авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

3

Ф. Г. АВХАДИЕВ, Р. Г. НАСИБУЛЛИН

Ф. Г. Авхадиев, Р. Г. Насибуллин

Казанский (Приволжский) федеральный университет,

favhadiev@ksu.ru, nasibullinramil@gmail.com

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ В ОБЛАСТЯХ

С ОГРАНИЧЕННЫМ ВНУТРЕННИМ РАДИУСОМ

Пусть – открытое собственное подмножество, 0 ()

1 – пространство непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в и = () = dist(, ) – функ ция расстояния до границы области. Ф. Г. Авхадиев в статье [1] доказал следующее утверждение: пусть – открытое мно жество в, =. Если 1 и, ( ) то 0 (), (1) ( ) является причем постоянная точной для ряда об ластей.

Неравенство (1) является прямым аналогом классического одномерного неравенства типа Харди (см. [2]).

Используя методы статьи [1], мы доказали следующий ана лог неравенства (1) в том случае, когда и явля ется произвольной областью с конечным внутренним радиусом 0 () := sup{(, ) : }.

Теорема 1. Пусть – произвольное открытое мно жество, причем 0 (), и пусть [1, +) и [1, ].

Тогда для любого (, ) и для любой функции 0 () имеет место неравенство ( ). (2) +(1) 4 Л. Р. АЗМУХАНОВА В случае, когда – выпуклая область в, имеет место Теорема 2. Пусть – открытое множество, ком поненты которого являются выпуклыми множествами, с ко нечным внутренним радиусом 0 (), и пусть 0 () := = dist(, ). Если 1 и 1, то ( ) 0 ()(1), (3) 1 причем, константа неравенства (3) при = 1 является точ ной.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 11-01-00762-a и 12-01-00636-a).

ЛИТЕРАТУРА 1. Avkhadiev F. G., Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math. – 2006. – V. 21. – P. 3–31.

2. Hardy G. H., Littlewood J. E. and Polya G. Inequalities. – Cambridge: Cambridge University Press, 1973. – 340 p.

Л. Р. Азмуханова Казанский (Приволжский) федеральный университет, hq56zx338@yandex.ru ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОПРОСОВ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В 8 КЛАССЕ Знакомство с историей науки полезно для каждого челове ка, а для преподавателя знание основных фактов истории той Л. Р. АЗМУХАНОВА дисциплины, которую он преподает, знание закономерностей ее развития абсолютно необходимо.

Современная школьная программа указывает на необходимость знакомства учеников с фактами из истории математики и биографиями великих ма тематиков. Вопрос об использовании элементов истории в пре подавании математики обсуждался на съездах преподавателей математики еще в XIX – в начале XX века [3]. История матема тики тысячами нитей связана с историей других наук, историей техники, историей искусства, она – существенная часть чело веческой культуры. В ней ясно обозначен вклад в математику ученых, представителей народов Востока и Запада, древних и новых, больших и малых [2]. Экскурс в историческое прошлое оживляет курс математики, поднимает интерес к ее изучению и убеждает учащихся в том, что математика, как и другие на уки, является результатом работы многих великих ученых на протяжении тысячелетий. Также вводимый на уроках истори ческий материал усиливает творческую активность учащихся, это происходит посредством включения их в поиск новых спо собов решения интересных исторических задач. Беседы учите ля с учащимися по истории науки представляют богатейшие возможности для возбуждения творческих сил учащихся, для укрепления их веры в собственные силы. История математики дает в руки учителю огромные возможности для выяснения ро ли математики в развитии других наук. История математики является мощным средством исследования методологических вопросов самой математики, таких, как происхождение поня тий и влияние практики на развитие математики [3].

О значении истории науки прекрасно сказал Г.Лейбниц:

“Весьма полезно познать истинное происхождение замечатель ных открытий, особенно таких, которые были сделаны не слу 6 Л. Р. АЗМУХАНОВА чайно, а силою мысли. Это приносит пользу не столько тем, что история воздает каждому свое и пробуждает других до биваться таких же похвал, сколько тем, что познание метода на выдающихся примерах ведет к развитию искусства откры тия”. Эта сторона истории математики исключительно важна для воспитания молодого поколения, и примерами из истории науки учитель может сделать очень много для пробуждения интереса, по крайней мере, некоторых учащихся к поискам нового и неизвестного. Хорошо подобранными примерами из жизни ученых можно показать, как много неизвестного окру жает нас, находится рядом, но мы только этого не замечаем, поскольку слишком привыкли к нему, и не можем взглянуть на него с новых, непривычных позиций. Основное содержание истории математики видно в выявлении причин появления тех или иных идей, основных понятий и направлений исследова ния, в формулировке закономерностей развития математики, выявлении ее связей с жизнью общества, в том числе с дру гими науками. Знакомство учеников с развитием математики означает продуманное планомерное ознакомление на уроках с наиболее важными событиями из истории науки в органиче ской связи с систематическим изучением программного мате риала. Много значит выбор материала и способ ее изложения.

На уроке на это нужно отводить 3-5 минут, но не более. Если начать такую работу с 5 класса и проводить ее систематиче ски, то со временем исторический элемент станет для самих учащихся необходимой частью урока. В результате такой связи у школьников пробудится повышенный интерес к предмету [3].

Приведем примеры изложения исторического материала неко торых тем курса геометрии для 8 класса.

Л. Р. АЗМУХАНОВА Тема: “Теорема Пифагора”.

Долгое время считалось, что до Пифагора эта теорема не была известна. Однако установлено, что эта важнейшая тео рема встречается в вавилонских текстах, написанных за лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3;

4;

5 прямоугольный, знали за 200 лет до н.э. египтяне, которые пользовались этим отношением для построения прямых углов при строительстве. В Китае предложение о квадрате гипотену зы было известно за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в Древней Индии.

Как помогала теорема Пифагора в жизни? Приведем слу чай из следственной практики. Получив сообщение о краже, следователь выехал на место происшествия. Заявитель утвер ждал, что преступник проник в помещение через окно. Осмотр показал, что подоконник находится на расстоянии 124 см от земли. Поверхность Земли на расстоянии 180 см от стены по крыта густой порослью, не имевшей повреждений. Возникло предположение о том, что преступник, проникая через окно, как-то преодолел расстояние между наружным краем поросли и подоконником. С помощью теоремы Пифагора вычислили это расстояние 219 см. Ясно, что преодолеть самому его без лестницы нельзя, но ее не нашли. Следователь выдвинул вер сию об инсценировке кражи, что и подтвердилось. Так помогла геометрия.

Тема: “Подобие”.

Идея отношения и пропорции зародилось в глубокой древ ности. Одинаковые по форме, но разные по величине фигу ры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере фараона Рамзеса II име ется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которых 8 М. В. АНТИПОВА на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших раз меров. Учение о подобии фигур было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н.э. трудами Гиппократа, Архида, Евдокса. Оно изложено в 6-ой книге “Начал” Евклида. Символ, обозначаю щий подобие фигур, есть не что иное, как повернутая буква S – первая буква в слове “similis”, что в переводе означает подобие.

ЛИТЕРАТУРА 1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия 7-9 кл. – М.: Просвещение, 2004.

2. Глейзер Г. И. История математики в школе: 7-8 кл. – М.: Просвещение, 1932.

3. Малыгин К. А. Элементы историзма в преподавании ма тематикой в средней школе. – М.: Учпедиз, 1963.

М. В. Антипова Московский педагогический государственный университет, khnmar@rambler.ru ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ТКАНИ БОЛА С ТЕНЗОРОМ КРИВИЗНЫ МИНИМАЛЬНОГО РАНГА Приводится классификация восьмимерных тканей Бола с тензором кривизны минимального ранга, т. е. c таким тензо ром, который в подходящем базисе имеет всего две ненулевые компоненты. В [1] ткани этого типа разбиты на два типа, при чем с тканями первого типа связано некоторое характеристи ческое уравнение. Найдены уравнения гиперболических тка ней первого типа (корни характеристического уравнения ве щественные и различные), и показано, что их структура опре деляется некоторой разрешимой четырехмерной алгеброй Ли.

М. В. АНТИПОВА В настоящей работе найдены конечные уравнения и описаны геометрические свойства параболических тканей Бола первого типа (корни характеристического уравнения совпадают). До казана Теорема. Существует однопараметрическое семейство восьмимерных параболических тканей первого типа с тензо ром кривизны минимального ранга. В некоторых локальных координатах их уравнения имеют вид:

1 =1 + ( 1 + 2 3 3 2 ), 2 =2 + 2, 3 = 3 + 3, 4 =4 + [ 4 2 1 + (2 3 3 2 )(1 2 )], где — постоянная. Алгебра Ли, определяемая тензором кру чения, в этом случае есть разложимая алгебра 3,2 + 1, где 1 – одномерная алгебра Ли, а 3,2 – трехмерная разрешимая алгебра Ли [2].

ЛИТЕРАТУРА 1. Антипова М. В., Шелехов А. М. Восьмимерные ткани Бола с почти нулевым тензором кривизны // Изв. вузов. Ма тем. (в печати) 2. Мубаракзянов Г. М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв.

вузов. Матем. – 1963. – № 1. – C. 144–123.

10 A. И. АФОНИНА A. И. Афонина Казанский (Приволжский) федеральный университет, sanyagirl89@mail.ru ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПОЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Постановка задачи.

Пусть =, = min, 0 1 2..., = lim =. Требуется найти однозначную аналитическую функцию (), имеющую ( = 1, 2,...) особыми полярны ми линиями порядка + 1, где 0, ( = 1, 2,...), для которой существует -кратный интеграл () = (),...

0 0 где функция () удовлетворяет условиям задачи Римана:

+ () = () () + (),, = 1, 2,... (1) Задача о скачке. Пусть () 1, тогда решение задачи (1) в случае непрерывных коэффициентов () будет иметь вид:

+ +1 ( +1 +1 )( ) () = ( ) + (), + +1 ( ) + =1 (2) где () – произвольная целая функция.

Если (), {0}, 0, то решение за дачи (1) запишется в виде (2), где () – полином степени не выше.

