авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» На правах рукописи БЕЛЯНИН Алексей ...»

-- [ Страница 2 ] --

В явных одношаговых методах Рунге-Кутта разных порядков значение y i+ на очерезном шаге зависело только от значения y i в предыдущей точке xi. Таким образом, метод Рунге-Кутта позволяет получить только полный вектор (а не отдельное значение yi+1) значений y i+1 в следующей точке xi+1. Поэтому для получения значения функции, которую мы считали постоянной на некотором отрезке, в конце этого отрезка требуется:

1. Вычисление векторов значений для точки конца отрезка y i+1 функций в системе, которые имеют различный шаг.

2. Хранение значений всех функций в точке начала отрезка, на котором приняли функцию за константу.

Очевидно, что если все функции будут иметь свой шаг, то вычислительные затраты метода на порядок возрастут. Целесообразно замораживать только самые медленные функции на достаточно большие одинаковые интервалы интегрирования.

Описанный выше алгоритм был реализован и апробован на описанной выше модели (2.4).

Исходные данные для решения системы приведены в таблице 7:

Результаты сравнения метода с переменным шагом и изменяющимся порядком явного метода Рунге-Кутта с понижением и без понижения порядка решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений представлены в таблице 4.2.

Из таблицы 4.2 видно, что «сэкономленное» время было потрачено на дополнительные вычисления, что дало прирост в точности.

Выводы Проведенное исследование методов моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов на различных моделях показало, что в зависимости от решаемой модели наилучший результат может показать любой из приведенных методов. Не существует метода, который был бы наилучшим для любой задачи, даже отдельно по точности или устойчивости. Следовательно, разрабатываемая система моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов должна состоять из нескольких альтернативных методов.

Разработан алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, отличающийся возможностью понижения порядка решаемой системы за счт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных, позволяющий снизить машинное время вычислений.

Предложен алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений явным методом Рунге-Кутта, отличающийся возможностью варьировать порядок метода в зависимости от устойчивости участка, позволяющий повысить устойчивость до явного метода Рунге-Кутта первого порядка на плохо устойчивых участках и повысить точность до явного метода Рунге-Кутта четвртого порядка на устойчивых участках.

Разработан алгоритм выбора длины шага при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом, отличающийся возможностью выбора длины шага путем умножения или деления длины предыдущего шага на число, зависящее от критерия, не превышающее двух, позволяющий снизить объем работы и машинное время и замедлить рост вычислительной погрешности.

ГЛАВА 3 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПОВЫШЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА МОМЕНТОВ В большинстве случаев необходимость в оптимизации возникает при решении так называемых обратных задач. В этом случае требуется найти неизвестные константы модели, сравнивая теоретические и экспериментальные распределения. Результат решения обратной задачи существенно зависит от выбора критерия идентификации и метода оптимизации: поиска неизвестных констант из заданной области существования.

Универсального метода оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов не существует. Решение чаще всего находят, многократно перебирая по определенному алгоритму набор прямых задач, и минимизируют выбранный критерий отклонения расчта от эксперимента.

3.1 Сравнение методов оптимизации Сравним следующие методы оптимизации:

1. Метод Гаусса.

2. Градиентный спуск.

3. Метод сопряженных градиентов.

Перечисленные выше методы были апробированы на следующей билинейной динамической системе (3.1).

dY A2 Y y1 B 2 Y dt y 1 ( 0) y 0 (3.1) y 2 (0) y 3 (0)... y 8 (0) Векторы выходных координат модели и матрицы коэффициентов приведены ниже [69]:

K1 K p K t Для решения модели был разработан программный комплекс, написанный на объектно-ориентированном языке программирования С++.

Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется с помощью метода Рунге-Кутта с использованием описанных во второй главе алгоритмов:

с понижением порядка решаемой системы;

с переменным порядком метода;

с переменным шагом.

Критерием точности для решения обратной кинетической задачи будет сумма значений относительных ошибок по всем функциям в конечных точках:

.

Для решения прямой задачи использовался метод Рунге-Кутта 4-ого порядка. В таблицах 3.1, 3.2 приведены результаты идентификации по двум параметрам.

Таблица 3.1 – Результаты оптимизации билинейной динамической системы с двумя параметрами Количество Ki решений Критерий Полу Название метода Идеа прямой точности НУ чен льное задачи ное Градиентный 531 0,0023 10 9,005 спуск Сопряженных 355 0,00398 10 9,01 градиентов Покоординатный 776 0,0022 10 9,0048 спуск Градиентный 1992 0,0024 12 9,0056 спуск Сопряженных 1083 0,0019 11 9,0028 градиентов Покоординатный 782 0,0020 11 9,004 спуск В таблице 3.3 приведены результаты идентификации по трм параметрам.

Решение задачи оптимизации билинейной динамической системы следующие: Ki = 9, Kt = 4, Kp = 5.

Таблица 3.2 – Результаты оптимизации билинейной динамической системы с двумя параметрами Количество Kt решений Критерий Полу Название метода Идеа прямой точности НУ чен льное задачи ное Градиентный 531 0,0023 5 4,0016 спуск Сопряженных 355 0,00398 5 0,0047 градиентов Покоординатный 776 0,0022 5 4,002 спуск Градиентный 1992 0,0024 5 4,0022 спуск Сопряженных 1083 0,0019 5 4,0013 градиентов Покоординатный 782 0,0020 5 4,0017 спуск Из таблиц 3.1, 3.2 видно, что при отдалении начальных условий от оптимального решения метод наискорейшего спуска дат выигрыш в скорости по сравнению с градиентными методами, что объясняется необходимостью вычислять градиент. При приближении начальных условий к оптимальному решению метод наискорейшего спуска дат проигрыш в скорости по сравнению с градиентными методами, что объясняется частой сменой направлений, а не движением вдоль градиента. В ходе проведнного эксперимента можно считать метод сопряженных градиентов самым быстрым методом, так как вблизи от оптимума метод показал наилучшую скорость, а вдали от оптимума незначительно проиграл методу покоординатного спуска и значительно выиграл по скорости у метода градиентного спуска.

