авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«А. Л. ЗЕЛЬМАНОВ ХРОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ О ДЕФОРМАЦИИ И КРИВИЗНЕ СОПУТСТВУЮЩЕГО ПРОСТРАНСТВА AMERICAN ...»

-- [ Страница 4 ] --

k (1.4) A §4.2 Сопутствующая система отсчета Систему отсчета, которая в каждой мировой точке данной четы рехмерной области Q движется вместе с веществом, мы, в согла сии с §1.10 и §1.19, будем называть сопутствующей системой отсчета. Если ui х.и.-скорость вещества относительно данной Глава 4 Некоторые космологические следствия системы отсчета, то в сопутствующей системе, очевидно, i u 0 (2.1) и, следовательно, ui 0. (2.2) Ясно, что во всякой области, не содержащей точек разрыва скорости вещества (относительно произвольной исходной систе мы отсчета), можно ввести сопутствующую систему отсчета. В самом деле, пусть в четырехмерной области Q в системе S ком поненты скорости вещества ui суть конечные, однозначные и непрерывные функции своих аргументов (0, x1, x2, x3 ). Тогда x существует система функций xi = xi (0, x1, x2, x3 ), x i = 1, 2, 3, (2.3) конечных, однозначных, непрерывных и дифференцируемых в области Q и удовлетворяющих в ней уравнениям xi xi j + u = 0.

(2.4) x0 xj Введем координатную систему S, связанную с системой S преобразованиями x0 = x. (2.5) xi = xi (0, x1, x2, x3 ) x Найдем скорость vi движения системы S в системе S. Так как d0 = dx0 x, (2.6) i i x x dxj dx0 + di = x 0 xj x то мы имеем xi vi =. (2.7) x С другой стороны, т. к.

xi 0, (2.8) x Выше в §4.1 и §4.2 конечность и однозначность скорости, как следующие из физических соображений, не были специально оговорены.

4.3 Характер материи и ее движения то мы имеем xi xi xj + = 0. (2.9) 0 j x x x Следовательно, xi xi j + v = 0.

(2.10) x0 xj Вычитая (2.4) почленно из (2.10), получаем xi j v uj = (2.11) xj и, так как (x1, x2, x3 ) 0, (2.12) (1, x2, x3 ) x следовательно v i ui, (2.13) т. е. координатная система S движется вместе с веществом, сле довательно, принадлежит системе отсчета, сопутствующей об ласти Q.

§4.3 Характер материи и ее движения Пусть всюду в рассматриваемой четырехмерной области Q на ходится материя, удовлетворяющая следующим требованиям.

1. Материя представляет собою непрерывно-распределенное вещество (непрерывную среду), не производящее давления или натяжений, свободное от потока тепла и имеющее по ложительную собственную плотность.

2. В любой мировой точке области Q компоненты ui скорости вещества относительно произвольной системы (x0,x1,x2,x3 ), покрывающей действительными значениями своих коорди нат окрестности упомянутой мировой точки, суть конеч ные, однозначные и дифференцируемые функции времен н й координаты и пространственных координат.

о Из 1-го условия следует, что материю можно рассматривать как свободную от потока тепла идеальную жидкость с положи тельной собственной плотностью 00 и равным нулю собствен ным давлением p0, так что p0 dx dx p T = 00 + 2 g, 00 0, p0 = 0 (3.1) c2 ds ds c Глава 4 Некоторые космологические следствия или, иначе, dx dx T = 00, 00 0. (3.2) ds ds Очевидно dx0 dx T00 = 00, (3.3) ds ds dx0 dxi i T0 = 00, (3.4) ds ds dxi dxk T ik = 00. (3.5) ds ds Из 2-го условия, вследствие найденного в предыдущем §4.2, вытекает, что мы можем, шаг за шагом, покрыть сопутствую щими координатными системами всю область Q, — иначе говоря, ввести во всей этой области сопутствующую систему отсчета.

§4.4 Материя в сопутствующей системе отсчета Отнесем рассматриваемую материю к сопутствующей системе отсчета. В такой системе отсчета для всякой точки вещества dxi = 0, i = 1, 2, 3, (4.1) откуда следует dx0 = g00 dx0, (4.2) ds2 = g00 dx0 dx0. (4.3) Поэтому, из (3.3) и (3.5), получаем = 00, (4.4) Ji = 0, (4.5) U ik = 0. (4.6) Очевидно, равенства (4.4–4.6) существенным образом связа ны с предположениями о характере материи. Напротив, рассу ждения, излагаемые в этом §4.4 ниже, не зависят от этих пред положений, изложенных в 1-м условии предыдущего §4.3, и свя заны лишь со 2-м условием, содержащим только предположения о характере движения вещества.

По самому определению сопутствующей системы отсчета, ве 4.4 Материя в сопутствующей системе отсчета щество покоится относительно нее. Но, в окрестностях каждой точки сопутствующего пространства, оно, вообще говоря, дви жется относительно системы отсчета, локально-сопутствующей веществу в этой точке. В каждой точке сопутствующего про странства можно ввести х.и.-тензоры (ковариантный, смешан ный и контравариантный) и х.и.-инвариант скоростей дефор мации вещества относительно системы отсчета, локально сопутствующей в этой точке, а также х.и.-ротор х.и.-вектора угловой скорости вращения вещества относительно той же локально-сопутствующей системы. Так как сопутствующее про странство движется вместе с веществом, то эти величины со впадают с х.и.-тензорами и х.и.-инвариантом скоростей дефор мации сопутствующего пространства и, соответственно, с х.и. ротором х.и.-вектора угловой скорости вращения сопутствую щего пространства относительно системы отсчета, локально сопутствующей веществу в данной точке. Но, в то же время, локально-сопутствующая система отсчета принадлежит к числу локально-стационарных. Поэтому мы можем отождествить ука k занные величины со следующими величинами Dik, Di, Dik, D и i ij ij R ( ) = j h D D, соответственно.

Таким образом, величины Dik, Di, Dik, D и Ri ( ), характери k зуя скорость деформации и относительное вращение элементов сопутствующего пространства, тем самым характеризуют ско рость деформации и относительное вращение элемента веще ства.

В частности, х.и.-инвариант скорости относительного расши рения элементарного объема пространства D дает в каждой точ ке скорость относительного расширения элемента вещества.

Мы можем сказать также, что в сопутствующей системе от счета относительные движения элементов вещества характери зуются функциональной зависимостью величин hik (следова тельно, и величин hik и h) от временн й координаты.

о В частности, изменения объема элемента вещества со време нем t (по мере изменения временной координаты) описываются функцией, дающей зависимость h от t, см. (12.7) из §2.12.

В своем месте мы отмечали множественность систем, локально стационарных в любой данной точке. Мы видели также, что произвол в выборе локально-стационарных систем отсчета не влияет на выделенные нами соотно шения, содержащие величины Dik, Di, Dik, D и Ri ( ). Теперь мы, как видно k из содержания данного абзаца, специализируем выбор локально-стационарных систем, беря в качестве таковых локально-сопутствующие системы отсчета.

Глава 4 Некоторые космологические следствия §4.5 Космологические уравнения тяготения Обратимся к системе уравнений тяготения. В случае (3.2) ее можно рассматривать как систему 10 уравнений относительно 10 величин: 1-й величины, 3-х величин uk и 6-ти из 10-ти независимых величин g (остальные 4 компоненты g мы мо жем задать соответствующим выбором координатной системы, см., например, [64], стр. 237). Но можно также рассматривать эти уравнения, как определяющие и 9 из величин g при за данных uk и одной из величин g. Введение сопутствующей системы отсчета предполагает именно такой подход к уравне ниям тяготения. Поэтому систему уравнений тяготения для со путствующей системы отсчета можно рассматривать, например, как систему, определяющую величину, 3 величины vi и 6 вели чин hik (задавая величину w определенным выбором временн й о координаты).

Уравнения тяготения для сопутствующей системы отсчета можно написать в виде (24.11–24.13) из §3.24: первая х.и.-форма + c2 = + + c2 2 k, (5.1) = k2 2k + i + i + i = hi c + c2 hk k k k i i вторая х.и.-тензорная форма 3 + = + 2c2 + 2c2 k =0, (5.2) 1k 1k 2i hi + i hi + i hi + k k k k 2 2 1k 2k k + i + c hi = hi скалярное уравнение тяготения + + + 2 = c2 + 4c2, (5.3) причем выражения (24.3–24.8) из §3.24 сохраняют свой вид, а выражения (24.1), (24.2) и (24.9), вследствие (4.5) и (4.6) из пре дыдущего §4.4, упрощаются, так что k Di 1 Fk + k k i = + Fi, (5.4) i t 4.5 Космологические уравнения тяготения D j = + jF, (5.5) t i = c2 Si + DDi, k k k (5.6) 2 = c S + D, (5.7) i = Di Ak + Dl Al = jlk Dil j + jli Dlk j, k l k (5.8) i l k = Al Ak = i k + hk j j, (5.9) i i l i j Al Al j = = 2j, (5.10) j j l = D j Dl, (5.11) hkj D Dkj k = kj + 2 AkjFj = jA j c (5.12) 2 jlk = Rk ( ) rk () + j Fl.

c Очевидно также, что (24.15) и (24.17–24.19) из §3.24 сохраня ют силу, а в (24.14) знак равенства исчезает, так что 0, (5.13) 0, (5.14) 0, (5.15) 0, (5.16) 0. (5.17) Мы видим, что уравнения (5.1–5.3), вследствие (5.4–5.12), устанавливают связь между:

• величинами, характеризующими состояние материи;

• величинами, характеризующими поведение сопутствую щего пространства;

• величинами, характеризующими геометрические свойства пространства.

