для движущейся массы m, энергии E и импульса pi материальной точки можем написать выражения, сходные с соответствующими выражениями специальной теории относительности d x m = m0, (5.1) ds E = mc2, (5.2) c di x p i = m0. (5.3) ds Так как в выбранных координатах x ( = 0, 1, 2, 3) в данной мировой точке g00 = 1, g0i = (5.4) и, следовательно, d x d0 = d0 = x x, (5.5) g то мы имеем m0 d x m=. (5.6) g00 ds Но величина (5.7) есть х.и.-инвариант d x dx = (5.7) g g для произвольной системы координат x ( = 0, 1, 2, 3) данной си стемы отсчета. Следовательно, вообще m0 dx m= (5.8) g00 ds и, вследствие (4.7), m m=. (5.9) u ui 1 i c Таким образом, мы получили выражения для х.и.-инварианта движущейся массы. Для х.и.-инварианта энергии мы имеем (5.2).

На основании предыдущего §3.4 мы можем сказать, что энергия 3.6 Изменения энергии и импульса точки точки равна ее движущейся массе, умноженной на квадрат ве личины х.и.-векторы скорости света.

Так как di есть х.и.-вектор x di = dxi, x (5.10) то вообще c dxi p i = m0. (5.11) ds Таково выражение для х.и.-вектора импульса. Так как dxi dxi 1 dx = g00, (5.12) ds dx0 g00 ds то, вследствие (4.5), pi = m ui. (5.13) §3.6 Изменения энергии и импульса точки На основании наших сведений о х.и.-дифференцировании и х.и.-скорости мы можем утверждать, что оператор, инвариант ный относительно преобразований временн й координаты и, при о обращении потенциалов в нуль, совпадающий с оператором пол ного дифференцирования по временн й координате о d + uj j, = (6.1) dt t x имеет вид j d = +u. (6.2) xj dt t Мы можем назвать этот оператор оператором полного диф ференцирования по временной координате (или по времени).

Найдем связь между полной х.и.-производной по времени, с одной стороны, и, с другой стороны, полной ко-производной по времени, производной по собственному времени и частной ко производной по времени c2 c2 uj d vj j =2 +2 +2 u = k xj c w t c w vk u c w dt t (6.3) c2 c2 c2 w 1 1 + 2 vj uj uj j.

=2 +2 2 w v uk c w t c w c c x k Глава 3 Релятивистские физические уравнения Однако c2 w vj u j 1 j 1+ vj u = 1 + 2 =2. (6.4) c2 c w vk u k c w vj u j следовательно, c d 1 d 1 + 2 vj uj =2 (6.5) c w dt c dt или, иначе d 1 d =. (6.6) dt dt 1 2 (w + vj u j ) c Так как dxj vj u j dx0 w w = g00 + g0j 0 = 1 2 1 2 = dx0 c dx c c (6.7) w 1 2, = 1 c 1 + 2 vj u j c то, вследствие (4.7), 1 j c2 1 + c2 vj u dx =2. (6.8) c w ds i ui u c Поэтому u uk d cd k =. (6.9) c dt ds Из (6.2) следует также, что c d 1 = 1 + 2 vj uj 2 + uj j. (6.10) c w t dt c x Применяя полученные формулы к энергии точки, мы, в част ности, будем иметь u uk dE cdE k =. (6.11) c dt ds Так как E есть х.и.-инвариант, то и dE тоже х.и.-инвариант.

dt Как известно, полная ко-производная dQk Qk Qk + uj = (6.12) xj dt t 3.6 Изменения энергии и импульса точки любого суб-вектора Qk не есть суб-вектор, но можно ввести суб вектор полной производной, равный dQk Qk + k Q l uj = k uj.

+ jQ (6.13) jl dt t Полная х.и.-производная от Qk Qk j Qk dQk = +u (6.14) xj dt t также не является суб-вектором, но можно ввести инвариант ную относительно преобразований временн й координаты опе о рацию полной х.и.-производной, совпадающую с обычной опера цией получения суб-вектора полной производной при обращении потенциалов в данной мировой точке в нуль. Для суб-вектора полной х.и.-производной от Qk мы будем иметь выражение, от личающееся от (6.13) наличием звездочек dQk k l j Qk kj + jl Q u = + jQ u. (6.15) dt t Пользуясь (6.4–6.6), находим, что c dQk k l j 1 + 2 vnun + jl Q u = c w dt c (6.16) dQk + k Ql uj + 2 Dj vl + Dl vj Djl v k Ql uj k k jl dt c или, иначе, dQk k l j + jl Q u = dt 1 2 (w + vn un ) c (6.17) dQk + k Ql uj + 2 Dj vl + Dl vj Djl v k Ql uj.

k k jl dt c Сравнивая (5.11) с (5.13) и учитывая (5.9), получаем i cdxi u =. (6.18) ds u uk 1 k c Вследствие (6.9) и (6.18) мы имеем dQk k l j dQk k l dxj u un n + jl Q u = c + jl Q. (6.19) c dt ds ds Глава 3 Релятивистские физические уравнения Применяя полученные формулы к импульсу точки, мы мо жем написать, в частности (в предположении неизменности m0 ) d 2 xk k dxj dxl dpk k l j u un n + jl p u = m0 c2 1 + jl. (6.20) c2 ds dt ds ds Так как суб-вектор импульса есть х.и.-вектор, то и суб вектор полной производной от импульса по времени — также х.и.-вектор.

§3.7 Временн е уравнение геодезических о Из четырех уравнений геодезических линий d 2 x dx dx + = 0,,, = 0, 1, 2, 3 (7.1) ds ds ds рассмотрим временн е, т. е. уравнение с = о d 2 x0 dx0 dx0 dx0 dxi dxi dxj + 0 + 20 + 0 = 0. (7.2) 00 0i ij ds ds ds ds ds ds ds Подставляя последовательно (6.8), (5.9), (5.2), (5.12), (6.9) и (6.10), и предполагая, что покоящаяся масса точки остается не изменной, мы имеем d 2 x0 dx0 d mc d 1 + 2 vj uj m0 = m0 = = 2 ds c2 w ds ds ds c mc dp j 1 dE 1 j dw = + vj + 1+ vj u + c2 w (c2 w)2 c ds ds ds c2 dp j m dvj 1 dE j + u = + vj + (7.3) c2 w c2 w ds dt dt upup c3 c mc2 1 n j vj vj + m ui uj i + + 1+ vn u u c2 w c2 t x mc4 1 n c2 w i w 1+ 2 vj uj + 1+ vn u +u.

(c2 w)2 c2 c2 w t xi c Вследствие (3.17), (6.8) и (5.9) dx0 dx0 c m m0 0 = 3 2 c (c w) ds ds 3.7 Временн е уравнение геодезических о 1 + 1 vnun c2 w w c + 1 2 vl F l 2 = p c w t c up u c2 (7.4) c m c 1 w 1+ 2 vnun + vl F l.

= p c2 w (c2 w)2 t c up u c3 1 c Аналогично, вследствие (3.19), (6.8), (6.18) и (5.9), dx0 dxi c2 w m + vl Di + Al + 2m0 0 l =2 2 0i i c w xi ds ds c 1 n c 2 1 + c 2 vn u i 1 u + 2 vi F l = c2 w c p q uu uu 1 p2 c 1 q c c (7.5) m c 1 + 2 vnun = p c2 w c uu c3 1 p c c2 i w + vl Di + Al ui + 2 vi ui vl F l l 2 u.

i xi c w c Наконец, вследствие (3.21), (6.18), (5.9) и (22.3) из §2.22, m 0 c dxi dxj m0 0 = ij Dij + ij c c2 w ds ds 1 + 2 vl Dj + Al vi + Di + Al vj + 2 vi vj F l l l j i c c i j c uu m = p p c2 w (7.6) 2 1 up u up u c c c2 c vj ui uj i Dij ui uj 2 vj uj Fi ui n ui uj vn + ij x c 2 1 + 2 vj uj vl Di + Al ui + 4 vj uj vl F l.

l i c c Следовательно d 2 x0 dx dx u un w n m0 c3 1 + 1 = c2 c2 ds2 ds ds Глава 3 Релятивистские физические уравнения k c 2 2 w dE dp + m 1 + 2 vnun = + vk + c2 w dt dt c t c2 j w 1 n + m 1 + 2 vnun +m 1+ vu u 2n 2w xj c c c c2 j vj c 2 2 w m 1 + 2 vnun u + c2 w c2 w t c t vj + m ui uj m 1 + 2 vnun vk F k xi c c2 i w 1 2m 1 + 2 vnun 2 + 2m 1 + 2 vnun u xi c w c c (7.7) vj Ak vkui + mDij u u m i ui uj + i j k Di + i x 1 1 + 2m 1 + 2 vnun 2 vmum vk F k + 2 mvnun Fi ui + c c c + mvk k ui uj 2m 2 vnun vk Di + Ak ui k ij i c 1 dE 4 m (vnun ) vk F k = + mDij ui uj mFi ui + c dt k dp + k pi uj mF k + 2m Di + Ak ui.

k + vk ij i dt Поэтому временн е уравнение геодезических может быть за о писано в виде dE + mDij ui uj mFi uj + dt (7.8) dpk k i j + ij p u mF k + 2m Di + Ak ui = 0.

k + vk i dt Левая часть уравнения (7.8) есть ко-инвариант. Тем не менее оно сохраняет свой вид при преобразованиях временн ой коор динаты, т. к. является следствием одного из четырех уравне ний геодезических, имеющих в совокупности тензорный харак тер. Поэтому мы можем применить метод вариации потенциалов (см. §2.4).

