авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

ИНФОРМАТИКА

И МАТЕМАТИКА

ПРОБЛЕМНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

МОСКВА 2011

ББК

Ж

УДК

Рецензенты:

;

Научный руководитель проекта и автор образовательной технологии

Ф.Л. Шаров

Подготовлено научно-редакционным коллективом МИЭП в составе:

В.Т. Агаев, В.А. Бужинский, М.В. Гладкова,

А.В. Косевич, О.Ю. Худякова, Г.А. Цыганов,

Ф.Л. Шаров (научный руководитель) Под общей редакцией д-ра экон. наук, проф., акад. АГН Б.Г. Дякин Ж Информатика и математика: Учебное пособие / Под ред. Ф.Л. Ша рова. – М.: МИЭП, 2011. – 224 с.

ISBN В учебном пособии, разработанном в соответствии с задачами проблемно поискового образования, содержатся задания для самостоятельной работы студентов по важнейшим вопросам информатики и математики, план-конспект лекционного кур са и консультационный материал к этому курсу, призванные способствовать более глубокому пониманию и усвоению этой дисциплины.

Проблемно-тематический комплекс рассчитан на студентов и преподавателей экономических и юридических факультетов вузов.

ББК ISBN © МИЭП, СОДЕРЖАНИЕ Предисловие..................................................................................................... 1. Практические задания (Г.А. Цыганов).......................................................... 2. План-конспект лекционного курса (О.Ю. Худякова, В.А. Бужинский). 3. Консультационный курс (О.Ю. Худякова, В.А. Бужинский)................. ПРЕДИСЛОВИЕ Проблемно-тематический комплекс, составляющий настоящее учебное пособие, представляет собой важнейший компонент образовательной тех нологии, применяемой в Международном институте экономики и права.

Главное назначение проблемно-тематического комплекса – активное развитие творческих способностей студента, его навыков в самостоятельной работе с рекомендованной литературой, его умения анализировать проблем ные ситуации и приходить к обоснованным, аргументированным выводам.

Проблемно-тематический комплекс по дисциплине «Информатика и математика» включает в себя комплекс практических заданий (ПЗ), план конспект лекционного курса и консультационный курс.

Практические задания представляют собой набор примеров решения типовых задач и собственно задач, решаемых студентом самостоятельно.

Задания требуют от студента серьезной работы по изучению рекомендо ванной литературы и всех необходимых формул для решения конкретных задач и выносятся на аттестацию по данной дисциплине.

План-конспект лекционного курса – это краткое (тезисное) изложение понятийного аппарата и основных положений учебной дисциплины со ссыл ками на источники, где соответствующие темы курса раскрыты достаточно глубоко и обстоятельно. План-конспект лекционного курса позволяет сту денту работать с рекомендованной литературой более осознанно и целена правленно.

В консультационном курсе рассматриваются вопросы, при самостоя тельном изучении которых студент испытывает определенные трудности.

1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ Автор-составитель: канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А. Цыганов ВВЕДЕНИЕ В настоящее время информатика и математика становятся одними из ведущих направлений развития человеческого общества. Наука и про изводство, сферы обслуживания и услуг, управление и человеческое обще ние, быт и досуг – все, что есть нового и передового в них, так или иначе, связано с информатикой и математикой, с одной стороны, и является поч вой и движущей силой развития самой как информатики, так и математики – с другой.

Современная юриспруденция является благодатной почвой внедрения самых передовых достижений информатики и математики. Современный рынок продуктов информатики как отрасли производства наполнен боль шим количеством автоматизированных систем по решению различных задач в области права. Именно современное развитие законотворчества, судов и судопроизводства, института адвокатуры служит экономической и внедренческой базой современных компьютерных технологий в области права. Одними из первых систем искусственного интеллекта типа эксперт ных были и остаются системы в области юриспруденции.

Таким образом, весь образовательный цикл по всем юридическим специ альностям немыслим без освоения основ современной информатики и матема тики, прежде всего без приобретения практических навыков обращения с их основными продуктами: компьютерами, компьютерными сетями и сис темами, с методами различных вычислений.

Целью данного курса является развитие у студентов юристов само стоятельного и творческого подхода к освоению базовых понятий совре менной информатики и математики, а также выполнение отдельных зада ний по освоению компьютерной техники, технологии, программных продуктов общего и специального назначения и методов вычислений.

С целью индивидуализации практических заданий по мате матике в каждой теме студент вместо буквенных параметров р1, р2, р3 подставляет индивидуальные анкетные характеристики, где р1 – число букв в полном имени студента;

р2 – число букв в полном имени отца студента (но не в отчестве!);

р3 – число букв в фамилии студента.

6 Информатика и математика Общими требованиями по выполнению работы являются: полнота охвата программы курса, самостоятельность выполнения, оригинальность изложения и аргументации материала, активность и степень освоения компьютерной технологии и программных систем, четкость изложения и правильность оформления.

ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Выс шее образование, 2011.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и мате матической статистике. – М.: Высшее образование, 2011.

3. Дубинина Н.М., Казанцева С.Я. Информатика и математика для юристов:

Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

4. Информатика: Практикум по технологии работы на компьютере / Под ред.

Н.В. Макарова. – М.: Финансы и статистика, 2008.

5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М.:

Изд-во МГУ, 2007.

6. Мельников В.П. Информационная безопасность и защита информации. – М.:

Академия, 2008.

7. Петров В.Н., Избачков Ю.С. Информационные системы: Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2011.

8. Попов А.М., Сотников В.Н., Нагаева Е.И. Информатика и математика для юристов. – М.: ЮНИТИ, 2011.

Дополнительная 9. Автоматизированные информационные технологии в экономике / Под ред.

Г.А. Титоренко. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2011.

10. Введение в правовую информатику / Под общей ред. Д.Б. Новикова, В.Л.

Камынина. – М.: ЗАО «Консультант-Плюс – Новые Технологии», 2010.

11. Волкова В.Н., Денисов А.А. Теория систем и системный анализ. – М.: Юрайт, 2010.

12. Голицина О.Л. и др. Базы данных: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2006.

13. Дуброва Т.А. Прогнозирование социально-экономических процессов: Стати стические методы и модели: Учебное пособие для вузов. – М.: Маркет ДС, 2007.

14. Житкова О.А., Кудрявцева Е.К. Операционная система и текстовой редактор. – М.: Интеллект-Центр, 2007.

15. Згадай О.Э. и др. Информатика и математика для юристов: Учебник для вузов / Под ред. С.Я. Казанцева, Н.М. Дубининой. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

16. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Про спект, 2007.

17. Каймин В.А. Информатика: Практикум на ЭВМ. – М.: ИНФРА-М, 2006.

1. Практические задания 18. Королев В.А., Торопцев Е.Л., Богушевич Е.В. Мировые информационные ре сурсы: Практикум для студентов вуза. – М.: КноРус, 2008.

19. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьев Е.В. Теория вероятности и матема тическая статистика: Учебник для вузов. – М.: Маркет ДС, 2007.

20. Саак А.Э., Пахомов Е.В., Тюшняков В.Н. Информационные технологии управления: Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2008.

21. Симонович С.В. Информатика для юристов и экономистов: Учебник для ву зов. – СПб.: Питер, 2007.

22. Соколов Г.А., Гладких И.М. Математическая статистика: Учебник. – М.: Эк замен, 2005.

23. Степанова Е.Е. Информационное обеспечение управленческой деятельно сти. – М.: ИНФРА-М, 2007.

24. Трофимов В.В., Ильина О.П., Трофимова Е.В. Информационные системы и технологии в экономике и управлении / Под ред. В.В. Трофимова. – М.:

Высшее образование, 2007.

25. Турецкий В.Я. Математика и информатика: Учеб. пособие для юрид. вузов. – М.: ИНФРА-М, 2007.

26. Черников Б.В. Информационные технологии управления. – М.: ИНФРА-М, 2008.

27. Чубукова С.Г., Элькин В.Д. Основы правовой информатики и математики (Юридические и математические вопросы информатики). – М.: Контракт, 2008.

28. Шаньгин В.Ф. Информационная безопасность компьютерных систем и сетей. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

Адреса сайтов в Интернете • http://www.intuit.ru/department/informatics/intinfo/ (Введение в информатику.

Курс Интернет-университета информационных технологий. В данном курсе изложены минимальные теоретические основы информатики. Теоретические основы сопровождаются большим количеством специально подобранных подробных содержательных примеров-иллюстраций к ним, которые помога ют понять суть рассматриваемых понятий и фактов) • http://book.kbsu.ru (Электронный учебник «Информатика» Л.З. Шауцукова.

Книга представляет базовый курс основ информатики. Полнота изложения отдельных тем, таких как «Арифметические основы компьютера», «Логиче ские основы компьютера») • http://math.newmail.ru (Компьютерная математика. Сайт посвящен пакетам математического моделирования. Разделы: О чем этот сайт;

Обзор систем (MatLab, MathCad, Mathematica, Maple V);

Литература;

Ссылки (на ресурсы Сети);

Работы студентов) • nehudlit.ru (Раздел «Математика», «Информатика» библиотеки NeHudLit.Ru.

Учебники для высшей школы. Формат djvu) 8 Информатика и математика ТЕМА 1 АКСИОМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Математика – одна из древнейших наук и составляет фундамент обще человеческой культуры. В то же время информатика является одной из са мых молодых наук, развивающихся столь бурно и широко, что по важности и практической ценности занимает достойное место в современном мире.

Однако своим зарождением информатика обязана прежде всего математике, ибо именно потребности вычислительной математики дали толчок к появ лению современных электронных вычислительных средств и вычислитель ных технологий, без которых информатика просто немыслима. Вместе с тем информатика поставила перед математикой ряд проблем, из которых разви лись новые направления в математике – дискретная математика, теория алгоритмов, математическая лингвистика, нейроматематика и др.