То есть, уравнения (5.1–5.3) являются космологическими уравнениями. Согласно §1.17, они представляют собою космо логические уравнения тяготения. Если пользоваться ими для нахождения, vi и hik, их нужно предварительно дополнить 18 ю уравнениями, определяющими Dik (6 величин), Zik (6 вели чин), i (3 величины) и Fi (3 величины) в зависимости от w, vi и hik и рассматривать систему 28 уравнений относительно такого же числа неизвестных функций.

Глава 4 Некоторые космологические следствия §4.6 Космологические уравнения энергии Уравнения закона энергии, см. (12.9) и (12.11) из §3.12, вслед ствие (4.3) и (4.6) принимают вид, соответственно, + D = 0, (6.1) t F k = 0. (6.2) Из (6.2), вследствие (5.13), следует, что Fi = 0. (6.3) Согласно §1.17, уравнения (6.1) и (6.2) или (6.3) суть космо логические уравнения энергии.

Как известно, уравнения закона энергии суть следствия уравнений тяготения в том смысле, что они вытекают, в силу этих уравнений, из 4 тождественных соотношений между их левыми частями. Поэтому уравнениями энергии можно пользо ваться вместо упомянутых 4 соотношений.

§4.7 Основная форма космологических уравнений Вследствие третьего из уравнений (5.1) получаем 3 c + 3c 2 + + = (7.1) и далее 1 1 2 k hk + i hk + ik hk + i = 0.

k k (7.2) i 3i 3i 3i Складывая почленно первое из уравнений (5.1) и уравнение (7.1), получаем первое из уравнений (5.2). Это последнее, в со единении в первым из уравнений (5.1), дает (7.1), которое, в со единении с (7.2), приводит к третьему уравнению из (5.1). По этому система + c2 = + + c2 2 2 3 + = + 2c + 2c (7.3) 1 1 1 2 k hk + i hk + ik hk + i = k k i 3i 3i 3i k = 4.7 Основная форма космологических уравнений равносильна системе (5.1), а следовательно — и системе (5.2).

Как легко видеть, третье из уравнений (7.3), вследствие свойств симметрии и тождественного обращения в нуль при сокращении, дает всего лишь 5 независимых соотношений.

Так как lk hil + jli hlk = k + k = hkq jiq + jqi = 0, (7.4) j ji ji то (5.8) можно записать в виде 1 i = jlk j Dil k hil D + jli j Dlk hlk D. (7.5) 3 Пользуясь (21.33) и (21.35) из §2.21, можно вместо (5.6) и (5.7) написать, соответственно, i = c2 Zi hk Z + DDi, k k k (7.6) i = 2c2 Z + D2. (7.7) Введя обозначение j l = D j Dl D, (7.8) можно (5.11) переписать в виде = D +. (7.9) Воспользуемся уравнением (6.3). Тогда равенства (5.4), (5.5) и (5.12) упростятся k Di k i =, (7.10) t D =, (7.11) t hkj D Dkj = Rk ( ) rk ().

k = kj jA (7.12) j Перепишем вместе уравнения (6.1), (6.3) и, пользуясь равен ствами (5.9), (5.10), (7.5–7.7), (7.9–7.12), систему (7.3) + D = 0, (7.13) t Fi = 0, (7.14) D 1 2 + D + 2j j = c2 + c2, (7.15) t 3 Глава 4 Некоторые космологические следствия 12 D + 3j j + c2 Z = c2 + c2, (7.16) 3 1 Di h k D + D Di h k D + k k 3i 3i t 1 + jlk j Dil hil D + jli j Dlk hlk D = (7.17) 3 1k 1k k j k = 2 i hi j + c Zi hi Z, 3 Rk = rk, (7.18) где последнее равенство (7.18) можно также записать иначе hkj D Dkj = kj jA. (7.19) j Совокупность уравнений (7.13–7.17) и (7.18) мы примем как основную х.и.-форму космологических уравнений.

§4.8 Свободное падение и преимущественная координата вре мени Равенство (7.14) означает, что вещество свободно падает в поле гравитационно-инерциальных сил. Это и понятно, т. к. при (4.5) и (4.6) другие силы отсутствуют. Из равенства (7.14) вытека ет ряд следствий, из которых мы рассматриваем сейчас одно:

возможность выбора преимущественной координаты времени в любой точке пространства.

Пусть условие (7.14) выполняется всюду в некоторой четы рехмерной области Q. Введем такую координату времени, чтобы всюду в этой области w = 0. (8.1) Тогда, вследствие (7.14), vi = 0. (8.2) t Из (8.1) и (8.2) следует, что в области Q Y = 0, (8.3) i = 0, (8.4) Этим равенством, под номером (6.3), мы пользовались уже в §4.7.

4.8 Преимущественная координата времени см. (23.18) и (23.28) из §2.23. Таким образом, значения 5-ти ве личин (w, Y, i ) из 14-ти локально-независимых величин, рас смотренных в §2.20, определены и притом по всей области Q.

Но значениями остальных 9-ти величин (vi и Xik ) в любой точке области Q мы можем распорядиться. Положим, что в простран ственной точке A при t = t vi = 0, (8.5) Xik = 0. (8.6) Так как во всей области Q имеет место (8.2), то (8.5) сохра няется в точке A для всех значений t в упомянутой области.

Далее, вследствие (8.5) выражение (8.6) может быть записано в виде (см. (23.31) из §2.23) vk vi + k = 0. (8.7) xi x Так как vq vq =, (8.8) t xp xp t а (8.2) выполняется во всей области Q, то всюду в этой области vk vi +k = 0. (8.9) t xi x Следовательно, (8.7) сохраняется в точке A для всех значений t в области Q. Очевидно, и (8.6) сохраняется в точке A для всех значений t в области Q.

Таким образом, при выполнении в области Q условий (7.14), в любой точке A этой области оказывается возможным выбрать такую координату времени, что для всех значений ее в этой области в данной точке A имеют место условия (8.1) и (8.3–8.6).

Согласно §2.22, пространственное сечение, отвечающее этому выбору временн й координаты, является одним из максимально о ортогональных (в данной точке A для всех значений t в данной области Q), так что Kkjin = Skjin (8.10) и, следовательно, Hik = Sik, Cik = Zik. (8.11) Если всюду в области Q, помимо условия (8.1), выполняется также условие Aik = 0, (8.12) Глава 4 Некоторые космологические следствия то, согласно §2.7, можно ввести “космическое время” (см. §1.2), т. е. такую координату времени, чтобы всюду в Q выполнялись равенства (8.1) и (8.5), и, следовательно, также (8.3), (8.4), (8.6), (8.10) и (8.11).

§4.9 Характеристики анизотропии Теперь мы займемся вопросом об анизотропии элементов объема в механическом и геометрическом отношениях. Прежде всего рассмотрим вопрос о математических характеристиках анизотропии механического или геометрического фактора, ха рактеризуемого некоторым симметричным суб-тензором 2-го ранга Bik. Если этот фактор обладает пространственной изотро пией в некоторой мировой точке, то в последней, мы имеем: в локально-декартовых пространственных координатах 1B, i=k Bik = Bi = B ik = k 3, (9.1) 0, i=k где обозначено j B = Bj. (9.2) В произвольных координатах мы имеем 1 1k 1 ik k B ik = Bik = hik B, Bi = h B, h B. (9.3) 3i 3 Введем суб-инвариант 1l 1j j j h B = Bjl Bl B 2.

= Bjl Bl hB (9.4) 3j 3l В локально-декартовых координатах он, очевидно, равен j j сумме квадратов величин Bl 1 hl B и, следовательно, равен ну лю при выполнении условий изотропии (9.3) и положителен при их невыполнении. Таким образом, суб-инвариант может слу жить мерой анизотропии. Из сказанного следует, в частности, j что х.и.-инвариант = Djl Dl 1 D2 (7.8) неотрицателен и харак теризует анизотропию деформации элемента объема (сравн., например, [58], стр. 612).

Рассмотрим случай, когда Bik = i k, (9.5) 4.10 Абсолютное вращение где j некоторый суб-вектор. Тогда 2 j j = B B = j j, = (9.6) 3 и, следовательно (что, впрочем, очевидно), изотропия имеет ме сто при равенстве нулю суб-вектора j и только в этом случае.

Отсюда следует, в частности, что х.и.-тензор i k 1 hk j j 3i обращается в нуль только вместе с х.и.-вектором j.

lj Можно сказать, что х.и.-инварианты = Dj Dl 1 D2 и j j, х.и.-вектор i, и х.и.-тензоры Di 1 hk D и i k 1 hk j j ха k i 3i рактеризуют механическую анизотропию элемента объема (ки нематическую и динамическую), а х.и.-тензор Zi 1 hk Z харак k 3i теризует его геометрическую анизотропию. Займемся прежде всего х.и.-вектором i.

§4.10 Абсолютное вращение В §3.9 мы видели, что i в релятивистских уравнениях дина мики играет роль, аналогичную роли мгновенной угловой ско рости абсолютного вращения системы отсчета в классических уравнениях динамики. Поэтому мы можем назвать х.и.-векторы i и k х.и.-векторами угловой скорости динамического абсо лютного вращения. Это, очевидно, та угловая скорость, кото рая — если рассматривать не Метагалактику, а поведение тел у поверхности Земли — может быть найдена из механических опытов, например, при помощи маятника Фуко. Она, как из вестно (см., например, [7], стр. 183), отличается от угловой ско рости кинематического “абсолютного” вращения на величину, являющуюся, вообще говоря, функцией точки. Очевидно, угло вую скорость кинематического абсолютного вращения можно, с точностью до х.и.-вектора с исчезающей х.и.-ковариантной про изводной, характеризовать х.и.-вектором, входящим в левую часть уравнения Rk ( ) = rk () (7.18). Поэтому можно сказать, что уравнение (7.18) связывает динамическое абсолютное вра щение с кинематическим абсолютным вращением. Оно утвер Геометрический смысл уравнения (7.18), которое связывает динамическое абсолютное вращение с кинематическим абсолютным вращением, лучше видно из его “развернутой” записи j (hkj D D kj ) = j Akj (7.19), которая полу чается после подстановки Ri ( ) = j (hij D Dij ) и rk () = j Akj в (7.18).