Полагая все vk равными нулю, получаем dE + mDij ui uj mFj uj = 0. (7.9) dt 3.8 Пространственные уравнения геодезических Так как левая часть этого уравнения есть х.и.-инвариант, то оно имеет место при любом выборе временн й координаты (в о любой системе отсчета). В таком случае, при любом выборе вре менн й координаты имеет место и равенство о dpk k i j + ij p u mF k + 2m Di + Ak ui = 0.

k vk (7.10) i dt Полагая последовательно v1 = 0, v 2 = v3 = v2 = 0, v 3 = v1 = 0 (7.11) v =v = v3 = 0, 1 и учитывая, что величины dpk k i j + ij p u mF k + 2m Di + Ak ui k (7.12) i dt суть компоненты х.и.-вектора, мы убеждаемся, что при любом выборе временн й координаты (в любой системе отсчета) имеют о место равенства dpk k i j + ij p u mF k + 2m Di + Ak ui = 0.

k (7.13) i dt Четыре уравнения — одно (7.9) и три (7.13) — мы получили, раскрывая выражение левой части одного, временн ого уравне ния геодезических и основываясь на существовании остальных трех уравнений (т. к. только в своей совокупности четыре урав нения геодезических носят тензорный характер). Поэтому урав нения (7.9) и (7.13) должно рассматривать как следствия четы рех уравнений геодезических, а не одного из них. Возможность получения их из рассмотрения только одного уравнения пока зывает пользу метода вариации потенциалов.

§3.8 Пространственные уравнения геодезических Обратимся теперь к пространственным уравнениям геодезиче ских, т. е. к уравнениям (7.1) при = 1, 2, d 2 xk dx0 dx0 dx0 dxi dxi dxj + k + 2k + k = 0. (8.1) 00 0i ij ds ds ds ds ds ds ds После полученного в предыдущем §3.7 мы не можем ожидать от них ничего нового. Убедимся в этом непосредственным рас Глава 3 Релятивистские физические уравнения смотрением их.

Применяя последовательно (3.27), (6.18), (6.20) и (5.9), в пред положении неизменности покоящейся массы точки, получаем d 2 xk d 2 xk k dxi dxj dxi dxj + m0 k m0 = m0 + ij ij 2 ds ds ds ds ds ds m0 2 Dj + Ak vi + Di + Ak vj + 2 vi vj F k k k j i c c i j dpk k i j (8.2) uu + ij p u = p dt p uu up u c2 1 p2 2 c c c 2 1 2 mvnun Di + Ak ui 4 m (vnun ) F k.

k i c c Вследствие (3.18), (6.8) и (5.9) dx0 dx m0 k = ds ds 1 + 1 vnun c w m0 c = 2 1 2 Fk 2 = p c w c c uu (8.3) 1 p c 1 n2 k m = 1 + 2 vn u F.

c upup c2 c Аналогично, вследствие (3.20), (6.8), (6.18) и (5.9) dx0 dxi m0 w 1 2 Di + Ak + 2 vi F k 2 m 0 k k = 0i i ds ds c c c 1 + 1 vnun c2 2m c2 i 2 u= (8.4) p c w p uu uu c 1 p2 c 2 1 p c c 1 1 + 2 vnun Di + Ak ui + 2 vmum F k.

k i c c Следовательно, d 2 xk dx dx u up p m0 c2 + k 1 = c2 ds2 ds ds dpk k i j + ij p u 2 m vn un Di + Ak ui k = i dt c 3.8 Пространственные уравнения геодезических 1 m (vnun ) F k m 1 + 2 vnun F k + c c 1 n k i k + 2m 1 + 2 vn u Di + Ai u + c (8.5) 1 + 2m 1 + 2 vnun 2 vmum F k = c c k dp + k pi uj mF k + 2m Di + Ak ui.

k = ij i dt Поэтому пространственные уравнения геодезических могут быть записаны в виде dpk k i j + ij p u mF k + 2m Di + Ak ui = 0, k (8.6) i dt что совпадает с (7.13).

Как известно, вследствие существования тождественного со отношения dx dx g =1 (8.7) ds ds из четырех уравнений геодезических независимых — только три. Следовательно, из уравнений (7.9) и (7.13) независимых также только три. Тождественное соотношение, связывающие уравнения (7.9) и (7.13), мы получим из (8.7) или, что то же, из (4.3). В результате имеем cdxi c dxk m0 c dx = m0 c hik m0 m0 (8.8) g00 ds ds ds и, в силу (5.8), (5.2) и (5.11), E hik pi pk = m2 c2 (8.9) c или, иначе E pj p j = m2 c2. (8.10) c Формулу (7.13) можно рассматривать как основные уравне ния динамики точки, а также как теорему импульсов. Уравнение же (7.9) — как теорему энергии, являющуюся следствием основ ных уравнений (7.13) в силу соотношения (8.9) или (8.10).

Покажем, как можно получить (7.9) из (7.13), пользуясь (8.9) и в предположении неизменности m0. Из (8.9) в этом предполо Глава 3 Релятивистские физические уравнения жении следует 2 dE k dhik dp p i pk 2hik pi E = 0. (8.11) c dt dt dt Вследствие (6.2) и (13.11) из §2. dhik = 2Dik + ( ij,k + kj,i ) uj, (8.12) dt поэтому dpk k i j dE = mDij ui uj + k + ij p u u. (8.13) dt dt Вследствие (8.13) и (7.13) мы получаем (7.9).

§3.9 Механический смысл силовых величин Введем х.и.-вектор i, определяемый равенством ijk Ajk, i = (9.1) сравн. с формулой (16.9) из §2.16. Тогда, см. (16.13) из §2.16, Ajk = ijk i (9.2) и для векторного произведения i на uj мы можем написать ijk i uj = Ajk uj = Ak ui. (9.3) i Поэтому (7.13) можно записать также в виде dpk k i j + ij p u = mF k 2m ijk i uj 2mDi ui.

k (9.4) dt Уравнения (9.4) и (7.9) dE = mFj uj mDij ui uj (9.5) dt сохраняют свою форму во всех системах отсчета, следовательно, и в системе отсчета, локально-стационарной в любой данной точ ке. Но, по определению х.и.-тензора Dik, он равен нулю в этой системе отсчета, так что в последней (для данной точки) имеем dpk k i j + ij p u = mF k 2mijk i uj, (9.6) dt dE = mFj uj. (9.7) dt 3.10 Тензор импульса и энергии Обращая, далее, в нуль потенциалы в интересующей нас ми ровой точке, мы для нее будем иметь dpk + k pi uj = mF k 2mijk i uj, (9.8) ij dt dE = mFj uj. (9.9) dt С другой стороны, классические уравнения для произвольной системы отсчета имеют вид (в криволинейных координатах) dpk + k pi uj = k 2m ijk i uj, (9.10) ij dt dE = j u j, (9.11) dt где k и j контравариантный и ковариантный векторы силы (включающей в себя силу инерции), i ковариантный вектор мгновенной угловой скорости вращения данной системы отсчета.

Поэтому мы можем сказать, что F k и Fj играют роль напряжен ности гравитационно-инерциального силового поля или, что то же, роль рассчитанной на единицу массы гравитационно инерциальной силы, а i играет роль мгновенной угловой х.и. скорости абсолютного вращения данной системы отсчета в данной точке.

§3.10 Тензор импульса и энергии Рассмотрим мировой тензор импульса и энергии в координатах x ( = 0, 1, 2, 3), обращающих в нуль потенциалы в интересую щей нас мировой точке. Для данной мировой точки, в случае непрерывной среды, мы можем написать T 00 =, (10.1) 1 k T 0k = J, (10.2) c 1 ij T ij = U, (10.3) c где плотность движущейся массы, J k плотность импульса Разумеется, релятивистские и классические определения импульса и энер гии, точнее, ее переменной части, совпадают лишь в пределе при uk 0.

Глава 3 Релятивистские физические уравнения (или, что то же, плотность потока массы), U ij трехмерный тен зор кинематических (абсолютных) напряжений, равный сумме тензора обычных (относительных) напряжений и тензора плот ности потока импульса. Так как в данной мировой точке g00 = 1, g0i = 0, (10.4) то мы имеем g0 g0 T T00 = T = (10.5) g g и, следовательно, T =.

(10.6) g Аналогично, вследствие (10.4), k g0 T k T0 = T 0k = (10.7) g g и, следовательно, k T0 1 k = J. (10.8) c g Но, согласно §2.3, величины, стоящие в левых частях (10.6), (10.8) и (10.3), суть, соответственно, х.и.-инвариант, х.и.-вектор и х.и.-тензор, так что T00 T =. (10.9) g g k k T0 T =, (10.10) g g T ij = T ij, (10.11) поэтому вообще имеем T =, (10.12) g Tk 0 = J k, (10.13) g00 c 1 ij T ij = U. (10.14) c См. [8], стр. 231, и [1], стр. 70. Впредь мы будем обозначать буквой соб ственную плотность. В однородных моделях плотность и давление в сопутству ющих координатах совпадают с собственными плотностью и давлением.

3.10 Тензор импульса и энергии Найдем выражения для компонент ковариантного, смешан ного и контравариантного тензоров импульса и энергии. Вслед ствие (10.2) w T00 = 1 2. (10.15) c Вследствие (10.13) 1 w k 1 2 J k.

T0 = (10.16) c c Так как k T00 = g0 T0 = g00 T0 + g0k T0, (10.17) то, вследствие (10.15) и (10.16), мы имеем 2 2 w w 1 w vk J k, 1 = 1 T0 1 2 (10.18) c2 c2 c2 c vj J j.