A. И. АФОНИНА Полученное решение обобщено на случай, когда функции () на каждом контуре имеют конечное число точек раз рыва первого рода,1,...,,.

Неоднородная задача Римана. Решение неоднородной задачи найдено в случае, когда все полярные линии имеют оди наковый порядок + 1. Именно, пологая = () и используя результаты работы [2], искомое решение получено в следующей форме:

{ () = () ()+ } ++ ( + 1)! ( ) +, + 2( + + 1)! 0 ( ) +1 ( )+ =1 =0 =0 где () – целая функция, а обобщенная каноническая функ ция () имеет вид:

() = 0 ()() = 0 () (), = где +1 () = (ln 0 =1 ()), (1 1) и 1 () = ()) = (ln 0 = 0 ()/0 ().

ЛИТЕРАТУРА 1. Чибрикова Л. И. Основные граничные задачи для анали тических функций. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1977. – 302 c.

2. Чибрикова Л. И., Салехова И. Г. Задача Римана в случае счетного множества контуров. // Сб. Труды семинара по краевым задачам. – Казань, Изд-во КГУ, 1972. – Вып. 9. – C. 216–233.

12 Д. А. БАЙГУШЕВ Д. А. Байгушев Лицей “Вторая школа”, Москва, Россия, IDanila24@gmail.com О МАТРИЧНОЙ ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА В теории чисел хорошо известна функция Эйлера ().

Она ставит в соответствие натуральному числу порядок мультипликативной группы, т. е. () :=. Эта функ ция обладает многими замечательными свойствами и часто по является в самых разных задачах.

Целью данной работы является изучение матричного ана лога функции Эйлера.

Рассмотрим множество Mat(2, ) матриц 2 2 с элемен тами из кольца. Пусть GL(2, ) — мультипликативная подгруппа обратимых матриц. Пусть () := GL(2, ) — количество обратимых матриц (т. е. матриц с определителем, взаимно простым с ). Назовем функцию () матричной функцией Эйлера.

В таблице 1 указаны первые 30 значений матричной функ ции Эйлера.

Также имеет смысл рассмотреть конечную модулярную группу SL(2, ) GL(2, ). Пусть () := SL(2, ) — вторая матричная функция Эйлера.

Основным результатом данной работы является следующая Теорема 1. Матричные функции Эйлера и обладают следующими свойствами:

1) () = () ().

2) Имеет место равенство ( 1 )( 1) ( ) = 4 1 1 2.

Д. А. БАЙГУШЕВ В частности, при = 1 имеем () = ( 1)(2 1).

3) Функция мультипликативна: если НОД(, ) = 1, то () = () ().

4) Если = 1..., то ( 1 )( 1) ( 1 )( 1) () = 4 1 1 2... 1 1 2.

1 () () () 1 0 11 13200 21 2 6 12 17832 22 3 48 13 26208 23 4 168 14 34566 24 5 480 15 45840 25 6 966 16 59520 26 7 2016 17 78336 27 8 3360 18 95526 28 9 5616 19 123120 29 10 8550 20 147240 30 Таблица 1.

Также оказывается, что существует матричный аналог тео ремы Эйлера.

Теорема 2. Пусть Mat(2, ). Тогда 1) если det = 0, то () = ;

2) если det = 1, то () =.

14 Е. А. БАХАРЕВА, В. В. СТРУЖАНОВ Известно, что функция Эйлера () в среднем растет как /(2). Нечто подобное можно предполагать и для матричной функции Эйлера. Положим () := ( (1) +... + ())/.

Имеет место следующая Гипотеза. Для средних функций Эйлера и имеют место следующие асимптотики:

3 () () и (3) (2)(3) при.

Эта гипотеза была подтверждена компьютерными вычис лениями для 7000.

Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов Институт машиноведения УрО РАН, bahareva.e.a@mail.ru, stru@imach.uran.ru УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ В ЗАДАЧЕ О ЧИСТОМ ИЗГИБЕ И РАСТЯЖЕНИИ БАЛОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ ИЗ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА Исследуется элементарный балочный элемент конструкции длины, высоты 2 с поперечным сечением, ограниченным гладким или кусочно-гладким контуром (), симметричным относительно вертикальной оси. Например, если сечение прямоугольное, то () = /2, где — ширина балки. К тор цам балки при постоянной температуре прикладываются изги бающий момент и растягивающая сила. При таком комбини рованном нагружении в балке возникают только продольные Е. А. БАХАРЕВА, В. В. СТРУЖАНОВ напряжения = () [1], причем волокна выше нейтраль ной линии, где нулевые напряжени и деформации, находятся в состоянии сжатия, а волокна ниже нейтральной линии растя гиваются.

Материал характеризуют полные диаграммы деформиро вания, описывающие как сжимающие свойства материала, так и растягивающие. Диаграммы имеют ниспадающие до нуля ветви, отвечающие закритическим стадиям деформирования, которые также называют состояниями предразрушения мате риала [2]. Отклонение диаграммы от прямолинейного участ ка объясняется диссипативными процессами, происходящими в материале при его деформировании. Выделим среди них ме ханическую диссипацию, вызванную образованием и накопле нием пластических деформаций, и континуальное микроразру шение материала микропорами и микротрещинами. В соответ ствии с этой классификацией все материалы разделим на три группы: упругохрупкие (диссипация только за счет микрораз рушения), упругопластические (основной вклад вносят пласти ческие деформации) и партипластические (в равной степени протекают оба процесса диссипации энергии).

Выписывается функция полной энергии системы, из кото рой получены уравнения статического равновесия, непосред ственно связывающие параметры управления (изгибающий мо мент и растягивающая сила) и параметры состояния системы (кривизна и отклонение нейтральной линии от оси симметрии).

Исследование устойчивости процесса деформирования прово дится посредством линеаризации нелинейных членов в преоб разованных с помощью закона Гука и обобщенного закона пла стического течения [2] уравнениях равновесия. В результате по лучены уравнения возмущенного равновесия, которые рассмат 16 Е. А. БАХАРЕВА, В. В. СТРУЖАНОВ риваются как нелинейные операторные уравнения. Применяя к ним теорему Адамара, можно сформулировать критерий по тери устойчивости. Условие потери устойчивости получено для каждого типа материала.

Предложена методика расчета предельной несущей способ ности балочного элемента конструкции, подверженного чисто му изгибу и растяжению. Приведены ряд примеров расчета ба лок с заданными геометрическими характеристиками и свой ствами материала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про ект № 10-01-96018) и поддержке молодежного научного проекта Президиума УрО РАН (проект № 11-1-НП-523).

ЛИТЕРАТУРА 1. Ильюшин А. А. Теория пластичности. Ч.1. Упруго– пластические деформации. // Репр. воспр. текста изд. 1948 г. – М.: Логос, 2004. – 388 c.

2. Стружанов В. В., Миронов В. И. Деформационное разу прочнение материала в элементах конструкций. – Екатерин бург: УрО РАН, 1995. – 192 c.

И. С. БАЛАФЕНДИЕВА, Д. В. БЕРЕЖНОЙ И. С. Балафендиева, Д. В. Бережной Казанский (Приволжский) федеральный университет, e_xo@mail.ru, Dmitri.Berezhnoi@ksu.ru МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ СЛОЖНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ Целью настоящей работы является разработка и числен ная реализация методики решения задач деформирования эле ментов транспортных сооружений, взаимодействующих между собой и с окружающим их физически нелинейным грунто вым массивом, с учетом контактного взаимодействия. С по мощью созданной методики решена задача по определению несущей способности опоры мостового перехода [1], проведен расчет осадки грунтового массива в зоне прокладки тонне лей метрополитена [2], а также проведен расчет напряженно деформированного состояния футляра магистрального трубо провода высокого давления, проходящего под железнодорож ным полотном [3]. Грунты являются физически нелинейными средами и подчиняются закону Гука в небольшом диапазоне прикладываемых нагрузок. Существуют многочисленные ма тематические модели [4–5], позволяющие описать процесс их деформирования, которые различаются сложностью разреша ющих уравнений. В настоящей работе используется модель, аналогичная модели идеально пластического тела. В соответ ствии с ней предполагается, что до предельного состояния справедлив закон Гука, а после его достижения среда начина ет деформироваться без увеличения воспринимаемой нагрузки, 18 И. С. БАЛАФЕНДИЕВА, Д. В. БЕРЕЖНОЙ что приводит к перераспределению напряжений во всем объ еме. Грунты моделируются физически-нелинейным материа лом. Условие пластичности выбирается в виде критерия проч ности Мизеса-Боткина [4]. При расчетах используется итераци онная процедура типа “метода начальных напряжений”. Чис ленная реализация основана на методе конечных элементов [6].

Описан специальный контактный конечный элемент. Предло женная авторами методика расчета позволяет эффективно ре шать трехмерные задачи пластического деформирования грун товых массивов, взаимодействующих с расположенными в них конструкциями, в условиях сложного силового нагружения.

Разработанная численная методика дает результаты, хорошо согласующиеся с данными натурных испытаний. Следователь но, на ее основе можно рассчитывать подобные трехмерные конструкции и получать достоверные результаты.

ЛИТЕРАТУРА 1. Бережной Д. В., Кузнецова И. С., Саченков А. А. Модели рование пластического деформирования многослойного грунта в зоне опоры многопролетного моста // Учен. зап. Казан. ун та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2010. – Т. 152, кн. 1. – С. 116–125.

2. Балафендиева И. С., Бережной Д. В., Егоров Д. А. Рас чет осадок в многослойном физически нелинейном грунте при прокладке тоннелей метрополитена // Научно-технический вестник Поволжья. – 2012. – № 2. – С. 23–26.

3. Балафендиева И. С., Бережной Д. В. Моделирование де формирования железобетонной обделки тоннеля в грунте с учетом одностороннего контактного взаимодействия ее бло ков // Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2011. – № 2 (55). – Вып. 1. – С. 8–16.

Д. В. ВАЛОВИК, Е. В. ЗАРЕМБО 4. Зарецкий Ю. К. Лекции по современной механике грун тов. – Ростов: РГУ, 1989. – 607 c.