Здесь и в других случаях Зельманов использует Rk ( ) как альтернативное обозначение х.и.-ротора rk ( ) от х.и.-вектора, см. (17.15) в §2.17. — Прим.

ред., Д. Р.

Глава 4 Некоторые космологические следствия ждает, в частности, что разность х.и.-векторов угловых скоро стей динамического и кинематического абсолютных вращений есть безвихревой х.и.-вектор.

Займемся теперь угловой скоростью динамического абсолют ного вращения. Воспользуемся условием Fi = 0 (7.14). Во всей че тырехмерной области, где оно выполняется, также выполняются два следующих условия.

1. Имеет место равенство 1 vk vi k.

Aik = (10.1) 2 xi x 2. Можно выбрать координату времени так, чтобы всюду в упомянутой области имело место равенство (8.2). Вслед ствие (8.2), (8.8) и (10.1) Aik =0 (10.2) t и, следовательно, Aik = 0. (10.3) t В силу х.и.-тензорного характера, последнее равенство, и, следовательно, ко-тензорное равенство (10.2), равносильное ему, выполняется при любом выборе координаты времени.

Вследствие (9.1) из §3. 1 ijk i = Ajk. (10.4) Так как ijk = 0, (10.5) или, иначе, ijk = ±. (10.6) h то, соответственно, ijk = 0, (10.7) t или, иначе, 1 h ijk = D ± =. (10.8) t h t h Следовательно, вообще ijk = ijk D. (10.9) t 4.10 Абсолютное вращение Поэтому из (10.4), вследствие (10.3), получаем i = i D. (10.10) t Вследствие (10.10) i i h i = h i D h i D.

h = +h (10.11) t t t Таким образом, i h = 0, (10.12) t а также, вследствие (13.2) из §3.13, V i = 0, (10.13) t где V объем элемента сопутствующего пространства. Из (10.13) следует, что в каждом элементе сопутствующего пространства х.и.-вектор i сохраняет свое направление и изменяет отличную от нуля компоненту обратно пропорционально объему элемента.

Вследствие (10.12) мы можем написать i i =, i t. (10.14) h Для квадрата х.и.-вектора i имеем, вследствие (10.10), hjl j l = 2 Djl j l Dhjl j l. (10.15) t Выберем координатные оси в данной точке так, чтобы в не который момент времени 2 = 3 = 0. (10.16) Вследствие (10.10) это будет иметь место и во все моменты времени. Следовательно, в данной точке Djl j l = h11 1, (10.17) D 2 2 2 h11 1 =2 D11 1 Dh11 1 D h11 1.

=2 (10.18) t h Направим теперь оси x2 и x3 так, чтобы в рассматриваемой точке в интересующий нас момент времени они были ортого Глава 4 Некоторые космологические следствия нальны к оси x1. Тогда для этого момента времени h11 0 hik = 0 h22 h23, (10.19) 0 h32 h и, следовательно, D11 = h11 D11, (10.20) h11 =, (10.21) h так что D D = 11. (10.22) h11 h Мы можем (10.18) переписать в виде h11 D = D (10.23) h t h11 и, на основании §2.12, прочесть его так:

В каждой точке во всякий момент времени скорость от носительного изменения величины х.и.-вектора угловой скорости k (или i ) абсолютного динамического враще ния равна по величине и противоположна по знаку скорости относительного изменения площади элемента поверхности, ортогонального к направлению данного вектора k.

Полученное равенство (10.23) является некоторым аналогом теоремы классической механики о сохранении напряженности вихря во времени (см., например, [58], стр. 187).

§4.11 Механическая и геометрическая анизотропия В предыдущем §4.10 мы видели, что космологическое уравне ние (7.14) позволяет выделить для рассмотрения один из факто ров анизотропии — динамическое абсолютное вращение. Но не возможно разделить анизотропию деформации и анизотропию кривизны. Это следует, в частности, из невозможности разде k k лить величины Si и DDi, см. §3.24. Связь обеих друг с другом и с динамическим абсолютным вращением дает космологическое уравнение (7.17). Рассмотрим некоторые его следствия.

4.11 Механическая и геометрическая анизотропия A. Пусть в некоторый момент времени в данной точке Di hk D = 0, k (11.1) 3i тогда, вообще говоря, D i hk D = 0.

k (11.2) 3i t Таким образом, в отличие от динамического абсолютно го вращения, которое не может исчезнуть или возникнуть, анизотропия деформации, при наличии абсолютного вра щения или анизотропии кривизны (или и той и другой) может на мгновение исчезнуть и вновь возникнуть.

B. Если в данной точке j = 0, (11.3) 1k k Zi h Z 0, (11.4) 3i то в этой точке 1 Di h k D + D D i h k D 0, k k (11.5) 3i 3i t или, вследствие (12.9) из §2.12, 1k k V Di 0.

hD (11.6) 3i t Таким образом, при отсутствии динамического абсо лютного вращения и сохранении анизотропии кривизны, анизотропия деформации ослабевает с расширением объ ема элемента и усиливается с его сжатием.

C. Если в данной точке имеет место условие (11.3) и 1k k Di h D 0, (11.7) 3i то в ней выполняется и (11.4). Таким образом, при от сутствии динамического абсолютного вращения и сохране нии изотропии деформации имеет место также изотропия кривизны: из механической изотропии вытекает изотропия геометрическая.

D. Если в данной точке имеют место условия (11.4) и (11.7), то в ней выполняется и (11.3). Таким образом, если де формация и кривизна сохраняют свойство изотропии, то динамическое абсолютное вращение отсутствует.

Глава 4 Некоторые космологические следствия §4.12 Изотропия и однородность Предположим, что всюду в некоторой четырехмерной области выполняются условия (11.3), (11.4) и (11.7). Тогда 0, (12.1) Akj 0, kj jA (12.2) и космологические уравнения (7.15), (7.16) и (7.19) принимают, соответственно, вид D 1 2 + D = c2 + c2, (12.3) t 3 D + c2 Z = c2 + c2, (12.4) D = 0, (12.5) xi а космологическое уравнение (7.17) обращается в тождество.

Вследствие первого из равенств (12.2), можно ввести такие ко ординаты x0 = x0 (x0, x1, x2, x3 ), (12.6) i = 1, 2, xi = xi, что всюду в упомянутой четырехмерной области vi 0, (12.7) следовательно, также jk 0. (12.8) В таком случае, согласно §2. k k Ci Z i (12.9) и, в силу (11.4) 1 kk Ci h C 0. (12.10) 3i Применяя теорему Шура, находим, что C 0 (12.11) xi 4.13 Статичность в конечной области и, переходя к произвольным координатам, вследствие (12.9), всюду в упомянутой области имеем Z = 0. (12.12) xi Из (12.4), в силу (12.5) и (12.2), следует, что также = 0. (12.13) xi Таким образом, мы получили уравнения для однородной мо дели. Мы можем привести их к виду (17.1) и (17.2) из §1.17, поль зуясь космической координатой времени, которую можно ввести вследствие (7.14) и (11.3). Тогда =, = (12.14) xi xi t t и, следовательно, см. (7.13), D 1 2 + D = c2 + c2, (12.15) t 3 D + c2 C = c2 + c2, (12.16) D C = 0, = 0, = 0, (12.7) i i xi x x + D = 0. (12.18) t Итак, при условиях (4.4–4.6), связанных с предположения ми о характере материи, изотропия в конечной четырехмерной области влечет за собой однородность в этой области.

§4.13 Статичность в конечной области Пусть в некоторой конечной области пространства вещество не деформируется Dik 0, (13.1) тогда очевидно, что hik t. (13.2) Вследствие (7.13) и (10.10) находим, соответственно, k t, t. (13.3) Глава 4 Некоторые космологические следствия Мы имеем дело, таким образом, со статическим случаем.

Космологические уравнения тяготения в этом случае могут быть записаны в виде c = 2j j + c2, (13.4) 3j j + c2 Z = c2 + c2, (13.5) 1k 2 i k hi j j + Zi hk Z = 0, k (13.6) 3i k r = 0. (13.7) Пусть всюду в рассматриваемой области выполняется также условие k = 0. (13.8) Тогда уравнение (13.7) обращается в тождество, а уравнения (13.4), (13.5) и (13.6) принимают, соответственно, вид =, (13.9) Z = +, (13.10) 1k k Zi h Z = 0. (13.11) 3i Вследствие (13.8) можно ввести такие координаты (12.6), что бы выполнялось условие (12.7). Тогда также будут иметь ме сто условия (12.8), (12.9) и, вследствие (13.11), также равенства (12.10–12.13), из коих последние два вытекают непосредственно из (13.9) и (13.10). Пользуясь космическим временем, мы можем k k в (13.10) и (13.11) выразить Z и Zi через C и Ci. Сравнение с уравнениями (7.1) и (7.2) из §1.7 убеждает нас в том, что рас сматриваемую область можно трактовать как принадлежащую модели Эйнштейна.

Таким образом, при условиях (4.4–4.6), связанных с пред положениями о характере материи, и при условии отсутствия абсолютного динамического вращения (13.8) требование статич ности приводит к модели Эйнштейна. Следовательно, если при (4.4–4.6) возможны непустые статические модели, отличные от эйнштейновской, то лишь при наличии динамического абсолют ного вращения.

4.14 Изменение средней кривизны пространства §4.14 Изменение средней кривизны пространства Прежде, чем перейти к рассмотрению изменения во времени объема любого элемента, мы в данном §4.14 и в следующем §4. выведем некоторые следствия из космологических уравнений (7.13), (7.15) и (7.16). Исключая из двух последних космическую постоянную, мы можем написать D 1 3 + c2 Z + 3j j = 2j j + c. (14.1) t 2 Дифференцируя почленно (7.16), имеем 2 D 2 1 c Z + 3j j = c D +. (14.2) 3 t t 2 t В результате почленного умножения (14.1) на 2 D и последу ющего сложения с (14.2), вследствие (7.13), получаем 2 1 c2 Z + 3j j = D 2j j.

