авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«3 Ф. Г. АВХАДИЕВ, Р. Г. НАСИБУЛЛИН Ф. Г. Авхадиев, Р. Г. Насибуллин Казанский (Приволжский) федеральный университет, ...»

-- [ Страница 2 ] --

Результаты расчетов величины при различных числах приведены на рис. 1. Представлены результаты трех вари антов расчетов, для сравнения приведены также кривые (), полученные по формулам Yu [1]: варианты 1 и Yu-2 – эффек тивность осаждения с учетом только индукционной силы для одиночной частицы, варианты 2 и Yu-1– эффективность оса ждения с учетом только кулоновского взаимодействия, вари ант 3 – расчет по полной модели (1).

Зависимости () при различных дают представление об изменении соотношения между эффективностью осаждения, рассчитываемой в различных приближениях. С уменьшением, в целом, растет роль индукционного осаждения. Начиная с = 16 кривые, полученные в индукционном приближении, оказываются выше соответствующих кривых, рассчитанных в приближении кулоновского взаимодействия.

70 А. С. ЗАХАРОВ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 12-01-00333, 12-07-00007).

ЛИТЕРАТУРА 1. Yu C. P. Precipitation of unipolarly charged particles in cylindrical and spherical vessels. // J. of Aerosol Science. – 1977. – V. 8. – P. 237–241.

А. С. Захаров Новосибирский государственный университет, antzakh@gmail.com ВЛОЖЕНИЕ АЛГЕБР НОВИКОВА-ПУАССОНА В АЛГЕБРЫ НОВИКОВА-ПУАССОНА ВЕКТОРНОГО ТИПА Алгебра Новикова возникли в работе И. М. Гельфанда и И. Я. Дорфмана [1] и в работе А. А. Балинского и С. П. Но викова [2]. Алгебры Новикова-Пуассона были введены в рабо те К. Ксу [3]. А. С. Тихов и В. Н. Желябин рассматривали алгебры Новикова-Пуассона с ассоциативной коммутативной единицей [4].

Векторное пространство,, с двумя умножениями называется обобщенной алгеброй Новикова-Пуассона, если, — ассоциативная коммутативная алгебра и верны тож дества = ( );

( ) () = ( ) (). (1) Обощенная алгебра Новикова-Пуассона,, будет ал геброй Новикова-Пуассона, если, — алгебра Новикова, в А. С. ЗАХАРОВ ней выполнены тождества () = ();

()() = ()(). (2) Если = () +, где, — диффенциро вание алгебры,, то,, — алгебра Новикова-Пуассона векторного типа.

По ассоциативной коммутативной алгебре, с кососим метричной операцией {, }, которую мы будем называть скобка, можно построить дубль Кантора следующим образом. Пусть () = +, где — изоморфная копия. Введем умно жение слудующим образом:

= ;

= = ();

= {, }.

Для алгебры Новикова-Пуассона,, введем скобку по правилу {, } =.

,, Теорема 1. Пусть — обобщенная алгебра Новикова-Пуассона. Тогда построенный по,, дубль Кан тора (, {, }) будет йордановой супералгеброй.

Рассмотрим произвольное мультипликативное множество в,. Пусть (), — кольцо частных, относитель но. Пусть,,, = (+)/() и 1 = /.

Определим новое умножение на (), полагая = ( + 1 ).

1,, Теорема 2. Пусть — обобщённая алгебра Новикова-Пуассона, и не делитель нуля в,. Тогда (),, — алгебра Новикова-Пуассона векторного ти па и,, вложима в (),,. В частности,,, — алгебра Новикова-Пуассона.

72 А. С. ЗАХАРОВ,, Следствие 1. Пусть — обобщённая алгебра Новикова-Пуассона, – не делитель нуля в,, тогда соот ветствующий дубль Кантора (), {, } будет специальной йордановой супералгеброй.

Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразова ния “Развитие научного потенциала высшей школы” (проект 2.1.1.10726), Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (про ект НШ-3669.2010.1), Работа поддержана грантом ФЦП “На учные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (код проекта 14.740.11.1510), грантом РФФИ (проект № 11-01-00938-а).

ЛИТЕРАТУРА 1. Гельфанд И. М., Дорфман И. Я.Гамильтоновы операто ры и связанные с ними алгебраические структуры // Функц.

анализ прил. – 1979. – № 5. – C. 13–30.

2. Балинский А. А., Новиков С. П.Скобки Пуассона гидроди намического типа, фробениусовы алгебры и алгебры Ли //ДАН СССР. – 1985. – № 5. – C. 1036–1039.

3. Xu X. Novikov-Poisson algebra //J. Algebra. – 1997. – № 2. – C. 253–279.

4. Желябин В. Н., Тихов А. С. Алгебры Новикова-Пуассона и ассоциативные коммутативные дифференциальные алгебры // Алгебра и логика. – 2008. – № 2. – C. 186–202.

О. С. ЗАХАРОВА О. С. Захарова Казанский (Приволжский) федеральный университет, zakharovaos.mex@gmail.com ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ВИБРОРОБОТА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Изучается существенно нестационарное прямолинейное движение в жидкости виброробота – двухмассовой системы, состоящей из сферического корпуса и подвижной внутренней массы. Управляя движением внутреннего тела, можно управ лять внешней силой, действующей на корпус и, как следствие, движением системы как целого. Задача состоит в нахождении оптимального управления, отвечающего минимальным энер гетическим затратам при заданной средней скорости движе ния виброробота и фиксированном периоде колебаний. До сих пор эта и аналогичные ей задачи решались [1, 2] в условиях квазистационарности, когда силы сопротивления определялись лишь мгновенной скоростью движения корпуса. В данной рабо те в силы сопротивления, помимо квадратичных по скорости вязких сил, включены также зависящие от предыстории дви жения силы Бассе:

1 / = 2 + 62 (1) 2 ( ) Полученные результаты демонстрируют, что дополнительный учет сил Бассе не приводит к качественному изменению оп тимальных режимов движения корпуса (рис. 1) и внутренней массы, полученных в предположении квазистационарности за кона сопротивления [1]. Параметр, фигурирующий на рис.1, характеризует степень нестационарности движения, или дру гими словами степень влияния сил Бассе. Так значение 74 О. С. ЗАХАРОВА 0 отвечает решению в квазистационарном предположении.

С ростом характер оптимальных движений сохраняется, а эффективность движения уменьшается, что связано с ростом энергетических затрат на преодоление сил Бассе. Результаты свидетельствуют о том, что квазистацинарное решение [1] яв ляется хорошим приближением нестационарных решений и да ет верхнюю оценку в плане эффективности движения.

u s 6 s= s= s = 0. s 10 3 2 t 10 10 Рис. ЛИТЕРАТУРА 1. Егоров А. Г., Захарова О. С. Оптимальное по энергети ческим затратам движение виброробота в среде с сопротив лением // ПММ. – 2010. – Т. 24. – Вып. 4. – C. 620–632.

2. Егоров А. Г., Захарова О. С. Оптимальное квазистацио нарное движение виброробота в вязкой жидкости // Изв. ву зов. Матем. – 2012. – № 2. – C. 57–64.

Т. В. ЗЫКОВА Т. В. Зыкова Сибирский федеральный университет, zykovatv@mail.ru ОБ АЛГОРИТМЕ ПОСТРОЕНИЯ МНОГОГРАННИКА, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА-БАРНСА, ПРЕДСТАВЛЯЮЩЕГО РЕШЕНИЕ ПЕНТАНОМИАЛЬНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Рассмотрим пентаномиальное алгебраическое уравнение + 3 3 + 2 2 + 1 1 1 = 0, 3 2 1 1. (1) Из результата Меллина [1] известно, что -я степень ( 0) ветви решения () (0) = 1 представляется интегралом Меллина-Барнса вида:

( 1 ) 2 ( 1 2 3 (1 ) (2 ) (3 ) ) + 1 1 + 2 2 + 3 3 + (2)3 + 1 2 3 1 2 3, (2) 1 2 где интегрирование ведется по мнимому (вертикальному) под пространству + 3, вектор фиксирован и выбирается из симплекса { } = 3 : 1 0, 2 0, 3 0, 1 1 + 2 2 + 3 3.

В работе [2] было доказано, что при условии 22 инте грал (2) сходится над внутренностью двенадцатигранника (см.

рис. 1). Он может вырождаться в десятигранник и параллеле пипед при соответствующих условиях на показатели мономов в уравнении (1).

76 Т. В. ЗЫКОВА В настоящей работе на основе данного результата со здан алгоритм компьютерной алгебры в среде Maple.

В ходе выполнения программы строится двенадцатигран ник (десятигранник, параллелепипед), определяющий об ласть сходимости интеграла (2), представляющего решение пентаномиального алгебраического уравнения (1). Програм ма состоит из нескольких процедур, основная процедура _ _ реализует по строения многогранника. Входными данными процедуры явля ются показатели мономов пентаномиального алгебраического уравнения. На рис. 1 представлен один из результатов работы программы.

Рис. 1. Двенадцатигранник 22.

ЛИТЕРАТУРА 1. Mellin H. Rsolution de l’quation algbrique gnrale ` e e e ee a l’aide de la fonction gamma // C.R. Acad. Sci., Paris Sr. – 1921. – e V. 172. – P. 658–661.

2. Зыкова Т. В. О сходимости интеграла Меллина-Барнса на границе его области сходимости // Вестник КемГУ. – 2011. – Т. 47. – № 3/1. – C. 199–202.