5. Фадеев А. Б. Метод конечных элементов в геомехани ке. – M.: Недра, 1987. – 221 c.

6. Голованов А. И., Бережной Д. В. Метод конечных элемен тов в механике деформируемых твердых тел. – Казань: Изд во “Дас”, 2001. – 300 с.

Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо Пензенский государственный университет, y-tak@yandex.ru МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Доклад посвящен решению нелинейных краевых задач со пряжения на собственные значения, возникающих при распро странении электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в слое с произ вольной нелинейностью (см., напр., [1]).

При исследовании задач распространения электромагнит ных волн в волноведущих структурах возникают специальный класс задач, так называемых задач сопряжения для уравне ний, описывающих распространение волн. Эти задачи не могут быть сведены к краевым задачам. По этой причине необходимо разрабатывать численные и аналитические методы исследова ния указанного класса задач (см., напр., [2]). В работе пред ложен метод, основанный на решении вспомогательной задачи Коши с дополнительным условием на одной из границ волно ведущей структуры (см. [3]).

20 С. Г. БАСАЛАЕВ В докладе предложены методы численного моделирования задач сопряжения на собственные значения и на обсуждение выносятся результаты численных экспериментов.

Работа поддержана РФФИ (проект № 11-07-00330-а) ЛИТЕРАТУРА 1. Валовик Д. В, Смирнов Ю. Г. Распространение электро магнитных волн в нелинейных слоистых средах. – Пенза: Изд во ПГУ, 2010. – 256 c.

2. Зарембо Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнит ных ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико математические науки. – 2012. – № 3. – C. 58–71.

3. Зарембо Е. В. Метод задачи Коши для решения нелиней ных краевых задач сопряжения на собственные значения для электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью // Дисс.... канд. физ.– мат. наук. – Казань: КФУ, 2012. – 109 c.

С. Г. Басалаев Новосибирский государственный университет, sbasalaev@gmail.com НЕРАВЕНСТВО ПУАНКАРЕ ДЛЯ 1 -ГЛАДКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ Связное -мерное гладкое многообразие назовём мно гообразием Карно, если в касательном расслоении задана фильтрация подрасслоениями = 1...... = С. Г. БАСАЛАЕВ такими, что в окрестности каждой точки (0 ) найдётся базис из 1 -гладких векторных полей 1,...,, удовлетво ряющих следующим свойствам. Для каждого имеем (1) = () = span{1 (),..., dim ()} — подпро странство постоянной размерности dim, = 1,..., ;

(2) +1 = span{, [1, ], [2, 1 ],..., [, +1 ]}, где = +1, = 1,..., 1.

В работе [1] доказано, что для таких многообразий:

расстояние Карно — Каратеодори является метрикой;

выполнена Ball-Box теорема;

выполнено условие удвоения для меры Хаусдорфа с по казателем = (dim dim 1 ), 0 = {0}.

= Используя эти результаты и неравенство Пуанкаре на груп пах Карно из работы [2], мы получаем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть — компактное множество, и 1. Найдутся такие постоянные 0 и 0 0, что, (1,..., dim 1 ), для каждого шара = (, ),, 0 0, и любой (). Здесь = ().

Данная теорема обобщает результат, полученный в работе [3] для достаточно гладких векторных полей и = 2. Также мы получаем аналогичное неравенство для областей Джона.

Теорема 2. Для любой точки 0 и любого 1 найдутся такие 0 и 0 0, что для любой области Джона (0, 0 ) и любой () выполнено, diam()(1,..., dim 1 ),.

22 С. Г. БАСАЛАЕВ Используя результаты работы [4], мы также получаем оцен ки соболевского типа.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда (1) если, то для всякого 0 выполнено, (1,..., dim 1 ), ;

(2) если = 1, то ( ) 1 () exp 2 ;

(1,..., dim 1 ), (3) если, то sup () (1,..., dim 1 ), и функция локально непрерывна по Гёльдеру:

/ () () 0 (, ) (1,..., dim 1 ),, где постоянные, 1, 2 зависят только от, и.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект № 12-01-31183) и программы Президента “Ведущие научные шко лы РФ” (проект НШ-921.2012.1).

ЛИТЕРАТУРА 1. Basalaev S., Vodopyanov S., Approximate dierentiability of mappings of Carnot–Carathodory spaces // arXiv:1206.5197v e [math.MG] 2. Isangulova D. V., Vodopyanov S. K., Coercitive estimates and integral representation formulas on Carnot groups // Eurasian Math. J. – 2010. – V. 1. – № 3. – P. 58–96.

3. Jerison D., The Poincar inequality for vector elds satisfying e Hrmander’s condition // Duke Math. J. – 1986. – V. 53. – № 2. – o P. 503–523.

К. В. БЕРДНИКОВ, В. В. СТРУЖАНОВ l 4. Hajasz P., Koskela P., Sobolev Met Poincar // Mem. Amer.

e Math. Soc. – 2000. – V. 145. – № 688. – x+101 pp.

К. В. Бердников, В. В. Стружанов Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, Институт машиноведения УрО РАН, kir.berdnikov@mail.ru, stru@imach.uran.ru ПОTЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ МАTЕРИАЛА В СЛУЧАЕ ДИАГОНАЛЬНОГО TЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИЙ В сферической системе координат рассматривается среда, для которой приращение свободной энергии в изотермическом процессе активного нагружения отождествляется с элементар ной работой напряжений. В отличие от традиционного случая единая кривая имеет падающую ветвь, которая характеризует разупрочнение материала. Полагается, что тензор деформаций является диагональным и первый инвариант тензора деформа ций не положителен. Tогда объемный модуль сохраняет посто янное значение на всех стадиях деформирования. Далее для такой среды строится функция свободной энергии.

Свободная энергия является потенциалом напряжений, сле довательно, она задает потенциальное поле. Соотношение (, ) = const задает линии уровня этой потенциальной функции. Здесь F – 24 К. В. БЕРДНИКОВ, В. В. СТРУЖАНОВ функция свободной энергии, и – первый и второй инвари анты тензора деформаций соответственно. Показано, что вве дение в рассмотрение стадии разупрочнения материала приво дит к тому, что в некоторый момент происходит смена потенци ального поля. Смена потенциального поля происходит именно тогда, когда материал переходит пограничное состояние между упрочнением и разупрочнением, что соответствует наивысшей точке единой кривой, где T – второй инвариант тензора напряжений.

В качестве примера построены потенциальные поля для случаев, когда единая кривая задана кусочно-линейной функ цией и параболой. Показано, что в первом случае на стадии упрочнения линии уровня функции представляют собой эл липсы, тогда как на стадии разупрочнения линиями уровня являются гиперболы. Если единая кривая задана в виде па раболы, то линии уровня функции свободной энергии также меняют свою структуру при переходе материала на стадию разупрочнения.

Работа выполнена по совместному проекту УрО РАН и СО РАН (проект № 12-С-1-1024).

П. В. БИБИКОВ П. В. Бибиков Институт проблем управления РАН, Москва, Россия tsdtp4u@proc.ru О ДЕЙСТВИИ ПСЕВДОГРУППЫ ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ ( 1 ) Целью данной работы является решение проблемы локаль ной эквивалентности гладких функций, заданных на контакт ном пространстве 1, относительно действия псевдогруппы := Di(2 ) точечных преобразований базы 2 0, про долженных до контактных преобразований пространства 1.

Действие псевдогруппы продолжается до действия на пространстве 1-джетов 1 3 с координатами (,, ) сле дующим образом (см. [1]):

+ (, ), (, ),.

+ Для решения задачи классификации функций относитель но такого действия воспользуемся аппаратом теории диффе ренциальных инвариантов. Прежде всего, введем необходимые обозначения и напомним известные теоретические сведения.

Пусть : 3 — произвольная гладкая функция. Вве дем пространство J -джетов таких функций. Координаты в нем мы обозначим через (,,,,,,,...). Действие псевдогруппы канонически продолжается до действия во всех пространствах J.

Предложение. Функции 2 := := и 26 П. В. БИБИКОВ являются дифференциальными инвариантами порядков 0 и соответственно. Дифференцирование 1 := является инвариантным.

Теперь мы найдем еще три инвариантных дифференциро вания. Для этого мы построим производные Трессе (см. [1]) 2 :=, 3 :=, 4 := 1 (здесь индекс «1» обозначает применение инвариантного диф ференцирования 1 ).

Далее, заметим, что контактная форма := 1 ( 1 ) (см. [1]) является относительным инвариантом дей ствия псевдогруппы. Поэтому функция := (3 )/(2 ) является дифференциальным инвариантом.

Определение. Назовем функцию ( 1 ) регуляр ной в окрестности 1, если ( ) ( ) 1 ( ) = 0 в.

Для регулярной функции ( 1 ) существуют такие гладкие функции и, что 11 ( ) = ( ( ), ( ), 1 ( )), ( ) = ( ( ), ( ), 1 ( )).

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Две регулярные функции, ( 1 ) точечно-эквивалентны, если и только если соответствую щие им пары зависимостей совпадают: (, ) = (, ).

А. В. БОЛУЧЕВСКАЯ Работа выполнена при поддержке фонда Саймонса и гранта Президента Российской Федерации для государственной под держки молодых российских ученых – кандидатов наук МК 32.2011. ЛИТЕРАТУРА 1. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Ос новные идеи и понятия дифференциальной геометрии. – М.:

ВИНИТИ. – 1988. – Т. 28 – 289 с.

А. В. Болучевская Волгоградский государственный университет, a.v.boluch@gmail.com ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ОРИЕНТАЦИЮ СИМПЛЕКСА При построении расчетных сеток для численного решения различных задач используется метод, состоящий в отображе нии некоторой модельной сетки на заданную область, в кото рой проводятся расчеты [1–3]. Однако, необходимо следить за тем, чтобы при отображении сетка не вырождалась.

В качестве функций, осуществляющих отображение, часто выбираются решения дифференциальных уравнений или вари ационных задач и, в частности, гармонические отображения.