Таблица 3.3 – Результаты оптимизации билинейной динамической системы с тремя параметрами Количество НУ Критерий Название метода решений прямой точности Ki Kt Kp задачи Градиентный спуск 509 0,0658 10 5 Сопряженных 239 0,0698 10 5 градиентов Покоординатный спуск 851 0,7593 10 5 Градиентный спуск 503 0,1555 8 5 Сопряженных 199 0,1274 8 5 градиентов Покоординатный спуск 1054 0,0644 8 5 Градиентный спуск 181 0,3133 7 4 Сопряженных 120 0,3128 7 4 градиентов Покоординатный спуск 3219 0,4796 7 4 Очевидно, что метод, использующий метод покоординатного спуска вдали от оптимума, а вблизи используюший метод сопряженных градиентов, должен снизить вычислительные затраты. В таблице приведены данные 3. разработанного гибридного метода. Данный метод действительно является более быстрым.

Таблица 3.4 – Результаты оптимизации билинейной динамической системы с двумя параметрами гибридным методом Количество Ki Kt решений Критерий Полу Полу- Идеаль- Идеаль прямой точности НУ НУ чен ченное ное ное задачи ное 335 0,002 10 9,00249 9 5 4,0013 470 0,00224 12 9,00164 9 5 4,0009 3.2 Алгоритм оптимизации билинейной динамической системы, состоящей из нескольких систем в моментах 3.2.1 Алгоритм определения количества систем в моментах Схема алгоритма определения количества систем в моментах представлена на рисунке 3.1.

Опишем работу алгоритма по шагам:

Шаг 1. Определение количества систем в моментах с использованием моментов до третьего порядка включительно. За количество систем в моментах принимается максимум из количества экстремумов в экспериментальной кривой и ( m2j ) 3 m0j количества систем в моментах соответствующих значению j j ( m ) m j3 j 1 j j (таблица 3.5), где msj - моменты s-го порядка в j-ой системе в моментах.

Пуск 1 Ввод значений решения Расчет N – количество экстремумов решения Расчет моментов решения Выбор K из таблицы 1 соответст вующего значению Нет N=K Алгоритм Да «Равномерного Алгоритм распределения».

«Экстремумов». Max = K Max = N Вывод Max – кол-во систем в моментах Останов Рисунок 3.1 – Алгоритм определение количества систем в моментах Таблица 3.5 – Количество систем в моментах в зависимости от значений моментов Количество Значение систем в моментах Меньше 1,4 Меньше 1,75 и больше 1,4 Меньше 2,5 и больше 1,75 Больше 2,5 Шаг 2. Выбор модельной функции.

Шаг 3. Определение начальных значений для решения:

1) Определение математического ожидания для каждой системы в моментах.

2) Определение параметров системы.

Шаг 4. Решение обратной задачи.

3.2.2 Выбор модельной функции С изменением времени моделирования вид кривой решения меняется. На практике чаще всего встречаются билинейные динамические системы повышенной размерности в химической технологии. В химической технологии важной характеристикой является конверсия. Конверсия показывает, какая часть от поданного в реактор количества реагента вступила в реакцию.

Например, рассмотрим модель со случайным механизмом обрыва. Как видно из рисунка 3.2, при 23 минутах моделирования (рисунок 3.2) при модельной функции Бизли значение модульного критерия отклонения расчетных значений от экспериментальных будет минимальным. А при 180 минутах моделирования (рисунок 3.3) при модельной функции Флори значение этого критерия будет минимальным.

Рисунок 3.2 – Кривые решения при 23 минутах моделирования, полученные экспериментально, и с использованием модельных функций 3.2.3 Определение начальных значений для решения Для построения модельной функции необходимо знать моменты решения.

При наличии нескольких систем в моментах для построения модельной функции, также необходимо знать концентрации для каждой системы в моментах.

Рисунок 3.3 – Кривые решения при 180 минутах моделирования, полученные экспериментально, и с использованием модельных функций 3.2.4 Определение математического ожидания для каждой системы в моментах Рассмотрим два алгоритма определения математического ожидания для каждой системы в моментах:

1. Алгоритм «Экстремумов».

2. Алгоритм «Равномерного распределения».

Алгоритм «Экстремумов».

При совпадении количества экстремумов в полученном экспериментально решении и количества предполагаемых систем в моментах, целесообразно каждому максимуму экспериментального решения присвоить максимум решения одной системы в моментах.

Алгоритм «Равномерного распределения».

Если количество экстремумов в полученном экспериментально решении меньше количества предполагаемых систем в моментах, то использовать алгоритм «Экстремумов» нельзя. Поэтому для определения математического ожидания для каждой системы в моментах необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Разбить известные значения экспериментального решения на равные или примерно равные (если количество точек не кратно количеству предполагаемых систем в моментах) по количеству смежные по оси абсцисс группы точек (Рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 – Пример группировки точек экспериментального решения 2. Далее находим среднее арифметическое значение по оси абсцисс из точек каждой группы. Это значение и будем принимать за начальное значение математического ожидания для системы в моментах.

3.2.5 Определение констант модели Зная математическое ожидание для каждой системы в моментах, необходимо найти константы модели. Для этого был разработан следующий алгоритм:

1. Зададимся значениями констант модели, удовлетворяющими исходным ограничениям. Затем вычислим частные производные для каждой константы по математическому ожиданию. Таким образом, чем больше значение частной производной, тем сильнее константа влияет на значение математического ожидания.

2. Варьируем значение константы модели с наибольшей частной производной и, приняв остальные константы за постоянные будем минимизировать разницу между полученным значением математического ожидания и требуемым.

3. Если решение не удовлетворяет требуемой точности, то необходимо увеличивать на один количество варьируемых констант, пока решение не будет удовлетворять требуемой точности.

4. Если решение удовлетворяет требованиям точности, то принимаем полученные константы модели за начальные значения для системы в моментах.

3.2.6 Определение концентрации для каждой системы в моментах Итоговое распределение решения получается путм сложения решений для каждой системы в моментах по принципу суперпозиции с учетом концентрации.

Начальная концентрация для каждой системы в моментах влияет на концентрацию в конце процесса моделирования для системы в моментах.

Варьируя начальные концентрации для каждой системы в моментах, и, приняв полученные в пункте 3.2.2 константы модели за постоянные, будем минимизировать значение критерия, (например, сумма модулей ошибок в известных точках решения) характеризующего схожесть полученного решения относительно экспериментальных значений.

Полученные оптимальные значения концентраций примем за начальные значения.

3.2.7 Решение обратной задачи Зная начальные значения и варьируя начальные концентрации и константы модели, которые не были приняты за постоянные в пункте 3.4.4, будем минимизировать значение критерия, характеризующего схожесть полученного решения относительно экспериментальных значений.

Если решение с заданной точностью не было получено, то необходимо увеличивать предполагаемое количество систем в моментах на один и повторять описанный выше алгоритм до тех пор, пока решение не будет удовлетворять требуемой точности.