Уже с древних времен математика приобретает аксиоматические начала (геометрия Евклида, начала математической логики Аристотеля), затем следуют аксиоматические подходы к арифметике (Пеано). Опреде ленную законченность аксиоматика в математике приобретает в работах Д. Гильберта, затем следуют аксиоматические подходы в теории вероятно сти (А.Н. Колмогоров).

Что касается информатики, то ее аксиоматика только поставлена как проблема для разработки. До настоящего времени не существует какого либо точного приемлемого такого исходного понятия информатики, как информация.

Математика и информатика не чужды для юриспруденции, не только по существу, но и по интересам отдельных юристов по образованию (Ф. Виет, П. Ферма, Г.В. Лейбниц), которые внесли выдающийся вклад в становление современной математики.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 1.1. Изучите определение понятия «аксиома» и выявите его лавные элементы. В чем специфика методологии аксиоматическо го подхода?

Задание 1.2. Опишите основы аксиоматики в математике.

Задание 1.3. Опишите метод математической индукции и приве дите примеры его применения.

Задание 1.4. Опишите направления математической культуры, которые были разработаны юристами по образованию.

Задание 1.5. Какое значение имеют математика и информатика для юриста?

Литература: 1, 5.

1. Практические задания ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНФОРМАТИКИ ТЕМА Информатика – научная дисциплина с широчайшим диапазоном при менения. Ее основные направления:

• разработка вычислительных систем и пpогpаммного обеспечения;

• теория инфоpмации, изучающая процессы, связанные с передачей, приемом, преобразованием и хранением информации;

• методы искусственного интеллекта, позволяющие создавать про граммы для решения задач, требующих определенных интеллекту альных усилий при выполнении их человеком (логический вывод, обучение, понимание речи, визуальное восприятие, игры и др.);

• системный анализ, заключающийся в анализе назначения проекти руемой системы и в установлении требований, которым она должна отвечать;

• методы машинной графики, анимации, средства мультимедиа;

• средства телекоммуникации, в том числе глобальные компьютер ные сети, объединяющие все человечество в единое информацион ное сообщество;

• разнообразные пpиложения, охватывающие производство, науку, образование, медицину, торговлю, сельское хозяйство и все другие виды хозяйственной и общественной деятельности.

Как любая отрасль человеческой деятельности, которая поставляет свои продукты и услуги на общественный рынок, общественное потребление, ин форматика обладает экономическими показателями и нуждается в право вых нормах и правовой защите. Экономические атрибуты продуктов инфор матики, выставленных на продажу (товары и услуги), обладают всеми необходимыми свойствами (себестоимость, стоимость, цена и т.п.). Однако информация имеет особый экономический статус в отличие от данных, яв ляющихся носителями информации. Кроме того, следует иметь в виду, что информатика подобно индустрии является капиталоемкой отраслью.

Информатика затрагивает широкий круг правовых вопросов. Только в условиях правовой регулируемости всех сторон и участков информаци онного процесса возможно успешное функционирование информационной технологии. Правовые вопросы возникают как на этапе создания, так и на этапе функционирования автоматизированных информационных систем.

Информатика – быстро развивающаяся отрасль человеческой деятель ности. Ее проникновение является вездесущим: это наука и производство, общественное обслуживание, услуги и быт, образование и досуг, она же решает задачи интеллектуального и духовного развития, приближая к че ловеку сокровищницы мировой культуры.

Согласно известному закону Мора, компьютер может «сравниться»

с мозгом человека при быстродействии квадрильоны операций в секунду, 10 Информатика и математика однако самые «умные» машины станут просто нашим «программным одея нием».

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 2.1. Ниже представлены определения понятия «информати ка», которые даны отдельными учеными и сообществами ученых:

Информатика – это:

• название фундаментальной естественной науки, изучающей про блемы передачи и обработки информации (А.П. Ершов.);

• наука о преобразовании информации, которая базируется на вычис лительной технике. Предметом информатики является вычисли тельная технология, как социально-исторический феномен… состав информатики – это три неразрывно и существенно связан ные составные части: технические средства, программные и алго ритмические (А.А. Дородницын);

• некая синтетическая дисциплина, которая включает в себя разра ботку новой технологии научных исследований и проектирова ния, основанной на использовании ЭВТ, и несколько крупных научных дисциплин, связанных с проблемой общения с машиной и, наконец, с созданием машины (Н.Н. Моисеев);

• комплексная научная и технологическая дисциплина, которая изу чает, прежде всего, важнейшие аспекты разработки, проектирова ния, создания, «встраивания» машинных систем обработки дан ных, а также их воздействия на жизнь общества (В.С. Михалевич);

• наука о проблемах обработки различных видов информации, соз дании новых видов высокоэффективных ЭВМ, позволяющая пред ставлять человеку широкий спектр информационных ресурсов (Э.А. Якубайтис);

• наука об осуществляемой преимущественно с помощью автомати ческих средств целесообразной обработке информации, рассмат риваемой как представление знаний и сообщений в технических, экономических и социальных областях (Французская академия);

• наука, техника и применение машинной обработки, хранения и пере дачи информации (М. Брой, Германия);

• отрасль науки, изучающая структуру и общие свойства научной информации, а также вопросы, связанные с ее сбором, хранением, поиском, переработкой, преобразованием, распространением и ис пользованием в различных сферах деятельности (СЭС).

Проанализируйте перечисленные определения и попытайтесь выявить наиболее правильное из них.

Задание 2.2. Представим себе, что на каком-то предприятии имеется три подразделения, которые сообщаются между собой при помощи трех 1. Практические задания информационных каналов. На предприятии создается новое подразделе ние, связанное с каждым из имеющихся подразделений. Предполагая, что между подразделениями предприятия циркулируют примерно равные объ емы информации, определите кратность увеличения информационных каналов и объемов циркулирующей в них информации.

Задание 2.3. Даны следующие определения понятия «информация»:

• Информация – сведения об окружающем нас мире, которые уменьшают уровень неопределенности человека (СЭС);

• Информация – это обозначение содержания, полученного от внеш него мира в процессе приспособления к нему (Винер);

• Информация – коммуникация и связь, в процессе которой устраня ется неопределенность (Шеннон).

Какое отношение эти определения имеют к пониманию сущности, что такое информация?

Задание 2.4. Еще один экскурс в область определения понятия «инфор мация». Рассмотрите следующие определения:

• Информация – смысл данных, факты или понятия, представленные данными (Словарь по информатике, Минск, «Университетское», 1991) • Информация – это содержание сообщения, сигнала, памяти, а также сведения, содержащиеся в сообщении, сигнале или памяти.

(Информатика – энциклопедический словарь для начинающих.

(М., Педагогика-Пресс, 1994));

• Информация – это самые разнообразные сведения, сообщения, известия, знания и умения (академик Российской АН Д.А. Поспе лов);

• Информация (от лат. informatio – разъяснение, изложение) – обще научное понятие, включающее обмен сведениями между людьми, человеком и автоматом, автоматом и автоматом;

обмен сигналами в животном и растительном мире;

передачу признаков от клетки к клетке, от организма к организму (энциклопедия «Кирилла и Мефодия» на CD) • Любое взаимодействие между объектами, в процессе которого один приобретает некоторую субстанцию, а другой ее не теряет, называется информационным взаимодействием. При этом переда ваемая субстанция называется Информацией.

Какое из представленных определений наиболее соответствует Вашему пониманию термина «Информация» и почему?

Задание 2.5. Рассмотрим два сообщения:

1. Ночь сменяется утром, а за утром следует день.

2. На китайском языке представлена народная мудрость, знание которой может составить смысл Вашей жизни.

12 Информатика и математика В чем сходство и различие этих двух сообщений с точки зрения понятий «данное» и «информация»?

Задание 2.6. Определим тезаурус как совокупность терминов, отра жающих понятия и признаки окружающего нас мира, и отношения между ними. Тогда тезаурус индивидуума можно рассматривать как его инфор мационную емкость. Естественно считать, что тезаурус академика значи тельно больше, чем тезаурус первоклассника.

Объясните, почему академики не учат первоклассников.

Задание 2.7. Сколько бит содержит один байт?

Задание 2.8. Сколько байт содержит один килобайт? Сколько байт содержит один мегабайт? Сколько байт содержит один гигабайт?

Задание 2.9. Старение... Смысл этого понятия не требует объяснений, оно хорошо знакомо каждому. Стареет наша планета, стареют деревья.

Стареют вещи и люди, которым они принадлежат. Стареют и документы.

Желтеют листы книг, выцветают буквы, разрушаются обложки. Но что это? Студент, отмахиваясь в библиотеке от предлагаемой ему книги, пре небрежительно замечает: «Она уже устарела!», хотя книга с виду еще совершенно новая! Никакого секрета здесь, конечно, нет. Книга нова, однако информация, которая в ней содержится, могла устареть. Примени тельно к документам старение понимается не как физическое старение носителя информации, а как довольно сложный процесс старения содер жащейся в нем информации.

Какие причины старения информации Вы можете назвать?

Задание 2.10. Опишите реальные данные какой-нибудь организации (государственной или частной), удовлетворяющие Вас. Выполните анализ полученных данных по следующим направлениям:

1. Что эти данные означают?

2. Как организация получила эти данные?

3. Что делают с этими данными?

Какое влияние оказало на Вас обладание этими данными?

Литература: 7, 8, 15, 18, 21, 25, 27.

ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ИНФОРМАЦИОННОГО ТЕМА ПРОЦЕССА И УСЛОВИЯ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ Информационный процесс носит всеобщий характер. Он реализуется практически во всех областях окружающей нас действительности, начиная от бесконечного микромира и кончая бесконечностью космоса, от про стейшего живого организма и их сообществ до конкретного человека и высо коразвитых социумов. Однако с развитием материи и социального разума условия протекания информационного процесса постоянно меняются.