Мы рассматриваем частный случай нерегулярных сеток — триангуляцию. В [4], [5] показано, что одним из наиболее важных условий сохранения триангуляции при гомеоморфном отображении является сохранение ориентации каждого сим плекса. В работе найдено условие, при котором гармоническое отображение сохраняет ориентацию симплекса.

28 А. В. БОЛУЧЕВСКАЯ Пусть задана область и ориентированный симплекс, образованный точками 0, 1, 2,....

Для набора векторов 1, 2,... введем обозначение 11 21...

12 22...

det(1, 2,... ) =,...

..

...

.

...

1 2... где = (1, 2,..., ), = 1,...,.

Будем говорить, что имеет положительную ориентацию, если det(1 0, 2 0,..., 0 ) 0, и отрицательную ориентацию, если det(1 0, 2 0,..., 0 ) 0.

Пусть задано гармоническое отображение :,, 2 (), = (1, 2,..., ), — гармониче ские в функции для всех = 1,...,.

Через (0 ) обозначим якобиан отображения в точке 0, — максимальная из длин сторон симплекса. Рассмот рим компактное подмножество, такое что 0 + ( 0 ) для всех = 1,..., и некоторого 0 1, и обозначим = min{dist(0, ), dist(, )}.

Теорема. Если в для отображения выполнено нера венство (( ) ) 1 ( ) (0 ) ) +1 1, ( ( )2 2 ( 1)! sup = — объем симплекса, то симплекс с вершинами где 0 = (0 ), 1 = (1 ),..., = ( ) имеет ту же ориен тацию, что и симплекс.

А. В. БОЛУЧЕВСКАЯ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про ект № 11-01-97021-р_поволжье_а).

ЛИТЕРАТУРА 1. Liseikin V. D. Grid Generation Methods. – Springer, 2010. – 390 p.

2. Азаренок Б. Н. О построении структурированных сеток в двумерных невыпуклых областях с помощью отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2009. – Т. 49. – № 5. – C. 826–839.

3. Иваненко С. А. Вариационные методы построения адап тивных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2003. – Т. 43. – № 6. – С. 830–844.

4. Клячин В. А. О гомеоморфизмах, сохраняющих триангу ляцию // Издательство Волгоградского государственного уни верситета. Записки семинара “Сверхмедленные процессы”. – 2009. – № 4. – С. 169–182.

5. Прохорова М. В. Проблемы гомеоморфизма, возникаю щие в теории сеток // Труды Института математики и меха ники УрО РАН. – 2008. – Т. 14. – № 1. – С. 112–129.

30 А. В. БУКУШЕВА А. В. Букушева Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, bukusheva@list.ru О ПОЧТИ ПАРАКОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ НАД РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ С ФИНСЛЕРОВОЙ МЕТРИКОЙ На гладком распределении с допустимой финслеровой метрикой как на тотальном пространстве векторного рассло ения (,, ) определяется почти параконтактная метри ческая структура. Вводится понятие почти параконтактного эрмитова пространства. Находятся условия, при которых вве денная структура является почти параконтактной эрмитовой структурой.

Пусть гладкое распределение коразмерности 1, задан ное вместе со своим оснащением на гладком многообразии нечетной размерности + 1 и класса. Пусть,, – соответственно тензорное поле типа (1, 1), векторное поле, за дающее оснащение, 1-форма на многообразии такая, что её ядро совпадает с распределением. Пусть имеют ме сто равенства 2 = (), = 0, () = 0, где и () = 1. Тогда говорят, что оснащено почти па раконтактной структурой (,, ) и называют многообра зием почти параконтактной структуры. Если на многообразии почти параконтактной структуры задано поле тензоров рима новой метрики и выполняются равенства (, ) = (, ) + ()( ), () = (, ) для любых векторных полей и, то называется почти параконтактным мет рическим многообразием. Если (, ) = (, ), то почти А. В. БУКУШЕВА параконтактная метрическая структура называется паракон тактной метрической структурой. Если, более того, эта струк тура нормальна, т. е. справедливо равенство 2 = 0, где – тензор Нейенхейса, то параконтактная метрическая струк тура называется пара-сасакиевой структурой и называется пара-сасакиевым многообразием. Более подробные сведения о почти параконтактных метрических структурах можно найти, например, в работах [1, 2]. В работе [3] было введено поня тие почти контактного эрмитова пространства. По аналогии, назовем почти параконтактным эрмитовым пространством по чти параконтактное метрическое пространство, для которого имеет место равенство (, ) 2(, ) = 0.

Если на многообразии задана допустимая финслерова структура, то в распределении возникает инфинитезималь ная связность, порождаемая распределением = ( ), где = + +, = = + +, = ( 2 + 2 ), = 1 2. Определим на много образии допустимое к распределению = ( ) поле аффинора, полагая ( ) = +, (+ ) =. С помощью равенств (, ) = (, ) = (, ), (, ) = 0, где – допустимая финслерова структура, на многообразии опре деляется допустимая риманова метрика. Учитывая равенство (( ), ( )) = (, ), получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пара допустимых структур (, ) определя ет на многообразии почти параконтактную метрическую структуру.

Для определения условий, при которых пара (, ) обра зует нормальную структуру, введем объект = 2([ ] ).

[ ] 32 В. А. БУШКОВА Теорема 2. Почти параконтактная метрическая струк тура (, ) является нормальной тогда и только тогда, когда = 0.

выполняются равенства = 0, ЛИТЕРАТУРА 1. Erdem S. On almost (para)contact (hyperbolic) metric manifolds and harmonicity of (, ) -holomorphic maps between them // Houston J. Math. – 2002. – V. 28. – № 1. – C. 21–45.

2. Zamkovoy S. Canonical connections on paracontact manifolds // Ann. Glob. Anal. Geom. – 2009. – V. 36. – № 1. – C. 37–61.

3. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер.

Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2012. – Т. 12. – Вып. 1. – C. 16–22.

В. А. Бушкова Казанский (Приволжский) федеральный университет, vbushkova@inbox.ru СОЗДАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ И ОПТИЧЕСКИ ПРОЗРАЧНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ Исследование моделей релятивистских систем играет важ ную роль в изучении основных законов теории гравитации, фи зики элементарных частиц, космологии.

В. А. БУШКОВА Математические модели релятивистских систем основаны на принципах релятивистской теории поля. Уравнения движе ния массивной частицы в гравитационном поле, описываемом метрикой в четырехмерном пространстве-времени, представ ляют существенно нелинейные системы обыкновенных диф ференциальных уравнений, которые, как правило, не имеют аналитического решения. СКМ Maple позволяет получить чис ленное решение математической модели таких систем, для чего необходимо указать начальные условия – точку поверхности, а также направление геодезической в этой точке. Процедура чис ленного решения системы при заданных начальных условиях возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке и построить график.

Разработаны программные процедуры исследования мате матических моделей геодезических линий, численного анализа системы уравнений геодезических и построения соответствую щих анимационных моделей на различных поверхностях.

В релятивистской теории гравитации важную роль име ют геометрические характеристики пучка пробных частиц, называемого геодезической трубкой. Математическую модель геометрической оптики можно охарактеризовать следующим утверждением: в пределе геометрической оптики траектория фотона (луча света) в оптически прозрачной анизотропной и неоднородной среде с тензором преломления () совпадает с геодезической линией в римановом пространстве с метриче ским тензором () = (). Таким образом, устанавливает ся максимально тесная связь между геометрической оптикой и римановой геометрией.

В работе представлены динамические модели распростра нения световых лучей в оптически прозрачных неоднородных 34 В. А. БУШКОВА анизотропных средах с различными симметриями тензоров преломления.

Также описаны программные процедуры динамической ви зуализации движения релятивистских частиц в поле Шварц шильда. Рассмотрены случаи эллиптической, параболической траекторий и случай гравитационного захвата частицы Черной Дырой.

Разработанные процедуры предназначены для проведения исследований в римановой геометрии, в геометрической оптике и теории гравитации.

ЛИТЕРАТУРА 1. Синг Дж. Классическая динамика. – М.: Изд-во физико математической литературы, 1963. – 448 c.

2. Синг Дж. Общая теория относительности. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. – 431 c.

3. Бушкова В. А., Игнатьев Ю. Г. Программа автоматизи рованного построения геодезических линий на произвольной параметризованной поверхности и их оснащенной динамиче ской визуализации с автоматической оптимизацией графи ческих параметров в системе компьютерной математики Maple: св. о гос. рег. прог. для ЭВМ Рос. Фед. № от 30.05.12.

В. К. ВИЛЬДАНОВ В. К. Вильданов Нижегородский государственный педагогический университет, kadirovi4@googlemail.com УСЛОВИЯ ИЗОМОРФИЗМА ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ В работе получены некоторые необходимые и достаточные условия изоморфизма групп автоморфизмов двух вполне раз ложимых абелевых групп без кручения. Этот вопрос тесно свя зан со строением изоморфизмов классических групп (см. [1]) и работой автора [2].

Обозначим: Fcd – класс всех вполне разложимых абелевых групп без кручения, () – множество типов прямых слагае мых ранга 1 группы Fcd.

Пусть (( ) = 1) – вполне разложимая группа = без кручения. Для всякого типа () обозначим через прямую сумму всех групп типа. Тогда ().

= Остальные обозначения стандартны и могут быть найдены в [3, 4].

Теорема 1. Пусть, Fcd, 2 =, 2 =. Тогда из () () следует:

= 1) (( ) ) ( ( ) );

= () () 2) (), (( ) 1), (), ( ) ( );

= 36 В. К. ВИЛЬДАНОВ 3), (), ( ),, (), (, ) (, ).

= Условия 1), 2) и 3) обозначим (*).

Рассмотрим разбиение множества () = ()1 ()2... () на классы эквивалентности, где каждый класс является свя занным множеством, а типы из разных классов несравнимы.

Класс эквивалентности, порожденный типом, обозначим че рез ().

Теорема 2. Пусть, Fcd, 2 =, 2 =. Тогда () (), если выполнены условия (*), и для всякого = минимального типа () найдется () такой, что (( () { } ) )).