3.3 Численное решение задачи оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов Рассмотрим следующую билинейную динамическую систему с моментами до 2-го порядка включительно [87]:

n dM M (k pj k m )C ац, j j dt j n dA A k aj C ац, j dt j dP1 j k pj MP1 j (k m M k aj A) 0j, j 1, n, j dt dQ1 n (k m M k aj A)P1 j, j dt j d 0j k pj MP1 j (k m M k aj A) 0j, j dt d1j k pj M ( P1 j 0j ) (k m M k aj A) 1j, j dt d 2j k pj M (4 P1 j 2 1j 0j ) (k m M k aj A) 2j, j dt ds n (k m M k aj A) sj, s 0,1,2.

j dt j где k pj, k m, k aj — константы скоростей реакций роста, передачи цепи на мономер j и на алюминийорганическое соединение (АОС) j-го типа активных центров;

М мономер;

P j -активная частица, образованная на j-ом типе активных центров;

Q1 неактивная частица;

А-АОС;

C ац - концентрация активных центров как сумма j концентраций всех активных цепей в любой момент времени;

sj - моменты s-го порядка активных (растущих) цепей полимера на j-ом типе активных центров, s моменты s-го порядка неактивных цепей полимера;

n- число типов активных центров. В данном примере число активных центров определяет число систем в моментах.

Исходные данные для решения системы представляются в виде:

M ( 0) M (0), A ( 0) A(0), P1( 0) Cац;

Q1( 0) 0, n (0) n (0) 0, n 0,3.

Рассмотрим примеры билинейных динамических систем, состоящих из двух и трх систем в моментах.

3.3.1 Пример билинейной динамической системы, состоящей из двух систем в моментах Исходные данные:

- конверсия равна 60%;

- процесс протекает при постоянной температуре;

k pj k m k aj j - ограничения на константы (таблица 3.6);

,, j C ац - ограничения на концентрации для каждой системы в моментах (таблица 3.4);

- значения решения, полученные экспериментально в двенадцати точках (рисунок 3.5).

Таблица 3.6 – Параметры билинейной динамической системы в моментах Каталитическая Kp, km, ka, Caц, система л/моль*мин л/моль*мин л/моль*мин моль/л От 10- От 0,2 до От 1,7 до NdCl3*3ТБФ От 6 до до 10- ТГА 0,011 0, На рисунке 3.6 изображено решение для двух систем в моментах при начальных значениях, полученных согласно пункту 3.2. На рисунке 3. изображено полученное согласно алгоритму, описанному в пункте 3.2, решение для двух систем в моментах.

Рисунок 3.5 – Значения решения, полученные экспериментально Рисунок 3.6 – Результат моделирования бутадиена при начальных значениях для двух систем в моментах Рисунок 3.7 – Результат моделирования бутадиена для двух систем в моментах Сравним решения, полученные при оптимизации билинейных динамических систем, исходя из одной системы в моментах (рисунок 3.8), двух систем в моментах (рисунок 3.7), трх систем в моментах (рисунок 3.9).

Требованиям точности удовлетворяют решения, состоящие из двух или трх систем в моментах. Однако с ростом числа систем в моментах объм вычислений возрастает по экспоненте, поэтому оптимальное количество систем в моментах равно двум. Описанный в пункте 3.2.1 алгоритм определил количество систем в моментах равное двум (количество экстремумов равно двум и = 1,5).

Рисунок 3.8 – Результат моделирования бутадиена для одной системы в моментах Рисунок 3.9 – Результат моделирования бутадиена для трх систем в моментах 3.3.2 Пример билинейной динамической системы, состоящей из трх систем в моментах Исходные данные:

- конверсия равна 60%;

- процесс протекает при постоянной температуре;

k pj k m k aj j - ограничения на константы,, (таблица 3.7);

j C ац - ограничения на концентрации для каждой системы в моментах (таблица 3.5);

- значения решения, полученные экспериментально в двенадцати точках (рисунок 3.10).

Рисунок 3.10 – Значения решения, полученные экспериментально Таблица 3.7 - Параметры билинейной динамической системы в моментах Каталитическая Kp, km, ka, Caц, система л/моль*мин л/моль*мин л/моль*мин моль/л От 10- От 0,2 до От 1,7 до NdCl3*3ТБФ От 6 до до 10- ТГА 0,011 0, На рисунке 3.11 изображено решение для двух систем в моментах при начальных значениях, полученных согласно пунктам 3.2.3-3.2.6. На рисунке 3. изображено полученное согласно алгоритму, описанному в пункте 3.2, решение для двух систем в моментах.

Сравним решения, полученные при оптимизации билинейных динамических систем, исходя из двух систем в моментах (рисунок 3.13), трх систем в моментах (рисунок 3.12), четырх систем в моментах (рисунок 3.14).

Требованиям точности удовлетворяют решения, состоящие из трх или четырх систем в моментах. Однако с ростом числа систем в моментах объм вычислений возрастает по экспоненте, поэтому оптимальное количество систем в моментах равно трем. Описанный в пункте 3.4 алгоритм определил количество систем в моментах равное трем (количество экстремумов равно трем и = 1,96).

Рисунок 3.11 – Результат моделирования бутадиена при начальных значениях для трх систем в моментах Рисунок 3.12 – Результат моделирования бутадиена для трх систем в моментах Рисунок 3.13 – Результат моделирования бутадиена для двух систем в моментах Рисунок 3.14 – Результат моделирования бутадиена для четырх систем в моментах Выводы Проведенное исследование методов оптимизации на различных моделях показало, что выбор оптимального метода для получения наилучшего результата зависит от вида решаемой модели. Не существует универсального метода, который был бы всегда самым быстрым и точным. Следовательно, разрабатываемая система моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности должна состоять из нескольких альтернативных методов оптимизации.

Разработан алгоритм оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности, отличающийся возможностью использования метода покоординатного спуска вдали от оптимума, а вблизи использующий метод сопряженных градиентов, позволяющий снизить вычислительные затраты.

Предложен алгоритм оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности, отличающийся разбиением общей задачи на последовательно выполняемые малые подзадачи, позволяющий значительно снизить вычислительные затраты.

Разработан алгоритм определения количества систем в моментах, отличающийся сравнением количества экстремумов экспериментально полученного решения с количеством систем в моментах, соответствующему коэффициенту, позволяющий более точно подобрать предполагаемое количество систем в моментах.

Найдены оптимальные значения констант билинейных динамических систем повышенной размерности с использованием метода моментов, модельных функций, многоальтернативного подхода.