Ю. Г. ИГНАТЬЕВ, А. Р. САМИГУЛЛИНА Ю. Г. Игнатьев, А. Р. Самигуллина Казанский (Приволжский) федеральный университет, ignatev_yu@rambler.ru, alsu_sam@mail.ru АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДЛЯ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ФАКУЛЬТЕТОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE В докладе представлена презентация учебного пособия по курсу алгебры и аналитической геометрии. Методическое посо бие содержит краткое изложение вопросов линейной алгебры и аналитической геометрии, входящих в курсы алгебры и анали тической геометрии для студентов физических и информаци онных специализаций, а также курса высшей математики для студентов естественнонаучных специализаций. В пособии по дробно рассмотрено решение основных задач этих курсов. От личительной особенностью пособия является интеграция обыч ных методов решения задач с методами их решения в систе ме компьютерной математики (СКМ) Maple. Таким образом, авторы хотели приобщить студентов к современным инфор мационным технологиям научных исследований, без которых в настоящее время немыслимы ни научные исследования, ни разработка технологических проектов. С учетом этого ново го фактора в учебное пособие введен раздел предварительного ознакомления с системой Maple и авторский компакт – диск с приложениями в Maple по изучаемым курсам, а также специ альный раздел для преподавателей, снабженный инструкци ями по использованию компакт-диска для методического со провождения курса с помощью СКМ. Электронный вариант пособия содержит гиперссылки на файлы компакт-диска, со 78 М. И. КАБАНОВА держащие необходимую для изучения материала информацию.

ЛИТЕРАТУРА 1. Игнатьев Ю. Г.Аналитическая геометрия. Курс лекций.

I семестр. Компьютерный вариант в формате L TEX. – Казань, A 2002. – 124 с.

2. Кирсанов М. И. Практика программирования в системе Maple. – М: Издательский дом МЭИ, 2011. – 208 с.

М. И. Кабанова Московский педагогический государственный университет, luinel@list.ru СТРУКТУРНЫЕ УРАВНЕНИЯ -СТРУКТУРЫ В работе [1] было дано определение -структуры как структуры, порожденной группой скалярных матриц. Было доказано, что задание -структуры на гладком многообразии размерности равносильно заданию + 1 распределений коразмерности 1 на этом многообразии и получена первая се рия структурных уравнений -структуры:

= + +, =, =. (1) Также был выяснен смысл некоторых относительных инва риантов и показано, что в случае, когда все + 1 распреде лений интегрируемы, построенная конструкция представляет собой ( + 1) -ткань в смысле В. В. Гольдберга [2].

В настоящей работе структурные уравнения -структуры были продолжены.

M. A. КАЗАНЦЕВ Теорема. Продолжения структурных уравнений (1) структуры имеют вид :

( ) = 2 2, ( ) = 2 + [] + 2[], =.

где =, =, — фиксированный индекс.

ЛИТЕРАТУРА 1. Кабанова М. И. -структуры // Тезисы докладов меж дународной конференции “Геометрия в Одессе – 2012.” – Одес са: Благотворительный фонд “Наука”, 2012. – C. 45.

2. Goldberg V. V. Theory of multicodimensional (n + 1)-webs. – Dordrecht: Boston: Kluwer Academic, 1988. – 466 p.

M. A. Казанцев ФГУП “НПП “Радиосвязь”, mkaz@mail.ru ОБ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ НА ПРИМЕРЕ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ В ходе исследования сетевых сервисов поддержки жизнен ных циклов промышленных изделий был проведен анализ си стем хранения передачи и резервирования данных, а также рассмотрены методы и архитектура построения приложений для автоматизации решаемых прикладных задач.

80 M. A. КАЗАНЦЕВ В качестве платформы для разработки приложений была выбрана трехуровневая архитектура (клиент – сервер прило жений – сервер баз данных) на базе web-сервисов. Данное ре шение позволяет обеспечить кросплатформенность на рабочих станциях и относительную легкость в администрировании при ложений. В качестве апробации подходов к автоматизации бы ла разработана и внедрена исполнительная система производ ства (MES) [1]. Системы такого класса решают задачи синхро низации, координируют, анализируют и оптимизируют выпуск продукции в рамках производства. Для успешной деятельности предприятия функции, выполняемые MES-системами, должны быть интегрированы с другими системами управления пред приятием, такими как:

Планирование Цепочек Поставок (SCM);

Продажи и Управления сервисом (SSM);

Планирования Ресурсов Предприятия (ERP);

Автоматизированные системы управления технологиче скими процессами (АСУТП).

Выполнение данных функций обеспечит своевременное и всеобъемлющее наблюдение за критическими производствен ными процессами. Разработка и использование данной системы увеличило скорость обработки производственной информации, а также скорость подготовки сопроводительной и отчетной до кументации по изготавливаемым деталям и сборочным едини цам, кроме того появилась возможность анализа изготовления продукции и перекрестного сквозного контроля на всех этапах производства.

А. Ю. КАЗАРИН ЛИТЕРАТУРА 1. Исапов Р. Mes-системы // http://insapov.ru/mes.html.

А. Ю. Казарин Казанский (Приволжский) федеральный университет, alkidkaz@mail.ru ЗАДАЧА R - ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ КОЛЬЦЕВОЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ СТРУКТУРЫ Рассматривается ( + 1 )-фазная среда, линиями сопряже ния разнородных компонентов которой служат концентри ческих окружностей = { : =, }, = 1,, 1 2...

..., т. е. компонентами среды являются: внешность круга 1, кольца 2, 3,..., и внутренность круга +1. Кусочно мероморфная функция () = () = () + (), () ( ), с заданной главной частью () находится ([1], с. 8) по краевому условию 1 () = 1 2 () + 1 1 2 2 (), 2 1 = { : = 1 }, 2 () = 2 3 () + 2 2 2 3 (), 2 = { : = 2 },............................................................

1 () = 1 ()+1 2 2 (), 1 = { : = 1}, +1 () = () + 2 (), 2 = { : = }.

где = [ + +1 ]/2, = 1, 1, = [+1 + ]/2+1, = 1, 0 – коэффициент, характеризующий физи ческие свойства среды.

Решение представляется в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда. С помощью этого решения по заданным 82 А. Ю. КАЗАРИН главным частям (), = 1, + 1 строятся различные мо дели течения жидкости в произвольной кольцевой структуре с произвольным числом, характером и расположением мульти полей, порождающих течение. С помощью пакета Mathematica есть возможность визуализации этих моделей.

6 4 2 0 2 4 Рис. 1.

Например в случае двух колец ( 1 = 2, 2 = 3.5, 3 = 6), при 1 = 1, 2 = 0, 2, 3 = 5, 4 = 20 и 1 1 () = 0, 2 () =, 3 () =, 4 () = 0, + 3 4i 2 2i получаем поле представленное на рис. 1. Сплошными линиями обозначены линии тока, а пунктирными – эквипотенциали. В А. В. КАЛИНИН, Е. Е. ГРИГОРЬЕВ особой точке = 2 + 2i находится источник, а в точке = 3 + 4i сток.

ЛИТЕРАТУРА 1. Обносов Ю. В. Краевые задачи теории гетерогенных сред. Многофазные среды, разделенные кривыми второго поряд ка. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2009. – 205 c.

2. Казарин А. Ю. Обобщенная теорема Милн-Томсона для слоисто-параллельной среды. // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ ва, 2011. – T. 43. – C. 176–177.

А. В. Калинин, Е. Е. Григорьев Нижегородский государственный университет им.

Н. И. Лобачевского, avk@mm.unn.ru, grigorev.evgenii@gmail.com СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ КЛАССИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОДНОГО ЭФФЕКТА Стационарная система уравнений для классической модели электродного эффекта при одинаковой подвижности положи тельных и отрицательных ионов записывается в виде [1]:

div( 1 ) = 1 2, (1) div( 2 ) = 1 2, (2) div = (1 2 ). (3) 84 А. В. КАЛИНИН, Е. Е. ГРИГОРЬЕВ Здесь = ( ) – напряженность электрического поля;

1 = 1 (), 2 = 2 () – концентрации положительно и отри цательно заряженных ионов соответственно;

= (1, 2, 3 ), – некоторая трехмерная область, граница которой может состоять из одной или нескольких связных компонент, играющих роль электродов (при моделировании электродного эффекта в приземных слоях атмосферы, – поверхность Зем ли);

0 – электрическая проницаемость вакуума;

– величина зарядов ионов, принятая в работе равной заряду электрона;

– интенсивность ионообразования;

– коэффициент рекомбина ции;

– подвижность ионов. В настоящей работе предполага ется, что,,, 0 заданные положительные числа. Частный случай этой системы в плоской геометрии в предположении = 3 3 (3 ) = 3 (), div((1 + 2 )) =((1 + 2 )) = 0, (1 + 2 ) = = const, изучался в классической работе [3]. В частности, в [3] бы ли получены нелинейные дифференциальные уравнения для неизвестной функции () и изучены некоторые качествен ные свойства решений. Изучение системы (1–3) в общем случае представляет интерес в связи с возможностью её использова ние при моделировании электрических процессов в атмосфере [1], [2], [4].

В работе показывается, что справедливо равенство ( grad (1, 2 )) = 0, (4) где ( 1 1 2 + 1 ), если = 1, (1, 2 ) = (1, 2 ) = (1 +2 ) (1 2 1), если = 1, (1 +2 ) А. В. КАЛИНИН, Е. Е. ГРИГОРЬЕВ =, =, = Равенство (4) означает, что вдоль силовых линий электрического поля величина (1, 2 ) остается неизменной:

(1, 2 ) = = const.

С использованием установленного факта исследуются каче ственные свойства решений и выводятся количественные соот ношения для представляющих практический интерес краевых задач для системы (1–3). Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Правительства Российской Федерации (до говор № 11.G34.31.0048).

ЛИТЕРАТУРА 1. Куповых Г., Морозов В., Шварц Я. Теория электродного эффекта в атмосфере. – Таганрог: ТРТУ, 1998. – 123 c.

2. Hoppel W. Theory of electrode eect // J. of Atmospheric and Terrestrial Phys. – 1967. – V. 29. – C. 709–721.

3. Thomson J. Conduction of electricity through gases // Cambridge. 1903. – 566 c.

4. Калинин А., Григорьев Е., Терентьев А. VII Всероссий ская конференция по атмосферному электричеству. Санкт Петербург: ФГБУ, 2012. – C. 99–101.

86 С. И. КАЛМЫКОВ С. И. Калмыков Институт прикладной математики ДВО РАН, sergeykalmykov@inbox.ru ОБ ОЦЕНКАХ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ НА ДУГАХ ОКРУЖНОСТИ Для данной области, имеющей классическую функцию Грина, набора точек { },, = 1,..., и = вещественного числа 0 введем обозначение { } (1,..., ) = : (, ).