= ЛИТЕРАТУРА 1. О’Мира О. Лекции о линейных группах // Автоморфиз мы классических групп. – М.: Мир, 1976. – 262 с.

2. Вильданов В. К. Определяемость вполне разложи мой абелевой группы ранга 2 своей группой авто морфизмов // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. – 2011. – № 3(1). – С. 174–177.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. – М.: Мир, 1974.

4. Крылов П. А., Михалев А. В., Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. – М.: Факториал Пресс, 2006. – 512 с.

С. С. ВИХАРЕВ С. С. Вихарев Волгоградский государственный университет, viharev@vistcom.ru ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ При изучении эллиптических уравнений на римановых многообразиях многие задачи можно сформулировать в ви де теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность про странств ограниченных решений таких уравнений на многооб разии.

Данная работа посвящена изучению решений уравнения = () () (1) на, так называемых, модельных римановых многообразиях.

Здесь – оператор Лапласа-Бельтрами на, () 0 на, а – локально-липшецева функция на [0, ], такая что (0) = () = 0, () 0 на (0, ).

Всюду ниже будем предполагать существование таких по ложительных констант 1, 2, что 1 () 2.

Данное уравнение является аналогом стационарного урав нения Гинзбурга-Ландау:

= 3, где 0 и 0.

В работе решения уравнения (1) рассматриваются на некомпактных римановых многообразиях, изометричных 38 С. С. ВИХАРЕВ прямому произведению + на (1)-мерный компакт без края с метрикой 2 = 2 + 2 ()2, где () – положительная, гладкая на + функция, а 2 – метрика на. Справедливо следующее утверждение.

+ и существует констан Теорема. Пусть 1 () та (1, ), такая что () lim sup 1 2 / = +. (2) 1 () () / Если при этом существует () 0 и (, ) 0 такие что для всех (0, ) (), то любое решение уравнения (1), удовлетворяющее условию 0, является тождественной константой.

Замечание. Если = + 1 () то имеет, так называемый, параболический тип и на всякое решение уравнения (1), удовлетворяющее условию, является тождественной константой.

Пример. Рассмотрим евклидово пространство R как частный случай многообразия. В этом случае метрика мно гообразия задается в виде 2 = 2 + 2 2. Тогда после про ведения несложных вычислений условие (2) примет вид ( ) 1,, если 2,.

(1, ), если = 2.

Г. Т. ГАЛИЕВА Отметим, что данный частный случай теоремы 1 согласу ется с аналогичным результатом, полученным на пространстве R в работе [1].

ЛИТЕРАТУРА 1. Dancer E. N., Yihong Du Some remarks on Liouville type results for quasilinear elliptic equations// Proc. of the American mathematical society. – V. 131. – № 6. – P. 1891–1899.

Г. Т. Галиева Казанский (Приволжский) федеральный университет, galieva9845@mail.ru КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД В РЕШЕНИИ КОНТЕКСТНЫХ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ Круг компетентностей, к формированию которых у совре менных школьников следует стремиться, не определён окон чательно, как и само понятие “компетентность”. Но за основу понятия “компетентный человек” взяты способность челове ка брать на себя ответственность при решении возникающих проблем, обучаться на протяжении всей жизни, проявлять са мостоятельность в постановке задач и их решении. Если вы пускник школы после изучения школьного курса может при менять выработанные умения и полученные знания по данному предмету в своей жизни, то его можно считать компетентным человеком в данной области. Большое впечатление произвело описание компетентностной модели для успешной жизни в кни ге “Семь стратегий достижения богатства и счастья” всемир но известного философа Джима Рона. Список этих стратегий 40 Г. Т. ГАЛИЕВА выглядит как перечень жизненно важных сфер, в которых че ловек должен быть компетентен: управление личными целями;

управление личными знаниями;

управление собственным раз витием;

управление личными, семейными финансами;

управ ление временем;

управление социальным окружением;

управ ление качеством своей жизни [1].

Согласно принятому в 2012 г. Федеральному государствен ному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, результатами освоения основной образовательной программы должно стать формирование у обучающихся ком петентностей в предметных областях, в частности математике, учебно-исследовательской, проектной и социальной деятельно сти [2]. При этом компетентностный подход должен усилить прикладной, практический характер математического образо вания. При формировании компетентности учащихся в пред метной области “Математика” используются два типа задач – чисто математические и контекстные (практико-ориентирован ные). К последним относят задачи, у которых контекст обеспе чивает определенные условия для использования математики при решении, оказывает влияние на решение и его интерпрета цию. Не исключается использование задач, у которых условие является гипотетическим, если оно не слишком отдалено от реальной ситуации.

Проанализируем действующие учебники по алгебре для 7 класса следующих авторов: А. Г. Мордкович и С. М. Ни кольский, акцентируя внимание на наличие в них контекстных задач. Примеры контекстных задач из данных учебников при ведены в таблице 1.

Г. Т. ГАЛИЕВА Типы кон- Задачник Учебник текстных «Алгебра-7», автор «Алгебра-7», ав задач А.Г.Мордкович тор С.М.Николь ский Межпред- 1. Вычислите полную 1. В некотором метные поверхность куба, царстве, в некото ребро которого рав- ром государстве но 7см. правительство ре 2. Сколько нужно крас- шило осуществить ки, чтобы покрасить одну из двух мер:

пол в квадратной ком- поднять зарплату нате, длина каждой всем гражданам стены которой 4 м, ес- на 20% или пони ли на покраску 1 кв. м зить цены на все нужно 200 г краски? товары на 20%.

Какая из двух мер выгоднее гражда нам этого государ ства?

Профессио- По заданным мате нальные матическим моделям придумайте соответ ствующие им реаль ные ситуации:

a) = ;

б) = 2;

в) + 3 = 2.

Таблица 1.

Анализ учебников показал, что в действующих учебниках 42 Г. Т. ГАЛИЕВА практико-ориентированных задач крайне мало. При этом ис пользование их очень ценно в обучении, ибо развивает у уча щихся способность применять обобщенные знания и умения для разрешения конкретных ситуаций и проблем, возникаю щих в реальной действительности. В связи с вышеизложенным считаем необходимым введение в систему обучения элементов учебно-исследовательской и проектной деятельности учащих ся. Содержанием проектов может стать самостоятельное со ставление и решение контекстных задач. Учитель математики Е. Н. Печенкина предлагает следующий алгоритма составле ния таких задач: определить цель задачи, ее место на уроке, в теме, в курсе;

определить направленность задачи;

определить виды информации для составления задачи;

определить степень самостоятельности учащихся в получении и обработки инфор мации;

выбрать структуру задачи;

определить форму ответа на вопрос задачи [3].

Итак, введение компетентностного подхода в учебный про цесс требует серьёзных изменений и в содержании образования, и в осуществлении учебного процесса, и в практике работы педагога. Учитель должен организовать самостоятельную де ятельность учащихся, в которой каждый мог бы реализовать свои способности и интересы. Фактически он создает условия, “развивающую среду”, в которой становится возможным вы работка каждым учащимся на уровне развития его интеллек туальных и прочих способностей определенных компетенций в процессе реализации им своих интересов и желаний, в про цессе приложения усилий, взятия на себя ответственности и осуществления действий в направлении поставленных целей.

Г. Д. ГЕГАМЯН ЛИТЕРАТУРА 1. Джим Р. Семь стратегий для достижения богатства и счастья / Электронный ресурс: http://www.victoria.lviv.ua /html/interesno/ron.htm 2. Федеральный государственный образовательный стан дарт среднего (полного) общего образования. Пр. Минобрна уки России от 17 мая 2012 г. N413. /Электронный ресурс:

http://www.garant.ru/hotlaw/federal/402596/ 3. Печёнкина Е. Н. Практико-ориентированные зада чи на уроках математики / Электронный ресурс:

http://rudocs.exdat.com/ Г. Д. Гегамян Тверской государственный университет, geg geghamyan@yahoo.com О СЕРДЦЕВИНЕ ТРИ-ТКАНИ МУФАНГ Пусть (,, ) – три-ткань, образованная на 2 -мерном дифференцируемом многообразии тремя слоениями 1, и 3, слои которых имеют размерность, причем любые два из этих слоений находятся в общем положении. Согласно [1] слоения ткани (,, ) в некоторых локальных координатах на многообразии могут быть заданы уравнениями 1 : = const, 2 : = const, 3 : = (, ) = const, где = (1,..., ),, = ( 1,..., ),, = = ( 1,..., ),, а функция = ( 1,..., ) является гладкой и в каждой точке многообразия удовлетворяет условиям / = 0, / = 0. Уравнение = (, )..

44 Г. Д. ГЕГАМЯН определяет квазигруппу () :, = (, ), которая называется локальной координатной квазигруппой ткани (,, ). Переменные, и допускают преобра зования вида = (), = (), = (), где,, – локальные диффеоморфизмы. Тройка (,, ) называется изотопическим преобразованием [1].


В [1] приведены основные классы три-тканей (,, ), в том числе три-ткани Бола – левая (,, ), правая (,, ) и средняя (,, ). Эти ткани ха рактеризуются замыканием соответствующих достаточно ма лых конфигураций Бола – левых ( ), правых ( ) и сред них ( ). Три-ткань, на которой замыкаются конфигурации Бола всех трех типов, называется тканью Муфанг и обозна чается. С другой стороны, три-ткань Муфанг характеризу ется тем, что любая ее локальная координатная квазигруппа изотопна лупе Муфанг. Напомним [1], что лупа (квазигруппа с единицей) является лупой Муфанг, если в ней выполняется тождество Муфанг:

( ) ( ) = (( ) ), () – операция в лупе.

Поскольку три-ткань Муфанг является левой тканью Бо ла, то она обладает сердцевиной [2]. Так называется локальная квазигруппа, определяемая на базе первого слоения ткани по правилу [3]:

= (, 1 (, )), Г. Д. ГЕГАМЯН где – локальная координатная лупа ткани. Известно [3], что сердцевина три-ткани изотопна левой лупе Бола, но не изо топна, вообще говоря, координатной квазигруппе этой ткани.