Появление высоко развитой информационной техники и социальных форм эффективного ее использования выдвинуло информационный процесс 1. Практические задания на передний план развития человеческого общества, сделав его ведущей компонентой производительной силы. Такие понятия, как информатизация общества, информационное общество, становятся общепринятыми и по стоянно изучаемыми.

Взаимодействие пользователя с компьютером является самым важ ным звеном в современной информационной технологии. Проблема здесь заключается не только в технической части (все больше и больше разнооб разного оборудования подключается к компьютеру), но и в программно технологической части, связанной с представлением данных в компьютере, а также в средствах общения пользователя с компьютером. Наиболее остро эта проблема обозначилась с вводом аудио- (звуковых) эффектов, а впо следствии и видеоэффектов, в компьютерную обработку. Появление муль тимедиа в определенной степени решило эту проблему: компьютер стал разговаривать, «понимать» речь, композиционировать, воспроизводить видео, а с буквенно-цифровой и графической информацией он уже давно умел работать. Кроме всего прочего, компьютер «научился» общаться с пользователем в «дружественном» режиме: где подскажет пользователю, а где и сам воспримет подсказку.

С появлением человеческого разума условия протекания информаци онного процесса приобретают революционный характер. На данный пери од развития человеческого общества можно четко выделить следующие революционные подвижки информационного процесса.

1. Появление членораздельной речи (возможность осмысления дан ных – носителей информации, а тем самым избирательного восприятия смысловой информации);

2. Появление письменности (возможность сохранения информации – центральная функция информационного процесса);

3. Изобретение книгопечатания (возможность широкого распростра нения информации – передачи информации);

4. Появление электричества, радиосвязи, телефонии, телеграфии (воз можность «мгновенной» коммуникационной передачи информации);

5. Изобретение компьютера и компьютерных Web-сетей (возможность разнообразной обработки и интерпретации информации).

Все указанные этапы революционного развития информационного процесса по сути дела составляют периоды становления и развития информационной технологии.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 3.1. Если спилить дерево, то по кольцам можно определить, сколько ему лет, дождливым или засушливым был каждый год его жизни.

С какой составляющей информационного процесса Вы имеете дело в этом примере?

14 Информатика и математика Задание 3.2. Вы набираете текст с использованием компьютера. С какой составляющей информационного процесса Вы имеете дело в этом примере?

Задание 3.3. Для подготовки полноценного материала Вы посещаете библиотеки, блуждаете по страницам Интернета.

С какой составляющей информационного процесса Вы имеете дело в этом примере?

Задание 3.4. С использованием текстового редактора Word Вы набра ли необходимый текст документа и приступили к его редактированию.

С какой составляющей информационного процесса Вы имеете дело в этом примере?

Задание 3.5. Для подготовки полноценного документа Вы вниматель но знакомитесь с содержанием значительного объема различных источников и выбираете необходимый материал.

С какой составляющей информационного процесса Вы имеете дело в этом примере?

Задание 3.6. Используя навигационные инструменты Интернета, Вы осуществляете целенаправленное блуждание по его страницам.

С какой составляющей информационного процесса Вы имеете дело в этом примере?

Задание 3.7. С помощью программы Microsoft Access Вы создали базу данных.

С какой составляющей информационного процесса Вы имеете дело в этом примере?

Задание 3.8. С целью конфиденциальности Вы направили свое посла ние с использованием фельдсвязи.

Какой вид технологии передачи информации Вы использовали? Опи шите используемый информационный процесс.

Задание 3.9. Для общения с друзьями и знакомыми Вы широко используете телефонный канал связи.

Какой вид технологии передачи информации Вы использовали? Опи шите используемый информационный процесс.

Задание 3.10. В своей деятельности, как юрист, Вы широко исполь зуете Справочную Правовую Систему (СПС) «Консультант Плюс».

Какой вид информационной технологии Вы используете? Опишите информационный процесс получения актуальной правовой информации с использованием СПС.

Задание 3.11. Опишите свой опыт или опыт своих друзей или знако мых с работой компьютерных технологий в деловой жизни. Выполните краткий анализ компьютеризации рабочего места по следующим направ лениям:

1. Каким образом использование компьютеров в офисе влияет на людей, которые их используют?

1. Практические задания 2. С какими проблемами они столкнулись?

3. Как они решают эти проблемы?

Задание 3.12. В области права выберите компьютерную технологию, риск использования которой достаточно велик, и опишите ее.

Литература: 8, 15, 20, 21, 24–26.

ТЕМА 4 ИНФОРМАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ Модель – это исходное понятие информатики. Построение модели начинается с постановки задачи. Успешная постановка задачи – это более 60% успеха построения адекватной модели.

Далее осуществляется формализация задачи с целью построения алго ритма, отражающего общие закономерности и конкретные особенности поставленной задачи для последующего программирования.

В процессе программирования рождается макет-прототип модели, ко торый должен пройти опытные испытания и быть доведенным до конди ций промышленного изделия, обладающего потребительскими качествами.

Это самый сложный, но и самый благодатный этап моделирования. Слож ность состоит в том, что, казалось бы, модель уже построена, но еще не признана пользователем. Но, с другой стороны, именно на этом этапе мо дель либо принимается пользователем-заказчиком в эксплуатацию, либо требуются значительные ее доработки, либо предлагаемый вариант модели отвергается как несостоятельный.

С появлением и непрерывным развитием компьютеров и компьютер ных сетей открывается практически неограниченная возможность инфор мационного моделирования различных объектов и процессов человеческой деятельности как локального, так и глобального характера. Становится ре альной задача построения открытого информационного общества как еди ной информационной модели на базе глобальных компьютерных сетей, объединенных единой компьютерной информационной технологией.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 4.1. Приведите пример одной-двух моделей, укажите тип, возможности, приложения. Укажите гипотезы, при которых построены эти модели.

Задание 4.2. Опишите этапы построения информационной модели.

Задание 4.3. Опишите роль и значение формализации в информаци онном моделировании.

Задание 4.4. Опишите роль и значение человеческого фактора (неформализованных действий) в информационном моделировании.

Задание 4.5. Опишите понятие адекватности модели оригиналу. При ведите примеры адекватных информационных моделей.

16 Информатика и математика Задание 4.6. Опишите группы технических средств моделирования дискретных и непрерывных процессов.

Задание 4.7. Опишите основные направления исследований науки эргономики.

Литература: 3, 13, 21, 25, 26.

ТЕМА 5 АЛГОРИТМИЗАЦИЯ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ – ИНСТРУМЕНТАРИЙ ИНФОРМАТИКИ Процесс программирования задачи, а именно составление взаимоувя занной системы программных модулей, или пакетов прикладных программ, является одним из самых трудоемких при создании информационной техно логии. Чаще всего здесь используют имеющиеся в обращении готовые про граммные изделия и настраиваемые интерактивные программные оболочки.

При этом осуществляется настройка программного изделия на конкретные информационные структуры и потоки – обучение системы. В перспективных программных оболочках процесс настройки-обучения системы автоматизи рован до уровня вариантной интерактивной подсказки и встроенных мета языковых средств, включающих в себя одновременно средства автоматиза ции алгоритмизирования и программирования.

На этапе программирования также возможен возврат к этапу поста новки задачи в смысле ее уточнения. В настоящее время в области про граммирования и требований к программам и программным системам про ведена достаточно широкая и глубокая стандартизация на международном и национальном уровнях. Поэтому при подготовке данного раздела ПЗ можно воспользоваться документами стандартизации.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 5.1. Дайте определение алгоритма и вычислительного про цесса и опишите их соотношение.

Задание 5.2. Разъяснение свойства массовости алгоритмов. Приведите примеры.

Задание 5.3. Покажите, что алгоритм не всегда приводит к точному результату. Приведите примеры. Как это связано со свойством результа тивности алгоритма?

Задание 5.4. Опишите основные виды действий, используемых при составлении алгоритма. Приведите примеры.

Задание 5.5. Дайте определение понятию «компьютерная программа»

и опишите соотношение программы и алгоритма.

Задание 5.6. Дайте определение понятию «язык программирования»

и опишите соотношение этого понятия с понятием алгоритма.

Задание 5.7. Опишите группы программных средств, которые исполь зуются в информатике.

1. Практические задания Задание 5.8. Опишите структуру, назначение и функциональные осо бенности системного программного обеспечения.

Задание 5.9. Опишите структуру, назначение и функциональные осо бенности прикладного программного обеспечения.

Задание 5.10. Опишите структуру, назначение и функциональные особенности инструментального программного обеспечения.

Литература: 8, 12, 14, 15, 21.

СОВРЕМЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ БАЗА ИНФОРМАТИКИ ТЕМА Техническая база современной информационной технологии претер певает постоянное бурное развитие. Наблюдается тенденция к постоянному уменьшению периода изменения базовых характеристик основных техни ческих средств и появлению новых образцов компьютерного оборудования и технологических процессов. Тем не менее можно указать несколько дос таточно устойчивых крупных разделов комплекса технических средств авто матизированных информационных систем и информационных технологий:

• Компьютер – основное средство информационно-вычислительной техники.

• Сетевое оборудование – технические средства соединения и согласо вания компьютеров посредством средств передачи данных.

• Средства передачи данных – каналы связи и коммуникационное оборудование.

• Технические средства копирования и тиражирования информации.

• Офисное и вспомогательное оборудование.

Существенное значение в улучшении эргономических характеристик автоматизированных информационных систем имеют оргтехника и дизайн.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 6.1. Напишите битовые представления для следующих чисел: 5;

13;

21;

27.