= В докладе будут представлены результаты для полиномов, нормированных на дугах окружности, вытекающие из следую щего принципа мажорации [1, 2].

Теорема 1. Пусть области и имеют классические функции Грина,,. Предположим, что функция является мероморфной в области, име ет по крайней мере один полюс в и удовлетворяет условию () (т. е. при стремлении точки к границе обла сти все предельные значения функции () принадлежат границе ). Тогда для любого положительного справедливо включение ( (1,..., )) ( (1,..., )) ()) (1) где 1,..., – полюсы функции в области, каждый из которых учитывается столько раз, каков его порядок.

Далее, пусть – произвольное, фиксированное положи тельное число. Равенство в (1) имеет место в том и только том случае, когда () = и осуществляет полное кратное накрытие области областью.

С. И. КАЛМЫКОВ В частности, доказаны следующие теоремы.

Теорема 2 ([3]). Для комплексного полинома и = = { = : }, 0, имеет место неравен ство + 1 ( 2 ()2 )( ()2 2 ) ( ()2 ), (2) 2 2 cos + где = max (), = min ().

Равенство в (2) достигается для полинома /2 ( 2 + 1), при четных, = () = (1)/ ( 1) ( 2 2 + 1), при нечетных, = cos (21).

sin где = cos2 2 2 Теорема 3 ([4]). Для комплексного полинома с = и любых вещественных 1, 2 таких, что 1, 2, справедливо неравенство ( )2 2 sin / arcsin arcsin.

2 2 sin /2 Величины, и дуга определены в предыдущей теореме.

Из последней теоремы вытекают, например, оценки для равномерной и дискретной норм на дуге окружности.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про ект № 11-01-00038).

88 Т. А. КАЛМЫКОВА ЛИТЕРАТУРА 1. Дубинин В. Н., Калмыков С. И. Принцип мажорации для мероморфных функций // Матем. сб. – 2007. – Т. 198. – № 12. – С. 37–46.

2. Калмыков С. И. Принципы мажорации и некоторые неравенства для полиномов и рациональных функций с пред писанными полюсами // Зап. научн. семин. ПОМИ. – 2008. – Т. 357. – С. 143–157.

3. Дубинин В. Н. Калмыков С. И. О полиномах с ограниче ниями на дугах окружности // Зап. научн. семин. ПОМИ. – 2011. – Т. 392. – С. 73–82.

4. Калмыков С. И. Сравнение дискретной и равномерной норм полиномов на отрезке и дуге окружности. (в печати) Т. А. Калмыкова Дальневосточный федеральный университет, tanjushkamf@mail.ru НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ВКЛЮЧЕНИЯ ДЛЯ СПЕКТРА СОПРОВОЖДАЮЩЕЙ МАТРИЦЫ ПОЛИНОМА В данной работе рассматриваются свойства спектра сопро вождающей матрицы полинома степени, точнее, включение этого спектра в такие известные множества, как множество Гершгорина, брауэровские овалы, перестановочное множество Гершгорина, перестановочное множество Брауэра и др.

Определение 1. Пусть () = ( ) – полином = Т. А. КАЛМЫКОВА степени 2. Пусть также 1,..

=. 0 – тождественная матрица порядка 1, – матрица раз мерности ( 1) ( 1) с компонентами равными единице.

Тогда производная сопровождающая матрица ( )+ 1 называется -сопровождающей матрицей полинома.

Положим := 1, 2,...,.

Теорема 1. Для любой квадратной матрицы раз мерности ( 2 ) с комплексными элементами, и любого собственного значения () существу ет пара различных целых чисел и таких, что, () := :,, () (), где () =,,. А так как это справедливо для любого из спектра матрицы, тогда () () := =,,=, ().

Аналогичные (или почти аналогичные) результаты спра ведливы и для множества Гершгорина, перестановочного мно жества Гершгорина, перестановочного множества Брауэра и др.

ЛИТЕРАТУРА 1. Cheung W. Sh., Ng T. W. A companion matrix approach to the study of zeros and critical points of a polynomial // J. Math.

Anal. Appl. – 2006. – V. 319. – P. 690–707.

2. Varga R. S. Gersgorin and his Circles // Springer Ser.

Comput. Math., Springer-Verlag, Berlin. – 2004. – V. 36.

90 Т. А. КАЛМЫКОВА Т. А. Калмыкова Дальневосточный федеральный университет, tanjushkamf@mail.ru ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ РИСКА В работе [1] для вычисления вероятности разорения на конечном отрезке времени в классической модели риска по строена следующая аппроксимация. Распределение страховых ущербов приближено смесью экспоненциальных распределе ний, а вероятность разорения представлена конечной суммой экспонент с неизвестными коэффициентами. Для нахождения коэффициентов этого представления построены рекуррентные соотношения, позволяющие рассчитать вероятности разорения в модели риска с экспоненциальным и паретовским распреде лениями ущербов. Однако точность предложенной аппрокси мации оценивается в равномерной метрике, в которой оценка погрешности растет линейно с ростом числа шагов. Анало гичная оценка в метрике 1 свободна от, однако отсутствует теорема аппроксимации распределения страхового ущерба сме сью показательных распределений. В настоящей работе такая теорема доказывается. Существенным ограничением в класси ческой модели риска является предположение о детерминиро ванности инфляционного фактора. В данной работе аппрок симация из статьи [1] распространяется на модели риска, в которых финансовый и страховой риски являются зависимы ми случайными величинами. Исследуются возможности распа раллеливания при вычислении вероятности разорения. Кроме того, в работе рассматривается модель, в которой финансовые риски образуют марковскую цепочку. Для каждой из трех мо Д. В. КАПИТАНОВ делей проведены численные эксперименты.

ЛИТЕРАТУРА 1. Цициашвили Г. Ш. Вычисление вероятности разорения в классической модели риска. // Автоматика и телемеханика. – 2009. – Вып. 12. – С. 187–194.

2. Ko B., Ng A.C.Y. ”Stochastic Annuities,” Daniel Dufresne, Discussions of papers already published. // American Actuarial Journal. – 2007. – V. 11. – № 3. – P. 170–171.

Д. В. Капитанов Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского, dis-kdv@mail.ru ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ШАРНИРНОГО И КОНСОЛЬНО ЗАКРЕПЛЁННОГО СТЕРЖНЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ, ОБУСЛОВЛЕННОЙ СЖИМАЮЩЕЙ НАГРУЗКОЙ Исследуется устойчивость нагруженного продольной сжи мающей силой стержня при шарнирном и консольном закреп лении. Решаются две следующих задачи. Находятся критиче ские значения нагрузки, при которой недеформированное со стояние стержня становится неустойчивым, определяется тип неустойчивости и поведение стержня после потери устойчиво сти с учётом нелинейных факторов, ограничивающих его дви жение.

Рассматриваются малые низкочастотные плоские колеба ния однородного прямого стержня с сжимающей продольной 92 Д. В. КАПИТАНОВ нагрузкой. Вывод уравнения и краевых условий осуществляет ся с использованием принципа Гамильтона-Остроградского [1].

В случае шарнирного закрепления определяются собствен ные функции и собственные значения и находится критическое значение нагрузки. При этом из-за изгиба стержня появляет ся нелинейная сила, компенсирующая сжимающую нагрузку.

Показано, что при нагрузке меньше критической состояние равновесия, соответствующее недеформированному стержню, – устойчивый узел или фокус. При потере устойчивости проис ходит бифуркация в виде рождения ещё двух устойчивых со стояний равновесия, соответствующих искривлённому стерж ню, а исходное состояние равновесия становится седлом.

В случае консольного закрепления стержня со следящей силой на свободном конце о потере устойчивости свидетель ствует смена знака действительной части двух первых корней характеристического уравнения [2]. Представленный в указан ной работе результат количественно совпадает с данными, из ложенными в классических монографиях [3, 4], где использу ется второе приближение по методу Бубнова-Галёркина. Для исследования поведения стержня после потери устойчивости в этом случае необходимо рассмотрение изменения структуры по меньшей мере четырёхмерного фазового пространства. В соот ветствии с общими представлениями теории динамических си стем [5] и анализа сущности возникающих физических процес сов с учётом нелинейных факторов и демпфирования следует ожидать бифуркацию в виде рождения устойчивого предель ного цикла из устойчивого до бифуркации состояния равнове сия. Затруднение анализа характера возникающих колебаний стержня в этом случае можно обойти, если использовать ме тод нелинейных форм колебаний [6]. Это позволяет понизить Д. В. КАПИТАНОВ минимальный порядок системы до второго и исследовать ха рактер изменения структуры фазовой плоскости, опираясь на хорошо разработанный математический аппарат [5].

ЛИТЕРАТУРА 1. Смирнов Л. В, Капитанов Д. В. Динамика упругого сжатого стержня при потере устойчивости: Учебно методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2010.

2. Капитанов Д. В., Овчинников В. Ф., Смирнов Л. В. Некон сервативная устойчивость трубопровода и консольного стержня // Проблемы машиностроения и надёжности ма шин. – 2010. – № 2. – С. 117–123.

3. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Государственное издательство физико– математической литературы, 1961.

4. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадок сы. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука. Главная редакция физико математической литературы, 1979.

5. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний: Учеб. по собие для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2001.

6. Shaw S. W., Pierre C. Normal modes for nonlinear vibratory systems // J. Sound Vibration. – 1993. – V. 164. – P. 58–124.

94 А. В. КАРАМОВ, Д. В. БЕРЕЖНОЙ, Л. Р. СЕКАЕВА А. В. Карамов, Д. В. Бережной, Л. Р. Секаева Казанский (Приволжский) федеральный университет, akaramovvnedry@mail.ru ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО И ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ГРУНТА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО С БЕТОННОЙ ОПОРОЙ В работе излагается методика исследования напряженно деформированного и предельного состояния грунта взаимодей ствующего с бетонной опорой, при различных механических характеристиках, определяющих его предельное состояние.

В соответствии с принятой моделью предполагается, что до предельного состояния справедлив закон Гука, а после его достижения среда начинает деформироваться без увеличения воспринимаемой нагрузки, что приводит к перераспределению напряжений во всем объеме.