+D (14.3) t 3 2 Если в данной точке 2j j 0, (14.4) то в ней, очевидно, 2 c2 Z + 3j j = 0, +D (14.5) t 3 h c2 Z + 3j j = 0, (14.6) t или, при пользовании преимущественной координатой времени (см. §4.8), h c2 C + 3j j = 0.

(14.7) t В случае, когда (14.4) является следствием равенств j j 0, 0, (14.8) означающих изотропию в данной точке (см. §3.11), уравнения (14.6) и (14.7) превращаются, соответственно, в hZ = 0, (14.9) t Глава 4 Некоторые космологические следствия hC = 0. (14.10) t Мы видим, таким образом, что равенства (14.5) и (14.6) суть обобщения равенств (17.4) и (17.6) из §1.17, и что для выпол нения последних в любой данной точке достаточно наличия и сохранения изотропии в этой точке.

§4.15 Сохранение массы и энергии элемента Из (7.13) вытекает, что h = 0 (15.1) t и, вследствие (12.7) и (12.8) из §2.12, M = 0, (15.2) t где M масса элемента объема сопутствующего пространства, или, что то же, элемента вещества.

В силу сопутствующего характера пространства, см. (6.2) из §3.6, имеем dM M =, (15.3) dt t так что dM = 0. (15.4) dt Так как для энергии того же элемента имеем E = M c2, (15.5) то и dE = 0. (15.6) dt Вместо равенства (7.13), являющегося частным случаем (12.9) из §3.12, мы можем взять равенство dE = 0. (15.7) dt fix являющееся соответствующим частным случаем равенства (13.18) из §3.13, следующего из (12.9) той же Главы 3. Так как теперь рассмотрение ведется в сопутствующем пространстве, то мы можем отбросить индекс “fix” и написать (15.6), а в следствие (15.5) — написать и (15.4).

4.16 Признаки экстремумов объема Из (15.4) и (15.6) следует, что, при любом выборе координаты времени dM = 0, (15.8) dt dE = 0, (15.9) dt т. е. масса и энергия элемента вещества остаются неизменными.

Для плотности в данной точке мы можем, вследствие (13.2) и (13.3) из §3.13, написать =, t. (15.10) h §4.16 Признаки экстремумов объема Из равенства (12.7) §2. явствует, что величина элемента про странства отличается от h множителем, не зависящим от вре менн й координаты. Поэтому, желая изучить поведение во вре о мени величины объема элемента пространства, мы можем огра ничиться рассмотрением изменения h в зависимости от t. Рас смотрим признаки экстремумов объема любого данного элемен та при его изменении с течением времени. Выбрав простран ственные координаты так, чтобы в интересующей нас точке име ло место условие h 0, (16.1) мы можем признаки экстремумов записать в следующем виде:

необходимые признаки минимума 2 h h = 0, 0, (16.2) t t достаточные признаки минимума 2 h h = 0, 0, (16.3) t t необходимые признаки максимума 2 h h = 0, 0, (16.4) t t достаточные признаки максимума 2 h h = 0, 0. (16.5) t t Здесь и везде, если не оговорено противное, имеются в виду регулярные экстремумы.

Глава 4 Некоторые космологические следствия С одной стороны, мы имеем c2 h h =2, c w t t (16.6) c2 c2 w h 2 h h = +.

t2 c2 w c2 w t t t С другой стороны h h 2 D + D2, = hD, =h (16.7) t t t поэтому w h = 1 2 hD, t c (16.8) 2 h w 2 D w + D2 D = h 1 2.

t2 c t t Ограничиваясь рассмотрением экстремумов, имеющих место при конечном объеме данного элемента (следовательно, при ко нечной плотности), мы убеждаемся, что условия (16.2–16.5) рав носильны, соответственно, условиям D D = 0, 0, (16.9) t D D = 0, 0, (16.10) t D D = 0, 0, (16.11) t D D = 0, 0. (16.12) t Эти признаки, а следовательно — понятия минимума и мак симума — не зависят от выбора временной координаты. Заме тим, что признак неускоренного изменения объема (необходи мый признак точки перегиба функции h от t) имеет вид 2 h =0 (16.13) t или, иначе, c D w + D2 D = 0, (16.14) c2 w t t 4.17 Поведение объема элемента следовательно, понятия ускоренного и неускоренного изменения тоже зависят от выбора координаты времени. Выбирая коорди нату времени так, чтобы w = 0, (16.15) мы приведем (16.14) к совпадению с х.и.-условием D + D2 = 0, (16.16) t где, как и в случае экстремумов, предполагается конечность h.

§4.17 Поведение объема элемента Рассматривая космологические уравнения, мы видим, что функция h от t связана явной зависимостью лишь с,, j j и Z через уравнения (7.13), (7.15) и (7.16). В последующих па раграфах мы постараемся выяснить некоторые ограничения, на кладываемые этими уравнениями на изменения объема элемен та при неизменности пространственных координат и при изме нении произвольной координаты времени. При этом, однако, мы будем рассматривать поведение не величины h, а величины = h. (17.1) Обозначая звездочкой над буквой х.и.-дифференцирование по времени, мы можем написать ln h D= =3, (17.2) t D =3. (17.3) t Нетрудно установить, что при конечных h, следовательно, при конечных, при минимуме или максимуме одной из этих величин имеет место минимум или, соответственно, максимум и другой. Следовательно, условия (16.9–16.12) равносильны, со ответственно = 0, 0, (17.4) = 0, 0, (17.5) Сравн. с R в обычных уравнениях для однородной модели.

Глава 4 Некоторые космологические следствия = 0, 0, (17.6) = 0, 0. (17.7) Введем вспомогательные величины и (последнюю мы условимся называть показателем кривизны) так, чтобы 2j j =, (17.8) 1 c2 Z + 3j j = 3 2. (17.9) 2 Тогда уравнения (7.13), (7.15) и (7.16) примут вид, соответ ственно + 3 = 0, (17.10) 3 + 2 = +, 3 (17.11) c2 2c 2 3 + 3 2 2 = +, (17.12) 2 c c а уравнение (14.3), после почленного умножения на 2, =. (17.13) Любое из четырех уравнений (17.10–17.13) может быть по лучено как следствие остальных трех. Так, уравнение (17.12), в силу уравнений (17.10) и (17.13), является первым интегралом уравнения (17.11). Поэтому мы можем, в частности, принять за исходные уравнения (17.10), (17.12) и (17.13). Вместо последнего мы можем взять также = dt, (17.14) где точка на символом означает обычное дифференцирование по произвольной временн й координате. Исключая показатель о Сравн. с уравн. (4.2), (5.1) и (5.4) для однородной модели из §1.4 и §1.5.

4.17 Поведение объема элемента кривизны, мы приходим к двум космологическим уравнениям +3 = 0, (17.15) 2 3 dt = + 3 2 2+ 2 2 c c аналогичным (6.1) из §1.6. Исключая далее, мы получим урав нение относительно 2 3 3 +22 dt = +, (17.16) c2 2 c см. (15.10), откуда следует =, t. (17.17) Для решения этого уравнения необходимо знать как функ цию t или. Но можно, делая различные предположения относи тельно величин и, получить некоторые сведения о поведении. В последующих параграфах мы этим и займемся. При этом мы будем предполагать, что не остается неизменной на конеч ном интервале изменения t. Разобьем весь интервал изменения t, на котором определена существенно-положительная функция = (t), (17.18) на наименьшее число интервалов, на каждом из которых эта функция монотонна. Тогда на одной границе каждого (конечного или бесконечного) интервала мы будем иметь наименьшее, для данного интервала, значение функции и на другой границе — наибольшее. Будем предполагать, что эта функция непрерыв на всюду и что ее производная непрерывна при всяком значе нии функции, неравном нулю (иначе говоря, при всяком конеч ном значении плотности). Тогда наименьшие значения функции = (t) могут быть 6-ти типов, которые мы обозначим как a, m, p, q, r, s. Наибольшие значения могут быть 3-х типов, обознача емых нами как A, D, M. Под этими обозначениями мы подразу меваем следующее:

a — отличное от нуля асимптотическое значение, к кото рому функция приближается сверху (при изменении координаты времени в положительном или отрица тельном направлении);

Глава 4 Некоторые космологические следствия m — отличный от нуля минимум функции;

p — равное нулю асимптотическое значение;

q — равное нулю значение функции с равной нулю произ водной;

— равное нулю значение функции с неравной нулю ко r нечной производной;

— равное нулю значение функции с производной, обра s щающейся в бесконечность;

— конечное асимптотическое значение, к которому фун A кция приближается снизу (при изменении координа ты времени в положительном или отрицательном на правлении);

— бесконечность;

D M — конечный максимум функции.

Соответствующие состояния элемента объема мы будем име новать следующим образом. Состояния конечной плотности:

D — предельное состояние бесконечного разрежения;

M — состояние максимального объема;

A — состояние неизменного объема;

a — состояние неизменного объема;

m — состояние минимального объема.

Состояния бесконечной плотности (p, q, r и s):

p — асимптотическое состояние бесконечной плотности;

q — минимальное состояние бесконечной плотности;

r — коллаптическое состояние бесконечной плотности;

s — особое состояние бесконечной плотности.

Из перечисленных состояний в теории непустых однородных моделей (см. §1.7) встречаются все, кроме состояний p, q и r.