ГЛАВА 4 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПОВЫШЕНОЙ РАЗМЕРНОСТИ Разработка программного обеспечения состоит из следующих этапов:

1. Проектирование структуры программного комплекса.

2. Разработка модульной структуры.

3. Разработка алгоритмов.

4. Проектирование структуры базы данных.

5. Разработка схемы информационных потоков.

6. Определение технических условий работы и запуска программы.

7. Разработка интерфейса программы.

4.1 Структура программного комплекса Программный комплекс «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов»

предназначен для решения прямой и обратной кинетической задачи.

Структура программного комплекса представлена на рисунке 4.1.

Сначала пользователь выбирает математическую модель процесса. Затем, с учетом рекомендаций, пользователь выбирает наиболее вероятную модельную функцию. Для процесса полимеризации бутадиена на неодимсодержащих каталитических системах сформулированы следующие правила:

1. При конверсии до 10% наилучшим образом подходит модельная функция Бизли.

2. При конверсии от 10% до 50% наилучшим образом подходит модельная функция Шульца-Флори.

3. При конверсии от 50% наилучшим образом подходит модельная функция Флори.

Интерфейс пользователя Выбор Многоальтернативная система математической моделирование и оптимизация модели билинейных динамических систем Модельные Методы Ионно моделирования функции координационная билинейной полимеризация Флори динамической системы Радикальная Шульца-Флори Рунге-Кутта полимеризация Бизли Адамс-Башфорт … … Адамс-Моултон … Ввод параметров модели Методы оптимизации билинейной динамической системы Метод Гаусса Градиентный спуск Метод сопряженных градиентов … Вывод результатов моделирования Рисунок 4.1 – Общая структура программного комплекса Программный комплекс «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов»

позволяет выбрать следующие модельные функции:

1. Флори.

2. Шульца-Флори.

3. Бизли.

Пользователь должен выбрать метод моделирования билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов. В разработанном программном комплексе «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов» реализованы следующие методы:

1. Явный одношаговый метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

2. Явный многошаговый метод Адамс-Башфорт 3-го порядка.

3. Неявный многошаговый метод Адамс-Моултон 3-го порядка.

4. Жестко устойчивый метод с использованием формулы дифференцирования назад 4-ый порядок.

5. Явный одношаговый метод Рунге-Кутта 4-го порядка с переменным порядком метода и с возможностью понижения порядка решаемой системы ОДУ.

Пользователю необходимо выбрать метод оптимизации билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов. В разработанном программном комплексе «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов» реализованы следующие методы:

1. Метод Гаусса.

2. Градиентный спуск.

3. Метод сопряженных градиентов.

Далее программный комплекс «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов»

определяет предполагаемое количество систем в моментах согласно алгоритму, рассмотренному в пункте 3.2.1. После этого пользователь должен ввести ограничения на константы модели и концентрацию для каждой системы в моментах.

На основе введнных ограничений и количества систем в моментах программа определяет начальные значения для констант модели и концентраций.

Затем, при необходимости пользователь может подкорректировать начальные значения.

На основе полученных начальных значений и с учетом ограничений на константы модели и концентрации программный комплекс «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов» формирует оптимальное решение с использованием выбранных методов моделирования и оптимизация билинейной динамической системы.

4.2 Модульная структура программного средства Модульная структура программы «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов» состоит из девятнадцати модулей и представлена на рисунке 4.2.

Управляющий модуль предназначен для взаимодействия пользователя с программой и обеспечения взаимосвязи между остальными модулями.

Модуль определения количества систем в моментах содержит:

модуль подсчета количества экстремумов;

модуль расчета математического ожидания на основе экспериментальных значений решения;

модуль расчета количества систем в моментах, соответствующего значению, согласно таблице 3.4;

модуль выбора количества систем в моментах согласно алгоритму, описанному в пункте 3.4.1.

Рисунок 4.2 – Модульная структура программного комплекса «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов»

Модуль определения начальных значений для каждой системы в моментах состоит из:

модуля выбора модельной функции;

модуля определения математического ожидания, который состоит из:

1. Модуля определения математического ожидания по алгоритму «Экстремумов».

2. Модуля определения математического ожидания по алгоритму «Равномерного распределения».

модуля определения констант модели;

модуля определения концентраций;

Модуль моделирования билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов состоит из:

модуля выбора численного метода решения системы ОДУ (например, метод Рунге-Кутта 4-го порядка);

модуля выбора алгоритма определения длинны шага.

Модуль оптимизации билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов содержит:

модуль выбора метода одномерного поиска (например, метод дихотомии);

модуль выбора метода оптимизации (например, метод сопряжнных градиентов).

4.3 Алгоритм работы программного модуля Укрупннная схема алгоритма программного комплекса «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов» представлена на рисунке 4.3.

Пуск 1 Ввод исходных данных. Ввод параметров программы.

Расчет моментов Определение количества систем в моментах Определение начальных значений Решение задачи оптимизации Останов Рисунок 4.3 – Схема алгоритма программного комплекса «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов»

Сначала пользователь вводит известные значения кривой решения и 1.

ограничения на константы модели и концентрации. Также пользователь выбирает:

Модельную функцию.

Метод моделирования билинейной динамической системы.

Метод оптимизации билинейной динамической системы.

2. На основе введенных значений решения вычисляются моменты.

3. На основе введнных данных программный комплекс определяет количество систем в моментах.

4. Затем вычисляются начальные значения констант модели и концентраций для каждой системы в моментах.

5. На основе начальных значений и с учетом ограничений на константы модели и концентрации находится оптимальное решение.

4.3.1 Алгоритм определения количества систем в моментах Определение количества систем в моментах является очень важной задачей, так как, если выбрать количество систем в моментах меньше требуемого, то решение, удовлетворяющее точности не будет найдено. Если выбрать количество систем в моментах больше оптимального, то вычислительные затраты значительно возрастут.

Алгоритм определения количества систем в моментах подробно рассмотрен в пункте 3.5.

4.3.2 Алгоритм определения начальных значений Если взять самый простой способ и принять за начальные значения на всех системах в моментах для каждого параметра модели середину интервала допустимых значений, то полученное решение наиболее вероятно не будет мультимодальным. Поэтому был разработан алгоритм, описанный ниже (рисунок 4.4):

1. Ввод экспериментально полученных значений решения, а также ограничений на константы модели и концентрации для каждой системы в моментах.