T0 = + (10.19) c Аналогично, т. к.

T0 = g0 T k = g00 T 0k + g0j T jk, k (10.20) то, вследствие (10.16) и (10.14), 1 w w vj w T 0k 1 2 Jk = 1 2 1 2 2 U jk, (10.21) c c c c cc 1 c2 T 0k = J k + 2 vj U jk. (10.22) c c2 w c С другой стороны, T0 = g k T0 = g k0 T00 + g kj Tj0, k (10.23) поэтому, вследствие (10.16) и (10.15), 1 w 1 w 1 2 J k = 1 2 v k hkj Tj0, (10.24) c c c c 1 w T0i = 1 2 (Ji + vi ). (10.25) c c Точно так же j j T ij = g i T = g i0 T0 + g ik Tk, j (10.26) Глава 3 Релятивистские физические уравнения поэтому, вследствие (10.14) и (10.16), 1 ij 1 j U = 2 v iJ i hik Tk, (10.27) c2 c j j vi J j + U i.

Ti = (10.28) c Обратимся теперь к (10.19), (10.25) и (10.28). Так как T0 = g0 T 0 = g00 T 00 + g0k T k0, (10.29) то, вследствие (10.19) и (10.22), 1 w 1 T vj J j = 1 2 vk J k + 2 vj U jk, + (10.30) c2 c c c c2 2 T 00 = v J j + 4 vj vk U jk.

+ (10.31) 2j c2 w c c Так как j T0i = g0 Ti = g00 Ti0 + g0j Ti, (10.32) то, вследствие (10.25) и (10.28), 1 w 1 2 Ji + vi = c c (10.33) w vj w1 j Ti0 + 1 2 2 vi J j + Ui, = c2 c cc 1 c2 1 1 j Ti0 = Ji + + 2 vj J j vi + 2 vj Ui. (10.34) c c2 w c c Наконец, т. к.

j Ti = g j Ti = g j0 T0i + g jk Tki, (10.35) то, вследствие (10.28) и (10.25), 1 j vi J j + Ui = 2 (Ji + vi ) v j hjk Tki, (10.36) c c Tij = ( vi vj + vi Jj + vj Ji + Uij ). (10.37) c 3.10 Тензор импульса и энергии Соберем вместе формулы (10.15), (10.25) и (10.37) w2 T00 = 1 2 c 1 w T0i = 1 2 (Ji + vi ). (10.38) c c 1 Tij = 2 ( vi vj + vi Jj + vj Ji + Uij ) c Соберем также формулы (10.19), (10.16), (10.34) и (10.28) 1 0 j T0 = + 2 v j J c 1 wk k 1 2 J T0 = c c. (10.39) 1c 1 1 J i + + 2 vj J j v i + 2 v j U i j Ti0 = 2 c c w c c 1 j j j Ti = 2 v i J + U i c Соберем, наконец, формулы (10.31), (10.22) и (10.14) c2 2 1 00 j jk T= + 2 v j J + 4 vj vk U c2 w c c 1c 1. (10.40) 0k k jk T= J + 2 vj U c c2 w c 1 T ij = 2 U ij c Найдем также выражение для х.и.-инварианта 0 = T = g T = g T = T.

(10.41) Так как j T = T0 + T j, (10.42) то, введя обозначение j U = Uj, (10.43) будем иметь T = U (10.44) c или, иначе, 0 = U. (10.45) c Глава 3 Релятивистские физические уравнения §3.11 Временн е уравнение закона энергии о Возьмем закон энергии в виде равенства нулю расходимости сме шанного тензора импульса и энергии T ln g T + T = 0 (11.1) x x и из четырех уравнений, его выражающих, рассмотрим сначала временн е, т. е. уравнение с = о ln g T0 0 T + T0 = 0. (11.2) x x Вследствие (10.39) j T0 T0 T = + = x x xj J j 1 1 vj 1 1 w + 3 Jj 3 Jj j + (11.3) = + 3 vj c t c t c t c x J j w J j 1 1 w 2 Fj J j.

1 2 1 + = + c xj xj c c c t c Пользуясь, кроме того, (3.17–3.20), находим T = 0 T0 k Tk 0 T0 k Tk = 0 i i 0 00 00 0i 0i c2 w 1 w + 1 2 vl F l vj F j = + 3 c2 w t c c c 1 c 1 w 1 1 j Fk J + + 2 vj F j vk + 2 vj Uk 1 2 2 w k c c cc c c c2 w 1 1 1 w + vl Di + Al + 2 vi F l l 1 2 J i + 2 (11.4) i 2 i c w x c c c c 1 w 1 Di + Ak + k v F k 2 vk J i + U k = i 1 + 2i i c c c c c 1 1 w w + 2 vj J j 1 2 Fj J j + = 3 c2 w c c t c w w + Ji + 1 2 Dik U ik.

xi c 3.12 Пространственные уравнения закона энергии Наконец ln g ln g 0 ln g j T0 = T0 + T0 = x x xj 1 c2 w 1 w + 1 2 D + 2 vj J j + 2 = c c w t c c c 1 c2 w 1 ln h w 1 2 Jj = 2 + + (11.5) j j c c w x c x c 1 c2 w 1 w + 2 vj J j + J j j + = c3 c2 w t c x 1 w j ln h 1 + D + J, xj c c следовательно ln g T0 0 T + T0 = x x (11.6) w 1 2 + D + j J j 2 Fj J j + 2 Dik U ik 1 = c c t c c и (11.2) может быть записано в виде 2 + D + j F J j + 2 Dik U ik = 0.

jJ (11.7) 2j t c c §3.12 Пространственные уравнения закона энергии Займемся теперь пространственными уравнениями закона энергии (11.1), т. е. уравнениями (11.1) при = 1, 2, Ti ln g i T + Ti = 0. (12.1) x x Аналогично предыдущему §3.11, получаем j Ti0 Ti Ti c 1 J + + 2 vj J j v i + = + = 2 2 2i j c (c w) x x x c 1 c 1 j w Ji 1 vi + + 2 vj J j + vj Ui + c2 c c w t t c t j 1 j vj 1 J j 1 j vj 1 Ui + vi +J + vj + 2 Ui + vj t c2 t c2 t c t c t Глава 3 Релятивистские физические уравнения j c 1 J j 1 j vi 1 U 2 vi j 2 i = 2 J c2 xj c (c w) c xj c x 1 c 1 1 j w v j J j vi + 2 vj U i Ji + + 22 c2 c c w c t (12.2) j 1 Ji 1 Ui 1 vi 1 j vj + 2 vj J j 2 2 + 2 Ui c xj c t c t c t J j 1 j vi 1 c 1 vj Jj vi + +22 J.

c2 c xj xj c c w t t Далее j j T = 0 T0 k Tk 0 T0 k Tk = 0 i i0 i0 ij ij c2 w 1 + vl Di + Al + 2 vi F l l = 2 i 2 i c w x c c 1 1 w 1 2 Di + Ak + 2 vi F k vj J j + k + i c2 c c c 1 c2 1 1 j Jk + + 2 v j J j vk + 2 v j U k + 2w cc c c 1 c2 ij Dij + 2 vl Dj + Al vi + l + (12.3) j c c2 w c 1 1 w + Di + Al vj + k l vi v j F l 1 2 Jj + ij i c2 c c 1 Dj + Ak vi + Di + Ak vj + k k vi v j F k j i c2 c 1 c 1 1 w j v k J j + Uk = 2 2 + 2 vj J j + 2 xi c c w c c 1 vj 1 j + J j i + 2 k Uk 4 vi Djk U jk.

ij c x c c Наконец ln g ln g 0 ln g j Ti = Ti + Ti = x x xj 1 c2 w 1 c 1 w 2 2 + 1 2 D = c c2 w c c w t c c 1 1 j v j J j vi + 2 v j U i Ji + + c2 c 3.12 Пространственные уравнения закона энергии 1 c2 w ln h 1 j vi J j + U i = + c2 c2 w xj c xj c 1 1 1 j w J i + + 2 v j J j vi + 2 v j U i = 2 (c2 w) c c c t (12.4) 1 j ln h 1 c 1 j w 2 DJi 2 Ui +42 Ui j xj c c w c c x 1 c 1 ln h w 2 vi D + J j Jj 22.

j c c w xj c x Следовательно, Ti ln g 1 vj J j F i + i T + Ti = 2 + c x x c 1 Ji vj vi j j DJi j Jj Fj Ui + Ui + j 2 i c t x x 1 1 + D + j Fj J j + 2 Djk U jk = vi jJ (12.5) c2 c t c 1 Ji j j j + DJi + Ui 2Aij J j Fj hi + Ui = + j c2 t 2 + D + j Fj J j + 2 Djk U jk + vi jJ c t c и (12.1) может быть записано в виде Ji j j + DJi + Ui 2Aij J j Fi Fj U i + j c t (12.6) 2 + D + j Fj J j + 2 Djk U jk jJ + vi = 0.

c t c Не прибегая к (11.7), применим метод вариации потенци алов. Уравнение (12.6) не меняет своего вида при преобразо ваниях временн й координаты, хотя левая часть его есть ко о вектор, а не х.и.-вектор. Поэтому мы можем обратить все vi в нуль. Но тогда Ji j j + DJi + Ui 2Aij J j Fi Fj U i = 0, (12.7) j c t причем полученное суб-векторное уравнение справедливо при любом выборе временн й координаты, т. к. левая часть его есть о Глава 3 Релятивистские физические уравнения х.и.-вектор. А в таком случае, при любом выборе временн ой ко ординаты мы имеем 2 + D + j Fj J j + 2 Djk U jk vi jJ =0 (12.8) c t c и, следовательно, 2 + D + j Fj J j + 2 Djk U jk = 0, jJ (12.9) c t c что совпадает с (11.7).