Задание 6.2. Сложите следующие двоичные числа:

00010101 и 00111110 и 00011111 и Задание 6.3. Опишите работу на ПК IBM PC в среде Windows по следующим направлениям:

1. Клавиатуры IBM PC 2. Манипулятор «Мышь» в Windows 3. Структура рабочего экрана Windows 4. Окна Windows 5. Простая работа с графикой (в программе PaintBrush) 18 Информатика и математика Задание 6.4. Опишите работу в среде Windows98 в рамках следующих элементов и процедур:

1. Мой компьютер.

2. Структура главного меню.

3. Ярлык.

4. Использование «мышки» для изменения размеров окна, свертыва ния и распахивания окна.

5. Контекстное меню.

Задание 6.5. Опишите процедуру подключения к компьютеру принтера и настройки его.

Задание 6.6. Опишите процедуру подключения к компьютеру модема и настройки его.

Задание 6.7. Опишите процедуру подключения к компьютеру сканера и настройки его.

Задание 6.8. Опишите процедуру подключения к компьютеру CD привода и настройки его.

Задание 6.9. Опишите файловую систему компьютера и работу с ней, имея в виду следующие элементы и процедуры:

1. Понятие файла и каталога.

2. Программа Проводник Windows.

3. Файловые операции: создание, удаление, переименование, пере мещение, копирование каталогов и файлов.

4. Обмен информацией через Буфер Обмена.

Задание 6.10. Опишите роль и место операционной системы в ком плексе технических средств современного компьютера.

Задание 6.11. Опишите основные компоненты сетевого оборудования.

Задание 6.12. Опишите основные каналы связи, используемые в ком пьютерном телекоммуникационном процессе.

Задание 6.13. Опишите основные компоненты офисного оборудования.

Задание 6.14. Опишите группы технических средств размножения информации.

Литература: 4, 8, 14, 15, 17, 21, 25.

ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ СЕТИ ТЕМА Современная информационная технология вышла за пределы одного компьютера. Создание и эксплуатация компьютерных сетей различного класса, уровня, типа и вида стали основной особенностью настоящего этапа развития информационной технологии. Локальные вычислительные (ком пьютерные) сети являются основой информационно-управленческой дея тельности предприятий, организаций и учреждений. Создаются и действуют национальные и корпоративные глобальные компьютерные сети. Internet – 1. Практические задания мировая глобальная компьютерная сеть, опутала весь земной шар и дос тупна практически любому пользователю современным компьютером.

Становится реальным решение задачи создания открытого информацион ного общества.

Основная задача систем управления распределенными базами данных состоит в обеспечении средств интеграции локальных баз данных, распо лагающихся в некоторых узлах вычислительной сети, с тем, чтобы пользо ватель, работающий в любом узле сети, имел доступ ко всем этим базам данных как к единой базе данных.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 7.1. Опишите основные элементы серверной ЛВС, построен ной по топологии типа «звезда».

Задание 7.2. Опишите основные элементы одноранговой ЛВС, построенной по топологии типа «шина».

Задание 7.3. Опишите следующие элементы и процедуры Интернета:

1. Адресация в Internet (IP адрес, DNS, URL).

2. Программа просмотра WWW Microsoft Internet Explorer.

3. Настройка конфигурации, использование шрифтов. Работа с раз личными кодировками кириллицы.

4. Получение информации с FTP-серверов (команды, возможности).

Примеры некоторых FTP-серверов. Сеанс работы.

5. Поисковые узлы (Altavista, Yahoo, Rambler).

Задание 7.4. Опишите следующие элементы и процедуры электрон ной почты:

1. Создание почтового ящика.

2. Структура электронного письма.

3. Настройка электронной почты.

4. Отсылка и получение писем.

5. Прикрепленные файлы.

Задание 7.5. Опишите эмоциональные возможности Интернета.

Задание 7.6. Что означает аббревиатура DNS? Опишите, зачем нужны серверы DNS.

Задание 7.7. Опишите поисковую машину Rambler и ее основные настройки.

Задание 7.8. Опишите юридические ресурсы Интернета.

Задание 7.9. Сколько можно передать букв за 3 секунды по каналу связи с пропускной способностью канала 2000 бит/сек?

Задание 7.10. Сколько в среднем можно передать букв русского тек ста в секунду по каналу с пропускной способностью С=1000 двоичных единиц/cек?

Литература: 8, 15, 21, 25, 27.

20 Информатика и математика ТЕМА 8 АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЮРИСПРУДЕНЦИИ В настоящее время трудно представить предприятие, организацию, учреждение, в котором не использовалась бы информация по правовым вопросам. С нормативными правовыми документами работают не только юристы. Руководители и специалисты обращаются к законодательным актам при ведении бухгалтерии и делопроизводства, при управлении кад рами, организации и планировании производства и бизнеса. Законы регу лируют все области человеческой деятельности.

С другой стороны, на данном этапе развития Российского государства законотворческая активность настолько велика, что только за один месяц принимается до 1000 законодательных документов и еще больше различ ных изменений в действующих законодательных актах. Чтобы не оказаться в плену устаревшей информации, не совершить дорогостоящих ошибок, а порой и роковых ошибок, необходимо иметь надежный инструмент для решения правовых вопросов. Именно этим обусловливается появление на рынке компьютерных услуг большого количества справочных правовых систем.

Ни одно предприятие, организация, учреждение не может обойтись без кадровой службы, характерной особенностью которой является четкое соблюдение нормативно-правовой базы трудового законодательства.

Переход на контрактную систему организации труда в еще большей степени требует четкого ведения и слежения за соблюдением условий и норм орга низации труда. Значительный объем рабочего времени кадровой службы тратится на составление и ведение кадровых документов и их архива.

В отдельных случаях, особенно это характерно для малых предприятий, кадровая служба ведется совместно с другими трудовыми обязанностями.

Все это явилось причиной появления на рынке компьютерных услуг автоматизированных систем управления персоналом – автоматизирован ных систем учета кадров. Значительный интерес представляют системы, которые наряду с традиционными функциями кадрового учета и ведения баз данных по кадровому составу обладают возможностями автоматизиро ванного составления кадровых документов по выверенным шаблонам в со ответствии с нормами трудового законодательства. Одной из таких систем является компьютерная система «Кадры и трудовые контракты», разрабо танная ТОО «Паритет Софт».

Автоматизированная информационная система нового поколения – это многокомпонентная система с распределенной базой данных.

В процессе работы над данным разделом ПЗ необходимо ознако миться с различными подходами и аспектами автоматизации юридиче ской деятельности, с имеющимися на рынке компьютерных услуг автома тизированными системами.

1. Практические задания С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 8.1. Придумайте 3–4 объекта и представьте их как элементы некоторой системы. Назовите эту систему.

Задание 8.2. Опишите МИЭП (Международный институт экономики и права) как систему.

Задание 8.3. Выделите в системе МИЭП одну из подсистем и опи шите ее.

Задание 8.4. В следующей таблице укажите пропущенные атрибуты системы и охарактеризуйте их:

№ Вход Выход Цель Система 1 Исходные знания студента Знание темы Лекция 2 Знание студента Оценка Проверка знаний 3 Текущее время Показ времени 4 Передвижение Автомобиль 5 Специалист Студент 6 Защита прав Государство Задание 8.5. Опишите одну из автоматизированных справочных пра вовых систем.

Задание 8.6. Опишите одну из автоматизированных систем управле ния персоналом.

Задание 8.7. Опишите одну из экспертных систем в области права Литература: 7–11, 15, 21, 25, 27.

ТЕМА 9 ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ОТ НЕСАНКЦИОНИРОВАННОГО ДОСТУПА И ВРЕДОНОСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ Интеграция бизнес-процессов в среду Интернета приводит к карди нальному изменению положения с обеспечением безопасности. Порожде ние прав и ответственности на основании электронного документа требует всесторонней защиты от всей совокупности угроз, как отправителя доку мента, так и его получателя.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 9.1. Опишите следующие антивирусные программы:

1. Drweb.

2. Система Касперского.

3. Norton AntiVirus.

Задание 9.2. Дайте краткое описание ст. 272, 273, 274 Уголовного кодекса РФ.

Задание 9.3. Опишите понятие «электронный ключ», способы и мето ды использования электронных ключей для защиты информации и инфор мационных технологий.

22 Информатика и математика Задание 9.4. Опишите систему организационно-технических меро приятий по защите информации и информационных технологий.

Задание 9.5. Опишите программные средства защиты информации и информационных технологий и степень их надежности.

Задание 9.6. Опишите криптографические средства защиты информа ции и степень их надежности.

Задание 9.7. Опишите хакерство и меры борьбы с ним.

Задание 9.8. Опишите явление создания и распространения контра фактной информационной продукции и меры по ее искоренению.

Литература: 6, 8, 15, 21, 25, 28.

АКСИОМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА МАТЕМАТИКИ ТЕМА Решение задач по теории множеств, доказательство формул удобно про водить, пользуясь не только определениями и объектным представлением о множестве, но и с помощью диаграмм Эйлера. Рассмотрим примеры реше ния ряда типовых задач.

1. Определить множество А решений уравнения х2 – 25 = 0.

x2 – 25 = 0 х2 = 25 х1 = –5;

х2 = 5.

Отсюда: А={x | x2 – 25 = 0}={–5;

5}.

2. Определить множество В решений неравенства 2х + 9 0.

2х + 9 0 2x – 9 x – 4,5.

Отсюда: В={x | 2х+9 0}={х | x – 4,5}= [4,5;

).

3. Заданы множества A = {1;

3;

4;

6} и B = {3;

5;

6;

7}. Определить результаты операций A B;

A B;

A \ B;

B \ A;

A + B.