2. Если количество экстремумов экспериментального решения равно предполагаемому количеству систем в моментах, то переходим к п.3, иначе к п. 3. Расчт математического ожидания по алгоритму «Экстремумов», описанному в пункте 3.2.4 диссертационной работы.

4. Расчт математического ожидания по алгоритму «Равномерного распределения», описанному в пункте 3.2.4 диссертационной работы.

5. Расчт начальных значений констант модели на основе полученного математического ожидания для каждой системы в моментах.

6. Расчт концентраций для каждой системы в моментах при известных начальных значениях констант модели.

4.3.3 Алгоритм решения задачи оптимизации Схема алгоритма решения задачи оптимизации представлена на рисунке 4.5.

Опишем работу алгоритма по шагам:

1. Ввод начальных значений и количества систем в моментах.

2. Расчет значения критерия оптимизации. Критерий может вычисляться по различным формулам (чаще всего сумма модулей ошибок).

3. Если полученное значение критерия оптимизации не удовлетворяет требуемой точности, то переходим к п. 4, иначе решение найдено переходим к п.7.

Пуск 1 Ввод исходных данных модели 2 Количество сис Да Нет тем в моментах = количеству экстремумов в ММР 3 Расчет Расчет математического математического ожидания по ожидания по алгоритму алгоритму «Равномерного «Экстремумов»

распределения»

Расчет значений констант модели для каждой системы в моментах Расчет концентраций для каждой системы в моментах Останов Рисунок 4.4 – Схема алгоритма определения начальных значений Пуск 1 Ввод начальных значений и количества систем в моментах Расчет критерия оптимизации Да Нет 3 Критерий Выбор направления Одномерный поиск вдоль направления Расчет критерия оптимизации Вывод результатов моделирова ния Останов Рисунок 4.5 – Схема алгоритма решения задачи оптимизации 4. Выбираем направление поиска оптимального значения. В случае градиентных методов оптимизации, направление задатся с учетом градиента оптимизируемой функции.

5. Осуществляется одномерный поиск вдоль выбранного направления (наиболее известными являются методы дихотомии (деления отрезка пополам), золотого сечения и Фибоначчи).

6. Рассчитывается значение критерия оптимизации, на основе оптимальных значений вдоль выбранного направления.

7. Вывод результатов моделирования.

4.4 Структуры базы данных Поскольку процесс моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов является достаточно длительным, целесообразно хранить параметры и значения найденного наиболее оптимального решения в базе данных.

Структура базы данных, хранящей информацию об оптимальном решении, состоит из трх таблиц: «Система в моментах», «Параметры», «Значения для расчета решения». Взаимосвязь таблиц базы данных, хранящей информацию об оптимальном решении билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов, показана на рисунке 4.6.

Опишем каждую таблицу базы данных:

1. Таблица «Система в моментах» хранит номер системы в моментах.

2. Таблица «Параметры» связана с таблицей «Система в моментах» по полю «Номер системы в моментах». Таблица «Параметры» хранит значения оптимальных параметров решения билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов.

3. Таблица «Значения для расчета решения» связана с таблицей «Система в моментах» по полю «Номер системы в моментах». Таблица «Значения для расчета решения» хранит значения, необходимые для построения оптимального решения.

Рисунок 4.6 – Структура БД с информацией об оптимальном решении 4.5 Схема информационных потоков На рисунке 4.7 приведена схема информационных потоков программного комплекса «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов». Пользователь вводит и корректирует модель исследования. Затем выбирает методы обработки введенной модели исследования. На основе введенных пользователем данных находятся оптимальные параметры решаемой системы, и строится оптимальная кривая решения.

Входной информацией для определения модели исследования является:

1. Математическая модель.

2. Константы модели.

3. Точность решения.

4. Концентрация.

Входной информацией для настройки многоальтернативной системы моделирования и оптимизации билинейных динамических систем является:

1. Модельная функция.

2. Метод моделирования билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов.

3. Метод оптимизации билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов.

Выходной информацией для многоальтернативной системы обработки информации кинетических исследований является:

1. Оптимальные значения констант модели.

2. Оптимальные значения концентраций.

3. Значения математического ожидания.

4. Концентрации в каждой системе в моментах при завершении моделирования.

Модель 1. Математическая Ввод модель 2. Константы модели 3. Точность решения Коррекция 4. Концентрация Просмотр Многоальтернативная система моделирования и оптимизации билинейных динамических систем 1. Модельная функция Ввод 2. Метод моделирования билинейной динамической Коррекция системы 3. Метод оптимизации билинейной Просмотр динамической системы Результаты 1. Оптимальные моделирования значения констант модели 2. Оптимальные значения концентраций БД, хранящая 3. Значения информацию об математического оптимальном ожидания решении 4. Концентрации в каждой системе в моментах при завершении моделирования Визуализация результатов Рисунок 4.7 – Схема информационных потоков программного комплекса 4.6 Выбор среды разработки В качестве языка программирования был выбран язык С++, содержащий средства создания программного обеспечения практически любого назначения от низкоуровневых утилит и драйверов до сложных программных комплексов самого различного назначения [88-95]. Приведем главные достоинства языка C++:

Важным достоинством языка C++ является поддержка различных 1.

стилей и технологий программирования, таких как объектно-ориентированное программирование, метапрограммирование (шаблоны, макросы), обобщнное программирование [96].

Программы, написанные на языке C++ предсказуемы при выполнении, 2.

что является важным достоинством для построения систем реального времени.

Стандартом определн весь код, неявно генерируемый компилятором для реализации языковых возможностей.

Вызов деструкторов объектов в языке C++ при их уничтожении 3.

происходит автоматически, причм в порядке, обратном вызову конструкторов.

Язык C++ позволяет оперировать понятиями физической (const) и 4.

логической (mutable) константности. Благодаря этому компилятор, может диагностировать ошибочные попытки изменения значения переменной, что повышает наджность программы. При работе с кэшами и ленивыми вычислениями для сохранения логической константности используют объявление mutable.

Язык C++ поддерживает работу с шаблонами. С их помощью можно 5.

создавать параметризованные классы и функции.

Возможность имитации расширения языка для поддержки парадигм, 6.

которые не поддерживаются компиляторами напрямую. Например, библиотека Boost.Bind позволяет связывать аргументы функций.

Возможность создания встроенных предметно-ориентированных 7.

языков программирования. Такой подход использует, например библиотека Boost.Spirit, позволяющая задавать EBNF-грамматику парсеров прямо в коде C++.

Используя шаблоны и множественное наследование можно 8.

имитировать классы-примеси и комбинаторную параметризацию библиотек.