Наибольшее распространение при решении физически нелинейных задач методом конечных элементов получила ите рационная процедура, известная как “метод начальных напря жений”. В соответствии с ней на каждом шаге итерации фор мулируется линейная задача и найденные напряжения оцени ваются по соотношениям предельного состояния. Если матери ал не достиг уровня предельного состояния, то считается, что напряженное состояние найдено. Если материал вышел в пре дельное состояние, то определяются “истинные” напряжения и “дополнительные”, которые в совокупности равны найденным из решения линейной задачи. Далее считается, что “дополни тельные” напряжения являются неуравновешенными внутрен А. В. КАРАМОВ, Д. В. БЕРЕЖНОЙ, Л. Р. СЕКАЕВА ними усилиями, и на следующем шаге итерации они прини маются как внешние силы. В результате удается определить области (зоны) достижения грунтами предельного состояния и уровень пластических деформаций, приобретенных грунтом.

Механизм взаимодействия бетонной опоры и грунтового массива моделируется контактным слоем, деформирование ко торого может меняться в достаточно широком диапазоне в зависимости от условий воздействия. В работе используется формулировка задачи в приращениях, когда на шаге итерации неизвестными являются не полные поля перемещений, которые в некоторых ситуациях являются фиктивными, а их прираще ния.

Анализ результатов показывает, при увеличении модуля Юнга грунта происходит довольно сильное снижение осадки, а интенсивность пластических деформаций снижается. При уве личении коэффициента сцепления грунта меняется характер распределения интенсивности пластических деформаций, то есть область пластических деформаций начинает сжиматься к опоре. Интенсивность пластических деформаций имеет общую тенденцию к снижению. Максимальная осадка почти не меня ется. При увеличении угла внутреннего трения грунта также меняется характер распределения пластических деформаций, а осадка выходит на постоянный уровень.

Разработанная методика и созданное программное обеспе чение позволяют рассчитывать широкий класс фундаментов и строительных сооружений из бетона с учетом их взаимодей ствия с деформируемым грунтовым основанием в физически нелинейной постановке.

96 А. Е. КАСАТКИН А. Е. Касаткин Самарский государственный университет МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАВОДНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВЕЙЕРШТРАССА Вторичные интенсивные методы добычи нефти – это на стоящее и будущее нефтяной промышленности: они позволя ют ей поддерживать свой высокий статус и развиваться для удовлетворения растущих потребностей общества. Историче ски первым вторичным методом, случайно открытым в сере дине 1860-х гг. [1], стало заводнение, чья высокая эффектив ность впоследствии была подтверждена рядом опытных работ, проведенных в первой половине XX в. [2]. В настоящее вре мя эта технология обеспечивает около половины добываемой США нефти.

Независимо от применяемой технологии, разработка любо го месторождения – это длительный и сложный процесс, рас тянутый во времени на несколько лет, а, значит, требующий тщательного планирования. Ошибки в проектировании, игно рирование технически важных параметров пласта и флюидов неблагоприятно сказываются на результатах добычи, приводя к многомиллионным убыткам. Прогнозирование хода заводне ния, улучшение технико-экономических показателей за счет подбора оптимальной схемы расстановки скважин – цель на стоящего исследования.

Для моделирования нефтяного месторождения использова лась бесконечная комплексная плоскость, покрытая двоякопе риодической решеткой с параметрами 1 и 2 ((2 /1 ) 0). Скважины, разрабатывающие пласт, размещались в ее А. Е. КАСАТКИН (решетки) узлах. Для расчета поля скоростей в моделируемом резервуаре использовалось представление комплексной скоро сти (, ), полученное в работе [3] для добывающих скважин.

В результате обобщения указанной формулы на случай взаимо действия нескольких разнотипных скважин в ячейке решетки выражение приняло вид:

1 () (, ) = ((, ) + ( ) ( ))+ = 2 () ((, ) + ( ) ( )).

= (1) Здесь 1 и 2 – число добывающих (мощности ) и на гнетательных (мощности ) скважин соответственно, () = 1 1 1 = + ( + + 2 ) – дзета-функция Вейерштрасса,= ( = 1 + 2 :, Z;

, = 0 ), = ( – площадь 1 2(1 /2) элементарной ячейки), = – параметр, обеспечи вающий двоякопериодичность функции скорости (, ).

Основная задача, поставленная в работе, заключалась в расчете и построении вида фронта заводнения, расширяющего ся со временем. Выражение для поля скоростей (1), представ ленное выше, вошло в состав главного уравнения:

} = (, ), (2) =0 = 0 +.

Здесь – пористость, 0 – центр нагнетательной скважи ны радиуса. Интегрируя систему (2) по времени и меняя угол от 0 до 2, можем получить “временные снимки” фрон та заводнения. Для проведения расчетов использовались ме тоды Рунге-Кутты, модифицированные с учетом коплексности переменных и их сопряженности.

98 А. Е. КАСАТКИН В итоге были построены картины движения нагнетаемой в пласт воды: ниже представлены изображения, полученные для пятиточечной (рис. 1) и семиточечной (рис. 2) схем заводнения.

На них отражен момент прорыва закачиваемой жидкости (вы делена синим) из нагнетательной скважины (обозначена тре угольником) в добывающие (отмечены кружками). Необходи мо отметить различие во времени начала обводнения, которое в ходе моделирования составило 1100 условных временных еди ниц (У.В.Е.)для пятиточечной и 750 У.В.Е. для семиточечной схем соответственно при прочих ранвых условиях, таких как пористость породы и мощности истоков и стоков. Сделанное замечание говорит о меньших временных затратах для извле чения нефти при использовании второй модели заводнения.

Рис. 1. Рис. 2.

Описанное выше решение применимо для модели, не учиты вающей различие в вязкости нефти ( 2 ) и вытесняющего аген та ( 1 ). Если же соотношение отличается от единицы, то при построении формулы для (, ) наблюдается нарушение непрерывности касательной компоненты скорости фильтрации А. Е. КАСАТКИН = ) при сохранении равенства нормальных ком (1 ) и величин давления обеих жидкостей понент ( = ( = ) на границе фронта заводнения. Указанное об стоятельство приводит к изменению вида выражения (1):

( ) (, ) = (, ) +. (3) Здесь соответствует потенциалу скорости (, ) из фор мулы (1), обозначает контур-границу водонефтяного кон такта, ( ) = ( 2 1), а преставляет собой угол ) и положи между нормальной компонентой скорости ( тельной частью оси. Исходя из содержания выражения (3) видна та сложность, которую добавляет сингулярный интеграл типа Коши при решении главного уравнения. Это обстоятель ство обуславливает необходимость в предварительном вычис ) и нормальной ( ) компонент лении касательной ( скорости в каждой точке границы водонефтяного контак та для выбранного момента времени, после чего становится возможным интегрирвование системы (2). Предполагая извест ность формы контура при = можно осуществить его разбиение по параметру длины дуги. В результате ряда пре образований формула (3) приобретает вид:

( ) ( + 1) ( ) = 2 ( 1 1) ( ) = (zj,zj )+ 2, (4) 2i = ( ), определяется выражением (1), – это эле = где мент дуги контура, а – выбранная точка на границе 100 Ф. Д. КАЮМОВ водонефтяного контакта в момент времени. После выде ления вещественной и мнимой частей формулы (4), а также рассмотрения всех точек ( = 1, ) можно построить си стему линейных алгебраических уравнений, решением которой станут касательные и нормальные компоненты скорости, опре деленные на всем фронте заводнения. После этого возможно интегрирование задачи (2) для расчета положения точек кон тура в момент времени +1. В настоящее время разработан алгоритм решения системы уравнений для расчета компонент и скорости для выбранного.

ЛИТЕРАТУРА 1. Уолкотт Д. Разработка и управление месторождениями при заводнении. – М., 2001.

2. Уиллхайт Г. П. Заводнение пластов. – М. – Ижевск: Ин ститут компьютерных исследований, НИЦ “Регулярная и хао тическая динамика”, 2009.

3. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование двоякопе риодических систем добывающих скважин. // Вестник Сам ГУ. – 2010. – Т. 78. – № 4. – С. 5–11.

Ф. Д. Каюмов Казанский (Приволжский) федеральный университет, fany-07@mail.ru ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИИ Пусть односвязная область на плоскости, граница ко торой состоит из более, чем одной точки, и – конформное отображение области на круг = { : 1}.

Ф. Д. КАЮМОВ Бреннаном [1] была высказана гипотеза о том, что () при 4/3 4, т. е.

, 4/3 4. (1) Пусть : – конформное отображение единично го круга на. В работе [2] было доказано, что гипотеза Бреннана эквивалетна соотношению (( )1+ ) 1 =, 1. (2) ( ) В работе доказана гипотеза Бреннана для специальных классов функции.

Теорема 1. Если ( ) 2 2 = ln, 1, (3) = где коэффициенты тейлоровского разложения функции ln :

, ln () = = то выполнено (2) и, следовательно, гипотеза Бреннана спра ведлива.

Теорема 2. Пусть – конформное отображение еди ничного круга на односвязную область. Предположим, что 1/ () представима в виде ряда из простых дробей, т. е.

=. (4) () = 102 Ф. Д. КАЮМОВ Если,, = то справедливо неравенство 1, 0 1, ( ) т. е. справедлива гипотеза Бреннана.

Теорема 3 (О приближении простыми дробями). Если () однолистна в круге, то существует функция () =, = такая, что 1 ().

() (1 ) ЛИТЕРАТУРА 1. Brennan J. E. On the integrability of derivative in conformal mapping // J. London Math. Soc.(2). – 1978. – V. 18. – P. 261–272.

2. Pommerenke Ch. On integral means of derivative of a univalent function // Ark. Mat. London Math. Soc.(2). – 1985. – V. 32. – P. 254–258.

3. Голузин Г. М. Геометрическая теория функции ком плексного переменного. – М.: Наука, 1966.

4. Bertilsson D. On Brennan’s conjecture in conformal mapping. – Departament of Mathematics Royal Institute of Technology, 1999.