§4.18 Изменения показателя кривизны Мы фиксируем пространственные координаты и рассматриваем xi, и как функции только временн й координаты. Но вре о менн я координата на каждом интервале монотонного изменения а 4.18 Изменения показателя кривизны связана с этой функцией взаимно-однозначным соответстви ем. Поэтому на каждом из указанных интервалов удобно также рассматривать и как функции. Из (17.13) очевидно, что =, = d. (18.1) Мы будем пользоваться уравнениями 3 3 + = +, (18.2) c2 2c2 2 3 2 3 = + 2, + (18.3) 2 c c равносильными, для конечных значений, уравнениям, получа емым в результате исключения из (17.10–17.12). В силу (18.1) уравнение (18.3) есть первый интеграл уравнения (18.2), так что можно было бы ограничиться рассмотрением уравнения (18.3).

Но некоторые следствия удобнее получать из (18.2), поэтому мы будем рассматривать также и это уравнение.

Из ограничений, наложенных в предыдущем §4.17 на функ цию и ее производную, в силу (17.12), (18.3) и непрерывности w c2 следует, что при = 0 величина есть непрерывная функ ция от t. Следовательно, показатель кривизны есть непрерыв ная функция от на любом конечном интервале изменения, не содержащем нуля. Мы будем, как сказано, рассматривать ин тервалы, на которых есть монотонная функция t. Рассмотрим различные случаи.

Случай I:

0. (18.4) Этот случай реализуется, в частности, при условиях j j 0, 0, (18.5) т. е. при наличии и сохранении в данной точке механической и, следовательно, также и геометрической изотропии (см. §4.11).

Из (18.4), вследствие (18.1), получаем = const 0. (18.6) Таким образом, в рассматриваемом случае 0, т. е. при условиях (18.5), возможны три следующих случая показателя кривизны:

Глава 4 Некоторые космологические следствия (1) показатель кривизны положителен;

(2) показатель кривизны равен нулю;

(3) показатель кривизны отрицателен.

Эти случаи мы будем, для краткости, обозначать I1, I2, I3. Мы можем ввести R = R (t) (18.7) таким образом, чтобы в рассматриваемой точке k R k = 0;

±1.

=, =, (18.8) c2 2 R R Выбирая, кроме того, координаты времени так, чтобы в дан ной точке w 0, (18.9) мы приводим космологические уравнения (7.10–7.12) для данно го элемента к виду, принятому в теории однородной Вселенной.

Случай II:

0. (18.10) Этот случай реализуется, в частности, при условиях j j = 0, 0, (18.11) т. е. при анизотропной (вообще говоря) деформации в отсутствии динамического абсолютного вращения в данной точке.

Из (18.10), вследствие (18.1), находим, что показатель кривиз ны с возрастанием не убывает, а с убыванием не возрастает.

Очевидно возможны следующие случаи:

(1) показатель кривизны положителен при наименьшем значе нии, следовательно показатель кривизны положителен и при всех значениях на рассматриваемом интервале;

(2) показатель кривизны равен нулю на одной из границ или внутри интервала и, в частности, при переходе от меньших значений к б льшим, показатель кривизны может стать о из отрицательного положительным;

(3) показатель кривизны отрицателен при наибольшем значе нии, следовательно, он также отрицателен и при всех значениях на рассматриваемом интервале.

4.19 Состояния бесконечной плотности Для этих случаев мы примем обозначения II1, II2, II3.

Случай III (общий случай):

0. (18.12) И здесь мы будем различать три различных случая, которые мы условимся обозначать III1, III2, III3 :

(1) показатель кривизны положителен на всем интервале (с границами);

(2) показатель кривизны принимает значения, равные нулю, и, в частности, может менять знак;

(3) показатель кривизны остается отрицательным на всем ин тервале значений, включая границы.

§4.19 Состояния бесконечной плотности При приближении элемента объема к асимптотическому состо янию бесконечной плотности p = 0, p = 0.

p = 0, (19.1) При приближении элемента к минимальному состоянию бес конечной плотности q = 0, q q = 0, 0. (19.2) В обоих случаях из (18.2) и (18.3) следует, что, (19.3) +. (19.4) Нетрудно убедиться, что вследствие конечности и непре рывности показателя кривизны при = 0, из условия (19.4) вы текает (19.3).

При приближении элемента к коллаптическому состоянию бесконечной плотности r = r = 0, (19.5) и из условия (18.3) мы получаем (19.4), а следовательно и также (19.3).

Глава 4 Некоторые космологические следствия Из полученного следует, что в случаях I1, I2, I3, II1, II2, II3, III3 асимптотическое, минимальное и коллаптическое состояния бесконечной плотности невозможны, а в случаях III1 и III2 воз можны при соответствующем поведении показателя кривизны.

О возможности состояний и типов, не запрещаемых результата ми данного исследования, см. также §4.25.

При приближении элемента объема к особому состоянию бес конечной плотности мы имеем ±.

0, (19.6) Очевидно, при соответствующем порядке стремления вели чины к бесконечности особые состояния бесконечной плотно сти мыслимы при всех различаемых в §4.18 случаях (подробнее см. §4.25).

§4.20 Предельные состояния бесконечного разрежения Пусть. (20.1) Рассмотрим отдельно случаи положительной, равной нулю и отрицательной космической постоянной.

Если космическая постоянная положительна, то (18.2) и (18.3) при условии (20.1) дают, соответственно, + +, (20.2) 2 + +. (20.2) Следовательно, при соответствующем характере изменения и, элемент может стремиться к предельному состоянию бес конечного разрежения во всех девяти случаях, рассмотренных в §4.18 (см. также §4.25 и §4.26).

Если космическая постоянная равна нулю, то (18.2) и (18.3) при условии (20.1) дают + 0, (20.4) 2 + 0. (20.5) 4.21 Состояния неизменного и минимального объема Таким образом, показатель кривизны стремится к неположи тельному значению, тогда как производная показателя кривиз ны, в зависимости от характера изменения, может вести се бя различным образом. Следовательно, стремление элемента к предельному состоянию бесконечного разрежения невозможно в случаях I1, II1, III1.

Если, наконец, космическая постоянная отрицательна, то из (18.2) и (18.3) при условии (20.1) имеем, соответственно, +, (20.6) 2 +. (20.7) Из (20.7) находим, что, (20.8) откуда следует, что не может оставаться неотрицательным.

Следовательно, стремление элемента к предельному состоянию бесконечного разрежения невозможно в случаях I1, I2, I3, II1, II2, II3, III1.

§4.21 Состояния неизменного и минимального объема При приближении элемента к состоянию неизменного объема мы имеем 0, 0, (21.1) так что, в пределе (18.2) и (18.3) дают 3 = 2 +, (21.2) 2c2 3 + 2.

= (21.3) c2 В состоянии минимального объема = 0, 0 (21.4) и, следовательно, (18.2) переходит в 3 +, (21.5) 2c2 Глава 4 Некоторые космологические следствия а (18.3) переходит в (21.3). Следовательно, как при неизменном, так и при минимальном объеме, (21.6) 2c 2. (21.7) c Рассмотрим отдельно, как и в §4.20, случаи положительной, равной нулю и отрицательной космической постоянной.

При положительной космической постоянной из (21.7) сле дует, что прохождение через состояние минимального объема и асимптотическое приближение сверху к состоянию неизменного объема невозможны в случаях I2, I3, II2, II3, III3, а асимптотиче ское приближение снизу невозможно в случаях I2, I3, II3, III3.

При космической постоянной, равной нулю, из соотношений (21.6) и (21.7) следует, что прохождение через состояние мини мального объема и асимптотическое приближение (сверху или снизу) к состоянию неизменного объема невозможны в случаях I1, I2, I3, II1, II2, II3, III3.

Наконец, при отрицательной космической постоянной из (21.6) и (21.7) следует, что прохождение через состояние мини мального объема и асимптотическое приближение к состоянию неизменного объема невозможно в случаях I1, I2, I3, II1, II2, II3.

§4.22 Состояния максимального объема В состоянии максимального объема = 0, 0 (22.1) и из (18.2) и (18.3) следует 3 +, (22.2) 2c2 3 + 2, = (22.3) c так что, (22.4) c 2. (22.5) c 4.23 Изменения, ограниченные снизу и сверху Из (22.5) следует, что при неотрицательной космической по стоянной состояние максимального объема невозможно в случа ях I2, I3, II3, III3. При отрицательной космической постоянной уравнения (18.2) и (18.3) допускают состояние максимального объема во всех девяти случаях, перечисленных в §4.18 (см. так же §4.25 и §4.26).

§4.23 Изменения, ограниченные снизу и сверху Обратимся к случаям, когда монотонное изменение ограничено снизу и сверху. Снизу — ограничено конечным асимптотическим или конечным минимальным значением 1. Сверху — ограни чено асимптотическим или максимальным значением 2. Тогда очевидно, что 1 2, (23.1) 1 = 0 = 2, (23.2) 1 0. (23.3) При неотрицательной космической постоянной из (18.2) по лучаем 1 2. (23.4) При неположительной космической постоянной (18.3) дает 1 2. (23.5) Вследствие (23.4) и (23.5) рассматриваемые типы изменения невозможны в случаях I1, I2, I3 при положительной космической постоянной и в случаях I1, I2, I3, II1, II2, II3 при неположительной космической постоянной.

§4.24 Область действительных деформаций элемента В предшествующих пяти §4.19–§4.23 мы получали ряд запре тов или ограничений, накладываемых на поведение элемента уравнениями (18.1) и (18.3) или равносильными им уравнени ями (7.13), (7.15) и (7.16). Таким образом, мы выполнили задачу, поставленную в §4.17. Эти запреты, как легко видеть, предста вляют собою обобщение запретов, налагаемых космологически ми уравнениями на поведение любого элемента однородной Все ленной (при давлении, равном нулю).

Глава 4 Некоторые космологические следствия Полученные запреты могут быть найдены также из рассмо трения в плоскости, области действительных деформаций элемента, т. е. области, в которой 0, (24.1) 2 0. (24.2) В силу уравнения (18.3), из (24.2) следует c2 + 2.