Кроссплатформенность: стандарт языка накладывает минимальные 9.


требования на ЭВМ для запуска скомпилированных программ.

10. Эффективность. Язык спроектирован так, чтобы дать программисту максимальный контроль над всеми аспектами структуры и порядка исполнения программы. Ни одна из языковых возможностей, приводящая к дополнительным накладным расходам, не является обязательной для использования – при необходимости язык позволяет обеспечить максимальную эффективность программы.

11. Имеется возможность работы на низком уровне с памятью, адресами.

12. Высокая совместимость с языком Си, позволяющая использовать весь существующий Си-код (код на Си может быть с минимальными переделками скомпилирован компилятором C++;

библиотеки, написанные на Си, обычно могут быть вызваны из C++ непосредственно без каких-либо дополнительных затрат, в том числе и на уровне функций обратного вызова).

В качестве интегрированной среды объектно-ориентированного программирования был выбран «Borland C++ Builder 6.0» [97].

Среда C++ Builder имеет следующие основные достоинства:

1. Поддержка основных принципов объектно-ориентированного программирования, таких как инкапсуляция, полиморфизм и множественное наследование, а также нововведенные спецификации и ключевые слова в стандарте языка C++ [98].

2. Среда C++ Builder поддерживает механизмы работы с различными базами данных, такими как: Sybase, Oracle, InterBase, Informix, Excel, Access, FoxPro, Btrieve [99]. Взаимодействие с базами данных облегчает механизм BDE (Borland Database Engine). Для графического представления связей и объектов баз данных разработан проводник Database Explorer [100].

3. Среда C++ Builder ориентирована на создание 32-разрядных приложений для современных операционных систем семейства Windows, включая OLE взаимодействие клиент-сервер. Высокое быстродействие при компиляции и сборке является важным достоинством. Также созданные программы в среде C++ Builder хорошо оптимизированы по скорости исполнения и затратам памяти. В связи с тем, что во время работы программы активны инспектор объектов, дизайнер форм и другие средства, удобно вносить изменения в процессе отладки [101].

4.7 Технические условия работы и запуск программы Для правильного функционирования программного комплекса «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов» необходимо следующее:

ЭВМ IBM PC/AT;

дисплей с разрешением не менее 1024x768;

ОС Microsoft Windows XP;

Microsoft Office XP/2003;

1024 Мб ОЗУ;

10 Мб свободного места на жестком диске для размещения программы;

мышь, клавиатура и принтер.

Для запуска программного комплекса необходимо произвести следующие действия:

скопировать папку «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов» в отдельный каталог;

запустить файл ModKin.exe из скопированной папки.

4.8Интерфейс программы В итоге был разработан программный комплекс «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов».

После запуска программы на экране отображается главная экранная форма программного комплекса (рисунок 4.8).

Рисунок 4.8 – Главная экранная форма программного комплекса «Моделирование и оптимизация билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов»

Слева пользователь вводит следующие значения:

1. Математическую модель.

2. Модельную функцию.

3. Метод моделирования билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов.

4. Метод оптимизации билинейной динамической системы повышенной размерности на основе метода моментов.

5. Ограничения на параметры.

Справа программа выводит кривую решения, полученную в ходе моделирования процесса полимеризации.

4.9 Результаты работы программы Проведнный эксперимент с помощью разработанного программного комплекса подтвердил эффективность предложенных алгоритмов (таблицы 4.1, 4.2). В приведенных таблицах на пересечении строк и столбцов указано значение критерия, равного сумме модулей значений относительных ошибок по всем функциям.

Таблица 4.1 – Результаты, демонстрирующие эффективность разработанного программного комплекса Время, мс 250 400 1300 2400 3000 Порядок метода Переменный порядок 0,007945 0,00099 5,474E-05 7,93E-06 1,1E-05 1,07E- 1-ый порядок 0,007263 0,000671 0,0001457 8,04E-05 7,3E-05 4,03E- 2-ой порядок 0,0001061 8,63E-06 2,5E-05 3,72E- 3-ий порядок 3,7E-06 1,39E- 4-ый порядок 7,2E-05 1,04E- Таблица 4.2 – Результаты, демонстрирующие быстродействие и точность разработанного программного комплекса Время, мс 250 400 1300 2400 Метод Без понижения 0,007945 0,00099 5,474E-05 7,93E-06 1,07E- порядка С понижением 0,000347 3,72E-05 1,144E-05 5,176E-06 4E- порядка Выводы Спроектирована структура программного комплекса многоальтернативного моделирования, которая содержит различные модельные функции, методы моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Разработана модульная структура программного комплекса, состоящая из девятнадцати модулей, в состав которых входят: «Модуль определения количества систем в моментах», «Модуль определения начальных значений для каждой системы в моментах», «Модуль моделирования билинейной динамической системы», «Модуль оптимизации билинейной динамической системы».

Определена структура алгоритма программного комплекса, разработана укрупненная схема алгоритма.

Спроектирована структура базы данных программного комплекса, состоящая из БД с информацией об оптимальном решении билинейной динамической системы.

Определены входная и выходная информация, построена схема информационных потоков программного комплекса.

В качестве интегрированной среды объектно-ориентированного программирования был выбран «Borland C++ Builder 6.0» с встроенным языком высокого уровня С++.

Сформулированы технические условия работы и запуска программы.

Разработан интерфейс программы.

Приведены результаты работы программы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Разработана модель мультимодального распределения, отличающаяся тем, что система обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний (моменты), параллельно для каждой системы моментов, дополняется алгебраическими уравнениями для свртки виртуальных одномодальных распределений, адаптивно изменяющихся во времени, позволяющая повысить точность моделирования объекта исследования.

2. Разработана оптимизационная модель мультимодального распределения, отличающаяся многоэтапной процедурой пошаговой оптимизации с определением как дискретных так и непрерывных параметров с минимизацией критерия отклонения действительных и расчетных значений распределения, при этом для определения количества систем в моментах дополнительно используются моменты до третьего порядка, позволяющая повысить производительность вычислений.

3. Предложен алгоритм решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, отличающийся возможностью понижения порядка решаемой системы за счт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных, позволяющий снизить машинное время вычислений.

4. Предложен алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений явным методом Рунге-Кутта, отличающийся возможностью в зависимости от степени устойчивости решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени варьировать порядок метода от первого (на неустойчивых участках) до четвртого (на устойчивых участках), позволяющий повысить точность вычислений.


5. Разработанный программный комплекс прошл практическую апробацию применительно к задаче полимеризации бутадиена на неодимсодержащих каталитических системах.