Так как три-ткань Муфанг является одновременно правой и средней тканью Бола, то для нее аналогичным образом мо гут быть определены локальные квазигруппы (сердцевины) на базах и соответственно второго и третьего слоений. Верна Теорема. Сердцевины ткани Муфанг, индуцируемые на ба зе каждого из трех ее слоений, изотопны.

Полученный результат проиллюстрирован на примере из вестной восьмимерной три-ткани Муфанг, порождаемой лупой Муфанг минимальной размерности = 4.

ЛИТЕРАТУРА 1. Акивис М. А. Шелехов А. M. Многомерные три-ткани и их приложения. – Тверь: ТвГУ. – 2010. – 308 c.

2. Белоусов В. Д. Сердцевина лупы Бола // Исследования по общей алгебре, Кишинев. – 1965. – С. 53–65.

3. Толстихина Г. А. Дифференциально-геометрические структуры на три-тканях, образованных слоениями разных размерностей // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. ма тем. и ее приложения. Темат. обзоры. – 2010. – Т. 124. – С. 287– 327.

46 А. Н. ГЕРАСИМОВ, Е. К. ЛИПАЧЕВ А. Н. Герасимов, Е. К. Липачев Казанский (Приволжский) федеральный университет, sav241@mail.ru, lipachev@ksu.ru ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ — ПОДХОД НА ОСНОВЕ CUDA Доклад посвящен компьютерному моделированию волно вых процессов, возникающих в результате дифракции электро магнитных волн на препятствиях с “неровной” границей (см., напр., [1]).

Краевые задачи, моделирующие физический процесс, по строены в виде уравнения Гельмгольца, краевых условий на границе, сформулированных в терминах следов и условия из лучения на бесконечности (см., напр., [2]). Основным аппара том исследования является метод интегральных уравнений и техника обобщенных потенциалов.

Алгоритм приближенного решения задачи основан на вей влетном варианте метода Галеркина (см., напр., [3]).

В докладе освещено использование технологии NVidia CUDA для организации высокопроизводительных вычислений (см., напр., [4]).

Работа поддержана РФФИ (проекты № 12-07-00007, № 12 07-00667 и № 12-07-97018-р_поволжье) ЛИТЕРАТУРА 1. Липачев Е. К. Краевые задачи дифракции волн на неров ных границах // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва, 2011. – Т. 43. – C. 225– 227.

Д. Х. ГИНИЯТОВА 2. Липачев Е. К. Интегральные уравнения в задаче рассея ния волн на неровной границе раздела областей // Изв. вузов.

Математика. – 2007. – № 8. – C. 35–47.

3. Harbrecht H., Khler U., a Schneider R. Wavelet Matrix Compression for Boundary Integral Equations // Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 2006. – V. 52. – P. 129– 149.

4. Боресков А. В. и др. Параллельные вычисления на GPU.

Архитектура и программная модель CUDA. – М.: Изд-во МГУ, 2012. – 336 c.

Д. Х. Гиниятова Казанский (Приволжский) федеральный университет, normaliti@gmail.com О ТОЧНОСТИ ОЦЕНОК ТИПА ШВАРЦА-ПИКА ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЖЕСТКОСТИ КРУЧЕНИЯ Пусть () – коэффициент жесткости кручения области, определяемый по формуле () = 2 (, ), где (, ) – решение граничной задачи = 2 в области и (, ) = 0 на границе области.

Обозначим через образ круга = { :, 1} при конформном отображении : 1.

В [1] получены следующие оценки:

48 Д. Х. ГИНИЯТОВА Пусть () 0 и 0 1, тогда справедливы следу ющие неравенства:

( ) (), 1 ( ) (2 + 1)! () 2 2+1 ( ( )/4 ) (1) 2+1 (1 2 )2+1 = для каждого.

Эти оценки являются аналогами неравенств типа Шварца Пика (см., например, [2]) для коэффициента жесткости кру чения. Оба неравенства в (1) являются строгими. В настоящей работе положительно решен вопрос о точности по порядку при веденных выше оценок. А именно, нами доказана Теорема. Существует константа 0 такая, что (0, 1) = ():

( )(2+1) ( ), = 0, 1, 2...

4 (1 2 )2+ Эта работа возникла в связи с вопросом проф. С. Р. На сырова при обсуждении доклада по работе [1] на конференции “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” в году. Автор благодарит научного руководителя проф. Ф. Г. Ав хадиева за постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00762-а).

ЛИТЕРАТУРА 1. Abramov D. A., Avkhadiev F. G., Giniyatova D. Kh. Versions of the Schwarz lemma for domain moments and the torsional Р. Р. ГИНИЯТУЛЛИНА, М. Е. МАЙОРОВА, Р. Р. ТАКСЕИТОВ rigidity // Lobachevskii J. Math. – 2011. – V. 32. – № 2. – P. 149– 158.

2. Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Schwarz-Pick type inequalities. – Berlin-Boston-Bern: Birkhuser, 2009. – 156 p.

a Р. Р. Гиниятуллина, М. Е. Майорова, Р. Р. Таксеитов КНИТУ-КАИ, reginaginijatullina@rambler.ru ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ Для определения весов и узлов квадратур Гаусса пред лагается численный алгоритм решения расщепленных систем алгебраических уравнений. Доказывается сходимость предло женного алгоритма и приводится сравнение предлагаемого ал горитма с тестом.

Рассмотрим интеграл вида () (), (1) где () [, ] – весовой множитель (() 0 [, ]), а () [, ] – некоторая быстро осциллирующая функция.

Для вычисления значения квадратуры интеграла вида (1) будем использовать теорию ортогональных многочленов [2].

Гауссовы методы интегрирования весьма эффективны при при ближенном вычислении интеграла по нескольким узловым точ кам при условии, что подынтегральная функция (исключая ве совой множитель) может быть хорошо аппроксимирована вы бранным ортогональным многочленом.

50 Р. Р. ГИНИЯТУЛЛИНА, М. Е. МАЙОРОВА, Р. Р. ТАКСЕИТОВ Для нахождения значений узлов и весов квадратур Гаусса воспользуемся алгебраической системой уравнений [2], полу ченной на базе ортогональных многочленов ( = 0, 1,...) () ( = 0,..., ).

= (2) =1 Для определения неизвестных и ( = 1,..., ) проведем разбиение исходной матрицы в системе (2) на блоки. При этом система (2) разбивается на две подсистемы.

Линейная система алгебраических уравнений 1 1 2 1 1 ()1, + +... + = 1, 1 является системой с матрицей Вандермонда. Поскольку эта си стема является линейной и определенной относительно этих неизвестных, то ее решение существует и единственно, посколь ку определитель матрицы отличен от нуля. Для решения си стемы можно использовать как прямые так и итерационные методы [3–5].

ЛИТЕРАТУРА 1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Числен ные методы. – М.: Наука, 1987.

2. Хемминг Численные методы. – М.: Мир, 1980.

3. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем ли нейных алгебраических уравнений. – М.: Мир, 1969.

4. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы ли нейной алгебры. – М.: Физматгиз, 1960.

А. А. ГОНТАРЕНКО 5. Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. – М.: Наука, 1975.

А. А. Гонтаренко Волгоградский государственный университет, a.gontarenko@gmail.com ВОСТАНОВЛЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ФОРМ В СЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ ПО ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ ХАРАКТЕРИСТИК НА ПОВЕРХНОСТИ Проектирование профилей с заранее заданными характери стиками обтекания является одной из важнейших задач аэро динамики, для решения которых используются различные иде ализирующие модели сред. Наиболее изучены методы построе ния форм для идеальной несжимаемой жидкости [1]. В случае сжимаемости можно использовать формулу Кармана-Цзяна или модель газа Чаплыгина, которые до конца не учитывают свойств сжимаемости среды. В работе предложен подход для построения осесимметричных тел в дозвуковом потоке идеаль ного газа с заданным распределением скорости на поверхности.

Метод решения использует вспомогательную модель (иде альная несжимаемая жидкость), задача в которой сводится к интегральному уравнению Фредгольма II рода. В качестве начального приближения берется произвольный гладкий про филь. На его поверхности рассчитываются распределения ско ростей для сжимаемого газа (прямая задача в газе, ПГЗ) и идеальной несжимаемой жидкости (прямая задача в жидкости, ПЗЖ). В предположении подобия характеристик для разных сред строится целевое распределение скоростей в жидкости и 52 А. А. ГОНТАРЕНКО решается задача по восстановлению для несжимаемой среды (обратная задача в жидкости, ОЗЖ). В качестве нового при ближения берется полученный контур, для которого повторя ется вышеописанная процедура до полного совпадения скоро стей с целевыми для газа или прекращение изменения профи ля (отсутствует точное решение для вспомогательной модели и ОЗЖ дает квазирешение).

Для идеального газа используются дифференциальные уравнения относительно полей плотности, скорости и давления газа в виде законов сохранения массы, импульса и энергии:

+ div() =, + div(2 ) + =, ( + ) + div(( + )) =, + 2, = 1 где – полная энергия единицы объема, – отношение теп лоемкостей газа, равное 1.4. Система уравнений газовой дина мики решается методом Годунова W-модификацией для повы шения порядка точности расчетов.

Для вспомогательной модели используется интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

( 0 ) 0 ( 0 ) (0 ) = (), ( 0 )2 + ( 0 ) Для избежания переинтерполяции значений скоростей между узлами для разных сред в уравнении использовалась полярная параметризация узлов.


А. А. ГОНТАРЕНКО Выражаю благодарность д.ф.-м.н. Е. И. Васильеву за пред ложенную тему исследования и полезные советы.

ЛИТЕРАТУРА 1. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обрат ные краевые задачи аэрогидродинамики. – М: Наука, 1994. – 440 с.

2. Гонтаренко А. А. Решение обратных задач аэродинамики для невыпуклых форм. // Вестник Волгоградского государ ственного университета. – 2011. – № 1. – С. 76–80.

3. Гонтаренко А. А. Численное решение обратной задачи для осесимметричного тела в сжимаемой среде // Тр. Ма тем. центра им. Н. И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казанск.