(24.3) 3 Таким образом, область действительных деформаций огра ничена осью ординат и критической кривой c2 + 2, = 0. (24.4) 3 Рассмотрим ход этой кривой. При положительной космиче ской постоянной эта кривая целиком расположена в первой че тверти, всюду выпукла к оси абсцисс и имеет минимум при =. (24.5) При стремлении к нулю (ось ординат служит асимптотой) +,, (24.6) при стремлении к бесконечности +, +. (24.7) При космической постоянной, равной нулю, критическая кривая также лежит целиком в первой четверти и выпукла по оси абсцисс. Как легко видеть, она представляет собою ветвь равнобочной гиперболы, асимптотами которой служат оси коор динат, так что при стремлении к нулю выполняются соотно шения (24.6), а при стремлении к бесконечности 0, 0. (24.8) 4.24 Область действительных деформаций элемента Наконец, при отрицательной космической постоянной крити ческая кривая изображает, как и в предыдущем случае, моно тонно убывающую функцию. Кривая всюду выпукла к оси аб сцисс и пересекает ее в точке =3, (24.9) являющейся, следовательно, точкой перегиба. При стремлении к нулю, как и в предыдущих случаях, имеют место соотноше ния (24.6), ось ординат служит асимптотой. При стремлении к бесконечности,. (24.10) В случае положительной космической постоянной действи тельные состояния бесконечного разрежения изображаются точками бесконечно удаленной прямой = +. (24.11) В случае космической постоянной, равной нулю, эти состоя ния изображаются полупрямой = +, 0. (24.12) Наконец, в случае отрицательной космической постоянной эти состояния изображаются точкой =.


= +, (24.13) Особые состояния бесконечной плотности изображаются все ми точками оси ординат. Асимптотические, минимальные и кол лаптические состояния бесконечной плотности изображаются одной точкой этой оси = 0, = +. (24.14) Состояния неизменного, минимального и максимального объ ема изображаются точками на критической кривой. Асимптоти ческое приближение к состоянию неизменного объема изобра жается, как легко сообразить, приближением к точке, изобра жающей это состояние, по кривой, имеющей в этой точке каса тельную, общую с критической кривой.

Глава 4 Некоторые космологические следствия §4.25 Типы монотонных изменений объема Каждый тип поведения элемента мы условимся обозначать по следовательностью букв, указывающих на проходимую элемен том в течение времени последовательность состояний, ограничи вающих интервалы монотонного изменения его объема. Согласно этому условию, типы, рассматриваемые в теории непустой одно родной Вселенной, должны быть обозначены следующим обра зом:

A1 — sA (расширение) или As (сжатие);

A2 — aD (расширение) или Da (сжатие);

M1 — sD (расширение) или Ds (сжатие);

M2 — DmD ;

O1 — sM s ;

O2 —... mM mM...

Очевидно, число мыслимых типов поведения элемента на ин тервале монотонного изменения его объема равно 18 для случая расширения и такому же числу для случая сжатия (соответ ственно, 6 типов наименьшего значения и 3 типа наибольшего значения). Перечислим типы расширения (меняя местами бу квы, мы получим обозначения соответствующих типов сжатия).

1. Изменения, ограниченные конечным значением только снизу: aD, mD.

2. Изменения, ограниченные конечными значениями снизу и сверху: aA, aM, mA, mM.

3. Изменения, ограниченные конечным значением только сверху: pA, pM, qA, qM, rA, rM, sA, sM.

4. Неограниченные изменения: pD, qD, rD, sD.

Типы aD и mD и соответствующие типы сжатия невозможны в случаях (см. §4.20 и §4.21) 0: I 2, I3 ;

II2, II3 ;

III3 =0: I 1, I2, I 3 ;

II1, II2, II3 ;

III1, III3. (25.1) 0: I 1, I2, I 3 ;

II1, II2, II3 ;

III1, 4.25 Типы монотонных изменений объема Типы aA, aM, mA, mM и соответствующие типы сжатия не возможны в случаях (см. §4.21, §4.22 и §4.23) 0 : I 1, I2, I 3 ;

II2, II3 ;

III = 0 : I1, I2, I3 ;

II1, II2, II3 ;

III3. (25.2) 0 : I, I, I ;

II, II, II 1 2 3 1 2 Типы pA, pM, qA, qM, rA, rM и соответствующие типы сжа тия невозможны в случаях (см. §4.19, §4.21 и §4.22) 0: I 1, I 2, I3 ;

II1, II2, II3 ;

III3. (25.3) Тип sA и соответствующий тип сжатия невозможны в слу чаях (см. §4.19 и §4.21) 0: I 2, I3 ;

II3 ;

III = 0 : I1, I2, I3 ;

II1, II2, II3 ;

III3. (25.4) 0 : I, I, I ;

II, II, II 1 2 3 1 2 Тип sM и соответствующий тип сжатия невозможен в слу чаях (см. §4.19 и §4.22) 0: I 2, I3 ;

II3 ;

III3. (25.5) Типы pD, qD, rD и соответствующие типы сжатия невозмож ны в случаях (см. §4.19 и §4.20) 0: I 1, I2, I3 ;

II1, II2, II3 ;

III. (25.6) 0: I 1, I2, I3 ;

II1, II2, II3 ;

III1, III Типы sD и соответствующий тип сжатия невозможны в слу чаях (см. §4.19 и §4.20) =0: I1 ;

II1 ;

III. (25.7) 0: I 1, I2, I3 ;

II1, II2, II3 ;

III Мы перечислили здесь для каждого типа случаи, в кото рых он запрещен ограничениями, вытекающими из соотноше ний (7.13), (7.15) и (7.16) и изложенными в §4.19–§4.23. Рассмо трение критической кривой в области действительных дефор маций (см. §4.24) позволяет без труда установить, что каждый Глава 4 Некоторые космологические следствия тип возможен (точнее, допустим) уравнениями (7.13), (7.15) и (7.16) во всех случаях, в которых он не запрещен упомянутыми ограничениями.

Мы приводим здесь таблицы, в которых для каждого слу чая указаны типы (для краткости – только типы расширения), допускаемые уравнениями (7.13), (7.15) и (7.16) или, что то же, допускаемые уравнениями (18.1) и (18.3). О значении подчерки вания и скобок см. §4.27.

§4.26 Возможность произвольного поведения элемента объема Выше мы рассмотрели ограничения, накладываемые уравнени ями (7.13), (7.15) и (7.16) на поведение с изменением временн й о координаты при фиксированных пространственных координа тах. Приведем здесь некоторые соображения, позволяющие за ключить, что остальные космологические уравнения не накла дывают дополнительных ограничений на поведение в данной точке с течением времени.

Известно [59], что всегда можно ввести такие координаты (, x1, x2, x3 ), в которых выполняются условия (гармонические x координаты) g g = 0. (26.1) x В этих координатах уравнения тяготения могут быть пред ставлены в форме 1 g g g + g = T gT, (26.2) 2 где обозначено g, (26.3) x x и, следовательно, уравнения тяготения могут быть приведены к нормальному виду 2 g = F x0, x1, x2, x3 ;

g 00, g 01,..., g 33 ;

3 x x (26.4) 00 00 33 2 g 2 g 2 g g g g,,..., ;

,,..., 3 1.

0 1 x3 0 x0 x 0 x x x x x x Но, вообще говоря, не во всякой системе отсчета.

4.26 Произвольное поведение элемента объема I1 I2 I aD (A2 ), mD [ M2 ] 0 sA (A1 ) sM [ O1 ] sD (M1 ) sD (M1 ) sD (M1 ) = sM [ O1 ] sD (M1 ) sD (M1 ) sM [ O1 ] sM [ O1 ] sM [ O1 ] Таблица 4.1 Типы эволюции элемента для случая I, т. е. при на личии и сохранении механической и геометрической изотропии II1 II2 II aD (A2 ), mD aA, aM, mA, mM 0 sA (A1 ) sA (A1 ) sM sM [ O1 ] sD (M1 ) sD (M1 ) sD (M1 ) = sM [ O1 ] sM [ O1 ] sD (M1 ) sD (M1 ) sM [ O1 ] sM [ O1 ] sM [ O1 ] Таблица 4.2 Типы эволюции элемента для случая II, т. е. при наличии анизотропной деформации в отсутствии динамического абсолютного вращения III1 III2 III aD (A2 ), mD aD (A2 ), mD aA, aM, mA, mM aA, aM, mA, mM 0 pA, pM, qA, qM, rA, rM pA, pM, qA, qM, rA, rM sA (A1 ) sA (A1 ) sM sM pD, qD, rD pD, qD, rD sD (M1 ) sD (M1 ) sD (M1 ) aD (A2 ), mD aA, aM, mA, mM aA, aM, mA, mM =0 pA, pM, qA, qM, rA, rM pA, pM, qA, qM, rA, rM sA (A1 ) sA (A1 ) sM sM pD, qD, rD sD (M1 ) sD (M1 ) aD (A2 ), mD aD (A2 ), mD aA, aM, mA, mM aA, aM, mA, mM aA, aM, mA, mM 0 pA, pM, qA, qM, rA, rM pA, pM, qA, qM, rA, rM sA (A1 ) sA (A1 ) sA (A1 ) sM sM sM pD, qD, rD sD (M1 ) sD (M1 ) Таблица 4.3 Типы эволюции элемента для случая III (общий случай) Глава 4 Некоторые космологические следствия 4.26 Произвольное поведение элемента объема В таком случае можно воспользоваться общей теоремой су ществования интегралов, удовлетворяющих заданным началь ным условиям при x3 = a3 = const, (26.5) g x x g = f (0, x1, x2 ), = f3 (0, x1, x2 ).

(26.6) x Все 20 функций, стоящих в правых частях равенств (26.6), должны удовлетворять† лишь 4-м условиям гармоничности (26.1). Таким образом, 16 из этих функций, а следовательно — не менее 6-ти из 10-ти функций f могут быть заданы нами произвольно.