Таким образом, как и в случае уравнений геодезических, ме тод вариации потенциалов позволил нам найти следствия четы рех уравнений, раскрывая выражения лишь части их (объясне ние этому обстоятельству содержится в §3.7).

Так как Ji J k hik J k J k hik + 2DikJi = + 2Di J i, k Ji = = (12.10) t t t t t то вместо (12.7) мы можем написать J k + DJ k +2 Dj +Ak J j F k 2 Fj U jk + k jk jU =0. (12.11) j t c §3.13 Энергия и импульс элемента пространства В рассматриваемом пространстве возьмем фиксированный элементарный параллелепипед a xi = consti a x 1 a x 2 a x 3 a 123 = b x1 b x2 b x3 b xi = consti. (13.1) abc b i i 1 2 3 c x = constc c x c x c x Мы можем написать для его объема V, согласно формуле (12.7) из §2.12, V = h 123, (13.2) abc и для содержащихся в нем энергии E и импульса pk, очевидно, E = V c2, (13.3) pk = V J k. (13.4) 3.13 Энергия и импульс элемента пространства Так как наш элементарный объем фиксирован в простран стве, то можно написать dE E =, (13.5) dt t fix dpk pk =. (13.6) dt t fix С другой стороны, вследствие (12.9) из §2.12, E + D c2 V, = (13.7) t t pk J k + DJ k V.

= (13.8) t t Следовательно dE + D c2 V, = (13.9) dt t fix dpk J k + DJ k V.

= (13.10) dt t fix Объем V есть х.и.-инвариант, остающийся неизменным при параллельном переносе х.и.-векторов a xi, b xi, c xi. В самом де ijk ле, т. к. х.и.-тензор 3-го ранга abc обладает теми же свойствами, что и ijk, то 1 ijk V= ijk abc. (13.11) Вследствие (17.4) из §2.17, мы имеем ijk ijk ijk abc = ijk p abc. (13.12) p Так как правило дифференцирования определителей, оче видно, распространяется на ковариантное, следовательно, также и на х.и.-ковариантное дифференцирование, то из равенств a x i = 0, b x i = 0, c xi = 0 (13.13) p p p вытекает равенство ijk p abc = 0. (13.14) Глава 3 Релятивистские физические уравнения Таким образом, pV = 0. (13.15) В силу (13.3), (13.4), (13.9), (13.10) и (13.15), обозначая m дви жущуюся массу, заключенную в рассматриваемом элементарном объеме, m = V, (13.16) мы можем вместо (12.11) и (12.9) написать, соответственно, dpk mF k + 2 Di + Ak pi = k i dt (13.17) fix = 2 Fi V U ik ik VU c, i c dE + Dij V U ij Fj p j = Fj p j p j c2, (13.18) j dt fix где p j c2, очевидно, есть поток энергии.

Написанные уравнения относятся к фиксированному элемен ту объема, через который течет непрерывная материя. В этом их существеннейшее отличие от уравнений (7.13) и (7.9), отно сящихся к свободной материальной частице, движущейся от носительно данного пространства.


§3.14 Временная компонента ковариантного тензора Эйн штейна Перейдем теперь к рассмотрению ковариантного тензора Эйнштейна 2 ln g ln g G = + +. (14.1) x x x x Прежде всего займемся временн й компонентой этого тензо о ра, т. е. компонентой с индексами, = 2 ln g ln g 00 G00 = 0 + 0 0 + 00. (14.2) x0 x0 x x Вследствие (3.17) и (3.18) k c2 c2 2 w 1 w = 00 00 = 4 + x0 xk c (c w)2 t c w t x F l 1 w w vl w v Fl + 1 2 Fl + 1 2 vl + 2l c t c t c t 3.14 Временн я компонента тензора Эйнштейна а w F k 1 w 2 k w 1 2 + 1 + F = c2 2 k c xk c c x c2 c2 2 w 1 w 1 w 2 vl F l (14.3) = + c4 (c2 w)2 c2 w t t c t F k 1 w w 1 w 1 2 Fk k 2 1 2 Fk F k +.

4 c2 xk c c x c c Вследствие (3.17–3.20) 0 = 0 0 + 2k 0 + k i = 0 00 00 00 0k 0i 0k c4 w 1 w w + 2 vl F l vl F l + 1 2 = c6 (c2 w)2 t t c 2 w w w 4 1 2 F k k + 1 2 Dk + Al vl F k + l k c c x c w 1 w + 2 1 2 vl F l + 2 1 2 (14.4) c c c c 2 1 Di Dk + Ak Ai + 2 Di +Ak vk F i + 4 vk F k ki k = i k i c c c 1 w 2 w + 2 vl F l =4 + c (c2 w)2 t c t 2 w w 1 w Di Dk + Ak Ai.

1 2 Fk k + 2 1 2 ki + i k c c x c c Далее, вследствие (1.7) 2 ln g 1 c2 w 1 w 2 2 + 1 2 D = = x0 x0 c c w t c t c (14.5) 2 2 D c2 c2 2 w w 1 w 1 w = 4 2 +2 + + 2 1 2.

2 t c (c w) c w t t c c t Наконец, вследствие (3.17), (3.18) и (1.7) ln g ln g ln g = k = 00 00 x x xk 1 c2 w 1 c2 w w w + 1 2 vl F l 2 =4 2 + 1 2 D + c c w t c c w t c c 1 w 1c w ln h + 2 1 2 Fk 2 2 + = c c w xk xk c c Глава 3 Релятивистские физические уравнения c 1 w 1 w vl F l D = + c4 (c2 w) c2 t t (14.6) w 2 ln h 1 w w 4 1 2 Fk k + 2 1 2 Fk.

xk c c x c c Следовательно, 2 D 1 w j j + Dj Dl +Al Al + l j Fj F j.

G00 = 1 2 jF (14.7) j c2 c c t §3.15 Смешанные компоненты ковариантного тензора Эйн штейна Рассмотрим теперь смешанные, пространственно-временные компоненты тензора Эйнштейна (14.1), т. е. компоненты с ин дексами = 0, = 1, 2, 2 ln g ln g 0i G0i = + 0 i + 0i. (15.1) x0 xi x x Вследствие (3.19) и (3.20) k c 1 w w 0i = 0i 0i = 3 2 x0 (c w)2 t xi x xk c c2 2w 1 vl + Di + Al + 2 vi F l l + i 2 w t xi c c t 1 1 Di + Al + 2 vi F l 2 Di + Ak + l k + vl i i t c c c 1 w w Di + Ak + 2 vi F k v Fk k + 1 + = 2i i k k c x c x c 1 c2 c2 w w 2w 1 w + 3 1 2 Fk (15.2) = + c3 c2 w c2 w t xi t xi c c w 1 Di + Ak + Di + Ak + k vi F k k 1 i i c2 c xk c 1 c2 c2 w w 2w vi F k + =32 + c2 c c w c2 w t xi t xi 1 w 1 1 vi Di +Ak 2 Di +Ak Fk + 2 F k k + k k 1 2 i i k c c x c c x 1 c2 F k vi 1 w vk F k 2 Fk F k.

vi 1 + c4 c2 w c3 xk t c c 3.15 Смешанные компоненты тензора Эйнштейна Вследствие (3.17–3.22) j 0 = 0 0 + k 0 + 0 k + 0k k = 00 i0 00 ik 0k i i ij c2 w c2 w 1 w + 1 2 vk F k + 5 c2 w t c2 w xi c c 1 1 w + Di + Al + l vi F l vl + 3 1 2 F k ik Dik + i c2 c c 1 v Dk + Al vi + Di + Al vk + 2 vi vk F l l l + + 2l k i c c c2 w 1 + Dk + Al + 2 vk F l vl l + k c3 c w xk c 1 w 1 w Di + Ak + k vi F k 1 1 + i c2 c2 c c 1 j j k ij 2 Dj + Ak vi + Dk + Ak + 2 vk F j k j c c 1 1 + Di + Ak vj + k v i vj F k = i c2 3 c2 w c c2 w 1 w + Di + Al + 2 vi F l vl l + i c2 w xi c t 1 w 1 w vn F n i 5 1 2 vn F n Di + Al vl l + i c5 x c c 1 w 1 w v k F k vi Dik F k 1 2 1 c7 c c c 1 vk vi Fk + (Fk vi + Fi vk ) F k + +k 2c xi 2 x 1 1 w + l vl F k v F k Di + Al vl + 5 vi 1 l 2k ik i c c c 1 1 w Dk + Al vl F k + Di + Ak l vk F k k + k i c2 3 xk c 1 w 1 w Di + Ak Dk + Al vl + k l 1 2 1 + i k c3 c c c c 1 w w Di + Ak vk vl F l + k Fk vi 1 2 + i c5 c2 w xk c Глава 3 Релятивистские физические уравнения 1 1 w + Dk + Al vl F k + l vk F k 1 + k c2 c c 1 w 1 w j j k k ij vk F j Dk + Ak 1 ij + 3 c2 c c c 1 w j j Di + Ak Dk + Ak vj k 1 i c5 c 1 w j kj Di + Ak vk vj F j 3 vi 1 2 Dj Dk + Ak Ak + k i j c c 2 1 1 Dj + Ak vk F j + 4 vk F k k = + j c2 c 3 c2 w c (15.3) c2 w 1 w + vl Di + Al + 2 vi F l l i 2 w xi c c t 1 w 1 vk vi j j k Dk + Ak + k Fk + 1 2 ij 2c2 xi c c x 1 c2 1 c 1 w vk F k F i 4 2 vk F k i + 2 2 + 2c4 c c w c c w x w 1 1 w Di + Ak k + 2 Dik F k 3 vi 1 i xk c c c 1 c 1 w j j F k k + Dj Dk + Ak Ak.