Изобразим эти множества диаграммами Эйлера и решим задачу:

A B = { ;

3;

4;

5;

6;

7};

A B = {3;

6};

A \ B = { ;

4};

1;

4;

3;

6;

5;

7. B \ A = {5;

7};

A + B = { ;

4;

5;

7}.

A B 4. Определить результаты тех же операций, если A = {x | 1 x 5},B = {x | 3 x 7}.

Кружками в этом рисунке обозначим точки, которые являются концами нестрогого неравенства, крестиком – строгого неравенства.

A B = {x | 3 x 5} = [3;

5];

A B = {x | 1 x 7} = [1;

7);

А В A \ B = {x | 1 x 3} = [1;

3);

B \ A = {x | 5 x 7} = (5;

7);

x 1 3 5 A + B = {x | 1 x 3 5 x 7} = [1;

3) (5;

7).

1. Практические задания 5. Определить все подмножества множества А={0;

1;

3}.

Несобственные: и А;

одноэлементные: {0}, {1}, {3};

двухэлемент ные: {0;

1}, {0;

3}, {1;

3}.

Следовательно, степень множества Р(А), т.е. множество всех под множеств, имеет вид Р(А)={;

{0};

{1};

{3};

{0;

1};

{0;

3};

{1;

3};

{0;

1;

3}}.

Для проверки используем теорему: если множество А состоит из n элементов, то число всех его подмножеств равно 2n.

Для нашего примера n=3, следовательно, число подмножеств 23=8, что совпадает с числом объектов в Р(А).

Пусть А – произвольное, но не пустое множество. Число m = max A называется максимумом множества А, если mA и любые другие элемен ты множества не превосходят этого числа: ai m. Аналогично определяется и минимум множества l = min A.

Множество А называется ограниченным сверху, если существует число k такое, что для всех элементов множества справедливо ai k. Это число назовем верхней гранью множества А. Минимально возможное зна чение k называется точной верхней гранью множества А и обозначается k = sup A (supremum A).

Множество А называется ограниченным снизу, если существует число p такое, что для всех элементов множества справедливо ai p. Это число назовем нижней гранью множества А. Максимально возможное значение р называется точной нижней гранью множества А и обозначается p = inf A (infimum A)).

6. Оценить множество А={2;

6;

1;

8}.

В этом множестве легко найти: max A=8;

min A=1;

sup A=8;

inf A=1.

7. Оценить множество N={1;

2;

3;

…}, т.е. натуральный ряд.

Здесь min N=1;

max N – не существует;

sup N – не существует;

inf N=1.

8. Оценить множество А={х| 2 x 5}.

Из рисунка следует: min А=2;

max A – не существует, так как 5А;

sup A=5;

x inf A=2.

2 9. Оценить множество А={х | 3 x }.

Здесь min A – не существует, так как 3А;

max A – не существует;

inf A=3;

x sup A – не существует.

Функция – основной описатель различных процессов. Рассмотрим ряд примеров, раскрывающих важные стороны этого базового понятия.

24 Информатика и математика 10. Найти область определения (ОДЗ) функции y =.

1 5x На множестве R следует выполнить условие:

1 5 x 0, т.е. 5 x 1 0 или х 0,2.

Отсюда: D( y ) = {x | x 0,2}.

x 11. Найти ОДЗ функции f (x ) =.

2x Так как на ноль делить нельзя, то следует выполнить условие 2 x 1 0 x 0,5.

Отсюда: D( f ) = {x | x 0,5 x 0,5}.

12. Исследовать на четность функцию f (x ) = x 2 + x 1.

Положим х1 = 2, х2 = –2. Тогда f (2) =... = 5 и f ( 2) =... = 1. Так как корре ляции типов f (x ) = f ( x ) или f ( x ) = f (x ) не устанавливаются, следова тельно, заданная функция – общего вида.

13. Исследовать на четность функцию f (x ) = x 3 + x.

Принимая те же значения, что и в примере 12, имеем:

f (2) =... = 10 и f ( 2) =... = 10.

Так как f ( x ) = f (x ), то заданная функция – нечетная.

14. Представить сложную функцию y = 3x x 2 системой.

y = 3x x 2 = u Решение:.

u = 3 x x 15. Представить сложную функцию y = ln 2 (4 x ) системой.

y = ln 2 (4 x) = (ln(4 x)) 2 = u Решение: u = ln v.

v = 4 x С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 10.1. Найти (A B) С, если A={x | –p1 x p2};

B={x | 0 x p1} и C={x | –p2 x p3}.

Задание 10.2. Оценить множество A = x x =, где n.

( p2 + ( p1 ) n ) Задание 10.3. Оценить множество A={x | –p1 x p3}.

Задание 10.4. Оценить множество С=АВ, если А={x| x –p1} и B={x| –2p1 x p2}.

Задание 10.5. Найти ОДЗ функции y = p1 + p 2 x x 2.

Задание 10.6. Исследовать на четность функцию: y = x 2 + p3 x p2.

Задание 10.7. Исследовать на четность функцию: y = p1x.

x p 1. Практические задания Задание 10.8. Построить по точкам график функции y = p1 x 2 p3 1 + x 2.

Задание 10.9. Расшифровать сложную функцию y = 3 p2 + x 4.

Задание 10.10. Расшифровать сложную функцию y = ln(sin( p1 x )).

Литература: 3, 16, 25.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕМА Понятие предела является фундаментальным понятием в математиче ском анализе. С другой стороны, это понятие позволяет изучать поведение различных процессов и моделей как на бесконечности, так и в конкретных точках. На ряде примеров рассмотрим основные методы вычисления пре делов.

1. lim( x 2 x + 1).

x В любой задаче на пределы сначала рассматривается прямая подста новка lim f ( x) = f (a). Если при этом получается конечное значение (в том x a числе и 0) или, или –, то расчет закончен. В данном примере:

lim( x 2 x + 1) = 4 2 4 + 1 = 13.

x x2 2. lim.

x4 + x2 + x x2 2 Решение: lim = = 0.

x + x +1 4 + 2 + 4 x 3. lim ( x 5 + 3).

x + x Решение: lim ( x 7 5 x +1 + 3) = ( 1)7 5 0 + 3 = 1.

x 4. lim 3 +.

x x Решение: lim 3 + 1 = 3+ = 3.

x x Здесь использована теорема: величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой, т.е. 0.


x2 2x + 5. lim.

x3 x x x2 2x + 1 1 2 + 1 Решение: lim.

= = x x x В данном случае прямая подстановка привела к неопределенности.

Упростим функцию:

x 2 2 x + 1 ( x 1) 2 ( x 1) 2 x.

= = = x( x 1) x( x 1)( x + 1) x( x + 1) x x 3 26 Информатика и математика Таким образом, x 2 2x + 1 x 1 = 0.

= = lim = lim x 1 x ( x + 1) 1(1 + 1) x x x 2 x 2 11x + 6. lim 2.

x 5 3 x 14 x 2 x 2 11x + 5 2 5 2 11 5 + 5 Решение: lim 2.

= = x 5 3 x 14 x 5 3 5 14 5 Используем разложение квадратного трехчлена на множители по извес b ± b 2 4ac тной формуле: ax 2 + bx + c = a ( x x1 )( x x 2 ), где x1, 2 =.

2a 2 x 2 11x + 5 2( x 5)( x 0,5) 2( x 0,5) Тогда 2.

= = 3x 14 x 5 1 3( x 5) x + 3 x + 3 Следовательно, 2( x 0,5) 2(5 0,5) 2 x 2 11x + = 0,5625.

= lim = = lim x 5 3 x 14 x 5 x 5 1 1 3 x + 3 5 + 3 2x3 + x + 7. lim.

3x 3 x 2x3 + x + 1 Решение: lim.

= 3x 8 x В этом случае следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х3, и использовать теорему = 0, т.е.

1 2+ + x = 2+0+0 = 2.

2x + x + 3 :x x = = lim = lim 8 3x : x3 x x 3 x x 8. lim.

2x + x x2 : x2 1 Решение: lim = =.

= = = lim x 2 x 2 x + 5 :x +2 xx sin 3 x 9. lim.

x x sin u Применим первый замечательный предел lim = 1. Для приведения u u заданного выражения к такому виду введем замену переменной: u=3x;

sin 3 x sin u sin u u отсюда x =. Следовательно, = =3.

u x u 1. Практические задания u Для аргумента: x 0, т.е. 0 или u 0.

sin 3 x sin u Таким образом, = 3 1 = 3.

= 3 lim lim x u x 0 u x 10. lim1 +.

x x u Используем второй замечательный предел в форме: lim1 + = e. Заменя u u ем переменную:

21 x =, откуда u = и x = 2u. Из x следует 2u и u.

xu 1 u x 2u 2 Таким образом: = lim1 + = e 2.

lim1 + = lim1 + x u u u x u 11. lim x 1 2 x.

x u Используем второй замечательный предел в форме: lim(1 + u ) = e.

u u u Заменяем переменную: 2 x = u, откуда x =. Из x 0 следует 2 и u 0.

1 2 u Таким образом: lim 1 2 x = lim(1 2 x ) = lim(1 + u ) = lim(1 + u ) x u = e 2.

x u x0 x0 u Следующим фундаментальным понятием математического анализа является понятие производной и дифференциала функции. С другой сто роны, связанные с этими понятиями приращение, скорость изменения, ускорение – важные характеристики функции, позволяют делать общие выводы об изменяемости и устойчивости различных процессов и моделей.

12. Найти приращение функции у = х2 + 1, если аргумент х изменяется от до 1,4.

По определению y = f ( x + x) f ( x).

В нашем случае f (x) = 12 + 1 = 2;

f (x+x)=1,42+1=2,96.

Следовательно, у = 2,96 – 2 = 1,96.

В дальнейших примерах рассмотрим технику дифференцирования.

13. у= х2 — 5х + 4.