матем. общ-ва. – 2009. – T. 39. – C. 12–14.

4. Гонтаренко А. А. Численное решение обратной за дачи по востановлению формы стационарного вихрево го кольца в сжимаемой среде // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ ва. – 2010. – T. 40. – C. 89–91.

54 А. А. ГОРШКОВ А. А. Горшков Нижегородский национальный исследовательский университет им. Н.И. Лобачевского, tiger-nn@mail.ru ДВОЙСТВЕННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В работе обсуждается метод двойственной регуляризации [1, 2] в равномерно выпуклых пространствах, что является со ответствующим обобщением результатов из [1, 2] для гильбер товых пространств. Распространение идеи двойственной ре гуляризации на равномерно выпуклые пространства обуслав ливается возможностью обобщить регулиризованную парамет рическую теорему Куна-Таккера [2] на равномерно выпуклые пространства, а так же при исследовании задач оптимально го управления с операторными ограничениями, в частности, с так называемыми фазовыми ограничениями, для уравнений в частных производных, в которых возникает естественная необ ходимость вложения образов операторов, задающих ограниче ния, в функциональные классы суммируемые с -й степенью функций при 0, = 2, = +.

Рассмотрим задачу минимизации:

0 () min, 0 = 0, () 0, = 1,...,,, (1) где 0 : – липшицевый строго равномерно выпуклый непрерывный функционал, 0 : – линейный непрерыв ный оператор, :, = 1,..., – липшицевы непре рывные выпуклые функционалы, 0 () (1 (),..., ()), 0 А. А. ГОРШКОВ 0 – заданный элемент, – выпуклое замкнутое огра ниченное множество,, – равномерно выпуклые простран ства.

Определим далее наборы невозмущенных 0, 0, 0, и возмущенных,,, исходных данных, (0, 0 ], 0:

() 0 (), 0, 0, () 0 ().

С учетом приближенного задания исходных данных () min, =, () 0, = 1,...,,. (2) Пусть решение задачи (1) существует. Обозначим это един ственное решение через 0. Введем функционал Лагранжа (,, ) () +, +, (), где, (, ) +, и, согласно идее двойственной регуляризации [1, 2], сглаживающий функционал, при, (, ) inf (,, ), (, ) +.

Обозначим через (,,, ) + точку максимума функционала, (, ), [, ] argmin{ (,, ), }.

Теорема 1. Вне зависимости от того, разрешима или нет двойственная к (1) задача, при выполнении условия согласова ния /() 0, () 0, 0 выполняются соотношения:

0 [,(),,() ] 0 0, ( [,(),,() ]) () 0, 0 ( [,(),,() ]) 0 ( 0 ), [,(),,() ] 0, 0.

56 Т. А. ГРИГОРЯН, Е. В. ЛИПАЧЕВА, В. А. ТЕПОЯН Благодарю своего научного руководителя профессора М. И.

Сумина за постановку задачи и внимание к работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01 00199-а) и Минобрнауки РФ в рамках государственного зада ния на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными выс шими учебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011).

ЛИТЕРАТУРА 1. Сумин М. И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двой ственности // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2007. – Т. 47. – № 4. – С. 602–625.

2. Сумин М. И. Регуляризованная параметрическая теоре ма Куна–Таккера в гильбертовом пространстве // Ж. вы числ. матем. и матем. физ. – 2011. – Т. 51. – № 9. – C. 1594—1615.

Т. А. Григорян, Е. В. Липачева, В. А. Тепоян Казанский государственный энергетический университет, tkhorkova@gmail.com, elipacheva@gmail.com, tepoyan.math@gmail.com РАСШИРЕНИЯ АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА Пусть ( 2 ) – алгебра всех линейных ограниченных опе раторов на пространстве Харди 2. -подалгебра алгебры ( 2 ), порожденная изометрическим неунитарным операто ром, называется алгеброй Теплица.

В работе рассматриваются расширения алгебры Тепли ца, порожденные мультипликативным оператором сингуляр ной внутренной функции.

Т. А. ГРИГОРЯН, Е. В. ЛИПАЧЕВА, В. А. ТЕПОЯН Пусть даны две сингулярные внутренные функции:

+ 1 + 1 = exp и = exp, 1 где – некоторое положительное вещественное число.

Функции соответствует изометрический оператор мультипликатор 1, функции – оператор.

Пусть 1 – -алгебра Теплица, порожденная оператором 1, и – -алгебра Теплица, порожденная. Рассмот рим -алгебру, порожденную операторами 1 и. Обо значим ее (1, ). Ясно, что 1 (1, ). Если – положительное рациональное число, то справедлива следую щая Лемма 1. Пусть =, где и взаимно простые чис ла. Тогда (, ) 1, где 1 – -алгебра Теплица, = порожденная оператором 1.

Таким образом, получаем последовательность -алгебр Теплица 1 1..., 1 2 в которой каждая следующая -алгебра является расшире нием предыдущей.

-алгебра, порожденная регулярным изометрическим представлением полугруппы, называется приведенной полу групповой -алгеброй и обозначается () [1, 2, 3].

Теорема 1. Индуктивный предел -алгебр Теплица 1..., где – вложение, порождает -алгебру, изоморфную () (+ ), где () – полугруппа рациональных чисел, порож (), где,, а + = + ().

денная числами вида 58 В. И. ЖЕГАЛОВ, И. М. САРВАРОВА Рассмотрим теперь случай, когда – иррациональное по ложительное число. Пусть – группа, порожденная числами +, всюду плотная в, где,. Обозначим + = +.

Теорема 2. (1, ) канонически изоморфна (+ ).

Поддержано грантом РФФИ № 12-01-97016.

ЛИТЕРАТУРА 1. Aukhadiev M. A., Tepoyan V. H. Isometric representations of totally ordered semigroups // Lobachevskii J. Math. – 2012. – V. 33-3. – P. 239–243.

2. Григорян С. А., Салахутдинов А. Ф. C*-алгебры, порож денные полугруппами с сокращением // Сиб. матем. журн. – 2010. – Т. 51. – C. 16–25.

3. Jang S. Y. Generalized Toeplitz algebras of a certain non amenable semigroup // Bull. Korean Math. Soc. – 2006. – V. 43. – P. 333–341.

В. И. Жегалов, И. М. Сарварова Казанский (Приволжский) федеральный университет, vzhegalov@yandex.ru, inna.sarvarova@yandex.ru О СЛУЧАЯХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГУРСА В ЯВНОМ ВИДЕ В области { = 0 1, 0 1 } рассматривается задача об отыскании регулярного решения уравнения + + + = (1) В. И. ЖЕГАЛОВ, И. М. САРВАРОВА по непрерывно дифференцируемым граничным значениям (0, ) = (), (, 0 ) = (), (0 ) = (0 ), (2) [0, 1 ], [0, 1 ].

Хорошо известно [1,.172], что решение этой задачи, запи сывается с помощью функции Римана (,,, ), о которой в общем случае известно лишь то, что она существует. Имеет ся ряд случаев, когда функцию и, следовательно, решение задачи (1), (2) удается получить в замкнутой форме. Напри мер, это возможно, если выполнено хотя бы одно из тождеств [2,.15] :

= + 0, = + 0. (3) В настоящем сообщении указываются новые варианты до статочных условий разрешимости задачи (1)(2) в явном виде.

При этом предполагается, что хотя бы одна из конструкций, из (3) не обращается в нуль, а гладкость коэффициентов урав нения (1) определяется для (, ) включениями (2,1), (1,2), (1,1), (0,1) (1,0).

Сами же достаточные условия записываются в терминах сле дующих соотношений:

1 ()1 () = 0, (4) 2 ()2 () = 0, (5) ( 1)( ), (6) 2 () () =, (7) (2 )[() + ()] где () () = 0, () + () = 0.

60 В. И. ЖЕГАЛОВ, И. М. САРВАРОВА Здесь, имеют вид (3),, 1,,, 2, при чем функция зависит лишь от одной из переменных, и не принимает значение 2, а классы гладкости 1, 2 зада ются на замкнутых множествах определения соответствующих функций.

Доказана следующая Теорема. Пусть существуют функции,,,, ука занных выше классов, для которых имеет место хотя бы одна из групп соотношений (4) (5), или при выполнении тож деств (6) хотя бы одна из комбинаций, имеет вид (7).

Если при этом () 2 [0, 1 ], 2 [0, 1 ], то задача (1) (2) решается в явном виде.

ЛИТЕРАТУРА 1. Бицадзе А. В.Уравнения математической физики. – М.:

Наука, 1982. – 336 c.

2. Жегалов В. И., Миронов А. Н.Дифференциальные уравне ния со старшими производными. – Казань: Изд-во Казанск.

матем. общ-ва, 2001. – 226 c.

А. А. ЖИДКОВ А. А. Жидков Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Институт прикладной физики РАН, Artem.Zhidkov@gmail.com МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОВОДИМОСТИ И КОНВЕКТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ В ГЛОБАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ В АТМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ Исследование электромагнитных процессов, протекающих в атмосфере Земли, тесно связано с моделированием клима тических и погодных явлений. В настоящее время всё больше внимания при создании метеорологических моделей уделяется электрическим процессам [1]. Построению физических и мате матических моделей атмосферного электричества проведено в работах [2, 3].

В настоящей работе изучается одна из моделей глобаль ной электрической цепи в атмосфере Земли. В работах [4–6] проведён математический анализ разрешимости и корректно сти исследуемой задачи, предложены некоторые формулиров ки задачи, характерные для применения различных численных методов.

В настоящей работе проводится теоретический и численный анализ влияния неоднородностей проводимости на глобальную электрическую цепь, а также исследуется вклад в глобальную электрическую цепь конвективного переноса электрических за рядов, связанного с испарением жидкости в приземном слое.

Приводятся результаты численных расчётов некоторых важ ных с практической точки зрения задач, связанных с обсужда 62 А. А. ЖИДКОВ емыми вопросами. Показано существенное влияние неоднород ности проводимости вблизи источника электрического тока на глобальную электрическую цепь – изменение электрического поля в области хорошей погоды, в то время как конвективные процессы оказывают влияние лишь в некоторой окрестности вблизи поверхности Земли.