Fk F k + 2 2 k j 2 c c w 2c x Вследствие (1.7) 2 ln g 1 c2 w 1 w 2 2 + 1 2 D = = x0 xi c xi c c w t c c2 1 c2 2w 1 w w (15.4) = 32 3 (c2 w)2 xi t c c w xi t c 1 w w D D i + 1 2.

3 c xi c x Наконец, вследствие (3.19), (3.20) и (1.7) ln g ln g ln g k = = 0i 0i 0i x x xk c2 w 1 + vl Di + Al + 2 vi F l l = 2 i 3 c w xi c c 3.15 Смешанные компоненты тензора Эйнштейна 1 c2 w w 1 w + 1 2 D 1 2 2 c2 w t c c c c 1 c2 w 1 ln h Ak k k + 2 vi F 2 Di + + = i c c w xk xk c c2 w 11 1 w + vl Di +Al + 2 vi F l l = + i 3 c2 w c w xi c c t 1 w 1 w k ln h k + 3D i 1 2 Di + Ai + xk c x c c 1 c 1 w vk D Di + Ak 2 2 Di + Ak k k + i i c2 xk c c w (15.5) 1 w ln h 3 vi 1 2 F k + 2 vk DF k k c c x c 1 c2 c2 w w 1 Fk k = + c2 c2 w c 3 c2 w c w xi x 1 w 1 w 1 w + vl Di + Al + l vi F l + 3D i 1 i c2 t c x c c 1 c ln h w k Di + Ak k k Di + Ai 22 i k xk c c w x 1 c 1 w k ln h w Fk k.

3 vi 1 2 F k c c w c c x x Следовательно, 1 w D Di + Ak 2 Ak Fk k G0i = 1 2 k i c i xi c c 1 vk vi 1 1 w k F k 4 F i vk F k 3 vi 1 (15.6) 2c2 xi x 2c c c 1 j kj Fk F k + Dj Dk + Ak Ak Fk k j 2c и окончательно имеем 1 w j j j hi D D i Aij F j 1 G0i = j Ai + j c c c (15.7) 1 D j j + Dj Dl + Al Al + l j Fj F j jF vi.

j c2 c t Глава 3 Релятивистские физические уравнения §3.16 Пространственные компоненты ковариантного тензора Эйнштейна Займемся теперь пространственными компонентами тензора Эйнштейна (14.1), т. е. компонентами с индексами, =1,2, 2 ln g ln g ij Gij = + i +. (16.1) j ij xi xj x x Ввиду б льшей, чем для G00 и G0i, громоздкости выражений, о мы будем суммировать постепенно. Имеем k ij ij ij = 0. (16.2) x xk x Вследствие (3.21) и (22.3) из §2.22, получаем 0 c ij ij Dij + =2 0 c (c w) x 1 1 w v Dj + Al vi + (Di + Al vj + 2 vi vj F l l l + + 2l j i c c t 1 c2 1 c2 vl ij Dij + + c2 c2 w c 4 c2 w t t 1 c2 vi vi vj Dj + Al + Di + Al l l + j i c c w t t (16.3) vl 1 vj Dj + Al Dj + Al + 2 vl F l l l + vl + j j t t c t 1 c 2 vj vl Di + Al Dl + Al + l + + vl i t i i c4 c2 w t 1 c2 v i v j F l 1 vi vl v Fl Fl + +62 + vl = 2l c c w c t t t = (1 )ij + (1 )ij + (1 )ij + (1 )ij + (1 )ij, где обозначено c 1 vl Dj + Al vi + l ij Dij + (1 )ij = j 2 (c2 w)2 c c (16.4) 1 w Al l vj + 2 v i v j F l + (Di +, i c t 3.16 Пространственные компоненты тензора Эйнштейна 1 Dij 1 vj vi (1 )ij = + +j c2 i t t 2 x x l c2 vl ij (Fj vi + Fi vj ) l 2 (16.5) + vl + ij 2 c w t 2c t 1 c2 1 c vi vj Dj + Al Dl + Al l + +22, j c c w i i c2 c2 w t t 1 c2 vi vl l 1 vj Dl +Al D +Al + 2 vl F l (1 )ij = + vl, (16.6) c4 c2 w j j t j j t c t 1 c2 vj vl l 1 vi Di +Al Di +Al + 2 vl F l l (1 )ij = + vl, (16.7) i i 4 c2 w c t t c t 1 c 2 vi v j F l vl Fl (1 )ij = + vl. (16.8) 6 c2 w c t t Вследствие (3.22) k 1 l k ij 1 vi ij ij + 2 Dj + Ak k = + 2 vl + j xk xk xk c t c vj 1 1 vj + Di +Ak Dk +Ak + 2 F k k + k + 2 vi i xk j j xk c c x (16.9) F k 1 1 vi Di + Ak + 2 F k k + 4 vi vj k = k + 2 vj i xk c c x c x = (2 )ij + (2 )ij + (2 )ij + (2 )ij, где обозначено k 1 l ij ij (2 )ij = + 2 vl + k x c t (16.10) 1 vi vj Dj + Ak + Di + Ak k k +, j i c2 k xk x 1 1 vj Dk + Ak + 2 F k k, (2 )ij = vi (16.11) xk j j c2 c x 1 1 vi Dk + Ak + 2 F k k, (2 )ij = vj (16.12) xk i i c2 c x Глава 3 Релятивистские физические уравнения F k (2 )ij = vv. (16.13) 4 i j xk c Далее, i = 0 0 + k 0 + 0 k + l k. (16.14) j i0 j0 i0 jk ik j0 ik jl Вследствие (3.19) c2 c2 w 1 w w vl Di +Al 0 0 = l i0 j0 i c4 (c2 w)2 xi xj c w xj c2 w c2 w vl Dj + Al v i vl F l 2 l j c2 c w xj c w xi c2 w + vk Di + Ak vl Dj + Al + vj vl F l 2 k l (16.15) 2 i j c w xi c 1 vi vl F l vk Dj + Ak + 2 vj vl F l vk Di + Ak + k k +2 j i c c 1 + 4 vi vj vl F l = (3 )ij + (3 )ij + (3 )ij + (3 )ij, c где обозначено c4 c2 w 1 w w vl Di +Al l (3 )ij = i c4 (c2 w)2 xi xj c w xj (16.16) c2 w +Al + vk Di +Ak vl Dj +Al l k l vl Dj, j i j 2 w xi c c2 w + vk Dj + Ak vi vl F l 2 k (3 )ij =, (16.17) j c6 c w xj c2 w + vk Di + Ak vj vl F l 2 k (3 )ij =, (16.18) i c6 c w xi 1 (3 )ij = 8 vi vj vl F l. (16.19) c Вследствие (3.20), (3.21) и (22.3) из §2.22, мы имеем Di + Ak jk Djk + k 0 + 0 k = k i0 jk ik j0 i c 1 v (jk Djk )F k + 2 vj vl Di + Ak Dk + Al + k l + 2i i k c c 1 + 4 vj vl F l vk Di +Ak + 2 vk vl Di +Ak Dj +Al + k k l i i j c c 1 1 + 4 vi vj vl Dk + Al F k + 6 vi vj vl F l + l k c c 3.16 Пространственные компоненты тензора Эйнштейна vi vl F l vk Dj + Ak + Dj + Ak (ik Dik )+ k k + j j c 1 vi vl Dj + Ak Dk + Al + vj (ik Dik )F k + k l +2 j k c c 1 vi vl F l vk Dj +Ak + 2 vk vl Dj +Ak Di +Al + k k l +4 (16.20) j j i c c 1 1 vi vj vl Dk + Al F k + 6 vi vj vl F l + l +4 k c c vj vl F l vk Di +Ak = (4 )ij +(4 )ij +(4 )ij +(4 )ij, k +4 i c где обозначено 2Di Djk + Ak Djk + Ak Dik k (4 )ij = i j c 1 vk vj Di + Ak k + k 2 (Fj vk + Fk vj ) i 2 xj x 2c 1 vk vi 1 (16.21) Dj + Ak k + k 2 (Fi vk + Fk vi ) + j i 2 x x 2c + l vl Di + Ak + l vl Dj + Ak k k jk i ik j vk vl Di + Ak Dj + Al k l, i j c vi Djk F k (4 )ij = c 1 vk vj + k 2 (Fj vk +Fk vj ) F k + l vl F k (16.22) jk j 2 x x 2c 2 vk F k vl Dj + Al vl Dj + Ak Dk + Al, l k l j j k c Dik F k (4 )ij = vj c 1 vk vi + k 2 (Fi vk + Fk vi ) F k + l vl F k (16.23) ik i 2 x x 2c 2 vk F k vl Di + Al vl Di + Ak Dk + Al, l k l i i k c 1 2 vi vj 2 vl Dk + Al F k 2 vl F l l (4 )ij =. (16.24) k c6 c Глава 3 Релятивистские физические уравнения Вследствие (3.22) l k = l k ik jl ik jl 1 l ik Dl + Ak vj + Dj + Ak vl + 2 vj vl F k k k l j c c 1 k Dk + Al vi + Di + Al vk + 2 vi vk F l + l l c2 jl k i c Dk Dl +Al Ak vi vj + vi vl Dj +Ak Dk +Al + l k k l + k l j k c (16.25) + 2 vi vj vl Dk + Al F k + vj vk Di + Al Dl + Ak + l l k k i l c + vl vk Di + Al Dj + Ak + 2 vj vk F k vl Di + Al + l k l i j i c 1 + 2 vi vj vk Dl + Ak F l + 2 vi vl F l vk Dj + Ak + k k l j c c 1 + 4 vi vj v l F l = (5 )ij + (5 )ij + (5 )ij + (5 )ij, c где обозначено 1 l (5 )ij = l k vl Dj + Ak k ik jl c2 ik j (16.26) 1 2 k vk Di + Al + 4 vl vk Di + Al Dj + Ak, l l k jl i i j c c 1 v k Dk + Al 2 k vk F l + l (5 )ij = 5i jl k jl c c (16.27) 1 + 2 vl Dj + Ak Dk + Al + 4 vl F l vk Dj + Ak k l k, j k j c c 1 v l Dl + Ak 2 l vl F k + k (5 )ij =2j ik l ik c c (16.28) 1 + 2 vk Di + Al Dl + Ak + 4 vk F k vl Di + Al l k l, i l i c c vi vj (5 )ij = c (16.29) 2 1 Dk Dl + Al Ak + vl Dk + Al F k + 4 vl F l l k l.