6. Получено свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, базу данных, топологию интегральных микросхем, зарегистрированное в установленном порядке.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Белянин А.М. Методы решения прямой и обратной кинетических задач в зависимости от сложности химической системы [Текст] / А.М. Белянин, С.Л.

Подвальный, А.В. Плотников // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2012. – Т.8 – №15. – С. 18-21.

2. Белянин А.М. Численные методы решения обратной и прямой кинетической задачи [Текст] / А.М. Белянин // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач: материалы Международной молодежной научной школы. – Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2012. – 234 С.

62-65.

3. Белянин А.М. Алгоритм понижения порядка решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом на примере прямой кинетической задачи [Текст] / А.М. Белянин, С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2013. – Т.9 – №3-1. – С. 35-38.

4. Белянин А.М. Разработка программного комплекса для автоматизации процесса создания специальных программных средств [Текст] / А.М. Белянин, О.Б. Кремер, С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2010. – Т.6 – №10. – С. 199-201.

5. Белянин А.М. Программа для ЭВМ «Конструктор программных комплексов» / А.М. Белянин, С.Л. Подвальный, О.Б. Кремер, А.В. Плотников // ФГБОУ ВПО «ВГТУ» Рег. № 2012619155 от 10.10.2012. Москва: РОСПАТЕНТ, 2012.

6. Белянин А.М. Программный комплекс для создания специальных программных средств поддержки обучения [Текст] / А.М. Белянин, О.Б. Кремер, С.Л. Подвальный // Информатизация учебного процесса и управления образованием. Сетевые и интернет-технологии. Материалы Х межрегиональной научно-практической конференции – Воронеж: ВОИПКиПРО, 2010. – Ч.3, С.

147-151.

7. Белянин А.М. Подход к автоматизации построения программных комплексов на основе онтологий [Текст] / А.М. Белянин, О.Б. Кремер, С.Л.

Подвальный // Информатика: проблемы, методология, технологии. Материалы XI международной научно-методической конференции (10-11 февраля 2011 г.).

– Воронеж: Воронежский государственный университет, 2011. – С. 90-94.

8. Белянин А.М. Формализованная модель автоматизации построения специальных программных средств [Текст] / А.М. Белянин, О.Б. Кремер, С.Л.

Подвальный // Интеллектуальные технологии будущего. Естественный и искусственный интеллект: материалы Всероссийской молодежной конференции. – Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2011. – С. 155-158.

9. Новожилов Б. В. Нестационарное горение тврдых ракетных топлив. — М.: Наука, 1973. — 176 с.

10. Похил П. Ф., Мальцев В. М., Зайцев В. М. Методы исследования процессов горения и детонации. — М.: Наука, 1969. — 301 с.

11. Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М.

Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980. — 479 с.

12. Смидович Е. В. Технология переработки нефти и газа, 3-е изд., ч. 2. М.: Химия, 1980. – 328 с.

13. Jin Y., Zhang X., Pie. F., Wu Y. Chinese J. // Polym. Sci. – 1990. – V. 8, № 2. – P. 121.

14. Wang Q., Weng J., Xu L., Fan Z., Feng. // Polymer. – 1999. – V. 40 – P.

1863.

15. Zhang X., Pei F., Jin Y., Ding J., Shang S. // Acta polymerica sinica. – 1990.

– V. 8, № 4. – P. 391.

16. Fan Z.-Q., Feng L.-X., Yang S.-L. // Acta Polym. Sci. -1993. - № 6. – P.

691.

17. Hughes R. P., Powell J. // J. Am. Chem. Soc. – 1972. T. 94. – P. 7723.

18. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 348 с.

19. Таранчук, В.Б. Основные функции систем компьютерной алгебры:

пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики / В.Б.Таранчук. - Минск: БГУ, 2013. - 59 с.

20. Дьяконов В.П. MATLAB R2007/2008/2009 для радиоинженеров. – М.:

ДМК Пресс, 2010 – 976 с.

21. Бахвалов Н. С., Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г.

Н. Кобельков. М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2003. - 632 с.

22. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956. – с.

23. Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.- 848 с.

24. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., 1959. – с.

25. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004. – 664 с.

26. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.:

АЙРИС-пресс, 2002. – 608 с.

27. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Бином, 2001 — С. 363—375.

28. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения., 3-е изд. - М.: Наука, 1967. – 368 с.

29. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 2. М., 1959. – с.

30. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. - 312с.

31. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. / Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.: ил.

32.. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 348 с.

33. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. Ч. 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие для студентов специальности 073000. – М.:МГУЛ, 2005. – 109 с.: ил.

34. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. - 583 с.

35. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука,1989. – 432 с.

36. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука,1966. – 664 с.

37. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1990. – 208 с.

38. Подвальный С.Л., Холопкина Л.В. Вычислительная математика: Учеб.

пособие/Под ред. С.Л. Подвального. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2004. 147 с.

39. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. cпец. вузов. — М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.

40. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ.

— М.: Мир, 1985. – 510 с.

41. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. — М.;

Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. — 118 с.

42. Жиглявский А. А., Жилинкас А. Г. Методы поиска глобального экстремума. — М.: Наука, Физматлит, 1991. – 248 с.

43. Карманов В. Г. Математическое программирование. — Изд-во физ. мат. литературы, 2004. – 264 с.

44. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972. – 376 с.

45. Максимов Ю. А., Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982. – 52 с.

46. Максимов Ю. А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980. – 275 с.

47. Растригин Л. А. Статистические методы поиска. — М., 1968. – 376 с.

48. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.:

ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с.

49. Новиков Е. А. Алгоритм переменного порядка и шага на основе явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутта // Известие СГУ том 11, Математика.

Механика. Информатика. – Саратов: СГУ, 2011. - c. 46-53.

50. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

51. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998. – 544 с.

52. Волков Е.А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с.

53. Городецкий С. Ю., Гришагин В. А. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация. — Нижний Новгород: Издательство Нижегородского Университета, 2007. — С. 357-363.

54. Calamai P. H., More J., Projected gradient methods for linearly constrained problems, Math. Programming, 39. 1987. – pp. 93–116.

55. Dennis J. E., Mei H. H. W. Two unconstrained optimization algorithms which use function and gradient values, J. Optim. Theory Appl., 28. 1979. – pp. 453– 482.

56. Gilbert J. C., Nocedal J. Global convergence properties of conjugate gradient methods for optimization, SIAM J. Optim., 2. 1992. – pp. 21–42.