О. М. КЕЧИНА О. М. Кечина Поволжская государственная социально-гуманитарная академия, omka-83@mail.ru О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПО ВРЕМЕНИ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ В прямоугольной области = {(, ) : 0, 0 } рассмотрим уравнение = 0 (1) и исследуем для него задачу с начальным условием (, 0) = (), (2) нелокальным условием (, 0) + (, ) = () (3) и граничными условиями (0, ) = 0, (, ) = 0. (4) Под классическим решением задачи (1)–(4) будем понимать функцию (, ) 1 () 2 (), удовлетворяющую в области уравнению (1) и условиям (2)—(4).

Допустим, что существуют два решения рассматриваемой задачи (1) — (4) 1 (, ) и 2 (, ), и рассмотрим разность (, ) = 1 (, ) 2 (, ). (5) Функция (, ) удовлетворяет однородному уравнению = 0 (6) 104 О. М. КЕЧИНА и однородным условиям (, 0) = 0, (7) (, 0) + (, ) = 0, (8) (0, ) = 0, (, ) = 0. (9) Докажем, что функция (, ) тождественно равна нулю.

Умножим уравнение (6) на и проинтегрируем по области = (0, ) (0, ), [0, ] получившееся выражение:

(, ) (, ) (, ) (, ) = 0. (10) 0 0 0 После элементарных преобразований и применения условий (7), (8) и (9), получим равенство ( ) (, ), 2 (, ) + (, ) = (11) 0 0 из которого вытекает неравенство ( ) 2 2 (, ) + (, ) (, ). (12) 0 0 Дальнейшие оценки и применение неравенства Гронуолла приводят к утверждению о единственности решения при до статочно малом.

М. М. КОКУРИН С. С. Кожичин Сибирский федеральный университет, siblist24@list.ru О ДИСПЕРСИИ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В работе показано, что наблюдаемая в экспериментах дис персия плоских акустических волн в воде может быть описана с помощью математической модели наследственной упругой сре ды Поинтинга и Томсона.

Получены формулы для вычисления феноменологических коэффициентов определяющих уравнений модели через ско рости низкочастотных и ультразвуковых волн и через декре мент затухания ультразвука. Система уравнений гидроакусти ки, учитывающей дисперсию волн, приведена к симметричной –гиперболичной форме.

М. М. Кокурин Марийский государственный университет, kokurin@nextmail.ru РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Разыскивается решение () некорректной задачи Коши () = (), [0, ], (0) = (), (0) = 0.

(1) Здесь : () — неограниченный замкнутый 106 М. М. КОКУРИН оператор в банаховом пространстве ;

() =. Предпо лагается, что ( ) (1/2 ). Ниже (), (, ) = ( )1 — спектр и резольвента оператора, () = { {0} : arg }, (0, ). Предполагается, что спра ведливо включение () (0 ), 0 (0, /2) и имеет место оценка (, ) 0 (1 + )1 (0 ).

Задача (1) имеет не более одного решения. Изучается метод её приближённого решения при помощи разностных схем.

Рассмотрим разностное уравнение + = ()2 +, 0,. (2) =0 = Потребуем = 1, 0 +... + = 0, 0. Пусть = (+ ) () (+ ), =0 = =, 0, () = ch. Будем называть порядком аппроксимации схемы (2) величину, для которой выполняется оценка + 1 ()+1 Re ( +), и потребуем 2. Определим начальные значения схемы (2):

0 () 1, () = (()2 ), () = (0 + 1 +... + )(1 + ! + ), = (2)!()!(+)!, 1 1, = [( = 1)/2]. Устанавливается, что для любой разностной схемы (2) существует 1 такое, что для arg = 0 справедлива оценка () 2 Re. (3) М. М. КОКУРИН Положим =, 1. Введём матрицы = ( ) 2 =, 1 2, 2 ( ) ( ) 1 1 + + 2 2 2 1 =, =.

+1 1 1 + 1 2 2 2 ( ) Предположим, что многочлен () = det не имеет = корней вне замкнутого единичного круга, и для каждого его –кратного корня, лежащего на единичной окружности, су ществует решений { }1 2 рекуррентного уравнения + = 0, 0, для которых векторы 0, 1 = линейно независимы и = 0 для всех 0, 1.

Для аппроксимации решения = () в точках =, = / применяется операторный аналог схемы (2) + = ()2 +, 0.

=0 = с начальными элементами 0 =, = (), 1 1.

Теорема. Пусть выполняется условие (3) с 1 и ре шение задачи (1) существует на отрезке [0, 1 ], где 1.

Тогда справедлива равномерная по =, 0 оценка () 3 ()(1) ( ) при 0, +(1 ) с подходящей константой 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про ект № 12–01–00239a).

108 А. А. КОЛТУНОВ А. А. Колтунов Волгоградский государственный университет ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ КАПЛИ ЖИДКОСТИ, ПОМЕЩЕННОЙ НА НЕОДНОРОДНЫЙ ПОРИСТЫЙ СЛОЙ Процессы впитывания и растекания жидкости по насыщен ному пористому слою широко распространены в природе и тех нике.

В работе в двумерной постановке численно решена задача о растекании тонкой капли вязкой жидкости по плоскому пори стому слою толщины, проницаемость () которого неодно родна в поперечном направлении. Из-за проницаемости основа ния, капля не только растекается, но и частично впитывается пористым слоем.

Предполагается, что капля достаточно тонкая и задача ре шается в приближении теории смазки. Уравнение динамики формы капли (, ), обобщающее модель работы [1], в безраз мерной форме имеет вид [( 3 ) ( ) ]() + (0) +(, 0) =, 3 где 0, 0 – начальная полуширина и высота капли;

= = 2 / – число Бонда;

– безразмерный коэффициент, характеризующий физико-химические свойства границы;

, и, – продольная, поперечная составляющие скорости и давление жидкости в капле и в пористой среде.

На границе жидкость – пористая среда допускается сколь жение жидкости, ставится условие Саффмана [2] =0 = (0).

= А. А. КОЛТУНОВ Движение жидкости в неоднородной пористой среде опи сывается законом Дарси: = (), = (), где (, ) – распределение давления в пористом слое.

Численные расчеты проведены для слоев с различным рас пределением проницаемости [3]. Было выявлено существенное влияние поперечной проницаемости на характер эволюции кап ли. При слабой проницаемости границы слоя, капля главным образом распространяется по поверхности. При большой про ницаемости верхней части пористого слоя граница капли вы равнивается быстрее за счет процессов впитывания в слой и последующего вытеснения находящейся там жидкости в уда ленных областях пористой поверхности.

В качестве примера, на рис. 1 представлены зависимости высоты капли от времени для случая, когда безразмерная про ницаемость моделируется функцией () = 0 (1 + ), где – проницаемость на верхней границе пористого слоя, а – константа.

Рис. 1. Изменение высоты капли: 1. 0 = 0.1, = 0 ;

2. 0 = 0.6, = 0;

3. 0 = 0.1, = 0.5 ;

4. 0 = 0.6, = 1.0.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про ект № 12-01-31272 мол_а).

110 Д. В. КОРОТЯЕВ, А. С. ПРОСКУРЯКОВ ЛИТЕРАТУРА 1. Davis S. H., Hocking L. M. Spreading and imbibitions of viscous liquid on a porous base // Phys. Fluids. – 1999. – V. 11. – P. 48–57.

2. Saman P. G. On the boundary condition at the surface of a porous medium // Stud. Appl. Math. – 1971. – V. 50. – № 2. – P. 93–101.

3. Колтунов А. А., Чернышев И. В. Растекание капли жид кости по неоднородному насыщенному пористому слою // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. – 2012. – № 1. – С. 34–41.

Д. В. Коротяев, А. С. Проскуряков Северный (Арктический) федеральный университет, nemiro.den@gmail.com, oldmerkury@mail.ru КЛАССИФИКАЦИЯ СНИМКОВ ПОРАЖЕНИЯ КОЖИ (МЕЛАНОМА) Одним из наиболее опасных типов поражений кожи явля ется рак кожи. Меланома – одна из трех разновидностей рака кожи и самая опасная из них. В Европе, Северной Америке и Австралии на протяжении последних десятилетий, злока чественная меланома является основной причиной смерти от рака, и процент пораженных с каждым годом только растет.

В США уже каждый шестой имеет злокачественные кожные раковые поражения, и 75% из них – это смертельные исходы, приходящиеся на меланому [1].

Д. В. КОРОТЯЕВ, А. С. ПРОСКУРЯКОВ Раннее обнаружение и удаление является приоритет ным шагом в борьбе с данным заболеванием. Компьютеро ориентированные системы диагностики могут помочь в выяв лении на раннем этапе подозрительных участков поражения кожи, а также в постановке первичного диагноза.

Для меланоцитарных поражений, одним из наиболее из вестных подходов является ABCD (где A – асимметрия, B – граница, C – цвет и D – диаметр). Эксперт-дерматолог, про анализировав достаточно большой набор снимков с поражен ными участками, способен диагностировать данные изображе ния, как на чувствительность (62,4%), определяя тип пораже ния, так и на специфичность (64,2%), вынося решение о хирур гическом вмешательстве [2].

Алгоритм, разработанный нами, тоже опирается на клас сическую методологию, но имеет большую результативность – 82-84% успешной классификации в совокупности по всем типам поражения.

Исходными данными для исследований были снимки с участками поражения кожи, поделенные на 3 группы. Пер вая – злокачественная меланома, вторая – все остальные ти пы злокачественных поражений, которые также предполагают хирургическое вмешательство. И последняя – доброкачествен ные опухоли, не требующие удаления. Для каждого из снимков заранее был известен окончательный диагноз, 85% выбиралось для обучения алгоритма, остальные 15% служили тестовым на бором для проверки результативности, проходя при этом 10-ти кратную кросс-валидацию. Иллюминация и наличие волосков на пораженных участках, впоследствии компенсировалось про цедурой сегментации.

Точное обнаружение границ поражения кожи является 112 Д. В. КОРОТЯЕВ, А. С. ПРОСКУРЯКОВ важным шагом для компьютеро-ориентированных диагности ческих систем. Предположения, в полученных изображениях, о том, где располагается пораженная область, цветовые пятна и аномалии, используются для получения автоматического пра вила выбора регионов. Процесс сегментации заключается лишь в адекватной группировке пикселей, которые отображают та кие характеристики, как цвет, текстуру, или форму [3]. Дан ная процедура осуществляется SRM методом (Statistical region merging) в несколько итераций.