Свяжем интересующую нас сопутствующую координатную систему (x0, x1, x2, x3 ) общими преобразованиями x0 = x0 (0, x1, x2, x3 ) x (26.7) xi = xi (0, x1, x2, x3 ) x с некоторой гармонической координатной системой. Выберем в последней координаты, а в сопутствующей координатной систе ме — точку xi = ai = consti (26.8) так, чтобы эта точка всегда оставалась на поверхности (26.5).

Тогда, очевидно, для этой точки мы будем иметь g = f (x0 ), (26.9) где обозначено‡ x x f = f. (26.10) x x a Таким образом, 10 величин f суть линейные функции 10 ти величин f a, из которых по крайней мере 6 могут быть заданы произвольно. Поэтому мы можем задать вместо f a по крайней мере 6 из величин f.

Мы предполагаем, что все требования непрерывности и дифференцируемо сти, нужные для этого, выполнены.

† Сверх обычных требований непрерывности и существования непрерывных первых производных.

‡ Индекс a означает, что взятые в скобки функции рассматриваются вдоль мировой линии, описываемой точкой (26.8) сопутствующего пространства в гар монической системе.

Глава 4 Некоторые космологические следствия Из сказанного следует, что, задав в данной точке простран ства величины w, v 1, v 2, v 3 как функции временн й координаты, о мы можем задать в этой же точке в виде функций координаты времени еще, по крайней мере, две из величин hik или hik. Или мы можем задать две функции этих величин hik или hik, при чем в качестве одной из этих функций можно, как легко видеть, выбрать величину. В таком случае:

• смысл ограничений, накладываемых космологическими уравнениями (7.13), (7.15) и (7.16) на поведение величины, состоит в установлении зависимости между характером поведения этой величины и характером поведения показа теля кривизны;


• остальные космологические уравнения не могут давать до полнительных связей между и, т. к. тогда для этих ве личин существовало бы не менее двух независимых урав нений и произвольное задание (t) было бы невозможно;

• при переходе с течением времени из одного интервала монотонного изменения в другой, любой тип монотонно го изменения может смениться любым, допустимым при данной космической постоянной и заданном характере по ведения показателя кривизны.

Из сказанного выше следует также, что произвольное зада ние для всех элементов некоторого конечного объема, вообще говоря, невозможно.

В заключение перечислим сведения, могущие быть получен ными из космологических уравнений, рассматриваемых как уравнения для данной точки.

Предположим, что в данной точке заданы w = 0, (26.11) w = 0, (26.12) xi vi = 0, (26.13) значения величин, 1, 2, 3 и 5 из 6-ти величин hik как функ ции координаты времени (иначе говоря, известны 5 функций f ik для данной точки). Тогда:

• уравнение (7.14) будет удовлетворено вследствие условий (26.11) и (26.13);

4.27 Типы поведения элемента • уравнения (7.13) и (7.15) определят 6-ю величину из всех величин hik и ;

• уравнение (7.15) определит величину Z ;

• уравнение (7.17), вследствие (10.14), определит 5 величин Zi 1 hk Z ;

k 3i • уравнение (7.19) связывает поведение данного элемента с поведением смежных элементов при знании зависимости величин i от пространственных координат.

§4.27 Типы поведения элемента Рассмотрим теперь типы поведения элемента на всем интервале изменения, на котором эта величина и плотность остаются ко нечными. Очевидно, ограничивающими состояниями при этом могут быть все, кроме m и M, и из 18-ти типов монотонного расширения (и, соответственно, сжатия) 10 являются типами поведения на всем интересующем нас интервале. В Таблице 4.1, Таблице 4.2 и Таблице 4.3 эти типы подчеркнуты. Из них 7 не возможны для однородной Вселенной (типы aA, pA, qA, rA, pD, qD, rD), в то время как 3 типа (aA, sA, sD) совпадают, соответ ственно, с типами A2, A1, M1, которые возможны для однородной Вселенной (в таблицах эти типы обозначены в круглых скобках).

Мыслимы случаи, когда из состояния m или M для элемента возможен переход (в результате монотонного изменения объема) только к одному состоянию и, притом, к состоянию из числа со стояний бесконечной плотности, неизменного объема или беско нечного разрежения. В таких случаях тип монотонного измене ния объема элемента вполне определяет тип поведения его на всем интересующем нас интервале. Так, например, если из со стояния m возможен переход только в состояние D, то наличие типа mD означает наличие типа DmD, совпадающего с типом M2. Если из состояния M возможен переход только в состояние s, то наличие типа sM указывает на тип sM s, совпадающий с типом O1. Это действительно имеет место в ряде случаев, рас сматриваемых в Таблице 4.1 и Таблице 4.2 и отмечено обозначе ниями, заключенными в прямые скобки.

Изложенные в данном §4.27 соображения достаточны для на хождения всех типов поведения:

Мы видим, таким образом, что задание всех 6-ти величин f ik при задании (26.11) не допускается космологическими уравнениями для данной точки.

Глава 4 Некоторые космологические следствия • в случаях I1, I2, I3, II2, II3 при 0;

• в случае II1 при 0;

• в случае III3 при 0.

Для нахождения типов поведения • в случае II1 при 0, • в случаях III1 и III2 при 0, • в случае III3 при нужно воспользоваться сделанным в предыдущем §4.26 указа нием на возможность комбинирования типов монотонного изме нения объема. Это указание позволяет сделать следующие за ключения:

• в случаях II1, 0 и III3, 0 возможен переход от любого из состояний a, m, s к любому из состояний A, M, D и обратно;

• в случаях III1, 0 и III2, 0 возможен переход от любого из состояний a, m, p, q, r, s к любому из состояний A, M, D и обратно;

• наконец, в случае III1, 0 возможен переход от любого из состояний a, m, p, q, r, s к любому из состояний A, M и обратно.

Отметим, что во всех этих случаях возможно существование типа... mM mM mM..., т. е. типа O2.

§4.28 Роль динамического абсолютного вращения и анизотро пии деформации Для выяснения влияния, оказываемого динамическим абсолют ным вращением и анизотропией деформации, рассмотрим сле дующие случаи: (1) отсутствие динамического абсолютного вра щения при изотропии деформации;

(2) отсутствие динамическо го абсолютного вращения при анизотропии деформации;

(3) на личие динамического абсолютного вращения при анизотропии деформации.

Отсутствие абсолютного вращения при изотропии деформации Пусть в данной точке сохраняется механическая, а следова тельно, и геометрическая изотропия. Как легко увидеть из §4.11, 4.28 Роль вращения и анизотропии деформации необходимые и достаточные условия этого могут быть предста влены в виде j j = 0.

0, (28.1) Тогда, очевидно, с одной стороны 0, = const, (28.2) с другой стороны c2 Z = 3. (28.3) В §4.14 мы видели, это следует также из (28.3), что при нали чии и сохранении изотропии в данной точке средняя кривизна в ней меняется с изменением объема элемента так же, как и в однородной Вселенной. Из (28.2), см. Таблицу 4.1, с учетом (28.3) мы находим, что типы поведения объема элемента, возможные при данной космической постоянной и данной (в смысле знака или равенства нулю) средней кривизне, являются теми же, что и в случае однородной Вселенной. Более того, в §4.18 мы видели, что при (28.2) уравнения (7.13), (7.15) и (7.16) могут быть для данной точки пространства приведены к виду, свойственному уравнениям для однородной Вселенной.

Отсутствие абсолютного вращения при анизотропии дефор мации Пусть в данной точке динамическое абсолютное вращение по прежнему отсутствует, но имеет место анизотропия деформации j j = 0.

0, (28.4) Тогда, как легко видеть, 0, (28.5) c2 Z 3. (28.6) Анизотропия деформации, вообще говоря, усложняет зави симость поведения средней кривизны от поведения объема эле мента (см. §4.14) и, в частности, делает возможным изменение знака средней кривизны.

При отсутствии динамического абсолютного вращения ани зотропия деформации вызывает появление новых, сравнитель но со случаем однородной Вселенной, типов поведения элемента Глава 4 Некоторые космологические следствия (см. Таблицу 4.2). При положительной космической постоянной и всегда, при положительном показателе кривизны, оказыва ются возможными ограниченные и сверху и снизу монотонные изменения объема элемента (типы aA, aM, mA, mM ). Следова тельно, при этом оказывается возможным и тип O2. Отметим также, что при всякой космической постоянной и при всегда неположительной средней кривизне возможны те и только те типы поведения, которые при той же космической постоянной и при неположительной кривизне возможны в случае однородной Вселенной.

Наличие абсолютного вращения при анизотропии деформации Пусть в данной точке имеют место анизотропия деформации и динамическое абсолютное вращение. Рассмотрим общий слу чай, когда может быть больше, равно и меньше, чем 2j j.

Тогда, очевидно 0, (28.7) c2 Z 3. (28.8) Вследствие (28.7), см. Таблицу 4.3, типы aA, aM, mA, mM и, следовательно, тип O2, оказываются возможными не только при положительной космической постоянной, но и когда космиче ская постоянная равна нулю или отрицательна. Причем, в случае неотрицательной космической постоянной показатель кривизны не должен оставаться всегда положительным, в то время как при отрицательной космической постоянной это ограниче ние не имеет места†.

При наличии динамического абсолютного вращения стано вятся также возможными новые состояния p, q, r и связанные с ними типы pA, qA, rA, pM, qM, rM, pD, qD, rD.

Таковы некоторые следствия анизотропии деформации и ди намического абсолютного вращения.

Следовательно, в силу (28.6), при всегда положительной средней кривизне.

† Какой бы знак ни имел показатель кривизны, условие (28.8) допускает при этом и положительную, и равную нулю, и отрицательную среднюю кривизну.

Литература 1. Tolman R. C. Relativity, thermodynamics, and cosmology. Clarendon Press, Oxford, 1934.

2. Milne E. A. Relativity, gravitation, and world-structure. Clarendon Press, Oxford, 1935.

3. Robertson H. P. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 15, 822, 1929.

4. Einstein A. Berlinere Berichte, 142, 5. Friedmann A. Zeitschrift f r Physik, 10, 377, 1922.

u 6. Einstein A. Berlinere Berichte, 235, 1931.