k l k c2 c 3.16 Пространственные компоненты тензора Эйнштейна Вследствие (1.7) 2 ln g 1 c2 w ln h 2 = + = xi xj xi c c w xj xj (16.30) c2 1 c2 2w 2 ln h 1 w w = 2 2 22 +.

c (c w)2 xi xj c c w xi xj xi xj С другой стороны 2 ln h ln h ln h = = + vj D = xi xj xi xj xi xj c ln h 1 w vj i 1 2 D + = + i xj c w x x c 1 D 2 ln h 1 vi vj vi +2 +2 D + 2 vi j = c xj xi xj c w t c x (16.31) c 1 w 1 D 1 vi 4 vj 2 D i + 2 vj i + 2 D j + c w x c c x c x 1 D c2 2 ln h 1 vi + 4 vj 2 D + 2 vi j = + xi xj c w t c c x 1 vi 1 1 D D 1 D 2 F i v j + 2 v i j + vj 4 vi vj + 2D.

j i c x c c x x c t Поэтому 2 ln g c2 1 c2 2w 1 w w = 2 2 22 + c (c w)2 xi xj xi xj c c w xi xj 2 ln h 1 vi 1 1 D D (16.32) 2D 2 Fi vj 2 v i j + v j + + i xj j xi x c x c c x 1 D + vi v j = (6 )ij + (6 )ij + (6 )ij + (6 )ij, c4 t где обозначено c ln h 1 w w (6 )ij = + c (c2 w)2 xi xj xj xi (16.33) c2 2w vi 2 Fi v j +2 +D, i xj j c w x x c 1 D (6 )ij = vi, (16.34) c2 xj Глава 3 Релятивистские физические уравнения 1 D (6 )ij = vj, (16.35) c2 xi 1 D (6 )ij = 4 vi vj. (16.36) c t Наконец, ln g ln g ln g = k. (16.37) ij ij ij x x xk Вследствие (3.21), (1.7) и (22.3) из §3.22, мы имеем ln g 1 c2 ij Dij + 2 vl Dj +Al vi + 0 l = ij j 0 c c w x c 1 c2 w 1 w (16.38) + Di +Al vj + l vi v j F l + 1 2 D = i c2 c2 c2 w t c = (7 )ij + (7 )ij + (7 )ij + (7 )ij + (7 )ij, где обозначено c (7 )ij = 2 2 ij Dij + c (c w) (16.39) 1 1 w + 2 vl Dj + Al vi + Di + Al vj + 2 vi vj F l l l, j i c c t D (7 )ij = c (16.40) 1 vj vi Fi vj + Fj vi l vl, Dij +j ij 2c 2 xi x vi D vl Dj + Al, l (7 )ij = (16.41) j c (7 )ij = 4 vj D vl Di + Al, l (16.42) i c (7 )ij = 6 vi vj D vl F l. (16.43) c Вследствие (3.22) и (1.7) k ln g = k 2 Dj + Ak vi + k ij ij j k x c 1 c2 w ln h 1 (16.44) k k k 2 + Di +Ai vj + 2 vi vj F + = c c w xk xk c = (8 )ij + (8 )ij + (8 )ij + (8 )ij, 3.16 Пространственные компоненты тензора Эйнштейна где обозначено 1 k c2 w k ln h + 2 D k vk, ij (8 )ij = 2 ij 2 (16.45) ij c w xk xk c c c2 w 1 1 k ln h k k k (8 )ij = 2 vi 2 Dj +Aj 2 + Dj +Aj, (16.46) c w xk xk c c c2 w 1 1 ln h (8 )ij = 2 vj 2 Di +Ak 2 + Di +Ak k k, (16.47) i i c w xk xk c c 1 c 1 k w k ln h (8 )ij = 4 vi vj 2 2 F +F. (16.48) xk xk c c w c Введя обозначения ()ij = (1 )ij + (7 )ij, ()ij = (n )ij, n= (16.49) 8 8 ()ij = (n )ij, ()ij = (n )ij, ()ij = (n )ij, n=1 n=1 n= мы можем написать Gij = ()ij + ()ij + ()ij + ()ij + ()ij. (16.50) Сравнивая (1 )ij и (7 )ij, убеждаемся, что ()ij = 0. (16.51) Найдем ()ij, ()ij, ()ij и ()ij. Вследствие (16.5), (16.10), (16.16), (16.21), (16.26), (16.33), (16.40) и (16.45) имеем 1 Dij 1 1 vj vi (n )ij = + j + 2 c t 2 xi c t x n= 1 1 (Fi vj + Fj vi ) + 2 k Fk 4 vl Dj + Al Fi l ij j 2c2 c c 1 1 vi vl Di + Al Fj + Hij + 2 Dj + Ak l k + i j c4 xk c 1 vj 2k + 2 Di + Ak + 2 Di Djk + 2 Ak Djk + k i c i xk c c Глава 3 Релятивистские физические уравнения 1 k 1 1 vk vj A D 2 Di + Ak k + k + 2 j ik i j c c 2 x x 1 1 1 vk vi (Fj vk +Fk vj ) 2 Dj +Ak k + j 2 2 xi xk 2c c 1 c2 2w 1 (Fi vk + Fk vi ) 2 2 2 D 2 i xj c c w x 2c c vi 1 1 1 1 vj vi 2 Fi vj 2 DDij + 2 D + (16.52) j 2 xi xj x c c c 1 1 (Fi vj + Fj vi ) = Hij + 2 Aij D 2 Ak Ajk c i 2c c c2 2w 1 Dij k 2Di Djk + DDij 2 c2 c2 w xi xj t c 1 vj vi 1 + j 2 (Fi vj +Fj vi ) 2 k Fk.

ij i t 2 x x 2c c С другой стороны 1 Fj vi Fj k Fj ij Fk 2 Fi Fj = FF = + i 2ij i c w t c x c 1 c2 c2 2w w vj = F +2 + 2 c2 w j xi i xj xi c w x c t (16.53) 1 Fj 1 vi k 1 c2 w 22 ij Fk = + 2 vi F j i + 2 Fj c c w x c t c t c2 2w vj 2 Fj vi k Fk, = ij 2 w xi xj i c t x c таким образом, c2 2w ( Fj + Fi ) Fi F j = i j c2 c w xi xj (16.54) 1 vj vi (Fi vj + Fj vi ) k Fk.

+j ij 2c t 2 xi x Кроме того, см. (21.21) из §2.21, 1 k k Hij = Sij + Aji D + Ajk Di + Aik Dj. (16.55) c 3.16 Пространственные компоненты тензора Эйнштейна Следовательно, 1 Dij k k ()ij = Sij 2Di Djk + DDij Di Ajk c2 t (16.56) 1 2Ak Ajk + ( k j Fi ) 2 F i Fj.

Dj Aik + i Fj + i 2 c Далее, вследствие (16.6), (16.11), (16.17), (16.22), (16.27), (16.34), (16.41) и (16.46) 1 v 2 Fk Dj + Ak + k (n )ij = 2i j c c n= 1 1 vj Dk + Ak 4 Fj vl F l + 2 F k k + 2 Djk F k + xk j j c c x c 1 1 vk vj 1 (16.57) + k 2 (Fj vk + Fk vj ) F k c2 2 xj x 2c D ln h k l k l k jl Dk + Ak + Dj + Aj = xj xk 1 D Dj + Ak k 2 Ajk F k = vi k j c2 xj c или, окончательно, 1 h k D Dj k k Ajk F k.

()ij = vi k Aj + (16.58) k j c2 c Аналогичным образом, используя формулы (16.7), (16.12), (16.18), (16.23), (16.28), (16.35), (16.42) и (16.47), находим, что 1 hk D Di k k Aik F k.

()ij = vj k Ai + (16.59) k i c2 c Наконец, из (16.8), (16.13), (16.19), (16.24), (16.29), (16.36), (16.43) и (16.48) получаем 1 v i vj 2 Fk F k + (n )ij = c4 c n= (16.60) F k k ln h D + Dk Dl + Al Ak + l k + +F.

k l k k x x t Глава 3 Релятивистские физические уравнения Окончательно, имеем 1 D +Dk Dl +Al Ak + l k k Fk F k.