Затем, используя стандартные классификаторы и их ком бинации в полученном пространстве признаков, после его цен трирования, производится классификация. Наиболее точные результаты показали: линейный дискриминантный классифи катор (LDC), анализ главных компонент (PCA) и LDC, выбор 3 лучших признаков c корректировкой ошибки методом бли жайших соседей (также корректировкой LDC и QDC методом) и LDC.

Над полученными лучшими классификаторами строится дополнительная абстракция выбора, основанная на следующих пяти методах: контейнер произведения, контейнер значений, медианный контейнер, контейнер наибольших и наименьших значений. После чего происходит голосование и выбор наилуч шего классификатора для каждого конкретного случая.

ЛИТЕРАТУРА 1. Jerant A., Johnson J., Sheridan C., Carey T. Early detection and treatment of skin cancer // American Family Physician. – 2000. – V. 62. – № 2. – C. 357–386.

2. Zortea M. Diagnosis of melanomas using dermatoscopic images: doctors and computers // Research report. – 2011. – C. 1– 11.

А. Н. КОСАРЕВ 3. Shi J., Malik J. Normalized cuts and image segmentation // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. – 2000. – V. 22. – № 8. – C. 888–905.

А. Н. Косарев Вятский государственный гуманитарный университет, a_k8888@mail.ru МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ ПРОФЕССОРА Ф. Ф. НАГИБИНА Цель нашей работы — анализ и структурирование руко писных материалов из архива профессора Фёдора Фёдорови ча Нагибина (1909–1976), накопленных им за 43 года работы в Кировском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина (сейчас Вятский государственный гуманитарный университет).


Обнаружены материалы, в частности, по следующим разде лам математики: “Теория функций действительного перемен ного”, “Ряды”, “Элементы комбинаторики и теории вероятно стей”, “Дифференциальные уравнения”, “Логические задачи и теория графов”, “Бесконечные множества”, “Интегральное ис числение”, “Геометрические задачи”. Необходимо определить значимость и практическую ценность данных материалов при обучении математике школьников и студентов.

Рукописи содержат колоссальный объем как теоретическо го, так и практического материала по перечисленным выше разделам математики. Рукописи с теоретическим материалом чаще всего представлены в виде стопки листов с краткими кон спектами, которые, вероятно, автор использовал при чтении лекций. Практический материал представлен в виде подборок 114 А. А. КРАСНОВ задач, в большинстве своем, также в виде рукописного тек ста. Его автор неоднократно корректировал: менял последова тельность задач, вносил некоторые пояснения, наводящие на правильный ход решения. Почти ко всем задачам автор при водит ответы, указания или краткий ход решения. Некоторые материалы практически готовы к изданию.

Материалы Ф. Ф. Нагибина будут интересны преподавате лям математики и студентам вузов, обучающимся на матема тических специальностях, а также школьникам, которые заин тересованы в изучении науки “Математика”. В частности, они могут стать основой при разработке школьных факультатив ных курсов. В дальнейшем планируется подготовить к изда нию архивные материалы профессора Нагибина, внедрить их в учебный процесс в соответствии с федеральными стандарта ми, провести апробацию результатов проведенной работы на учебных занятиях со студентами и школьниками.

А. А. Краснов Сибирский федеральный университет, krasnova-d@mail.ru МОДЕРНИЗАЦИЯ ОФИСНОЙ АТС И СКС Всегда актуальна задача распределения ограниченных ре сурсов между большим количеством пользователей. Внедряя новое оборудование в нашей организации, мы пытались ре шить две задачи: предоставление городской, междугородней и международной связи 150 специалистам, имея всего 25 теле фонных номеров от оператора телефонной связи, и предостав ление доступа в интернет этим же пользователям, имея канал гарантированной шириной 10 Mbit/s. Заранее можно заявить, Д. А. КРАСНОВА что с поставленными задачами удалось справиться. Настрой ка офисной IP-АТС. Настройка активного сетевого оборудова ния: маршрутизатор, коммутаторы, IP-телефоны. Организаци онные решения, связанные с оптимизацией бизнес-процессов в организации и направленные на эффективное использование телефонной связи и доступа в интернет без ущерба для произ водственных процессов.

ЛИТЕРАТУРА 1. cisco.com 2. avaya.com Д. А. Краснова Институт вычислительного моделирования СО РАН, krasnova-d@mail.ru ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДВУМЕРНОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ Рассматриваются уравнения движения двумерного слоя идеальной жидкости относительно функции, описывающую толщину слоя жидкости со свободной границей. Уравнения за писываются в декартовой системе координат так, что ось ортогональна к подложке, ось направлена в сторону дей ствия скатывающей силы. Жидкость занимает область = = {(, ) : +, 0 (, )}, где – время, – толщина слоя жидкости. В уравнения движения жидко сти входят компоненты вектора скорости (, ) и давление (скатывающие силы заменой переменных можно включить в 116 Д. А. КРАСНОВА давление). Слой жидкости имеет твердую подложку при = и свободную границу при = (, ).

Вводятся новые координаты, которые фиксируют границы области 0 1, =, =, = 1 (,, ) и модифи цированные компоненты вектора скорости =, =, = [1].

Система уравнений записывается в виде ()2 = 2 [ + (+ )+ + ], (1) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) =, (2) + = 0, (3) нижние индексы обозначают дифференцирование функций по,,, = 1.

Для системы (1) – (3) найдены преобразования эквивалент ности. Это преобразования элементов,,,,,,,, которые сохраняют структуру уравнений (1), (2), (3), при этом к системе присоединяется уравнение = 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (ин теграционный проект СО РАН №65).

ЛИТЕРАТУРА 1. Кузнецов В. В. Термокапиллярные течения в погранич ныхи тонких слоях // Дисс.... докт. физ.-мат. наук. – Нов-ск:

ИГ СО РАН, 2001. – 187 с.

2. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

В. И. КУЗОВАТОВ В. И. Кузоватов Сибирский федеральный университет, kuzovatov@yandex.ru ГРАНИЧНЫЙ АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ФОРЕЛЛИ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННО–АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В работе получен граничный аналог теоремы Форелли для вещественно–аналитических функций. Показано, что всякая вещественно–аналитическая функция, заданная на границе ограниченной строго выпуклой области в многомерном ком плексном пространстве и обладающая свойством одномерно го голоморфного продолжения вдоль семейства комплексных прямых, проходящих через одну граничную точку и пересека ющих область, голоморфно продолжается в как функция многих комплексных переменных.

Доказательство полученного утверждения основано на представлении заданной функции рядом Тейлора и равенстве нулю коэффициентов при антиголоморфных степенях.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про ект № 12-01-00007-a).

118 Р. К. КУЗЬМИН, Е. К. ЛИПАЧЕВ Р. К. Кузьмин, Е. К. Липачев Казанский (Приволжский) федеральный университет, trytolose@gmail.com, lipachev@ksu.ru МЕТОДЫ ИНТЕРАКТИВНОГО РЕДАКТИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ Современное развитие информационно-коммуникационных технологий, в частности, расширение спектра используемых пользователем устройств для доступа к сети, привело к пе реходу от работы с приложениями, развернутыми на локаль ном компьютере, к использованию сервисов, предоставляемых по сети. Технологические аспекты указанной трансформации процессов управления информацией оформлены в рамках кон цепции Cloud Computing (см., напр., [1]).

Доклад посвящен методам оптимизации процесса подготов ки электронной публикации по математике и созданию на их основе сервисов, выполненных по принципам Cloud Computing.

Большая часть научных публикаций по математике со здается с использованием средств, основанных на системе TEX (см., напр., [2]). В докладе представлена программная сре да, позволяющая через веб-интерфейс осуществить ввод и ре дактирование математической публикации, указаны особенно сти интерфейса и проведено сравнение с традиционными про дуктами подготовки публикаций на основе TEX.

Составной частью разработанного сервиса является систе ма валидации авторских файлов. Важность валидации – воз можность последующей автоматической обработки, в частно сти, автоматической конвертации в подходящие форматы. Сер вис валидации включает прием авторских файлов через веб Р. К. КУЗЬМИН, Е. К. ЛИПАЧЕВ интерфейс, автоматическую проверку на соответствие уста новленным (для данного издания) стилевым правилам, авто матическую генерацию отчета об обнаруженных отклонениях от правил и его визуализацию.

В качестве прототипа системы валидации использован модуль проверки авторских файлов пилотного проекта ав томатизации электронного журнала Lobachevskii Journal of Mathematics (см. [3]).

Выполненную работу авторы рассматривают как один из этапов создания облачной среды управления управления жиз ненным циклом научной публикации.

Работа поддержана РФФИ (проекты № 12-07-00667 и 12-07 97018-р_поволжье) ЛИТЕРАТУРА 1. Furht B., Escalante A. Handbook of Cloud Computing. – Springer Science+Business Media, 2010. – 655 p.

2. Кнут Д. Э. Компьютерная типография. – М.: Мир, 2003. – 668 c.

3. Елизаров А. М., Липачев Е. К., Малахальцев М. А. Серви сы электронных естественнонаучных коллекций, построен ные на основе технологии MathML// Тр. Всерос. суперком пьютерной конф. “Научный сервис в сети Интернет: суперком пьютерные центры и задачи”. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010. – С. 533–534.

120 А. В. КУЛЕШОВ А. В. Кулешов Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград, arturkuleshov@yandex.ru ОСНАЩЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ, ОБОБЩАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЬ В работе [1] показано, что нормализация 1-го рода в смыс ле А. П. Нордена поверхности проективного пространства по рождает оснащение Эли Картана. В данной работе рассматри вается обобщение этого результата на гладкое семейство цен трированных плоскостей, центры которых смещаются внутри соответствующих плоскостей. Работа выполнена методом про должений и охватов Г. Ф. Лаптева [2].