7. Эддингтон А. Теория относительности. ГТТИ, Москва, 1934.

8. Levi-Civita T. Das absolute Differentialkalk l. Springer, Berlin, 1928.

u 9. de Sitter W. Kon. Ned. Acad. Amsterdam Proc., 19, 1217, 1917.

10. de Sitter W. Monthly Notices, 78, 3, 1917.

11. Lematre G. Journal of Mathematical Physics, 4, 188, 1925.

12. Friedmann A. Zeitschrift f r Physik, 21, 326, 1924.

u 13. Lanczos K. Physikalische Zeitschrift, 23, 539, 1922.

14. Weyl H. Physikalische Zeitschrift, 24, 230, 1923.

15. Lematre G. Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 47A, 49, 1927;

Monthly Notices, 91, 483, 1931.

16. Lematre G. Bull. Astron. Inst. Netherlands, 5, 273, 1930.

17. Heckmann O. Gttingene Nachrichten, 97, 1932.

o 18. Robertson H. P. Review of Modern Physics, 5, 62, 1933.

19. Eddington A. S. Monthly Notices, 90, 668, 1930.

20. Tolman R. C. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 14, 268, 1928.

21. Tolman R. C. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 14, 701, 1928.

22. Tolman R. C. Physical Review, 37, 1639, 1931.

23. Tolman R. C. Physical Review, 38, 797, 1931.

24. Tolman R. C. Physical Review, 39, 320, 1932.

25. Milne E. A. Quart. Journal of Math., 5, 64, 1934.

26. McCrea W. H. and Milne E. A. Quart. Journal of Math., 5, 73, 1934.

27. Eigenson M. S. Zeitschrift f r Astrophysik, 4, 224, 1932.

u 28. Eddington A. S. Relativity theory of protons and electrons. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1936.

29. Einstein A. and de Sitter W. Proc. Nat. Ac. Sci. USA, 18, 213, 1932.

30. Tolman R. C. Physical Review, 38, 1758, 1931.

Литература Lanczos K. Zeitschrift f r Physik, 17, 168, 1923.

31. u Hubble E. P. Astrophysical Journal, 64, 321, 1926.

32.

Hubble E. P. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 15, 168, 1929.

33.

Hubble E. P. and Humason M. L. Astrophysical Journal, 74, 43, 1931.

34.

Shapley H. and Ames A. Harvard Annals, 88, 43, 1932.

35.

Hubble E. P. Astrophysical Journal, 79, 8, 1934.

36.

Hubble E. P. Astrophysical Journal, 84, 517, 1936.

37.

Hubble E. P. and Tolman R. C. Astrophysical Journal, 82, 302, 1935.

38.

McVittie G. C. Monthly Notices, 97, 163, 1937.

39.

McVittie G. C. Cosmological theory. Ch. IV. Methuen Monographs, 40.

London, 1937.

McVittie G. C. Monthly Notices, 98, 384, 1938.

41.

McVittie G. C. Zeitschrift f r Astrophysik, 14, 274, 1937.

42. u McCrea W. H. Zeitschrift f r Astrophysik, 9, 290, 1935.

43. u Eddington A. S. Monthly Notices, 97, 156, 1937.

44.

Shapley H. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 24, 148, 1938.

45.

Shapley H. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 24, 527, 1938.

46.

Shapley H. Monthly Notices, 94, 791, 1934.

47.

Shapley H. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 21, 587, 1935.

48.

Shapley H. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 19, 389, 1933.

49.

Shapley H. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 24, 282, 1938.

50.

McCrea W. H. Zeitschrift f r Astrophysik, 9, 98, 1939.

51. u Mason W. R. Philosophical Magazine, 14, 386, 1932.

52.

Фесенков В. Г. Доклады АН СССР, нов. сер., 15, 125, 1937.

53.

Фесенков В. Г. Астрономический Журнал, 14, 413, 1937.

54.

Крат В. А. Изв. Ф.–М. О. при КГУ, сер. 3, 1936–37, отд. оттиск.

55.

Эйгенсон М. С. Доклады АН СССР, нов. сер., 26, 759, 1940.

56.

Картан Э. Геометрия римановых пространств. ОНТИ, Москва– 57.

Ленинград, 1936.

Lamb H. Hydrodynamics. 5th ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 58.

1930.

Lanczos K. Physikalische Zeitschrift, 23, 537, 1922.

59.

Фок В. А. Журнал Эксперим. и Теор. Физики, 9, 375, 1939.

60.

Eisenhart L. P. Trans. Amer. Math. Soc., 26, 205, 1924.

61.

Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.

62.

6-е изд., ГОНТИ, Москва–Ленинград, 1938.

Картан Э. Интегральные инварианты. ГИТТЛ, Москва–Ленинград, 63.

1940.

Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Теория поля. ГИТТЛ, Москва– 64.

Ленинград, 1939.

Предметный указатель абсолютное вращение 189 пространство отсчета — угловая х.и.-скорость силовые вектор и тензор 137, случай Фридмана анизотропия сопутствующая система отсче — геометрическая та 177, — деформации 188, суб-тензоры — кривизны — мера анизотропии теорема Зельманова — механическая теорема о деформации прост ранства большой масштаб теории расширяющейся Все гравитационно-инерциальная ленной сила, х.и.-вектор х.и.-вектор скорости ин-тензоры 49 х.и.-дивергенция — физическая ко-дифференцирование 64 х.и.-дифференцирование космологические уравнения — х.и.-операторы — тяготения 45, 183 х.и.-ротор — энергии 45, 184 х.и.-тензоры кривизны — х.и.-форма 186 — 2-го ранга космологический принцип 12 — 4-го ранга ко-тензоры 62 — х.и.-инвариант кривизна пространства 116 х.и.-тензор кривизны Римана Кристоффеля локально-стационарная систе- — ковариантный ма отсчета 80 — смешанный х.и.-тензор скоростей деформа максимально-ортогональные ции пространственные х.и.-тензор Эйнштейна сечения 116 х.и.-форма уравнений тяготе метрический х.и.-тензор 73 ния 171, х.и.-тензоры Риччи полное дифференцирование по хронометрически инвариант времени ные тензоры потенциалы — метод вариации принцип образца The Classical Theory of Fields Revision Project Collected Papers Treating of Corrections to the Book “The Classical Theory of Fields” by L. Landau and E. Lifshitz The “Course in Theoretical Physics” by L. Landau and E. Lifshitz has for decades served as a set of outstanding textbooks for students and reference for researchers.

Many continue to learn their basic physics from this lucid and extensive exposition of physical theory and relevant mathematical methods.

The second volume of this series of texts, “The Classical Theory of Fields”, is a mainstay source for physicists learning or conducting research in General Relativity. However, it has been realised over the years that “The Classical Theory of Fields” contains a number of serious theoretical errors. The errors are in general not peculiar to this book alone, but are fundamental misconceptions that appear routinely in all textbooks on General Relativity, without exception.

Save for the errors alluded to above, “The Classical Theory of Fields” remains an authoritative and skilful exposition of Einstein’s theory of gravitation. To enhance its already great standing in the scientific literature, the Editorial Board of Progress in Physics, an American journal on physics, proposes a series of papers dealing with corrections of the now obsolete, although rather standard, erroneous arguments contained in “The Classical Theory of Fields”. Any person interested in contributing to this project is invited to submit, for the consideration of the Editorial Board, a paper correcting one or more errors in the book. All papers will undergo review just as any research paper, and be published in Progress in Physics if accepted.

It is envisaged that accepted papers will also be collected together as a supple mentary pamphlet to “The Classical Theory of Fields”, which will be made available free as a download from the Progress in Physics website. Each author’s contribution will bear the author’s name, just like any research paper. All authors must agree to free dissemination in this fashion as a condition of contribution.

Should the pamphlet, at any future time, be considered by the Publisher’s of the “Course in Theoretical Physics”, or any other publisher besides Progress in Physics, as a published supplement packaged with the “Course in Theoretical Physics”, all authors will be notified and can thereafter negotiate, if they wish, issues of royalties with the publisher directly. Progress in Physics will still reserve the right to provide the supplementary pamphlet free, from its website, irrespective of any other publication of the supplementary pamphlet by the publishers of the “Course in Theoretical Physics” or any other publisher. No author shall hold Prog ress in Physics, its Editorial Board or its Servants and Agents liable for any royalties under any circumstances, and all contributors will be required to sign a contract with Progress in Physics to that effect, so that there will be no dispute as to terms and conditions. The Editorial Board of Progress in Physics shall reserve all rights as to inclusion or rejection of contributions.

Those interested in making a contribution should express that interest in an email to the Editors of Progress in Physics who manage this project.

Dmitri Rabounski, Editor-in-Chief Stephen J. Crothers, Associate Editor (the CTFRP organisers) The first edition of “The Classical Theory of Fields” was completed in 1939, and published in Russian. Four revised editions of the book were later published in English in 1951, 1962, 1971, and 1975. Reprints of the book are produced by Butterworth-Heinemann (Elsevier) almost annually.

Зельманов А. Л. Хронометрические инварианты. Am.

Res. Press, 2006, Под ред. Д. Рабунского и С. Дж. Кро зерса, 227 стр. ISBN: 1-59973-012-X.

Эта книга написана в 1944 году Абрамом Леонидови чем Зельмановым, известным ученым работавшим в области Общей Теории Относительности и космологии.

Здесь Зельманов излагает свою теорию физических на блюдаемых величин в Общей Теории Относительности (теория хронометрических инвариантов), и применяет ее для отыскания и классификации всех космологиче ских моделей, теоретически возможных в рамках тео рии Эйнштейна — сценариев эволюции, — которые мог ли бы теоретически реализоваться в реальной неодно родной и анизотропной Вселенной.

US $25.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.