Дифференцируем: y = ( x 2 ) 5( x) + (4) = 2 x 5.

5 1 14. y = x + 3 2+ 3.

xx 3x Предварительно перепишем это выражение:

1 x.

x 2 + y = x 2 + 5x 28 Информатика и математика Теперь дифференцируем:

1 1 x 2 + 5 x 3 ( x 2 ) + ( x 3 ) = = x 2 + 5 x 3 ( 2)x 3 + ( 3)x 4 = 1 1 y = 2 3 1 5 2 + 3 4.

= x x 2x 3x 15. y = x sin x.

Используем формулу производной от произведения. Имеем:

y = ( x 2 ) sin x + x 2 (sin x ) = 2 x sin x + x 2 cos x.

x 16. f (x ) =.

x2 + Используем формулу производной от дроби. Имеем:

( x 2 ) ( x 2 + 1) x 2 ( x 2 + 1) 2 x( x 2 + 1) x 2 2 x 2x f ( x ) =.

= = ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 2 2 17. у=(1+5х)3.

Это — сложная функция. Преобразуем ее в систему.

dy = 3u = 3(1 + 5 x ) y = u du, отсюда u = 1 + 5 x du = dx dy du = 15(1 + 5 x ).

и y = du dx 18. y = cos 2 x.

dy du = 2u = 2 cos x y = u, отсюда dy du и y = = 2 cos x sin x.

u = cos x du = sin x du dx dx 19. y = x 3.

3 x y = (x 3 ) 3 x + x 3 (3 x ) = 3 x 2 3 x + x 3 3 x ln 3 = x 2 3 x (3 + x ln 3).

20. y = x 4 2 x + 1. Найти y(2).

Последовательно дифференцируя, получаем:

y = 4 x 3 2;

y = 12 x 2 ;

y = 24 x. Следовательно, y(2) = 24 2 = 48.

21. С помощью дифференциала вычислить ln(2,1), если известно, что ln 2 = 0,693.

Приближенная формула имеет вид: f ( x + x) f ( x) + f ( x)x.

В нашем случае 1 х=2;

х=0,1;

f ( x) = ln x;

f (2) = ln2 = 0,693;

f ( x) = ;

f (2) =. Следовательно, x 0,1 = 0,693 + 0,05 = 0,743.

ln(2 + 0,1) ln 2 + 1. Практические задания Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и иссле дование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций.

x 3 3x + 22. Вычислить lim.

x3 x 2 x + x Решение:

x 3 3x + 2 3x 2 3 6 0 0 6x = 1,5.

= = lim 2 = = lim = lim x1 x 3 x 2 x + 1 x1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 6 1 0 23. Вычислить lim x 4 ln x.

x lim x ln x = 0. Для раскрытия неопределенности такого типа следует x предварительно преобразовать произведение в дробь.

Возможны два варианта:

x4 ln x или.

= = 1 ln x x Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим:

x = lim x = 0.

ln x lim x ln x = 0 = lim = = lim x0 4 5 x0 x0 x x x 24. Вычислить A = lim(ln x ) x.

x Здесь имеет место случай 0. Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить пра вило Лопиталя. Имеем:

ln(ln x) 1 = = 0.

ln A = lim ln(ln x) = lim = = lim x x x x ln x x x Так как ln A = 0, то А = е 0 = 1.

25. Найти экстремумы функции y = 23 x 5 53 x 2 + 1.

10 x Дифференцируем: y =... =. Производная, очевидно, не сущест 3 3x вует при х=0. Кроме того, она равна 0 при х=1. Следовательно, имеем две стационарные точки х1=0 и х2=1. Опять используем первое достаточное условие:

Здесь для определения знаков производной в интервалах вычислялись:

+ 0 – 1 + y(1), y(1 8) и y (8).

x 30 Информатика и математика Таким образом, заданная функция имеет максимум при х = 0 и мини мум при х = 1. Соответствующие экстремальные значения: уmax=f (0)=...=1, ymin= f (1)=...= –2.

26. Найти экстремумы функции у=3 – 2х2 + х4.

Дифференцируем: y = 4 x + 4 x 3.

Стационарные точки: 4 x + 4 x 3 = 0, откуда x1 = 0 ;

x2 = 1;

x3 = 1.

Используем второе достаточное условие. Вторая производная:

y = 4 + 12 x 2. Таким образом: y (0) = 4 + 12 0 2 = 4 0, т.е. x1 = 0 является точкой максимума и y max = f (0) = 3 2 0 2 + 0 4 = 3.

y (1) = 4 + 12 12 = 8 0, т.е. x2 = 1 является точкой минимума и y1,min = f (1) = 3 2 12 + 14 = 2.

y(1) = 4 + 12 ( 1) = 8 0, т.е. является второй точкой минимума x3 = y2,min = f ( 1) = 3 2 ( 1) + ( 1) = 2.

и 2 27. Исследовать выпуклости функции у=3х4 – 4х3.

Дифференцируем: y = 12 x 3 12 x 2 ;

y = 36 x 2 24 x.

Стационарные значения для второй производной:

36х2 – 24х=0, откуда х1=0 и х2=.

+ 0 – + x Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, 2 причем при х 0 и х функция вогнутая, а при 0 x функция выпук 3 лая.

Ординаты точек перегиба:

у1, пер= f (0)=...=0;

у2, пер= f = K 0,59.

ln x 28. Исследовать функцию y = и построить ее график.

x 1. ОДЗ этой функции: x0. Вертикальная асимптота: х=0.

2. Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида.

ln x 3. Определим точку пересечения с осью оХ: = 0, откуда ln x = x и х = 1.

1 ln x 4. Дифференцируем: y =... =.

x 1. Практические задания 5. Определим стационарные точки. Значение х=0 исключаем, как не вошедшее в ОДЗ. Тогда: 1 ln x = 0, откуда х=е.

6. Выберем второе достаточное условие.

2 ln x Вторая производная: y =.

x Тогда y(e) =... = 3 0, т.е. точка х = е является точкой максимума, e ln e и ymax = f (e ) = 0,37. Заданная функция возрастает при x e и убыва e ет при x e.

7. Определим выпуклости заданной функции. Стационарные значения 2 ln x 3 1, второй производной = 0, откуда х = е.

x – + x e1, Таким образом, точка х=е1,5 является точкой перегиба, причем слева от нее 1, функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината упер=...=.

e1, 8. Проверим горизонтальную асимптоту:

ln x = lim x = = 0, следовательно, ось оХ является горизон = lim x x x тальной асимптотой.

Всех полученных данных достаточно для построения графика.

y 1e 0 1 e x Интегрирование функций является обратной операцией по отноше нию к операции дифференцирования, т.е. восстановление функции по задан ным ее производной или дифференциалу.

Функция F(x) называется первообразной функцией для заданной функции y = f(x) на отрезке a x y, если в каждой точке этого отрезка ее производная равна f(x), т.е. F ( x) = f ( x).

32 Информатика и математика Каждая непрерывная функция имеет бесконечное множество перво образных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.

Общее выражение F(x) + C для всех первообразных функций от дан ной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается f ( x)dx, где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

При вычислении неопределенных интегралов необходимо использо вать как стандартную таблицу, так и различные приемы упрощения подынтегральных выражений, позволяющих свести задачу к табличным интегралам или привести к такому виду, который позволит воспользовать ся справочными таблицами.

29. Вычислить (5 x 4 x)dx.

В данном случае – приводим к табличному виду n 1 n+ x dx = x +C:

n + x 0,5+1 x2 (5 x 4 x)dx = 5 x dx 4 xdx = 5 4 + C = x1,5 2 x 2 + C.

0,5 + 1 2 sin 3 x + 30. Вычислить dx.

sin 2 x Здесь для приведения к табличному виду sin xdx = cos x + C ;

2 dx = ctg x + C sin x преобразуем подынтегральное выражение к сумме двух слагаемых:

sin 3 x + 1 sin 2 x dx = sin x + sin 2 x dx = cos x ctg x + C.


Во многих случаях для приведения к табличному виду можно использовать замену переменной (подстановку).

31. Вычислить интеграл 4 2 x1 dx.

ax Здесь для применения табличной формулы a x dx = + C необходимо ln a преобразовать показатель степени 2x – 1. Введем подстановку: u = 2x – 1, откуда du = 2dx и dx = du.

Тогда:

u = 2x 4 2 x 4u 4 = 4u 0,5du = 0,5 4 u du = 0,5 +C.

2 x dx = du = 2dx = 0, ln ln dx = 0,5du 1. Практические задания xdx 32. Вычислить интеграл.

5 x u = 5 x xdx 1 du 1 1 u = 3 u du = u = 5 x + C.

= du = 2 xdx = 12 5 x xdx = du dx (8 3x) 33. Вычислить интеграл.

u = 8 3x 1 dx 1 du 1 (8 3x) 2 = u 2 = 3 u du = 3u = 3(8 3x) + C.

du = 3dx = dx = du 34. Вычислить интеграл x cos xdx.

Интегралы такого типа вычисляются с помощью формулы интегриро вания по частям udv = uv vdu.

u=x du = dx x cos xdx = = x sin x sin xdx = = x sin x + cos x + C.

dv = cos xdx v = sin x 35. Вычислить интеграл x 2 ln xdx.

u = ln x du dx x 3 ln x x x3 x3 x x = ln x dx = +C.

ln xdx = x3 3 3 3x dv = x 2 dx v= В случае, когда нужно вычислить интеграл от дроби, используется прием деления «углом». Это возможно тогда, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя.

2x 36. Вычислить интеграл dx.

x + Разделим: 2x – 1 x+1, следовательно 2x + 2 – 2x 1 3.