Автор благодарит доц. А. В. Калинина и чл.-корр. Е. А. Ма реева за обсуждение результатов работы и высказанные ком ментарии.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнау ки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведе ниями (шифр заявки 1.1907.2011), гранта Правительства Рос сийской Федерации (договор № 11.G34.31.0048), гранта РФФИ (проект № 12-01-31332-мол_а).

ЛИТЕРАТУРА 1. Мареев Е. А. Достижения и перспективы исследований глобальной электрической цепи // Успехи физических наук. – 2010. – Т. 180. – № 5. – С. 527–534.

2. Hays P. B., Roble R. G. A Quasi-Static Model of Global At mospheric Electricity. 1. The Lower Atmosphere // J. of Geophy sical Research. – 1979. – V. 84. – № A7. – P. 3291–3305.

3. Browning G. L., Tzur I., Roble R. G. A Global Time-Depen dent Model of Thunderstorm Electricity. Part I: Mathematical Pro perties of the Physical and Numerical Models // J. of the Atmo spheric Sciences. – 1987. – V. 44. – № 15. – P. 2166–2177.

4. Жидков А. А., Калинин А. В. Корректность одной мате матической задачи атмосферного электричества // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. – 2009. – № 4. – С. 123–129.

Г. Р. ЗАББАРОВА 5. Жидков А. А., Калинин А. В. Некоторые вопросы мате матического и численного моделирования глобальной электри ческой цепи в атмосфере // Вестник Нижегородского универ ситета им. Н. И. Лобачевского. – 2009. – № 6. – С. 150–158.

6. Жидков А. А. О непрерывной зависимости решений от данных задачи для системы уравнений Максвелла в квазиста ционарном электрическом приближении // Вестник Нижего родского университета им. Н. И. Лобачевского. – 2011. – № (1). – С. 169–173.

Г. Р. Заббарова Казанский (Приволжский) федеральный университет, gulshaton@mail.ru РЕАЛИЗАЦИЯ ОБМЕНА ДАННЫМИ МЕЖДУ MAPLET-ПРИЛОЖЕНИЕМ И БАЗОЙ ДАННЫХ MYSQL В [1], [2] описаны принципы моделирования системы анали тического тестирования [3] на основе математического пакета Maple. В качестве средства создания интерактивной среды те стирования были предложены маплеты, а в качестве средств хранения данных были использованы внешние приложения, а именно txt- и xls-файлы. При дальнейшей разработке систе мы возникла необходимость организации более безопасного и структурированного хранения данных. В данной работе рас смотрены средства взаимодействия maplet-приложения с базой данных MySQL. СКМ Maple обладает возможностью обмена информацией c базой данных MySQL. Для работы с ними в Maple имеется пакет Database. Процедуры, входящие в данный 64 Г. Р. ЗАББАРОВА пакет, позволяют создавать подключение к базе данных, а так же осуществлять запись, чтение, обновление, удаление данных.

Кроме этого, информация, хранящаяся в базе данных, являет ся более защищенной, чем, например, данные, содержащиеся в текстовом файле. В [1], [2] описана расширенная схема си стемы аналитического тестирования, включающая несколько специализированных библиотек. Мы заменили текстовые фай лы, содержащие наборы индивидуальных заданий по темам, файлы приложения MS Excel, содержащие списки студентов по группам, и файлы, хранящие максимальные баллы за зада ния в тестах по модулям, соответствующими таблицами базы данных. В maplet-приложении были расширены функции ро ли тьютора, который теперь имеет возможность работать со списками студентов и групп непосредственно из приложения.

Это исключает необходимость работы с другими приложения ми отдельно от маплета. К уже имеющимся библиотекам систе мы добавлена библиотека DBase, содержащая процедуры, осу ществляющие соединение и обмен данными с базой данных.

Способность СКМ Maple взаимодействовать с базой данных MySQL значительно расширяет круг возможностей системы аналитического тестирования [1], [2].

ЛИТЕРАТУРА 1. Адиятуллина Г. Р., Игнатьев Ю. Г. Принципы моделиро вания системы аналитического тестирования знаний на ос нове системы компьютерной математики Maple // Вестник ТГГПУ. – 2010. – № 2(20). – C. 6–12.

2. Адиятуллина Г. Р., Игнатьев Ю. Г. Взаимодействие ма плетов с базами данных в форматах txt и xls в аналитической системе тестирования // Вестник ТГГПУ. – 2011. – № 3(25). – C. 6–17.

Л. Ш. ЗАКИРОВА, Э. И. ФАЗЛЕЕВА 3. Игнатьев Ю. Г. Использование аналитических возмож ностей пакета Maple для создания программ аналитического тестирования, самотестирования и генерации индивидуаль ных заданий в курсах высшей математики. Проблемы ин формационных технологий в математическом образовании:

учебное пособие / под ред. Ю.Г. Игнатьева. – Казань: ТГГ ПУ, 2005. – C. 9–24.

4. Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и об разовании. – М.: СОЛОН-Пресс, 2006. – 720 c.

5. Кирсанов М. Н. Maple 13 и Maplet. Решение задач меха ники. – М.: Физматлит, 2010. – 504 c.

6. Адиятуллина Г. Р. Комплекс программ для тестирова ния знаний по высшей математике // Системы компьютер ной математики и их приложения: Материалы XII междуна родной научной конференции. – Смоленск: СмолГУ, 2011. – Вып. 12. – C. 265–266.

7. Адиятуллина Г. Р. Реализация обмена данными между maplet-приложением и файлами формата.txt и.xls. // “Лоба чевские чтения-2011” Труды Математического центра им. Н.И.

Лобачевского. – Казань: Казан. матем. об-во, 2011. – Т. 44. – С. 54–56.

Л. Ш. Закирова, Э. И. Фазлеева Казанский (Приволжский) федеральный университет, landysh-zakirova@mail.ru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, со ставляет значительную часть курса математики. Это объяс няется тем, что уравнения и неравенства широко используют 66 Л. Ш. ЗАКИРОВА, Э. И. ФАЗЛЕЕВА ся в различных разделах математики, при решении важных прикладных задач. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач, содержащих параметры. Сегодня нет необходимости до казывать актуальность темы “Задачи с параметрами” в рамках обучения математике в школе. Вместе с тем приходится кон статировать факт отсутствия у большинства выпускников об щеобразовательных школ требуемого вузами уровня подготов ленности по этой теме. Также задачи с параметрами включены в задания ЕГЭ. Они часто бывают весьма сложными и требуют нестандартного подхода к решению. Трудности при изучении данного вида уравнений и неравенств связаны со следующи ми их особенностями: обилие формул и методов, используемых при решении уравнений и неравенств данного вида;

возмож ность решения одного и того же уравнения или неравенства, содержащего параметр, различными методами.

Задачи с параметрами разделяют на два типа. Первый:

“для каждого значения параметра найти все решения неко торого уравнения или неравенства”. Второй: “найти все зна чения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям”. Разбо ру такого типа задач посвящён основной объём нашей научно исследовательской работы. Продемонстрируем решение одного примера.

Сколько решений имеет уравнение 3 2 + 1 = в зависимости от значения параметра ?

Пусть = 3 2 2 + 1.

Л. Ш. ЗАКИРОВА, Э. И. ФАЗЛЕЕВА Исследуем функцию = 32 2 2 ;

= 0 при = или = /3.

1) Если 0 т. е. () (/3) 0, то в этом случае есть три корня. Решая неравенство () ( ) = (1 3 )( 3 + 1) 0, 3 получаем, что (;

25) (1;

).

2) Условие существования двух корней = 0 вы полняется при = 1 или = 5 3 25.

3) Для существования единственного корня достаточно, чтобы () ( ) 0;

( 0) или = 0. Это будет в случае ( 3 3 25;

1).

ЛИТЕРАТУРА 1. Шахмейстер А. Х. Задачи с параметрами: учеб. пособие для школьников, абитуриентов и учителей / под ред. Б.Г. Зи ва. – М.: Петроглиф, 2006. – 248 с.

2. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержа щие параметры: учеб. пособие для учителей. – М.: Просвеще ние, 1972.

68 Т. Ш. ЗАРИПОВ Т. Ш. Зарипов Казанский (Приволжский) федеральный университет, zaript@gmail.com ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОСАЖДЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ Развит метод расчета движения заряженных частиц в за мкнутой области – внутри заземленной сферы – в рамках лагранжева подхода, и проведены исследования эффективно сти осаждения частиц на границе сферы при различном числе моделируемых частиц (концентрации частиц).

Пусть в сфере радиуса 0 случайно и равномерно распреде лены одноименно заряженных частиц. На частицу действу ют кулоновские силы со стороны зарядов всех частиц, распре деленных в объеме, а также со стороны индукционных зарядов, порожденных частицами на поверхности сферы. Для решения задачи об электрическом поле, создаваемом индуцированны ми зарядами, воспользуемся методом изображений. Уравнение движения частиц под воздействием указанных сил запишется в безразмерном виде:

= + +, (1) 3 3 1 =1(=) =1(=) где = /0 – радиус-вектор, определяющий положение ча стицы, = /, = 2 /(40 0 ), = (3)1 – подвиж ность частицы.

Задача Коши для уравнения движения частиц решается методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Эффек тивность осаждения на каждом временном шаге находит ся как отношение доли всех осевших к этому моменту частиц Т. Ш. ЗАРИПОВ к общему числу частиц 0, находившихся внутри сферы в начальный момент времени, = ()/0. Частица счита ется осевшей, когда пересекает границу сферы ( 1 ). При фиксированных числах расчеты величины проводятся многократно и осредняются.

=418 = N N 1.0 1. 1 2 3 0.8 0. Yu-1 Yu- Yu-2 Yu- 0.6 0. E E 0.4 0. 0.2 0. 0.0 -8 0.0 - 10-7 10-5 10-4 10-1 101 10-7 10-5 10-4 10-1 10-6 10-3 10-2 100 10-6 10-3 10-2 10 t t Рис. 1.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.