(n )ij = vi v j kF (16.61) k l c4 c t Следовательно Dij k k Gij = Sij 2Di Djk + DDij + Di Akj + c t 1 + Dj Aki 2Ak Akj + ( i Fj + j Fi ) 2 Fi Fj k i 2 c 1 2 vi k hk D Dj k Ak + 2 Ajk F k k (16.62) j j c c 1 hk D Di Ak + k Aik F k + vj k k i i c2 c 1 D + Dk Dl +Al Ak + l k Fk Fk F k, + vi v j k k l c4 c t так как Akj = Ajk, Aki = Aik. (16.63) §3.17 Тензор Эйнштейна и х.и.-тензорные величины Согласно §2.3, величины G = g G = g G = G, (17.1) G L = c2, (17.2) g Gk M k = c 0, (17.3) g N jk = c2 Gjk (17.4) суть, соответственно, х.и.-инварианты, х.и.-вектор и х.и.-тензор 2-го ранга. Пользуясь (14.7), (15.7) и (16.62), найдем выражение для этих величин, а также выражения — через эти величины — для компонент ковариантного тензора Эйнштейна и для инвари анта G.

Из (17.2) и (14.7) следует, что D j j + Dj Dl + Al Al + l F j Fj F j.

L= (17.5) j j c t 3.17 Тензор Эйнштейна и х.и.-тензорные величины Вследствие (15.7) и (17.5) 1 w 1 G0i = c c (17.6) 2 j j j hi D Di Aij F j 2 vi L.

j Ai + j c2 c Очевидно, что 1k w 1 w Gk = g k0 G00 + g ki G0i = v 1 2 L 1 c3 c c c 2 kj hkj D Dkj Akj + A Fj 2 v k L = (17.7) j j c2 c 1 w 2 kj hkj D Dkj Akj + = 1 2 A Fj j j c c c и, следовательно, см. (17.3) 2 kj hkj D Dkj Mk = Akj + A Fj. (17.8) j j c Сравнивая (17.6) с (17.8), получаем 1 w 1 2 Mi G0i = vi L. (17.9) c c c Сравнение (16.62) с (17.8) и (17.5) дает Dij k k Gij = Sij 2Di Djk + DDij + Di Akj + c t 1 + Dj Aki 2Ak Akj + i Fj + j Fi 2 Fi Fj k (17.10) i 2 c 1 1 2 v i M j 2 vj M i + 4 v i v j L.

c c c Так как hjp hkq D jk Dpq hjp hkq Dpq = = t t t (17.11) D jk D jk + 2D jp Dp + 2Dkq Dq = k j + 4D jl Dl, k = t t Глава 3 Релятивистские физические уравнения тогда Gjk = g jg k G = g j0g k0 G00 + g j0g kq G0q + g jpg k0 Gp0 + 1 jk 1 + g jpg kq Gpq = v v L + 2 v j M k 2 vk L + c4 c c D jk 1k 1 v M j 2 v j L + S jk + + c c c t j + 2D jl Dl + DD jk + D jlAk + DklAl 2AjlAk + k l l (17.12) 1 1jk Fk + j k Fj F F 2 vjMk + c 2 c D jk 1kj 1 v M + 4 v j v k L = S jk + c2 c c t j + 2D jl Dl + DD jk + D jlAk + DklAl 2AjlAk + k l l 1 1 jk Fk + j k Fj + FF c и, следовательно, D jk + 2D jl Dl + DD jk + D jlAk + N jk = c2 S jk + k l t (17.13) 1 j + DklAl 2AjlAk + j F k + k F j 2 F j F k.

l 2 c Сравнивая (17.10) с (17.13), находим 1 Gij = Nij + vi Mj + vj Mi 2 vi vj L. (17.14) c2 c Вследствие (17.2), (17.6) и (17.4) G= (L + N ), (17.15) c где х.и.-инвариант N определяется как j N = hij Nij = hij N ij = Nj. (17.16) Так как k k D jk Di hij Di D jk 2Dij D jk, hij = = (17.17) t t t t 3.17 Тензор Эйнштейна и х.и.-тензорные величины то, следовательно, k Di + DDi + Di Ak + Dl Al Nik = c2 Si + k k l k i l t (17.18) 1 2Al Ak + k k Fi 2 F i F k.

iF + i l 2 c Вследствие (17.15), (17.5) и (17.19) D j + D2 2Al Al + N = c2 S + j Fj F j, jF (17.19) j c t 1 D j j +D2 + Dj Dl Al Al + l j Fj F j. (17.20) G = S + 2 jF j c2 c t Соберем интересующие нас соотношения. Пользуясь (20.18) из §2.20 и введя для краткости обозначения 1 1i i i = Fi, = F, (17.21) i i c2 c в итоге мы имеем D j lj + Dj Dl + Al Al + j L= jF j t 2 kj hkj D Dkj Mk = Akj + A Fj j j c2, (17.22) k Di + DDi + Di Ak + Dl Al Nik k k l k = c Si + i l t 1 2Al Ak + i F k + k Fi i l D j + D2 2Al Al + N = c2 S + F j, (17.23) j j t 1 D j j + D2 +Dj Dl Al Al + l j G = S + 2 jF, (17.24) j c t Величины, свернутые по одному индексу с х.и.-оператором (17.21), Зель манов обычно называл хронометрически инвариантной физической диверген цией, чтобы отличить от обычной х.и.-дивергенции (свертки по одному индек су с х.и.-оператором i, см. §2.14). Например, i Qi и i Qij это простая х.и.-дивергенция трехмерного х.и.-вектора и х.и.-тензора 2-го ранга, в то вре мя как i Qi и i Qij суть физическая х.и.-дивергенция тех же величин. — Прим. ред., Д. Р.

Глава 3 Релятивистские физические уравнения 1 w 1 G00 = L 2 c c 1 w, (17.25) 1 2 Mi G0i = vi L c c c 1 1 Gij = Nij + vi Mj + vj Mi 2 vi vj L c2 c G= (L + N ). (17.26) c §3.18 Временн е ковариантное уравнение закона тяготения о Возьмем уравнения тяготения в виде G = T g T + g (18.1) и рассмотрим уравнение с индексами, = 0 (временн е урав о нение) G00 = T00 g00 T + g00. (18.2) Вследствие (10.38) и (10.44) 1 1 w T00 1 g00 T = + U (18.3) c 2 2 c и, в силу (17.25), из исходного уравнения (18.2) получаем c2 + U + c2.

L= (18.4) §3.19 Смешанные ковариантные уравнения закона тяготения Перейдем к смешанным, пространственно-временн ым уравне ниям тяготения (18.1), т. е. к уравнениям с индексами = 0 и = 1, 2, G0i = T0i g0i T + g0i. (19.1) Так как, вследствие (10.38) и (10.44), 1 1 w vi c2 + U T0i g0i T = 1 2 Ji +, (19.2) 2c 2 c c 3.20 Пространственные уравнения закона тяготения то, в силу (17.25) уравнения (19.1) дают 1 vi v L = Ji + 2 c2 + U Mi vi, (19.3) 2i c 2c или, иначе 1 c2 + U c2.

Mi Ji = v L+ (19.4) 2i c Так как (19.4) имеет место при любом выборе временн ой ко ординаты, то можно применить метод вариации потенциалов.

Обращая все vi в нуль, получаем Mi = Ji. (19.5) Вследствие своего х.и.-тензорного (х.и.-векторного) характе ра, (19.5) сохраняется при любом выборе временн ой координаты.

А в таком случае из (19.4) следует, кроме того, равенство c2 + U + c2, L= (19.6) которое также является х.и.-тензорным и совпадает с (18.4).

§3.20 Пространственные ковариантные уравнения закона тя готения Займемся теперь пространственными уравнениями тяготения (18.1), т. е. уравнениями с индексами, = 1, 2, Gij = Tij gij T + gij. (20.1) Вследствие (10.38) и (10.44) 1 1 1 gij T = 2 Uij hij U + hij c2 + Tij 2 c 2 (20.2) + vi Jj + vj Ji + 2 vi vj c2 + U.

2c В силу (17.25) и (20.2), выражение (20.1) может быть записано в виде 1 1 vi vj L = Uij hij U + hij c2 + Nij +vi Mj +vj Mi c2 2 (20.3) 1 + vi Jj + vj Ji + 2 vi vj c2 + U + c2 hij 2 vi vj 2c c Глава 3 Релятивистские физические уравнения или, иначе, 1 Nij Uij hij U + hij c2 c2 hij + vi (Mj Jj ) + 2 (20.4) 1 c2 + U c2 = 0.

+ vj (Mi Ji ) 2 vi vj L + c Так как (20.4) имеет место при любом выборе временн ой ко ординаты, мы можем снова воспользоваться методом вариации потенциалов.

Обращая все vk в нуль, получаем 1 hij U + hij c2 + c2 hij.

Nij = Uij (20.5) 2 Полученное равенство, как х.и.-тензорное, имеет место при любом выборе временн й координаты. Следовательно, о 1 vi vj L + c2 +U c2 = vi (Mj Jj) + vj (Mi Ji) (20.6) c2 имеет место при любом выборе временн й координаты. Далее о мы будем полагать компоненты vk равными v1 = 0, v 2 = v3 = 0. (20.7) Тогда (20.6) примут вид (при сокращении на v1 ) 1 c2 + U c2 = 2 (M1 J1 ) L+ c2 2. (20.8) M2 J2 = 0, M3 J3 = Так как (20.8) имеет место при любом v1 = 0, то Mi = Ji, (20.9) c2 + U + c2, L= (20.10) причем эти равенства, в силу своего х.и.-тензорного характе ра, сохраняются при любом выборе временн ой координаты. Оче видно, что они совпадают, соответственно, с равенствами (19.5) и (18.4).