= 2+ = x +1 x +1 x + Тогда:

2x 1 3 dx dx = 2 dx = 2 dx 3 = 2 x 3 ln( x + 1) + C.

x + x +1 x + 34 Информатика и математика x3 + x 1 x dx.

37. Вычислить интеграл Делим:

x3 + 0 x2 + x +0 –x + x3 + x2 –x2 – x – x2 + x x2 – x 2x + 2x – x3 + x Таким образом:, откуда:

= x 2 x 2 + 1 x 1 x x3 + x x3 x 2 dx = x x 2 + dx = 2 x 2 ln(1 x) + C.

1 x 1 x Если знаменатель дроби разлагается на простые множители (x – xi), то для интегрирования таких дробей используется метод неопределенных mx + n A B коэффициентов:.

= + ( x x1 )( x x2 ) x x1 x x x+ 38. Вычислить интеграл 2 dx.

x + 5x Так как x 2 + 5 x 6 = ( x 1)( x + 6), то x+2 A B.

= + x + 5x 6 x 1 x + Приведем правую часть к общему знаменателю:

x+2 A( x + 6) + B( x 1).

= x + 5x 6 ( x 1)( x + 6) Отбрасывая знаменатели и открывая скобки, получим x + 2 = ( A + B ) x + (6 A B ).

Чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, сле дует обеспечить равенство соответствующих коэффициентов. Получаем систему уравнений:

A + B =.

6 A B = 3 Отсюда A = ;

B = и 7 x+2 31.

= + x + 5x 6 7 x 1 7 x + Таким образом, x+2 3 3 dx 4 dx x dx = + = ln( x 1) + ln( x + 6) + C.

+ 5x 6 7 x 1 7 x + 6 1. Практические задания 7x x( x 2)( x + 3) dx.

39. Вычислить интеграл Аналогично предыдущему примеру, имеем:

7x 5 A B C ;

=+ + x( x 2)( x + 3) x x 2 x + 7 x 5 = A( x 2)( x + 3) + Bx( x + 3) + Cx( x 2) ;

0 x 2 + 7 x 5 = ( A + B + C ) x 2 + ( A + 3B 2C ) x 6 A.

Соответствующая система уравнений и ее решение:

A + B + C = 5 A = ;

B = 0,9;

C =.

A + 3B 2C = 7;

6 6 A = Таким образом, 7x 5 5 dx dx 26 dx x( x 2)( x + 3) dx = 6 + 0, x 2 15 x + = x 5 ln x + 0,9 ln( x 2) ln( x + 3) + C.

= 6 Понятие определенного интеграла имеет самостоятельное значение в математическом анализе. Однако их вычисление основано на использо вании формулы Ньютона-Лейбница применительно к известным первооб разным.

Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов.

40. Вычислить интеграл ( x 2 + 3x)dx.

x3 3 Первообразная: ( x 2 + 3x)dx = + x.

По формуле Ньютона-Лейбница:

x 3x 2 4 4 3 3 2 2 3 3 2 + = + 4 + 2 = 36,67.

3 2 2 3 2 3 2 Вычисление значения интеграла обычно принято записывать цепочкой, без выделения первообразной и формулы Ньютона-Лейбница.

41. Вычислить интеграл ( x + e x )dx.

x 1 1 2 (x + e )dx = + e x = + e1 (0 + e 0 ) = x 2 2 0 = 0,5 + e 1 = 0,5 + e 0,5 + 2,718 = 2,218.

При замене переменной необходимо сразу преобразовать верхний и нижний пределы.

36 Информатика и математика 42. Вычислить интеграл x 1 + x dx.

u = 1+ x = 1+ 0 = 3 u2 = 1+ x x = (u 2 1)u 2udu = 1 + x dx = = 1+ 3 = x = u 0 dx = 2udu u5 u3 2 25 23 15 = 2 (u 4 u 2 )du = 2 = 2 2 = 7.

5 3 1 5 3 5 3 dx 1+ x 43. Вычислить интеграл.

Несобственные интегралы первого рода (один или оба предела интег рирования содержат бесконечность и подынтегральная функция – непре рывна) вычисляются по той же формуле Ньютона-Лейбница, но с приме нением теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.

dx 1 + x 2 = arctg x 0 = arctg arctg 0 = 2 0 = 2.

Здесь использована известная формула tg = или, более строго,.

lim arctg x = x dx 44. Вычислить интеграл.

x dx = ln x = ln ln 1 =. Здесь учтено, что lim ln x = ;

ln1 = 0. Интеграл x x расходится.

dx 45. Вычислить интеграл.

1 + x Аналогично примеру 59 имеем:

dx = arctg x = arctg arctg() = =.

1 + x2 2 dx 1 + sin 46. Оценить значение интеграла с помощью теоремы о среднем x определенного интервала.

В случае сложных подынтегральных выражений или «неберущихся»

интегралов для оценки значения интеграла достаточно удобна теорема b f ( x)dx = f (c) (b a).

о среднем:

a 1. Практические задания Здесь c – точка внутри интервала интегрирования (т.е. a c b), выбираемая при выполнении расчета. Для практических целей удобно a+b выбирать середину интервала, т.е. c =.

a + b 0 + Для решения примера выберем c = =.

= 2 2 dx Тогда: 0 1,05.

= 1 + sin x 1 + sin 2 Точное значение интеграла равно 1,12, т.е. погрешность составила 7%.

Заметим, что удачный выбор точки с может повысить точность вычислений. Однако середина интервала удобнее для грубой оценки зна чения интеграла. При необходимости более точных вычислений следует использовать другие методы, из которых рекомендуем формулу трапеций.

dx 1+ x 47. Вычислить интеграл по формуле трапеций.

Формула трапеций имеет вид:

b b a f (a) + f (b) n1 + f ( xi ).

f ( x)dx = n 2 i = a Здесь n Z 0 – число интервалов разбиения области интегрирования;

xi – абсцисса конца интервала, причем x0 = a и xn = b.

Точность формулы зависит от выбираемого значения n. При ответст венных расчетах рекомендуется вычислить интеграл для двух различных значений n (к примеру, n = 8 и n = 12), после чего сравнить результаты.

Если они близки, то расчет закончен. Существует и аналитическая формула для оценки погрешности.

Выберем для данного примера n = 5, т.е. разобьем область интегриро вания 0 x 1 на пять интервалов.

a+b b a 1 Длина интервала h = = 0,2, следовательно с = :

= n 5 x0 = 0 x 1 = 0,2 x 2 = 0,4 x 3 = 0,6 x 4 = 0,8 x5 = В нашем примере f ( x) =. Для вычисления f ( xi ) удобно оформить 1 + x расчеты следующей таблицей:

f ( xi ) = xi N 1 + xi 0 0 1 0,2 0, 2 0,4 0, 3 0,6 0, 4 0,8 0, 5 1 0, 38 Информатика и математика В соответствии с формулой трапеций:

1 0 1 + 0,5000 dx 1+ x + (0,9615 + 0,8621 + 0,7353 + 0,6098) = 0,7837.

= 5 2 Точное значение этого интеграла 0,7854, т.е. погрешность составила 0,2%.

Если повторить расчет, приняв n = 10, то приближенное значение интеграла будет 0,7850, что отличается от точного на 0,05%. Таким обра зом, формула трапеций обеспечивает хорошую практическую точность вычислений и легко реализуется на компьютере.

Существуют и другие, достаточно удобные, формулы приближенного интегрирования (квадратурные формулы) – Симпсона, Гаусса и др., кото рые можно найти в перечисленной в конце темы литературе.

48. Найти площадь полуволны синусоиды.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры, образованной линией y = f(x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a и x = b. Отсюда следует, что общая формула площади любой фигуры, с учетом того, что по физическому смыслу площадь S не может быть отри цательной, имеет вид:

b f ( x)dx.

S= a При решении задач на площади рекомендуется предварительно по строить эскиз вычисляемой площади. В данном случае:

y y = sin x S 0 x Отсюда:

S = sin xdx. sin xdx = cos x = (cos cos 0) = 2.

0 Следовательно, S = 2 = 2 квадр. ед.

1. Практические задания 49. Вычислить площадь фигуры, образованной осью 0x и линией y = x 2 на интервале 0 x 5.

y 2 5 x – Эскиз показывает, что линия y = x 2 4 пересекает ось 0x. При вычис лении площади разобьем интеграл на два слагаемых, для того чтобы не допус тить алгебраического сложения величин различных знаков. Найдем сначала точку пересечения функции с осью 0x:

y = x2 4 x1 = 2, x1 = 2 (отбрасываем, так как это значение не входит в интервал 0 x 5 ).

2 16 81 Таким образом, S = ( x 2 4)dx + ( x 2 4)dx =...= кв. ед.

+ = 3 3 0 50. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y = 5x x 2 и y = x2.

y y = x y = 5x x x 0 2, Точки пересечения линий определятся из уравнения x 2 = 5 x x 2, т.е. x1 = 0;

x2 = 2,5.

40 Информатика и математика Для решения задач со сложным очертанием области удобно использо вать графическое разложение на сумму простейших фигур. Так, в нашем случае:

y = 5x x S S y = x S S 0 2,5 0 2,5 0 2, Следовательно, чтобы получить искомую площадь S, достаточно определить площадь S1 для функции x 2 = 5 x x 2 и вычесть из нее площадь S2 для функции y = x 2, т.е.

2,5 2, (5 x x x dx =... = 10,42 5,21 = 5,21 кв. ед.

S = S1 S 2 = )dx 2 0 С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 11.1. Вычислить пределы:

p1 x 2 2 x + p ( x + p1 ) 2 11.1.2. lim.