Гладкое многообразие, образующим элементом которого яв ляется центрированная -плоскость = (, ) простран ства, где (1 ), назовем семейством центрированных плоскостей. В настоящей работе ограничим ся рассмотрением семейств центрированных плоскостей специ ального вида. А именно, положим = 1. Потребуем далее, чтобы центр плоскости 1 смещался внутри плоскости и описывал -мерную поверхность ( 1). Это озна чает, что касательная плоскость () к поверхности в точке лежит в. Пусть при этом каждая точка этой поверх ности является центром -параметрической связки плоскостей семейства, где 1 1. Очевидно, что каждая та кая связка имеет касательную плоскость () своим много мерным центром. При этом размерность описанного семейства равна = +, поэтому обозначим его через +. С каждой плоскостью инвариантно связана плоскость 1, состоящая А. В. КУЛЕШОВ из всех точек, смещающихся внутри 1 при всевозмож ных ее смещениях, оставляющих центр неподвижным:

1 = { : }.

1 Имеем цепочку включений:

() 1 1.

Проективную оболочку непересекающихся плоскостей и будем обозначать.

Присоединение к каждому элементу 1 семейства + некоторой плоскости размерности будем называть оснащением.


Введем в рассмотрение следующие оснащения рассматри ваемого семейства:

1) 1 -оснащение такое, что 1 = () ;

2) 2 -оснащение такое, что () 2 = 1 ;

3) 0 -оснащение такое, что 1 0 = ;

4) 1 -оснащение такое, что 1 ;

/ 5) 1 -оснащение такое, что 1 1 ;

6) -оснащение такое, что () = ;

7) 1 -оснащение такое, что 1 1 =.

Назовем:

– 2 -оснащение и 1 -оснащение согласованными, если при фиксации центра плоскость 1 2 сме щается внутри плоскости 1 2 ;

– 1 -оснащение специальным, если при фиксации цен тра плоскость 1 1 смещается внутри плоско сти 1 ;

– -оснащение специальным, если при фиксации центра плоскость 1 смещается в ;

122 А. В. КУЛЕШОВ – 1 -оснащение и -оснащение согласованными, если прямая 1 лежит в плоскости и смещается в ней при фиксации центра.

Теорема 1. 2 -оснащение вместе с согласованным с ним 1 -оснащением семейства + порождают 1 оснащение этого семейства.

Теорема 2. Специальное 1 -оснащение семейства + порождает -оснащение этого семейства.

Теорема 3. Специальное -оснащение семейства + порождает 2 -оснащение этого семейства.

Теорема 4. 1 -оснащение вместе с согласованным с ним -оснащением семейства + порождают 0 -оснащение этого семейства.

ЛИТЕРАТУРА 1. Остиану Н. М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. геом. семин. – M.: ВИНИ ТИ, 1966. – Т. 1. – C. 239–263.

2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широ ков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. – M.: ВИНИТИ.

М.,1979. – T. 10. – С. 5–247.

Н. Ю. КУЛЬТИНА Н. Ю. Культина Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского (Национальный исследовательский университет) natalia.kultina@gmail.com ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ВНУТРЕННИМИ РЕЗОНАНСАМИ Большинство задач на исследование устойчивости положе ния равновесия механических систем решается с помощью тео рии первого приближения и, в особенных по Ляпунову случаях, с помощью теоремы Лагранжа об устойчивости и теорем Ля пунова о неустойчивости, при этом достаточно ограничиться второй степенью в разложении потенциальной энергии.

Однако существует класс механических систем, линейные математические модели которых относятся к особенному по Ляпунову случаю, где теоремы Лагранжа и Ляпунова об ис следовании устойчивости по потенциальной энергии системы не дают корректных результатов. К этим механическим систе мам относятся системы с внутренними резонансами, собствен ные частоты колебаний которых образуют некоторую линей ную комбинацию. Простейший пример внутренних резонансов – образование суммарных частот или, как частный случай, удвоенных частот.

Наличие внутренних резонансов делает механические си стемы чувствительными к различным малым факторам, та ким как: несовершенства, нелинейности модели, малые внеш ние воздействия. Поэтому при исследовании устойчивости та ких систем нельзя ограничиваться линейными математически ми моделями.

124 Н. Ю. КУЛЬТИНА В качестве наглядного примера механической системы с внутренним резонансом подробно рассматривается двойной ма ятник, находящийся под действием следящей силы и силы вертикального направления. С помощью теорем Лагранжа и Ляпунова в рамках линейной математической модели получе на область параметров, отвечающая устойчивому положению равновесия маятника. В найденной области проведен анализ поведения системы случае, когда её собственные частоты свя заны резонансным соотношением. Сформулированы основные выводы:

1. В условиях внутреннего резонанса положение равновесия маятника может быть неустойчивым. При этом в системе имеет место взрывная неустойчивость – неограниченное нарастание амплитуд колебаний масс за конечный промежуток времени;

2. Потеря устойчивости обнаруживается только в нелиней ной математической модели. В рамках линейной модели рас сматриваемая механическая система консервативна и её поло жение равновесия устойчиво. Внутренний резонанс приводит к перераспределению энергии между взаимодействующими мас сами. В нелинейной постановке задачи система неконсерватив на. Эта неконсервативность, необходимая для взрывного на растания амплитуд маятника, связана с малыми нелинейными факторами, характеризующими неконсервативность нагрузки и несовершенства начальной формы;

3. Внутренний резонанс имеет область притяжения. Если частоты колебаний масс попадают в резонанс не точно, а с некоторой расстройкой, то в системе так же развивается взрыв ная неустойчивость.

Внутренние резонансы могут наблюдаться не только в дис кретных механических системах, но и в распределенных. К Н. И. КУТЫРЕВА числу широко распространенных в технике систем с внутрен ними резонансами принадлежат некоторые тонкие упругие на груженные оболочки.

В качестве примеров распределенной системы с внутренни ми резонансами рассматриваются сферическая и тороидальная оболочки, находящиеся под действием равномерного всесто роннего сжатия. Проводится исследование спектров собствен ных частот оболочек в рамках линейных математических мо делей. Определяются области нагрузок, отвечающих наиболее частому появлению внутренних резонансов и, как следствие, потере устойчивости систем.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01 314-a).

Н. И. Кутырева Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королева (национальный исследовательский университет), nataliya.kutyreva@gmail.com СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОГО МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ОСНОВАНИИ Работа посвящена исследованию плоских произвольно за данных движений механической системы, представляющей со бой математический маятник переменной длины на вращаю щемся основании.

Целью работы являлось построение управления, которое реализует и стабилизирует произвольно заданные программ ные движения. Ставились и решались следующие задачи:

126 Н. И. КУТЫРЕВА 1. Построить математическую модель указанной механической системы;

2. Синтезировать программное управление, обеспечи вающее реализацию заданного желаемого движения маятника;

3. Синтезировать стабилизирующее управление, обеспечиваю щее асимптотическую устойчивость программного движения.

Актуальность выбранной тематики обуславливается необ ходимостью разработки методов и способов построения систем программных движений различных объектов, например, робо тотехнических систем, летательных аппаратов и других транс портных и прочих инженерно-механических систем.

Научная новизна работы состоит в том, что построены ана литически в замкнутой форме программные стабилизирующие активные управления для задачи о реализации неавтономных программных движений маятника. Практическая значимость исследования заключается в возможности их использования при проектировании различных транспортных и инженерно механических систем.

Поставленные в работе задачи решались методами теорети ческой механики [1], математического моделирования [2], мето дами Ляпунова классической теории устойчивости [3] с исполь зованием метода предельных функций и систем [4, 5].

Основные достигнутые и ожидаемые результаты. В рабо те получены уравнения движений маятника переменной дли ны на вращающемся основании в виде уравнений Лагран жа второго рода. Решена задача о реализации асимптотиче ски устойчивых произвольных программных движений ма ятника (в общем случае не являющихся решением исход ной неуправляемой системы) с помощью добавления актив ного управления. Для доказательства свойства асимптотиче ской устойчивости движений маятника в работе была по Н. И. КУТЫРЕВА добрана определенно-положительная функция Ляпунова с определенно-отрицательной по скоростям производной. Реше ние получено для произвольного закона изменения длины ма ятника и произвольного закона отклонения маятника от вер тикали.

Результаты работы обобщают и развивают соответствую щие результаты из [6, 7].

ЛИТЕРАТУРА 1. Маркев А. П. Теоретическая механика: учеб. для вузов.

Издание второе, дополненное. – М.: ЧеРо, 1999. – 572 c.

2. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Мате матическая теория конструирования систем управления. – М.: Высш. шк., 1989. – 447 c.

3. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Мир, 1980. – 301 c.

4. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary equations // J.Dier. Equat. – 1977. – V. 23. – P. 216–223.

5. Андреев А. С. Об устойчивости и неустойчивости ну левого решения неавтономной системы // ПММ. – 1984. – Т. 48. – Вып.2. – C. 225–232.

6. Смирнов Е. Я., Павликов В. Ю., Щербаков П. П., Юр ков А. В. Управление движением мех. систем. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. – 316 c.

128 А. О. ЛАРИЧЕВА, А. П. ЛЕОНОВА, И. И. ТУЗОВА 7. Bezglasnyi S. P. The stabilization of program motions of controlled nonlinear mechanical system // Korean J. Comput.

Appl. Math. – 2004. – V. 14. – № 1-2. – P. 251–266.

А. О. Ларичева, А. П. Леонова, И. И. Тузова Брянский государственный университет им. академика И.Г.Петровского alyonka.leonova@yandex.ru ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОДНОГО КЛАССА ПРОЕКТОРОВ В НЕКОТОРЫХ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТИПА С. М. НИКОЛЬСКОГО В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ В последние несколько десятилетий интенсивно изучаются вопросы проектирования -весовых пространств на соответ ствующие пространства аналитических функций (см. [1], [2], [3]), при этом эти проекции строятся на основе специальных ядер, введенных Берманом, М. М. Джрбашяном в первой по ловине XX века. Однако вопрос о построении соответствующих проекторов в пространствах, имеющих гладкость в том или ином смысле, мало изучены. В этой заметке мы построим огра ниченные проекторы в пространствах С. М. Никольского (см.

[4]) на соответствующее пространство аналитических функций в полуплоскости. Для формулировки результатов введем сле дующие обозначения.