3.21 Скалярное уравнение тяготения §3.21 Скалярное уравнение тяготения Рассмотрим также скалярное уравнение G = T + 4, (21.1) являющееся следствием тензорных уравнений тяготения.

Вследствие (17.26) и (10.44), уравнение (21.1) принимает вид L + N = c2 U + 4c2 (21.2) или, иначе, L + N = 0 c2 + 4c2. (21.3) §3.22 Первая х.и.-тензорная форма уравнений тяготения Таким образом, мы получили систему уравнений (18.4), (19.5) и (20.5), представляющую собою х.и.-тензорную форму уравне ний тяготения. Мы назовем ее первой х.и.-тензорной формой уравнений тяготения. Запишем ее в виде c2 + U + c2 L= 2 k k. (22.1) M = J 1 1 N ik = U ik hik U + hikc2 + c2 hik 2 Как легко видеть, первое из этих уравнений (х.и.-инвариант) равносильно уравнению G00 = T00 g00 T + g00, (22.2) второе (х.и.-векторное уравнение) равносильно уравнениям 1k Gk = T k k g T + g0, (22.3) совпадающим с уравнениями Gk = T0, k (22.4) а третье (х.и.-тензорное уравнение) равносильно уравнениям 1 ik Gik = T ik g T + g ik. (22.5) Глава 3 Релятивистские физические уравнения Перепишем систему (22.1) в развернутой форме, опустив предварительно индекс i в х.и.-тензорном уравнении и восполь зовавшись (17.22). В результате имеем D j j + Dj Dl +Al Al + c2 + U + c2, l j = jF (22.6) j t 2 kj hkj D Dkj kj A Fj = J k, jA + (22.7) j c k Di + DDi + Di Ak + Dl Al 2Al Ak + c 2 Si + k k l k i l i l t (22.8) 1 1 kk Fi = Uik hk U + hkc2 +c2 hk.

+ iF + 2i 2i i Вследствие (9.2) и (16.3) из §2.16, мы имеем Ail = jil j, Alk = qlk q, (22.9) Al Ak = Ail Alk = jil qlk j q = jil qkl q j = i l (22.10) q q = hj hk hi hk q j = hk j j + i k, i j i j Al Al = 2j j. (22.11) j Вследствие (9.2) и также (16.4), (14.18), (16.15) из Главы = pkj p = pkj kjp = rk ().

kj jA j p = j p (22.12) j Далее, также вследствие (9.2), Akj Fj = pkj p Fj = pjk p Fj = jlk j Fl, (22.13) Di Ak + Dl Al = Dil Alk + DlkAli = jlk Dil j + jli Dlk j. (22.14) l k i l Пользуясь (22.10–22.14) и (19.18), (19.19) из §2.19, мы можем представить уравнения (22.6), (22.7) и (22.8), соответственно, в следующем виде D j + Dj Dl 2j j + c2 +U + c2, l j = jF (22.15) t 2 jlk Rk ( ) = rk () j Fl + J k, (22.16) c 3.23 Вторая х.и.-форма уравнений тяготения k Di c2 Si + k + DDi + jlk Dil j + jli Dlk j k t 2 i k hk j j + i F k + k Fi = (22.17) i 1 = Uik hk U + hk c2 + c2 hk.

2i 2i i Уравнение (21.1) можно, вследствие (17.24) и (10.44), перепи сать в виде D j j +D2+Djl Dl Al Al +2 j F j = c2U +4c2. (22.18) c2 S+2 j t Снова применяя (22.11), мы придадим уравнению (22.18) вид D j +D2+Djl Dl +2j j + c2 S+2 = c2U +4c2. (22.19) j jF t §3.23 Вторая х.и.-тензорная форма уравнений тяготения Рассмотрим совокупность уравнений G g00 G = T00 g00, (23.1) 1k Gk g0 G = T0 g0, k k (23.2) что совпадает с (22.4) Gk = T0 k (23.3) и также 1 jk Gjk g G = T jk g jk. (23.4) Вследствие (17.2) и (17.26), w 1 G00 g00 G = 2 1 2 (L N ), (23.5) 2 2c c поэтому, в силу (10.38), уравнение (23.1) равносильно уравнению (N L) = c2 + c2. (23.6) Так как, вследствие (17.4) и (17.26), 1 jk 1 1 jk G jk h (L + N ) N jk, g G= 2 (23.7) 2 c то, в силу (10.40), уравнения (23.4) равносильны уравнениям Глава 3 Релятивистские физические уравнения 1 jk h (L + N ) = U jk c2 hjk.

N jk (23.8) Как легко видеть, совокупность уравнений (23.1), (23.2) и (23.4) равносильна совокупности уравнений (22.2), (22.3) и (22.5).

Следовательно, в этом можно убедиться и непосредственно, си стема уравнений 1 (N L) = c2 + c2 2 k k (23.9) M = J 1 N jk hjk (L + N ) = U jk c2 hjk равносильна системе (22.1). Систему (23.9) мы назовем второй х.и.-тензорной формой уравнений тяготения.

Пользуясь (17.22) и (17.23), перепишем уравнения (23.6) и (23.8), принадлежащие к системе (23.9), в развернутой форме, опустив предварительно индекс i в (23.8). Получаем 1 j j c2 S + D2 Dj Dl 3Al Al = c2 + c2, l (23.10) j k 1k Di + DDi + Di Ak + Dl Al c2 Si k k l k hi S + i l 2 t 1 D 2Al Ak + i F k + k Fi hk (23.11) + i l i 2 t 1 j j + D2 + Dl Dl Al Al + j F j = Uik c2 hk.

j j i Пользуясь (22.11), (22.14), (22.10), а также (21.29) и (21.35) из §2.21, придадим уравнениям (23.10–23.11), соответственно, вид 1 j c2 Z + D2 Dj Dl + 3j j = c2 + c2, l (23.12) k Di c2 Zi + k + DDi + jlk Dil j + jli Dlk j k t 1 D 2i k + i F k + k Fi hk (23.13) + i 2 t 1 j + D2 + Dj Dl j j + j F j = Uik c2 hk.

l i Перепишем также (22.19), используя (21.35) из §2.21, D 1 2 j + D +Djl Dl +j j+ j F j = c2U +2c2. (23.14) c2 Z+ t 2 3.24 Строение уравнений тяготения §3.24 Строение уравнений тяготения Рассматривая х.и.-тензорные формы уравнений тяготения, мы видим, что некоторые величины входят в них не иначе, как в комбинации с другими. Эти комбинации устроены таким обра зом, что, исключая из уравнений одну из величин, входящих в такую комбинацию, мы тем самым исключаем данную комбина цию целиком.

Таковы комбинации k Di 1 1k Fk + k = k Fi Uik + hU, (24.1) i i 2i t D Fj + = + U, (24.2) j t i = c2 Si + DDi, k k k (24.3) = c2 S + D2, (24.4) Di Ak k l Dl Al k jlk lk j i = + = Dil j + jli D. (24.5) i l Введем также обозначения k = Al Ak = i k + hk j j, (24.6) i i l i j = Al Al = 2j j, (24.7) j j l = D j Dl, (24.8) hkj D Dkj j Akj + 2 Akj Fj J k = k = j c (24.9) = Rk ( ) rk () + 2 jlk j Fl J k.

c Очевидно также, что j j j j j =, j =, j = 0, j =. (24.10) Тогда уравнения тяготения принимают вид: первая х.и. тензорная форма + c2 = + + c2 2 k, (24.11) = k2 2k + i + i + i = hi c + c2 hk k k k i i Определение х.и.-ротора r k () = qpk = kj см. в §2.16. — Прим.

q p ja ред., Д. Р.

Глава 3 Релятивистские физические уравнения вторая х.и.-тензорная форма 3 + = + 2c2 + 2c2 k = 0, (24.12) 1k 2k h + i hk + k h k + k i 2i 2i i i 1 + i + c2 hk = hk k i i скалярное уравнение тяготения + + + 2 = c2 + 4c2. (24.13) Рассмотрим переменные х.и.-инварианты, входящие в урав нения тяготения:,,,,. Из физических соображений мы принимаем, что 0. (24.14) Введем пространственные координаты, локально-декартовы и ортогональные в данной мировой точке. Тогда j = j, k i D i = Dk (24.15) и, следовательно, как легко видеть, 0, (24.16) 0. (24.17) Так как и суть суб-инварианты, то (24.16) и (24.17) имеют место в любых координатах.

Из первого уравнения (24.11) мы видим, что, вообще говоря, 0. (24.18) Аналогично, из первого уравнения (24.12) усматриваем, что, вообще говоря, 0. (24.19) Глава НЕКОТОРЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ §4.1 Локально-сопутствующие системы отсчета Мы будем рассматривать вещество как непрерывную среду. В любой точке A вещества, не являющейся точкой разрыва для его скорости (относительно произвольной исходной системы отсче та), можно, в таком случае, ввести локально-сопутствующую систему отсчета, определяемую следующим образом:

Система отсчета, локально-сопутствующая веществу в данной точке A, есть такая система отсчета, которая в дан ной точке A (в точке вещества) для всех моментов рассма триваемого интервала времени t: (1) локально-стационарна;

(2) не вращается относительно пространства.

Пусть ui х.и.-скорость вещества относительно системы от счета, которая локально-сопутствует веществу в точке A. Тогда для точки A i u A 0, (1.1) 0.

k (1.2) A Так как в Главе 2 из (10.6) следует (10.8), (17.12) и (17.13), то, вследствие (1.1) и (1.2), имеем также ui 0, (1.3) A 0.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.