11.1.1. lim 2.

x p x + p x 4 + p x 3 x 2 ( p1 + 3)x + 3 p 2 x 2 + p 11.1.3. x1. 11.1.4. x p.

lim lim p2 x 2 p3 x 2 p sin p1 x sin p3 x 11.1.5. lim. 11.1.6. lim.

x0 sin ( p + p )x p2 x x 1 x 11.1.7. lim1 + 2.

p x 11.1.8. lim(1 + p1 x ).

x x x Задание 11.2. Найти первые производные от функций:

11.2.1. y = p1 x 0, 4 x p + x p. 11.2.2. y = ( p1 p2 x 3 ) p.

3 p1 x + 11.2.3. y =. 11.2.4. y = p2 + p1 x 3.

x p2 x + p 3 p 11.2.5. y = 2. 11.2.6. y = p1e p x. p1 x 1 x x p 11.2.8. y = ln cos.

11.2.7. y = x p e x. p2 x p x 11.2.9. y =. 11.2.10. p1 x 3 + x 2 y 2 + p2 y 3 = p32.

p1e x Литература: 3, 4, 25.

1. Практические задания ТЕМА 12 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМБИНАТОРИКА Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение комбина торных формул в задачах.

7!4! 8! 9!

1. Упростить выражение B =.

10! 3!6! 2!7!

Было бы неправильным просто вычислить все факториалы, после чего перейти к арифметике – слишком большие числа. Используем, где возможно, расчленение факториалов:

7!4! 1 2 3 4 24 8! 6!7 8 9 7 8 7!4! ;

= 84 ;

= = = = = = 1 2 10! 7!8 9 10 8 9 10 720 30 3!6! 3!6!

9! 7!8 9 8 9 1 = 36. Следовательно, B = (84 36 ) = = 1,6.

= = 1 2!7! 2!7! 30 (m + 1)!.

5!

2. Упростить выражение A = m(m + 1) (m 1)!3!

m!

Напомним, что (m + 1)!= m!(m + 1) ;

(m 1)!= и 5!= 3!4 5, тогда m 3!4 5 m!(m + 1) = 4 5 = 20.

A= m!

m (m + 1) 3!

m 3. При расследовании хищения установлено, что у преступника семи значный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется.

Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?

Известно, что любое число может быть записано с использованием десяти цифр – 0, 1,..., 9. Так как телефонные номера обычно не начинают ся с 0, то задача состоит в вычислении числа комбинаций из девяти раз личных цифр по 7. Очевидно, что это – размещение по семи различным местам семи из девяти различных цифр, т.е.

9! 2!3 4 5 6 7 8 9!

= 181 440 номеров.

A97 = == (9 7 )! 2! 2!

Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь – не прав.

4. Сколькими способами семь разных учебников можно поставить на полке в один ряд?

Так как порядок учебников по условию – значения не имеет, то имеем задачу о числе перестановок семи разных книг. Следовательно, P7 = 7! = 1 2 3 4 5 6 7 = 5040 способов.

5. В штате прокуратуры областного центра имеется пять следовате лей. Сколькими способами можно выбрать двух из них для проверки опе ративной информации о готовящемся преступлении?

42 Информатика и математика Поскольку не имеет значения, какой сотрудник будет первым, а какой – вторым, т.е. необходим выбор двух разных сотрудников из пяти возмож ных, то это – задача о сочетаниях из пяти человек по два. Следовательно:

5! 3!4 5!

= 10 способов.

C52 = = = 2!(5 2)! 2!3! 2!3!

6. В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает уча стие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?

Данная задача – о числе выборок из 16 по 2. Таким образом, 16! 14!15 16!

= 120 игр.

C16 = = = 2!(16 2)! 2!14! 2!14!

7. Изменим условия примера 3. Пусть стало известно, что в телефон ном номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5 и 7. Насколько уменьшится перебор всех возможных номеров?

Таким образом, в семизначном телефонном номере встречаются только четыре цифры, остальные три, очевидно, повторяют какие-то из имеющихся.

Следовательно, имеем задачу о размещениях из четырех цифр по семи, т.е. с повторениями.

Решение:

A4 (повт.) = 47 =16384 номера.

Перебрать все эти номера можно примерно за 11 суток, что почти в раз меньше, чем в примере 3.

8. Сколькими способами можно разложить в ряд две зеленые и четыре красные папки?

Так как названия папок не указываются, а критерием является цвет, то задача состоит в расположении шести цветных папок двух цветов. Имеем случай перестановок с повторениями. Следовательно, 6! 4!5 P6 (2,4 ) = = 15 способами.

= 2!4! 2!4!

9. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «какао», чтобы получились все возможные различные наборы букв?

В заданном слове – 5 букв, причем «к» и «а» повторяются по два раза, 5!

а «о» встречается один раз. Таким образом, P5 (2,2,1) = = 30 способов.

2!2!1!

10. В кондитерской имеется пять разных видов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?

Ясно, что можно выбрать как различные виды пирожных, так и пов торяющиеся и даже составить набор из четырех одинаковых пирожных.

Так как порядок следования пирожных в наборе не имеет значения, то эта задача относится к классу сочетаний с повторениями.

8!

Следовательно, C54 (повт.) = C44+51 = = 70 способами.

4!4!

1. Практические задания С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

p3! ( p1 + 1)! (2 p2 + 1)!

.

Задание 12.1. Вычислить ( p3 2)! ( p1 1)! (2 p2 1)!

Задание 12.2. С помощью правила симметрии вычислить:

A = C p 2 + 2C p 3 + 3C p +2.

p p p 1 1 2 Задание 12.3. В учебной группе p2 p3 студентов. Сколькими спосо бами их можно разбить на бригады по p1 человек?

Литература: 1–3, 5, 19, 25.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ТЕМА Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей событий и анализ дискретных случайных величин.

1. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение – четырем.

Каждый кубик при бросании дает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как оба кубика бросаются независимо, то по теореме умножения общее число исходов: 6 · 6 = 36.

Ясно, что удовлетворить условию задачи возможно только двумя сочетаниями очков: 1, 4 или 4, 1. То есть только два исхода благоприятст вуют условию задачи. Следовательно, по определению вероятности:

2 P ( A) = 0,056.

= 36 2. В коробке имеется 15 шаров, из которых 10 – окрашены, а 5 – про зрачные. Извлекаем, не глядя, три шара. Какова вероятность того, что все они будут окрашены?

Общее число исходов при извлечении шаров:

15!

= 455.

n = C15 = 3!(10 3)!

Благоприятных исходов того, что все шары окрашены:

10!

= 120.

m = C10 = 3!(10 3)!

120 Следовательно, P( A) = 0,264.

= 455 3. В библиотеке на стеллаже расставлено 15 учебников по математике, причем только 5 из них пригодны для студентов юридического факультета.

Студент наудачу выбирает 3 учебника. Какова вероятность того, что хотя бы один из учебников – тот, что нужен?

Всего три учебника из 15 можно выбрать:

15!

= 455 способами.

n = C15 = 3!(10 3)!

44 Информатика и математика Ненужные учебники при этом (из 10 шт.) могут быть выбраны:

10!

= 120 способами.

m = C10 = 3!(10 3)!

Следовательно, вероятность того, что все учебники непригодны:

P(A ) = m 120 0,264.

= = n 455 Поскольку события А – «хотя бы один учебник пригоден» и A – «все три учебника непригодны» противоположны и составляют полную группу, то: P( A) + P(A ) = 1.

Следовательно, P( A) = 1 P(A ) = 1 0,264 = 0,736.

4. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попа дания для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок.

Так как два стрелка стреляют одновременно и независимо друг от друга, то, используя противоположные события «попадание – промах»

и правило умножения вероятностей, получим следующие варианты со бытий:

– попадают оба стрелка: P1 P2 = 0,7 0,8 = 0,56 ;

– попадает первый стрелок и не попадает второй: P1 P2 = 0,7 0,2 = 0,14 ;

– попадает второй и промах у первого: P1 P2 = 0,3 0,8 = 0,24 ;

– промах обоих стрелков: P1 P2 = 0,2 0,3 = 0,06.

Эти события образуют полную группу, так как 0,56 + 0,14 + 0,24 + 0,06 = 1.

Решением задачи, по правилу сложения, будет:

P P2 + P1 P2 = 0,14 + 0,24 = 0,38.

5. Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает 20. Преподаватель последовательно задает три вопроса. Найти веро ятность того, что студент сможет ответить на все вопросы А, В, С.

Вероятность того, что первый вопрос экзаменатора будет из числа известных студенту, равна P( A) =.

Таким образом, остается 24 вопроса, из которых 19 – известны. Следо вательно, P(B / A) =.

Аналогично, вероятность того, что студент ответит и на третий вопрос:

P(C / AB ) =.

Таким образом, вероятность отличной оценки:

20 19 P ( A) P (B / A) P(C / AB ) = 0,496.

25 24 6. В мешок, содержащий два шара неизвестного цвета, опущен белый шар. После встряхивания извлечен один шар. Найти вероятность того, 1. Практические задания что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые пред положения о цвете двух шаров, находившихся в мешке.

Пусть А – событие извлечения белого шара. Построим предположения о первоначальном составе шаров:

В1 – белых шаров нет;

В2 – один белый шар из двух;

В3 – оба шара белые.

Так как гипотезы В1, В2 и В3 по условию равновероятны, то P(B1 ) = P(B2 ) = P(B3 ) =.

А теперь промоделируем извлечение:

– если в мешке первоначально не было белых шаров, то:

P ( A / B1 ) =, так как только одно событие из трех благоприятно;

– в мешке уже был один белый шар, следовательно:

P( A / B2 ) =, так как уже два события из трех благоприятны;

– в мешке оба шара были белые:

P ( A / B3 ) = = 1.

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, найдем по формуле полной вероятности:

P ( A) = P (B1 )P( A / B1 ) + P(B2 )P( A / B2 ) + P(B3 )P( A / B3 ) = 11 12 1 = + + 1 =.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.