57. Капорин И.Е. Предобусловленный метод сопряженных градиентов для решения дискретных аналогов дифференциальных задач // Дифференц.

уравнения. 1990. T. 26. № 7. - С. 1225–1236.

58. Капорин И.Е. Использование полиномов Чебышева и приближенного обратного треугольного разложения для предобусловливания метода сопряженных градиентов // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физики. 2012. T.52. № 2.

C. 1-26.

59. Al-Baali, M. Descent property and global convergence of the Fletcher Reeves method with inexact line searches, IMA J. Numer. Anal., 5. 1985. – pp. 121– 124.

60. Полак Л.С. Применение вычислительной математики к химической и физической кинетике. / Под ред. Полака А. С- М.: Наука, 1969.- 279 с.

61. Карманов В. Г. Математическое программирование.- М.: Наука, 1980 256 с.

62. Бахвалов Н. С., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. — М.:

Лаборатория Базовых Знаний, 2001.- 632 с.

63. Батунер Л. М., Позин М. Е. Математические методы в химической кинетике. - Л.: Гос. н.-т. изд-во хим. лит., 1955.- 482 с.

64. Ениколопян Н. С, Глейзер Р. Г. // Усп. хим.- 1979.- Т. 48.-С. 1831.

65. Денисов Е. Т. Кинетика гомогенных химических реакций.- М.: Высш.

школа, 1988. - 391 с.

66. Яблонский Г. С, Спивак С. И. Математические модели химической кинетики. - М.: Знание, 1977. — 64 с.

67. Багдасаръян X. С. Теория радикальной полимеризации.- М.: Наука, 1959 - 258 с.

68. Кафаров В. В., Дорохов И. Н., Дранишников И. В. Системный анализ процессов химической технологии: процессы полимеризации.- М.: Наука, 1991. 350 с.

69. Подвальный Л. С. Моделирование промышленных процессов поли меризации.- М.: Химия, 1979. — 256 с.

70. Вольфсон С. А., Ениколопян Н. С. Расчеты высокоэффективных полимеризационных процессов.- М.: Химия, 1980.-312 с.

71. Френкель С. Я. Введение в статистическую теорию полимеризации, М.: Наука, 1965.- 267 с.

72. Шаманин В. В. Основы аксиоматической теории полимеризации: дис.

... д-ра хим. наук: 02.00.06 / Шаманин Валерий Владимирович. -ИБС, СПб.- 1995. 298 с.

73. Берлин А. А., Вольфсон С. А. Кинетический метод в синтезе полимеров. - М.: Химия, 1973. - 344 с.

74. Flory P. J. //J. Amer. Chem. Soc.- 1936.- V. 58.- P. 1877.

75. Flory P. J. Principles of polymer chemistry.- New York: Cornell Uniuersity Press, 1953. - 672 p.

76. Flory P. J. ///. Amer. Chem. Soc.- 1940.- V. 62.- P. 1561.

77. Schulz G. V. // Z. Physik. Chem - 1935.- V. 30.- P. 379.

78. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и е инженерные приложения. М.: 2000 - С. 135.

79. BeasleyJ. К. //J. Amer. Chem. Soc- 1953 ~ V. 75.-P. 6123.

80. Будтов В. П. Физическая химия растворов полимеров. -СПб.: Химия, 1992. - 384 с.

81. Рафиков С. Р., Будтов В. П., Монаков Ю. Б. Введение в физико-химию растворов полимеров.- М.: Химия, 1978.- 328 с.

82. Кантова М. Фракционирование полимеров. / Под ред. Кантова М. — М.: Мир, 1971 - 441 с.

83. Губайдуллин И.М., Линд Ю.Б., К.Ф. Коледина. Методология распараллеливания при решении многопараметрических обратных задач химической кинетики // Вычислительные методы и программирование, Т. 13 – Москва, 2012, С. 28-36.

84. Усманов Т.С., Спивак С.И., Усманов С.М. Обратные задачи формирования молекулярно-массовых распределений. — М.: Химия, 2004. — 252 с.

85. Максютова Э.Р. Математическая модель многоцентровой полимеризации изопрена на катализаторах Циглера-Натта / Э.Р. Максютова, Т.С.

Усманов, Ф.Ф. Саитова и др. // Обозрение прикл. и пром. матем. 2002. - Т. 9. - № 2. - С. 418-419.

86. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997. - 197 с.

87. Максютова Э.Р. Математическая модель процесса полимеризации изопрена на катализаторах Циглера-Натта / Э.Р. Максютова, Т.С. Усманов, С.И.

Спивак и др. // Обозрение прикл. и пром. матем., 2001. - Т. 8. - № 2. - С. 642-643.

88. Бьрн Страуструп. Язык программирования C++ / Пер. с англ. — 3-е изд. — СПб.;

М.: Невский диалект — Бином, 1999. — 991 с.

89. Бьрн Страуструп. Программирование: принципы и практика использования C++, исправленное издание. — М.: Вильямс, 2011. — С. 1248.

90. Герберт Шилдт. Полный справочник по C++. — 4-е изд. — М.:

Вильямс, 2011. — С. 800.

91. Дэвис, Стефан, C++ для «чайников», 4-е издание. : Пер. с англ. : — М. :

Издательский дом «Вильяме», 2003. — 336 с. : ил. : Парал. тит. англ.

92. Уолтер Савич. Программирование на С++. 4-е изд./У. Савич. – СПб.:

Питер;

Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 781 с.:ил.

93. Подбельский В.В., Фомин С.С. Программирование на языке Си: Учеб.

пособие. – 2-е доп. изд. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 600с.: ил.

94. Франка П. C++: учебный курс. — СПб.: Питер, 2003. — 521 с.

95. Бондарев В.М. Программирование на С++. 2-е изд. – Харьков:

«Компания СМИТ», 2005. – 284 с.

– Википедия. Свободная 96. http://ru.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B энциклопедия. С++.

97. Джаррод Холингворт, Боб Сворт, Марк Кэшмэн, Поль Густавсон Borland C++ Builder 6. Руководство разработчика. — М.: «Вильямс», 2004. — С.

976.

98. Джерод Холлингворс, Дэн Баттерфилд, Боб Свот. C++ Builder 5.

Руководство разработчика. — М.: «Диалектика», 2001. — С. 884.

99. Когаловский М. Р. Энциклопедия технологий баз данных. — М.:

Финансы и статистика, 2002. — 800 с.

100. Date, C. J. Date on Database: Writings 2000–2006. — Apress, 2006. — p.

101. http://progrm.ru/?p=31 – Краткое описание Borland C++ Builder.



Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.