Пусть + = { : Im 0} – верхняя полуплоскость комплексной плоскости. Через (+ ) обозначим множество всех функций, заданных в +, удовлетворяющих следующим А. О. ЛАРИЧЕВА, А. П. ЛЕОНОВА, И. И. ТУЗОВА условиям: 1) существует такое положительное число, что ( +, +, = 0, 1,..., [];

2) ( ) + +1 ( + ), +1 0 1, = 0, 1,..., [], = []. Подпространство про странства (+ ), состоящее из аналитических функций, обо значим через, (+ ). Основным результатом заметки явля ется Теорема. Пусть, тогда оператор ( ) ( )() = () ()2 () + + ( ) (+ ) отображает пространство на пространство, (+ ).

Замечание. Отметим, что если функция, (+ ), то ( )() = (), + (см. [1]).

ЛИТЕРАТУРА 1. Djrbashian M. M., Shamoyan F. A. Topics in theory of spaces // Teubner - Verlag, Leipzig. – 1988. – № 3. – P. 200.

2. Hedermalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. – New York: Springer-Verlag, 2000.

3. Zhu K.Spases of holomorphic functions in the unit ball. – Springer-Verlag, 2005.

4. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интеграль ные представления функций и теоремы вложений. – М.: Нау ка, 1975.

130 Ю. В. МАКСИМОВА, Д. В. КАПИТАНОВ Ю. В. Максимова, Д. В. Капитанов Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского, ula_dmues@sinn.ru ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ В КАЧЕСТВЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ГИДРОУПРУГИХ СИСТЕМ НА ПРИМЕРЕ ПРЯМОГО ТРУБОПРОВОДА Изучение динамических процессов при взаимодействии упругой конструкции с потоком жидкости или газа представ ляет теоретический интерес, а его результаты имеют важное практическое значение для обоснования работоспособности ря да систем и объектов новой техники. Важную роль играет ис следование устойчивости конструкций при гидродинамическом воздействии, которое может существенно зависеть от вызывае мой им деформации самой конструкции [1]. В этом случае тре буется учёт самосогласованного взаимодействия механических и гидродинамических процессов. В настоящей работе пред ставлены результаты численно-аналитического исследования устойчивости консольного и шарнирно закреплённого трубо проводов как типичной гидроупругой системы.

Рассматриваются малые, плоские, низкочастотные, изгиб ные колебания рассматриваемой как стержень цилиндрической упругой оболочки, внутри которой с некоторой постоянной ско ростью движется идеальная несжимаемая жидкость.

В отличие от классических методов исследования данной задачи с использованием разложения решения в ряд по функ циям Крылова, соответствующих собственным формам колеба Ю. В. МАКСИМОВА, Д. В. КАПИТАНОВ ний, в данной работе в виде функций сравнения используются полиномы. Степень и коэффициенты полиномов определяются с учётом числа учитываемых форм колебаний и согласования их с краевыми условиями.

При этом уравнения движения представляются в виде урав нений Лагранжа второго рода. Полученная система дифферен циальных уравнений исследуется на устойчивость с помощью критерия Льенара-Шипара. В соответствии с целью работы ис следование границы устойчивости проведено при заданных па раметрах, кроме скорости жидкости, изменяющейся от нуля до некоторого критического значения. Однако с помощью раз работанного алгоритма можно провести аналогичные расчёты при любых других параметрах.

В случае консольного закрепления сделан вывод, что необ ходимо рассматривать как минимум две формы колебаний, и увеличение количества форм при рассмотрении данного за крепления уточняет результат. Для шарнирно закрепленного трубопровода рассмотрение колебаний с использованием одной и двух первых форм дало одни и те же результаты.

С целью тестирования данной методики, были рассмотре ны малые, низкочастотные, плоские изгибные колебания одно родного прямого стержня при сжимающей следящей нагруз ке. Математическая модель данной системы является частным случаем исходной модели. Полученные критические значения нагрузки хорошо согласуются с результатами, приведенными в классической литературе [2, 3], что позволяет сделать вывод об эффективности рассмотренного метода.

ЛИТЕРАТУРА 1. Фролов К. В., Махутов Н. А., Каплунов С. М. и др. Ди намика конструкций гидроаэроупругих систем. – М.: Наука, 132 А. А. МАЛЮГИНА 2002.

2. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колеба ния упругих систем: современные концепции, парадоксы и ошибки/4-е изд., перераб. – М: Наука, 1987.

3. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории устой чивости. – М: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961.

А. А. Малюгина Казанский (Приволжский) федеральный университет, alexandra.malyugina@mail.ru ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ НАД АЛГЕБРОЙ ДУАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ОДНИМ ИЗ СЛОЕВ КАНОНИЧЕСКОГО СЛОЕНИЯ НА КОТОРЫХ ЯВЛЯЕТСЯ ТОР Структура -мерного гладкого многообразия над ал геброй дуальных чисел ( -гладкого многообразия) на ве щественном 2 -мерном многообразии 2 задается атласом, карты которого принимают значения в модуле, а функ ции перехода являются диффеоморфизмами над алгеброй ( -гладкими).

Идеал алгебры, состоящий из элементов с нулевой ве щественной частью, порождает подмодуль в, инвари антный относительно -линейных преобразований. Подмоду лю соответствует каноническое слоение на многообразии. На каждом слое слоения индуцируется каноническая структура аффинного многообразия, то есть многообразия с атласом, функции перехода которого являются аффинными преобразованиями.

А. А. МАЛЮГИНА Пусть — аффинное многообразие и { : } — атлас на с функциями перехода = (, ) + (, ),,, =.

На тотальном касательном пространстве касатель ного расслоения : индуцируется атлас { :

1 ( ) }, функции перехода которого имеют вид = (, ) + (, ), = (, ).

Предложение 1. Пусть : — нулевое сечение расслоения, а : {, } { = + }.

(i) Набор карт { = : 1 ( ) } являет ся -атласом, определяющим на многообразии струк туру -мерного -гладкого многообразия.

(ii) Ограничение проекции на слои канонического слое является аффинным на ния -гладкого многообразия крытием.

(iii) Подмногообразие = ( ) является слоем канонического слоения многообразия. Ограничение на слой является изоморфизмом аффинных многообразий.

(vi) Если — полное аффинное многообразие, то много образие — полное -гладкое многообразие.

Рассмотрим аффинное многообразие 2 ( ), получающе еся склейкой противоположных сторон четырехугольника посредством двух преобразований подобия 1 и 2 [1]. Пусть 2 = 2 {0}, а 2 — универсальное накрывающее простран 0 ство аффинного многообразия 2. Многообразие 2 ( ) изо морфно фактормногообразию 2 / по действию группы, 134 А. А. МАЛЮГИНА порождаемой преобразованиями 1 и 2, накрывающими пре образования 1 и 2 соответственно. Рассмотрим на произ ведении 2 2 преобразования 1 : (, ) (1 (), 1 ()),, состоящую из преобра 2 : (, ) (2 (), 2 ()) и группу зований,,.

2 Предложение 2. (i) Группа действует на многооб разии 2 2 собственно разрывно -диффеоморфизмами.

Фактормногообразие = (2 2 )/ является -гладким 2 многообразием -диффеоморфным многообразию 2 ( ).

(ii) Слой = ({0} 2 )/ канонического слоения на 0 изоморфен в категории аффинных многообразий многообразию 2 ( ).

Предложение 3. Произведение (, 1) 1, 3, линзо вого пространства и окружности допускает структуру дву мерного -гладкого многообразия, при которой один из сло ев канонического слоения изоморфен в категории аффинных многообразий тору 2 ( ), полученному склейкой противо положных сторон равнобочной трапеции с углом между боковыми сторонами равным 2/.

ЛИТЕРАТУРА 1. Тёрстон У. Трехмерная геометрия и топология. – М.:

МЦНМ, 2001. – 312 с.

2. Furness P. M. D., Arrowsmith D. K. Locally symmetric spaces // J. London math. soc. (2). – 1975. – № 10. – P. 487–499.

3. Малюгина А. А., Шурыгин В. В. Представления голоно мии одного класса многообразий над алгеброй дуальных чисел // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. – 2011. – № 26. – C. 128–137.

Р. В. МАРКОВ Р. В. Марков Вятский государственный гуманитарный университет, markovrv@yandex.ru О ХАРАКТЕРИЗАЦИИ РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛУКОЛЕЦ ПИРСОВСКИМИ СЛОЯМИ В [1] получено пучковое (пирсовское) представление, а в [2] построена теория цепей Пирса, позволяющая поднимать широ кий класс свойств от неразложимых факторов до оригиналь ного кольца. Наша задача заключается в переносе полученных результатов на случай полуколец. С необходимыми определе ниями, связанными с полукольцами и пучковыми представле ниями, можно познакомиться в [3].

Через обозначается кольцо всех центральных дополня емых идемпотентов полукольца, через — простран ство максимальных идеалов в.

Конгруэнциия на полукольце называется пирсов ской, если для,, выполняется ( ) =, где — дополнение к некоторому централь ному дополняемому идемпотенту. Факторполукольцо / называется пирсовским слоем полукольца.

Полукольцо, не имеющее нетривиальных прямых слага емых называется неразложимым;

максимальное неразложи мое факторполукольцо / называется (mi -фактором) полу кольца.

Полукольцо называется регулярным, если для каждого найдется такой, что =.

Теорема 1. Для полукольца равносильны условия:

A. — регулярное полукольцо;

136 Р. В. МАРКОВ B. все пирсовские слои полукольца — регулярные полу кольца;

C. все mi-факторы полукольца — регулярные полуколь ца.

Полукольцо называется строго -регулярным, если для каждого найдется такой и, что +1 = +1 =. Наименьшее из таких называется ин дексом стабилизации элемента, если для каждого индекс стабилизации ограничен, то называется полуколь цом ограниченного индекса.

Теорема 2. Для полукольца, в котором множества всех пирсовских слоев и всех mi-факторов конечны, равносильны условия:

A. — строго -регулярное полукольцо ограниченного ин декса;

B. все пирсовские слои полукольца — строго регулярные полукольца ограниченного индекса;

C. все mi-факторы полукольца — строго -регулярные полукольца ограниченного индекса.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.